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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2022187241
(43)【公開日】2022-12-19
(54)【発明の名称】基盤形状の推定方法
(51)【国際特許分類】
G01V 1/00 20060101AFI20221212BHJP
E02D 1/02 20060101ALI20221212BHJP
【ＦＩ】
G01V1/00 B
E02D1/02
【審査請求】未請求
【請求項の数】4
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2021095162
(22)【出願日】2021-06-07
(71)【出願人】
【識別番号】304021417
【氏名又は名称】国立大学法人東京工業大学
(71)【出願人】
【識別番号】000173784
【氏名又は名称】公益財団法人鉄道総合技術研究所
(71)【出願人】
【識別番号】000115463
【氏名又は名称】ライト工業株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】110002321
【氏名又は名称】弁理士法人永井国際特許事務所
(72)【発明者】
【氏名】盛川 仁
(72)【発明者】
【氏名】飯山 かほり
(72)【発明者】
【氏名】鈴木 祐輔
(72)【発明者】
【氏名】坂井 公俊
(72)【発明者】
【氏名】荒木 豪
【テーマコード（参考）】
2D043
2G105
【Ｆターム（参考）】
2D043AA03
2D043AB07
2D043AC01
2G105AA02
2G105BB01
2G105DD02
2G105EE01
2G105LL04
2G105LL05
2G105LL06
2G105LL08
(57)【要約】
【課題】多種多様な基盤の形状を高い精度で推定することができる方法を提供する。
【解決手段】対象地域において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって観測固有振動モードを求め、他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、ことを特徴とする基盤形状の推定方法である。
【選択図】図１１
【解決手段】対象地域において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって観測固有振動モードを求め、他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、ことを特徴とする基盤形状の推定方法である。
【選択図】図１１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
対象地域において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって観測固有振動モードを求め、
他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、
複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、
この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを前記対象地域の基盤形状と推定する、
ことを特徴とする基盤形状の推定方法。
他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、
複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、
この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを前記対象地域の基盤形状と推定する、
ことを特徴とする基盤形状の推定方法。
【請求項2】
前記計算固有振動モードの選択にあたり、
各基盤形状モデルのＴＭＡＣiを下記式（１）に示す評価関数によって計算し、この計算値が大きい計算固有振動モードを１又は複数選出し、この選出した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、
請求項１に記載の基盤形状の推定方法。
ここで、ｍｏｄａｌ ａｓｓｕｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ（ＭＡＣ）は下記式（２）で定義される。
ここで、φはモードベクトル、添字Ｔは転置を表す。
各基盤形状モデルのＴＭＡＣiを下記式（１）に示す評価関数によって計算し、この計算値が大きい計算固有振動モードを１又は複数選出し、この選出した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、
請求項１に記載の基盤形状の推定方法。
【数1】
【数2】
【請求項3】
前記対象領域内においてボーリング調査を行い、
このボーリング調査で得られた基盤の深度に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１又は請求項２に記載の基盤形状の推定方法。
このボーリング調査で得られた基盤の深度に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１又は請求項２に記載の基盤形状の推定方法。
【請求項4】
前記対象領域内において弾性波速度試験を行い、
この弾性波速度試験で得られたせん断波速度（Ｓ波速度）に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１～３のいずれか１項に記載の基盤形状の推定方法。
この弾性波速度試験で得られたせん断波速度（Ｓ波速度）に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１～３のいずれか１項に記載の基盤形状の推定方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、例えば、地盤改良に先立って実施する基盤形状の推定方法に関するものである。
【背景技術】
【0002】
構造物を建設する際には、支持地盤（基盤）の深度や地盤特性を事前に推定するのが好ましい。しかしながら、ボーリング調査のような掘削を伴う調査は時間及び金銭的なコストが大きいため、掘削することなく地盤構造を推定する手法の開発によって工事の低コスト化が期待される。
【0003】
常時微動を用いて地下構造を推定するにはＳＰＡＣ法やＣＣＡ法などによって推定された位相速度を用いる手法が広く使われているが、これらの手法は地盤構造の同定において水平成層構造を仮定しているため、傾斜基盤のような不整形地盤に適用することは適切でない。また、微動の水平動と上下動の比を用いる手法も広く使われているが、不整形地盤への適用性については今なお議論されている。さらに、Ｚｈａｎｇ ａｎｄ Ｍｏｒｉｋａｗａ（２０１６）は拡散波動場の理論をもとに傾斜基盤深度を推定する手法を提案しているが、局所的な堆積盆地などでは拡散波動場が成り立たない可能性が示唆されている。したがって、埋積谷のような局所的な不整形基盤を有する地盤の地下構造推定手法の開発が望まれる。
