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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2024068070
(43)【公開日】2024-05-17
(54)【発明の名称】振動解析装置、振動解析システム及び振動解析方法
(51)【国際特許分類】
G01M 7/06 20060101AFI20240510BHJP
G01M 7/02 20060101ALI20240510BHJP
【ＦＩ】
G01M7/06
G01M7/02 H
【審査請求】未請求
【請求項の数】14
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2023063004
(22)【出願日】2023-04-07
(31)【優先権主張番号】P 2022177724
(32)【優先日】2022-11-04
(33)【優先権主張国・地域又は機関】JP
(71)【出願人】
【識別番号】504205521
【氏名又は名称】国立大学法人 長崎大学
(71)【出願人】
【識別番号】501137636
【氏名又は名称】株式会社ＴＭＥＩＣ
(74)【代理人】
【識別番号】110002147
【氏名又は名称】弁理士法人酒井国際特許事務所
(72)【発明者】
【氏名】吉武 裕
(72)【発明者】
【氏名】永井 弘人
(72)【発明者】
【氏名】上野 陽平
(72)【発明者】
【氏名】古川 隼人
(57)【要約】
【課題】装置の簡略化を図りつつ、消費電力も低下させることが可能な振動解析装置、振動解析システム及び振動解析方法を提供する。
【解決手段】実施形態の振動解析装置は、円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１加振装置と、前記振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、前記第１加振装置及び第２加振装置による加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、を備える。
【選択図】図１
【解決手段】実施形態の振動解析装置は、円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１加振装置と、前記振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、前記第１加振装置及び第２加振装置による加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、を備える。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１加振装置と、
前記振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、
前記第１加振装置及び第２加振装置による加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、
を備えた振動解析装置。
前記振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、
前記第１加振装置及び第２加振装置による加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、
を備えた振動解析装置。
【請求項2】
前記第１加振装置の加振方向と、前記第２加振装置の加振方向とは、前記中心軸と直交するとともに、前記中心軸で交差する、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項3】
前記第１加振装置の加振方向と、前記第２加振装置の加振方向とは、前記中心軸と平行である、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項4】
前記第１加振位置及び前記第２加振位置は、前記振動解析対象物の解析対象の振動モードに応じて前記周方向の間隔が予め定められている、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項5】
前記周方向の間隔は、前記振動モードに対応する複数の間隔のうち、もっとも小さいものに設定されている、
請求項４に記載の振動解析装置。
請求項４に記載の振動解析装置。
【請求項6】
前記所定の位相差は、π／２あるいは－π／２の何れかである、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項7】
前記円周方向に沿って所定の測定対象モードにおける振動の腹と節の間隔で第１検出位置及び第２検出位置を配置し、
前記振動解析部は、前記第１検出位置における前記振動解析対象物の振動及び前記第２検出位置における前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う、
請求項１に記載の振動解析装置。
前記振動解析部は、前記第１検出位置における前記振動解析対象物の振動及び前記第２検出位置における前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う、
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項8】
前記第１検出位置及び前記第２検出位置の振動を検出する検出装置を備え、
前記振動解析部は、前記第１検出位置で検出した振動解析対象物の振動に対応する第１振動検出信号及び前記第２検出位置で検出した振動解析対象物の振動に対応する第２振動検出信号に基づいて、振動解析対象物の振動解析を行う、
請求項７に記載の振動解析装置。
前記振動解析部は、前記第１検出位置で検出した振動解析対象物の振動に対応する第１振動検出信号及び前記第２検出位置で検出した振動解析対象物の振動に対応する第２振動検出信号に基づいて、振動解析対象物の振動解析を行う、
請求項７に記載の振動解析装置。
【請求項9】
前記検出装置は、前記第１検出位置で前記振動解析対象物の振動を検出し、第１振動検出信号を出力する第１動検出器と、
前記第２検出位置で前記振動解析対象物の振動を検出し、第２振動検出信号を出力する第２振動検器と、を備え、
前記振動解析部は、前記第１振動検出信号及び前記第２振動検出信号に基づいて、前記振動解析を行う、
請求項８に記載の振動解析装置。
前記第２検出位置で前記振動解析対象物の振動を検出し、第２振動検出信号を出力する第２振動検器と、を備え、
前記振動解析部は、前記第１振動検出信号及び前記第２振動検出信号に基づいて、前記振動解析を行う、
請求項８に記載の振動解析装置。
【請求項10】
前記第１加振位置及び前記第２加振位置の前記周方向の間隔は、前記振動解析対象物の解析対象の振動モードに対応する所定の設定不能間隔を除く任意の間隔とされている、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項11】
前記設定不能間隔は、理論的に解が得られない前記第１加振位置及び前記第２加振位置の前記周方向の間隔である、
請求項１０に記載の振動解析装置。
請求項１０に記載の振動解析装置。
【請求項12】
前記振動解析部は、静止させたと仮定した場合に、加振力の加振位置が相対的に円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する回転体の前記中心軸を中心として回転する前記振動解析対象物の振動解析を行う、
請求項１に記載の振動解析装置。
請求項１に記載の振動解析装置。
【請求項13】
円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１加振装置と、振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、前記第１加振装置及び第２加振装置による加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、を備えた振動解析装置と、
前記第１加振装置を前記第１加振装置の加振方向が前記振動解析対象物の中心軸と直交するように配置した状態で、前記振動解析対象物の半径に基づいて、前記第２加振装置の配置位置を調整する加振位置調整ユニットと、
前記第２加振装置の配置位置において前記第２加振装置の加振方向が、前記振動解析対象物の中心軸と直交するとともに、前記中心軸で交差するように加振方向を調整する加振方向調整ユニットと、
を備えた振動解析システム。
前記第１加振装置を前記第１加振装置の加振方向が前記振動解析対象物の中心軸と直交するように配置した状態で、前記振動解析対象物の半径に基づいて、前記第２加振装置の配置位置を調整する加振位置調整ユニットと、
前記第２加振装置の配置位置において前記第２加振装置の加振方向が、前記振動解析対象物の中心軸と直交するとともに、前記中心軸で交差するように加振方向を調整する加振方向調整ユニットと、
を備えた振動解析システム。
【請求項14】
円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１過程と、
前記第１過程と並行して、振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２過程と、
前記第１過程及び前記第２過程における加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う第３過程と、
を備えた振動解析方法。
前記第１過程と並行して、振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２過程と、
前記第１過程及び前記第２過程における加振下で前記振動解析対象物の振動を検出して前記振動解析対象物の振動解析を行う第３過程と、
を備えた振動解析方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明の実施形態は、振動解析装置、振動解析システム及び振動解析方法に関する。
【背景技術】
【0002】
従来、モータにおいては、ロータ（回転子）の回転に伴う回転分布電磁力によりステータ（固定子）に振動が生じることが知られており、防振及び制振実験を行う場合には、モータとして構成して回転させることが必要となっていた。
同様にタイヤ試験装置においては、タイヤを回転可能に支持し、回転駆動した回転ドラム上で回転させることにより、試験を行うようになっていた。
同様にタイヤ試験装置においては、タイヤを回転可能に支持し、回転駆動した回転ドラム上で回転させることにより、試験を行うようになっていた。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0003】
【特許文献1】特開２０１０－０５４３１６号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0004】
しかしながら、従来技術においては、実験対象あるいは試験対象を回転させた状態で実験あるいは試験を行う必要があり、実験装置あるいは試験装置の大型化及び複雑化を招くとともに、実験対象あるいは試験対象を回転させるための電力消費も大きくなるという問題点があった。特に、モータの場合、固定子だけでなく回転子も含めて完成させないと回転実験ができないため、モータの完成後でなければその良否の判定を行うことできず、良否判定の結果が否となった場合、モータを改良したものを再び完成させ、再実験、再判定しなければならない。このようにモータ開発はコストが非常に高いのが現状である。
