特開 2024-82680 陰関数を利用したトラクタブルな効用関数，および，効用関数を観察データから生成する方法の発明

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024082680

(43)【公開日】2024-06-20

(54)【発明の名称】陰関数を利用したトラクタブルな効用関数，および，効用関数を観察データから生成する方法の発明

(51)【国際特許分類】

   G06N 99/00 20190101AFI20240613BHJP

【ＦＩ】

G06N99/00 180

【審査請求】未請求

【請求項の数】4

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2022196695

(22)【出願日】2022-12-08

(71)【出願人】

【識別番号】716000455

【氏名又は名称】高橋 秀司

(72)【発明者】

【氏名】高橋秀司

(57)【要約】      （修正有）

【課題】ｕ＝ｆ（ｘ１，ｘ２）という関係が想定される（ｕ，ｘ１，ｘ２）の観察データに良好にフィットする数式を生成する計算装置を提供する。
【解決手段】観察データを等高線データに加工して，等高線毎に個別に回帰を実行し，それら回帰で得た情報を総合し，さらに，調整して，データにフィットするような陰関数を生成する。不正な関数については，それを見つける手段を工夫し，目視に適した図を作成する。また，根本的な解決が難しく，妥協が必要な場合が多いので，計算機で処理できるような客観的な妥協の基準を設けて解決する。
【選択図】図３

【特許請求の範囲】

【請求項1】

財の量ｘ_１，…，ｘ_ｎの値を決めた上で，その財の量から得られる効用の値を示す効用水準ｕの値を，下記の効用関数（数３４）の数値解をもちいて生成する，
あるいは，逆に
効用水準ｕの値を決めた上で，その効用を実現するｘ_１，…，ｘ_ｎの値を，下記の効用関数（数３４）の数値解をもちいて生成する，
計算装置であって，
記憶装置と，演算装置と，を備え，前記記憶装置は，
第１財から第ｎ財までの財の量ｘ_１，…，ｘ_ｎの値と，効用関数（数３４）の式を記憶する記憶処理を実行し，前記演算装置は，（数３４）にこれらｘ_１，…，ｘ_ｎの値を代入したうえで，（数３４）を満たすｕの値を数値的に計算し出力する処理を実行する，
あるいは，逆に
ｕの値と効用関数（数３４）の式を記憶する記憶処理を実行し，前記演算装置は，（数３４）にこれらｕの値を代入したうえで，（数３４）を満たすｘ_１，…，ｘ_ｎの値を数値的に計算し出力する処理を実行する，
計算装置。ただし，（数３４）の両辺をｕで除してｇ_ｋ（ｕ）／ｕをｇ_ｋ（ｕ）として再定義した（数３５）も含む。
［数３４］ｕ＝Σ_ｋ＝１ ^ｎｇ_ｋ（ｕ）ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）
ｋは財のインデックスで，１番からｎ番までの範囲の値。ｎは財の種類の総数。ｘ_ｋは第ｋ番の財の数量である。ｕは効用水準である。使用するｕとｘ_ｋの値の範囲内でｇ_ｋ（ｕ）≧０，ｇ_ｋ′（ｕ）≦０，ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）≧０。
［数３５］１＝Σ_ｋ＝１ ^ｎｇ_ｋ（ｕ）ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）
ｋは財のインデックスで，１番からｎ番までの範囲の値。ｎは財の種類の総数。ｘ_ｋは第ｋ番の財の数量である。ｕは効用水準である。使用するｕとｘ_ｋの値の範囲内でｇ_ｋ（ｕ）≧０，ｇ_ｋ′（ｕ）＜０，ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）≧０。計算機の有効桁数のスケーリングなどの都合により（数３５）の左辺の値を１から１００等の値に変更したものも含む。

【請求項2】

請求項１の記憶装置の（数３４）の式について，
（数３４）のｇ_ｉ（ｕ），ｉ＝１，…，ｎの式を，観察されたｘ_１，…，ｘ_ｎの値と，観察された価格Ｐ_１，…，Ｐ_ｎの値と，観察されたｕあるいは自身で推定したｕの値と，からなる標本データから生成する計算装置であり，
記憶装置と，演算装置と，を備え，
前記記憶装置は，「ｕの値を与えた（数３４）ないし（数３５）を制約条件として満たすようなｘ_１
，…，ｘ_ｎであり，かつ，「Ｐ_１ｘ_１＋…＋Ｐ_ｎｘ_ｎ＝Ｍ」のＭを最小化すると想定されるｘ_１，…，ｘ_ｎの値」と，「Ｐ_１，…，Ｐ_ｎの値」と，「ｕの値」と，「ｆ_ｉ（ｘ_ｋ）の式」と，を記憶する記憶処理を実行し，
前記演算装置は，（数３６）あるいは（数３７）に，ｘ_１，…，ｘ_ｎの値，ｕの値，ｆ_ｉ′の式，ｆ_ｉの式を入力して演算を実行し，Ｇ_ｉの値を出力する。そのＧ_ｉの値を被説明変数，ｕの値を説明変数，回帰式をｇ_ｉ（ｕ）として回帰等の手法でｇ_ｉ（ｕ）の式を生成する処理を実行する計算装置。
［数３６］Ｇ_ｉ＝ｕ／｛Σ_ｋ＝１ ^ｎ（ｆ_ｉ′（ｘ_ｉ）／ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ））×（Ｐ_ｋ／Ｐ_ｉ）×ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）｝
［数３７］Ｇ_ｉ＝１／｛Σ_ｋ＝１ ^ｎ（ｆ_ｉ′（ｘ_ｉ）／ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ））×（Ｐ_ｋ／Ｐ_ｉ）×ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）｝
（数３６）は，（数３４）のｇ_ｉ（ｕ）の生成に使用する数式であり，（数３７）は，（数３５）のｇ_ｉ（ｕ）の生成に使用する数式。スケーリングのために（数３７）の分子の１は１００等に変更したものを含む。ｉとｋは財のインデックスで１からｎまでの値。ｘ_ｉは第ｉ財の数量，ｘ_ｋは第ｋ財の財の数量。ｕは，その数量に対応する効用。ｆ_ｉ（ｘ_ｉ）はｆ_ｉ（ｘ_ｉ）≧０となる関数。
ｇ_ｉ（ｕ）の式は，使用するｕの上限と下限の範囲でｇ_ｉ（ｕ）≦０となりえる数式。

