特許 6856632 材料の曲げ応答を特徴付けるための方法及びコンピュータープログラム製品

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】6856632

(24)【登録日】2021年3月22日

(45)【発行日】2021年4月7日

(54)【発明の名称】材料の曲げ応答を特徴付けるための方法及びコンピュータープログラム製品

(51)【国際特許分類】

   G01N 3/20 20060101AFI20210329BHJP

【ＦＩ】

   G01N3/20

【請求項の数】21

【全頁数】63

(21)【出願番号】特願2018-516043(P2018-516043)

(86)(22)【出願日】2016年9月28日

(65)【公表番号】特表2018-529963(P2018-529963A)

(43)【公表日】2018年10月11日

(86)【国際出願番号】EP2016073145

(87)【国際公開番号】WO2017055367

(87)【国際公開日】20170406

【審査請求日】2019年8月23日

(31)【優先権主張番号】15187129.0

(32)【優先日】2015年9月28日

(33)【優先権主張国】EP

(73)【特許権者】

【識別番号】511126992

【氏名又は名称】エスエスアーベー テクノロジー アーベー

(74)【代理人】

【識別番号】100127926

【弁理士】

【氏名又は名称】結田 純次

(74)【代理人】

【識別番号】100140132

【弁理士】

【氏名又は名称】竹林 則幸

(72)【発明者】

【氏名】ラーシュ・トロイヴ

【審査官】 外川 敬之

(56)【参考文献】

【文献】 特開平０６−１５４８７９（ＪＰ，Ａ）

【文献】 特開２００３−３０７４７７（ＪＰ，Ａ）

【文献】 特開２０１０−１８５７９２（ＪＰ，Ａ）

【文献】 特開２００３−１４９１３０（ＪＰ，Ａ）

【文献】 米国特許出願公開第２０１４／００９３６６６（ＵＳ，Ａ１）

(58)【調査した分野】（Int.Cl.，ＤＢ名）

Ｇ０１Ｎ ３／２０

Ｂ２１Ｄ ５／００

Ｂ２１Ｄ ２２／００

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

材料を特徴付ける方法であって、
ａ．２つの平行なダイ支持部の間に単純に支持される前記材料の試料を提供する工程であって、前記支持部が同一のエッジ形状を有する、前記材料の試料を提供する工程と、
ｂ．曲げナイフを介して外力Ｆを提供することによって前記試料を曲げる工程であって、前記力は前記ダイ支持部の中心によって形成された前記平面に垂直な平面内で作用し、またこれは前記ダイ支持部の間の前記中心線において前記材料と交差し、前記曲げナイフが少なくとも前記試料の前記長さ全体に延在する、前記試料を曲げる工程と、を含み、
ｃ．前記方法は、以下の式［１］を使用して前記材料の断面モーメントＭ、を計算する工程を含むことを特徴とし、

【数1】

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式中、Ｆは前記印加される曲げ力であり、
Ｌ_m（β₁）は、以下の式により計算された前記モーメントアームであり、

【数2】

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式中、
Ｌ₀は前記ダイ幅の半分であり、
Ｒ_dは前記ダイエッジの半径であり、
Ｒ_kは前記ナイフの半径であり、
β₁は前記外力による曲げの間にダイ支持部のうちの１つとの接触点において試料の表面法線によって動かされる角度である、曲げ角度である、前記方法。

【請求項2】

前記方法が以下のエネルギー平衡式を解くことを含み、

【数3】

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であり、式中ｔは前記試料の厚さであり、β₂は前記試料を曲げる工程の間に前記試料が曲げられる真の角度である、請求項１に記載の方法。

【請求項3】

以下の式を使用して流動応力σ₁を計算する工程であって、

【数4】

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主歪みε₁を以下の式、

【数5】

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から計算する工程を含むことを特徴とし、式中、
Ｂは前記試料の長さであり、
ｔは前記試料の厚さであり、
β₂は前記試料を曲げる工程の間に前記試料が曲げられる真の角度である、請求項１または２に記載の方法。

【請求項4】

以下の式を使用して流動応力σ₁計算する工程であって、

【数6】

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主歪みε₁を以下の式、

【数7】

[この文献は図面を表示できません]

から計算する工程を含むことを特徴とし、式中、
Ｂは前記試料の長さであり、
ｔは前記試料の厚さであり、
β₂は前記試料を曲げる工程の間に前記試料が曲げられる真の角度であり、
Ｌ_N（β₁，β_C）は前記モーメントアームであり、以下のように計算され、

【数8】

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Ｕは前記エネルギーであり、
β_Cは前記ナイフと前記材料との間の接触角である、請求項１または２に記載の方法。

【請求項5】

前記試料を曲げる工程の間に前記試料が曲げられる真の角度であるβ₂及び前記計算された断面モーメントＭのグラフをプロットし、前記モーメント曲線の弾性部の傾きを決定することによって前記材料（１０）のヤング率Ｅ'を見積もる工程を含むことを特徴とし、それによって前記傾きは、

【数9】

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となり、式中Ｉは慣性モーメントであり、Ｅ'は平面歪み内のヤング率であり、

【数10】

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によって得られ、式中νはポアソン比である、請求項１〜４のいずれか１項に記載の方法。

【請求項6】

以下の式を使用して前記材料（１０）のヤング率Ｅ'を見積もる工程を含むことを特徴し、

【数11】

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式中、
Ｉは前記慣性モーメントであり、
Ｕは前記エネルギーである、請求項１〜４のいずれか１項に記載の方法。

【請求項7】

以下の式、

【数12】

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を使用して前記材料のスプリングバックを見積もるために前記材料の前記断面モーメントＭを使用する工程を含むことを特徴とし、試験されるフランジのおおよその長さは、

【数13】

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であり、前記ナイフと接触する前記材料の長さは、

【数14】

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であり、式中、Δβ_totはスプリングバックの総量であり、β_Selは前記フランジの前記スプリングバックであり、β_Celは前記ナイフに接触する前記材料に関連する前記スプリングバックであり、Ｍ_Lは前記ナイフの曲率の制限に起因する低減されたモーメントであり、Ｌ_Nは前記モーメントアームであり、Ｌ_Sは前記フランジの長さであり、Ｌ_eは前記ナイフによって形状にされた前記材料の長さであり、Ｒ_kは前記ナイフの半径であり、βｃは前記材料と前記ナイフとの間の前記接触角であり、Ｅ’は平面歪み内のヤング率である、請求項１〜６のいずれか１項に記載の方法。

【請求項8】

以下の式、

【数15】

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を使用して前記材料の摩擦係数μを見積もるために前記材料の前記断面モーメントＭを使用する工程を含むことを特徴とし、式中、Ｍ_mtrlは摩擦のない曲げ試験機器を使用して得られる前記断面モーメントである、請求項１〜７のいずれか１項に記載の方法。

【請求項9】

前記計算された断面モーメントＭ、または前記計算された流動応力σ₁、または前記見積もられたヤング率Ｅ'、または前記計算された平面歪みε₁が、前記材料（１０）を含む製品を最適化するために使用されることを特徴とする、請求項１〜８のいずれか１項に記
載の方法。

【請求項10】

前記材料の試料がプレートである、請求項１〜９のいずれか１項に記載の方法。

【請求項11】

前記ダイ支持部がローラーである、請求項１〜１０のいずれか１項に記載の方法。

【請求項12】

前記材料が金属材料である、請求項１〜１１のいずれか１項に記載の方法。

【請求項13】

前記金属材料（１０）が熱間圧延鋼などの熱間圧延金属材料（１０）であることを特徴とする、請求項１２に記載の方法。

【請求項14】

前記金属材料（１０）が冷間圧延鋼などの冷間圧延金属材料であることを特徴とする、請求項１２に記載の方法。

【請求項15】

ＶＤＡ２３８−１００標準により曲げ試験を実行する工程を含むことを特徴とする、請求項１〜１４のいずれか１項に記載の材料（１０）を特徴付けるための方法。

【請求項16】

前記方法が、比率Ｍ／Ｍ_eを、

【数16】

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のいずれかによって定義される通り計算することを含むことを特徴とし、
式中、β₂は前記試料を曲げる工程の間に前記試料が曲げられる真の角度である、請求項１〜１５のいずれか１項に記載の方法。

【請求項17】

少なくとも２つの異なる材料に対して前記比率Ｍ／Ｍ_eが計算され、かつこれらの材料を含む複合材料の特性が前記個々の材料の値から計算される、請求項１６に記載の方法。

【請求項18】

ある条件下で曲げる間、材料が安定したままになる前記条件を決定するための方法であって、前記方法が請求項１５の方法を含み、かつ前記条件下で前記比率Ｍ／Ｍ_eが１．５より低いままになる前記条件を決定することによってさらに特徴付けられる、前記方法。

【請求項19】

前記ナイフの半径Ｒ_kが前記材料の前記厚さｔ以下である、請求項１〜１８のいずれか１項に記載の方法。

【請求項20】

前記ナイフの半径Ｒ_kが前記材料の前記厚さｔの０．７倍以下である、請求項１〜１９のいずれか１項に記載の方法。

【請求項21】

コンピューター可読媒体または搬送波上に保存された、請求項１〜２０のいずれか１項
に記載の方法の前記計算する工程をコンピューターまたはプロセッサに実行させるように準備されたコンピュータープログラムコード手段を含むコンピュータープログラムを含むことを特徴とするコンピュータープログラム製品（３０）。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本開示は材料を特徴付けるための方法に関し、これにより該方法を、曲げる間の材料の実際の応答を決定するために使用してもよい。本開示の方法は、断面モーメント、流動応力、ヤング率、及び歪みを含む、曲げと関係がある特性を計算するために使用されてもよい。本開示は、本開示による方法の計算する工程をコンピューターまたはプロセッサに実行させるように準備されたコンピュータープログラムコード手段を含むコンピュータープログラムを含むコンピュータープログラム製品にも関する。

【背景技術】

【0002】

曲げの間の材料特性は、数多くの理由できわめて興味深い。例えば、超強力（ＵＨＳ）鋼、すなわち降伏強度≧５５０ＭＰａまたは引張り強度≧７８０ＭＰａの鋼の自動車、航空宇宙、及び建築業界などの様々な業界での利用に近年興味が増している。かかる材料の使用は、結果としてかかる材料を含む製品の性能の相当な改善及びその重量の低減をもたらす。しかしながら、鋼の強度が増加するに従いその曲げ性は減少する傾向があることが周知である。したがって、増加しつつある市場からの要求に応えるために高強度鋼の曲げ性を調査及び改善する必要性がある。

【0003】

金属材料の曲げ性は、通常、引張試験と組み合わせられた、従来の曲げ試験（典型的には３点曲げ試験）を実施することによって決定される。しかしながら、試験試料の厚さを通して均一な張力が印加される引張試験での材料の挙動は、曲げられた時にその材料によって示される挙動とは異なる。すなわち、引張試験は材料の曲げ挙動に関する正確な情報、すなわち、曲げの間の実際の材料の応答を提供しないことがわかってきた。

【0004】

ドイツ自動車工業会（Ｖｅｒｂａｎｄ ｄｅｒ Ａｕｔｏｍｏｂｉｌｉｎｄｕｓｔｒｉｅ、ＶＤＡ）２３８−１００：２０１０金属材料に対するプレート曲げ試験（以下「ＶＤＡ ２３８−１００標準」と呼ばれる）は、金属材料、特に冷間圧延鋼の曲げ性を決定するために一般的に使用される標準試験手順である。曲げ角度は、３点曲げ装置を使用して、試験条件、ツーリング、幾何学形状、及び実験のセッティング、ならびに曲げ性限界評価を特定する、ＶＤＡ ２３８−１００標準の中に記述された手順により決定される。ＶＤＡ ２３８−１００標準は、曲げ角度を計算するための方法も特定する。異なる厚さを有する金属間の直接的な比較を可能にするために、厚さ補正係数（材料の厚さの平方根と等しい）が一般的に使用される。

【0005】

ＶＤＡ ２３８−１００標準曲げ試験の間、金属板試験試料に曲げを生じさせるナイフを変位するために必要とされる力がモニターされる。これにより曲げ試験の間に到達する最大力及びストローク長さを決定することができる。次いでストローク長さを対応する曲げ角度へと変換することができる。金属板の試験は、２つの方向、すなわち、金属板の圧延方向に平行な方向及び垂直な方向で実行されてもよい。