そこで、試験装置を簡略化し、消費電力も抑えながら、製品開発コストを大幅に低減可能な振動解析装置、振動解析システム及び振動解析方法が望まれている。
そこで、試験装置を簡略化し、消費電力も抑えながら、製品開発コストを大幅に低減可能な振動解析装置、振動解析システム及び振動解析方法が望まれている。
【課題を解決するための手段】
【0005】
実施形態の振動解析装置は、円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する振動解析対象物の円周方向の第１加振位置において、所定の振動数かつ第１位相で加振する第１加振装置と、振動解析対象物の円周方向の第２加振位置において、所定の振動数かつ前記第１位相に対して、前記第１加振位置と前記第２加振位置との周方向の間隔に対応する所定の位相差を有する第２位相で加振する第２加振装置と、第１加振装置及び第２加振装置による加振下で振動解析対象物の振動を検出して振動解析対象物の振動解析を行う振動解析部と、を備える。
【図面の簡単な説明】
【0006】
【発明を実施するための形態】
【0007】
次に実施形態について、図面を参照して説明する。
まず、振動解析システムの構成について説明する。
図１は、実施形態の振動解析システムの概要構成ブロック図である。
本実施形態の振動解析システム１０は、円板や円筒の形状を有する振動解析対象物を静止させた状態で、振動解析対象物と加振力の加振位置が相対的に振動解析対象物の中心軸を中心として回転する場合についての振動解析を行っている。
まず、振動解析システムの構成について説明する。
図１は、実施形態の振動解析システムの概要構成ブロック図である。
本実施形態の振動解析システム１０は、円板や円筒の形状を有する振動解析対象物を静止させた状態で、振動解析対象物と加振力の加振位置が相対的に振動解析対象物の中心軸を中心として回転する場合についての振動解析を行っている。
【0008】
この場合において、円板や円筒の形状をもつ物体の実際の製品としては、モータのステータ、タイヤ、鉄道用の車輪などが挙げられる。
【0009】
振動解析システム１０は、第１加振機１１と、第２加振機１２と、第１振動検出センサ１３と、第２振動検出センサ１４と、加振位置調整ユニット１５と、加振方向調整ユニット１６と、第１駆動ユニット１７と、第２駆動ユニット１８と、周波数発振器１９と、振動解析制御装置２０と、情報出力装置２１と、操作入力装置２２と、外部記憶装置２３と、を備えている。
【0010】
第１加振機１１は、振動解析制御装置２０の制御下で、振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する第１方向である第１加振位置において所定の振幅、振動数、及び位相を有する力を与える。第１加振機１１は、いわゆる動電型振動発生装置として構成されている。振動解析対象物ＯＢＪが鋼の場合、非接触の電磁力による加振装置も考えられる。
【0011】
第２加振機１２も、第１加振機１１と同様の構成を有し、いわゆる動電型振動発生装置として構成されている。第２加振機１２は、振動解析制御装置２０の制御下で、振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交するとともに、第１方向と所定角度Δずれた第２方向である第２加振位置において、所定の振幅、振動数、及び位相を有する力を与える。
【0012】
第１振動検出センサ１３は、例えば、加速度センサとして構成され、振動を検出して第１振動検出信号を出力する。
第２振動検出センサ１４は、例えば、加速度センサとして構成され、振動を検出して第２振動検出信号を出力する。
この場合において、第１検出位置及び第２検出位置は、一つの円周方向に沿って任意の位置に配置できるが、円周方向に沿って所定の測定対象モードにおける振動の腹と節の間隔で配置するのが望ましい。例えば、第１検出位置は第１加振機１１の加振位置の近傍とされ、第２検出位置は、第２加振機１２の加振位置の近傍とされる。
第２振動検出センサ１４は、例えば、加速度センサとして構成され、振動を検出して第２振動検出信号を出力する。
この場合において、第１検出位置及び第２検出位置は、一つの円周方向に沿って任意の位置に配置できるが、円周方向に沿って所定の測定対象モードにおける振動の腹と節の間隔で配置するのが望ましい。例えば、第１検出位置は第１加振機１１の加振位置の近傍とされ、第２検出位置は、第２加振機１２の加振位置の近傍とされる。
【0013】
加振位置調整ユニット１５は、例えば、ＸＹテーブルとして構成され、振動解析制御装置２０の制御下で、第２加振機１２の加振位置である第２加振位置を第１加振機１１の加振位置である第１加振位置に対して、相対的に調整する。
【0014】
さらに加振位置調整ユニット１５は、振動解析対象物ＯＢＪの径に応じて振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する平面に沿った方向（Ｘ方向及びＹ方向）に第２加振機１２を移動して、第２加振機１２の加振位置を調整する。
例えば、第１加振位置を固定とした場合に、角度Δをなす位置が第２加振位置となるように、第２加振機１２の位置を調整する。
例えば、第１加振位置を固定とした場合に、角度Δをなす位置が第２加振位置となるように、第２加振機１２の位置を調整する。
【0015】
加振方向調整ユニット１６は、例えば、ＸＹテーブルとしての加振位置調整ユニット１５に載置された回転テーブルとして構成され、振動解析制御装置２０の制御下で、加振位置調整ユニット１５による第２加振機１２の移動による第２加振機１２の加振方向のずれを修正すべく、第２加振機１２を振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する平面に沿って回動させ、加振方向が振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する方向となるように調整を行う。
【0016】
第１駆動ユニット１７は、例えば、アンプを有し、第１駆動制御信号としての所定の周波数を有する信号を増幅して第１駆動信号として出力する。
第２駆動ユニット１８は、例えば、アンプを有し、第２駆動制御信号としての所定の周波数を有する信号を増幅して第２駆動信号として出力する。
第２駆動ユニット１８は、例えば、アンプを有し、第２駆動制御信号としての所定の周波数を有する信号を増幅して第２駆動信号として出力する。
【0017】
周波数発振器１９は、振動解析制御装置２０の制御下で、所定の周波数を有する第１駆動制御信号及び第２駆動制御信号を生成して出力する。
この場合において、第１駆動制御信号と第２駆動制御信号とは、同一の周波数であるが、位相が異なっている。詳細については、後に詳述する。
この場合において、第１駆動制御信号と第２駆動制御信号とは、同一の周波数であるが、位相が異なっている。詳細については、後に詳述する。
【0018】
図２は、振動解析制御装置の機能構成ブロック図である。
振動解析制御装置２０は、加振振動数・位相制御部３１と、加振振幅制御部３２と、振動検出部３３と、振動解析演算部３４と、加振位置調整部３５と、加振方向調整部３６と、制御部３７と、を備えている。
加振振動数・位相制御部３１は、振動解析対象物ＯＢＪの振動モードがｉ次モード（ｉ：自然数）である場合に、ｉ次モードにおける加振振動数Ωｉ、および第１駆動制御信号と第２駆動制御信号の位相差Θを設定する。
加振振幅制御部３２は、振動解析対象の振動モードがｉ次モードである場合に、ｉ次モードにおける加振振幅Ｆｉを設定する。
振動検出部３３は、第１振動検出センサ１３の出力した第１振動検出信号及び第２振動検出センサ１４の出力した第２振動検出信号に基づいて、振動解析対象物ＯＢＪの第１検出位置における振動波形及び第２検出位置における振動波形を検出する。
振動解析演算部３４は、得られた第１検出位置における振動波形及び第２検出位置における振動波形に基づいて、ｉ次モードにおける振動解析対象物ＯＢＪの振動を解析する。
加振位置調整部３５は、制御部３７の制御下で、加振位置調整ユニット１５を制御し、第２加振機１２を第２加振位置ＢＰ２に対応する位置に移動させ、配置する。
振動解析制御装置２０は、加振振動数・位相制御部３１と、加振振幅制御部３２と、振動検出部３３と、振動解析演算部３４と、加振位置調整部３５と、加振方向調整部３６と、制御部３７と、を備えている。
加振振動数・位相制御部３１は、振動解析対象物ＯＢＪの振動モードがｉ次モード（ｉ：自然数）である場合に、ｉ次モードにおける加振振動数Ωｉ、および第１駆動制御信号と第２駆動制御信号の位相差Θを設定する。
加振振幅制御部３２は、振動解析対象の振動モードがｉ次モードである場合に、ｉ次モードにおける加振振幅Ｆｉを設定する。
振動検出部３３は、第１振動検出センサ１３の出力した第１振動検出信号及び第２振動検出センサ１４の出力した第２振動検出信号に基づいて、振動解析対象物ＯＢＪの第１検出位置における振動波形及び第２検出位置における振動波形を検出する。
振動解析演算部３４は、得られた第１検出位置における振動波形及び第２検出位置における振動波形に基づいて、ｉ次モードにおける振動解析対象物ＯＢＪの振動を解析する。
加振位置調整部３５は、制御部３７の制御下で、加振位置調整ユニット１５を制御し、第２加振機１２を第２加振位置ＢＰ２に対応する位置に移動させ、配置する。
【0019】
加振方向調整部３６は、第２加振機１２の加振方向が振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する方向となるように、第２加振機１２を回動する。
【0020】
制御部３７は、振動解析制御装置２０のみならず、振動解析システム１０全体の制御を行う。
【0021】
ここで、加振位置について詳細に説明する。
図３は、振動解析対象物と加振機の配置例の説明図である。
実施形態においては、制御の容易のため第１加振機１１は、所定位置に固定されている。したがって、第１加振位置ＢＰ１も固定である。したがって、加振位置の変更は、第２加振位置ＢＰ２のみとなっている。
図３は、振動解析対象物と加振機の配置例の説明図である。
実施形態においては、制御の容易のため第１加振機１１は、所定位置に固定されている。したがって、第１加振位置ＢＰ１も固定である。したがって、加振位置の変更は、第２加振位置ＢＰ２のみとなっている。
【0022】
このため、振動解析対象物ＯＢＪの設置に際しては、振動解析対象物ＯＢＪの回転中心軸ＡＸが第１加振機１１の棒状の加振軸１１Ａの中心軸の延在方向ＤＸ１と交差するように設置することが必須となる。
【0023】
さらに、第１加振位置ＢＰ１を基準角度位置（角度＝０°）とした場合、第２加振位置ＢＰ２は、解析の対象とするｉ次振動モードに対応する所定の角度θｉに相当する位置となるように第２加振機１２を配置する必要がある。
【0024】
そして第２加振機１２の加振方向、すなわち、第２加振機１２の棒状の加振軸１２Ａの中心軸の延在方向ＤＸ２が振動解析対象物ＯＢＪの回転中心軸ＡＸと交差するようにすることが必須となる。
【0025】
これを実現するため、実施形態の加振位置調整部３５は、制御部３７の制御下で、加振位置調整ユニット１５を制御し、第２加振機１２を第２加振位置ＢＰ２に対応する位置に移動させ、配置する。
【0026】
そして、加振方向調整部３６は、第２加振機１２の加振方向が振動解析対象物ＯＢＪの中心軸ＡＸに直交する方向となるように、第２加振機１２を回動する。すなわち、加振位置調整部３５により、第２加振機１２を第２加振位置ＢＰ２に対応する位置に移動させただけでは、必ずしも第２加振機１２の加振方向が振動解析対象物ＯＢＪの中心軸に直交する方向とはならない。
