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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2024165214
(43)【公開日】2024-11-28
(54)【発明の名称】情報処理装置、及び情報処理方法
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20241121BHJP
G06N 5/01 20230101ALI20241121BHJP
G06N 7/01 20230101ALI20241121BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
G06N5/01
G06N7/01
【審査請求】未請求
【請求項の数】10
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2023081155
(22)【出願日】2023-05-17
(71)【出願人】
【識別番号】000233055
【氏名又は名称】株式会社日立ソリューションズ
(74)【代理人】
【識別番号】110000350
【氏名又は名称】ポレール弁理士法人
(72)【発明者】
【氏名】長谷川 顕登
(72)【発明者】
【氏名】杉田 悠介
(57)【要約】
【課題】複数の目的関数から成る大規模な組合せ最適化問題の求解が可能な、情報処理装置及び情報処理方法を提供する。
【解決手段】計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理装置であって、第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、組合せ最適化部で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する変数定義部の処理を行い、第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する最適化結果判定部の処理を行い、最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
【選択図】図６
【解決手段】計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理装置であって、第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、組合せ最適化部で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する変数定義部の処理を行い、第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する最適化結果判定部の処理を行い、最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
【選択図】図６
【特許請求の範囲】
【請求項1】
計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理装置であって、
第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、前記組合せ最適化部で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する変数定義部の処理を行い、
第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行する前記組合せ最適化部と、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する最適化結果判定部の処理を行い、
最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、前記組合せ最適化部で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する変数定義部の処理を行い、
第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行する前記組合せ最適化部と、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する最適化結果判定部の処理を行い、
最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
【請求項2】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
ユーザが事前に指定した各目的関数項の重要度に応じて、重要度の高い目的関数項と重要度の低い目的関数項に別け、第１段階と第２段階の最適化処理において、前記組合せ最適化部が最適化の対象とする目的関数項を選択することを特徴とする情報処理装置。
ユーザが事前に指定した各目的関数項の重要度に応じて、重要度の高い目的関数項と重要度の低い目的関数項に別け、第１段階と第２段階の最適化処理において、前記組合せ最適化部が最適化の対象とする目的関数項を選択することを特徴とする情報処理装置。
【請求項3】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
最適化処理に用いる数理最適化手法は別々でよく、それぞれの数理最適化手法を実行するためのプログラム、および、組合せ最適化装置を備えることを特徴とする情報処理装置。
最適化処理に用いる数理最適化手法は別々でよく、それぞれの数理最適化手法を実行するためのプログラム、および、組合せ最適化装置を備えることを特徴とする情報処理装置。
【請求項4】
請求項３に記載の情報処理装置であって、
第１段階と第２段階の各最適化処理段階で使用する数理最適化手法に対応して、各々の手法に合わせて、組合せ最適化問題を定式化する定式化生成部と、その定式化を記憶する記憶部を備えることを特徴とする情報処理装置。
第１段階と第２段階の各最適化処理段階で使用する数理最適化手法に対応して、各々の手法に合わせて、組合せ最適化問題を定式化する定式化生成部と、その定式化を記憶する記憶部を備えることを特徴とする情報処理装置。
【請求項5】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
第１段階の最適化処理を実行する前に、第１段階および２段階で用いる数理最適化手法とは異なる、ルールベースの手法により、実行可能な暫定解を取得することを特徴とする情報処理装置。
第１段階の最適化処理を実行する前に、第１段階および２段階で用いる数理最適化手法とは異なる、ルールベースの手法により、実行可能な暫定解を取得することを特徴とする情報処理装置。
【請求項6】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
第１段階および２段階の最適化処理段階において、既に取得した暫定解を初期解として使用することを特徴とする情報処理装置。
第１段階および２段階の最適化処理段階において、既に取得した暫定解を初期解として使用することを特徴とする情報処理装置。
【請求項7】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
定義する変数の個数を削減する際には、事前に取得した実行可能な暫定解から得られる情報と、組合せ最適化問題に課された制約条件とから、解析的に値が決定できる変数については、変数を定義せずに枝刈りする、変数定義部を備えることを特徴とする情報処理装置。
定義する変数の個数を削減する際には、事前に取得した実行可能な暫定解から得られる情報と、組合せ最適化問題に課された制約条件とから、解析的に値が決定できる変数については、変数を定義せずに枝刈りする、変数定義部を備えることを特徴とする情報処理装置。
【請求項8】
請求項１に記載の情報処理装置であって、
定義する変数の個数を削減する際には、事前に取得した実行可能な暫定解から得られる情報と、各目的関数項に対する重要度とを参照することで、一部の変数を定義せずに枝刈りする、変数定義部を備えることを特徴とする情報処理装置。
定義する変数の個数を削減する際には、事前に取得した実行可能な暫定解から得られる情報と、各目的関数項に対する重要度とを参照することで、一部の変数を定義せずに枝刈りする、変数定義部を備えることを特徴とする情報処理装置。
【請求項9】
請求項５に記載の情報処理装置であって、
第１段階および第２段階の最適化処理に先立って、前記実行可能な暫定解を参照することで、変数の枝刈りを実行し、最適化処理結果と、制約条件、目的関数項の重要度に応じて、変数の枝刈りに利用する条件を変更して、最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
第１段階および第２段階の最適化処理に先立って、前記実行可能な暫定解を参照することで、変数の枝刈りを実行し、最適化処理結果と、制約条件、目的関数項の重要度に応じて、変数の枝刈りに利用する条件を変更して、最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。
【請求項10】