【0004】
一方、山間部にしばしばみられる谷が堆積物によって埋められた平地で発生する２次元共振現象の重要性は古くから数値解析で示されている。例えば、Ｂａｒｄ ａｎｄ Ｂｏｕｃｈｏｎ（１９８５）は盆地の２次元共振が２つのパラメータ（谷幅と深さの比であるｓｈａｐｅ ｒａｔｉｏと堆積層と基盤層のインピーダンスコントラスト）に支配されると指摘した。また、ｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｈａｐｅ ｒａｔｉｏと呼ばれる値を定義し、盆地のｓｈａｐｅ ｒａｔｉｏがそれよりも大きいと２次元共振が、それよりも低いと１次元共振と横方向の表面波が支配的となるという関係を示した。さらに、ＳＨ（谷軸方向）、ＳＶ（谷軸直交方向）、Ｐ（垂直方向）の３種類の基本モードを示し、ＳＶの基本モードのｃｒｉｔｉｃａｌ ｓｈａｐｅ ｒａｔｉｏが最も低く（浅い谷でもＳＶモードが発生）、Ｐの基本モードが最も高い（深くえぐれた谷でのみＰモードは発生する）ことを示した。
【0005】
近年では実観測記録から埋積谷の振動モードを同定した例も報告されている。特にスイスアルプスの谷で一連の研究が行われている。Ｅｒｍｅｒｔら（２０１４）は、スイスアルプスの埋積谷にＦｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＦＤＤ）法を適用することで埋積谷の固有振動数と対応する固有モード形状をある程度精度良く同定し、ＳＨとＳＶの基本モード形状が基盤形状を反映していることを指摘している。さらに、有限要素モデルの固有値解析から基盤形状や堆積層のポアソン比、層構造を変えたパラメトリックスタディを行っている。埋積谷の堆積層が均質媒質の場合は谷全体で振動するが、速度の異なる層構造を有している場合は下層（基盤形状）の影響が弱まることが報告されている。
【0006】
Ｐｏｇｇｉら（２０１４）は堆積層の幅２５００ｍ、厚さ９００ｍほどの埋積谷の谷軸方向の観測記録にＦＤＤ法を適用し０．２９Ｈｚから０．８１Ｈｚまでの谷軸方向のモード形状ＳＨ0n（ｎ＝０～５、１つ目の添字は水平方向の節の数を、２つ目の添字は鉛直方向の節の数を表す）を推定し、差分モデルによって得られたモード形状と比較することで、ＦＤＤ法の有効性を示した。これらの結果は、大規模な谷状地形において、微動観測記録にＦＤＤ法を適用することで振動モード特性を同定できることと、谷で発生する２次元振動モード形状は基盤形状と何らかの対応関係があることを示唆している。
【0007】
また、本発明者等は、小規模かつ堆積層が一層構造を有している埋積谷における振動モード形状の同定方法を提案している（特許文献１参照）。
【0008】
しかしながら、地盤改良の精度に影響が及ぶ以上、現在でも、多種多様な基盤に対して推定の精度をより向上することができないか、特に基盤形状の推定精度をより向上することができないか、日々模索がなされている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0009】
【特許文献1】特開２０２１－０３２０５５号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0010】
本発明が解決しようとする主たる課題は、多種多様な基盤の形状を高い精度で推定することができる方法を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【0011】
前述した従来の技術からすると、堆積層のモード形状と基盤形状の関係を評価できれば、埋積谷のモード特性からその未知の基盤形状を推定できると考えられる。そして、このためには、埋積谷のような不整形地盤のモード特性が実観測記録から精度良く同定できることとモード特性から基盤形状の推定ができることの２つの問題を解決しなければならない。そこで、後述するようにこれらの問題を解決し、もって想到するに至ったのが次に示す手段である。
【0012】
（請求項１に記載の手段）
対象地域において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって観測固有振動モードを求め、
他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、
複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、
この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを前記対象地域の基盤形状と推定する、
ことを特徴とする基盤形状の推定方法。
対象地域において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって観測固有振動モードを求め、
他方、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する計算固有振動モードをＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求め、
複数の前記計算固有振動モードの中から前記観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、
この選択した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを前記対象地域の基盤形状と推定する、
ことを特徴とする基盤形状の推定方法。
【0013】
（請求項２に記載の手段）
前記計算固有振動モードの選択にあたり、
各基盤形状モデルのＴＭＡＣiを下記式（１）に示す評価関数によって計算し、この計算値が大きい計算固有振動モードを１又は複数選出し、この選出した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、
請求項１に記載の基盤形状の推定方法。
前記計算固有振動モードの選択にあたり、
各基盤形状モデルのＴＭＡＣiを下記式（１）に示す評価関数によって計算し、この計算値が大きい計算固有振動モードを１又は複数選出し、この選出した計算固有振動モードに対応する前記基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する、
請求項１に記載の基盤形状の推定方法。
【0014】
【数1】
【数2】
【0015】
（請求項３に記載の手段）
前記対象領域内においてボーリング調査を行い、
このボーリング調査で得られた基盤の深度に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１又は請求項２に記載の基盤形状の推定方法。
前記対象領域内においてボーリング調査を行い、
このボーリング調査で得られた基盤の深度に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１又は請求項２に記載の基盤形状の推定方法。
【0016】
（請求項４に記載の手段）
前記対象領域内において弾性波速度試験を行い、
この弾性波速度試験で得られたせん断波速度（Ｓ波速度）に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１～３のいずれか１項に記載の基盤形状の推定方法。
