特開 2023-41506 求解装置、求解方法およびプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2023041506

(43)【公開日】2023-03-24

(54)【発明の名称】求解装置、求解方法およびプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06N 10/00 20220101AFI20230316BHJP

   G06N 99/00 20190101ALI20230316BHJP

【ＦＩ】

G06N10/00

G06N99/00 180

【審査請求】未請求

【請求項の数】12

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2021148914

(22)【出願日】2021-09-13

(71)【出願人】

【識別番号】000003078

【氏名又は名称】株式会社東芝

(71)【出願人】

【識別番号】317015294

【氏名又は名称】東芝エネルギーシステムズ株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】110002147

【氏名又は名称】弁理士法人酒井国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】村井 雅彦

(57)【要約】

【課題】混合整数計画問題の解を高速に解くことができる。
【解決手段】求解装置は、連続変数解算出部と、ＱＵＢＯ問題生成部と、離散変数解取得部と、制御部と、を備える。連続変数解算出部は、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、複数の連続変数のそれぞれの解の候補値および１または複数の最適乗数を算出する。ＱＵＢＯ問題生成部は、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成する。離散変数解取得部は、ＱＵＢＯ問題をイジングマシンに与えて、複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を取得する。制御部は、連続変数解算出処理、ＱＵＢＯ問題生成処理および離散変数解取得処理を、繰り返して実行させる。
【選択図】図２

【特許請求の範囲】

【請求項1】

複数の連続変数および複数の離散変数を含む目的関数を、１または複数の制約式による制限の下で最小化する混合整数計画問題の解を出力する求解装置であって、
前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、前記１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する連続変数解算出処理を実行する連続変数解算出部と、
直前の前記連続変数解算出処理により算出された前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前までの前記連続変数解算出処理により算出された前記１または複数の最適乗数に基づき、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成するＱＵＢＯ問題生成処理を実行するＱＵＢＯ問題生成部と、
前記ＱＵＢＯ問題をイジングマシンに与えて、前記複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を取得する離散変数解取得処理を実行する離散変数解取得部と、
前記連続変数解算出処理、前記ＱＵＢＯ問題生成処理および前記離散変数解取得処理を、繰り返して実行させる制御部と、
停止条件に達した場合、最後に得られた前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値および前記複数の離散変数の解の候補値を、前記混合整数計画問題の解として出力する出力部と、
を備える求解装置。

【請求項2】

前記ＱＵＢＯ問題生成部は、前記ＱＵＢＯ問題生成処理において、前記緩和マスター問題における制約式を表す無限大ノルム最小化問題を、２－ノルム最小化問題に変換した問題を、前記ＱＵＢＯ問題として生成する
請求項１に記載の求解装置。

【請求項3】

直前の前記連続変数解算出処理により算出された前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値に基づき、前記混合整数計画問題の上界値を更新する上界値更新処理を実行する上界値更新部と、
直前の前記離散変数解取得処理により取得された前記複数の離散変数のそれぞれの解の候補値に基づき、前記緩和マスター問題の下界値を更新する下界値更新処理を実行する下界値更新部と、
前記上界値と前記下界値との差が予め設定された許容誤差以下である場合に、前記停止条件に達したと判定する判定処理を実行する判定部と、
をさらに備える請求項２に記載の求解装置。

【請求項4】

前記ＱＵＢＯ問題生成部は、前記ＱＵＢＯ問題生成処理において、前記１または複数の制約式のうち前記複数の離散変数のうちの何れかを変数として含む制約式を、対応する制約式を満たした場合に０となり、対応する制約式を満たさない場合には、正の実数となるペナルティ関数として、前記緩和マスター問題の目的関数に組み込み、前記ペナルティ関数を組み込んだ前記緩和マスター問題を変換した前記ＱＵＢＯ問題を生成する
請求項３に記載の求解装置。

【請求項5】

前記ＱＵＢＯ問題生成部は、前記ＱＵＢＯ問題生成処理において、前記１または複数の制約式のうち前記複数の離散変数のうちの何れかを変数として含む不等制約式を、０または１を表す新規変数を用いて代替等式制約式に変換して、前記代替等式制約式を満たした場合に０となり、前記代替等式制約式を満たさない場合には、正の実数となる前記ペナルティ関数として前記緩和マスター問題に組み込み、前記ペナルティ関数を組み込んだ前記緩和マスター問題を変換した前記ＱＵＢＯ問題を生成する
請求項４に記載の求解装置。

【請求項6】

前記混合整数計画問題は、前記目的関数の前記複数の連続変数に関する項が下凸関数である
請求項１から５の何れか１項に記載の求解装置。

【請求項7】

前記混合整数計画問題は、前記目的関数の前記複数の離散変数に関する項が一次関数である
請求項６に記載の求解装置。

【請求項8】

前記１または複数の制約式のそれぞれは、一次方程式または一次不等式である
請求項７に記載の求解装置。

【請求項9】

前記イジングマシンをさらに備える
請求項１から８の何れか１項に記載の求解装置。

【請求項10】

前記混合整数計画問題は、式（２９）により表され、

【数1】

前記主問題は、式（３０）により表され、

【数2】

前記ＱＵＢＯ問題は、式（３６）により表される

【数3】

請求項３に記載の求解装置。

【請求項11】

情報処理装置により、複数の連続変数および複数の離散変数を含む目的関数を、１または複数の制約式による制限の下で最小化する混合整数計画問題の解を出力させる求解方法であって、
前記情報処理装置が、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、前記１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する連続変数解算出処理を実行するステップと、
前記情報処理装置が、直前の前記連続変数解算出処理により算出された前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前まで前記連続変数解算出処理により算出された前記１または複数の最適乗数に基づき、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成するＱＵＢＯ問題生成処理を実行するステップと、
前記情報処理装置が、前記ＱＵＢＯ問題をイジングマシンに与えて、前記複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を取得する離散変数解取得処理を実行するステップと、
前記情報処理装置が、前記連続変数解算出処理、前記ＱＵＢＯ問題生成処理および前記離散変数解取得処理を、繰り返して実行させるステップと、
前記情報処理装置が、停止条件に達した場合、最後に得られた前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値および前記複数の離散変数の解の候補値を、前記混合整数計画問題の解として出力するステップと、
を含む求解方法。

【請求項12】

情報処理装置を、複数の連続変数および複数の離散変数を含む目的関数を、１または複数の制約式による制限の下で最小化する混合整数計画問題の解を出力する求解装置として機能させるためのプログラムであって、
前記情報処理装置を、
前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、前記１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する連続変数解算出処理を実行する連続変数解算出部、
直前の前記連続変数解算出処理により算出された前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前までの前記連続変数解算出処理により算出された前記１または複数の最適乗数に基づき、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成するＱＵＢＯ問題生成処理を実行するＱＵＢＯ問題生成部、
前記ＱＵＢＯ問題をイジングマシンに与えて、前記複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を取得する離散変数解取得処理を実行する離散変数解取得部、
前記連続変数解算出処理、前記ＱＵＢＯ問題生成処理および前記離散変数解取得処理を、繰り返して実行させる制御部、および、
停止条件に達した場合、最後に得られた前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値および前記複数の離散変数の解の候補値を、前記混合整数計画問題の解として出力する出力部
として機能させるプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明の実施形態は、求解装置、求解方法およびプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

混合整数計画問題の解を求める求解装置が知られている（例えば特許文献１）。この求解装置は、問題を連続変数に関わる部分と、離散変数に関わる部分に分割し、反復的にこれらを解く。そして、この求解装置は、離散変数部分に関する問題については、量子コンピュータなどのイジングマシンを利用して高速に解く。

【0003】

この求解装置は、離散変数についての制約と、連続変数についての制約とを分離するために、一般にビッグＭと呼ばれる十分大きな定数と、スラック変数とを導入する。このため、この求解装置は、数値計算が不安定になりやすかった。また、この求解装置は、反復計算が有限の回数で終了することが保証されていないので、短時間で解を求めることができない場合があった。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0004】