【請求項3】

請求項１の計算装置の（数３４）について，
（数３４）のｇ_ｋ（ｕ）の式とｆ_ｋ（ｘ_ｋ）の式を，「ｕ＝ｕ（ｘ_１，…，ｘ_ｎ）」という一般的な関係が想定されるｘ_１，…，ｘ_ｎの値と，それに対応するｕの値を１セットとし，それが複数セットある標本データから生成する計算装置であって，
記憶装置と，演算装置と，を備え，
前記記憶装置には，ｕの値をＴ段階とし，概ね等しいｕの値を与えるｘ_１，…，ｘ_ｎで，１番からＴ番までのＴ組にグループ化された標本データテーブルを記録する処理を実行し，（Ｔ≧２），
前記演算装置では，以下の［１］，［２］の処理を順に行うことで，請求項１で使用する（数３４）のｇ_ｋ（ｕ）とｆ_ｋ（ｘ_ｋ），ｋ＝１，…，ｎの式を生成する処理を行う計算装置。
［１］
回帰式が（数３８）の形で表現できるような回帰式を使用して，１番からＴ番までのＴ組あるｘ_１，…，ｘ_ｎに対して，１つ１つ回帰を実施し，Ｔ組のβ_０，β_ｋの値を推計して出力し， 推計されたＴ組の（数３８）を記憶装置に記憶する。
推計されたＴ組のβ_ｋについて，その平均をとる等の方法で，β_ｋ ^ＵＮの値を１意に決定し，Ｆ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ ^ＵＮ）をもって効用関数のｆ_ｋ（ｘ_ｋ）とし，記憶装置に記憶する処理を実行する。
［数３８］ Ｆ_１（ｘ_１，β_１）＝β_０－Σ_ｋ＝２ ^ｎＦ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）
β_０は回帰式の定数項。ｘ_１，ｘ_２，…，ｘ_ｎは，効用水準がβ_０であると想定される財の数量。Ｆ_１（ｘ_１，β_１）は，使用するｘ_１の上限と下限の範囲でＦ_１（ｘ_１）≧０となる式で，パラメータβ_１は回帰で推計せずに自身で決定し，回帰の前にＦ_１（ｘ_１，β_１）の値を計算しておいてもよい。Ｆ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）は，使用するｘ_ｋの上限と下限の範囲でＦ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）≧０となる式で，β_ｋはＦ_ｋパラメータのベクトル。上記Ｆ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）のｘ_ｋでの偏微分は，Ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ，β_ｋ）と簡潔に表してある。
［２］
記憶装置から，Ｔ組の推計された（数３８）を読み出して，１番からＴ番までのＴ組の（数３８）について，各１個以上，総数でＭ個（当然Ｍ≧Ｔ）の
（数３８）を満たすようなｘ_１，…，ｘ_ｎの値を計算により求め，
そのｘ_１，…，ｘ_ｎを（数３８）とｆ_ｋ（ｘ_ｋ）に代入し計算して，
Ｆ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）の値と，
Ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ，β_ｋ）の値と，
ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）の値と，
ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ）の値と，
を算出し，それを請求項２の計算装置に送信し，
［３］
受信をした請求項２の計算装置において，Ｆ_ｋ（ｘ_ｋ，β_ｋ）の値と，Ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ，β_ｋ）の値と，ｆ_ｋ（ｘ_ｋ）の値と，ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ）の値と，ユーザーが決めたｕの値とを，用いて請求項２の（数３６）ないし（数３７）を完成させて，実施する。ただし，Ｆ_ｋ′（ｘ_ｋ）を（数３６）ないし（数３７）のＰ_ｋとして使用し，請求項２を実施する。この請求項２の実施により生成されたｇ_ｋ（ｕ）をもって，効用関数のｇ_ｋ（ｕ）とする。［３］終わり。
以上の［１］，［２］，［３］の処理で，効用関数（数３４）ないし（数３５）をデータから生成する計算装置。
ただし，（数３８）のような回帰式（いわゆる線形的な非線形回帰式）が推奨であるが，発明の本質ではなく，似たような別の回帰式が簡単に見つかりそうなので，類似の式も含む。発明のポイントは，等高線をなすデータに１つ１つ回帰をするだけで，［１］にあるｆ_ｋ（ｘ_ｋ）の決定と，［３］で行う請求項２の実施に必要な値と，の両方が揃うという一石二鳥な所と，
生じた乖離を請求項２のｇ_ｋ（ｕ）の生成技術で補正するという，図５に示した原理をもとに実現した技術である。

【請求項4】

請求項３の計算装置において，入力されるｘ_１，…，ｘ_ｎのデータによっては，不正な効用関数が生成されることがある。この不正な効用関数を検知，修正する以下の［ａ］と［ｂ］を満たす処理装置を追加装備した計算装置。
［ａ］ 請求項３の［１］におけるＭ個のｘ_１，…，ｘ_ｎを決定するときに，このｎ個の変数のうち，ｎ－１個の変数の値を，すべて共通にして，残りの１個の変数だけを異なる値になるように決定する。
［ｂ］ 請求項３の（数３８）の被説明変数Ｆ_１（ｘ_１）の数式として，
［数３９］Ｆ_１（ｘ_１）／Ｆ_１′（ｘ_１）＝αｘ_１， （α≠０）
となるようなＦ_１（ｘ_１）を使用する。（数３９）の例としては，Ｆ_１（ｘ_１）＝ｘ_１ ^{ａ（ａ≠０）}があるが，Ｆ_１（ｘ_１）＝ｌоｇｘ_１も，近似や誤差を認めれば同等の性質をもちうる。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

数理最適化，人工知能

【背景技術】

【0002】

ｘ_１，ｘ_２で第１財と第２財の消費量，ｕで人が感じる効用を表すと，効用関数はｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）と表される。ｐ_１，ｐ_２を各財の価格とすると，費用はｐ_１ｘ_１＋ｐ_２ｘ_２である。経済学では，目標として実現したいｕをｕ_０に設定し最小化問題「ｍｉｎ_ｘ１ｘ２ ｐ_１ｘ_１＋ｐ_２ｘ_２，ｓ.ｔ ｆ（ｘ_１，ｘ_２）－ｕ_０＝０」をソルバーで解いて，最適なｘ_１，ｘ_２を求める。具体的な効用関数の式としてはｕ＝ｘ_１＋ｘ_２，u＝ｌｏｇｘ_１＋ｌｏｇｘ_２，ｕ＝ｘ_１ ^０．７ｘ_２ ^０．３のようなものがあり，凸であると望ましい。ところが，凸な関数は一般的な定義は明瞭であるが，具体的に式を示そうとする案外難しく，数式が複雑でトラクタブルでなかったり，２変数のみで多変数化ができないものになりがちである。

