(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2023183257
(43)【公開日】2023-12-27
(54)【発明の名称】形状制御方法
(51)【国際特許分類】
B64G 1/40 20060101AFI20231220BHJP
B64G 1/64 20060101ALI20231220BHJP
【ＦＩ】
B64G1/40 900
B64G1/64 800
B64G1/40 700
【審査請求】未請求
【請求項の数】4
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2022096780
(22)【出願日】2022-06-15
(71)【出願人】
【識別番号】503361400
【氏名又は名称】国立研究開発法人宇宙航空研究開発機構
(74)【代理人】
【識別番号】100141139
【弁理士】
【氏名又は名称】及川 周
(74)【代理人】
【識別番号】100140774
【弁理士】
【氏名又は名称】大浪 一徳
(74)【代理人】
【識別番号】100188592
【弁理士】
【氏名又は名称】山口 洋
(74)【代理人】
【識別番号】100181124
【弁理士】
【氏名又は名称】沖田 壮男
(72)【発明者】
【氏名】高尾 勇輝
(72)【発明者】
【氏名】森 治
(57)【要約】
【課題】線状体を所望の形状に変形させる形状制御方法を提供する。
【解決手段】形状制御方法Ｓ１１は、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程Ｓ１２と、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときに、基準軸に沿う方向において、線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３と、を行う。
【選択図】図２
【解決手段】形状制御方法Ｓ１１は、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程Ｓ１２と、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときに、基準軸に沿う方向において、線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３と、を行う。
【選択図】図２
【特許請求の範囲】
【請求項1】
線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程と、
前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときに、前記基準軸に沿う方向において、前記線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程と、
を行う、形状制御方法。
前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときに、前記基準軸に沿う方向において、前記線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程と、
を行う、形状制御方法。
【請求項2】
前記基本回転・振動工程及び前記所定の向きに対する同一位置工程として、前記線状体の前記基準軸に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（１）式を用いて得られる（２）式を満たすように制御する、請求項１に記載の形状制御方法。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、Ωは前記線状体の前記基準軸回りの回転速度であり、ｍは自然数であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は前記線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は前記線状体のｎ次の固有関数ある。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、Ωは前記線状体の前記基準軸回りの回転速度であり、ｍは自然数であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は前記線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は前記線状体のｎ次の固有関数ある。
【数1】
【請求項3】
前記基本回転・振動工程及び前記所定の向きに対する同一位置工程として、前記基準軸回りに配置された複数の前記線状体の前記基準軸に沿う方向の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（３）式を用いて得られる（４）式を満たすように制御する、請求項１に記載の形状制御方法。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、ｍは自然数であり、θはそれぞれの前記線状体の前記基準軸回りの座標であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）はｎ次の固有関数ある。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、ｍは自然数であり、θはそれぞれの前記線状体の前記基準軸回りの座標であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）はｎ次の固有関数ある。
【数2】
【請求項4】
線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程と、
前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置と、前記線状体がさらに前記基準軸回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御するずれた位置に対する同一位置工程と、
を行う、形状制御方法。
前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置と、前記線状体がさらに前記基準軸回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御するずれた位置に対する同一位置工程と、
を行う、形状制御方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、形状制御方法に関する。
【背景技術】
【0002】
従来、宇宙機から多数の帯電したテザー（ワイヤ。線状体）を伸展させ、太陽風の荷電粒子との反発力を利用する推進方法は、エレクトリックセイルと呼ばれる。これとは別に、複数の宇宙機をテザーで連結した装置は、テザーシステムと呼ばれる（例えば、非特許文献１及び２参照）。
テザーの用途としては、テザーに流した電流と惑星の磁場の相互作用（ローレンツ力）を利用したテザー推進等が存在する。テザーの他の用途としては、高速回転するテザーの先端を切り離して宇宙機を加速させたり、逆に外部から飛来してきた物体をテザーの先端で捉え減速させるロトベータ等が存在する。
テザーの用途としては、テザーに流した電流と惑星の磁場の相互作用（ローレンツ力）を利用したテザー推進等が存在する。テザーの他の用途としては、高速回転するテザーの先端を切り離して宇宙機を加速させたり、逆に外部から飛来してきた物体をテザーの先端で捉え減速させるロトベータ等が存在する。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0003】
【非特許文献1】Marco Bassetto, Lorenzo Niccolai, Alessandro A. Quarta, Giovanni. Mengali, “A comprehensive review of Electric Solar Wind Sail concept and its applications”, Progress in Aerospace Sciences, 128 (2022), p. 1-27, 2022.
