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特開2022-127855フライホイール蓄電装置のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータとその設計方法
(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2022127855
(43)【公開日】2022-09-01
(54)【発明の名称】フライホイール蓄電装置のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータとその設計方法
(51)【国際特許分類】
F16C 15/00 20060101AFI20220825BHJP
H02K 7/02 20060101ALI20220825BHJP
【ＦＩ】
F16C15/00
H02K7/02
【審査請求】未請求
【請求項の数】9
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2021026068
(22)【出願日】2021-02-22
(71)【出願人】
【識別番号】521344607
【氏名又は名称】ネクスファイ・テクノロジー株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】110000800
【氏名又は名称】特許業務法人創成国際特許事務所
(72)【発明者】
【氏名】谷本 智
(72)【発明者】
【氏名】中村 孝
【テーマコード（参考）】
3J103
5H607
【Ｆターム（参考）】
3J103AA09
3J103BA46
3J103FA20
3J103GA05
3J103GA52
3J103HA06
3J103HA31
3J103HA41
3J103HA51
5H607EE42
(57)【要約】
【課題】与えられた条件に応じて最適な構造を有するフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ、及びそのロータを容易に得ることができる設計方法を提供する。
【解決手段】面対称な上面と下面とを有し、外周半径をｂ、回転中心の厚みをｈ０とする外形を有し、回転中心から接続半径ａまで厚みが単調減少する減厚領域と、その外縁であって接続半径ａから外径ｂまで厚みｈａ一定となる定厚領域とを備える。外周半径ｂ、回転中心厚ｈ０、接続半径ａ、及び外縁厚ｈａとからなる形状パラメータが、次式を満足する。
【数１】
ここでνはロータ材料のポアソン比である。
【選択図】図１
【解決手段】面対称な上面と下面とを有し、外周半径をｂ、回転中心の厚みをｈ０とする外形を有し、回転中心から接続半径ａまで厚みが単調減少する減厚領域と、その外縁であって接続半径ａから外径ｂまで厚みｈａ一定となる定厚領域とを備える。外周半径ｂ、回転中心厚ｈ０、接続半径ａ、及び外縁厚ｈａとからなる形状パラメータが、次式を満足する。
【数１】
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
回転軸に垂直な１中心回転面に対して面対称な上面と下面とを有し、外周半径をｂ、回転中心の厚みをｈ０とする外形を有し、回転中心から接続半径ａまで厚みが単調減少する減厚領域と、その外縁であって接続半径ａから外径ｂまで厚みｈａ一定となる定厚領域とを備えた形状のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、
外周半径ｂ、回転中心厚ｈ０、接続半径ａ、及び外縁厚ｈａとからなる形状パラメータが、次式を満足することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
ここでνはロータ材料のポアソン比である。
外周半径ｂ、回転中心厚ｈ０、接続半径ａ、及び外縁厚ｈａとからなる形状パラメータが、次式を満足することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【数1】
【請求項2】
前記接続半径ａ及び外縁厚ｈａは、回転角速度に依存することなく設定されていることを特徴とする請求項１記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【請求項3】
前記減厚領域は、その面内応力が該減厚領域全域において常に不変となる形状に形成されていることを特徴とする請求項１又は２記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【請求項4】