【0003】

上の問題を解決した多変数化できるトラクタブルな効用関数の発明が（特許文献１）である。その効用関数は，非線形，多変数，凸，かつ，関数の一部を観察データから生成可能という特徴を備えていた。定式化としては，ｕ＝ｘ_１ ^０．８＋ｘ_２ ^０．９という普通の凸関数と似ているが，その係数にｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を充てた
［数１］ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｘ_１ ^０．８＋ｇ_２（ｕ）ｘ_２ ^０．９，ただしｇ_１，ｇ_２は正値のｕの非増加関数
という陰関数となっている。

【0004】

（数１）を更に分かり易くするために，具体例を示すと，ｇ_１（ｕ）＝１／ｕ^１．１，ｇ_２（ｕ）＝１／ｕ^１．３と特定化して，
［数２］ｕ＝（１／ｕ^１．１）ｘ_１ ^０．８＋（１／ｕ^１．３）ｘ_２ ^０．９
が具体例となる。（数２）は，代数的にｕについて解けないので，ｕ＝～の形で関数を表現できない。しかし，（数２）はｕの正値の実数解は１つしかない。そのｕの正値の値をコンピュータで計算することで，あたかも関数のように使うことができる。そして，ｕ＝１の等高線は，１＝ｘ_１ ^０．８＋ｘ_２ ^０．９となり，（ｘ_１，ｘ_２）平面上に描いた等高線は，原点に対して凸になることが確認できる。（数２）は，最適化に必要な性質である凸性を備えるのである。更に，（数２）は陰関数であるが，右辺を文字列としてみると，ｘ_１とｘ_２の足算でつなげた構造であるので，第３の変数としてｘ_３を追加するには，文字列の処理としてはｘ_３の項を追加すれば済む。このため，多変数化が容易である。

【0005】

更に，（図１）を使って示す方法で，観察データから（数１）のｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を生成できた。その方法では，まず，ユーザーは，（図１）のＡ図を自分で用意する。Ａ図では（ｘ_１，ｘ_２）平面上に●１から●５の点を自由に指定し，その●点を通過する接線（この接線は数理最適化でいう「線形制約」に相当する）も図の点線のように指定する。そして，発明を実施すると，指定した●１から●５が最適点になるような（数１）が生成できる。その生成された関数がＢ図である。Ｂ図には，原点に対して凸な曲線が見えるが，それら曲線は（数１）で描画した等高線群である。これら等高線群は，原点に対して凸であり，また，右上方にある等高線ほど高いｕを表す。ｕを高めていくと，最適点が●１から●５へとＳ字型に推移していることが確認できよう。Ｂ図に示された●１から●５へ至る最適点の経路は直線ではなく，●群の列のように大きくうねったＳ字型となっているのが分かる。

【0006】

手順としては，Ａ図からＢ図を作る為には，途中でＣ図とＤ図を通過しなければならない。Ａ図で指定したとおりに●１から●５を最適点として実現するためには，（数１）のｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の値が適切である必要がある。Ａ図の●１～●５を最適点として実現するために必要なｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）がとるべき値をＧ_１（ｕ）とＧ_２（ｕ）とする。このＧ_１（ｕ）とＧ_２（ｕ）の値が，Ｃ図とＤ図の●１～●５に示されている。例えば，Ａ図で●１が最適点となるには，ｕ≒２．８のときは，ｇ_１≒４０，ｇ_２≒３１でなくてはならないことがＣ図とＤ図の●１のＧ_１軸，Ｇ_２軸の座標から分かる。そして，Ｃ図とＤ図の点線は，●群へのｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の回帰線である。●１から●５は，いずれも，左上から右下へと並んでいることから，●への回帰等により生成されるｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の数式もｕについて非増加的な数式となる。具体的には，「ｇ_１（ｕ）＝１１５．５－２６．４ｕ＋２．４ｕ^２－０．０８ｕ^３―ｕ^４－５４．９ｕ^－１」と「ｇ_２（ｕ）＝９６．３－３９．８ｕ＋７．３ｕ^２－０．５９ｕ^３＋０．０２ｕ^４
」という多項式である。（数１）のｇ_１とｇ_２に，この２つ具体化した式を代入した式が完成した効用関数である。

【0007】

なおｕは約２．１＜ｕ＜約１２．１の範囲までである。この２つの具体化した式では，共にｕの高次の多項式を使ってあるが，これはプレゼン用にＢ図のような大きくうねったＳ字型の最適点●群を出すために，高次の多項式を使ったものであり，本当はもっと簡単な式でも十分である。

【0008】

上記の技術は，多変数でも成功し，実際の家計調査のデータから生成した４８変数の効用関数が（非特許文献１）に公刊されている。

【0009】

しかし，不正な関数が生成される例が（図２）である。本発明の効用関数は陰関数であるために，関数の値が複素数しかない式や，関数の値が複数ある式などが生成されてしまうことがある。

【0010】

数学的に不正となるケースを示すために，効用関数を「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｘ_１ ^０．５＋ｇ_２（ｕ）×２ｘ_２ ^０．９」へとＡ図のデータはそのまま，数式だけを変更する。（数１）と比べるとｘ_１の指数が０．８乗から０．５乗へと低下しており限界効用の逓減度を強めてある。このｘ_１への変更による値の低下を補うために，操作的な都合でｘ_２には２を掛けて調整してある。この関数をもとに特許を実施して，Ｃ図とＤ図を計算すると，Ｃ図では●１から●５は完全に減少的な並びとなっている。しかし，Ｄ図では●２から●３にかけて，上昇的な並びになっているのが確認できる。この増加的な●２と●３の位置関係を回帰式がしっかりと捉えた為に，生成されたｇ_２（ｕ）のグラフは，Ｄ図の点線に示されるように，●２から●３にかけて増加関数になっており，●５の左側でも増加関数となってしまった箇所が見える。

【0011】

Ｂ図をみると，Ｂ図の左側のところで等高線群が交点を持っているのが見える。この交点ではｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）の値が複数あり，関数になっていない。本発明の効用関数は，ｕ＝～のようにｕについて解かれた式ではなく，ｕについて解けない陰関数であるために，ｕの正値の実数解が複数できるような不正な効用関数ができてしまうことがある。なお，Ｂ図の●５の点の位置と，その近傍を通る等高線の位置関係も不正である。この場合，関数としては使用できない。これは不正な効用関数であるといえる。

