2024-162516 部分グラフ数え上げ方法、部分グラフ数え上げ装置及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024162516

(43)【公開日】2024-11-21

(54)【発明の名称】部分グラフ数え上げ方法、部分グラフ数え上げ装置及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/10 20060101AFI20241114BHJP

【ＦＩ】

G06F17/10 Z

【審査請求】未請求

【請求項の数】6

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2023078081

(22)【出願日】2023-05-10

(71)【出願人】

【識別番号】000004226

【氏名又は名称】日本電信電話株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】110004381

【氏名又は名称】弁理士法人ＩＴＯＨ

(74)【代理人】

【識別番号】100107766

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠重

(74)【代理人】

【識別番号】100070150

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠彦

(74)【代理人】

【識別番号】100124844

【弁理士】

【氏名又は名称】石原 隆治

(72)【発明者】

【氏名】中村 健吾

(72)【発明者】

【氏名】西野 正彬

(72)【発明者】

【氏名】安田 宜仁

(72)【発明者】

【氏名】湊 真一

【テーマコード（参考）】

5B056

【Ｆターム（参考）】

5B056AA06

(57)【要約】      （修正有）

【課題】各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を高速に解く方法、装置及びプログラムを提供する。
【解決手段】方法は、連結な無向グラフと、ワイルドカードを含む連結性制約と、各辺の重みと、基礎となる部分グラフ集合とを入力する入力手順と、前記無向グラフの特定の頂点の集合の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるゼロサプレス型二分決定グラフＺＤＤを構築する手順と、構築されたゼロサプレス型二分決定グラフと、前記各辺の重みとに基づいて、前記特定の頂点の集合の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により、各頂点に対して、前記部分グラフ集合に含まれる部分グラフであって、かつ、前記連結性制約に含まれるワイルドカードを頂点に置き換えた連結性制約を満たす部分グラフに含まれる辺の重みと前記部分グラフに含まれない辺の重みとを用いた重み付きカウント値を計算する計算手順と、を実行する。
【選択図】図８

【特許請求の範囲】

【請求項1】

連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と、ワイルドカード＊を含む連結性制約Ｐ^＊と、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとを入力する入力手順と、
前記無向グラフＧと、前記連結性制約Ｐ^＊と、前記部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、前記無向グラフＧの特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるゼロサプレス型二分決定グラフＺを構築する構築手順と、
前記構築手順で構築されたゼロサプレス型二分決定グラフＺと、前記各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒとに基づいて、前記特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により、各頂点ｖ∈Ｖに対して、前記部分グラフ集合Ｆに含まれる部分グラフＥ'であって、かつ、前記連結性制約Ｐ^＊に含まれるワイルドカード＊を頂点ｖに置き換えた連結性制約Ｐ^＊［ｖ］を満たす部分グラフＥ'に含まれる辺ｅ∈Ｅ'の重みｗ_ｅ ^＋と前記部分グラフＥ'に含まれない辺ｅ∈Ｅ＼Ｅ'の重みｗ_ｅ ^－を用いた重み付きカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する計算手順と、
をコンピュータが実行する部分グラフ数え上げ方法。

【請求項2】

前記部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅは、前記無向グラフＧの部分グラフのうち、前記連結性制約Ｐ^＊以外の所定の制約を満たす部分グラフの集合である、請求項１に記載の部分グラフ数え上げ方法。

【請求項3】

前記構築手順は、
前記部分グラフ集合ＦがＦ＝２^Ｅである場合、前記ワイルドカード＊も前記無向グラフＧの頂点の１つと扱ったフロンティア法により、前記部分グラフ集合Ｆ＝２^Ｅを表現する前記ゼロサプレス型二分決定グラフＺを構築する、請求項１に記載の部分グラフ数え上げ方法。

【請求項4】

前記構築手順は、
前記部分グラフ集合ＦがＦ≠２^Ｅである場合、前記ワイルドカード＊も前記無向グラフＧの頂点の１つと扱ったフロンティア法により、部分グラフ集合２^Ｅを表現するゼロサプレス型二分決定グラフＺ_１を構築し、
フロンティア法により、前記部分グラフ集合Ｆを表現するゼロサプレス型二分決定グラフＺ_２を構築し、
前記ゼロサプレス型二分決定グラフＺ_１と前記ゼロサプレス型二分決定グラフＺ_２との共通部分を前記ゼロサプレス型二分決定グラフＺとして構築する、請求項２に記載の部分グラフ数え上げ方法。

【請求項5】

連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と、ワイルドカード＊を含む連結性制約Ｐ^＊と、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとを入力する入力部と、
前記無向グラフＧと、前記連結性制約Ｐ^＊と、前記部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、前記無向グラフＧの特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるゼロサプレス型二分決定グラフＺを構築する構築部と、
前記構築部によって構築されたゼロサプレス型二分決定グラフＺと、前記各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒとに基づいて、前記特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により、各頂点ｖ∈Ｖに対して、前記部分グラフ集合Ｆに含まれる部分グラフＥ'であって、かつ、前記連結性制約Ｐ^＊に含まれるワイルドカード＊を頂点ｖに置き換えた連結性制約Ｐ^＊［ｖ］を満たす部分グラフＥ'に含まれる辺ｅ∈Ｅ'の重みｗ_ｅ ^＋と前記部分グラフＥ'に含まれない辺ｅ∈Ｅ＼Ｅ'の重みｗ_ｅ ^－を用いた重み付きカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する計算部と、
を有する部分グラフ数え上げ装置。

【請求項6】

連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と、ワイルドカード＊を含む連結性制約Ｐ^＊と、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとを入力する入力手順と、
前記無向グラフＧと、前記連結性制約Ｐ^＊と、前記部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、前記無向グラフＧの特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるゼロサプレス型二分決定グラフＺを構築する構築手順と、
前記構築手順で構築されたゼロサプレス型二分決定グラフＺと、前記各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒとに基づいて、前記特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により、各頂点ｖ∈Ｖに対して、前記部分グラフ集合Ｆに含まれる部分グラフＥ'であって、かつ、前記連結性制約Ｐ^＊に含まれるワイルドカード＊を頂点ｖに置き換えた連結性制約Ｐ^＊［ｖ］を満たす部分グラフＥ'に含まれる辺ｅ∈Ｅ'の重みｗ_ｅ ^＋と前記部分グラフＥ'に含まれない辺ｅ∈Ｅ＼Ｅ'の重みｗ_ｅ ^－を用いた重み付きカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する計算手順と、
をコンピュータに実行させるプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本開示は、部分グラフ数え上げ方法、部分グラフ数え上げ装置及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

グラフ理論に属する問題の１つとして、部分グラフ数え上げ問題と呼ばれる問題が知られている。部分グラフ数え上げ問題とは、グラフが与えられたときに、或る所定の制約を満たす部分グラフの個数又は重み付きのカウント値を計算するという問題である。

【0003】

部分グラフ数え上げ問題は、例えば、ネットワーク信頼性評価等に応用できる基本的な問題である。ネットワーク信頼性評価は或る２つの頂点間の連結性制約の下で部分グラフ数え上げ問題を解くことと同等であり、例えば、二分決定グラフ（ＢＤＤ：Binary Decision Diagram）を利用した高速な解法が知られている（非特許文献１）。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0004】

【非特許文献1】Gary Hardy, Corinne Lucet, and Nikolaos Limnios. K-terminal network reliability measures with binary decision diagrams. IEEE Transactions on Reliability, Vol. 56, pp. 506-515, 2007.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0005】

しかしながら、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を解く場合、計算時間的に解くことが困難なことがあった。例えば、各頂点に対するネットワーク信頼性を評価する場合、頂点の個数だけ部分グラフ数え上げ問題を繰り返し解く必要があり、グラフの規模によっては非特許文献１に記載されている解法を利用しても現実的な計算時間で解くことが困難なことがある。

【0006】

本開示は、上記の点に鑑みてなされたもので、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を高速に解くことができる技術を提供する。

