特許 5959661 ｎ乗根の数値アルゴリズム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】5959661

(24)【登録日】2016年7月1日

(45)【発行日】2016年8月2日

(54)【発明の名称】ｎ乗根の数値アルゴリズム

(51)【国際特許分類】

   G06F 7/552 20060101AFI20160719BHJP

【ＦＩ】

   G06F7/552 B

【請求項の数】2

【全頁数】17

(21)【出願番号】特願2014-540563(P2014-540563)

(86)(22)【出願日】2011年11月11日

(65)【公表番号】特表2015-501966(P2015-501966A)

(43)【公表日】2015年1月19日

(86)【国際出願番号】IB2011002671

(87)【国際公開番号】WO2013068777

(87)【国際公開日】20130516

【審査請求日】2014年9月5日

【新規性喪失の例外の表示】特許法第３０条第１項適用 Ｎａｔａｒａｊａｎ Ｍｕｒｕｇｅｓａｎ，Ａ．Ｍ．Ｓ．Ｒａｍａｓａｍｙ，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｖｏｌ．７， Ｎｏ．１， ２０１１年５月２０日

(73)【特許権者】

【識別番号】514116866

【氏名又は名称】ナタラジャン ムルゲサン

(74)【代理人】

【識別番号】100118913

【弁理士】

【氏名又は名称】上田 邦生

(74)【代理人】

【識別番号】100112737

【弁理士】

【氏名又は名称】藤田 考晴

(74)【代理人】

【識別番号】100136168

【弁理士】

【氏名又は名称】川上 美紀

(72)【発明者】

【氏名】ナタラジャン ムルゲサン

(72)【発明者】

【氏名】ラマサミー アイヤトゥライ

【審査官】 片岡 利延

(56)【参考文献】

【文献】 Natarajan Murugesan, A.M.S. Ramasamy，A numerical algorithm for nth root，[online]，２０１１年 ５月２０日，ＵＲＬ，http://www.mjfas.utm.my/index.php/mjfas/article/view/207/465

(58)【調査した分野】（Int.Cl.，ＤＢ名）

Ｇ０６Ｆ ７／５５２

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

正の実数Ｍのｎ乗根であって１０^ｋ−１ａ_ｋ＋１０^ｋ−２ａ_ｋ−１＋…＋ａ_１で表されるｎ乗根を求める計算機であって、
前記ｎ乗根の桁数ｋを決定する第１の手段と、
前記ｎ乗根の１０^ｋ−１の位の値ａ_ｋを決定する第２の手段と、
前記ｎ乗根の１０^ｋ−２の位の値ａ_ｋ−１を決定する第３の手段と、
前記ｎ乗根の１０^ｉ−１の位の値ａ_ｉを、ｉをｋ−２から１まで１ずつデクリメントしながら順番に決定する第４の手段とを備え、
前記第１の手段が、前記実数Ｍを一の位から開始してサイズｎのブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以下）に分割し、ブロックの総数を前記ｎ乗根の桁数ｋに決定し、
前記第２の手段が、ｋ個の前記ブロックの内、前記左端のブロックの数字Ｂ_ｋを得て、ａ_ｋ^ｎ≦Ｂ_ｋを満足する最大の値ａ_ｋ（１≦ａ_ｋ≦９）を決定し、
前記第３の手段が、実数Ｍ_ｋ−１＝Ｍ−１０^{（ｋ−１）ｎ}ａ_ｋ^ｎを定義し、実数Ｍ_ｋ−１を一の位から開始してサイズｎを有する（ｋ−２）個のブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以上）に分割し、前記左端のブロックの数字Ｂ_ｋ−１（Ｍ_ｋ−１）を得て、下式（１）および（２）に基づいてＶ_ｋ−１Ｔ_ｋ−１≦Ｂ_ｋ−１（Ｍ_ｋ−１）を満足する最大の値Ｖ_ｋ−１（０≦Ｖ_ｋ−１≦９）を値ａ_ｋ−１として決定し、
前記第４の手段が、実数Ｍ_ｉ＝Ｍ_ｉ＋１−１０^ｉ×ｎＶ_ｉ＋１Ｔ_ｉ＋１を定義し、実数Ｍ_ｉを一の位から開始してサイズｎを有する（ｉ−１）個のブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以上）に分割し、前記左端のブロックの数字Ｂ_ｉ（Ｍ_ｉ）を得て、下式（１）および（２）に基づいてＶ_ｉＴ_ｉ＜Ｂ_ｉ（Ｍ_ｉ）を満足する最大の値Ｖ_ｉ（０≦Ｖ_ｋ−１≦９）を値ａ_ｉとして決定する（ただし、下式（１）および（２）において、ｋ−１＝ｉとする。）計算機。

