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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2022175003
(43)【公開日】2022-11-25
(54)【発明の名称】金属板の形状予測方法及び金属板の製造方法
(51)【国際特許分類】
B21B 37/28 20060101AFI20221117BHJP
B21B 37/00 20060101ALI20221117BHJP
B21C 51/00 20060101ALI20221117BHJP
B21B 38/02 20060101ALI20221117BHJP
B21B 38/00 20060101ALI20221117BHJP
【ＦＩ】
B21B37/28 Z
B21B37/00
B21C51/00 L
B21B38/02
B21B38/00 C
【審査請求】未請求
【請求項の数】9
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2021081099
(22)【出願日】2021-05-12
(71)【出願人】
【識別番号】000006655
【氏名又は名称】日本製鉄株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】100096389
【弁理士】
【氏名又は名称】金本 哲男
(74)【代理人】
【識別番号】100101557
【弁理士】
【氏名又は名称】萩原 康司
(74)【代理人】
【識別番号】100167634
【弁理士】
【氏名又は名称】扇田 尚紀
(74)【代理人】
【識別番号】100187849
【弁理士】
【氏名又は名称】齊藤 隆史
(74)【代理人】
【識別番号】100212059
【弁理士】
【氏名又は名称】三根 卓也
(72)【発明者】
【氏名】明石 透
(72)【発明者】
【氏名】白石 利幸
【テーマコード（参考）】
4E124
【Ｆターム（参考）】
4E124AA02
4E124BB07
4E124BB08
4E124CC10
4E124EE11
4E124FF04
4E124FF10
(57)【要約】
【課題】金属板の形状を精度よく予測する。
【解決手段】金属板の形状予測方法は、金属板に付与された塑性伸びひずみ差に基づいて座屈後の波形状の予測をする際に、座屈後も金属板に内在する弾性ひずみ差を用いた座屈解析で波形状プロフィールを決定する。
【選択図】図５
【解決手段】金属板の形状予測方法は、金属板に付与された塑性伸びひずみ差に基づいて座屈後の波形状の予測をする際に、座屈後も金属板に内在する弾性ひずみ差を用いた座屈解析で波形状プロフィールを決定する。
【選択図】図５
【特許請求の範囲】
【請求項1】
金属板の形状を予測する方法であって
金属板に付与された塑性伸びひずみ差に基づいて座屈後の波形状の予測をする際に、座屈後も金属板に内在する弾性ひずみ差を用いた座屈解析で波形状プロフィールを決定することを特徴とする、金属板の形状予測方法。
金属板に付与された塑性伸びひずみ差に基づいて座屈後の波形状の予測をする際に、座屈後も金属板に内在する弾性ひずみ差を用いた座屈解析で波形状プロフィールを決定することを特徴とする、金属板の形状予測方法。
【請求項2】
前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、
繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第２ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第３ステップと、
前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第４ステップと、
前記第４ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第５ステップと、
前記第４ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第５ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第６ステップと、
弾性の座屈固有ひずみ差と前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第７ステップと、
前記第７ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第８ステップと、
前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差と、前記第８ステップで算出された基準化伸びひずみ差との誤差を算出し、当該誤差の２乗を所定の閾値と比較する第９ステップと、
前記第９ステップで前記誤差の２乗が所定の閾値より大きい場合、前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差を、前記誤差に緩和係数をかけた値で補正する第１０ステップと、を有し、
前記第９ステップにおける前記誤差の２乗が所定の閾値以下になるまで、前記第２ステップから前記第１０ステップを繰り返し行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第２ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第３ステップと、
前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第４ステップと、
前記第４ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第５ステップと、
前記第４ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第５ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第６ステップと、
弾性の座屈固有ひずみ差と前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第７ステップと、
前記第７ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第８ステップと、
前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差と、前記第８ステップで算出された基準化伸びひずみ差との誤差を算出し、当該誤差の２乗を所定の閾値と比較する第９ステップと、
前記第９ステップで前記誤差の２乗が所定の閾値より大きい場合、前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差を、前記誤差に緩和係数をかけた値で補正する第１０ステップと、を有し、
前記第９ステップにおける前記誤差の２乗が所定の閾値以下になるまで、前記第２ステップから前記第１０ステップを繰り返し行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項3】
前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、
繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、
繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで補正された基準化伸びひずみ差を用いる第３ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第４ステップと、
前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第５ステップと、
前記第５ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第６ステップと、
前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、前記座屈形状変換伸びひずみ差をＭ－１分割して、Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差を算出し、前記繰り返し計算の１回目の前記座屈固有ひずみ差を初期座屈固有ひずみ差と読み替える第７ステップと、
前記第５ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差と前記初期座屈固有ひずみ差を用いて、前記座屈形状変換伸びひずみ差を補正し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記補正された座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第８ステップと、
前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第９ステップと、
前記第９ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１０ステップと、を有し、
前記第２ステップから前記第１０ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、
繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで補正された基準化伸びひずみ差を用いる第３ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第４ステップと、
前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第５ステップと、
前記第５ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第６ステップと、
前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、前記座屈形状変換伸びひずみ差をＭ－１分割して、Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差を算出し、前記繰り返し計算の１回目の前記座屈固有ひずみ差を初期座屈固有ひずみ差と読み替える第７ステップと、
前記第５ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差と前記初期座屈固有ひずみ差を用いて、前記座屈形状変換伸びひずみ差を補正し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記補正された座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第８ステップと、
前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第９ステップと、
前記第９ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１０ステップと、を有し、
前記第２ステップから前記第１０ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項4】
前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、
繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、
前記塑性伸びひずみ差をＭ分割し、繰り返し計算の回数に応じた塑性伸びひずみ差を算出する第３ステップと、
繰り返し計算の１回目の計算において、又は下記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が座屈固有ひずみ差以下であった場合においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降で且つ下記第７ステップで座屈が発生すると判定された場合においては、下記第１１ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第４ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第５ステップと、
前記繰り返し計算の１回前の下記第７ステップで座屈が発生したかどうかの判定を行う第６ステップと、
前記第６ステップで座屈無しと判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第７ステップと、
前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差以下で座屈が発生しないと判定された場合、前記繰り返し計算の回数を確認し、当該回数が最終回でない場合、前記第２ステップに戻る第８ステップと、
前記第６ステップで座屈有りと判定された場合、又は前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第９ステップと、
前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第１０ステップと、
前記第１０ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１１ステップと、を有し、
前記第２ステップから前記第１１ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、
前記塑性伸びひずみ差をＭ分割し、繰り返し計算の回数に応じた塑性伸びひずみ差を算出する第３ステップと、
繰り返し計算の１回目の計算において、又は下記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が座屈固有ひずみ差以下であった場合においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降で且つ下記第７ステップで座屈が発生すると判定された場合においては、下記第１１ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第４ステップと、