【課題を解決するための手段】

【0007】

本開示の一態様による部分グラフ数え上げ方法は、連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と、ワイルドカード＊を含む連結性制約Ｐ^＊と、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとを入力する入力手順と、前記無向グラフＧと、前記連結性制約Ｐ^＊と、前記部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、前記無向グラフＧの特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるゼロサプレス型二分決定グラフＺを構築する構築手順と、前記構築手順で構築されたゼロサプレス型二分決定グラフＺと、前記各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒとに基づいて、前記特定の頂点ｖ∈Ｖの集合の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により、各頂点ｖ∈Ｖに対して、前記部分グラフ集合Ｆに含まれる部分グラフＥ'であって、かつ、前記連結性制約Ｐ^＊に含まれるワイルドカード＊を頂点ｖに置き換えた連結性制約Ｐ^＊［ｖ］を満たす部分グラフＥ'に含まれる辺ｅ∈Ｅ'の重みｗ_ｅ ^＋と前記部分グラフＥ'に含まれない辺ｅ∈Ｅ＼Ｅ'の重みｗ_ｅ ^－を用いた重み付きカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する計算手順と、をコンピュータが実行する。

【発明の効果】

【0008】

各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を高速に解くことができる技術が提供される。

【図面の簡単な説明】

【0009】

【図1】ＺＤＤの一例を示す図である。

【図2】グラフの一例を示す図である。

【図3】二分決定木の一例を示す図である。

【図4】フロンティア法のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図5】フロンティア法の結果として得られたＺＤＤの一例を示す図である。

【図6】本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置のハードウェア構成の一例を示す図である。

【図7】本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置の機能構成の一例を示す図である。

【図8】本実施形態に係る部分グラフ数え上げ処理の流れの一例を示すフローチャートである。

【図9】本実施形態に係る構築部が実行する処理のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図10】本実施形態に係る計算部が実行する処理のアルゴリズムの一例を示す図である。

【発明を実施するための形態】

【0010】

以下、本発明の一実施形態について説明する。

【0011】

＜部分グラフ数え上げ問題＞
グラフ理論におけるグラフをＧ＝（Ｖ，Ｅ）とする。ここで、Ｖは頂点の集合、Ｅは辺の集合である。

【0012】

グラフＧが与えられたとき、部分グラフ数え上げ問題とは、或る所定の制約を満たす部分グラフの個数又は重み付きのカウント値を計算するという問題である。制約としては、例えば、各頂点の次数に関する制約、閉路の有無に関する制約等が挙げられる。

【0013】

より正確には、各辺ｅ∈Ｅに対して２種類の重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒ（ただし、Ｒは実数全体の集合）が与えられたとき、以下の式（１）に示す値を計算する問題のことである。

【0014】

【数1】

ここで、以下は辺の部分集合、すなわち部分グラフの中で与えられた制約を満たすものの族（集合）である。

【0015】

【数2】

なお、本明細書のテキスト中では、上記の辺の部分集合をＦ⊆２^Ｅと表す。

【0016】

部分グラフ数え上げ問題は旧来よりコンピュータ科学の基本的な問題として扱われており、また応用面でも特にネットワーク信頼性評価で盛んに用いられている。ネットワーク信頼性評価の基本問題として、グラフ構造としてモデル化されたネットワークの各辺がそれぞれ独立に所与の確率で故障する状況下で、注目する頂点間の接続性が保たれる確率を求めるという問題がある。この問題は、連結性制約の下で部分グラフ数え上げ問題を解くことと同等である。ここで、連結性制約とは、いくつかの頂点のペアに対してそれぞれ連結であること、また別のいくつかの頂点のペアに対してそれぞれ非連結であることを要求するトポロジー的制約のことである。

【0017】

連結性制約は、パスやシュタイナー木（注目する頂点間を接続する木）、全域木、根付き全域森等の様々な部分グラフのグラフ構造（以下、グラフ部分構造ともいう。）を規定するのにも必須の制約である。これらのグラフ部分構造を数え上げることは、特にネットワークインフラにおいて頂点の重要度を評価する際に重要である。

【0018】

例えば、通信ネットワーク上のパスは２点間の通信経路に対応し、同様に通信ネットワーク上のシュタイナー木は多点間の通信経路に対応する。このため、或る頂点ｖを通過するパスやシュタイナー木の数はその頂点ｖが故障した際に失われる通信経路の数に相当し、この数は頂点ｖの通信ネットワークにおける重要度とみなせる。また、或る頂点ｓと別の頂点ｖとを通過する閉路は頂点ｓと頂点ｖとを結ぶ２つのパスの組とみなせるため、このような閉路の個数を数えることは頂点ｓから頂点ｖへのノンブロッキングな通信経路の組の数を数えることに相当する。更に、根がｒ_１，・・・，ｒ_ｋにある根付き全域森は、変電所がｒ_１，・・・，ｒ_ｋにある配電網とみなせる。このため、新しい変電所を頂点ｖに配置しようと考える場合、根がｒ_１，・・・，ｒ_ｋ，ｖにある根付き全域森を数えることにより、その際の配電網の柔軟性の指標とすることができる。

【0019】

以上の例のような重要度（配電網の柔軟性も含む）を各頂点に対して求めるには、一般に、部分グラフ数え上げ問題をそれぞれの頂点ｖに対して解く必要がある。しかしながら、上記のネットワーク信頼性評価の基本問題やパスを数え上げる問題は＃Ｐ完全という計算量的に困難な問題に属することが知られており、実用上高速なアルゴリズムでも数百辺程度のグラフに対して１つの部分グラフ数え上げ問題を解くのに数分やそれ以上の時間が掛かることがある。このため、各頂点ｖに対して部分グラフ数え上げ問題を解くことは計算量的に更に困難な問題になる。

【0020】

＜各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題＞
各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を定義する。

【0021】

まず、連結性制約は、無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）の頂点集合Ｖの部分分割によって表現するものとする。部分分割とは、互いに共通部分のない頂点部分集合の集合のことである。ここで、頂点部分集合とは、頂点集合Ｖの部分集合のことである。

【0022】

部分分割Ｐは、（ｉ）Ｐの同一の頂点部分集合に含まれる任意の２頂点ｖ，ｖ'は連結であること、（ｉｉ）Ｐの異なる頂点部分集合にそれぞれ含まれる任意の２頂点ｖ，ｖ'は非連結であること、という制約を与える。例えば、Ｐ＝｛｛ｖ_１，ｖ_２｝，｛ｖ_３｝｝は、頂点ｖ_１と頂点ｖ_２は連結であり、頂点ｖ_１と頂点ｖ_３、頂点ｖ_２と頂点ｖ_３はそれぞれ非連結である、という制約を表現している。

【0023】

本実施形態では部分分割に対してワイルドカード＊を導入し、このワイルドカード＊を具体的な頂点に置き換えることで多様な連結性制約を表現する。以下、Ｖ∪｛＊｝の部分分割であって、かつ、１つのワイルドカード＊を必ず含む部分分割をＰ^＊とする。また、頂点ｖ∈Ｖに対して、Ｐ^＊に含まれるワイルドカード＊を頂点ｖに置き換えることによって得られる部分分割（連結性制約）をＰ^＊［ｖ］とする。更に、Ｐ^＊中のワイルドカード＊を削除することで得られる連結性制約をＰ^＊［］とする。なお、もし頂点ｖ∈ＶがＰ^＊中に既に存在する場合に、（ｉ）頂点ｖがＰ^＊中のワイルドカード＊を含む集合と同じ集合に含まれる場合はＰ^＊［ｖ］をＰ^＊［］と表し、（ｉｉ）そうでない場合は矛盾した制約、すなわちそれを満たすような部分グラフは存在しないとする。例えば、Ｐ^＊＝｛｛ｖ_１，ｖ_２，＊｝，｛ｖ_３｝｝に対して、Ｐ^＊［ｖ_４］＝｛｛ｖ_１，ｖ_２，ｖ_４｝，｛ｖ_３｝｝、Ｐ^＊［ｖ_２］＝Ｐ^＊［］＝｛｛ｖ_１，ｖ_２｝，｛ｖ_３｝｝であり、Ｐ^＊［ｖ_３］は矛盾した制約である。

【0024】

ワイルドカード＊を導入した部分分割を用いると、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題は以下のように定義できる。