前記定厚領域は、その面内応力が、回転中心から外周半径ｂに近づくに従い前記減厚領域の面内不変の応力値から単調減少する形状に形成されていることを特徴とする請求項３記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【請求項5】
前記減厚領域の厚みｈは次式で表されることを特徴とする請求項１～４の何れか１項記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【数2】
【請求項6】
前記減厚領域が面内応力σａを発生させて回転しているとき、回転角速度ωは次式で表されることを特徴とする請求項１～５の何れか１項記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
ここでρはロータ材料の密度である。
【数3】
【請求項7】
ロータ材料の降伏強度をσyとするとき、限界エネルギー密度ＤＦＲが、次式で表されることを特徴とする請求項１～６の何れか１項記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータ。
【数4】
【請求項8】
請求項１記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータを設計する方法であって、
前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、前記外縁厚ｈａの４つのパラメータのうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの１つのパラメータを決定することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法。
前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、前記外縁厚ｈａの４つのパラメータのうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの１つのパラメータを決定することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法。
【請求項9】
請求項７記載のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータを設計する方法であって、
フライホイール外向減厚型中実円盤ロータの前記限界エネルギー密度ＤＦＲ、質量、前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、及び前記外縁厚ｈａの６つのパラメータうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの３つのパラメータを決定することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法。
フライホイール外向減厚型中実円盤ロータの前記限界エネルギー密度ＤＦＲ、質量、前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、及び前記外縁厚ｈａの６つのパラメータうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの３つのパラメータを決定することを特徴とするフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、電力を回転体の運動エネルギーとして蓄積するフライホイール蓄電装置の主要要素、フライホイールロータの限界質量エネルギー密度向上技術に関する。
【背景技術】
【0002】
フライホイール蓄電装置は、電力と回転運動エネルギーとを相互に変換する手段を介して、外部の電力をフライホイールに蓄電したり、逆に、フライホイールの電力を外部に給電したりする機能を備えた装置である。
【0003】
今日、普及している電気化学蓄電装置（所謂二次電池）と比較すると、低温環境でも高温環境でも安定して機能する、充放電を繰り返しても特性や寿命の劣化がほとんど起こらない、入出力密度を自在に設計変更できる、内部抵抗が小さい、など優れた特長を有している。
【0004】
フライホイール蓄電装置を用いれば、旧来の二次電池を利用した電気機器やシステムの耐環境性や省エネルギー、メンテナンス性の向上を図ることが可能である。こうした理由を背景にフライホイール蓄電装置の一層の普及と適用領域の拡大が強く嘱望されている。
【0005】
周知のように、フライホイールロータは、回転質量円盤中央に貫通円孔を有する中空円盤（または円輪）ロータと、回転質量円盤中央に貫通円孔を有していない中実円盤ロータとに大別される。
【0006】