【非特許文献2】M. P. Cartmell and D. J. McKenzie, “A review of space tether research”, Progress in Aerospace Sciences, 44 (2008), p. 1-21
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0004】
しかしながら、テザーは柔軟構造物であるため、何らかの形で張力を与え、直線状に展張された状態で使用する必要がある。慣性系において、テザーの形状を曲面状に変えることができれば、その用途はさらに拡大するが、そのような技術は存在しない。
【0005】
本発明は、このような問題点に鑑みてなされたものであって、線状体を所望の形状に変形させる形状制御方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0006】
前記課題を解決するために、この発明は以下の手段を提案している。
（１）本発明の態様１は、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程と、前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときに、前記基準軸に沿う方向において、前記線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程と、を行う、形状制御方法である。
この発明では、基本回転・振動工程を行い、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる。この状態で、所定の向きに対する同一位置工程を行い、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときに、基準軸に沿う方向において、線状体が同じ位置に配置されるように制御する。すると、慣性系において、基準軸回りに回転する線状体が所定の曲面上を移動し、線状体が通過する軌跡が一定の形状になる。従って、線状体を所望の形状に変形させることができる。
（１）本発明の態様１は、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程と、前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときに、前記基準軸に沿う方向において、前記線状体が同じ位置に配置されるように制御する所定の向きに対する同一位置工程と、を行う、形状制御方法である。
この発明では、基本回転・振動工程を行い、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる。この状態で、所定の向きに対する同一位置工程を行い、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときに、基準軸に沿う方向において、線状体が同じ位置に配置されるように制御する。すると、慣性系において、基準軸回りに回転する線状体が所定の曲面上を移動し、線状体が通過する軌跡が一定の形状になる。従って、線状体を所望の形状に変形させることができる。
【0007】
（２）本発明の態様２は、前記基本回転・振動工程及び前記所定の向きに対する同一位置工程として、前記線状体の前記基準軸に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（１）式を用いて得られる（２）式を満たすように制御する、前記（１）に記載の形状制御方法であってもよい。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する動径方向の座標であり、Ωは前記線状体の前記基準軸回りの回転速度であり、ｍは自然数であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は線状体のｎ次の固有関数ある。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する動径方向の座標であり、Ωは前記線状体の前記基準軸回りの回転速度であり、ｍは自然数であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は線状体のｎ次の固有関数ある。
【0008】
【数1】
【0009】
この発明では、発明者等は、線状体における既知の運動方程式及び自由振動の一般解に基づいて、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させたときの線状体の形状の制御方法を鋭意検討した。その結果、基本回転・振動工程及び所定の向きに対する同一位置工程として、変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（１）式を用いて得られる（２）式を満たすように制御することにより、線状体を（２）式を所定の曲面とする一定の形状に変形させることができる。
【0010】
（３）本発明の態様３は、前記基本回転・振動工程及び前記所定の向きに対する同一位置工程として、前記基準軸回りに配置された複数の前記線状体の前記基準軸に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（３）式を用いて得られる（４）式を満たすように制御する、前記（１）に記載の形状制御方法であってもよい。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、ｍは自然数であり、θはそれぞれの前記線状体の前記基準軸回りの座標であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は線状体のｎ次の固有関数ある。
