特開 2022-174476 価格評価システム及び価格評価方法

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2022174476

(43)【公開日】2022-11-24

(54)【発明の名称】価格評価システム及び価格評価方法

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/10 20060101AFI20221116BHJP

   G06Q 10/04 20120101ALI20221116BHJP

【ＦＩ】

G06F17/10 Z

G06Q10/04

【審査請求】有

【請求項の数】4

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2021080297

(22)【出願日】2021-05-11

(11)【特許番号】

(45)【特許公報発行日】2022-01-24

【新規性喪失の例外の表示】特許法第３０条第２項適用申請有り 令和２年１０月２２日、ウェブサイト（ｈｔｔｐｓ：／／ａｒｘｉｖ．ｏｒｇ／ａｂｓ／２０１０．１１６５６ ｈｔｔｐｓ：／／ａｒｘｉｖ．ｏｒｇ／ｐｄｆ／２０１０．１１６５６．ｐｄｆ）にて公開

(71)【出願人】

【識別番号】592131906

【氏名又は名称】みずほリサーチ＆テクノロジーズ株式会社

(71)【出願人】

【識別番号】303028745

【氏名又は名称】株式会社みずほフィナンシャルグループ

(74)【代理人】

【識別番号】100105957

【弁理士】

【氏名又は名称】恩田 誠

(74)【代理人】

【識別番号】100068755

【弁理士】

【氏名又は名称】恩田 博宣

(72)【発明者】

【氏名】宇野 隼平

【テーマコード（参考）】

5B056

5L049

【Ｆターム（参考）】

5B056BB91

5L049AA04

(57)【要約】

【課題】量子計算の振幅推定を用いて、ノイズを低減しながら評価対象における期待値を算出するための価格評価システム及び価格評価方法を提供する。
【解決手段】演算装置２０の操作部２２１が、金融商品の将来の値動きのシナリオの重ね合わせ状態を生成する第１演算子を取得し、第１演算子のエルミート共役を、ビット列の最後のビットが「０」の量子状態に対して、初期状態の反転演算を行なって第２状態を生成し、第２状態を、初期状態に対して反転演算を行なった第３状態を生成する操作を、状態保持部２２２を用いて繰り返して作成した量子状態に対して、計測部２２３が、全ビットが「０」になったヒット回数を古典計算部２３に記録し、古典計算部２３が、繰り返し回数、ヒット回数に応じた最尤推定により、前記金融商品の価格評価を行なう。
【選択図】図１

【特許請求の範囲】

【請求項1】

量子状態の操作部と、前記量子状態を保持する状態保持部と、前記量子状態を観測する計測部とを含む量子計算部と、金融商品の価格を評価する古典計算部とを備えた価格評価システムであって、
前記操作部が、
金融商品の将来の値動きのシナリオの重ね合わせ状態を生成する第１演算子を取得し、
前記第１演算子のエルミート共役を、ビット列の最後のビットが「０」の量子状態に対して、初期状態の反転演算を行なって第２状態を生成し、前記第２状態を、前記初期状態に対して反転演算を行なった第３状態を生成する操作を、前記状態保持部を用いて繰り返して作成した量子状態に対して、前記計測部が前記ビット列の計測を行ない、全ビットが「０」になったヒット回数を前記古典計算部に記録し、
前記古典計算部が、前記繰り返しにおける前記ヒット回数に応じた最尤推定により、前記金融商品の価格評価を行なうことを特徴とする価格評価システム。

【請求項2】

前記繰り返しを、前記ビット列の計測において求められる精度の逆数に応じた回数で行なうことを特徴とする請求項１に記載の価格評価システム。

【請求項3】

前記古典計算部が、前記ヒット回数をもとに、古典計算により振幅の最尤推定を実施し、前記金融商品の価格を評価することを特徴とする請求項１又は２に記載の価格評価システム。