本発明はこのうち、後者の中実円盤ロータに関するものであって、特に、単一の等方性バルク材料または弱異方性バルク材料から構成される中実円盤ロータの限界エネルギー密度ＤＦＲの向上に関わる発明である。同じ外径のロータを同じ角速度で回転させたとき、中実円盤ロータには回転応力（最大値）が中空円盤ロータの約半分になる、という優れた特徴がある。
【0007】
一般に、フライホイール蓄電装置の性能を高めるための重要課題のひとつは、フライホイールロータの限界エネルギー密度、即ち、ロータ単位質量当たりに蓄電できる限界エネルギー密度ＤＦＲを増大させることである。この「限界」の意味は、フライホイールロータ内部全体に生じる回転応力σ（半径応力σｒか周応力σθ）の最大値σＭＡＸがロータ材の降伏強度σｙに達っした時の状態を指している。最も単純な中実平板円盤ロータでは、回転応力は回転中心に最大値σＭＡＸがあって、半径とともに単調減少する分布を示す。
【0008】
中実平板円盤ロータの厚みが外周に向かって薄くなるよう減厚させたロータを作成すると、回転応力の分布が全体に平坦化されて、最大回転応力σＭＡＸが軽減される。この効果により、破壊角速度ωが増大し、限界エネルギー密度ＤＦＲを向上できることが知られている。ただし、この外向減厚型円盤の上面と下面の形状はロータの水平中心面に対して面対称であるものとする。
【0009】
従来より、下記特許文献１に記載されているフライホイール外向減厚型円盤ロータが知られている。このロータは、非特許文献１の中で討論された無限半径を有する外向減厚型中実円盤ロータ（所謂Ｓｔｏｄｏｌａロータ）を、有限半径Ｒで適用できるように成した変形であって、中心から或る半径ＲＣまで関数ｔ（ｒ）＝ｔ０ｅｘｐ（－Ｃｒ２）に従って厚みｔを減少させる「減厚領域」と、半径ＲＣから外周（外径Ｒ）までは厚みをＴ＝ｔ０ｅｘｐ（－ＣＲＣ
２）＝一定とする「定厚領域」と、からなる構成をしている。この式中の記号ｒは円盤内の任意の半径、ｔ０は円盤の中心の厚み、Ｃは減厚領域の厚みの減少度を決める係数で、Ｃ＝ρω２／２Ｓ０、ρはロータ材料の密度、ωはロータの破壊回転角速度、Ｓ０はロータ材料の降伏強度である。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0010】
【特許文献1】米国特許第４４０８５００号明細書
【非特許文献】
【0011】
【非特許文献1】Ａ. Ｓｔｏｄｏｌａ, “Ｓｔｅａｍ ａｎｄ Ｇａｓ Ｔｕｒｂｉｎｅｓ,” Ｔｈｅ ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ Ｂｏｏｋ Ｃｏｍｐａｎｙ, Ｉｎｃ., Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ, Ｎ.Ｙ., １９２７
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0012】
しかしながら、従来の特許文献１記載の中実円盤ロータにおいては、定数Ｃの成分に未知数である破壊回転角速度ωが含まれているため、ロータの構造（具体的には、関数ｔ（ｒ）やＲ）が定まらない。更に、外径ＲとＲＣとの関係が不定であるため、応力分布や限界エネルギー密度ＤＦＲを解析的に予見することが困難である。したがって、最適な構造の中実円盤ロータを得るのが容易でないという問題があった。
【0013】
上記の問題点に鑑み、本発明は、与えられた条件に応じて最適な構造を有するフライホイール外向減厚型中実円盤ロータと、当該フライホイール外向減厚型中実円盤ロータを容易に得ることができる設計方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0014】
上記目的を達成するために、本発明は、回転軸に垂直な１中心回転面に対して面対称な上面と下面とを有し、外周半径をｂ、回転中心の厚みをｈ０とする外形を有し、回転中心から接続半径ａまで厚みが単調減少する減厚領域と、その外縁であって接続半径ａから外径ｂまで厚みｈａ一定となる定厚領域とを備えた形状のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、外周半径ｂ、回転中心厚ｈ０、接続半径ａ、及び外縁厚ｈａとからなる形状パラメータが、次式を満足することを特徴とする。
【0015】
【数1】
ここでνはロータ材料のポアソン比である。
【0016】
また、本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、前記接続半径ａ及び外縁厚ｈａは、回転角速度に依存することなく設定されていることを特徴とする。
【0017】