計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理方法であって、
第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、前記最適化処理で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する処理を行い、
第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する処理を行い、
最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理方法。
第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、前記最適化処理で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する処理を行い、
第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する処理を行い、
最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、情報処理装置、及び情報処理方法に関する。
【背景技術】
【0002】
組合せ最適化問題においては、複数の目的関数の下で最適解を求めなければならない場合がある。こうした多目的最適化においては、各目的関数間で重要度が異なり、特に重要な目的関数と、比較的重要度の低い目的関数に分類できる。そこで、特に重要な目的関数を確実に最適化すると同時に、重要度の比較的低い目的関数の影響も反映させた最適化を行うことが重要である。しかし、大規模な組合せ最適化問題では上記は困難である。
【0003】
例えば、資源制約付きスケジューリング問題では、最重要な目的関数としてメイクスパン（作業期間）の最小化を設定する場合が多いが、それに加えて、使用する資源の削減や、使用する資源量の平準化等も付加的な目的関数になる場合がある。こういった場合には、メイクスパンを厳密に最小化しつつ、その他の目的関数も加味した最適化が求められる。特に、対象とする問題が大規模で、かつ、メイクスパン以外に２次式で表現される目的関数がある場合、規模が大きいが故に２次式を１次式に変形しての線形計画ソルバによる最適化は困難であり、イジングマシンのような２次式の最適化に適した手法の活用が望まれる。
【0004】
上記した組合せ最適化問題の処理に関して特許文献１には、「資源制約付きスケジューリング問題においてメイクスパン最小解の近似解を高い精度で短時間に求める手法を提供する。」、「制約違反解と制約充足解と近似解を繰り返し求める最適化装置は、前回の制約違反解の終了時刻である第１の終了時刻と前回の制約充足解の終了時刻である第２の終了時刻との間に最適化対象終了時刻を指定してメタヒューリスティックな手法により近似解を求める最適化処理部と、近似解が制約に違反しているか制約を充足しているかを判定する最適化結果判定部と、最適化結果判定部による判定結果に基づいて、近似解が制約に違反している場合には近似解の終了時刻により第１の終了時刻を更新し、近似解が制約を充足している場合には近似解の終了時刻により第２の終了時刻を更新する解更新部を含み、第１の終了時刻及び第２の終了時刻を更新しながら近似解を繰り返し求めることを特徴とする。」と記載されている。
【0005】
また非特許文献１には、イジングマシンを用いたジョブショップスケジューリング問題の求解に関して記載されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0006】
【特許文献1】特開２０２１－１９００１９号公報
【非特許文献】
【0007】
【非特許文献1】Ｄ．Ｓｈｉｍａｄａ、Ｔ．Ｓｈｉｂｕｙａ ａｎｄ Ｔ．Ｓｈｉｂａｓａｋｉ、Ａ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｍａｋｅｓｐａｎ Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ Ｊｏｂ－Ｓｈｏｐ Ｓｃｈｅｄｕｌｉｎｇ Ｐｒｏｂｌｅｍ Ｕｓｉｎｇ Ｉｓｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ、 ２０２１ ＩＥＥＥ ８ｔｈ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｉｎｄｕｓｔｒｉａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ （ＩＣＩＥＡ）、Ｃｈｅｎｇｄｕ、Ｃｈｉｎａ、２０２１、ｐｐ．３０７－３１４
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0008】
特許文献１では、イジングマシンによるシミュレーテッドアニーリングのような、メタヒューリスティックな手法を用いて、資源制約付きスケジューリング問題におけるメイクスパンの上限値を変化させながら、制約違反解と制約充足解を繰り返し求めることで、メイクスパンの最小化を行っている。
【0009】
しかし、この手法では、メイクスパンの最小値を得るのに必要な繰り返し回数が未知であり、場合によっては極端に多くなる恐れがある。また、メタヒューリスティックな手法を用いているために、得られた解のメイクスパンが厳密に最小である保証はない。
【0010】
また非特許文献１では、資源制約付きスケジューリングにおいて、メイクスパンの代わりに各作業の終了時刻の総和をイジングマシンで最小化し、メイクスパン最小化問題の近似解の探索を行っている。
【0011】
しかし、作業終了時刻の総和が同じだとしても、ある作業の完了時刻だけが他の作業よりも極端に遅い場合と、全ての作業が同程度の時刻に完了する場合とで、メイクスパンが異なり得ることからも分かるように、この方法では必ずしもメイクスパンが最小化されるとは限らない。
【0012】
以上のように、イジングマシンでは、最重要なメイクスパンを厳密に最小化することには課題がある上、その他の付加的な目的関数の最適化は考慮できていない。
【0013】
本発明は、こうした背景に鑑みてなされたもので、上記で例示した資源制約付きスケジューリング問題に限らず、複数の目的関数から成る大規模な組合せ最適化問題の求解が可能な、情報処理装置及び情報処理方法の提供を目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0014】
上記課題を解決するために、本発明においては「計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理装置であって、第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、組合せ最適化部で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する変数定義部の処理を行い、第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行する組合せ最適化部と、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する最適化結果判定部の処理を行い、最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理装置。」としたものである。
【0015】
また本発明においては「計算機を用いて、複数の目的関数項から成る組合せ最適化問題を処理する情報処理方法であって、第１段階として、複数の目的関数項のうち重要度の高い目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、最適化処理で得られた暫定解を参照して、定義する変数の個数を削減する処理を行い、第２段階として、重要度の比較的低い目的関数項も加味した目的関数項に対する最適化処理を実行するとともに、指定された判定基準で最適化処理を終了するかを判定する処理を行い、最適化処理を再実行する場合には、変数を定義する際の条件を更新して、前記第２段階の最適化処理を繰り返し実行することを特徴とする情報処理方法。」としたものである。
【発明の効果】
【0016】
本発明によれば、大規模な組合せ最適化問題でも、重要な最適化指標を厳密に最適化すると共に、他の最適化指標も加味できる。上記した以外の課題、構成および効果は、以下の発明を実施するための形態の説明により明らかにされる。
【図面の簡単な説明】
【0017】
【図1】情報処理装置の概略的なハードウェア構成の一例を示すブロック図。
【図2】情報処理装置が備える主な機能構成の一例を示すブロック図。
【図3】最適化方法の手順の一例を示すフローチャート。
【図4】作業の順序指定の一例を示すフローチャート。
【図5】各作業に対する各会社の作業日数を示す表の一例を示す図。
【図6】最適化方法の手順の一例を示すフローチャート。
【図7】ルールベースで作成した作業計画の一例を示す図。
【図8】最小総日数での計画作成を条件として混合整数計画ソルバで求めた作業計画の一例を示す図。
【図9】最小総日数での計画作成を条件としてイジングマシンで求めた作業計画の一例を示す図。
