特開 2022-165027 最適化プログラム、最適化方法および最適化装置

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2022165027

(43)【公開日】2022-10-31

(54)【発明の名称】最適化プログラム、最適化方法および最適化装置

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/10 20060101AFI20221024BHJP

【ＦＩ】

G06F17/10 Z

【審査請求】未請求

【請求項の数】6

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2021070197

(22)【出願日】2021-04-19

(71)【出願人】

【識別番号】000005223

【氏名又は名称】富士通株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】110002147

【氏名又は名称】弁理士法人酒井国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】印 芳

(72)【発明者】

【氏名】神田 浩一

【テーマコード（参考）】

5B056

【Ｆターム（参考）】

5B056BB91

(57)【要約】

【課題】順列のエネルギーの演算量を削減すること。
【解決手段】最適化装置１００は、ＬＯＰ（Linear Ordering Problem）行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出する。最適化装置１００は、第１差分値を記憶部に記憶する。最適化装置１００は、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、第１差分値を再利用して、第２差分値を算出する。
【選択図】図１

【特許請求の範囲】

【請求項1】

線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、
前記第１差分値を記憶装置に格納し、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する
処理をコンピュータに実行させることを特徴とする最適化プログラム。

【請求項2】

前記第２差分値を算出する処理は、選択した順列番号を前方または後方に移動させた個数と、前記第１差分値と、前記第１状態の一部の要素と、前記第２差分値との関係を示す情報を用いて、前記第２差分値を算出する処理を前記コンピュータに実行させることを特徴とする請求項１に記載の最適化プログラム。

【請求項3】

前記第２差分値によって、前記記憶装置に格納された第１差分値を更新し、順列の順列番号を一つ選択し、
算出された前記第２差分値を前記記憶装置に格納し、
選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第３状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第４状態のエネルギーとの第３差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第２差分値を読み出して、前記第３差分値を算出する処理を更にコンピュータに実行させることを特徴とする請求項１または２に記載の最適化プログラム。

【請求項4】

前記選択する処理において前記コンピュータに、順列の順列番号において、隣接する複数の順列番号を選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させることで、順列の状態を変化させることを特徴とする請求項１に記載の最適化プログラム。

【請求項5】

コンピュータが実行する最適化方法であって、
線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、
前記第１差分値を記憶装置に格納し、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する
処理を実行することを特徴とする最適化方法。

【請求項6】

線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列を取得する取得部と、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、前記第１差分値を記憶装置に格納し、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する算出部と、
を有することを特徴とする最適化装置。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、最適化プログラム等に関する。

【背景技術】

【0002】

製造、金融、物流等の分野で、組み合わせ最適化問題が用いられている。組み合わせ最適化問題は、解が順序や割り当てのような組み合わせの構造を持つ最適化問題である。

【0003】

たとえば、組み合わせ最適化問題の適用対象として、線形順序付け問題（Linear Ordering Problem：LOP）がある。このＬＯＰは、複数の要素、例えば複数の候補者の順位を与える場合、できるだけ多くの投票者の意志に合うように全ての候補者を順位付けする問題である。また、ＬＯＰは、候補者の順序に対応する正方行列について、上三角行列の要素の合計が最大になるように並べ替える順列を求める。ＬＯＰでは、問題の次元数ｎに対し、ｎ！通りの組合せがあるため、高次元になるほど、解くのが困難になる。

【0004】

次の条件１～３の下で、ＬＯＰについて説明する。
（条件１）：ｎ名の候補者がいる。
（条件２）：行列（投票数行列）の成分には、候補者のペアの各々に対して良い方を投票した人の数が指定されている。
（条件３）：全てのペア候補に対して投票する。

【0005】

目的関数を式（１）に示し、順列πを式（２）に示す。また、制約条件を「行列の行と列とを同じ順列で並べる」とする。

【0006】

【数1】

【数2】

【0007】

投票数行列Ａを式（３）に示す。投票数行列Ａの要素（成分）「ａ_ｉｊ」は、候補者ｉが、候補者ｊよりも良いと投票した人の数を示す。

【0008】

【数3】

【0009】

順列（候補者の並び順）は、複数のバイナリ値（ビット）で表すことができ、マトリックスＸで表現できる。マトリックスＸでは、要素の各行と列との和が全て１になる。マトリックスＸは求める順列のバイナリ表現であり、ビット更新、反転を行う場合に使われる。たとえば、初期順列１２３４（候補者１、候補者２、候補者３、候補者４の並び順）の場合、マトリックスＸは、式（４）に示すものとなる。順列３４２１の場合、マトリックスＸは、式（５）に示すものとなる。

【0010】

【数4】

【0011】

【数5】

【0012】

図１２は、ＬＯＰの並べ替えを説明するための図である。図１２に示すように、順列１２３４を順列３４２１に並び変える場合、^ｔＸＡＸを計算する。行列^ｔＸＡＸでは、行と列とが、３４２１の順に並んでいる。図１２に示すＸは、上記の式（５）に対応するマトリックスＸである。

【0013】

図１３は、ＬＯＰのエネルギーを説明するための図である。ＬＯＰのエネルギーは、上三角行列の要素の合計（領域１０に含まれる要素の合計）である。たとえば、図１３に示す行列^ｔＸＡＸのエネルギーＥは、式（６）に示すものとなる。