【0012】

このＤ図のようにｇ_１やｇ_２がとるべき値を示す●１から●５の並びが増加的な部分を持ちえることは（特許文献１）でも指摘されていた。この問題への対策方法は２つある。第１の方法は，ｘ_１の指数である０．５を０．８へと大きくして，凸関数の等高線が全体としてフラットになるにように変更すると●３の位置が下がって，整然と減少的に並ぶようになることが多い。第２の方法は，●３のような上昇点を修正せずに，ｇ_２（ｕ）の回帰式にパラメータ制約を追加して，強制的に右下がりのｇ_２（ｕ）を作る方法もある。実際，（図２）のＤ図の回帰曲線は，高次の多項式を使って意図的に「過学習」をさせて右上がりの部分をもつ曲線を作ったものであり，ｇ_２（ｕ）＝αｕ^－βのような簡単な式を使えば，フィットは悪くなるが，右下がりの奇麗な曲線が得られる。

【0013】

Ｃ図とＤ図の●１から●５が，奇麗に右下がりに並ばない場合であっても（００１２）のような対処ができるので，回避できることが多い。しかし，そのような対処をしない場合，Ｂ図の例のように，不正な効用関数となってしまう。

【0014】

以上が，先行技術（特許文献１）であるが，この技術には，まだ不満足な所がある。（数１）のうちｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）はデータから生成できたが，ｘ_１ ^０．８，ｘ_２ ^０．９の部分は，ユーザーが自身で決めていた所である。（図１）のＡ図からＢ図が生成できるが，Ｂ図の●の位置はデータから生成できるが，Ｂ図の凸の等高線の曲がり具合については，（数１）のｘ_１ ^０．８，ｘ_２ ^０．９指数部分で決定されおり，この指数の値は，ユーザーが自分で決めた「ハイパーパラメータ」である。そして，このユーザーが決めた０．８，０．９という指数部分に依拠して，Ｃ図，Ｄ図のＧ_１，Ｇ_２の●点の高さも決定されるのである。

【0015】

ハイパーパラメータであっても，用途によっては特に問題は生じない。ゲームでｘ_１，ｘ_２のステータスから，ダメージｕを計算する場合には，設計者がｕが最大になる最適なｘ_１とｘ_２を自分で決めることができるからである。金融のポートフォリオでもｘ_１，ｘ_２の属性から資産のスコアを算出するにしても，結局のところスコアは，ユーザーの価値観を反映した数式が作れればよいのである。（特許文献１）は，回帰の手法を使ってはいるが，統計解析のように，自然界についての人の関わらないデータから真のパラメータを推計するようなものではなく，数理最適化の目的関数や制約条件に入れる数式を自分の意図に合わせて作るためのものである。

【0016】

しかし，ハイパーパラメータを極限まで減らして，効用関数全体をデータから生成できれば，更に，応用の余地が広がるだろう。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0017】

【特許文献1】特開２０２０－０３８６０７

【特許文献2】特願２０２０－０４３５４６

【0018】

【非特許文献1】「Ｔｈｅ Ｉｎｃｏｍｅ－Ｄｅｍａｎｄ Ｃｕｒｖｅ： Ｉｍｐｌｉｃｉｔ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ Ｄａｔａ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄｓ」，１９巻１号，第５１－６６頁，２０２１年，Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ誌掲載，ｔｈｅ Ｉｎｄｉａｎ Ｅｃｏｎｏｍｅｔｒｉｃ Ｓｏｃｉｅｔｙ刊行

【発明の概要】

【0019】

本発明はｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という関係が想定される（ｕ，ｘ_１，ｘ_２）の観察データから，
［数３］ ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２） ただし，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）は正値の関数，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）は正値の非増加関数
を一般形とする数式を生成する方法の発明である。（数３）は，請求項１の（数３４）である。

【0020】

背景技術で示した（特許文献１）や（非特許文献１）では，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）だけが生成でき，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）の式はユーザーが決めていた。本発明ではｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）だけでなく，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）も観察データから生成でき，（数３）の全ての項をデータから生成することが実現する。なお，特許明細での説明はｘ_１とｘ_２の２変数で行うが，発明は全て，ｘ_１，…，ｘ_ｎのｎ変数で可能である。観察データが凸に並んでいれば，生成される（数３）も凸にもなり，凸最適化もできる。

【0021】

次に，発明の概要を図で示す。

【0022】

ユーザーはｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）が想定される（ｕ，ｘ_１，ｘ_２）のデータを加工して，ｕの値が等しい４本の等高線データをつくり（ｘ_１，ｘ_２）平面にプロットする。このプロットが（図３）のＡ図の２４個の＊であり，ｕが等しいことを示すために＊を点線で結んで，１番から４番までラベルを付ける。これが等高線データである。

【0023】

そして，Ａ図の等高線データに本発明を実施すると，Ｄ図のような等高線をもつ１本の効用関数が生成できる。Ｄ図の点線は発明により生成したｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）の等高線であり，＊印とピッタリ合っているが，拡大して見ると，線が少しズレているのが分かろう。この４つの等高線は，４つの独立した関数ではなく，一般形を（数３）とする１本の効用関数ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）から描かれたものであり，Ｄ図の等高線と等高線の間にも，連続的に等高線が存在している。このようにＡ図のようなユーザーが用意した等高線データから，それにフィットするｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という効用関数を生成する方法が本発明である。

【0024】

なお，（数３）は，先行の（特許文献１）の請求項である（数１）を，数学的に一般化したものであり，（特許文献１）の明細で「ｘ_ｉ ^αｉ，α_ｉ＞０，ｉ＝１，２」と特定化されていた項を，一般化してｆ_ｉ（ｘ_ｉ）という項に拡張させたものである。本発明では，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）の式のデータからの生成でき，しかも，そこで使用するｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）の式は，正値の関数ならどのような式でも試すことができる。

【0025】

なお，（数３）の両辺をｕで割って，ｇ_ｉ（ｕ）の中に１／ｕを含めるものとして，
［数４］ １＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２），ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）は正値の関数，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）は正値の減少関数
としてもよい。（数３）と（数４）は同値ではないが，数学的な対応は明確であり，実用上は同じである。ただし，数値計算や回帰のときには，（数３）と（数４）の２種を使い分けると作業量やバグが減る。この２種類の式が使えたことは発明の便利なポイントでもある。この発明は，実施が容易であることも重要であり，誰でも，苦痛の少ない形で楽しく発明を実施するためには，（数３）と（数４）の両方が使えることは，ノウハウにはせずに明細に書いた方が良さそうである。

【0026】

ざっくりと言うと，ｆ_１，ｆ_２の生成には（数３）が適しており，ｇ_１，ｇ_２の生成には（数４）が適しているようである。

【0027】

そこで，この明細書では，後述の４段階の方法における，第１段階において，等高線式を推計してｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_２）を決定するまでは（数３）を使用する。しかし，第３段階と第４段階でｇ_１（ｕ），ｇ_２（ｕ）を決定するときは，（数４）を使用して示してある。