ただし、ω０は前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる角振動数であり、Ａ０，α０は定数であり、ｒ及びｘはそれぞれ前記線状体における前記基準軸に直交する方向の座標であり、ｍは自然数であり、θはそれぞれの前記線状体の前記基準軸回りの座標であり、ｔは時間であり、Ｈｎ（ω０）は線状体の周波数応答関数であり、Φｎ（ｘ）は線状体のｎ次の固有関数ある。
【0011】
【数2】
【0012】
この発明では、発明者等は、線状体における既知の運動方程式及び自由振動の一般解に基づいて、複数の線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、複数の線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させたときの線状体の形状の制御方法を鋭意検討した。その結果、基本回転・振動工程及び所定の向きに対する同一位置工程として、変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（３）式を用いて得られる（４）式を満たすように制御することにより、複数の線状体を（４）式を所定の曲面とする一定の形状に制御することができる。
【0013】
（４）本発明の態様４は、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、前記線状体の前記端部を前記基準軸に沿う方向に振動させる基本回転・振動工程と、前記基準軸回りの所定の向きに前記線状体が配置されたときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置と、前記線状体がさらに前記基準軸回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの前記線状体の前記基準軸に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御するずれた位置に対する同一位置工程と、を行う、形状制御方法である。
この発明では、基本回転・振動工程を行い、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる。この状態で、ずれた位置に対する同一位置工程を行い、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときの線状体の基準軸に沿う方向の位置と、線状体がさらに基準軸回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの線状体の前記基準軸に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御する。すると、慣性系において、基準軸回りに回転する線状体が、基準軸回りに所定の速度で回転する所定の曲面上を移動し、線状体が通過する軌跡が基準軸回りに回転する一定の形状になる。従って、線状体を所望の形状に変形させることができる。
この発明では、基本回転・振動工程を行い、線状体の端部を基準軸回りに回転させつつ、線状体の端部を基準軸に沿う方向に振動させる。この状態で、ずれた位置に対する同一位置工程を行い、基準軸回りの所定の向きに線状体が配置されたときの線状体の基準軸に沿う方向の位置と、線状体がさらに基準軸回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの線状体の前記基準軸に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御する。すると、慣性系において、基準軸回りに回転する線状体が、基準軸回りに所定の速度で回転する所定の曲面上を移動し、線状体が通過する軌跡が基準軸回りに回転する一定の形状になる。従って、線状体を所望の形状に変形させることができる。
【発明の効果】
【0014】
本発明の形状制御方法では、線状体を所望の形状に変形させることができる。
【図面の簡単な説明】
【0015】
【図1】本発明の一実施形態の形状制御方法で形状を制御する複数の線状体を、基準軸回りに回転させたときの斜視図である。
【図2】同形状制御方法を示すフローチャートである。
【図3】複数の線状体を、基準軸回りに回転させつつ基準軸に沿う方向に振動させたときの斜視図である。
【図4】線状体に対して規定されるｘ軸及びｚ軸を説明する図である。
【図5】線状体の微小線要素に作用する力の釣り合い条件を説明する図である。
【発明を実施するための形態】
【0016】
【0017】
〔１．複数の線状体が移動する所定の曲面〕
この形状制御方法では、例えば、図１に示す複数の線状体１００の形状を制御する。図１中には、複数の線状体１００の形状を制御する形状制御装置１の一例を示している。なお、形状制御装置１の構成は、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させたり、基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させたりできれば、限定されない。
この形状制御方法では、例えば、図１に示す複数の線状体１００の形状を制御する。図１中には、複数の線状体１００の形状を制御する形状制御装置１の一例を示している。なお、形状制御装置１の構成は、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させたり、基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させたりできれば、限定されない。
【0018】
ここで、外力が作用しない自然状態での（平坦な形状にした）線状体において、最も長い寸法となる方向を最長方向と言い、最も短い寸法となる方向を最短方向と言う。最長方向及び最短方向にそれぞれ直交する方向を、直交方向と言う。例えば、ここで言う線状体とは、最短方向の長さに対して直交方向の長さが１倍以上１０倍未満であり、直交方向の長さに対して最長方向の長さが２倍以上である形状を意味する。線状体には、いわゆる帯状の物体（帯状体）も含む。
【0019】