【請求項4】

量子状態の操作部と、前記量子状態を保持する状態保持部と、前記量子状態を観測する計測部とを含む量子計算部と、金融商品の価格を評価する古典計算部とを備えた価格評価システムを用いて、金融商品の価格を評価する方法であって、
前記操作部が、
金融商品の将来の値動きのシナリオの重ね合わせ状態を生成する第１演算子を取得し、
前記第１演算子のエルミート共役を、ビット列の最後のビットが「０」の量子状態に対して、初期状態の反転演算を行なって第２状態を生成し、前記第２状態を、前記初期状態に対して反転演算を行なった第３状態を生成する操作を、前記状態保持部を用いて繰り返して作成した量子状態に対して、前記計測部が前記ビット列の計測を行ない、全ビットが「０」になったヒット回数を前記古典計算部に記録し、
前記古典計算部が、前記繰り返しにおける前記ヒット回数に応じた最尤推定により、前記金融商品の価格評価を行なうことを特徴とする価格評価方法。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、量子計算の振幅推定を用いて、金融商品の価格を評価するための価格評価システム及び価格評価方法に関する。

【背景技術】

【0002】

量子アルゴリズムを用いることにより、従来のコンピュータでは現実的な時間や規模で解けなかった問題を解くことが期待される。そこで、この量子アルゴリズムを用いた多様な応用技術が検討されている（例えば、特許文献１）。この特許文献１に記載された検出装置は、量子ビットを操作して、ウイルスのデータに対応する複数の固有状態を重ね合わせ状態で保持する。そして、コンテンツを受信した場合は、重ね合わせ状態の固有状態のうち、コンテンツに含まれるウイルスのデータに対応する固有状態の確率振幅を反転させるユニタリ演算子を生成する。

【0003】

また、金融派生商品の価格評価への適用も検討されている。金融派生商品の価格は、株価などの原資産の未来の値動きの（リスク中立測度の下での）期待値として算出できる。この期待値の算出において、通常は大量の未来の値動きのシナリオを考慮するモンテカルロ法が使用されており、多くの計算機資源が必要となる。量子コンピュータでは、ビットの重ね合わせによる複数のシナリオの同時計算が可能なため、従来のコンピュータのモンテカルロ法よりも、計算を高速化できる可能性がある（例えば、非特許文献１）。この非特許文献１に記載された技術では、価格算出のために量子アルゴリズムを用いる。例えば、ヨーロピアンコールオプションの場合、満期時の原資産価格と権利行使価格によって、オプション価格を算出する。この場合、オプション価格Ｃは、期待値Ｅ_Qを用いて、下記式により算出できる。

【0004】

【数1】

ここで、「r」はリスクフリーレート、「Ｔ」は満期日までの期間、「f(・)」はペイオフ関数、「S(T)」は満期時点での原資産価格である。

【0005】

従来のコンピュータにおけるモンテカルロ計算において、金融派生商品の価格を精度εで算出する場合には、Ｎ＝Ｏ（1/ε²）回計算を繰り返す。すなわち、Ｏ（1/ε²）個の値動きのシナリオを発生させる。

【0006】

一方、量子計算を用いて、金融派生商品の価格の算出を行なう場合には、Ｎ＝Ｏ（1/ε）回の繰り返し計算で同等の精度を達成することが可能である。
量子計算では、下記の式で表される期待値の近似値を算出することが目的である。

【0007】

【数2】

ここでパスｘは２ⁿ個を考慮しており、ｐ_xはパスｘを取る確率、g(x)はパスｘを取る際のペイオフ関数である。

【0008】

この式を量子コンピュータで計算するために、まず、原資産の将来の値動きのシナリオの重ね合わせ状態を作成する演算子Ｐ（第１演算子）を仮定する。

【0009】

【数3】

ここで、|０ⁿ〉は状態ｎ個の量子ビットレジスタがすべて０の状態であり、計算の初期状態である。

【0010】

次に、この状態に補助ビットを１ビット追加して、補助ビットの振幅としてペイオフ関数を算出する演算子Ｒを仮定する。

【0011】

【数4】

演算子Ｐと演算子Ｒを合わせた演算子を以下のように定義する。

【0012】

【数5】

ここで、Ｉ_kは、ｋビットの恒等演算子であり、Ｉ₁は、１ビットに対する恒等演算子を表す。演算子Ａを初期状態|0ⁿ〉に作用させた状態|ψ〉を以下のように定義する。

【0013】

【数6】

ここで、補助量子ビットを測定すると、|1〉を観測する確率として〔数２〕の期待値が得られる。

【0014】

【数7】

この状態を繰り返し観測し、|1〉を観測する回数から期待値を推定した場合には、繰り返し回数Ｎと期待値の推定精度εの関係は大数の法則から以下のように表せる。

【0015】

【数8】

この場合、精度εの達成に要する繰り返し回数Ｎは、古典計算でのモンテカルロ法と変わらないことになる。

【0016】

そこで、量子アルゴリズムにより、繰り返し回数の低減を図る（例えば、非特許文献２）。この非特許文献２に記載された技術では、振幅増幅操作の数が異なる量子回路から生成された測定データの組み合わせに基づく最尤推定を利用する。