【0014】

【数6】

【0015】

候補者１、２、３、４を、投票数の大きい順番に並べる場合に、エネルギーＥが用いられる。エネルギーＥが大きいほど、投票数の多い候補者が前方に位置することを意味する。たとえば、順列１２３４のエネルギーよりも、順列３４２１のエネルギーの方が大きい場合に、候補者の並び順１２３４よりも、候補者の並び順３４２１の方が、投票数の多い候補者が前方に位置している。

【0016】

たとえば、エネルギーＥの最小値（または最大値）を探索する従来技術として、マルコフモンテカルロ法（Markov Chain Monte Carlo methods：ＭＣＭＣ）がある。図１４は、ＭＣＭＣを説明するための図である。図１４の縦軸はエネルギーの値に対応し、横軸はある状態に対応する。

【0017】

ＭＣＭＣでは、現在の状態から近傍状態に移動した場合のエネルギー変化量ΔＥを計算し、条件を満たせば、次の状態に移行する。ΔＥは、遷移前のエネルギーＥから、遷移後のエネルギーＥ´を減算することで、算出される。ＭＣＭＣでは、状態（ビット）を確率的に反転させることで、探索を行う。また、熱ノイズを付与することで、局所解にとどまらないようにする。

【0018】

ＬＯＰに関する従来技術について説明する。この従来技術では、Ｓｔｅｐ１～４を実行する。

【0019】

従来技術が実行する「Ｓｔｅｐ１」について説明する。従来技術では、ｎ×ｎ行列の行列について、順列番号ｊ（ｊ＝１，２，・・・ｎ－１）を挿入位置ｉ（ｉ＝ｊ＋１）に挿入し、エネルギーを計算する。順列番号ｊを、挿入位置ｉに挿入することを（Ｐｊ、ｉ）で示す。

【0020】

従来技術は、元の順列１２３４から、以下の順列を生成する。
（Ｐ１、２）→順列２１３４
（Ｐ２、３）→順列１３２４
（Ｐ３、４）→順列１２４３

【0021】

従来技術が実行する「Ｓｔｅｐ２」について説明する。従来技術では、Ｓｔｅｐ１で計算したエネルギーが最大となる順列を基に、順列番号ｊ（ｊ＝１，２，・・・ｎ）をｉ（ｉ＝１，２，・・・ｊ－１，ｊ＋１，・・・ｍ）の位置に挿入し、生成した順列についてエネルギーを計算する。

【0022】

たとえば、Ｓｔｅｐ１の各順列のうち、順列１３２４のエネルギーが最大の場合には、以下の順列を生成する。
（Ｐ１、２）→順列３１２４
（Ｐ１、３）→順列３２１４
（Ｐ１、４）→順列３２４１
（Ｐ２、１）→順列３１２４
（Ｐ２、３）→順列１２３４
（Ｐ２、４）→順列１２４３
（Ｐ３、１）→順列２１３４
（Ｐ３、２）→順列１２３４
（Ｐ３、４）→順列１３４２

【0023】

従来技術が実行する「Ｓｔｅｐ３」について説明する。従来技術では、Ｓｔｅｐ２で計算したエネルギーが最大となる順列を求める。

【0024】

従来技術が実行する「Ｓｔｅｐ４」について説明する。従来技術では、最適解を見つけるまで、Ｓｔｅｐ１～３を繰り返し実行する。

【0025】

ここで、従来技術のエネルギーの計算方法について説明する。図１５は、従来技術のエネルギーの計算方法を説明するための図である。

【0026】

元の順列１２３４のエネルギーＥは、領域１０の要素の合計値となり、式（７）によって示される。

【0027】

【数7】

【0028】

生成した順列が、順列２１３４の場合には、式（８）によって、エネルギーＥ_１を算出する。すなわち、行列Ａ´の上三角行列の要素の合計を算出する代わりに、既に算出した順列１２３４のエネルギーＥ、行列の要素ａ２１，ａ１２を基にして、エネルギーＥ_１を算出する。

【0029】

【数8】

【0030】

生成した順列が、順列３２１４の場合には、式（８）によって、エネルギーＥ_２を算出する。すなわち、行列Ａ´´の上三角行列の要素の合計を算出する代わりに、既に算出した順列２１３４のエネルギーＥ_１、要素ａ２１，ａ１２，ａ２１，ａ３１を基にして、エネルギーＥ_２を算出する。

【0031】

【数9】

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0032】

【非特許文献1】Manuel Laguna「Intensification and diversification with elite tabu search solutions for the linear ordering problem」Computers & Operations Research 26 (1999) 1217-1230

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0033】

しかしながら、上述した従来技術では、生成した順列のエネルギーの演算量が多いという問題がある。

【0034】

たとえば、対象となる行列において、順列番号ｊと挿入位置ｉとの差が増えると、加減算の回数が増加し、演算量が増加する。また、従来技術では、生成した順列のエネルギーのみで、更新するか否かを判定するため、局所解にはまると、脱出しにくく、最適解にたどり着くまで時間を要し、演算量が増加する。

【0035】

１つの側面では、本発明は、順列のエネルギーの演算量を削減することができる最適化プログラム、最適化方法および最適化装置を提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0036】