【0028】

なお，その理由には，（数４）は，回帰において推計するパラメータがα×βのように積の形で入ることがあり回帰が難しいが（数３）では積の形にならないので簡単であるという理由がある。また，他の理由としては，（数４）の方がｇ_１とｇ_２の値を決定するときには，ｕを使わずに値が計算できるという理由などがある。

【0029】

（特許文献１）では，ハイパーパラメータであったｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_１）の部分を，ユーザーがデータへの回帰を使って生成できるようになったので，ｆ_１（ｘ_１）＝α_１ｘ_１ ^０．５＋α_２ｘ_１＋α_３ｘ_１ ^１．５＋α_４ｘ_１ ^－１のような，複雑な式をデータから生成して使えるようになる。この発明では，ｆ_ｉ（ｘ_ｉ）に必要な条件は，正値であることのみであり，この自由さを最大限に生かして，自分で思いついた式を次々と試し，フリーハンドで描いた等高線や観察データから効用関数を生成できるようになる。

【0030】

【発明が解決しようとする課題】

【0031】

ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という関係が想定される（ｕ，ｘ_１，ｘ_２）の観察データに良好にフィットする（数３）を生成するのが課題である。このとき，（１）ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）をどうすればデータから生成できるか？（１）（図２）で示したような不正な効用関数が生成される場合に対して，どのような処理をするか？という（１）と（２）のような課題が生じる。また，使いやすさや，バグを減らすといった商品としての魅力も向上させる必要がある。

【0032】

最初に試す解決方法は，数学ソフトを使った正攻法がある。例えば（図１）で使用した数式は，ｕ＝（β_１＋β_２ｕ＋β_３ｕ^２＋β_４ｕ^－１）ｘ_１ ^β５＋（β_６＋β_７ｕ＋β_８ｕ^２＋β_９ｕ^３）ｘ_２ ^β１０と表せるので，これをモデルとして，数学ソフトのｃｕｒｖｅｆｉｔなどの回帰コマンドに入力して，β_１からβ_１０を求めればよい。しかし，実際にやってみると，自分でフリーハンドで作ったデータについては，長時間の処理の末に失敗することが多く，たとえ計算に成功しても，関数の値が元の値と全く違うために，実用にならない。

【課題を解決するための手段】

【0033】

そこで，関数の生成を成功させるべく，さまざまな解析や失敗の原因などを試行錯誤した。その結果，等高線を使った４段階の生成方法を開発した。

【0034】

以下，（数３）を生成する手段を４段階で説明するが（数３）を生成する方法よりも，（数３）自体の構造を詳しく学んである方が，読者には見通しがよい。そこで，読者は（００７５）から（００９８）を先に読んで，分解図，および，分解図ベース発明の構造を先に読む方がよいだろう。こちらを先に読むと，（００３５）以降の詳細な説明，あるいは，（実施例１）の見通しが良くなるはずである。

【0035】

この４段階の方法では，まず，第１段階において，図３のように，（ｕ，ｘ_１，ｘ_２）のデータをｕでグループ化して，ｕの等高線データへと加工する。そして，適切な回帰式を用意して各等高線データへ回帰をする。推計された回帰式（等高線式と呼ぶ）の平均をとるような要領でｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）を決定する。第２段階では，ユーザーが各等高線式上の点（最適点●と呼ぶ）を１つ以上指定する。そして，その最適点でにおける接線を等高線式から導出する。第３段階では，第２段階で指定した最適点●と接線が，最適点になるようなｇ_１とｇ_２がとるべき値（「理想値Ｇ_１とＧ_２」）を算出する。そして（図３）のＥ図とＦ図を描く。第４段階では，第３段階で作った理想値Ｇ_１とＧ_２に対してｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の回帰式を適切に決定して，回帰を行いｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を生成する。以上により，ｆとｇの両方が生成されて（数３）全体がデータから生成されることが実現する。

【0036】

以下では，第１段階～第４段階の処理内容を，抽象的に，少し詳しく説明する。
請求項との対応は，
第１段階（００３７）～（００４８）が請求項３の［１］，
第２段階（００４９）～（００４９）が請求項３の［２］，
第３段階，第４段階（００５０）～（００７２）が請求項２と請求項３の［３］
である。

【0037】

第１段階では，（図３）のＡ図のような等高線データをプロットし，各等高線に回帰をして，Ｂ図のグラフで示されるような４本の等高線式を生成する。

【0038】

ユーザーはｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）が想定される（ｕ，ｘ_１，ｘ_２）のデータを用意し，４つのｕの値を選び出し，そのｕの値を近傍の値をもつ（ｘ_１，ｘ_２）を＊でプロットして点線で結んでグループ化して表示して（図３）のＡ図を描く。このＡ図の１番～４番の点線で結ばれた＊が等高線データである。等高線データとは，等高線が想定できるデータのことである。以下，１番～４番の等高線データのｕの値は，ｕ_１～ｕ_４で表し，ｕ_１＜ｕ_２＜ｕ_３＜ｕ_４であるとする。なお，この発明では，観察されたｕの絶対的な値は重要でなく，大小関係だけが使用される。したがって，ｕ_１～ｕ_４は観察データで値が分かっている場合でも，その値は直接は使用せず，大小関係をだけを使用し，計算式におけるｕの値は一定のルールのもとで都合よく決めることを推奨している。

【0039】

次にＡ図のデータに回帰をしてＢ図を生成する。Ｂ図の生成では，Ａ図の●を純粋に（ｘ_１，ｘ_２）平面上の４本の曲線とみなければならない。そして，自身で試行錯誤して回帰式（例えば，ｘ_２＝α－β_１ｘ_１ ^β２）を使って回帰を４つの等高線に対して別個に成功させる。この４組の回帰式が「等高線式」である。また，被説明変数となっているｘ_２を「軸となる変数」，ｘ_２の関数を「軸となる関数」とよぶことにする。Ｂ図のドット線は，等高線式を使って描画した曲線である。ただし，Ｂ図を拡大して見ないとドット線と点線が重なっているので注意すること。