例えば、線状体１００は、ポリイミド樹脂で線状に形成されている。例えば、線状体１００は、ロープ（tether：テザー）である。線状体１００には、導電性を有する部材が埋め込まれていることが好ましい。この場合には、形状制御装置を用いた宇宙機を、エレクトリックセイルとして用いることができる。
線状体の幅が比較的広い場合には、線状体の外面に、反射率が比較的高い被膜等が設けられていることが好ましい。この場合には、線状体により太陽光を反射して推進することにより、宇宙機をヘリオジャイロ（宇宙版のヘリコプター）として用いることができる。
線状体の幅が比較的広い場合には、線状体の外面に、反射率が比較的高い被膜等が設けられていることが好ましい。この場合には、線状体により太陽光を反射して推進することにより、宇宙機をヘリオジャイロ（宇宙版のヘリコプター）として用いることができる。
【0020】
形状制御方法では、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させる。複数の線状体１００は、基準軸Ｏ１回りに配置されている。複数の線状体１００は、基準軸Ｏ１回りに等角度ごとに配置されていることが好ましい。以下では、複数の線状体１００を区別して言うときには、基準軸Ｏ１回りに線状体１００Ａ，１００Ｂ，１００Ｃ，‥と言う場合がある。
基準軸Ｏ１に沿う方向から見て、線状体１００Ａに対する線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥の基準軸Ｏ１回りの角度差を、θＢ，θＣ，‥と規定する。
形状制御装置１は、複数の線状体１００の端部を保持する。
図１に示すように、慣性系において、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させると、複数の線状体１００が移動する所定の曲面Ｓ１は、平坦面になる。
以下では、複数の線状体１００を基準軸Ｏ１に沿う方向から見て、基準軸Ｏ１に直交する方向を径方向と言い、基準軸Ｏ１回りに周回する方向を周方向と言う。
基準軸Ｏ１に沿う方向から見て、線状体１００Ａに対する線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥の基準軸Ｏ１回りの角度差を、θＢ，θＣ，‥と規定する。
形状制御装置１は、複数の線状体１００の端部を保持する。
図１に示すように、慣性系において、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させると、複数の線状体１００が移動する所定の曲面Ｓ１は、平坦面になる。
以下では、複数の線状体１００を基準軸Ｏ１に沿う方向から見て、基準軸Ｏ１に直交する方向を径方向と言い、基準軸Ｏ１回りに周回する方向を周方向と言う。
【0021】
図２に示すように、本形状制御方法Ｓ１１では、基本回転・振動工程Ｓ１２で、慣性系において、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りの所定の向きに回転させつつ、線状体１００の端部を基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させる。
本形状制御方法Ｓ１１では、基本回転・振動工程Ｓ１２を行う際に、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３で、慣性系において、基準軸Ｏ１回りの所定の向きに線状体１００Ａが配置されたときに、基準軸Ｏ１回りの線状体１００Ａの回転数によらず、基準軸Ｏ１に沿う方向において、線状体１００Ａが、径方向の位置によらず同じ位置に配置されるように制御する。
すると、図３に示すように、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する線状体１００Ａが所定の曲面Ｓ５上を移動し、線状体１００Ａが通過する軌跡が一定の形状になる。慣性系において、所定の曲面Ｓ５は静止している。
例えば、所定の曲面Ｓ５には、慣性系において、２つの山部Ｓ６と、２つの谷部Ｓ７とが形成される。山部Ｓ６では、所定の曲面Ｓ５が、基準軸Ｏ１に沿う方向の第１側に向かって突出している。谷部Ｓ７では、所定の曲面Ｓ５が、基準軸Ｏ１に沿う方向の第１側とは反対側の第２側に向かって突出している。
本形状制御方法Ｓ１１では、基本回転・振動工程Ｓ１２を行う際に、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３で、慣性系において、基準軸Ｏ１回りの所定の向きに線状体１００Ａが配置されたときに、基準軸Ｏ１回りの線状体１００Ａの回転数によらず、基準軸Ｏ１に沿う方向において、線状体１００Ａが、径方向の位置によらず同じ位置に配置されるように制御する。
すると、図３に示すように、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する線状体１００Ａが所定の曲面Ｓ５上を移動し、線状体１００Ａが通過する軌跡が一定の形状になる。慣性系において、所定の曲面Ｓ５は静止している。
例えば、所定の曲面Ｓ５には、慣性系において、２つの山部Ｓ６と、２つの谷部Ｓ７とが形成される。山部Ｓ６では、所定の曲面Ｓ５が、基準軸Ｏ１に沿う方向の第１側に向かって突出している。谷部Ｓ７では、所定の曲面Ｓ５が、基準軸Ｏ１に沿う方向の第１側とは反対側の第２側に向かって突出している。
【0022】
さらに、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥については、定在波角度差同一位置工程Ｓ１４（図２参照）で、慣性系において、所定の時刻の所定の曲面Ｓ５上の線状体１００Ａの位置に対して、所定の曲面Ｓ５上で基準軸Ｏ１回りの前記所定の向きに角度差θＢ，θＣ，‥回転した位置に、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥がそれぞれ配置されるように制御する。