【0017】

図８を用いて、非特許文献２に記載された量子アルゴリズムの具体的な処理手順を説明する。
まず、〔数６〕の数式を、以下のように表記し直す（ステップＳ００）。

【0018】

【数9】

次に、繰り返し回数を決定する（ステップＳ０１）。ここでは、要求する精度εの逆数を用いて、繰り返し回数ｋ_max～（1/ε）を設定する。ｍ_k及びＮ_k（k＝0,1,…ｋ_max）はユーザが自由に設定できる変数であるが、例えば、非特許文献２では、ｍ_k=FLOOR(２^k-1)及びＮ_k＝１００を使用している。

【0019】

そして、カウンターｊの初期化、(ｊ=0)、ヒット回数の初期化(ｈ_k=0)を行なう（ステップＳ０２）。
次に、〔数９〕の|ψ〉に対してｍ_k回、グローバー（Grover）演算子Ｇを作用させた状態を生成する（ステップＳ０３）。
ここで、下記式で定義されるグローバー演算子Ｇを用いる。

【0020】

【数10】

ここで、Ｕ₀は初期状態|0ⁿ⁺¹〉に対して、Ｕ_fは|ψ₀〉|0〉に対して、それぞれ符号を反転する演算子であり、下記式で定義される。

【0021】

【数11】

グローバー演算子Ｇを、下記のように、〔数９〕の|ψ〉に対してｍ_k回、作用させる。

【0022】

【数12】

ここでグローバー演算子Ｇによる振幅増幅の概要を説明する。図９に示すように、グローバー演算子Ｇでは、〔数９〕の重ね合わせ状態|ψ〉を、基底|ψ₀〉|0〉に対して反転演算を行なった第１ベクトルを生成し、この第１ベクトルを重ね合わせ状態|ψ〉に対して反転演算を行なうことにより、θの増幅を行なう。

【0023】

そして、最後のビットが「１」かどうかを判定する（ステップＳ０４）。
最後のビットが「１」の場合（ステップＳ０４において「ＹＥＳ」の場合）、ヒット回数を加算する（ステップＳ０５）。

【0024】

最後のビットが「１」でない場合（ステップＳ０４において「ＮＯ」の場合）、ヒット回数の加算（ステップＳ０５）をスキップする。
そして、カウンターｊが「Ｎ_k」に達したかどうかを判定する（ステップＳ０６）。

【0025】

カウンターｊが「Ｎ_k」に達していない場合（ステップＳ０６において「ＮＯ」の場合）、カウンターｊに「１」を加算して、ステップＳ０３以降の処理を繰り返す。
一方、カウンターｊが「Ｎ_k」に達した場合（ステップＳ０６において「ＹＥＳ」の場合）、ヒット回数ｈ_kを記録する（ステップＳ０７）。

【0026】

次に、繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達したかどうかを判定する（ステップＳ０８）。
繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達していない場合（ステップＳ０８において「ＮＯ」の場合）、繰り返し回数ｋに「１」を加算して、ステップＳ０２以降の処理を繰り返す。

【0027】

一方、繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達した場合（ステップＳ０８において「ＹＥＳ」の場合）、下記式の尤度関数を用いて、sin(θ)の最尤推定を行なう（ステップＳ０９）。すなわち、尤度を最大にするθを算出する。

【0028】

【数13】

ここで、Ｌ_kはｈ_k(繰り返し回数ｋのヒット回数)のみを使って定義される部分尤度関数、Ｌは全体の尤度関数、Ｐは補助ビットに「１」を観測する確率密度関数である。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0029】

【特許文献1】特開２０１７－５９０７４号公報

【非特許文献】

【0030】

【非特許文献1】Patrick Rebentrost,Brajesh Gupt,Thomas R.Bromley、「Quantum computational finance:Monte Carlo pricing of financial derivatives」、［online］、arXiv.org、Cornell University.、２０１８年４月３０日、［令和３年２月２５日検索］、インターネット＜https://arxiv.org/abs/1805.00109＞