第１の案では、コンピュータに次の処理を実行させる。コンピュータは、ＬＯＰ（Linear Ordering Problem）行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出する。コンピュータは、第１差分値を記憶装置に記憶する。コンピュータは、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、第１差分値を再利用して、第２差分値を算出する。

【発明の効果】

【0037】

順列のエネルギーの演算量を削減することができる。

【図面の簡単な説明】

【0038】

【図1】図１は、本実施例に係る最適化装置の構成を示す機能ブロック図である。

【図2】図２は、実施例に係る計算テーブルのデータ構造の一例を示す図である。

【図3】図３は、本実施例に係る算出部の処理を説明するための図（１）である。

【図4】図４は、本実施例に係る算出部の処理を説明するための図（２）である。

【図5】図５は、本実施例に係る算出部の処理を説明するための図（３）である。

【図6】図６は、本実施例に係る算出部の処理を説明するための図（４）である。

【図7】図７は、本実施例に係る最適化装置の処理手順を示すフローチャートである。

【図8】図８は、前方挿入処理の処理手順を示すフローチャートである。

【図9】図９は、後方挿入処理の処理手順を示すフローチャートである。

【図10】図１０は、最適化装置のその他の処理を説明するための図である。

【図11】図１１は、最適化装置と同様の機能を実現するコンピュータのハードウェア構成の一例を示す図である。

【図12】図１２は、ＬＯＰの並べ替えを説明するための図である。

【図13】図１３は、ＬＯＰのエネルギーを説明するための図である。

【図14】図１４は、ＭＣＭＣを説明するための図である。

【図15】図１５は、従来技術のエネルギーの計算方法を説明するための図である。

【発明を実施するための形態】

【0039】

以下に、本願の開示する最適化プログラム、最適化方法および最適化装置の実施例を図面に基づいて詳細に説明する。なお、この実施例によりこの発明が限定されるものではない。

【実施例0040】

図１は、本実施例１に係る最適化装置の構成を示す機能ブロック図である。図１に示すように、この最適化装置１００は、通信部１１０と、入力部１２０と、表示部１３０と、記憶部１４０と、制御部１５０とを有する。

【0041】

通信部１１０は、ネットワークを介して外部装置から各種のデータを受信する。通信部１１０は、通信装置の一例である。たとえば、通信部１１０は、後述する投票数行列情報１４１を、外部装置から受信してもよい。

【0042】

入力部１２０は、最適化装置１００の制御部１５０に各種の情報を入力する入力装置である。入力部１２０は、キーボードやマウス、タッチパネル等に対応する。

【0043】

表示部１３０は、制御部１５０から出力される情報を表示する表示装置である。たとえば、表示部１３０は、順列の最適解の情報を表示する。

【0044】

記憶部１４０は、投票数行列情報１４１、差分値情報１４２、計算テーブル１４３を有する。記憶部１４０は、ＲＡＭ（Random Access Memory）、フラッシュメモリ（Flash Memory）などの半導体メモリ素子や、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）などの記憶装置に対応する。

【0045】

投票数行列情報１４１は、ａ_ｉｊを行列の要素（成分）とする投票数行列Ａの情報である。たとえば、ｉ＝１～ｎ、ｊ＝１～ｎとする（正方行列）。要素「ａ_ｉｊ」には、候補者ｉが候補者ｊよりも良いと投票した人の数が設定される。投票数行列Ａは、式（３）によって示される。

【0046】

差分値情報１４２は、選択された順列の順列番号を前方または後方に移動させた場合において、移動させる前の順列の状態のエネルギーと、移動させた後の順列の状態のエネルギーとの差分値を示す情報である。後述するように、算出部１５２が算出する新たな差分値によって、差分値情報１４２の差分値は更新される。

【0047】

計算テーブル１４３は、ｎ×ｎの行列の順列について、順列の順列番号を前方または後方に移動させた移動個数と、差分値との関係を定義するテーブルである。たとえば、元の順列１２３４の順列番号３を、前方に１つ移動させた場合の順列は順列１３２４となり、移動個数は「１」となる。元の順列１２３４の順列番号３を、前方に２つ移動させた場合の順列は順列３１２４となり、移動個数は「２」となる。

【0048】

元の順列１２３４の順列番号１を、後方に１つ移動させた場合の順列は順列２１３４となり、移動個数は「１」となる。元の順列１２３４の順列番号１を、後方に２つ移動させた場合の順列は順列２３１４となり、移動個数は「２」となる。

【0049】

図２は、実施例１に係る計算テーブルのデータ構造の一例を示す図である。図２に示すように、計算テーブル１４３は、前方テーブル１４３ａと、後方テーブル１４３ｂとを有する。なお、元の順列１２３、・・・ｉ・・・ｎを、式（３）に示す投票数行列Ａ（ｎ×ｎの行列）の順列とする。

【0050】

前方テーブル１４３ａは、前方移動個数と、ΔＥの計算とを対応付ける。前方移動個数は、順列の順列番号ｉを選択し、かかる順列番号ｉを前方に何個移動させたのかを示す。順序番号ｉを、前方に１つ移動させた場合には、前方移動個数は「１」となる。ΔＥは、移動前の順列の状態のエネルギーと、移動後の順列の状態のエネルギーとの差分値である。