【0027】
したがって、加振方向調整部３６は、加振方向調整ユニット１６を制御し、第２加振機１２を回動させて、加振方向が振動解析対象物ＯＢＪの中心軸ＡＸに直交する方向となるようにする。
【0028】
これらの結果、第２加振機１２の棒状の加振軸１２Ａの中心軸の延在方向ＤＸ２が振動解析対象物ＯＢＪの回転中心軸ＡＸと交差することとなり、第１加振機１１及び第２加振機１２が、解析対象の振動モードに対応する所望の位置に配置され、振動解析を行える状態となる。
【0029】
［１］第１実施形態
次に実施形態の具体的な動作説明に先立ち、第１実施形態の原理について説明する。
第１実施形態は、振動検出対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合の実施形態である。
次に実施形態の具体的な動作説明に先立ち、第１実施形態の原理について説明する。
第１実施形態は、振動検出対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合の実施形態である。
【0030】
【0031】
ここで、電動機固定子ＯＢＪ１の振動モード（固有モード）についてはＭ次モードまで考慮し、次のように定義している。
θ:円周方向の座標
ｉ：電動機固定子の円周方向の振動モードを表す整数 （ｉ＝１、…、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
θ:円周方向の座標
ｉ：電動機固定子の円周方向の振動モードを表す整数 （ｉ＝１、…、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
【0032】
この場合において、電動機固定子ＯＢＪ１に作用する回転分布電磁力のｓ次モード（ｓ＝１、…、Ｍ）は、外力の振幅Ｆｓ＞０として、式（２）で表される。
【数2】
【0033】
電動機固定子ＯＢＪ１のｉ次モードと回転分布電磁力のｓ次モードが同じモード形状であり、電動機固定子ＯＢＪ１のｉ次モードが共振やそれに近い振動数で回転分布電磁力のｓ次モードの影響を受ける可能性がある場合を考えることとし、ｉ＝ｓとする。このとき、ｉ次のｃｏｓモードとｓｉｎモードの変位に関する運動方程式は、式（３）及び式（４）となる。
【数3】
【0034】
電動機固定子ＯＢＪ１の外周上の２点θ０１とθ０２を同じ振動数Ωｉ、位相差Θで同時に加振する外力を考える。この外力は、外力の振幅Ｆ０１＞０、Ｆ０２＞０として、式（５）で表される。
【0035】
【数4】
【0036】
【数5】
【0037】
式（３）、（４）の右辺の外力項と式（６）、（７）の右辺の外力項がそれぞれ数学的に等しければ、２点加振力と回転分布電磁力が力学的に等しいことになる。２点加振力と回転分布電磁力が力学的に等しくなる条件は式（８）及び式（９）で表される。
【0038】
【数6】
【0039】
【数7】
【0040】
ここで、第１加振位置ＢＰ１＝θ０１を円周方向座標の原点に取り０°とおき、第２加振位置ＢＰ２＝θ０２との開き角をΔ（θ０２＞θ０１のとき、Δ＞０、θ０２＜θ０１のとき、Δ＜０）とおき直せば、式（１４）～式（１７）が得られる。
【0041】
【数8】
【0042】
以下、上の４つの式、すなわち、式（１４）～式（１７）から、未知数Δ、Θ、Ｆ０１、Ｆ０２を決定していく。
まず、式（１５）が成立するためには、
ｃｏｓ（ｉΔ）＝０あるいはｓｉｎ Θ＝０
となる。
まず、式（１５）が成立するためには、
ｃｏｓ（ｉΔ）＝０あるいはｓｉｎ Θ＝０
となる。
【0043】
同様に式（１６）が成立するためには、
ｓｉｎ（ｉΔ）＝０あるいはｃｏｓ Θ＝０
となる。
ｓｉｎ（ｉΔ）＝０あるいはｃｏｓ Θ＝０
となる。
【0044】
この場合において、ｓｉｎ関数とｃｏｓ関数が同時に０になることはないことを考えると、以下の組み合わせのとき、式（１５）と式（１６）が同時に成立する。すなわち、
ｓｉｎ（ｉΔ）＝０、かつ、ｓｉｎ Θ＝０
あるいは
ｃｏｓ（ｉΔ）＝０、かつ、ｃｏｓ Θ＝０
の組合せの場合である。
ｓｉｎ（ｉΔ）＝０、かつ、ｓｉｎ Θ＝０
あるいは
ｃｏｓ（ｉΔ）＝０、かつ、ｃｏｓ Θ＝０
の組合せの場合である。
【0045】
よって、｜Δ｜≦π、｜Θ｜≦π、ｎを０か正の整数として、以下が考えられる。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π （１８）
あるいは、
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ （複合同順）かつ Θ＝±π／２ （１９）
が２点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π （１８）
あるいは、
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ （複合同順）かつ Θ＝±π／２ （１９）
が２点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。
【0046】
ここで、式（１８）の解については、式（１７）の右辺が０になる場合に相当するが、式（１７）の左辺が０でないことから、式（１７）が成立しないので、式（１８）の解は不適となる。
よって、以下においては、式（１９）の組み合わせを採用し、さらに式（１４）と式（１７）を同時に満たす解を求めるものとする。
よって、以下においては、式（１９）の組み合わせを採用し、さらに式（１４）と式（１７）を同時に満たす解を求めるものとする。
【0047】
まず、式（１４）によれば、式（２０）となる。
Ｆ０１＝πＦｉ （２０）
Ｆ０１＝πＦｉ （２０）
【0048】
次に、式（１７）については、式（１９）から、
ｓｉｎ（ｉΔ）＝±１、ｓｉｎ Θ＝±１（複号同順）
であるので、
Ｆｉ＞０、Ｆ０２＞０
であることを考えると、次式（２１）となる。
Ｆ０２＝πＦｉ （２１）
ｓｉｎ（ｉΔ）＝±１、ｓｉｎ Θ＝±１（複号同順）
であるので、
Ｆｉ＞０、Ｆ０２＞０
であることを考えると、次式（２１）となる。
Ｆ０２＝πＦｉ （２１）
【0049】
このとき、式（１７）から、
ｓｉｎ（ｉΔ）・ｓｉｎ Θ＝１
となるので、式（１９）の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用する。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２（複号同順） （２２）
以上、式（２０）～式（２２）が回転分布電磁力加振と等価な２点加振の条件となる。
ｓｉｎ（ｉΔ）・ｓｉｎ Θ＝１
となるので、式（１９）の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用する。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２（複号同順） （２２）
以上、式（２０）～式（２２）が回転分布電磁力加振と等価な２点加振の条件となる。
【0050】
ところで、２点の外力の設置（加振点の設置）の間隔Δは式（２２）に示したようにモードの次数ｉによって異なるので、それらの値の例としてｉ＝２、３、４の３つのモードの場合について位相差Θと併せて示すと、以下のようになる。
【0051】
［２次モードの場合］
図５Ａは、２次モードの場合の加振点の説明図である。
２次モード、すなわち、ｉ＝２のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１の二通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
ｎ＝０の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±π／４、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ａにおける角度θ201、θ202の位置に相当している。
図５Ａは、２次モードの場合の加振点の説明図である。
２次モード、すなわち、ｉ＝２のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１の二通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
ｎ＝０の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±π／４、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ａにおける角度θ201、θ202の位置に相当している。
【0052】
この場合において、３桁の添え字は、百位が、モード（＝ｉ）の値を表し、十位がパラメータｎの値を表し、一位が第１加振位置ＢＰ１に対する第２加振位置ＢＰ２の方向（１：反時計回り方向、２：時計回り方向）を表している。例えば、角度θ201は、２次モード（ｉ＝２）、パラメータｎ＝０、第１加振位置ＢＰ１に対する第２加振位置ＢＰ２の方向が反時計回り方向であることを示している（以下、同様）。
【0053】
ｎ＝１の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±５π／４、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ａにおける角度θ211、θ212の位置に相当している。
以上の説明のように２次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の４つがあることがわかる。
（Δ＝±π／４、±５π／４、Θ＝±π／２）（複号同順）
以上の説明のように２次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の４つがあることがわかる。
（Δ＝±π／４、±５π／４、Θ＝±π／２）（複号同順）
【0054】
［３次モードの場合］
図５Ｂは、３次モードの場合の加振点の説明図である。
３次モード、すなわち、ｉ＝３のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１、２の三通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
図５Ｂは、３次モードの場合の加振点の説明図である。
３次モード、すなわち、ｉ＝３のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１、２の三通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
【0055】
ｎ＝０の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±π／６、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｂにおける角度θ301、θ302の位置に相当している。
【0056】
ｎ＝１の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±５π／６、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｂにおける角度θ311、θ312の位置に相当している。
【0057】
ｎ＝２の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±９π／６（＝±３π／２）、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｂにおける角度θ321、θ322の位置に相当している。