【図10】最大許容総日数２３日の条件の下、混合整数計画ソルバで求めた作業計画の一例を示す図。
【図11】最大許容総日数２４日の条件の下、混合整数計画ソルバで求めた作業計画の一例を示す図。
【図12】最大許容総日数２４日の条件の下、イジングマシンで求めた作業計画の一例を示す図。
【図13】最大許容総日数２６日の条件の下、イジングマシンで求めた作業計画の一例を示す図。
【発明を実施するための形態】
【0018】
以下、本発明の実施例について図面に基づいて詳細に説明する。尚、以下の説明において、同一の又は類似する構成に共通の符号を付して重複した説明を省略することがある。また同一あるいは同様の機能を有する要素が複数ある場合に同一の符号に異なる添字を付して説明することがある。また複数の要素を区別する必要がない場合は添字を省略して説明することがある。
【0019】
本発明に係る最適化問題の求解処理は、多くの場面に適用可能であるが、以下の説明事例においては各作業を担当する人員・会社・機械等の資源が決まっており、各作業への資源の割り当てと開始時間を決定するような、資源制約付きスケジューリング問題を考える。一例として、各作業の順序関係に制約がある場合を想定する。
【0020】
このようなスケジューリング問題においては、全体の作業が完了する時刻の最小化が最重要の目的となる場合がある。ただし、作業に携わる人員をなるべく削減することや、同一担当者による作業はなるべく連続で実行すること、担当者間での作業量を平準化すること等、実際の作業計画作成の現場においては、作業完了時刻の最小化に加えて様々な指標を考慮した最適化が要求される。
【0021】
そこで、本発明の実施例として、全体の作業完了時刻を重視しつつも、その他の項目も考慮したスケジュールの作成例を示す。本開示で記載する実施例は、作業完了時刻の最小化を重視する場合に限らず、総費用の最小化や、利益最大化等を重視しながら、その他の相対的に重要度の低い項目も最適化する場合等にも、適用可能である。
【実施例0022】
図１は、作業計画最適化を実行する情報処理装置のハードウェア構成の一例である。図１に示す情報処理装置１００は、プロセッサ１０１、主記憶装置１０２、補助記憶装置１０３、入力装置１０４、出力装置１０５、通信装置１０６、一つ以上の組合せ最適化装置１０７、及びこれらの装置を通信可能に接続するシステムバス１０８を含んで構成されている。
【0023】
情報処理装置１００は、例えば、その一部又は全部がクラウドシステム（Ｃｌｏｕｄ Ｓｙｓｔｅｍ）により提供されるクラウドサーバ（Ｃｌｏｕｄ Ｓｅｒｖｅｒ）のような仮想的な情報処理資源を用いて実現されるものであってもよい。また情報処理装置１００は、例えば、互いに協調して動作する、通信可能に接続された複数の情報処理装置によって実現されるものであってもよい。
【0024】
プロセッサ１０１は、例えば、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）やＭＰＵ（Ｍｉｃｒｏ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）を用いて構成されている。主記憶装置１０２は、プログラムやデータを記憶する装置であり、例えば、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）（ＳＲＡＭ（Ｓｔａｔｉｃ Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＮＶＲＡＭ（Ｎｏｎ Ｖｏｌａｔｉｌｅ ＲＡＭ）、マスクＲＯＭ（Ｍａｓｋ Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＰＲＯＭ（Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ ＲＯＭ）等）、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）（ＤＲＡＭ（Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）等）等である。補助記憶装置１０３は、ハードディスクドライブ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）、フラッシュメモリ（Ｆｌａｓｈ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＳＳＤ（Ｓｏｌｉｄ Ｓｔａｔｅ Ｄｒｉｖｅ）、光学式記憶装置（ＣＤ（Ｃｏｍｐａｃｔ Ｄｉｓｃ）、ＤＶＤ（Ｄｉｇｉｔａｌ Ｖｅｒｓａｔｉｌｅ Ｄｉｓｃ）等）等である。補助記憶装置１０３に格納されているプログラムやデータは、随時、主記憶装置１０２に読み込まれる。
【0025】
入力装置１０４は、ユーザから情報の入力を受け付けるユーザインタフェイスであり、例えば、キーボード、マウス、カードリーダ、タッチパネル等である。出力装置１０５は、ユーザに情報を提供するユーザインタフェイスであり、例えば、各種情報を可視化する表示装置（ＬＣＤ（Ｌｉｑｕｉｄ Ｃｒｙｓｔａｌ Ｄｉｓｐｌａｙ）、グラフィックカード等）や音声出力装置（スピーカ）、印字装置等である。通信装置１０６は、他の装置と通信する通信インタフェイスであり、例えば、ＮＩＣ（Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ Ｃａｒｄ）、無線通信モジュール、ＵＳＢ（Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｉｎｔｅｒｆａｃｅ）モジュール、シリアル通信モジュール等である。
【0026】
組合せ最適化装置１０７は、入力された組合せ最適化問題を求解する装置である。組合せ最適化装置１０７は、例えば、シミュレーテッド・アニーリング等の、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行するように専用に設計された専用ハードウェアであってもよく、イジングモデルとして表現された最適化問題の解探索を実行する専用ハードウェアであってもよい。但し専用の組合せ最適化装置１０７を設けることなく、汎用計算用のプロセッサ１０１が、組合せ最適化装置として機能することにより、組合せ最適化問題の求解を実行してもよい。
【0027】
組合せ最適化装置１０７は、例えば、ＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）のように、情報処理装置１０に装着する拡張カードの形態を取るものであってもよい。組合せ最適化装置１０７は、例えば、ＣＭＯＳ（Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｍｅｔａｌ Ｏｘｉｄｅ Ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ）回路、ＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ）、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）等のハードウェアによって構成されてもよい。組合せ最適化装置１０７は、制御装置、記憶装置、システムバス５に接続するためのインタフェイス等を含み、システムバス１０８を介してプロセッサ１０１との間でコマンドや情報の送受を行う。組合せ最適化装置１０７は、例えば、通信線を介して他の組合せ最適化装置１０７と通信可能に接続され、他の組合せ最適化装置１０７と協調して動作するものであってもよい。
【0028】
図２は、情報処理装置１００が備える主な機能構成（ソフトウェア構成）を示している。図２に示す情報処理装置１００は、問題データ取得部１１１、定式化生成部１１２、変数定義部１１３、目的関数設定部１１４、組合せ最適化部１１５、最適化結果判定部１１６、解出力部１１７、記憶部ＤＢを備える。
【0029】
これらの機能は、プロセッサ１０１が、主記憶装置１０２に格納されているプログラムを読み出して実行することにより、もしくは、組合せ最適化装置１０７が備えるハードウェアにより実現される。尚、情報処理装置１００は、上記の機能に加えて、例えば、オペレーティングシステム、ファイルシステム、デバイスドライバ、ＤＢＭＳ（ＤａｔａＢａｓｅ Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍ）等の他の機能を備えていてもよい。
【0030】
記憶部ＤＢは、問題データ記憶部ＤＢ１、定式化データ記憶部ＤＢ２、変数データ記憶部ＤＢ３、暫定解記憶部ＤＢ４、および演算プログラム記憶部ＤＢ５を備え、これらを主記憶装置１０２又は補助記憶装置１０３に構成する。
【0031】
問題データ取得部１１１は、資源制約付きスケジューリング問題を設定するために外部から入力された情報を、記憶部ＤＢの問題データ記憶部ＤＢ１に問題データＤ１として格納する。外部から入力される情報（問題データＤ１）は、各作業の順序関係や、各作業に対する各資源の情報、各作業に対する所要時間の情報、最適化の目的関数として設定する項目、各目的関数項の重要度に関する情報等を含む。外部からの情報入力は、例えば、ユーザがユーザインタフェイス（入力装置、出力装置、通信装置等）を介して実行する。