形状制御方法Ｓ１１において、基本回転・振動工程Ｓ１２、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３、及び定在波角度差同一位置工程Ｓ１４は、同時に行われる。
形状制御方法Ｓ１１において、基本回転・振動工程Ｓ１２、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３、及び定在波角度差同一位置工程Ｓ１４は、同時に行われる。
【0023】
慣性系において静止した所定の曲面Ｓ５上を通る複数の線状体１００の波形を、定在波と言う。
なお、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する複数の線状体１００が、基準軸Ｏ１回りに所定の速度で回転する所定の曲面上を移動する場合がある。慣性系において、線状体１００全体の形状が基準軸Ｏ１回りに回転する所定の曲面上を通る場合の、複数の線状体１００の波形を、準定在波と言う。
以下では、線状体１００の運動方程式を考慮した線状体１００の形状制御方法について説明する。
なお、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する複数の線状体１００が、基準軸Ｏ１回りに所定の速度で回転する所定の曲面上を移動する場合がある。慣性系において、線状体１００全体の形状が基準軸Ｏ１回りに回転する所定の曲面上を通る場合の、複数の線状体１００の波形を、準定在波と言う。
以下では、線状体１００の運動方程式を考慮した線状体１００の形状制御方法について説明する。
【0024】
〔２．線状体の運動方程式を考慮した線状体の形状制御方法〕
〔２．１．線状体の運動方程式〕
なお、以下に説明する長さ等の単位には、長さに対しては「ｍ」といった、ＳＩ単位が好ましく用いられる。
図４に示すように、１本の線状体１００に対して、線状体１００の長手方向にｘ軸を規定する。線状体１００の第１端をｘ軸の原点とし、線状体１００の第１端から第２端に向かう向きを、ｘ軸の正の向きとする。すなわち、ｘは、線状体１００における（設定される）基準軸Ｏ１に直交する方向の座標である。ｘ軸に直交し、基準軸Ｏ１に平行な方向に、ｚ軸を規定する。
線状体１００の長さを、Ｌと規定する。線状体１００のｚ軸（基準軸Ｏ１）回りの回転速度を、Ωと規定する。
線状体１００の線密度を、ρと規定する。位置ｘにおける、線状体１００の張力をＴ（ｘ）と規定し、線状体１００のｚ方向の変位をｗ（ｘ，ｔ）と規定する。ただし、ｔは時間（時刻）である。
まず、線状体１００に変位が無い（ｗ＝０）場合の、線状体１００に作用する張力Ｔ（ｘ）を求める。
〔２．１．線状体の運動方程式〕
なお、以下に説明する長さ等の単位には、長さに対しては「ｍ」といった、ＳＩ単位が好ましく用いられる。
図４に示すように、１本の線状体１００に対して、線状体１００の長手方向にｘ軸を規定する。線状体１００の第１端をｘ軸の原点とし、線状体１００の第１端から第２端に向かう向きを、ｘ軸の正の向きとする。すなわち、ｘは、線状体１００における（設定される）基準軸Ｏ１に直交する方向の座標である。ｘ軸に直交し、基準軸Ｏ１に平行な方向に、ｚ軸を規定する。
線状体１００の長さを、Ｌと規定する。線状体１００のｚ軸（基準軸Ｏ１）回りの回転速度を、Ωと規定する。
線状体１００の線密度を、ρと規定する。位置ｘにおける、線状体１００の張力をＴ（ｘ）と規定し、線状体１００のｚ方向の変位をｗ（ｘ，ｔ）と規定する。ただし、ｔは時間（時刻）である。
まず、線状体１００に変位が無い（ｗ＝０）場合の、線状体１００に作用する張力Ｔ（ｘ）を求める。
【0025】
図５に示すように、ｘ軸方向の長さ△ｘ分の、線状体１００の微小線要素１０１に作用する力の釣り合い条件は、（１１）式のように表される。
【0026】
【数3】
【0027】
（１１）式において△ｘ→０の極限を考えると、（１２）式が得られる。
【0028】
【数4】
【0029】
（１２）式に、線状体１００の第２端（ｘ＝Ｌ）で張力Ｔ（ｘ）＝０となるような境界条件を与えると、（１３）式が得られる。
【0030】
【数5】
【0031】
次に、変位が無いとした線状体１００に対して、変位ｗが微小であるため、張力Ｔ（ｘ）は変わらないと仮定する。このとき、微小線要素１０１に作用するｚ方向の力Ｆｚは、（１４）式により得られる。
【0032】
【数6】
【0033】
よって、微小線要素１０１の運動方程式は、（１５）式、すなわち（１５）式を変形した（１６）式となる。
【0034】
【数7】
【0035】
〔２．２．線状体の自由振動の一般解〕
線状体１００の変位ｗ（ｘ，ｔ）が、位置ｘの関数であるΦ（ｘ）と、時刻ｔの関数であるｑ（ｔ）との積で、ｘとｔとを分離して、ｗ（ｘ，ｔ）＝Φ（ｘ）ｑ（ｔ）のように表されると仮定する。Φ（ｘ）は、固有関数であり、固有振動モード形状を表す関数である。
すると、（１９）式、及び（１９）式を変形した（２０）式が得られる。
線状体１００の変位ｗ（ｘ，ｔ）が、位置ｘの関数であるΦ（ｘ）と、時刻ｔの関数であるｑ（ｔ）との積で、ｘとｔとを分離して、ｗ（ｘ，ｔ）＝Φ（ｘ）ｑ（ｔ）のように表されると仮定する。Φ（ｘ）は、固有関数であり、固有振動モード形状を表す関数である。
すると、（１９）式、及び（１９）式を変形した（２０）式が得られる。
【0036】
【数8】
【0037】
張力Ｔ（ｘ）は、ｘに依存する。このため、（２０）式の左辺は時間ｔのみに依存し、（２０）式の右辺はｘのみに依存する。このため、変数分離法に基づいて、（２０）式の両辺は定数として扱える。この定数を－ω２とすると、（２１）式及び（２２）式が得られる。
【0038】
【数9】
【0039】
ここで、（ｘ／Ｌ）を無次元化した位置ｘ＾（記号「ｘ」の上方に「＾」の記号）と規定し、（ω／Ω）を無次元化した角周波数ω＾と規定する。（２２）式に、（１３）式、位置ｘ＾、及び角周波数ω＾を代入すると、（２３）式及び（２４）式が得られる。
【0040】
【数10】
【0041】
ここで、２（ω＾）２＝ｎ（ｎ＋１）とおくと、（２４）式は、ルジャンドルの微分方程式と一致する。よって、固有関数Φ（ｘ）は、ルジャンドル多項式で書ける。