【数1】

【請求項2】

前記第１の手段が、前記実数Ｍに１０^ｈｎを乗算し、乗算後の実数Ｍ×１０^ｈｎの整数部分を前記サイズｎのブロック（ただし、左端のブロックのサイズはｎ以下）に分割し、
前記第１の手段、第２の手段、第３の手段および第４の手段によって得られた実数Ｍ×１０^ｈｎのｎ乗根の整数部分である１０^ｋ−１ａ_ｋ＋１０^ｋ−２ａ_ｋ−１＋…＋ａ_１を１０^ｈで除算して、正の実数Ｍのｎ乗根を小数点以下第ｈ位まで計算する第５の手段を備える請求項１に記載の計算機。

【発明の詳細な説明】

【背景技術】

【0001】

１．緒言
ｎを１より大きい任意の自然数とする。現在、所与の正の実数に関して正の実数のｎ乗根を求めるのに、いくつかの方法が利用可能である。歴史的に言えば、紀元前１８００年に、ある数の平方根を開平するバビロニアン・メソッド（Ｂａｂｙｌｏｎｉａｎ ｍｅｔｈｏｄ）が開発された。根の評価は、Ｎａｐｉｅｒが導入した対数の概念を適用して行うことができる（非特許文献１参照）。ただし、対数法では、切り捨て誤差があるため、正確な結果が得られない。確認されているのは、従来の長除開平法（ｌｏｎｇ−ｄｉｖｉｓｉｏｎ ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ｍｅｔｈｏｄ）が正確である、ということである。ある数の平方根を求めるアルゴリズムとしては、Ｒ．Ｇ．Ｄｒｏｍｅｙが発表したものがある（非特許文献２参照）。有理数による２次無理数の近似およびペル方程式の適用による平方根の開平に関しては、ＮｉｖｅｎおよびＺｕｃｋｅｒｍａｎによる非特許文献３を参照可能である。また、所与の数の立方根や４乗根等の決定に関しては、たとえばニュートン法等の適当な数値的方法を採用可能である。ｎ乗根の決定は、１変数の非線形方程式を解くことに帰着し、それに利用可能な各種方法は、直接解析法、図式法、試行錯誤法、反復法等に分類可能である。Ｇｏｗｅｒは、根を決定するための反復法を発表している（非特許文献４参照）。二分法、挟み撃ち法、テイラー級数法、ニュートン・ラプソン法、ミュラー法等の反復法に関しては、ＢｕｒｄｅｎおよびＦａｉｒｅｓによる非特許文献５を参照可能である。これらの方法を利用してｎ乗根を開平する場合には、たとえば最初に推測する必要があったり、膨大な算術演算が必要であったり、反復ステップを複数回行って収束させる必要があったりと、それぞれ固有の欠点がいくつかある。たとえば、ニュートン・ラプソン法においては、予め推測した値が必要であり、この最初の推測が正確な根と大きく異なる場合には、反復法が収束しないこともある。Ｍａｔｔｈｅｗｓは、正の整数のｎ乗根の計算について論じている（非特許文献６参照）。また、Ｐｒｉｅｓｔｌｅｙは、ｎ乗根の開平におけるニュートン法を実証している（非特許文献７参照）。さらに、ＭｕｅｎｃｈおよびＷｉｌｄｅｎｂｅｒｇは、対数を用いて５関数計算機により根を求めるアルゴリズムを提供している（非特許文献８参照）。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0002】