また、本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、前記減厚領域は、その面内応力が該減厚領域全域において常に不変となる形状に形成されていることを特徴とする。
【0018】
また、本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、前記定厚領域は、その面内応力が、回転中心から外周半径ｂに近づくに従い前記減厚領域の面内不変の応力値から単調減少する形状に形成されていることを特徴とする。
【0019】
また、本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、前記減厚領域の厚みｈは次式で表されることを特徴とする。
【0020】
【数2】
【0021】
また、本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータにおいて、前記減厚領域が面内応力σａを発生させて回転しているとき、回転角速度ωは次式で表されることを特徴とする。
【0022】
【数3】
ここでρはロータ材料の密度である。
【0023】
ロータ材料の降伏強度をσyとするとき、限界エネルギー密度ＤＦＲが、次式で表されることを特徴とする。
【0024】
【数4】
【0025】
また、本発明は、上記構成のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法であって、前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、前記外縁厚ｈａの４つのパラメータのうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの１つのパラメータを決定することを特徴とする。
【0026】
また、本発明は、上記構成のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの設計方法であって、フライホイール外向減厚型中実円盤ロータの前記限界エネルギー密度ＤＦＲ、質量、前記外周半径ｂ、前記回転中心厚ｈ０、前記接続半径ａ、及び前記外縁厚ｈａの６つのパラメータうち、何れか３つのパラメータが与えられ、残りの３つのパラメータを決定することを特徴とする。
【図面の簡単な説明】
【0027】
【図1】本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの構成を示す説明的断面図。
【図2】本発明の第１の実施形態に係るフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの外形プロファイルを示すグラフ。
【図3】本発明の第１の実施形態に係るフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの半径方向限界（破壊）応力分布を示すグラフ。
【図4】本発明の第２の実施形態に係るフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの形状基礎方程式とエネルギー密度（ＤＦＲ）方程式をａ／ｂとｈａ／ｈ０の関数としてプロットしたグラフ。
【図5】本発明の第３の実施形態に係るフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの形状基礎方程式とロータ質量（ｍａｂ）方程式をａ／ｂとｈａ／ｈ０の関数としてプロットしたグラフ。
【発明を実施するための形態】
【0028】
本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの実施形態を図面を参照して説明する。ただし、これら図面では、理解を容易にするために、厚さと平面寸法との関係や各層の厚さの比率などは誇張して描いている。また、同一部材には同一符号を付して再度の説明は省略する。
【0029】
まず、図１の断面図を使って本発明のフライホイール外向減厚型中実円盤ロータの構造や、同構造で成立する関係式、得られる効果などについて説明する。
【0030】
図１は、フライホイール外向減厚型中実円盤ロータ１（以下、単にロータ１という）を任意の回転角で回転軸１１に沿って切断したときの断面図である。ロータ１をどの回転角で切断しても形は図１と同じである。直線１２はロータ１の水平中心面を表しており、回転軸１１に対して垂直である。
【0031】
図１に示したように、ロータ１は、回転軸１１を中心に置いて、外周の半径がｂ（直径は２ｂ）の円盤である。ロータ１は、３つの表面、即ち、上面１３Ａ、下面１３Ｂ、側面１４を備えている。上面１３Ａと下面１３Ｂとは前記水平中心面１２に対して面対称（断面図上では線対称）である。
【0032】