【非特許文献2】Yohichi Suzuki，Shumpei Uno，Rudy Raymond，Tomoki Tanaka，Tamiya Onodera，Naoki Yamamoto、「Amplitude estimation without phase estimation」２０１９年４月２３日、［令和３年２月２５日検索］、インターネット＜https://arxiv.org/abs/1904.10246＞

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0031】

量子状態は、通常、システムと環境との相互作用から生じるノイズによって乱される。しかしながら、上述した最尤推定では、ノイズの影響が考慮されていない。
そこで、ノイズの影響を考慮した場合の計算を説明する。

【0032】

脱分極ノイズを想定し、動作時に毎回、次の脱分極ノイズがシステムに作用すると仮定する。

【0033】

【数14】

ρは任意の密度行列、ｒはノイズの強さを表す既知の定数(確率１-ｒでランダムなビット列になるようなノイズ)、Ｉ_n-1はｎ＋１量子ビット空間上の恒等演算子である。また、ｄ＝２ⁿ⁺¹はｎ＋１量子ビットシステムの次元である。

【0034】

以上の脱分極ノイズ下において、グローバー演算子Ｇを、初期状態|ψ〉にｍ_k回、作用させた状態の密度行列は以下となる。

【0035】

【数15】

ここで、Ｎ_q=2ｍ_k＋１は演算子Ａの呼出回数である。この状態から最終ビットを読み出した時に０または１が得られる確率ｐ_G,r(0;θ,N_q)及びｐ_G,r(1;θ,N_q)は、それぞれ以下のように表現できる。

【0036】

【数16】

よって、脱分極ノイズ下では、〔数１３〕の尤度関数は以下のように変更されることとなり、この尤度関数を用いることで最尤推定を実行することができる。

【0037】

【数17】

ここで一般論として、未知の母数θを含む確率モデルにおいて、Ｎ_k個の測定結果からθを推定する際の推定精度の下限は、フィッシャー情報量Ｆを用いて、以下のように与えられる。

【0038】

【数18】

ここで、Ｅ［・］は確率モデルの下での期待値、サーカムフレックスアクセントθは測定結果から構成されるθの不偏推定量である。測定回数Ｎ_kが十分大きい場合には、上述の不等式の下限を最尤推定によりほぼ達成可能なことが知られている。このため、以下では、手法の性能をフィッシャー情報量により評価する。

【0039】

確率分布〔数１６〕に関連するフィッシャー情報F_c,G,r(θ,N_q)は以下のように表現できる。

【0040】

【数19】

このフィッシャー情報量は、以下の上包絡線を持つ。

【0041】

【数20】

一方で、図１０に示すように、演算子Ａを用いた任意の演算から得られるフィッシャー情報量の上限F_u(N_q)は以下のように与えられる。

【0042】

【数21】

図１１には、〔数２０〕及び〔数２１〕を比較したものを示す(r=0.99,n=10の場合)。ここで、曲線ｆ０１は、〔数２０〕のフィッシャー情報量の理論的な上限であり、曲線ｆ０２は〔数２１〕から算出されるフィッシャー情報量である。図１１から、両者には大きな乖離があることがわかる。ノイズ状況下で、できる限り理論的な上限の〔数２１〕に近い性能を持つような具体的な手法を実現することは重要な課題である。

【課題を解決するための手段】

【0043】

上記課題を解決する価格評価システムは、量子状態の操作部と、前記量子状態を保持する状態保持部と、前記量子状態を観測する計測部とを含む量子計算部と、金融商品の価格を評価する古典計算部とを備える。そして、前記操作部が、金融商品の将来の値動きのシナリオの重ね合わせ状態を生成する第１演算子を取得し、前記第１演算子のエルミート共役を、ビット列の最後のビットが「０」の量子状態に対して、初期状態の反転演算を行なって第２状態を生成し、前記第２状態を、前記初期状態に対して反転演算を行なった第３状態を生成する操作を、前記状態保持部を用いて繰り返して作成した量子状態に対して、前記計測部が前記ビット列の計測を行ない、全ビットが「０」になったヒット回数を前記古典計算部に記録する。その後、前記古典計算部が、前記繰り返しにおける前記ヒット回数に応じた最尤推定により、前記金融商品の価格評価を行なう。