【0006】

図１は、ナイフ位置または「パンチストローク」Ｓ（すなわち、ナイフがこれを通して変位された距離）、及び印加される力Ｆを測定するための、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験を使用して得られる典型的なデータを示す。ＶＤＡ ２３８−１００標準によると、試験試料が破綻する曲げ角度を決定するために、最大印加力Ｆ_ｍａｘにおける、印加力が下がり始めた直後のナイフ位置、が使用されてもよい。

【0007】

弾塑性曲げは、通常、キンキングすることなく、試験試料の曲率が均一に増加する安定したプロセスである。多くの金属材料は曲げの間この完全な弾塑性挙動（すなわち、加工硬化のない）を示さず、またキンキングが起きる場合があるので、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験は、曲げの間の金属材料の実際の応答を正確に予測しないことがわかってきた。例えば、Ｚ．Ｍａｒｃｉｎｉａｋ、Ｊ．Ｌ Ｄｕｎｃａｎ、及びＳ．Ｊ．Ｈｕは、「Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ｏｆ Ｓｈｅｅｔ Ｍｅｔａｌ Ｆｏｒｍｉｎｇ」と題する彼らの本ＩＳＢＮ ０ ７５０６ ５３００の中で、以下を開示している。「［金属材料の］モーメント曲率の特徴［すなわち、断面モーメントＭ］を引張データから精密に予測するのは非常に困難である。モーメントの特徴は、非常に小さい歪みにおける材料特性に対して極めて感受性が高く、またこれらの特性は引張試験ではしばしば正確に判定されない。」

【0008】

３点曲げ試験に対する材料の応答の分析は、マイクロエンジニアリングからも知られる。例えば、非特許文献１では、シリコン基板上の金属薄膜応力−歪み関係を研究するためにマイクロ梁曲げ法が開示される。使用される装置は、垂直変位が数μｍ（すなわち、１０００〜５０００ｎｍ）の程度である３点曲げ方法に関与する。

【0009】

中空部材の３点曲げも、非特許文献２などから知られている。特許文献１も、中空部材、この特定の事例では原子力発電プラントと関連したパイプで発生するモーメントを調査する方法を開示している。

【0010】

非特許文献３は、延性試験片の破壊力学を調査するための３点曲げ試験の使用を開示している。

【0011】

引張と圧縮とでは異なる弾性率及び強度を有する材料の構造的特性を調査するための３点曲げ試験の使用が、非特許文献４で開示されている。典型的には、かかる材料は構造用樹脂である。

【0012】

特許文献２は、曲げの間材料に一定のモーメントを印加する能力を有する試験装置を開示している。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0013】

【特許文献1】仏国特許第ＦＲ２９１５５８０号

【特許文献2】米国特許公開第２００８／０２１６５８５号

【非特許文献】

【0014】

【非特許文献1】Ｆｌｏｒａｎｄｏ ｅｔ ａｌ．，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ ｏｆ ｓｏｌｉｄｓ，５３，２００５，ｐｐ６１９−６３８

【非特許文献2】Ｌ．Ｇａｒｄｎｅｒ ｅｔ ａｌ．，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎａｌ Ｓｔｅｅｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，６０，２００４，ｐｐ１３１９−１３３２

【非特許文献3】Ｔ．Ｎａｋａｍｕｒａ ｅｔ ａｌ．，Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｆｒａｃｔｕｒｅ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｖｏｌ ２５，Ｎｏ．３．Ｐｐ ３２３−３３９，１９８６

【非特許文献4】Ｃｈｒｉｓｔｏｓ Ｃｈａｍｉｓによる、ＮＡＳＡ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｎｏｔｅ ＮＡＳＡ ＴＮ Ｄ−７５７２、Ｍａｒｃｈ １９７４

【発明の概要】

【課題を解決するための手段】

【0015】

本開示の目的は、材料を特徴付けるための方法を提供することであり、これによって、曲げの間の材料の実際の応答を決定するため、すなわち、曲げの間の材料の応答を、材料の実際の応答を予測するために曲げの間の最大の印加される力が使用される曲げ試験（ＶＤＡ ２３８−１００標準試験など）を使用して得られたデータに基づく予測よりもより正確に予測するために、この方法が使用されてもよい。

【0016】

この目的は、以下の工程を含む、材料を特徴付ける方法によって達成される。
ａ．２つの平行なダイ支持部の間に単純に支持される材料の試料を提供する工程であって、前記支持部が同一のエッジ形状を有する工程と、
ｂ．曲げナイフを介して外力Ｆを提供することによって試料を曲げる工程であって、前記力はダイ支持部の中心によって形成された平面に垂直な平面内で作用し、またこれはダイ支持部の間の中心線において材料と交差し、前記曲げナイフが少なくとも試料の長さ全体に延在する工程と、を含み、
ｃ．方法は、以下の式［１］を使用して材料の断面モーメントＭ、を計算する工程を含み、

【数1】

[この文献は図面を表示できません]

式中、Ｆは印加される曲げ力であり、
Ｌ_ｍ（β_１）はモーメントアームであり、また
β_１は曲げ角度である。

【0017】

したがって、方法は、断面モーメントを計算するために曲げ角度を使用する工程によって特徴付けられた単純な３点曲げ方法である。

【0018】

「単純に支持される」によって、試料の各々の端部が自由な回転（または移動）をすることができ、また各々の端部支持はいかなる曲げモーメントも有しないことが意味される。これは典型的には、外力が印加されるときにナイフによって生成されたモーメントは曲げが行われる中心線に沿って生成されたモーメントによって平衡され、またプレートとローラーとの間の接触点においていかなる追加的な曲げまたは力の消散も行われないように、試料を平行なローラーを用いて支持することによって達成される。

【0019】

しかしながら、単純に支持された試料を達成するための代替的なやり方は、曲げの間のダイ支持部にわたる試料の端部の本質的に摩擦のない移動を確保するために潤滑剤を使用することを含む。この実施はマイクロ曲げ試験（すなわち、曲げ試験のダイ幅が１ｃｍより小さく、さらに数μｍまで小さい場合があり、ローラーをダイ支持部として使用することは可能でさえない場合がある）を実行するために使用される装置に特に良好に適合している。

【0020】

「同一のエッジ形状を有するダイ支持部」によって、試験の間に曲げナイフが動くときに、第一のダイ支持部と曲げナイフとの間に印加される曲げモーメントが、曲げナイフと第二のダイ支持部との間に印加される曲げモーメントとが正確に適合するように、ダイ支持部が相互に効果的に鏡面対称であることが意味される。典型的には、これはローラーなどの同一のダイ支持部を使用することによって達成されるが、摩擦が十分低いという条件で支点（すなわち、尖った頂部）または丸みのあるエッジ形状（図４５に示すような）などの他の支持形状を使用することができる。

【0021】

ダイ支持部のエッジ形状は、典型的には一定の半径を有する。これは曲げの間の摩擦のない動きを容易にし、かつＲ_ｄが一定のままになるのでモデルを単純化する。ダイエッジにおいて一定の半径を有する非ローラー支持部の例が図４５のマイクロ曲げ装置で示される。

【0022】

試料はダイ開口部の幅にわたって一定の断面を有することが好ましい。

【0023】

試料はダイ開口部の幅にわたって一定の厚さを有することが好ましい。

【0024】

管などの中空試料は、３点曲げ試験の間に時として座屈する可能性があり、これは力／変位プロファイルの不連続につながる。したがって、典型的には、試料は中実（すなわち、中空でない）断面を有する。

【0025】

典型的な試料のタイプとしては、バー、梁、及びプレートなどのように一定の断面を有するものが挙げられる。プレートは特に好ましい。

【0026】

したがって、本開示は、以下の工程を含む、材料を特徴付ける方法に関することが好ましい。
ａ．２本の平行なローラーの間に単純に支持される材料のプレートを提供する工程であって、前記ローラーが同一の直径を有する工程と、
ｂ．曲げナイフを介して外力Ｆを提供することによってプレートを曲げる工程であって、前記力は両方のローラーの中心によって形成された平面に垂直な平面内で作用し、かつこれは両方のローラーの間の中心線においてプレートと交差し、前記曲げナイフは少なくともプレートの長さ全体に延在する、工程と、を含み
ｃ．方法は、以下の式［１］を使用して材料の断面モーメントＭ、を計算する工程を含み、

【数2】

[この文献は図面を表示できません]

式中、Ｆは印加される曲げ力であり、
Ｌ_ｍ（β_１）はモーメントアームであり、また
β_１は曲げ角度である。

【0027】

曲げ角度β_１は、外力による曲げの間にダイ支持部（例えば、ローラー）のうちの１つとの接触点において試料（例えば、プレート）の表面法線によって動かされる角度である（すなわち９０°（またはπ／２ラジアン）から試料（例えば、プレート）の開始平面と曲げられた平面との法線ベクトルの間の鋭角を引き算したものであり、開始平面は２つの平行なダイ支持部（例えば、ローラー）の中心線によって形成された平面に対応し、曲げられた平面は１つのダイ支持部（例えば、ローラー）の中心線と、ダイ支持部（例えば、ローラー）と試料（例えば、プレート）との間の接触線とによって形成された平面に対応し、この平面は、ダイ支持部（例えば、ローラー）に接触する点における試料（例えば、プレート）の法線を含む。

【0028】

角度β_１は、ＶＤＡ ２３８−１００標準、ＩＳＯ ７４３８：２０１６及び同様のものなどの曲げ試験からの標準式を使用する、曲げのセットアップの幾何学形状から容易に計算することができる。完全性のために、β_１を計算する好適な式を以下に提供する。

【数3】

[この文献は図面を表示できません]

式中、
Ｌ_０はダイ幅の半分であり、
Ｑ＝Ｒ_ｋ＋Ｒ_ｄ＋ｔであり
Ｒ_ｋはナイフ半径であり、
Ｒ_ｄはダイエッジの半径（ローラー半径）であり、
ｔは試料厚さであり、
Ｓは曲げナイフがこれを通して変位する垂直距離である。

【0029】

当業者には明白であろうように、式［０］の最終項（１８０／π）は、逆正弦関数からの結果をラジアンから度へと単に変換しているだけである。この項はスカラーであり、そしてβ_１を計算するうえで決定的ではない。

【0030】

β_１を計算するさらなるやり方は、以下の式を使用する。

【数4】

[この文献は図面を表示できません]

【0031】

Ｌ_ｍ（β_１）は、角β_１におけるモーメントアームである。これは、真っ直ぐなフランジを仮定して、ナイフ及びダイのそれぞれの表面と角β_１との交点の間の水平距離に対応する（図３ａ及び図３１を参照のこと）。

【0032】

当初は水平であるプレート（またはより一般的には試料）については、これはプレート（またはより一般的には試料）のローラーのうちの１つとの接触点における表面法線と垂線との間の角度と同等である。

【0033】

好ましい実施形態では、この目的は、ＶＤＡ ２３８−１００標準または類似の摩擦のない曲げ試験により曲げ試験を実行する工程を含む方法によって、すなわち、プレート曲げ試験を該標準に記述される通りに、該標準に記述される試験機器を使用して、該標準に記述されるやり方で試料を調製して、該標準に記述される試験条件下で、該標準に記述される手順を使用して、実行し、かつ標準に記述されるパンチストロークから曲げ角度β_１（ＶＤＡ ２３８−１００標準からの曲げ角度αの半分に等しい）を判定することによって、達成される。方法は、以下の式［１］を使用して材料の断面モーメントＭ、を計算する工程も含む。

【数5】

[この文献は図面を表示できません]

式中、Ｆは印加される曲げ力であり、
Ｌ_ｍ（β_１）はモーメントアームであり、また
β_１は曲げ角度である。

【0034】

次いで、この計算された断面モーメントＭは、材料の実際の応答を予測するために使用されてもよい。

【0035】

材料の断面モーメント（通常ＶＤＡ ２３８−１００標準試験などの試験を使用して決定される印加される力ではなく）を計算することによって、その結果として流動応力σ_１すなわち、曲げられた材料のおおよその断面応力プロファイルのプロファイル）が以下の式［２］を使用して決定されてもよい。

【数6】

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式中、主歪みε_１は［３］から計算される。

【数7】

[この文献は図面を表示できません]

式中Ｂは曲げの長さ（すなわち、試料（例えば、プレート）のダイ支持部に平行に延びる寸法での長さ）であり、ｔは試料厚さ（単位：ｍｍ）である（図３ａ及び図３ｂを参照のこと）。β_２は、該材料が曲げられる真の角度（単位：度）である。

【0036】

本明細書で使用される場合、
試料（例えば、プレート）の幅Ｌは、ダイ開口部を横切って（すなわち平行なダイ支持部の対の間に）延びる寸法であり、
試料（例えば、プレート）の長さＢは、ダイ支持部と平行に延びる寸法であり、
一方で、試料（例えば、プレート）の厚さｔは、曲げの間にナイフが移動する方向に延びる寸法である。

