特許 6194636 混相状態分布計測装置

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】6194636

(24)【登録日】2017年8月25日

(45)【発行日】2017年9月13日

(54)【発明の名称】混相状態分布計測装置

(51)【国際特許分類】

   G01N 27/22 20060101AFI20170904BHJP

【ＦＩ】

   G01N27/22 Z

【請求項の数】7

【全頁数】16

(21)【出願番号】特願2013-110012(P2013-110012)

(22)【出願日】2013年5月24日

(65)【公開番号】特開2014-228475(P2014-228475A)

(43)【公開日】2014年12月8日

【審査請求日】2016年2月11日

(73)【特許権者】

【識別番号】000003609

【氏名又は名称】株式会社豊田中央研究所

(74)【代理人】

【識別番号】110001210

【氏名又は名称】特許業務法人ＹＫＩ国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】松森 唯益

(72)【発明者】

【氏名】山中 玄太郎

(72)【発明者】

【氏名】近藤 継男

(72)【発明者】

【氏名】川本 敦史

【審査官】 小澤 瞬

(56)【参考文献】

【文献】 特開２００３−１３０８３５（ＪＰ，Ａ）

【文献】 特開平０９−２８１０６６（ＪＰ，Ａ）

【文献】 米国特許出願公開第２００７／０１３３７４６（ＵＳ，Ａ１）

【文献】 米国特許出願公開第２０１２／０２３２８１０（ＵＳ，Ａ１）

【文献】 藤原琢也 ほか，揺動する循環流動層内における触媒粉体濃度分布の可視化計測，平成２２年度 日本大学理工学部 学術講演会論文集，２０１０年１１月２７日，pp. 747-748

(58)【調査した分野】（Int.Cl.，ＤＢ名）

Ｇ０１Ｎ ２７／００−２７／１０

２７／１４−２７／２４

ＪＳＴＰｌｕｓ／ＪＭＥＤＰｌｕｓ／ＪＳＴ７５８０（ＪＤｒｅａｍＩＩＩ）

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

少なくとも２つの媒体が存在する管路において、その周囲に配置された複数の電極を有するセンサと、
前記電極間の静電容量を計測する計測手段と、
前記管路内部の前記少なくとも２つの媒体の分布画像を再構成する画像再構成手段と、
再構成した分布画像を表示する表示手段と、
を備え、
前記画像再構成手段は、前記計測手段で得られた静電容量と一致する前記管路内部の媒体の誘電率分布を反復計算により算出する際に、誘電率分布の変化が静電容量に与える影響を誘電率分布の更新毎に算出し、算出して得られた感度を用いて反復計算を実行し、
前記画像再構成手段は、管路内部の誘電率分布εからポアソン方程式を用いた数値シミュレーションにより得られた静電容量をＣｉとし、前記計測手段で得られた静電容量をＣｉ^０とした場合に、ＣｉとＣｉ^０の差を評価する目的関数ｆ１が０ないしその近傍となる誘電率分布εを反復計算により算出するものであり、
誘電率分布εの変化が目的関数ｆ１に与える影響である感度と数学的に等価の値を算出する手段と、
前記等価の値を用いて反復計算中の誘電率分布εを順次更新する手段と、
前記等価の値が０ないしその近傍であるか否かを判定する手段と、
を備え、前記等価の値が０ないしその近傍である場合に反復計算を終了し、
前記画像再構成手段は、さらに、
ＣｉとＣｉ^０を、所定の誘電率ε^１、ε^２からポアソン方程式を用いた数値シミュレーションにより得られた静電容量であるＣｉ^１、Ｃｉ^２を用いて正規化する手段
を備えることを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項2】

請求項１記載の装置において、
前記画像再構成手段は、さらに、
前記目的関数ｆ１に、誘電率分布εを明確化させる関数と、誘電率分布εを平滑化する関数を付加する手段
を備えることを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項3】