【発明の効果】

【0044】

本発明によれば、量子計算の振幅推定を用いて、ノイズの影響を抑制して金融商品価格を算出することができる。

【図面の簡単な説明】

【0045】

【図1】本実施形態のシステム概略図。

【図2】本実施形態のハードウェア構成の説明図。

【図3】本実施形態の処理手順の説明図。

【図4】本実施形態の演算の説明図。

【図5】本実施形態のフィッシャー情報量の説明図であって、（ａ）はｎ＝１、（ｂ）はｎ＝１０、（ｃ）はｎ＝１００の場合の説明図。

【図6】本実施形態の推定誤差の数値シミュレーション結果の説明図であって、（ａ）は「目標値＝２/３」、（ｂ）は「目標値＝１/３」、（ｃ）は「目標値＝１/６」の場合の説明図。

【図7】本実施形態の推定誤差の数値シミュレーション結果の説明図であって、（ａ）は「目標値＝１/１２」、（ｂ）は「目標値＝１/２４」、（ｃ）は「目標値＝１/４８」の場合の説明図。

【図8】従来の処理手順の説明図。

【図9】従来の演算の説明図。

【図10】演算子Ａを用いた任意の演算の説明図。

【図11】既存手法と理論限界のフィッシャー情報量の乖離を示す説明図。

【発明を実施するための形態】

【0046】

以下、図１～図７を用いて、価格評価システム及び価格評価方法の一実施形態を説明する。本実施形態では、複数のシナリオからなる価格変動モデルにおいて、原資産価格にデリバティブに応じたペイオフ関数を作用させたものの期待値を算出することで、金融商品の価格を算出する。
このため、図１に示すように、ネットワークで接続されたユーザ端末１０、演算装置２０を用いる。

【0047】

（ハードウェア構成の説明）
図２を用いて、ユーザ端末１０、演算装置２０（古典コンピュータ）を構成する情報処理装置Ｈ１０のハードウェア構成を説明する。情報処理装置Ｈ１０は、通信装置Ｈ１１、入力装置Ｈ１２、表示装置Ｈ１３、記憶装置Ｈ１４、プロセッサＨ１５を備える。なお、このハードウェア構成は一例であり、他のハードウェアにより実現することも可能である。

【0048】

通信装置Ｈ１１は、他の装置との間で通信経路を確立して、データの送受信を実行するインタフェースであり、例えばネットワークインタフェースや無線インタフェース等である。

【0049】

入力装置Ｈ１２は、利用者等からの入力を受け付ける装置であり、例えばマウスやキーボード等である。表示装置Ｈ１３は、各種情報を表示するディスプレイ等である。
記憶装置Ｈ１４は、ユーザ端末１０、演算装置２０の各種機能を実行するためのデータや各種プログラムを格納する装置である。記憶装置Ｈ１４の一例としては、ＲＯＭ、ＲＡＭ、ハードディスク等がある。

【0050】

プロセッサＨ１５は、記憶装置Ｈ１４に記憶されるプログラムやデータを用いて、ユーザ端末１０、演算装置２０における各処理を制御する。プロセッサＨ１５の一例としては、例えばＣＰＵやＭＰＵ等がある。このプロセッサＨ１５は、ＲＯＭ等に記憶されるプログラムをＲＡＭに展開して、各サービスのための各種プロセスを実行する。

【0051】

プロセッサＨ１５は、自身が実行するすべての処理についてソフトウェア処理を行なうものに限られない。例えば、プロセッサＨ１５は、自身が実行する処理の少なくとも一部についてハードウェア処理を行なう専用のハードウェア回路（例えば、特定用途向け集積回路）を備えてもよい。すなわち、プロセッサＨ１５は、（１）コンピュータプログラムに従って動作する１つ以上のプロセッサ、（２）各種処理のうち少なくとも一部の処理を実行する１つ以上の専用のハードウェア回路、或いは（３）それらの組み合わせ、を含む回路として構成し得る。プロセッサは、ＣＰＵ並びに、ＲＡＭ及びＲＯＭ等のメモリを含み、メモリは、処理をＣＰＵに実行させるように構成されたプログラムコード又は指令を格納している。メモリすなわちコンピュータ可読媒体は、汎用又は専用のコンピュータでアクセスできるあらゆる利用可能な媒体を含む。

【0052】

（システム構成）
次に、図１を用いて、ユーザ端末１０、演算装置２０のシステム構成を説明する。
ユーザ端末１０は、利用者が用いるコンピュータ端末である。

【0053】

演算装置２０は、振幅推定を行なうためのコンピュータである。
この演算装置２０は、後述する処理（管理段階、量子計算段階、古典計算段階等の各処理等）を行なう。そのためのプログラムを実行することにより、管理部２１、量子計算部２２、古典計算部２３として機能する。

