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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2023008720
(43)【公開日】2023-01-19
(54)【発明の名称】空間格子への乗算合同法独立乱数の一様無相関配置方法
(51)【国際特許分類】
G06F 7/58 20060101AFI20230112BHJP
G09C 1/00 20060101ALI20230112BHJP
【ＦＩ】
G06F7/58 660
G09C1/00 650B
【審査請求】未請求
【請求項の数】2
【出願形態】書面
(21)【出願番号】P 2021131813
(22)【出願日】2021-07-01
(71)【出願人】
【識別番号】508260898
【氏名又は名称】中澤 直也
(72)【発明者】
【氏名】中澤 直也
(72)【発明者】
【氏名】中澤 宏
(57)【要約】 （修正有）
【課題】優れた乱数生成を行う。
【解決手段】正の整数ｄを法、ｄとは素な整数ｚを乗数、ｄとは素な任意の整数ｎの種ｓｅｅｄ、の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）が作る乗算合同（ＭＵＬＴＩＰＬＩＣＡＴＩＶＥ ＣＯＮＧＲＵＥＮＴＩＡＬ、ＭＣ）法乱数生成機構が与える乱数列が相続く６個までの独立性の外観を保障されていると前提し、シミュレーションを行う２以上の次元ｓの空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）に６以内の個数ｒの独立ＭＣ乱数を配置して、Ｇ（ｊ）の任意の格子点ｊに置かれたｒ個のＭＣ乱数達とｊの最隣接格子点に置かれたｒ個のＭＣ乱数達のすべての対が無相関と看做せる配置を実現する。
【選択図】図１
【解決手段】正の整数ｄを法、ｄとは素な整数ｚを乗数、ｄとは素な任意の整数ｎの種ｓｅｅｄ、の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）が作る乗算合同（ＭＵＬＴＩＰＬＩＣＡＴＩＶＥ ＣＯＮＧＲＵＥＮＴＩＡＬ、ＭＣ）法乱数生成機構が与える乱数列が相続く６個までの独立性の外観を保障されていると前提し、シミュレーションを行う２以上の次元ｓの空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）に６以内の個数ｒの独立ＭＣ乱数を配置して、Ｇ（ｊ）の任意の格子点ｊに置かれたｒ個のＭＣ乱数達とｊの最隣接格子点に置かれたｒ個のＭＣ乱数達のすべての対が無相関と看做せる配置を実現する。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
請求する発明は、正の整数ｄを法、ｄとは素な整数ｚを乗数、ｄとは素な任意の整数ｎの種ｓｅｅｄ、の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）が作る乗算合同（ＭＵＬＴＩＰＬＩＣＡＴＩＶＥ ＣＯＮＧＲＵＥＮＴＩＡＬ、ＭＣ）法乱数生成機構が与える乱数列が相続く６個までの独立性の外観を保障されていると前提し、シミュレーションを行う２以上の次元ｓの空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）に６以内の個数ｒの独立ＭＣ乱数を配置して、Ｇ（ｊ）の任意の格子点ｊに置かれたｒ個のＭＣ乱数達とｊの最隣接格子点に置かれたｒ個のＭＣ乱数達のすべての対が無相関と看做せる配置を実現する方法で、ｒ以上のずらしの整数Ｊ０と格子のサイズのそれぞれ２以上の整数Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓとが定める２ｒ－１組のＭＣ生成機構のｓ組、（Ｉ１）、（Ｉ２）、…、（Ｉｓ）、即ち
（Ｉ１）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｉ２）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｉ３）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
………………………………………………………………
（Ｉｓ）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
の（一般化）２次スペクトル検定を順次行い、評価値が１．２５以上の不合格がある場合Ｊ０はｒ以上の範囲で増大させ或いは大きい値から減少させＪ０’とし、整数Ｊ１，Ｊ２、…、Ｊｓは出発の設計値から増大させながらＪ１’、Ｊ２’、…、Ｊｓ’に変えて調整を続け、すべてが合格値１．２５未満となるＪ０’と新しい格子
Ｇ’（ｊ）＝Ｊ１’×Ｊ２’×…×Ｊｓ’
と発見して、その上のＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）、即ちで格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）で
ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０’Ｊ１’＋ｊ３Ｊ０’Ｊ１’Ｊ２’＋…
＋ｊｓＪ０’Ｊ１’…Ｊｓ－１’）
と合同になるもの、を特定し、ｒ成分のベクトル（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）と法ｄで合同なｖ（ｒ）を各格子点ｊで根関数ｇ‘（ｊ）に掛けてＭＣベクトル関数、即ち
ｍｏｄ（ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ），ｄ）
と定めて、そのｒ個の成分をＧ’（ｊ）の格子点ｊに与えられた独立なｒ個のＭＣ乱数とし、最隣接格子点に与えられるｒ成分どうしは無相関と見る事ができる格子Ｇ’（ｊ）上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓなＭＣ乱数配置とする方法であって、シミュレーションで望まれるならＧ’（ｊ）の部分格子である初期設計のＧ（ｊ）の上でシミュレーションを行う、或はＧ’（ｊ）に欠損を導入した格子上でシミュレーションを行う、そのために空間格子上で一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで各格子点には６以下のｒ個置かれ、最隣接格子点間では無相関と看做せるＭＣ乱数の配置方法。
（Ｉ１）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｉ２）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｉ３）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
………………………………………………………………
（Ｉｓ）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
の（一般化）２次スペクトル検定を順次行い、評価値が１．２５以上の不合格がある場合Ｊ０はｒ以上の範囲で増大させ或いは大きい値から減少させＪ０’とし、整数Ｊ１，Ｊ２、…、Ｊｓは出発の設計値から増大させながらＪ１’、Ｊ２’、…、Ｊｓ’に変えて調整を続け、すべてが合格値１．２５未満となるＪ０’と新しい格子
Ｇ’（ｊ）＝Ｊ１’×Ｊ２’×…×Ｊｓ’
と発見して、その上のＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）、即ちで格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）で
ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０’Ｊ１’＋ｊ３Ｊ０’Ｊ１’Ｊ２’＋…
＋ｊｓＪ０’Ｊ１’…Ｊｓ－１’）
と合同になるもの、を特定し、ｒ成分のベクトル（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）と法ｄで合同なｖ（ｒ）を各格子点ｊで根関数ｇ‘（ｊ）に掛けてＭＣベクトル関数、即ち
ｍｏｄ（ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ），ｄ）
と定めて、そのｒ個の成分をＧ’（ｊ）の格子点ｊに与えられた独立なｒ個のＭＣ乱数とし、最隣接格子点に与えられるｒ成分どうしは無相関と見る事ができる格子Ｇ’（ｊ）上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓなＭＣ乱数配置とする方法であって、シミュレーションで望まれるならＧ’（ｊ）の部分格子である初期設計のＧ（ｊ）の上でシミュレーションを行う、或はＧ’（ｊ）に欠損を導入した格子上でシミュレーションを行う、そのために空間格子上で一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで各格子点には６以下のｒ個置かれ、最隣接格子点間では無相関と看做せるＭＣ乱数の配置方法。
【請求項2】
正の整数ｄを法、ｄとは素な整数ｚを乗数、ｄとは素な任意の整数ｎの種ｓｅｅｄ、の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）が作る乗算合同（ＭＵＬＴＩＰＬＩＣＡＴＩＶＥ ＣＯＮＧＲＵＥＮＴＩＡＬ、ＭＣ）法乱数生成機構が与える乱数列は相続く６個までの独立性の外観を保障されていると前提し、シミュレーションを行う２以上の次元ｓのトーラス空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）に６以下のｒ個の独立ＭＣ乱数を配置して、Ｇ（ｊ）の任意格子点とその最隣接格子点に置かれたｒ個のＭＣ乱数とはすべての対が無相関と看做せる配置を、ｒ以上のずらしの整数Ｊ０と格子のサイズの各２以上の整数Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓとから定まる次の２ｒ－１組のＭＣ生成機構の２ｓ組（Ｉ１）、（Ｂ１）、（Ｉ２）、（Ｂ２）、…、（Ｉｓ）（Ｂｓ）、即ち
（Ｉ１）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｂ１）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｉ２）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｂ２）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、
ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｉ３）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
（Ｂ３）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
………………………………………………………
（Ｉｓ）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
（Ｂｓ）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝））…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
の（一般化）２次スペクトル検定を繰り返して、評価値が１．２５以上の不合格がある場合Ｊ０はｒ以上の範囲で増大させ或いは大きい値から減少させＪ０ ＊とし、格子サイズの整数は出発の設計値Ｊ１，Ｊ２、…、Ｊｓから増大させながらＪ１ ＊、Ｊ２ ＊、…、Ｊｓ ＊に変えて、すべて合格値１．２５未満となるＪ０ ＊と新しい格子
Ｇ＊（ｊ）＝Ｊ１ ＊×Ｊ２ ＊×…×Ｊｓ ＊
と発見して、その上のＭＣランダム根関数ｇ＊（ｊ）、即ちで格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）で
ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０ ＊＋ｊ２Ｊ０ ＊Ｊ１ ＊＋ｊ３Ｊ０ ＊Ｊ１ ＊Ｊ２ ＊＋…
＋ｊｓＪ０ ＊Ｊ１ ＊…Ｊｓ－１ ＊）
と合同になるもの、を特定し、ｒ成分のベクトル（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）
と法ｄで合同なｖ（ｒ）を各格子点ｊで根関数ｇ＊（ｊ）に掛けてＭＣベクトル関数を
ｍｏｄ（ｇ＊（ｊ）ｖ（ｒ），ｄ）
と定めて、そのｒ個の成分をＧ＊（ｊ）の格子点ｊに与えられた独立なｒ個のＭＣ乱数とし、最隣接格子点に与えられるｒ成分どうしは無相関と見る事ができる格子Ｇ＊（ｊ）上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓなＭＣ乱数配置とする方法であって、シミュレーションで望まれるなら格子の周期性は放棄して例えばＧ＊（ｊ）の部分格子である初期設計のＧ（ｊ）の上でシミュレーションを行う、或はＧ＊（ｊ）に欠損を導入した格子上でシミュレーションを行う、そのために空間格子上で一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで各格子点には６以下のｒ個置かれ、最隣接格子点間では無相関と看做せるＭＣ乱数の配置方法。
（Ｉ１）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｂ１）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ１－１）Ｊ０±（ｒ－１）｝）
（Ｉ２）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｂ２）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±２｝）、…、
ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１±（ｒ－１）｝）
（Ｉ３）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
（Ｂ３）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ３－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊ２－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２±（ｒ－１）｝）
………………………………………………………
（Ｉｓ）：（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
（Ｂｓ）：（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±２｝））…、
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｓ－１）Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
の（一般化）２次スペクトル検定を繰り返して、評価値が１．２５以上の不合格がある場合Ｊ０はｒ以上の範囲で増大させ或いは大きい値から減少させＪ０ ＊とし、格子サイズの整数は出発の設計値Ｊ１，Ｊ２、…、Ｊｓから増大させながらＪ１ ＊、Ｊ２ ＊、…、Ｊｓ ＊に変えて、すべて合格値１．２５未満となるＪ０ ＊と新しい格子
Ｇ＊（ｊ）＝Ｊ１ ＊×Ｊ２ ＊×…×Ｊｓ ＊
と発見して、その上のＭＣランダム根関数ｇ＊（ｊ）、即ちで格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）で
ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０ ＊＋ｊ２Ｊ０ ＊Ｊ１ ＊＋ｊ３Ｊ０ ＊Ｊ１ ＊Ｊ２ ＊＋…
＋ｊｓＪ０ ＊Ｊ１ ＊…Ｊｓ－１ ＊）
と合同になるもの、を特定し、ｒ成分のベクトル（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）
と法ｄで合同なｖ（ｒ）を各格子点ｊで根関数ｇ＊（ｊ）に掛けてＭＣベクトル関数を
ｍｏｄ（ｇ＊（ｊ）ｖ（ｒ），ｄ）
と定めて、そのｒ個の成分をＧ＊（ｊ）の格子点ｊに与えられた独立なｒ個のＭＣ乱数とし、最隣接格子点に与えられるｒ成分どうしは無相関と見る事ができる格子Ｇ＊（ｊ）上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓなＭＣ乱数配置とする方法であって、シミュレーションで望まれるなら格子の周期性は放棄して例えばＧ＊（ｊ）の部分格子である初期設計のＧ（ｊ）の上でシミュレーションを行う、或はＧ＊（ｊ）に欠損を導入した格子上でシミュレーションを行う、そのために空間格子上で一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで各格子点には６以下のｒ個置かれ、最隣接格子点間では無相関と看做せるＭＣ乱数の配置方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
整数の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）、ｄ＞０、ｄとは素で乗数と呼ばれるｚ＞０、ｄとは素で初期値あるいは種ｓｅｅｄと呼ばれるｎ、が与えるｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ（ＭＣ）法、即ち乗算合同法乱数生成機構は、ｄを法とする再帰的合同関係で開区間（０、ｄ）の整数の列｛ｚ０，ｚ１，ｚ２， …｝を
ｚ０＝ｍｏｄ（ｎ，ｄ）， ｚｋ＋１＝ｍｏｄ（ｚｚｋ，ｄ）
ｋ＝１，２， …
まとめてｚｋ＝ｍｏｄ（ｎｚｋ，ｄ）、ｋ＝０、１、２、…と生成し、開区間（０、１）に一様に分布した有理数列
｛ｘｋ：＝ｚｋ／ｄ｜ ｋ＝０，１，２， …｝
が一様独立乱数の見本列に見える様にｄ、ｚを様々に検定し選んで（文献Ａ）用いる。この最も古い乱数生成方法は、しかし最も広範強力な生成機構であり、コンピュータ上の有限長さの任意一様乱数列を１／ｚの精度で近似する。（文献Ａ）２０世紀からＭＣ法については生成された乱数の相続くｋ連がｋ次元の格子を作る事が知られていた。その性質は６以下のｋ個の相続く連が独立な統計を持つ列の見本である条件、６次までのスペクトル検定としても利用された。
（文献Ａ）中澤 宏／中澤 直也：“コンピュータ上の優れた乱数とは何か”、東京図書、２０２１年９月出版予定。
ｚ０＝ｍｏｄ（ｎ，ｄ）， ｚｋ＋１＝ｍｏｄ（ｚｚｋ，ｄ）
ｋ＝１，２， …
まとめてｚｋ＝ｍｏｄ（ｎｚｋ，ｄ）、ｋ＝０、１、２、…と生成し、開区間（０、１）に一様に分布した有理数列
｛ｘｋ：＝ｚｋ／ｄ｜ ｋ＝０，１，２， …｝
が一様独立乱数の見本列に見える様にｄ、ｚを様々に検定し選んで（文献Ａ）用いる。この最も古い乱数生成方法は、しかし最も広範強力な生成機構であり、コンピュータ上の有限長さの任意一様乱数列を１／ｚの精度で近似する。（文献Ａ）２０世紀からＭＣ法については生成された乱数の相続くｋ連がｋ次元の格子を作る事が知られていた。その性質は６以下のｋ個の相続く連が独立な統計を持つ列の見本である条件、６次までのスペクトル検定としても利用された。
（文献Ａ）中澤 宏／中澤 直也：“コンピュータ上の優れた乱数とは何か”、東京図書、２０２１年９月出版予定。
【0002】
２０１２年までのスペクトル検定理論は、遺憾ながら、乱数の相次ぐ３連から６連までに関する検定基準に認識の過誤があった。これは（文献Ａ）が指摘し、正しいものとして、ＭＣ乱数の３以上のｋを個数とする相続く連の作るｋ次元格子が、正格子の場合の最大格子間隔に基づくスペクトル検定と、より精密に格子ベクトルそのものが正単体を最小単位細胞とする正格子からの変化に基づく最大最小稜検定とで構成しなければならない事が結論された。これら新しい検定の合格者は大変少なく、発見は膨大な検定時間を要する。それでも何年にも亙る困難な検定計算を越えて、２０１８年以降素数の法と原始根乗数の生成機構の１組＃Ｍ００１と、２つの奇素数の積を法とする２組の生成機構＃００１と＃００３、が発見された。後２者は２５２－２５１程度の大きな周期、倍精度実数に十分な桁数の一様乱数出力、そして検定の結果で保証される優れた独立性、統計精度を持ち、倍精度計算を要する現代の大規模シミュレーションに相応しいものである。２つの奇素数の積を法とする構造は、孫子（中国春秋戦国時代４００－５００ＡＤ）の定理から倍精度整数計算での生成技法を可能として実際的にも（文献Ａ）きわめて優れている。この、３年以上に亙る検定時間経緯でも漸く３個という状況からも明らかな様に、すべての検定に合格するＭＣ乱数生成法は真に希少であるが、素数の法と原始根乗数の生成機構は孫子の定理が適用できないため４倍精度整数計算か、あるいは何等かの多倍長整数計算の工夫が必要となるにも関わらず、得られる周期は２３０を少し越える程度で、パソコン上でもごく短い時間で周期を使い切られ、乱数出力は実数単精度にとどまり、現在のシミュレーション研究に不適である事は全般状況として認識されなければならない。
【0003】