前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第５ステップと、
前記繰り返し計算の１回前の下記第７ステップで座屈が発生したかどうかの判定を行う第６ステップと、
前記第６ステップで座屈無しと判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第７ステップと、
前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差以下で座屈が発生しないと判定された場合、前記繰り返し計算の回数を確認し、当該回数が最終回でない場合、前記第２ステップに戻る第８ステップと、
前記第６ステップで座屈有りと判定された場合、又は前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第９ステップと、
前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第１０ステップと、
前記第１０ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１１ステップと、を有し、
前記第２ステップから前記第１１ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴とする、請求項１に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項5】
前記座屈固有ひずみ差に対応した、金属板の長手方向残留応力の幅方向分布を、冷却前及び冷却後の幅方向温度分布に基づく熱応力分布とすることを特徴とする、請求項２～４のいずれか一項に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項6】
前記座屈固有ひずみ差に対応した、金属板の長手方向残留応力の幅方向分布を、少なくとも圧延又は矯正時に付与される残留応力分布とすることを特徴とする、請求項２～４のいずれか一項に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項7】
冷却前の金属板の形状或いは冷却後の金属板の形状を測定し、形状が平坦になったと仮定した場合に得られる伸びひずみ差を、前記塑性伸びひずみ差に重ね合わせることを特徴とする、請求項２～４のいずれか一項に記載の金属板の形状予測方法。
【請求項8】
請求項１～７のいずれか一項に記載の金属板の形状予測方法によって精整工程での形状矯正を実施するかどうかの可否判定を行い、座屈しないように冷却前及び冷却後の幅方向温度分布を制御することにより、平坦な板を製造することを特徴とする、金属板の製造方法。
【請求項9】
精整工程での形状矯正を実施するかどうかの判定として、予測した急峻度で判定することを特徴とする、請求項８に記載の金属板の製造方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、圧延後の金属板の形状を予測する方法、及び当該方法を用いた金属板の製造方法に関する。
【背景技術】
【0002】
薄板や厚板などの金属板を圧延した後の形状を予測する技術として、従来、様々な方法が提案されている。
【0003】
特許文献１には、厚板である被圧延材のクラウン比率変化に対し、形状変化係数を乗じて平坦度を評価し、圧延中に鋼板に付与された温度差による熱ひずみ差を低減させる方法が開示されている。この際用いられる平坦度の評価式では、鋼板の定点で定義されたクラウン比率変化に形状変化係数を乗じて急峻度（以後平坦度）残留応力相当に置き換え、平坦度としている。
【0004】
特許文献２には、鋼板の残留応力に基づいた形状予測方法が開示されている。この方法では、先ず、鋼板の板面温度分布を測定し、これに基づいて空冷後の板長手方向の残留応力分布を計算し、さらに残留応力分布を矩形近似する。次に、矩形近似した残留応力分布などから、所定の簡易予測式を用いて座屈臨界点における残留応力を算出する。そして、算出した座屈臨界点での残留応力と矩形近似した残留応力を比較して、形状不良の有無を判定する。
【0005】
非特許文献１には、三角形の残留応力分布で定式化された座屈のモデルが開示されている。
【0006】
特許文献３には、次のステップを有する金属板の形状予測方法が開示されていう。すなわちこの方法は、（ａ）金属板の長手方向残留応力の幅方向分布を用いて、座屈応力の幅方向分布を求めるステップ、（ｂ）座屈が発生すると判定した場合は、波形状変換する応力成分と座屈後も金属板に残留する応力成分とに分離するステップ、（ｃ）波形状変換する応力成分を使って、座屈後の波形状予測を行うステップ、を含んでいる。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0007】
【特許文献1】特開平６－１５３２１号公報
【特許文献2】特開平８－１８７５０５号公報
【特許文献3】特許第４２６２１４２号公報
【非特許文献】
【0008】
【非特許文献1】日本塑性加工学会誌：塑性と加工、第２８巻第３１２号（１９８７－１）ｐ５８－６６
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0009】
しかしながら、特許文献１に開示された方法では、本来は存在するはずの形状不感帯の考慮がなされていない。すなわち、座屈と言う概念が無く、内在する残留応力は全て波形状に変換されるようになっている。なお、形状不感帯とは、金属板に残留応力が内在しても座屈限界までは座屈による面外変形は発生しない応力領域のことを指す。
【0010】
また、特許文献２に開示された方法では、金属板の座屈現象を考慮されているものの、座屈の簡易予測式として残留応力分布を矩形近似して座屈判定を行っており、応力分布を正確に反映したモデルとはなっていない。非特許文献１に開示された、残留応力分布を三角形に近似する場合も同様である。
【0011】
この点、特許文献３に開示された方法では、金属板に内在する残留応力による形状予測方法として、幅方向に分布した残留応力分布を入力として、座屈判定及び座屈時の形状予測が可能となるため、特許文献１、２や非特許文献１に開示された方法に比べて波形状座屈判定の精度が向上する。しかしながら、発明者が鋭意検討した結果、後述するように予測精度の向上に改善の余地があることが分かった。
【0012】
座屈後の形状を正しく予測できないと、金属板を矯正ラインへ廻すか否かの判定ができない。すなわち、予測が正確でないと、形状が良好なものでも、精整工程に通板される可能性が生じ、コスト増を招くことになる。したがって、金属板の形状の予測精度を向上させることは肝要である。
【0013】
本発明は、かかる点に鑑みてなされたものであり、金属板の形状予測の精度が高く、予め、精整工程に必要な金属板の分離を精度良く実施できる金属板の形状予測方法、及びこの方法を利用した金属板の製造方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0014】
前記の目的を達成するため、本発明者らは金属板の形状を予測する方法について検討を行った結果、以下の知見を得るに至った。
【0015】
特許文献３に開示されるように、金属板の残留応力（伸びひずみ）は、波形状に変換する成分と座屈後も金属板に残留する成分とに分離されることが知られている。そして、特許文献３にかかる発明では、この波形状に変換する成分を用いて、座屈後の金属板の形状を予測している。
【0016】
本発明は、特許文献３にかかる発明をさらに発展させたものである。本発明者が鋭意検討したところ、特許文献３にかかる発明では、座屈固有解析で算出される形状プロフィールがそのまま座屈後も形状プロフィールを維持すると仮定しているため、形状プロフィールに誤差が生じることを見出した。そして、座屈固有値解析では評価対象の塑性伸びひずみ差で計算するのではなく、座屈後に生じた形状プロフィールの発生によって再配分された弾性ひずみ差で再計算（理論座屈モデルを用いた固有値解析計算）を行うことで、金属板の形状を適切に予測できることを想到した。すなわち、従来、開示された座屈後の形状プロフィールは初期に計算で用いた塑性伸びひずみ差で決定されると考えていたが、本発明者らが鋭意検討してきた結果、座屈形状が発生した後に金属板に再配分される即ち座屈後も板に内在する弾性ひずみ差によって形状プロフィールが決定することを見出した。本発明は上記知見に基づくのであり、本発明の要旨は以下のとおりである。
【0017】
本発明は、金属板の形状を予測する方法であって、金属板に付与された塑性伸びひずみ差に基づいて座屈後の波形状の予測をする際に、座屈後も金属板に内在する弾性ひずみ差を用いた座屈解析で波形状プロフィールを決定することを特徴としている。
【0018】
なお、前記金属板の形状予測方法を実行するにあたり、具体的なアルゴリズムとして、下記３つが挙げられる。
【0019】
１つ目の金属板の形状予測方法（アルゴリズム）は、前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第２ステップと、前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第３ステップと、前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第４ステップと、前記第４ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第５ステップと、前記第４ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第５ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第６ステップと、弾性の座屈固有ひずみ差と前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第７ステップと、前記第７ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第８ステップと、前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差と、前記第８ステップで算出された基準化伸びひずみ差との誤差を算出し、当該誤差の２乗を所定の閾値と比較する第９ステップと、前記第９ステップで前記誤差の２乗が所定の閾値より大きい場合、前記第２ステップで設定された基準化伸びひずみ差を、前記誤差に緩和係数をかけた値で補正する第１０ステップと、を有し、前記第９ステップにおける前記誤差の２乗が所定の閾値以下になるまで、前記第２ステップから前記第１０ステップを繰り返し行うことを特徴としている。
【0020】
２つ目の金属板の形状予測方法（アルゴリズム）は、前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、繰り返し計算の１回目の計算においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降の計算においては、下記第１０ステップで補正された基準化伸びひずみ差を用いる第３ステップと、前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第４ステップと、前記繰り返し計算の１回目の計算であるか、又は２回目以降の計算であるかの判定を行う第５ステップと、前記第５ステップで前記繰り返し計算の１回目の計算であると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第６ステップと、前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、前記座屈形状変換伸びひずみ差をＭ－１分割して、Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差を算出し、前記繰り返し計算の１回目の前記座屈固有ひずみ差を初期座屈固有ひずみ差と読み替える第７ステップと、前記第５ステップで前記繰り返し計算の２回目以降の計算であると判定された場合、又は前記第６ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差と前記初期座屈固有ひずみ差を用いて、前記座屈形状変換伸びひずみ差を補正し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記補正された座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第８ステップと、前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第９ステップと、前記第９ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１０ステップと、を有し、前記第２ステップから前記第１０ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴としている。
【0021】