【0032】
定式化生成部１１２は、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された問題データ情報Ｄ１から、資源制約付きスケジューリング問題を組合せ最適化問題として数理表現（定式化）し、記憶部ＤＢの定式化データ記憶部ＤＢ２に定式化データＤ２として格納する。変数定義部１１３は、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された問題データ情報Ｄ１と、定式化データ記憶部ＤＢ２に格納された定式化データＤ２を参照して、資源制約付きスケジューリング問題を解くための変数を定義し、変数データ記憶部ＤＢ３に変数データＤ３として格納する。
【0033】
目的関数設定部１１４は、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された各目的関数の重要度に関する問題データ情報Ｄ１から、最適化の対象とする目的関数を決定し、組合せ最適化部１１５に最適化対象として選択した目的関数を送信する。
【0034】
組合せ最適化部１１５は、変数データ記憶部ＤＢ３に格納された変数データＤ３を用いて、定式化データ記憶部ＤＢ２で記述されている定式化データＤ２（資源制約付きスケジューリング問題）を解く。組合せ最適化部１１５は、組合せ最適化装置１０７やプロセッサ１０１を用いて資源制約付きスケジューリング問題の求解を実行する。組合せ最適化部１１５は、目的関数部１１４から取得した目的関数、定式化データ記憶部ＤＢ２に格納された資源制約付きスケジューリング問題Ｄ２の数理表現と、変数定義部１１３で作成された変数を入力として、資源制約付きスケジューリング問題Ｄ２の解を最適化結果判定部１１６と解出力部１１７に出力する。最適化結果判定部１１６は、組合せ最適化部１１５で得られた解を入力とし、求解を続行するか判定する。
【0035】
解出力部１１７は、組合せ最適化部１１５の求解が終了すると、組合せ最適化部１１５で得られた解と、組合せ最適化部１１５で利用した定数値等を読み出し、記憶部ＤＢの暫定解記憶部ＤＢ４に暫定解Ｄ４として格納する。また、解出力部１１７は、組合せ最適化部１１５から読み出した結果を、出力装置１０５や通信装置１０６に出力してもよい。
【0036】
演算プログラム記憶部ＤＢ５は、変数定義部１１３が問題データ記憶部ＤＢ１を参照しながら変数を定義する際に実行するプログラム、及び組合せ最適化部１１５が組合せ最適化装置１０７やプロセッサ１０１を用いて資源制約付きスケジューリング問題を求解する際に実行するプログラムである。
【0037】
図３は、本発明における最適化処理の手順の一例を示すフローチャートである。図３に示される最適化方法は、図１に示されるハードウェアで構成される情報処理装置１００を用いて、図２に示される各機能部によって実行されるのがよい。以下、図３に示す、情報処理装置１００が実行する処理を最適化処理Ｓ２００と称することにする。なお、以下において、符号の前に付している「Ｓ」の文字は処理ステップの意味である。最適化処理Ｓ２００は、例えば、入力装置１０４を介してユーザからの指示等を受け付けることにより開始される。
【0038】
以下、図３を参照しながら、最適化処理Ｓ２００について説明する。
【0039】
まず、処理ステップＳ２０１において、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された最適化の各目的に関する重要度の情報（問題データ情報Ｄ１）を参照して、目的関数設定部１１４が重要度の特に高い項目のみを目的関数に設定し、組合せ最適化部１１５が最適化処理を実行する。
【0040】
資源制約付きスケジューリング問題を例にとると、最適化の目的となる項目としては、例えば、作業完了時刻の最小化、コスト最小化、作業人員の最小化、各作業者の負担平準化、同一作業員の作業はなるべく連続で実行させる、などが考えられる。最適化の目的となる各項目は、ユーザがユーザインターフェイスを介して入力してよい。また、最適化の目的となる各項目の重要度も、ユーザが入力してよい。
【0041】
最適化の目的となる各項目の重要度の指定方法としては、例えば、各目的関数項に対する重みづけとして数値によって指定する、優先度の順序関係で指定するなどがある。また、ユーザが直接処理ステップＳ２０１、および後続の処理ステップＳ２０３のぞれぞれで最適化対象とする目的関数項を指定しても良い。処理ステップＳ２０１での最適化では、組合せ最適化部１１５を複数回利用して、繰り返し最適化計算を実行しても良い。処理ステップＳ２０１での最適化完了後、得られた解は記憶部ＤＢの暫定解記憶部ＤＢ４に格納される。
【0042】
処理ステップＳ２０２では、処理ステップＳ２０１の処理の後、処理ステップＳ２０１で得られた解を暫定解Ｄ４とし、その暫定解Ｄ４の情報を利用して、変数定義部１１３により変数Ｄ３を定義しなおす。処理ステップＳ２０２での変数定義では、暫定解Ｄ４で得られた情報を利用することで、不要な変数の定義を避けることができる。言い換えれば、処理ステップＳ２０２では、処理ステップＳ２０１で利用した変数Ｄ３の枝刈りを行う。この変数Ｄ３の枝刈りとは、制約条件を全て充足する実行可能解を算出するため、および、処理ステップＳ２０１で既に最適化した目的関数値を維持するために、値を事前に解析的に決定できる変数に関する計算を、後続の処理から除くことである。これにより、後続の最適化処理において、計算すべき変数の個数を削減することができる。
【0043】
処理ステップＳ２０３では、処理ステップＳ２０２で枝刈りされた後の変数を用いて、処理ステップＳ２０１では最適化の目的として考慮しなかった項目も含めて最適化を実行する。処理ステップＳ２０３での最適化においては、必ずしも処理ステップＳ２０１で最適化の目的となった項目を含まなくても良い。処理ステップＳ２０３での最適化は、処理ステップＳ２０１と同様に、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された最適化目的に関する問題データ情報Ｄ１を参照して、目的関数設定部１１４が最適化対象となる目的関数を決定し、組合せ最適化部１１５が最適化を実行する。処理ステップＳ２０１で最適化の目的となった項目を、処理ステップＳ２０３でも最適化の目的に設定するかは、ユーザが事前に入力しておき、問題データ記憶部ＤＢ１に格納しておいてよい。処理ステップＳ２０３での最適化完了後、記憶部ＤＢの暫定解記憶部ＤＢ４に処理ステップＳ２０３で得られた解を暫定解Ｄ４として格納する。
【0044】
処理ステップＳ２０４では、最適化結果判定部１１６が、処理ステップＳ２０３で得られた解を入力として、最適化処理Ｓ２００を終了するか、再度最適化処理Ｓ２００の一部を繰り返すかを判定する。処理ステップＳ２０４における求解終了の判定条件としては、例えば、前回の解から目的関数値が改善されたか否か、事前に設定された時間制限に到達したか、などがありうる。
【0045】
処理ステップＳ２０５は、処理ステップＳ２０４で求解終了と判定されなかった場合に実行される。処理ステップＳ２０５では、処理ステップＳ２０２で実行する変数の枝刈り処理の条件を更新する。ただし、必ずしも条件を更新しなければならないわけではなく、一回前の処理ステップＳ２０２で利用した条件のままでもよい。
【0046】
ここで、枝刈り処理の条件とは、暫定解Ｄ４の情報の利用方法に関する条件を指し、暫定解Ｄ４で求まった作業完了時刻の反映方法や、各作業に対する資源の割当を変数定義に反映させるか等である。処理ステップＳ２０５の処理の後、新しい暫定解と更新された枝刈り条件を参照して、処理ステップＳ２０２にて変数を再定義する。その後、再び処理ステップＳ２０３を実行する。この、処理ステップＳ２０５、処理ステップＳ２０２、処理ステップＳ２０３から成る一連の処理を、処理ステップＳ２０４で求解終了の判定がなされるまで繰り返し実行する。
【0047】
以上要するに図３の最適化処理をごく簡単に述べるならば、複数の最適化したい目的関数の中から重要度に応じて選択した一部の目的関数のみを用いて１回目の最適化処理を行い、ここで得られた暫定解を用いて、重要度の低い目的関数を含めたすべての目的関数による２回目の最適化処理を実行するという２段階最適化処理を行ったものである。
【0048】
以下、資源制約付きスケジューリング問題の例を用いて、最適化処理Ｓ２００の一実施例を説明する。本事例で扱う資源制約付きスケジューリング問題では、一連の作業に対して各作業を担当する会社を資源として、各作業に対して担当会社を割り当て、かつ、各作業の開始日を決定する問題を想定する。ただし、各作業の順序関係には指定があり、また、同一の会社が複数の作業を同時に実施することは不可とする。
【0049】
ここで一例として扱う問題では、複数の作業と複数の資源（作業を担当する会社）の関係を最適化する。このうち複数の作業について、図４では作業０１～作業１１の全１１作業を想定し、かつ図示の作業順序を順守する必要があるものとする。
【0050】