【0037】

したがって、「少なくとも試料の全体長さに延在する曲げナイフ」によって、いかなる座屈もなしに均一な曲げが形成されるように、曲げナイフが試料全体にわたって力を行使する能力を有することが意味される。

【0038】

「ダイ支持部」によって、試料（例えば、プレート）と接触するダイのエッジが意味される。本開示では、ダイ支持部は典型的にはローラー（すなわち、軸を中心として自由に回転する円筒）の外側のエッジである。２つのダイ支持部は、ダイ開口部にわたる均一な距離を確保するために平行である。

【0039】

主歪みε_１に対する上記の式［３］は、曲げられる材料が弾性的に変形する場合正確であることがわかってきた。しかしながら、材料がその弾性限界を超える場合には、典型的には塑性変形が発生する。これらの条件下では式［３］は正確ではなく、その代わりに以下の式［４ｂ］を使用するべきである。

【数8】

[この文献は図面を表示できません]

【0040】

本明細書で使用される際、式が［Ｘａ］または［Ｘｂ］または［Ｘｃ］等として表現される場合、これらは実際には同等であり、かつ交換可能であり、値は単に代替的なパラメーターを使用しているだけである。典型的には、［Ｘａ］／［Ｘｂ］等として表現される式は、一般的な記述では［Ｘ］として参照されることになる。

【0041】

式［４ａ］及び［４ｂ］は等価であるが、大きい歪みに対して一般的かつ有効なので、実際には式［４ｂ］が使用される。

【0042】

式［４ｂ］は弾性変形と塑性変形との両方に対して正確であり、そのためすべての状況で主歪みε_１の正確な値を得るために式［３］の代わりに使用されてもよい。これらの式では、
Ｒは材料とナイフとの間の接触点における曲率の形状の半径である。
Ｌ_Ｎ（β_１、β_Ｃ）は、実際のモーメントアーム、またはナイフにおける実際の接触点とダイ半径との間の水平距離（すなわち、ナイフ及びダイが曲げられるプレートに接触するところの間の距離）である。
β_Ｃは、ナイフと材料との間の接触角（すなわち、曲げナイフの表面に接触する材料に対する角度）である。
Ｕは、式［５ａ／５ｂ］を使用して計算されたエネルギーである。

【数9】

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【0043】

式［５］では、
Ｓは曲げナイフがこれを通して変位する垂直距離である。
β_２は試料が曲げられる真の角度である。

【0044】

エネルギーＵは、曲げの間に材料によって吸収される弾性エネルギー及び塑性エネルギーに対応する。実際には、曲げの間に印加される力及び曲げナイフの変位は容易に測定されうるので、これは典型的には式［５ａ］を使用して計算される。

【0045】

式［４ｂ］から、以下の関係も見ることができる。

【数10】

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【0046】

本開示による方法は、材料の曲げに対する応答のすべての部分を、たった１つの単純な曲げ試験を使用してその外側表面からその中心までのその厚さ全体を通して決定することができるようにする。

【0047】

本開示による方法は、いつ材料が塑性歪みの局所化を呈するかを示すためにも使用されてもよい。本開示による方法を使用してキンキングも予測される場合がある。

【0048】

本開示は、ＶＤＡ ２３８−１００標準などの標準試験は材料の曲げの実際の応答を正確に予測しないという洞察に基づく。ＶＤＡ ２３８−１００標準試験を使用して実行された実験は、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験によって決定された最大曲げ力を上回ったときでさえ、いかなる金属材料の欠陥も発生しなかったという事例を含む。延性材料については、曲げの間に印加される曲げ力（ＶＤＡ ２３８−１００標準試験におけるような）は常に最大レベルに達し、その後、角速度の減少に起因して減少することがわかってきた（これは理論的に実証することができる）。断面モーメントＭの決定（そして印加される曲げ力Ｆは決定しない）は、したがって材料の実際の曲げ応答のより正確な予測を提供する。

【0049】

さらに、本開示の方法論を使用して、導関数によってその極値を見出すことによって自然最大力が発生する時の角度位置を決定することができる。

【数11】

[この文献は図面を表示できません]

【0050】

したがって、一定のモーメントＭを仮定すると、断面がその定常状態レベルに達した時、

【数12】

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式中、Ｌ_０＝ダイ幅の半分（すなわち、ローラーの中心間の距離の半分）、Ｒ_ｄ＝ダイのエッジ（ローラー）の半径、Ｒ_ｋ＝ナイフの半径、そしてβ_Ｆｍａｘは、Ｆ_ｍａｘにおける曲げ角度である。

【0051】

次いで、Ｆ_ｍａｘは以下のようになる。

【数13】

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【0052】

おおよその最大曲げモーメントは以下のように見積もられる。

【数14】

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式中、Ｂ＝曲げの長さ（すなわち、試料の曲げられる長さ、図３ｂを参照のこと）、ｔ＝厚さ、そしてＲ_ｍ＝最終的な強度である。

【0053】

断面モーメントが一定という条件を仮定すると、自然のＦの最大値に対する角度位置は試験装置の幾何学形状のみに依存することが本明細書で示される。しかしながら、材料がモーメント硬化挙動を示す場合、自然のピーク負荷は若干後に現れることになる。

【0054】

本開示の方法を使用すると、曲げ試験の間に材料が最大自然力を通過したときに操作者は情報を受けることができる。一部の事例では、すなわち、その延性に依存して、強度がおおよそ８００ＭＰａ（例えば、８００〜１０００ＭＰａ）のレベルまで（または、第三世代鋼に対してはさらに高いレベルに対してさえ）の軟鋼に対しては、曲げ試験での材料の明白な欠陥（すなわち、曲げ試験の間に印加される力が下がる）以前にこの最大自然力に達する場合があり、本開示の方法論の材料の曲げ特性を決定する上で、標準の方法論を使用しては別の方法で導き出すことができない有用性を示す。ＶＤＡ ２３８−１００試験などの標準方法論の最大力を決定するうえでの欠陥は、印加される力及び曲げ角度の非線形性に起因して起こり、これは本開示の方法論を使用して補償される（下記の実施例を参照のこと）。

【0055】

本開示による方法は、ＶＤＡ ２３８−１００などの標準試験と置き換えることを意図しないが、これらを補完するものであることに注目すべきである。また、従来の空中曲げ試験に対して、ナイフ半径と材料の厚さの比率、すなわちＲ／ｔ比率に関して推奨される材料の曲げ性の限界決定に対する必要性もまだある。しかしながら、その構造に関連して曲げの間の材料の挙動を調査できるようにする本開示による方法などの補完する方法に対する必要性もある。本開示による方法は、すなわち材料（特に金属材料）の中のキンキング傾向または不均一性を検出及び解析できるようにする。

【0056】

本開示の実施形態により、方法はβ_２及び計算された断面モーメントＭのグラフをプロットし、モーメント曲線の弾性部分の傾きを決定することによって材料のヤング率Ｅを見積もる工程を含む。これにより傾きは以下のようになる。

【数15】

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式中Ｉは慣性モーメントであり、またＥ’は平面歪み内のヤング率であり以下により得られる。

【数16】

[この文献は図面を表示できません]

式中νはポアソン比である。鋼に対しては、これは以下のように表すことができる。

【数17】

[この文献は図面を表示できません]

【0057】

より一般的には、ヤング率は式［１３］（式［５５］に基づく）を使用して示されてもよいことがわかった（図１６ｂを参照のこと）。

【数18】

[この文献は図面を表示できません]

【0058】

次いで、式［１１］を使用することによって、これを有効歪み（Ｅ）に対する有効ヤング率へと変換することができる。

【0059】

本開示の実施形態により、計算された断面モーメントＭ、または計算された流動応力σ_１、または見積もられたヤング率Ｅ’、または比率Ｍ／Ｍ_ｅ、または計算された平面歪みε_１は、材料から成る製品を最適化するために使用され、すなわち、計算された断面モーメントＭ、または計算された流動応力σ_１、または見積もられたヤング率Ｅ’、または比率Ｍ／Ｍ_ｅ、または計算された平面歪みε_１は、特定の曲げ力に耐えるためにこの材料を利用する製品をどのように寸法決定、構築、及び／または設計するべきかを決定するために使用され、これによってその特定の用途に対する適合性が確かめられる場合がある。

【0060】

本開示の方法論は原理的には幅広い材料に対して適用可能であり、また本開示はＶＤＡ
２３８−１００標準に関連して提示されるが、本開示を金属材料に限定された観点から見るべき理由はない。当業者には明白であろうように、本明細書で開示される方法論は、材料の構造的特性を弾性（すなわち、可逆）変形及び塑性（すなわち、不可逆）変形の両方の下で調査できるようにする。したがって、原理的には本明細書で開示される方法論を使用して任意のタイプの構造材料を調査することができる。唯一の実際の制限は、試験装置に単純に支持される時に、曲げナイフによって生じたたわみに起因して材料に誘発された変形が発生するように、その自重の下であらゆる有意な変形に対して耐えるように材料が十分に強いことである。ほとんどの事例では、これは単に好適な厚さ及び幅の試料を選択する当業者の問題にすぎず、これは十分に当業者の能力の範囲内であることになる。

【0061】

したがって、好適な材料には、金属材料、塑性材料、生物的材料、または複合材料を含む。

【0062】

好適な塑性材料には、シート状のポリオレフィン、ポリエステル、ポリアミド、ポリイミド、ポリアクリレート、ポリ塩化ビニル、ポリカーボネート、ポリフェニレンオキシド／サルファイド、ポリスチレン、ポリエーテルスルホン、ポリエーテルエーテルケトン（ＰＥＥＫ）、ポリエチレンオキシド及び同様のものなどの熱可塑性プラスチックを含む。

【0063】

「生物的材料」によって、木材及び骨を含む植物または動物に由来する材料が意味される。

【0064】

好適な複合材料は、積層品（例えば、金属積層品、塑性積層品）、及び強化塑性樹脂（例えば、炭素繊維、ユニウィーブ（ｕｎｉｗｅａｖｅ）樹脂、及び同様のもの）を含む。複合材料は、合板、ＭＤＦ、及び同様のものなどの複合木材製品も含む。

【0065】

好適な金属材料は、金属、合金、及び複合材料（すなわち、多層体）金属製品（例えば、二層（もしくは多層）金属積層品、亜鉛めっき、または他の「金属コーティング」した金属）を含む。

【0066】

特に好ましくは、材料は金属材料である。

【0067】

金属材料は、鋼（高強度鋼もしくは超高強度鋼など）、アルミニウム合金、もしくはマグネシウム合金であってもよく、または任意の他の金属または金属合金を含んでもよい。

【0068】

本開示の実施形態によると、材料は、冷間圧延鋼または熱間圧延鋼などの冷間圧延金属材料または熱間圧延金属材料であってもよい。

【0069】

本明細書で使用される場合、「高強度鋼」は２５０ＭＰａから最高５５０ＭＰａの降伏強度を有し、一方で「超高強度鋼」は５５０ＭＰａ以上の降伏強度を有する。

【0070】

本明細書で使用される場合、引張強度はＩＳＯ６８９２−１またはＥＮ１０００２−１を使用して測定され、好ましくはＩＳＯ６８９２−１を使用して測定される。

【0071】

開示される式を使用して異なる材料に対して得られたモーメント特性を重ねて、多層タイプの材料の断面挙動をシミュレーションしてもよい。これは、本明細書で開示される方法によって特徴付けられる個々の層の曲げ特性に基づいて多層材料の曲げ特性を予測できるようにする。

【0072】

本開示の実施形態により、方法は材料のモーメント特性、すなわち材料の断面モーメントＭを得る工程と、自由選択の曲げのセットアップのために、以下の式を使用して材料のスプリングバックを見積もるためにこれを使用する工程とを含む。

【数19】

[この文献は図面を表示できません]

【0073】

または、代替として、

【数20】

[この文献は図面を表示できません]

除荷した状態におけるフランジのおおよその長さＷ_ｍは、

【数21】

[この文献は図面を表示できません]

また、ナイフと接触している材料の長さの半分は、

【数22】

[この文献は図面を表示できません]

