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特開2024-121411対数美的曲線の近似曲線生成装置および近似曲線生成方法

書誌要約請求の範囲詳細な説明課題実施例実施するための形態図面の説明

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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024121411

(43)【公開日】2024-09-06

(54)【発明の名称】対数美的曲線の近似曲線生成装置および近似曲線生成方法

(51)【国際特許分類】

G06F 30/10 20200101AFI20240830BHJP

G06F 30/20 20200101ALI20240830BHJP

G06T 11/20 20060101ALI20240830BHJP

【ＦＩ】

G06F30/10 100

G06F30/20

G06T11/20 300

【審査請求】未請求

【請求項の数】7

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2023028509

(22)【出願日】2023-02-27

【新規性喪失の例外の表示】新規性喪失の例外適用申請有り

(71)【出願人】

【識別番号】591030237

【氏名又は名称】ＢＩＰＲＯＧＹ株式会社

(71)【出願人】

【識別番号】899000057

【氏名又は名称】学校法人日本大学

(74)【代理人】

【識別番号】100105784

【弁理士】

【氏名又は名称】橘和之

(72)【発明者】

【氏名】土江庄一

(72)【発明者】

【氏名】吉田典正

【テーマコード（参考）】

5B080

5B146

【Ｆターム（参考）】

5B080AA05

5B080CA00

5B146DC04

5B146EA13

(57)【要約】

【課題】対数美的曲線をＮＵＲＢＳ形式の曲線で高精度に近似できるようにする。
【解決手段】対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、最適化処理を行う際の初期曲線を設定する初期曲線設定部１２と、当該設定された初期曲線を用いて、曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数を最小化するように最適化処理を行い、５次以上である高次のＮＵＲＢＳ曲線により対数美的曲線を近似する曲線近似部１３とを備え、曲線の４階微分を含む式で定義されるαグラフの直線性で対数美的曲線の近似精度を評価することにより、κグラフや曲率対数グラフの直線性による評価よりも近似曲線に対する評価が厳密に行われるようにするとともに、Ｃ４連続を保証できる高次のＮＵＲＢＳ曲線によって対数美的曲線の近似を行うことにより、ＮＵＲＢＳ曲線によって対数美的曲線を高精度に近似できるようにする。
【選択図】図１

【特許請求の範囲】

【請求項1】

最適化処理に基づきＮＵＲＢＳ曲線により対数美的曲線を近似する近似曲線生成装置であって、
上記対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、上記最適化処理を行う際の初期曲線を設定する初期曲線設定部と、
上記初期曲線設定部により設定された上記初期曲線を用いて、曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数を最小化するように上記最適化処理を行い、５次以上である高次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を近似する曲線近似部とを備えた
ことを特徴とする対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項2】

上記初期曲線設定部は、
上記対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、上記対数美的曲線上の複数のサンプル点の座標値を抽出するサンプル点抽出部と、
上記サンプル点抽出部により抽出されたサンプル点を用いて、５次未満である低次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を近似することによって上記初期曲線を設定する初期曲線近似部とを備えた
ことを特徴とする請求項１に記載の対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項3】

上記初期曲線設定部は、
上記対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、曲線の両端点において接線連続または曲率連続になるという拘束条件を満たすように、上記両端点の間の曲線を５次未満である低次のＮＵＲＢＳ曲線により近似することによって上記初期曲線を設定する初期曲線近似部を備えた
ことを特徴とする請求項１に記載の対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項4】

上記曲線近似部は、５次未満である低次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を近似した後、当該近似により得られた低次の近似曲線を５次以上に次数上げし、当該次数上げにより生成された高次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、上記高次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を再近似することを特徴とする請求項１に記載の対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項5】

上記曲線近似部は、曲線の４階未満の微分である低階微分を含む式で定義された低階微分による目的関数を最小化するように上記対数美的曲線を近似した後、当該近似により得られた近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、上記曲線の４階微分である高階微分を含む式で定義された高階微分による目的関数を最小化するように上記対数美的曲線を再近似することを特徴とする請求項１または４に記載の対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項6】

上記曲線近似部は、
上記低階微分による目的関数を最小化するように上記対数美的曲線を近似する低階微分による曲線近似部と、
上記高階微分による目的関数を最小化するように上記対数美的曲線を近似する高階微分による曲線近似部と、
上記初期曲線設定部により設定された上記初期曲線または上記高階微分による曲線近似部により生成された近似曲線を次数上げする次数上げ部とを備え、
上記低階微分による曲線近似部は、上記次数上げにより生成された近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、上記低階微分による目的関数を最小化するように上記低次のＮＵＲＢＳ曲線または上記高次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を近似し、
上記高階微分による曲線近似部は、上記低階微分による曲線近似部により求められた近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、上記高階微分による目的関数を最小化するように上記低次のＮＵＲＢＳ曲線または上記高次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を再近似し、
上記次数上げにより５次以上とされた高次の近似曲線について処理が実行されるまで上記次数上げ部、上記低階微分による曲線近似部および上記高階微分による曲線近似部の処理を繰り返し実行する
ことを特徴とする請求項５に記載の対数美的曲線の近似曲線生成装置。