前記対象領域内において弾性波速度試験を行い、
この弾性波速度試験で得られたせん断波速度（Ｓ波速度）に基づいて前記推定された基盤形状を補正する、
請求項１～３のいずれか１項に記載の基盤形状の推定方法。
【発明の効果】
【0017】
本発明によると、多種多様な基盤の形状を高い精度で推定することができる方法になる。
【図面の簡単な説明】
【0018】
【図1】常時微動観測の対象とした領域の航空写真である。
【図2】Ｎ値及びせん断波速度の調査結果である。
【図4】ＳＨ方向及びＳＶ方向の基本モード形状を示す。
【図5】基盤深度調査の結果に基づく三次元有限要素モデルを示す。
【図6】差分法（ＦＤＭ）モデルを示す。
【図8】特異値スペクトルと基本モード形状とを示す（基盤形状の影響）。
【図9】特異値スペクトルと基本モード形状とを示す（深さの影響）。
【図10】特異値スペクトルと基本モード形状とを示す（Ｓ波速度の影響）。
【図11】基本振動モード形状から基盤形状を推定する手法のフロー図である。
【図12】三角形基盤の探索結果である。
【図13】左右非対称な台形基盤の探索結果である。
【図14】観測記録から求めた基本モード形状とモデルのＴＭＡＣの値が大きいものの上位５つを示す。
【図15】特異値と振動数との関係を表した図である。
【図16】固有振動数に対する地盤全体のモード形状を示す図である（絶対値）。
【図17】固有値解析による結果とＦＤＤ法による結果とを比較する図である。
【発明を実施するための形態】
【0019】
次に、発明を実施するための形態を説明する。なお、本実施の形態は本発明の一例である。本発明の範囲は、本実施の形態の範囲に限定されない。
【0020】
本形態の基盤形状の推定方法においては、
（１）対象地域（推定の対象となる領域）において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって固有振動モード（観測固有振動モード）を求める。
（２）また、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する固有振動モード（計算固有振動モード）をＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求める。
（３）そして、複数の計算固有振動モードの中から観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、この選択した計算固有振動モードに対応する基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する。
ここで、上記基盤形状モデルとは、基盤形状関数ζ（ｘ）のコントロールパラメータに種々の値を代入して生成された関数形を意味し、例えば、式（３）のｂ、ｃ、ｄ、ｈに表２に示す値を与えることで２８８種類の基盤形状モデルを作成（決定）することができる。
（１）対象地域（推定の対象となる領域）において常時微動観測を行い、この常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ法によって固有振動モード（観測固有振動モード）を求める。
（２）また、基盤形状モデルを複数作成し、各基盤形状モデルに対応する固有振動モード（計算固有振動モード）をＦＤＭ及びＦＤＤ法によって求める。
（３）そして、複数の計算固有振動モードの中から観測固有振動モードに近似する計算固有振動モードを選択し、この選択した計算固有振動モードに対応する基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する。
ここで、上記基盤形状モデルとは、基盤形状関数ζ（ｘ）のコントロールパラメータに種々の値を代入して生成された関数形を意味し、例えば、式（３）のｂ、ｃ、ｄ、ｈに表２に示す値を与えることで２８８種類の基盤形状モデルを作成（決定）することができる。
【0021】
また、上記計算固有振動モードの選択にあたっては、次式（６）のとおり各基盤形状モデルのＴＭＡＣiを下記式（１）に示す評価関数によって計算し、この計算値が大きい計算固有振動モードを１又は複数（例えば、２～１０。）選出し、この選出した計算固有振動モードに対応する基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する。
【0022】
【数6】
【0023】
【数1】
【0024】
ここで、ｍｏｄａｌ ａｓｓｕｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ（ＭＡＣ）は下記式（２）で定義される。
【0025】
【数2】
【0026】
ここで、φはモードベクトル、添字Ｔは転置を表す。
【0027】
また、上記基盤形状モデルの作成にあたっては、下記式（３）～（５）に示す基盤形状関数ζ（ｘ）を設定することができる。
【0028】
【数3】
【0029】
【数4】
【0030】
【数5】
【0031】
なお、基盤形状モデルの作成にあたっては、少数のパラメータで関数の形状をコントロール可能な関数を用いて基盤形状関数ζ（ｘ）を設定する。その例として上記式（３）～（５）に示す関数を用いることができる。また、地質学的情報等により事前に基盤形状の概形が予想される場合は、その形状に近い関数形を有する関数を作成することで、より良い精度で基盤形状を推定可能である。
【0032】
さらに、対象領域内においてボーリング調査を行い、このボーリング調査で得られた基盤の深度に基づいて推定された基盤形状を補正するとより好適である。
【0033】
また、対象領域内において弾性波速度試験を行い、この弾性波速度試験で得られたせん断波速度（Ｓ波速度）に基づいて推定された基盤形状を補正するのも好適である。なお、弾性波速度試験には、ボーリング孔を用いて、地盤内を伝播する弾性波の速度を測定する方法「地盤工学会基準 地盤の弾性波速度検査方法 ＪＧＳ １１２２」や、ボーリング等により採取した試料を用い、パルス伝播法による弾性波速度を測定する方法「地盤改良工学会基準 岩石の弾性波速度計測方法 ＪＧＳ ２５６４」などの方法がある。
【0034】
さらに、以上の他、例えば、ある程度まで基盤形状を絞り込んだ後に、差分モデルのメッシュサイズを細かくしたり、基盤形状関数の関数形を調整したりする（補正）ことで高精度化することができる。
【0035】
本形態によると、多種多様な基盤の形状を高い精度で推定することができる方法になるが、その詳細については、後述する実施例で説明することとし、以下では、念のためにＦＤＤ法に関して、簡単な説明を加えておく。
【0036】
（ＦＤＤ法）
以下、常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ（Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｄｏｍａｉｎ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）法によって固有振動モードを求める方法について説明する。