【0051】

後方テーブル１４３ｂは、後方移動個数と、ΔＥの計算とを対応付ける。後方移動個数は、順列の順列番号ｉを選択し、かかる順列番号ｉを後方に何個移動させたのかを示す。順序番号ｉを、後方に１つ移動させた場合には、後方移動個数は「１」となる。ΔＥは、移動前の順列の状態のエネルギーと、移動後の順列の状態のエネルギーとの差分値である。

【0052】

図１の説明に戻る。制御部１５０は、取得部１５１と、算出部１５２とを有する。制御部１５０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などのハードワイヤードロジック等によって実現される。

【0053】

取得部１５１は、外部装置等から、ネットワークを介して、投票数行列情報１４１を取得する。取得部１５１は、投票数行列情報１４１を、記憶部１４０に登録する。取得部１５１は、投票数行列情報１４１を、入力部１２０を介して取得してもよい。

【0054】

算出部１５２は、投票数行列Ａの順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の状態のエネルギーと、移動させた後の状態のエネルギーとの差分値を算出する。算出部１５２は、差分値を算出する場合には、計算テーブル１４３に定義されたΔＥの計算に従い、差分値情報１４２に記録された前回の差分値を利用する。算出部１５２は、新たに算出した差分値によって、差分値情報１４２の差分値を更新する。

【0055】

図３～図６は、本実施例に係る算出部の処理を説明するための図である。図３について説明する。元の順列を、順列１２３４とする。元の順列１２３４のエネルギーＥは、行列Ａの上三角行列の合計値となり、式（７）によって、算出される。算出部１５２は、式（７）を基にして、元の順列のエネルギーＥを算出しておく。

【0056】

図３では、元の順列１２３４の順列番号「３」を、前方に１つ移動させ、順列１３２４とする。順列１３２４の行列を、図３に示す行列Ａ_１とする。順列１３２４のエネルギーＥ_１は、行列Ａ_１の上三角行列の合計値となり、式（１０）によって示される。ここで、エネルギーＥとエネルギーＥ_１との差分値ΔＥ_１は、式（１１）によって示される。

【0057】

【数10】

【0058】

【数11】

【0059】

すなわち、算出部１５２は、式（１１）に示すように、行列Ａ_１の要素ａ_２３，ａ_３２を用いて、エネルギーＥとエネルギーＥ_１との差分値ΔＥ_１を算出する。なお、算出部１５２は、エネルギーＥから差分値ΔＥ_１を減算することで、エネルギーＥ_１を算出する。算出部１５２は、差分値ΔＥ_１を、差分値情報１４２に設定する。

【0060】

図４について説明する。図４では、元の順列１２３４の順列番号「３」を、前方に２つ移動させ、順列３２１４とする。順列３２１４の行列を、図４に示す行列Ａ_２とする。順列３２１４のエネルギーＥ_２は、行列Ａ_２の上三角行列の合計値となり、式（１２）によって示される。ここで、エネルギーＥとエネルギーＥ_２との差分値ΔＥ_２は、式（１３）によって示される。

【0061】

【数12】

【0062】

【数13】

【0063】

なお、算出部１５２は、図３で説明したように、差分値ΔＥ_１をすでに算出している場合には、式（１４）によって、差分値ΔＥ_２を算出することができる。すなわち、算出部１５２は、式（１４）に示すように、差分値ΔＥ_１（再利用のΔＥ）と、行列Ａ_２の要素ａ_１３，ａ_３１の値を用いて、エネルギーＥとエネルギーＥ_２との差分値ΔＥ_２を算出する。

【0064】

算出部１５２は、図２で説明した前方テーブル１４３ａを基にして、差分値ΔＥ_２を算出するための、行列Ａ_２の要素ａ_１３，ａ_３１を特定する。たとえば、式（１４）は、前方テーブル１４２ａの前方移動個数「２」のΔＥの計算に対応する。

【0065】

算出部１５２は、エネルギーＥから差分値ΔＥ_２を減算することで、エネルギーＥ_２を算出する。算出部１５２は、差分値ΔＥ_２によって、差分値情報１４２を更新する。

【0066】

【数14】

【0067】

図５について説明する。図５では、元の順列１２３４の順列番号「１」を、後方に１つ移動させ、順列２１３４とする。順列２１３４の行列を、図５に示す行列Ａ_３とする。順列２１３４のエネルギーＥ_３は、行列Ａ_３の上三角行列の合計値となり、式（１５）によって示される。ここで、エネルギーＥとエネルギーＥ_３との差分値ΔＥ_３は、式（１６）によって示される。

【0068】

【数15】

【0069】

【数16】

【0070】

すなわち、算出部１５２は、式（１６）に示すように、行列Ａ_３の要素ａ_１２，ａ_２１を用いて、エネルギーＥとエネルギーＥ_３との差分値ΔＥ_３を算出する。なお、算出部１５２は、エネルギーＥから差分値ΔＥ_３を減算することで、エネルギーＥ_３を算出する。算出部１５２は、差分値ΔＥ_３を、差分値情報１４２に設定する。