【0040】

このとき４本の等高線式は，関数形は共通でパラメータの値だけが異なる式となるもので，かつ，線形的な非線形回帰を使うようにするべきである。これにより等高線式を推計すれば，そこから変数変換などの簡単な処理で，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）を決定できるようになる。具体的に，あるべき等高線式の一般的に関数形を示すと，
［数５］ ｘ_２＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１），
ただしＦ_１（ｘ_１，β_１）は正値，かつ，Ｆ_１（０，β_１）＝０である。ただし，経済理論上は，ｘ_２については経済学の価値尺度財の考え方等を理由として，ｘ_２を自身で決めた関数Ｆ_２（ｘ_２）で変換することができるので，（数５）よりも，
［数６］ Ｆ_２（ｘ_２）＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）， ただしＦ_ｉ（ｘ_ｉ，β_ｉ）は正値，かつ，Ｆ_ｉ（０，β_１）＝０
という回帰式を使うべきである。（数５），（数６）は請求項３の（数３８）を２変数で実施するものであるが，請求項３では，ｘ_２でなくｘ_１を被説明変数（軸となる変数）として記載している。また，（数６）で，Ｆ_ｉ（０，β_１）＝０という条件を付けているが，これは（数６）の回帰式に定数項β_０をつけている以上は，Ｆ_ｉ（０，β_１）の式に定数項が含まれると，１つの回帰式に定数項が２つあることになるので，Ｆ_ｉ（０，β_１）＝０を条件として付したが，迂回できると困るので請求項３においては，（数３８）としてＦ_ｉ（０，β_ｉ）＝０の条件は付けていない。１つの回帰式に２個以上の定数項が含まれるようなものは，適切に１つにされるものとして，Ｆ_ｉが定義されればよい。

【0041】

（数６）の左辺のＦ_２（ｘ_２）の関数の式は自分で決めて，回帰の前に計算しておいてよい。これは理論上，ある１本の等高線を実現するＦ_１（ｘ_１），Ｆ_２（ｘ_２）の関数形の組合せは無数に存在するが，一方の関数形を定めると，他の関数形は全て１意に定まるという経済学におけるワルラス風の論理により，Ｆ_１（ｘ_１）とＦ_２（ｘ_２）の内，どれか１つは自分で決める必要がある為である。ただし，厳密な証明は私もしておらず，実際にプログラムを書いて色々と試したり，分解図で考えた末に，こうなったというのが経緯である。

【0042】

（数６）を一般形とする等高線式を使って回帰をして，等高線データに良好にフィットする（数６）が推計されたならば，追加的な回帰などをすることなく，変数変換などの数式処理だけで（数３）が作れるであろう。このような（数３）との対応の良い式を等高線式に採用する。

【0043】

なお，悪い等高線式の例は，ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３の３財のケースで「ｘ_２＝β_０＋β_１ｘ_１＋ｘ_１ ^β３ｘ_３ ^０．５＋ｘ_１ ^０．３ｘ_３ ^β４」のような複雑な式を使うものであり，このようなｘ_１とｘ_３の積を含んだ式でβを推計して等高線への回帰を成功させても，その式を（数３）に落とし込むのは，簡単にはできないだろうから不可能ではないだろうけど，難しいだろうから非推奨である。

【0044】

また，（数６）の定数項のβ_０は，その等高線のｕの値として理論上は解釈できる。これは便利な性質であり，等高線データの効用水準ｕ_１～ｕ_４の値が観察できない場合でも，理論上のｕの値がデータから推計されるのである。しかも，ｕ_１～ｕ_４の値が観察されている場合であっても，観察された値ではなく，β_０を使う方が作図やデバッグが楽なのである。

【0045】

また，（数６）において，変数変換に使用するＦ_２（ｘ_２）の関数としては，「Ｆ_２／Ｆ_２′＝ａｘ_２，（ａ＞０の定数）となるような関数」，つまり，変化率の逆数がｘ_２の定数項のない１次式となる関数を使用すると，後述の請求項４の便利な公式が使えるようになる。ただし，「Ｆ_２／Ｆ_２′＝ａｘ_２，（ａ＞０の定数）となるような関数」を使うことを推奨したり，「最良の実施形態」とするものではない。この形のＦ_２を使うと分かり易い，あるいは，判断がしやすい公式である請求項４が使えるというだけである。

【0046】

回帰式の具体例としては，（数６）を，パラメータβ_１＝（β^１，β^２，β^３，β^４）として，
［数７］２ｘ_２ ^０．８＝β_０－（β^１ｘ_１ ^０．５＋β^２ｘ_１＋β^３ｘ_１ ^１．５＋β^４ｘ_１ ^－１）
などと多項式を使って特定化する。ただし，右辺のβ^１ｘ_１ ^０．５＋β^２ｘ_１＋β^３ｘ_１ ^１．５＋β^４ｘ_１ ^－１の値はが分析するｘ_１の範囲で正値となるようなβでなければならない。上式は，ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）に対応させると，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を定数１としたものに対応しているのが確認できる。

【0047】

第１段階の最後に，４つの等高線式からｆ_１（ｘ_１）を生成する。Ｂ図の４本の等高線式をＦ_２（ｘ_２）＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）と一般的に表すと，Ｂ図にある４本の等高線は，関数形は共通だが，パラメータβ_１の値は異なる（なおβ_０の値も異なる）。そこでｆ_１（ｘ_１）は，関数形は等高線式と同じＦ_１を採用するが，パラメータの値については４つのβ_１の平均値を使用する。具体例で言い換えると（数６）の等高線式の多項式のパラメータ（β^１，β^２，β^３，β^４）が，Ｂ図の４本の等高線について（１，１，１，１），（２，２，２，２），（３，３，３，３），（４，４，４，４）と推計されていたら，ｆ_１（ｘ_１）には，ｆ_１（ｘ_１）＝２．５ｘ_１ ^０．５＋２．５ｘ_１＋２．５ｘ_１ ^１．５＋２．５ｘ_１ ^－１を使うということである。いわゆる分割回帰のようなものである。当然に，この平均値で作ったｆ_１（ｘ_１）からは，Ｂ図の１番や４番の等高線とは大きく乖離した等高線ができてしまう。そこで，この乖離をｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）が補正することになるのである。

【0048】

ｆ_２（ｘ_２）については，軸となる変数であるから，関数形・パラメータともに自分で決めてより。よって，単純にｆ_２（ｘ_２）＝Ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２とすればよい。以上より，（数３）のｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）のうち，ｆ_１（ｘ_１）とｆ_２（ｘ_２）の部分が生成された。これで第１段階は完了である。