これら理解された構造や以下述べる発明では、“法の整数ｄに関する整数達の合同関係”が重要な構成要素、推論要素である。それは２つの整数ｘとｙの差ｘ－ｙがｄの倍数、ｄの整数倍であるとき“ｘとｙは法ｄで合同”と定義し、“法ｄで同じものだ”とする考え方である。一見煩わしいが、これは極めて有利な考え方である。詳細は添付の文献Ａに詳しいので参照して頂きたい。残念ながら特許文書では“合同記号”さえも許されない。そこで妥協として上の合同関係を“ｘ￥ｄ￥ｙ”と記す。この明細書限りの記法だが記述のため納得して頂きたい。合同関係は等式同様
（１）ｘ￥ｄ￥ｙ、 ｙ￥ｄ￥ｚならｘ￥ｄ￥ｚ、
（２）ｘ￥ｄ￥ｘ‘、 ｙ￥ｄ￥ｙ’、ｚ￥ｄ￥ｚ‘、…なら
ｘｙｚ￥ｄ￥ｘ‘ｙｚ￥ｄ￥ｘ’ｙ‘ｚ￥ｄ￥…、
等を成り立たせる。特に極めて有用な理解を次の補題１に述べる。
（補題１）整数ｘ、ｙ、ｚ、…はそれぞれ法ｄでｘ‘、ｙ’、ｚ‘…と合同とすると、整数成分と整数係数の加減乗法だけで構成される任意の関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）に関して
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ、…）
￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ’、…）￥ｄ￥…、
が成り立つ。言葉で述べれば、整数値の変数と整数係数の加減乗法だけで構成される関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）では任意の整数変数をそれと法ｄで合同なもので置き換えても全体が法ｄで合同に留まる性質は変わらない。（補題１終）
証明はｘ‘＝ｘ＋ｐｄ、ｙ’＝ｙ＋ｑｄ、ｚ‘＝ｚ＋ｒｄなどと整数ｐ、ｑ、ｒで置いて見れば明らかである。計算言語での関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）即ち整数ｘを法ｄで割った余り、も使う事はできるが、例えば整数関数ｆ（ｘ、ｙ）のｄで割った余りを取るとｆ（ｘ、ｙ）の構造が見えなくなり、推論が難しくなる。このため“ｄで割った余り”を取るのは、加減乗法の計算のどの段階で取ってもよいのだから、最後に延期するのが得策で、我々はこの方針で進む。
（１）ｘ￥ｄ￥ｙ、 ｙ￥ｄ￥ｚならｘ￥ｄ￥ｚ、
（２）ｘ￥ｄ￥ｘ‘、 ｙ￥ｄ￥ｙ’、ｚ￥ｄ￥ｚ‘、…なら
ｘｙｚ￥ｄ￥ｘ‘ｙｚ￥ｄ￥ｘ’ｙ‘ｚ￥ｄ￥…、
等を成り立たせる。特に極めて有用な理解を次の補題１に述べる。
（補題１）整数ｘ、ｙ、ｚ、…はそれぞれ法ｄでｘ‘、ｙ’、ｚ‘…と合同とすると、整数成分と整数係数の加減乗法だけで構成される任意の関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）に関して
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ、…）
￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ’、…）￥ｄ￥…、
が成り立つ。言葉で述べれば、整数値の変数と整数係数の加減乗法だけで構成される関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）では任意の整数変数をそれと法ｄで合同なもので置き換えても全体が法ｄで合同に留まる性質は変わらない。（補題１終）
証明はｘ‘＝ｘ＋ｐｄ、ｙ’＝ｙ＋ｑｄ、ｚ‘＝ｚ＋ｒｄなどと整数ｐ、ｑ、ｒで置いて見れば明らかである。計算言語での関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）即ち整数ｘを法ｄで割った余り、も使う事はできるが、例えば整数関数ｆ（ｘ、ｙ）のｄで割った余りを取るとｆ（ｘ、ｙ）の構造が見えなくなり、推論が難しくなる。このため“ｄで割った余り”を取るのは、加減乗法の計算のどの段階で取ってもよいのだから、最後に延期するのが得策で、我々はこの方針で進む。
【0004】
現在我々は、述べられた２つの素数の積を法とするＭＣ生成機構によって相続く乱数の直線的な６連
｛ｘｋ，ｘｋ＋１， …，ｘｋ＋５｝
が互いに独立と見える優れた統計性と、実際に用い得る大周期（２５１や２５２を越え、生成にはコンピュータ上で年の単位を要するもの）とを持ち、倍精度実数乱数としても十分な桁数の精度を与える満足できるＭＣ乱数生成機構を得ている。しかしこの直線的な連の統計的性質だけではカバーできない用途がＭＣ乱数にはあり、各種シミュレーションで重大な問題となる。現在の発明はこの問題を解決する技術を目指して得られた。この方向への認識は１９９２年のＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ他（文献Ｂ）の指摘に始まる。彼等は２次元Ｉｓｉｎｇスピン１６×１６格子に、当時優れているとされた種々の乱数による初期値を与え、その時間発展を厳密解と比較して、当時の一様独立を名乗るすべての乱数は無視できない破綻を与えると報告した。底にあるのは一様独立乱数ならどのように格子点上に配置しても互いに一様独立である性質は変らないはずだ、という常識に基づく計算であろう。しかし上に述べた様に、直線的な連だけが独立と見える事を目指して選ばれた乱数にとって、これは過大な期待である。
（文献Ｂ）Ｍ．Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ，Ｄ．Ｐ．Ｌａｎｄａｕ ａｎｄ Ｙ．Ｊ．Ｗｏｎｇ，“Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｈｉｄｄｅｎ ｅｒｒｏｒｓ ｆｒｏｍ‘ｇｏｏｄ’ｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ”，Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ｖｏｌ．６９（１９９２），ｐｐ．３３８２－３３８４．
｛ｘｋ，ｘｋ＋１， …，ｘｋ＋５｝
が互いに独立と見える優れた統計性と、実際に用い得る大周期（２５１や２５２を越え、生成にはコンピュータ上で年の単位を要するもの）とを持ち、倍精度実数乱数としても十分な桁数の精度を与える満足できるＭＣ乱数生成機構を得ている。しかしこの直線的な連の統計的性質だけではカバーできない用途がＭＣ乱数にはあり、各種シミュレーションで重大な問題となる。現在の発明はこの問題を解決する技術を目指して得られた。この方向への認識は１９９２年のＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ他（文献Ｂ）の指摘に始まる。彼等は２次元Ｉｓｉｎｇスピン１６×１６格子に、当時優れているとされた種々の乱数による初期値を与え、その時間発展を厳密解と比較して、当時の一様独立を名乗るすべての乱数は無視できない破綻を与えると報告した。底にあるのは一様独立乱数ならどのように格子点上に配置しても互いに一様独立である性質は変らないはずだ、という常識に基づく計算であろう。しかし上に述べた様に、直線的な連だけが独立と見える事を目指して選ばれた乱数にとって、これは過大な期待である。
（文献Ｂ）Ｍ．Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ，Ｄ．Ｐ．Ｌａｎｄａｕ ａｎｄ Ｙ．Ｊ．Ｗｏｎｇ，“Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｈｉｄｄｅｎ ｅｒｒｏｒｓ ｆｒｏｍ‘ｇｏｏｄ’ｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ”，Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ｖｏｌ．６９（１９９２），ｐｐ．３３８２－３３８４．
【0005】
問題の核心は、６連を越える乱数列がどの様な統計的性質を持つかである。ＭＣ乱数は、法ｄで割る前の形はすべて、整数ｎｚｋと法ｄで合同な形だから、任意の２つのＭＣ乱数はｎｚｊとｎｚｋとしてよく、その間の遷移は乗数ｚｋ－ｊを法ｄで掛けて得られる。即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｚｊ）の初項（種）ｚｊと第２項ｚｊ×ｚｋ－ｊとである。この関係で乗数ｚｋ－ｊの２次スクトル検定を用いて任意の２つのＭＣ乱数が無相関と言えるかどうか、を判定できる。中澤と中澤（文献Ａ）はこの考察に基づいて一般化２次検定（文献Ａ）を導入した。次のページに優れたＭＣ乱数生成機構＃００１からの（ｄ、ｚｋ）の一般化２次検定値を１から１００までの次数ｋに対して図１として示す。
【0006】
前頁の図１は、この＃００１ＭＣ生成機構がＲ＝６を越えてＲ＝８まで一般化２次検定値が１．２５未満、乱数出力ｘｋとｘｋ＋８も無相関である優秀な性質を持つ事を示す。ただそれから先は異なる。どれ位先まで行っても大きな相関を示唆する１．２５より大きい検定値も、それより小さく無相関を示す評価値も出現する。空間格子の幾何学的近傍に無相関と見えるＭＣ乱数を配置するにはこの状況を利用しなければならない。以下ではこの配置の実現可能性を示す。その技術的実体は、検定を繰り返して性能のよい配置を発見し選び出す手続きである。難しい議論を要するのは第一にこの手続き構造の特定である。そして第２にその結果の検定可能性、特に必要な検定時間の理解である。
我々はこの両方に成功した。結果は検定構造について
（１）Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達の目指した通り、ＭＣ乱数を空間格子点に存在するＩｓｉｎｇスピン達のような物理系にＲ＝６以下のｒ個ずつ一様独立と見えるＭＣ乱数を配布し、空間的最隣接格子点に配布されたｒ個のＭＣ乱数のそれぞれから取った対は互いに無相関と見える配置とする方法の一般具体構造を示す。空間格子は周期的境界条件を課されない場合と、周期的境界条件を満たすトーラスである場合とに亘る。その両方について、２次元格子での優れたＭＣ乱数配置の探索成功を開示できる事を喜びに思う。
（２）空間格子点から出発して時間的に発展する時空間格子の上ではＲ／２＝３以下のｒを個数とする独立と見られるＭＣ乱数を各時空格子点に配置し、
（２Ａ）時間軸方向に相隣る格子点のｒ個のＭＣ乱数から取った対はすべて一様無相 関であり、
（２Ｂ）同時刻に空間格子上の最隣接格子点の夫々に配布されたｒ個のＭＣ乱数のす べての対は共に一様で無相関と見る事ができる、
という状態を実現する配置の条件を文献Ａと共に精細に報告する。そして少なくとも空間的に文献Ａでは２次元までの場合に時間軸も含む時空格子の上の優れた乱数配置の実現を発見し開示できる喜びを持つ。我々が得た好結果は、実際のコンピュータの利用者が使用可能な形で各コンピュータセンターに備えられるべきソフトウェアとして、一様独立乱数生成機構と、空間格子上に置かれた空間的一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで最隣接近傍で無相関のＭＣ乱数配置の実現可能な形であり、それは容易に時空間格子上の同様の結論（文献Ａ）に敷衍される。
我々はこの両方に成功した。結果は検定構造について
（１）Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達の目指した通り、ＭＣ乱数を空間格子点に存在するＩｓｉｎｇスピン達のような物理系にＲ＝６以下のｒ個ずつ一様独立と見えるＭＣ乱数を配布し、空間的最隣接格子点に配布されたｒ個のＭＣ乱数のそれぞれから取った対は互いに無相関と見える配置とする方法の一般具体構造を示す。空間格子は周期的境界条件を課されない場合と、周期的境界条件を満たすトーラスである場合とに亘る。その両方について、２次元格子での優れたＭＣ乱数配置の探索成功を開示できる事を喜びに思う。
（２）空間格子点から出発して時間的に発展する時空間格子の上ではＲ／２＝３以下のｒを個数とする独立と見られるＭＣ乱数を各時空格子点に配置し、
（２Ａ）時間軸方向に相隣る格子点のｒ個のＭＣ乱数から取った対はすべて一様無相 関であり、
（２Ｂ）同時刻に空間格子上の最隣接格子点の夫々に配布されたｒ個のＭＣ乱数のす べての対は共に一様で無相関と見る事ができる、
という状態を実現する配置の条件を文献Ａと共に精細に報告する。そして少なくとも空間的に文献Ａでは２次元までの場合に時間軸も含む時空格子の上の優れた乱数配置の実現を発見し開示できる喜びを持つ。我々が得た好結果は、実際のコンピュータの利用者が使用可能な形で各コンピュータセンターに備えられるべきソフトウェアとして、一様独立乱数生成機構と、空間格子上に置かれた空間的一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで最隣接近傍で無相関のＭＣ乱数配置の実現可能な形であり、それは容易に時空間格子上の同様の結論（文献Ａ）に敷衍される。
【0007】
成功の鍵は、既に触れたＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）一様乱数生成方法の大きな利点、ＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）列上のすべての項は法ｄで整数ｎｚｋの形を取る、という事実である。それを次の補題に再記して強調する。
（補題２）一般性を失う事なく整数ｊは整数ｋより小さいとする。法ｄでのｎｚｊとｎｚｋとはＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｎｚｊ）の第１項と第２項であり、これらの出力が２次元平面に張る格子が正三角形を含む三角格子に近いなら、即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ）の一般化２次スペクトル検定値（文献Ａ）が１．２５より小なら、２乱数ｎｚｊとｎｚｋは無相関と見てよい。
（証明）スペクトル検定値によるこの状況の説明は図と共に（文献Ａ）（注Ｂ）に詳しく示されている。（証明終）
（注Ｂ）一般化２次検定はロシア特許と米国特許とを付与された。（文献Ａ）内包する応用の可能性がシミュレーションを利用するすべての国の人々に重要である事と負担の公平を考えて、発明者、中澤宏と中澤直也はこれら特許を無償で公開する。
（補題２）一般性を失う事なく整数ｊは整数ｋより小さいとする。法ｄでのｎｚｊとｎｚｋとはＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｎｚｊ）の第１項と第２項であり、これらの出力が２次元平面に張る格子が正三角形を含む三角格子に近いなら、即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ）の一般化２次スペクトル検定値（文献Ａ）が１．２５より小なら、２乱数ｎｚｊとｎｚｋは無相関と見てよい。
（証明）スペクトル検定値によるこの状況の説明は図と共に（文献Ａ）（注Ｂ）に詳しく示されている。（証明終）
（注Ｂ）一般化２次検定はロシア特許と米国特許とを付与された。（文献Ａ）内包する応用の可能性がシミュレーションを利用するすべての国の人々に重要である事と負担の公平を考えて、発明者、中澤宏と中澤直也はこれら特許を無償で公開する。
【0008】
空間格子上のシミュレーションには、Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達のように空間に分布した物理量にランダムな初期値を与えて時間発展を求める“初期値問題”と、さらに時空間に与えられたＭＣ一様乱数の場（文献Ａ）の影響の下で、ある種のランダムウォークを行う粒子系の運動、無重力シミュレーション、反応、凝集、重力下での沈降など、の多様な実際問題が関係する；これは文献Ａでも、さらに稿を変えてｉｎｔｅｒｎｅｔ上でも述べる。これらの応用に共通するのは１つの格子点に複数ｒ個の互いに独立なＭＣ乱数の配置が求められる点である。複数の一様独立乱数とは、例えばランダムな速度ベクトルの成分、液体媒質分子からの衝撃力の成分、などである。ここでは最も基本的な、ＭＣランダムな初期値を６個以下のｒ個まで空間格子に配置する問題から始める。この問題で乱数生成配布技術が認識すべき事は、“独立と見える乱数を得るのに我々にはＭＣ乱数の相続くｒ連、ｒは６以下、を取る以外の方法がない”という現実である。状況は次の補題３にまとめられる。
（補題３）１つの空間格子点にシミュレーションが求める独立と見えるＭＣ乱数の個数をｒとする。現在可能なｒは６以下で、ＭＣ乱数列の相続く６個の中に取られなければならない。（補題３終）
（補題３）１つの空間格子点にシミュレーションが求める独立と見えるＭＣ乱数の個数をｒとする。現在可能なｒは６以下で、ＭＣ乱数列の相続く６個の中に取られなければならない。（補題３終）
【0009】
具体的な議論を空間格子の表記から始める。次元ｓが２以上で正の整数Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓで表される空間格子Ｇ（ｊ）を行ベクトルｊと共に定義する：
Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓ
＝｛ｊ：＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）｜
ｊｋは０からＪｋ－１まで、ｋは１からｓまで｝
後にｓ＝１の１次元格子も考えるが、その場合にはｊはベクトルではなく格子座標の番号ｊ１と考える。Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓを格子のサイズの整数と呼ぶ。
Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓ
＝｛ｊ：＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）｜
ｊｋは０からＪｋ－１まで、ｋは１からｓまで｝
後にｓ＝１の１次元格子も考えるが、その場合にはｊはベクトルではなく格子座標の番号ｊ１と考える。Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓを格子のサイズの整数と呼ぶ。
【0010】
格子Ｇ（ｊ）の上のＩｓｉｎｇ原子の様な物理系にランダムなＭＣ乱数を初期値として与えるとしよう。我々は次の方針（Ａ）－（Ｃ）に沿ってそれを実現する。
（Ａ）この格子の各点ｊに適当な１つのＭＣ乱数（のｄ倍）を配置して、ランダムな根（ね）の関数ｇ（ｊ）と名付け、
（Ｂ）各格子点の根ｇ（ｊ）に相続くｒ個のＭＣ（ｄ、ｚ）乱数の行ベクトルｖ（ｒ）、法ｄで記して
ｖ（ｒ）￥ｄ￥（１，ｚ，ｚ２，…，ｚｒ－１）
を掛けて（接木して）各格子点で求められるｒ個のＭＣ乱数（のｄ倍）を構成するランダムＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と定め、
（Ｃ）それらの格子上への“うまい”配置技術を発見する。
作戦をより具体的に述べる。まず
（ａ）ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する乱数列（のｄ倍）をあるｒ以上の整数Ｊ０毎に切り分け、得られる長さＪ０の小列の先頭のＭＣ乱数を根（ね）ｒｏｏｔとする。ＭＣランダムな根の関数ｇ（ｊ）の値（のｄ倍）は整数の法ｄの意味で
｛ｎｚ＾（ｋＪ０）｜ｋ＝０，１，…，Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と表す事ができる。
（ｂ）これらの根は格子点ｊの上に相応しい方法で置かれ、行ベクトルｖ（ｒ）をｊでの根関数ｇ（ｊ）への植え付けに相当してｇ（ｊ）に掛け合わせ、
（ｃ）各格子点の行ベクトルの成分ｒ個を法ｄで取ってその格子点に与えられる独立なＭＣ乱数の（ｄ倍された）整数と考える。
上に述べた根の各格子点への相応しい配置の方法は次の段落の準備から始めて記す。
（Ａ）この格子の各点ｊに適当な１つのＭＣ乱数（のｄ倍）を配置して、ランダムな根（ね）の関数ｇ（ｊ）と名付け、
（Ｂ）各格子点の根ｇ（ｊ）に相続くｒ個のＭＣ（ｄ、ｚ）乱数の行ベクトルｖ（ｒ）、法ｄで記して
ｖ（ｒ）￥ｄ￥（１，ｚ，ｚ２，…，ｚｒ－１）
を掛けて（接木して）各格子点で求められるｒ個のＭＣ乱数（のｄ倍）を構成するランダムＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と定め、
（Ｃ）それらの格子上への“うまい”配置技術を発見する。
作戦をより具体的に述べる。まず
（ａ）ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する乱数列（のｄ倍）をあるｒ以上の整数Ｊ０毎に切り分け、得られる長さＪ０の小列の先頭のＭＣ乱数を根（ね）ｒｏｏｔとする。ＭＣランダムな根の関数ｇ（ｊ）の値（のｄ倍）は整数の法ｄの意味で
｛ｎｚ＾（ｋＪ０）｜ｋ＝０，１，…，Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と表す事ができる。
（ｂ）これらの根は格子点ｊの上に相応しい方法で置かれ、行ベクトルｖ（ｒ）をｊでの根関数ｇ（ｊ）への植え付けに相当してｇ（ｊ）に掛け合わせ、
（ｃ）各格子点の行ベクトルの成分ｒ個を法ｄで取ってその格子点に与えられる独立なＭＣ乱数の（ｄ倍された）整数と考える。
上に述べた根の各格子点への相応しい配置の方法は次の段落の準備から始めて記す。
【0011】
これからの格子上の他の利用も考えて、ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する法ｄのＭＣ乱数列は周期を超えて正負両方向へ延長し、無限長と看做す。その無限長の上でＭＣ乱数列の実用周期Ｔ（注Ｃ）を
（α）ｚＴが法ｄで－１、即ちｄ－１と合同になる最小の正のＴ、或は
（β）ｚＴが法ｄで－１と合同にならなければＴは乱数列の周期（注Ｃ）
