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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2023156173
(43)【公開日】2023-10-24
(54)【発明の名称】乱数生成装置、乱数生成方法及び乱数生成プログラム
(51)【国際特許分類】
G06F 7/58 20060101AFI20231017BHJP
【ＦＩ】
G06F7/58 620
【審査請求】未請求
【請求項の数】6
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2022065876
(22)【出願日】2022-04-12
(71)【出願人】
【識別番号】000208891
【氏名又は名称】ＫＤＤＩ株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】100106002
【弁理士】
【氏名又は名称】正林 真之
(74)【代理人】
【識別番号】100120891
【弁理士】
【氏名又は名称】林 一好
(72)【発明者】
【氏名】岡田 大樹
(57)【要約】
【課題】近似的に互いに独立な正規分布変数列を容易に生成できる乱数生成装置、乱数生成方法及び乱数生成プログラムを提供すること。
【解決手段】乱数生成装置１０は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力部１１１と、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成部１１２と、行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算部１１３と、演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力部１１４と、を備える。
【選択図】図１
【解決手段】乱数生成装置１０は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力部１１１と、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成部１１２と、行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算部１１３と、演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力部１１４と、を備える。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力部と、
平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成部と、
行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算部と、
前記演算部による演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力部と、を備える乱数生成装置。
平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成部と、
行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算部と、
前記演算部による演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力部と、を備える乱数生成装置。
【請求項2】
前記行列生成部は、χの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とする請求項１に記載の乱数生成装置。
【請求項3】
前記行列生成部は、χを有界な確率分布とし、
ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝ｍγ’と定義された定数γ’、及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部を備え、
前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力する請求項１又は請求項２に記載の乱数生成装置。
ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝ｍγ’と定義された定数γ’、及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部を備え、
前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力する請求項１又は請求項２に記載の乱数生成装置。
【請求項4】
前記行列生成部は、χを有界な確率分布とし、
ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝（１＋ｃ）ｍγ’と定義された正の定数ｃに基づいて、ｌ個の互いに独立で分散がＸのｃ倍で均一な正規乱数ノイズＺをサンプルするノイズ生成部と、
γ’及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部と、を備え、
前記演算部は、Ｘの線形和に前記正規乱数ノイズＺを加算したＲＴＸ＋Ｚを算出し、
前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力する請求項１又は請求項２に記載の乱数生成装置。
ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝（１＋ｃ）ｍγ’と定義された正の定数ｃに基づいて、ｌ個の互いに独立で分散がＸのｃ倍で均一な正規乱数ノイズＺをサンプルするノイズ生成部と、
γ’及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部と、を備え、
前記演算部は、Ｘの線形和に前記正規乱数ノイズＺを加算したＲＴＸ＋Ｚを算出し、
前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力する請求項１又は請求項２に記載の乱数生成装置。
【請求項5】
ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力ステップと、
平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成ステップと、
行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算ステップと、
前記演算ステップにおける演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力ステップと、をコンピュータが実行する乱数生成方法。
平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成ステップと、
行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算ステップと、
前記演算ステップにおける演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力ステップと、をコンピュータが実行する乱数生成方法。
【請求項6】
請求項１に記載の乱数生成装置としてコンピュータを機能させるための乱数生成プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、標本を再利用し互いに独立な正規乱数を生成する乱数生成装置、乱数生成方法及び乱数生成プログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
互いに独立かつ分散が均一なｍ次元多変量正規分布に従う乱数確率変数Ｘの標本を再利用することで、互いに独立な正規乱数を生成したい、という状況を想定する。
【0003】
［多変量正規分布］
ｍ次元の確率変数：
がｍ次元多変量正規分布に従うとき、
と書き、平均μ及び共分散行列Σは、それぞれ、
である。
ｍ次元の確率変数：
【数1】
【数2】
【数3】
【0004】
［統計的独立性］
また、確率変数Ｘ，Ｙが確率密度関数ｆＸＹ（ｘ，ｙ）＝ｆＸ（ｘ）ｆＹ（ｙ）を満たすとき、ＸとＹは互いに独立であるという。
また、確率変数Ｘ，Ｙが確率密度関数ｆＸＹ（ｘ，ｙ）＝ｆＸ（ｘ）ｆＹ（ｙ）を満たすとき、ＸとＹは互いに独立であるという。
【0005】
［無相関な正規分布列］
ここで、
について、Ｘ１，…，Ｘｍが互いに無相関であるとき、共分散行列Σは、
のような対角行列となり、このとき、Ｘ１，…，Ｘｍは互いに独立である（逆は自明）。
ここで、
【数4】
【数5】
【0006】
［（準）直交行列を用いたガウス乱数の再生成法］
多変量正規分布の線形変換は、
であり、特に、互いに独立かつ分散が均一なｍ次元多変量正規分布に従う乱数確率変数：
は、ある（準）直交行列：
の定数倍の行列Ａ＝ｃＭを用いて線形和をとると、Ｙ：＝ＡＴＸの共分散行列は、
と求められるので、
となり、Ｙは互いに独立な正規分布変数列となる。
多変量正規分布の線形変換は、
【数6】
【数7】
【数8】
【数9】
【数10】
【0007】
このように、（準）直交行列Ｍを用いて、互いに独立なｍ次元多変量正規分布に従う乱数確率変数Ｘの線形和をとることで、互いに独立なｌ次元多変量正規分布に従う乱数確率変数が生成できる（例えば、非特許文献１参照）。
【0008】
したがって、図７に示すアルゴリズム１により、互いに独立な正規乱数を生成する乱数生成装置を構成することができる。
アルゴリズム１を実行する乱数生成装置は、ｍ個の互いに独立な正規乱数標本列：
が入力されると、（準）直交行列：
を生成し、
を算出することにより、ｌ個の互いに独立な正規乱数標本列：
を出力する。
アルゴリズム１を実行する乱数生成装置は、ｍ個の互いに独立な正規乱数標本列：
【数11】
【数12】
【数13】
【数14】
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0009】
【非特許文献1】Joan Of Arc，不偏分散が自由度ｎ－１のカイ二乗分布に従うことの証明，２０２０，インターネット（２０２２年１月１０日検索）＜https://note.com/joan_of_arc/n/n64f83b63d540＞
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0010】
しかしながら、従来技術のアルゴリズム１は、（準）直交行列による線形和に限定される。（準）直交行列の生成手段の実装は複雑であり、（準）直交行列の生成自体に、正規乱数のサンプルが必要な場合もあった。
【0011】
本発明は、近似的に互いに独立な正規分布変数列を容易に生成できる乱数生成装置、乱数生成方法及び乱数生成プログラムを提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0012】