【非特許文献1】（ａ）Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，Ｍｉｒｉｆｉｃｉ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｏｒｕｍ Ｃａｎｏｎｉｓ Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏ（１６１４） ａｎｄ Ｅ．Ｗｒｉｇｈｔ（Ｅｎｇｌｉｓｈ Ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ Ｌａｔｉｎ），Ａ Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ａｄｍｉｒａｂｌｅ Ｔａｂｌｅ ｏｆ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ（１６１６）、（ｂ）Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ（１９６９），Ａ Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ａｄｍｉｒａｂｌｅ Ｔａｂｌｅ ｏｆ Ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ，Ｌｏｎｄｏｎ １６１６，Ａｍｓｔｅｒｄａｍ；Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，Ｎ．Ｙ．：Ｔｈｅａｔｒｕｍ Ｏｒｂｉｓ Ｔｅｒｒａｒｕｍ；Ｄａ Ｃａｐｏ Ｐｒｅｓｓ

【非特許文献2】Ｒ．Ｇ．Ｄｒｏｍｅｙ，Ｈｏｗ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｉｔ ｂｙ ｃｏｍｐｕｔｅｒ，Ｐｅａｒｓｏｎ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｎｅｗ Ｄｅｌｈｉ，２００８

【非特許文献3】Ｉ．Ｎｉｖｅｎ ａｎｄ Ｈ．Ｚｕｃｋｅｒｍａｎ，Ａｎ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｎｕｍｂｅｒｓ，Ｗｉｌｅｙ Ｓｔｕｄｅｎｔ Ｅｄｉｔｉｏｎ，Ｎｅｗ Ｄｅｌｈｉ，１９９１

【非特許文献4】Ｊ．Ｇｏｗｅｒ，Ａ ｎｏｔｅ ｏｎ ａｎ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｒｏｏｔ ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎ，Ｔｈｅ Ｃｏｍｐｕｔｅ Ｊ．，１（３）（１９５８），１４２−１４３

【非特許文献5】Ｒ．Ｂｕｒｄｅｎ ａｎｄ Ｄ．Ｆａｉｒｅｓ，Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｔｈｏｍｓｏｎ Ａｓｉａ，Ｂａｎｇａｌｏｒｅ，２００５

【非特許文献6】Ｋ．Ｍａｔｔｈｅｗｓ，Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｔｈ ｒｏｏｔｓ，Ｔｈｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｍａｔｈ．Ｊ．，１９（１９８８），１７４−１７６

【非特許文献7】Ｗ．Ｐｒｉｅｓｔｌｅｙ，Ｆｒｏｍ ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔｓ ｔｏ ｎｔｈ ｒｏｏｔｓ，Ｎｅｗｔｏｎ’ｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｄｉｓｇｕｉｓｅ，Ｔｈｅ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｍａｔｈ．Ｊ．，３０：５（１９９９），３８７−３８８

【非特許文献8】Ｄ．Ｍｕｅｎｃｈ ａｎｄ Ｇ．Ｗｉｌｄｅｎｂｅｒｇ，Ａ ｌｏｇａｒｉｔｈｍ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ａ ｆｉｖｅ−ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌａｔｏｒ，Ｔｈｅ Ｔｗｏ−ｙｅａｒ Ｃｏｌｌｅｇｅ Ｍａｔｈ．Ｊ．，１４（４）（１９８３），３２４−３２６

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0003】

ただし、所与の数のｎ乗根を開平するための直接解析法は存在しない。ｎ乗根を求めるアルゴリズムの開発は、依然として興味深く、挑戦的な課題である。既存方法の欠点を抑えるには、効率的な新しい方法を開発する必要が大いにある。このような背景において、本発明は、３つの関数Ｕ_ｉ、Ｖ_ｉ、およびＴ_ｉを導入し、これらの関係を構築することによって、所与の正の実数に関して正の実数のｎ乗根を任意の所望精度で一桁ごとに決定する計算が簡単な数値アルゴリズムに焦点を当てている。