請求項１，２のいずれかに記載の装置において、
前記等価の値を算出する手段は、前記感度としての、前記目的関数ｆ１を誘電率分布εで微分した値ｄｆ１／ｄεに代えて、誘電率分布εから決まるマトリクスＥ、電位の分布を示すベクトルΦ、及び境界条件を離散化して得られるベクトルＱからなるポアソン方程式
ＥΦ＋Ｑ＝０
にパラメータΛを乗じた項を目的関数ｆ１に加えた関数Ｆ

【数1】

を算出し、上記関数Ｆの感度から目的関数ｆ１の感度を

【数2】

として算出することを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項4】

請求項１，２のいずれかに記載の装置において、
前記計測または計算した静電容量を正規化する手段は、

【数3】

を用いることを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項5】

請求項２記載の装置において、
前記画像再構成手段は、管路内部に２種類の媒体が含まれる場合に、連続変数で表された誘電率分布εと管路内部に分布する媒体の誘電率ε１、ε２との差を評価する関数ｆ２

【数4】

を目的関数ｆ１に付加し、

【数5】

とすることで明確化することを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項6】

請求項２記載の装置において、
前記画像再構成手段は、誘電率分布εの空間勾配の二乗を空間積分し、パラメータκを乗じた関数ｆ３

【数6】

を目的関数ｆ１に付加し、

【数7】

とすることで平滑化することを特徴とする混相状態分布計測装置。

【請求項7】

請求項２記載の装置において、
前記画像再構成手段は、管路内部に２種類の媒体が含まれる場合に、連続変数で表された誘電率分布εと管路内部に分布する媒体の誘電率ε１、ε２との差を評価する関数ｆ２、及び誘電率分布εの空間勾配の二乗を空間積分し、パラメータκを乗じた関数ｆ３を目的関数ｆ１に付加し、

【数8】

とすることで明確化し、かつ平滑化することを特徴とする混相状態分布計測装置。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、混相流の静電容量を計測し、混相流の誘電率等の分布状態を求め、混相流の混相状態分布の画像を再構成する技術に関する。

【背景技術】

【0002】

近年、静電容量を用いたＣＴ（コンピュータトモグラフィ）により管路内の混相流状態を推定する装置が開発されている。この技術は、混相流を扱う機器、例えばパイプライン等において、管路等の閉塞防止や輸送の効率化、混合の効率化、抵抗低減等を目的とした管路内部状態の観察に利用されている。

【0003】

特許文献１には、既知のｎ×１行列の静電容量行列Ｃ、既知のｎ×ｍ行列のセンシティビティマップＳｅ、未知のｍ×１行列の静電率分布行列Ｅとが、Ｃ＝ＳｅＥの関係にあり、この式の反復計算により誘電率分布行列Ｅを求めることが記載されている。この際に、γｉ＝Ｃ^TＳｅｉとおき、反復回数をｋとしたときに評価関数をｆ（Ｅ^(k)）＝γ・Ｅ^(k)とし、この評価関数が１に近づく誘電率分布行列Ｅを求めることが記載されている。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0004】

【特許文献1】特開２００３−１３０８３５号公報

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0005】

従来技術では、反復計算の過程においてセンシティビティマップＳｅは常に一定としているが、本来、誘電率分布に応じて感度は変化し得るため、反復計算により誘電率を決定するのであれば誘電率分布の変更毎に感度を更新しなければならず、感度一定では正確な再構成を得ることは困難である。その一方、センシティビティマップ、あるいはセンシティビティ行列は、ｍ個の要素のうち１つの誘電率が変化したときの差分感度をｍ個全ての要素について求めて線形結合したものであり、その作成に必要な数値シミュレーションの回数は再構成する画像の解像度と計測した静電容量の数の積だけ必要となるため、多大な時間を要する問題がある。さらに、感度は繰返し計算で変化する誘電率分布に応じて求め、その感度に基づいて誘電率分布を変更するべきであるが、従来技術では基準となる誘電率分布から１要素を変化させたときの感度の線形和を常に利用しているため、繰り返し計算で利用する感度が不正確である。

【0006】

また、誘電率分布を連続変数として扱った場合、特定の媒体の誘電率でない中間的な誘電率を許容することになるが、これを除外する手段はなく、結果として再構成画像が不鮮明となる問題がある。