ロータ１の材料は、等方性または弱異方性を呈する固体材料であって、例えば、金属、セラミクス、ポリマー（固体樹脂）などが該当するが、これらに限らない。
【0033】
以降、ロータ１に使用する材料の密度ρ、降伏強度σｙ、ポアソン比νとし、これらを材料パラメータと総称することにする。
【0034】
回転軸１１から半径ｒの距離の上面１３Ａと下面１３Ｂの厚みをｈ（ｒ）とすると、ロータ１は、外周に向かって厚みｈが薄くなって行く減厚領域１５Ａと、減厚領域１５Ａの外縁にあって、厚みｈが一定である定厚領域１５Ｂとに区分される。減厚領域１５Ａと定厚領域１５Ｂの境界を与える半径が接続半径ａ（直径２ａ）である。
【0035】
ロータ１の中心１１の厚み（回転中心厚）はｈ０、定厚領域２５Ｂの厚み（外縁厚）はｈａで表す。これら厚みｈ０、ｈａと前記外周半径ｂ、接続半径ａと併せて、以下、形状パラメータと総称することにする。
【0036】
ロータ１において、減厚領域１５Ａ（０≦ｒ≦ａ）の厚みｈは下記の関数式（１）で表される。
【0037】
【0038】
【数6】
は、正ではなく負の定数である。よって、ｈはｒが大きくなるに従ってゼロに漸近する減少関数である。
【0039】
上記関数式（１）には回転角速度ωが含まれていないから、ロータ１の減厚領域１５Ａの形状は、回転角速度に依存しないことがわかる。
【0040】
上記式（１）にｒ＝ａを代入するとｈ（ａ）＝ｈａとなり、この値は定厚領域２５Ｂの厚みと一致する。つまり、減厚領域１５Ａと定厚領域１５Ｂの接続半径ａ地点の上下面（１３Ａ、１３Ｂ）表面には段差がなく、図１のように、連続していることがわかる。
【0041】
ロータ１においては、形状パラメータｈ０、ｈａ、ｂ、ａは次の形状基礎方程式（２）で関連付けられている。この点も本発明ロータの際立った特徴の１つである。
【0042】
【数7】
ただし、０＜ａ／ｂ＜１、０＜ｈａ／ｈ０＜１、νはロータ材料のポアソン比である。
【0043】
上記形状基礎方程式（２）は式（２）’のように表すこともできる。
【0044】
【数8】
【0045】
ロータ１は形状基礎方程式（２）を満たす結果、減厚領域１５Ａ（０≦ｒ≦ａ）で発生する回転面応力σａ（＝周応力σａθ＝半径応力σａｒ）は、面内位置（半径ｒ）に依存せず、どこでもσａ＝一定である、即ち、理想的に平均化されている、という効果が得られる。
【0046】
減厚領域１５Ａの回転面応力σａとロータの回転角速度ωとは次式（３）で関連付けられている。
【0047】
【数9】
この関係はロータ１が破壊する瞬間まで、言い換えれば、減厚領域１５Ａの回転応力σａがロータ材料の降伏強度σｙに到達するまで成立する。即ち、ロータが降伏するときの破壊回転角速度ωｙとすると次式（３）’が成立する。
【0048】
【数10】
【0049】
一方、ロータ１の定厚領域１５Ｂ（ａ≦ｒ≦ｂ）で発生する回転面応力σｂは、周応力σｂｒが次式（４）で表され、
【0050】
【数11】
半径応力σｂθが次式（５）で表される。
【0051】
【数12】
上式（４）（５）中のσａは減厚領域１５Ａの回転面応力である。
【0052】
上記σｂｒ、σｂθの式は、後出の図３で示すように、ｒ＝ａでσａを与え、外周ｒ＝ｂに向かって値が単調減少する関数であることから、ロータ１が示す最大応力は、如何なる回転角速度にあっても、減厚領域１５Ａの面応力の値σａである。従って、減厚領域１５Ａの面応力がロータ材料の降伏強度になったとき、即ちσａ＝σｙのときに、ロータ１は破壊する。
【0053】
この知見をもとに演算すると、ロータ１の限界エネルギー密度ＤＦＲは最終的に形状パラメータと材料パラメータ（σｙ、ρ）だけを用いて次の式（６）で記述される。
【0054】
【数13】
ただし、式（６）中のＫＳＦは次式で表される。
【0055】
【数14】
以降、上式（６）を限界エネルギー密度方程式と呼称することにする。
【0056】
最後に、ロータ１の質量ｍＡＢは次式（７）のように記述される。
【0057】
【数15】
式（７）の右辺第１項が減厚領域１５Ａの質量、第２項が定厚領域の質量１５Ｂの質量に該当する。以降、式（７）をロータ質量方程式と呼ぶことにする。
【0058】
以上の構成によるロータ１の効果を説明する。前記式（１）を参照すれば明らかなように、本発明実施形態ロータの減厚領域の厚みｈ（ｒ）（特許文献１のｔ（ｒ）に該当）は破壊回転角速度ωｙを含む回転角速度ωに対して不変であって、形状パラメータだけで決定される。よって、本実施形態によるロータ１は、従来技術（特許文献１、以下同じ）の第１の問題であった「ロータの構造が定まらない」という問題を解決している、と言うことができる。
【0059】
