特開 2024-22267 計算方法、計算システム、及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024022267

(43)【公開日】2024-02-16

(54)【発明の名称】計算方法、計算システム、及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06N 10/60 20220101AFI20240208BHJP

   G06N 99/00 20190101ALI20240208BHJP

【ＦＩ】

G06N10/60

G06N99/00 180

【審査請求】未請求

【請求項の数】4

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2022125720

(22)【出願日】2022-08-05

【新規性喪失の例外の表示】特許法第３０条第２項適用申請有り ｈｔｔｐｓ：／／ｋｅｎ．ｉｅｉｃｅ．ｏｒｇ／ｋｅｎ／ｉｎｄｅｘ／ｉｅｉｃｅ－ｔｅｃｈｒｅｐ－１２１－３４２．ｈｔｍｌ、令和４年１月１７日 システムとＬＳＩの設計技術研究会（ｈｔｔｐｓ：／／ｕｓ０２ｗｅｂ．ｚｏｏｍ．ｕｓ／ｊ／８２７４１０８５４５３？ｐｗｄ＝ＴＧｈＲＵｊＭｗＮｊＱｒＳｌｐＧＴｚＶｎｂＦＶＧＲＷＺｌＺｚ０９）、令和４年１月２４日（開催期間：令和４年１月２４日～令和４年１月２５日） ｈｔｔｐｓ：／／ｊｐｓ２０２２ｓ．ｇａｋｋａｉ－ｗｅｂ．ｎｅｔ／ｄａｔａ／ｐｄｆ／１７ａＢ１９－０５．ｐｄｆ、令和４年３月１日 日本物理学会第７７回年次大会（２０２２年）（ｈｔｔｐｓ：／／ｇａｋｋａｉ－ｗｅｂ．ｎｅｔ／ｐ／ｊｐｓ／ｊｐｓ＿ｔ／ｍｏｄ２．ｐｈｐ）、令和４年３月１７日（開催期間：令和４年３月１５日～令和４年３月１９日） ｈｔｔｐｓ：／／ｉｅｅｅｘｐｌｏｒｅ．ｉｅｅｅ．ｏｒｇ／ｄｏｃｕｍｅｎｔ／９７８３１４２、令和４年５月２７日 ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ．ｗａｓｅｄａ．ｊｐ／ｔｏｐ／ｎｅｗｓ／８０９９９、令和４年５月３０日 ＩＣＴＰ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ａｄｉａｂａｔｉｃ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ／Ｑｕａｎｔｕｍ Ａｎｎｅａｌｉｎｇ（ｈｏｓｔｉｎｇ ＡＱＣ２０２２）（ｈｔｔｐｓ：／／ｚｏｏｍ．ｕｓ／ｍｅｅｔｉｎｇ／ｒｅｇｉｓｔｅｒ／ｔＪｗｐｄｅ２ｐｐｚＩｓＧ９ＺｎＹＳＴＸＹ－ｑｊｘｉｖｖＱｂＧＭｋＶｋ２）、令和４年６月２２日（開催期間：令和４年６月２０日～令和４年６月２４日）

【国等の委託研究の成果に係る記載事項】（出願人による申告）令和３年度、国立研究開発法人科学技術振興機構、戦略的創造研究推進事業（ＣＲＥＳＴ）「地理空間情報を自在に操るイジング計算機の新展開」委託研究、産業技術力強化法第１７条の適用を受ける特許出願

(71)【出願人】

【識別番号】899000068

【氏名又は名称】学校法人早稲田大学

(74)【代理人】

【識別番号】110002675

【氏名又は名称】弁理士法人ドライト国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】戸川 望

(72)【発明者】

【氏名】白井 達彦

(57)【要約】

【課題】イジングマシンにマルチスピンフリップを実装可能とする。
【解決手段】イジングモデルを解くための計算方法は、古典コンピュータが、制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンＨ_orgを計算し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、イジングモデルの暫定解に基づいて第２スピン変数を第１スピン変数にマージしてハミルトニアンＨ_orgから第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンＨ′を計算する。イジングマシンは、変形されたハミルトニアンＨ′に対する解を求め、古典コンピュータは、イジングマシンで得られた解から第２スピン変数の値を計算することによってイジングモデルの解を求める。
【選択図】図８