【0025】

連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と、１つのワイルドカード＊を含む連結性制約Ｐ^＊と、部分グラフ（すなわち、辺の部分集合）の集合Ｆ⊆２^Ｅと、各辺ｅ∈Ｅに対する重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒとが与えられる。このとき、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題は、各頂点ｖ∈Ｖに対して、以下の式（２）に示す値を計算する問題である。

【0026】

【数3】

ここで、連結性制約Ｐ'に対して、この連結性制約Ｐ'を満たすＧの部分グラフの集合をＣ（Ｐ'）と表すことにする。

【0027】

上記で例示した重度度を各頂点に対して求める問題（以下、頂点重要度計算問題ともいう。）は、いずれも上記の式（２）に示す値を計算する問題の枠組みで定式化できる。

【0028】

・パス：ｓ，ｖ∈Ｖが与えられたとき、Ｐ^＊＝｛｛ｓ，ｔ，＊｝｝として、Ｆ⊆２^Ｅを（ｉ）ｓとｔの次数は１で他の頂点の次数は０又は１、かつ、（ｉｉ）閉路が無いような部分グラフの集合とする。すると、ｃｏｕｎｔ（ｖ）は頂点ｖを通過するｓ，ｔ－単純パスの数になる。

【0029】

・サイクル（閉路）：ｓ∈Ｖが与えられたとき、Ｐ^＊＝｛｛ｓ，＊｝｝として、Ｆ⊆２^Ｅを（ｉ）各頂点の次数は０又は２、かつ、（ｉｉ）連結成分がちょうど１つ存在するような部分グラフの集合とする。すると、ｃｏｕｎｔ（ｖ）は頂点ｓを起終点として頂点ｖを通過する閉路の数になる。

【0030】

・シュタイナー木：Ｔ⊆Ｖが与えられたとき、Ｐ^＊＝｛Ｔ∪｛＊｝｝として、Ｆ⊆２^Ｅを閉路が無くちょうど１つの連結成分が存在するような部分グラフの集合とする。すると、ｃｏｕｎｔ（ｖ）は頂点ｖを通過するＴ－シュタイナー木、すなわちＴに含まれる頂点を全て接続する木の数になる。

【0031】

・根付き全域森：Ｔ＝｛ｒ_１，・・・，ｒ_ｋ｝⊆Ｖが与えられたとき、Ｐ^＊＝｛｛ｒ_１｝，・・・，｛ｒ_ｋ｝，｛＊｝｝として、Ｆ⊆２^Ｅを（ｉ）各頂点の次数が１以上で、（ｉｉ）閉路がなく、かつ、（ｉｉｉ）ちょうど（ｋ＋１）個の連結成分が存在するような部分グラフの集合とする。すると、ｃｏｕｎｔ（ｖ）はｒ_１，・・・，ｒ_ｋ，ｖを根とする根付き全域森の個数になる。

【0032】

＜本実施形態に関連する従来技術＞
ネットワーク信頼性評価については、二分決定グラフ（ＢＤＤ）を用いた手法が現在実用上は最も高速な手法であり（非特許文献１）、この手法で２００辺前後の実ネットワークトポロジのネットワーク信頼性評価に成功している。ここで、ＢＤＤは注目する頂点が接続するような部分グラフをコンパクトに表現する手段として用いられており、ＢＤＤを一度構築することで部分グラフ数え上げ問題はＢＤＤ上の動的計画法（ＤＰ：(Dynamic Programming）に帰着される。

【0033】

連結性制約以外に他の制約も加えて、上述したようなパス等のグラフ部分構造を数え上げる技術は多く存在する。最も単純なものは、パスや全域木等のグラフ部分構造を１つずつ全て列挙することである。特に、参考文献１に記載されている全域木の列挙により、いくつかの部分グラフ数え上げ問題に用いることができるトゥッテ多項式と呼ばれる多項式を計算することができる。一方で、一般に制約を満たす部分グラフはグラフの規模に対して指数的に多く存在するため、このような列挙はグラフの規模が大きくなるとすぐに計算時間的に不可能になる。実用上高速な数え上げ手法としては、非特許文献１に記載されている手法と同様に制約を満たす部分グラフをＢＤＤのようなデータ構造として索引化する手法があり、その集大成がフロンティア法である（参考文献２）。フロンティア法により、種々の部分グラフ構造を、参考文献３に記載されているゼロサプレス型二分決定グラフ（ＺＤＤ：Zero-suppressed Binary Decision Diagram）と呼ばれるＢＤＤの亜種の構造として表現できる。ＺＤＤも一度構築することで数え上げが単純なＤＰで実行できるため、フロンティア法は実用上高速な部分グラフ数え上げ問題の解法となる。

【0034】

以上はいずれも１つの部分グラフ数え上げ問題を解くための手法であり、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を解くためには、１つの部分グラフ数え上げ問題を解くための手法を各頂点の各々に対して独立に適用する必要がある。

【0035】

なお、参考文献４には、クライアントサーバモデルのネットワーク上で各クライアントがサーバに接続する確率を全てのクライアントで同時並行に高速に求める手法が記載されている。この手法は、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を連結性制約のみの下で同時に解いているものとみなせる。ただし、この連結性制約は「注目する全ての頂点が連結である」というタイプの制約であり、例えば、「或る頂点ペアが非連結である」というタイプの制約は含まれない。

【0036】

＜各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題の課題とその解決方法＞
上述したように、実用上高速なＢＤＤ／ＺＤＤベースの数え上げ手法も１つの部分グラフ数え上げ問題を解くのに数分からそれ以上の時間が掛かることがある。このため、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を解くためには、１つの頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を頂点の個数だけ繰り返し実行する必要があり、計算時間的に現実的ではない。

【0037】

一方で、参考文献４に記載されている手法は、連結性制約のみの下では各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を同時に解くことができるが、他の制約（例えば、各頂点の次数に関する制約等）も存在する状況下では用いることができない。このため、参考文献４に記載されている手法では、上述したパス、サイクル、シュタイナー木、根付き全域森等の部分グラフを同時に数え上げることはできない。

【0038】

そこで、本実施形態では、一般的な「各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題」を同時に解くために、フロンティア法でＺＤＤを１つだけ構築した上で、ＺＤＤ上の動的計画法によって全てのｃｏｕｎｔ（ｖ）の値を計算する方法を提案する。

【0039】

参考文献４に記載されている手法は、連結性制約の中でも特に「注目する全ての頂点が連結である」というタイプの制約しか扱えなかった。一方で、本提案手法によれば、「或る頂点ペアが非連結である」というタイプの連結性制約、各頂点の次数に関する制約、閉路の有無に関する制約等も扱えるため、パス、サイクル、シュタイナー木、根付き全域森等の部分グラフを同時に数え上げることが可能となる。

【0040】

なお、参考文献４に記載されている手法もデータ構造を構築し、そのデータ構造上の動的計画法により全ての数え上げを同時に行うことは提案手法と同様であるが、技術的には以下のような点で異なり、これらの点によって提案手法では連結性制約以外の様々な制約を扱うことが可能となっている。まず、参考文献４に記載されている手法では、ＢＤＤと似ているがＢＤＤではないデータ構造を構築してその上で動的計画法を行っている。一方で、提案手法では、フロンティア法の活用により正当なＺＤＤを構築する。フロンティア法は非連結性の制約も考慮できるため、これにより「或る頂点ペアが非連結である」というタイプの連結性制約も扱えるようになる。また、提案手法では正当なＺＤＤを構築するため、ＺＤＤに関するアルゴリズムや演算等を併用することによって連結性制約以外の他の制約も扱えるようになる。

【0041】

以下、ＺＤＤとフロンティア法について準備した後、上記の提案手法によって各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を同時に解くことができる部分グラフ数え上げ装置１０について説明する。

【0042】

＜準備＞
≪ＺＤＤ≫
参考文献３に記載されているＺＤＤの構造について説明する。ＺＤＤ Ｚ＝（Ｎ，Ａ）は根付き有向非巡回グラフ（ＤＡＧ：Directed Acyclic Graph）の形をしたデータ構造であり、グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）の辺集合Ｅの部分集合の集合、すなわち部分グラフの集合を表現できる。なお、本来、ＺＤＤは任意の集合の部分集合の集合を表現できるが、本実施形態では説明を簡単にするため部分グラフの集合を表現するデータ構造として説明する。また、グラフＧの頂点及び辺と区別するため、ＺＤＤについては「ノード」及び「エッジ」という用語を用いる。