【請求項7】

最適化処理に基づきＮＵＲＢＳ曲線により対数美的曲線を近似する近似曲線生成方法であって、
コンピュータの初期曲線設定部が、上記対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、上記最適化処理を行う際の初期曲線を設定する第１のステップと、
上記コンピュータの曲線近似部が、上記初期曲線設定部により設定された上記初期曲線を用いて、曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数を最小化するように上記最適化処理を行い、５次以上である高次のＮＵＲＢＳ曲線により上記対数美的曲線を近似する第２のステップとを有する
ことを特徴とする対数美的曲線の近似曲線生成方法。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、対数美的曲線の近似曲線生成装置および近似曲線生成方法に関し、特に、ベジエ曲線やＢスプライン曲線などのＮＵＲＢＳ曲線を用いた近似によって対数美的曲線を生成する装置および方法に用いて好適なものである。

【背景技術】

【0002】

多くの工業製品の設計では、ＣＡＤ（Computer Aided Design）により製品の形状データが製作される。工業製品において外観の美しさをアピールできることは、工業製品がマーケットで成功するために非常に重要な要素の１つである。曲率はそうした判断に大きく影響を与えるため、審美性への高いレベルの要求を満たすためには、曲率変化の滑らかさを適切に制御することが必要となる。

【0003】

ここで、自然界や人工物における審美的な曲線の多くは「曲率対数グラフが直線で近似できる」ことが知られており、曲率対数グラフ（曲率対数分布図）が傾きαの直線となる曲線は対数美的曲線と呼ばれる。対数美的曲線の例として、α＝－１はクロソイド曲線、α＝１は対数螺旋とよばれる。

【0004】

商用ＣＡＤシステムで対数美的曲線を扱うためには１つ大きな問題がある。対数美的曲線の一般式は積分形で表現され、ＣＡＤシステムで広く採用されているＮＵＲＢＳ形式では厳密に表現できないため、商用ＣＡＤシステムに直接に組み込むことができない。そのため、ＮＵＲＢＳ形式による対数美的曲線の近似が必要となる。これに関し、特許文献１には、３次ベジエ曲線による近似手法が開示されている。

【0005】

この特許文献１に記載のＣＡＤシステムでは、入力された曲線データを複数のセグメントに分割し、各セグメントの曲率半径または曲率のべき乗が弧長パラメータの１次式で表されるように、つまり、曲線の２階微分を含む式で定義されたκグラフによる目的関数を最小化するように、分割されたセグメント毎に対数美的曲線（の近似曲線）を生成する。さらに、隣接するセグメントの接続点で曲率連続にするため、互いのセグメント端における曲率値の差が所定の閾値以下となるように、各セグメントを変形する。

【0006】

しかしながら、特許文献１の上記方法では、個々の曲線を生成した後、セグメント間の曲率連続を実現させようと接続部分を強引に調整する結果、最終的に生成される曲線は、対数美的曲線の厳密な近似曲線にはならない。

【0007】

また、複数のパラメータで表現される空間曲線を生成するシステムにおいて、空間曲線の曲率対数グラフにおける傾き、空間曲線の捩率対数グラフにおける傾きおよび当該捩率対数グラフにおけるオフセット成分を示す値を含む複数のパラメータを決定し、決定したパラメータから未決定パラメータを更に探索し、当該探索した未決定パラメータを用いて対数美的曲線を生成するようにした技術が知られている（例えば、特許文献２参照）。

【0008】

しかしながら、特許文献２に記載の技術では、曲率対数グラフの傾きαを入力パラメータの１つとして用い、当該入力された曲率対数グラフの傾きαを用いた所定の計算式によって対数美的曲線を生成するようにしているが、生成される曲線の（３階微分を含む式で定義される）曲率対数グラフが実際に直線状になっているかどうの評価は行っていない。また、特許文献２に記載の技術は、対数美的曲線をＮＵＲＢＳ形式で高精度に近似する方法を開示していない。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0009】

【特許文献1】特許第５１７７７７１号公報

【特許文献2】特許第５４８７４１６号公報

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0010】

本発明は、このような問題を解決するために成されたものであり、ＣＡＤシステムで広く採用されているＮＵＲＢＳ形式の曲線によって対数美的曲線を高精度に近似できるようにすることを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0011】

上記した課題を解決するために、本発明では、対数美的曲線の特徴量を表すパラメータをもとに、最適化処理を行う際の初期曲線を設定した後、当該初期曲線を用いて、曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数を最小化するように最適化処理を行い、５次以上である高次のＮＵＲＢＳ曲線により対数美的曲線を近似する。

【発明の効果】

【0012】

上記のように構成した本発明によれば、対数美的曲線の要件を満たすか否かの評価が曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数に基づいて行われる。この目的関数は対数曲率グラフの傾きが任意の点で同じ値となっているか否かを評価することになるので、得られる近似曲線の評価を厳密に行える。これに合わせて、高次のＮＵＲＢＳ曲線により対数美的曲線の近似を行うことにより、近似精度の向上が見込まれる。その結果、本発明によれば、ＮＵＲＢＳ曲線による対数美的曲線の高精度な近似が行える。