本発明に係る乱数生成装置は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力部と、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成部と、行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算部と、前記演算部による演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力部と、を備える。
【0013】
前記行列生成部は、χの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列としてもよい。
【0014】
前記行列生成部は、χを有界な確率分布とし、ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝ｍγ’と定義された定数γ’、及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部を備え、前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力してもよい。
【0015】
前記行列生成部は、χを有界な確率分布とし、ｌｏｇ ２／ｌｏｇ ｍ＜γ’＜γ＜１／２，ｌ＝（１＋ｃ）ｍγ’と定義された正の定数ｃに基づいて、ｌ個の互いに独立で分散がＸのｃ倍で均一な正規乱数ノイズＺをサンプルするノイズ生成部と、γ’及びｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する近似精度算出部と、を備え、前記演算部は、Ｘの線形和に前記正規乱数ノイズＺを加算したＲＴＸ＋Ｚを算出し、前記出力部は、前記ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列と共に、前記近似精度を出力してもよい。
【0016】
本発明に係る乱数生成方法は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける入力ステップと、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する行列生成ステップと、行列Ｒを用いてＸの線形和ＲＴＸを算出する演算ステップと、前記演算ステップにおける演算結果を、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する出力ステップと、をコンピュータが実行する。
【0017】
本発明に係る乱数生成プログラムは、前記乱数生成装置としてコンピュータを機能させるためのものである。
【発明の効果】
【0018】
本発明によれば、近似的に互いに独立な正規分布変数列を容易に生成できる。
【図面の簡単な説明】
【0019】
【図1】第１実施形態における乱数生成装置の機能構成を示す図である。
【図2】第１実施形態における乱数生成方法のアルゴリズムを示す図である。
【図3】第２実施形態における乱数生成装置の機能構成を示す図である。
【図4】第２実施形態における乱数生成方法のアルゴリズムを示す図である。
【図5】第３実施形態における乱数生成装置の機能構成を示す図である。
【図6】第３実施形態における乱数生成方法のアルゴリズムを示す図である。
【図7】従来の乱数生成方法のアルゴリズムを示す図である。
【発明を実施するための形態】
【0020】
以下、本発明の実施形態を例示して説明する。
後述の第１～第３実施形態の乱数生成方法は、（準）直交行列ではない、より広いクラスの生成が容易な行列を用いて線形和をとることにより、互いに漸近的独立な正規分布変数列を生成する手法である。
すなわち、厳密に独立ではないが、漸近的に（近似的に）独立な正規分布変数列とすることで、従来よりも乱数の生成が容易となる。
後述の第１～第３実施形態の乱数生成方法は、（準）直交行列ではない、より広いクラスの生成が容易な行列を用いて線形和をとることにより、互いに漸近的独立な正規分布変数列を生成する手法である。
すなわち、厳密に独立ではないが、漸近的に（近似的に）独立な正規分布変数列とすることで、従来よりも乱数の生成が容易となる。
【0021】
［漸近的統計的独立性］
自然数ｎに依存する確率変数（列）Ｘｎ，Ｙｎの確率密度関数が、
を満たすとき、ＸｎとＹｎは互いに漸近的独立であるという。
自然数ｎに依存する確率変数（列）Ｘｎ，Ｙｎの確率密度関数が、
【数15】
【0022】
［漸近的直交行列］
実数上の確率分布χがＥ［χ］＝０であるとし、標本の分散をＶａｒ［Ｘ］＝Ｅ［Ｘ２］：＝σχ ２とおく。このとき、行列：
は、ｍに関する漸近的直交行列であり、
である。ただし、ｌ＜ｍとする。
実数上の確率分布χがＥ［χ］＝０であるとし、標本の分散をＶａｒ［Ｘ］＝Ｅ［Ｘ２］：＝σχ ２とおく。このとき、行列：
【数16】
【数17】
【0023】
このことは、次のように証明できる。
まず、Ｒ’の各行をｒｉ、Σ’：＝（Ｒ’）ＴＲ’とおく。ｍが十分に大きいとき、中心極限定理により、
・対角成分は、
∵ ｍ個のＸ２の和：
・非対角成分は、
∵ ｍ個のＸＹの和：
まず、Ｒ’の各行をｒｉ、Σ’：＝（Ｒ’）ＴＲ’とおく。ｍが十分に大きいとき、中心極限定理により、
・対角成分は、
【数18】
【数19】
【数20】
【数21】
【0024】
よって、
について、
・対角成分は、
のように、（デルタ関数：確率１でｘ＝１）に分布が収束する。
・非対角成分は、
のように、（デルタ関数：確率１でｘ＝０）に分布が収束する。
すなわち、
となる。
【数22】
・対角成分は、
【数23】