以上の説明のように３次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の６つがあることがわかる。
（Δ＝±π／６、±５π／６、±９π／６、Θ＝±π／２）（複号同順）
以上の説明のように３次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の６つがあることがわかる。
（Δ＝±π／６、±５π／６、±９π／６、Θ＝±π／２）（複号同順）
【0058】
［４次モードの場合］
図５Ｃは、４次モードの場合の加振点の説明図である。
４次モード、すなわち、ｉ＝４のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１、２、３の四通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
図５Ｃは、４次モードの場合の加振点の説明図である。
４次モード、すなわち、ｉ＝４のモードの場合、式（２２）において、パラメータｎの取り得る値は、ｎ＝０、１、２、３の四通りとなり、第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の通りとなる。
【0059】
ｎ＝０の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±π／８、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｃにおける角度θ401、θ402の位置に相当している。
【0060】
ｎ＝１の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±５π／８、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｃにおける角度θ411、θ412の位置に相当している。
【0061】
ｎ＝２の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±９π／８、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｃにおける角度θ421、θ422の位置に相当している。
【0062】
ｎ＝３の場合、第２加振位置ＢＰ２と第１加振位置ＢＰ１（θ＝０°とする）との間隔Δ及び位相差Θの組み合わせは、Δ＝±１３π／８、Θ＝±π／２（複号同順）となり、図５Ｃにおける角度θ431、θ432の位置に相当している。
以上の説明のように４次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の６つがあることがわかる。
（Δ＝±π／８、±５π／８、±９π／８、±13π／８、Θ＝±π／２）（複号同順）
以上の説明のように４次モードの第２加振位置ＢＰ２の候補は、以下の６つがあることがわかる。
（Δ＝±π／８、±５π／８、±９π／８、±13π／８、Θ＝±π／２）（複号同順）
【0063】
ところで、実際の加振実験においては、第１加振位置ＢＰ１を固定したまま、第２加振位置ＢＰ２の設置場所を対象となる振動モードｉに応じて変えなければならない。
しかしながら、実際の電動機固定子ＯＢＪ１の外周には、いくつかの部品が設置されていることを考慮すると、その変化させる外周上の範囲はできるだけ狭いことが望ましい。
しかしながら、実際の電動機固定子ＯＢＪ１の外周には、いくつかの部品が設置されていることを考慮すると、その変化させる外周上の範囲はできるだけ狭いことが望ましい。
【0064】
一例として上記のｉ＝２、３、４の３つの振動モードに対応した第２加振位置ＢＰ２をできるだけ第１加振位置ＢＰ１に近づけることを考えるものとする。
この場合において、第２加振位置ＢＰ２として第１加振位置ＢＰ１に近い位置を選ぶとすれば、ｉ＝２の振動モードについては、Δ＝π／４を選び、ｉ＝３の振動モードについては、Δ＝π／６を選び、ｉ＝４の振動モードについては、Δ＝π／８を選べばよい。
この場合において、第２加振位置ＢＰ２として第１加振位置ＢＰ１に近い位置を選ぶとすれば、ｉ＝２の振動モードについては、Δ＝π／４を選び、ｉ＝３の振動モードについては、Δ＝π／６を選び、ｉ＝４の振動モードについては、Δ＝π／８を選べばよい。
【0065】
また、２点目の加振位置として１点目からマイナス方向に９０度から１３５度離れた位置を選ぶとすれば、ｉ＝２の振動モードについては、Δ＝５π／４を選び、ｉ＝３の振動モードについては、Δ＝３π／２を選び、ｉ＝４の振動モードについては、Δ＝－５π／８を選べばよい。
【0066】
このように１つの加振位置（実施形態では、第１加振位置ＢＰ１）を固定した状態でもう一方の加振位置（実施形態では、第２加振位置ＢＰ２）を変化させる場合、円周方向に４５度の空きスペースがあればよいことがわかる。
従って、実際の製品（以上の説明では、電動機）を設計するに際し、電動機固定子ＯＢＪ１の外周面の円周方向に４５度の空きスペースを設けるようにすれば良いこととなる。
従って、実際の製品（以上の説明では、電動機）を設計するに際し、電動機固定子ＯＢＪ１の外周面の円周方向に４５度の空きスペースを設けるようにすれば良いこととなる。
【0067】
次に実施形態の動作を説明する。
図６は、実施形態の処理フローチャートである。
この場合において、振動解析対象物ＯＢＪは、第１加振機１１に対して所定の位置に配置されているものとし、第２加振機１２は、加振方向調整中の回動及び加振位置調整中の移動によりに振動解析対象物ＯＢＪに当接することが無いような位置（所定の待避位置）に待避されているものとする。
図６は、実施形態の処理フローチャートである。
この場合において、振動解析対象物ＯＢＪは、第１加振機１１に対して所定の位置に配置されているものとし、第２加振機１２は、加振方向調整中の回動及び加振位置調整中の移動によりに振動解析対象物ＯＢＪに当接することが無いような位置（所定の待避位置）に待避されているものとする。
【0068】
まず、オペレータは、振動解析を行うに先立って設定データの入力を行う（ステップＳ１１）。
【0069】
この場合において、設定データとしては、中空回転体形状の振動解析対象物ＯＢＪの半径ｒ（あるいは直径）、振動解析対象とする振動モードｉの値あるいは値範囲、第１加振機１１の加振位相と第２加振機１２の加振位相との差である位相差Θ（π／２あるいは、－π／２のいずれか）であって、振動解析を行いたい位相差Θ、振動モードｉに対応する加振振動数Ωの範囲、加振振動の振幅Ｆなどが挙げられる。
この場合において、加振振動数Ωの範囲は、振動解析対象のｉ次モードの固有振動数を含み、共振曲線を綺麗に描くと想定される範囲に設定される。
この場合において、加振振動数Ωの範囲は、振動解析対象のｉ次モードの固有振動数を含み、共振曲線を綺麗に描くと想定される範囲に設定される。
【0070】
次に振動解析制御装置２０の制御部３７は、設定データに基づいて、第２加振位置ＢＰ２を算出する（ステップＳ１２）。
つづいて制御部３７は、算出した第２加振位置ＢＰ２に基づいて、加振位置調整ユニット１５を制御し、第２加振機１２を移動する（ステップＳ１３）。
つづいて制御部３７は、算出した第２加振位置ＢＰ２に基づいて、加振位置調整ユニット１５を制御し、第２加振機１２を移動する（ステップＳ１３）。
【0071】
制御部３７は、算出した第２加振位置ＢＰ２に基づいて、加振方向調整ユニット１６を制御し、第２加振機１２を回動させて加振方向を調整する（ステップＳ１４）。
以上の説明では、加振位置の調整（ステップＳ１３）及び加振方向の調整（ステップＳ１４）は、それぞれ１回ずつであったが、必要に応じて、別個にあるいは組み合わせて繰り返し行うように構成することも可能である。
制御部３７は、加振振動数・位相制御部３１を介して周波数発振器１９を制御し、第１加振機１１及び第２加振機１２の加振振動数Ω及び第１加振機１１の加振振動数Ωと第２加振機１２の加振振動数との位相差Θを設定する（ステップＳ１５）。
以上の説明では、加振位置の調整（ステップＳ１３）及び加振方向の調整（ステップＳ１４）は、それぞれ１回ずつであったが、必要に応じて、別個にあるいは組み合わせて繰り返し行うように構成することも可能である。
制御部３７は、加振振動数・位相制御部３１を介して周波数発振器１９を制御し、第１加振機１１及び第２加振機１２の加振振動数Ω及び第１加振機１１の加振振動数Ωと第２加振機１２の加振振動数との位相差Θを設定する（ステップＳ１５）。
【0072】
次に制御部３７は、第１駆動ユニット１７及び第２駆動ユニット１８を制御し、第１加振機１１及び第２加振機１２により２点加振を行う（ステップＳ１６）。
【0073】
ステップＳ１６の動作と並行して、振動解析演算部３４は、制御部３７の制御下で、第１検出位置に設置された第１振動検出センサ１３と第２検出位置に設置された第２振動検出センサ１４でそれぞれの検出位置の振動を検出する（ステップＳ１７）。
振動解析演算部３４は、ステップＳ１７の振動検出結果に基づいて、振動解析を行い、センサで得られた振動波形と解析結果を収集して制御部３７を介して外部記憶装置２３に格納する（ステップＳ１８）。
つづいて、制御部３７は、ステップＳ１１で設定された全ての加振振動数Ωにおいて、２点加振の処理が完了したか否かを判断する（ステップＳ１９）。
振動解析演算部３４は、ステップＳ１７の振動検出結果に基づいて、振動解析を行い、センサで得られた振動波形と解析結果を収集して制御部３７を介して外部記憶装置２３に格納する（ステップＳ１８）。
つづいて、制御部３７は、ステップＳ１１で設定された全ての加振振動数Ωにおいて、２点加振の処理が完了したか否かを判断する（ステップＳ１９）。
【0074】
ステップＳ１９の判断において、未だステップＳ１１で設定された全ての加振振動数Ωにおいて、２点加振の処理が完了していない場合には（ステップＳ１９；Ｎｏ）、処理をステップＳ１５に移行し、２点加振の処理が完了していない次の加振振動数Ωに更新してステップＳ１５～ステップＳ１８の処理を行う。
【0075】
ステップＳ１９の判断において、ステップＳ１１で設定された全ての加振振動数Ωにおいて、２点加振の処理が完了した場合には（ステップＳ１９；Ｙｅｓ）、振動波形（データ）の外部記憶装置２３への記録及び情報出力装置２１としてのプリンタへの印字出力あるいは情報出力装置２１としての表示装置（ディスプレイ）への表示出力を行って、処理を終了する（ステップＳ２０）。
【0076】
ここで、情報出力装置２１としての出力例を説明する。
図７は、測定位置θ＝０°及びθ＝４５°における振動波形の比較表示例の説明図である。
図７は、測定位置θ＝０°及びθ＝４５°における振動波形の比較表示例の説明図である。
【0077】
図７において、縦軸は、振動加速度（単位ｍ／ｓ２）、横軸は時間（単位ｓ）を表している。
図７に示すように、位相は異なるが同じ振幅の波形が出力され、振動解析対象物ＯＢＪに対応するｉ次の振動モードの回転電磁力による振動と同様の振動が空間に固定された２点の加振により実現されていることがわかる。一般的にはｉ次の振動モードの固有振動数付近で加振振動数を変えながら共振曲線を作成して振動解析を完了する。
図７に示すように、位相は異なるが同じ振幅の波形が出力され、振動解析対象物ＯＢＪに対応するｉ次の振動モードの回転電磁力による振動と同様の振動が空間に固定された２点の加振により実現されていることがわかる。一般的にはｉ次の振動モードの固有振動数付近で加振振動数を変えながら共振曲線を作成して振動解析を完了する。