【図面の簡単な説明】

【0013】

【図1】本実施形態による対数美的曲線の近似曲線生成装置の機能構成例を示すブロック図である。

【図2】対数美的曲線とその特徴量を説明するための図である。

【図3】対数美的曲線に対するκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフの一例を示す図である。

【図4】本実施形態による初期曲線設定部の具体的な機能構成例を示すブロック図である。

【図5】本実施形態のサンプル点抽出部により抽出されるサンプル点の一例を示す図である。

【図6】従来手法による対数美的曲線の近似曲線に対するκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフの一例を示す図である。

【図7】本実施形態による曲線近似部の具体的な機能構成例を示すブロック図である。

【図8】本実施形態による対数美的曲線の近似曲線生成装置の動作例を示すフローチャートである。

【図9】本実施形態による対数美的曲線の近似曲線生成装置により生成される近似曲線に対するκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフの一例を示す図である。

【図10】本実施形態のサンプル点抽出部により抽出されるサンプル点の他の例を示す図である。

【図11】対数美的曲線とその特徴量を説明するための図である。

【図12】本実施形態による対数美的曲線の近似曲線生成装置の他の機能構成例を示すブロック図である。

【図13】本実施形態による初期曲線設定部の他の機能構成例を示すブロック図である。

【発明を実施するための形態】

【0014】

以下、本発明の一実施形態を図面に基づいて説明する。図１は、本実施形態による対数美的曲線の近似曲線生成装置１（以下、単に近似曲線生成装置１という）の機能構成例を示すブロック図である。図１に示すように、本実施形態の近似曲線生成装置１は、機能構成として、パラメータ入力部１１、初期曲線設定部１２および曲線近似部１３を備えている。本実施形態の近似曲線生成装置１は、最適化処理に基づきＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似するものである。

【0015】

これらの機能ブロック１１～１３は、ハードウェア、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ソフトウェアの何れによっても構成することが可能である。例えばソフトウェアによって構成する場合、上記機能ブロック１１～１３は、実際にはコンピュータのＣＰＵ、ＲＡＭ、ＲＯＭなどを備えて構成され、ＲＡＭやＲＯＭ、ハードディスクまたは半導体メモリ等の記憶媒体に記憶されたプログラムが動作することによって実現される。

【0016】

パラメータ入力部１１は、ＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nで近似する対数美的曲線Ｃ_LAに関する３つの特徴量α，θ，Λをパラメータとして入力する。αは曲率対数グラフの傾きである。図２は、対数美的曲線Ｃ_LAと特徴量θ，Λを説明するための図である。図２において、ｘｙ座標平面上に表した対数美的曲線Ｃ_LAの始点Ｐ_ｓを原点、終点をＰ_ｅとし、||Ｐ_ｅ－Ｐ_ｓ||＝１としたとき、θは対数美的曲線Ｃ_LA上の点Ｐ_ｅの接線とｘ軸とのなす角である。なお、図２には、対数美的曲線Ｃ_LA上の各点の曲率κの大きさを曲率櫛の態様で図示している。

【0017】

対数美的曲線Ｃ_LAの曲率対数グラフは傾きαの直線を示し、以下の式（１ａ）で表される。ここで、ｓは弧長、ρは曲率半径（ρ＝ｄｓ/ｄθ）である。また、曲率κ＝１/ρを用いて式（１ａ）を置換すると、曲率対数グラフの直線式を表す次の式（１ｂ）が得られる。さらに、式（１ａ）の式変形により、Λ＝ｅ^-cとして次の式（２）が得られる。ｃは曲率対数グラフのｙ切片である（図３（ｂ）参照）。Λは、図２の中に記載されていないが、対数美的曲線Ｃ_LAとして取り出したい区間（始点Ｐ_ｓと終点Ｐ_ｅとの間）の始点を指定することに相当する。このΛは、α≠１のときは標準形の対数美的曲線（原点における始点Ｐ_ｓの接線がｘ軸方向かつρ＝１の曲線）を回転およびスケール倍させるパラメータであり、α＝１のときは曲線形状を変化させるパラメータである。

【0018】

【数1】

【0019】

標準形の対数美的曲線の場合、式（２）を積分し曲率半径ρを曲率κに置き換えることによって次の式（３）が得られる。この式（３）のκ^-α（もしくはlogκ）を縦軸、弧長ｓを横軸とするグラフをκグラフと呼ぶ。また、式（１ｂ）のlog(κ|ｄｓ/ｄκ|)を縦軸、－logκを横軸とするグラフを曲率対数グラフと呼ぶ。また、αとκとの間には次の式（４）が成り立つ。この式（４）のαを縦軸、弧長ｓを横軸とするグラフをαグラフと呼ぶ。図３（ａ）～（ｃ）は、対数美的曲線Ｃ_LAに対するκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフを例示した図であり、何れのグラフも直線となっている。