であり、式中、
Δβ_ｔｏｔはスプリングバックの総量であり、
β_Ｓｅｌはフランジのスプリングバックであり、
β_Ｃｅｌはナイフと接触している材料に関連するスプリングバックであり、
Ｍ_Ｌはナイフ半径に起因する曲率の制限のために低減されたモーメントであり、
Ｌ_Ｎはモーメントアーム（湾曲したフランジを考慮した接線接触点間の水平距離）であり、
Ｗ_ｍはフランジの見積もられた長さ（すなわち、ダイから角β_Ｃが中立層と交差するところまで延在する中立層の長さ）であり、
Ｗ_Ｃは、ナイフによって形作られた材料の中立層の長さ（すなわち、ナイフを包む中立層の長さであり、角β_Ｃに対する中立層の長さと同等である）であり、
Ｒ_ｋは、ナイフ半径であり、
β_Ｃは材料とナイフとの間の接触角（すなわち、曲げられる試料に接触するナイフの表面によるナイフの半径に対する角度）であり、
β_１は曲げ角度である。

【0074】

「中立層」は当業者が精通しているであろう概念であり、曲げの間にいかなる圧縮または引張も受けない曲げられる試料の面を表す。したがって、３点曲げを受ける物質は複数の繊維から成ると見ることができると仮定する。曲げナイフが曲げ力を上方から印加するとき、試料の上面におけるこれらの繊維は、圧縮力を受け、一方で下面における繊維は伸展力を受け、両方の力は曲げの形状によって誘発される（曲げの外側の表面は延ばされ、一方で内側の表面は収縮される）。中立層は引張と圧縮とが平衡する層であり、曲げの間、名目上繊維の長さの変化がないことになる。この中立層の描写は図４４に概略的に示される。

【0075】

とりわけＬ_Ｎ、β_Ｃ、Ｗ_Ｃ、及びＷ_ｍの図式的な表示が図３２に示される。

【0076】

本開示の別の実施形態によると、方法は、材料断面モーメントＭを得る工程と、以下の式を使用して材料の摩擦係数μを見積もるためにこれを使用する工程とを含む。

【数23】

[この文献は図面を表示できません]

式中、Ｍ_ｍｔｒｌは、材料に対して、摩擦のない曲げ試験機器を使用して得られた断面モーメント特性である。

【0077】

本開示は、コンピューター可読媒体上または搬送波上に保存された本開示の実施形態による方法の計算工程を、コンピューターまたは少なくとも１つのプロセッサに実行させるように準備された、コンピュータープログラムコード手段を含むコンピュータープログラムを備えるコンピュータープログラム製品にも関し、すなわち、本明細書に記述されるコンピュータープログラム製品は、これによって材料の断面モーメントＭ、及び／または他の特性のいずれかを計算するために使用されてもよい。

【0078】

本開示は、非限定的な実施例によって添付図面を参照しながら以下にさらに説明される。

【図面の簡単な説明】

【0079】

【図1】先行技術によるＶＤＡ ２３８−１００標準試験を使用する金属材料の曲げ性を決定するために使用される線図。

【図2】本開示の実施形態による方法の工程を示す図。

【図3a】本開示の実施形態による曲げの間に材料に作用する力及びモーメントを概略的に示す図。

【図3b】試料、ローラー、及び曲げナイフの位置、並びに本明細書で参照する様々な寸法を記述するために使用される変数を概略的に示す図。

【図4】ＶＤＡ ２３８−１００標準試験からの従来の力−曲線を示す図。

【図5】モーメントに対する従来の式を使用して計算された従来のモーメント曲線を示す図。

【図6a】曲げ試験の間にフランジが湾曲したときに生じるナイフにおける接触角β_Ｃを示す図。

【図6b】ナイフが下方へ動き、曲げが誘発される際にどのようにして接触角β_Ｃが生じるかを示す図。

【図7】本開示により計算された断面モーメントを使用して計算されたモーメント曲線Ｍ_ｔｏｔを示す図。

【図8】７００ＭＰａでの鋼の試験から得られた引張試験データを示す図。

【図9】７００ＭＰａの鋼の引張試験データに基づく計算された曲げ力と同一の材料で異なるストローク長さを用いて実施された３つの曲げ試験との間の比較を示す図。

【図10】金属材料のコイルを概略的に図示した図。

【図11】曲げにおける理論的な弾性断面モーメント及び最大断面モーメントを示す図。

【図12】曲げにおいて測定された力対ナイフ位置を示す図。

【図13】本開示により計算された断面モーメントを示す図。

【図14a】式［３］を使用して計算された歪みに対してプロットされた、計算された無次元モーメントＭ／Ｍ_ｅを示す図。

【図14b】式［４ｂ］を使用して計算された歪みに対してプロットされた、計算された無次元モーメントＭ／Ｍ_ｅを示す図。

【図15a】歪みを計算するために式［３］を使用し、本開示により計算された断面モーメントを使用して得られた流動応力を示す図。

【図15b】歪みを計算するために式［４ｂ］を使用し、本開示により計算された断面モーメントを使用して得られた流動応力を示す図。

【図16a】本開示による方法を使用して得られるヤング率の見積もりを示す図。

【図16b】代替的な方法論を使用して得られるヤング率の見積もりを示す図。

【図17】引張試験及び曲げ試験から得られたＭ／Ｍ_ｅ値の比率の比較を示す図。

【図18】自由選択の幾何学的セットアップに対するスプリングバックを見積もる方法の工程を示す図。

【図19】材料の曲率の形状の見積もりの原理を示す図。

【図20】曲げ内のエネルギーの分布を示す図。

【図21】試験される特定の材料からの曲げの間の接触角β_Ｃ及び形状角β_Ｓのそれぞれの変化を示す図。

【図22】本開示による方法を使用して計算した（単一の参照試験に基づく）力対変位、及び実施された試験の比較を示す図。

【図23】曲げ試験の間の曲げ負荷及び摩擦力を示す力ベクトルを示す図。

【図24】異なるレベルの摩擦が関与する曲げを受ける各種の厚さ６ｍｍの高強度鋼に対するモーメント対曲げ角度を示す図。

【図25】異なるレベルの摩擦が関与する曲げを受ける各種の厚さ６ｍｍの高強度鋼に対する力対変位を示す図。

【図26】鋼曲げの実際の製造から達成された測定された力と本開示の方法を使用して計算された力との間の比較を示す図。

【図27】曲げセットアップの幾何学形状による、実験的に測定された力とＦ_ｍａｘにおいて計算された角度との間の比較を示す図。

【図28】実施例５で複合材料を形成するために使用される母材のモーメント特性を示す図。

【図29】実施例５の複合材料構造内の様々な層に対するモーメント曲線を示す図。

【図30】ＤＸ９６０母材の同等な厚さの実際の曲線と比較した、実施例５の複合材料構造の予測されたユニットフリーモーメント曲線を示す図。

【図31】Ｓを同一の増分で増加する角β_１と角β_２との間の差の表示を示す図。

【図32】曲率対位置プロットで曲げアームＬ_Ｎを横切る座標Ｘの表示を示す図。

【図33】実施例６からの３０°に曲げられた鋼に対する１／Ｒ対Ｘのプロットを示す図。

【図34】実施例６からの理論的及び測定された曲げ力対曲げ角度のプロットを示す図。

【図35】実施例６からの曲げモーメント対曲げ角度のプロットを示す図。

【図36】実施例７の曲げられた鋼に対する理論的及び測定された力対ナイフ位置を示す図。

【図37】実施例７からの曲げモーメント対曲げ角度のプロットを示す図。

【図38】実施例８からの曲げモーメント対曲げ角度のプロットを示す図。

【図39】実施例８の曲げられた鋼に対する理論的及び測定された力対ナイフ位置を示す図。

【図40】実施例８の６ｍｍの材料に対する歪み対Ｘ位置を示す図。

【図41】キンキングの特徴を示すために拡大した図４０のプロットを示す図。

【図42】実施例８の６ｍｍの材料に対するＭ／Ｍ_ｅ対歪みを示す図。

【図43】実施例８の６ｍｍの材料に対する流動応力対歪みを示す図。

【図44】中立層の表示を示す図。

【図45】実施例９で使用されるマイクロ曲げ装置の写真。

【図46】実施例９で試験される材料に対する力対ナイフ位置のプロットを示す図。

【図47】実施例９で試験される材料に対する応力対歪みのプロットを示す図。

【図48】実施例９で試験される材料に対するモーメント対曲げ角度β_１のプロットを示す図。

【発明を実施するための形態】

【0080】

本明細書では以下の略語が使用される。
Ｍ ＝断面（曲げ）モーメント
Ｍ_Ｍａｘ ＝最大曲げモーメント
Ｍ_Ｌ ＝ナイフ半径に起因する曲率の制限のために低減されたモーメント
Ｍ_ｍｔｒｌ ＝摩擦のない曲げ試験機器を使用して得られた断面モーメント特性
Ｍ_１ ＝断面モーメントＭの成分
Ｍ_２ ＝断面モーメントＭの成分
Ｍ_ｔｏｔ ＝Ｍ_１＋Ｍ_２
Ｍ_ｅ ＝弾性断面モーメント
Ｆ ＝印加された力
Ｆ_ｍａｘ ＝最大の印加された力
Ｆ_{ｔｈｅｏｒ} ＝理論的な力
Ｓ ＝曲げナイフがこれを通して変位される垂直距離
Ｓ_ｘ ＝ナイフにおける接触点の水平移動
Ｓ_ｙ ＝ナイフ表面に沿って上向きに移動することを考慮した接触点の総垂直移動
Ｂ ＝試料の長さ（ローラーに平行な次元での曲げの長さ、または試料の長さ）
ｔ ＝試料の厚さ
β_１ ＝曲げ角度
β_２ ＝試料（例えば、プレート）が曲げられる真の角度
Δβ_１２ ＝β_１とβ_２との間の差
β_Ｃ ＝材料とナイフとの間の接触角
β_Ｓ ＝形状角度（フランジの曲率の形状）
Δβ_ｔｏｔ ＝スプリングバックの総量
β_Ｓｅｌ ＝フランジのスプリングバック
β_Ｃｅｌ ＝ナイフと接触している材料に関連するスプリングバック
β_Ｆｍａｘ ＝Ｆ_ｍａｘにおける曲げ角度
β^＊ ＝他のパラメーターを計算するときに固定された、選択された曲げ角度
Ｌ_０ ＝ダイ幅の半分（すなわち、２つのローラーの中心点の間の距離の半分）
Ｌ_ｍ（β_１） ＝角β_１におけるモーメントアーム（接線の接触点間の水平距離）
Ｌ_Ｎ（β_１，β_Ｃ） ＝実際のモーメントアーム（ナイフにおける実際の接触点間の水平距離及びダイ半径、すなわちナイフ及びダイが曲げられる試料（例えば、プレート）と接触するところの間の距離）
Ｌ_ｅ ＝中立層の水平距離のモーメントアーム（すなわち、角β_１と中立層との交点間の中立層の水平距離）
Ｗ_ｍ ＝プレート内の中立層のダイと、ナイフと接触する点と、の間の長さで、ダイにおけるβ_１の中立層との交点から開始し、ナイフにおけるβ_Ｃの中立層との交点までの長さに対応する（すなわち、フランジの中立層のナイフ及びダイとの接触の間の見積もられた長さ−図３２を参照のこと）
Ｗ_Ｃ ＝ナイフによって形状にされた材料の中立層の長さ（図３２を参照のこと）
ｄＷ_ｍ ＝湾曲した材料の長さの中立層に沿った増分
ａ ＝モーメントアームＬ_ｅに基づく中間層の長さ
Ａ ＝モーメントアームＬ_ｍに基づく中間層の長さ
Ｘ ＝曲げアームＬ_Ｎに沿った座標
ｂ ＝図３１に示すような増分移動での周辺距離
Ｒ ＝曲げられる材料の曲率の半径
Ｒ_ｄ ＝ダイエッジの半径（すなわち、曲げの間試料が枢動するダイの湾曲したエッジ部分の半径）。ダイがローラーであるときは、これはローラー半径に対応する
Ｒ_ｋ ＝ナイフ半径
Ｒ_ｍ ＝最終強度
σ_１ ＝流動応力（平面歪み）

【数24】

[この文献は図面を表示できません]

ε_１ ＝主歪み（平面歪み）

【数25】

[この文献は図面を表示できません]

Ｅ ＝ヤング率
Ｅ’ ＝平面歪みでのヤング率
Ｕ ＝曲げの間に材料によって吸収される弾性エネルギー及び塑性エネルギー
Ｕ_ｅｌ ＝曲げにおける弾性エネルギー
Ｉ ＝慣性モーメント
μ ＝材料の摩擦係数
μ_ｄ ＝材料とダイエッジ（ローラー）半径との間の摩擦
ν ＝ポアソン比