【0078】
以上の説明のように、第１実施形態によれば、振動解析対象物ＯＢＪとして、電動機固定子とした場合に、振動解析装置の簡略化を図ることができるとともに、質量の大きな回転子（ロータ）を製作して、電動機として完成して回転させることなく、電動機固定子のみで回転分布電磁力加振と同等の実験をすることができ、製品開発期間の短縮と消費電力低減によるコストダウンができる。
【0079】
[２]第２実施形態
次に第２実施形態について説明する。
上記第１実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合であったが、第２実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪがタイヤの場合の実施形態である。
振動体であるタイヤと路面（接地面）からの強制力とは、相対的に回転している。すなわち、タイヤから見れば地面からの強制力はタイヤ外周を回転していることになる。
従って、第１実施形態の電動機固定子の場合と同様に、タイヤを静止させ、外周の2点を加振することで、回転するタイヤが路面から受ける力による振動を再現できると考えられる。
以下、第２実施形態の原理について説明する。
Huang(1)によれば、円筒型の回転するタイヤの半径方向変位uは次式で表される。
この場合において、タイヤも電動機固定子と同様、円筒形状を有しているため、第１実施形態と同様の式（２３）が得られる。
この場合において、θは回転するタイヤに固定された円周方向座標であり、タイヤの回転方向と同方向を正としている。
また、第１実施形態の電動機固定子と同様に、タイヤの固有モードについてはM次モードまで考慮し、次のように定義している。
ｉ：タイヤの円周方向の振動モードを表す整数 （ｉ＝１、……、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
次に第２実施形態について説明する。
上記第１実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合であったが、第２実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪがタイヤの場合の実施形態である。
振動体であるタイヤと路面（接地面）からの強制力とは、相対的に回転している。すなわち、タイヤから見れば地面からの強制力はタイヤ外周を回転していることになる。
従って、第１実施形態の電動機固定子の場合と同様に、タイヤを静止させ、外周の2点を加振することで、回転するタイヤが路面から受ける力による振動を再現できると考えられる。
以下、第２実施形態の原理について説明する。
Huang(1)によれば、円筒型の回転するタイヤの半径方向変位uは次式で表される。
この場合において、タイヤも電動機固定子と同様、円筒形状を有しているため、第１実施形態と同様の式（２３）が得られる。
【数9】
また、第１実施形態の電動機固定子と同様に、タイヤの固有モードについてはM次モードまで考慮し、次のように定義している。
ｉ：タイヤの円周方向の振動モードを表す整数 （ｉ＝１、……、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
【0080】
さて、路面からタイヤに作用する外力は、タイヤの回転の角振動数をωとすれば、時刻0においてタイヤ上のθ＝θ0に作用し、t秒後には点θ＝θ0－ωｔに作用する。
したがって、路面（接地面）からタイヤに作用する外力の角振動数をΩ、振幅をＦｓ＞０とすれば、式（２４）で表される。
Ｆ（θ、ｔ）＝－Ｆｓｃｏｓ（Ωｔ）δ（θ－θ0＋ωｔ） （２４）
したがって、路面（接地面）からタイヤに作用する外力の角振動数をΩ、振幅をＦｓ＞０とすれば、式（２４）で表される。
Ｆ（θ、ｔ）＝－Ｆｓｃｏｓ（Ωｔ）δ（θ－θ0＋ωｔ） （２４）
【0081】
このとき、Huang and Soedel(2)によれば、ｉ次のｃｏｓモードとｓｉｎモードの変位に関する運動方程式は式（２５）、式（２６）となる。
【0082】
【数10】
【0083】
ここで、ｒ、Ａ、ρ、Ｉ、Ｅをそれぞれタイヤの半径、断面積、密度、断面2次モーメント、縦弾性係数とし、また、Ｓ0、Ｓrot、Ｋθ、Ｋγをそれぞれ、タイヤの内圧による張力、タイヤの回転による張力、タイヤのサイドウォールによる周方向と半径方向のばね定数として、以下の式（２７）～式（２９）が成り立つ。
【数11】
【0084】
次に静止したタイヤの外周上の2点θ01とθ02を同じ振動数Ωk、位相差Θで同時に加振する外力を考える。この外力は、外力の振幅Ｆ０１＞０、Ｆ０２＞０として、式（３０）で表される。
Ｆ（θ、ｔ）＝－Ｆ０１ｃｏｓΩkｔδ（θ－θ０１）
－Ｆ０２ｃｏｓ（Ωkｔ＋Θ）δ（θ－θ０２） （３０）
Ｆ（θ、ｔ）＝－Ｆ０１ｃｏｓΩkｔδ（θ－θ０１）
－Ｆ０２ｃｏｓ（Ωkｔ＋Θ）δ（θ－θ０２） （３０）
【0085】
この場合において、第１実施形態の電動機固定子の場合と異なり、式（３０）の右辺に負の符号（－）を付しているのは、振幅Ｆ０１＞０、Ｆ０２＞０と仮定したために、ｔ＝０とΩkｔ＋Θ＝０において、外力が負の値を採れないからである。
【0086】
このとき、式（２５）、式（２６）の左辺のタイヤの回転に関する項、すなわち、第２項のコリオリ力と第３項の係数に含まれるタイヤの回転による張力の増加、遠心力による剛性の変化を無視できるとすれば、ｉ次の変位に関するｃｏｓモードとｓｉｎモードの運動方程式は式（３１）及び式（３２）となる。
【0087】
【数12】
【0088】
ここで、
であり、Ｙｉ’≒Ｙｉと仮定している。
【数13】
【0089】
なお、この近似が成立しなくても、静止時のタイヤの剛性Ｙｉ’が回転時の剛性Ｙｉに一致するように補正（例えば、タイヤの内圧を変更してタイヤの回転による張力Ｓrotを補正）して加振実験を行えばよいだけである。
【0090】
式（２５）、式（２６）の右辺の外力項と式（３１）、式（３２)の右辺の外力項が数学的に等しければ、静止したタイヤに対する２点加振力と回転するタイヤに作用する路面からの力が力学的に等しいことになる。
【0091】
しかしながら、式（２５）、式（２６）に作用する外力の振動数はΩ＋とΩ－の二つあるので、ここではその一方だけ採用するものとする。すなわち、採用した方の振動数をもつ外力の影響を考えるということである。
【0092】
まず、振動数Ω＋のみ考慮すると（Ω－の影響を調べるときはΩk＝Ω－とおけばよい。つまり、実際の解析では、周波数発振器の振動数を少し変えるだけである）、２点加振と一致する条件は次の式（３４）及び式（３５）である。以下の流れは第１実施形態の電動機固定子の場合と全く同様である。
時刻0において、タイヤのθ＝０の位置が接地していると仮定し、θ0＝０とおいて、上式の両辺のｃｏｓΩ+ｔ、ｓｉｎΩ+ｔの係数を比較すれば式（３６）～式（３９）を得る。
【数14】
【0093】
【数15】
【0094】
【数16】
【0095】
以下、上記４つの式（４０）～式（４３）から、第１実施形態と同様に、未知数Δ、Θ、Ｆ０１、Ｆ０２を決定していく。
まず、式(４１)が成立するためには、
ｃｏｓｉΔ＝０あるいはｓｉｎΘ＝０
同様に式(４２)が成立するためには
ｓｉｎｉΔ＝０あるいはｃｏｓΘ＝０
となる。
まず、式(４１)が成立するためには、
ｃｏｓｉΔ＝０あるいはｓｉｎΘ＝０
同様に式(４２)が成立するためには
ｓｉｎｉΔ＝０あるいはｃｏｓΘ＝０
となる。
【0096】
ｓｉｎ関数とｃｏｓ関数が同時に０になることはないことを考えると、以下の組み合わせのとき、式(４１)と(４２)が同時に成立する。
ｓｉｎｉΔ＝０ かつ ｓｉｎΘ＝０
あるいは
ｃｏｓｉΔ＝０ かつ ｃｏｓΘ＝０
ｓｉｎｉΔ＝０ かつ ｓｉｎΘ＝０
あるいは
ｃｏｓｉΔ＝０ かつ ｃｏｓΘ＝０
【0097】
よって、｜Δ｜≦π、｜Θ｜≦π、ｎを0か正の整数として、以下が考えられる。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π （４４）
あるいは
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ（複号同順） かつ Θ＝±π／２ （４５）
が２点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π （４４）
あるいは
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ（複号同順） かつ Θ＝±π／２ （４５）
が２点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。
【0098】
しかしながら、式（４４）の解は式（４３）の右辺が0になるので、式（４３）が成立せず、式(４４)の解は不適である。
よって、以下においては、式（４５）の組み合わせを採用し、そのときに式(４０)と式４３）も同時に満たす解を求める。
よって、以下においては、式（４５）の組み合わせを採用し、そのときに式(４０)と式４３）も同時に満たす解を求める。
【0099】
まず、式(４０)から
Ｆ０１＝Ｆｓ／２ （４６）
を得る。
Ｆ０１＝Ｆｓ／２ （４６）
を得る。
【0100】
次に、式（４３）については、式（４５）からｓｉｎ ｉΔ＝±１、ｓｉｎΘ＝±１であり、Ｆｉ＞０、Ｆ０２＞０であることを考えると、式（４７）を得る。
Ｆ０2＝Ｆｓ／２ （４７）
Ｆ０2＝Ｆｓ／２ （４７）
【0101】
このとき、式(４３)から
ｓｉｎ ｉΔｓｉｎΘ＝１
が得られるので、式(４５)の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用することになる。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２（複号同順） （４８）
以上、式(４６)～式(４８)が回転するタイヤに作用する路面からの力と等価な２点加振の条件である。
ｓｉｎ ｉΔｓｉｎΘ＝１
が得られるので、式(４５)の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用することになる。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２（複号同順） （４８）
以上、式(４６)～式(４８)が回転するタイヤに作用する路面からの力と等価な２点加振の条件である。
【0102】
この場合において、２点の外力の設置の間隔Δは式（４８）に示したようにモードの次数ｉによって異なるが、第１実施形態において、図５Ａ～図５Ｃに示した場合と同じであるので、その詳細な説明を援用するものとする。
【0103】
以上の説明のように、第２実施形態によれば、振動解析対処物ＯＢＪをタイヤとした場合であっても、第１実施形態と同様に、振動解析装置の簡略化を図ることができるとともに、質量の大きなタイヤをホイールと一体に回転させることなくタイヤの地面による加振を実験、解析することができ、消費電力を大幅に低下させることができる。さらに、実験の計測において、タイヤが回転していないので、タイヤに設置したセンサと振動解析制御装置が相対的に回転しないため、計測が容易になるという利点もある。
【0104】
以下に、第２実施形態の説明で用いた参考文献について一覧を記載しておく。
［参考文献］
（１） Huang,S.C., The vibration of rolling tires in ground contact, Int. J. Vehicle Design, Vol.13, No.1(1992), pp.78-95.