【0007】

本発明の目的は、媒体分布の再構成画像の精度を向上させることができる装置を提供することにある。

【課題を解決するための手段】

【0008】

本発明は、少なくとも２つの媒体が存在する管路において、その周囲に配置された複数の電極を有するセンサと、前記電極間の静電容量を計測する計測手段と、前記管路内部の前記少なくとも２つの媒体の分布画像を再構成する画像再構成手段と、再構成した分布画像を表示する表示手段とを備え、前記画像再構成手段は、前記計測手段で得られた静電容量と一致する前記管路内部の媒体の誘電率分布を反復計算により算出する際に、誘電率分布の変化が静電容量に与える影響を誘電率分布の更新毎に算出し、算出して得られた感度を用いて反復計算を実行し、前記画像再構成手段は、管路内部の誘電率分布εからポアソン方程式を用いた数値シミュレーションにより得られた静電容量をＣｉとし、前記計測手段で得られた静電容量をＣｉ^０とした場合に、ＣｉとＣｉ^０の差を評価する目的関数ｆ１が０ないしその近傍となる誘電率分布εを反復計算により算出するものであり、誘電率分布εの変化が目的関数ｆ１に与える影響である感度と数学的に等価の値を算出する手段と、前記等価の値を用いて反復計算中の誘電率分布εを順次更新する手段と、前記等価の値が０ないしその近傍であるか否かを判定する手段とを備え、前記等価の値が０ないしその近傍である場合に反復計算を終了し、前記画像再構成手段は、さらに、ＣｉとＣｉ^０を、所定の誘電率ε^１、ε^２からポアソン方程式を用いた数値シミュレーションにより得られた静電容量であるＣｉ^１、Ｃｉ^２を用いて正規化する手段を備える。

【0009】

管路内部の誘電率分布を反復計算により算出する際には誘電率分布が常に異なるものとなる。誘電率分布が変化したときの静電容量に与える影響、すなわち感度は、管路内部の誘電率分布に応じて変化する。従って、反復計算中の誘電率分布に対して逐次、感度を再計算することにより、正確な感度に基づく誘電率分布を推定することが可能となり、媒体分布の再構成画像の精度が向上する。

【0011】

目的関数ｆ１の感度が０ないしその近傍であれば目的関数ｆ１の極値となる誘電率分布ε^optを求めたことになる。ε^optは、目的関数ｆ１が凸関数であれば全ての誘電率分布の中で目的関数ｆ１を最小とする値であり、非凸関数であれば誘電率分布ε^opt近傍において最小となる値である。従って、目的関数ｆ１の感度が０ないしその近傍となることを反復計算の終了条件とすることで、反復計算で得られた誘電率分布εがその近傍において目的関数ｆ１を最小とする値であることを保証できる。また、目的関数ｆ１の感度を直接計算することが困難であっても、この感度と数学的に等価となる値を算出し、数値シミュレーションの結果から計算可能とすることで、１回の数値シミュレーションに要する時間と同じか、あるいはそれよりも少ない計算時間で感度を計算することが可能となる。なお、このように数学的に等価の値を用いて代替計算する手法は、随伴変数法として知られている。本発明は、随伴変数法を巧みに用いて目的関数ｆ１の感度を短時間に計算するものといえる。

【0013】

計測又は計算で求めた静電容量Ｃｉは、静電容量の計測に利用する電極の位置に応じてその大きさが異なるため、管路内の誘電率分布の変化が静電容量に明確に現われない。そこで、Ｃｉから所定の誘電率分布ε¹を与えたときの静電容量Ｃｉ¹を差し引き、さらに、その値をＣｉ¹ともう一つの所定の誘電率分布ε²から計算した静電容量Ｃｉ²の差で除することで、全ての静電容量の大きさを同程度にでき、管路内の誘電率分布の変化を静電容量で明確に表すことができる。

【0014】

本発明のさらに他の実施形態では、前記画像再構成手段は、さらに、前記目的関数ｆ１に、誘電率分布εを明確化させる関数と、誘電率分布εを平滑化する関数を付加する手段を備えることを特徴とする。