【特許請求の範囲】

【請求項1】

イジングモデルを解くための計算方法であって、
古典コンピュータにより、
（ａ）制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、
（ｂ）前記複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、前記複数のスピン変数の中から前記第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、前記イジングモデルの暫定解に基づいて前記第２スピン変数を前記第１スピン変数にマージして前記ハミルトニアンから前記第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算し、
イジングマシンにより、
（ｃ）前記変形されたハミルトニアンに対する解を求め、
前記古典コンピュータにより、
（ｄ）前記イジングマシンで得られた解から前記第２スピン変数の値を計算することによって前記イジングモデルの解を求める、計算方法。

【請求項2】

前記古典コンピュータは、シミュレーテッドアニーリングにおける初期温度を設定し、前記（ｂ）～前記（ｄ）のプロセスの後、温度を下げ、
所定の最終温度に達するまで前記（ｂ）～前記（ｄ）のプロセスを繰り返すことにより、前記イジングモデルの基底解を求める、請求項１に記載の計算方法。

【請求項3】

イジングモデルを解くための計算システムであって、
制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、前記複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、前記複数のスピン変数の中から前記第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、前記イジングモデルの暫定解に基づいて前記第２スピン変数を前記第１スピン変数にマージして前記ハミルトニアンから前記第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算するプロセッサを有する古典コンピュータと、
前記変形されたハミルトニアンに対する解を求めるイジングマシンと、
を備え、
前記プロセッサは、
前記イジングマシンで得られた解から前記第２スピン変数の値を計算することによって前記イジングモデルの解を求める、計算システム。

【請求項4】

イジングモデルを解くための計算方法をイジングマシンと併用して古典コンピュータに実行させるためのプログラムであって、
制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、
前記複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、前記複数のスピン変数の中から前記第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、前記イジングモデルの暫定解に基づいて前記第２スピン変数を前記第１スピン変数にマージして前記ハミルトニアンから前記第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算し、
前記変形されたハミルトニアンに対して前記イジングマシンで得られた解から前記第２スピン変数の値を計算することによって前記イジングモデルの解を求めるプロセスを実行させるためのプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、イジングモデルを解くための計算方法、計算システム、及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

イジングマシンは、組合せ最適化問題を効率的に解法する可能性を持つハードウェアとして注目されている。組合せ最適化問題とは、複数の制約条件のもとで目的関数を最小化又は最大化する変数の組合せを求める問題である。イジングマシンを使用する際、組合せ最適化問題はイジング問題に変換される。イジング問題は、イジングモデルと呼ばれるフォーマットを用いており、イジングモデルは、＋１又は－１の値を持つ複数のスピン変数で与えられる。イジング問題は、イジングモデルのハミルトニアン（エネルギー関数）の基底エネルギーを与えるスピン配置を求める問題である。これまでに、様々な組合せ最適化問題をイジング問題に変換するための方法が提案されてきた（例えば、特許文献１参照）。

【0003】

制約付きの組合せ最適化問題をイジング問題として定式化するときのハミルトニアンＨは、Ｈ＝Ｈ_obj＋Ｈ_cで与えられる。ここで、Ｈ_obj及びＨ_cは、それぞれ、目的関数及び制約項である。制約を満たすときＨ_c＝０となり、満たさないときＨ_c＞０となる。制約を満たす解を実行可能解と呼び、基底エネルギーを与える解を基底解と呼ぶ。多くのイジングマシンのハードウェアは、基底解を探索する際、シングルスピンフリップのシミュレーテッドアニーリング（ＳＡ）を動作原理とする。ここで、スピンフリップとは、スピン変数の値を＋１と－１との間で変換することである。

【0004】

例えば、ハミルトニアンＨが式（１）で与えられる２つのスピン変数（σ_１、σ_２）からなるイジングモデルを考える。

【数1】

【0005】

図１に示すように、実行可能解は非実行可能解よりエネルギーが低く、（σ_１、σ_２）が（＋１、－１）及び（－１、＋１）のとき実行可能解となり、（－１、－１）及び（＋１、＋１）のとき非実行可能解となる。実行可能解のうち基底エネルギーを与える（－１、＋１）が基底解であり、（＋１、－１）は局所解である。局所解とは、どのスピン変数をフリップしてもエネルギーが高くなる解である。局所解（＋１、－１）のいずれか一方のスピン変数をフリップすれば非実行可能解となり、非実行可能解（－１、－１）のσ_２をフリップするか、（＋１、＋１）のσ_１をフリップすれば基底解となる。