【0081】

「単純に支持される」によって、試料の各々の端部（例えば、プレート）が自由に回転でき、また各々の端部支持部がいかなる曲げモーメントも有しないことが意味される。これは典型的には、外力が印加されるときにナイフによって生成されたモーメントは曲げが行われる中心線に沿って生成されたモーメントによって平衡され、またプレートとローラーとの間の接触点においていかなる追加的な曲げまたは力の消散も行われないように、試料（例えば、プレート）を平行なローラーを用いて支持することによって達成される。

【0082】

典型的には、ローラー（またはより一般的にダイエッジ）の上に置かれたとき、試料（例えば、プレート）は実質的に水平である。「実質的に水平」によって、曲げの前にローラーの上で平衡したとき、試料（例えば、プレート）が重力のために動きはしないことが意味される。実際には、試料（例えば、プレート）は典型的には水平であるが、当業者は、曲げナイフによって印加される力が２つのローラーの中心によって形成される平面に対して垂直な平面内であり、かつこれが２つのローラーの間の中心線の全体長さに沿った試料（例えば、プレート）と交差するという条件であれば水平からの非常に小さい変動も使用できることを理解するであろう。言いかえれば、試験が開始するときに試料（例えば、プレート）が、例えば、水平から２度であった場合、曲げナイフは試験の間垂直から同一の量（２度）の方向に移動（そしてその結果として力を印加）し、これにより試料の開始位置に対して垂直に曲げ力が印加される。

【0083】

曲げ力は試料（例えば、プレート）の長さ全体にわたって印加される。これは、試験の間、試料（例えば、プレート）が確実に均一に曲げられるようにし、かつ試料（例えば、プレート）の変形に起因する不完全な曲げからの内部力が生じるのではなく、ナイフに抵抗する力が確実に材料の曲げモーメントに対応するようにする。曲げ力が確実に試料（例えば、プレート）の長さ全体にわたって印加されるように、曲げナイフの長さは典型的には試料（例えば、プレート）の長さより長い。典型的には、曲げの間、曲げナイフは試料（例えば、プレート）のエッジを超えて延在する。しかしながら、端効果、すなわち、非平面歪み条件に起因して、エッジの近くではナイフは材料と接触しない。したがって、平面歪み条件の主応答を確保するためには、試料の長さは、好ましくは厚さの少なくとも１０倍である。

【0084】

試料（例えば、プレート）は、典型的には、切断バリまたは破面部分（エッジ部に存在する可能性がある）がナイフ側に（すなわち、曲げの間圧縮を受ける試料側に）位置付けられるように置かれる。

【0085】

図１は先行技術によるＶＤＡ ２３８−１００標準試験を使用する金属材料の曲げ性を決定するために使用される線図を示し、この中で金属材料の曲げ性はナイフ位置Ｓを最大の印加された曲げ力Ｆ_ｍａｘにおいて測定することによって決定される。

【0086】

図２は、本開示の実施形態による例示的な方法の工程を示す。方法は、ＶＤＡ ２３８−１００標準（または類似の摩擦のない曲げ）によりプレート曲げ試験を実行する工程と、以下の式を使用して前記材料の断面モーメントＭを計算する工程と、を含む。

【数26】

[この文献は図面を表示できません]

式中Ｆは印加された曲げ力であり、Ｌ_ｍ（β_１）はモーメントアームであり、またβ_１は曲げ角度である。計算された断面モーメントＭは、曲げの間の材料の実際の応答を予測するために使用されてもよい。

【0087】

材料を特徴付けるためのこの改善された方法は、以下のエネルギー平衡の式を研究することによって見出された。

【数27】

[この文献は図面を表示できません]

式中、Ｆは印加される力、Ｓはナイフ位置、Ｍは材料試験試料のモーメント、そしてβ_２は真の曲げ角度である。

【0088】

この式は空中曲げの間に入力されたエネルギーと試験試料によって吸収されたエネルギーとの間に平衡が必要であることを示す。材料とダイエッジ（ローラー）半径μ_ｄとの間の摩擦は無視できると仮定される。

【0089】

図３ａは、曲げの間に材料試験試料に作用する力及びモーメントを示す。Ｌ_ｍ（β_１）はモーメントアームであり、これは初期値Ｌ_０（これはダイ幅の半分である）で開始し、そしてストロークの間減少する。曲げ角度β_１は、合計曲げ角度の半分である（ＶＤＡ試験による）。

【0090】

図４は、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験からの典型的な力線図を示し、印加される力Ｆ及びナイフの垂直変位Ｓを示す。

【0091】

ナイフの垂直変位Ｓは曲げ角度β_１の関数として以下のように幾何学的に表現することができる。

【数28】

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【0092】

文献からの従来の式を適用することによって断面モーメントを計算する、すなわち

【数29】

[この文献は図面を表示できません]

そして距離Ｓも対応する曲げ角度β_１へと変換し、次いで断面モーメントＭ対曲げ角度β_１のプロットは、図５に示す形状となる。

【0093】

曲げの間、エネルギー入力

【数30】

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と、内運動量及びそのエネルギー

【数31】

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との間に不一致があることが観察され、すなわち運動量に一般式を適用すると、

【数32】

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が使用される（図５に示されるように）。文献を参照すると、曲げにおける断面モーメントは、完全な可塑化後はむしろ一定である。

【0094】

これによって、以下がわかった。

【数33】

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【0095】

理論通り、これは正しい式を与えるナイフの移動距離Ｓと曲げ角度β_１との間の関係に間違いなく、これによってエネルギー平衡が達成される。Ｓとβ_１との間の非線形性を調査することによって、印加される力Ｆと断面Ｍの間の真の関係が以下のように導出される。

【0096】

幾何関数の一次導関数を取ると、式［２３］は以下のようになる。

【数34】

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【0097】

以下の関数で、

【数35】

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曲げにおいて、材料厚さｔを除いて、Ｌ_ｅはモーメント−アームＬ_ｍにほぼ等しい。

【0098】

幾何学的に、実際のモーメントアームは以下の通りである（図３ａを参照のこと）。

【数36】

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【0099】

次いで、エネルギー平衡の式、式［５ａ／５ｂ］は、導関数、式［２７］を使用して以下のように表現することができる。

【数37】

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【0100】

ここで新しい角度β_２が導入され、すなわち、エネルギー平衡に起因して曲げにおける実際の角度となり、またこれは適用される幾何学的曲げ角度β_１とは異なる（図３ａを参照のこと）。小さい曲げ角度β_１に対しては、断面モーメントＭは

【数38】

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に等しく、本明細書ではＭ_１と呼ばれる。

【0101】

大きい曲げ角度を仮定すると、合計モーメントＭ_ｔｏｔはＭ_１とＭ_２の和となり、ここでＭ_２は未知の関数であるが、関数Ｍ_１の倍数と仮定され、Ｍ_ｔｏｔは以下のように表現することができる。

【数39】

[この文献は図面を表示できません]

【0102】

エネルギー平衡式を平衡するために、比率：

【数40】

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は、以下の式と等しいと仮定される。

【数41】

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これは、以下のようになる。

【数42】

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よって、

【数43】

[この文献は図面を表示できません]

は次に以下のようになる。

【数44】

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最終的に、断面モーメントＭの式は以下のようになる。

【数45】

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【0103】

この材料の曲げ挙動をより正確に予測する正しい断面モーメントＭの定式化は、大きい曲げ角度（すなわち典型的には６°より大きい角度）でさえ有効である。

【0104】

図７は、合計モーメントＭ_ｔｏｔをＭ_１とＭ_２との和として示す。一般式、Ｍ_１は、小さい曲げ角度（すなわち、最高約６°まで）に対してのみ有効である。角度β_２は材料が曲げられた真の角度であり、印加された曲げ角度β_１と同一ではない。

【0105】

フランジが湾曲している場合でさえもこの解が有効であることは理論的に確認することができ、すなわち、通常の曲げの間の場合のように、接触点は角β_１ではなく角β_Ｃで発生することになる（図６ａ、図６ｂ、及び図３２を参照のこと）。

【0106】

詳細には、図６ａは、ナイフにおける試料（例えば、プレート）の曲率に起因して、及びナイフ自体の半径に起因して、材料と曲げナイフとの間の接触角β_Ｃが、ローラーにおいて試料（例えば、プレート）に垂直な表面によって動かされる曲げ角度β_１とはどのように異なるかを示す。図６ｂは、ナイフが下へ移動する（すなわち、垂直変位ｄＳが増加する）につれて、この接触点が曲げの中心点から外向きにどのようにそれるかを示す。図３２は、β_Ｃが試料（例えば、プレート）の曲率とどのように関係するかのより明確な表示を示す。

【0107】

したがって、

【数46】

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ここで、接触点の動きは以下によって記述される。

【数47】

[この文献は図面を表示できません]

【0108】

Ｓは垂直ナイフ移動であり、Ｓ_ｘはナイフにおける接触点の水平移動であり、そしてＳ_ｙはナイフ表面に沿って上向きに移動することを考慮した接触点の合計垂直移動である（図６ａ、図６ｂ、及び図３２を参照のこと）。
よって、

【数48】

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【0109】

上記の計算は曲げ角度β_１及びβ_２を参照し、かつこれら２つのパラメーターの間の違いを明確化する価値がある。

【0110】

曲げ角度β_１は、厳密に真っ直ぐなフランジを仮定して幾何学的に計算することができる、曲げに使用される従来の角度である。かかる仮定を使用すると、ナイフとダイとの両方における接触角は同一であり、かつβ_１と等しい。

【0111】

真の角度β_２は、エネルギー平衡、Ｆｄｓ＝２Ｍｄβに基づいてモーメントアーム、すなわち、Ｌ_ｍ（ここではまだまっすぐなフランジを考える）の正しい長さを考慮に入れる。真の角度β_２とモーメントアームの正しい定式化Ｌ_ｍとの組み合わせは、特に、より厚い材料及び大きい曲げ角度に対してより正確な計算ができるようにする。

【0112】

モーメントアームＬ_ｍは接線の接触点（ナイフ及びダイ半径）間の水平距離であるが、一方でモーメントアームＬ_Ｎは実際の接触点間の水平距離である。中立層と関係があるモーメントアームはＬ_ｅと呼ばれ、かつ実際の曲げ角度β_２と関連して定義される

【0113】

これらのパラメーターは図３１及び図３２に示される。図３１では、ａとＡとの両方の寸法は、以下の式により、モーメントアームＬ_ｅとＬ_ｍに基づく中間層の長さを表す。

【数49】

[この文献は図面を表示できません]

【0114】

Ａとａとの間の差異は線の端点である。したがって、ａは接線が試料の表面と交差する点の間の距離に関して定義される。対照的に、Ａは、ダイ及びナイフ上の接線点から延びる垂直線に関して定義されるので、中間層及びその角度変化ｄβ_２を表す。

【0115】

しかしながら、垂直変位ｄＳは、曲げ角度β_１を介して周辺距離ｂに直接的に関連する。周辺距離ｂは、距離ａとＡとの両方を介して表現することができるが、Ａ＞ａとして、角度ｄβ_１及びｄβ_２のそれぞれでの異なる増分の関数としてである。どちらの場合にも、垂直変位ｄＳは同一である必要がある。

【数50】

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長さＡはａより大きいので、曲げ角度ｄβ_２はｄβ_１より小さいことになる。
よって、

【数51】

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【0116】

平面歪み（または主歪み）ε_１は、以下に記載するように、曲げにおけるエネルギー入力の量からも導出することもできる。

【0117】

以下の式は、湾曲している材料の中間層の形状半径と合計長さとの間の関係に関して周知である。

【数52】

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式中、ｄβは角度の増分であり、曲げ角度β_２の現在の状況と接触角β_Ｃとの間の間隔で作用する。
ｄＷ_ｍは材料の中立層に沿った長さの増分である。
Ｒは材料の曲率の半径である。

【0118】

曲率増分ｄＳ_ｍの長さの水平成分ｄＬ_Ｎは、以下のように表現することができる。

【数53】

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【0119】

接触角は以下の通りである

【数54】

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（以前に実証したように、β_Ｃに対する式と一致して（特に式［１７］を参照のこと））。
よって、以下の通りである。

【数55】

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これは、次に以下のようになる。

【数56】

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式［４８］を以下のように導くことができる。

【数57】

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は、モーメントＭに関する形状−角度の導出された式である。

【0120】

これらの式はモーメントＭに対する式から出発して導出することができ、以下と等しい。

【数58】

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【0121】

以下のように、

【数59】

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【数60】

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は、モーメントＭのナイフとダイ半径との間の接触点の直線分布であり、