【0071】

図６について説明する。図６では、元の順列１２３４の順列番号「１」を、後方に２つ移動させ、順列２３１４とする。順列２３１４の行列を、図６に示す行列Ａ_４とする。順列２３１４のエネルギーＥ_４は、行列Ａ_４の上三角行列の合計値となり、式（１７）によって示される。ここで、エネルギーＥとエネルギーＥ_４との差分値ΔＥ_４は、式（１８）によって示される。

【0072】

【数17】

【0073】

【数18】

【0074】

なお、算出部１５２は、図５で説明したように、差分値ΔＥ_３をすでに算出している場合には、式（１９）によって、差分値ΔＥ_４を算出することができる。すなわち、算出部１５２は、式（１９）に示すように、差分値ΔＥ_３と、行列Ａ_４の要素ａ_１３，ａ_３１を用いて、エネルギーＥとエネルギーＥ_４との差分値ΔＥ_４を算出する。

【0075】

【数19】

【0076】

算出部１５２は、図２で説明した後方テーブル１４３ｂを基にして、差分値ΔＥ_４を算出するための、行列Ａ_４の要素ａ_１３，ａ_３１を特定する。たとえば、式（１９）は、後方テーブル１４２ｂの後方移動個数「２」のΔＥの計算に対応する。

【0077】

算出部１５２は、エネルギーＥから差分値ΔＥ_４を減算することで、エネルギーＥ_４を算出する。算出部１５２は、差分値ΔＥ_４によって、差分値情報１４２を更新する。

【0078】

上記のように、算出部１５２は、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の状態のエネルギーと、移動させた後の状態のエネルギーとの差分値を算出する。また、算出部１５２は、各エネルギーを算出する過程において、エネルギーの最大値を保持する。

【0079】

算出部１５２は、複数回エネルギーを算出しても、エネルギーの最大値が変化しなくなるまで、上記処理を繰り返し実行する。算出部１５２は、エネルギーが最大値となる場合の順列を、最適解とする。算出部１５２は、最適解の情報を、表示部１３０に出力して表示する。または、算出部１５２は、最適解の情報を、外部装置に通知してもよい。たとえば、図６で示したエネルギーＥ_４が、最大値となる場合には、最適解は、順列２３１４となる。

【0080】

次に、本実施例１に係る最適化装置１００の処理手順の一例について説明する。図７は、本実施例に係る最適化装置の処理手順を示すフローチャートである。図７に示すように、最適化装置１００の算出部１５２は、ステート（順列の初期値）を設定する（ステップＳ１０１）。算出部１５２は、順列番号ｉに１に設定する（ステップＳ１０２）。

【0081】

算出部１５２は、順列番号ｉに設定された値が１である場合には（ステップＳ１０３，Ｙｅｓ）、ステップＳ１０６に移行する。一方、算出部１５２は、順列番号ｉに設定された値が１でない場合には（ステップＳ１０３，Ｎｏ）、ステップＳ１０４に移行する。

【0082】

算出部１５２は、前方挿入処理を実行する（ステップＳ１０４）。算出部１５２は、順列番号ｉに設定された値が次元数Ｎと一致する場合には（ステップＳ１０５，Ｙｅｓ）、ステップＳ１０１に移行する。一方、算出部１５２は、順列番号ｉに設定された値が次元数Ｎと一致しない場合には（ステップＳ１０５，Ｎｏ）、ステップＳ１０６に移行する。

【0083】

算出部１５２は、後方挿入処理を実行する（ステップＳ１０６）。算出部１５２は、順列番号ｉに１を加算することで、順列番号ｉを更新し（ステップＳ１０７）、ステップＳ１０２に移行する。

【0084】

続いて、図７のステップ１０４に示した前方挿入処理の一例について説明する。図８は、前方挿入処理の処理手順を示すフローチャートである。図８に示すように、算出部１５２は、前方挿入位置ｊに１を設定する（ステップＳ２０１）。算出部１５２は、行列の要素ａ_ｉｊとａ_ｊｉを選択する（ステップＳ２０２）。

【0085】

算出部１５２は、保存したΔＥ_{（ｉ－１）}を用いて、ΔＥ_ｊを算出する（ステップＳ２０３）。ステップＳ２０３において、算出部１５２は、前方テーブル１４３ａに示されるΔＥの計算を実行する。算出部１５２は、ΔＥ_ｊを記憶部１４０に保存する（ステップＳ２０４）。

【0086】

算出部１５２は、ＭＣＭＣビット反転を実行するか否かを判定する（ステップＳ２０５）。たとえば、算出部１５２は、ΔＥ_ｊがプラスなら、ＭＣＭＣビット反転を実行すると判定し（ステップＳ２０５，Ｙｅｓ）、ステップＳ２０６に移行する。一方、算出部１５２は、ΔＥ_ｊが０以下の場合には、ＭＣＭＣビット反転を実行しないと判定（ステップＳ２０５，Ｎｏ）し、ステップＳ２１０に移行する。

【0087】

算出部１５２は、ＭＣＭＣビット反転を実行し、順列を更新する（ステップＳ２０６）。算出部１５２は、エネルギーＥを算出する（ステップＳ２０７）。ステップＳ２０７において、算出部１５２は、ステップＳ１０１で設定した元行列のエネルギーから、ΔＥを減算することで、エネルギーＥを算出する。