ルジャンドル多項式は、２（ω＾）２の値によって様々な値を取る。ｘ＾＝１（線状体１００の第２端）でルジャンドル多項式が有限の値となるためには、ｎは０以上の整数でなければならない。
この条件から、固有振動数ω＾ｎが離散的に決まり、ｎ次の固有関数Φｎ（ｘ＾）は（２７）式により得られる。
ルジャンドル多項式は、２（ω＾）２の値によって様々な値を取る。ｘ＾＝１（線状体１００の第２端）でルジャンドル多項式が有限の値となるためには、ｎは０以上の整数でなければならない。
この条件から、固有振動数ω＾ｎが離散的に決まり、ｎ次の固有関数Φｎ（ｘ＾）は（２７）式により得られる。
【0042】
【数11】
【0043】
以上より、ｚ軸回りに回転する線状体１００の変位ｗ（ｘ，ｔ）の一般解は、（２８）式で与えられる。ただし、Ａｎ，Ｂｎは、初期条件から決まる積分定数である。
【0044】
【数12】
【0045】
重要な性質として、固有関数（ルジャンドル多項式）は、（２９）式で表される直交性の性質を持つ。ただし、δｍｎは、クロネッカーのデルタである。
【0046】
【数13】
【0047】
〔２．３．線状体の形状制御：外部入力応答〕
位置ｘ及び時刻ｔにおいて、外力Ｆ（ｘ，ｔ）を線状体１００に与えたとする。外力Ｆ（ｘ，ｔ）は、ｘ軸方向の単位長さ当たりの、ｚ軸方向の外力である。
このとき、線状体１００の運動方程式は、（３２）式で与えられる。
位置ｘ及び時刻ｔにおいて、外力Ｆ（ｘ，ｔ）を線状体１００に与えたとする。外力Ｆ（ｘ，ｔ）は、ｘ軸方向の単位長さ当たりの、ｚ軸方向の外力である。
このとき、線状体１００の運動方程式は、（３２）式で与えられる。
【0048】
【数14】
【0049】
固有関数Φ（ｘ）は、〔２．２〕における線状体１００の自由振動と変わらず、モード座標ｑ（ｔ）が未知数であると仮定する。すると、（３３）式が得られる。（３３）式を（３２）式に代入すると、（３４）式が得られる。
【0050】
【数15】
【0051】
（３４）式の両辺にΦｍ（ｘ＾）をかけ、位置ｘ＾に関する区間［０，１］で積分する。すると、固有関数の直交性から、１つのモードだけが抽出され、（３５）式が得られる。
ただし、Ｍ～ ｎ、Ｆ～ ｎは、それぞれｎ次の一般化質量、一般化力であり、（３６）式、（３７）式で表される。
ただし、Ｍ～ ｎ、Ｆ～ ｎは、それぞれｎ次の一般化質量、一般化力であり、（３６）式、（３７）式で表される。
【0052】
【数16】
【0053】
よって、外力Ｆ（ｘ，ｔ）が与えられた場合、（３５）式をモード座標ｑｎ（ｔ）について解き、固有関数で重ね合わせれば、応答としての線状体１００の変位ｗ（ｘ，ｔ）が求められる。
以下では、その変位ｗ（ｘ，ｔ）について説明する。
以下では、その変位ｗ（ｘ，ｔ）について説明する。
【0054】
〔２．４．線状体の形状制御：制御側〕
ｚ軸回りに回転する線状体１００の第１端（ｘ＝０）において、（４０）式で表される周期入力Ｆ０（ｔ）を与えたと仮定する。
ただし、Ａ０，α０は、定数である。ω０は、線状体１００の端部を基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させる角振動数である。
ｚ軸回りに回転する線状体１００の第１端（ｘ＝０）において、（４０）式で表される周期入力Ｆ０（ｔ）を与えたと仮定する。
ただし、Ａ０，α０は、定数である。ω０は、線状体１００の端部を基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させる角振動数である。
【0055】
【数17】
【0056】
Diracのデルタ関数を用いて、Ｆ（ｘ，ｔ）＝δ（ｘ）Ｆ０（ｔ）と表されると仮定する。このとき、一般化力Ｆ～
ｎは、（４２）式で表される。
【0057】
【数18】
【0058】
ここで、１自由度系の（３５）式の周波数応答関数を、Ｈｎ（ω）と規定する。このとき、モード座標の応答は、（４３）式で表される。
ただし、Ｈｎ（ω０）は、角振動数ω０に対応する周波数応答関数である。
ただし、Ｈｎ（ω０）は、角振動数ω０に対応する周波数応答関数である。
【0059】
【数19】
【0060】
ゆえに、線状体１００の変位ｗ（ｘ，ｔ）は、（４４）式で表される。
【0061】
【数20】
【0062】
ここで、入力に対する増幅率Ｇω０（ｘ）が、（４５）式で表されると規定する。このとき、変位ｗ（ｘ，ｔ）は、（４６）式で表される。
【0063】
【数21】
【0064】
ここで、慣性空間における円筒座標系ｒ－θ－ｚを規定する。ｒは、ｚ軸を原点とする、線状体１００における（設定される）基準軸Ｏ１に直交する方向の座標である。θは、それぞれの線状体１００の基準軸Ｏ１回りの座標である。
線状体１００は、ｚ軸回りに回転速度Ωで回転している。線状体１００が、時刻ｔ＝０で位置θ＝０を通過すると仮定する。
ある角回転数ω０＝ｍΩで、線状体１００の第１端（根本）を加振する。この加振、及びｚ軸方向のＦ（ｘ，ｔ）は、基本回転・振動工程Ｓ１２に相当する。
線状体１００の変形応答は、（４９）式で表される。
線状体１００は、ｚ軸回りに回転速度Ωで回転している。線状体１００が、時刻ｔ＝０で位置θ＝０を通過すると仮定する。
ある角回転数ω０＝ｍΩで、線状体１００の第１端（根本）を加振する。この加振、及びｚ軸方向のＦ（ｘ，ｔ）は、基本回転・振動工程Ｓ１２に相当する。
線状体１００の変形応答は、（４９）式で表される。
【0065】
【数22】
【0066】
ここで、θ＝Ωｔなので、位置θを通過するときの線状体１００の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）は、（５０）式で表される。
【0067】
【数23】
【0068】
よって、ｍが自然数であれば、（５０）式の右辺におけるｓｉｎ（ｍθ＋α０）の項は、位置θに対してｚ軸回りの一周で閉じる波形（定在波）となる。ｍが自然数である（５０）式は、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３に相当する。