【0015】

誘電率を連続変数で扱う場合、特定の媒体の誘電率ではない中間的な誘電率を許容することになる。中間的な誘電率は、設定された空間解像度では表現できない大きさで複数の媒体が存在すると解釈することができる。もう一つの解釈として、中間的な誘電率を持つ架空の媒体により計測した静電容量となる誘電率分布を再構成していると考えることもできる。このような状況を回避するために、目的関数ｆ１に加えて、連続変数で表された誘電率分布εと管路内部に分布する２つの媒体１，２の誘電率の差を小さくするような関数を付加することで、誘電率分布を２つの媒体１，２の誘電率のいずれかに近づけた値を求め明確化することができる。また、ｎ回計測された静電容量から、数値シミュレーションで計算する領域に設定したｍ個の誘電率を決定する場合、ｎ＝ｍであれば誘電率は一意に定まるが、通常ｎ＜ｍであるため解が不定となり、誘電率が一意に定まらない。このような状況を回避し、不足する情報を補う必要がある（正則化）。そこで、目的関数ｆ１を正則化するために、特異な誘電率分布が得られないような関数を目的関数ｆ１に付加する。これにより平滑化された誘電率分布を求めることができるようになる。明確化する関数を付加すると特異な誘電率分布を誘発する可能性があり、他方で、平滑化する関数を付加すると特異な誘電率分布を抑えているため媒体の界面が明確にならない。これらは互いに独立な効果であるので、これらを同時に目的関数ｆ１に付加することで、特異な誘電率分布を抑えつつ、明確化した誘電率分布を再構成できる。

【発明の効果】

【0016】

本発明によれば、反復計算において毎回正確な感度を利用することで、媒体分布の再構成画像の精度が向上する。また、本発明によれば、感度を短時間で計算することができる。また、本発明によれば、管路内部の誘電率分布の変化を静電容量又は電気抵抗で表現することが容易化される。また、本発明によれば、再構成画像の明確化及び平滑化により、再構成画像の精度が一層向上する。

【図面の簡単な説明】

【0017】

【図1】実施形態における混相状態分布計測装置の構成図である。

【図2】センサの電極配置説明図である。

【図3】実施形態の演算処理フローチャートである。

【図4】従来の演算処理フローチャートである。

【図5】正規化及び非正規の静電容量の値を示すグラフ図である。

【図6】実施形態の結果を示す誘電率分布の再構成図である。

【図7】実施形態の結果を示す誘電率分布の再構成図である。

【発明を実施するための形態】

【0018】

以下、図面に基づき本発明の実施形態について説明する。

【0019】

図１に、本実施形態における混相状態分布計測装置の全体構成を示す。装置は、センサ１２と、静電容量計測手段１４と、誘電率分布再構成手段１６と、再構成画像出力手段１８と、演算装置２０を含む。

【0020】

センサ１２は、円環状をなし、計測すべき管路１０の周囲に配設される。センサ１２には、複数個の電極が設けられる。

【0021】

静電容量計測手段１４は、センサ１２内の複数の電極と接続され、複数の電極の中から任意の２つの電極を選択して印加電極と接地電極の組み合わせを形成し、ｎ個の静電容量Ｃｊ⁰を計測する。

【0022】

誘電率分布再構成手段１６は、静電容量計測手段１４で計測されたｎ個の静電容量Ｃｊ⁰に基づいて誘電率分布を再構成する。

【0023】

再構成画像出力手段１８は、誘電率分布再構成手段１６で再構成された誘電率分布を画像として表示する。

【0024】

演算装置２０は、誘電率分布再構成手段１６と協働して、計測されたｎ個の静電容量ｃｊ⁰を用いて所定の演算を行い、誘電率分布を算出する。演算装置２０は、静電容量正規化手段２２と、誘電率明確化手段（フィルタ１）２４と、誘電率空間勾配最小化手段（フィルタ２）２６を備える。

【0025】

なお、演算装置２０は、具体的にはプロセッサ、メモリ、入出力インタフェースを備えるコンピュータで構成される。また、静電容量計測手段１４、誘電率分布再構成手段１６、及び演算装置２０を全てコンピュータで構成してもよく、再構成画像出力手段１８を当該コンピュータのディスプレイで構成してもよい。