【0088】

算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸ（これまでのエネルギーＥの最大値）より大きいか否かを判定する（ステップＳ２０８）。算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸよりも大きくない場合には（ステップＳ２０８，Ｎｏ）、ステップＳ２１０に移行する。

【0089】

一方、算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸよりも大きい場合には（ステップＳ２０８，Ｙｅｓ）、ステップＳ２０７で算出したエネルギーＥによって、Ｅ＿ＭＡＸを更新する（ステップＳ２０９）。

【0090】

算出部１５２は、ｊ＜（ｉ－１）の条件を満たす場合には（ステップＳ２１０，Ｙｅｓ）、前方挿入位置ｊに１を加算することで、前方挿入位置を更新し（ステップＳ２１１）、ステップＳ２０３に移行する。

【0091】

一方、算出部１５２は、ｊ＜（ｉ－１）の条件を満たさない場合には（ステップＳ２１０，Ｎｏ）、前方挿入処理を終了する。

【0092】

続いて、図７のステップＳ１０６に示した後方挿入処理の一例について説明する。図９は、後方挿入処理の処理手順を示すフローチャートである。図９に示すように、算出部１５２は、前方挿入位置ｔに１を設定する（ステップＳ３０１）。算出部１５２は、行列の要素ａ_ｉｔとａ_ｔｉを選択する（ステップＳ３０２）。

【0093】

算出部１５２は、保存したΔＥ_{（ｔ－１）}を用いて、ΔＥ_ｔを算出する（ステップＳ３０３）。ステップＳ３０３において、算出部１５２は、後方テーブル１４３ｂに示されるΔＥの計算を実行する。算出部１５２は、ΔＥ_ｔを記憶部１４０に保存する（ステップＳ３０４）。

【0094】

算出部１５２は、ＭＣＭＣビット反転を実行するか否かを判定する（ステップＳ３０５）。たとえば、算出部１５２は、ΔＥ_ｔがプラスなら、ＭＣＭＣビット反転を実行すると判定し（ステップＳ３０５，Ｙｅｓ）、ステップＳ３０６に移行する。一方、算出部１５２は、ΔＥ_ｔが０以下の場合には、ＭＣＭＣビット反転を実行しないと判定し（ステップＳ３０５，Ｎｏ）、ステップＳ３１０に移行する。

【0095】

算出部１５２は、ＭＣＭＣビット反転を実行し、順列を更新する（ステップＳ３０６）。算出部１５２は、エネルギーＥを算出する（ステップＳ３０７）。ステップＳ３０７において、算出部１５２は、ステップＳ１０１で設定した元行列のエネルギーから、ΔＥを減算することで、エネルギーＥを算出する。

【0096】

算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸ（これまでのエネルギーＥの最大値）より大きいか否かを判定する（ステップＳ３０８）。算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸよりも大きくない場合には（ステップＳ３０８，Ｎｏ）、ステップＳ３１０に移行する。

【0097】

一方、算出部１５２は、エネルギーＥが、Ｅ＿ＭＡＸよりも大きい場合には（ステップＳ３０８，Ｙｅｓ）、ステップＳ３０７で算出したエネルギーＥによって、Ｅ＿ＭＡＸを更新する（ステップＳ３０９）。

【0098】

算出部１５２は、ｔ≧（次元数Ｎ－１）の条件を満たす場合には（ステップＳ３１０，Ｙｅｓ）、後方挿入処理を終了する。

【0099】

一方、算出部１５２は、ｔ≧（次元数Ｎ－１）の条件を満たさない場合には（ステップＳ３１０，Ｎｏ）、後方挿入位置ｔに１を加算することで、後方挿入位置を更新し（ステップＳ３１１）、ステップＳ３０３に移行する。

【0100】

次に、本実施例に係る最適化装置１００の効果について説明する。最適化装置１００は、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の状態のエネルギーと、移動させた後の状態のエネルギーとの差分値を算出する。最適化装置１００は、差分値を算出する場合、計算テーブル１４３に定義されたΔＥの計算に従い、記憶部１４０に記憶された前回の差分値を利用する。最適化装置１００は、新たに算出した差分値によって、記憶部１４０の差分値を更新する。これによって、順列のエネルギーの演算量を削減することができる。

【0101】

たとえば、最適化装置１００の処理により、重複する演算をなくし、投票数行列Ａの一部の要素を選択してΔＥを算出することで、従来技術と比較して、加減算回数を９９％削減することが可能となる。

【0102】

従来技術では、１００次元で１番目の順列番号を最後に挿入する場合には、エネルギーＥの差分ΔＥ_ｊは、式（２０）によって算出される。従来技術による加減算回数は、加算回数９９回と、減算回数１００回を合計した１９９回となる。

【0103】

【数20】

【0104】

一方、本実施例に係る最適化装置１００によれば、ＬＯＰの次元数に関係なく、ΔＥを再利用して順番に累積することにより、加減算回数は２回となる。たとえば、順列番号ｊを前方にｔ個移動させる場合には、エネルギーＥの差分値ΔＥ_ｊは、式（２１）によって算出され、加減算回数は２回となる。