【0020】

【数2】

【0021】

式（１ｂ）および図３（ｂ）に示す曲率対数グラフの縦軸の値log(κ|ｄｓ/ｄκ|)は、κの１階微分を含む。κは曲線の２階微分で定義されるので、曲率対数グラフは曲線の３階微分に基づく。また、式（４）および図３（ｃ）に示す曲率対数グラフの傾きαは、κの２階微分を含む。よって、αグラフは曲線の４階微分に基づく。なお、本明細書において、４階微分を高階微分、４階未満の微分を低階微分とする。

【0022】

初期曲線設定部１２は、パラメータ入力部１１により入力された対数美的曲線Ｃ_LAの特徴量α，θ，Λを表すパラメータをもとに、最適化処理を行う際の初期曲線Ｃ_N ⁰を設定する。図４は、本実施形態による初期曲線設定部１２の具体的な機能構成例を示すブロック図である。図４に示すように、本実施形態の初期曲線設定部１２は、具体的な機能構成として、サンプル点抽出部１２Ａおよび初期曲線近似部１２Ｂを備えている。

【0023】

サンプル点抽出部１２Ａは、パラメータ入力部１１により入力された対数美的曲線Ｃ_LAの特徴量α，θ，Λを表すパラメータをもとに、対数美的曲線Ｃ_LA上の複数のサンプル点の座標値を計算する。実際の座標値は、積分形で与えられる対数美的曲線Ｃ_LAに対する次の式（５）を数値積分して得ることができる。

【0024】

【数3】

【0025】

ここで、サンプル点抽出部１２ＡはＮ個のサンプル点の座標値を計算する。サンプル数Ｎは、あらかじめ決められた値でも良いし、パラメータとして入力するようにしてもよい。

【0026】

図５は、サンプル点抽出部１２Ａにより抽出した対数美的曲線Ｃ_LA上のサンプル点の例を示す図である。８個のサンプル点は、α＝０、θ＝７０°の対数美的曲線Ｃ_LAに対して、式（５）でθを１０°刻みで計算した例である。

【0027】

初期曲線近似部１２Ｂは、サンプル点抽出部１２Ａにより抽出されたサンプル点を用いて、５次未満である低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。この近似の詳細に関しては後述する。初期曲線近似部１２Ｂは、求めた低次の近似曲線を初期曲線Ｃ_N ⁰として設定する。なお、本明細書において、５次以上の次数を高次、５次未満の次数を低次とする。

【0028】

曲線近似部１３は、初期曲線設定部１２により設定された初期曲線Ｃ_N ⁰を用いて、曲線の４階微分を含む式で定義されたαグラフによる目的関数を最小化するように最適化処理を行い、対数美的曲線Ｃ_LAを高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHを使って高精度に近似する。高次の具体的な次数については、あらかじめ決めておいてもよいし、オペレータが自由に決められるようにしてもよい。

【0029】

以下に、本実施形態で用いる目的関数について詳述する。いま、曲線Ｃに対して、次の式（６ａ）～（６ｃ）に示す３つの目的関数Φ（Ｃ）、Ψ（Ｃ）、Ω（Ｃ）を考える。これらは、それぞれ図３（ａ）～（ｃ）に示すκグラフ、曲率対数グラフ、αグラフの直線に対するＮ個のサンプル点の誤差を示す。なお、κグラフによる目的関数Φ（Ｃ）および曲率対数グラフによるΨ（Ｃ）は特許請求の範囲の「低階微分による目的関数」に相当し、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）は特許請求の範囲の「高階微分による目的関数」に相当する。

【0030】

【数4】

【0031】

曲線Ｃが対数美的曲線Ｃ_LAと厳密に一致するならば、３つの目的関数Φ（Ｃ）、Ψ（Ｃ）、Ω（Ｃ）に関して次の何れの条件も満足する。
条件ＬＡ_０：Φ（Ｃ_LA）＝０（κグラフの直線性）
条件ＬＡ_１：Ψ（Ｃ_LA）＝０（曲率対数グラフの直線性）
条件ＬＡ_２：Ω（Ｃ_LA）＝０（αグラフの直線性）

【0032】

しかしながら、曲線Ｃが対数美的曲線Ｃ_LAに等しくなければ、３つの目的関数Φ（Ｃ）、Ψ（Ｃ）、Ω（Ｃ）はどれも値がゼロにならない。つまり、ＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nによって対数美的曲線Ｃ_LAを高精度で近似するということは、３つの目的関数Φ（Ｃ）、Ψ（Ｃ）、Ω（Ｃ）がどれも十分小さな値となるようなＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nを求めるということを意味する。

【0033】

曲線Ｃが対数美的曲線Ｃ_LAを十分に近似できているか否かを判断するために、従来から条件ＬＡ_０や条件ＬＡ_１が用いられてきた。これに対し、本発明者らは、条件ＬＡ_０や条件ＬＡ_１が十分に満足されている場合でも、条件ＬＡ_２も十分に満足される訳ではないことを見出した。