【特許文献1】特開２０２０－１４４５２９号公報

【非特許文献】

【0005】

【非特許文献1】C. A. Floudas， “Nonlinear and Mixed-integer Optimization: Fundamentals and Applications”， Oxford University Press， 1995， Chapter 6

【非特許文献2】A. Lucas， “Ising Formulations of Many NP Problems”， Frontiers in Physics， Volume 2， Article 5， 2014

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0006】

本発明が解決しようとする課題は、混合整数計画問題の解を高速に解くことができる求解装置、求解方法およびプログラムを提供する。

【課題を解決するための手段】

【0007】

実施形態に係る求解装置は、複数の連続変数および複数の離散変数を含む目的関数を、１または複数の制約式による制限の下で最小化する混合整数計画問題の解を出力する。前記求解装置は、連続変数解算出部と、ＱＵＢＯ問題生成部と、離散変数解取得部と、制御部と、出力部と、を備える。前記連続変数解算出部は、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、前記１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する連続変数解算出処理を実行する。前記ＱＵＢＯ問題生成部は、直前の前記連続変数解算出処理により算出された前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前までの前記連続変数解算出処理により算出された前記１または複数の最適乗数に基づき、前記混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成するＱＵＢＯ問題生成処理を実行する。前記離散変数解取得部は、前記ＱＵＢＯ問題をイジングマシンに与えて、前記複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を取得する離散変数解取得処理を実行する。前記制御部は、前記連続変数解算出処理、前記ＱＵＢＯ問題生成処理および前記離散変数解取得処理を、繰り返して実行させる。前記出力部は、停止条件に達した場合、最後に得られた前記複数の連続変数のそれぞれの解の候補値および前記複数の離散変数の解の候補値を、前記混合整数計画問題の解として出力する。

【図面の簡単な説明】

【0008】

【図1】図１は、実施形態に係る求解システムの構成を示す図である。

【図2】図２は、情報処理装置の機能構成をイジングマシンとともに示す図である。

【図3】図３は、情報処理装置の処理の流れを示す図である。

【図4】図４は、発電計画問題に含まれる不等式制約を等式制約に変換するための概念を説明するための図である。

【図5】図５は、情報処理装置のハードウェア構成を示す図である。

【発明を実施するための形態】

【0009】

（第１実施形態の全体構成）
図１は、第１実施形態に係る求解システム１０の構成を示す図である。

【0010】

求解システム１０は、情報処理装置２０と、イジングマシン３０とを備える。情報処理装置２０は、プロセッサおよびメモリを有し、プログラムを実行することにより演算処理および情報処理を実行する。例えば、情報処理装置２０は、コンピュータまたはネットワーク上のサーバ装置等である。情報処理装置２０は、混合整数計画問題の解を算出する求解装置として機能する。情報処理装置２０は、ユーザ等により入力された混合整数計画問題を取得し、取得した混合整数計画問題の解をイジングマシン３０を利用して算出する。

【0011】

イジングマシン３０は、０または１のいずれかの値をとる離散変数の２次関数を目的関数とした、制約の無い０－１整数２次計画問題を解く。イジングマシン３０は、イジングスピンモデルの基底状態を探索するイジング問題を解く装置であるが、イジングスピンの向き｛－１，＋１｝を離散変数の値｛０，１｝に対応させることにより、０－１整数２次計画問題を解くことができる。なお、イジングマシン３０により解くことが可能な形式に記述された問題を、ＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式で表される問題と呼ぶ。

【0012】

情報処理装置２０とイジングマシン３０とは、例えばネットワーク等を介して接続される。情報処理装置２０は、ＱＵＢＯ形式で表される問題をイジングマシン３０に与える。イジングマシン３０は、情報処理装置２０からＱＵＢＯ形式で表される問題を受け取り、解を算出する。そして、イジングマシン３０は、ＱＵＢＯ形式で表される問題の解を情報処理装置２０へと返す。

【0013】

なお、イジングマシン３０は、コンピュータに組み込み可能なボード、または、求解プログラムを実行するコンピュータにより提供される場合もある。このため、イジングマシン３０は、情報処理装置２０の一部に組み込まれてもよい。

【0014】

（混合整数計画問題）
混合整数計画問題は、複数の連続変数および複数の離散変数を含む目的関数を、１または複数の制約式による制限の下で最小化する問題である。混合整数計画問題の解は、最適解に限らず、近似解であってもよい。

【0015】

第１実施形態に係る求解システム１０は、式（１）に表される混合整数計画問題を解く。

【数1】

【0016】

式（１）の１行目は、ｆ（ｘ，ｙ）を最小とするようなｘおよびｙの解を得る関数を表す。ｆ（ｘ，ｙ）は、混合整数計画問題の目的関数を表す。

【0017】

ｘは、ｎ次元の連続変数を含むベクトルである。すなわち、ｘは、互いに独立したｎ個の連続変数を表す。ｎは、２以上の整数である。連続変数は、実数値となる。

【0018】

ｙは、ｑ次元の離散変数を含むベクトルである。すなわち、ｙは、互いに独立したｑ個の離散変数を表す。ｑは、２以上の整数である。離散変数は、０または１の値となる。

【0019】

式（１）の２行目のｈ（ｘ，ｙ）＝０は、混合整数計画問題の等式制約を表し、任意のｘおよびｙを変数に含むｍ次元の方程式である。すなわち、ｈ（ｘ，ｙ）＝０は、右辺を０としたｍ個の方程式を表す。式（１）の３行目のｇ（ｘ，ｙ）≦０は、混合整数計画問題の不等式制約を表し、任意のｘおよびｙを変数に含むｐ次元の不等式である。すなわち、ｇ（ｘ，ｙ）≦０は、左辺が０以下であることを表すｐ個の不等式を表す。なお、ｍおよびｐのそれぞれは、０以上の整数である。また、ｍ＋ｐは、１以上の整数となる。従って、式（１）の混合整数計画問題は、１または複数の制約式を含む。

【0020】

式（１）の４行目は、ｘがｎ次元の実数範囲内の値であることを表す。式（１）の５行目は、ｙがｐ次元の０または１の値範囲内の値であることを表す。

【0021】

このような式（１）は、ｈ（ｘ，ｙ）＝０およびｇ（ｘ，ｙ）≦０を満たし、且つ、ｆ（ｘ，ｙ）を最小とするようなｘおよびｙの解を得ることを表す。

【0022】

（ＱＵＢＯ形式で表される問題）
ＱＵＢＯ形式で表される問題は、式（２）のように表される。

【数2】

【0023】

Ｑは、（ｑ×ｑ）次元の定数を含む行列を表す。ｃは、ｑ次元の定数を含むベクトルを表す。なお、ｙおよびｃの右肩に付けられているＴは、行と列とを転置させたベクトルであることを表す。

【0024】

このような式（２）は、ｙ^ＴＱｙ＋ｃ^Ｔｙを最小化するようなｙの解を得ることを表す。ＱＵＢＯ形式で表される問題の解は、最適解に限らず、近似解であってもよい。

【0025】

（一般化ベンダーズ分解法を用いた求解）
情報処理装置２０は、式（１）により表される混合整数計画問題を、一般化ベンダーズ分解法を応用したアルゴリズムにより解く。より詳しくは、情報処理装置２０は、式（１）により表される混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法に従って連続変数に関する主問題（プライマリ問題）と、離散変数に関する緩和マスター問題とに分解する。そして、情報処理装置２０は、主問題と緩和マスター問題とを、交互に停止条件を満たすまで繰り返して解くことにより、解を算出する。この場合において、情報処理装置２０は、緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式により表した問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成する。そして、情報処理装置２０は、生成したＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に解かせる。これにより、情報処理装置２０は、混合整数計画問題の解を高速に算出することができる。

【0026】

一般化ベンダーズ分解法における主問題は、式（３）により表される。主問題は、繰り返し毎に異なる問題となる。

【数3】

【0027】

ｙ^ｋは、ｋ回目の繰返処理において、ｙに代入されるｐ次元の離散値（０または１）を含むベクトルである。ｋは、１からＫまでの何れかの整数であり、主問題と緩和マスター問題との繰返回数を表す。Ｋは、整数であり、繰り返し処理における、最後の繰り返し回数を表す。