以下、常時微動観測で得られた応答波形からＦＤＤ（Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｄｏｍａｉｎ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）法によって固有振動モードを求める方法について説明する。
【0037】
まず、ＦＤＤ法とは、多点で測定されたシステムの応答波形のパワースペクトル行列（応答パワースペクトル行列）を特異値分解することで、システムのモード特性を同定する手法のことである。本発明においては、この手法を、地盤に適用するものである。ＦＤＤ法は、振動理論に基づいて展開された応答パワースペクトル行列の近似式が特異値分解式と同形であることから説明される。
【0038】
計測対象システム（地盤）の応答パワースペクトル行列［Ｇyy］は、次式で定義される。
【0039】
【数7】
【0040】
ここで、ｊは虚数単位、ωは円振動数、ｙ（ｊω）は計測対象システムからの出力のＦｏｕｒｉｅｒ係数を表す。
【0041】
計測対象システムへの入力がホワイトノイズで、かつ減衰が小さいとき、［Ｇyy］は、次式に示す近似が成り立つ。
【0042】
【数8】
【0043】
ここで、ｉは特異値の次数、Ｓi（ω）は第ｉ特異値、｛ｕi（ω）｝は第ｉ特異ベクトル、*は複素共役、Tは転置、ｄkは定数、λkは極、Ｋはｎ以下の自然数、｛φk｝は固有モードベクトルを表す。
【0044】
特異値分解で得られた特異値は、図１５に示すように、振動数との関係で表し（プロットし）、更に同図に示すようにピークピッキングして卓越振動数を抽出する（図示例では、ａ［Ｈｚ］）。卓越振動数ａ［Ｈｚ］における第１特異ベクトル｛ｕ1(ａ)｝と卓越振動数近傍ａ＋δ［Ｈｚ］における第１及び第２特異ベクトル｛ｕ1(ａ＋δ)｝、｛ｕ2(ａ＋δ)｝を求める。
【0045】
これらの相関係数γ1、γ2を、
【0046】
【数9】
【0047】
により算出する。
【0048】
γ1及びγ2の値を基準として｛ｕ1(ａ)｝を固有モードとして選定する（または選定しない）。選定された固有モードに対応する卓越振動数を固有振動数とし、複数の卓越振動数ごとに同様の選定を繰り返す。
【0049】
【0050】
（その他）
【0051】
２次元ＦＤＭ＋ＦＤＤ法によってモード特性を決定する方法は、３次元ＦＥＭによって固有値解析を行うよりも容易である。その理由として、１つは、大量の基盤形状モデルに対して３次元のメッシュ切りを適切に行うにはそれなりの技術が必要である一方で、２次元のメッシュならより簡単に行えることにある。もう１つは、２次元ＦＤＭは面外振動（ＳＨ波）を扱えるが、ＦＥＭでは３次元モデルが必要で、３次元ＦＥＭの計算コストがかなり大きいということが挙げられる。ただし、３次元ＦＥＭで固有値解析をするのは可能ではあるので、２次元ＦＤＭだけに限定されるわけではない。
【実施例0052】
次に、本発明の実施例について説明する。なお、以下では、まず、小規模かつ堆積層が一層構造を有している埋積谷における振動モード形状の同定に関して要約する。その後、差分法（ＦＤＭ）によって波動伝播計算を行い地表面の波形にＦＤＤ法を用いることで埋積谷の振動モード形状を推定する方法について要約する。その後、基盤形状や堆積層のＳ波速度構造を変えたパラメトリックスタディを実施し、基盤形状と基本モード形状の定性的な関係について調べた結果を説明する。そして、最後にパラメトリックスタディの結果を踏まえ、基本モード形状から基盤形状を推定するための本発明の手法について示し、数値解析と観測記録の結果に適用することで、本推定手法の有効性を明らかにする。
【0053】
（微動観測記録から小規模な埋積谷の２次元モードの推定）
小規模な埋積谷で行われた微動観測記録にＦＤＤ法を適用することで、谷の２次元振動モードを推定した。幅８３ｍほどの小さな谷であったため谷の固有振動数近傍の特異値スペクトルが複雑であったが、基盤露頭部のスペクトルと比較しピークピッキングすることで、基本モードを推定した。
小規模な埋積谷で行われた微動観測記録にＦＤＤ法を適用することで、谷の２次元振動モードを推定した。幅８３ｍほどの小さな谷であったため谷の固有振動数近傍の特異値スペクトルが複雑であったが、基盤露頭部のスペクトルと比較しピークピッキングすることで、基本モードを推定した。
【0054】
（１）対象地盤について
常時微動観測は、某所の小規模な埋積谷を対象に実施された。図１に示す延長約８３ｍの測線ＡＡ’を対象とし、側線ＡＡ’の南北側は標高が急激に変化し風化岩が露頭しており、十分な剛性・支持力が期待される地盤である。測線ＡＡ’の東側は徐々に標高が高くなっており、西側は海岸に向かって平坦な地形が続いている。この対象領域内では微動観測後に地盤改良工事が実施されており、測線ＡＡ’上では１．６ｍ間隔で工学的基盤（図３中では基盤層と表現）の深度が既知となっている。工事の際に得られた測線ＡＡ’の詳細な基盤形状を図３に示す。また図３中に示されている位置で地盤改良前にボーリング調査が、地盤改良後には弾性波速度試験が行われている。
常時微動観測は、某所の小規模な埋積谷を対象に実施された。図１に示す延長約８３ｍの測線ＡＡ’を対象とし、側線ＡＡ’の南北側は標高が急激に変化し風化岩が露頭しており、十分な剛性・支持力が期待される地盤である。測線ＡＡ’の東側は徐々に標高が高くなっており、西側は海岸に向かって平坦な地形が続いている。この対象領域内では微動観測後に地盤改良工事が実施されており、測線ＡＡ’上では１．６ｍ間隔で工学的基盤（図３中では基盤層と表現）の深度が既知となっている。工事の際に得られた測線ＡＡ’の詳細な基盤形状を図３に示す。また図３中に示されている位置で地盤改良前にボーリング調査が、地盤改良後には弾性波速度試験が行われている。
【0055】
図２に示す各調査結果によれば、ボーリング調査による堆積層のＮ値は３～７程度、弾性波速度試験に基づく支持層のせん断波速度Ｖｓは２．８ｋｍ／ｓであった。当該地盤は堆積層と支持層とのインピーダンスコントラストが非常に大きく、堆積層は層構造を持たないといえる。
【0056】
（２）観測方法について
某日の夜間に各アレイごとに約５０分の微動観測を実施した。観測には２００Ｈｚサンプリング、２４ｂｉｔ量子化分解能で記録が可能なデータロガーと三成分一体型のフォースバランス型高感度加速度計（Ｎａｎｏｍｅｔｒｉｃｓ 社製、Ｔｉｔａｎ加速度計）を７台使用し、測線ＡＡ’に沿ってＡｒｒａｙ１～３の計３回の観測が行われた。加速度計の設置位置は図３に示されている。各データロガーの絶対時刻はＧＰＳに同期しており、データの時間分解能に対して十分な同期精度で観測が実施されている。先行研究の表現方法に習い、谷軸方向（図３の紙面奥行き方向）をａｘｉａｌ（ＳＨ）、測線ＡＡ’方向（谷軸直交方向）をｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ（ＳＶ）、鉛直方向をｖｅｒｔｉｃａｌと表す。
某日の夜間に各アレイごとに約５０分の微動観測を実施した。観測には２００Ｈｚサンプリング、２４ｂｉｔ量子化分解能で記録が可能なデータロガーと三成分一体型のフォースバランス型高感度加速度計（Ｎａｎｏｍｅｔｒｉｃｓ 社製、Ｔｉｔａｎ加速度計）を７台使用し、測線ＡＡ’に沿ってＡｒｒａｙ１～３の計３回の観測が行われた。加速度計の設置位置は図３に示されている。各データロガーの絶対時刻はＧＰＳに同期しており、データの時間分解能に対して十分な同期精度で観測が実施されている。先行研究の表現方法に習い、谷軸方向（図３の紙面奥行き方向）をａｘｉａｌ（ＳＨ）、測線ＡＡ’方向（谷軸直交方向）をｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ（ＳＶ）、鉛直方向をｖｅｒｔｉｃａｌと表す。