【0043】

ＺＤＤ Ｚの根ノードを以下で書くことにする。

【0044】

【数4】

なお、以下、本明細書のテキスト中ではハット「＾」を記号の真上ではなく、その直前に記載するものとする。例えば、本明細書のテキスト中では、上記の根ノードを「＾ｒ」と記載する。

【0045】

ノード集合Ｎは終端と呼ばれる２つの特別なノードとその他の中間ノードから構成される。上記の２つの特別なノードを「終端ノード」と呼び、それぞれ以下で書くことにする。

【0046】

【数5】

なお、以下、本明細書のテキスト中では、上記の終端ノードを表す記号をそれぞれ大文字のタウΤ及び垂直記号⊥で代用して記載するものとする。

【0047】

各中間ノード＾ｎからは０－枝及び１－枝と呼ばれる２つの枝が出ていて、またラベルと呼ばれる１以上ｍ以下の整数ｌｂ（＾ｎ）を有する。ここで、ｍは元のグラフＧの辺の数である。

【0048】

中間ノード＾ｎから出る０－枝及び１－枝の先のノードをそれぞれ０－子ノード＾ｎ^－及び１－子ノード＾ｎ^＋と呼ぶ。ここで、ラベルは根から小さい順に並んでいる必要がある。すなわち、ｌｂ（＾ｎ）＜ｌｂ（＾ｎ^－）及びｌｂ（＾ｎ）＜ｌｂ（＾ｎ^＋）が各中間ノード＾ｎに対して成り立つ必要がある。なお、終端ノードに対してはそのラベルの値をｍ＋１であると定めることにする。

【0049】

ＺＤＤが正規化されているとは、任意の中間ノード＾ｎに対して、０－子ノード＾ｎ^－はラベルがｌｂ（＾ｎ）＋１であるノード若しくは終端ノード⊥であり、かつ、１－子ノード＾ｎ^＋はラベルがｌｂ（＾ｎ）＋１であるノード若しくは終端ノード⊥である、ということを指す。また、ＺＤＤ Ｚの大きさ｜Ｚ｜は、Ｚ中のノードの数として定義する。

【0050】

ＺＤＤのノードの組＾ｎ，＾ｎ'∈Ｎに対して、ノード＾ｎからノード＾ｎ'までの経路の集合をＲ_Ｚ（＾ｎ，＾ｎ'）と表す。このとき、予め決められた辺の順序ｅ_１，・・・，ｅ_ｍに対して、ＺＤＤ Ｚが表す部分グラフ集合Ｓ（Ｚ）⊆２^Ｅは次のように定義される。Ｚ中の経路Ｒに対して、Ｅ（Ｒ）⊆Ｅを、ラベルがｉであるノードから出る１－枝を経路Ｒが通るとき、かつ、そのときに限りｅ_ｉ∈Ｅ（Ｒ）となるような辺集合Ｅの部分集合とする。すると、Ｓ（Ｚ）＝｛Ｅ（Ｒ）｜Ｒ∈Ｒ_Ｚ（＾ｒ，Τ）｝、すなわち根ノード＾ｒから終端ノードΤまでの各経路に対するＥ（Ｒ）を集めた集合となる。例えば、図１に示すＺＤＤにおいて、根ノードから順に１－枝、０－枝、０－枝、１－枝、１－枝を辿って終端ノードΤまで辿り着く経路は、｛ｅ_１，ｅ_４，ｅ_５｝という部分グラフがＳ（Ｚ）に含まれるということに対応する。なお、図１に示すＺＤＤでは破線が０－枝、実線が１－枝を表しており、ノードの中の整数はラベルを表している。

【0051】

正規化されたＺＤＤ Ｚを用いて、Ｚが表現する部分グラフ集合Ｓ（Ｚ）に対する数え上げの値Ｗ（Ｓ（Ｚ））を簡単に計算することができる。＾ｎ，＾ｎ'∈ＮをＺのノードの組、Ｒ∈Ｒ_Ｚ（＾ｎ，＾ｎ'）をノード＾ｎからノード＾ｎ'までの間の任意の経路とする。このとき、経路Ｒのパス積Ｗ_ｐ（Ｒ）を以下の式（３）で定義する。

【0052】

【数6】

パス積Ｗ_ｐ（Ｒ）は、Ｅ（Ｒ）に存在する辺ｅに対する重みｗ_ｅ ^＋と、Ｅ（Ｒ）に存在しない辺ｅに対する重みｗ_ｅ ^－とを全て掛けた積である。また、ＺＤＤのノード＾ｎに対して、Ｒ_Ｚ（＾ｒ，＾ｎ）中の全ての経路に関するパス積の和を＾ｎ．ｐと表すものとする。すると、Ｓ（Ｚ）はＲ_Ｚ（＾ｒ，Τ）に対応するため、Τ．ｐの値がＷ（Ｓ（Ｚ））の値と一致する。更に、＾ｎ．ｐ自体は指数的な個数のパス積の和として定義されるものの、動的計画法（ＤＰ）を用いることでこの値は簡単に計算できる。具体的には、以下の式（４）に示す関係が成立するため、＾ｒ．ｐから開始して、式（４）に従ってラベルの小さいノードから順に＾ｎ．ｐを計算することで、Τ．ｐの値をＺの大きさに比例する時間で計算することができる。

【0053】

【数7】

≪フロンティア法≫
参考文献２に記載されているフロンティア法について説明する。フロンティア法の基本的な考え方は、予め決められた辺の順序ｅ_１，・・・，ｅ_ｍに基づいて、ｅ_１から順番にその辺が部分グラフに含まれるか否かを決めていくことである。これを繰り返すと、ｉ＝１，・・・，ｍに対して順番にｅ_ｉが部分グラフに含まれるか否かで分岐する二分決定木が構築される。この二分決定木では、全ての辺に対してその辺が部分グラフに含まれるか否かが決定された後の全ての部分グラフが一番下に並ぶことになる。この一番下に並んだ各部分グラフの１つ１つに対して制約を満たすか否かを確認することにより、制約を満たす場合はΤ、制約を満たさない場合は⊥に至る決定木を構築できる。例えば、図２に示すグラフ及び連結性制約Ｐ＝｛｛１，４｝｝が与えられた場合、図３に示す二分決定木が構築される。なお、図２に示すグラフの頂点集合はＶ＝｛１，２，３，４｝、辺集合はＥ＝｛ｅ_１，ｅ_２，ｅ_３，ｅ_４，ｅ_５｝である。

【0054】

ＺＤＤは、上記の二分決定木の等価な部分木、すなわち一番下に並ぶΤと⊥のパターンが同じ木を併合することで構築できる。例えば、図３に示す二分決定木において、ダガー記号†が付与されたノードはいずれも⊥，Τ，Τ，Τという同じパターンを持つため、これらのノードは併合することができる。

【0055】

しかしながら、部分グラフはグラフの規模に対して指数的に多く存在するため、一度二分決定木を構築するのは計算時間的に効率が悪い。そこで、フロンティア法では、図３に示す二分決定木のように各ノードで部分グラフそのものを保持するのではなく、各ノードでグラフの頂点間の連結性に関する情報を保持することで、二分決定木を一番下まで構築することなく上述した等価な部分木を見つけ出し、ノードの併合を行って計算量を削減している。

【0056】

いま、Ｅ_＜ｉ＝｛ｅ_１，・・・，ｅ_ｉ－１｝、Ｅ_≧ｉ＝｛ｅ_ｉ，・・・，ｅ_ｍ｝と定義し、Ｅ_＜ｉとＥ_≧ｉの両方に出現する頂点の集合をフロンティア集合Ｆ_ｉと定義する。また、連結性制約Ｐに対して、Ｐ中に出現する頂点の集合（つまり、この連結性制約を表現する部分分割中に出現する頂点の集合）をＶ_Ｐとする。すると、ｅ_ｉ－１まで含まれるか否かを決定した複数の部分グラフに対して、以下の条件が満たされるとき、二分決定木の部分木が等価になることが示せる。