と定義する。実用周期Ｔの間にはＭＣ乱数列には法ｄで同じ値を取るＭＣ乱数は出現しない。以下ではＪ０毎の根とそれらの間のＭＣ乱数で空間格子点全体に配置される総数Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは使える周期Ｔ内である、即ちＪ０Ｊ１…ＪｓはＴ以下である、と仮定する。導入された整数Ｊ０はずらしｓｔａｇｇｅｒの定数と呼ぶ。
（注Ｃ）法ｄでｚＴが－１即ちｄ－１に合同なら、Ｔ乗以後のＭＣ乱数列は本質的にそれまでの符号だけを変えた繰り返しで、統計的に独立ではない。また例えば法７では乗数２の冪は、わかりやすい関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）の形で書いて
ｍｏｄ（２０，７）＝１、ｍｏｄ（２１，７）＝２、
ｍｏｄ（２２，７）＝４，ｍｏｄ（２３，７）＝１
と繰り返して－１或いは６は取る事がなく、３乗で巡回列周期の値１を実現する。大きな素数を法とする乗数で原始根ではない、上の法７での２の様な性質のものでも。諸検定が優れた評価値であれば用いてよい。
（α）ｚＴが法ｄで－１、即ちｄ－１と合同になる最小の正のＴ、或は
（β）ｚＴが法ｄで－１と合同にならなければＴは乱数列の周期（注Ｃ）
と定義する。実用周期Ｔの間にはＭＣ乱数列には法ｄで同じ値を取るＭＣ乱数は出現しない。以下ではＪ０毎の根とそれらの間のＭＣ乱数で空間格子点全体に配置される総数Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは使える周期Ｔ内である、即ちＪ０Ｊ１…ＪｓはＴ以下である、と仮定する。導入された整数Ｊ０はずらしｓｔａｇｇｅｒの定数と呼ぶ。
（注Ｃ）法ｄでｚＴが－１即ちｄ－１に合同なら、Ｔ乗以後のＭＣ乱数列は本質的にそれまでの符号だけを変えた繰り返しで、統計的に独立ではない。また例えば法７では乗数２の冪は、わかりやすい関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）の形で書いて
ｍｏｄ（２０，７）＝１、ｍｏｄ（２１，７）＝２、
ｍｏｄ（２２，７）＝４，ｍｏｄ（２３，７）＝１
と繰り返して－１或いは６は取る事がなく、３乗で巡回列周期の値１を実現する。大きな素数を法とする乗数で原始根ではない、上の法７での２の様な性質のものでも。諸検定が優れた評価値であれば用いてよい。
【0012】
（正の整数の可変長基数による表現）
（補題４）それぞれが２以上の格子サイズの整数Ｊ１，Ｊ２，…、Ｊｓが与えられたとする。固定された２以上の整数Ｊを基数とする０以上Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋの表現
Ｋ＝ｊ１＋ｊ２Ｊ＋ｊ３Ｊ２＋…＋ｊｓＪｓ－１
は学校算数以来我々には使い慣れたものであるが、対応して、０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋは整数の組、行ベクトルｊ＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）による次の一意の可変基数の表現Ｋ＝κ（ｊ）を持つ：
Ｋ＝κ（ｊ）：＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１，
番号ｋは１からｓまでとしてｊｋは０からＪｋ－１まで．
（証明）上の関数Ｋ＝κ（ｊ）は与えられた範囲のすべての整数変数ｊ１，ｊ２，…，ｊｓの増加関数で、０以上から次の最大数
（Ｊ１－１）＋（Ｊ２－１）Ｊ１＋（Ｊ３－１）Ｊ１Ｊ２＋…
＋（Ｊｓ－１）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
までの値を持つ。同じ整数Ｋの別の整数の組での表現
Ｋ＝ｊ１’＋ｊ２’Ｊ１＋ｊ３’Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓ’Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１
番号ｋは１からｓまで、ｊｋ’は０からＪｋ－１まで
がある、と仮定すると次の等式が成り立つ：
０＝（ｊ１’－ｊ１）＋（ｊ２’－ｊ２）Ｊ１＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ１Ｊ２＋
…＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
この等式を整数２以上のＪ１で割って余りの等式ｊ１’－ｊ１＝０、ｊ１’＝ｊ１を得る。故に上の０の等式右辺はＪ１で割り切られて商は０、
０＝（ｊ２’－ｊ２）＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ２＋…
＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ２…Ｊｓ－１
である。再びこの等式をＪ２で割ると余りは０＝ｊ２’－ｊ２、ｊ２’＝ｊ２を得る。
以下同様でｊｓ’＝ｊｓまでを得る。故に０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の整数Ｋの可変基数表現Ｋ＝κ（ｊ）は一意である。（証明終）
これらは我々が固定基数の整数表現で無意識に使っている事実である。
（補題４）それぞれが２以上の格子サイズの整数Ｊ１，Ｊ２，…、Ｊｓが与えられたとする。固定された２以上の整数Ｊを基数とする０以上Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋの表現
Ｋ＝ｊ１＋ｊ２Ｊ＋ｊ３Ｊ２＋…＋ｊｓＪｓ－１
は学校算数以来我々には使い慣れたものであるが、対応して、０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋは整数の組、行ベクトルｊ＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）による次の一意の可変基数の表現Ｋ＝κ（ｊ）を持つ：
Ｋ＝κ（ｊ）：＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１，
番号ｋは１からｓまでとしてｊｋは０からＪｋ－１まで．
（証明）上の関数Ｋ＝κ（ｊ）は与えられた範囲のすべての整数変数ｊ１，ｊ２，…，ｊｓの増加関数で、０以上から次の最大数
（Ｊ１－１）＋（Ｊ２－１）Ｊ１＋（Ｊ３－１）Ｊ１Ｊ２＋…
＋（Ｊｓ－１）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
までの値を持つ。同じ整数Ｋの別の整数の組での表現
Ｋ＝ｊ１’＋ｊ２’Ｊ１＋ｊ３’Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓ’Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１
番号ｋは１からｓまで、ｊｋ’は０からＪｋ－１まで
がある、と仮定すると次の等式が成り立つ：
０＝（ｊ１’－ｊ１）＋（ｊ２’－ｊ２）Ｊ１＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ１Ｊ２＋
…＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
この等式を整数２以上のＪ１で割って余りの等式ｊ１’－ｊ１＝０、ｊ１’＝ｊ１を得る。故に上の０の等式右辺はＪ１で割り切られて商は０、
０＝（ｊ２’－ｊ２）＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ２＋…
＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ２…Ｊｓ－１
である。再びこの等式をＪ２で割ると余りは０＝ｊ２’－ｊ２、ｊ２’＝ｊ２を得る。
以下同様でｊｓ’＝ｊｓまでを得る。故に０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の整数Ｋの可変基数表現Ｋ＝κ（ｊ）は一意である。（証明終）
これらは我々が固定基数の整数表現で無意識に使っている事実である。
【0013】
（格子上のランダムなＭＣ乱数初期値問題の解：ＭＣ根ｒｏｏｔ関数とＭＣベクトル関数）
ランダムなＭＣ根関数ｇ（ｊ）の可能な形、ＭＣ乱数列をｒ以上の整数の間隔Ｊ０でずらした（ｓｔａｇｇｅｒした）ＭＣ乱数の空間格子Ｇ（ｊ）への配置と、格子上に置かれた（接ぎ木された）ＭＣ乱数行ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）とは次の定理で与えられる。
（定理５）（空間格子上のＭＣランダムな根関数とＭＣベクトル関数）
６次まで正単体基準スペクトル及び最大最小稜検定に合格するＭＣ（ｄ，ｚ，ｎ）乱数列を取り、空間格子Ｇ（ｊ）のすべての格子点ｊでＭＣ乱数関数（ＭＣ根関数と呼ぶ）ｇ（ｊ）を次の様に定義する
格子Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に置かれたＭＣ根関数ｇ（ｊ）にｒ成分ランダム行ベクトルｖ（ｒ）￥ｄ￥（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）、ｒは正でＲ＝６以下、を法ｄで掛けた（接木した）ＭＣランダム行ベクトル関数を
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛Ｊ０｜（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
で定義する。ただしＪ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以内という制限、Ｔは用い得る周期、を置いて、用いられるＭＣ乱数の重複が無い様に制限する。このとき法ｄでｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と同値なランダム行ベクトル関数は、Ｇ（ｊ）空間格子の各点にｒ個の互いに独立と看做せる異なったＭＣ乱数（のｄで割る前の整数達）を配置する。
（証明）ＭＣ乱数列は巡回周期列、或は剰余類周期列であり、周期以内ではすべて異なるＭＣ乱数からなる。使い得る周期Ｔはこれら周期の半分であるか全体であるか、なので、Ｊ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以下であればｇ（ｊ）の右辺はｊが異なればすべて異なるＭＣ乱数（のｄ倍）からなる事に注意する。空間格子の整数格子点ｊ上の関数κ（ｊ）は０からＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１までのすべての整数を１回ずつ経ることが補題４によって示されている。故にｇ（ｊ）は
｛ｎｚ＾（Ｊ０Ｋ）｜Ｋ＝０、１、２、…、Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と、（ｄ、ｚ、ｎ）ＭＣ乱数列の先頭からＪ０毎に切り分けた小列Ｎ個、
Ｎ＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ＝Ｇ（ｊ）の格子点の総数
の各小列の先頭ＭＣ乱数を、Ｋ＝κ（ｊ）の指定するＧ（ｊ）の格子点ｊに配置する。ランダムベクトル関数は、これら根関数に乗じられたｒ成分ベクトルｖ（ｒ）だから、それぞれ長さＪ０の小列内にあって、ＭＣ乱数列上のＫ番目の小列内のｒ個のＭＣ乱数がＫ＝κ（ｊ）で指定される格子点ｊに置かれている。
用いられた小列全体のＭＣ乱数の個数ｒＮは、
Ｊ０Ｎ＝Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ
以内であり、仮定された制限によって使い得る周期Ｔ以内であって、ＭＣ乱数列上のすべて異なる乱数である。（定理５証明終）
ランダムなＭＣ根関数ｇ（ｊ）の可能な形、ＭＣ乱数列をｒ以上の整数の間隔Ｊ０でずらした（ｓｔａｇｇｅｒした）ＭＣ乱数の空間格子Ｇ（ｊ）への配置と、格子上に置かれた（接ぎ木された）ＭＣ乱数行ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）とは次の定理で与えられる。
（定理５）（空間格子上のＭＣランダムな根関数とＭＣベクトル関数）
６次まで正単体基準スペクトル及び最大最小稜検定に合格するＭＣ（ｄ，ｚ，ｎ）乱数列を取り、空間格子Ｇ（ｊ）のすべての格子点ｊでＭＣ乱数関数（ＭＣ根関数と呼ぶ）ｇ（ｊ）を次の様に定義する
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛Ｊ０｜（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
で定義する。ただしＪ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以内という制限、Ｔは用い得る周期、を置いて、用いられるＭＣ乱数の重複が無い様に制限する。このとき法ｄでｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と同値なランダム行ベクトル関数は、Ｇ（ｊ）空間格子の各点にｒ個の互いに独立と看做せる異なったＭＣ乱数（のｄで割る前の整数達）を配置する。
（証明）ＭＣ乱数列は巡回周期列、或は剰余類周期列であり、周期以内ではすべて異なるＭＣ乱数からなる。使い得る周期Ｔはこれら周期の半分であるか全体であるか、なので、Ｊ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以下であればｇ（ｊ）の右辺はｊが異なればすべて異なるＭＣ乱数（のｄ倍）からなる事に注意する。空間格子の整数格子点ｊ上の関数κ（ｊ）は０からＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１までのすべての整数を１回ずつ経ることが補題４によって示されている。故にｇ（ｊ）は
｛ｎｚ＾（Ｊ０Ｋ）｜Ｋ＝０、１、２、…、Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と、（ｄ、ｚ、ｎ）ＭＣ乱数列の先頭からＪ０毎に切り分けた小列Ｎ個、
Ｎ＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ＝Ｇ（ｊ）の格子点の総数
の各小列の先頭ＭＣ乱数を、Ｋ＝κ（ｊ）の指定するＧ（ｊ）の格子点ｊに配置する。ランダムベクトル関数は、これら根関数に乗じられたｒ成分ベクトルｖ（ｒ）だから、それぞれ長さＪ０の小列内にあって、ＭＣ乱数列上のＫ番目の小列内のｒ個のＭＣ乱数がＫ＝κ（ｊ）で指定される格子点ｊに置かれている。
用いられた小列全体のＭＣ乱数の個数ｒＮは、
Ｊ０Ｎ＝Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ
以内であり、仮定された制限によって使い得る周期Ｔ以内であって、ＭＣ乱数列上のすべて異なる乱数である。（定理５証明終）
【0014】
（空間格子上に配置されたランダムベクトル関数、ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）の非周期的ｔｕｎｉｎｇ調整）
空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊからのｊｋ軸方向の最隣接格子点は、１からｓの任意格子座標軸番号ｋについて次で与えられる。
ｊ（ｋ＋）＝（ｊ１、ｊ２…、ｊｋ＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ－）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ－１、…、ｊｓ）
格子点ｊに置かれるランダム根関数ｇ（ｊ）とそれに接木されたｒ成分（ｒはＲ＝６以下）のベクトルＭＣ乱数ｖ（ｒ）の具体形は、
ｇ（ｊ（ｋ＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（ｋ－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
である。これらがｓ次元格子Ｇ（ｊ）の格子点ｊとその最隣接格子点に与えられるＭＣ乱数の（ｄで割る前の整数部分の）ｒ成分達を表す。各格子点に置かれた行ベクトルｇ（ｊ）ｖ（ｒ）に含まれるＭＣ乱数は始めから優れた独立性を示すものに選ばれている。さらにこれらと格子の幾何学的最隣接格子点の上のｒ成分ＭＣ乱数同士が、独立とは言わずとも無相関かどうかを見るには発見された具体形、ｇ（ｊ（ｋ±））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ）ｖ（ｒ）、即ち共通ＭＣ乱数を除いたｒ個のＭＣ乱数の２組
ｖ（ｒ）とｖ（ｒ）ｚ＾（±Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
のすべての対が与えるＭＣ生成機構の一般化２次検定を見ればよい。ＭＣ乱数の対ｎｚｊとｎｚｋなら、積の乗数
ｚｋ－ｊ￥ｄ￥（ｎｚｊ）－１ｎｚｋ
の一般化２次検定が１．２５未満の評価値を与えればよいし、具体的にｎとｚで表さなくてもＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）乱数列の２成分ＡとＢとして、Ａ－１Ｂを乗数とする一般化２次検定値が１．２５未満ならＡとＢは無相関である。発明の最初の骨子は関連する対ＡとＢの特定、そして調べるべきＭＣ生成機構の乗数Ａ－１Ｂの特定であり、生成機構（ｄ、Ａ－１Ｂ）の一般化２次検定が評価値１．２５未満を持てばＡとＢは無相関であると理解される。
空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊからのｊｋ軸方向の最隣接格子点は、１からｓの任意格子座標軸番号ｋについて次で与えられる。
ｊ（ｋ＋）＝（ｊ１、ｊ２…、ｊｋ＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ－）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ－１、…、ｊｓ）
格子点ｊに置かれるランダム根関数ｇ（ｊ）とそれに接木されたｒ成分（ｒはＲ＝６以下）のベクトルＭＣ乱数ｖ（ｒ）の具体形は、
ｇ（ｊ（ｋ＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（ｋ－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
である。これらがｓ次元格子Ｇ（ｊ）の格子点ｊとその最隣接格子点に与えられるＭＣ乱数の（ｄで割る前の整数部分の）ｒ成分達を表す。各格子点に置かれた行ベクトルｇ（ｊ）ｖ（ｒ）に含まれるＭＣ乱数は始めから優れた独立性を示すものに選ばれている。さらにこれらと格子の幾何学的最隣接格子点の上のｒ成分ＭＣ乱数同士が、独立とは言わずとも無相関かどうかを見るには発見された具体形、ｇ（ｊ（ｋ±））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ）ｖ（ｒ）、即ち共通ＭＣ乱数を除いたｒ個のＭＣ乱数の２組
ｖ（ｒ）とｖ（ｒ）ｚ＾（±Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
のすべての対が与えるＭＣ生成機構の一般化２次検定を見ればよい。ＭＣ乱数の対ｎｚｊとｎｚｋなら、積の乗数
ｚｋ－ｊ￥ｄ￥（ｎｚｊ）－１ｎｚｋ
の一般化２次検定が１．２５未満の評価値を与えればよいし、具体的にｎとｚで表さなくてもＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）乱数列の２成分ＡとＢとして、Ａ－１Ｂを乗数とする一般化２次検定値が１．２５未満ならＡとＢは無相関である。発明の最初の骨子は関連する対ＡとＢの特定、そして調べるべきＭＣ生成機構の乗数Ａ－１Ｂの特定であり、生成機構（ｄ、Ａ－１Ｂ）の一般化２次検定が評価値１．２５未満を持てばＡとＢは無相関であると理解される。
【0015】
関連するＡ－１Ｂを見落としなく得るために乱数の行ベクトル
ｖ（ｒ）－１：￥ｄ￥（１、ｚ－１、ｚ－２、…、ｚ－（ｒ－１））
を導入する；ＭＣ乱数は法ｄとは素な整数で、法ｄの逆元が存在する。（文献Ａ）この行ベクトルを転置した列ベクトルをｔ｛ｖ（ｒ）－１｝と記し、行列としての積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）を下の図２に描く。この図の諸項の関係をまとめてＡ－１Ｂに相当する諸乱数を抽出するのは次の補題６である。
補題６．（ｖ（ｒ）とｚＫｖ（ｒ）を結ぶＭＣ生成機構）
整数Ｋはｒ以上とする。行ベクトルｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数と行ベクトルｚＫｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数のすべての対が無相関である事を示すには、２ｒ－１個のＭＣ生成機構
（ｄ、ｚＫ），（ｄ、ｚＫ＋１）、…、（ｄ、ｚＫ＋ｒ－１）、
（ｄ、ｚＫ－１）、…、 （ｄ、ｚＫ－ｒ＋１）、
が一般化２次検定値を１．２５未満に持つと示せばよい。
（証明）図２の行列積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）の成分は補題６のすべてのＭＣ乱数の積を含んでいる。各項の重複を除き異なる項を拾い集めれば結論を得る。（証明終）
ｖ（ｒ）－１：￥ｄ￥（１、ｚ－１、ｚ－２、…、ｚ－（ｒ－１））