【数61】

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と単純に等しい。

【0122】

これは式を以下のようにする。

【数62】

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式［５５］を以下のように検証することができる。

【0123】

曲げにおける弾性エネルギー以下の通りである。

【数63】

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式中Ｉは慣性モーメントであり、Ｅ’は平面歪みに対するヤング率である。

【0124】

小さい曲げ角度及び弾性状態ではβ_Ｃ＝０、及びβ_２＜＜１、Ｌ_Ｎ≒Ｌ_ｍである。

【0125】

これにより以下のようになる。

【数64】

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これは弾性曲げについての文献から周知の式と一致する。

【数65】

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【0126】

弾性変形において、

【数66】

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【0127】

曲率の形状に対する式

【数67】

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によって、中立層（すなわち、歪みがゼロであり、材料の面の中間に位置付けられる（ｔ／２における））を仮定して歪みを計算することができる。

【数68】

[この文献は図面を表示できません]

【0128】

以前に実証した通り、

【数69】

[この文献は図面を表示できません]

【0129】

これによって、曲げアームＬ_Ｎに沿った座標Ｘにおける曲率対位置は所与の曲げ角度β_２^＊で表示できる。

【数70】

[この文献は図面を表示できません]

【0130】

１／Ｒに対する式によって、以下のようにヤング率も見積もることができる。

【数71】

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【0131】

弾性状態において、

【数72】

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これによって、以下が得られる。

【数73】

[この文献は図面を表示できません]

【0132】

次いで平面歪みに対して、

【数74】

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または有効歪みに対して、

【数75】

[この文献は図面を表示できません]

【0133】

本開示は、実行されるとき、コンピューターまたは少なくとも１つのプロセッサ上で、コンピューターまたは少なくとも１つのプロセッサに本開示の実施形態による方法（すなわち、これによって、コンピュータープログラムコード手段が、本明細書で記述される材料の断面モーメントＭ及び／または他の特性のうちのいずれかを計算するために使用されてもよい）を実行させる、コンピュータープログラムコード手段を含むキャリアも備え、キャリアは、電子信号、光信号、電波信号、またはコンピューター可読記憶媒体のうちの１つである。

【0134】

典型的なコンピューター可読記憶媒体としては、ＲＡＭ、ＲＯＭ、フラッシュメモリ、磁気テープ、ＣＤ−ＲＯＭ、ＤＶＤ、ブルーレイディスク等などの電子メモリが挙げられる。

【0135】

本開示は、プロセッサ内で実行されたとき、本開示の実施形態による方法の計算する工程を実施するソフトウェア命令を含むコンピュータープログラム製品をさらに含む。

【0136】

本開示は、本開示の実施形態による方法の計算する工程を実施するように構成された第一のモジュールと、所望により本開示のさらなる実施形態による方法の計算する工程を実施するように構成された第二のモジュールと、を備える装置をさらに含む。

【0137】

例えば、流動応力、主歪み等などの材料のさらなる特性を計算するために計算する工程を実施するように構成された所望による第二のモジュールとともに、第一のモジュールは、断面モーメントＭを計算するための計算する工程を実施するように構成されてもよい。

【0138】

本開示は、該材料から成る製品を最適化するために、該計算された断面モーメントＭ、または計算された流動応力σ_１、または見積もられたヤング率Ｅ、または比率Ｍ／Ｍ_ｅ、または計算された平面歪みε_１、または本明細書で開示される方法を使用して計算された他の特性が使用される、方法にさらに関する。

【0139】

実施例２でさらに記述される無次元比率Ｍ／Ｍ_ｅは、曲げの間に材料が不安定になる点を示すので、特に有用である。具体的には、Ｍ／Ｍ_ｅが１．５より低いとき、材料は変形硬化挙動示し、そして曲げの間安定である。Ｍ／Ｍ_ｅが１．５のレベルに達する時、材料は不安定になり、それによって欠陥に近くなる。

【0140】

したがって、本開示は、所与の材料に対してＭ／Ｍ_ｅが１．５より低いままになる条件を決定するための方法に関する。これらの条件の知識を用いて、当業者は特定の材料の所与の用途に対する適合性を確かめることができる。例えば、当業者は、材料が欠陥を有しないで（または最小限のリスクで）所望の形状へと曲げられる能力を有するかどうかを簡単に確かめることができ、広範な試験を行うことなく材料の適合性を予測することができる。したがって、この方法は、材料を複合材料製品中の構造要素として利用するさらなる工程を含んでもよく、この中で複合材料製品の製造の間、Ｍ／Ｍ_ｅの比率が１．５より低い条件下で材料が曲げられることを特徴とする。

【0141】

本開示は、曲げの間に材料が不安定になる点を決定するための方法にも関し、該方法は比率Ｍ／Ｍ_ｅが１．５になる点を決定することを含む。

【0142】

方法は、どの材料がある一定の使用のために必要な所定の値に適合する曲げ特性を持っているかを決定する目的で、異なる材料を評価するためにも使用されてもよい。

【0143】

異なる材料に対して得られたモーメント特性は、また重ねてもよく、多層材料の断面挙動を予測できるようにする、という利点がある。このようにして、当業者は新しい複合材料を設計し、かつ個々の層の知識に基づいて多層材料の曲げ特性を予測するために本開示の方法論を使用することができる。

【0144】

例えば、高強度鋼などの高強度金属材料は、しばしば曲げ特性は劣っている。延性がより高く、強度よりが低い材料の層を加えることで、曲げ特性が改善された複合材料を提供することができる。本開示の方法論を使用して、当業者は高強度材料に所望の曲げ特性を提供するために、どのタイプの材料が必要とされるかを必要以上の実験を用いずに決定することができる。

【0145】

異なる材料に対するモーメント特性をどのように重ねてもよいかのさらなる詳細が、実施例５で提供される。

【0146】

方法は、例えば、Ｍ／Ｍ_ｅの比率を研究することによって、異なる厚さを有する同一の材料の試料（例えば、プレート）を評価するためにも使用されてもよい。

【0147】

以下の実施例は、様々な鋼の曲げの間の特性を調査し、かつ特徴付けるために本開示の方法論を実践する。

【0148】

実施例１
断面モーメントＭに対する新しい式の正確性を確認するために、引張応力データを使用して曲げ力Ｆが計算された。調査された材料は、引張強度が＞７００ＭＰａで厚さが２．１ｍｍの高強度熱間圧延鋼である。曲げデータ：ダイ幅Ｌ_ｏ＝７０．５ｍｍ、ナイフ半径Ｒ_ｋ＝１６ｍｍ、及びローラー半径Ｒｄ＝２５ｍｍである。

【0149】

引張データは、

【数76】

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引張データを以下のようにして流動応力及び平面歪みへと変換した。

【数77】

[この文献は図面を表示できません]

以下を仮定した。

【数78】

[この文献は図面を表示できません]

さらに曲げ角度と歪みとの間の関係を以下のように近似した。

【数79】

[この文献は図面を表示できません]

次いで、

【数80】

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次いで、合計モーメントＭに対する式は以下のように書くことができる。

【数81】

[この文献は図面を表示できません]

これを以下の式と組み合わせる。

【数82】

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こうして、力Ｆは以下のようになる。

【数83】

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曲げ角度β２とナイフ位置Ｓとの間の関係は、以下のように与えられる。

【数84】

[この文献は図面を表示できません]

次いで、図８に示す引張データを使用することによって、曲げ力の見積もりを得ることができ（図８を参照のこと）、これは断面モーメントＭに対する式の正確性を確認する。

【0150】

図９は引張試験データに基づく計算された曲げ力（実線）と、同一の材料だが異なるストローク長さＳで実施された３つの個々の曲げ試験との間の比較を示す。３本の曲げ試験曲線の右側は除荷を示す。曲げの線は圧延方向（ＲＤ）に沿って配置され、また引張試験データは圧延方向に垂直（ＴＤ）に実施された。

【0151】

図１０は、曲げ試験のための試料が切り取られる熱間圧延鋼製品１０のコイルを概略的に図示する。曲げ試験は圧延方向（ＲＤ）と圧延方向を横切る方向（ＴＤ）との両方で実施されてもよい。さらに、好ましくは組織の対称性を確認するために、圧延機側を上に向けた試料と、下に向けた試料とで試験を実施することもできる。図１０は、コイルに対する熱間圧延鋼製品１０の曲げ方向を示す。

【0152】

この実施例は、曲げ試験及び引張試験の間、金属材料１０が類似の挙動を有することを示した。外側表面から内向きに特性が「スキャンされる」曲げと比較して、引張試験は断面特性の平均値なので、金属材料１０がその厚さを通して均一な挙動を示していることをこの事例は示す。さらに、図９は力が自然に下がることを示し、そしてこの事例ではいかなる欠陥のせいでもなく、これはＶＤＡ ２３８−１００標準試験の欠点を図示する。

【0153】

実施例２
この実施例では、無次元モーメント（「Ｐｌａｓｔｉｃ Ｂｅｎｄｉｎｇ−Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ」と題する、Ｔ．Ｘ．ＹｏｕおよびＬ．Ｃ．Ｚｈａｎｇによる出版物（ＩＳＢＮ ９８１０２２２６７Ｘ）に記述されるように）が例示されることになる。無次元モーメントは、最大断面モーメントＭ_ｍａｘと弾性断面モーメントＭ_ｅとの間の比率によって導出されうる。この比率には２つの限界がある。１．０に等しい下方限界と１．５に等しい上方限界である。第一の事例は材料が弾性的に変形されるときであり、後者の事例は材料がその絶対的な最大モーメントに達する状態である。以前は、これらの限界の間の材料の可塑化特性を得ることはできなかった。図１１は、曲げにおけるこれら２つの限界、すなわち、理論的弾性断面モーメントＭ_ｅと最大断面モーメントＭ_ｍａｘを示す式、及び両方の事例の応力分布の概略的な図も示す。

【0154】

比率の下方限界及び上方限界は、図１１に示される２つの式を使用して、以下の通りである。

【数85】

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しかしながら、弾性状態から最大載荷容量までの全間隔で材料応答全体を得るためには、式は以下のように書かれる。

【数86】

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式中、Ｍ（β_２）は新規に開示された関数である。

【0155】

この実施例で調査される金属材料１０は、厚さが１．４３ｍｍで、引張強度が＞１１８０ＭＰａの高強度冷間加工複相グレード鋼である。

【0156】

図１２は、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験での曲げの間に印加される力対ナイフ位置Ｓを示す曲げ試験から、印加される力及びナイフの位置を測定することによって応答が得られた。材料は、横断方向（ＴＤ）と圧延方向（ＲＤ）に沿ってとの両方で試験された。次いで、力は新規に開示される式を使用して計算された断面モーメントＭへと変形された（図１３を参照のこと）。角度β_２は、印加される曲げ角度β_１から不良角度Δβ_２を引くことによって得られ（計算するときにスプリングバック、すなわち曲げ過ぎ角を考慮することが重要である）、以下に示されるように計算される。

【0157】

エネルギー平衡の条件に基づいて関係を使用する。

【数87】

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次いでβ_２を積分から得ることができる。

【数88】

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式中、β_１は式［２３］を使用して計算される。

【0158】

本明細書では比率Ｍ／Ｍ_ｅは以下のように導出される。

【数89】

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式［８５ａ］は、式［４ａ］を使用して示されるように歪みの導関数を取ることによって導出される。結果として、材料が塑性変形を受けるとき、あまり正確ではない。この比率に対する代替的な式は以下の通りである。

【数90】

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この式は、すべての曲げ条件の下でより正確な結果を与えるために、歪みに対して［４ｂ］を使用して数値的に解かれてもよい。比率Ｍ／Ｍ_ｅを計算するためのさらなる方法論は、式［９２］に示すように、引張強度を使用する。

【0159】

式は、変形の弾性部分について、導関数として容易に検証することができる。

【数91】

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は比率

【数92】

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と等しく、すなわち

【数93】

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は比率を１．０に等しくする。

【0160】

導関数が以下のようであるとき、

【数94】

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次いで比率は１．５に等しくなる。これは、モーメントＭが下がったとき、材料が破綻する、または歪みが局所化することを意味する。

【0161】

流動応力は、式［７６］から導出されるモーメントからも得ることができる。

【数95】

[この文献は図面を表示できません]

式中、主歪みε_１は以下から計算される。

【数96】

[この文献は図面を表示できません]

または、代替として、

【数97】

[この文献は図面を表示できません]

式［８６］をこの実施例に適用することによって、主歪みに対してプロットされた計算された無次元モーメント線図Ｍ／Ｍ_ｅは、図１４ａ及び図１４ｂに示される（式［３］及び［４ｂ］をそれぞれ使用する）。