【0006】

ここで、ＳＡでは、エネルギーが低くなる状態変化（非実行可能解から実行可能解への遷移）は必ず受理する一方、エネルギーが高くなる状態変化（局所解から非実行可能解への遷移）は確率的に受理する。この受理確率は温度に依存しており、高温では高く、低温では低くなる。よって、局所解の状態にあるとき、低温ではエネルギーの高い解への遷移は起こりにくいため、局所解にトラップされ、基底解を探索することができない。これにより、イジングマシンの性能の劣化を招くこととなる。

【0007】

局所解から脱出して実行可能解の間を遷移させるために、図２に示すように、複数のスピン変数を同時にフリップするマルチスピンフリップ手法がある。これに関し、非特許文献１では、非実行可能解を経由せずに基底解に遷移するマルチスピンフリップの有効性が議論されており、ＳＡの性能が改善すると報告がなされている。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0008】

【特許文献1】特開２０２０－６４５３６号公報

【非特許文献】

【0009】

【非特許文献1】Mohammad Bagherbeik, Parastoo Ashtari, Seyed Farzad Mousavi, Kouichi Kanda, Hirotaka Tamura, Ali Sheikholeslami, "A Permutational Boltzmann Machine with Parallel Tempering for Solving Combinatorial Optimization Problems", in International Conference on Parallel Problem Solving from Nature, 2020, pp. 317-331.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0010】

しかしながら、既存のイジングマシンはシングルスピンフリップを動作原理としているため、イジングマシンにマルチスピンフリップを実装することは、その動作原理を改変する必要があり、非常に困難である。

【0011】

本発明は、上記課題に鑑みてなされたものであり、イジングマシンにマルチスピンフリップを実装可能とする計算方法、計算システム、及びプログラムを提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0012】

本発明に係る計算方法は、イジングモデルを解くための計算方法であって、古典コンピュータにより、（ａ）制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、（ｂ）複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、イジングモデルの暫定解に基づいて第２スピン変数を第１スピン変数にマージしてハミルトニアンから第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算し、イジングマシンにより、（ｃ）変形されたハミルトニアンに対する解を求め、古典コンピュータにより、（ｄ）イジングマシンで得られた解から第２スピン変数の値を計算することによってイジングモデルの解を求める。

【0013】

本発明に係る計算システムは、イジングモデルを解くための計算システムであって、制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、イジングモデルの暫定解に基づいて第２スピン変数を第１スピン変数にマージしてハミルトニアンから第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算するプロセッサを有する古典コンピュータと、変形されたハミルトニアンに対する解を求めるイジングマシンと、を備える。プロセッサは、イジングマシンで得られた解から第２スピン変数の値を計算することによってイジングモデルの解を求める。

【0014】

本発明に係るプログラムは、イジングモデルを解くための計算方法をイジングマシンと併用して古典コンピュータに実行させるためのプログラムであって、制約付きの組合せ最適化問題から所定の複数のスピン変数を有するイジングモデルのハミルトニアンを計算し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数をランダムに選択し、複数のスピン変数の中から第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数を第２スピン変数として設定し、イジングモデルの暫定解に基づいて第２スピン変数を第１スピン変数にマージしてハミルトニアンから第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンを計算し、変形されたハミルトニアンに対してイジングマシンで得られた解から第２スピン変数の値を計算することによってイジングモデルの解を求めるプロセスを実行させる。

【発明の効果】

【0015】

本発明によれば、イジングモデルのスピン変数のマージによってハミルトニアンを変形することにより、マルチスピンフリップと等価な過程をシングルスピンフリップで実現することができる。