また形状基礎方程式（２）を参照すれば明らかなように、本実施形態のロータ１においては、外周半径ｂと接続半径ａは式（２）で明確に関連付けられており、特許文献１のＲ（本発明のｂに該当）のように不定ではない。よって、従来技術の第２の問題であった「応力分布や限界エネルギー密度ＤＦＲを解析的に予見することが困難」という問題を解決していると言える。
【0060】
こうして、本実施形態のロータ１においては、上記２つの効果に加え、減厚領域の回転応力分布が完全フラットにする状態を達成していることから、回転応力のピークが理想的に低減され、この結果、構造パラメータの最適化とエネルギー密度の最大化が実現される。言い換えると、本実施形態のロータ１は従来技術の第３の問題であった「最適な構造を得るのが容易でない」という問題を解決していると言うことができる。
【0061】
以下、ロータ１とその関係式を用いて、実際の設計に則した具体例を説明する。本発明に係るロータ１は等方性または弱異方性を呈する材料であれば、材料を選ばないが、ここでは具体的材料として、高強度ＳＫ１０５鋼の流れをくむＱＣＭ８鋼（山陽特殊製鋼株式会社（兵庫県姫路市））を用いた場合を例に挙げて説明する。これは飽くまで一例であって、他の材料を使った場合でもここで説明する手続きと全く同じ手続きを踏めば、誰でも、本発明に係るロータ構造を決定することができる。
【0062】
ＱＣＭ８鋼の材料パラメータの典型値は以下のとおりである：密度ρ＝７７３４ ｋｇ／ｍ３、ポアソン比ν＝０．３４、降伏強度σｙ＝１．３６×１０９ Ｐａ。
【0063】
［第１実施例］
第１実施例はロータ１の体格を決定する形状パラメータのいくつかを要求仕様として与えて、本発明ロータの最適構造を決める例である。上述したようにロータ１は必ず形状基礎方程式（２）を満足する必要があるから、４つの形状パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ、ａ）のうち、任意の３つを（要求仕様として）指定すれば、残りの１つが自動的に決定される。
第１実施例はロータ１の体格を決定する形状パラメータのいくつかを要求仕様として与えて、本発明ロータの最適構造を決める例である。上述したようにロータ１は必ず形状基礎方程式（２）を満足する必要があるから、４つの形状パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ、ａ）のうち、任意の３つを（要求仕様として）指定すれば、残りの１つが自動的に決定される。
【0064】
フライホイール蓄電装置のロータの製作するという視点から、現実的にあり得る３パラメータの組合せは、（ｈ０、ｈａ、ｂ）である。これらがロータ１の体格をほぼ決めるからである。この点を鑑み、ここではこれら（ｈ０、ｈａ、ｂ）が要求仕様として与えられたとして説明する。
【0065】
３パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ）の値が与えられたことにより、これらを形状基礎方程式（２）に代入すると、接続半径ａの値が決まる。
【0066】
接続半径ａの値が決まると、式（１）から減厚領域１５Ａの表面形状を決める関数ｈ（ｒ）が決まり、これによりロータ１の構造がすべて確定する。
【0067】
ロータ１の構造がすべて確定すると、関係式（６）に形状パラメータと材料パラメータの値を代入することにより、限界エネルギー密度ＤＦＲが求まる。
破壊回転角速度ωｙは式（３）’から得られる。
また、ロータ１の質量ｍＡＢば、式（７）によって求めることができる。
破壊回転角速度ωｙは式（３）’から得られる。
また、ロータ１の質量ｍＡＢば、式（７）によって求めることができる。
【0068】
いま、仮にロータ１の形状パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ）の数値を、ｈ０＝０．０５ｍ（５ｃｍ）、ｈａ＝０．０１ｍ（１ｃｍ）、ｂ＝０．１５ｍ（１５ｃｍ）とすると、次の値や式が得られる。
ａ＝０．１１６ ｍ（１１．６ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０１ｅｘｐ（－１１９．１ｒ２） （ｍ）
ＤＦＲ＝４５ Ｗｈ／ｋｇ
ωｙ＝６４７２ ｒａｄ／ｓ
ｍＡＢ＝１０．３４ ｋｇ
ａ＝０．１１６ ｍ（１１．６ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０１ｅｘｐ（－１１９．１ｒ２） （ｍ）
ＤＦＲ＝４５ Ｗｈ／ｋｇ
ωｙ＝６４７２ ｒａｄ／ｓ
ｍＡＢ＝１０．３４ ｋｇ
【0069】
図２は上記プロセスで決定した本発明第１実施形態ロータ１断面の半径方向表面形状である。各形状パラメータが正確に反映されていることが分る。
【0070】