【0028】

１回目の繰返処理において、ｙ^ｋは、初期値である。２回目以降の繰返処理において、ｙ^ｋは、直前の回において算出されたｙの解の候補値である。従って、１回目の繰返処理において、主問題は、式（１）の混合整数計画問題のｙに、初期値が代入されることにより生成される。また、２回目以降のそれぞれの繰返処理において、主問題は、式（１）の混合整数計画問題のｙに、直前の回において算出されたｙの解の候補値が代入されることにより生成される。

【0029】

式（３）の１行目は、ｆ（ｘ，ｙ^ｋ）を最小とするようなｘの解を得る関数を表す。ｆ（ｘ，ｙ^ｋ）は、主問題の目的関数を表す。

【0030】

式（３）の２行目のｈ（ｘ，ｙ^ｋ）＝０は、主問題の等式制約を表すｍ次元の方程式である。式（３）の３行目のｇ（ｘ，ｙ）≦０は、主問題の不等式制約を表すｐ次元の不等式である。式（３）の４行目は、ｘがｎ次元の実数範囲内の値であることを表す。

【0031】

このような式（３）は、ｈ（ｘ，ｙ^ｋ）＝０およびｇ（ｘ，ｙ^ｋ）≦０を満たし、且つ、ｆ（ｘ，ｙ^ｋ）を最小とするようなｘの解を得ることを表す。

【0032】

なお、主問題は、情報処理装置２０が何らかのアルゴリズムに従ってｘの解の候補値を算出することが可能な問題である。例えば、主問題の目的関数であるｆ（ｘ，ｙ^ｋ）は、２次関数または４次関数等の下凸関数である。また、例えば、主問題の等式制約を表すｈ（ｘ，ｙ^ｋ）＝０は、ｍ次元の一次方程式である。また、例えば、主問題の不等式制約を表すｇ（ｘ，ｙ^ｋ）≦０は、ｐ次元の一次不等式である。つまり、求解の対象となる混合整数計画問題は、例えば、目的関数の複数の連続変数に関する項が下凸関数である。また、求解の対象となる混合整数計画問題の１または複数の制約式のそれぞれの連続変数に関する項は、例えば、一次方程式または一次不等式である。

【0033】

また、式（３）で表される主問題の制約式を緩和したラグランジュ緩和問題は、次の式（４）により表される。

【数4】

【0034】

式（４）の目的関数Ｌ（ｘ，ｙ^ｋ，λ，μ）は、式（５）により表される。

【数5】

【0035】

ここで、式（４）のλおよびμは、ラグランジュ乗数である。λは等式制約を表すｈ（ｘ，ｙ）に乗じられるｍ次元のベクトル、μは不等式制約を表すｇ（ｘ，ｙ）に乗じられるｐ次元のベクトルである。λの右肩のＴは、λの転置ベクトルを表す。μの右肩のＴは、μの転置ベクトルを表す。λは任意のベクトル、μは、非負のベクトルである。そして、このラグランジュ緩和問題の解により、主問題の最適値ｆ（ｘ^＊，ｙ^ｋ）の下界値が得られる。なお、ｘ^＊は、主問題の最適解を表す。すなわち、主問題である式（３）の実行可能解をｘ^～とした場合、式（６）が成り立つ。なお、ｘ^～の右肩の～は、式中においてｘの直上に記載する。

【数6】

【0036】

ここで、任意のｘ^～に対して式（６）が成り立つことにより、式（７）が成り立つ。

【数7】

【0037】

次に、このラグランジュ緩和問題の最適値を主問題の最適値にできるだけ近づけることについて考える。すなわち、ラグランジュ緩和問題の最適値を最大化するようなラグランジュ乗数（λ，μ）を求める式（８）のラグランジュ双対問題について考える。

【数8】

【0038】

主問題が凸の場合、強双対性、すなわち、主問題の最適値とラグランジュ双対問題の最適値は一致するという性質がある。このとき、最適ラグランジュ乗数をλ^＊，μ^＊とした場合、式（９）に示すＫＫＴ条件を満たすことが知られている。

【数9】

【0039】

従って、主問題の最適解であるｘ^＊得られる場合、ＫＫＴ条件である式（９）を解くことにより最適ラグランジュ乗数であるλ^＊，μ^＊を得ることができる。

【0040】

一般化ベンダーズ分解法における緩和マスター問題は、混合整数計画問題のマスター問題の緩和問題である。

【0041】

まず、混合整数計画問題のマスター問題は、式（１０）により表される。混合整数計画問題のマスター問題は、式（１）の双対表現により表される。

【数10】

【0042】

式（１０）の１行目は、μ_Ｂを最小とするようなｙの解を得る関数を表す。式（１０）の２行目は、全てのλおよび全ての非負のμについて、ｘを変数として最小化したＬ（ｘ，ｙ，λ，μ）を、μ_Ｂ以下の範囲に制限する制約式を表す。

【0043】

Ｌ（ｘ，ｙ，λ，μ）は、式（１１）により表される。

【数11】

【0044】

ここで、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれは、ｘとｙとについて線形分離可能である場合、式（１２）のように表される。

【数12】

【0045】

このようなマスター問題に対して、緩和マスター問題は、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離可能である場合、式（１３）により表される。

【数13】

【0046】

λ^ｋは、ｋ回目の繰返処理において等式制約に乗じられるｍ次元の最適ラグランジュ乗数ベクトルである。μ^ｋは、ｋ回目の繰返処理において不等式制約に乗じられるｐ次元の最適ラグランジュ乗数ベクトルである。λ^ｋの右肩のＴは、λ^ｋの転置ベクトルを表す。μ^ｋの右肩のＴは、μ^ｋの転置ベクトルを表す。なお、式（１３）における制約式は、繰返処理毎に１つずつ追加されていく。すなわち、ｋ回目の繰返処理では、緩和マスター問題は、式（１４）のように表される。

【数14】

【0047】

Ｌ^ｋは、ｋ回目の繰返処理における、緩和マスター問題のｘに関する項であり、式（１５）により表される。

【数15】

【0048】

式（１５）は、ｙとは独立に解くことができるｘのみの問題となる。式（１５）の解は、強双対性により主問題である式（３）の解に一致することが知られている。

【0049】

また、緩和マスター問題は、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離できない場合、式（１６）により表されると考えられる。

【数16】

【0050】

なお、式（１６）における制約式は、繰返処理毎に１つずつ追加されていく。

【0051】

一般化ベンダーズ分解法のアルゴリズムは、次のような手順となる。

【0052】

まず、ステップ１において、アルゴリズムは、離散変数をある初期点ｙ^１∈Ｙに固定する。すなわち、アルゴリズムは、ｙ＝ｙ^１とする。さらに、アルゴリズムは、繰返回数を表すｋを１、混合整数計画問題の下界値を表すＬＢＤを－∞、緩和マスター問題の上界値を表すＵＢＤを∞に設定する。さらに、アルゴリズムは、許容誤差を表すεを０以上の任意値に設定する。

【0053】

続いて、アルゴリズムは、繰返回数を表すｋを１ずつインクリメントしながら、ステップ２およびステップ３を繰り返す。

【0054】

ｋ回目の繰り返しにおける、ステップ２において、アルゴリズムは、ｙ＝ｙ^ｋとして、主問題である式（３）を解き、ｘ^ｋ、並びに、最適乗数であるλ^ｋおよびμ^ｋを取得する。さらに、アルゴリズムは、ｆ（ｘ^ｋ，ｙ^ｋ）により、ｋ回目の繰り返しにおける混合整数計画問題の最適値を算出する。ｆ（ｘ^ｋ，ｙ^ｋ）は、混合整数計画問題の目的関数に、直前に得られたｘの候補値および直前に得られたｙの候補値を代入して得られる値を表す。

【0055】

そして、ｋ回目の繰り返しにおいて、アルゴリズムは、ｋ回目までの各繰り返しにおいて算出した最適値のうち最小の最適値を、上界値として登録する。例えば、アルゴリズムは、ＵＢＤ＝ｍｉｎ｛ＵＢＤ，ｆ（ｘ^ｋ，ｙ^ｋ）｝により、上界値を更新する。なお、ｍｉｎ｛Ｘ，Ｙ｝は、ＸおよびＹのうちの小さい方の値を取得する関数である。