【図面の簡単な説明】

【0016】

【図1】イジングマシンの動作原理であるシングルスピンフリップのシミュレーテッドアニーリング（ＳＡ）を説明するための模式図である。

【図2】マルチスピンフリップを説明するための模式図である。

【図3】本実施形態に係る計算システムの構成を示すブロック図である。

【図4】図３に示す古典コンピュータのハードウェア構成を示すブロック図である。

【図5】マージ手法によるエネルギー地形の変形を表す概念図である。

【図6A】２スピン系のイジングモデルのエネルギー地形の一例を表す模式図である。

【図6B】図６Ａのイジングモデルのスピン変数のマージによって得られる変形されたエネルギー地形を表す模式図である。

【図7A】４スピン系のイジングモデルのエネルギー地形の一例を表す模式図である。

【図7B】図７Ａのイジングモデルのスピン変数のマージによって得られる変形されたエネルギー地形を表す模式図である。

【図8】本実施形態に係る計算方法を示すフローチャートである。

【発明を実施するための形態】

【0017】

以下、図面を参照して、本発明の実施形態を説明する。

【0018】

＜計算システム＞
まず、本実施形態の計算システムの構成について説明する。図３に示すように、本実施形態の計算システム１０は、古典コンピュータ２０と、古典コンピュータ２０に接続されたイジングマシン３０とを備える。古典コンピュータ２０は、パーソナルコンピュータなどのフォンノイマン型のコンピュータである。

【0019】

イジングマシン３０は、Ｄ－Ｗａｖｅ ２０００Ｑマシン、ＣＭＯＳアニーリングマシン、デジタルアニーラ（登録商標）などの公知のイジングマシンである。

【0020】

図４に示すように、古典コンピュータ２０は、プロセッサ２０２と、メモリ２０４と、記憶装置２０６と、入力部２０８と、ディスプレイ２１０と、Ｉ／Ｆ２１２とを備え、これらのデバイスはバスを介して接続される。

【0021】

プロセッサ２０２は、Central Processing Unit（ＣＰＵ）等を有し、メモリ２０４及び記憶装置２０６に格納されたプログラムに従って各種の処理を実行する。プロセッサ２０２によって実行される計算方法の詳細については後述する（図５～図８参照）。

【0022】

なお、プロセッサ２０２として、ＣＰＵ等の汎用コンピュータの代わりに、本実施形態の計算方法を実行するためのApplication Specific Integrated Circuits（ＡＳＩＣ）、Field Programmable Gate Array（ＦＰＧＡ）等の専用コンピュータを採用してもよい。

【0023】

メモリ２０４は、Read Only Memory（ＲＯＭ）及びRandom Access Memory（ＲＡＭ）を有する。ＲＯＭは、ＢＩＯＳ等のブートプログラムを格納している。プロセッサ２０２が、ＲＯＭに格納されたプログラム又は記憶装置２０６に格納されたプログラムを読み出す際、これらのプログラムはＲＡＭにロードされる。

【0024】

記憶装置２０６は、非一時的なコンピュータ読み取り可能な記憶媒体を有し、本実施形態の計算方法を実行するためのプログラム、プログラムの実行に必要なデータ等を格納している。コンピュータ読み取り可能な記憶媒体としては、Hard Disk Drive（ＨＤＤ）、Solid State Drive（ＳＳＤ）、光ディスク等が挙げられる。

【0025】

なお、プロセッサ２０２によって実行されるプログラムを、ネットワークを介して接続された他のコンピュータに格納し、プロセッサ２０２が、他のコンピュータからＩ／Ｆ２１２を介してプログラムを読み出すようにしてもよい。

【0026】

入力部２０８は、マウス、キーボード等の入力デバイスを有する。ディスプレイ２１０は、Liquid Crystal Display（ＬＣＤ）等のディスプレイであり、プロセッサ２０２により実行された処理の結果を表示する。

【0027】

Ｉ／Ｆ２１２は、古典コンピュータ２０をLocal Area Network（ＬＡＮ）、Wide Area Network（ＷＡＮ）、及び／又はインターネット等のネットワークに接続するためのインターフェースである。

【0028】

＜計算方法＞
次に、図５～図８を参照して、本実施形態の計算方法について説明する。本実施形態では、イジングマシン３０でマルチスピンフリップを実現するため、図５に示すように、イジングモデルの少なくとも一部のスピン変数をマージ（merge）することでイジングモデルのエネルギー地形を変形するマージ手法を用いる。これにより、変形されたハミルトニアンにおけるシングルスピンフリップと元のハミルトニアンにおけるマルチスピンフリップとを等価にさせる。

【0029】

以下、２スピン系のイジングモデルと４スピン系のイジングモデルの例を挙げて、マージ手法を説明する。

【0030】

２スピン系のイジングモデルとして、上述の式（１）と同一のハミルトニアンＨ_１（σ_１、σ_２）を与えるイジングモデル（以下、イジングモデルＩと呼ぶ。）を考える。イジングモデルＩは、σ_１とσ_２のうち一方が＋１で他方が－１のときに制約を満たすというone-hot制約を有する。図６Ａに、Ｈ_１（σ_１、σ_２）のエネルギー地形を示す。イジングモデルＩは、エネルギー値－２の局所解（＋１、－１）と、エネルギー値－４の基底解（－１、＋１）とを有する。残りの非実行可能解は、エネルギー値２０及び１４をそれぞれ与える（－１、－１）及び（＋１、＋１）である。イジングモデルＩにおいて実行可能解の間を遷移するためには、ダブルスピンフリップが必要となる。