【0057】
（３）観測記録の整理
観測された常時微動記録は次の手順で整理した。観測記録にカットオフ周波数が０．２ Ｈｚおよび２０Ｈｚのバンドパスフィルターを適用した後、自動車の通過などに伴う外乱を避け、長さ２０秒のブロックを抽出した。各観測で解析に用いたブロックの個数はＡｒｒａｙ１、２、３でそれぞれ５１、９７、３９個である。それらの各ブロックに対してフーリエ変換を行い、Ｈａｎｎｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗを３回適用して平滑化した。その後それぞれのブロックごとにクロススペクトルおよびパワースペクトルを求め、それらのアンサンブル平均を取ることでクロス・パワースペクトル行列を求めた。求めたクロス・パワースペクトル行列を特異値分解し、得られた特異値とそれに対応する特異ベクトルを用いて検討を行った。Ａｒｒａｙ１～Ａｒｒａｙ３は個別に観測されているため各アレイ毎にＦＤＤ法を適用した。そのため得られた特異ベクトルは位相と大きさを合わせてつなぎ合わせ、測線全体のモード形状とした。求めた基本モード形状を図４に示す。ａｘｉａｌ 方向の基本モード形状はＳＨ00、ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ方向（面内せん断モード）の基本モード形状はＳＶ0と表す。
観測された常時微動記録は次の手順で整理した。観測記録にカットオフ周波数が０．２ Ｈｚおよび２０Ｈｚのバンドパスフィルターを適用した後、自動車の通過などに伴う外乱を避け、長さ２０秒のブロックを抽出した。各観測で解析に用いたブロックの個数はＡｒｒａｙ１、２、３でそれぞれ５１、９７、３９個である。それらの各ブロックに対してフーリエ変換を行い、Ｈａｎｎｉｎｇ ｗｉｎｄｏｗを３回適用して平滑化した。その後それぞれのブロックごとにクロススペクトルおよびパワースペクトルを求め、それらのアンサンブル平均を取ることでクロス・パワースペクトル行列を求めた。求めたクロス・パワースペクトル行列を特異値分解し、得られた特異値とそれに対応する特異ベクトルを用いて検討を行った。Ａｒｒａｙ１～Ａｒｒａｙ３は個別に観測されているため各アレイ毎にＦＤＤ法を適用した。そのため得られた特異ベクトルは位相と大きさを合わせてつなぎ合わせ、測線全体のモード形状とした。求めた基本モード形状を図４に示す。ａｘｉａｌ 方向の基本モード形状はＳＨ00、ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ方向（面内せん断モード）の基本モード形状はＳＶ0と表す。
【0058】
（４）有限要素モデルについて
基盤深度調査の結果をもとに三次元有限要素モデル（図５）を作成し、伊藤忠テクノソリューションズ社のＦＩＮＡＳ／ＳＴＡＲを用いて固有値解析を実施した。地盤物性はボーリング調査と弾性波速度探査の結果（図２）をもとに、堆積層でせん断波速度Ｖｓ＝０．１６ｋｍ／ｓ、単位体積重量γ＝１８ｋＮ／ｍ3、基盤層でＶｓ＝２．８ｋｍ／ｓ、γ＝２５ｋＮ／ｍ3とした。ポアソン比は全層に渡ってν＝０．３３を設定した。基盤形状は図３の形状を忠実に再現し、谷軸方向に同一の構造が連続するモデルとした。メッシュは３０Ｈｚまでの振動を適切に保証できるサイズで分割した。境界条件はｘ方向の側面（ｙｚ平面）・底面を固定境界とし、ｙ方向の側面（ｘｚ平面）・上面を自由境界とした。同モデルでの解析は堆積層部分のｘｚ平面面外・面内解析を行っていることに等しく、３次元効果は考慮されない。固有値解析によって求めた基本モード形状を図４に示す。観測によって求めた基本モード形状とＦＥＭによるモード形状は非常によく一致している。
基盤深度調査の結果をもとに三次元有限要素モデル（図５）を作成し、伊藤忠テクノソリューションズ社のＦＩＮＡＳ／ＳＴＡＲを用いて固有値解析を実施した。地盤物性はボーリング調査と弾性波速度探査の結果（図２）をもとに、堆積層でせん断波速度Ｖｓ＝０．１６ｋｍ／ｓ、単位体積重量γ＝１８ｋＮ／ｍ3、基盤層でＶｓ＝２．８ｋｍ／ｓ、γ＝２５ｋＮ／ｍ3とした。ポアソン比は全層に渡ってν＝０．３３を設定した。基盤形状は図３の形状を忠実に再現し、谷軸方向に同一の構造が連続するモデルとした。メッシュは３０Ｈｚまでの振動を適切に保証できるサイズで分割した。境界条件はｘ方向の側面（ｙｚ平面）・底面を固定境界とし、ｙ方向の側面（ｘｚ平面）・上面を自由境界とした。同モデルでの解析は堆積層部分のｘｚ平面面外・面内解析を行っていることに等しく、３次元効果は考慮されない。固有値解析によって求めた基本モード形状を図４に示す。観測によって求めた基本モード形状とＦＥＭによるモード形状は非常によく一致している。
【0059】
（ＦＤＭ＋ＦＤＤ法の妥当性について）
谷のモーダルパラメータを求めるだけであれば有限要素モデルを用いた固有値解析を行えば十分であるが、２次元の有限要素モデルではａｘｉａｌ（ＳＨ）方向をモデル化するのが難しい。一方、差分法（ＦＤＭ）を用いて波動伝播計算をし、地表面の出力波形にＦＤＤ法を適用することでモデルの振動モードを同定することで、観測記録と同じ手法で解析でき、埋積谷の２次元共振現象をより現実に近い形で再現することができるという利点がある。
谷のモーダルパラメータを求めるだけであれば有限要素モデルを用いた固有値解析を行えば十分であるが、２次元の有限要素モデルではａｘｉａｌ（ＳＨ）方向をモデル化するのが難しい。一方、差分法（ＦＤＭ）を用いて波動伝播計算をし、地表面の出力波形にＦＤＤ法を適用することでモデルの振動モードを同定することで、観測記録と同じ手法で解析でき、埋積谷の２次元共振現象をより現実に近い形で再現することができるという利点がある。
【0060】
（１）差分モデルの作成とモードの同定
ＳＨ波、Ｐ－ＳＶ波のそれぞれについて空間２次精度のスタッガードグリッド中央差分を用いて、対象地盤のＦＤＭモデルを作成した（図６）。モデルサイズは１００ｍ×３０ｍで、メッシュの幅は０．２ｍとした。モデルで使用した物性は表１に示す。堆積層と基盤層のＳ波速度コントラストは７と十分に大きくなるように設定した。地表面以外の境界には吸収境界としてｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ（ＰＭＬ）を４ｍ付与した。中心振動数が１～１５Ｈｚのリッカーウェーブレットを図６の星の位置にランダムに入力した。ＦＤＭの時間刻み幅は０．００００５ｓで１つのデータセットは１６．３８４秒間計算し、地表面の９５箇所にて０．００２ｓごとに出力した。クロス－パワースペクトルは５０個のデータセットでアンサンブル平均をとった後、ＦＤＤ法を適用して、モデルのモード形状と固有振動数を求めた。