【0056】

続いて、ステップ３において、アルゴリズムは、緩和マスター問題である式（１３）または式（１６）を解き、ｙ^ｋ＋１およびμ_Ｂを取得する。μ_Ｂは、緩和マスター問題の最適値を表す。ｋ回目の繰り返しにおいて、アルゴリズムは、ｋ回目までの各繰り返しにおいて算出した最適値のうち最大の最適値を、下界値として登録する。例えば、アルゴリズムは、ＬＢＤ＝ｍａｘ｛ＬＢＤ，μ_Ｂ｝により、下界値を更新する。なお、ｍａｎ｛Ｘ，Ｙ｝は、ＸおよびＹのうちの大きい方の値を取得する関数である。

【0057】

さらに、アルゴリズムは、各繰り返しにおいて、ＵＢＤ－ＬＢＤ≦εであるか否かを判断する。ＵＢＤ－ＬＢＤ≦εである場合、アルゴリズムは、繰り返しを停止し、最後に得られたｘの候補値およびｙの候補値を、混合整数計画問題の解として出力する。ＵＢＤ－ＬＢＤ≦εではない場合には、アルゴリズムは、ｋ＝ｋ＋１として、処理をステップ２に戻す。

【0058】

このような一般化ベンダーズ分解法のアルゴリズムは、有限回数の繰り返しにより、停止条件に達する、すなわち、ＵＢＤ－ＬＢＤ≦εとなる、とされている。従って、一般化ベンダーズ分解法のアルゴリズムは、ステップ２およびステップ３の処理を繰り返すことにより、混合整数計画問題の解を算出することができる。なお、一般化ベンダーズ分解法のアルゴリズムは、緩和マスター問題である式（１３）または式（１６）における制約式に対応する項が、繰り返し毎に１つずつ追加されていく。

【0059】

（機能構成）
図２は、情報処理装置２０の機能構成をイジングマシン３０とともに示す図である。情報処理装置２０は、上述した一般化ベンダーズ分解法を応用したアルゴリズムにより、混合整数計画問題を解く。

【0060】

情報処理装置２０は、入力部４２と、連続変数解算出部４４と、上界値更新部４６と、ＱＵＢＯ問題生成部４８と、離散変数解取得部５０と、下界値更新部５２と、判定部５４と、制御部５６と、出力部５８とを備える。

【0061】

入力部４２は、求解の対象となる混合整数計画問題を取得する。具体的には、入力部４２は、式（１）を表す情報を取得する。

【0062】

連続変数解算出部４４は、入力部４２により取得された混合整数計画問題に対して、連続変数解算出処理を実行する。より具体的には、連続変数解算出部４４は、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する。

【0063】

上界値更新部４６は、連続変数解算出部４４により算出された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値に基づき、上界値更新処理を実行する。より具体的には、上界値更新部４６は、直前の連続変数解算出処理により算出された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値を、直前の連続変数解算出処理で用いた主問題の目的関数に代入して混合整数計画問題の最適値を算出する。そして、上界値更新部４６は、算出した混合整数計画問題の最適値に基づき、混合整数計画問題の上界値を更新する。

【0064】

ＱＵＢＯ問題生成部４８は、連続変数解算出部４４により算出された、複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、１または複数の最適乗数を用いて、ＱＵＢＯ問題生成処理を実行する。より具体的には、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、直前の連続変数解算出処理により算出された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前までの全ての連続変数解算出処理により算出された１または複数の最適乗数に基づき、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成する。

【0065】

離散変数解取得部５０は、ＱＵＢＯ問題生成部４８により生成されたＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に与える。さらに、離散変数解取得部５０は、離散変数解取得処理を実行する。より具体的には、離散変数解取得部５０は、イジングマシン３０からＱＵＢＯ問題の解を、複数の離散変数のそれぞれの解の候補値として取得する。

【0066】

下界値更新部５２は、離散変数解取得部５０により取得された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値に基づき、下界値更新処理を実行する。より具体的には、下界値更新部５２は、直前の離散変数解取得処理により取得された複数の離散変数のそれぞれの解の候補値を、直前のＱＵＢＯ問題生成部４８により生成されたＱＵＢＯ問題の生成の元となる緩和マスター問題の制約式に代入して、緩和マスター問題の最適値を算出する。そして、下界値更新部５２は、算出した緩和マスター問題の最適値に基づき、緩和マスター問題の下界値を更新する。

【0067】

判定部５４は、上界値更新部４６により更新された上界値、および、下界値更新部５２により更新された上界値を用いて、判定処理を実行する。判定部５４は、上界値および下界値に基づき、繰返処理の停止条件に達したか否かを判定する判定処理を実行する。より具体的には、判定部５４は、上界値と下界値との差が予め設定された許容誤差以下である場合に、停止条件に達したと判定する。

【0068】

制御部５６は、連続変数解算出部４４、上界値更新部４６、ＱＵＢＯ問題生成部４８、離散変数解取得部５０、下界値更新部５２および判定部５４を制御する。制御部５６は、繰返回数を更新しながら、連続変数解算出処理、上界値更新処理、ＱＵＢＯ問題生成処理、離散変数解取得処理、下界値更新処理、判定処理を、繰り返して実行させる。

【0069】

制御部５６は、繰り返しに先だって、繰返回数の初期値、混合整数計画問題の目的関数に含まれる離散変数の初期値、混合整数計画問題の上界値の初期値、緩和マスター問題の下界値の初期値、および、収束誤差を設定する。また、制御部５６は、連続変数解算出処理から判定処理まで一連の処理がされた場合、繰返回数を更新して、再度、連続変数解算出処理から処理を繰り返させる。また、制御部５６は、判定処理において停止条件に達したと判定された場合には、繰り返しを停止させる。すなわち、制御部５６は、停止条件に達するまで、連続変数解算出処理から判定処理までの処理を繰り返して実行させる。

【0070】

出力部５８は、停止条件に達した場合、最後に得られた複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、最後に得られた複数の離散変数の解の候補値を、混合整数計画問題の解として出力する。

【0071】

（処理フロー）
図３は、情報処理装置２０の処理の流れを示す図である。情報処理装置２０は、図３に示す流れで処理を実行することにより、混合整数計画問題を解く。

【0072】

まず、Ｓ１０１において、入力部４２は、求解の対象となる混合整数計画問題を取得する。具体的には、入力部４２は、式（１）を表す情報を取得する。

【0073】

続いて、Ｓ１０２において、制御部５６は、繰返回数であるｋ、混合整数計画問題の上界値であるＵＢＤ、緩和マスター問題の下界値であるＬＢＤのそれぞれに、初期値を設定する。例えば、制御部５６は、ｋ＝１、ＵＢＤ＝－∞、および、ＬＢＤ＝∞と設定する。なお、－∞は、情報処理装置２０により取り扱うことが可能な最小の値であってもよい。また、∞は、情報処理装置２０により取り扱うことが可能な最大の値であってもよい。また、制御部５６は、混合整数計画問題の目的関数に含まれる離散変数であるｙに初期値を設定する。例えば、制御部５６は、ｙ＝ｙ^１と設定する。ｙ^１は、ｙの候補値であって、予め設定された値、ユーザ等に設定された値、または、ランダムに設定された値である。さらに、制御部５６は、収束誤差であるεを設定する。εは、０以上の実数であり、予め設定された値またはユーザ等に設定された値であってよい。

【0074】

続いて、制御部５６は、Ｓ１０３からＳ１１０までの繰返処理を停止条件に達するまで繰り返させる。

【0075】

Ｓ１０３において、連続変数解算出部４４は、連続変数解算出処理を実行する。すなわち、連続変数解算出部４４は、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる主問題を解いて、複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、１または複数の制約式のそれぞれに乗じられる１または複数の最適乗数を算出する。具体的には、連続変数解算出部４４は、式（３）の問題を解く。式（３）の問題は、線形計画問題または非線形計画問題であり、内点法等の既知のアルゴリズムにより解くことができる問題である。ｋ回目の繰返処理において、Ｓ１０３の連続変数解算出処理を実行することにより、連続変数解算出部４４は、ｘ^ｋ，λ^ｋおよびμ^ｋを取得することができる。