を導入する；ＭＣ乱数は法ｄとは素な整数で、法ｄの逆元が存在する。（文献Ａ）この行ベクトルを転置した列ベクトルをｔ｛ｖ（ｒ）－１｝と記し、行列としての積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）を下の図２に描く。この図の諸項の関係をまとめてＡ－１Ｂに相当する諸乱数を抽出するのは次の補題６である。
補題６．（ｖ（ｒ）とｚＫｖ（ｒ）を結ぶＭＣ生成機構）
整数Ｋはｒ以上とする。行ベクトルｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数と行ベクトルｚＫｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数のすべての対が無相関である事を示すには、２ｒ－１個のＭＣ生成機構
（ｄ、ｚＫ），（ｄ、ｚＫ＋１）、…、（ｄ、ｚＫ＋ｒ－１）、
（ｄ、ｚＫ－１）、…、 （ｄ、ｚＫ－ｒ＋１）、
が一般化２次検定値を１．２５未満に持つと示せばよい。
（証明）図２の行列積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）の成分は補題６のすべてのＭＣ乱数の積を含んでいる。各項の重複を除き異なる項を拾い集めれば結論を得る。（証明終）
【0016】
補題６の２ｒ－１個の生成機構は、格子点ｊに与えられＭＣランダムベクトル関数のｒ個のＭＣ乱数と、ｊの最隣接格子点に与えられたランダムベクトル関数のｒ個のＭＣ乱数のすべての対を与える。それらを乗数としてすべてが一般化２次検定に合格する１組を発見すれば、望む格子上の乱数配置が完成する。まず調べるべきＭＣ乱数生成機構の組を発見する。それは定理にまとめられる。
定理７．（周期性は求めない格子の点とその最隣接近傍格子点とに置かれたランダムベクトル関数の成分毎の対の無相関を検定する生成機構配置）
整数ｒはＲ＝６以下であり、整数Ｊ０はｒ以上とする。ＭＣ乱数（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの列の上で、ずらしの整数Ｊ０毎に取られた根ｒｏｏｔを空間ｓ次元格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に植えつけたランダムｒｏｏｔ根関数ｇ（ｊ）＝ｇ（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）は法ｄで次の具体形を持つ：
ｇ（ｊ）ｚ￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０｜（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１）．
また格子点ｊで番号ｋ（但しｋは１以上ｓ以下）の格子座標ｊｋ方向の最隣接格子点をｊ’とすると、ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数とベクトル関数ｇ（ｊ’）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数のすべての対の無相関は、次のページ図３に（Ｉ１）‐（Ｉｓ）と記されたＭＣ生成機構、各２ｒ－１個の生成機構ｓ組、の一般化２次検定がすべて評価値１．２５未満を与える事で示す事ができる。
（証明）上の補題６と空間格子の座標軸番号ｋ＝１，２、…、ｓに対するｊｋ軸方向を調べて結論は得られる。例としてｋ＝２の場合を詳しく述べる。この場合格子の境界点ではないｊに対して
ｊ２－軸方向の最隣接近傍格子点ｊ（２＋）：＝（ｊ１、ｊ２＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）
ｊ２－軸方向の最隣接近傍格子点ｊ（２－）：＝（ｊ１、ｊ２－１、…、ｊｓ）
それぞれの上でのランダムベクトル関数は次の通りである。
ｇ（ｊ（２＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（２－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）
ＭＣ乱数Ａ，Ｂからの形Ａ－１Ｂを頭に置いて共通なＭＣ乱数ｇ（ｊ）を割って除くと、ｊに関係のない形
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
または
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
を得る。Ａ－１Ｂ或はＢ－１Ａから、無相関を調べるべき遷移はｖ（ｒ）からｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）としてよい。なお、最終的な遷移の形は格子座標ｊを含まない事に注意する。ｊが格子Ｇ（ｊ）の境界にあるとｊ（２±）のどちらかはｊのｊ２格子座標方向の最隣接格子点ではない可能性があるが、それはこのｊに関係しない結論には影響がない。（定理７証明終）
定理７．（周期性は求めない格子の点とその最隣接近傍格子点とに置かれたランダムベクトル関数の成分毎の対の無相関を検定する生成機構配置）
整数ｒはＲ＝６以下であり、整数Ｊ０はｒ以上とする。ＭＣ乱数（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの列の上で、ずらしの整数Ｊ０毎に取られた根ｒｏｏｔを空間ｓ次元格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に植えつけたランダムｒｏｏｔ根関数ｇ（ｊ）＝ｇ（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）は法ｄで次の具体形を持つ：
ｇ（ｊ）ｚ￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０｜（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１）．
また格子点ｊで番号ｋ（但しｋは１以上ｓ以下）の格子座標ｊｋ方向の最隣接格子点をｊ’とすると、ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数とベクトル関数ｇ（ｊ’）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数のすべての対の無相関は、次のページ図３に（Ｉ１）‐（Ｉｓ）と記されたＭＣ生成機構、各２ｒ－１個の生成機構ｓ組、の一般化２次検定がすべて評価値１．２５未満を与える事で示す事ができる。
（証明）上の補題６と空間格子の座標軸番号ｋ＝１，２、…、ｓに対するｊｋ軸方向を調べて結論は得られる。例としてｋ＝２の場合を詳しく述べる。この場合格子の境界点ではないｊに対して
ｊ２－軸方向の最隣接近傍格子点ｊ（２＋）：＝（ｊ１、ｊ２＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）
ｊ２－軸方向の最隣接近傍格子点ｊ（２－）：＝（ｊ１、ｊ２－１、…、ｊｓ）
それぞれの上でのランダムベクトル関数は次の通りである。
ｇ（ｊ（２＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（２－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）
ＭＣ乱数Ａ，Ｂからの形Ａ－１Ｂを頭に置いて共通なＭＣ乱数ｇ（ｊ）を割って除くと、ｊに関係のない形
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
または
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
を得る。Ａ－１Ｂ或はＢ－１Ａから、無相関を調べるべき遷移はｖ（ｒ）からｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）としてよい。なお、最終的な遷移の形は格子座標ｊを含まない事に注意する。ｊが格子Ｇ（ｊ）の境界にあるとｊ（２±）のどちらかはｊのｊ２格子座標方向の最隣接格子点ではない可能性があるが、それはこのｊに関係しない結論には影響がない。（定理７証明終）
【0016】
（非周期的な格子での調整ｔｕｎｉｎｇ）
複雑な考察で得られた定理７の一般化２次検定の乗数或はＭＣ生成機構は図３にまとめられ、今や一般化２次検定そのものを実行して最隣接近傍間での無相関を実現する事ができる。手順を次の補題８に述べる。
補題８（トーラスを仮定しない格子の任意格子点ｊでの調整ｔｕｎｉｎｇ）
まず、ずらしと格子サイズの整数の１組Ｊ０、Ｊ１、…、Ｊｓをシミュレーションの要求に適うように設計し定めて出発する。勿論、制限Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは用い得る周期Ｔを超えないと仮定する。対象となるどの生成機構も格子点ｊにはよらない。
（ｊ１軸方向）下の（ｉ１）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ１）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
これらはずらしの整数Ｊ０だけを含む。先頭から一般化２次検定を行う；（ｉ１）のどれから一般化２次検定を始めてもよいが結果はそれによって変わるだろう。この様に調整とその結果とは一意ではない。もし不合格の１．２５以上の評価が現れれば、このＪ０を破棄して新しいＪ０‘を取る。その取り方には２通りの可能性がある。
（調整ｉ１＋）Ｊ０‘＝Ｊ０＋１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１－）Ｊ０‘＝Ｊ０－１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１＋）の場合にはＪ０は最初余り大きくは取れない。（調整ｉ１－）の場合には最初大きなＪ０、例えばＪ０Ｊ１…Ｊｓが用い得る周期Ｔのかなり部分になるもの、を取る。以後この様な一般化２次検定を繰り返して、（ｉ１）のすべての生成機構が合格するもの発見してＪ１‘を採用する。
（ｊ２軸方向）（ｉ２）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ２）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊ１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪ１を破棄して新しいＪ１‘＝Ｊ１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪ１’を発見する。もし合格者が出なければ、Ｊ０‘の調整に戻らなければならないが、我々にはその経験はなかった。
…………………………………………………………
（ｊｓ軸方向）（ｉｓ）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉｓ）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊｓ－１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪｓ－１を破棄して新しいＪｓ－１‘＝Ｊｓ－１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪｓ－１’を発見する。こうしてすべての必要な一般化２次検定に合格するずらしと格子サイズの整数Ｊ０‘，Ｊ１’、…、Ｊｓ－１‘とＪｓを用いる事で、調整された非周期的な格子
Ｇ‘（ｊ）：＝Ｊ１’×Ｊ２‘×…×Ｊｓ－１’×Ｊｓ
の上の調整された一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子点間に無相関のｒ個の独立なＭＣ乱数の組を与えるＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）は
ｇ‘（ｊ）￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
であり、ランダムベクトル関数は
ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ ｖ（ｒ）ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
となる。（補題８終）
複雑な考察で得られた定理７の一般化２次検定の乗数或はＭＣ生成機構は図３にまとめられ、今や一般化２次検定そのものを実行して最隣接近傍間での無相関を実現する事ができる。手順を次の補題８に述べる。
補題８（トーラスを仮定しない格子の任意格子点ｊでの調整ｔｕｎｉｎｇ）
まず、ずらしと格子サイズの整数の１組Ｊ０、Ｊ１、…、Ｊｓをシミュレーションの要求に適うように設計し定めて出発する。勿論、制限Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは用い得る周期Ｔを超えないと仮定する。対象となるどの生成機構も格子点ｊにはよらない。
（ｊ１軸方向）下の（ｉ１）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ１）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
これらはずらしの整数Ｊ０だけを含む。先頭から一般化２次検定を行う；（ｉ１）のどれから一般化２次検定を始めてもよいが結果はそれによって変わるだろう。この様に調整とその結果とは一意ではない。もし不合格の１．２５以上の評価が現れれば、このＪ０を破棄して新しいＪ０‘を取る。その取り方には２通りの可能性がある。
（調整ｉ１＋）Ｊ０‘＝Ｊ０＋１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１－）Ｊ０‘＝Ｊ０－１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１＋）の場合にはＪ０は最初余り大きくは取れない。（調整ｉ１－）の場合には最初大きなＪ０、例えばＪ０Ｊ１…Ｊｓが用い得る周期Ｔのかなり部分になるもの、を取る。以後この様な一般化２次検定を繰り返して、（ｉ１）のすべての生成機構が合格するもの発見してＪ１‘を採用する。
（ｊ２軸方向）（ｉ２）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ２）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊ１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪ１を破棄して新しいＪ１‘＝Ｊ１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪ１’を発見する。もし合格者が出なければ、Ｊ０‘の調整に戻らなければならないが、我々にはその経験はなかった。
…………………………………………………………
（ｊｓ軸方向）（ｉｓ）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉｓ）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１‘Ｊ２‘…Ｊｓ－１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊｓ－１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪｓ－１を破棄して新しいＪｓ－１‘＝Ｊｓ－１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪｓ－１’を発見する。こうしてすべての必要な一般化２次検定に合格するずらしと格子サイズの整数Ｊ０‘，Ｊ１’、…、Ｊｓ－１‘とＪｓを用いる事で、調整された非周期的な格子
Ｇ‘（ｊ）：＝Ｊ１’×Ｊ２‘×…×Ｊｓ－１’×Ｊｓ
の上の調整された一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子点間に無相関のｒ個の独立なＭＣ乱数の組を与えるＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）は
ｇ‘（ｊ）￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
であり、ランダムベクトル関数は
ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ ｖ（ｒ）ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
となる。（補題８終）
【0017】
再度注意するが、この調整されたランダム根関数、ランダムベクトル関数の形は一意ではない。格子Ｇ‘（ｊ）は最初設計されたものより大きいが、それは問題ではない。Ｇ’（ｊ）の部分格子であるＪ１×Ｊ２×…×Ｊｓの上で用いればよい。ただしランダム根関数ｇ‘（ｊ）やランダムベクトル関数ｇ’（ｊ）ｖ（ｒ）は上の通りＪ１’、Ｊ２‘、…、Ｊｓ－１’とＪｓで定義されなければならない。
【0018】
（ランダムな初期値問題：空間格子Ｇ（ｊ）がトーラスである場合の周期的調整ｔｕｎｉｎｇ）
トーラスを形成する格子上の周期的境界条件の重要性はＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ等がＩｓｉｎｇ模型で厳密解に依拠した通りである。再びＧ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓを格子の設計出発値とする。格子座標軸ｊｋの方向の出発、終端境界点は
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝０、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝Ｊｋ－１、…、ｊｓ）
である。ランダム根関数ｇ（ｊ）がこれらの境界点での最隣接格子点に向けて持つ境界面に平行な遷移機構は今までと変わらず新しく考える必要はない。これらの境界点でランダム根関数は
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２＋（Ｊｋ－１）Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１ ＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
￥ｄ￥ｇ（ｊ（ｋ））ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
と表されるから、境界面に垂直にｊｋ軸方向に持つｇ（ｊ（ｋ））とｇ（ｊ（ｋ））の間の遷移乗数は法ｄで
ｚ＾｛±（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
であり、ランダムベクトル関数ｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）の間の遷移機構は共通ＭＣ乱数因子は除いてよく、また乗数の冪の指数は±どちらでもよいから
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝）、 ｋ＝１，２、…、ｓ
と記す事ができる。だから格子がトーラスである場合の
ｒ個の相続く乱数ｖ（ｒ）と
ｒ個の相続く乱数ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝ｖ（ｒ）との間のすべての遷移機構の一般化２次検定で評価すべきものすべて、全評価値が１．２５より小さい事が、格子がトーラスである場合の格子上のＭＣ乱数が幾何学的に一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子上の乱数とは相関を持たない配置であるための付加条件である。全体条件は次の段落で定理９にまとめる。
トーラスを形成する格子上の周期的境界条件の重要性はＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ等がＩｓｉｎｇ模型で厳密解に依拠した通りである。再びＧ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓを格子の設計出発値とする。格子座標軸ｊｋの方向の出発、終端境界点は
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝０、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝Ｊｋ－１、…、ｊｓ）
である。ランダム根関数ｇ（ｊ）がこれらの境界点での最隣接格子点に向けて持つ境界面に平行な遷移機構は今までと変わらず新しく考える必要はない。これらの境界点でランダム根関数は
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２＋（Ｊｋ－１）Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１ ＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
￥ｄ￥ｇ（ｊ（ｋ））ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
と表されるから、境界面に垂直にｊｋ軸方向に持つｇ（ｊ（ｋ））とｇ（ｊ（ｋ））の間の遷移乗数は法ｄで