【発明を実施するための形態】

【0004】

２．累乗法による桁数
まず、当該アルゴリズムの基本結果が必要である。ＮおよびＷをそれぞれ、自然数および整数の集合とする。また、αをｋ桁

【0005】

【数1】

【0006】

の所与の正の整数とする。ここで、αをｎ乗する際の桁数について考える。

【0007】

定理１
ｍをα^ｎの桁数とすると、以下が成立する。

【0008】

【数2.1】

【0009】

証明
ケース（ｉ）まず、ｎ＝２について考える。ｋ＝１の場合は、以下が成立する。

【0010】

【数2.2】

【0011】

ｋ＞１の場合は、以下が成立する。

【0012】

【数2.3】

【0013】

また、２ｋ−１≦ｍ≦２ｋである。但し、

【0014】

【数2.4】

【0015】

数式（２．２）、（２．３）、および（２．４）は、数式（２．１）がｎ＝２の場合に有効であることを意味する。

【0016】

ケース（ｉｉ）次に、ｎ＞２とする。ｋ＝１の場合は、α＜１０またはα^ｎ＜１０^ｎである。これは、α^ｎが最大ｎ桁であることを意味する。
したがって、以下が成立する。

【0017】

【数2.5】

【0018】

ｋ桁（ｋ＞１）の数αについて考える。この場合は、１０^ｋ−１≦α＜１０^ｋが成立する。よって、１０^{（ｋ−１）ｎ}≦α^ｎ＜１０^ｋｎとなる。これは、以下を意味する。

【0019】

【数2.6】

【0020】

よって、数式（２．５）および（２．６）は、数式（２．１）がｎ＞２の場合に有効であることを意味する。このように、上記定理は、ｎ、ｋ∈Ｎのすべての値に関して有効である。

【0021】

３．数値アルゴリズム
所与の正の整数Ｍのｎ乗根を求めるものとする。まず、Ｍが正の整数のちょうどｎ乗である場合の方法を示す。一般的な場合については、第５項にて後述する。

【0022】

ステップ１
Ｍの一の位から開始して、それぞれサイズｎの可能最大数のブロックにＭの各桁を分割する。この過程で、Ｍの左端の桁が残った場合は、これらの桁で別のブロックを形成する。Ｍの各桁でこのように形成したブロックの総数をｋとする。この場合、定理１によって、Ｍの正の実数のｎ乗根は、ｋ桁から成り、たとえば一の位から順にａ_１、ａ_２、・・・、ａ_ｋとなる。
ＭをＭ（ｋ，ｎ）とすると、以下のように表される。

【0023】

【数3.1】

【0024】

ここで、Ｍ（ｋ，ｎ）の右側から各ブロックをＢ_１、Ｂ_２、・・・、Ｂ_ｋとする。Ｂ_ｉのサイズを｜Ｂ_ｉ｜とすると、以下のように表される。

【0025】

【数3.2】

【0026】

また、

【0027】

【数3.3】

【0028】

ａ_ｋ∈Ｎの可能最大値を以下のように決定する。

【0029】

【数3.4】

【0030】

ここで、

【0031】

【数3.5】

【0032】

ｋ＝１の場合は、Ｒ_ｋがＭ（ｋ，ｎ）の求めるべき正の実数のｎ乗根である。ｋ≠１の場合は、ステップ２に進む。

【0033】

ステップ２
次のブロックを形成する。

【0034】

【数3.6】

【0035】

Ｍ_ｋ−１を以下のように定義する。

【0036】

【数3.7】

【0037】

ここで、

【0038】

【数3.8】

【0039】

かつ

【0040】

【数3.9】

【0041】

とする。
Ｍ_ｋ−１の一の位から開始して、それぞれサイズｎの（ｋ−２）個のブロックにＭ_ｋ−１の各桁を分割するとともに、残ったＭ_ｋ−１の左端の桁で別のブロックを形成する。また、Ｍ_ｋ−１の左端のブロックをＢ_ｋ−１（Ｍ_ｋ−１）とする。この場合は、以下が成立する。