【0057】

条件：Ｆ_ｉ∪Ｖ_Ｐに含まれる頂点間での連結性が等しい、すなわち、任意の２頂点ｖ，ｖ'∈Ｆ_ｉ∪Ｖ_Ｐについて、頂点ｖと頂点ｖ'がその部分グラフの下で接続しているか否かが一致している。

【0058】

したがって、二分決定木の各ノードで部分グラフそのものを保持する代わりに、Ｆ_ｉ∪Ｖ_Ｐに含まれる頂点間での連結性を表す情報を保持することによって、ノードの併合を行うことができる。

【0059】

・フロンティア法のアルゴリズム
以下、フロンティア法のアルゴリズムの一例について、図４を参照しながら説明する。

【0060】

Ｆ_ｉ∪Ｖ_Ｐに含まれる頂点間の連結性は、ｃｏｍｐとｖｓｅｔという２つの頂点の部分分割によって表現される。なお、頂点の部分分割は、実装上は参考文献４と同様に整数の配列として管理するといった方法が考えられる。

【0061】

ｃｏｍｐは、フロンティア集合Ｆ_ｉの分割であって、ｖ，ｖ'∈Ｆ_ｉが連結であるとき、かつ、そのときに限り同じ集合に属するようなものである。すなわち、Ｆ_ｉの各集合は連結成分である。ｖｓｅｔは、Ｆ_ｉの各集合、すなわち連結成分とＶ_ｐの頂点との連結性を保持している。より具体的には、ｖｓｅｔは、同じ集合に属する頂点ペア同士は接続し、異なる集合に属する頂点ペア同士は接続しない、という連結性制約を表現している。ここで、ｃｏｍｐの中で頂点ｖ∈Ｖを含む集合をｃｏｍｐ［ｖ］と表すものとする。同様に、ｖｓｅｔの中で頂点ｖ∈Ｖを含む集合をｖｓｅｔ［ｖ］と表すものとする。また、根ノード＾ｒ及びノード＾ｎが持つｃｏｍｐをそれぞれ＾ｒ．ｃｏｍｐ及び＾ｎ．ｃｏｍｐと表すものとする。同様に、根ノード＾ｒ及びノード＾ｎが持つｖｓｅｔをそれぞれ＾ｒ．ｖｓｅｔ及び＾ｎ．ｖｓｅｔと表すものとする。更に、ラベルｉを持つノードの集合（ｉ層目のノード集合）をＬ_ｉと表すものとする。

【0062】

このとき、フロンティア法のアルゴリズムでは、まず＾ｒ．ｃｏｍｐ＝｛｝、＾ｒ．ｖｓｅｔ＝Ｐ、Ｌ_１＝｛＾ｒ｝、Ｌ_ｉ＝φ（ｉ＝２，・・・，ｍ＋１）とした後（１行目）、辺を含まないか（ｆ＝－）又は辺を含むか（ｆ＝＋）に従ってｃｏｍｐ及びｖｓｅｔを更新することを繰り返す（２～４行目）。８～１３、１８行目がｃｏｍｐとｖｓｅｔの更新の手続きである。８～９行目では、新たにフロンティア集合Ｆ_ｉに加わる頂点ｕについて、ｕのみからなる集合（連結成分）をｃｏｍｐに加える。次に、ｅ_ｉを含み、かつ、ｅ_ｉの両端点ｖ，ｖ'がｃｏｍｐで属する集合（連結成分）が異なる場合（１０行目）、その２つの集合を併合する（１１行目）。このとき、片方の頂点が＾ｎ．ｖｓｅｔに存在し、もう片方の頂点が＾ｎ．ｖｓｅｔに存在しない場合、存在しない方の頂点が含まれるｃｏｍｐの集合の頂点を、存在する方の頂点が含まれるｖｓｅｔの頂点に加える（１２～１３行目）。１８行目では、次のフロンティア集合Ｆ_ｉ＋１に含まれなくなる頂点ｕについて、ｃｏｍｐ及びｖｓｅｔから削除する。最後に、２４行目で、０－子ノード（ｆ＝－）又は１－子ノード（ｆ＝＋）を、更新したｃｏｍｐ及びｖｓｅｔを持つノードに設定する。ここで、もし同じｃｏｍｐとｖｓｅｔを持つノードが既に生成されている場合、子ノードはその既に生成されたノードとする（２１～２２行目）。一方で、そのようなノードが未だ生成されていない場合、新たにそのノードを生成する（２３行目）。また、もし次の（Ｉ）又は（ＩＩ）のいずれかが起こった場合、子ノードを⊥に設定する。これは枝刈りと呼ばれる。（Ｉ）ｖｓｅｔの中の異なる集合に存在する２頂点を辺ｅ_ｉによって接続した場合（６～７行目）。これはｖｓｅｔの制約に反しているためである。（ＩＩ）ｃｏｍｐ［ｖ］の頂点が全て次のフロンティア集合Ｆ_ｉ＋１に含まれなくなったが、ｖｓｅｔ［ｖ］がｖとは違う頂点ｖ'を持っている場合（１６～１７行目）。この場合、ｖとｖ'はもう接続することは無いため、ｖｓｅｔの制約に反するためである。最後に、最後のレベル（層）まで到達し、なおかつ枝刈りされなかった場合には、子ノードをΤに設定する（２０行目）。これはＰによって表現される制約が全て満たされたことを意味する。

【0063】

図２に示すグラフ及び連結性制約Ｐ＝｛｛１，４｝｝が与えられたとき、フロンティア法の結果として得られたＺＤＤを図５に示す。図５ではｃｏｍｐに含まれる集合とｖｓｅｔに含まれる集合とが「ｃｏｍｐに含まれる集合／ｖｓｅｔに含まれる集合」という形式で各ノード中に記載されている。例えば、根ノードには「／｛１，４｝」が記載されており、これは＾ｒ．ｃｏｍｐ＝｛｝、＾ｒ．ｖｓｅｔ＝｛｛１，４｝｝であることを意味している。

【0064】

例えば、図５に示すＺＤＤにおいて、ｉ＝２の層の「｛１｝｛２｝／｛１，４｝」が記載されたノードに注目する。ｃｏｍｐ＝｛｛１｝｛２｝｝より、頂点１を含む連結成分と、頂点２を含む連結成分とがそれぞれ存在することがわかる。また、ｖｓｅｔ＝｛｛１，４｝｝は、頂点１と頂点３が連結であるという制約を表現する。ここで、辺ｅ_２＝｛１，３｝を含めない場合、次のフロンティア集合Ｆ_３＝｛２，３｝は頂点１を含まないため、頂点１を含む連結成分はフロンティア集合Ｆ_３から無くなる。これは頂点１と頂点４が連結であるというｖｓｅｔの制約に反するため、０－子ノードは⊥となる（つまり、枝刈りされる）。一方で、辺ｅ_２＝｛１，３｝を含めた場合、頂点１を含む連結成分は次の層では頂点３を含む連結成分と言い換えられる。更に、頂点１と頂点４が連結であるという制約は頂点３と頂点４が連結であるという制約に言い換えられる。したがって、１－子ノードはｃｏｍｐ＝｛｛２｝｛３｝｝、ｖｓｅｔ＝｛３，４｝である中間ノードとなる。フロンティア法は、このような過程を繰り返してＺＤＤを構築する。なお、図３に示す二分決定木でダガー記号†が付与された４つのノードは、図５に示すＺＤＤでダガー記号†が付与された１つのノードとして扱われている。

【0065】

＜部分グラフ数え上げ装置１０のハードウェア構成例＞
本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０のハードウェア構成例を図６に示す。図６に示すように、本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０は、入力装置１０１と、表示装置１０２と、外部Ｉ／Ｆ１０３と、通信Ｉ／Ｆ１０４と、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０５と、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０６と、補助記憶装置１０７と、プロセッサ１０８とを有する。これらの各ハードウェアは、それぞれがバス１０９を介して通信可能に接続される。

【0066】

入力装置１０１は、例えば、キーボード、マウス、タッチパネル、物理ボタン等である。表示装置１０２は、例えば、ディスプレイ、表示パネル等である。なお、部分グラフ数え上げ装置１０は、入力装置１０１及び表示装置１０２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。