図４は、資源制約付きスケジューリング問題における作業順序指定の一例であり、複数の作業間の実行順序は図４の前後作業関係を守って行われる。ここで各矢印の始点と終点が作業間の順序の前後関係を示しており、終点に位置する作業を開始する前に、始点に位置する作業を完了しておく必要がある。例えば、作業０６を開始する前には、作業０２と作業０３を完了しておく必要があり、作業０６を完了させない限り、作業０８と作業０９を開始することはできない等である。
【0051】
【0052】
各会社は、数字が記入されている作業のみ担当可能とする。例えばＡ社は、作業０１、０５－０８は担当不可能だが、作業０２、作業０３、作業０４、作業０９、作業１０、作業１１は所要日数１０日、８日、２日、２日、９日、６日でそれぞれ担当することが可能である。また以下、図４で示される作業順序を遵守しながら、各作業を各会社に割り当て、各作業の開始日を決定するスケジューリング最適化の手順を説明する。
【0053】
図６は、スケジューリング最適化手順の一例を示すフローチャートである。以下、図６に示す、情報処理装置１００が実行する処理を最適化処理Ｓ３００と称することにする。最適化処理Ｓ３００を構成する一連の手順（処理ステップＳ３０１、処理ステップＳ３０２、処理ステップＳ３０３、処理ステップＳ３０４、処理ステップＳ３０５、処理ステップＳ３０６、処理ステップＳ３０７）は、図３に示す最適化処理処理ステップＳ２００の処理ステップＳ２０１に相当する。同様に、処理ステップＳ３０９は処理ステップＳ２０２に、処理ステップＳ３０８、処理ステップＳ３１０は処理ステップＳ２０３に、処理ステップＳ３１１は処理ステップＳ２０４に、処理ステップＳ３１２は処理ステップＳ２０５に相当する。
【0054】
図６の処理ステップＳ３０１において、はじめにルールベース処理によって暫定の作業計画（暫定解）を作成する。ルールベース処理では、例えば、各作業に対して、所要日数の最も短い会社を担当に割り当てれば良い。この場合図５の例では、例えば作業０１、０２、０３の担当会社は、それぞれＤ社（５日）、Ｂ社（２日）、Ｄ社（４日）、のように最短日数での処理が可能な担当会社が割り当てられる。
【0055】
会社の割当を全て決めた後、図４に示す作業順序に従って、各作業の開始日を決定する。この際、同一の会社が同時に別作業を実行しないようにしながら、各作業の完了日がなるべく早くなるように開始日を決定する。
【0056】
図７は、上記のルールベース処理によって作成した作業計画を示している。横軸が経過日数、縦軸が作業番号である。この例では、図４の作業順序で最初に位置づけされている作業０１に着目し、その開始日を１日目と定める。また作業０１は、図５を参照すると最短日数での処理が可能なＤ社が担当会社に割り当てられるので、作業０１について１日目から５日目までの日程が決定される。
【0057】
次に、作業０１の終了を開始条件とする作業０２に着目し、作業０２の開始日を、作業０１の終了直後の６日目と定め、かつ図５で定まる２日間（７日目） までの日程が決定される。次に、作業０３の開始日を決定する。施工順序の指定としては、作業０３は１日目から開始可能だが、作業０１と作業０３の担当会社はどちらもＤ社であり、同一会社による別作業の同時実施は不可のため、作業０３は作業０１終了直後の６日目を開始日とする。同様にして、作業０４以降も、施工順序を遵守し、かつ同一会社が同時に複数作業を担当しないようにしながら、各作業の開始日を決定することができる。なお作業０６や作業０７などは、上流側の複数の作業が共に終了していることをもって作業着手が可能となるので、上流側の複数の作業の日程のうち、終了日が遅い側の作業の終了に応じて作業の開始日が決定されることになる。
【0058】
図７は、上記のルールベース処理によって作成した作業計画の例を示している。図４に示した施工順序の指定を全て満たしながら、各会社が同時に別の作業を担当することが無い計画になっていることが確認できる。また、このルールベース処理によって作成した計画では、全体の作業完了日が２４日となっている。
【0059】
上記のルールベース処理の処理ステップＳ３０１の例では、単純に各作業の番号順に、すなわち、作業０１、作業０２、作業０３のような順に開始日を決定したが、必ずしもこのような順である必要はない。ただし、各作業の開始日を決定する際は、図４に示す作業順序において、その作業を開始する前に完了していないければならない作業全てに対し、既に開始日が決定されている必要がある。例えば、作業０６の開始日を決定する際には、作業０２と作業０３の開始日を既に決定しておく必要がある。これは、例えば、ある作業の開始日を決定しようとした際、事前に完了していなければならない作業群のうち、一つでも開始日が決定されていない作業があった場合、当該作業の開始日決定を後回しにして、他の作業の開始日決定を優先すれば良い。例えば、作業０６の開始日を決定しようとした際に、作業０２の開始日が決定されていなかった場合、作業０６の開始日決定処理は、作業０２の開始日決定処理後になるように後回しにすればよい。
【0060】
上記のルールベース処理の処理ステップＳ３０１の例では、各作業の担当会社を所要日数が最小の会社に割り当てたが、他の方法による割り当てを実行してもよい。例えば、各作業の完了日が最も早くなるように、順に各作業への会社割り当てと、各作業の開始日決定を行ってもよい。この場合、例えば、作業０１は、Ｄ社により１日目から開始とする。次に、作業０２は、Ｂ社が６日目から開始とする。作業０３は、Ａ社が１日目から開始とする。作業０３を所要日数最小の会社に割り当てた場合、作業０３はＤ社が６日目から開始し、９日目に完了する。しかし、各作業の完了日が最も早くなるように会社を割り当てた場合、この作業０３の完了日は８日目となる。このように、各作業の完了日が最も早くなるように会社の割当を実行すると、同一会社が同時に別作業を担当できないという制約の影響を考慮しながら、各作業の完了日を早くすることが可能である。
【0061】
再び図６を参照して、処理ステップＳ３０２では、入力された資源制約付きスケジューリング問題を混合整数計画ソルバで求解するための定式化を生成する。以下、定式化の一例を示す。
【0062】
資源制約付きスケジューリング問題を定式化するにあたり、まず以下の変数を定義する。
ｓｉ、ｊ、ｄ：会社ｉが作業ｊを経過日数ｄから始める場合に１、それ以外の場合は０になる二値変数
δｉ：会社ｉが一つでも作業を担当する場合に１、それ以外の場合は０になる二値変数
Ｄ：全体の作業完了日の上界に対応する連続変数、もしくは整数変数
次に、以下の定数を定義する。
ｄｉ、ｊ：作業ｊに対する会社ｉの所要日数
ｄｍａｘ：全体の作業日数として許容される最大値
Ｍｉ：会社ｉが担当しうる作業数の最大値
Ｎｉ：全会社数
ｗｋ：各目的関数の重み係数（ｋ＝１、２、…）
なお上記定義について、さらに具体的に述べるならば以下のようである。まずｄｉ、ｊは、図５に示した、各作業に対する各会社の所要日数である。ｄｍａｘは、ルールベース処理で求めた暫定の作業計画を参照して、図６の処理ステップＳ３０３及び処理ステップＳ３０８において設定される。Ｍｉは、図５に示した所要日数表と、ｄｍａｘから決められる。例えば、ｄｍａｘ＝１３の場合、Ａ社が担当しうるのは、最大でも作業０４、作業０９、作業１１の３作業であり、ＭＡ社＝３と決められる。Ｎｊは、全会社数であり、本資源制約付きスケジューリング問題の場合、５である。ｗｋは、後に設定する目的関数Ｑｋの重み係数であり、ユーザが指定してよい。
ｓｉ、ｊ、ｄ：会社ｉが作業ｊを経過日数ｄから始める場合に１、それ以外の場合は０になる二値変数
δｉ：会社ｉが一つでも作業を担当する場合に１、それ以外の場合は０になる二値変数
Ｄ：全体の作業完了日の上界に対応する連続変数、もしくは整数変数
次に、以下の定数を定義する。
ｄｉ、ｊ：作業ｊに対する会社ｉの所要日数
ｄｍａｘ：全体の作業日数として許容される最大値
Ｍｉ：会社ｉが担当しうる作業数の最大値
Ｎｉ：全会社数
ｗｋ：各目的関数の重み係数（ｋ＝１、２、…）
なお上記定義について、さらに具体的に述べるならば以下のようである。まずｄｉ、ｊは、図５に示した、各作業に対する各会社の所要日数である。ｄｍａｘは、ルールベース処理で求めた暫定の作業計画を参照して、図６の処理ステップＳ３０３及び処理ステップＳ３０８において設定される。Ｍｉは、図５に示した所要日数表と、ｄｍａｘから決められる。例えば、ｄｍａｘ＝１３の場合、Ａ社が担当しうるのは、最大でも作業０４、作業０９、作業１１の３作業であり、ＭＡ社＝３と決められる。Ｎｊは、全会社数であり、本資源制約付きスケジューリング問題の場合、５である。ｗｋは、後に設定する目的関数Ｑｋの重み係数であり、ユーザが指定してよい。
【0063】
次に、以下の集合を定義する。
Ｐ：順序制約のある作業ペアの集合
Ｉｊ：作業ｊを担当可能な会社の集合
Ｊｉ：会社ｉが担当可能な作業の集合
なお上記定義について、さらに具体的に述べるならば以下のようである。まずＰには、例えば、（作業０１、作業０２）、（作業０２、作業０５）などが含まれる。ＩｊとＪｉは、図５に示す所要日数表から決定することができる。例えば、Ｉ作業０２＝｛Ａ社、Ｂ社、Ｃ社、Ｅ社｝であり、ＪＡ社＝｛作業０２、作業０３、作業０４、作業０９、作業１０、作業１１｝である。
Ｐ：順序制約のある作業ペアの集合
Ｉｊ：作業ｊを担当可能な会社の集合
Ｊｉ：会社ｉが担当可能な作業の集合