図３は本発明第１実施形態ロータ１が限界エネルギー密度に達したときの、回転応力σの半径方向分布を示している。減厚領域１５Ａでは回転応力がσａ（＝σｂｒ＝σｂθ）＝σｙ＝一定、であること、定厚領域１５Ｂでは回転応力σｂｒ、σｂθの値がσａから単調減少する様子が明瞭に認められる。
【0071】
［第２実施例］
実際のフライホイール蓄電装置のロータの要求仕様に盛り込まれる可能性が最も高い特性パラメータのひとつ、は限界エネルギー密度ＤＦＲであると考えられる。そこで、第２実施例においては、目標値として特性パラメータＤＦＲが要求仕様に組み込まれた例を挙げる。
実際のフライホイール蓄電装置のロータの要求仕様に盛り込まれる可能性が最も高い特性パラメータのひとつ、は限界エネルギー密度ＤＦＲであると考えられる。そこで、第２実施例においては、目標値として特性パラメータＤＦＲが要求仕様に組み込まれた例を挙げる。
【0072】
前出の限界エネルギー密度方程式（６）を条件０＜ａ／ｂ＜１、０＜ｈａ／ｈ０＜１のもと、式変形すると次式（６）’となる。
【0073】
【数16】
となる。ここで式（６）’におけるＡ，Ｂ，Ｃは次式の通りである。
【0074】
【数17】
【0075】
第２実施例のケースでは、形状パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ、ａ）は形状基礎方程式（２）と限界エネルギー密度方程式（６）’を同時に満たす必要があるので、要求仕様として、限界エネルギー密度ＤＦＲと任意形状パラメータ２つを指定すれば最適解が得られることが理解される。
【0076】
フライホイール蓄電装置のロータ製作という視点から、形状パラメータの中で要求仕様として選ばれやすい２パラメータの組合せを勘案すると、結果は（ｈ０、ｂ）である。なぜなら、これらがロータ１の体格を最も強く規定するからである。この点を鑑み、ＤＦＲ、ｈ０、ｂが要求仕様として与えられたものとして説明を行うが、形状パラメータの組み合わせは（ｈ０、ｂ）に限定されるものではなく、任意の２つを選ぶことができる。
【0077】
未知の形状パラメータｈａ、ａを決定する手順はつぎのとおりである。目標値としてＤＦＲが与えられると、限界エネルギー密度方程式（６）’が確定する。つぎに形状基礎方程式（２）と限界エネルギー密度方程式（６）’ を連立させて、数値解ａ／ｂとｈａ／ｈ０を得る。この解に要求値ｈ０、ｂを代入すると、ｈａ、ａが得られる。
【0078】
第１実施例と同様に、ロータ１の破壊回転角速度ωｙは式（３）’から、質量ｍＡＢは式（７）から求まる。
【0079】
ここで、ＤＦＲ、ｈ０、ｂの各要求値を、ＤＦＲ＝４０Ｗｈ／ｋｇ（＝４０×３６００Ｊ／ｋｇ）、ｈ０＝０．０３ｍ（３ｃｍ）、ｂ＝０．１５ｍ（１５ｃｍ）として、最適設計を試みることにする。
【0080】
図４は形状基礎方程式（２）と前記ＤＦＲ値の限界エネルギー密度方程式（６）’をａ／ｂ対ｈａ／ｈ０との曲線としてプロットしたグラフである。２曲線が交差するという事実から解ａ／ｂ、ｈａ／ｈ０が得られることは明白である。実際に二分法を用いて解を求めると、ａ／ｂ＝０．６４１、ｈａ／ｈ０＝０．４６３である。この関係式にｈ０、ｂの要求値（上記数値）を代入するとｈａ、ａの値が求まる。
【0081】
最終的に次の値や式が得られる。
ａ＝０．０９６ ｍ（９．６ ｃｍ）
ｈａ＝０．０１４ ｍ（１．４ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０３ｅｘｐ（－８３．５ｒ２） （ｍ）
ωｙ＝５４１９ ｒａｄ／ｓ
ｍＡＢ＝９．１６ ｋｇ
ａ＝０．０９６ ｍ（９．６ ｃｍ）
ｈａ＝０．０１４ ｍ（１．４ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０３ｅｘｐ（－８３．５ｒ２） （ｍ）
ωｙ＝５４１９ ｒａｄ／ｓ
ｍＡＢ＝９．１６ ｋｇ
【0082】
［第３実施例］
ロータ１の要求仕様に盛り込まれる可能性が高い他の特性パラメータは、ロータの質量ｍＡＢであると考えられる。そこで、第３実施例として、目標値としてｍＡＢが要求仕様に組み込まれた例を挙げる。
ロータ１の要求仕様に盛り込まれる可能性が高い他の特性パラメータは、ロータの質量ｍＡＢであると考えられる。そこで、第３実施例として、目標値としてｍＡＢが要求仕様に組み込まれた例を挙げる。
【0083】
前出のロータ質量方程式（７）を条件０＜ａ／ｂ＜１、０＜ｈａ／ｈ０＜１のもと、式変形すると次式（７）’又は、（７）” と書き換えられ、式（７）の替りに適宜代用することができる。
【0084】
【数18】
【0085】
第３実施例のケースでは、形状パラメータ（ｈ０、ｈａ、ｂ、ａ）は形状基礎方程式（２）とロータ質量方程式（７）（又は（７）’又は（７）”）を同時に満たす必要があるので、要求仕様としては、ロータ質量ｍＡＢと形状パラメータ２つを指定すれば最適構造が得られることになる。