【0067】

外部Ｉ／Ｆ１０３は、記録媒体１０３ａ等の外部装置とのインタフェースである。記録媒体１０３ａとしては、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等が挙げられる。

【0068】

通信Ｉ／Ｆ１０４は、部分グラフ数え上げ装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。ＲＡＭ１０５は、プログラムやデータを一時保持する揮発性の半導体メモリ（記憶装置）である。ＲＯＭ１０６は、電源を切ってもプログラムやデータを保持することができる不揮発性の半導体メモリ（記憶装置）である。補助記憶装置１０７は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、フラッシュメモリ等の不揮発性の記憶装置である。プロセッサ１０８は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）等の各種演算装置である。

【0069】

なお、図６に示す部分グラフ数え上げ装置１０のハードウェア構成は一例であって、部分グラフ数え上げ装置１０のハードウェア構成はこれに限られるものではない。例えば、部分グラフ数え上げ装置１０は、複数の補助記憶装置１０７や複数のプロセッサ１０８を有していてもよいし、図示したハードウェアの一部を有していなくてもよいし、図示したハードウェア以外の種々のハードウェアを有していてもよい。

【0070】

＜部分グラフ数え上げ装置１０の機能構成例＞
本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０の機能構成例を図７に示す。図７に示すように、本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０は、入力部２０１と、構築部２０２と、計算部２０３と、出力部２０４とを有する。これら各部は、例えば、部分グラフ数え上げ装置１０にインストールされた１以上のプログラムが、プロセッサ１０８等に実行させる処理により実現される。

【0071】

入力部２０１は、与えられた情報（連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）、ワイルドカード＊込みの連結性制約Ｐ^＊、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒ、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅ）を入力する。ここで、部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅは、例えば、部分グラフが１つ１つ与えられてもよいし、部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅに含まれる部分グラフが満たす制約の形（例えば、「各頂点の次数が０又は２である部分グラフ」等）で与えられてもよい。又は、例えば、部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅの代わりに、この部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅを表現するＺＤＤ Ｚ_Ｆが与えられてもよい。

【0072】

構築部２０２は、入力部２０１によって入力された連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と連結性制約Ｐ^＊と部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、フロンティア法を一部変更した手法により、特定の頂点群の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるＺＤＤ Ｚを構築する。

【0073】

計算部２０３は、入力部２０１によって入力された各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、構築部２０２によって構築されたＺＤＤ Ｚとに基づいて、特定の頂点群の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する。なお、各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）が、各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題の解である。

【0074】

出力部２０４は、計算部２０３によって計算された各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を予め決められた所定の出力先に出力する。なお、所定の出力先としては、例えば、補助記憶装置１０７、表示装置１０２、通信ネットワークを介して接続される端末や機器等が挙げられる。

【0075】

＜部分グラフ数え上げ処理の流れ＞
本実施形態に係る部分グラフ数え上げ処理の流れについて、図８を参照しながら説明する。

【0076】

まず、入力部２０１は、与えられた情報（連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）、ワイルドカード＊込みの連結性制約Ｐ^＊、各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒ、基礎となる部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅ）を入力する（ステップＳ１０１）。

【0077】

次に、構築部２０２は、上記のステップＳ１０１で入力された連結な無向グラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）と連結性制約Ｐ^＊と部分グラフ集合Ｆ⊆２^Ｅとに基づいて、フロンティア法を一部変更した手法により、特定の頂点群の間の連結性に関する情報を持つノードで構成されるＺＤＤ Ｚを構築する（ステップＳ１０２）。なお、ＺＤＤ Ｚを構築する方法の詳細については後述する。

【0078】

次に、計算部２０３は、上記のステップＳ１０１で入力された各辺ｅ∈Ｅの重みｗ_ｅ ^＋，ｗ_ｅ ^－∈Ｒと、上記のステップＳ１０２で構築されたＺＤＤ Ｚとに基づいて、特定の頂点群の間の連結性に関する情報を利用した動的計画法により各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する（ステップＳ１０３）。なお、各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する方法の詳細については後述する。

【0079】

そして、出力部２０４は、上記のステップＳ１０３で計算された各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を予め決められた所定の出力先に出力する（ステップＳ１０４）。

【0080】

＜ＺＤＤ Ｚを構築する方法の詳細＞
以下、図８のステップＳ１０２におけるＺＤＤ Ｚを構築する方法の詳細について説明する。

【0081】

計算部２０３によって全ての頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算するために、構築部２０２によって構築するＺＤＤ Ｚは以下の３つの条件を満たす必要がある。

【0082】

条件１：Ｚは部分グラフ集合Ｆ∩Ｃ（Ｐ^＊［］）を表現する。

【0083】

条件２：Ｚの各ノードはＦ_ｉ∪Ｖ_Ｐ＊の連結性に関する情報をｃｏｍｐ及びｖｓｅｔとして持つ。ここで、Ｖ_Ｐ＊はＰ^＊に含まれる（＊を除いた）頂点の集合である。

【0084】

条件３：Ｚの各ノードのｖｓｅｔは、どの集合がＰ^＊で＊が含まれる集合と対応しているかを保持している。

【0085】

まず、Ｆ＝２^Ｅ、すなわち連結性制約のみが存在する場合、ワイルドカード＊も特別な頂点の１つとして扱うようにフロンティア法のアルゴリズムを一部変更する。具体的には、図４に示したフロンティア法のアルゴリズムの１行目で＾ｒ．ｖｓｅｔにＰ^＊を代入する。また、１６行目のｉｆに対して「｛ｕ，＊｝が＾ｕ．ｖｓｅｔに含まれないこと」という条件をａｎｄ条件として追加する。すると、上述した枝刈りが行われる条件のうち（ＩＩ）は、ｖｓｅｔの中の集合にワイルドカード＊が含まれていても単純に無視するようになる。したがって、Ｚは最終的にワイルドカード＊を無視した制約の下での部分グラフ集合、すなわちＣ（Ｐ^＊［］）を表現するＺＤＤとなる。ここで、フロンティア法はｖｓｅｔにワイルドカード＊を含みながら進行するため条件３も満たされる。

【0086】

次に、Ｆ≠２^Ｅ、すなわち連結性制約以外の制約も存在する場合も考える。まず、Ｆから既存の手法によってＦを表現するＺＤＤ Ｚ_Ｆを構築する。これには、例えば、参考文献２に記載されているフロンティア法や参考文献３に記載されているＡｐｐｌｙ演算等を用いればよい。次に、ＺＤＤ同士の共通部分を取ることができる既存の枠組みを上記の一部変更したフロンティア法と組み合わせて、条件１～条件３を全て満たすＺＤＤ Ｚを構築する。ＺＤＤ同士の共通部分を取ることができる既存の枠組みとしては、例えば、参考文献３に記載されているＡｐｐｌｙ演算や参考文献５に記載されているｓｕｂｓｅｔｔｉｎｇ等を用いることができる。以下、一例として、ＺＤＤ同士の共通部分を取ることができる既存の枠組みとしてｓｕｂｓｅｔｔｉｎｇを用いた場合について説明する。

【0087】

・構築部２０２が実行する処理のアルゴリズム
以下、構築部２０２が実行する処理のアルゴリズムの一例について、図９を参照しながら説明する。なお、図４に示したフロンティア法のアルゴリズムとの相違点は、図９の１行目、６行目～１１行目、２２行目、２７行目である。図９の２行目～５行目は図４の２～５行目と同様であり、図９の１２行目～２１行目は図４の６行目～１５行目と同様であり、図９の２３行目～２６行目は図４の１７行目～２０行目と同様であり、図９の２８行目～３１行目は図４の２２行目～２４行目と同様である。以下、主に、図９のフロンティア法のアルゴリズムとの相違点について説明する。なお、１行目の下線部分と２２行目は、上記で説明したように、ワイルドカード＊を特別な頂点とみなすための変更であり、それ以外の相違点はｓｕｂｓｅｔｔｉｎｇ由来の変更である。ｓｕｂｓｅｔｔｉｎｇでは、フロンティア法で辺ｅ_ｉが含まれるか否かに応じてＺ_Ｆの構造を辿り、もしＺ_Ｆ側で⊥に辿り着いたらそこで枝刈りを行う、すなわち子ノードを⊥とする、という方法であり、ｃｏｍｐ及びｖｓｅｔに加えてｂａｓｅというエントリを作ってｂａｓｅにはそれに対応するＺ_Ｆのノードを格納する。