【0026】

図２に、管路１０の周囲に配設されるセンサ１２内の複数の電極１２ａの配置を示す。複数の電極１２ａ（図では合計８個の電極）は、管路１０の中心軸を中心とする同心円状に所定間隔だけ互いに離間して配置される。図２では、これらの電極１０ａに、反時計回りに１，２，３、・・・、８と番号を付している。複数の電極１２ａは、互いに絶縁されている。静電容量計測手段１４は、これら８個の電極のうち、任意の２個の電極を選択して印加電極と接地電極の組み合わせとし、静電容量Ｃｊ⁰を計測する。

【0027】

次に、本実施形態におけるコンピュータでの具体的な演算手順について説明する。本実施形態の演算手順は、数理計画法に準じた手順である。

【0028】

図３に、本実施形態の演算処理をフローチャートで示す。まず、管路１０内の初期誘電率分布を設定する（Ｓ１０１）。

【0029】

次に、初期誘電率分布から順解析を行って静電容量を算出する（Ｓ１０２）。ここで、「順解析」とは、誘電率分布から支配方程式（ポアソン方程式）を用いて電位（静電ポテンシャル）を求めることをいう。順解析は、静電場解析ということもできる。

【0030】

次に、順解析により得られた静電容量を用いて目的関数を計算する（Ｓ１０３）。目的関数は、具体的には、順解析により得られた静電容量と、計測して得られた静電容量との最小二乗誤差である。但し、本実施形態では、目的関数を定義する際に、正規化、明確化及び平滑化を行うことで画像の精度を向上させている。

【0031】

次に、目的関数の感度を計算する（Ｓ１０４）。感度解析とは、反復計算の終了判定、及び設定された誘電率の更新量を決定するために目的関数の感度を求めることをいう。設定された誘電率は、Ｓ１０１で設定された初期誘電率及び反復計算により順次決定されるその都度の誘電率をいう。

【0032】

次に、目的関数が収束したか否かを判定する（Ｓ１０５）。この判定は、具体的にはＳ１０４で算出された目的関数の感度が０ないしその近傍であるか否かにより行われる。目的関数の感度が０ないしその近傍である場合には計算が収束したと判定し（Ｓ１０５でＹＥＳ）、反復計算を終了してそのときの誘電率分布を最終的な結果とする。他方、目的関数の感度が０ないしその近傍でない場合には、未だ計算が収束していないと判定し（Ｓ１０５でＮＯ）、目的関数の感度に基づく設計変更、すなわち新たな誘電率分布を再設定してＳ１０２以降の処理を繰り返す。繰り返し計算の中に感度解析の処理が含まれていることから、誘電率分布が更新される毎に、これに応じて感度も再計算されて順次変化していく点に留意されたい。

【0033】

図４に、比較のため、従来の演算処理をフローチャートで示す。従来においては、まず感度行列、つまりセンシティビティマップを作成する（Ｓ２０１）。そして、管路１０内の初期誘電率分布を設定し（Ｓ２０２）、順解析を行って静電容量を算出する（Ｓ２０３）。順解析により得られた静電容量と、計測して得られた静電容量の差（最小二乗誤差）を用いて収束判定し（Ｓ２０４）、収束していなければＳ２０１で作成した感度行列に基づいて誘電率を再設定し（Ｓ２０５）、Ｓ２０３以降の処理を繰り返す。感度行列は最初に作成され、誘電率分布によらずに反復計算において常に一定である。また、誘電率分布を連続変数として扱っており、特定の媒体の誘電率ではない中間的な誘電率を許容しているため、最終的に得られる画像が不鮮明とならざるを得ない。図３と図４を比較することで、本実施形態における演算処理と従来の演算処理との相違は明らかとなろう。