【0034】

図６（ａ）～（ｃ）は、従来の方法を用いて対数美的曲線Ｃ_LAをＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nで近似した場合のκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフの一例を示す図である。図６（ａ）のκグラフは、条件ＬＡ_０を十分に満足するような直線グラフとなっているが、図６（ｂ）の曲率対数グラフと図６（ｃ）のαグラフは波打っており、それぞれ条件ＬＡ_１および条件ＬＡ_２を満足していない。本実施形態では、条件ＬＡ_２をできるだけ満たすように、すなわち、最適化手法で式（６ｃ）の目的関数Ω（Ｃ）を最小化する曲線Ｃを対数美的曲線Ｃ_LAの近似曲線として求める。

【0035】

上述の初期曲線近似部１２Ｂは、サンプル点抽出部１２Ａにより抽出されたサンプル点を用いて、例えば式（６ａ）に示すκグラフによる目的関数Φ（Ｃ）または式（６ｂ）に示す曲率対数グラフによる目的関数Ψ（Ｃ）を最小化するように、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。初期曲線近似部１２Ｂは、求めた低次の近似曲線を初期曲線Ｃ_N ⁰として設定する。

【0036】

また、初期曲線近似部１２Ｂは、次の式（７）で示すように、サンプル点抽出部１２Ａにより抽出されたＮ個のサンプル点を用いて、最小二乗法による近似（あるいは補間）によって得られるＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nを、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLとして生成すようにしてもよい。ここで、ｔ_ｎは等分割点Ｃ_LA(ｓ_ｎ)への最近点Ｃ_N(ｔ_ｎ)となるパラメータ値である。最小二乗法による近似曲線を用いる場合、初期曲線近似部１２Ｂは、式（７）で示される目的関数を最小化するように近似曲線を求め、求めた低次の近似曲線を初期曲線Ｃ_N ⁰として設定する。

【0037】

【数5】

【0038】

上述したように、曲線近似部１３は、初期曲線設定部１２により設定された初期曲線Ｃ_N ⁰を用いて、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように最適化処理を行うことによって対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0039】

αグラフの目的関数Ω（Ｃ）を用いて近似曲線の評価を行う場合、式（４）で示したように曲率対数グラフの傾きαは曲率κの２階微分を含むので、Ｂスプライン曲線で近似曲線を生成する場合にはセグメント間の連続性を保証するために、少なくともＣ４連続でなければならない。また、ベジエ曲線で近似曲線を生成する場合には高次式を用いることにより、近似のための形状表現の自由度が上がる。そうした理由から、本実施形態では、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHによって近似計算を実行する。

【0040】

なお、近似曲線に用いる高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHの構成要素（制御点、ウェイト、ノットなど）は、汎用の最適化手法で求めることが可能である。ただし、高次であるほど構成要素の初期値の設定に自由度があり過ぎて、結果、局所解に陥り所望の解を得ることが難しくなる。これに対し、探索範囲を広くして最適化計算を実行すれば、局所解に陥るリスクを低減可能であるが、計算負荷が増大する。

【0041】

そこで、まず低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLを用いた最適化計算により近似曲線を求め、得られた曲線を次数上げし、その曲線の構成要素を高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHの初期値に設定して再度最適化計算による近似曲線の生成を行うようにしてもよい。また、４階微分値は曲線の構成要素の変化に敏感なため、４階微分を含むαグラフに基づいた最適化計算では、結果が初期値の違いに左右されるという問題が顕著に現れてしまうことから、より微分階数の低い低階微分による目的関数を最小化する最適化計算と高階微分による目的関数を最小化する最適化計算との２段階の評価を行うようにしてもよい。また、曲線の次数上げと低階微分および高階微分による２段階評価とを組み合わせて適用するようにしてもよい。なお、次数上げとは、曲線の形状はそのままに（曲線の座標値を変えずに）次数を上げる公知の処理をいう。

【0042】

図７は、曲線の次数上げと低階微分および高階微分の２段階評価とを組み合わせて適用した場合における曲線近似部１３の具体的な機能構成例を示すブロック図である。図７に示すように、曲線近似部１３は、次数上げ部１３Ａ、低階微分による曲線近似部１３Ｂおよび高階微分による曲線近似部１３Ｃを備えている。

【0043】

図７に示す曲線近似部１３は、初期曲線設定部１２により生成された初期曲線Ｃ_N ⁰を最適化処理の初期値に設定し、初期設定された曲線の次数ｄが指定された高次の次数Ｄに達するまで次数上げ部１３Ａによる次数上げを順次行いながら、低階微分による曲線近似部１３Ｂおよび高階微分による曲線近似部１３Ｃによる最適化処理を繰り返し実行する。

【0044】

次数上げ部１３Ａは、初期曲線設定部１２により設定された初期曲線Ｃ_N ⁰または高階微分による曲線近似部１３Ｃにより生成された近似曲線を次数上げする。すなわち、次数上げ部１３Ａは、最初の段階では初期曲線設定部１２により設定された初期曲線Ｃ_N ⁰を次数上げし、次以降の段階では高階微分による曲線近似部１３Ｃにより生成された近似曲線を次数上げする。