（２） Huang,S.C., Soedel,W., Response of rotating rings to harmonic and periodic loading and comparison with the inverted problem, Journal of Sound and Vibration, Vol.118, No.2(1987), pp.253-270.
［参考文献］
（１） Huang,S.C., The vibration of rolling tires in ground contact, Int. J. Vehicle Design, Vol.13, No.1(1992), pp.78-95.
（２） Huang,S.C., Soedel,W., Response of rotating rings to harmonic and periodic loading and comparison with the inverted problem, Journal of Sound and Vibration, Vol.118, No.2(1987), pp.253-270.
【0105】
［３］第３実施形態
次に第３実施形態について説明する。
上記第１実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合であったが、第３実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪが鉄道用の車輪の場合の実施形態である。
振動体である鉄道用の車輪と、レール（接地面）からの強制力とは、相対的に回転している。
従って、第１実施形態の電動機固定子の場合と同様に、鉄道用の車輪を静止させ、外周の２点を加振することで、回転する鉄道用車輪の振動を再現できると考えられる。
ただし、鉄道用車輪の場合、電動機固定子やタイヤと異なり、主要な振動は面外方向であり、この面外方向の振動による騒音が問題となる。
次に第３実施形態について説明する。
上記第１実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪとして、円筒型の電動機固定子（電動機ステータ）ＯＢＪ１である場合であったが、第３実施形態は、振動解析対象物ＯＢＪが鉄道用の車輪の場合の実施形態である。
振動体である鉄道用の車輪と、レール（接地面）からの強制力とは、相対的に回転している。
従って、第１実施形態の電動機固定子の場合と同様に、鉄道用の車輪を静止させ、外周の２点を加振することで、回転する鉄道用車輪の振動を再現できると考えられる。
ただし、鉄道用車輪の場合、電動機固定子やタイヤと異なり、主要な振動は面外方向であり、この面外方向の振動による騒音が問題となる。
【0106】
また、本第３実施形態は、車輪と同様に空間に固定した位置で面外方向に外力を受ける回転円板として、磁気ディスク、丸のこ、歯車など多くの機械要素に適用可能である。
以下、第３実施形態の原理について説明する。
綾部ら(３)、本田ら(4)によれば、車輪の面外変位wは次式で表される。
以下、第３実施形態の原理について説明する。
綾部ら(３)、本田ら(4)によれば、車輪の面外変位wは次式で表される。
【数17】
【0107】
また、θは回転する車輪に固定された円周方向座標であり、車輪の回転方向と同方向を正としている。
また、車輪の固有モードについては、車輪は電動機固定子やタイヤと異なり、リング形状ではなく、円板の形状であるので、円周方向だけでなく、半径方向にもモード形状を有する。
また、車輪の固有モードについては、車輪は電動機固定子やタイヤと異なり、リング形状ではなく、円板の形状であるので、円周方向だけでなく、半径方向にもモード形状を有する。
【0108】
よって、まず、円周方向のモードについては、電動機固定子やタイヤと同様にM次モードまで考慮し、次のように定義する。
ｉ：車輪の円周方向の振動モードを表す整数で、車輪の直径方向の節の数を表わす。
（ｉ＝０、…、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型の円周方向ｉ次モードの変位（ｉ＝１、…、Ｍ）
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型の円周方向ｉ次モードの変位
（ｉ＝１、…、Ｍ）
ｉ：車輪の円周方向の振動モードを表す整数で、車輪の直径方向の節の数を表わす。
（ｉ＝０、…、Ｍ）
ａｉ：θ＝０°に腹をもつｃｏｓ型の円周方向ｉ次モードの変位（ｉ＝１、…、Ｍ）
ｂｉ：θ＝１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型の円周方向ｉ次モードの変位
（ｉ＝１、…、Ｍ）
【0109】
一方、半径方向のモードは、／ｗｉｊ（γ）で表し、ｊは円状の節（節円）の数を表わす（ｊ＝０、…、Ｎ）。
レールから車輪に作用する面外方向の外力は、車輪の回転の角振動数をωとすれば、時刻0において車輪上のθ＝θ０点に作用し、t秒後には点θ＝θ０－ωｔに作用するので、レールから車輪に作用する外力の角振動数をΩ、振幅をＦｓ＞０とすれば、次式で表される。
Ｆ（ｒ、θ、ｔ）＝－Ｆｓｃｏｓ（Ωｔ）δ（ｒ－Ｒ）δ（θ－θ０＋ωｔ）
…（50）
このとき、綾部ら(３)、本田ら(４)によれば、車輪に作用する遠心力やコリオリ力は小さいので省略できるので、（ｉ、ｊ）モードに関する運動方程式は次式となる。
レールから車輪に作用する面外方向の外力は、車輪の回転の角振動数をωとすれば、時刻0において車輪上のθ＝θ０点に作用し、t秒後には点θ＝θ０－ωｔに作用するので、レールから車輪に作用する外力の角振動数をΩ、振幅をＦｓ＞０とすれば、次式で表される。
Ｆ（ｒ、θ、ｔ）＝－Ｆｓｃｏｓ（Ωｔ）δ（ｒ－Ｒ）δ（θ－θ０＋ωｔ）
…（50）
このとき、綾部ら(３)、本田ら(４)によれば、車輪に作用する遠心力やコリオリ力は小さいので省略できるので、（ｉ、ｊ）モードに関する運動方程式は次式となる。
【数18】
【0110】
ここに、Ｒとρはそれぞれ車輪の半径と密度であり、ωｉｊとｌｉｊはそれぞれ（ｉ、ｊ）モードの固有角振動数とモード形状に関する定数である。また、
Ω＋＝Ω＋ｉω、Ω－＝Ω－ｉω
である。
Ω＋＝Ω＋ｉω、Ω－＝Ω－ｉω
である。
【0111】
次に静止した車輪の外周上の２点θ＝θ01とθ＝θ02を同じ振動数Ωｋ、位相差Θで同時に加振する外力を考える。この外力は、外力の振幅Ｆ０１＞０、Ｆ０２＞０として、次式で表される。
この場合において、第１実施形態の電動機固定子の場合と異なり、式（５）の右辺に負の符号－を付けている。Ｆ０１＞０、Ｆ０２＞０と仮定したために、ｔ＝０とΩkｔ＋Θ＝０において、外力が負の値を採れないからである。
このとき、（ｉ、ｊ）モードの運動方程式は式（５４）及び式（５５）となる。
【数19】
このとき、（ｉ、ｊ）モードの運動方程式は式（５４）及び式（５５）となる。
【数20】
【0112】
式（５１）及び式（５２）の右辺の外力項と式（５４）及び式（５５）の右辺の外力項がそれぞれ数学的に等しければ、静止した車輪に作用する２点加振力と回転する車輪に作用するレールからの力が力学的に等しいことになる。
しかしながら、式（５１）及び式（５２）に作用する外力の振動数はΩ＋とΩ－の2つあるので、ここではその一方だけ採用し、採用した方の振動数をもつ外力の影響を考えるものとする。
しかしながら、式（５１）及び式（５２）に作用する外力の振動数はΩ＋とΩ－の2つあるので、ここではその一方だけ採用し、採用した方の振動数をもつ外力の影響を考えるものとする。
【0113】
まず、Ω＋のみ考慮し、Ωｋ＝Ω＋とおくと（Ω－の影響を調べるときはΩｋ＝Ω－とおけばよい。つまり、実際の解析では、周波数発振器の振動数を少し変えるだけである。）、２点加振と一致する条件は、第１実施形態の電動機固定子の場合と同様にして、式（５６）及び式（５７）である。
【0114】
【数21】
【0115】
時刻0において、車輪のθ＝０の位置が接触していると仮定し、θ０＝０とおいて、上式の両辺のｃｏｓΩ+ｔ、ｓｉｎΩ+ｔの係数を比較すれば式（５８）～式（６１）を得る。以下、第２実施形態のタイヤの場合と全く同じ式となる。
【0116】
【数22】
【0117】
ここで、加振点θ01を円周方向座標の原点に取り0とおき、加振点θ02との開き角をΔ（θ02>θ01のとき、Δ>0、θ02<θ01のとき、Δ<0）とおき直せば、式（６２）～式（６５）を得る。
以下、上の4つの式式（６２）～式（６５）から、第１実施形態と同様に、未知数Δ、Θ、Ｆ０１、Ｆ０２を決定していく。
まず、式(６３)が成立するためには、
ｃｏｓｉΔ＝０あるいは ｓｉｎΘ＝０
である。同様に式（６４）が成立するためには、
ｓｉｎｉΔ＝０あるいは ｃｏｓΘ＝０
となる。ｓｉｎ関数とｃｏｓ関数が同時に0になることはないことを考えると、以下の組み合わせのとき、式（６３）と式（６４）が同時に成立する。
ｓｉｎｉΔ＝０ かつ ｓｉｎΘ＝０
あるいは、
ｃｏｓｉΔ＝０ かつ ｃｏｓΘ＝０
となる。