３つ目の金属板の形状予測方法（アルゴリズム）は、前記塑性伸びひずみ差を設定する第１ステップと、繰り返し計算の回数を設定する第２ステップと、前記塑性伸びひずみ差をＭ分割し、繰り返し計算の回数に応じた塑性伸びひずみ差を算出する第３ステップと、繰り返し計算の１回目の計算において、又は下記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が座屈固有ひずみ差以下であった場合においては、前記塑性伸びひずみ差を基準化された基準化伸びひずみ差に変換し、前記繰り返し計算の２回目以降で且つ下記第７ステップで座屈が発生すると判定された場合においては、下記第１１ステップで算出された基準化伸びひずみ差を用いる第４ステップと、前記基準化伸びひずみ差に基づいて座屈解析を行い、金属板の座屈発生の判定基準となる座屈固有ひずみ差と、波ピッチと、金属板の基準化された形状プロフィールとを算出する第５ステップと、前記繰り返し計算の１回前の下記第７ステップで座屈が発生したかどうかの判定を行う第６ステップと、前記第６ステップで座屈無しと判定された場合、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差を比較して、座屈の発生の有無を判定する第７ステップと、前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差以下で座屈が発生しないと判定された場合、前記繰り返し計算の回数を確認し、当該回数が最終回でない場合、前記第２ステップに戻る第８ステップと、前記第６ステップで座屈有りと判定された場合、又は前記第７ステップで前記塑性伸びひずみ差が前記座屈固有ひずみ差より大きく座屈が発生すると判定された場合、前記塑性伸びひずみ差を、前記座屈固有ひずみ差と、前記塑性伸びひずみ差と前記座屈固有ひずみ差の差分であって金属板の形状に変換する成分である座屈形状変換伸びひずみ差と、に分離し、面外変形後の金属板の形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差と、前記座屈形状変換伸びひずみ差との差分である伸びひずみ誤差を算出し、当該伸びひずみ誤差の２乗の積算値が最小値となる波高さを求めて波形状プロフィールを決定する第９ステップと、前記座屈固有ひずみ差を弾性ひずみ分布に置き換え前記伸びひずみ誤差を足し合わせて、座屈後の金属板に内在する弾性ひずみ差を算出する第１０ステップと、前記第１０ステップで算出された前記弾性ひずみ差を用いて、当該弾性ひずみ差に対応する基準化伸びひずみ差を算出する第１１ステップと、を有し、前記第２ステップから前記第１１ステップを、前記第２ステップで設定した前記繰り返し計算の回数行うことを特徴としている。
【0022】
前記金属板の形状予測方法において、前記座屈固有ひずみ差に対応した、金属板の長手方向残留応力の幅方向分布を、冷却前及び冷却後の幅方向温度分布に基づく熱応力分布としてよい。
【0023】
前記金属板の形状予測方法において、前記座屈固有ひずみ差に対応した、金属板の長手方向残留応力の幅方向分布を、少なくとも圧延又は矯正時に付与される残留応力分布としてもよい。
【0024】
前記金属板の形状予測方法において、冷却前の金属板の形状或いは冷却後の金属板の形状を測定し、形状が平坦になったと仮定した場合に得られる伸びひずみ差を、前記塑性伸びひずみ差に重ね合わせてもよい。
【0025】
別な観点による本発明は、前記金属板の形状予測方法によって精整工程での形状矯正を実施するかどうかの可否判定を行い、座屈しないように冷却前及び冷却後の幅方向温度分布を制御することにより、平坦な板を製造することを特徴としている。
【0026】
前記金属板の製造方法において、精整工程での形状矯正を実施するかどうかの判定として、予測した急峻度で判定してもよい。
【発明の効果】
【0027】
本発明によれば、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差を算出し、当該弾性ひずみ差を用いて再計算（理論座屈モデルを用いた固有値解析計算）を行っているので、金属板の形状を精度よく予測することができる。その結果、精整工程に必要な金属板の分離を精度良く実施することができる。また、この金属板の形状予測結果を用いることで、金属板を平坦に製造することも可能となる。
【図面の簡単な説明】
【0028】
【図1】対象となる波形状を説明した図である。
【図2】従来の形状予測方法を示すフローチャートである。
【図3】従来の形状予測方法とＦＥＭを用いた場合の金属板の形状予測結果を示す説明図である。
【図4】従来の形状予測方法とＦＥＭを用いた場合の金属板の形状を示す説明図である。
【図5】第１の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
【図6】第１の実施形態にかかる形状予測方法を模式的に示す説明図である。
【図7】第１の実施形態にかかる形状予測方法を用いた場合の金属板の形状予測結果を示す説明図である。
【図8】第１の実施形態にかかる形状予測方法を用いた場合の金属板の形状予測結果を示す説明図である。
【図9】第２の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
【図10】第２の実施形態にかかる形状予測方法を用いた場合の金属板の形状予測結果を示す説明図である。
【図11】第２の実施形態にかかる形状予測方法を用いた場合の金属板の形状予測結果を示す説明図である。
【図12】第３の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【0029】
以下、本発明の実施形態について、図面を参照しながら説明する。本明細書及び図面において、実質的に同一の機能構成を有する要素においては、同一の符号を付することにより重複説明を省略する。
【0030】
先ず、対象とする波形状について図１を用いて説明する。Ｘ軸は周期的な波が生じる長手方向、Ｙ軸は板幅方向、Ｚ軸は板厚あるいは波高さ方向とし、図１に示す波は代表的な耳波を示す。なお、中波や、耳波と中波の中間位置に生じるクォータ波に代表される波の周期的な座屈（図ではＸ方向）波も対象となる。波の大きさとして用いられる急峻度或いは平坦度の定義は、金属板の幅方向エッジ部の波片振幅高さＨを波ピッチＰ（周期Ｐ）で割り、１００倍して、パーセント表示で表す。また、この波形状を波片振幅高さＨで示している位置でＹ－Ｚ断面で切り出した幅方向位置毎形状プロフィール（波形状プロフィール）と称し、後に述べる座屈解析では求められる形状プロフィールは高さの次元が無い０～１の基準化プロフィールである。そして、本実施形態では、かかる基準化プロフィールに波片振幅高さＨを乗じた波形状プロフィール分布ｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を予測する。
【0031】
＜従来の形状予測方法＞
上述したように本発明は、特許文献３にかかる発明をさらに発展させたものである。そこで、本実施形態にかかる形状予測方法を説明するに先だって、特許文献３に開示された従来の形状予測方法について説明する。図２は、従来の形状予測方法を示すフローチャートである。
上述したように本発明は、特許文献３にかかる発明をさらに発展させたものである。そこで、本実施形態にかかる形状予測方法を説明するに先だって、特許文献３に開示された従来の形状予測方法について説明する。図２は、従来の形状予測方法を示すフローチャートである。
【0032】
（ステップＸ１）
ステップＸ１では、板幅方向（ｙ方向）に所定の幅でＮ分割された任意の位置ｙでの評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）は、圧延された金属板が座屈する場合（鋼板に面外変形が発生する場合）に、圧延時に金属板の長手方向に伸びるひずみ（以下、「伸びひずみ」という。）の幅方向の差分である。以下の説明において、伸びひずみと伸びひずみ差の定義は、これと同様である。
ステップＸ１では、板幅方向（ｙ方向）に所定の幅でＮ分割された任意の位置ｙでの評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）は、圧延された金属板が座屈する場合（鋼板に面外変形が発生する場合）に、圧延時に金属板の長手方向に伸びるひずみ（以下、「伸びひずみ」という。）の幅方向の差分である。以下の説明において、伸びひずみと伸びひずみ差の定義は、これと同様である。
【0033】
（ステップＸ２）
ステップＸ２では、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を最大値１とする、０（ゼロ）から１までの値に基準化した伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。
ステップＸ２では、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を最大値１とする、０（ゼロ）から１までの値に基準化した伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。
【0034】
（ステップＸ３）
ステップＸ３では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行う。この理論座屈モデルは、特許文献３に開示されたモデルである。すなわち、理論座屈モデルとは、非特許文献１に示される三角形の残留応力分布で定式化されたモデルをベースにして作成された波形状座屈方程式により、座屈解析を実行するモデルである。そして、理論座屈モデルでは、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、座屈によって発生する波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１で基準化された高さプロフィールＷ（ｙ）が出力される。なお、特許文献３に開示されたモデルでは、残留応力分布を入力して座屈応力分布にしているが、ここでは、応力に変えて伸びひずみを用いている。
ステップＸ３では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行う。この理論座屈モデルは、特許文献３に開示されたモデルである。すなわち、理論座屈モデルとは、非特許文献１に示される三角形の残留応力分布で定式化されたモデルをベースにして作成された波形状座屈方程式により、座屈解析を実行するモデルである。そして、理論座屈モデルでは、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、座屈によって発生する波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１で基準化された高さプロフィールＷ（ｙ）が出力される。なお、特許文献３に開示されたモデルでは、残留応力分布を入力して座屈応力分布にしているが、ここでは、応力に変えて伸びひずみを用いている。
【0035】
ここで、本来、金属板に働く長手方向応力は板幅方向に積分すると０（ゼロ）となる残留応力成分と張力（ユニットテンション）成分が重なる。しかし、座屈モデルでは張力成分は別途与えるので、ここでは板幅方向に積分すると０、すなわち残留応力成分は板幅方向の積分値、あるいは板幅方向の平均を取ると０となるとして、下記式（１）により残留応力σｒｅｓ（ｙ）の分布と塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）の分布の換算を行っている。
Δεｐｌ（ｙ）＝－（σｒｅｓ（ｙ）／Ｅ－Ｍａｘ（σｒｅｓ（ｙ））／Ｅ） ・・・（１）
Δεｐｌ（ｙ）＝－（σｒｅｓ（ｙ）／Ｅ－Ｍａｘ（σｒｅｓ（ｙ））／Ｅ） ・・・（１）
【0036】
（ステップＸ４）
ステップＸ４では、座屈の発生の有無を判定する。塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較し、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＸ５に進む。ちなみに座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似の関係を持つので幅方向位置ｙのどこで判定しても良いが、ここではそれぞれの最大値で比較している。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＸ６に進む。
ステップＸ４では、座屈の発生の有無を判定する。塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較し、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＸ５に進む。ちなみに座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似の関係を持つので幅方向位置ｙのどこで判定しても良いが、ここではそれぞれの最大値で比較している。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＸ６に進む。
【0037】
（ステップＸ５）
ステップＸ５では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。形状予測モデルでは、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離した後、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）に基づいてステップＸ３で算出された波ピッチＰは変化しないと仮定し、基準化高さプロフィールＷ（ｙ）に波片振幅高さＨを掛けた波高さ分布ｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）から幾何学的な伸びひずみ差分布との誤差が小さくなるように波片振幅高さＨを決定することで金属板の形状を予測する。この形状予測モデルは、特許文献３に開示されたモデルと同様のモデルである。但し、特許文献３に開示されたモデルでは応力を用いて形状を予測するが、ここでは応力に代えて伸びひずみ差を用いている。
ステップＸ５では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。形状予測モデルでは、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離した後、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）に基づいてステップＸ３で算出された波ピッチＰは変化しないと仮定し、基準化高さプロフィールＷ（ｙ）に波片振幅高さＨを掛けた波高さ分布ｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）から幾何学的な伸びひずみ差分布との誤差が小さくなるように波片振幅高さＨを決定することで金属板の形状を予測する。この形状予測モデルは、特許文献３に開示されたモデルと同様のモデルである。但し、特許文献３に開示されたモデルでは応力を用いて形状を予測するが、ここでは応力に代えて伸びひずみ差を用いている。
【0038】
以上のとおり、ステップＸ５において金属板の形状（波片振幅高さＨ）が出力され、又はステップＸ６において金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。