【0045】

低階微分による曲線近似部１３Ｂは、次数上げ部１３Ａの次数上げにより生成された曲線（低次または高次の近似曲線）の構成要素を最適化処理の初期値に設定して、式（６ａ）に示すκグラフによる目的関数Φ（Ｃ）、式（６ｂ）に示す曲率対数グラフによる目的関数Ψ（Ｃ）、または式（７）に示す最小二乗法による目的関数を最小化するように、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLまたは高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0046】

ここで、低階微分による曲線近似部１３Ｂは、繰り返し処理の中で、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似することもあるし、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似することもある。すなわち、低階微分による曲線近似部１３Ｂは、低次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定する場合は、低階微分による目的関数を最小化するように低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。一方、高次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定する場合は、低階微分による目的関数を最小化するように高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0047】

例えば、初期曲線設定部１２において３次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N3により低次の近似曲線Ｃ_L3を近似してこれを初期曲線Ｃ_N ⁰として設定した場合、次数上げ部１３Ａは、この初期曲線Ｃ_N ⁰を３次から４次に次数上げする。そして、低階微分による曲線近似部１３Ｂは、次数上げにより生成された曲線Ｃ_L4を最適化処理の初期値に設定して、κグラフによる目的関数Φ（Ｃ）または曲率対数グラフによる目的関数Ψ（Ｃ）を最小化するように４次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N4により対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0048】

２回目以降の繰り返し処理を実行する際は、次数上げ部１３Ａは１つ前の処理で生成された近似曲線を次数上げする。例えば、１つ前の処理で４次の近似曲線Ｃ_L4が生成された場合、次数上げ部１３Ａは、この４次の近似曲線Ｃ_L4を４次から５次に次数上げする。そして、低階微分による曲線近似部１３Ｂは、次数上げにより生成された曲線Ｃ_H5を最適化処理の初期値に設定して、κグラフによる目的関数Φ（Ｃ）または対数曲率グラフによる目的関数Ψ（Ｃ）を最小化するように５次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N5により対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0049】

高階微分による曲線近似部１３Ｃは、低階微分による曲線近似部１３Ｂにより求められた近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、式（６ｃ）に示すαグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLまたは高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを再近似する。

【0050】

ここで、高階微分による曲線近似部１３Ｃは、繰り返し処理の中で、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似することもあるし、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似することもある。すなわち、高階微分による曲線近似部１３Ｃは、低次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定する場合は、高階微分による目的関数を最小化するように低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。一方、高次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定する場合は、高階微分による目的関数を最小化するように高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0051】

例えば、１回目の繰り返し処理で低階微分による曲線近似部１３Ｂにより４次の近似曲線Ｃ_L4が生成された場合、高階微分による曲線近似部１３Ｃは、この４次の近似曲線Ｃ_L4を最適化処理の初期値に設定して、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように４次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N4により対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。また、２回目の繰り返し処理において高階微分による曲線近似部１３Ｃは、低階微分による曲線近似部１３Ｂにより生成された５次の近似曲線Ｃ_H5を最適化処理の初期値に設定して、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように５次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N5により対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。これにより、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する曲線近似部１３の処理が完了する。

【0052】

なお、７次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N7により対数美的曲線Ｃ_LAを近似することが設定されている場合は、５次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_N5による対数美的曲線Ｃ_LAの近似が行われた後も、次数上げ部１３Ａ、低階微分による曲線近似部１３Ｂおよび高階微分による曲線近似部１３Ｃの繰り返し処理を引き続き実行する。ここで、５次から６次への次数上げを行わず、５次から７次への次数上げを行うようにしてもよい。

【0053】

図８は、以上のように構成した本実施形態による近似曲線生成装置１の動作例を示すフローチャートである。まず、パラメータ入力部１１は、生成目標とする対数美的曲線Ｃ_LAに関する３つの特徴量α，θ，Λをパラメータとして入力する（ステップＳ１）。ここで、サンプル点の数Ｎおよび高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHの次数Ｄをパラメータとして入力するようにしてもよい。

【0054】

次に、初期曲線設定部１２のサンプル点抽出部１２Ａは、パラメータ入力部１１により入力されたパラメータα，θ，Λをもとに、対数美的曲線Ｃ_LA上のサンプル点の座標値を計算する（ステップＳ２）。

【0055】

次いで、初期曲線近似部１２Ｂは、サンプル点抽出部１２Ａにより抽出されたサンプル点を用いて、低階微分による目的関数を最小化するように低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似し、当該ＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLを初期曲線Ｃ_N ⁰として設定する（ステップＳ３）。

【0056】

次に、次数上げ部１３Ａは、初期曲線近似部１２Ｂにより生成された初期曲線Ｃ_N ⁰または１つ前の繰り返し処理で生成された近似曲線を次数上げする（ステップＳ４）。そして、低階微分による曲線近似部１３Ｂは、次数上げにより生成された曲線を最適化処理の初期値に設定して、低階微分による目的関数を最小化するようにＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する（ステップＳ５）。

【0057】

さらに、高階微分による曲線近似部１３Ｃは、低階微分による曲線近似部１３Ｂにより求められた近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、高階微分による目的関数を最小化するようにＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nにより対数美的曲線Ｃ_LAを再近似する（ステップＳ６）。