ｚ＾｛±（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
であり、ランダムベクトル関数ｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）の間の遷移機構は共通ＭＣ乱数因子は除いてよく、また乗数の冪の指数は±どちらでもよいから
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝）、 ｋ＝１，２、…、ｓ
と記す事ができる。だから格子がトーラスである場合の
ｒ個の相続く乱数ｖ（ｒ）と
ｒ個の相続く乱数ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝ｖ（ｒ）との間のすべての遷移機構の一般化２次検定で評価すべきものすべて、全評価値が１．２５より小さい事が、格子がトーラスである場合の格子上のＭＣ乱数が幾何学的に一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子上の乱数とは相関を持たない配置であるための付加条件である。全体条件は次の段落で定理９にまとめる。
【0019】
（周期的調整ｔｕｎｉｎｇ）
ｒはＲ＝６以下であるとする。トーラス格子Ｇ（ｊ）上のｒ個の独立な成分を持つＭＣランダムベクトル関数が最隣接格子点のそれらｒ個とは相関を持たず、一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）に配置されるための条件は次である。
定理９．（トーラス格子の格子点上でＲ＝６以内のｒ個の独立な成分を持つＭＣベクトル関数の周期的調整）
格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊ上のＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）が最隣接格子点とは相関を持たない様に一般化２次検定を行うべき遷移機構は下の図４に記された（Ｉ１），（Ｂ１），（Ｉ２），（Ｂ２），…、（Ｉｓ），（Ｂｓ）がすべてである。
ｒはＲ＝６以下であるとする。トーラス格子Ｇ（ｊ）上のｒ個の独立な成分を持つＭＣランダムベクトル関数が最隣接格子点のそれらｒ個とは相関を持たず、一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）に配置されるための条件は次である。
定理９．（トーラス格子の格子点上でＲ＝６以内のｒ個の独立な成分を持つＭＣベクトル関数の周期的調整）
格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊ上のＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）が最隣接格子点とは相関を持たない様に一般化２次検定を行うべき遷移機構は下の図４に記された（Ｉ１），（Ｂ１），（Ｉ２），（Ｂ２），…、（Ｉｓ），（Ｂｓ）がすべてである。
【0019】
（トーラスの空間格子上のＲ＝６以下の独立なｒ成分ＭＣベクトル関数のすべての成分のすべての対を隣接格子点の間で無相関かつ一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）なＭＣベクトル関数とする調整の方法）
トーラス格子Ｇ（ｊ）上でＲ＝６以下のｒ個の独立乱数を取り、格子上最隣接格子点間で必要な一般化２次検定のためのＭＣ生成機構は上の図４にまとめられた通りである。非周期的な格子の調整の通り、例えば（Ｉ１）の生成機構や（Ｂ１）のそれらを並べられた順に検定するか、逆順に行うかを考えただけでも明らかに、それらの一般化２次検定を行う方法と結果とは一意ではない。しかしすべての結果を得る事やその中からの取捨選択は現実的ではない。異なる２つのシミュレーションの結果を比較する程度が十分安全だろう。特に異なる合格者でも名目の“格子上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓな無相関”には変りはないから、以下には調整の最も簡単な１例を記す。
（１）まずＪ０，Ｊ１，…、Ｊｓをシミュレーションから望まれる設計値に仮に定めて、ずらしの整数Ｊ０だけが関係する（Ｉ１）から出発する。これらは非周期的調整で考えた通りで、余り大きくないＪ０を増大させながら進む方法と大きなＪ０から出発して１ずつ減少させる調整とがある。すべて合格する結果を（周期的調整のものである事を区別して）Ｊ０ ＊と記す。
（２）次にＪ０ ＊とＪ１を含む（Ｂ１）と（Ｉ２）を同時に考えて一般化２次検定を行い、Ｊ０ ＊は変えないで、不合格ならＪ１をＪ１＋１に増大させながら調整する。すべての生成機構が合格したとき、Ｊ１はより大きいＪ１ ＊となるだろう。
（３）次はＪ０ ＊，Ｊ１ ＊とＪ２を含む（Ｂ２）と（Ｉ３）を取って、一般化２次検定不合格ならＪ２だけを増大させながら調整して、一般にＪ２よりは大きいＪ２ ＊となって終わる。
…………………………………………………………
（ｓ）Ｊ０ ＊からＪｓ－２ ＊までと新しくＪｓ－１を含む（Ｂｓ－１）と（Ｉｓ）の４ｒ－２の生成機構の調整を進めて、一般にＪｓ－１より増大したＪｓ－１ ＊ですべての一般化２次検定を合格する。
（ｓ＋１）最後に、Ｊ０ ＊からＪｓ－１ ＊と新しくＪｓを含む（Ｂｓ）の調整で一般にはＪｓより増大したＪｓ ＊を発見して、すべての調整を終える。
トーラス格子Ｇ（ｊ）上でＲ＝６以下のｒ個の独立乱数を取り、格子上最隣接格子点間で必要な一般化２次検定のためのＭＣ生成機構は上の図４にまとめられた通りである。非周期的な格子の調整の通り、例えば（Ｉ１）の生成機構や（Ｂ１）のそれらを並べられた順に検定するか、逆順に行うかを考えただけでも明らかに、それらの一般化２次検定を行う方法と結果とは一意ではない。しかしすべての結果を得る事やその中からの取捨選択は現実的ではない。異なる２つのシミュレーションの結果を比較する程度が十分安全だろう。特に異なる合格者でも名目の“格子上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓな無相関”には変りはないから、以下には調整の最も簡単な１例を記す。
（１）まずＪ０，Ｊ１，…、Ｊｓをシミュレーションから望まれる設計値に仮に定めて、ずらしの整数Ｊ０だけが関係する（Ｉ１）から出発する。これらは非周期的調整で考えた通りで、余り大きくないＪ０を増大させながら進む方法と大きなＪ０から出発して１ずつ減少させる調整とがある。すべて合格する結果を（周期的調整のものである事を区別して）Ｊ０ ＊と記す。
（２）次にＪ０ ＊とＪ１を含む（Ｂ１）と（Ｉ２）を同時に考えて一般化２次検定を行い、Ｊ０ ＊は変えないで、不合格ならＪ１をＪ１＋１に増大させながら調整する。すべての生成機構が合格したとき、Ｊ１はより大きいＪ１ ＊となるだろう。
（３）次はＪ０ ＊，Ｊ１ ＊とＪ２を含む（Ｂ２）と（Ｉ３）を取って、一般化２次検定不合格ならＪ２だけを増大させながら調整して、一般にＪ２よりは大きいＪ２ ＊となって終わる。
…………………………………………………………
（ｓ）Ｊ０ ＊からＪｓ－２ ＊までと新しくＪｓ－１を含む（Ｂｓ－１）と（Ｉｓ）の４ｒ－２の生成機構の調整を進めて、一般にＪｓ－１より増大したＪｓ－１ ＊ですべての一般化２次検定を合格する。
（ｓ＋１）最後に、Ｊ０ ＊からＪｓ－１ ＊と新しくＪｓを含む（Ｂｓ）の調整で一般にはＪｓより増大したＪｓ ＊を発見して、すべての調整を終える。
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【手続補正書】
【提出日】2021-07-09
【手続補正1】
【補正対象書類名】特許請求の範囲
【補正対象項目名】請求項２
【補正方法】変更
【補正の内容】
【請求項2】
正の整数ｄを法、ｄとは素な整数ｚを乗数、ｄとは素な任意の整数ｎの種ｓｅｅｄ、の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）が作る乗算合同（ＭＵＬＴＩＰＬＩＣＡＴＩＶＥＣＯＮＧＲＵＥＮＴＩＡＬ、ＭＣ）法乱数生成機構が与える乱数列は相続く６個までの独立性の外観を保障されていると前提し、シミュレーションを行う２以上の次元ｓのトーラス空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）に６以下のｒ個の独立ＭＣ乱数を配置して、Ｇ（ｊ）の任意格子点とその最隣接格子点に置かれたｒ個のＭＣ乱数とはすべての対が無相関と看做せる配置を、ｒ以上のずらしの整数Ｊ０と格子のサイズの各２以上の整数Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓとから定まる次の２ｒ－１組のＭＣ生成機構の２ｓ組（Ｉ１）、（Ｂ１）、（Ｉ２）、（Ｂ２）、…、（Ｉｓ）、（Ｂｓ）、即ち
の（一般化）２次スペクトル検定を繰り返して、評価値が１．２５以上の不合格がある場合Ｊ０はｒ以上の範囲で増大させ或いは大きい値から減少させＪ０
＊とし、格子サイズの整数は出発の設計値Ｊ１，Ｊ２、…、Ｊｓから増大させながらＪ１
＊、Ｊ２
＊、…、Ｊｓ
＊に変えて、すべて合格値１．２５未満となるＪ０
＊新しい格子
と発見して、その上のＭＣランダム根関数ｇ＊（ｊ）即ちで格子点ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）で
と合同になるもの、を特定し、ｒ成分のベクトル（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）と法ｄで合同なｖ（ｒ）を各格子点ｊで根関数ｇ＊（ｊ）に掛けてＭＣベクトル関数を
と定めて、そのｒ個の成分をＧ＊（ｊ）の格子点ｊに与えられた独立なｒ個のＭＣ乱数とし、最隣接格子点に与えられるｒ成分どうしは無相関と見る事ができる格子Ｇ＊（ｊ）上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓなＭＣ乱数配置とする方法であって、シミュレーションで望まれるなら格子の周期性は放棄して例えばＧ＊（ｊ）の部分格子である初期設計のＧ（ｊ）の上でシミュレーションを行う、或はＧ＊（ｊ）に欠損を導入した格子上でシミュレーションを行う、そのために空間格子上で一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで各格子点には６以下のｒ個置かれ、最隣接格子点間では無相関と看做せるＭＣ乱数の配置方法。
【手続補正書】
【提出日】2021-11-25
【手続補正1】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】全文
【補正方法】変更
【補正の内容】
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
整数の３つ組（ｄ、ｚ、ｎ）、ｄ＞０、ｄとは素で乗数と呼ばれるｚ＞０、ｄとは素で初期値あるいは種ｓｅｅｄと呼ばれるｎ、が与えるｍｕｌｔｉｐｌｉｃａｔｉｖｅ ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｉａｌ（ＭＣ）法、即ち乗算合同法乱数生成機構は、ｄを法とする再帰的合同関係で開区間（０、ｄ）の整数の列｛ｚ０，ｚ１，ｚ２， ．．．｝を
ｚ０＝ｍｏｄ（ｎ，ｄ）， ｚｋ＋１＝ｍｏｄ（ｚｚｋ，ｄ）
ｋ＝１，２， ．．．
まとめてｚｋ＝ｍｏｄ（ｎｚｋ，ｄ）、ｋ＝０、１、２、…と生成し、開区間（０、１）に一様に分布した有理数列
｛ｘｋ：＝ｚｋ／ｄ｜ ｋ＝０，１，２， ．．．｝
が一様独立乱数の見本列に見える様にｄ、ｚを様々に検定し選んで（文献Ａ）用いる。この最も古い乱数生成方法は、しかし最も広範強力な生成機構であり、コンピュータ上の有限長さの任意一様乱数列を１／ｚの精度で近似する。（文献Ａ）２０世紀からＭＣ法については生成された乱数の相続くｋ連がｋ次元の格子を作る事が知られていた。その性質は６以下のｋ個の相続く連が独立な統計を持つ列の見本である条件、６次までのスペクトル検定としても利用された。
（文献Ａ）中澤宏／中澤直也：“コンピュータ上の優れた乱数とは何か”、東京図書、出版予定。
ｚ０＝ｍｏｄ（ｎ，ｄ）， ｚｋ＋１＝ｍｏｄ（ｚｚｋ，ｄ）
ｋ＝１，２， ．．．
まとめてｚｋ＝ｍｏｄ（ｎｚｋ，ｄ）、ｋ＝０、１、２、…と生成し、開区間（０、１）に一様に分布した有理数列
｛ｘｋ：＝ｚｋ／ｄ｜ ｋ＝０，１，２， ．．．｝
が一様独立乱数の見本列に見える様にｄ、ｚを様々に検定し選んで（文献Ａ）用いる。この最も古い乱数生成方法は、しかし最も広範強力な生成機構であり、コンピュータ上の有限長さの任意一様乱数列を１／ｚの精度で近似する。（文献Ａ）２０世紀からＭＣ法については生成された乱数の相続くｋ連がｋ次元の格子を作る事が知られていた。その性質は６以下のｋ個の相続く連が独立な統計を持つ列の見本である条件、６次までのスペクトル検定としても利用された。
（文献Ａ）中澤宏／中澤直也：“コンピュータ上の優れた乱数とは何か”、東京図書、出版予定。
【0002】
２０１２年までのスペクトル検定理論は、遺憾ながら、乱数の相次ぐ３連から６連までに関する検定基準に認識の過誤があった。これは（文献Ａ）が指摘し、正しいものとして、ＭＣ乱数の３以上のｋを個数とする相続く連の作るｋ次元格子が、正格子の場合の最大格子間隔に基づくスペクトル検定と、より精密に格子ベクトルそのものが正単体を最小単位細胞とする正格子からの変化に基づく最大最小稜検定とで構成しなければならない事が結論された。これら新しい検定の合格者は大変少なく、発見は膨大な検定時間を要する。それでも何年にも亙る困難な検定計算を越えて、２０１８年以降素数の法と原始根乗数の生成機構の１組＃Ｍ００１と、２つの奇素数の積を法とする２組の生成機構＃００１と＃００３、が発見された。後２者は２５２－２５１程度の大きな周期、倍精度実数に十分な桁数の一様乱数出力、そして検定の結果で保証される優れた独立性、統計精度を持ち、倍精度計算を要する現代の大規模シミュレーションに相応しいものである。２つの奇素数の積を法とする構造は、孫子（中国南北朝時代４００－５００ＡＤ）の定理から倍精度整数計算での生成技法を可能として実際的にも（文献Ａ）きわめて優れている。この、３年以上に亙る検定時間経緯でも漸く３個という状況からも明らかな様に、すべての検定に合格するＭＣ乱数生成法は真に希少であるが、素数の法と原始根乗数の生成機構は孫子の定理が適用できないため４倍精度整数計算か、あるいは何等かの多倍長整数計算の工夫が必要となるにも関わらず、得られる周期は２３０を少し越える程度で、パソコン上でもごく短い時間で周期を使い切られ、乱数出力は実数単精度にとどまり、現在のシミュレーション研究に不適である事は全般状況として認識されなければならない。
【0003】
これら理解された構造や以下述べる発明では、“法の整数ｄに関する整数達の合同関係”が重要な構成要素、推論要素である。それは２つの整数ｘとｙの差ｘ－ｙがｄの倍数、ｄの整数倍であるとき“ｘとｙは法ｄで合同”と定義し、“法ｄで同じものだ”とする考え方である。一見煩わしいが、これは極めて有利な考え方である。詳細は添付の文献Ａに詳しいので参照して頂きたい。残念ながら特許文書では“合同記号”さえも許されない。そこで妥協として上の合同関係を“ｘ￥ｄ￥ｙ”と記す。この明細書限りの記法だが記述のため納得して頂きたい。合同関係は等式同様
（１）ｘ￥ｄ￥ｙ、 ｙ￥ｄ￥ｚならｘ￥ｄ￥ｚ、
（２）ｘ￥ｄ￥ｘ‘、 ｙ￥ｄ￥ｙ’、ｚ￥ｄ￥ｚ‘、…なら
ｘｙｚ￥ｄ￥ｘ‘ｙｚ￥ｄ￥ｘ’ｙ‘ｚ￥ｄ￥…、
等を成り立たせる。特に極めて有用な理解を次の補題１に述べる。
（補題１）整数ｘ、ｙ、ｚ、…はそれぞれ法ｄでｘ‘、ｙ’、ｚ‘…と合同とすると、整数成分と整数係数の加減乗法だけで構成される任意の関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）に関して
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ、…）
￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ’、…）￥ｄ￥…、
が成り立つ。言葉で述べれば、整数値の変数と整数係数の加減乗法だけで構成される関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）では任意の整数変数をそれと法ｄで合同なもので置き換えても全体が法ｄで合同に留まる性質は変わらない。（補題１終）証明はｘ‘＝ｘ＋ｐｄ、ｙ’＝ｙ＋ｑｄ、ｚ‘＝ｚ＋ｒｄなどと整数ｐ、ｑ、ｒで置いて見れば明らかである。計算言語での関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）即ち整数ｘを法ｄで割った余り、も使う事はできるが、例えば整数関数ｆ（ｘ、ｙ）のｄで割った余りを取るとｆ（ｘ、ｙ）の構造が見えなくなり、推論が難しくなる。このため“ｄで割った余り”を取るのは、加減乗法の計算のどの段階で取ってもよいのだから、最後に延期するのが得策で、我々はこの方針で進む。
（１）ｘ￥ｄ￥ｙ、 ｙ￥ｄ￥ｚならｘ￥ｄ￥ｚ、
（２）ｘ￥ｄ￥ｘ‘、 ｙ￥ｄ￥ｙ’、ｚ￥ｄ￥ｚ‘、…なら
ｘｙｚ￥ｄ￥ｘ‘ｙｚ￥ｄ￥ｘ’ｙ‘ｚ￥ｄ￥…、
等を成り立たせる。特に極めて有用な理解を次の補題１に述べる。
（補題１）整数ｘ、ｙ、ｚ、…はそれぞれ法ｄでｘ‘、ｙ’、ｚ‘…と合同とすると、整数成分と整数係数の加減乗法だけで構成される任意の関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）に関して
ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ、…）
￥ｄ￥ｆ（ｘ‘、ｙ、ｚ’、…）￥ｄ￥…、
が成り立つ。言葉で述べれば、整数値の変数と整数係数の加減乗法だけで構成される関数ｆ（ｘ、ｙ、ｚ、…）では任意の整数変数をそれと法ｄで合同なもので置き換えても全体が法ｄで合同に留まる性質は変わらない。（補題１終）証明はｘ‘＝ｘ＋ｐｄ、ｙ’＝ｙ＋ｑｄ、ｚ‘＝ｚ＋ｒｄなどと整数ｐ、ｑ、ｒで置いて見れば明らかである。計算言語での関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）即ち整数ｘを法ｄで割った余り、も使う事はできるが、例えば整数関数ｆ（ｘ、ｙ）のｄで割った余りを取るとｆ（ｘ、ｙ）の構造が見えなくなり、推論が難しくなる。このため“ｄで割った余り”を取るのは、加減乗法の計算のどの段階で取ってもよいのだから、最後に延期するのが得策で、我々はこの方針で進む。
【0004】
現在我々は、述べられた２つの素数の積を法とするＭＣ生成機構によって相続く乱数の直線的な６連
｛ｘｋ，ｘｋ＋１， ・・・，ｘｋ＋５｝
が互いに独立と見える優れた統計性と、実際に用い得る大周期（２５１や２５２を越え、生成にはコンピュータ上で年の単位を要するもの）とを持ち、倍精度実数乱数としても十分な桁数の精度を与える満足できるＭＣ乱数生成機構を得ている。しかしこの直線的な連の統計的性質だけではカバーできない用途がＭＣ乱数にはあり、各種シミュレーションで重大な問題となる。現在の発明はこの問題を解決する技術を目指して得られた。この方向への認識は１９９２年のＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ他（文献Ｂ）の指摘に始まる。彼等は２次元Ｉｓｉｎｇスピン１６×１６格子に、当時優れているとされた種々の乱数による初期値を与え、その時間発展を厳密解と比較して、当時の一様独立を名乗るすべての乱数は無視できない破綻を与えると報告した。底にあるのは一様独立乱数ならどのように格子点上に配置しても互いに一様独立である性質は変らないはずだ、という常識に基づく計算であろう。しかし上に述べた様に、直線的な連だけが独立と見える事を目指して選ばれた乱数にとって、これは過大な期待である。
（文献Ｂ）Ｍ．Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ， Ｄ． Ｐ． Ｌａｎｄａｕ ａｎｄ Ｙ． Ｊ．Ｗｏｎｇ， “Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｈｉｄｄｅｎ ｅｒｒｏｒｓ ｆｒｏｍ ‘ｇｏｏｄ’ ｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ”， Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ｖｏｌ．６９ （１９９２）， ｐｐ． ３３８２－３３８４．
｛ｘｋ，ｘｋ＋１， ・・・，ｘｋ＋５｝
が互いに独立と見える優れた統計性と、実際に用い得る大周期（２５１や２５２を越え、生成にはコンピュータ上で年の単位を要するもの）とを持ち、倍精度実数乱数としても十分な桁数の精度を与える満足できるＭＣ乱数生成機構を得ている。しかしこの直線的な連の統計的性質だけではカバーできない用途がＭＣ乱数にはあり、各種シミュレーションで重大な問題となる。現在の発明はこの問題を解決する技術を目指して得られた。この方向への認識は１９９２年のＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ他（文献Ｂ）の指摘に始まる。彼等は２次元Ｉｓｉｎｇスピン１６×１６格子に、当時優れているとされた種々の乱数による初期値を与え、その時間発展を厳密解と比較して、当時の一様独立を名乗るすべての乱数は無視できない破綻を与えると報告した。底にあるのは一様独立乱数ならどのように格子点上に配置しても互いに一様独立である性質は変らないはずだ、という常識に基づく計算であろう。しかし上に述べた様に、直線的な連だけが独立と見える事を目指して選ばれた乱数にとって、これは過大な期待である。