なお上記定義について、さらに具体的に述べるならば以下のようである。まずＰには、例えば、（作業０１、作業０２）、（作業０２、作業０５）などが含まれる。ＩｊとＪｉは、図５に示す所要日数表から決定することができる。例えば、Ｉ作業０２＝｛Ａ社、Ｂ社、Ｃ社、Ｅ社｝であり、ＪＡ社＝｛作業０２、作業０３、作業０４、作業０９、作業１０、作業１１｝である。
【0064】
本資源制約付きスケジューリング問題における目的関数は、以上で定義した変数、定数、集合を用いて、例えば以下の（１）式から（４）式のような目的関数項Ｑｋによって表現できる。
【0065】
【数1】
【0066】
【数2】
【0067】
【数3】
【0068】
【数4】
【0069】
目的関数項Ｑ１は、全体の作業完了日の上界に対応しており、後述する制約項を満たしながら目的関数項Ｑ１を最小化することで、作業完了日の最小化を実現できる。目的関数項Ｑ２は、作業への担当を一つでも割り当てられる会社数である。後述する、δｉに関する制約条件を満たしながら目的関数項Ｑ２を最小化することで、作業を割り当てられる会社数を最小化できる。目的関数項Ｑ３は、同一の会社による連続作業の合計回数を－１倍したものである。ここで、連続作業とは、ある作業を終えた直後に別の作業を開始することを指す。－１倍しているのは、目的関数項Ｑ３の最小化によって、連続作業数を最大化するためである。目的関数項Ｑ４は、全作業日程における全会社間での稼働日数の分散である。目的関数項Ｑ４を最小化することで、会社間の稼働日数を平準化することができる。
【0070】
なお、図３の最適化処理の概念説明において、処理ステップＳ２０１では「１回目の最適化処理として重要度の高い項目のみ最適化する」としているが、これは目的関数項Ｑ１、Ｑ２、Ｑ３、Ｑ４の中から、この一部の目的関数項Ｑを選択したことを意味している。
【0071】
本資源制約付きスケジューリング問題における全体の目的関数Ｈは、上記の目的関数項Ｑｋの重み係数ｗｋによる重み付け和として、次の（５）式のように表現できる。
【0072】
【数5】
【0073】
ただし、本実施例における図６の処理ステップＳ３０２では、混合整数計画ソルバ用の定式化を作成するため、非線形項である目的関数項Ｑ３の重み係数ｗ３と目的関数項Ｑ４の重み係数ｗ４は必ず０に設定するものとする。本実施例の例においては、図３の処理処理ステップＳ２０１における重要度の高い項目のみの最適化処理を、公知の混合整数計画ソルバを用いることで実行するが、シミュレーテッドアニーリング、遺伝的アルゴリズム、タブーサーチ、確率的進化手法など、他の手法を用いても良い。
【0074】
次に、制約条件を定式化する。本資源制約付きスケジューリング問題においては、例えば、以下の（６）式から（１０）式のような制約条件を考慮する必要がある。
【0075】
【数6】
【0076】
【数7】
【0077】
【数8】
【0078】
【数9】
【0079】
【数10】
【0080】
（６）式は、各作業が必ずただ１度だけ実行されなければならないことを示している。（７）式は、図４で示した作業の順序指定を反映しており、集合Ｐに属する全ての作業ペア（ｊｐ、ｊｎ）について、作業ｊｐが作業ｊｎの開始日よりも早く完了しなければならないことを示している。（８）式は、同一の会社が同時に複数の作業を担当することを禁止している。（９）式は、δｉに関する制約条件であり、会社ｉが１作業でも割り当てられた場合にδｉが１になる。この（９）式を満たしながら、目的関数項Ｑ２を最小化することで、δｉは会社ｉが１作業も割り当てられていない場合にのみ０となり、目的関数Ｑ２項で作業担当会社数を表現できる。（１０）式は、作業完了日の上界を設定しており、いかなる作業もＤ－１日目までには完了することを示している。この（１０）式を満たしながら、目的関数項Ｑ１を最小化することで、全体の作業完了日を最小化できる。
【0081】
図６の処理ステップＳ３０３では、処理ステップＳ３０１で得た暫定の計画における作業完了日を、定数ｄｍａｘに代入する。ただし、暫定の計画における作業完了日そのものでなくても、作業完了日に数日足した値、もしくは、作業完了日から数日引いた値を代入しても良い。以下、ｄｍａｘには、図７に示すルールベース処理で作成した計画における作業完了日として、２４日を代入したものとする。
【0082】
図６の処理ステップＳ３０４では、混合整数計画ソルバで本資源制約付きスケジューリング問題を解くために、変数ｓｉ、ｊ、ｄ、δｉ、Ｄを定義する。変数δｉは全ての会社に対して、δＡ社、δＢ社などのように定義する。ただし、後述する処理ステップＳ３０５において、目的関数項Ｑ２を目的関数Ｈに含まないのであれば、変数δｉは定義しなくてよい。変数Ｄは、連続変数もしくは整数変数として定義する。変数ｓｉ、ｊ、ｄは、全ての会社ｉについて、その会社が担当可能な作業群Ｊｉに含まれる作業ｊに対してのみ定義する。また、会社ｉ、作業ｊに対して変数ｓｉ、ｊ、ｄを定義する日にちｄの範囲は、必ず全作業がｄｍａｘ日目には終わるように決定する。さらに、変数ｓｉ、ｊ、ｄは、図４に示した施工順序の指定を参照して、会社ｉが作業ｊを開始しうる日にちｄに対してのみ定義する。
【0083】
具体的には、作業ｊの事前作業の全パスに対して最も早い終了日を計算し、それらの最大値の翌日を作業ｊの最も早い開始日とする。図４の作業０６を例にとると、事前作業のパスは（作業０１、作業０２）と（作業０３）であり、これら２つのパスについて、各作業の最小所要日数の和を取って最速終了日を算出することができる。その結果、（作業０１、作業０２）の最速終了日は７日目、（作業０３）の最速終了日は４日目と求まるため、作業０６の最速開始日は８日目である。この議論は、作業０６の事前作業を終了させるには最低でも７日かかるため、作業０６はどんなに早くても８日目以降にしか開始できないことを意味している。
【0084】
また、作業ｊの後続作業の全パスに対して最小施工日数を計算し、それらの最大値をｄｍａｘ（＝２４日）から引いた値が作業ｊの終了日として許容される、最も遅い日にちになる。図４の作業０６を例にとると、後続作業のパスは（作業０８、作業１１）と（作業０９、作業１１）であり、各作業の最小施工日数の和を取ることで、これら２つのパスの最小施工日数を算出することができる。その結果、（作業０８、作業１１）、（作業０９、作業１１）の最小施工日数はそれぞれ１０日間、４日間と求まるため、作業０６の最も遅い終了日として許されるのはｄｍａｘ－１０＝１４日目である。この議論は、作業０６の後続作業を２４日目までに完了するには、どんなに遅くとも作業０６を１４日目までには完了する必要があることを意味している。
【0085】
上記手法によって求めた作業ｊの最速開始日をｄｊ
ｓｔａｒｔ、最も遅い終了日をｄｊ
ｆｉｎｉｓｈとすると、変数ｓｉｊｄを定義する日数ｄの範囲は［ｄｊ
ｓｔａｒｔ、ｄｊ
ｆｉｎｉｓｈ－ｄｉｊ＋１］に限定できる。例えば、図４に示した作業０６に対する、Ｄ社の変数、ｓＤ社、作業０６、ｄを定義する日数ｄの範囲は［８、１０］となる。すなわち、作業０６、Ｄ社に対応する変数ｓｉｊｄは、ｓＤ社、作業０６、８日目、ｓＤ社、作業０６、９日目、ｓＤ社、作業０６、１０日目の３つを定義すればよい。逆に、これ以外の日数範囲では、変数ｓＤ社、作業０６、ｄは必ず０であるため、定義する必要が無い。
【0086】
図６の処理ステップＳ３０５では、処理ステップＳ３０２で生成した定式化と、処理ステップＳ３０４で定義した変数に対して、例えば、公知の混合整数計画ソルバを利用して、目的関数値を最小にするような変数値の組合せを求めることで、最適な作業計画を作成する。処理ステップＳ３０５での最適化処理では処理ステップＳ３０１で得られた暫定の作業計画を初期解として利用しても良い。
【0087】
以下、図３の処理ステップＳ２０１における重要度の高い項目として、目的関数項Ｑ１（作業完了日）のみを指定する場合と、目的関数項Ｑ１（作業完了日）とＱ２（作業担当会社数）の２つを指定する場合とに別けて、実施例を説明する。なお、重要度の高い項目としてどの目的関数項を選択するかは、図２の目的関数設定部１１４が、問題データ記憶部ＤＢ１に格納された各目的関数項に対する重要度の情報を参照して行う。
【0088】
まず、目的関数項Ｑ１（作業完了日）のみを重要度の高い項目として、作業完了日の最小化を計画作成の必須条件とする場合、図６の処理ステップＳ３０５では、目的関数Ｈを目的関数項Ｑ１のみ、すなわち、Ｈ＝ｗ１Ｑ１として最適化を行う。これは、処理ステップＳ３０２で生成した目的関数Ｈに対して、重み係数ｗ２、ｗ３、ｗ４に対して全て０を代入することで実現できる。また、目的関数Ｈに目的関数項Ｑ２が含まれない場合は、会社数に関する制約式である（９）式は、制約条件として加味しなくてよい。
【0089】
図８は、（６）式～（１０）式で記述した制約式の下、（５）式で記述される目的関数Ｈ（＝ｗ１Ｑ１）を最小化した際の求解結果から作成した、作業計画のガントチャートである。この作業計画は、値が１になっている変数ｓｉｊｄと各作業の所要日数ｄｉｊの値を参照することで作成することができる。得られた解における変数ｓｉｊｄは、例えば、Ａ社を添え字に含む変数を挙げると、ｓＡ社、作業０４、４＝１、ｓＡ社、作業０９、１５＝１であり、それ以外は全て０である。また、得られた解における変数Ｄの値は２３日であり、全体の作業完了日は２３日となっている。図７に示したルールベースの作業計画では作業完了日が２４日となっており、Ｓ３０５での最適化を経ることで作業完了日が１日短縮されている。