【0034】

以下、各処理についてより詳細に説明する。

【0035】

＜初期誘電率分布＞
まず、適当な初期状態として、初期誘電率分布εを設定する。そして、この初期誘電率分布εは、電位φ（静電ポテンシャル）を求めるために用いられる。

【0036】

＜順解析＞
静電容量Ｃｉは、電位φ、誘電率ε、センサ１２に印加する電位差Ｖｃを用いて、電極１２ａの境界Γｉでの境界積分として算出される。すなわち、

【数1】

である。

【0037】

電位φは、連続変数で表した媒体の誘電率εを用いて、コンピュータにより静電場の数値シミュレーションで求める。静電場の支配方程式は、ポアソン方程式であり、

【数2】

である。（数２）式をｎ回の計測条件と同じ境界条件の下で数値シミュレーションし、その結果得られる電位φｉから（数１）式を用いて静電容量Ｃｉを求める。数値シミュレーションに必要なプログラムは、予めコンピュータのメモリに記憶される。

【0038】

なお、数値シミュレーションでは、公知の有限要素法（ＦＥＭ）等で離散化して計算する。離散化した支配方程式（ポアソン方程式）は、誘電率分布から決まるマトリクスＥ、電位の分布を表すベクトルΦ、及び境界条件を離散化して生じるベクトルＱを用いて、行列式として、

【数3】

と表現される。

【0039】

＜目的関数計算＞
次に、複数の電極１２ａを有するセンサ１２で、その順列組合せの数だけｎ回計測した場合、計測した静電容量Ｃｉ⁰と、数値シミュレーションで計算した静電容量Ｃｉの最小二乗誤差ｆ１を目的関数として定義する。

【数4】

【0040】

（数１）式を考慮して、境界の誘電率で構成されたベクトルＫを用いて離散化すると、

【数5】

となる。Φは上記のように電位の分布を表すベクトルである。

【0041】

＜正規化＞
静電容量Ｃｉ⁰、Ｃｉは、数値シミュレーションで基準となる所定の誘電率ε¹、ε²を与えて計算した静電容量Ｃｉ¹、Ｃｉ²を用いて、

【数6】

のように正規化する。ここで、＊は正規化された量であることを示す。

【0042】

図５に、正規化していない場合と正規化した場合における計測回数毎の静電容量の値を示す。計測又は計算で求めた静電容量Ｃｉは、静電容量の計測に利用する電極の位置に応じてその大きさが異なるため、管路内の誘電率分布の変化が静電容量に明確に現われない。そこで、Ｃｉから所定の誘電率分布ε¹を与えたときの静電容量Ｃｉ¹を差し引き、さらに、その値をＣｉ¹ともう一つの所定の誘電率分布ε²から計算した静電容量Ｃｉ²の差で除することで、全ての静電容量の大きさを同程度にでき、管路内の誘電率分布の変化を静電容量で明確に表すことができる。

【0043】

（数６）式のように静電容量Ｃｉ⁰、Ｃｉを正規化した場合、(数４)式は、

【数7】

となる。

【0044】

(数１)式を考慮して、境界の誘電率と正規化の効果を含んだベクトルＫ^*を用いて離散化すると、

【数8】

となる。

【0045】

＜感度解析＞
次に、反復計算の収束判定、及び誘電率の更新量を決定するために、ｆ１^*の感度を算出する。ｆ１^*の感度は、随伴変数法を用いて算出される。ｆ１^*に含まれる静電容量が誘電率分布εと電位分布φに依存することから、

【数9】

となる。この式において、∂Φ／∂εは、計算により直接求めることは困難である。そこで、（数３）式に示した支配方程式にベクトルΛを乗じた項を、（数６）式に加える。

【数10】

【0046】

この式において、ＥＱ＋Φは本来その値は０であるので、Ｆとｆ１^*は同値であり、（数１０）で定義したＦの感度は、ｆ１^*の感度と同値になる。

【0047】

Ｆの感度は、

【数11】

となる。Λの任意性から、右辺第２項が０となるようにΛを決定すると、

【数12】

である。このときのΛを用いると感度を計算できる。

【数13】

(数１２)式と（数１３）式に（数８）式を用いれば、

【数14】

【数15】

となる。上式で用いる値は、既知量あるいは数値シミュレーションの結果として求められる値である。従って、１回のマトリクス演算で感度を求めることができ、従来のように離散化した要素１つ１つの値を変更し、その都度数値シミュレーションを実施して感度を計算する場合（差分により感度を計算する場合）と比べると、計算時間を大幅に短縮できる。