【0076】

続いて、Ｓ１０４において、上界値更新部４６は、上界値更新処理を実行する。すなわち、上界値更新部４６は、直前の連続変数解算出処理により算出された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値を、直前の連続変数解算出処理で用いた主問題の目的関数に代入して混合整数計画問題の最適値（ｆ（ｘ^ｋ，ｙ^ｋ））を算出する。そして、上界値更新部４６は、算出した混合整数計画問題の最適値（ｆ（ｘ^ｋ，ｙ^ｋ））に基づき、混合整数計画問題の上界値であるＵＢＤを更新する。具体的には、ｋ回目の繰返処理において、上界値更新部４６は、式（１７）の演算を実行する。

【数17】

【0077】

続いて、Ｓ１０５において、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ＱＵＢＯ問題生成処理を実行する。すなわち、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、直前の連続変数解算出処理により算出された複数の連続変数のそれぞれの解の候補値、および、直前までの全ての連続変数解算出処理により算出された１または複数の最適乗数に基づき、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法で分解することにより得られる緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成する。

【0078】

式（１３）および式（１６）の緩和マスター問題は、１つの連続値である変数（μ_Ｂ）と、離散変数（ｙ）とを含む混合整数計画問題である。ＱＵＢＯ問題生成部４８は、このような式（１３）および式（１６）により表される混合整数計画問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成する。

【0079】

まず、式（１３）の混合整数計画問題は、式（１８）を最小とするｙの解を得る問題である。

【数18】

【0080】

式（１８）は、μ_Ｂの上端を表す。従って、式（１３）の混合整数計画問題は、μ_Ｂの上端を最小とするようなｙの解を得る問題である。

【0081】

μ_Ｂの上端を最小とするようなｙの解を得る問題は、式（１８）に含まれるＫ個の制約式であるＦ（ｙ）＝｛Ｆ_１（ｙ），Ｆ_２（ｙ），…，Ｆ_Ｋ（ｙ）｝の無限大ノルム、すなわち、最大値ノルムを、最小化する無限大ノルム最小化問題である。

【0082】

ここで、無限大ノルムは、ｐ－ノルムのｐ→∞としたときの極限と考えられる。そこで、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、式（１３）および式（１６）の問題を、無限大ノルムに代えて有限のｐ－ノルムを用いる問題に近似することにより、ＱＵＢＯ問題を生成する。本実施形態においては、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、緩和マスター問題における制約式を表す無限大ノルム最小化問題を、２－ノルム最小化問題に変換した問題を、ＱＵＢＯ問題として生成する。

【0083】

具体的には、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離できる場合、式（１９）に示すＱＢＵＯ問題を生成する。

【数19】

【0084】

例えば、式（１９）のｆ_２（ｙ）、ｈ_２（ｙ）およびｇ_２（ｙ）がｙの一次式である場合、式（１９）は、０－１変数の二次式により表され、且つ、制約式が無くなる。従って、この場合、式（１９）は、ＱＵＢＯ形式により表されている。すなわち、混合整数計画問題は、目的関数の複数の離散変数に関する項が一次関数であり、１または複数の制約式のそれぞれの複数の離散変数に関する項が一次方程式または一次不等式である。この場合、式（１９）は、ＱＵＢＯ形式により表される。

【0085】

なお、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、繰り返し毎に、式（１９）の目的関数に含まれる制約式の項を、１つずつ追加することにより問題を更新する。

【0086】

また、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離できない場合、式（２０）に示すＱＢＵＯ問題を生成する。

【数20】

【0087】

式（２０）のｆ（ｘ^ｋ，ｙ）、ｈ（ｘ^ｋ，ｙ）およびｇ（ｘ^ｋ，ｙ）がｙの一次式である場合、式（１９）は、０－１変数の二次式により表され、且つ、制約式が無くなる。従って、この場合、式（２０）は、ＱＵＢＯ形式により表される。

【0088】

なお、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、繰り返し毎に、式（２０）の目的関数に含まれる制約式の項を１つずつ追加することにより問題を更新する。

【0089】

このように、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、式（１９）または式（２０）に示す問題を生成することにより、緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成することができる。

【0090】

続いて、Ｓ１０６において、離散変数解取得部５０は、ＱＵＢＯ問題生成処理により生成されたＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に与える。例えば、離散変数解取得部５０は、式（１９）または式（２０）の問題をネットワークを介してイジングマシン３０に送信する。

【0091】

続いて、Ｓ１０７において、離散変数解取得部５０は、離散変数解取得処理を実行する。すなわち、離散変数解取得部５０は、イジングマシン３０から、ＱＵＢＯ問題の解を、複数の離散変数のそれぞれの解の候補値として取得する。具体的には、離散変数解取得部５０は、イジングマシン３０から、ｙ^ｋ＋１を取得する。

【0092】

続いて、Ｓ１０８において、下界値更新部５２は、下界値更新処理を実行する。すなわち、下界値更新部５２は、直前の離散変数解取得処理により取得された複数の離散変数のそれぞれの解の候補値に基づき、直前のＱＵＢＯ問題生成処理により生成したＱＵＢＯ問題の生成の元となる緩和マスター問題の最適値を算出し、算出した最適値に基づき緩和マスター問題の下界値であるＬＢＤを更新する。

【0093】

具体的には、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離可能である場合、下界値更新部５２は、式（１３）の２行目の緩和マスター問題の制約式の右辺にイジングマシン３０から取得したｙ^ｋ＋１を代入することにより、緩和マスター問題の最適値であるμ_Ｂを算出する。また、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ（ｘ，ｙ）およびｇ（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離可能ではない場合、下界値更新部５２は、式（１６）の２行目の緩和マスター問題の制約式の右辺にイジングマシン３０から取得したｙ^ｋ＋１を代入することにより、緩和マスター問題の最適値であるμ_Ｂを算出する。

【0094】

そして、下界値更新部５２は、緩和マスター問題の最適値であるμ_Ｂに基づき、式（２１）の演算を実行することにより、下界値であるＬＢＤを更新する。

【数21】

【0095】

続いて、Ｓ１０９において、判定部５４は、繰返処理の停止条件に達したか否かを判定する判定処理を実行する。具体的には、判定部５４は、式（２２）示すように、上界値と下界値との差が予め設定された許容誤差以下である場合に、停止条件に達したと判定する。

【数22】

【0096】

制御部５６は、停止条件に達しない場合（Ｓ１０９のＮｏ）、処理をＳ１１０に進める。停止条件に達した場合（Ｓ１０９のＹｅｓ）、制御部５６は、処理をＳ１１１に進める。

【0097】

Ｓ１１０において、制御部５６は、繰返回数を更新する。具体的には、制御部５６は、ｋに１を加算する。制御部５６は、Ｓ１１０の処理を終えると、処理をＳ１０３に戻す。このように、制御部５６は、繰返回数を変更しながら、連続変数解算出処理（Ｓ１０３）、上界値更新処理（Ｓ１０４）、ＱＵＢＯ問題生成処理（Ｓ１０５）、問題送信処理（Ｓ１０６）、離散変数解取得処理（Ｓ１０７）、下界値更新処理（Ｓ１０８）および判定処理（Ｓ１０９）を、繰り返して実行させる。

【0098】

Ｓ１１１において、出力部５８は、停止条件に達した場合、最後の連続変数算出処理（Ｓ１０３）で得られた複数の連続変数のそれぞれの解の候補値（ｘ^ｋ）、および、最後の離散変数取得処理（Ｓ１０７）で得られた複数の離散変数の解の候補値（ｙ^ｋ＋１）を、混合整数計画問題の解として出力する。

【0099】

（効果）
以上のような本実施形態に係る求解システム１０は、混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法における主問題と緩和マスター問題とに分解し、主問題と緩和マスター問題とを、交互に停止条件を満たすまで繰り返して解くことにより、解を算出する。この場合において、求解システム１０は、緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成し、生成したＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に解かせる。これにより、求解システム１０は、混合整数計画問題の解を高速に算出することができる。