【0058】

その後、曲線近似部１３は、ステップＳ４で行われた次数上げ後の次数ｄが、所定の次数Ｄになったか否かを判定する（ステップＳ７）。ｄ＜Ｄの場合、処理はステップＳ４に戻り、次数上げ部１３Ａ、低階微分による曲線近似部１３Ｂおよび高階微分による曲線近似部１３Ｃの繰り返し処理を引き続き実行する。一方、ｄ＝Ｄの場合、図８に示すフローチャートの処理は終了する。

【0059】

以上詳しく説明したように、本実施形態では、生成目標とする対数美的曲線Ｃ_LAの特徴量α，θ，Λを表す入力パラメータをもとに、当該対数美的曲線Ｃ_LA上のサンプル点の座標値を求めた後、当該複数のサンプル点を用いて初期曲線Ｃ_N ⁰を求め、当該初期曲線Ｃ_N ⁰を最適化計算の初期値に設定して、αグラフの直線性を評価するために曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0060】

このように構成した本実施形態によれば、対数美的曲線Ｃ_LAの要件を満たすか否かの評価が曲線の４階微分を含む式で定義された目的関数Ω（Ｃ）を用いたαグラフの直線性に基づいて行われる。αグラフは対数曲率グラフの任意の点で傾きαとなっているか否かを示すことになるので、得られる近似曲線の評価を厳密に行える。これに合わせて、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAの近似を行うことにより、近似精度の向上が見込まれ、Ｂスプライン曲線による近似ではαグラフの連続性も保証できる。その結果、本実施形態によれば、ベジエ曲線やＢスプライン曲線などのＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nによる対数美的曲線Ｃ_LAの高精度な近似が行える。

【0061】

図９（ａ）～（ｃ）は、本実施形態の近似曲線生成装置１により生成した近似曲線に対するκグラフ、曲率対数グラフおよびαグラフを例示した図であり、何れのグラフも直線となっている。特に、図６（ｂ）と（ｃ）では曲率対数グラフとαグラフが共に波打っているが、図９（ｂ）と（ｃ）では波打ちが解消されて綺麗な直線グラフとなり、対数美的曲線Ｃ_LAを高精度に近似できていることを示している。

【0062】

また、本実施形態では、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLを用いて最適化を行った後、次数上げしてその曲線の構成要素を高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHの初期値に設定して再度最適化を行うようにするとともに、曲線の低階微分による評価と高階微分による評価との２段階の最適化計算を行うようにしている。これにより、探索範囲を広くして最適化計算を実行しなくても、不適当な局所解に陥って所望の解が得られないというリスクを低減することができる。

【0063】

なお、上述した通り、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLを用いて最適化を行った後に次数上げをして高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHを用いて再度最適化を行う処理のみを適用してもよいし、曲線の低階微分による最適化を行った後に高階微分による最適化を再度行う処理のみを適用してもよい。

【0064】

前者の場合、曲線近似部１３は、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似した後、当該近似により求められた低次の近似曲線を次数上げし、当該次数上げにより生成された高次の近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHにより対数美的曲線Ｃ_LAを再近似する。この場合、曲線近似部１３は、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLを用いる場合も高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHを用いる場合も、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0065】

後者の場合、曲線近似部１３は、例えばκグラフ／対数曲率グラフによる目的関数Φ（Ｃ）／Ψ（Ｃ）を最小化するように対数美的曲線Ｃ_LAを近似した後、当該近似により生成された近似曲線を最適化処理の初期値に設定して、αグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を最小化するように対数美的曲線Ｃ_LAを再近似する。この場合、曲線近似部１３は、κグラフ／対数曲率グラフによる目的関数Φ（Ｃ）／Ψ（Ｃ）を用いる場合もαグラフによる目的関数Ω（Ｃ）を用いる場合も、高次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NHを用いて対数美的曲線Ｃ_LAを近似する。

【0066】

なお、上記実施形態では、サンプル点抽出部１２Ａが式（５）により対数美的曲線Ｃ_LA上のサンプル点の座標値を計算する例について説明したが、本発明はこれに限定されない。例えば、対数美的曲線Ｃ_LAを弧長パラメータｓで表した以下の式（８）によりサンプル点の座標値を計算してもよい。

【0067】

【数6】

【0068】

図１０は、式（８）に基づいて抽出したサンプル点の例を示す図である。図１０に示す対数美的曲線Ｃ_LAは図５と同一の曲線で、α＝０、θ＝７０°である。図１０に示すように、対数美的曲線Ｃ_LA上に等間隔でサンプル点を抽出できるため、曲線全体でバランスのとれた誤差評価が可能となる。