すなわち、慣性空間（慣性系）における線状体１００の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）は、時間ｔによらず一定となる。言い換えると、線状体１００は、Ｇω０（ｒ）Ａ０ｓｉｎ（ｍθ＋α０）で表される、慣性空間において静止した波面上をたどりながら振動変形する。
すなわち、慣性空間（慣性系）における線状体１００の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）は、時間ｔによらず一定となる。言い換えると、線状体１００は、Ｇω０（ｒ）Ａ０ｓｉｎ（ｍθ＋α０）で表される、慣性空間において静止した波面上をたどりながら振動変形する。
【0069】
〔３．形状制御方法のまとめ〕
〔３．１．定在波の場合〕
複数の線状体１００の形状を制御する形状制御方法Ｓ１１では、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、複数の線状体１００の基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（５０）式を満たすように制御する。
なお、１本の線状体１００Ａの形状を制御する形状制御方法では、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（４９）式を満たすように制御する。
〔３．１．定在波の場合〕
複数の線状体１００の形状を制御する形状制御方法Ｓ１１では、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、複数の線状体１００の基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（５０）式を満たすように制御する。
なお、１本の線状体１００Ａの形状を制御する形状制御方法では、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（４９）式を満たすように制御する。
【0070】
〔３．２．準定在波の場合〕
この場合、形状制御方法では、基本回転・振動工程Ｓ１２を行いながら、ずれた位置に対する同一位置工程で、慣性系において、各線状体１００に対して、基準軸Ｏ１回りの所定の向きに線状体１００Ａが配置されたときの線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の位置と、線状体１００Ａがさらに基準軸Ｏ１回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御する。ここで、変位角度は、例えば、予め定められる－１８０°以上１８０°未満の角度である。
このように制御することにより、線状体１００Ａが、基準軸Ｏ１回りに所定の速度で回転する所定の曲面（以下では、この所定の曲面を、回転曲面と言う）上を移動する。
さらに、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥については、準定在波角度差同一位置工程で、慣性系において、所定の時刻の回転曲面上の線状体１００Ａの位置に対して、回転曲面上で基準軸Ｏ１回りの前記所定の向きに角度差を、（θＢ＋変位角度），（θＣ＋変位角度），‥回転した位置に、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥がそれぞれ配置されるように制御する。
この場合、形状制御方法では、基本回転・振動工程Ｓ１２を行いながら、ずれた位置に対する同一位置工程で、慣性系において、各線状体１００に対して、基準軸Ｏ１回りの所定の向きに線状体１００Ａが配置されたときの線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の位置と、線状体１００Ａがさらに基準軸Ｏ１回りに、１回転に加えて変位角度ずれた位置まで回転したときの線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の位置とが、互いに等しくなるように制御する。ここで、変位角度は、例えば、予め定められる－１８０°以上１８０°未満の角度である。
このように制御することにより、線状体１００Ａが、基準軸Ｏ１回りに所定の速度で回転する所定の曲面（以下では、この所定の曲面を、回転曲面と言う）上を移動する。
さらに、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥については、準定在波角度差同一位置工程で、慣性系において、所定の時刻の回転曲面上の線状体１００Ａの位置に対して、回転曲面上で基準軸Ｏ１回りの前記所定の向きに角度差を、（θＢ＋変位角度），（θＣ＋変位角度），‥回転した位置に、線状体１００Ｂ，１００Ｃ，‥がそれぞれ配置されるように制御する。
【0071】
準定在波の場合には、（４９）式及び（５０）式において、ｍを非整数の値（実数）とする。
【0072】
〔４．形状制御装置を用いた宇宙機の動作〕
本実施形態の形状制御方法を行うことができる形状制御装置１を用いて、宇宙機を構成することができる。
宇宙機では、複数の線状体１００に埋め込まれた導電性を有する部材に電流を流しながら形状制御方法を行い、複数の線状体１００を所望の形状に変形させる。そして、宇宙機が太陽等の磁場の影響を受ける際に、複数の線状体１００がローレンツ力を受けることにより、宇宙機を移動させる向きを変えることができる。
そして、例えば、宇宙機は、宇宙デブリ（debris：ゴミ）の捕獲や、小天体のサンプルを採取することができる。
本実施形態の形状制御方法を行うことができる形状制御装置１を用いて、宇宙機を構成することができる。
宇宙機では、複数の線状体１００に埋め込まれた導電性を有する部材に電流を流しながら形状制御方法を行い、複数の線状体１００を所望の形状に変形させる。そして、宇宙機が太陽等の磁場の影響を受ける際に、複数の線状体１００がローレンツ力を受けることにより、宇宙機を移動させる向きを変えることができる。