ＳＨ波、Ｐ－ＳＶ波のそれぞれについて空間２次精度のスタッガードグリッド中央差分を用いて、対象地盤のＦＤＭモデルを作成した（図６）。モデルサイズは１００ｍ×３０ｍで、メッシュの幅は０．２ｍとした。モデルで使用した物性は表１に示す。堆積層と基盤層のＳ波速度コントラストは７と十分に大きくなるように設定した。地表面以外の境界には吸収境界としてｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ（ＰＭＬ）を４ｍ付与した。中心振動数が１～１５Ｈｚのリッカーウェーブレットを図６の星の位置にランダムに入力した。ＦＤＭの時間刻み幅は０．００００５ｓで１つのデータセットは１６．３８４秒間計算し、地表面の９５箇所にて０．００２ｓごとに出力した。クロス－パワースペクトルは５０個のデータセットでアンサンブル平均をとった後、ＦＤＤ法を適用して、モデルのモード形状と固有振動数を求めた。
【0061】
【表1】
【0062】
（２）アンサンブル平均の影響
ＦＤモデルで計算する際は、十分なアンサンブル平均を取ることが理想的だが、少ないアンサンブル平均で正確なモード形状を求めることができれば、より効率的である。図７ は図６のＦＤＭモデルで出力したｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ方向の波形に直接ＦＤＤ 法を適用したものと、５０回のアンサンブル平均をとった後にＦＤＤ法を適用したものを図示したものである。特異値スペクトル（図７（ａ））を見ると、５０回のアンサンブル平均をとった一点鎖線はなだらかな形状をしており、ピーク周辺も相対的に大きなパワーを持っている。一方、１つのデータセットに直接ＦＤＤ法を適用した実線は、ピークの振動数のみが卓越しており、ピーク振動数も０．０６Ｈｚずれている。モード形状を見るとアンサンブル平均をとった一点鎖線は、卓越振動数である４．０３Ｈｚ周辺で安定しており、ほとんど同じモード形状をしている。一方、アンサンブル平均をとっていない実線は、モード形状が不安定であるが、４．０９Ｈｚ（ピーク振動数）のモード形状に限ってみれば、アンサンブル平均をとったモード形状と一致している。アンサンブル平均を取らないと不安定ではあるが、ピークあるいはその周辺で正しいモード形状を示すものが存在することがわかる。したがって、詳細な検討が必要な場合はアンサンブル平均を取り、多数（好適には１００以上、より好適には１０００以上）のモデルを作成する場合は少ないアンサンブル平均で計算するといったように目的に応じてアンサンブル平均の回数を変えることで効率的に計算をすることができる。後述するパラメトリックスタディでは５０回のアンサンブル平均を取り、後述するモデルデータベースを多数作成する際は１つのデータセットを用いて、特異値スペクトルのピーク周辺で最も安定しているモード形状を固有モードとみなした。
ＦＤモデルで計算する際は、十分なアンサンブル平均を取ることが理想的だが、少ないアンサンブル平均で正確なモード形状を求めることができれば、より効率的である。図７ は図６のＦＤＭモデルで出力したｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ方向の波形に直接ＦＤＤ 法を適用したものと、５０回のアンサンブル平均をとった後にＦＤＤ法を適用したものを図示したものである。特異値スペクトル（図７（ａ））を見ると、５０回のアンサンブル平均をとった一点鎖線はなだらかな形状をしており、ピーク周辺も相対的に大きなパワーを持っている。一方、１つのデータセットに直接ＦＤＤ法を適用した実線は、ピークの振動数のみが卓越しており、ピーク振動数も０．０６Ｈｚずれている。モード形状を見るとアンサンブル平均をとった一点鎖線は、卓越振動数である４．０３Ｈｚ周辺で安定しており、ほとんど同じモード形状をしている。一方、アンサンブル平均をとっていない実線は、モード形状が不安定であるが、４．０９Ｈｚ（ピーク振動数）のモード形状に限ってみれば、アンサンブル平均をとったモード形状と一致している。アンサンブル平均を取らないと不安定ではあるが、ピークあるいはその周辺で正しいモード形状を示すものが存在することがわかる。したがって、詳細な検討が必要な場合はアンサンブル平均を取り、多数（好適には１００以上、より好適には１０００以上）のモデルを作成する場合は少ないアンサンブル平均で計算するといったように目的に応じてアンサンブル平均の回数を変えることで効率的に計算をすることができる。後述するパラメトリックスタディでは５０回のアンサンブル平均を取り、後述するモデルデータベースを多数作成する際は１つのデータセットを用いて、特異値スペクトルのピーク周辺で最も安定しているモード形状を固有モードとみなした。
【0063】
ここで、少ないアンサンブル平均の「少ない」について説明を加える。経験則的には、統計的に安定するのはサンプル数が１００個程度からと考えられる。ばらつきがあまり大きくない場合は５０個程度のサンプルでも安定する。したがって、特異値スペクトルが安定したデータの場合は多くて５０個、特異値スペクトルが不安定な場合でも多くて１００個で充分可能である。また、いずれの場合も１個以上で可能だと思われるが、特異値スペクトルが不安定な場合は１０個以上が好ましい。なお、本実施例の計算例は５０個の場合と１個の場合とを比較して、少ないサンプル数（１個だけ）でも大きくはずさないことを示すものである。
【0064】
（３）観測記録・ＦＥＭ・ＦＤＭによるモード形状の比較
図４に観測記録とＦＥＭ、ＦＤＭ（５０回のアンサンブル平均）を用いて推定した気仙沼地盤のモード形状を重ねて表す。ＳＨ00、ＳＶ0ともに非常によく一致している。小規模な埋積谷であっても微動観測記録にＦＤＤ法を用いることで地盤の振動特性は同定可能であり、ＦＤＭによって埋積谷の２次元共振現象を十分に再現可能であることが示された。
図４に観測記録とＦＥＭ、ＦＤＭ（５０回のアンサンブル平均）を用いて推定した気仙沼地盤のモード形状を重ねて表す。ＳＨ00、ＳＶ0ともに非常によく一致している。小規模な埋積谷であっても微動観測記録にＦＤＤ法を用いることで地盤の振動特性は同定可能であり、ＦＤＭによって埋積谷の２次元共振現象を十分に再現可能であることが示された。
【0065】
（基盤形状とモード特性の関係について）
基盤形状や堆積層のＳ波速度構造を変え、ＦＤＭ＋ＦＤＤ法を用いてパラメトリックスタディを行なった。Ｂａｒｄ ａｎｄ Ｂｏｕｃｈｏｎ（１９８５）はインピーダンスコントラストやポアソン比・減衰が増幅率に対しては影響を与えるが固有振動数には影響が少ないことを数値解析によって示した。Ｅｒｍｅｒｔら（２０１４）は均質媒質の谷と層構造を持つ谷を比較すると層構造を持つ谷の方が基盤の影響が弱まることを報告している。しかし、基盤形状とモード形状の関係やＳ波速度とモード形状の関係については報告がない。そこで、ＦＤＭ＋ＦＤＤ法を用いて、基盤形状や堆積層の速度構造を変更し、基本モード形状や固有振動数への影響を調べた。
基盤形状や堆積層のＳ波速度構造を変え、ＦＤＭ＋ＦＤＤ法を用いてパラメトリックスタディを行なった。Ｂａｒｄ ａｎｄ Ｂｏｕｃｈｏｎ（１９８５）はインピーダンスコントラストやポアソン比・減衰が増幅率に対しては影響を与えるが固有振動数には影響が少ないことを数値解析によって示した。Ｅｒｍｅｒｔら（２０１４）は均質媒質の谷と層構造を持つ谷を比較すると層構造を持つ谷の方が基盤の影響が弱まることを報告している。しかし、基盤形状とモード形状の関係やＳ波速度とモード形状の関係については報告がない。そこで、ＦＤＭ＋ＦＤＤ法を用いて、基盤形状や堆積層の速度構造を変更し、基本モード形状や固有振動数への影響を調べた。