【0105】

【数21】

【0106】

ところで、上述した最適化装置１００の処理の内容は一例であり、最適化装置１００は、その他の処理を実行してもよい。最適化装置１００は、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の状態のエネルギーと、移動させた後の状態のエネルギーとの差分値を算出していたが、これに限定されない。最適化装置１００は、隣接しあう複数の順列番号からなる順列番号のグループを前方または後方の順列に挿入することで、行列の状態を変化させ、状態変化前のエネルギーと状態変化後のエネルギーとの差分値ΔＥを算出してもよい。

【0107】

最適化装置１００は、選択したグループを、後方に移動させた際のΔＥの計算、および、前方に移動させた際のΔＥの計算を、計算テーブル１４３に登録しておく。図１０は、最適化装置のその他の処理を説明するための図である。

【0108】

たとえば、元の順列を１２３４５とすると、元の順列の行列Ａは、図１０に示すものとなる。計算テーブル１４３ｃを用いて説明を行う。計算テーブル１４３ｃに示す順列の例は一例であり、他の順列とΔＥの計算方法との関係の説明を省略する。

【0109】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号１２を選択し、順列番号３と４との間に、順列番号１２を挿入した場合には、順列は３１２４５となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの１行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列３１２４５のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0110】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号１２を選択し、順列番号４と５との間に、順列番号１２を挿入した場合には、順列は３４１２５となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの２行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列３４１２５のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0111】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号１２を選択し、順列番号５の後方に、順列番号１２を挿入した場合には、順列は３４５１２となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの３行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列３４１２５のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0112】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号４５を選択し、順列番号２と３との間に、順列番号４５を挿入した場合には、順列は１２４５３となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの４行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列１２４５３のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0113】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号４５を選択し、順列番号１と２との間に、順列番号４５を挿入した場合には、順列は１４５２３となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの５行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列１４５２３のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0114】

最適化装置１００は、元の順列１２３４５から、順列番号４５を選択し、順列番号１の前に、順列番号４５を挿入した場合には、順列は４５１２３となる。この場合、最適化装置１００は、計算テーブル１４３ｃの６行列で定義される算出方法により、順列１２３４５のエネルギーと、順列４５１２３のエネルギーとの差分値ΔＥを算出する。

【0115】

続いて、ＭＣＭＣ反転に関する補足の説明を行う。高次元の最適問題を解く汎用的技術にＭＣＭＣを応用したシミュレーテッドアニーリング（Simulated Annealing：SA）がある。ＳＡは、現在の状態の近傍を確率的に探索し、目的関数が現在より増加すれば高い確率（例えば確率１）で新たな状態を受け入れ、減少する場合にもある小さな確率で状態を受け入れる操作を繰り返す。SAは組合せ最適化問題に限定されず例えば連続変数の目的関数の最適化にも用いられる。

【0116】

ここで現在の状態から新しい状態に遷移した場合の目的関数（エネルギー）の増分をΔＥとする。目的関数が増加した場合（ΔＥ＜０）でも新しい状態を確率的に受け入れる操作は、環境から熱エネルギーをもらって目的関数の減少分を補填するという物理的アナロジーで理解することができる。ＳＡでは温度に相当するパラメータを高い値から次第に低くすることで、局所的な最大値（local maximum）を避けて最適化を行うことができる。温度を下げていくので冶金分野の用語「アニール（焼き鈍し）」が使われる。ここで、状態をとる確率とその状態のエネルギーの関係が平衡状態でボルツマン分布になる場合を考える。この場合、ＭＣＭＣのアルゴリズムでは近傍状態への遷移を受け入れる確率Ａ（ΔＥ）を、式（２２）とする。

【0117】

【数22】

【0118】

式（２２）において、Ｔは温度を示す。式（２２）の遷移受け入れ確率は、統計物理でいう詳細平衡を満たしており、平衡状態では状態の分布はボルツマン分布となる。なお、詳細平衡を満たす遷移受け入れ確率は式（２２）以外にも作ることができる。

【0119】

上記の最適化装置１００は、ΔＥがプラスである場合に、ＭＣＭＣビット反転を実行すると判定していたが、一様乱数ｕ［ｉ］（０＜ｕ［ｉ］＜１）を用いて、Ａ（ΔＥ_ｉ）と比較することで、ＭＣＭＣビット反転を実行するか否かを判定してもよい。最適化装置１００は、ｕ［ｉ］＜Ａ（ΔＥ_ｉ）となる場合にＭＣＭＣビット反転を行い、それ以外の場合には、ＭＣＭＣビット反転を行わない。

【0120】

次に、上記実施例に示した最適化装置１００と同様の機能を実現するコンピュータのハードウェア構成の一例について説明する。図１１は、最適化装置と同様の機能を実現するコンピュータのハードウェア構成の一例を示す図である。

【0121】

図１１に示すように、コンピュータ２００は、各種演算処理を実行するＣＰＵ２０１と、ユーザからのデータの入力を受け付ける入力装置２０２と、ディスプレイ２０３とを有する。また、コンピュータ２００は、外部装置からデータを受信する通信装置２０４と、各種の装置と接続するインタフェース装置２０５とを有する。コンピュータ２００は、各種情報を一時記憶するＲＡＭ２０６と、ハードディスク装置２０７とを有する。そして、各装置２０１～２０７は、バス２０８に接続される。