【0039】
＜従来の形状予測方法の検証＞
従来の方法では、以上のように金属板の形状（波高さ幅分布ｈ（ｙ））を予測している。本発明者らは、この従来の形状予測方法を用いて予測される形状について、有限要素法（ＦＥＭ）による解析結果と比較して検証した。
従来の方法では、以上のように金属板の形状（波高さ幅分布ｈ（ｙ））を予測している。本発明者らは、この従来の形状予測方法を用いて予測される形状について、有限要素法（ＦＥＭ）による解析結果と比較して検証した。
【0040】
図３及び図４は、同一金属板条件で且つ同一塑性伸びひずみ差での従来の形状予測方法とＦＥＭを用いた場合の金属板の形状を示す説明図である。なお、図３は板幅センター部の長手方向変位における板厚方向変位、すなわち波高さ方向変位を示し、図４は図３のＡ断面の波高さプロフィールを拡大して示すものである。
【0041】
図３を参照すると、従来の形状予測方法とＦＥＭを比較して、座屈後の波ピッチはほぼ同じである。一方、図４を参照すると、従来の形状予測方法とＦＥＭを比較して、幅方向センター部の波高さ変位はほぼ同じであるが、図４中点線で囲った範囲の波高さ変位が異なり、形状プロフィールに誤差が生じることが分かった。
【0042】
本発明者らは鋭意検討を行い、この形状プロフィールの誤差の要因として、従来の形状予測方法では、ステップＸ３の座屈固有解析で算出される形状プロフィールがそのまま座屈後も形状プロフィールを維持すると仮定している点にあることを見出した。そして、座屈固有値解析では評価対象の塑性伸びひずみ差で計算するのではなく、座屈後に生じた座屈波の発生によって金属板に再配分された座屈後も金属板に残留応力として内在する弾性ひずみ差で再計算（理論座屈モデルを用いた固有値解析計算）を行うことで、金属板の形状を適切に予測できることを想到した。以下の説明においては、上記知見に基づいて、本実施形態にかかる金属板の形状予測方法について説明する。
【0043】
＜第１の実施形態にかかる形状予測方法＞
第１の実施形態にかかる金属板の形状予測方法について説明する。図５は、第１の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。図６は、第１の実施形態にかかる形状予測方法を模式的に示す説明図である。なお、第１の実施形態では、後述するステップＡ２～Ａ１０を繰り返し、収束計算を行う。
第１の実施形態にかかる金属板の形状予測方法について説明する。図５は、第１の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。図６は、第１の実施形態にかかる形状予測方法を模式的に示す説明図である。なお、第１の実施形態では、後述するステップＡ２～Ａ１０を繰り返し、収束計算を行う。
【0044】
（ステップＡ１）
ステップＡ１では、図６（ａ）に示すように、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。このステップＡ１は上記ステップＸ１と同様である。
ステップＡ１では、図６（ａ）に示すように、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。このステップＡ１は上記ステップＸ１と同様である。
【0045】
（ステップＡ２）
ステップＡ２では、繰り返し計算の１回目の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降の計算では、後述するステップＡ１０で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。このステップＡ２は繰り返し計算が無い場合は上記ステップＸ２と同様である。
ステップＡ２では、繰り返し計算の１回目の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降の計算では、後述するステップＡ１０で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。このステップＡ２は繰り返し計算が無い場合は上記ステップＸ２と同様である。
【0046】
（ステップＡ３）
ステップＡ３では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行う。このステップＡ３は上記ステップＸ３と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。なお、繰り返し計算の２回目以降の計算の場合、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は、後述のステップＡ７において伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）で修正されるので、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似形にはならない。
ステップＡ３では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行う。このステップＡ３は上記ステップＸ３と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。なお、繰り返し計算の２回目以降の計算の場合、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は、後述のステップＡ７において伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）で修正されるので、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似形にはならない。
【0047】
（ステップＡ４）
ステップＡ４では、繰り返し計算の１回目の計算であるか、あるいは２回目以降の計算であるかの判定を行う。そして、１回目の計算の場合、後述するステップＡ５に進み、２回目以降の計算の場合、後述するステップＡ６に進む。ステップＡ５では座屈の発生有無が判定されるが、２回目以降の計算の場合、金属板が座屈すると判定されているので、ステップＡ５を省略することができる。
ステップＡ４では、繰り返し計算の１回目の計算であるか、あるいは２回目以降の計算であるかの判定を行う。そして、１回目の計算の場合、後述するステップＡ５に進み、２回目以降の計算の場合、後述するステップＡ６に進む。ステップＡ５では座屈の発生有無が判定されるが、２回目以降の計算の場合、金属板が座屈すると判定されているので、ステップＡ５を省略することができる。
【0048】
（ステップＡ５）
ステップＡ５では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＡ５は上記ステップＸ４と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＡ６に進む。ちなみに従来方法と同様に座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似の関係を持つので幅方向位置ｙのどこで判定しても良いが、ここではそれぞれの最大値で比較している。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＡ１１に進む。
ステップＡ５では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＡ５は上記ステップＸ４と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＡ６に進む。ちなみに従来方法と同様に座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）は塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と相似の関係を持つので幅方向位置ｙのどこで判定しても良いが、ここではそれぞれの最大値で比較している。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＡ１１に進む。
【0049】
（ステップＡ１１）
ステップＡ１１では、ステップＸ６と同様に、金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、金属板が平坦の場合、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）は弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）として金属板に残留し、すなわち下記式（２）により、座屈せずに金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）が算出される。さらに下記式（３）により、この式（３）で算出される弾性ひずみ差Δεｅｌ(y)にヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓ(y)も算出される。Ｎは幅方向を等分割した節点数を表す。以後、Ｎは節点数とする。
Δεｅｌ（ｙ）＝－（Δεｐｌ（ｙ）－（ΣΔεｐｌ（ｙ））／Ｎ） ・・・（２）
σｒｅｓ（ｙ）＝Ｅ×Δεｅｌ（ｙ） ・・・（３）
ステップＡ１１では、ステップＸ６と同様に、金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、金属板が平坦の場合、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）は弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）として金属板に残留し、すなわち下記式（２）により、座屈せずに金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）が算出される。さらに下記式（３）により、この式（３）で算出される弾性ひずみ差Δεｅｌ(y)にヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓ(y)も算出される。Ｎは幅方向を等分割した節点数を表す。以後、Ｎは節点数とする。
Δεｅｌ（ｙ）＝－（Δεｐｌ（ｙ）－（ΣΔεｐｌ（ｙ））／Ｎ） ・・・（２）
σｒｅｓ（ｙ）＝Ｅ×Δεｅｌ（ｙ） ・・・（３）
【0050】
上述したように、本来、金属板に働く長手方向応力は板幅方向に積分すると０となる残留応力成分と張力（ユニットテンション）成分が重なる。しかし、座屈モデルでは張力成分は別途与えるので、ここでは板幅方向に積分すると０、すなわち残留応力成分は板幅方向の積分値、あるいは板幅方向の平均を取ると０となるとして、上記式（１）により残留応力分布と塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）の分布の換算を行っている。
【0051】
（ステップＡ６）
ステップＡ６では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。このステップＡ６は上記ステップＸ５と同様であり、先ず、図６（ｂ）に示すように、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留して内在する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離する。そして、下記式（４）により、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）から座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を引き算し、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出する。
Δεｔｓ（ｙ）＝Δεｐｌ（ｙ）－Δεｃｒ（ｙ） ・・・（４）
ステップＡ６では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。このステップＡ６は上記ステップＸ５と同様であり、先ず、図６（ｂ）に示すように、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留して内在する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離する。そして、下記式（４）により、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）から座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を引き算し、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出する。
Δεｔｓ（ｙ）＝Δεｐｌ（ｙ）－Δεｃｒ（ｙ） ・・・（４）
【0052】
次に、上記式（４）より算出された座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）に対して、ステップＡ３で算出された波ピッチＰは変化しないと仮定し、基準化高さプロフィールＷ（ｙ）に波片振幅高さＨを掛けた波高さ幅分布ｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を座屈後の金属板の形状として予測する。ここで、座屈後の波形状の急峻度λ（ｙ）は、幅方向位置ｙ毎に波片振幅高さＨ、基準化高さプロフィールＷ（ｙ）、波ピッチＰで表され、すなわち面外変形して形状に現れる幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（ｙ）を用いて下記式（５）で表される。しかし一般的に圧延操業では波の大きさを表す際は片振幅波の最大振幅Ｈの２倍の両振幅として（５’）のように表すことが多い。また、この式（５）を幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（ｙ）で整理すると式（６）となる。
λ（ｙ）＝２×Ｈ×Ｗ（ｙ）／Ｐ＝（２／π）√Δεｇｓ（ｙ） ・・・（５）
λ＝２×Ｈ／Ｐ ・・・・・・・（５’）
Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））＝（π／２×Ｗ（ｙ）×２×Ｈ／Ｐ）２ ・・・（６）
λ（ｙ）＝２×Ｈ×Ｗ（ｙ）／Ｐ＝（２／π）√Δεｇｓ（ｙ） ・・・（５）
λ＝２×Ｈ／Ｐ ・・・・・・・（５’）
Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））＝（π／２×Ｗ（ｙ）×２×Ｈ／Ｐ）２ ・・・（６）
【0053】
基準化高さプロフィールＷ（ｙ）の値は０～１として基準化されたプロフィールであるため、片振幅波の最大振幅Ｈを仮定すれば幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））が算出できる。そこで座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）とほぼ同じであると考えると、図６（ｃ）に示すように波形状に変換されない伸びひずみ差Δεｅｒ（ｙ）（以下、「伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）」という。）は下記式（７）で表される。そして、例えば最小二乗法を用いて、下記式（８）で表される伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）の２乗の積算値が最小値となる片振幅波の波片振幅Ｈを決定することでｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を座屈後の金属板の形状として予測する。
Δεｅｒ（ｙ）＝Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））－Δεｔｓ（ｙ） ・・・（７）
Ｍｉｎ［Σ（Δεｅｒ（ｙ））２］ ・・・（８）
Δεｅｒ（ｙ）＝Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））－Δεｔｓ（ｙ） ・・・（７）
Ｍｉｎ［Σ（Δεｅｒ（ｙ））２］ ・・・（８）
【0054】
（ステップＡ７）
ステップＡ７では、座屈波発生後に再配分される残留応力、すなわち金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を算出する。具体的に図６（ｄ）に示すように、下記式（９）、（９’）により、弾性の座屈固有ひずみ差（Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ））と弾性の伸びひずみ誤差（Δεｅｒ（ｙ））を足し合わせて、座屈波発生によって再配分される金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を算出する。このようにステップＡ７では、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）が算出される。なお、下記式（１０）により、弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）にヤング率Ｅをかけて、再配分された金属板に内在する残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出することが可能となる。
Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ）＝－（Δεｃｒ（ｙ）－（ΣΔεｃｒ（ｙ））／Ｎ） ・・・（９’）
Δεｅｌ ＊（ｙ）＝－｛Δεｐｌ（ｙ）－Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））｝＝Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ）＋Δεｅｒ（ｙ） ・・・（９）
σｒｅｓ ＊（ｙ）＝Ｅ×Δεｅｌ ＊（ｙ） ・・・（１０）
ステップＡ７では、座屈波発生後に再配分される残留応力、すなわち金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を算出する。具体的に図６（ｄ）に示すように、下記式（９）、（９’）により、弾性の座屈固有ひずみ差（Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ））と弾性の伸びひずみ誤差（Δεｅｒ（ｙ））を足し合わせて、座屈波発生によって再配分される金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を算出する。このようにステップＡ７では、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）が算出される。なお、下記式（１０）により、弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）にヤング率Ｅをかけて、再配分された金属板に内在する残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出することが可能となる。
Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ）＝－（Δεｃｒ（ｙ）－（ΣΔεｃｒ（ｙ））／Ｎ） ・・・（９’）
Δεｅｌ ＊（ｙ）＝－｛Δεｐｌ（ｙ）－Δεｇｓ（Ｐ、Ｈ、Ｗ（ｙ））｝＝Δεｅｌ_ｃｒ（ｙ）＋Δεｅｒ（ｙ） ・・・（９）
σｒｅｓ ＊（ｙ）＝Ｅ×Δεｅｌ ＊（ｙ） ・・・（１０）
【0055】
（ステップＡ８）
ステップＡ８では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定する。具体的には、後述するようにステップＡ２～Ａ１０を繰り返し行う収束計算において、下記式（１１）により、再配分された金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を用いて、これに対応する０～１の値を持つ基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。図６（ｅ）は、この基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）の一例を示す。
Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）＝－（Δεeｌ ＊（ｙ）－Ｍａｘ（εｅｌ ＊（ｙ）））/（Ｍａｘ(εｅｌ ＊（ｙ）)－Ｍｉｎ（εｅｌ ＊（ｙ））） ・・・（１１）
ステップＡ８では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定する。具体的には、後述するようにステップＡ２～Ａ１０を繰り返し行う収束計算において、下記式（１１）により、再配分された金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を用いて、これに対応する０～１の値を持つ基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。図６（ｅ）は、この基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）の一例を示す。
Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）＝－（Δεeｌ ＊（ｙ）－Ｍａｘ（εｅｌ ＊（ｙ）））/（Ｍａｘ(εｅｌ ＊（ｙ）)－Ｍｉｎ（εｅｌ ＊（ｙ））） ・・・（１１）
【0056】
（ステップＡ９）
ステップＡ９では、収束計算において解が求まったどうかを、座屈し再配分された後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）の値と再配分前の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）の値が等しくなるか否かで判定を行う。先ず、下記式（１２）により、幅方向位置ｙ毎に再配分前後の基準化伸びひずみ差の誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）を算出する。すなわち、誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）は、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）の変化量である。次に、下記式（１３）に示すように、各位幅方向位置ｙ毎の２乗誤差を積算することでΔｅｒｒｏｒ＊を算出し、この誤差Δｅｒｒｏｒ＊と所定の閾値とを比較する。そして、誤差Δｅｒｒｏｒ＊が所定の閾値よりも大きければ、再配分された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）は収束していないと判定して、再計算（理論座屈モデルを用いた固有値解析計算）を行うため、ステップＡ１０に進む。一方、誤差Δｅｒｒｏｒ＊が所定の閾値以下であれば、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束したと判定して、ステップＡ１２に進む。
Δｅｒｒｏｒ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）－Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ） ・・・（１２）
Δｅｒｒｏｒ＊＝｛Σ（Δｅｒｒｏｒ（ｙ））２｝＞閾値 ・・・（１３）
ステップＡ９では、収束計算において解が求まったどうかを、座屈し再配分された後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）の値と再配分前の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）の値が等しくなるか否かで判定を行う。先ず、下記式（１２）により、幅方向位置ｙ毎に再配分前後の基準化伸びひずみ差の誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）を算出する。すなわち、誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）は、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）の変化量である。次に、下記式（１３）に示すように、各位幅方向位置ｙ毎の２乗誤差を積算することでΔｅｒｒｏｒ＊を算出し、この誤差Δｅｒｒｏｒ＊と所定の閾値とを比較する。そして、誤差Δｅｒｒｏｒ＊が所定の閾値よりも大きければ、再配分された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）は収束していないと判定して、再計算（理論座屈モデルを用いた固有値解析計算）を行うため、ステップＡ１０に進む。一方、誤差Δｅｒｒｏｒ＊が所定の閾値以下であれば、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束したと判定して、ステップＡ１２に進む。
Δｅｒｒｏｒ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）－Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ） ・・・（１２）
Δｅｒｒｏｒ＊＝｛Σ（Δｅｒｒｏｒ（ｙ））２｝＞閾値 ・・・（１３）
【0057】
（ステップＡ１０）
ステップＡ１０では、ステップＡ２に戻って再計算で用いる基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）とΔｅｒｒｏｒ（ｙ）を用いて補正する。具体的には、下記式（１４）により、誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）に緩和係数αをかけたものを、再配分後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に足し合わせて、再計算用の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を再設定する。ここで、再計算を行うにあたり、緩和係数αをかけずに誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）をすべて重ね合わせると、計算結果が振動し、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）は収束しにくい。そこで本実施形態では、緩和係数αをかけることで基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を収束させやすくしている。なお、この緩和係数αは任意であるが、本発明者が鋭意検討したところ、０．１～０．４が適切であることを確認している。
Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＋α×Δｅｒｒｏｒ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＋α×｛Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）－Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）｝ ・・・（１４）
ステップＡ１０では、ステップＡ２に戻って再計算で用いる基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）とΔｅｒｒｏｒ（ｙ）を用いて補正する。具体的には、下記式（１４）により、誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）に緩和係数αをかけたものを、再配分後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に足し合わせて、再計算用の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を再設定する。ここで、再計算を行うにあたり、緩和係数αをかけずに誤差Δｅｒｒｏｒ（ｙ）をすべて重ね合わせると、計算結果が振動し、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）は収束しにくい。そこで本実施形態では、緩和係数αをかけることで基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を収束させやすくしている。なお、この緩和係数αは任意であるが、本発明者が鋭意検討したところ、０．１～０．４が適切であることを確認している。
Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＋α×Δｅｒｒｏｒ（ｙ）＝Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）＋α×｛Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）－Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）｝ ・・・（１４）
【0058】
次に、ステップＡ２に戻り、ステップＡ１０で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）を用いて、以降のステップＡ３～Ａ１０を行う。そして、ステップＡ２～Ａ１０を繰り返し行い、ステップＡ９における収束判定で、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ
＊（ｙ）が収束したと判定されるまで、収束計算を行う。
【0059】
（ステップＡ１２）
ステップＡ９において基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束したと判定されると、ステップＡ１２に進み、形状予測は終了する。そして、このときの波ピッチＰ、波高さｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）が金属板の形状として予測される。
ステップＡ９において基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束したと判定されると、ステップＡ１２に進み、形状予測は終了する。そして、このときの波ピッチＰ、波高さｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）が金属板の形状として予測される。
【0060】
なお、このように基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ
＊（ｙ）が収束すると、上述した式（９）、（１０）により、座屈後も板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）として金属板に残留し、ヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓも算出される。
【0061】
ここで、上述したように従来の形状予測方法では、座屈後も形状プロフィールが維持されると仮定していたが、実際には座屈後に再配分される残留応力分布によって変化する形状プロフィールの影響を考慮していなかったため、図４に示したような形状プロフィールの誤差が生じていた。
【0062】
この点、本発明者らは、座屈後の形状変形によって形状プロフィールが変わることを見出した。そして、以上の第１の実施形態にかかる形状予測方法によれば、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を算出し、当該弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を用いて再計算を行っているので、金属板の形状を適切に予測することができる。
【0063】
本発明者らは、本第１の実施形態の効果を検証するため、本第１の実施形態を行った形状予測結果（収束解）について、従来の形状予測方法を行った形状予測結果と、ＦＥＭによる解析結果と比較した。検証結果を図７及び図８に示す。図７は座屈後に金属板に内在する弾性ひずみ差の幅方向分布を示し、図８は基準化プロフィールの幅方向分布を示している。
【0064】
図７及び図８を参照すると、従来の形状予測結果はＦＥＭによる解析結果と若干のずれがあるのに対し、第１の実施形態の形状予測結果はＦＥＭによる解析結果とほぼ一致している。したがって、第１の実施形態によれば、金属板の形状を適切に予測することができることがわかった。
【0065】
＜第２の実施形態にかかる形状予測方法＞
第２の実施形態にかかる形状予測方法について説明する。図９は、第２の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
第２の実施形態にかかる形状予測方法について説明する。図９は、第２の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
【0066】
第２の実施形態の形状予測方法において、座屈後に生じた形状プロフィールの発生によって再配分された弾性ひずみ差で再計算を行うという技術的特徴は、上記第１の実施形態の形状予測方法と共通している。但し、上記第１の実施形態が収束計算を行っているのに対し、第２の実施形態では、後述するステップＢ２～Ｂ１０を繰り返し、逐次計算を行う。
【0067】
（ステップＢ１）
ステップＢ１では、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。このステップＢ１は上記ステップＡ１と同様である。
ステップＢ１では、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定する。このステップＢ１は上記ステップＡ１と同様である。
【0068】
（ステップＢ２）
ステップＢ２では、繰り返し計算（逐次計算）の回数を設定し、現在行われている計算が何回目の計算であるかを判定する。本実施形態では、繰り返し計算の回数をＭ回とする。また、以下の説明において、現在行われている計算をｉ回目と表記する。
ステップＢ２では、繰り返し計算（逐次計算）の回数を設定し、現在行われている計算が何回目の計算であるかを判定する。本実施形態では、繰り返し計算の回数をＭ回とする。また、以下の説明において、現在行われている計算をｉ回目と表記する。
【0069】
（ステップＢ３）
ステップＢ３では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降（ｉ＝２以降）の計算では、後述するステップＢ１０で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ（ｙ）と読み替えて次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。
ステップＢ３では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降（ｉ＝２以降）の計算では、後述するステップＢ１０で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ（ｙ）と読み替えて次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。
【0070】
（ステップＢ４）
ステップＢ４では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行い、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）、波ピッチＰ、０－１の基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）を算出する。このステップＢ４は上記ステップＡ３と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。
ステップＢ４では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行い、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）、波ピッチＰ、０－１の基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）を算出する。このステップＢ４は上記ステップＡ３と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。
【0071】
（ステップＢ５）
ステップＢ５では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算であるか、あるいは２回目以降（ｉ＝２以降）の計算であるかの判定を行う。そして、１回目の計算の場合、後述するステップＢ６に進み、２回目以降の計算の場合、後述するステップＢ８に進む。ステップＢ６では座屈の発生有無が判定されるが、２回目以降の計算の場合、金属板が座屈すると判定されているので、ステップＢ６、Ｂ７を省略することができる。
ステップＢ５では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算であるか、あるいは２回目以降（ｉ＝２以降）の計算であるかの判定を行う。そして、１回目の計算の場合、後述するステップＢ６に進み、２回目以降の計算の場合、後述するステップＢ８に進む。ステップＢ６では座屈の発生有無が判定されるが、２回目以降の計算の場合、金属板が座屈すると判定されているので、ステップＢ６、Ｂ７を省略することができる。
【0072】
（ステップＢ６）
ステップＢ６では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＢ６は上記ステップＡ５と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＢ７に進む。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＢ１２に進む。
ステップＢ６では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＢ６は上記ステップＡ５と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＢ７に進む。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＢ１２に進む。
【0073】
（ステップＢ１２）
ステップＢ１２では、金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、上記式（２）、（３）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）と残留応力σｒｅｓ（ｙ）も算出される。このステップＢ１２は上記ステップＡ１１と同様である。
ステップＢ１２では、金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、上記式（２）、（３）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）と残留応力σｒｅｓ（ｙ）も算出される。このステップＢ１２は上記ステップＡ１１と同様である。
【0074】
（ステップＢ７）
ステップＢ７では、繰り返し計算（逐次計算）の１回計算あたりの金属板の形状を、形状予測モデルを用いて予測する。具体的には先ず、上記式（４）により、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留して内在する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離する。さらに、下記式（１５）を用いて、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）をＭ－１分割して、Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ’（ｙ）を算出する。そして、下記式（１６）に示すとおり、１回目の座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を初期座屈固有ひずみ差Δεｃｒ’（ｙ）と読み替える。
Δεｔｓ’（ｙ）＝（Δεｐｌ（ｙ）－Δεｃｒ（ｙ））／（Ｍ－１） ・・・（１５）
Δεｃｒ’（ｙ）＝Δεｃｒ（ｙ） ・・・（１６）
ステップＢ７では、繰り返し計算（逐次計算）の１回計算あたりの金属板の形状を、形状予測モデルを用いて予測する。具体的には先ず、上記式（４）により、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を、座屈後の形状変形に変換する成分（座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ））と、座屈後も金属板に残留して内在する成分（座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ））とに分離する。さらに、下記式（１５）を用いて、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）をＭ－１分割して、Ｍ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ’（ｙ）を算出する。そして、下記式（１６）に示すとおり、１回目の座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を初期座屈固有ひずみ差Δεｃｒ’（ｙ）と読み替える。
Δεｔｓ’（ｙ）＝（Δεｐｌ（ｙ）－Δεｃｒ（ｙ））／（Ｍ－１） ・・・（１５）
Δεｃｒ’（ｙ）＝Δεｃｒ（ｙ） ・・・（１６）
【0075】
（ステップＢ８）
ステップＢ８では、繰り返し計算（逐次計算）の各回計算における金属板の形状を、形状予測モデルを用いて予測する。具体的には先ず、下記式（１７）により、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出する。すなわち、この計算では、上記ステップＢ７で算出したＭ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ’（ｙ）と初期座屈固有ひずみ差Δεｃｒ’（ｙ）を用いて、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を補正する。