【0086】
フライホイール蓄電装置のロータ製作という視点から、要求仕様として選ばれやすい形状パラメータ２つは、第２実施例と同様、ｈ０、ｂであると考えられる。第３実施例においても、この点を鑑み、ｍＡＢ、ｈ０、ｂが要求仕様として与えられることを想定して説明を行う。なお、形状パラメータの組み合わせは（ｈ０、ｂ）だけに限定されるものではなく、任意の２つの組み合わせを選ぶことができる。
【0087】
未知の形状パラメータｈａ、ａを決定する手順は次の通りである。目標値としてｍＡＢ、ｈ０、ｂが与えられると、ロータ質量方程式（７）’が確定する。ｈ０、ｂが既知数であることに注意してロータ質量方程式（７）’と限界エネルギー密度方程式（６）’を連立させて方程式を解くと、数値解ａ／ｂとｈａ／ｈ０を得る。ｈ０、ｂが既知数であるから、ｈａ、ａが得られる。
【0088】
前記第１実施例と同様に、ロータ１の減厚領域１５Ａの関数ｈ（ｒ）は式（１）から、限界エネルギー密度ＤＦＲは式（６）から、破壊回転角速度ωｙは式（３）’から、質量ｍＡＢは式（７）から求めることができる。
【0089】
ここで、ｍＡＢ、ｈ０、ｂの各要求値を、ｍＡＢ＝１２ｋｇ、ｈ０＝０．０４ｍ（４ｃｍ）、ｂ＝０．１５ｍ（１５ｃｍ）として、最適設計を試みることにする。
【0090】
図５は形状基礎方程式（２）と前記ＤＦＲ値のロータ質量方程式（７）’をａ／ｂ対ｈａ／ｈ０の曲線としてプロットしたグラフ（ただしｈ０、ｂは既知数）である。２曲線が交差するという事実から解ａ／ｂ、ｈａ／ｈ０が得られることは明白である。実際に二分法を用いて解を求めると、ａ／ｂ＝０．６４９、ｈａ／ｈ０＝０．４４８が得られる。この関係式に既知数ｈ０、ｂの値を代入するとｈａ、ａの値が求まる。
【0091】
最終的に次のロータ諸元が得られる。
ａ＝０．０９７ ｍ（９．７ ｃｍ）
ｈａ＝０．０１８ ｍ（１．８ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０４ｅｘｐ（－８４．８ｒ２） （ｍ）
ωｙ＝５４６２ ｒａｄ／ｓ
ＤＦＲ＝４０Ｗｈ／ｋｇ（＝４０×３６００Ｊ／ｋｇ）
ａ＝０．０９７ ｍ（９．７ ｃｍ）
ｈａ＝０．０１８ ｍ（１．８ ｃｍ）
ｈ（ｒ）＝０．０４ｅｘｐ（－８４．８ｒ２） （ｍ）
ωｙ＝５４６２ ｒａｄ／ｓ
ＤＦＲ＝４０Ｗｈ／ｋｇ（＝４０×３６００Ｊ／ｋｇ）
【0092】
［その他の実施例］
本発明に係るフライホール外向減厚型中実円盤ロータは、特性パラメータである限界エネルギー密度ＤＦＲと質量ｍＡＢと、形状パラメータの１つ（例えば外半径ｂ）を要求仕様として指定し、残りの３つの形状パラメータの最適値を決定することもできる。この場合、形状基礎方程式と限界エネルギー密度方程式とロータ質量方程式の３つを連立させて、残りの３つの形状パラメータを求める。
本発明に係るフライホール外向減厚型中実円盤ロータは、特性パラメータである限界エネルギー密度ＤＦＲと質量ｍＡＢと、形状パラメータの１つ（例えば外半径ｂ）を要求仕様として指定し、残りの３つの形状パラメータの最適値を決定することもできる。この場合、形状基礎方程式と限界エネルギー密度方程式とロータ質量方程式の３つを連立させて、残りの３つの形状パラメータを求める。
【0093】
形状パラメータとして外半径ｂを指定する例でこの手順を簡単に説明すると、まず形状基礎方程式（２）と限界エネルギー密度方程式（６）’を連立させて、未知数ａ／ｂと未知数ｈａ／ｈ０の数値解を求め、前者にｂ値を代入してａ値を確定する。
【0094】
つぎに、求まったｈａ／ｈ０値、ａ値、ｂ値をロータ質量方程式（７）に代入してｈａ値を確定し、ｈａ／ｈ０値とこのｈａ値からｈ０値を求める。こうして、未知であった構造パラメータａ、ｈａ、ｈ０の最適値がすべて確定する。
【符号の説明】
【0095】
１…本発明フライホイール外向減厚型中実円盤ロータ
１１…回転軸
１２…水平中心面
１３Ａ…上面
１３Ｂ…下面
１４…側面
１５Ａ…減厚領域
１５Ｂ…定厚領域
ｂ…ロータ半径（外半径）
ａ…接続半径（減厚領域／定厚領域境界の半径）
ｈａ…定厚領域の厚さ
ｈ０…中心の厚さ
ｒ…任意の地点の半径
ｈ（ｒ）…半径ｒ地点の厚みを表す関数
１１…回転軸
１２…水平中心面
１３Ａ…上面
１３Ｂ…下面
１４…側面
１５Ａ…減厚領域
１５Ｂ…定厚領域
ｂ…ロータ半径（外半径）
ａ…接続半径（減厚領域／定厚領域境界の半径）
ｈａ…定厚領域の厚さ
ｈ０…中心の厚さ
ｒ…任意の地点の半径
ｈ（ｒ）…半径ｒ地点の厚みを表す関数
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