【0122】

ハードディスク装置２０７は、取得プログラム２０７ａ、算出プログラム２０７ｂを有する。ＣＰＵ２０１は、取得プログラム２０７ａ、算出プログラム２０７ｂを読み出してＲＡＭ２０６に展開する。

【0123】

取得プログラム２０７ａは、取得プロセス２０６ａとして機能する。算出プログラム２０７ｂは、算出プロセス３０６ｂとして機能する。

【0124】

取得プロセス２０６ａの処理は、取得部１５１の処理に対応する。算出プロセス２０６ｂの処理は、算出部１５２の処理に対応する。

【0125】

なお、各プログラム２０７ａ，２０７ｂについては、必ずしも最初からハードディスク装置２０７に記憶させておかなくてもよい。例えば、コンピュータ２００に挿入されるフレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ－ＲＯＭ、ＤＶＤディスク、光磁気ディスク、ＩＣカードなどの「可搬用の物理媒体」に各プログラムを記憶させておく。そして、コンピュータ２００が各プログラム２０７ａ，２０７ｂを読み出して実行するようにしてもよい。

【0126】

以上の各実施例を含む実施形態に関し、さらに以下の付記を開示する。

【0127】

（付記１）線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、
前記第１差分値を記憶装置に格納し、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する
処理をコンピュータに実行させることを特徴とする最適化プログラム。

【0128】

（付記２）前記第２差分値を算出する処理は、選択した順列番号を前方または後方に移動させた個数と、前記第１差分値と、前記第１状態の一部の要素と、前記第２差分値との関係を示す情報を用いて、前記第２差分値を算出する処理を前記コンピュータに実行させることを特徴とする付記１に記載の最適化プログラム。

【0129】

（付記３）前記第２差分値によって、前記記憶装置に格納された第１差分値を更新し、順列の順列番号を一つ選択し、
算出された前記第２差分値を前記記憶装置に格納し、
選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第３状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第４状態のエネルギーとの第３差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第２差分値を読み出して、前記第３差分値を算出する処理を更にコンピュータに実行させることを特徴とする付記１または２に記載の最適化プログラム。

【0130】

（付記４）前記選択する処理において前記コンピュータに、順列の順列番号において、隣接する複数の順列番号を選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させることで、順列の状態を変化させることを特徴とする付記１に記載の最適化プログラム。

【0131】

（付記５）コンピュータが実行する最適化方法であって、
線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列の順列について、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、
前記第１差分値を記憶装置に格納し、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する
処理を実行することを特徴とする最適化方法。

【0132】

（付記６）前記第２差分値を算出する処理は、選択した順列番号を前方または後方に移動させた個数と、前記第１差分値と、前記第１状態の一部の要素と、前記第２差分値との関係を示す情報を用いて、前記第２差分値を算出する処理を前記コンピュータが更に実行することを特徴とする付記５に記載の最適化方法。

【0133】

（付記７）前記第２差分値によって、前記記憶装置に格納された第１差分値を更新し、順列の順列番号を一つ選択し、算出された前記第２差分値を前記記憶装置に格納し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第３状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第４状態のエネルギーとの第３差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第２差分値を読み出して、前記第３差分値を算出する処理を更に前記コンピュータが実行することを特徴とする付記５または６に記載の最適化方法。

【0134】

（付記８）前記選択する処理において前記コンピュータは、順列の順列番号において、隣接する複数の順列番号を選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させることで、順列の状態を変化させることを特徴とする付記５に記載の最適化方法。

【0135】

（付記９）線形順序付け問題における複数の要素の順列に対応する行列を取得する取得部と、
順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第１状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第２状態のエネルギーとの第１差分値を算出し、前記第１差分値を記憶装置に格納し、順列の順列番号を一つ選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第２状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第３状態のエネルギーとの第２差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第１差分値を読み出して、前記第２差分値を算出する算出部と、
を有することを特徴とする最適化装置。

【0136】

（付記１０）前記算出部は、選択した順列番号を前方または後方に移動させた個数と、前記第１差分値と、前記第１状態の一部の要素と、前記第２差分値との関係を示す情報を用いて、前記第２差分値を算出する処理を実行することを特徴とする付記９に記載の最適化装置。

【0137】

（付記１１）前記算出部は、前記第２差分値によって、前記記憶装置に格納された第１差分値を更新し、順列の順列番号を一つ選択し、算出された前記第２差分値を前記記憶装置に格納し、選択した順列番号を前方または後方に移動させ、移動させる前の順列の第３状態のエネルギーと、移動させた後の順列の第４状態のエネルギーとの第３差分値を算出する場合に、前記記憶装置に格納された前記第２差分値を読み出して、前記第３差分値を算出する処理を更に実行することを特徴とする付記９または１０に記載の最適化装置。

【0138】

（付記１２）前記算出部は、順列の順列番号において、隣接する複数の順列番号を選択し、選択した順列番号を前方または後方に移動させることで、順列の状態を変化させることを特徴とする付記９に記載の最適化装置。

【符号の説明】

【0139】

１００ 最適化装置
１１０ 通信部
１２０ 入力部
１３０ 表示部
１４０ 記憶部
１４１ 投票数行列情報
１４２ 差分値情報
１４３ 計算テーブル
１５０ 制御部
１５１ 取得部
１５２ 算出部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15】