そして、例えば、宇宙機は、宇宙デブリ（debris：ゴミ）の捕獲や、小天体のサンプルを採取することができる。
【0073】
〔５．本実施形態の効果〕
以上説明したように、本実施形態の形状制御方法Ｓ１１では、線状体１００Ａに対して、基本回転・振動工程Ｓ１２を行っている状態で、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３を行う。すると、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する線状体１００Ａが所定の曲面上を移動し、線状体１００Ａが通過する軌跡が一定の形状になる。従って、線状体１００Ａを所望の形状に変形させることができる。
以上説明したように、本実施形態の形状制御方法Ｓ１１では、線状体１００Ａに対して、基本回転・振動工程Ｓ１２を行っている状態で、所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３を行う。すると、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する線状体１００Ａが所定の曲面上を移動し、線状体１００Ａが通過する軌跡が一定の形状になる。従って、線状体１００Ａを所望の形状に変形させることができる。
【0074】
線状体１００Ａに対して、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、線状体１００Ａの基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（４９）式を満たすように制御する。発明者等は、線状体１００における既知の運動方程式及び自由振動の一般解に基づいて、線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させつつ、線状体１００の端部を基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させたときの線状体１００の形状の制御方法を鋭意検討した。その結果、変位ｗ（ｒ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（４９）式を満たすように制御することにより、線状体１００を（４９）式を所定の曲面とする一定の形状に変形させることができる。
【0075】
複数の線状体１００に対して、基本回転・振動工程Ｓ１２及び所定の向きに対する同一位置工程Ｓ１３として、複数の線状体１００の基準軸Ｏ１に沿う方向の変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（５０）式を満たすように制御する。発明者等は、線状体１００における既知の運動方程式及び自由振動の一般解に基づいて、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１回りに回転させつつ、複数の線状体１００の端部を基準軸Ｏ１に沿う方向に振動させたときの線状体１００の形状の制御方法を鋭意検討した。その結果、変位ｗ（ｒ，θ，ｔ）を、（４５）式を用いて得られる（５０）式を満たすように制御することにより、複数の線状体１００を（５０）式を所定の曲面とする一定の形状に制御することができる。
【0076】
準定在波の形状制御方法では、基本回転・振動工程Ｓ１２を行いながらずれた位置に対する同一位置工程を行う。すると、慣性系において、基準軸Ｏ１回りに回転する複数の線状体１００が、基準軸Ｏ１回りに所定の速度で回転する所定の曲面上を移動し、複数の線状体１００が通過する軌跡が基準軸Ｏ１回りに回転する一定の形状になる。従って、複数の線状体１００を所望の形状に変形させることができる。
【0077】
以上、本発明の一実施形態について図面を参照して詳述したが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、本発明の要旨を逸脱しない範囲の構成の変更、組み合わせ、削除等も含まれる。
例えば、前記実施形態では、形状制御方法を行う際に、（４９）式及び（５０）式を用いなくてもよい。
形状制御方法は、１本の線状体１００に対して行ってもよい。この場合、形状制御方法において、定在波角度差同一位置工程Ｓ１４及び準定在波角度差同一位置工程は、行われない。
例えば、前記実施形態では、形状制御方法を行う際に、（４９）式及び（５０）式を用いなくてもよい。
形状制御方法は、１本の線状体１００に対して行ってもよい。この場合、形状制御方法において、定在波角度差同一位置工程Ｓ１４及び準定在波角度差同一位置工程は、行われない。
【0078】
ＬＥＤ（Light Emitting Diode）等の発光素子を取付けた線状体を変形させてもよい。そして、線状体を変形させると共に、発光素子の色や輝度、すなわち絵柄を変え、線状体を立体モニターとして使用してもよい。あるいは、所望の形状に変形させた線状体に対して、外部の光源を利用した立体プロジェクションマッピングを行ってもよい。
複数の線状体により、風力発電を行ってもよい。そして、形状制御装置を用いたＵＡＶ（Unmanned Aerial Vehicle：無人航空機）の飛行経路をより立体化してもよいし、ＵＡＶの制御における発電効率を、向上させてもよい。
複数の線状体により、風力発電を行ってもよい。そして、形状制御装置を用いたＵＡＶ（Unmanned Aerial Vehicle：無人航空機）の飛行経路をより立体化してもよいし、ＵＡＶの制御における発電効率を、向上させてもよい。
【符号の説明】
【0079】
１００ 線状体
Ｏ１ 基準軸
Ｓ１１ 形状制御方法
Ｓ１２ 基本回転・振動工程
Ｓ１３ 所定の向きに対する同一位置工程
Ｏ１ 基準軸
Ｓ１１ 形状制御方法
Ｓ１２ 基本回転・振動工程
Ｓ１３ 所定の向きに対する同一位置工程
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】