【0090】
混合整数計画ソルバでは、得られた解が厳密解であると保証することができる。したがって、得られた作業完了日の２３日は、厳密に最小な作業完了日である。このように、混合整数計画ソルバでの求解を完了した時点で、最小日数での作業計画を作成することができる。
【0091】
再び図６を参照し、処理ステップＳ３０６では、処理ステップＳ３０５で得られた作業計画を参照して、ｄｍａｘの値を更新する。更新の方法としては、例えば、処理ステップＳ３０５で得られた作業計画における作業完了日の２３日をｄｍａｘに代入してよい。この場合、図６の処理ステップＳ３０３の時点では、ｄｍａｘ＝２４であったが、処理ステップＳ３０６ではｄｍａｘ＝２３となる。ただし、ｄｍａｘの更新方法は上記手法に限られず、処理ステップＳ３０５で得られた作業計画における作業完了日に数日足した値、もしくは数日引いた値を代入してもよい。ｄｍａｘの更新方法はユーザが指定して良い。処理ステップＳ３０５での最適化処理は、例えば、計算時間に制限を設けることで、途中で打ち切っても良い。混合整数計画ソルバでの最適化処理を途中で打ち切ると、処理ステップＳ３０５で得られる解が厳密解である保証が無い。そこで、例えば、処理ステップＳ３０６においてｄｍａｘを前回の値よりも小さくすることにより、処理ステップＳ３０４で定義される変数の個数を削減することができ、結果として次回の処理ステップＳ３０５で厳密解を得るまでの計算時間を短縮できる。
【0092】
図６の処理ステップＳ３０７では、混合整数計画ソルバでの求解を終了するか、再度処理ステップＳ３０４、処理ステップＳ３０５、処理ステップＳ３０６の手順を繰り返すかを判定する。判定条件としては、例えば、処理ステップＳ３０５で厳密解が得られているか否か、前回の求解時よりも目的関数値が改善されたか否か等がある。また、判定条件はユーザが指定してもよく、例えば、指定回数までｄｍａｘの値を減少、ないし増加させながら求解を繰り返して良い。以下、処理ステップＳ３０５で、作業完了日が厳密に最小の解が得られたとして説明する。
【0093】
図６の処理ステップＳ３０８では、混合整数計画ソルバでの求解を終了後、イジングマシン用の定式化を生成する。図６に示すフローチャートでは、図３における重要度の低い項目を含めた最適化処理Ｓ２０３を、イジングマシンで実行することを想定している。イジングマシン用の定式化では、（６）式～（１０）式で示される制約式を、公知のラグランジュ関数法を用いて目的関数に取り込む方法や、公知の交互方向乗数法を利用する方法を採用しても良い。また、全ての制約式をペナルティ項として記述し、目的関数に取り込んでも良い。制約条件をペナルティ項として記述する場合、例えば、制約式（６）式は（１１）式などのように表現して、重み係数ｗ６を乗じて目的関数に加算すればよい。
【0094】
【数11】
【0095】
図６の処理ステップＳ３０９では、全体の作業完了日がｄｍａｘ以内になるように、変数を定義する。今の場合、ｄｍａｘ＝２３であり、図６の処理ステップＳ３０４と同一の手順によって、各会社ｉ、各作業ｊに対して、変数ｓｉｊｄを定義する日にちｄの範囲を決定すれば良い。図６の処理ステップＳ３０５で厳密に最小の作業完了日を取得したことにより、変数ｓｉｊｄを定義する日数範囲を削減することができ、扱う変数の個数を削減できている。
【0096】
また、変数ｓｉｊｄや変数δｉは、処理ステップＳ３０５で得た暫定解において、一つでも作業を割り当てられている会社についてだけ定義しても良い。ただし、図８に示す暫定解の場合、候補となっている５つの会社全てに作業が割り当てられているため、本実施例では、全ての会社に対して変数を定義する。処理ステップＳ３０９で、一部の会社に対してのみ変数を定義するケースについては後述する。
【0097】
図６の処理ステップＳ３１０では、処理ステップＳ３０５では考慮しなかった目的関数項も加味して、イジングマシンを用いて最適化を行う。処理ステップＳ３１０での最適化処理では処理ステップＳ３０５で得られた暫定解を初期解として利用しても良い。今回の場合、新たに加味する目的関数項は、Ｑ２、Ｑ３、Ｑ４であり、それぞれにユーザに指定された重み係数ｗ２、ｗ３、ｗ４を乗じた目的関数値を最小化する。ただし、ラグランジュ関数法や交互方向乗数法、ペナルティ項として制約条件を目的関数に取り込んでいる場合は、制約由来の項も含めた目的関数値を最適化する。本実施例の場合、特に、目的関数項Ｑ３、Ｑ４は二次の目的関数であり、混合整数計画ソルバによる扱いが比較的困難で、イジングマシンが得意とする目的関数項である。
【0098】
図６の処理ステップＳ３１０で用いる、目的関数項の重み係数ｗｋは、処理ステップＳ３０５で用いる重み係数ｗｋと異なっても良い。例えば、処理ステップＳ３０５では、作業完了日に関する目的関数項Ｑ１を、全体の目的関数Ｈに指定していたが、処理ステップＳ３１０ではｗ１＝０として、作業完了日は最適化の対象から除外してよい。このような処理は、作業完了日の最小化が必須条件となるような作業計画作成において有効である。すなわち、処理ステップＳ３０５の時点で作業完了日を厳密に最小化し、処理ステップＳ３０６でこの最小作業完了日をｄｍａｘに設定し、処理ステップＳ３０９で作業計画が必ずｄｍａｘまでに終わるように変数を定義すれば、処理ステップＳ３１０の最適化処理では、必ず最小作業完了日に全作業が完了する作業計画が得られる。この際、目的関数Ｈに作業完了日に関する目的関数項Ｑ１を含まなくてよい。その上で、処理ステップＳ３１０では、処理ステップＳ３０５で考慮しなかった目的関数項を含めた最適化を実行することで、最小作業完了日を維持しながら、連続作業数や作業日数の平準化といった、付加的な最適化指標を加味した作業計画を作成することができる。
【0099】
図９は、ｄｍａｘに最小作業完了日である２３日を設定して、イジングマシンで図６の処理ステップＳ３１０の最適化処理を行って得られる作業計画の一例である。この例では、最適化の対象となる目的関数Ｈは目的関数項Ｑ３、目的関数項Ｑ４から成り、目的関数項Ｑ１、Ｑ２は含んでいない。すなわち、図３の処理ステップＳ２０３における重要度の低い項目として、連続作業数（目的関数項Ｑ３）、作業日数平準化（目的関数項Ｑ４）を指定している。
【0100】
図９に示す作業計画例では、作業完了日は２３日となっており、図６の処理ステップＳ３０５で求めた最小作業完了日と同一の値が得られている。また、連続実行数は、図８の作業計画では１（Ａ社による作業０３と作業０４）だが、イジングマシンによる最適化処理を経ることで、図９の作業計画では、２増加して３（Ａ社による作業０３と作業０４、Ｃ社による作業０５と作業０９、Ｅ社による作業０８と作業１０）となっている。
【0101】
これにより、作業順序が許す範囲でなるべく同一の会社による連続作業を増やして、各会社にとっては無用な空き日数を最小限に抑えられる。稼働日数の平準化に関しては、各会社の稼働日数の分散値で比較すればよい。図８の作業計画では、各会社の稼働日数がＡ社：１２日、Ｂ社：５日、Ｃ社：２日、Ｄ社：１２日、Ｅ社：１１日で、会社間の稼働日数分散は１７．０４である。
【0102】
一方、イジングマシンによる最適化処理を経た結果、図９の作業計画では、各会社の稼働日数がＡ社：１０日、Ｂ社：５日、Ｃ社：１０日、Ｄ社：１２日、Ｅ社：１１日であり、会社間の稼働日数分散は図８の計画から減少して、５．８４となっている。これにより、会社間の負担がなるべく平準化されている。
【0103】
このように、まずは最重要な最適化指標である作業完了日を厳密に最小化し、その作業完了日を遵守した上で、連続作業数の最大化と、稼働日数分散の最小化という付加的な最適化指標も加味した計画の作成ができている。本実施例では、作業完了日の最小化を必須条件とした場合を想定した。この想定は、資源制約付きスケジューリング問題において頻出するケースである。
【0104】
イジングマシンを利用した従来手法では、作業完了日を最小化するために、複数回の最適化処理を繰り返して、ヒューリスティックに最適解を探索する必要があった。特に、最短作業完了日を発見するために必要な最適化処理の繰り返し回数が未知であり、さらには、得られた作業完了日が厳密に最短であるかを保証することができない。本実施例で例示したように、作業完了日を混合整数計画ソルバで厳密に最小化し、その後で、２次の目的関数も含めてイジングマシンによる最適化処理を施すことで、全体の手順としてはループ回数一回で、確実に作業完了日を最小しつつ、かつ、その他の最適化指標も加味した計画の作成が可能である。
【0105】
図６の処理ステップＳ３１１では、事前に指定した判定基準にしたがって、イジングマシンによる求解を終了するか、再度実行するかを決定する。この判定基準は、例えば、制約条件を全て充足しているか、前回のイジングマシンの解よりも目的関数値が改善されたか否かや、ユーザが指定した回数だけイジングマシンによる最適化処理を実行したか、等がある。
【0106】
図６の処理ステップＳ３１２では、処理ステップＳ３１０で得られた作業計画を参照して、ｄｍａｘの値を更新してよい。これは、作業完了日の最小化が計画作成の必須条件でない場合で、例えば、全体の作業完了日を遅らせてでも、連続作業数や会社間の稼働日数分散等、その他の目的関数項の最小化を優先したい場合に有効である。