【0048】

＜収束判定＞
（数１１）式で求めた感度の値が０ないしその近傍となったときに計算が収束したものとみなして、そのときの誘電率分布がｆ１^*を最小とする分布とし、反復計算を終了する。目的関数ｆ１の感度が０ないしその近傍であれば計算が収束したと判定し目的関数ｆ１の極値となる誘電率分布ε^optを求めたことになる。ε^optは、目的関数ｆ１が凸関数であれば全ての誘電率分布の中で目的関数ｆ１を最小とする値であり、非凸関数であれば誘電率分布ε^opt近傍において最小となる値である。従って、目的関数ｆ１の感度が０ないしその近傍となることを反復計算の終了条件とすることで、反復計算で得られた誘電率分布εがその近傍において目的関数ｆ１を最小とする値であることを保証できる。本実施形態では、目的関数ｆ１の感度と数学的に等価なＦの感度が０ないしその近傍となったときを反復計算の終了条件としており、計算時間を短縮しつつ確実に反復計算を終了し得る。

【0049】

＜感度に基づく設計変更＞
他方、反復計算の終了条件を満足しないとき、反復計算のｋ回目の誘電率ε^kは、

【数16】

のように更新する。ここで、αは誘電率分布の更新量を決めるパラメータである。αを十分小さくとれば確実にｆ１＊を小さくするように誘電率を更新できる。反復計算を効率的に行うためには、数理計画法に従ってαを決定する。このとき、目的関数はｆ１^*であり、設計変数はεとなる。

【0050】

＜明確化＞
誘電率εを連続変数で扱う場合、計測対象の媒体の誘電率とは異なる中間的な誘電率が許容されることになる。これをできる限り回避するために、管路１０内の媒体が２種類の媒体１、媒体２（例えば気体と液体）からなるときに、これらの媒体の誘電率ε¹、ε²と計算で求められる誘電率εの差を評価する関数ｆ２

【数17】

を（数７）式に加えて、

【数18】

で定義される関数ｆが最小となる誘電率εを求める。但し、ε¹＞ε²とする。

【0051】

目的関数ｆ１に加えて、連続変数で表された誘電率分布εと管路１０内部に分布する２つの媒体１，２の誘電率の差を小さくするような関数ｆ２を付加することで、誘電率分布を２つの媒体１，２の誘電率のいずれかに近づけた値を求められるようになり、誘電率分布を明確化することができる。関数ｆ２が誘電率分布を明確化する関数である。

【0052】

＜平滑化＞
一般的に、計測するｎ個の静電容量が、誘電率分布を表すベクトルΦの要素の数ｍよりも少ないため、誘電率分布が一意に定まらない。そこで、誘電率の空間勾配の二乗の領域積分量ｆ３

【数19】

を（数７）式に加えて、

【数20】

で定義される関数ｆが最小となる誘電率分布εを求める。

【0053】

ｎ回計測された静電容量から、数値シミュレーションで計算する領域に設定したｍ個の誘電率を決定する場合、ｎ＝ｍであれば誘電率は一意に定まるが、通常ｎ＜ｍであるため解が不定となり、上記のように誘電率が一意に定まらない。従って、不足する情報を補う必要がある（正則化）。目的関数ｆ１を正則化するために、特異な誘電率分布が得られないような関数ｆ３を目的関数ｆ１に付加する。これにより平滑化された誘電率分布を求めることができる。関数ｆ３が誘電率分布を平滑化する関数である。

【0054】

関数ｆ２及び関数ｆ３は、独立に評価される関数である。そこで、（数１８）式に（数１９）式を加えて、

【数21】

で定義される関数ｆが最小となる誘電率εを求めるようにすることで、明確化と平滑化をともに実現できる。明確化する関数ｆ２を付加すると特異な誘電率分布を誘発する可能性があり、他方で、平滑化する関数ｆ３を付加すると特異な誘電率分布を抑えているため媒体の界面が明確にならない可能性がある。これらを同時に目的関数ｆ１に付加することで、特異な誘電率分布を抑えつつ、明確化した誘電率分布を再構成できる。