【0162】

図１５ａ及び図１５ｂは、流動応力対主歪みε_１のプロットを示し、ここでも式［３］及び［４ｂ］をそれぞれ使用して計算される。

【0163】

本開示による方法を使用すると、材料のヤング率Ｅを見積もるために材料の曲げ挙動を使用できるようになる。

【0164】

平面歪みでのヤング率Ｅ’は以下によって得られる。

【数98】

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鋼に対しては、これは以下のように表すことができる。

【数99】

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この実施例では、ヤング率は以下によって与えられる。

【数100】

[この文献は図面を表示できません]

【0165】

図１６ａは主歪みε_１対流動応力σ_１のグラフを示し、ヤング率はこれらから外挿される。

【0166】

ヤング率Ｅを得る別のやり方は、モーメント曲線の弾性部分の傾きを決定することにより（図１３に示されるもののように）、これによって傾きは以下のようになる。

【数101】

[この文献は図面を表示できません]

好ましくは、ヤング率は式［１３］を使用して数値的に見積もられてもよい。

【数102】

[この文献は図面を表示できません]

この方法論の実施例は図１６ｂに示され、これはここでも２．１８×１０^５ＭＰａの値を与える。

【0167】

有効応力と歪み、流動応力σ_１との間の関係は、平面歪み条件を仮定して、以下の式を使用して変換することができる。

【数103】

[この文献は図面を表示できません]

そして以下を使用して真の値へと変換する。

【数104】

[この文献は図面を表示できません]

【0168】

引張試験データを用いてグラフをプロットし比較することさえも可能である。これは、材料の特性がその表面からその中心へと同一である場合、どのように硬化挙動が作用するはずかを示すことになる。曲げと純粋な引張の間とで変形機構の結果が類似である場合、これは材料がその厚さを通して均質であることの証拠となる。

【0169】

引張データからＭ／Ｍ_ｅ比率を画定するために、以下の導出された式が使用される。

【数105】

[この文献は図面を表示できません]

図１７は引張試験と曲げ試験との間の比較を示す。図示した事例では、曲げと均一な延びを比較すると、金属材料は、ほぼ類似のやり方で硬化するものと思われる。

【0170】

本開示の実施形態によると、方法は材料の断面モーメントＭを得て、曲げにおけるセットアップの自由選択のためにスプリングバックを見積もるためにこれを使用する工程を含む。

【0171】

曲げるとき、曲げの最終的な角度を得るために、ある一定の角度数の「曲げ過ぎ」を行うことによってスプリングバックが常に補償される。最終的に所望の曲げを得るために「曲げ過ぎ」の角度数の量を見積もるのは困難である。高強度鋼などの材料を取り扱うとき、軟鋼などの材料と比較してスプリングバック挙動がより大きいのでさらにより複雑である。曲げに対するセットアップの４つの事例でスプリングバック効果を調査するために、薄い（３．２ｍｍ）超高強度鋼が使用された。最終的な強度はおおよそ１４００〜１４５０ＭＰａであった。

【0172】

方法は３つの工程を含む（図１８を参照のこと）。第一の工程では、材料は、曲げでの材料特性を決定するために、例えば、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験タイプの曲げ、すなわち、完全に可塑化した断面を得る、摩擦のない曲げを実施することによって試験される。第二の工程では、モーメント曲線は、曲げのある一定の事例に対して幾何学的セットアップの自由選択の幾何学形状に関して変形される。第三の工程では、これらのデータはスプリングバックを計算するために使用される。均一な厚さは第一の工程で調査された材料から変換することができる。材料特性の差異に起因して、最も正確な結果は、第一の工程及び第二の工程と同一の材料のバッチを使用するときに得られる。

【0173】

材料特性は、ＶＤＡ ２３８−１００標準試験、または別のタイプの摩擦のない曲げ機器を実施することによって得られ、モーメント曲線対角度線図を得ることによって現在の材料の「拇印」を与える。材料特性を試験するとき、狭いダイ幅が使用され、また半径が小さいナイフが使用され、より厚い熱間圧延材料に対してはほぼ０．７^＊ｔとする。ローラー半径は摩擦がない、すなわち回転できる。最大曲げ角度（曲げ角度β_１の半分）は３０〜３５°以下とし、材料挙動に関係しない誤ったエネルギーを加えるあらゆる種類の摩擦を除去するべきである。

【0174】

本開示による方法を使用することによって、図４に示す線図などの測定された力対ナイフ位置、及び試験的セットアップに対する幾何学形状に基づいて、図１３に示すモーメント線図などのモーメント線図を得ることができる。

【0175】

ローラー半径を表すＲ_ｄは、例えば、４０．０ｍｍであってもよく、ナイフ半径は２．０ｍｍであってもよく、ｔ（材料厚さ）は３．２ｍｍであってもよく、ダイ幅の半分Ｌ_０は４６ｍｍであってもよく、また最後に、材料の長さＢ（すなわち曲げる長さ）は７５ｍｍであってもよい。

【0176】

ナイフ半径が材料厚さに対してより大きい場合、及び増加したダイ幅（ＶＤＡ ２３８−１００標準試験と比較して）が使用される場合、支持部（すなわち、ナイフ及びローラー）の間の材料は曲率を受けることになることがわかった（図１９及び図２０の破線の曲線を参照のこと）。これはナイフと材料との間の接触は直線の接線点においてではなく、角度β_１ではなく角度β_Ｃにおいてであり、結果としてモーメントアームはＬ_ｍと比較してより長いＬ_Ｎであることを意味する（図１９を参照のこと）。低減された断面モーメントＭ_Ｌを見積もることができるようにするために、実際の接触点を定義する必要がある。次いで、曲率を得る必要がある。この図では、形状角度β_Ｓが示される。この角度は、接触角β_Ｃと角度β_２におけるモーメントアームの仮定的な接触点との間の差異を示す（図３２も参照のこと）。したがってβ_Ｓは、ナイフにおいて曲率がないことを仮定した仮定的な接触角と、ナイフにおいて観察された接触角β_Ｃとの間の差異を表す。文献から、材料の形状または曲率（接触点、ナイフ、及びローラー間の）が捕捉的なエネルギーと比例することが留意される（図１９の斜線部を参照のこと）。

【0177】

曲げの中のエネルギーの分布全体を研究することによって（これは図２０に図示される）、接触角度β_Ｃに対する以下の式を得ることができることがわかった。

【数106】

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接触角β_Ｃは、弾性変形の間は０にほぼ等しい（図２１を参照のこと）。これは、曲率角度β_Ｃに対して積分を使用し、弾性モーメントに対する式に入れることによって示し、かつ確認することができる。したがって、接触角β_Ｃは曲げが塑性化した瞬間に増加し始める。図２１では、点線の曲線は曲げ角度を表し、破線の曲線は真の曲げ角度を表し、一点鎖線の曲線はナイフと材料との間の接触角を表し、そして最後に実線の曲線はフランジの形状角度を表す。

【0178】

ナイフ半径が小さいとき、すなわち、典型的には材料厚さの０．７倍以下（すなわち、Ｒ_ｋ≦０．７ｔ）のとき、真のモーメントアームＬ_ｍに対する式［２９］が使用されてもよい。しかしながら、大きいナイフ半径を考慮するときは、材料はナイフと直線に対する接線において接触を持たず、角度βＣにおいて接触を持つことが明白である（図１９に示される）。こうした場合には、モーメントアームＬ_Ｎは以下のようになる。

【数107】

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ナイフの半径が大きい場合には、材料がナイフの曲率に沿い始めると歪みの増加が停止することが明白である。その瞬間に歪みは一定になり、曲げ角度が増加してもナイフ半径によって制限される。このレベルの歪みは以前に得られた接触角β_Ｃを適用することによって計算できることはわかっている。

【0179】

ナイフ半径が材料の厚さと比較して小さい自由曲げに対しては、曲げ半径はいかなる制限もなしに自由に減少する。これによって、モーメントＭの断面は最終的にその最大に達し、すなわち完全に可塑化される。大きいナイフ半径が使用される場合、曲げ半径はナイフの幾何学形状によって制限されることになり、したがってモーメントＭの断面はある一定のレベルＭ_Ｌに低減されることになる。

【0180】

モーメントが水平軸Ｌに関して線形的に依存することが仮定されている（ここでも図１９及び図２０を参照する）。

【数108】

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式中、Ｍは材料が達成することができる完全な最大のモーメントである（参考の摩擦のない試験から幾何学的に変形される）。Ｍ_Ｌは、シミュレーションされる事例を表す、ナイフ半径によって制限されたモーメントである。

【0181】

小さいナイフ半径が使用される場合、接触点の動きはモーメントアームの長さに対して無視でき、結果としてＭ_Ｌ≒Ｍとなる。しかしながら、大きいナイフ半径が使用される場合、これらがＬ軸に沿って２つの異なる断面に位置するので、フルモーメントとＭ_Ｌとの間に差異が、よってＬ_ＮとＬｍとの間の差異があることになる。

【0182】

曲げ力を計算するための式、Ｆは以下のように導出される。

【数109】

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式中、Ｌ_０＝ダイ幅の半分であり、Ｒ_ｋ＝ナイフ半径であり、Ｒ_ｄ＝ローラー半径であり、β_１＝曲げ角度［ラジアン］であり、β_２＝参考試験から幾何学的に変形された真の曲げ角度［ラジアン］であり、Ｍ＝参考試験から得られ、かつ幾何学的に変形されたモーメントである。

【0183】

以下の式を使用して、非常に正確な様式でスプリングバックΔβ_ＴＯＴを見積もることができる。

【数110】

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式中、νはポアソン比であり、Ｅはヤング率である。

【0184】

鋼に対しては、これは以下のように表すことができる。

【数111】

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試験されるフランジのおおよその長さは、

【数112】

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そしてナイフと接触する材料の長さ（中立層に沿って）は、

【数113】

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【0185】

図２２は、測定された力対変位に加えて、摩擦のない曲げから得られた曲線を示す。図２２の点線及び破線は、本開示による方法を使用し、かつＶＤＡ ２３８−１００標準と同様に実施された参考曲げ試験からのデータを使用して計算された力を示す（すなわち、図２２の高負荷曲線）。実線は実際に測定された値を示す。本開示による方法を使用して、入力として参考試験からのデータを使用する実質的に正しい曲げ力を得ることができることを見ることができる。本開示による方法を使用するスプリングバックの計算から得られた結果が実施された試験と非常によく一致することがわかった。

【0186】

本開示の実施形態によると、方法は、ＶＤＡ ２３８−１００標準、または類似の摩擦のない曲げ試験による摩擦のない曲げ試験を実行することによって材料の断面モーメントＭを得る工程と、材料の摩擦係数を見積もるために断面モーメントＭを使用する工程と、を含み、これによって摩擦係数を生産の間に決定することができる。

【0187】

曲げサイクル全体の間、曲げ力及びナイフ位置を測定する必要がある。材料がエネルギーの形で吸収できるより多くまで曲げ力が増加する場合、（塑性エネルギー及び弾性エネルギー）、これは摩擦に起因するはずである。材料の断面モーメント挙動を研究することによって、摩擦に関連するエネルギー損失を分離することができる。このため、材料の摩擦係数も見積もることができる。かかる方法は、これによって、生産において材料の摩擦係数を見積もるためだけでなく、曲げのベースとして周知の挙動を有するダミー材料を使用し、かつその摩擦特性を研究する材料の層を追加して一般に摩擦係数を決定するためにも使用することができる。

【0188】

図２３は、曲げ試験の間の曲げ負荷を表す力ベクトルを示す。断面モーメントＭはローラー半径に対して法線力Ｆ_Ｎを成し、よって摩擦力が作り出される。曲げの間作用し、かつ測定される垂直力ベクトルＦ_ｙは図２３に示され、かつ曲げ力に対応する。

【0189】

摩擦係数μは以下の式を使用して計算される。

【数114】

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また垂直に作用する合計力は以下の通りである。

【数115】

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式中、パラメーターＭ_{Ｍｅａｓｕｒｅｄ}は、摩擦が関与する試験から得られたモーメント特性である。Ｍ_ｍｔｒｌは、摩擦のない試験から得られる材料の参考特性である。しかしながら、完全な可塑化後はモーメント特性はほぼ一定なので、このパラメーターは一定に設定することができる（図２４の太い実線を参照のこと）。