・非対角成分は、
【数24】
すなわち、
【数25】
【0025】
［漸近的独立なサンプル増幅］
前述のように漸近的直交行列：
を定義すると、互いに独立かつ分散が均一なｍ次元多変量正規分布
に対するＲによる線形和
は、ｍが十分に大きいとき、
と近似できる。つまり、Ｙは互いに漸近的独立な正規分布変数列となる。
前述のように漸近的直交行列：
【数26】
【数27】
【数28】
【数29】
【0026】
このことは、次のように証明できる。
すなわち、Ｒが漸近的直交行列であれば、前述のように、ｍが十分に大きいとき、
と近似できる。よって、線形和であるＹの共分散行列は、
と近似できる。したがって、共分散行列が漸近的に対角行列となる（共分散が０に収束する）ため、Ｙの各変数同士は漸近的独立である。
すなわち、Ｒが漸近的直交行列であれば、前述のように、ｍが十分に大きいとき、
【数30】
【数31】
【0027】
［第１実施形態］
第１実施形態の乱数生成装置１０は、平均がゼロ、分散が有限で非ゼロの確率分布からランダムな行列をサンプルし、線形和をとることにより、漸近的独立な正規乱数標本列を出力する。
第１実施形態の乱数生成装置１０は、平均がゼロ、分散が有限で非ゼロの確率分布からランダムな行列をサンプルし、線形和をとることにより、漸近的独立な正規乱数標本列を出力する。
【0028】
図１は、本実施形態における乱数生成装置１０の機能構成を示す図である。
乱数生成装置１０は、制御部１１及び記憶部１２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
乱数生成装置１０は、制御部１１及び記憶部１２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
【0029】
制御部１１は、乱数生成装置１０の全体を制御する部分であり、記憶部１２に記憶された各種プログラムを適宜読み出して実行することにより、本実施形態における各機能を実現する。制御部１１は、ＣＰＵであってよい。
【0030】
記憶部１２は、ハードウェア群を乱数生成装置１０として機能させるための各種プログラム、及び各種データ等の記憶領域であり、ＲＯＭ、ＲＡＭ、フラッシュメモリ又はハードディスクドライブ（ＨＤＤ）等であってよい。
【0031】
制御部１１は、入力部１１１と、行列生成部１１２と、演算部１１３と、出力部１１４とを備える。
入力部１１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。
入力部１１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。
【0032】
行列生成部１１２は、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロの確率分布χからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する。
このとき、行列生成部１１２は、確率分布χの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
このとき、行列生成部１１２は、確率分布χの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
【0033】
演算部１１３は、行列Ｒを用いてＸの線形和Ｙ＝ＲＴＸを算出する。
出力部１１４は、標本列Ｙを、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する。
出力部１１４は、標本列Ｙを、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力する。
【0034】
図２は、本実施形態における乱数生成方法のアルゴリズム２を示す図である。
アルゴリズム２では、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
を入力とし、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列
を出力する。
アルゴリズム２では、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
【数32】
【数33】
【0035】
具体的には、ステップ１において、行列生成部１１２は、まず、Ｅ［χ］＝０を満たす確率分布χを定義し、
を生成する。ここで、χの標本の分散をσχ
２とおく。
【数34】
【0036】
続いて、ステップ２において、行列生成部１１２は、規格化された漸近的直交行列
を生成する。
【数35】
【0037】
ステップ３において、演算部１１３は、Ｘの線形和を、
と算出し、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列を得る。
【数36】
【0038】
なお、行列生成部１１２は、例えば、｛－１，０，１｝上の一様乱数（Ｅ［χ］＝０，Ｅ［χ２］＝２／３）、あるいは、平均０の任意の正規乱数等、Ｅ［χ］＝０を満たす任意の確率分布χから、容易に漸近的直交行列Ｒを生成可能である。
また、ステップ２の規格化は省略可能であるが、この場合、出力される漸近的独立な正規乱数標本列の分散は、ｍσχ ２σ２Ｉとなる。
また、ステップ２の規格化は省略可能であるが、この場合、出力される漸近的独立な正規乱数標本列の分散は、ｍσχ ２σ２Ｉとなる。
【0039】
本実施形態によれば、乱数生成装置１０は、与えられる標本の次元数ｍが十分に大きいとき、平均Ｅ［χ］＝０を満たす任意の確率分布χから得られる漸近的直交行列を用いた線形和により、十分に（近似的に）互いに独立な正規乱数列を再生成することができる。