【0031】

いま、Ｈ_１（σ_１、σ_２）の局所解にあるものとする。局所解においてσ_１σ_２＝－１であることから、σ_２＝－σ_１を用いてσ_２をσ_１にマージしてＨ_１（σ_１、σ_２）からσ_２を消去すると、式（２）のように、変形されたハミルトニアンＨ_１′（σ_１）が得られる。

【数2】

【0032】

Ｈ_１′（σ_１）は、マージされたスピン変数σ_２に依存しない。図６Ｂに、Ｈ_１′（σ_１）のエネルギー地形を示す。元のＨ_１（σ_１、σ_２）では、局所解と基底解との間にエネルギー障壁があったが、Ｈ_１′（σ_１）ではエネルギー障壁がなくなっていることがわかる。Ｈ_１′（σ_１）をイジングマシン３０に入力すると、シングルスピンフリップでＨ_１′（σ_１）の基底解を求めることができる。Ｈ_１′（σ_１）は、σ_１＝＋１でエネルギー値－２となり、σ_１＝－１でエネルギー値－４となるので、σ_１＝－１が基底解である。すなわち、Ｈ_１′（σ_１）において、σ_１＝＋１はもはや局所解ではなく、シングルスピンフリップで基底解σ_１＝－１に遷移する。

【0033】

次に、σ_２＝－σ_１から、消去したσ_２の値を求める。Ｈ_１′（σ_１）の基底解σ_１＝－１から、（σ_１、σ_２）＝（－１、＋１）が得られ、エネルギー関数は最小値-４をとる。よって、（σ_１、σ_２）＝（－１、＋１）は元のＨ_１（σ_１、σ_２）の基底解である。このように、Ｈ_１′（σ_１）におけるσ_１＝＋１からσ_１＝－１へのシングルスピンフリップは、元のＨ_１（σ_１、σ_２）における（σ_１、σ_２）＝（＋１、－１）から（σ_１、σ_２）＝（－１、＋１）へのダブルスピンフリップと等価になる。

【0034】

次に、式（３）のハミルトニアンＨ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）を与える４スピン系のイジングモデル（以下、イジングモデルＩＩと呼ぶ。）を考える。

【数3】

【0035】

イジングモデルＩＩは、｛σ_１、σ_２｝、｛σ_３、σ_４｝、｛σ_１、σ_３｝、｛σ_２、σ_４｝に対し、一方のスピン変数が＋１で他方のスピン変数が－１のときに制約を満たすというone-hot制約を有する。図７Ａに、Ｈ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）のエネルギー地形を示す。イジングモデルＩＩは、エネルギー値＋１を与える局所解（－１、＋１、＋１、－１）と、エネルギー値－１を与える基底解（＋１、－１、－１、＋１）とを有する。残りの非実行可能解は、大きなエネルギー値７９９を与える（＋１、＋１、＋１、－１）、（＋１、－１、＋１、－１）及び（＋１、－１、＋１、＋１）である。イジングモデルＩＩにおいて実行可能解の間を遷移するためには、４スピンフリップが必要となる。

【0036】

いま、Ｈ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）の局所解にあるものとする。４つのスピン変数のうち、マージの基準とするスピン変数（以下、第１スピン変数と呼ぶ。）をσ_１とし、σ_１にマージされるスピン変数（以下、第２スピン変数と呼ぶ。）をσ_２、σ_３、σ_４とする。局所解において、σ_１σ_２＝－１、σ_１σ_３＝－１、σ_１σ_４＝＋１であることから、σ_２＝－σ_１、σ_３＝－σ_１、σ_４＝σ_１を用いてσ_２、σ_３、σ_４をσ_１にマージしてＨ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）からσ_２、σ_３、σ_４を消去すると、式（４）のように、変形されたハミルトニアンＨ_２′（σ_１）が得られる。