【0100】

（第２実施形態）
つぎに、第２実施形態に係る求解システム１０について説明する。第２実施形態に係る求解システム１０は、第１実施形態に係る求解システム１０と略同一の機能および構成を有する。従って、第２実施形態に係る求解システム１０の説明については、第１実施形態と同一の内容については詳細な説明を省略して、相違点を中心に説明をする。

【0101】

第２実施形態に係る求解システム１０による求解の対象となる混合整数計画問題は、１または複数の制約式に、連続変数のみを含む制約式および離散変数のみを含む制約式をすくむ問題である。

【0102】

例えば、式（１）に示す混合整数計画問題における１または複数の制約式に、離散変数のみを含む制約式が含まれている場合、情報処理装置２０は、主問題を解いて離散変数のみを含む制約式を扱うことができない。このため、主問題を解いても、離散変数のみを含む制約式に対応する最適乗数を得ることができない。従って、このような混合整数計画問題は、緩和マスター問題が式（１３）または式（１６）のように表されない。

【0103】

連続変数のみを含む制約式と離散変数のみを含む制約式を含む混合整数計画問題は、式（２３）のように表される。

【数23】

【0104】

ｈ_０（ｘ，ｙ）は、連続変数および離散変数の両方を含む等式制約を表し、ｍ_０次元の方程式である。Ｈ_１（ｘ）は、連続変数のみを含む等式制約を表し、ｍ_１次元の方程式である。Ｈ_２（ｙ）は、離散変数のみを含む等式制約を表し、ｍ_２次元の方程式である。ｇ_０（ｘ，ｙ）は、連続変数および離散変数の両方を含む不等式制約を表し、ｐ_０次元の方程式である。Ｇ_１（ｘ）は、連続変数のみを含む不等式制約を表し、ｐ_１次元の方程式である。Ｇ_２（ｙ）は、離散変数のみを含む不等式制約を表し、ｐ_２次元の方程式である。なお、ｍ_０、ｍ_１、ｍ_２、ｐ_０、ｐ_１およびｐ_２のそれぞれは、０以上の整数である。また、ｍ_１＋ｍ_２＋ｐ_１＋ｐ_２は、１以上の整数となる。

【0105】

混合整数計画問題が式（２３）のように表される場合、第２実施形態に係る情報処理装置２０は、離散変数のみを含む制約式については、主問題に含めない。従って、主問題は、式（２４）のように表される。

【数24】

【0106】

また、混合整数計画問題が式（２３）のように表される場合、第２実施形態に係る情報処理装置２０は、連続変数のみを含む制約式については、緩和マスター問題に含めない。従って、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ_０（ｘ，ｙ）およびｇ_０（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離可能である場合、緩和マスター問題は、式（２５）のように表される。

【数25】

【0107】

λ^ｋは、等式制約であるｈ_０（ｘ，ｙ^ｋ）＝０に対応するｍ_０次元の最適乗数を含むベクトルである。μ^ｋは、不等式制約であるｇ_０（ｘ，ｙ^ｋ）≦０に対応するｐ_０次元の最適乗数を含むベクトルである。なお、ｈ_０（ｘ，ｙ）およびｇ_０（ｘ，ｙ）は、線形分離可能である場合、式（２６）のように表される。

【数26】

【0108】

また、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ_０（ｘ，ｙ）およびｇ_０（ｘ，ｙ）のそれぞれがｘとｙとについて線形分離可能ではない場合、緩和マスター問題は、式（２７）のように表される。

【数27】

【0109】

ここで、第２実施形態に係るＱＵＢＯ問題生成部４８は、１または複数の制約式のうち離散変数のみを含む制約式を、非特許文献２に示されたペナルティ関数に変換して緩和マスター問題の目的関数に組み込む。

【0110】

等式制約式の場合、ペナルティ関数は、対応する制約式を満たした場合に０となり、対応する制約式を満たさない場合には、正の実数となる関数である。例えば、制約式が、左辺に離散変数の関数、右辺に０が記述された等式制約式である場合、ペナルティ関数は、対応する等式制約式における左辺の関数を二乗した関数であってよい。

【0111】

また、不等式制約式の場合、ペナルティ関数は、対応する不等式制約式が０または１を表す新規変数を用いて代替等式制約式に変換され、代替等式制約式を満たした場合に０となり、代替等式制約式を満たさない場合には、正の実数となる関数である。

【0112】

例えば、第２実施形態に係るＱＵＢＯ問題生成部４８は、ｆ（ｘ，ｙ）、ｈ_０（ｘ，ｙ）およびｇ_０（ｘ，ｙ）が線形分離可能である場合、式（２８）に示すような緩和マスター問題を生成する。

【数28】

【0113】

ｚ_ｒｉは、Ｒ_ｉ次元の０または１を表す新規変数ベクトルである。なお、ｚ_ｒｉは、ｚに対して、ｒ_ｉの下付文字が付加された変数である。Ｇ_２ｒｉは、ｚ_ｒｉ＝１に対応するＧ_２ｉ（ｙ）がとる値である。なお、Ｇ_２ｒｉは、Ｇ_２に対してｒ_ｉの下付文字が付加された変数である。ＡおよびＢは、係数を表す。

【0114】

式（２７）のｉ番目の不等式制約Ｇ_２ｉ（ｙ）≦０において、ｙ∈Ｙ＝｛０，１｝^ｑのすべての組み合わせに対してＧ_２ｉ（ｙ）の値は２^ｑ通り存在し、重複を除くとＲ_ｉ≦２^ｑ通り存在するものとすると、それぞれに対応した０－１変数ｚ_ｒｉ（ｒ_ｉ＝１，２，．．．，Ｒ_ｉ）と、Ｇ_２ｉ（ｙ）の値Ｇ_２ｒｉが定まり、Ｇ_２ｒｉｚ_ｒｉ＝Ｇ_２ｉ（ｙ）となるｚ_ｒｉ＝１が一つだけ決まるようにできる。従って、式（２７）のｉ番目の不等式制約Ｇ_２ｉ（ｙ）≦０は、Σｚ_ｒｉ＝１かつΣＧ_２ｒｉｚ_ｒｉ＝Ｇ_２ｉ（ｙ）と等式制約で表現できる。

【0115】

シグマのカッコ内の第２項であるＡが乗じられた項は、等式制約に関するペナルティ関数である。この第２項は、等式制約式を満たした場合に０となり、等式制約を満たさない場合に正の実数となる関数である。Ａは、係数である。等式制約式を満たし場合には、Ａが十分に大きくても、第２項は０となる。従って、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、Ａを十分に大きくすることにより、精度の良い解を得ることができる緩和マスター問題を生成することができる。

【0116】

シグマのカッコ内の第３項であるＢが乗じられた項は、不等式制約に関するペナルティ関数である。この第３項は、不等式制約式を満たした場合に０となり、不等式制約を満たさない場合に正の実数となる関数である。Ｂは、係数である。不等式制約式を満たし場合には、Ｂが十分に大きくても、第３項は０となる。従って、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、Ｂを十分に大きくすることにより、精度の良い解を得ることができる緩和マスター問題を生成することができる。

【0117】

また、シグマのカッコ内の第１項は、式（１３）の緩和マスター問題と同様である。式（２８）のシグマのカッコ内の第１項は、式（１３）の緩和マスター問題と同様に、繰り返し処理毎に制約式に対応する項が１つずつ増加する。

【0118】

そして、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、このようにペナルティ関数を組み込んだ緩和マスター問題を変換したＱＵＢＯ問題を生成する。例えば、ｆ_２（ｙ）、ｈ_２（ｙ）、ｇ_２（ｙ）、Ｈ_２（ｙ）およびＧ_２（ｙ）がｙの一次関数である場合、式（２８）の目的関数は、ｙの２次式により表される。従って、この場合、式（２８）は、ＱＵＢＯ形式により表される問題となる。従って、この場合、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、このようにペナルティ関数を組み込んだ緩和マスター問題を、ＱＵＢＯ問題として生成する。