【0066】
（１）基盤形状の影響
図８は特異値スペクトル（上図）と基本モード形状（下図）を表す。同じ基盤形状のＳＶ0とＳＨ00の固有振動数を比較するとＳＶ0はＳＨ00よりも７～１１％ほど高くなっている。また、堆積層の面積が大きいほど基本振動数は低くなる傾向が見られる。図８の中央の図と右の図を比較するとＳＨ00は基盤が非対称になることにより４．８８Ｈｚから５．０７Ｈｚに変化しているのに対して、ＳＶ0はどちらも５．５５Ｈｚと変化が見られなかった。モード形状に関しては、矩形基盤ではＳＨ00とＳＶ0で形状にほとんど差が見られないのに対して、三角形基盤ではＳＨ00の方がＳＶ0よりも鋭い凸形状を示している。また、右図をみると、モード形状の頂点はＳＶ0よりもＳＨ00の方が移動しており非対称性の影響についてもＳＨ00の方が影響を受けやすいことがわかる。これらのことから、ＳＨ00とＳＶ0の基本モード形状は矩形基盤では差がないが、基盤傾斜が存在すると両者に差が生じ、ＳＶ0よりもＳＨ00の方が基盤傾斜に対する感度が高いという性質が見られた。
図８は特異値スペクトル（上図）と基本モード形状（下図）を表す。同じ基盤形状のＳＶ0とＳＨ00の固有振動数を比較するとＳＶ0はＳＨ00よりも７～１１％ほど高くなっている。また、堆積層の面積が大きいほど基本振動数は低くなる傾向が見られる。図８の中央の図と右の図を比較するとＳＨ00は基盤が非対称になることにより４．８８Ｈｚから５．０７Ｈｚに変化しているのに対して、ＳＶ0はどちらも５．５５Ｈｚと変化が見られなかった。モード形状に関しては、矩形基盤ではＳＨ00とＳＶ0で形状にほとんど差が見られないのに対して、三角形基盤ではＳＨ00の方がＳＶ0よりも鋭い凸形状を示している。また、右図をみると、モード形状の頂点はＳＶ0よりもＳＨ00の方が移動しており非対称性の影響についてもＳＨ00の方が影響を受けやすいことがわかる。これらのことから、ＳＨ00とＳＶ0の基本モード形状は矩形基盤では差がないが、基盤傾斜が存在すると両者に差が生じ、ＳＶ0よりもＳＨ00の方が基盤傾斜に対する感度が高いという性質が見られた。
【0067】
（２）基盤深さの影響
図９は基盤の深さの影響について示した図である。堆積層が厚いほど固有振動数が低くなることがわかる。モード形状に関して、ＳＨ00とＳＶ0どちらも堆積層が厚くなるとモード形状がなだらかになる傾向が見られる。左右非対称に関しても、ＳＨ00とＳＶ0どちらも堆積層が厚くなるほどモード形状のピークが中心にずれており、堆積層が厚いほど基盤形状の影響が弱まる傾向がある。
図９は基盤の深さの影響について示した図である。堆積層が厚いほど固有振動数が低くなることがわかる。モード形状に関して、ＳＨ00とＳＶ0どちらも堆積層が厚くなるとモード形状がなだらかになる傾向が見られる。左右非対称に関しても、ＳＨ00とＳＶ0どちらも堆積層が厚くなるほどモード形状のピークが中心にずれており、堆積層が厚いほど基盤形状の影響が弱まる傾向がある。
【0068】
（３）堆積層のＳ波速度の影響
図１０は堆積層のＳ波速度の影響を表している。非対称な三角形基盤形状のモデルの堆積層のＳ波速度を８０ｍ／ｓ、１６０ｍ／ｓ、３２０ｍ／ｓと変化させ、それぞれＳＨ00とＳＶ0のモード形状を図示した。振動数に関して、固有振動数はＳＨ00、ＳＶ0ともに堆積層のＳ波速度が遅いほど低く、速いほど高くなる。また、３２０ｍ／ｓでは、基盤層との速度コントラストが３．５と低く地盤増幅率が低くなるため、特異値スペクトルに明瞭なピーク形状が現れにくくなっている。モード形状に関して、堆積層の速度構造にかかわらず、モード形状はＳＨ00とＳＶ0ともにほとんど変わらない。均質媒質の場合、埋積谷の２次元共振の基本モード形状は基盤形状のみによって変化し、堆積層の速度構造にはよらないことが示唆されている。Ｅｒｍｅｒｔら（２０１４）による層構造の速度コントラストを変化させたパラメトリックスタディの結果と合わせると、二次元共振のモード形状は基盤形状のみに依存するが、層構造がある場合には中間層によって基盤形状の影響が弱まると解釈することができる。以上より均質媒質の埋積谷では、固有振動数は堆積層の速度構造や基盤形状など複数のパラメータの影響を受けるが、基本モード形状は基盤形状にのみ影響を受けることを示唆する結果となった。さらに、ＳＨ00とＳＶ0の両者が堆積層の厚さや基盤傾斜に対して異なる感度を持っており、この結果はＳＨ00とＳＶ0のモード形状のみを用いて基盤形状を推定できることを示唆している。
図１０は堆積層のＳ波速度の影響を表している。非対称な三角形基盤形状のモデルの堆積層のＳ波速度を８０ｍ／ｓ、１６０ｍ／ｓ、３２０ｍ／ｓと変化させ、それぞれＳＨ00とＳＶ0のモード形状を図示した。振動数に関して、固有振動数はＳＨ00、ＳＶ0ともに堆積層のＳ波速度が遅いほど低く、速いほど高くなる。また、３２０ｍ／ｓでは、基盤層との速度コントラストが３．５と低く地盤増幅率が低くなるため、特異値スペクトルに明瞭なピーク形状が現れにくくなっている。モード形状に関して、堆積層の速度構造にかかわらず、モード形状はＳＨ00とＳＶ0ともにほとんど変わらない。均質媒質の場合、埋積谷の２次元共振の基本モード形状は基盤形状のみによって変化し、堆積層の速度構造にはよらないことが示唆されている。Ｅｒｍｅｒｔら（２０１４）による層構造の速度コントラストを変化させたパラメトリックスタディの結果と合わせると、二次元共振のモード形状は基盤形状のみに依存するが、層構造がある場合には中間層によって基盤形状の影響が弱まると解釈することができる。以上より均質媒質の埋積谷では、固有振動数は堆積層の速度構造や基盤形状など複数のパラメータの影響を受けるが、基本モード形状は基盤形状にのみ影響を受けることを示唆する結果となった。さらに、ＳＨ00とＳＶ0の両者が堆積層の厚さや基盤傾斜に対して異なる感度を持っており、この結果はＳＨ00とＳＶ0のモード形状のみを用いて基盤形状を推定できることを示唆している。
【0069】
（基盤形状推定手法と適用）
（１）基盤形状推定手法
以上の結果をふまえ、埋積谷の基本振動モード形状から基盤形状を推定するための手法を図１１に示す。対象地点の基盤形状ζtargetは次のように推定する。
（１）基盤形状推定手法
以上の結果をふまえ、埋積谷の基本振動モード形状から基盤形状を推定するための手法を図１１に示す。対象地点の基盤形状ζtargetは次のように推定する。
【0070】
まず、常時微動観測及びＦＤＤ法を使用してＳＨ00
obs、ＳＶ0
obsを同定する。なお、ＳＨ00はａｘｉａｌ方向の基本モード形状を、ＳＶ0はｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ方向（面内せん断モード）の基本モード形状を表す。また、多様な基盤形状ζi（ｘ）をもつモデルをＮ個作成する（ｉ＝１，…，Ｎ）。そして、ＦＤＭ及びＦＤＤ法を使用してζi（ｘ）に対応するＳＨ00
modeli、ＳＶ0
modeliのデータベースを作成する。次いで、各モデルの評価関数ＴＭＡＣiを計算する。ここで評価関数ＴＭＡＣiは次式（１）とする。
【0071】
【数1】
【0072】