したがって、従来は、線形和行列は（準）直交行列である必要があり、実装が複雑であったのに対して、乱数生成装置１０は、一様乱数等の任意の確率分布χから、厳密に独立ではないものの、容易に高速に互いに漸近的独立な正規乱数列を生成できる。また、任意の確率分布を用いて、漸近的直交行列として多くのバリエーションを採用でき、線形和の自由度が向上する。
したがって、従来は、線形和行列は（準）直交行列である必要があり、実装が複雑であったのに対して、乱数生成装置１０は、一様乱数等の任意の確率分布χから、厳密に独立ではないものの、容易に高速に互いに漸近的独立な正規乱数列を生成できる。また、任意の確率分布を用いて、漸近的直交行列として多くのバリエーションを採用でき、線形和の自由度が向上する。
【0040】
［第２実施形態］
第１実施形態では、与えられる正規乱数の標本の次元数ｍが無限大となった際の漸近的独立性を用いた。近似的な独立性を確保するために、ｍを十分に大きくするには、入力として、互いに独立な正規乱数標本列を十分に多く用意する必要がある。
しかしながら、ｍをどの程度大きくとったら十分なのかを定量的に評価できないという課題がある。
第１実施形態では、与えられる正規乱数の標本の次元数ｍが無限大となった際の漸近的独立性を用いた。近似的な独立性を確保するために、ｍを十分に大きくするには、入力として、互いに独立な正規乱数標本列を十分に多く用意する必要がある。
しかしながら、ｍをどの程度大きくとったら十分なのかを定量的に評価できないという課題がある。
【0041】
第２実施形態の乱数生成装置２０は、第１実施形態で用いた平均がゼロ、分散が有限で非ゼロの確率分布χを、有界（Ｂｏｕｎｄｅｄ）な分布に制限することにより、互いに独立な正規乱数列との近似精度を定量的に評価する。
【0042】
ここでは、近似精度として、２つの確率変数間で定義される広義の距離関数である、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅ Ｒａを用いる。
確率変数Ｐ，Ｑの確率密度関数をそれぞれｐ（ｘ），ｑ（ｘ）とすると、１≦ａに対して、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅは、次のように定義される。
確率変数Ｐ，Ｑの確率密度関数をそれぞれｐ（ｘ），ｑ（ｘ）とすると、１≦ａに対して、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅは、次のように定義される。
【数37】
【0043】
Ｒａ（Ｐ∥Ｐ）＝１であり、Ｒａ（Ｐ∥Ｑ）が１に近いほど、ＰとＱの分布が類似しているといえる。
【0044】
本実施形態では、漸近的直交行列の要素をサンプリングするための確率分布は、Ｂｏｕｎｄｅｄで、かつ、平均が０の分布を用いる。具体的には、ある実数β＞０に対して、χβを、
を満たす確率分布とする。
【数38】
【0045】
また、自然数ｍをセキュリティパラメータとし、ｍによらない定数γ’，γを、
と定義する。
【数39】
【0046】
このとき、行列：
をサンプルし、ｒａｎｋＲ’＝ｌ（フルランク）であったと仮定する。また、
を定義し、
とすると、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅについて、
が得られる。
【数40】
【数41】
【数42】
【数43】
【0047】
図３は、本実施形態における乱数生成装置２０の機能構成を示す図である。
乱数生成装置２０は、制御部２１及び記憶部２２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
乱数生成装置２０は、制御部２１及び記憶部２２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
【0048】
制御部２１は、乱数生成装置２０の全体を制御する部分であり、記憶部２２に記憶された各種プログラムを適宜読み出して実行することにより、本実施形態における各機能を実現する。制御部２１は、ＣＰＵであってよい。
【0049】
記憶部２２は、ハードウェア群を乱数生成装置２０として機能させるための各種プログラム、及び各種データ等の記憶領域であり、ＲＯＭ、ＲＡＭ、フラッシュメモリ又はハードディスクドライブ（ＨＤＤ）等であってよい。
【0050】
制御部２１は、入力部２１１と、行列生成部２１２と、演算部２１３と、近似精度算出部２１４と、出力部２１５とを備える。
入力部２１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。また、入力部２１１は、前述の定数ａ，γ，γ’を取得する。
入力部２１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。また、入力部２１１は、前述の定数ａ，γ，γ’を取得する。
【0051】
行列生成部２１２は、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロのＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する。
このとき、行列生成部２１２は、確率分布χβの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
演算部２１３は、行列Ｒを用いてＸの線形和Ｙ＝ＲＴＸを算出する。