【0088】

まず、構築部２０２は、＾ｒ．ｃｏｍｐ＝｛｝、＾ｒ．ｖｓｅｔ＝Ｐ^＊、＾ｒ．ｂａｓｅ＝＾ｒ_Ｆ、Ｌ_１＝｛＾ｒ｝、Ｌ_ｉ＝φ（ｉ＝２，・・・，ｍ＋１）とする（１行目）。ここで、＾ｒ_ＦはＺ_Ｆの根ノードである。６～７行目では、構築部２０２は、辺ｅ_ｉが含まれる場合（ｆ＝＋）で、かつ、ｉが＾ｎ．ｂａｓｅのラベルより小さい場合、枝刈りを行う。一方で、構築部２０２は、ｉと＾ｎ．ｂａｓｅのラベルとが一致する場合（８行目）、＾ｎ．ｂａｓｅはそれに対応する子ノードとする（９行目）。また、その子ノードが⊥である場合、構築部２０２は、枝刈りを行う（１０～１１行目）。２７行目では、構築部２０２は、ｃｏｍｐ及びｖｓｅｔに加えてｂａｓｅも一致するノードが既に生成されている場合、子ノードはその既に生成されたノードとする。

【0089】

＜各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する方法の詳細＞
以下、図８のステップＳ１０３における各頂点ｖ∈Ｖに対するカウント値ｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する方法の詳細について説明する。

【0090】

計算部２０３は、構築部２０２によって構築されたＺＤＤ Ｚ（つまり、少なくともｃｏｍｐ及びｖｓｅｔの情報を持つノードで構成されるＺＤＤ Ｚ）上での動的計画法により、各ノードに対して３種類の値ｐ，ｑ，ｒをそれぞれ計算する。そして、計算部２０３は、これら３種類の値ｐ，ｑ，ｒを用いて、各頂点ｖ∈Ｖに対するｃｏｕｎｔ（ｖ）を計算する。以下では、３種類の値ｐ，ｑ，ｒの定義と、これら３種類の値ｐ，ｑ，ｒを用いたｃｏｕｎｔ（ｖ）の計算方法とを説明した後、ｐ，ｑ，ｒの値を求める式について説明し、最後に計算部２０３が実行する処理のアルゴリズムについて説明する。なお、ノード＾ｎに対するｐ，ｑ，ｒはそれぞれ＾ｎ．ｐ，＾ｎ．ｑ，＾ｎ．ｒと表される。

【0091】

構築部２０２によって構築されたＺＤＤ Ｚの各ノードに対して、＾ｎ．ｐは、上述した通り、Ｒ_Ｚ（＾ｒ，＾ｎ）中の全ての経路に関するパス積の和とする。また、＾ｎ．ｒは、Ｒ_Ｚ（＾ｎ，Τ）中の全ての経路に関するパス積の和とする。一方で、＾ｎ．ｑは、＾ｎ．ｃｏｍｐに含まれる各集合、すなわち各連結成分について定まる値である。全ての根ノードからΤまでの経路の集合Ｒ_Ｚ（＾ｒ，Τ）の中でノード＾ｎを通過するものについて考える。そして、＾ｎ．ｃｏｍｐ中の１つの集合（連結成分）Ｂについて、Ｂに含まれる頂点ｖを１つ取る。すると、上述したノード＾ｎを通過する経路のうち、当該経路に対応する部分グラフが制約Ｐ^＊［ｖ］を満たす経路Ｒ（つまり、Ｅ（Ｒ）∈Ｃ（Ｐ^＊［ｖ］）であるような経路Ｒ）の集合は、ノード＾ｎと連結成分Ｂから定まる経路の集合Ｒ_＾ｎ，Ｂ⊆Ｒ_Ｚ（＾ｎ，Τ）及び直積を用いて、以下の形式で表現できることが数学的に示せる。

【0092】

【数8】

ここで、２つの経路集合Ｒ'，Ｒ''に対して、それらの直積は以下で定義される。

【0093】

【数9】

すなわち、２つの経路集合Ｒ'，Ｒ''の直積は、Ｒ'に含まれる経路とＲ''に含まれる経路とをそれぞれ１つずつ取り、それを繋げた経路全体の集合である。また、＾ｎ．ｑ［Ｂ］は、Ｒ_＾ｎ，Ｂ中の全ての経路に関するパス積の和と定義する。

【0094】

以上の値を用いることにより、ｃｏｕｎｔ（ｖ）の値を以下の式で計算できることが示せる。まず、頂点ｖのグラフＧにおける次数が２以上である場合、必ずｖ∈Ｆ_ｉとなるようなｉが存在するため、ｃｏｕｎｔ（ｖ）の値は、以下の式（５）により計算できる。

【0095】

【数10】

次に、頂点ｖのグラフＧにおける次数が１である場合、ｖを含む辺が１つしか存在しない。そこで、ｖを含む辺をｅ_ｉ、また辺ｅ_ｉのもう片方の頂点をｖ'とする。このとき、ｖ'∈Ｆ_ｉである場合、ｃｏｕｎｔ（ｖ）の値は、以下の式（６）により計算できる。

【0096】

【数11】

ここで、Ｖ_Ｐ＊'は、Ｐ^＊中のワイルドカード＊を含む集合に含まれる頂点の集合である。また、上記の式（６）中に現れる＾ｎ．ｑ^＋については後述する。

【0097】

一方で、ｖ'がＦ_ｉに含まれない場合、ｃｏｕｎｔ（ｖ）の値は、以下の式（６）により計算できる。

【0098】

【数12】

次に、ｐ，ｑ，ｒの値を求める式について説明する。＾ｎ．ｐについては既に説明した通りであり、＾ｒ．ｐ＝１から開始して式（４）を用いてラベルが小さいノードから順に値を計算することができる。また、＾ｎ．ｒについては逆にΤ．ｒ＝１、⊥．ｒ＝０から開始して以下の式（８）を用いてラベルが大きいノードから順に計算することができる。

【0099】

【数13】

＾ｎ．ｑの値を計算するために、Ｒ_＾ｎ，Ｂ中の経路を、＾ｎから＾ｎの０－枝を辿るか１－枝を辿るかによって分類し、それぞれＲ_＾ｎ，Ｂ ^－，Ｒ_＾ｎ，Ｂ ^＋とする。＾ｎ．ｑ^－［Ｂ］をＲ_＾ｎ，Ｂ ^－中の経路のパス積の和、＾ｎ．ｑ^＋［Ｂ］をＲ_＾ｎ，Ｂ ^＋中の経路のパス積の和とする。これにより、＾ｎ．ｑ［Ｂ］は以下の式（９）のように分解できる。

【0100】

【数14】

式（９）のそれぞれの項の計算は、以下の「隣り合うノード同士の連結成分の関係性」を用いる。

【0101】

隣り合うノード同士の連結成分の関係性：ラベルｉを持つＺＤＤのノードを＾ｎ∈Ｌ_ｉとし、ｆを＋又は－とする。＾ｎ^ｆ≠⊥であるとき、連結成分Ｂ∈＾ｎ．ｃｏｍｐに対して、Ｂ^ｆを以下のように定義する。（ｉ）もしＢがＦ_ｉ＋１にも存在する頂点ｖを含む場合、Ｂ^ｆ：＝＾ｎ^ｆ．ｃｏｍｐ［ｖ］と定義する。（ｉｉ）そうでない場合、Ｂ^－＝φ、すなわちそれに対応する連結成分は存在しないとする。また、ｆ＝＋に対しては、辺ｅ_ｉの両端点をｖ，ｖ'としたとき、もしｖ'∈Ｆ_ｉかつｖ∈ＢならばＢ^＋：＝＾ｎ^＋．ｃｏｍｐ［ｖ'］、もしｖ∈Ｆ_ｉかつｖ'∈ＢならばＢ^＋：＝＾ｎ^＋．ｃｏｍｐ［ｖ］と定義し、どちらも成り立たないならば＾ｎ^＋＝φとする。