【数23】
まず、式(６３)が成立するためには、
ｃｏｓｉΔ＝０あるいは ｓｉｎΘ＝０
である。同様に式（６４）が成立するためには、
ｓｉｎｉΔ＝０あるいは ｃｏｓΘ＝０
となる。ｓｉｎ関数とｃｏｓ関数が同時に0になることはないことを考えると、以下の組み合わせのとき、式（６３）と式（６４）が同時に成立する。
ｓｉｎｉΔ＝０ かつ ｓｉｎΘ＝０
あるいは、
ｃｏｓｉΔ＝０ かつ ｃｏｓΘ＝０
となる。
【0118】
よって、｜Δ｜≦π、｜Θ｜≦π、ｎを０か正の整数として、以下が考えられる。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π …（６６）
あるいは
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ（複号同順） かつΘ＝±π／２ （６７）
が2点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。しかしながら、式（６６）の解は式（６５）の右辺が０になるので、式（６５）が成立せず、式（６６）の解は不適である。よって、以下は式（６７）の組み合わせを採用し、そのときに式（６２）と（６５）も同時に満たす解を求める。
ｉΔ＝±ｎπ かつ Θ＝０、π …（６６）
あるいは
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ（複号同順） かつΘ＝±π／２ （６７）
が2点の外力の間隔Δとそれらの位相差Θの解として考えられる。しかしながら、式（６６）の解は式（６５）の右辺が０になるので、式（６５）が成立せず、式（６６）の解は不適である。よって、以下は式（６７）の組み合わせを採用し、そのときに式（６２）と（６５）も同時に満たす解を求める。
【0119】
まず、式（６２）から式（６８）を得る。
Ｆ０１＝Ｆｓ／２ …（６８）
次に、式（６５）については、式（６７）から
ｓｉｎｉΔ＝±１、ｓｉｎΘ＝±１であるから、Ｆｉ＞０、Ｆ０２＞０であることを考えると、式（６９）を得る。
Ｆ０２＝Ｆｓ／２ …（６９）
Ｆ０１＝Ｆｓ／２ …（６８）
次に、式（６５）については、式（６７）から
ｓｉｎｉΔ＝±１、ｓｉｎΘ＝±１であるから、Ｆｉ＞０、Ｆ０２＞０であることを考えると、式（６９）を得る。
Ｆ０２＝Ｆｓ／２ …（６９）
【0120】
このとき、式（６５）から
ｓｉｎ ｉΔ・ｓｉｎΘ＝１
を得るので、式（６７）の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用することになる。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２ （複号同順） …（７０）
以上、式（６８）～式（７０）が回転する車輪に作用するレールからの力と等価な2点加振の条件である。
ｓｉｎ ｉΔ・ｓｉｎΘ＝１
を得るので、式（６７）の組み合わせのうち、以下の組み合わせを採用することになる。
ｉΔ＝±π／２±２ｎπ かつ Θ＝±π／２ （複号同順） …（７０）
以上、式（６８）～式（７０）が回転する車輪に作用するレールからの力と等価な2点加振の条件である。
【0121】
この場合において、２点の外力の設置の間隔Δは式（７０）に示したようにモードの次数iによって異なるが、第１実施形態において、図５Ａ～図５Ｃに示した場合と同じであるので、その詳細な説明を援用するものとする。
【0122】
以上の説明のように、第３実施形態によれば、振動解析対処物ＯＢＪを鉄道用の車輪とした場合であっても、第１実施形態と同様に、振動解析装置の簡略化を図ることができるとともに、質量の大きな鉄道用車輪を回転させることなく車輪のレールによる加振実験を行い、解析することができ、振動解析装置の消費電力を大幅に低下させることができる。さらに、実験の計測において、車輪が回転していないので、車輪に設置したセンサと振動解析制御装置が相対的に回転しないため、計測が容易になるという利点もある。
【0123】
以下に、第３実施形態の説明で用いた参考文献について一覧を記載しておく。
［参考文献］
(３) 綾部隆、末岡淳男、田村英之、鉄道車両の車輪とレールの連成振動、日本機械学会論文集（C編）、Vol.51、 No.465(1985)、 pp.1078-1083.
(４) 本田善久、松久寛、佐藤進、空間で固定された点で集中調和外力を受ける回転円板の定常応答、日本機械学会論文集（C編）、Vol.54、 No.507(1988)、 pp.2610-2617．
［参考文献］
(３) 綾部隆、末岡淳男、田村英之、鉄道車両の車輪とレールの連成振動、日本機械学会論文集（C編）、Vol.51、 No.465(1985)、 pp.1078-1083.
(４) 本田善久、松久寛、佐藤進、空間で固定された点で集中調和外力を受ける回転円板の定常応答、日本機械学会論文集（C編）、Vol.54、 No.507(1988)、 pp.2610-2617．
【0124】
［４］第４実施形態
次に第４実施形態について説明する。
上記各実施形態においては、振動モードに応じて加振位置を所定の位置に限定していたが、本第４実施形態は、２箇所の加振位置を所定の設定不能間隔を除く任意の位置に設定する場合の実施形態である。ここで、設定不能間隔とは、２箇所の加振位置の周方向の間隔であって理論的に解が得られない間隔である。
次に第４実施形態について説明する。
上記各実施形態においては、振動モードに応じて加振位置を所定の位置に限定していたが、本第４実施形態は、２箇所の加振位置を所定の設定不能間隔を除く任意の位置に設定する場合の実施形態である。ここで、設定不能間隔とは、２箇所の加振位置の周方向の間隔であって理論的に解が得られない間隔である。
【0125】
以下、第４実施形態の原理について説明する。
円筒型の電動機固定子の半径方向変位uは次式で表される。
円筒型の電動機固定子の半径方向変位uは次式で表される。
【0126】
【数24】
【0127】
ここに、固定子の固有モードについてはＭ次モードまで考慮し、次のように定義している。
ｉ：固定子の円周方向の振動モードを表す整数（ｉ＝１，……，Ｍ）
ａｉ：０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
固定子に作用する回転分布電磁力のs次モードは、外力の振幅Ｆｓ＞０として、次式で表される。
ｉ：固定子の円周方向の振動モードを表す整数（ｉ＝１，……，Ｍ）
ａｉ：０°に腹をもつｃｏｓ型のｉ次モードの変位
ｂｉ：１８０／（２ｉ）°に腹をもつｓｉｎ型のｉ次モードの変位
固定子に作用する回転分布電磁力のs次モードは、外力の振幅Ｆｓ＞０として、次式で表される。
【0128】
【数25】
【0129】
固定子のｉ次モードと回転分布電磁力のｓ次モードが同じモード形状であり，固定子のｉ次モードが共振やそれに近い形で回転分布電磁力のｓ次モードの影響を受ける可能性がある場合を考えることとし、ｉ＝ｓとする。このとき、ｉ次のｃｏｓモードとｓｉｎモードの変位に関する運動方程式は次式（７３）、（７４）となる。
【0130】
【数26】
【0131】
固定子の外周上の２点θ０１とθ０２を同じ振動数Ωｉ、位相差Θ１、Θ２でそれぞれを加振する外力を考える。
【0132】
【数27】
【0133】
このとき、ｉ次の変位に関するｃｏｓモードとｓｉｎモードの変位に関する運動方程式は次式となる。
【数28】
【0134】
【数29】
【0135】
式（７３）、（７４）の右辺の外力項項と式（７６）、（７７）の右辺の外力項が数学的に等しければ，２点加振力と回転分布電磁力が力学的に等しいことになる。その条件は式（７８）、（７９）である。
【0136】
【数30】
【0137】
そして、上記式（７８）、（７０）の両辺のｃｏｓΩｉｔ、ｓｉｎΩｉｔの係数を比較することで、次式（８０）～（８３）を得ることができる。
【0138】
【数31】
【0139】
ここで、加振点θ０１を円周方向座標の原点に取ってθ０１＝０とおき，加振点θ０２との開き角を開き角Δとおき直すものとする。このとき、θ０２＞θ０１のとき，Δ＞０であり、θ０２＜θ０１のとき，Δ＜０である。
この結果、次式（８４）～（８７）が得られる。
この結果、次式（８４）～（８７）が得られる。
【0140】
【数32】
【0141】
以下においては、上記４つの式（８４）～（８７）に基づいて、未知数である開き角Δ、位相差Θ１、位相差Θ２振幅Ｆ０１、振幅Ｆ０２を決定する。
この場合において、式（８６）が成立するためには、
ｓｉｎｉΔ＝０ または ｃｏｓΘ２＝０
となる必要がある。
しかし、ｓｉｎｉΔ＝０の場合には、式（８７）が成立しないので、
ｓｉｎｉΔ≠０かつｃｏｓΘ２＝０
とならなければならない。
すなわち、以下の通りとなる必要がある。
ｉΔ≠ｋπ、Θ２＝±π／２
ここで、ｋは、任意の整数である。
そして、式（８４）にｃｏｓΘ２＝０を代入すると、
となる。
この場合において、式（８６）が成立するためには、
ｓｉｎｉΔ＝０ または ｃｏｓΘ２＝０
となる必要がある。