【0042】

【数3.10】

【0043】

ここで、Ｄ_ｋ・Ｂ_ｋ−１は、Ｄ_ｋとＢ_ｋ−１の連結（「・」で表す）と定義される。
また、

【0044】

【数3.11】

【0045】

と見なす。
Ｖ_ｋ−１∈Ｗの最大値を以下のように決定する。

【0046】

【数3.12】

【0047】

ここで、

【0048】

【数3.13】

【0049】

また、

【0050】

【数3.13a】

【0051】

は、ｎ個から一度にｒ個を選ぶ場合の組み合わせ数を表す。
ここで、

【0052】

【数3.14】

【0053】

とする。
Ｒ_ｋ−１＝Ｒ_ｋｏＶ_ｋ−１と定義すると、以下が成立する。

【0054】

【数3.15】

【0055】

ｋ＝２の場合は、Ｒ_ｋ−１が求めるべき根である。ｋ≠２の場合は、ステップ３に進む。

【0056】

ステップ３

【0057】

【数3.16】

【0058】

と定義する。
ステップ２の過程を繰り返す。ここで、Ｍ_ｋ−２は、（ｋ−２）個のブロックから成る。
数式（３．１１）および（３．１２）と同様の手順をそれぞれ行って、Ｕ_ｋ−２およびＶ_ｋ−２を求める。また、同様に、ａ_ｋ−２＝Ｖ_ｋ−２としたり、Ｒ_ｋ−２を定義したりする。そして、ｋが１になるまでこの過程を繰り返す。ここで、Ｒ_１＝１０^ｋ−１ａ_ｋ＋１０^ｋ−２ａ_ｋ−１＋・・・＋ａ_１がＭのｎ乗根である。

【0059】

４．方法の証明
数学的帰納法の原理により、第３項に示した方法を検証する。

【0060】

補助定理１
１≦ａ_ｋ≦９

【0061】

証明
数式（３．３）および（３．４）から、ａ_ｋ^ｎ≦Ｂ_ｋ＜１０^ｎが得られる。よって、ａ_ｋ＜１０となる。また、Ｂ_ｋ≠０であることから、ａ_ｋ≧１となる。これらにより、１≦ａ_ｋ≦９が得られる。

【0062】

補助定理２
０≦ａ_ｉ≦９、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１

【0063】

証明
数式（３．６）から、１０^ｎＤ_ｋ＝１０^ｎＢ_ｋ−１０^ｎａ_ｋ^ｎが得られる。これは、１０^ｎａ_ｋ^ｎ＋１０^ｎＤ_ｋ＋Ｂ_ｋ−１＝１０^ｎＢ_ｋ＋Ｂ_ｋ−１と表せる。また、数式（３．８）および（３．１０）から、１０^ｎＵ_ｋ^ｎ＋Ｂ_ｋ−１（Ｍ_ｋ−１）＝Ｂ_ｋ・Ｂ_ｋ−１が得られる。数式（３．１２）により、この関係は、１０^ｎＵ_ｋ^ｎ＋Ｖ_ｋ−１Ｔ_ｋ−１≦Ｂ_ｋｏＢ_ｋ−１と表される。数式（３．２）および（３．３）を考慮すると、｜１０^ｎＵ_ｋ^ｎ＋Ｖ_ｋ−１Ｔ_ｋ−１｜≦２ｎが得られる。これは、数式（３．９）および（３．１１）により、｜Ｕ_ｋ−１^ｎ＋Ｖ_ｋ−１Ｔ_ｋ−１｜≦２ｎと表される。そして、二項定理を用いると、｜（Ｕ_ｋ−１＋Ｖ_ｋ−１）^ｎ｜≦２ｎが得られる。したがって、｜（１０Ｕ_ｋ＋Ｖ_ｋ−１）^ｎ｜≦２ｎとなる。