このとき、行列生成部２１２は、確率分布χβの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
演算部２１３は、行列Ｒを用いてＸの線形和Ｙ＝ＲＴＸを算出する。
【0052】
近似精度算出部２１４は、前述のように定義された定数γ’、及びセキュリティパラメータｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する。
【0053】
出力部２１５は、標本列Ｙを、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力すると共に、算出された近似精度を出力する。
【0054】
図４は、本実施形態における乱数生成方法のアルゴリズム３を示す図である。
アルゴリズム３では、第１実施形態のアルゴリズム２と同様に、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
を入力とし、さらに、定数として、
を定義する。ただし、γは、乱数生成装置２０に予め設定された固定値であってよく、近似精度としてのＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を極力小さく（１に近く）するために、１／２に近い値（例えば、０．４８等）が設定される。
アルゴリズム３では、第１実施形態のアルゴリズム２と同様に、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
【数44】
【数45】
を定義する。ただし、γは、乱数生成装置２０に予め設定された固定値であってよく、近似精度としてのＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を極力小さく（１に近く）するために、１／２に近い値（例えば、０．４８等）が設定される。
【0055】
そして、アルゴリズム３では、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列
と共に、近似精度Ｒａ’が出力される。
【数46】
【0056】
具体的には、ステップ１において、行列生成部２１２は、まず、前述のＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβを定義し、
を生成する。ここで、χβの標本の分散をσχ
２とおく。
【数47】
【0057】
続いて、ステップ２において、行列生成部２１２は、規格化された漸近的直交行列
を生成する。
【数48】
【0058】
ステップ３において、演算部２１３は、Ｘの線形和を、
と算出し、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列を得る。
【数49】
【0059】
ステップ４において、近似精度算出部２１４は、近似精度として、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界である、
を算出する。
【数50】
【0060】
ステップ５において、出力部２１５は、ステップ３で算出されたｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列Ｙと共に、ステップ４で算出された近似精度Ｒａ’を出力する。
【0061】
なお、行列生成部２１２は、例えば、［－β，β］上の一様乱数、あるいは、平均０の任意の正規乱数Ｘ～Ｎ（０，σ２）等、様々なＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβから、容易に漸近的直交行列Ｒを生成可能である。
ここで、正規分布は、定数ｔ＞０に対して、
を満たすため、ｔが十分に大きいとき非常に高い確率（ｏｖｅｒｗｈｅｌｍｉｎｇ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ）で、ｔ・σ－Ｂｏｕｎｄｅｄな分布とみなすことができることが知られている。
ここで、正規分布は、定数ｔ＞０に対して、
【数51】
【0062】
また、ステップ２の規格化は、入出力で分散が同一である必要がなければ、第１実施形態と同様に省略可能である。
【0063】
本実施形態によれば、乱数生成装置２０は、Ｂｏｕｎｄｅｄな確率分布からサンプルした値によりランダム行列Ｒを生成することにより、ｍ個の互いに独立な正規乱数標本Ｘの線形和であるＹ：＝ＲＴＸを、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本として出力する。
このとき、出力であるＹと、互いに独立な正規乱数列との間のａ次のＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を、ｍ，γ’により表現することができる。
このとき、出力であるＹと、互いに独立な正規乱数列との間のａ次のＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を、ｍ，γ’により表現することができる。
【0064】
したがって、乱数生成装置２０は、第１実施形態の効果に加えて、得られた互いに漸近的独立な正規乱数標本と、厳密に互いに独立な正規乱数との近似精度を定量的に評価できる。
なお、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅのパラメータａは、［２，∞）の範囲で任意に選択可能であり、状況に応じてユーザが選択できる。
なお、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅのパラメータａは、［２，∞）の範囲で任意に選択可能であり、状況に応じてユーザが選択できる。