（文献Ｂ）Ｍ．Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ， Ｄ． Ｐ． Ｌａｎｄａｕ ａｎｄ Ｙ． Ｊ．Ｗｏｎｇ， “Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；Ｈｉｄｄｅｎ ｅｒｒｏｒｓ ｆｒｏｍ ‘ｇｏｏｄ’ ｒａｎｄｏｍ ｎｕｍｂｅｒ ｇｅｎｅｒａｔｏｒｓ”， Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ Ｖｏｌ．６９ （１９９２）， ｐｐ． ３３８２－３３８４．
【0005】
問題の核心は、６連を越える乱数列がどの様な統計的性質を持つかである。ＭＣ乱数は、法ｄで割る前の形はすべて、整数ｎｚｋと法ｄで合同な形だから、任意の２つのＭＣ乱数はｎｚｊとｎｚｋとしてよく、その間の遷移は乗数ｚｋ－ｊを法ｄで掛けて得られる。即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｚｊ）の初項（種）ｚｊと第２項ｚｊ×ｚｋ－ｊとである。この関係で乗数ｚｋ－ｊの２次スクトル検定を用いて任意の２つのＭＣ乱数が無相関と言えるかどうか、を判定できる。中澤と中澤（文献Ａ）はこの考察に基づいて一般化２次検定（文献Ａ）を導入した。次のページに優れたＭＣ乱数生成機構＃００１からの（ｄ、ｚｋ）の一般化２次検定値を１から１００までの次数ｋに対して［図１］として示す。
図１．優れた＃００１ＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚ）に対する
（ｄ、ｚｋ）の１００までのｋでの一般化２次検定値
（注Ａ）２次ではスペクトル検定と最大最小稜検定とは一致するので区別の必要はない。また２次スペクトル検定値は必ず１より大で、それが１．２５未満ならＭＣ乱数生成機構出力の相続く２連は互いに無相関と考える事ができる。
［図１］による詳しい説明は（文献Ａ）を参照して頂きたい。
図１．優れた＃００１ＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚ）に対する
（ｄ、ｚｋ）の１００までのｋでの一般化２次検定値
［図１］による詳しい説明は（文献Ａ）を参照して頂きたい。
【0006】
前頁の［図１］は、この＃００１ＭＣ生成機構がＲ＝６を越えてＲ＝８まで一般化２次検定値が１．２５未満、乱数出力ｘｋとｘｋ＋８も無相関である優秀な性質を持つ事を示す。ただそれから先は異なる。どれ位先まで行っても大きな相関を示唆する１．２５より大きい検定値も、それより小さく無相関を示す評価値も出現する。空間格子の幾何学的近傍に無相関と見えるＭＣ乱数を配置するにはこの状況を利用しなければならない。以下ではこの配置の実現可能性を示す。その技術的実体は、検定を繰り返して性能のよい配置を発見し選び出す手続きである。難しい議論を要するのは第一にこの手続き構造の特定である。そして第２にその結果の検定可能性、特に必要な検定時間の理解である。我々はこの両方に成功した。結果は検定構造について
（１）Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達の目指した通り、ＭＣ乱数を空間格子点に存在するＩｓｉｎｇスピン達のような物理系にＲ＝６以下のｒ個ずつ一様独立と見えるＭＣ乱数を配布し、空間的最隣接格子点に配布されたｒ個のＭＣ乱数のそれぞれから取った対は互いに無相関と見える配置とする方法の一般具体構造を示す。空間格子は周期的境界条件を課されない場合と、周期的境界条件を満たすトーラスである場合とに亘る。その両方について、２次元格子での優れたＭＣ乱数配置の探索成功を開示できる事を喜びに思う。
（２）空間格子点から出発して時間的に発展する時空間格子の上ではＲ／２＝３以下のｒを個数とする独立と見られるＭＣ乱数を各時空格子点に配置し、
（２Ａ）時間軸方向に相隣る格子点のｒ個のＭＣ乱数から取った対はすべて一様無相関であり、
（２Ｂ）同時刻に空間格子上の最隣接格子点の夫々に配布されたｒ個のＭＣ乱数のすべての対は共に一様で無相関と見る事ができる、
という状態を実現する配置の条件を文献Ａと共に精細に報告する。そして少なくとも空間的に文献Ａでは２次元までの場合に時間軸も含む時空格子の上の優れた乱数配置の実現を発見し開示できる喜びを持つ。我々が得た好結果は、実際のコンピュータの利用者が使用可能な形で各コンピュータセンターに備えられるべきソフトウェアとして、一様独立乱数生成機構と、空間格子上に置かれた空間的一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで最隣接近傍で無相関のＭＣ乱数配置の実現可能な形であり、それは容易に時空間格子上の同様の結論（文献Ａ）に敷衍される。
（１）Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達の目指した通り、ＭＣ乱数を空間格子点に存在するＩｓｉｎｇスピン達のような物理系にＲ＝６以下のｒ個ずつ一様独立と見えるＭＣ乱数を配布し、空間的最隣接格子点に配布されたｒ個のＭＣ乱数のそれぞれから取った対は互いに無相関と見える配置とする方法の一般具体構造を示す。空間格子は周期的境界条件を課されない場合と、周期的境界条件を満たすトーラスである場合とに亘る。その両方について、２次元格子での優れたＭＣ乱数配置の探索成功を開示できる事を喜びに思う。
（２）空間格子点から出発して時間的に発展する時空間格子の上ではＲ／２＝３以下のｒを個数とする独立と見られるＭＣ乱数を各時空格子点に配置し、
（２Ａ）時間軸方向に相隣る格子点のｒ個のＭＣ乱数から取った対はすべて一様無相関であり、
（２Ｂ）同時刻に空間格子上の最隣接格子点の夫々に配布されたｒ個のＭＣ乱数のすべての対は共に一様で無相関と見る事ができる、
という状態を実現する配置の条件を文献Ａと共に精細に報告する。そして少なくとも空間的に文献Ａでは２次元までの場合に時間軸も含む時空格子の上の優れた乱数配置の実現を発見し開示できる喜びを持つ。我々が得た好結果は、実際のコンピュータの利用者が使用可能な形で各コンピュータセンターに備えられるべきソフトウェアとして、一様独立乱数生成機構と、空間格子上に置かれた空間的一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓで最隣接近傍で無相関のＭＣ乱数配置の実現可能な形であり、それは容易に時空間格子上の同様の結論（文献Ａ）に敷衍される。
【0007】
成功の鍵は、既に触れたＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）一様乱数生成方法の大きな利点、ＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）列上のすべての項は法ｄで整数ｎｚｋの形を取る、という事実である。それを次の補題に再記して強調する。
（補題２）一般性を失う事なく整数ｊは整数ｋより小さいとする。法ｄでのｎｚｊとｎｚｋとはＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｎｚｊ）の第１項と第２項であり、これらの出力が２次元平面に張る格子が正三角形を含む三角格子に近いなら、即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ）の一般化２次スペクトル検定値（文献Ａ）が１．２５より小なら、２乱数ｎｚｊとｎｚｋは無相関と見てよい。
（証明）スペクトル検定値によるこの状況の説明は［図１］と共に（文献Ａ）（注Ｂ）に詳しく示されている。（証明終）
（注Ｂ）一般化２次検定はロシア特許と米国特許とを付与された。（文献Ａ）内包する応用の可能性がシミュレーションを利用するすべての国の人々に重要である事と負担の公平を考えて、発明者、中澤宏と中澤直也はこれら特許を無償で公開する。
（補題２）一般性を失う事なく整数ｊは整数ｋより小さいとする。法ｄでのｎｚｊとｎｚｋとはＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ、ｎｚｊ）の第１項と第２項であり、これらの出力が２次元平面に張る格子が正三角形を含む三角格子に近いなら、即ちＭＣ乱数生成機構（ｄ、ｚｋ－ｊ）の一般化２次スペクトル検定値（文献Ａ）が１．２５より小なら、２乱数ｎｚｊとｎｚｋは無相関と見てよい。
（証明）スペクトル検定値によるこの状況の説明は［図１］と共に（文献Ａ）（注Ｂ）に詳しく示されている。（証明終）
（注Ｂ）一般化２次検定はロシア特許と米国特許とを付与された。（文献Ａ）内包する応用の可能性がシミュレーションを利用するすべての国の人々に重要である事と負担の公平を考えて、発明者、中澤宏と中澤直也はこれら特許を無償で公開する。
【0008】
空間格子上のシミュレーションには、Ｆｅｒｒｅｎｂｅｒｇ達のように空間に分布した物理量にランダムな初期値を与えて時間発展を求める“初期値問題”と、さらに時空間に与えられたＭＣ一様乱数の場（文献Ａ）の影響の下で、ある種のランダムウォークを行う粒子系の運動、無重力シミュレーション、反応、凝集、重力下での沈降など、の多様な実際問題が関係する；これは文献Ａでも、さらに稿を変えてｉｎｔｅｒｎｅｔ上でも述べる。これらの応用に共通するのは１つの格子点に複数ｒ個の互いに独立なＭＣ乱数の配置が求められる点である。複数の一様独立乱数とは、例えばランダムな速度ベクトルの成分、液体媒質分子からの衝撃力の成分、などである。ここでは最も基本的な、ＭＣランダムな初期値を６個以下のｒ個まで空間格子に配置する問題から始める。この問題で乱数生成配布技術が認識すべき事は、“独立と見える乱数を得るのに我々にはＭＣ乱数の相続くｒ連、ｒは６以下、を取る以外の方法がない”という現実である。状況は次の補題３にまとめられる。
（補題３）１つの空間格子点にシミュレーションが求める独立と見えるＭＣ乱数の個数をｒとする。現在可能なｒは６以下で、ＭＣ乱数列の相続く６個の中に取られなければならない。（補題３終）
（補題３）１つの空間格子点にシミュレーションが求める独立と見えるＭＣ乱数の個数をｒとする。現在可能なｒは６以下で、ＭＣ乱数列の相続く６個の中に取られなければならない。（補題３終）
【0009】
具体的な議論を空間格子の表記から始める。次元ｓが２以上で正の整数Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓで表される空間格子Ｇ（ｊ）を行ベクトルｊと共に定義する：
Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓ
＝｛ｊ：＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）｜
ｊｋは０からＪｋ－１まで、ｋは１からｓまで｝
後にｓ＝１の１次元格子も考えるが、その場合にはｊはベクトルではなく格子座標の番号ｊ１と考える。Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓを格子のサイズの整数と呼ぶ。
Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓ
＝｛ｊ：＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）｜
ｊｋは０からＪｋ－１まで、ｋは１からｓまで｝
後にｓ＝１の１次元格子も考えるが、その場合にはｊはベクトルではなく格子座標の番号ｊ１と考える。Ｊ１、Ｊ２、…、Ｊｓを格子のサイズの整数と呼ぶ。
【0010】
格子Ｇ（ｊ）の上のＩｓｉｎｇ原子の様な物理系にランダムなＭＣ乱数を初期値として与えるとしよう。我々は次の方針（Ａ）－（Ｃ）に沿ってそれを実現する。
（Ａ）この格子の各点ｊに適当な１つのＭＣ乱数（のｄ倍）を配置して、ランダムな根（ね）の関数ｇ（ｊ）と名付け、
（Ｂ）各格子点の根ｇ（ｊ）に相続くｒ個のＭＣ（ｄ，ｚ）乱数の行ベクトルｖ（ｒ）、法ｄで記して
ｖ（ｒ）￥ｄ￥（１，ｚ，ｚ２，…，ｚｒ－１）
を掛けて（接木して）各格子点で求められるｒ個のＭＣ乱数（のｄ倍）を構成するランダムＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と定め、
（Ｃ）それらの格子上への“うまい”配置技術を発見する。
作戦をより具体的に述べる。まず
（ａ）ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する乱数列（のｄ倍）をあるｒ以上の整数Ｊ０毎に切り分け、得られる長さＪ０の小列の先頭のＭＣ乱数を根（ね）ｒｏｏｔとする。ＭＣランダムな根の関数ｇ（ｊ）の値（のｄ倍）は整数の法ｄの意味で
｛ｎｚ＾（ｋＪ０）｜ｋ＝０，１，…，Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と表す事ができる。
（ｂ）これらの根は格子点ｊの上に相応しい方法で置かれ、行ベクトルｖ（ｒ）をｊでの根関数ｇ（ｊ）への植え付けに相当してｇ（ｊ）に掛け合わせ、
（ｃ）各格子点の行ベクトルの成分ｒ個を法ｄで取ってその格子点に与えられる独立なＭＣ乱数の（ｄ倍された）整数と考える。
上に述べた根の各格子点への相応しい配置の方法は次の段落の準備から始めて記す。
（Ａ）この格子の各点ｊに適当な１つのＭＣ乱数（のｄ倍）を配置して、ランダムな根（ね）の関数ｇ（ｊ）と名付け、
（Ｂ）各格子点の根ｇ（ｊ）に相続くｒ個のＭＣ（ｄ，ｚ）乱数の行ベクトルｖ（ｒ）、法ｄで記して
ｖ（ｒ）￥ｄ￥（１，ｚ，ｚ２，…，ｚｒ－１）
を掛けて（接木して）各格子点で求められるｒ個のＭＣ乱数（のｄ倍）を構成するランダムＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と定め、
（Ｃ）それらの格子上への“うまい”配置技術を発見する。
作戦をより具体的に述べる。まず
（ａ）ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する乱数列（のｄ倍）をあるｒ以上の整数Ｊ０毎に切り分け、得られる長さＪ０の小列の先頭のＭＣ乱数を根（ね）ｒｏｏｔとする。ＭＣランダムな根の関数ｇ（ｊ）の値（のｄ倍）は整数の法ｄの意味で
｛ｎｚ＾（ｋＪ０）｜ｋ＝０，１，…，Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と表す事ができる。
（ｂ）これらの根は格子点ｊの上に相応しい方法で置かれ、行ベクトルｖ（ｒ）をｊでの根関数ｇ（ｊ）への植え付けに相当してｇ（ｊ）に掛け合わせ、
（ｃ）各格子点の行ベクトルの成分ｒ個を法ｄで取ってその格子点に与えられる独立なＭＣ乱数の（ｄ倍された）整数と考える。
上に述べた根の各格子点への相応しい配置の方法は次の段落の準備から始めて記す。
【0011】
これからの格子上の他の利用も考えて、ＭＣ生成機構（ｄ、ｚ、ｎ）が生成する法ｄのＭＣ乱数列は周期を超えて正負両方向へ延長し、無限長と看做す。その無限長の上でＭＣ乱数列の実用周期Ｔ（注Ｃ）を
（α）ｚＴが法ｄで－１、即ちｄ－１と合同になる最小の正のＴ、或は
（β）ｚＴが法ｄで－１と合同にならなければＴは乱数列の周期（注Ｃ）
と定義する。実用周期Ｔの間にはＭＣ乱数列には法ｄで同じ値を取るＭＣ乱数は出現しない。以下ではＪ０毎の根とそれらの間のＭＣ乱数で空間格子点全体に配置される総数Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは使える周期Ｔ内である、即ちＪ０Ｊ１…ＪｓはＴ以下である、と仮定する。導入された整数Ｊ０はずらしｓｔａｇｇｅｒの定数と呼ぶ。
（注Ｃ）法ｄでｚＴが－１即ちｄ－１に合同なら、Ｔ乗以後のＭＣ乱数列は本質的にそれまでの符号だけを変えた繰り返しで、統計的に独立ではない。また例えば法７では乗数２の冪は、わかりやすい関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）の形で書いて
ｍｏｄ（２０，７）＝１、ｍｏｄ（２１，７）＝２、
ｍｏｄ（２２，７）＝４，ｍｏｄ（２３，７）＝１
と繰り返して－１或いは６は取る事がなく、３乗で巡回列周期の値１を実現する。大きな素数を法とする乗数で原始根ではない、上の法７での２の様な性質のものでも、諸検定が優れた評価値であれば用いてよい。
（α）ｚＴが法ｄで－１、即ちｄ－１と合同になる最小の正のＴ、或は
（β）ｚＴが法ｄで－１と合同にならなければＴは乱数列の周期（注Ｃ）
と定義する。実用周期Ｔの間にはＭＣ乱数列には法ｄで同じ値を取るＭＣ乱数は出現しない。以下ではＪ０毎の根とそれらの間のＭＣ乱数で空間格子点全体に配置される総数Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは使える周期Ｔ内である、即ちＪ０Ｊ１…ＪｓはＴ以下である、と仮定する。導入された整数Ｊ０はずらしｓｔａｇｇｅｒの定数と呼ぶ。
（注Ｃ）法ｄでｚＴが－１即ちｄ－１に合同なら、Ｔ乗以後のＭＣ乱数列は本質的にそれまでの符号だけを変えた繰り返しで、統計的に独立ではない。また例えば法７では乗数２の冪は、わかりやすい関数ｍｏｄ（ｘ，ｄ）の形で書いて
ｍｏｄ（２０，７）＝１、ｍｏｄ（２１，７）＝２、
ｍｏｄ（２２，７）＝４，ｍｏｄ（２３，７）＝１
と繰り返して－１或いは６は取る事がなく、３乗で巡回列周期の値１を実現する。大きな素数を法とする乗数で原始根ではない、上の法７での２の様な性質のものでも、諸検定が優れた評価値であれば用いてよい。
【0012】
（正の整数の可変基数による表現）
（補題４）それぞれが２以上の格子サイズの整数Ｊ１，Ｊ２，…、Ｊｓが与えられたとする。固定された２以上の整数Ｊを基数とする０以上Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋの表現
Ｋ＝ｊ１＋ｊ２Ｊ＋ｊ３Ｊ２＋…＋ｊｓＪｓ－１
は学校算数以来我々には使い慣れたものであるが、対応して、０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋは整数の組、行ベクトルｊ＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）による次の一意の可変基数の表現Ｋ＝κ（ｊ）を持つ：
Ｋ＝κ（ｊ）：＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１，
番号ｋは１からｓまでとしてｊｋは０からＪｋ－１まで．
（証明）上の関数Ｋ＝κ（ｊ）は与えられた範囲のすべての整数変数ｊ１，ｊ２，…，ｊｓの増加関数で、０以上から次の最大数
（Ｊ１－１）＋（Ｊ２－１）Ｊ１＋（Ｊ３－１）Ｊ１Ｊ２＋…
＋（Ｊｓ－１）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
までの値を持つ。同じ整数Ｋの別の整数の組での表現
Ｋ＝ｊ１’＋ｊ２’Ｊ１＋ｊ３’Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓ’Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１
番号ｋは１からｓまで、ｊｋ’は０からＪｋ－１まで
がある、と仮定すると次の等式が成り立つ：
０＝（ｊ１’－ｊ１）＋（ｊ２’－ｊ２）Ｊ１＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ１Ｊ２＋
…＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
この等式を整数２以上のＪ１で割って余りの等式ｊ１’－ｊ１＝０、ｊ１’＝ｊ１を得る。故に上の０の等式右辺はＪ１で割り切られて商は０、
０＝（ｊ２’－ｊ２）＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ２＋…
＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ２…Ｊｓ－１
である。再びこの等式をＪ２で割ると余りは０＝ｊ２’－ｊ２、ｊ２’＝ｊ２を得る。以下同様でｊｓ’＝ｊｓまでを得る。故に０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の整数Ｋの可変基数表現Ｋ＝κ（ｊ）は一意である。（証明終）
これらは我々が固定基数の整数表現で無意識に使っている事実である。
（補題４）それぞれが２以上の格子サイズの整数Ｊ１，Ｊ２，…、Ｊｓが与えられたとする。固定された２以上の整数Ｊを基数とする０以上Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋの表現
Ｋ＝ｊ１＋ｊ２Ｊ＋ｊ３Ｊ２＋…＋ｊｓＪｓ－１
は学校算数以来我々には使い慣れたものであるが、対応して、０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の任意の整数Ｋは整数の組、行ベクトルｊ＝（ｊ１，ｊ２，…，ｊｓ）による次の一意の可変基数の表現Ｋ＝κ（ｊ）を持つ：
Ｋ＝κ（ｊ）：＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１，
番号ｋは１からｓまでとしてｊｋは０からＪｋ－１まで．
（証明）上の関数Ｋ＝κ（ｊ）は与えられた範囲のすべての整数変数ｊ１，ｊ２，…，ｊｓの増加関数で、０以上から次の最大数
（Ｊ１－１）＋（Ｊ２－１）Ｊ１＋（Ｊ３－１）Ｊ１Ｊ２＋…
＋（Ｊｓ－１）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
までの値を持つ。同じ整数Ｋの別の整数の組での表現