【0049】

第２段階では，Ｂ図からＣ図を作る。Ｃ図に見える４本の曲線はＢ図にある等高線式のグラフを転記したものである。ユーザーは，Ｃ図にある●１～●４のように等高線上の点を自分で選ぶ。この等高線式上の点を「最適点●１」のように呼ぶ。そして，更に，その最適点●１～●４での接線の傾きを計算する。もちろん，「真の等高線」は見えないから，推計された等高線での接線の傾きを使用する。
最適点●１を通る接線の式は，●１の座標を記号ｘ_１，ｘ_２とする定数，接線の式の縦軸変数と横軸変数を記号ｚ_１，ｚ_２とする変数で表現すると，
Ｆ_１′（ｘ_１）×（ｚ_１－ｘ_１）＋Ｆ_２′（ｘ_２）×（ｚ_２－ｘ_２）＝β_０
という１次式となる。よって，その傾きはＦ_１′（ｘ_１）／Ｆ_２′（ｘ_２）である。こうしてＢ図から作成したＣ図の●１～●４とその接線は，（図１）のＡ図に相当する図である。これで最適点●と接線が完成し，Ｃ図の４つの●と４つの接線を描画すれば第２段階は完了である。また，上記の接線の式は，
Ｐ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２＝Ｍ， （Ｐ_１，Ｐ_２：ｘ_１とｘ_２の価格，Ｍ：支出額）
という，数理最適化や経済学における費用式や予算制約式と，最適点では一致する。接線と費用式が一致するから，Ｆ_１′（ｘ_１）をＰ_１と読み替え，Ｆ_２′（ｘ_２）をＰ_２と読み替えることができ，請求項２を実施することを可能とする。なお，Ｍは，β_０＋Ｆ_１′（ｘ_１）ｚ_１＋Ｆ２′（ｘ_２）ｚ_２と読み替えること。

【0050】

第３段階は，最適点●１～●４に対応する理想値Ｇ_１とＧ_２を算出する。そして，それを図にして，Ｅ図とＦ図を生成する段階である。（図３）のＥ図とＦ図には，Ｃ図で決めた最適点●１～●４を実現するのに必要なｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の理想値であるＧ_１とＧ_２が理想値●１～●４として，描画されている。このＧ_１とＧ_２は，ｇ_１とｇ_２がこの値であれば，最適点●１～●４が最適点としてピッタリと実現できるという理想のｇ_１とｇ_２の値である。このＧ_１とＧ_２は請求項２で計算されて，Ｅ図とＦ図の縦軸にとって描画する。

【0051】

Ｅ図とＦ図の横軸はｕであり，Ｃ図で決めた最適点●１～●４における効用値ｕの値を指定する（詳細は後述）。こうして，（ｕ，Ｇ_１），（ｕ，Ｇ_２），平面に描かれたＧ_１とＧ_２理想値●１～●４の並びは，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）のあるべき形を図解したものになる。

【0052】

以下，第３段階を詳細に説明する。請求項２の実施の詳細を説明しており，（００５３）～（００５７）では（特許文献１）と類似の方法を説明するが，本発明では，これよりも良いと思う方法として，（００５８）～（００６０）を推奨している。

【0053】

理想値Ｇ_１とＧ_２の計算式は，請求項２の（数３６）である数式
［数８］Ｇ_１＝ｕ／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］，および，Ｇ_２＝ｕ／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_２′（ｘ_２）／ｆ_１′（ｘ_１）｝×｛Ｐ_１／Ｐ_２｝×ｆ_１（ｘ_１）］
である。

【0054】

Ｃ図の最適点●１～●４の４つの座標（ｘ_１，ｘ_２）について，Ｆ_１′（ｘ_１），Ｆ_２′（ｘ_２），ｆ_１′（ｘ_１），ｆ_２′（ｘ_２），ｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_２）を算出する。そして，これらの内，Ｆ_１′（ｘ_１）をＰ_１，Ｆ_２′（ｘ_２）をＰ_２とする。そして，これらＰ_１，Ｐ_２， ｆ_１′（ｘ_１），ｆ_２′（ｘ_２），ｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_２）の値を（数８）の分子に代入する。

【0055】

（数８）の分母にあるｕには，理論上は最適点●１～●４におけるｕの値であるｕ_１～ｕ_４を代入するが，経済学的にはｕの値は絶対値には意味がなく，設定する４つのｕの値の大小関係のみが意味をもつので，ｕ_１＜ｕ_２＜ｕ_３＜ｕ_４という大小関係を守り，かつ，理想値Ｇ_１とＧ_２の値がｕについて（なるべく）減少的なるように自分でｕ_１～ｕ_４の値を決める必要がある。たとえｕ_１～ｕ_４の値が観察データで分かっている場合であっても，そうする必要がある。

【0056】

自分でｕ_１からｕ_４の値を決めるとき，Ｇ_１とＧ_２は，ｕに比例して大きくなるから，●１から●４におけるＧ_１とＧ_２が減少的に並ぶためには，ｕ_１からｕ_４にかけてのｕの増分は小さい方が望ましい。このため，ｕ_１～ｕ_４の決定では，例えば，観察されたｕ_１～ｕ_４を０．０００１乗することでｕ_１＜…＜ｕ_４を維持しながら，Ｇ_１とＧ_２がｕについて（なるべく）大きくならないようにするという処理がベストとなる。しかし，０．０００１乗という処理は，ｕ_１＝ｕ_２＝ｕ_３＝ｕ_４を使っているのと大差がない。

【0057】

（特許文献１）では，理想値Ｇ_１とＧ_２の算出には，上記の方法が使ってあり，ｕの値の決め方次第でフィットを改善することできるので，いろいろなノウハウ的なポイントもある。しかしながら，本発明で推奨する理想値Ｇ_１とＧ_２の算出方法は，（特許文献１）のものよりも簡単な，以下のような方法である。

【0058】

それは，ｕ_１～ｕ_４の値には，第１段階で推計した４つの等高線式（数６）のβ_０の値を使というものである。等高線式のβ_０をｕとして使うと，Ｂ図，Ｃ図，Ｄ図，Ｅ図，Ｆ図について，すべて共通のｕの値で通り，最終的に完成した効用関数の等高線を描画するときのｕとしてβ_０を指定すると，元の等高線式と効用関数の等高線が，座標変換なしに重ねて描画できる。このためＢ図とＤ図が対応した描画が簡単にできる。こうすることで，元の等高線式と，完成した効用関数の等高線を重ねることで，フィットの良し悪しを簡単に視覚的にみることができる。しかも，バグ取りも大幅に楽になる。やる気の乏しいユーザーでも頑張れるようになり，商品価値がアップするのである。