【数4】

【0037】

Ｈ_２′（σ_１）は、マージされた第２スピン変数σ_２、σ_３、σ_４に依存しない。図７Ｂに、Ｈ_２′（σ_１）のエネルギー地形を示す。元のＨ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）では、局所解と基底解との間にエネルギー障壁があったが、Ｈ_２′（σ_１）では、エネルギー障壁がなくなっていることがわかる。Ｈ_２′（σ_１）をイジングマシン３０に入力すると、シングルスピンフリップでＨ_２′（σ_１）の基底解を求めることができる。Ｈ_２′（σ_１）は、σ_１＝－１でエネルギー値が＋１となり、σ_１＝＋１でエネルギー値が－１となるので、σ_１＝＋１が基底解である。すなわち、Ｈ_２′（σ_１）において、σ_１＝－１はもはや局所解ではなく、シングルスピンフリップで基底解σ_１＝＋１に遷移する。

【0038】

次に、マージで得られたσ_２＝－σ_１、σ_３＝－σ_１、σ_４＝σ_１を用いて、第２スピン変数の値を求める。Ｈ_２′（σ_１）の基底解σ_１＝＋１から、（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）＝（＋１、－１、－１、＋１）が得られ、エネルギー関数は最小値－１をとる。よって、（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）＝（＋１、－１、－１、＋１）は元のＨ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）の基底解である。このように、Ｈ_２′（σ_１）におけるσ_１＝－１からσ_１＝＋１へのシングルスピンフリップは、元のＨ_２（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）における（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）＝（－１、＋１、＋１、－１）から（σ_１、σ_２、σ_３、σ_４）＝（＋１、－１、－１、＋１）への４スピンフリップと等価になる。

【0039】

なお、上述の２スピン系と４スピン系のイジングモデルの例では、１つのスピン変数に対して残りのスピン変数を全てマージしたが、実際のイジングモデルでは、スピン変数の数が非常に多いことから、全スピン変数のうちの一部（例えば３０％）がマージされるように、マージされる第２スピン変数を確率的に決めることができる。また、第２スピン変数をユーザが指定することも可能である。シミュレーテッドアニーリング（ＳＡ）では、エネルギー障壁が残ったとしても、温度が高いうちはエネルギーが高くなる解へ確率的に遷移するため、エネルギー障壁を超えられる可能性がある。

【0040】

２スピン系と４スピン系のイジングモデルのマージ手法を例示したが、任意のＮ個のスピン変数からなるイジングモデルに対してマージ手法を適用することができる。一般に、Ｎ個のスピン変数σ_ｉ（ｉ∈｛１、２、…、Ｎ｝）からなるイジングモデルのハミルトニアンＨは式（５）のように定義される。

【数5】

ここで、Ｊ_ｉｊはσ_ｉとσ_ｊとの間の相互作用係数、ｈ_ｉはσ_ｉの外部磁場係数、Ｈ_０は定数である。Ｊ_ｉｊは対称であり（Ｊ_ｉｊ＝Ｊ_ｊｉ）、対角成分はゼロとする（Ｊ_ｉｉ＝０）。

【0041】

式（５）のイジングモデルに対して、以下のようにマージ手法のための定理を導くことができる。
＜定理＞ 全てのｉ∈｛１、２、…、Ｎ｝に対して、マルチスピンフリップするスピン変数の集合の情報を与えるパラメータとして、ｍ_ｉとｓ_ｉを式（６）のように定義する。

【数6】

このとき、式（７）のように、Ｎ個のスピン変数からなるイジングモデルのハミルトニアンＨ^Ｍ（{ｓ_ｉ}_i=1 ^N、{ｍ_ｉ}_i=1 ^N；Ｈ）が得られる。

【数7】

ここで、Ｊ_ｉｊ ^Ｍ、ｈ_ｉ ^Ｍ、Ｈ_０ ^Ｍは、それぞれ、式（８）、式（９）、式（１０）を満たす。

【数8】

【数9】

【数10】

【0042】

このとき、全てのｉに対してσ_ｉσ_ｍｉ＝ｓ_ｉを満たす状態に対して、式（１１）に示すように、Ｈ^Ｍ（{ｓ_ｉ}_i=1 ^N、{ｍ_ｉ}_i=1 ^N；Ｈ）とＨは同じエネルギー値をとる。