【0054】

管理部２１は、量子計算及び古典計算の管理を行なう。
量子計算部２２は、量子計算を行なう。本実施形態では、振幅増幅アルゴリズムを実行する。量子計算部２２は、操作部２２１、状態保持部２２２、計測部２２３を含む。

【0055】

操作部２２１は、状態保持部の量子ビットを操作する量子演算に応じた量子操作を行なう。この場合、操作部２２１は、量子ゲート等の量子回路を用いて状態保持部２２２が保持する状態を操作（作成）したり、磁気や光子の経路（回路）を操作することにより状態保持部２２２が保持する状態を操作（作成）したりする。

【0056】

状態保持部２２２は、複数の量子ビットを備え、任意の量子状態を保持する。各量子ビットは、電子準位、電子スピン、イオン準位、各スピン、光子等、任意の物理状態で複数の値の重ね合わせ状態を保持する。重ね合わせ状態を保持できれば、量子ビットは上記に限定されるものではない。

【0057】

計測部２２３は、状態保持部２２２の量子ビットの重ね合わせ状態の固有状態を観測する。計測部２２３は、状態保持部２２２の量子ビットの状態に応じて、ヒット回数を記録する。そして、計測部２２３は、観測値を、管理部２１を通じて、古典計算部２３に出力する。

【0058】

古典計算部２３は、古典計算を行なう。本実施形態では、最尤推定アルゴリズムを実行することで、下記の補助ビットが|1〉の状態の振幅を推定し、金融商品の価格を算出する(〔数６〕の再掲)。

【0059】

【数22】

以下では、量子計算としては、振幅増幅アルゴリズムを用い、その他の部分は古典コンピュータを用いる。

【0060】

まず、管理部２１は、ユーザ端末１０から、演算子Ａを取得する（ステップＳ１０）。この演算子Ａ（第１演算子）は、金融派生商品の種類に応じた関数により決定される。そして、管理部２１は、操作部２２１で、以下の状態|ψ〉を生成する。

【0061】

【数23】

この場合、量子計算部２２の操作部２２１は、繰り返し回数ｋ_maxを決定する（ステップＳ１１）。ここでは、ユーザ端末１０から要求精度εを取得し、要求精度εに応じて、繰り返し回数ｋ_max＝Ｏ（1/ε）を算出する。

【0062】

そして、量子計算部２２の操作部２２１は、カウンターｊの初期化、(ｊ=0)、ヒット回数の初期化(ｈ_k=0)を行なう（ステップＳ１２）。
次に、量子計算部２２の操作部２２１は、状態保持部２２２にて、|ψ〉に対してｍ_k回、改良グローバー（Grover）演算子Ｑを作用させた状態を用意する（ステップＳ１３）。

【0063】

ここで、演算子Ａと、演算子Ａのエルミート共役を用いた下記式で表される改良グローバー演算子Ｑを用いる。

【0064】

【数24】

グローバー演算子Ｇでは、|ψ₀〉_n|0〉と|ψ₁〉_n|1〉（又はＡ|0〉_n+1と|ψ₀〉_n|0〉）との間での回転を行なう。一方、改良グローバー演算子Ｑは、|0〉_n+1とＡ^t|ψ₀〉_n|0〉との間での回転を行なう。

【0065】

この場合、改良グローバー演算子Ｑを、初期状態|0〉_n+1に対して、ｍ_k回作用させた状態|ψ_Q(θ,N_q)〉は以下のようになる。

【0066】

【数25】

ここで、改良グローバー演算子Ｑによる振幅増幅の動作の概略を以下に示す。

【0067】

図４に示すように、改良グローバー演算子Ｑでは、まず、全ｎ＋１ビット「０」の計算基底|0〉_n+1を、下記状態に対して、反転演算を行なう。

【0068】

【数26】

この結果、第２状態Ａ^tＵ_f|0〉_n+1を得る。ここで、|ψ〉_n+1は、すべてのビットが「０」以外の何らかの状態である。

【0069】

この第２状態を、初期状態|0〉_n+1に対して反転演算を行なった第３状態Ｑ|0〉_n+1を生成する。
〔数２５〕は、以上の改良グローバー演算子Ｑをｍ_k回、行なったものである。