Δεｔｓ（ｙ）＝（Δεｔｓ’（ｙ）×（ｉ－１）＋Δεｃｒ’（ｙ））－Δεｃｒ（ｙ） ・・・（１７）
ステップＢ８では、繰り返し計算（逐次計算）の各回計算における金属板の形状を、形状予測モデルを用いて予測する。具体的には先ず、下記式（１７）により、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出する。すなわち、この計算では、上記ステップＢ７で算出したＭ－１分割座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ’（ｙ）と初期座屈固有ひずみ差Δεｃｒ’（ｙ）を用いて、座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を補正する。
Δεｔｓ（ｙ）＝（Δεｔｓ’（ｙ）×（ｉ－１）＋Δεｃｒ’（ｙ））－Δεｃｒ（ｙ） ・・・（１７）
【0076】
続く、金属板の形状予測は、上記ステップＡ６と同様である。すなわち上記式（１７）で算出された座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を用いて、上記式（６）、（７）により幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（ｙ）と伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）を算出し、上記式（８）に示した伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）の２乗の積算値が最小値となる片振幅波の最大振幅Ｈを決定することでｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を座屈後の金属板の形状として予測する。
【0077】
（ステップＢ９）
ステップＢ９では、上記式（９）、（１０）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）と残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出する。このステップＢ９は上記ステップＡ７と同様である。
ステップＢ９では、上記式（９）、（１０）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）と残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出する。このステップＢ９は上記ステップＡ７と同様である。
【0078】
（ステップＢ１０）
ステップＢ１０では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定する。具体的には、上記式（１１）により、再配分された金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を用いて、これに対応する０～１の値を持つ基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。このステップＢ１０は上記ステップＡ８と同様である。そして、この基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）がステップＢ２に戻って再計算で用いる基準化伸びひずみ差となる。
ステップＢ１０では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定する。具体的には、上記式（１１）により、再配分された金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）を用いて、これに対応する０～１の値を持つ基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。このステップＢ１０は上記ステップＡ８と同様である。そして、この基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）がステップＢ２に戻って再計算で用いる基準化伸びひずみ差となる。
【0079】
次に、ステップＢ２に戻り、繰り返し計算の２回目以降を行う。かかる２回目以降の繰り返し計算では、１回前のステップＢ１０で算出された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ
＊（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ（ｙ）と読み替えて用いて、以降のステップＢ４～Ｂ１０を行う。
【0080】
（ステップＢ１１）
以上のステップＢ２～Ｂ１０をＭ回数繰り返し行い、形状予測は終了する。そして、このときの波振幅高さＨが金属板の形状として予測される。なお、このように基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束すると、上述した式（９）、（１０）により、座屈後も板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）として金属板に残留し、ヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓも算出される。
以上のステップＢ２～Ｂ１０をＭ回数繰り返し行い、形状予測は終了する。そして、このときの波振幅高さＨが金属板の形状として予測される。なお、このように基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束すると、上述した式（９）、（１０）により、座屈後も板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）として金属板に残留し、ヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓも算出される。
【0081】
以上の本第２の実施形態でも、上記第１の実施形態と同様の効果を享受できる。すなわち、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を算出し、当該弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を用いて再計算を行っているので、金属板の形状を適切に予測することができる。
【0082】
本発明者らは、本第２の実施形態の効果を検証するため、本第２の実施形態を行った形状予測結果について、上記第１の実施形態を行った形状予測結果と、従来の形状予測方法を行った形状予測結果と、ＦＥＭによる解析結果と比較した。検証結果を図１０及び図１１に示す。図１０は座屈後に金属板に内在する弾性ひずみ差の幅方向分布を示し、図１１は基準化プロフィールの幅方向分布を示している。
【0083】
図１０及び図１１を参照すると、従来の形状予測結果はＦＥＭによる解析結果と若干のずれがあるのに対し、第１の実施形態及び第２の実施形態の形状予測結果はＦＥＭによる解析結果とほぼ一致している。したがって、本第２の実施形態によれば、金属板の形状を適切に予測することができることがわかった。
【0084】
＜第３の実施形態にかかる形状予測方法＞
第３の実施形態にかかる形状予測方法について説明する。図１２は、第３の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
第３の実施形態にかかる形状予測方法について説明する。図１２は、第３の実施形態にかかる形状予測方法を示すフローチャートである。
【0085】
以上の第２の実施形態では、ステップＢ７において座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）をＭ－１分割して逐次計算を行ったが、第３の実施形態では、ステップＣ１で設定した塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）をＭ分割して逐次計算を行う
【0086】
（ステップＣ１～Ｃ２）
ステップＣ１では、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定し、ステップＣ２では、繰り返し計算（逐次計算）の回数（Ｍ回）を設定し、現在行われている計算が何回目（ｉ回目）の計算であるかを判定する。なお、これらステップＣ１～Ｃ２はそれぞれ、上記ステップＢ１～Ｂ２と同様である。
ステップＣ１では、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を設定し、ステップＣ２では、繰り返し計算（逐次計算）の回数（Ｍ回）を設定し、現在行われている計算が何回目（ｉ回目）の計算であるかを判定する。なお、これらステップＣ１～Ｃ２はそれぞれ、上記ステップＢ１～Ｂ２と同様である。
【0087】
（ステップＣ３）
ステップＣ３では、上記ステップＣ１で設定した、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）をＭ分割し、逐次計算を行う際の塑性伸びひずみ差を定義する。具体的には、下記式（１８）によりＭ分割塑性伸びひずみ差Δεｐｌ’（ｙ）を算出し、さらに下記式（１９）により、繰り返し計算のｉ回目における塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を定義（算出）する。
Δεｐｌ’（ｙ）＝Δεｐｌ（ｙ）／Ｍ ・・・（１８）
Δεｐｌ（ｙ）＝Δεｐｌ’（ｙ）×ｉ ・・・（１９）
ステップＣ３では、上記ステップＣ１で設定した、評価対象の金属板の塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）をＭ分割し、逐次計算を行う際の塑性伸びひずみ差を定義する。具体的には、下記式（１８）によりＭ分割塑性伸びひずみ差Δεｐｌ’（ｙ）を算出し、さらに下記式（１９）により、繰り返し計算のｉ回目における塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を定義（算出）する。
Δεｐｌ’（ｙ）＝Δεｐｌ（ｙ）／Ｍ ・・・（１８）
Δεｐｌ（ｙ）＝Δεｐｌ’（ｙ）×ｉ ・・・（１９）
【0088】
（ステップＣ４）
ステップＣ４では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降（ｉ＝２以降）の計算では、後述するステップＣ７の座屈有無判定（繰り返し計算の１回前の座屈有無判定）において、座屈が発生しないと判定された場合、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。一方、ステップＣ７の座屈有無判定において、座屈が発生すると判定された場合、後述するステップＣ１１で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ（ｙ）と読み替えて次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。
ステップＣ４では、繰り返し計算の１回目（ｉ＝１）の計算において、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化の０～１の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。繰り返し計算の２回目以降（ｉ＝２以降）の計算では、後述するステップＣ７の座屈有無判定（繰り返し計算の１回前の座屈有無判定）において、座屈が発生しないと判定された場合、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）を基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）に変換する。一方、ステップＣ７の座屈有無判定において、座屈が発生すると判定された場合、後述するステップＣ１１で補正された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）をΔεｎｏｒｍａｌ（ｙ）と読み替えて次以降のステップでの基準化伸びひずみ差とする。
【0089】
（ステップＣ５）
ステップＣ５では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行い、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）、波ピッチＰ、０－１の基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）を算出する。このステップＣ５は上記ステップＢ４と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。
ステップＣ５では、理論座屈モデルを用いて固有値解析計算を行い、座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）、波ピッチＰ、０－１の基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）を算出する。このステップＣ５は上記ステップＢ４と同様であり、基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ（ｙ）、金属板の板厚ｔ、金属板の板幅Ｂ、金属板に作用する張力Ｕｔを入力すれば、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に相似形となっている座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）（座屈発生のクライテリア）、波ピッチＰ、座屈時の幅方向断面において０～１に基準化高さプロフィール（形状プロフィール）Ｗ（ｙ）が出力される。
【0090】
（ステップＣ６）
ステップＣ６では、後述するステップＣ７の座屈有無判定（繰り返し計算の１回前の座屈有無判定）の結果に基づいて、次に進むステップを決定する。そして、ステップＣ７の座屈有無判定において、座屈が発生しないと判定された場合、後述するステップＣ７に進み、座屈が発生すると判定された場合、後述するステップＣ９に進む。一旦座屈が発生すると判定されると、ステップＣ７の座屈有無判定を省略することができる。