Ｋ＝ｊ１’＋ｊ２’Ｊ１＋ｊ３’Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓ’Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１
番号ｋは１からｓまで、ｊｋ’は０からＪｋ－１まで
がある、と仮定すると次の等式が成り立つ：
０＝（ｊ１’－ｊ１）＋（ｊ２’－ｊ２）Ｊ１＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ１Ｊ２＋
…＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１．
この等式を整数２以上のＪ１で割って余りの等式ｊ１’－ｊ１＝０、ｊ１’＝ｊ１を得る。故に上の０の等式右辺はＪ１で割り切られて商は０、
０＝（ｊ２’－ｊ２）＋（ｊ３’－ｊ３）Ｊ２＋…
＋（ｊｓ’－ｊｓ）Ｊ２…Ｊｓ－１
である。再びこの等式をＪ２で割ると余りは０＝ｊ２’－ｊ２、ｊ２’＝ｊ２を得る。以下同様でｊｓ’＝ｊｓまでを得る。故に０以上Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１以下の整数Ｋの可変基数表現Ｋ＝κ（ｊ）は一意である。（証明終）
これらは我々が固定基数の整数表現で無意識に使っている事実である。
【0013】
（格子上のランダムなＭＣ乱数初期値問題の解：ＭＣ根ｒｏｏｔ関数とＭＣベクトル関数）
ランダムなＭＣ根関数ｇ（ｊ）の可能な形、ＭＣ乱数列をｒ以上の整数の間隔Ｊ０でずらした（ｓｔａｇｇｅｒした）ＭＣ乱数の空間格子Ｇ（ｊ）への配置と、格子上に置かれた（接ぎ木された）ＭＣ乱数行ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）とは次の定理で与えられる。
（定理５）（空間格子上のＭＣランダムな根関数とＭＣベクトル関数）
６次まで正単体基準スペクトル及び最大最小稜検定に合格するＭＣ（ｄ，ｚ，ｎ）乱数列を取り、空間格子Ｇ（ｊ）のすべての格子点ｊでＭＣ乱数関数（ＭＣ根関数と呼ぶ）ｇ（ｊ）を次の様に定義する
κ（ｊ）＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１
ｇ（ｊ）￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾｛ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋ｊ３Ｊ０Ｊ１Ｊ２＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
格子Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に置かれたＭＣ根関数ｇ（ｊ）にｒ成分ランダム行ベクトルｖ（ｒ）￥ｄ￥（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）、ｒは正でＲ＝６以下、を法ｄで掛けた（接木した）ＭＣランダム行ベクトル関数を
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
で定義する。ただしＪ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以内という制限、Ｔは用い得る周期、を置いて、用いられるＭＣ乱数の重複が無い様に制限する。このとき法ｄでｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と同値なランダム行ベクトル関数は、Ｇ（ｊ）空間格子の各点にｒ個の互いに独立と看做せる異なったＭＣ乱数（のｄで割る前の整数達）を配置する。
（証明）ＭＣ乱数列は巡回周期列、或は剰余類周期列であり、周期以内ではすべて異なるＭＣ乱数からなる。使い得る周期Ｔはこれら周期の半分であるか全体であるか、なので、Ｊ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以下であればｇ（ｊ）の右辺はｊが異なればすべて異なるＭＣ乱数（のｄ倍）からなる事に注意する。空間格子の整数格子点ｊ上の関数κ（ｊ）は０からＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１までのすべての整数を１回ずつ経ることが補題４によって示されている。故にｇ（ｊ）は
｛ｎｚ＾（Ｊ０Ｋ）｜Ｋ＝０、１、２、…、Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と、（ｄ、ｚ、ｎ）ＭＣ乱数列の先頭からＪ０毎に切り分けた小列Ｎ個、
Ｎ＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ＝Ｇ（ｊ）の格子点の総数
の各小列の先頭ＭＣ乱数を、Ｋ＝κ（ｊ）の指定するＧ（ｊ）の格子点ｊに配置する。ランダムベクトル関数は、これら根関数に乗じられたｒ成分ベクトルｖ（ｒ）だから、それぞれ長さＪ０の小列内にあって、ＭＣ乱数列上のＫ番目の小列内のｒ個のＭＣ乱数がＫ＝κ（ｊ）で指定される格子点ｊに置かれている。
用いられた小列全体のＭＣ乱数の個数ｒＮは、
Ｊ０Ｎ＝Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ
以内であり、仮定された制限によって使い得る周期Ｔ以内であって、ＭＣ乱数列上のすべて異なる乱数である。（定理５証明終）
ランダムなＭＣ根関数ｇ（ｊ）の可能な形、ＭＣ乱数列をｒ以上の整数の間隔Ｊ０でずらした（ｓｔａｇｇｅｒした）ＭＣ乱数の空間格子Ｇ（ｊ）への配置と、格子上に置かれた（接ぎ木された）ＭＣ乱数行ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）とは次の定理で与えられる。
（定理５）（空間格子上のＭＣランダムな根関数とＭＣベクトル関数）
６次まで正単体基準スペクトル及び最大最小稜検定に合格するＭＣ（ｄ，ｚ，ｎ）乱数列を取り、空間格子Ｇ（ｊ）のすべての格子点ｊでＭＣ乱数関数（ＭＣ根関数と呼ぶ）ｇ（ｊ）を次の様に定義する
κ（ｊ）＝ｊ１＋ｊ２Ｊ１＋ｊ３Ｊ１Ｊ２＋…＋ｊｓＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１
ｇ（ｊ）￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾｛ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋ｊ３Ｊ０Ｊ１Ｊ２＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
格子Ｇ（ｊ）：＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に置かれたＭＣ根関数ｇ（ｊ）にｒ成分ランダム行ベクトルｖ（ｒ）￥ｄ￥（１、ｚ、ｚ２、…、ｚｒ－１）、ｒは正でＲ＝６以下、を法ｄで掛けた（接木した）ＭＣランダム行ベクトル関数を
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｖ（ｒ）ｚ＾｛ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
で定義する。ただしＪ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以内という制限、Ｔは用い得る周期、を置いて、用いられるＭＣ乱数の重複が無い様に制限する。このとき法ｄでｇ（ｊ）ｖ（ｒ）と同値なランダム行ベクトル関数は、Ｇ（ｊ）空間格子の各点にｒ個の互いに独立と看做せる異なったＭＣ乱数（のｄで割る前の整数達）を配置する。
（証明）ＭＣ乱数列は巡回周期列、或は剰余類周期列であり、周期以内ではすべて異なるＭＣ乱数からなる。使い得る周期Ｔはこれら周期の半分であるか全体であるか、なので、Ｊ０Ｊ１Ｊ２…ＪｓがＴ以下であればｇ（ｊ）の右辺はｊが異なればすべて異なるＭＣ乱数（のｄ倍）からなる事に注意する。空間格子の整数格子点ｊ上の関数κ（ｊ）は０からＪ１Ｊ２…Ｊｓ－１までのすべての整数を１回ずつ経ることが補題４によって示されている。故にｇ（ｊ）は
｛ｎｚ＾（Ｊ０Ｋ）｜Ｋ＝０、１、２、…、Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１｝
と、（ｄ、ｚ、ｎ）ＭＣ乱数列の先頭からＪ０毎に切り分けた小列Ｎ個、
Ｎ＝Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ＝Ｇ（ｊ）の格子点の総数
の各小列の先頭ＭＣ乱数を、Ｋ＝κ（ｊ）の指定するＧ（ｊ）の格子点ｊに配置する。ランダムベクトル関数は、これら根関数に乗じられたｒ成分ベクトルｖ（ｒ）だから、それぞれ長さＪ０の小列内にあって、ＭＣ乱数列上のＫ番目の小列内のｒ個のＭＣ乱数がＫ＝κ（ｊ）で指定される格子点ｊに置かれている。
用いられた小列全体のＭＣ乱数の個数ｒＮは、
Ｊ０Ｎ＝Ｊ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ
以内であり、仮定された制限によって使い得る周期Ｔ以内であって、ＭＣ乱数列上のすべて異なる乱数である。（定理５証明終）
【0014】
（空間格子上に配置されたランダムベクトル関数、ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）の非周期的ｔｕｎｉｎｇ調整）
空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊからのｊｋ軸方向の最隣接格子点は、１からｓの任意格子座標軸番号ｋについて次で与えられる。
ｊ（ｋ＋）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ－）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ－１、…、ｊｓ）
格子点ｊに置かれるランダム根関数ｇ（ｊ）とそれに接木されたｒ成分（ｒはＲ＝６以下）のベクトルＭＣ乱数ｖ（ｒ）の具体形は、
ｇ（ｊ（ｋ＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（ｋ－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
である。これらがｓ次元格子Ｇ（ｊ）の格子点ｊとその最隣接格子点に与えられるＭＣ乱数の（ｄで割る前の整数部分の）ｒ成分達を表す。各格子点に置かれた行ベクトルｇ（ｊ）ｖ（ｒ）に含まれるＭＣ乱数は始めから優れた独立性を示すものに選ばれている。さらにこれらと格子の幾何学的最隣接格子点の上のｒ成分ＭＣ乱数同士が、独立とは言わずとも無相関かどうかを見るには発見された具体形、ｇ（ｊ（ｋ±））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ）ｖ（ｒ）、即ち共通ＭＣ乱数を除いたｒ個のＭＣ乱数の２組
ｖ（ｒ）とｖ（ｒ）ｚ＾（±Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
のすべての対が与えるＭＣ生成機構の一般化２次検定を見ればよい。ＭＣ乱数の対ｎｚｊとｎｚｋなら、積の乗数
ｚｋ－ｊ￥ｄ￥（ｎｚｊ）－１ｎｚｋ
の一般化２次検定が１．２５未満の評価値を与えればよいし、具体的にｎとｚで表さなくてもＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）乱数列の２成分ＡとＢとして、Ａ－１Ｂを乗数とする一般化２次検定値が１．２５未満ならＡとＢは無相関である。発明の最初の骨子は関連する対ＡとＢの特定、そして調べるべきＭＣ生成機構の乗数Ａ－１Ｂの特定であり、生成機構（ｄ、Ａ－１Ｂ）の一般化２次検定が評価値１．２５未満を持てばＡとＢは無相関であると理解される。
空間格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊからのｊｋ軸方向の最隣接格子点は、１からｓの任意格子座標軸番号ｋについて次で与えられる。
ｊ（ｋ＋）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＋１、…、ｊｓ）
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ－）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ－１、…、ｊｓ）
格子点ｊに置かれるランダム根関数ｇ（ｊ）とそれに接木されたｒ成分（ｒはＲ＝６以下）のベクトルＭＣ乱数ｖ（ｒ）の具体形は、
ｇ（ｊ（ｋ＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（ｋ－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
である。これらがｓ次元格子Ｇ（ｊ）の格子点ｊとその最隣接格子点に与えられるＭＣ乱数の（ｄで割る前の整数部分の）ｒ成分達を表す。各格子点に置かれた行ベクトルｇ（ｊ）ｖ（ｒ）に含まれるＭＣ乱数は始めから優れた独立性を示すものに選ばれている。さらにこれらと格子の幾何学的最隣接格子点の上のｒ成分ＭＣ乱数同士が、独立とは言わずとも無相関かどうかを見るには発見された具体形、ｇ（ｊ（ｋ±））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ）ｖ（ｒ）、即ち共通ＭＣ乱数を除いたｒ個のＭＣ乱数の２組
ｖ（ｒ）とｖ（ｒ）ｚ＾（±Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－１）
のすべての対が与えるＭＣ生成機構の一般化２次検定を見ればよい。ＭＣ乱数の対ｎｚｊとｎｚｋなら、積の乗数
ｚｋ－ｊ￥ｄ￥（ｎｚｊ）－１ｎｚｋ
の一般化２次検定が１．２５未満の評価値を与えればよいし、具体的にｎとｚで表さなくてもＭＣ（ｄ、ｚ、ｎ）乱数列の２成分ＡとＢとして、Ａ－１Ｂを乗数とする一般化２次検定値が１．２５未満ならＡとＢは無相関である。発明の最初の骨子は関連する対ＡとＢの特定、そして調べるべきＭＣ生成機構の乗数Ａ－１Ｂの特定であり、生成機構（ｄ、Ａ－１Ｂ）の一般化２次検定が評価値１．２５未満を持てばＡとＢは無相関であると理解される。
【0015】
関連するＡ－１Ｂを見落としなく得るために乱数の行ベクトル
ｖ（ｒ）－１：￥ｄ￥（１、ｚ－１、ｚ－２、…、ｚ－（ｒ－１））
を導入する；ＭＣ乱数は法ｄとは素な整数で、法ｄの逆元が存在する。（文献Ａ）この行ベクトルを転置した列ベクトルをｔ｛ｖ（ｒ）－１｝と記し、行列としての積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）を下の［図２］に描く。この［図２］の諸項の関係をまとめてＡ－１Ｂに相当する諸乱数を抽出するのは次の補題６である。
図２．ｒ以上の整数Ｋに対する行列積｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）
補題６．（ｖ（ｒ）とｚＫｖ（ｒ）を結ぶＭＣ生成機構）
整数Ｋはｒ以上とする。行ベクトルｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数と行ベクトルｚＫｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数のすべての対が無相関である事を示すには、２ｒ－１個のＭＣ生成機構
（ｄ、ｚＫ），（ｄ、ｚＫ＋１）、 …、 （ｄ、ｚＫ＋ｒ－１）、
（ｄ、ｚＫ－ １）、 …、 （ｄ、ｚＫ－ｒ＋１）、
が一般化２次検定値を１．２５未満に持つと示せばよい。
（証明）［図２］の行列積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）の成分は補題６のすべてのＭＣ乱数の積を含んでいる。各項の重複を除き異なる項を拾い集めれば結論を得る。（証明終）
ｖ（ｒ）－１：￥ｄ￥（１、ｚ－１、ｚ－２、…、ｚ－（ｒ－１））
を導入する；ＭＣ乱数は法ｄとは素な整数で、法ｄの逆元が存在する。（文献Ａ）この行ベクトルを転置した列ベクトルをｔ｛ｖ（ｒ）－１｝と記し、行列としての積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）を下の［図２］に描く。この［図２］の諸項の関係をまとめてＡ－１Ｂに相当する諸乱数を抽出するのは次の補題６である。
図２．ｒ以上の整数Ｋに対する行列積｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）
整数Ｋはｒ以上とする。行ベクトルｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数と行ベクトルｚＫｖ（ｒ）（ｍｏｄ ｄ）のｒ個のＭＣ乱数のすべての対が無相関である事を示すには、２ｒ－１個のＭＣ生成機構
（ｄ、ｚＫ），（ｄ、ｚＫ＋１）、 …、 （ｄ、ｚＫ＋ｒ－１）、
（ｄ、ｚＫ－ １）、 …、 （ｄ、ｚＫ－ｒ＋１）、
が一般化２次検定値を１．２５未満に持つと示せばよい。
（証明）［図２］の行列積ｔ｛ｖ（ｒ）－１｝ｚＫｖ（ｒ）の成分は補題６のすべてのＭＣ乱数の積を含んでいる。各項の重複を除き異なる項を拾い集めれば結論を得る。（証明終）
【0016】
補題６の２ｒ－１個の生成機構は、格子点ｊに与えられＭＣランダムベクトル関数のｒ個のＭＣ乱数と、ｊの最隣接格子点に与えられたランダムベクトル関数のｒ個のＭＣ乱数のすべての対を与える。それらを乗数としてすべてが一般化２次検定に合格する１組を発見すれば、望む格子上の乱数配置が完成する。まず調べるべきＭＣ乱数生成機構の組を発見する。それは定理にまとめられる。
定理７．（周期性は求めない格子の点とその最隣接近傍格子点とに置かれたランダムベクトル関数の成分毎の対の無相関を検定する生成機構配置）
整数ｒはＲ＝６以下であり、整数Ｊ０はｒ以上とする。ＭＣ乱数（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの列の上で、ずらしの整数Ｊ０毎に取られた根ｒｏｏｔを空間ｓ次元格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に植えつけたランダムｒｏｏｔ根関数ｇ（ｊ）＝ｇ（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）は法ｄで次の具体形を持つ：
ｇ（ｊ）ｚ￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１）．
また格子点ｊで番号ｋ（但しｋは１以上ｓ以下）の格子座標ｊｋ方向の最隣接格子点をｊ’とすると、ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数とベクトル関数ｇ（ｊ’）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数のすべての対の無相関は、次のページ［図３］に（Ｉ１）‐（Ｉｓ）と記されたＭＣ生成機構、各２ｒ－１個の生成機構ｓ組、の一般化２次検定がすべて評価値１．２５未満を与える事で示す事ができる。
（証明）上の補題６と空間格子の座標軸番号ｋ＝１、２、…、ｓに対するｊｋ軸方向を調べて結論は得られる。例としてｋ＝２の場合を詳しく述べる。この場合格子の境界点ではないｊに対して
ｊ＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）
それぞれの上でのランダムベクトル関数は次の通りである。
ｇ（ｊ（２＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（２－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）
ＭＣ乱数Ａ，Ｂからの形Ａ－１Ｂを頭に置いて共通なＭＣ乱数ｇ（ｊ）を割って除くと、ｊに関係のない形
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
または
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
を得る。Ａ－１Ｂ或はＢ－１Ａから、無相関を調べるべき遷移はｖ（ｒ）からｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）としてよい。なお、最終的な遷移の形は格子座標ｊを含まない事に注意する。ｊが格子Ｇ（ｊ）の境界にあるとｊ（２±）のどちらかはｊのｊ２格子座標方向の最隣接格子点ではない可能性があるが、それはこのｊに関係しない結論には影響がない。（定理７証明終）
図３．空間格子上で最隣接近傍乱数を関係付ける生成機構
定理７．（周期性は求めない格子の点とその最隣接近傍格子点とに置かれたランダムベクトル関数の成分毎の対の無相関を検定する生成機構配置）
整数ｒはＲ＝６以下であり、整数Ｊ０はｒ以上とする。ＭＣ乱数（ｄ、ｚ、ｎ）生成機構からの列の上で、ずらしの整数Ｊ０毎に取られた根ｒｏｏｔを空間ｓ次元格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの各格子点に植えつけたランダムｒｏｏｔ根関数ｇ（ｊ）＝ｇ（ｊ１、ｊ２、…、ｊｓ）は法ｄで次の具体形を持つ：
ｇ（ｊ）ｚ￥ｄ￥ｎｚ＾｛Ｊ０κ（ｊ）｝
￥ｄ￥ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｓＪ０Ｊ１Ｊ２…Ｊｓ－１）．
また格子点ｊで番号ｋ（但しｋは１以上ｓ以下）の格子座標ｊｋ方向の最隣接格子点をｊ’とすると、ベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数とベクトル関数ｇ（ｊ’）ｖ（ｒ）のｒ成分ＭＣ乱数のすべての対の無相関は、次のページ［図３］に（Ｉ１）‐（Ｉｓ）と記されたＭＣ生成機構、各２ｒ－１個の生成機構ｓ組、の一般化２次検定がすべて評価値１．２５未満を与える事で示す事ができる。