【0055】

（数１８）式、（数２０）式、及び（数２１）式のパラメータβ、κは問題に応じて適宜設定する。例えば、初期誘電率分布をε⁰としたときのｆ１^*に対して、ｆ２、ｆ３がｆ１^*の１０％程度の大きさになるようにβ、κを決定する。

【0056】

図６に、電極１２ａを８個とし、１つを印加電極、他の電極のうちの１つを接地電極とした、順列組合せ２８通りの計測を行って得られるｎ＝２８個の静電容量Ｃｉ⁰を用いて誘電率分布を再構成した結果を示す。計測対象として（ａ）、（ｂ）２つのパターンをそれぞれ示す。

【0057】

図において、ｆ＝ｆ１は、目的関数として（数６）式の場合、つまり正規化のみを行った場合の結果である。この場合、管路１０内においておおよそ媒体が存在している場所は分かるものの、媒体の界面が明確となっていない。他方、図において、ｆ＝ｆ１＋ｆ２＋ｆ３は、（数２１）式の場合、つまり正規化と明確化と平滑化を行った場合の結果である。媒体の界面が明確となり、計測対象にほぼ一致する高精度の結果が得られる。

【0058】

また、図７に、電極１２ａを８個とし、１つを印加電極、他の電極を全て接地した条件で８回計測した結果における、各電極での静電容量、すなわちｎ＝６４個のＣｉ⁰を用いて誘電率分布を再構成した結果を示す。図６と同様に、ｆ＝ｆ１は、目的関数ｆとして（数６）式の場合、つまり正規化のみを行った場合の結果である。また、ｆ＝ｆ１＋ｆ２＋ｆ３は、（数２１）式の場合、つまり正規化と明確化と平滑化を行った場合の結果である。計測した静電容量が多いと、その分だけ正規化のみの場合でも媒体の存在している場所が確認できることがわかる。特に、中心部推定のための情報量が増加するため、管路１０中心部における推定精度が向上する。勿論、正規化に加え、関数ｆ２及び関数ｆ３を付加して明確化と平滑化を行うことで精度がさらに向上し、境界が一層明確となって計測対象にほぼ一致する高精度の結果が得られる。

【0059】

以上のように、本実施形態によれば、感度を一定とするのではなく、感度が誘電率分布に応じて変化し得ることに鑑みて、反復計算毎に得られる誘電率分布に応じてその都度感度を再計算して収束したか否かを判定しているため、再構成画像の精度が向上するとともに、従来法に基づく感度計算に比べて計算時間を短縮することが可能である。また、目的関数の正規化、明確化及び平滑化を行うことで再構成画像の精度をさらに向上させ、鮮明な画像を得ることができる。

【0060】

なお、本実施形態は管路内部の混相流が導電体の場合にも応用可能である。この場合、本実施形態と同様に電位差を加え、電流を計測し、管路内部の導電率を求め、その分布から管路内部状態推定を行う。静電容量と電流、誘電率と導電率には対応関係があるため、本発明を利用することで、混相流が導電体の場合の管路内部の状態推定が可能である。

【0061】

また、本実施形態では、目的関数に対して明確化の関数ｆ２及び平滑化の関数ｆ３を付加しているが、必要に応じて、明確の関数ｆ２のみを目的関数に付加する、あるいは平滑化の関数ｆ３のみを目的関数に付加することも可能である。明確化の関数ｆ２のみを付加して再構成した画像と、平滑化の関数ｆ３のみを付加して再構成した画像と、関数ｆ２及び関数ｆ３をともに付加して明確化及び平滑化して再構成した画像をいずれもディスプレイ上に表示し、相互に比較可能に並列表示することも可能である。再構成画像を表示する際に、ユーザが適宜、明確化、平滑化を画面上で選択できるようにし、ユーザにより選択された演算のみを実行してその結果を表示してもよい。

【符号の説明】

【0062】

１０ 管路、１２ センサ、１２ａ 電極、１４ 静電容量計測手段、１６ 誘電率分布再構成手段、１８ 再構成画像出力手段、２０ 演算装置。

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】