【0107】
次に、図３の処理ステップＳ２０１における重要度の高い最適化項目として、目的関数項Ｑ１（作業完了日）とＱ２（作業担当会社数）の２つを指定する場合について詳述する。目的関数項Ｑ１（作業完了日）のみを指定した場合と同様の手順については、適宜説明を省略する。
【0108】
再び図６を参照して、処理ステップＳ３０１、処理ステップＳ３０２では、既に述べた方法により、ルールベースの暫定計画作成と、混合整数計画ソルバ用の定式化生成を行う。図６の処理ステップＳ３０３では、例えば、処理ステップＳ３０１で得られた暫定計画（図７参照）における作業完了日から１引いた２３日をｄｍａｘに代入したとする。
【0109】
続いて、目的関数項Ｑ１のみを考慮した場合と同様に、図６の処理ステップＳ３０４、処理ステップＳ３０５を実行する。その結果、例えば、図１０に示すような作業計画が得られる。この作業計画では、作業完了日が２３日、作業担当会社数が５（Ａ社～Ｅ社の全て）となっている。ここで、処理ステップＳ３０４の時点で作業完了日が必ず２３日目以下になるように変数ｓｉｊｄを定義しているため、処理ステップＳ３０５の最適化処理では作業完了日が２４日目以上になるような計画は作成できないことに注意されたい。
【0110】
図６の処理ステップＳ３０６では、ｄｍａｘの値を前回の設定値である２３日から増加させて、例えば、２４日にする。そして、図６の処理ステップＳ３０７で、混合整数計画ソルバでの求解を再度実行すると判定を下すとする。これらｄｍａｘの更新方法と求解続行の判定条件は、例えば、「目的関数値が改善されなくなるまで、ｄｍａｘの値を１増加させて求解を繰り返す」としてもよいし、ユーザが事前に「ｄｍａｘの値を１増加させて２回繰り返す」のように指定しておいても良い。また、必ずしもｄｍａｘは増加させる必要はなく、ｄｍａｘを減少させながら、最適化処理を繰り返しても良い。
【0111】
図１１は、二回目のループにおいて、図６の処理ステップＳ３０５でｄｍａｘ＝２４日の下、混合整数計画ソルバで求めた作業計画の例を示している。この作業計画では、作業完了日が２４日、作業担当会社数が４（Ａ社～Ｄ社のみ作業を担当、Ｅ社が担当しない）となっている。目的関数項Ｑ１の重み係数ｗ１と比較して目的関数項Ｑ２の重み係数ｗ２が十分大きく、会社数削減が重視される場合には、ｄｍａｘを変更して再度最適化処理を実行することで、このように作業完了日を延ばしてでも会社数を削減する計画を得ることができる。ただし、作業完了日を厳密に最小にしなくても構わない場合、図６の処理ステップＳ３０３の時点でｄｍａｘの値を十分大きい値に設定しておいて、処理ステップＳ３０４～処理ステップＳ３０７の繰り返し回数を少なくしても良い。
【0112】
図１１に示す作業計画を得た後、図６の処理ステップＳ３０６ではｄｍａｘに、例えば、処理ステップＳ３０５で得られた作業完了日の２４日をそのまま代入したとする。さらに、図６の処理ステップＳ３０７において、混合整数計画ソルバでの最適化処理を終了すると判定したとして、処理ステップＳ３０８では既に述べた方法でイジングマシン用の定式化を生成する。
【0113】
図６の処理ステップＳ３０９では、全体の作業完了日がｄｍａｘ（＝２４日）以内になるように変数を定義する。変数ｓｉｊｄを定義する日にちｄの範囲は、図６の処理ステップＳ３０４と同一の手順によって決定すれば良い。また、目的関数項Ｑ２で記述される、担当会社数の削減を重視するのであれば、変数ｓｉｊｄと変数δｉは、処理ステップＳ３０５で得た暫定解（図１１）において、計画に現れる会社のみ、すなわち、Ａ社、Ｂ社、Ｃ社、Ｄ社に対してのみ定義し、Ｅ社の変数は定義しなくてもよい。この場合、変数自体がＡ社、Ｂ社、Ｃ社、Ｄ社の４社に対してしか定義されていないため、イジングマシンを用いた最適化処理で得られる作業計画は、必ず担当会社が４社以下になる。
【0114】
図６の処理ステップＳ３１０では、イジングマシンを用いた最適化処理を実行する。この時、追加の目的関数として、例えば、連続作業に関する目的関数項Ｑ３を追加して、最適化対象となる目的関数項としては、ｗ１Ｑ１、ｗ２Ｑ２、ｗ３Ｑ３の３項目にしたとする。ただし、処理ステップＳ３０９において、暫定解に現れた会社に対してのみ変数ｓｉｊｄと変数δｉを定義している場合、会社数に関する目的関数項Ｑ２は、目的関数Ｈに含めなくても良い。なお、ここで追加する目的関数項はＱ３に限る必要はなく、Ｑ４や、その他の最適化指標でも良い。
【0115】
図１２は、ｄｍａｘ＝２４日の下、イジングマシンで最適化処理をして求めた作業計画である。この例では、目的関数項として、Ｑ１、Ｑ２、Ｑ３を加味している。図６の処理ステップＳ３０５で得られていた暫定解（図１１）と比較すると、作業完了日は２４日のまま変わらず、作業会社数も全部で４社のまま変わっていない。図６の処理ステップＳ３０９では、暫定解を参照して変数を定義しており、これらの最適化指標が暫定解よりも悪化しないように設定できる。しかし、新たに追加した、連続作業に関する目的関数項Ｑ３の効果により、作業完了日と会社数という優先度の高い最適化指標の値を維持しながら、連続作業数が図１１の３から増加し、図１２では４となっている。
【0116】
図１２に示す作業計画が得られた後、図６の処理ステップＳ３１１では、イジングマシンでの求解を再実行すると判定されたとする。さらに、処理ステップＳ３１２では、ｄｍａｘに２６日を設定したとする。これら、処理ステップＳ３１１での判定条件とｄｍａｘの更新方法は、事前にユーザが指定しておいてよく、例えば「目的関数値が改善されなくなるまで、ｄｍａｘを２ずつ増加させながらイジングマシンでの求解を繰り返す」と設定しておけばよい。なお、イジングマシンでの求解を繰り返す際には、前回の求解時に得られた解を初期解として利用しても良い。
【0117】
図６の処理ステップＳ３０９では、再びｄｍａｘ＝２６日の下、Ａ社～Ｄ社の４社に対してのみ変数を定義する。さらに、処理ステップＳ３１０でイジングマシンによる最適化を実行する。
【0118】
図１３は、上記の条件の下、イジングマシンで求めた作業計画の例である。一回前のイジングマシンによる求解時よりも、ｄｍａｘの値を増加させたため、作業完了日が２６日に延びているが、会社数はＡ社～Ｄ社の４社のまま変わっていない。また、連続作業数は、前回の４から増加して、７となっている。作業完了日を多少遅らせてでも、その他の目的関数項の改善を重視するのであれば、このようにｄｍａｘの値を変更して再度イジングマシンによる最適化処理を行えばよい。
【0119】
以上、一実施例について詳述したが、本発明は上記の実施例に限定されるものではなく、その要旨を逸脱しない範囲で種々変更可能であることはいうまでもない。例えば、上記の実施例は本発明を分かりやすく説明するために詳細に説明したものであり、必ずしも説明した全ての構成を備えるものに限定されるものではない。また上記実施例の構成の一部について、他の構成の追加・削除・置換をすることが可能である。
【0120】
また上記の各構成、機能部、処理部、処理手段等は、それらの一部または全部を、例えば、集積回路で設計する等によりハードウェアで実現してもよい。また上記の各構成、機能等は、プロセッサがそれぞれの機能を実現するプログラムを解釈し、実行することによりソフトウェアで実現してもよい。各機能を実現するプログラム、テーブル、ファイル等の情報は、メモリやハードディスク、ＳＳＤ（Ｓｏｌｉｄ Ｓｔａｔｅ Ｄｒｉｖｅ）等の記録装置、ＩＣカード、ＳＤカード、ＤＶＤ等の記録媒体に置くことができる。
【0121】
また上記の各図において、制御線や情報線は説明上必要と考えられるものを示しており、必ずしも実装上の全ての制御線や情報線を示しているとは限らない。例えば、実際には殆ど全ての構成が相互に接続されていると考えてもよい。
【0122】
また以上に説明した情報処理装置１００の各種機能部、各種処理部、各種データベースの配置形態は一例に過ぎない。各種機能部、各種処理部、各種データベースの配置形態は、情報処理装置１００が備えるハードウェアやソフトウェアの性能、処理効率、通信効率等の観点から最適な配置形態に変更し得る。
【0123】
また前述した各種のデータを格納するデータベースの構成（スキーマ（Ｓｃｈｅｍａ）等）は、リソースの効率的な利用、処理効率向上、アクセス効率向上、検索効率向上等の観点から柔軟に変更し得る。
【符号の説明】
【0124】
１００：情報処理装置
１０７：組合せ最適化装置
１１１：問題データ取得部
１１２：定式化生成部
１１３：変数定義部
１１４：目的関数設定部
１１５：組合せ最適化部
１１６：最適化結果判定部
１１７：解出力部
ＤＢ：記憶部
ＤＢ１：問題データ記憶部
ＤＢ２：定式化データ記憶部
ＤＢ３：変数データ記憶部
ＤＢ４：暫定解記憶部
ＤＢ５：演算プログラム記憶部
１０７：組合せ最適化装置
１１１：問題データ取得部
１１２：定式化生成部
１１３：変数定義部
１１４：目的関数設定部
１１５：組合せ最適化部
１１６：最適化結果判定部
１１７：解出力部
ＤＢ：記憶部
ＤＢ１：問題データ記憶部
ＤＢ２：定式化データ記憶部
ＤＢ３：変数データ記憶部
ＤＢ４：暫定解記憶部
ＤＢ５：演算プログラム記憶部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】