【0064】

Ｕ_ｋ＝ａ_ｋ≠０およびａ_ｋの最大選択を考慮すると、定理１によって、上記は０≦Ｖ_ｋ−１≦９と表せる。そして、数式（３．１４）から、０≦ａ_ｋ−１≦９が得られる。
同様に、０≦ａ_ｉ≦９、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２についても証明可能である。

【0065】

Ｍ（ｋ，ｎ）が正の整数（たとえば、λ）のちょうどｎ乗であるものとすると、

【0066】

【数4.1】

【0067】

となる。
ここで、数式（３．１）から、λ＝１０^ｋ−１ａ_ｋ＋１０^ｋ−２ａ_ｋ−１＋・・・＋ａ_１である。
数式（３．１１）および（３．１４）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、上記は以下のように表せる。

【0068】

【数4.2】

【0069】

また、数式（３．１３）ならびにアルゴリズムのステップ３により、以下のように表される。

【0070】

【数4.3】

【0071】

さらに、数式（３．８）、（３．９）、および（３．１１）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、以下が分かる。

【0072】

【数4.4】

【0073】

ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２の場合は、ステップ３ならびに数式（３．７）および（３．１６）により、以下のように表される。

【0074】

【数4.4a】

【0075】

そして、数式（３．５）および（３．１５）、ならびにステップ３から、以下が得られる。

【0076】

【数4.4b】

【0077】

ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１の場合、関係式（４．４）は、

【0078】

【数4.4c】

【0079】

と表される。よって、数式（３．８）、（３．９）、および（３．１１）、ならびにアルゴリズムのステップ３から、Ｕ_ｉ＝１０Ｒ_ｉ＋１、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１が得られる。
ｉ＝１、２、・・・、ｋ−２の場合は、ステップ３ならびに数式（３．７）および（３．１６）により、以下のように表される。
Ｍ_ｉ＝

【0080】

【数4.4d】

【0081】

そして、数式（３．５）および（３．１５）、ならびにステップ３から、以下が得られる。

【0082】

【数4.4e】

【0083】

ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１の場合、関係式（４．４）は、

【0084】

【数4.4f】

【0085】

と表される。よって、Ｕ_ｉ＝１０Ｒ_ｉ＋１、ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１となる。

【0086】

定理２
ｎ∈Ｎを所与とすると、Ｕ_ｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ）、Ｖ_ｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ）、およびＴ_ｉ（ｉ＝１、２、・・・、ｋ−１）は、すべてのｋ∈Ｎに対して、以下の関係を満足する。

【0087】

【数4.5】

【0088】

証明
数式（３．１）から、関係式（４．５）がｋ＝１の場合に有効であることが分かる。
関係式（４．５）がｋ∈Ｎの場合に有効であると仮定する。そして、Ｍ（ｋ＋１，ｎ）について考えると、関係式（３．８）、（３．９）、（４．２）、および（４．３）は、ｋを１だけ増やした場合にも有効である。
ここで、Ｕ_ｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ＋１）、Ｖ_ｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ＋１）、およびＴ_ｉ（ｉ＝２、３、・・・、ｋ）の帰納的仮定を用いると、

【0089】

【数4.5a】

【0090】

となる。
よって、

【0091】

【数4.6】

【0092】

となる。
（ｋ＋１）の場合にも適用可能な関係式（４．５）を用いると、数式（４．６）の右辺は、

【0093】

【数4.6a】

【0094】

となる。これは、二項定理を用いると（１０^ｋａ_ｋ＋１＋１０^ｋ−１ａ_ｋ＋・・・＋１０ａ_２＋ａ_１）^ｎとなって、Ｍ（ｋ＋１，ｎ）が得られる。よって、当該定理は、ｋに関する帰納により示される。