【0119】

ＱＵＢＯ問題生成部４８は、式（２７）に示す緩和マスター問題についても同様にペナルティ関数を組み込み、ＱＵＢＯ問題を生成することが可能である。

【0120】

このように、第２実施形態に係るＱＵＢＯ問題生成部４８は、ＱＵＢＯ問題生成処理において、１または複数の制約式のうち複数の離散変数のうちの何れかを変数として含む制約式を、制約式を満たした場合に０となり、制約式を満たさない場合には、正の実数となるペナルティ関数として、緩和マスター問題の目的関数に組み込む。そして、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ペナルティ関数を組み込んだ緩和マスター問題を変換したＱＵＢＯ問題を生成する。

【0121】

さらに、この場合において、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ＱＵＢＯ問題生成処理において、１または複数の制約式のうち複数の離散変数のうちの何れかを変数として含む不等制約式を、０または１を表す新規変数を用いて等式制約式に変換して、ペナルティ関数として緩和マスター問題に組み込む。ＱＵＢＯ問題生成部４８は、このようなペナルティ関数を組み込んだ緩和マスター問題を変換したＱＵＢＯ問題を生成する。

【0122】

第２実施形態に係る情報処理装置２０は、ＱＵＢＯ問題生成部４８によるＱＵＢＯ問題生成処理の内容が変更されたものであり、他の構成および処理は第１実施形態と同様である。従って、第２実施形態に係る情報処理装置２０は、第１実施形態と同様の流れで処理を実行することにより、連続変数のみを含む制約式と離散変数のみを含む制約式を含む混合整数計画問題の解を算出することができる。

【0123】

以上のような本実施形態に係る求解システム１０は、連続変数のみを含む制約式と離散変数のみを含む制約式を含む混合整数計画問題を一般化ベンダーズ分解法における主問題と緩和マスター問題とに分解し、主問題と緩和マスター問題とを、交互に停止条件を満たすまで繰り返して解くことにより、解を算出する。この場合において、求解システム１０は、緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成し、生成したＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に解かせる。これにより、求解システム１０は、混合整数計画問題の解を高速に算出することができる。

【0124】

（第３実施形態）
つぎに、第３実施形態に係る求解システム１０について説明する。第３実施形態に係る求解システム１０は、第１実施形態に係る求解システム１０と略同一の機能および構成を有する。従って、第３実施形態に係る求解システム１０の説明については、第１実施形態と同一の内容については詳細な説明を省略して、相違点を中心に説明をする。

【0125】

第３実施形態に係る求解システム１０による求解の対象となる混合整数計画問題は、発電計画問題である。発電計画問題は、複数の発電機のそれぞれの運転状態または運転停止状態を、電力需要を満たすように、発電機に対して設定された制約の下で決定する問題である。例えば、発電計画問題は、目的関数として、燃料コストと起動コストとを含む発電コストを表す関数を用いる。また、発電計画問題は、制約条件として、電力の需給バランスと、予備力制約と、発電機の最大出力、発電機の最小出力、および、最小停止時間とを含む。

【0126】

具体的には、発電計画問題は、式（２９）のように表される。

【数29】

【0127】

（インデックス）
ｔは、時刻を表すインデックスである。ｔは、１以上の整数である。
ｔｔは、時刻を表すインデックスである。ｔｔは、１以上の整数である。
ｉは、発電機を表すインデックスである。ｉは、１以上の整数である。

【0128】

（変数）
Ｐ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、ｉ番目の発電機の発電出力を表す変数である。Ｐ_ｉ（ｔ）は、連続変数である。
Ｕ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、ｉ番目の発電機の運転状態か運転停止状態かを表す変数である。Ｕ_ｉ（ｔ）は、０が運転停止状態を表し、１が運転状態を表す。
Ｓ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、ｉ番目の発電機がスタートアップ状態か否かを表す変数である。Ｓ_ｉ（ｔ）は、１がスタートアップ状態を表し、０がスタートアップ以外の状態を表す。
Ｄ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、ｉ番目の発電機がシャットダウン状態か否かを表す変数である。Ｄ_ｉ（ｔ）は、１がシャットダウン状態を表し、０がシャットダウン以外の状態を表す。

【0129】

（パラメータ）
Ｔは、２以上の整数であり、予め設定された計画期間である。
ｎは、２以上の整数であり、発電機の個数である。
ａ_ｉは、Ｐ_ｉ（ｔ）の２次関数であるｉ番目の発電機の燃料コストを表す燃料コスト関数における、２次項に乗算される係数である。
ｂ_ｉは、ｉ番目の発電機の燃料コスト関数における、１次項に乗算される係数である。
ｃ_ｉは、ｉ番目の発電機が運転状態の場合に定常的に消費される燃料コストであり、ｉ番目の発電機の燃料コスト関数における定数項である。
ｓ_ｉは、ｉ番目の発電機の起動コストである。
Ｄｅｍ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、系統全体の電力需要である。
Ｐｍａｘ_ｉは、ｉ番目の発電機の最大の発電出力である。
Ｐｍｉｎ_ｉは、ｉ番目の発電機の最小の発電出力である。
ｒは、必要予備率である。
ｍｄｔ_ｉは、ｉ番目の発電機の最小の停止時間である。

【0130】

以上のような発電計画問題の主問題は、式（３０）のように表される。

【数30】

【0131】

ｋは、繰返回数を表すインデックスである。
Ｕ_ｉ（ｔ）^ｋは、ｋ回目の繰返処理において取得されたＵ_ｉ（ｔ）の候補値（０または１）である。
Ｓ_ｉ（ｔ）^ｋは、ｋ回目の繰返処理において取得されたＳ_ｉ（ｔ）の候補値（０または１）である。

【0132】

式（３０）により表される主問題は、発電計画問題において、発電機の運転状態または運転停止状態を表す変数を固定した、経済負荷配分問題と呼ばれる問題になっている。従って、連続変数解算出部４４は、式（３０）に示す主問題を二次計画法のアルゴリズムにより容易に解くことができる。

【0133】

また、以上のような発電計画問題の緩和マスター問題は、式（３１）のように表される。

【数31】

【0134】

Ｋは、最後の繰返回数を表す。
μ_Ｂは、０より大きい連続変数であり、実行可能な主問題のラグランジュ関数の最小の上界値を表す。
μ_ｉ（ｔ）^ｋは、主問題のｉ番目の発電機の最小の発電出力の制約に対する、ｋ回目の繰返回数におけるラグランジュ乗数（最適乗数）を表す。
ｖ_ｉ（ｔ）^ｋは、主問題のｉ番目の発電機の最大の発電出力の制約に対する、ｋ回目の繰返回数におけるラグランジュ乗数（最適乗数）を表す。
Ｌ^ｋは、式（３２）のように表され、主問題の目的関数値と一致する。

【数32】

【0135】

式（３１）の緩和マスター問題をＱＵＢＯ問題に変換することを考える。式（３１）の２行目に記述された第１制約式は、この第１制約式の右辺の無限大ノルムを最小化することを意味する。従って、式（３１）の２行目に記述された第１制約式は、２-ノルムを最小化する問題に近似可能である。

【0136】

また、式（３１）の３行目に記述された第２制約式は、不等式制約であるので、０または１を表す新規変数を導入して代替等式制約式に変換することが可能である。例えば、第２制約式は、０または１を表すＲ_ｊ（ｔ）を新規変数として導入することにより、代替等式制約式に変換することが可能である。

【0137】

図４は、発電計画問題に含まれる不等式制約を等式制約に変換するための概念を説明するための図である。

【0138】

例えば、発電出力が１０ＭＷ、２０ＭＷ、３０ＭＷの３個の発電機の最大出力の合計が、２５ＭＷ以上となる制約を等式制約で表現することを考える。なお、ここでは、１つの時間断面について考え、ｔを省略する。

【0139】

３個の発電機における運転状態または運転停止状態の組み合わせは、全部で、２^３＝８通りである。しかし、３個の発電機の最大出力の合計である供給力は、図４の通り、１０ＭＷ、２０ＭＷ、３０ＭＷ、４０ＭＷ、５０ＭＷおよび６０ＭＷの６通りである。これは、供給力が３０ＭＷとなる場合の運転状態または運転停止状態の組み合わせが、２通り存在するためのである。