【0070】

次に、量子計算部２２の計測部２２３は、状態保持部２２２において、全ビットが「０」かどうかを判定する（ステップＳ１４）。
状態保持部２２２において、計測部２２３が全ビット「０」と判定した場合（ステップＳ１４において「ＹＥＳ」の場合）、量子計算部２２の操作部２２１は、ヒット回数を加算する（ステップＳ１５）。具体的には、操作部２２１は、ヒット回数ｈ_kに「１」を加算する。

【0071】

状態保持部２２２において、全ビットが「０」でない場合（ステップＳ１４において「ＮＯ」の場合）、量子計算部２２の計測部２２３は、ヒット回数の加算処理（ステップＳ１５）をスキップする。

【0072】

そして、量子計算部２２の操作部２２１は、カウンターｊが「Ｎ_k」に達したかどうかを判定する（ステップＳ１６）。
カウンターｊが「Ｎ_k」に達していない場合（ステップＳ１６において「ＮＯ」の場合）、量子計算部２２の操作部２２１は、カウンターｊに「１」を加算して、ステップＳ１３以降の処理を繰り返す。

【0073】

一方、カウンターｊが「Ｎ_k」に達した場合（ステップＳ１６において「ＹＥＳ」の場合）、量子計算部２２の操作部２２１は、ヒット回数ｈ_kを記録する（ステップＳ１７）。具体的には、操作部２２１は、古典計算部２３に、ヒット回数ｈ_kを記録する。

【0074】

次に、量子計算部２２の操作部２２１は、繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達したかどうかを判定する（ステップＳ１８）。
繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達していない場合（ステップＳ１８において「ＮＯ」の場合）、量子計算部２２の操作部２２１は、繰り返し回数ｋに「１」を加算して、ステップＳ１２以降の処理を繰り返す。

【0075】

一方、繰り返し回数ｋが「ｋ_max」に達した場合（ステップＳ１８において「ＹＥＳ」の場合）、古典計算部２３は、下記式の尤度関数を用いて、sinθの最尤推定を行なう（ステップＳ１９）。具体的には、古典計算部２３は、尤度を最大にするθを算出する。

【0076】

【数27】

以上が本手法のアルゴリズムである。
次に本手法の性能評価を示し、本手法が既存の手法に対して優位な性能を持ち、かつ、理論限界に非常に近い性能を持つことを示す。

【0077】

初期状態に対して、ノイズ状況下において、改良グローバー演算子Ｑをｍ_k回、作用させた後の状態は、下記式で与えられた。

【0078】

【数28】

ここで、Ｎ_q＝２ｍ_kは演算子Ａの呼出回数である。この状態から、全ビットを読み出した際の確率分布は、以下のように表現できる。

【0079】

【数29】

ここで、ｐ_Q,r(0;θ,N_q)は全ビットが「０」の確率、ｐ_Q,r(1;θ,N_q)はそれ以外のビット列が得られる確率を示す。

【0080】

本実施形態により、直感的には、以下のような効果を得ることができることが予想される。
（１）既存手法のグローバー演算子では、|ψ₀〉|0〉への写像によりθを評価しており、上位ビットの状態が不明なため、最後のビットのみからしかノイズの情報を得ることができず、ノイズを抑制しにくいと考えられる。一方、本実施形態によれば、|0〉_n+1と基底のすべてのビット列が既知であることから、すべてのビットの観測からノイズに関する情報を得ることが可能であり、ノイズをより抑制できると考えられる。
結果として、〔数２９〕のｐ(ｍ_k)＝ｐ_Q,r(0;θ,N_q)の第２項は、1/ｄ＝1/2ⁿと、ビット数ｎに対して指数関数的にノイズを抑制できる。

【0081】

次に、実際に、本実施形態の優位性をフィッシャー情報量の観点から述べる。〔数２９〕の確率分布に関連するフィッシャー情報量は以下のように表現できる。

【0082】

【数30】

このフィッシャー情報量は、以下の上包絡線F_c,Q,r(N_q)|_envを持つ。

【0083】

【数31】

図５は、以下の呼出回数とフィッシャー情報量との関係を示している。
・〔数２０〕の既存手法のグローバー演算子Ｇ
・〔数３１〕の改良グローバー演算子Ｑのフィッシャー情報量の包絡線（F_c,G,r(N_q)|_env及びF_c,Q,r(N_q)|_env)
・〔数２２〕のフィッシャー情報量の理論的な上限(F_u(N_q))