【0095】

５．一般的な場合のｎ乗根
一般的には、正の実数のちょうどｎ乗またはｎ乗根ではない正の整数のｎ乗根を求めたい場合がある。この場合は、第３項に示したアルゴリズムを以下のように修正した上で採用する必要がある。
Ｍを正の実数とすると、整数部分および小数部分から成る場合がある。ここで、小数点以下第ｈ位まで根を求めるものとする。この場合、所与の数Ｍに１０^ｈｎを乗じ、［１０^ｈｎＭ］に関して第３項のアルゴリズムに従うと、Ｒ_１が１０^ｈｎＭのｎ乗根の整数部分となる。ここで、

【0096】

【数5.1】

【0097】

であることから、Ｒ_１を１０^ｈで除することにより、小数点以下第ｈ位までＭのｎ乗根を求める。
以下に例をいくつか示す。

【0098】

５．１ Ｍがちょうどｎ乗である場合
例１．^３√（１６４５７６１６４８２１８０５４４）を求める。

【0099】

ステップ１
Ｍ＝１６４５７６１６４８２１８０５４４とする。ｎ＝３であることから、第３項に記載の通りにＭの各桁を分割すると、以下が得られる。

【0100】

【表1】

【0101】

ここで、ｋ＝６である。ａ_６^３≦１６となるには、ａ_６＝２が最大値である必要がある。これより、Ｒ_６＝ａ_６＝２であることが分かる。Ｋ≠１であるため、ステップ２に進む。

【0102】

ステップ２
ブロックＤ_６＝Ｂ_６−ａ_６^３＝８を形成する。そして、Ｍ_５＝Ｍ−１０^５＊３ａ_６^３＝８ ４５７ ６１６ ４８２ １８０ ５４４と定義する。Ｕ_６＝ａ_６＝２およびＶ_６＝０とする。Ｂ_５（Ｍ_５）＝Ｄ_６・Ｂ_５＝８４５７であることが分かる。
Ｍ_５の各桁を以下のように分割する。

【0103】

【表2】

【0104】

Ｕ_５＝１０（Ｕ_６＋Ｖ_６）＝２０と見なす。値０、１、２、３、４、５、および６をＶ_５に割り当てると、それぞれＶ_５Ｔ_５＝０、１２６１、２６４８、４１６７、５８２４、７６２５、および９５７６が得られる。ここで、

【0105】

【数5.2】

【0106】

である。よって、Ｖ_５Ｔ_５≦８４５７となるには、Ｖ_５∈Ｗの最大値が５である。ここで、Ｔ_５＝１５２５である。ａ_５＝Ｖ_５＝５およびＲ_５＝１０ａ_６＋ａ_５＝２５とする。
以降のステップについては、結果を下表に示す。

【0107】

ステップ３

【0108】

【表3】

【0109】

よって、Ｒ_１＝１０^５ａ_６＋１０^４ａ_５＋１０^３ａ_４＋１０^２ａ_３＋１０ａ_２＋ａ_１＝２５４３６４がＭの立方根である。また、

【0110】

【数5.3】

【0111】

であることが分かる。
所与の問題について、上記の段階的な手順を踏むことはできる。ただし、より簡単な表現として、以下の例に示すような別の手順が有用と考えられる。

【0112】

例２．^４√（１６１９２８６５７２９２９６）を求める。

【0113】

【数5.4】

【0114】

よって、２００６が求めるべき根である。

【0115】

５．２ Ｍがちょうどｎ乗でない場合
例３．^６√（１７５）を小数点以下第２位まで正しく求める。

【0116】

【数5.5】

【0117】

例４．^３√（３５．６６・・・）を小数点以下第３位まで正しく求める。

【0118】

【数5.6】

【0119】

６．結論
上記の解析法では、所与の正の実数に関してｎ乗根の一桁ごとの開平を直接実行することができる。ｎ乗根の決定にニュートン法を用いる場合は、初期解を割り出した後に、微分法を適用する必要がある。一方、上記の方法では、簡単な算術演算しか用いず、初期解も不要である。この方法は、コンピュータで実現可能であるため、電子機器に組み込んで、メモリー空間を増やすことなく所与の正の実数のｎ乗根を決定するようにしてもよい。