【0069】

また、上記実施形態では、パラメータ入力部１１が対数美的曲線Ｃ_LAに関する３つの特徴量α，θ，Λをパラメータとして入力する例について説明したが、本発明はこれに限定されない。ユーザによりイメージされた対数美的曲線Ｃ_LAを生成するべく特徴量Λのパラメータを試行錯誤しながら入力するのは、煩雑な作業である。そこで、パラメータ入力部１１が３つの特徴量α，θ，Λをパラメータとして入力することに代えて、３つの特徴量α，θ_ｄ，θ_ｅをパラメータとして入力し、これらのパラメータからΛを計算するようにしてもよい。例えば、論文“Interactive Aesthetic Curve Segments”, The Visual Computer (Pacific Graphics), Vol. 22, No.9-11, pp.896-905, 2006.（Norimasa Yoshida，Takafumi Saito）に記載されている公知の２分法アルゴリズムによって、特徴量α，θ_ｄ，θ_ｅからΛを計算することが可能である。

【0070】

図１１は、特徴量θ_ｄ，θ_ｅを説明するための図である。図１１に示すｘｙ座標平面上において、Ｐ_ｓは対数美的曲線Ｃ_LAの始点、Ｐ_ｅは対数美的曲線Ｃ_LAの終点である。θ_ｄは||Ｐ_ｅ－Ｐ_ｓ||＝１としたときにおける対数美的曲線Ｃ_LA上の点Ｐ_ｅの接線とｘ軸とのなす角であり、図２に示したθと同値である。θ_ｅは対数美的曲線Ｃ_LAの始点Ｐ_ｓおよび終点Ｐ_ｅを結ぶ直線とｘ軸とのなす角である。

【0071】

また、上記実施形態では、初期曲線設定部１２がサンプル点抽出部１２Ａおよび初期曲線近似部１２Ｂを備え、対数美的曲線Ｃ_LAの特徴量α，θ，Λを表すパラメータをもとに、対数美的曲線Ｃ_LA上の複数のサンプル点の座標値を求めた後に、低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより対数美的曲線Ｃ_LAを近似することによって初期曲線Ｃ_N ⁰を設定する例について説明したが、本発明はこれに限定されない。例えば、近似曲線生成装置１を図１２のように構成にしてもよい。

【0072】

図１２に示す例において、近似曲線生成装置１は、図１に示したパラメータ入力部１１および初期曲線設定部１２に代えて、パラメータ入力部１１’および初期曲線設定部１２’を備える。初期曲線設定部１２’は図１３に示すように、具体的な機能構成として、初期曲線近似部１２Ｃを備えている。

【0073】

パラメータ入力部１１’は、ＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nで近似する対数美的曲線Ｃ_LAの特徴量を表す４つのパラメータＰ_ｓ，Ｐ_ｅ，θ_ｄ，θ_ｅを入力する（図１１参照）。

【0074】

初期曲線設定部１２’の初期曲線近似部１２Ｃは、パラメータ入力部１１’により入力された４つのパラメータＰ_ｓ，Ｐ_ｅ，θ_ｄ，θ_ｅをもとに、曲線の両端点Ｐ_ｓ，Ｐ_ｅにおいて接線連続（Ｇ１連続）または曲率連続（Ｇ２連続）になるという拘束条件を満たすように、両端点Ｐ_ｓ，Ｐ_ｅの間の曲線を低次のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_NLにより近似することによって初期曲線Ｃ_N ⁰を設定する。

【0075】

Ｇ１連続の条件を満たす次数Ｄ（≧３）のＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nは、次に示すＭ＋１個の制御点を持つ。
Ｐ_０＝Ｐ_ｓ
Ｐ_１＝Ｐ_ｓ＋ｔ_ｓ(Ｐ_ｍ－Ｐ_ｅ)
Ｐ_ｉ＝（ｘ_ｉ，ｙ_ｉ)
Ｐ_M-1＝Ｐ_ｅ＋ｔ_ｅ(Ｐ_ｍ－Ｐ_ｅ)
Ｐ_M＝Ｐ_ｅ

【0076】

ここで、ｔ_ｓ，ｔ_ｅ（０≦ｔ_ｓ, ｔ_ｅ≦１）とＰ_ｉ（ｉ＝２，・・・，Ｍ－２）は最適化計算で求める変数であり、最適値によるＮＵＲＢＳ曲線Ｃ_Nが求める近似曲線となる。例えば、Ｄ＝５のベジエ曲線の場合、求める変数はｔ_ｓ，ｔ_ｅ，Ｐ_２（ｘ_２，ｙ_２)，Ｐ_３（ｘ_３，ｙ_３)の計６個である。

【0077】

有理ベジエ曲線の場合は、各制御点Ｐ_ｉの重みｗ_ｉも決める必要がある。例えば、ｗ_０＝ｗ_Ｄ＝１とし、残りの重みを最適化変数に追加する。例えば、Ｄ＝５の場合、求める変数はｔ_ｓ，ｔ_ｅ，Ｐ_２，Ｐ_３，ｗ_ｉ（ｉ＝１，２，３，４）の計１０個である。Ｇ２連続の条件として両端点Ｐ_ｓ，Ｐ_ｅの曲率値κ_ｓ ^*，κ_ｅ ^*が指定されると、重み係数ｗ_１，ｗ_D-1は次の式（９）で与えられるため、求める変数は２つ減る。

【0078】

【数7】