【数11】

【0043】

Ｈ^Ｍ（{ｓ_ｉ}_i=1 ^N、{ｍ_ｉ}_i=1 ^N；Ｈ）はマージ手法によって得られた変形されたハミルトニアンを表している。この定理は、マージ手法においてハミルトニアンを変形しても、エネルギー値が変化しないことを意味している。スピン変数は＋１又は－１の値をとるため、σ_ｉσ_ｍｉ＝ｓ_ｉからσ_ｉ＝ｓ_ｉσ_ｍｉを得る。この関係式を用いて式（５）のＨからｍ_ｉ≠ｉを満たすｉを持つσ_ｉを消去することで式（７）のＨ^Ｍ（{ｓ_ｉ}_i=1 ^N、{ｍ_ｉ}_i=1 ^N；Ｈ）を得ることができる。

【0044】

次に、図８に示すフローチャートを参照して、計算システム１０によって実行される計算方法の流れを説明する。本実施形態の計算方法は、上述のマージ手法をＳＡに組み込んだハイブリッドアルゴリズムである。

【0045】

まず、古典コンピュータ２０は、制約付きの組合せ最適化問題からイジングモデルのハミルトニアンＨ_orgを計算し（ステップ８０２）、当該イジングモデルの初期解（暫定解）とＳＡの初期温度（例えば１００度）とを設定する（ステップ８０４）。

【0046】

次に、古典コンピュータ２０は、イジングモデルの全スピン変数の中からマージの基準となる第１スピン変数をランダムに選択し、全スピン変数の中から第１スピン変数以外の所定の割合のスピン変数（例えば、全スピン変数の３０％）を第２スピン変数として設定する。そして、古典コンピュータ２０は、現在の暫定解に基づき第２スピン変数を第１スピン変数にマージして元のハミルトニアンＨ_orgから第２スピン変数を消去することによって、変形されたハミルトニアンＨ′を得る（ステップ８０６）。変形されたハミルトニアンＨ′はイジングマシン３０に入力される。

【0047】

イジングマシン３０は、変形されたハミルトニアンＨ′に対する解を求め、解を更新する（ステップ８０８）。次に、古典コンピュータ２０は、イジングマシン３０で得られた解から、ステップ８０６のマージで消去された第２スピン変数の値を計算することで、イジングモデルの新たな暫定解を求める（ステップ８１０）。そして、古典コンピュータ２０は、ハミルトニアンを元のＨ_orgに戻す（ステップ８１２）。

【0048】

次に、古典コンピュータ２０は、ＳＡにおける温度を所定の温度間隔だけ下げ（ステップ８１４）、現在の温度が予め設定された最終温度（例えば１度）に達したか否かを判定する（ステップ８１６）。現在の温度が最終温度に達していない場合（ステップ８１６；ＮＯ）、ステップ８０６に戻り、ステップ８０６～８１４のプロセスが繰り返される。最終温度になるまでステップ８０６～８１４を繰り返すことで、暫定解が徐々に最適解に近くなる。一方、現在の温度が最終温度に達した場合（ステップ８１６；ＹＥＳ）、直近に得られた暫定解がイジングモデルの基底解として定まり、本実施形態の計算方法が終了する。

【0049】

このように、マージ手法を用いてイジングモデルのハミルトニアンを変形し、イジングマシン３０によって変形後のハミルトニアンに対する解を求めることで、マルチスピンフリップと等価な過程をシングルスピンフリップで実現することができる。よって、イジングマシン３０の動作原理（シングルスピンフリップ）を変更することなく、マルチスピンフリップを実装することができ、イジングマシン３０の性能を改善することができる。

【0050】

本実施形態のマージ手法を用いた計算方法を評価するため、当該計算方法をＮＰ困難な問題である二次ナップサック問題（ＱＫＰ）に適用したところ、マージ手法を用いない計算方法に比べて、残留エネルギー（最適値からのエラーの大きさ）を平均して６８％削減することに成功した。同様に、本実施形態の計算方法を二次割り当て問題（ＱＡＰ）に適用したところ、残留エネルギーを平均して１５％削減することができた。

【0051】

なお、本発明は、上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲内で種々の変更が可能であり、当業者によってなされる他の実施形態、変形例も本発明に含まれる。

【符号の説明】

【0052】

１０ 計算システム
２０ 古典コンピュータ
３０ イジングマシン
２０２ プロセッサ
２０４ メモリ
２０６ 記憶装置
２０８ 入力部
２１０ ディスプレイ
２１２ Ｉ／Ｆ

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6A】

【図6B】

【図7A】

【図7B】

【図8】