また、ｍｏｄａｌ ａｓｓｕｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ（ＭＡＣ）は次式（２）で定義される。
【0073】
【数2】
【0074】
ここで、φはモードベクトル、添字Ｔは転置を表す。
【0075】
そして、次式（６）のとおり評価関数ＴＭＡＣiの計算値が大きい（上位の）固有振動モードを１又は複数選出し、この選出した固有振動モードに対応する基盤形状モデルを対象地域の基盤形状と推定する。
【0076】
【数6】
【0077】
なお、必要に応じて、ＴＭＡＣiの値が上位のモデルをいくつかを選出するとともに、探索に用いていない固有振動数やボーリング調査地点の基盤深度情報などを参考にして候補を絞り込むことも可能である。
【0078】
（２）データベースの作成
本例では、現実的で多様な基盤形状を作成するために、次の３つの基盤形状関数ζ（ｘ）を設定した。
本例では、現実的で多様な基盤形状を作成するために、次の３つの基盤形状関数ζ（ｘ）を設定した。
【0079】
【数3】
【0080】
【数4】
【0081】
【数5】
【0082】
ここで、ｈ、ｌはそれぞれ谷の最大深さと谷幅を表し、ａは０＜ｘ＜ｌの範囲のｚ（ｘ）の深さを正規化するための定数である。ｌは対象とする谷によって決定され、ｈ、ｂ、ｃ、ｄはそれぞれ表２に示すように変化させ、式（３）～（５）で表される基盤形状を有する８６４モデルをデータベースとした。
【0083】
【表2】
【0084】
（３）数値計算へのアプリケーション
図１２は中央が深さ１０ｍの三角形基盤を目的として探索した結果である。参考のために探索結果の上位３つを載せている。ＭＡＣの値を見るとＳＨ00とＳＶ0どちらも０．９９以上であるが、ＳＶ0の形状が上から２、３番目のモデルでは少しずれていることが確認できる。右図は目標とした基盤形状（実線）と推定されたモデルの基盤形状（破線）、その差（点線）を表している。ＭＡＣの値が最も大きかった一番上のモデルでは、目標とする基盤形状との差が１ｍ以下に収まっている。
図１２は中央が深さ１０ｍの三角形基盤を目的として探索した結果である。参考のために探索結果の上位３つを載せている。ＭＡＣの値を見るとＳＨ00とＳＶ0どちらも０．９９以上であるが、ＳＶ0の形状が上から２、３番目のモデルでは少しずれていることが確認できる。右図は目標とした基盤形状（実線）と推定されたモデルの基盤形状（破線）、その差（点線）を表している。ＭＡＣの値が最も大きかった一番上のモデルでは、目標とする基盤形状との差が１ｍ以下に収まっている。
【0085】
図１３は左右非対称な台形基盤を目的として探索した結果である。基盤傾斜に関して特に近い形状を探索できていることがわかる。差分モデルのメッシュサイズが０．２ｍであることを考慮に入れる必要があるが、段階的に詳細なモデルを作成していくことで、更に近い形状を絞り込むことも可能だと考えられる。
【0086】
（４）観測記録へのアプリケーション
図１４は観測記録から求めた基本モード形状とモデルのＴＭＡＣの値が大きいものの上位５つである。モデルの基盤形状（破線）を見ると、上から三番目の基盤形状以外は谷の傾斜を非常によくとらえていることがわかる。深さ方向に関しては上から５番目のモデルが特に実際の基盤形状をよく表せており、その差は２．５ｍ以下に収まっている。また、堆積層の最大深さは固有振動数に大きく影響するため、固有振動数を比較することは大いに有効である。ただし、固有振動数は基盤形状の他に堆積層のＳ波速度に大きく影響を受けるため、堆積層の速度構造をうまくモデル化するとより好適である。現実的には、少なくとも１点のボーリング調査をする場合が多いため、その１点を拘束条件とし、さらにその結果から妥当なＳ波速度を設定することができれば、この上位の候補からさらに絞ることも可能だと考えられる。
図１４は観測記録から求めた基本モード形状とモデルのＴＭＡＣの値が大きいものの上位５つである。モデルの基盤形状（破線）を見ると、上から三番目の基盤形状以外は谷の傾斜を非常によくとらえていることがわかる。深さ方向に関しては上から５番目のモデルが特に実際の基盤形状をよく表せており、その差は２．５ｍ以下に収まっている。また、堆積層の最大深さは固有振動数に大きく影響するため、固有振動数を比較することは大いに有効である。ただし、固有振動数は基盤形状の他に堆積層のＳ波速度に大きく影響を受けるため、堆積層の速度構造をうまくモデル化するとより好適である。現実的には、少なくとも１点のボーリング調査をする場合が多いため、その１点を拘束条件とし、さらにその結果から妥当なＳ波速度を設定することができれば、この上位の候補からさらに絞ることも可能だと考えられる。
【0087】
（その他）
以上では、小規模で均質媒質の埋積谷で行われた微動観測記録にＦＤＤ法を適用することでＳＨ00とＳＶ0の基本振動モードを同定した。また、差分モデルを用いて波動伝播計算をし、その地表面の出力波形にＦＤＤ法を適用することで、埋積谷の２次元共振現象を数値解析によって再現した。作成した差分モデルを用いて基盤形状やＳ波速度構造を変えたパラメトリックスタディを行い、以下の三つの定性的な性質を示した。
（１）ＳＨ00とＳＶ0は矩形基盤では差がないのに対し、傾斜基盤ではその感度が異なり、ＳＨ00の方がより影響を受けやすい（鋭い凸形状を示す）。
（２）堆積層が厚いほど（基盤が深いほど）基盤傾斜の影響が弱くなる。
（３）堆積層が均質な谷では堆積層のＳ波速度はモード形状に影響しない。
以上では、小規模で均質媒質の埋積谷で行われた微動観測記録にＦＤＤ法を適用することでＳＨ00とＳＶ0の基本振動モードを同定した。また、差分モデルを用いて波動伝播計算をし、その地表面の出力波形にＦＤＤ法を適用することで、埋積谷の２次元共振現象を数値解析によって再現した。作成した差分モデルを用いて基盤形状やＳ波速度構造を変えたパラメトリックスタディを行い、以下の三つの定性的な性質を示した。
（１）ＳＨ00とＳＶ0は矩形基盤では差がないのに対し、傾斜基盤ではその感度が異なり、ＳＨ00の方がより影響を受けやすい（鋭い凸形状を示す）。
（２）堆積層が厚いほど（基盤が深いほど）基盤傾斜の影響が弱くなる。
（３）堆積層が均質な谷では堆積層のＳ波速度はモード形状に影響しない。
【0088】
これらの性質は埋積谷が均質媒質であれば基本モード形状のみから基盤形状を推定できることを示唆するものであった。この結果を踏まえ、埋積谷のＳＨ00とＳＶ0の２つのモード形状を用いて基盤形状の推定手法を提案した。基盤形状と対応する基本モード形状のデータベースの中から対象地域のモード形状と最も近いモデルをｍｏｄａｌ ａｓｓｕａｒａｎｃｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ（ＭＡＣ）の値を用いて探索した。数値解析と観測記録の結果に対して、提案した手法を適用することでその有効性を確かめた。特に、モード形状は基盤の傾斜角に対して感度があった。最大深さに関しては、上位いくつかの候補から固有振動数やボーリング調査の結果を参考にさらに絞り込むことも可能であると考えられる。
【産業上の利用可能性】
【0089】
本発明は、例えば、地盤改良に先立って実施する支持地盤（基盤）の形状推定方法として利用可能である。
【図1】
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