【0084】

図５（ａ）に示すように、ｎ＝１（ｄ＝２）の場合、グローバー演算子Ｇのフィッシャー情報の包絡線の曲線ｆ１１，改良グローバー演算子Ｑのフィッシャー情報量の包絡線の曲線ｆ１２、フィッシャー情報量の理論的な上限ｆ１３は、ほぼ一致している。

【0085】

図５（ｂ）は、ｎ＝１０（ｄ＝２¹⁰）、図５（ｃ）は、ｎ＝１００（ｄ＝２¹⁰⁰）の場合を示している。図５（ｂ）に示すように、改良グローバー演算子Ｑのフィッシャー情報量の包絡線の曲線ｆ２２は、グローバー演算子Ｇのフィッシャー情報の包絡線の曲線ｆ２１より大きくなり、フィッシャー情報量の理論的な上限ｆ２３に近づく。本実施形態のフィッシャー情報量（F_c,Q,r(N_q)|_env)はビット数が大きい極限において、理論的な上限（Ｆ_u）に一致する。特に、図５（ｃ）に示すように、すでに１００ビット程度の比較的少数のビットにおいても、改良グローバー演算子Ｑのフィッシャー情報量の包絡線の曲線ｆ３２は、ほぼフィッシャー情報量の理論的な上限ｆ３３に到達している。なお、曲線ｆ３１は、グローバー演算子Ｇのフィッシャー情報量の包絡線を示す。
これにより、改良グローバー演算子Ｑを用いた場合の方が、グローバー演算子Ｇを用いた場合よりもフィッシャー情報量は大きくなることがわかる。

【0086】

以上はフィッシャー情報量の包絡線による議論であるが、様々なθに対して数値シミュレーションを行なうことにより、本手法が実際に有用であることも確認できる。

【0087】

図６、図７に示すように、横軸を演算子Ａの呼出回数Ｎ_q、縦軸をθの推定誤差として実施した数値シミュレーションの結果を示している。ここで、図６、図７は、目標値（ａ＝sin²θ）を変更した場合を示す。図６（ａ）は「ａ＝２/３」、図６（ｂ）は「ａ＝１/３」、図６（ｃ）は「ａ＝１/６」である。また、図７（ａ）は「ａ＝１/１２」、図７（ｂ）は「ａ＝１/２４」、図７（ｃ）は「ａ＝１/４８」である。「丸」は既存手法、「三角」は本実施形態を用いた場合の数値シミュレーションの結果であり、呼出回数Ｎ_qが大きい場合に数倍(２～３倍)程度、本実施形態の方が良い精度を示していることがわかる。

【0088】

（２）本実施形態によれば、量子計算部２２の計算結果を、古典計算部２３で最尤推定することにより、状態|1>の振幅(＝オプションの価格)を算出する。これにより、量子計算に用いる量子コンピュータに求められる性能の低減を図ることができる。

【0089】

本実施形態は、以下のように変更して実施することができる。本実施形態及び以下の変更例は、技術的に矛盾しない範囲で互いに組み合わせて実施することができる。
・上記実施形態では、改良グローバー演算子を用いて、金融派生商品の価格を算出する。本発明の適用範囲は、金融派生商品の価格評価に限定されるものではなく、例えば、複数のシナリオからなる価格変動モデルにおいて、資産リスク評価指標であるＶＡＲ（Value at Risk）値を算出する場合にも適用できる。その他、金融に限らず、乱数を用いて計算されるモンテカルロ計算への広範な応用が可能である。
・上記実施形態では、量子計算と古典計算とを併用する。すべてを、量子コンピュータによって実現してもよい。

【0090】

次に、上記実施形態及び別例から把握できる技術的思想について、以下に追記する。
（ａ）前記金融商品の価格評価として、原資産価格にデリバティブに応じたペイオフ関数を作用させたものの期待値を算出することを特徴とする請求項１に記載の価格評価システム。
（ｂ）前記金融商品の価格評価として、資産リスク評価指標を算出することを特徴とする請求項１に記載の価格評価システム。

【符号の説明】

【0091】

１０…ユーザ端末、２０…演算装置、２１…管理部、２２…量子計算部、２２１…操作部、２２２…状態保持部、２２３…計測部、２３…古典計算部。

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】