【0190】

実施例３
数多くの曲げ試験が６ｍｍの熱間圧延高強度鋼で異なる条件を用いて（すなわち、同一のタイプの材料をすべての事例に使用し、低摩擦及び超高摩擦で、潤滑剤を用いずにまたは異なる潤滑剤を用いて）実施された。図２５に力曲線を示す。開示される式を使用して力を断面モーメントへと変換することによって、摩擦の影響はより明らかになり（図２４を参照のこと）、かつ摩擦係数を見積もるために開示される式によって評価が可能になる。

【0191】

実施例４
開示される式を検証するために複数の曲げ試験の間に比較が行われた。

【0192】

曲げでは、試験シリーズの中では、異なる材料、厚さ、及び幾何学的ツーリングセットアップ（ｔｏｏｌｉｎｇ−ｓｅｔｕｐ）が使用され、また生産のためには通常の条件が使用された。図２６では、試験と開示された式との間に良好な関係を見ることができる。図２７は、実験的に測定された力（Ｆ_ｍａｘ）とＦ_ｍａｘにおいて計算された角度との間の比較を示す。これらのデータでは、Ｂ／ｔは１２と６７との間である。

【0193】

散乱に関しては、モデルではいかなる摩擦も仮定されない。曲げられる材料の最終強度は検証されない。

【0194】

実施例５−複合材料
この実施例は、どのようにして複合材料のモーメント特性をその成分材料の特性に基づいて計算し得るかの実証を提供する。したがって、５ｍｍのＤＸ９６０（すなわちベース層材料または基材材料）と１ｍｍのＤＸ３５５からできているスキン層材料（両方とも鋼で形成される）とから形成された材料の特性を個々の材料のモーメント特性に基づいて予測することができる。

【0195】

歪みとモーメントとの両方を、以下の式を使用して変形することができる。

【数116】

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長さ単位当たりのモーメントは、

【数117】

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【0196】

図２８は、ｔ＝４ｍｍにて測定され、かつ最大ｔ＝６ｍｍまでスケーリングされるＤＸ３５５を用いたベース材料のモーメント特性のプロットを示す。図２８からＤＸ３５５がはるかにより大きい変形硬化挙動を有することを見ることができ、これは曲げ性の性能の観点から好ましい。

【0197】

５ｍｍのＤＸ９６０と一緒になったＤＸ３５５の１ｍｍのスキン層（すなわち、ＤＸ９６０の５ｍｍのコアの両側に２つの０．５ｍｍのＤＸ３５５のスキン層）からのモーメントへの貢献を計算するために、以下の計算が使用される。

【数118】

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したがって、フル厚さの材料モーメント特性（ｔ_フル）から、低減された厚さのためにモーメント特性を引き算して（ｔ_フル−ｔ_層）、スキン層モーメント影響（または貢献）を提供する。

【0198】

基材（または母材）の厚さは、この事例では、以下のようになる。

【数119】

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上記の式を使用すると、以下が得られる。

【数120】

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スキン層、ベース層、及び複合材料に対するモーメント特性を図２９に示す。

【0199】

図３０は、元のＤＸ９６０材料と、５ｍｍのＤＸ９６０及び２つの０．５ｍｍのＤＸ３５５のスキン層を持つ複合材料の予測される特性との無次元モーメント曲線を示す。見ることができるように、複合材料は、高い方の歪みが１．５を下回る無次元モーメントを有することが予測され、これは曲げの間材料がより安定していて、欠陥のリスクがより低いと予測されることを意味する。

【0200】

実施例６−曲げに沿った材料の特性
圧延された９６０Ｍｐａで厚さｔ＝８ｍｍの材料が、半径Ｒ_ｋ＝４ｍｍのナイフを使用して、ＶＤＡ ２３８−１００標準に類似のプロトコルに従って曲げられた。モーメント曲線を図３５に示す。

【0201】

図３３は、真の曲げ角度β_２が３０°のときの曲げ長さＬ_Ｎに沿った各々の点Ｘに対する１／Ｒ（すなわち、曲げ半径の逆数）のプロットを示す。プロットは、Ｘの低い値、すなわち、プレートのダイに近い部分において曲げ半径が大きく、かつ限界において無限に近づいていくことを示す。これは、曲げダイとの接触点に近いほど、材料自体はより剛直なプレートのように作用する（すなわち、プレートの曲げが発生していないのでプレートがいかなる曲率も有しない）ことを意味する。あらゆる変形は弾性的である。しかしながら、ナイフに近いほど曲げ半径は減少する（そして１／Ｒは増加する）。さらに、ナイフに近いこの領域では塑性変形が発生する。

【0202】

モーメント対曲げ角度のプロットを図３５に示す。図は材料が可塑化すると曲げモーメントＭが一定になることを示す。

【0203】

一定のモーメントＭを適用することによって、本明細書で開示される式を使用して理論的な力Ｆ_{ｔｈｅｏｒ}を見積もることができる図３４では、この理論的な力を実際の力と一緒にプロットして示す。この結果は、鋼の欠陥点は自然力が最大になった後で発生することを示す。ＶＤＡ ２３８−１００標準によると、曲げ角度が一旦Ｆ_ｍａｘになると試験は中断されるべきであり、これは試験された鋼が標準試験の要件に準拠しないことを示す。

【0204】

実施例７−曲げに誘発された硬化
以下の実施例では、降伏強度が３５５ＭＰａで、厚さが４ｍｍの熱間圧延鋼をＶＤＡ ２３８−１００標準に沿って曲げ試験に供した。図３６は、曲げモーメント対ナイフ位置のプロットを示し、一方で図３７は理論的力対曲げ角度のプロットを示す。

【0205】

図３７では、曲げ角度が大きいにもかかわらず一定のモーメントが得られないことを見ることができる。この挙動は、曲げ角度の増加による材料の硬化に起因する。一定でないにもかかわらず、硬化は直線的な関係を上昇させ、かつ曲げモーメントに対して線形方程式を提供するように線形回帰を実行することができる（破線）。

【0206】

これらのプロットは、塑性変形または曲げが誘発した硬化が生じる場合があるその最大力を超えた材料の曲げ特性へのさらなる洞察を提供するために本明細書で記述される方法論をどのように使用し得るかを示す。

【0207】

実施例８−キンキング挙動の調査
厚さが６ｍｍの熱間圧延９６０ＭＰａ鋼（引張強度がおおよそ１０５０ＭＰａ）を曲げ試験に供した。モーメント対曲げ角度のプロットを図３８に示す。図３８は欠陥において不連続が発生するまでのモーメントの減少を示す。モーメントは、線形方程式を提供するために線形回帰を使用してモデリングされ、これは次いで図３９でナイフ位置に対してプロットして示される力を計算するために使用される。

【0208】

したがって図３８及び図３９をプロットするために使用される方法論を、キンキング（すなわち、材料の不均一な曲率）が発生したかどうかを調査するために使用することができる。

【0209】

キンキング挙動を調査するさらなるやり方は、平面歪みを一定の曲げ角度に対する曲げの長さに沿ってプロットすることによる。キンキングが発生した区域は曲げの不連続として見えるようになり、そこでは長さをトラバースする際に歪みが滑らかではなく段階的に増加する。

【0210】

これを実証するために、２枚の６ｍｍ鋼板を曲げ試験に供する。図４０及び図４１は平面歪み対位置のプロットを示し、一方で図４２及び図４３はそれぞれＭ／Ｍ_ｅ及び流動応力対平面歪みを示す。図４０及び図４１では、キンキング傾向を示す材料（実線）は、Ｘが３０．５ｍｍ周辺のとき際立った歪みの増加を示す。この曲線の不連続は短い距離での歪みの著しい増加の特徴であり、これは不均一な曲率を引き起こす剪断変形に起因して発生する。この挙動は、非キンキング材料とは明瞭に異なるプロファイルを示す図４２及び図４３のプロットをもたらす。

【0211】

実施例９−マイクロ曲げ
この実施例は、グリーブル（Ｇｌｅｅｂｌｅ）試験片から調製された小さい試料を示す。グリーブル試験片は、引張試験試料を作製するには一般的に小さすぎ、マイクロ曲げ装置を使用した曲げのみしかできない。使用される曲げ装置（図４５に示す）は、小さい寸法の試料に適合するように設計された。曲げ装置の寸法は以下の通りである

【表1】

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【0212】

試験される試料の厚さは１〜１．５ｍｍであり、また幅は１０ｍｍであった。曲げを補助するために試料とダイとの間にグリースを塗布することによって摩擦を低減した。曲げ試験からの結果を図４６〜図４８に示す。平面歪み条件を仮定した場合厚さ対幅の比率（ｔ／Ｂ）は限界に近いものの、結果は満足のいくものであった。

【0213】

前述の開示から、本明細書で開示される新しい方法論が当業者に材料の曲げ特性を調査するための幅広い選択肢を提供することは明白である。理解を容易にするため、本明細書で開示される計算を実施するために必要な工程の概要を以下に提供する。
１）力Ｆ対ナイフによるストローク距離Ｓを測定する３点曲げ試験を実施する。試料と支持部との間の摩擦を最小限にして試料自体によって吸収されるエネルギーと関連しない必要以上のエネルギーの消費を避けるべきである。
２）試験機器に関する以下のパラメーターを測定する。
ダイ幅２・Ｌ_０、ダイ半径Ｒ_ｄ、ナイフ半径Ｒ_ｋ、試料長さＢ、及び試料厚さｔ。
３）積分

【数121】

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を行い、エネルギーを計算する。
４）以下の式を使用して曲げ角度β_１を計算する。

【数122】

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あるいは、以下の積分による。

【数123】

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５）以下の式によってモーメントＭを計算する。

【数124】

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６）実際の曲げ角度β_２を計算する、すなわち、以下のエネルギー平衡による。

【数125】

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を計算することによって計算されたモーメントＭ及び実際の曲げ角度β_２を検証し、そしてこれをＵと比較する（等しいはずである）。
７）実際の曲げ角度は２つの部分、すなわち、形状角度β_Ｓ、及びナイフにおける接触角β_Ｃから成る。
エネルギーＵを以下のやり方で表現することができ、これによって２つの角度の計算を個々に行うことができる。

【数126】

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８）平面歪みε１は以下の式によって計算される。

【数127】

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９）次いで流動応力σ_１を以下によって見積もることができる。

【数128】

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１０）無次元モーメント

【数129】

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は、以下の間隔の最大範囲を有する。

【数130】

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弾性状態から完全に塑性化した断面まで。
以下のように計算される。

【数131】

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１１）平面歪み条件に対するヤング率Ｅ’は、以下によって簡単に定義することができる。

【数132】

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あるいは、弾性状態において応力σ_１と歪みε_１との間の傾きをチェックする。
１２）現れた場合、最大負荷Ｆ_Ｍａｘ及び曲げ角度β_Ｆｍａｘの見積もり（多かれ少なかれ一定の安定状態モーメントＭ_ｍａｘを考慮する）。

【数133】

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おおよその最大曲げモーメントＭ_Ｍａｘは以下のように見積もることができる。

【数134】

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１３）モーメントＭはナイフと支持部との間に線形的に分布しているので、上記で設定されたパラメーターを曲げ手順の任意の段階でこれらの点の間にプロットすることができる（すなわちβ_１^＊）。水平Ｘ座標（ダイ支持部において開始し、接触点β_Ｃにおいて終了する）は以下の式によって計算される。

【数135】

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式中、Ｌ_Ｎ（β_１^＊）は曲げの選ばれた点における実際のモーメントアームであり、またＭ（β_２^＊）はその点におけるモーメントである。

【0214】

請求項の範囲内での本開示のさらなる変更は当業者には明白であろう。特に、本開示の方法論は当業者が鋼などの材料の特性を曲げの間調査できるようにする。所定の閾値に対する比較によって、当業者は本開示の方法を使用して、鋼などの材料の特定の使用に対する適合性を評価することができる。

【図1】

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【図2】

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【図3a】

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【図3b】

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【図4】

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【図5】

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【図6a】

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【図6b】

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【図7】

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【図8】

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【図9】

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【図10】

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【図11】

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【図12】

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【図13】

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【図14a】

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【図14b】

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【図15a】

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【図15b】

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【図16a】

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【図16b】

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【図17】

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【図18】

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【図19】

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【図20】

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【図21】

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【図22】

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【図23】

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【図24】

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【図25】

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【図26】

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【図27】

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【図28】

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【図29】

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【図30】

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【図31】

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【図32】

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【図33】

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【図34】

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【図35】

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【図36】

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【図37】

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【図38】

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【図39】

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【図40】

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【図41】

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【図42】

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【図43】

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【図44】

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【図45】

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【図46】

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【図47】

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【図48】

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