ステップＣ６では、後述するステップＣ７の座屈有無判定（繰り返し計算の１回前の座屈有無判定）の結果に基づいて、次に進むステップを決定する。そして、ステップＣ７の座屈有無判定において、座屈が発生しないと判定された場合、後述するステップＣ７に進み、座屈が発生すると判定された場合、後述するステップＣ９に進む。一旦座屈が発生すると判定されると、ステップＣ７の座屈有無判定を省略することができる。
【0091】
（ステップＣ７）
ステップＣ７では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＣ７は上記ステップＢ６と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＣ９に進む。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＢ８に進む。
ステップＣ７では、座屈の発生の有無を判定する。このステップＣ７は上記ステップＢ６と同様であり、塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）と座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）を比較する。そして、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）より大きければ、金属板が座屈すると判定して、ステップＣ９に進む。一方、Δεｐｌ（ｙ）がΔεｃｒ（ｙ）以下であれば、金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＢ８に進む。
【0092】
（ステップＣ８）
ステップＣ８では、繰り返し計算の最終回（ｉ＝Ｍ）の計算であるか、あるいはそれより前回（ｉ＝Ｍ－１以前）の計算であるかの判定を行う。そして、繰り返し計算の計算回数が最終回の前である場合、ステップＣ２に戻って、後続のステップＣ３以降を行う。これは、逐次計算においては、金属板が座屈しないと判定されたが、最終的に座屈するかどうかを確認するためである。一方、最終のＭ回目の計算である場合、最終的に金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＣ１３に進む。
ステップＣ８では、繰り返し計算の最終回（ｉ＝Ｍ）の計算であるか、あるいはそれより前回（ｉ＝Ｍ－１以前）の計算であるかの判定を行う。そして、繰り返し計算の計算回数が最終回の前である場合、ステップＣ２に戻って、後続のステップＣ３以降を行う。これは、逐次計算においては、金属板が座屈しないと判定されたが、最終的に座屈するかどうかを確認するためである。一方、最終のＭ回目の計算である場合、最終的に金属板が座屈せず平坦であると判定して、ステップＣ１３に進む。
【0093】
（ステップＣ１３）
ステップＣ１３では、最終的に金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、上記式（２）、（３）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）と残留応力σｒｅｓ（ｙ）も算出される。このステップＣ１３は上記ステップＢ１２と同様である。
ステップＣ１３では、最終的に金属板が平坦であることが出力されて、形状予測は終了する。なお、上記式（２）、（３）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ（ｙ）と残留応力σｒｅｓ（ｙ）も算出される。このステップＣ１３は上記ステップＢ１２と同様である。
【0094】
（ステップＣ９）
ステップＣ９では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。このステップＣ９は上記ステップＡ６と同様であり、上記式（４）により座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出し、上記式（６）、（７）により幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（ｙ）と伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）を算出し、上記式（８）に示した伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）の２乗の積算値が最小値となる片振幅波の最大振幅Ｈを決定することでｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を座屈後の金属板の形状として予測する。
ステップＣ９では、形状予測モデルを用いて金属板の形状を予測する。このステップＣ９は上記ステップＡ６と同様であり、上記式（４）により座屈形状変換伸びひずみ差Δεｔｓ（ｙ）を算出し、上記式（６）、（７）により幾何学的形状伸びひずみ差Δεｇｓ（ｙ）と伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）を算出し、上記式（８）に示した伸びひずみ誤差Δεｅｒ（ｙ）の２乗の積算値が最小値となる片振幅波の最大振幅Ｈを決定することでｈ（ｘ,ｙ）＝Ｈ×Ｗ（ｙ）×Ｓｉｎ（２πｘ／Ｐ）を座屈後の金属板の形状として予測する。
【0095】
（ステップＣ１０）
ステップＣ１０では、上記式（９）、（１０）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）と残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出する。このステップＣ１０は上記ステップＢ９と同様である。
ステップＣ１０では、上記式（９）、（１０）により、金属板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）と残留応力σｒｅｓ ＊（ｙ）を算出する。このステップＣ１０は上記ステップＢ９と同様である。
【0096】
（ステップＣ１１）
ステップＣ１１では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定し、上記式（１１）により、補正後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。このステップＣ１１は上記ステップＢ１０と同様である。
ステップＣ１１では、座屈後の再配分された金属板の残留応力分布をもとに基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を再度決定し、上記式（１１）により、補正後の基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）を決定する。このステップＣ１１は上記ステップＢ１０と同様である。
【0097】
次に、ステップＣ２に戻り、繰り返し計算を行う。かかる繰り返し計算では、１回前のステップＣ１１で算出された基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ
＊（ｙ）を用いて、以降のステップＢ４～Ｂ１１を行う。
【0098】
（ステップＣ１２）
以上のステップＣ２～Ｃ１１をＭ回数繰り返し行い、形状予測は終了する。そして、このときの波振幅高さＨが金属板の形状として予測される。なお、このように基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束すると、上述した式（９）、（１０）により、座屈後も板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）として金属板に残留し、ヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓも算出される。
以上のステップＣ２～Ｃ１１をＭ回数繰り返し行い、形状予測は終了する。そして、このときの波振幅高さＨが金属板の形状として予測される。なお、このように基準化伸びひずみ差Δεｎｏｒｍａｌ ＊（ｙ）が収束すると、上述した式（９）、（１０）により、座屈後も板に内在する弾性ひずみ差Δεｅｌ ＊（ｙ）として金属板に残留し、ヤング率Ｅをかけて、金属板に内在する残留応力σｒｅｓも算出される。
【0099】
以上の本第３の実施形態でも、上記第１、２の実施形態と同様の効果を享受できる。すなわち、座屈後の形状変形によって再配分される弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を算出し、当該弾性ひずみ差Δεｅｌ
＊（ｙ）を用いて再計算を行っているので、金属板の形状を適切に予測することができる。
【0100】
＜他の実施形態＞
以上のステップＡ６、Ｂ７、Ｃ９において塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）から分離され、座屈後も金属板に残留して内在する座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）について、当該座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）に対応する金属板の残留応力は、冷却時の変態を考慮したＦＥＭ解析結果で考察すると、金属板の幅に渡る長手方向の残留応力分布を冷却前及び冷却後の幅方向温度分布に基づく熱応力とすれば良いことを確認した。従って、残留応力は冷却前及び後の温度分布を基に決定する。かかる場合、温度を測定するだけで、残留応力分布の予測が可能となり、冷却時の形状を予測することが可能となる。
以上のステップＡ６、Ｂ７、Ｃ９において塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）から分離され、座屈後も金属板に残留して内在する座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）について、当該座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）に対応する金属板の残留応力は、冷却時の変態を考慮したＦＥＭ解析結果で考察すると、金属板の幅に渡る長手方向の残留応力分布を冷却前及び冷却後の幅方向温度分布に基づく熱応力とすれば良いことを確認した。従って、残留応力は冷却前及び後の温度分布を基に決定する。かかる場合、温度を測定するだけで、残留応力分布の予測が可能となり、冷却時の形状を予測することが可能となる。
【0101】
また、上述した座屈固有ひずみ差Δεｃｒ（ｙ）に対応する金属板の残留応力は、測定された金属板の長手方向残留応力の幅方向分布に、少なくとも圧延又は矯正時に付与される残留応力分布を加算して定義してもよい。かかる場合、制御冷却しない金属板の圧延もしくは矯正後の残留応力分布並びに冷間形状を予測することができる。
【0102】
また、ステップＡ１、Ｂ１、Ｃ１で設定される塑性伸びひずみ差Δεｐｌ（ｙ）に対して、冷却前の金属板の形状或いは冷却後の金属板の形状を測定し、形状が平坦になったと仮定した場合に得られる伸びひずみ差を、重ね合わせてもよい。かかる場合、圧延形状によるひずみと冷却前或いは冷却後の熱ひずみを重ね合わせることでさらに精度の良い残留応力及び形状を予測することが可能になり、形状矯正可否判定の精度が向上する。
【0103】
以上の第１の実施形態、第２の実施形態又は第３の実施形態にかかる金属板の形状予測方法を用いれば、平坦な金属板を製造することが可能となる。
【0104】
具体的には、上記実施形態によって金属板の形状を予測し、当該予測結果に基づいて、精整工程での形状矯正を実施するかどうかの可否判定を行う。かかる場合、精度の高い形状予測が可能となるので、座屈しないように冷却前及び冷却後の幅方向温度分布を制御することにより、平坦な板を製造することができる。
【0105】
ここで、精整工程での形状矯正を実施するかどうかの可否判断は、座屈の有無に加え、ユーザーにニーズに応じた平坦度、例えば２％以下、１％以下、０．５％以下等が基準とされる場合がある。このような場合、座屈の有無だけで判断するのではなく、ユーザーにニーズに応じた判定基準を設けたほうが実用的である。
【0106】
そこで、上述した精整工程での形状矯正を実施するかどうかの判定として、予測した急峻度で判定してもよい。かかる場合、座屈の有無で判定するのではなく、所定の急峻度で判定するので、金属板の平坦度のランク付けが可能となり、ランク及び客先のニーズに応じた矯正工程の適用判定が可能となる。このため、より実用的な範囲での判断が可能となり、矯正工程の最適化を図ることができる。
【0107】
以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明はかかる例に限定されない。当業者であれば、特許請求の範囲に記載された技術的思想の範疇内において、各種の変更例または修正例に想到しうることは明らかであり、それらについても当然に本発明の技術的範囲に属するものと了解される。
【実施例0108】
厚板の製造工程を例にとって、金属板の平坦度予測（形状予測）を行い、精整工程への通板可否判定実験を行った。金属板としての厚板鋼板の製造工程において、厚板鋼板は仕上げ圧延機を通り、ホットレベラーを通り、加速冷却設備で所定の温度まで水冷却され、冷却床で空冷される。この時、圧延機出側、加速冷却前の温度計を用いて熱ひずみ、熱応力分布を求め、比較例のモデル（特許文献３ 特許第４２６２１４２号）及び、本モデル（第１の実施形態のモデル）で形状予測を行い、冷間状態で測定した板形状と比較した。また、用いた鋼板は、加速冷却設備で強冷される形状予測が困難な鋼種とした。
【0109】
その結果、形状が悪く精整通板が必要なのに形状を良と判定する誤検知率は、比較例で１％（２００コイル中２コイル）であったのに比べて、本願の実施例では０％（２００コイル中２コイル）であった。
【産業上の利用可能性】
【0110】
本発明は、圧延後の金属板の形状を予測して制御する際に有用である。
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】