（証明）上の補題６と空間格子の座標軸番号ｋ＝１、２、…、ｓに対するｊｋ軸方向を調べて結論は得られる。例としてｋ＝２の場合を詳しく述べる。この場合格子の境界点ではないｊに対して
ｇ（ｊ（２＋））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）
ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）
ｇ（ｊ（２－））ｖ（ｒ）￥ｄ￥ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）
ＭＣ乱数Ａ，Ｂからの形Ａ－１Ｂを頭に置いて共通なＭＣ乱数ｇ（ｊ）を割って除くと、ｊに関係のない形
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
または
Ｂ￥ｄ￥ｖ（ｒ）ｚ＾（－Ｊ０Ｊ１）、 Ａ￥ｄ￥ｖ（ｒ）、
を得る。Ａ－１Ｂ或はＢ－１Ａから、無相関を調べるべき遷移はｖ（ｒ）からｖ（ｒ）ｚ＾（Ｊ０Ｊ１）としてよい。なお、最終的な遷移の形は格子座標ｊを含まない事に注意する。ｊが格子Ｇ（ｊ）の境界にあるとｊ（２±）のどちらかはｊのｊ２格子座標方向の最隣接格子点ではない可能性があるが、それはこのｊに関係しない結論には影響がない。（定理７証明終）
図３．空間格子上で最隣接近傍乱数を関係付ける生成機構
【0017】
（非周期的な格子での調整ｔｕｎｉｎｇ）
複雑な考察で得られた定理７の一般化２次検定の乗数或はＭＣ生成機構は図３にまとめられ、今や一般化２次検定そのものを実行して最隣接近傍間での無相関を実現する事ができる。手順を次の補題８に述べる。
補題８（トーラスを仮定しない格子の任意格子点ｊでの調整ｔｕｎｉｎｇ）
まず、ずらしと格子サイズの整数の１組Ｊ０、Ｊ１、…、Ｊｓをシミュレーションの要求に適うように設計し定めて出発する。勿論、制限Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは用い得る周期Ｔを超えないと仮定する。対象となるどの生成機構も格子点ｊにはよらない。
（ｊ１軸方向）下の（ｉ１）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ１）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
これらはずらしの整数Ｊ０だけを含む。先頭から一般化２次検定を行う；（ｉ１）のどれから一般化２次検定を始めてもよいが結果はそれによって変わるだろう。この様に調整とその結果とは一意ではない。もし不合格の１．２５以上の評価が現れれば、このＪ０を破棄して新しいＪ０‘を取る。その取り方には２通りの可能性がある。
（調整ｉ１＋）Ｊ０‘＝Ｊ０＋１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１－）Ｊ０‘＝Ｊ０－１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１＋）の場合にはＪ０は最初余り大きくは取れない。（調整ｉ１－）の場合には最初大きなＪ０、例えばＪ０Ｊ１…Ｊｓが用い得る周期Ｔのかなり部分になるもの、を取る。以後この様な一般化２次検定を繰り返して、（ｉ１）のすべての生成機構が合格するもの発見してＪ ０ ‘を採用する。
（ｊ２軸方向）（ｉ２）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ２）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊ１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪ１を破棄して新しいＪ１‘＝Ｊ１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪ１’を発見する。もし合格者が出なければ、Ｊ０‘の調整に戻らなければならないが、我々にはその経験はなかった。
新しい格子サイズの整数Ｊｓ－１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪｓ－１を破棄して新しいＪｓ－１‘＝Ｊｓ－１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪｓ－１’を発見する。こうしてすべての必要な一般化２次検定に合格するずらしと格子サイズの整数Ｊ０‘，Ｊ１’、…、Ｊｓ－１‘とＪｓを用いる事で、調整された非周期的な格子
Ｇ‘（ｊ）：＝Ｊ１’×Ｊ２‘×…×Ｊｓ－１’×Ｊｓ
の上の調整された一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子点間に無相関のｒ個の独立なＭＣ乱数の組を与えるＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）は
ｇ‘（ｊ）￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
であり、ランダムベクトル関数は
ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ ｖ（ｒ）ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
となる。（補題８終）
複雑な考察で得られた定理７の一般化２次検定の乗数或はＭＣ生成機構は図３にまとめられ、今や一般化２次検定そのものを実行して最隣接近傍間での無相関を実現する事ができる。手順を次の補題８に述べる。
補題８（トーラスを仮定しない格子の任意格子点ｊでの調整ｔｕｎｉｎｇ）
まず、ずらしと格子サイズの整数の１組Ｊ０、Ｊ１、…、Ｊｓをシミュレーションの要求に適うように設計し定めて出発する。勿論、制限Ｊ０Ｊ１…Ｊｓは用い得る周期Ｔを超えないと仮定する。対象となるどの生成機構も格子点ｊにはよらない。
（ｊ１軸方向）下の（ｉ１）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ１）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０±（ｒ－１）｝）
これらはずらしの整数Ｊ０だけを含む。先頭から一般化２次検定を行う；（ｉ１）のどれから一般化２次検定を始めてもよいが結果はそれによって変わるだろう。この様に調整とその結果とは一意ではない。もし不合格の１．２５以上の評価が現れれば、このＪ０を破棄して新しいＪ０‘を取る。その取り方には２通りの可能性がある。
（調整ｉ１＋）Ｊ０‘＝Ｊ０＋１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１－）Ｊ０‘＝Ｊ０－１として（ｉ１）の一般化２次検定を行う。
（調整ｉ１＋）の場合にはＪ０は最初余り大きくは取れない。（調整ｉ１－）の場合には最初大きなＪ０、例えばＪ０Ｊ１…Ｊｓが用い得る周期Ｔのかなり部分になるもの、を取る。以後この様な一般化２次検定を繰り返して、（ｉ１）のすべての生成機構が合格するもの発見してＪ ０ ‘を採用する。
（ｊ２軸方向）（ｉ２）の２ｒ－１生成機構を取る。
（ｉ２）（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１｝）、 （ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±１｝）、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±２｝）、…、
（ｄ、ｚ＾｛Ｊ０‘Ｊ１±（ｒ－１）｝）
新しい格子サイズの整数Ｊ１だけを変えながら、例えば先頭から一般化２次検定を行う。もし不合格の評価が現れれば、このＪ１を破棄して新しいＪ１‘＝Ｊ１＋１を取り、一般化２次検定を繰り返し、すべてが合格するＪ１’を発見する。もし合格者が出なければ、Ｊ０‘の調整に戻らなければならないが、我々にはその経験はなかった。
Ｇ‘（ｊ）：＝Ｊ１’×Ｊ２‘×…×Ｊｓ－１’×Ｊｓ
の上の調整された一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子点間に無相関のｒ個の独立なＭＣ乱数の組を与えるＭＣランダム根関数ｇ‘（ｊ）は
ｇ‘（ｊ）￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
であり、ランダムベクトル関数は
ｇ‘（ｊ）ｖ（ｒ）￥ｄ￥ ｖ（ｒ）ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０’＋ｊ２Ｊ０‘Ｊ１’
＋ｊ３Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘＋…
＋ｊｓ－１Ｊ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－２’
＋ｊｓＪ０‘Ｊ１’ Ｊ２‘…Ｊｓ－１’）
となる。（補題８終）
【0018】
再度注意するが、この調整されたランダム根関数、ランダムベクトル関数の形は一意ではない。格子Ｇ‘（ｊ）は最初設計されたものより大きいが、それは問題ではない。Ｇ’（ｊ）の部分格子であるＪ１×Ｊ２×…×Ｊｓの上で用いればよい。ただしランダム根関数ｇ‘（ｊ）やランダムベクトル関数ｇ’（ｊ）ｖ（ｒ）は上の通りＪ１’、Ｊ２‘、…、Ｊｓ－１’とＪｓで定義されなければならない。
【0019】
（ランダムな初期値問題：空間格子Ｇ（ｊ）がトーラスである場合の周期的調整ｔｕｎｉｎｇ）
トーラスを形成する格子上の周期的境界条件の重要性はＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ等がＩｓｉｎｇ模型で厳密解に依拠した通りである。再びＧ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓを格子の設計出発値とする。格子座標軸ｊｋの方向の出発、終端境界点は
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝０、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝Ｊｋ－１、…、ｊｓ）
である。ランダム根関数ｇ（ｊ）がこれらの境界点での最隣接格子点に向けて持つ境界面に平行な遷移機構は今までと変わらず新しく考える必要はない。これらの境界点でランダム根関数は
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２＋（Ｊｋ－１）Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
￥ｄ￥ ｇ（ｊ（ｋ））ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
と表されるから、境界面に垂直にｊｋ軸方向に持つｇ（ｊ（ｋ））とｇ（ｊ（ｋ））の間の遷移乗数は法ｄで
ｚ＾｛±（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
であり、ランダムベクトル関数ｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）の間の遷移機構は共通ＭＣ乱数因子は除いてよく、また乗数の冪の指数は±どちらでもよいから
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝）、 ｋ＝１，２、…、ｓ
と記す事ができる。だから格子がトーラスである場合の
ｒ個の相続く乱数ｖ（ｒ）と
ｒ個の相続く乱数ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝ｖ（ｒ）と
の間のすべての遷移機構の一般化２次検定で評価すべきものすべて、全評価値が１．２５より小さい事が、格子がトーラスである場合の格子上のＭＣ乱数が幾何学的に一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子上の乱数とは相関を持たない配置であるための付加条件である。全体条件は次の段落で定理９にまとめる。
トーラスを形成する格子上の周期的境界条件の重要性はＦｅｒｒｅｎｂｅｒｇ等がＩｓｉｎｇ模型で厳密解に依拠した通りである。再びＧ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓを格子の設計出発値とする。格子座標軸ｊｋの方向の出発、終端境界点は
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝０、…、ｊｓ）
ｊ（ｋ）＝（ｊ１、ｊ２、…、ｊｋ＝Ｊｋ－１、…、ｊｓ）
である。ランダム根関数ｇ（ｊ）がこれらの境界点での最隣接格子点に向けて持つ境界面に平行な遷移機構は今までと変わらず新しく考える必要はない。これらの境界点でランダム根関数は
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
ｇ（ｊ（ｋ））￥ｄ￥ ｎｚ＾（ｊ１Ｊ０＋ｊ２Ｊ０Ｊ１＋…
＋ｊｋ－１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２＋（Ｊｋ－１）Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１
＋ｊｋ＋１Ｊ０Ｊ１…Ｊｋ＋…＋ｊｓＪ０Ｊ１…Ｊｓ－１）
￥ｄ￥ ｇ（ｊ（ｋ））ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
と表されるから、境界面に垂直にｊｋ軸方向に持つｇ（ｊ（ｋ））とｇ（ｊ（ｋ））の間の遷移乗数は法ｄで
ｚ＾｛±（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝
であり、ランダムベクトル関数ｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）とｇ（ｊ（ｋ））ｖ（ｒ）の間の遷移機構は共通ＭＣ乱数因子は除いてよく、また乗数の冪の指数は±どちらでもよいから
（ｄ、ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝）、 ｋ＝１，２、…、ｓ
と記す事ができる。だから格子がトーラスである場合の
ｒ個の相続く乱数ｖ（ｒ）と
ｒ個の相続く乱数ｚ＾｛（Ｊｋ－１）Ｊ１…Ｊｋ－２Ｊｋ－１｝ｖ（ｒ）と
の間のすべての遷移機構の一般化２次検定で評価すべきものすべて、全評価値が１．２５より小さい事が、格子がトーラスである場合の格子上のＭＣ乱数が幾何学的に一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）で最隣接格子上の乱数とは相関を持たない配置であるための付加条件である。全体条件は次の段落で定理９にまとめる。
【0020】
（周期的調整ｔｕｎｉｎｇ）
ｒはＲ＝６以下であるとする。トーラス格子Ｇ（ｊ）上のｒ個の独立な成分を持つＭＣランダムベクトル関数が最隣接格子点のそれらｒ個とは相関を持たず、一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）に配置されるための条件は次である。
定理９．（トーラス格子の格子点上でＲ＝６以内のｒ個の独立な成分を持つＭＣベクトル関数の周期的調整）
格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊ上のＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）が最隣接格子点とは相関を持たない様に一般化２次検定を行うべき遷移機構は下の［図４］に記された（Ｉ１），（Ｂ１），（Ｉ２），（Ｂ２），…、（Ｉｓ），（Ｂｓ）がすべてである。
図４．トーラス格子Ｇ（ｊ）で格子点ｊに置かれたＲ＝６以内のｒ個の独立ＭＣ乱数達がｊｋ座標軸方向、ｋは１からｓまで、の最隣接格子点のｒ個とは無相関であるために検定すべきＭＣ乱数生成機構各（２ｒ－１）×２個
ｒはＲ＝６以下であるとする。トーラス格子Ｇ（ｊ）上のｒ個の独立な成分を持つＭＣランダムベクトル関数が最隣接格子点のそれらｒ個とは相関を持たず、一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）に配置されるための条件は次である。
定理９．（トーラス格子の格子点上でＲ＝６以内のｒ個の独立な成分を持つＭＣベクトル関数の周期的調整）
格子Ｇ（ｊ）＝Ｊ１×Ｊ２×…×Ｊｓの格子点ｊ上のＭＣベクトル関数ｇ（ｊ）ｖ（ｒ）が最隣接格子点とは相関を持たない様に一般化２次検定を行うべき遷移機構は下の［図４］に記された（Ｉ１），（Ｂ１），（Ｉ２），（Ｂ２），…、（Ｉｓ），（Ｂｓ）がすべてである。
図４．トーラス格子Ｇ（ｊ）で格子点ｊに置かれたＲ＝６以内のｒ個の独立ＭＣ乱数達がｊｋ座標軸方向、ｋは１からｓまで、の最隣接格子点のｒ個とは無相関であるために検定すべきＭＣ乱数生成機構各（２ｒ－１）×２個
【0021】
（トーラスの空間格子上のＲ＝６以下の独立なｒ成分ＭＣベクトル関数のすべての成分のすべての対を隣接格子点の間で無相関かつ一様（ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ）なＭＣベクトル関数とする調整の方法）
トーラス格子Ｇ（ｊ）上でＲ＝６以下のｒ個の独立乱数を取り、格子上最隣接格子点間で必要な一般化２次検定のためのＭＣ生成機構は上の［図４］にまとめられた通りである。非周期的な格子の調整の通り、例えば（Ｉ１）の生成機構や（Ｂ１）のそれらを並べられた順に検定するか、逆順に行うかを考えただけでも明らかに、それらの一般化２次検定を行う方法と結果とは一意ではない。しかしすべての結果を得る事やその中からの取捨選択は現実的ではない。異なる２つのシミュレーションの結果を比較する程度が十分安全だろう。特に異なる合格者でも名目の“格子上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓな無相関”には変りはないから、以下には調整の最も簡単な１例を記す。
（１）まずＪ０，Ｊ１，…、Ｊｓをシミュレーションから望まれる設計値に仮に定めて、ずらしの整数Ｊ０だけが関係する（Ｉ１）から出発する。これらは非周期的調整で考えた通りで、余り大きくないＪ０を増大させながら進む方法と大きなＪ０から出発して１ずつ減少させる調整とがある。すべて合格する結果を（周期的調整のものである事を区別して）Ｊ０ ＊と記す。
（２）次にＪ０ ＊とＪ１を含む（Ｂ１）と（Ｉ２）を同時に考えて一般化２次検定を行い、Ｊ０ ＊は変えないで、不合格ならＪ１をＪ１＋１に増大させながら調整する。すべての生成機構が合格したとき、Ｊ１はより大きいＪ１ ＊となるだろう。
（３）次はＪ０ ＊，Ｊ１ ＊とＪ２を含む（Ｂ２）と（Ｉ３）を取って、一般化２次検定不合格ならＪ２だけを増大させながら調整して、一般にＪ２よりは大きいＪ２ ＊となって終わる。
………………………………………………………………
（ｓ）Ｊ０ ＊からＪｓ－２ ＊までと新しくＪｓ－１を含む（Ｂｓ－１）と（Ｉｓ）の４ｒ－２の生成機構の調整を進めて、一般にＪｓ－１より増大したＪｓ－１ ＊ですべての一般化２次検定を合格する。
（ｓ＋１）最後に、Ｊ０ ＊からＪｓ－１ ＊と新しくＪｓを含む（Ｂｓ）の調整で一般にはＪｓより増大したＪｓ ＊を発見して、すべての調整を終える。
トーラス格子Ｇ（ｊ）上でＲ＝６以下のｒ個の独立乱数を取り、格子上最隣接格子点間で必要な一般化２次検定のためのＭＣ生成機構は上の［図４］にまとめられた通りである。非周期的な格子の調整の通り、例えば（Ｉ１）の生成機構や（Ｂ１）のそれらを並べられた順に検定するか、逆順に行うかを考えただけでも明らかに、それらの一般化２次検定を行う方法と結果とは一意ではない。しかしすべての結果を得る事やその中からの取捨選択は現実的ではない。異なる２つのシミュレーションの結果を比較する程度が十分安全だろう。特に異なる合格者でも名目の“格子上一様ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓな無相関”には変りはないから、以下には調整の最も簡単な１例を記す。
（１）まずＪ０，Ｊ１，…、Ｊｓをシミュレーションから望まれる設計値に仮に定めて、ずらしの整数Ｊ０だけが関係する（Ｉ１）から出発する。これらは非周期的調整で考えた通りで、余り大きくないＪ０を増大させながら進む方法と大きなＪ０から出発して１ずつ減少させる調整とがある。すべて合格する結果を（周期的調整のものである事を区別して）Ｊ０ ＊と記す。
（２）次にＪ０ ＊とＪ１を含む（Ｂ１）と（Ｉ２）を同時に考えて一般化２次検定を行い、Ｊ０ ＊は変えないで、不合格ならＪ１をＪ１＋１に増大させながら調整する。すべての生成機構が合格したとき、Ｊ１はより大きいＪ１ ＊となるだろう。
（３）次はＪ０ ＊，Ｊ１ ＊とＪ２を含む（Ｂ２）と（Ｉ３）を取って、一般化２次検定不合格ならＪ２だけを増大させながら調整して、一般にＪ２よりは大きいＪ２ ＊となって終わる。
………………………………………………………………
（ｓ）Ｊ０ ＊からＪｓ－２ ＊までと新しくＪｓ－１を含む（Ｂｓ－１）と（Ｉｓ）の４ｒ－２の生成機構の調整を進めて、一般にＪｓ－１より増大したＪｓ－１ ＊ですべての一般化２次検定を合格する。
（ｓ＋１）最後に、Ｊ０ ＊からＪｓ－１ ＊と新しくＪｓを含む（Ｂｓ）の調整で一般にはＪｓより増大したＪｓ ＊を発見して、すべての調整を終える。
【図面の簡単な説明】
【0022】