【0065】
［第３実施形態］
第２実施形態では、元のｍ次元標本Ｘに対して、最大でもｌ＜√ｍ次元の漸近的独立な正規乱数標本Ｙしか生成できないという課題がある。
第３実施形態の乱数生成装置３０は、Ｙに互いに独立な多次元正規乱数を加算することで、任意の次元の正規乱数標本を生成する。
第２実施形態では、元のｍ次元標本Ｘに対して、最大でもｌ＜√ｍ次元の漸近的独立な正規乱数標本Ｙしか生成できないという課題がある。
第３実施形態の乱数生成装置３０は、Ｙに互いに独立な多次元正規乱数を加算することで、任意の次元の正規乱数標本を生成する。
【0066】
自然数ｍをセキュリティパラメータとし、ｍによらない定数：
を定義し、任意のｃ＞０に対し、ｌ：＝（１＋ｃ）・ｍγ’とする。
例えば、（１＋ｃ）＝ｍ１－γ’とすれば、ｌ＝ｍとなる。
【数52】
例えば、（１＋ｃ）＝ｍ１－γ’とすれば、ｌ＝ｍとなる。
【0067】
また、Ｂｏｕｎｄｅｄな確率変数χβの分散をＶａｒ［χβ］：＝σχ
２＝Ｏ（１）と定義し、行列：
をサンプルしたとき、第２実施形態に加えて、次のように追加の正規乱数ノイズＺを定義する。
【数53】
【数54】
【0068】
このとき、任意のａ＝Ｏ（１）∈［２，∞）に対して、ｏｖｅｒｗｈｅｌｍｉｎｇな確率で、
が成り立つ。したがって、追加のノイズを付加したＹ＋Ｚと、正規乱数列：
との間のＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅについて、
が得られる。
【数55】
【数56】
【数57】
【0069】
図５は、本実施形態における乱数生成装置３０の機能構成を示す図である。
乱数生成装置３０は、制御部３１及び記憶部３２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
乱数生成装置３０は、制御部３１及び記憶部３２の他、各種の入出力インタフェース等を備えた情報処理装置（コンピュータ）である。
【0070】
制御部３１は、乱数生成装置３０の全体を制御する部分であり、記憶部３２に記憶された各種プログラムを適宜読み出して実行することにより、本実施形態における各機能を実現する。制御部３１は、ＣＰＵであってよい。
【0071】
記憶部３２は、ハードウェア群を乱数生成装置３０として機能させるための各種プログラム、及び各種データ等の記憶領域であり、ＲＯＭ、ＲＡＭ、フラッシュメモリ又はハードディスクドライブ（ＨＤＤ）等であってよい。
【0072】
制御部３１は、入力部３１１と、行列生成部３１２と、ノイズ生成部３１３と、演算部３１４と、近似精度算出部３１５と、出力部３１６とを備える。
入力部３１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。また、入力部３１１は、前述の定数ａ，γ，γ’を取得すると共に、出力の次数ｌに応じた定数ｃを決定する。
入力部３１１は、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列Ｘの入力を受け付ける。また、入力部３１１は、前述の定数ａ，γ，γ’を取得すると共に、出力の次数ｌに応じた定数ｃを決定する。
【0073】
行列生成部３１２は、平均がゼロ、かつ、分散が有限で非ゼロのＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβからサンプルした値からなる、ｍ行ｌ列の行列Ｒを生成する。
このとき、行列生成部３１２は、確率分布χβの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
このとき、行列生成部３１２は、確率分布χβの分散、及びｍに基づいて、Ｒを規格化して漸近的直交行列とし、出力される正規乱数標本列の分散を入力と等しくしてもよい。
【0074】
ノイズ生成部３１３は、前述の定数ｃに基づいて、ｌ個の互いに独立で分散がＸのｃ倍で均一な正規乱数ノイズＺをサンプルする。
【0075】
演算部３１４は、行列Ｒを用いたＸの線形和に正規乱数ノイズＺを加算し、Ｙ＝ＲＴＸ＋Ｚを算出する。
【0076】
近似精度算出部３１５は、前述のように定義された定数γ’、及びセキュリティパラメータｍを用いて表されるＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を近似精度として算出する。
【0077】
出力部３１６は、標本列Ｙを、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列として出力すると共に、算出された近似精度を出力する。
【0078】
図６は、本実施形態における乱数生成方法のアルゴリズム４を示す図である。
アルゴリズム４では、第１実施形態のアルゴリズム２及び第２実施形態のアルゴリズム３と同様に、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
を入力とし、さらに、定数として、
を定義する。ただし、γは、乱数生成装置２０に予め設定された固定値であってよく、近似精度としてのＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を極力小さく（１に近く）するために、１／２に近い値（例えば、０．４８等）が設定される。
アルゴリズム４では、第１実施形態のアルゴリズム２及び第２実施形態のアルゴリズム３と同様に、ｍ個の互いに独立で分散が均一な正規乱数標本列
【数58】
【数59】
【0079】