しかし、ｓｉｎｉΔ＝０の場合には、式（８７）が成立しないので、
ｓｉｎｉΔ≠０かつｃｏｓΘ２＝０
とならなければならない。
すなわち、以下の通りとなる必要がある。
ｉΔ≠ｋπ、Θ２＝±π／２
ここで、ｋは、任意の整数である。
そして、式（８４）にｃｏｓΘ２＝０を代入すると、
【数33】
【0142】
また、式（８７）より、
となる。
【数34】
【0143】
さらに式（８８）、式（８９）を式（８５）に代入すると、式（９０）が得られる。
【数35】
【0144】
加法定理より、式（９０）は、次式（９１）、（９２）で表すことができる。
【数36】
【0145】
さらに、式（９１）を満たすためには、式（９１）の分子＝０または分母＝±∞であるので、式（９２）となる必要がある。
【数37】
【0146】
しかし、前者の場合は、式（９０）を満たす解が存在しないので、後者のみを満たせばよい。従って、解は、次式（９３）で表される。
ただし、jは、任意の整数である。
【数38】
【0147】
以上より,回転分布電磁力加振と等価な２点加振の条件は以下に示す式（９４）となり、
ｉΔ＝ｋπ
を除く、任意の２点間角度で加振を行えることが証明されたこととなる。
ｉΔ＝ｋπ
を除く、任意の２点間角度で加振を行えることが証明されたこととなる。
【0148】
【数39】
【0149】
【数40】
【0150】
次に第４実施形態の具体例について説明する。
以下においては、一例として、ｉ＝２モードと等価な２点加振条件を求める場合について説明する。
表１は、ｉ＝２モードの場合の加振点の開き角と加振力との関係を説明する表である。
表１の場合においては、Θ２＝π／２とした。
以下においては、一例として、ｉ＝２モードと等価な２点加振条件を求める場合について説明する。
表１は、ｉ＝２モードの場合の加振点の開き角と加振力との関係を説明する表である。
表１の場合においては、Θ２＝π／２とした。
【0151】
【表1】
【0152】
図８は、ｉ＝２モードの場合の加振点の開き角と加振力の振幅との関係説明図である。
また、図９は、ｉ＝２モードの場合の加振点の開き角と加振力位相差との関係説明図である。
図８及び図９に示すように、ｉΔ＝ｋπ以外の任意の開き角Δに対して解が存在していることがわかる。
また、図９は、ｉ＝２モードの場合の加振点の開き角と加振力位相差との関係説明図である。
図８及び図９に示すように、ｉΔ＝ｋπ以外の任意の開き角Δに対して解が存在していることがわかる。
【0153】
この場合において、２点加振力の振幅Ｆ０１、Ｆ０２は、Δ＝±π／４、±３π／４で最小となり、それらの角度から離れるほど加振力の振幅Ｆ０１、Ｆ０２は増加している。
しかしながら、解が存在しない所定の禁止間隔以外の任意の間隔で二つの加振点を設定して振動解析を行えることがわかる。
しかしながら、解が存在しない所定の禁止間隔以外の任意の間隔で二つの加振点を設定して振動解析を行えることがわかる。
【0154】
以上の説明のように、第４実施形態によれば、上記各実施形態と比較して二つの加振点の設定可能範囲を大きく拡げることができる。したがって、実際の製品の振動解析を行う場合のように、振動解析対象物ＯＢＪに実装のための取付孔、強度確保のための突起などが形成されている場合に、これらの影響を受けて理想的な加振点の設定位置に加振点の設定がしづらい場合であっても、振動解析対象物ＯＢＪの形状にしたがって適宜二つの加振点を設定して容易に振動解析を行うことができる。
【0155】
以上の説明のように、各実施形態によれば、円板や円筒の形状を有する振動解析対象物の振動の解析を行う振動解析装置の構成の簡略化を図ることができる。
また、振動解析対象物を回転駆動する必要がなく、２点加振を行うだけであるので、振動解析装置の消費電力を大幅に低下させることができる。さらに実験の計測も容易になる。
また、振動解析対象物を回転駆動する必要がなく、２点加振を行うだけであるので、振動解析装置の消費電力を大幅に低下させることができる。さらに実験の計測も容易になる。
【0156】
以上の説明においては、振動解析対象物の形状については詳細に述べなかったが、円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有するものであれば、同様に適用が可能である。
この場合において、振動解析対象物が回転体である場合には、振動解析装置（振動解析部）は、振動解析対象物を静止させたと仮定した場合に、加振力の加振位置が相対的に円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する回転体の中心軸（＝回転軸）を中心として回転する振動解析対象物の振動解析を行うようになっている。
この場合において、振動解析対象物が回転体である場合には、振動解析装置（振動解析部）は、振動解析対象物を静止させたと仮定した場合に、加振力の加振位置が相対的に円板、円環、円筒等の中心軸に垂直な平面への正射影の外縁の形状が円形状を有する回転体の中心軸（＝回転軸）を中心として回転する振動解析対象物の振動解析を行うようになっている。
【0157】
以上の説明においては、振動解析対象物の設置方向については、詳細に述べなかったが、実際の設置方向（例えば、縦置き、横置き）に対応させて振動解析装置全体の向きを変更可能な設置方向変更装置を設けるように構成することも可能である。
【0158】
以上の説明においては、振動解析システム１０が第１振動検出センサ１３及び第２振動検出センサ１４を備えている場合について説明したが、これらについては外付けとすることも可能である。
【0159】
本実施形態の振動解析制御装置は、ＣＰＵなどの制御装置と、ＲＯＭ（Read Only Memory）やＲＡＭなどの記憶装置と、を備えた通常のコンピュータを利用したハードウェア構成となっている。
【0160】
本実施形態の振動解析制御装置で実行されるプログラムは、インストール可能な形式又は実行可能な形式のファイルでＵＳＢメモリ、ＳＳＤ（Solid State Drive）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録されて提供される。
【0161】
また、本実施形態の振動解析制御装置で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成しても良い。また、本実施形態の振動解析制御装置で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成しても良い。
【0162】
また、本実施形態の振動解析制御装置のプログラムを、ＲＯＭ等に予め組み込んで提供するように構成してもよい。
【0163】
本実施形態の振動解析制御装置で実行されるプログラムは、上述した各部（加振振動数・位相制御部、加振振幅制御部、加振位置調整部、加振方向調整部、振動検出部、振動解析演算部、制御部、…）を含むモジュール構成となっており、実際のハードウェアとしてはＣＰＵ（プロセッサ）が上記記憶媒体からプログラムを読み出して実行することにより上記各部が主記憶装置上にロードされ、加振振動数・位相制御部、加振振幅制御部、加振位置調整部、加振方向調整部、振動検出部、振動解析演算部、制御部、…が主記憶装置上に生成されるようになっている。
【0164】
本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。
【符号の説明】
【0165】
１０ 振動解析システム
１１ 第１加振機
１１Ａ 加振軸
１２ 第２加振機
１２Ａ 加振軸
１３ 第１振動検出センサ
１４ 第２振動検出センサ
１５ 加振位置調整ユニット
１６ 加振方向調整ユニット
１７ 第１駆動ユニット
１８ 第２駆動ユニット
１９ 周波数発振器
２０ 振動解析制御装置
２１ 情報出力装置
２２ 操作入力装置
２３ 外部記憶装置
３１ 加振振動数・位相制御部
３２ 加振振幅制御部
３３ 振動検出部
３４ 振動解析演算部
３５ 加振位置調整部
３６ 加振方向調整部
３７ 制御部
ＢＰ１ 第１加振位置
ＢＰ２ 第２加振位置
ＡＸ 中心軸
ＯＢＪ 振動解析対象物
ｉ 振動モードの次数
１１ 第１加振機
１１Ａ 加振軸
１２ 第２加振機
１２Ａ 加振軸
１３ 第１振動検出センサ
１４ 第２振動検出センサ
１５ 加振位置調整ユニット
１６ 加振方向調整ユニット
１７ 第１駆動ユニット
１８ 第２駆動ユニット
１９ 周波数発振器
２０ 振動解析制御装置
２１ 情報出力装置
２２ 操作入力装置
２３ 外部記憶装置
３１ 加振振動数・位相制御部
３２ 加振振幅制御部
３３ 振動検出部
３４ 振動解析演算部
３５ 加振位置調整部
３６ 加振方向調整部
３７ 制御部
ＢＰ１ 第１加振位置
ＢＰ２ 第２加振位置
ＡＸ 中心軸
ＯＢＪ 振動解析対象物
ｉ 振動モードの次数
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5A】
【図5B】
【図5C】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】