【0140】

発電機の運転状態または運転停止状態を表す離散変数であるＵ_１、Ｕ_２およびＵ_３とは別に、供給力の取り得る全てに対応する０または１を表す新規変数であるＲ_ｊを定義する。ここでは、Ｒ_１は、最大の供給力が１０ＭＷの状態であることを表す。Ｒ_２は、最大の供給力が２０ＭＷの状態であることを表す。Ｒ_３は、最大の供給力が３０ＭＷの状態であることを表す。Ｒ_４は、最大の供給力が４０ＭＷの状態であることを表す。Ｒ_５は、最大の供給力が５０ＭＷの状態であることを表す。Ｒ_６は、最大の供給力が６０ＭＷ最大であることを表す。

【0141】

この場合、供給力が２５ＭＷ以上である、という制約条件は、Ｒ_３、Ｒ_４、Ｒ_５およびＲ_６のうちの何れか１つが１となり、他は０となる、という式により表すことができる。従って、発電出力が１０ＭＷ、２０ＭＷ、３０ＭＷの３個の発電機の最大出力の合計が、２５ＭＷ以上となる等式制約は、式（３３）により表される。

【数33】

【0142】

なお、Ｃａｐ_３は、３０ＭＷを表す。Ｃａｐ_４は、４０ＭＷを表す。Ｃａｐ_５は、５０ＭＷを表す。Ｃａｐ_６は、６０ＭＷを表す。

【0143】

このような変換を発電計画問題に適用した場合、式（３１）の３行目に記述された第２制約式は、式（３４）により表される。

【数34】

【0144】

ｊは、供給力の状態を表すインデックスである。ｊは、１以上の整数である。
Ｊは、供給力の状態の個数を表し、予め定められた２以上の整数である。
Ｒ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、供給力がｊ番目の状態を取るか否かを表す。Ｒ_ｉ（ｔ）は、１が供給力がｊ番目の状態をとることを表し、０が供給力がｊ番目の状態を取らないことを表す。
Ｊ_０（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、不等式制約を満たす最小の供給力の状態を表すインデックスである。
Ｃａｐ_ｊは、ｊ番目の状態における供給力を表す。

【0145】

また、式（３１）の４行目に記述された第３制約式も、不等式制約である。第３制約式は、左辺および右辺のいずれも０または１を取る制約式である。従って、第３制約式は、０または１を取る新たなスラック変数を導入して代替等式制約式に変換することが可能である。例えば、第３制約式は、０または１を表すＹ_ｉ（ｔ）を新規のスラック変数として導入することにより、代替等式制約式に変換することが可能である。

【0146】

具体的には、第３制約式は、式（３５）に表されるような代替等式制約式に変換することが可能である。

【数35】

【0147】

Ｙ_ｉ（ｔ）は、時刻がｔのときにおける、ｉ番目の発電機に関するスラック変数である。Ｙ_ｉ（ｔ）は、０または１を表す。

【0148】

以上のように、式（２９）に示す発電計画問題の緩和マスター問題に含まれる不等式制約は、等式制約に変換可能である。従って、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ＱＵＢＯ問題生成処理において、制約式をペナルティ関数として緩和マスター問題に組み込むことができる。そして、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、このようなペナルティ関数を組み込んだ緩和マスター問題を変換したＱＵＢＯ問題を生成することができる。

【0149】

具体的には、第３実施形態において、ＱＵＢＯ問題生成部４８は、ＱＵＢＯ問題生成処理において、式（３６）に示すＱＵＢＯ問題を生成する。

【数36】

【0150】

ここで、Ｈ_ｏｂｊは、式（３７）により表される。Ｈ_Ｃ２０は、式（３８）により表される。Ｈ_Ｃ２は、式（３９）により表される。Ｈ_Ｃ４は、式（４０）により表される。Ｈ_Ｃ５は、式（４１）により表される。

【数37】

【0151】

【数38】

【0152】

【数39】

【0153】

【数40】

【0154】

【数41】

【0155】

なお、ｗ２０、ｗ２、ｗ４およびｗ５のそれぞれは、制約項に乗じられる係数である。

【0156】

以上のような本実施形態に係る求解システム１０は、電力計画問題を一般化ベンダーズ分解法における主問題と緩和マスター問題とに分解し、主問題と緩和マスター問題とを交互に停止条件を満たすまで繰り返して解くことにより、解を算出する。この場合において、求解システム１０は、電力計画問題の緩和マスター問題をＱＵＢＯ形式で表される問題に変換したＱＵＢＯ問題を生成し、生成したＱＵＢＯ問題をイジングマシン３０に解かせる。これにより、求解システム１０は、電力計画問題の解を高速に算出することができる。

【0157】

（ハードウェア構成）
図５は、情報処理装置２０のハードウェア構成を示す図である。情報処理装置２０は、例えば図５に示すようなハードウェア構成のコンピュータにより実現される。情報処理装置２０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）２０１と、ＲＡＭ（Random Access Memory）２０２と、ＲＯＭ（Read Only Memory）２０３と、操作入力装置２０４と、記憶装置２０６と、通信装置２０７とを備える。そして、これらの各部は、バスにより接続される。

【0158】

ＣＰＵ２０１は、プログラムに従って演算処理および制御処理等を実行するプロセッサである。ＣＰＵ２０１は、ＲＡＭ２０２の所定領域を作業領域として、ＲＯＭ２０３および記憶装置２０６等に記憶されたプログラムとの協働により各種処理を実行する。

【0159】

ＲＡＭ２０２は、ＳＤＲＡＭ（Synchronous Dynamic Random Access Memory）等のメモリである。ＲＡＭ２０２は、ＣＰＵ２０１の作業領域として機能する。ＲＯＭ２０３は、プログラムおよび各種情報を書き換え不可能に記憶するメモリである。

【0160】

操作入力装置２０４は、マウスおよびキーボード等の入力デバイスである。操作入力装置２０４は、ユーザから操作入力された情報を指示信号として受け付け、指示信号をＣＰＵ２０１に出力する。

【0161】

記憶装置２０６は、フラッシュメモリ等の半導体による記憶媒体、または、磁気的若しくは光学的に記録可能な記憶媒体等にデータを書き込みおよび読み出しをする装置である。記憶装置２０６は、ＣＰＵ２０１からの制御に応じて、記憶媒体にデータの書き込みおよび読み出しをする。通信装置２０７は、ＣＰＵ２０１からの制御に応じて外部の機器とネットワークを介して通信する。

【0162】

情報処理装置２０で実行されるプログラムは、入力モジュールと、連続変数解算出モジュールと、上界値更新モジュールと、ＱＵＢＯ問題生成モジュールと、離散変数解取得モジュールと、下界値更新モジュールと、判定モジュールと、制御モジュールと、出力モジュールと、を備える。このプログラムは、ＣＰＵ２０１（プロセッサ）によりＲＡＭ２０２上に展開して実行されることにより、情報処理装置２０を、入力部４２、連続変数解算出部４４、上界値更新部４６、ＱＵＢＯ問題生成部４８、離散変数解取得部５０、下界値更新部５２、判定部５４、制御部５６および出力部５８として機能させる。

【0163】

また、情報処理装置２０で実行されるプログラムは、コンピュータにインストール可能な形式または実行可能な形式のファイルで、ＣＤ－ＲＯＭ、フレキシブルディスク、ＣＤ－Ｒ、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録されて提供される。

【0164】

また、情報処理装置２０で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成してもよい。また、情報処理装置２０で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成してもよい。また、情報処理装置２０で実行されるプログラムを、ＲＯＭ２０３等に予め組み込んで提供するように構成してもよい。

【0165】

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。

【符号の説明】

【0166】

１０ 求解システム
２０ 情報処理装置
３０ イジングマシン
４２ 入力部
４４ 連続変数解算出部
４６ 上界値更新部
４８ ＱＵＢＯ問題生成部
５０ 離散変数解取得部
５２ 下界値更新部
５４ 判定部
５６ 制御部
５８ 出力部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】