そして、アルゴリズム４では、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列
と共に、近似精度Ｒａ’が出力される。
【数60】
【0080】
具体的には、ステップ１において、行列生成部３１２は、まず、前述のＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβを定義し、
を生成する。ここで、χβの標本の分散をσχ
２とおく。
【数61】
【0081】
続いて、ステップ２において、行列生成部３１２は、規格化された漸近的直交行列
を生成する。
【数62】
【0082】
ステップ３において、ノイズ生成部３１３は、正規乱数ノイズ:
をサンプルする。なお、入力された標本列Ｘの分散σ２は既知であるものとする。
【数63】
【0083】
ステップ４において、演算部３１４は、Ｘの線形和に正規乱数ノイズＺを加算した、
を算出し、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列を得る。
【数64】
【0084】
ステップ５において、近似精度算出部３１５は、近似精度として、Ｒｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界である、
を算出する。
【数65】
【0085】
ステップ６において、出力部３１６は、ステップ４で算出されたｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本列Ｙと共に、ステップ５で算出された近似精度Ｒａ’を出力する。
【0086】
なお、行列生成部３１２は、第２実施形態と同様に、例えば、［－β，β］上の一様乱数、あるいは、平均０の任意の正規乱数Ｘ～Ｎ（０，σ２）等、様々なＢｏｕｎｄｅｄな確率分布χβから、容易に漸近的直交行列Ｒを生成可能である。
また、ステップ２の規格化は、出力される標本の分散の増大が許容されるならば、第１及び第２実施形態と同様に省略可能である。
また、ステップ２の規格化は、出力される標本の分散の増大が許容されるならば、第１及び第２実施形態と同様に省略可能である。
【0087】
本実施形態によれば、乱数生成装置３０は、Ｂｏｕｎｄｅｄな確率分布からサンプルした値によりランダム行列Ｒを生成し、さらに、出力の次元ｌに応じた正規乱数ノイズを加算することにより、ｌ個の互いに漸近的独立な正規乱数標本を出力する。
このとき、出力であるＹと、互いに独立な正規乱数列との間のａ次のＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を、ｍ，γ’により表現することができる。
このとき、出力であるＹと、互いに独立な正規乱数列との間のａ次のＲｅｎｙｉ ｄｉｖｅｒｇｅｎｃｅの上界を、ｍ，γ’により表現することができる。
【0088】
したがって、乱数生成装置３０は、第２実施形態の効果に加えて、出力される標本の分散が入力に比べて増大する代わりに、任意の次元ｌ＞０の互いに漸近的独立な正規乱数標本を入力標本の線形和に基づいて生成できる。
【0089】
前述の実施形態により、例えば、高速な疑似乱数生成器を生成でき、さらに、格子暗号方式の暗号文の安全性証明等への適用も期待できる。よって、ネットワークの安全性を向上できることから、国連が主導する持続可能な開発目標（ＳＤＧｓ）の目標９「レジリエントなインフラを整備し、持続可能な産業化を推進すると共に、イノベーションの拡大を図る」に貢献することが可能となる。
【0090】
以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明は前述した実施形態に限るものではない。また、前述した実施形態に記載された効果は、本発明から生じる最も好適な効果を列挙したに過ぎず、本発明による効果は、実施形態に記載されたものに限定されるものではない。
【0091】
乱数生成装置（１０、２０、３０）による乱数生成方法は、ソフトウェアにより実現される。ソフトウェアによって実現される場合には、このソフトウェアを構成するプログラムが、情報処理装置（コンピュータ）にインストールされる。また、これらのプログラムは、ＣＤ－ＲＯＭのようなリムーバブルメディアに記録されてユーザに配布されてもよいし、ネットワークを介してユーザのコンピュータにダウンロードされることにより配布されてもよい。さらに、これらのプログラムは、ダウンロードされることなくネットワークを介したＷｅｂサービスとしてユーザのコンピュータに提供されてもよい。
【符号の説明】
【0092】
１０ 乱数生成装置
１１ 制御部
１２ 記憶部
２０ 乱数生成装置
２１ 制御部
２２ 記憶部
３０ 乱数生成装置
３１ 制御部
３２ 記憶部
１１１ 入力部
１１２ 行列生成部
１１３ 演算部
１１４ 出力部
２１１ 入力部
２１２ 行列生成部
２１３ 演算部
２１４ 近似精度算出部
２１５ 出力部
３１１ 入力部
３１２ 行列生成部
３１３ ノイズ生成部
３１４ 演算部
３１５ 近似精度算出部
３１６ 出力部
１１ 制御部
１２ 記憶部
２０ 乱数生成装置
２１ 制御部
２２ 記憶部
３０ 乱数生成装置
３１ 制御部
３２ 記憶部
１１１ 入力部
１１２ 行列生成部
１１３ 演算部
１１４ 出力部
２１１ 入力部
２１２ 行列生成部
２１３ 演算部
２１４ 近似精度算出部
２１５ 出力部
３１１ 入力部
３１２ 行列生成部
３１３ ノイズ生成部
３１４ 演算部
３１５ 近似精度算出部
３１６ 出力部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】