【0102】

上記の定義により、Ｂ^ｆは、＾ｎ．ｃｏｍｐ中に存在するＢと同じ連結成分を表している。

【0103】

以下、＾ｎ．ｑ^－［Ｂ］の計算について説明する。まず、＾ｎ＝⊥である場合、＾ｎ．ｑ^－［Ｂ］＝０である。次に、＾ｎ≠⊥かつＢ^－≠φである場合、以下であることが示せる。

【0104】

【数15】

最後に、＾ｎ≠⊥かつＢ^－＝φである場合、Ｂに含まれる頂点と＾ｎ．ｖｓｅｔに含まれる頂点との比較により場合分けされる。Ｖ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}'を、＾ｎ．ｖｓｅｔのワイルドカード＊を含む集合に含まれている頂点の集合とする。また、Ｖ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}''を、＾ｎ．ｖｓｅｔのワイルドカード＊を含まない集合に含まれている頂点の集合とする。すると、ｃａｓｅ（ｉ）Ｂの頂点が＾ｎ．ｖｓｅｔには一切存在しない場合、ｃａｓｅ（ｉｉ）Ｂの頂点のうち１つ以上がＶ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}'に含まれる場合、ｃａｓｅ（ｉｉｉ）Ｂの頂点のうち１つ以上がＶ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}''に含まれる場合、の３つのパターンがあり得る。これらのうち、ｃａｓｅ（ｉｉ）、又は、ｃａｓｅ（ｉ）かつＶ_Ｐ＊'＝φである場合のみ以下であり、それ以外の場合は＾ｎ．ｑ^－［Ｂ］＝０であることが示せる。

【0105】

【数16】

以上をまとめると、以下の式（１０）となる。

【0106】

【数17】

＾ｎ．ｑ^＋［Ｂ］の計算もほぼ同様であり、式（１０）の－を＋に変えた式がほぼそのまま成立する。ただし、以下のような例外処理をする必要がある。辺ｅ_ｉの両端点をｖ，ｖ'としたとき、ｖとｖ'はＦ_ｉ＋１に含まれず、（＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ］）^＋＝φで、かつ、＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ］がｃａｓｅ（ｉ）に該当したとする。Ｖ_Ｐ＊'≠φのとき、ｖ'∈Ｖ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}'であるか、又は（＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ］）^＋＝φかつ＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ'］がｃａｓｅ（ｉｉ）に該当するならば以下である。

【0107】

【数18】

一方で、Ｖ_Ｐ＊'＝φのとき、ｖ'∈Ｖ_{＾ｎ．ｖｓｅｔ}''であるか、又は（＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ］）^＋＝φかつ＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ'］がｃａｓｅ（ｉｉｉ）に該当するならば＾ｎ．ｑ^＋［＾ｎ．ｃｏｍｐ［ｖ］］＝０である。

【0108】

以上がｐ，ｑ，ｒの値を求める式となる。

【0109】

・計算部２０３が実行する処理のアルゴリズム
以下、計算部２０３が実行する処理のアルゴリズムの一例について、図１０を参照しながら説明する。

【0110】

まず、１行目で、計算部２０３は、＾ｒ．ｐを１、それ以外のｐを０に初期化すると共に、Τ．ｒを１、⊥．ｒを０、すべてのｑを０に初期化する。２～５行目がｐの計算であり、計算部２０３は、ラベルｉが小さい順に式（４）によりｐの値を計算する。より具体的には、計算部２０３は、各ノード＾ｎ∈Ｌ_ｉに対して、＾ｎ^－≠⊥である場合は＾ｎ^－．ｐに以下を足し上げる（４行目）。

【0111】

【数19】

一方で、計算部２０３は、各ノード＾ｎ∈Ｌ_ｉに対して、＾ｎ^＋≠⊥である場合は＾ｎ^＋．ｐに以下を足し上げる（５行目）。

【0112】

【数20】

これにより、式（４）に相当する計算が行える。

【0113】

６～１４行目がｒ，ｑの計算であり、計算部２０３は、ラベルｉが大きい順にｒ，ｑの値を計算する。８行目では＾ｎ．ｐが式（８）により計算される。＾ｎ．ｑは＾ｎ．ｑ^－と＾ｎ．ｑ^＋に分けて計算される。１１行目が式（１０）の１つ目の場合分け、１２～１３行目が式（１０）の２つ目の場合分けに相当する。１４行目では上述した＾ｎ．ｑ^＋に関する例外処理を行う。

【0114】

１５行目以降がｃｏｕｎｔ（ｖ）の計算であり、ｒｅｓ［ｖ］にｃｏｕｎｔ（ｖ）の値が格納される。まず、頂点ｖがＶ_Ｐ＊'に含まれる場合、定義よりＣ（Ｐ^＊［ｖ］）＝Ｃ（Ｐ^＊［］）であるため、計算部２０３は、ｒｅｓ［ｖ］にΤ．ｐを代入する（１６行目）。一方で、Ｖ_Ｐ＊''をＰ^＊でワイルドカード＊を含まない集合に含まれている頂点の集合として、頂点ｖがＶ_Ｐ＊''に含まれる場合、Ｐ^＊［ｖ］は矛盾した制約となるため、計算部２０３は、ｒｅｓ［ｖ］に０を代入する（１７行目）。そうではなく、ｖ∈Ｆ_ｉなるｉが存在する場合、計算部２０３は、式（５）によりｒｅｓ［ｖ］の値を計算する（１８～１９行目）。いずれも成立しない場合、頂点ｖは次数１の頂点であるため、計算部２０３は、式（６）及び（７）によりｒｅｓ［ｖ］の値を計算する（２１～２３行目）。２１行目が式（６）の第１項、２２行目が式（７）の第１項、２３行目が式（６）及び（７）に共通の第２項の計算に相当する。

【0115】

＜まとめ＞
以上のように、本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０は、少なくとも連結性制約を含む制約の下での各頂点に対する部分グラフ数え上げ問題を同時に解くことができる。これにより、例えば、パス、サイクル、シュタイナー木、根付き全域森等の頂点重要度計算問題を高速に解くことができる。本実施形態に係る部分グラフ数え上げ装置１０が実行する提案手法は計算量解析もできており、各制約に対してそれぞれフロンティア法を実行するジュライ手法と比較して頂点数ｎのオーダー倍だけ高速になることが示せる。計算機実験においても、１００頂点程度のグラフにおいて上記の頂点重要度計算問題をいずれも１０～２０倍程度高速に解くことができている。

【0116】

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術との組み合わせ等が可能である。

【0117】

［参考文献１］
参考文献１：Akiyoshi Shioura, Akihisa Tamura, and Takeaki Uno. An optimal algorithm for scanning all spanning trees of undirected graphs. SIAM Journal on Computing, Vol. 26, No. 3, pp. 678-692, 1997.
参考文献２：Jun Kawahara, Takeru Inoue, Hiroaki Iwashita, and Shin-ichi Minato. Frontier-based search for enumerating all constrained subgraphs with compressed representation. IEICE Transactions on Fundamentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, Vol. E100.A, No.9, pp. 1773-1784, 2017.
参考文献３：Shin-ichi Minato. Zero-suppressed BDDs for set manipulation in combinatorial problems. In Proceedings of the 30th ACM/IEEE Design Automation Conference (DAC), pp. 272-277, 1993.
参考文献４：Kengo Nakamura, Takeru Inoue, Masaaki Nishino, and Norihito Yasuda. Efficient network reliability evaluation for client-server model. In Proceedings of 2021 IEEE Global Communications Conference (GLOBECOM 2021), pp. 1-6, 2021.
参考文献５：Hiroaki Iwashita and Shin-ichi Minato. Efficient top-down ZDD construction techniques using recursive specifications. Technical Report TCS-TR-A-13-69, Division of Computer Science, Hokkaido University, 2013.

【符号の説明】

【0118】

１０ 部分グラフ数え上げ装置
１０１ 入力装置
１０２ 表示装置
１０３ 外部Ｉ／Ｆ
１０３ａ 記録媒体
１０４ 通信Ｉ／Ｆ
１０５ ＲＡＭ
１０６ ＲＯＭ
１０７ 補助記憶装置
１０８ プロセッサ
１０９ バス
２０１ 入力部
２０２ 構築部
２０３ 計算部
２０４ 出力部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】