【0059】

そこで，ｕの値にβ_０の値を，そのまま使えるようにする為に，第４段階におけるＧ_１とＧ_２の算出に際しては，効用関数は（数３）の代わりに，それと同等な（数４）を想定し，（数４）のもとで，理想値Ｇ_１とＧ_２を計算する式である請求項２の（数３７）である，
［数９］Ｇ_１＝１／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］，および，Ｇ_２＝１／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_２′（ｘ_２）／ｆ_１′（ｘ_１）｝×｛Ｐ_１／Ｐ_２｝×ｆ_１（ｘ_１）］
を使用する。（数９）にはｕが含まれておらず，分子が１となっている。よって，ｕを全く使わずに理想値Ｇ_１，Ｇ_２を計算できる。これを使ってｕを使わずにＧ_１とＧ_２を計算し，それをＥ図とＦ図の縦軸座標とし，横軸のｕの座標にはβ_０を使ってＥ図とＦ図を完成させる。（数８）と（数９）には数学的には些末な違いしかない。（数８）と（数９）の導出は，（００９９）～（０１０４）に詳説したので，それを見れば，両者の違いがどこから生じるかも分かるはずである。

【0060】

以上の要領で，理想値Ｇ_１とＧ_２を計算し，ｕ_１～ｕ_４の値を決定し，Ｅ図とＦ図を描いたら，第３段階は完成である。

【0061】

第４段階では，Ｅ図とＦ図に対して，ｇ_１とｇ_２の回帰式を決めて，Ｇ_１からｕへの回帰と，Ｇ２からｕへの回帰と，を実行することで，ｇ_１とｇ_２を生成する。以下では，そのｇ_１とｇ_２の生成過程を示す。

【0062】

Ｅ図とＦ図のうち，Ｆ図を先に見ると，●１から●４が，奇麗に右下がりに並んでいるのが見える。このため，ｇ_２（ｕ）＝α_２１ｕ^－α２２という簡単な回帰式が良好にフィットし，Ｆ図の点線のような奇麗な正値の右下がりの関数が生成される。このように●１から●４が奇麗に右下がりに生成されれば，ｇ_２（ｕ）は，簡単に非増加関数が生成される。

【0063】

次に，Ｅ図を見ると，●１～●３は右下がりに並ぶが，●４の位置が●１より高く，●１から●４の並びが右下がりでなく，むしろＵ字型である。これは，（図２）のＤ図で見た失敗例と同じものであり，対処を誤ると，（図２）のＢ図のような不正な効用関数が生成される。これへの対処として（図２）の発明の時には，ｆ_１（ｘ_１）＝ｘ_１ ^０．８の０．８の部分は，自分で自由に決めていたので，０．８を０．９に変更するなどして，パラメータの値を等高線がフラットになる方向に変更するという対処がとれた。この対処をすると●４の位置が下がって，●１～●４が右下がりに並ぶように改善されることが多かった。しかし，今回の発明では，ｆ_１（ｘ_１）は，観察データにピッタリに合う位に等高線式のパラメータを推計した上で，Ｃ図の接線や，ｆ_１（ｘ_１）が決定されている。これらを無視して，勝手にｆ_１（ｘ_１）のパラメータの値を変更する訳にはいかない。これを際限なく認めると，ｆをデータから決めるという発明の本来の目的が失われてくる。

【0064】

そこで，Ｅ図の●４の位置を下げるべく，ユーザーは，βの平均でなく，βの加重平均をとってｆ_１を作る。あるいは，Ｃ図の●４の座標を等高線に沿って右方向に変更してみる，あるいは，Ｆ_１とＦ_２の関数形を変えてみるなどの試行錯誤をする。しかし，こうした試行錯誤では，●４の位置が上がるか下がるかは，予想が難しいのでプログラミング作業を伴う試行錯誤となり，この試行錯誤は，いつ終わるかわからず，しかも，かなり疲れる作業となる。

【0065】

請求項４は，このＥ図のようにＧ_ｉ（ｕ）の並びが良好でない時の対処方法に関する発明である。この対処法は，Ｃ図の生成の段階，つまり第２段階まで遡って行う。Ｃ図を見ると，最適点●１～●４が縦に一直線に指定されているのが見える。つまり，●１～●４のｘ_１座標は共通である。請求項２を実施する上ではｘ_１は共通に指定する必要はなく，ユーザーが最適点として実現したい座標を指定すればよい。しかし，（１）Ｃ図のようにｘ_１を共通にしてｘ_２の小さいものから順に●１～●４をとる。
（２）軸となる変数であるＦ_２（ｘ_２）に関してＦ_２／Ｆ_２′＝ａｘ_２の条件を満たすＦ_２（ｘ_２，β）を使用する（これは（００４５）でも言及され（０１０６）～（０１１４）で詳説されているので参照のこと）。この（１）と（２）の条件を満たしていると，Ｃ図に描かれた接線の４つの横軸切片の値の大小関係が，第４段階で計算されるＧ_１の大小関係と一致し，かつ，そのＧ_１の大小関係は，Ｆ_１（ｘ_１）の関数形にどんな数式を使っても変わらないという不可能性定理が成立する。具体的には，Ｃ図の４本の接線の横軸切片を拡大してじっくりと見ると，切片の並びが１２３４ではなく，４１２３の順になっているのが見える。この４１２３という順が，Ｅ図の●１～●４の大小関係と一致している。Ｅ図を見れば●の高さが４１２３の順序になっているのが確認できよう。そして，この場合のＥ図の４１２３という大小関係は，Ｆ_１（ｘ_１），ｆ_１（ｘ_１）の関数形をどんな式に変更しても変えることができない。別の言い方をすると，Ｃ図において横軸切片の順序の入れ替わりが発見されたら，Ｅ図の●１～●４の順序も入れ替わり，かつ，それは，Ｆ_１（ｘ_１）の関数形を色々と試して改善するような処理は，資源の無駄の無限ループになる。請求項４を使えば，この関数形の試行錯誤が無駄だと事前に分かるので，無駄な計算努力を省ける。

【0066】

もしもＣ図で首尾よく横軸切片が１２３４に並んだとしたら，Ｅ図の●は１２３４という最も望ましい順序が実現し，かつ，ユーザーはｆ_１（ｘ_１）の関数にどんな式を使っても順序は変わらない。そうなれば，そのようなＣ図が見いだされた段階で（数３）または（数４）の生成は成功したようなものである。つまり，請求項４の方法は，絶対に無理か，絶対に可能かのどちらかになる。これだったら，迷わないから，試行錯誤をしなくて済むの楽である。

【0067】

ただし，現実は，局所的には，このような逆転は，実際上は不可避のもので，例えばＣ図の等高線式を４本から４００本へ増やす，あるいは，等高線式は４本のまま１つの等高線につき１００個の●をとるなどして，Ｃ図の●の数を増やすと，●１から●４００までの密集したＥ図が作られるが，この場合，４００個の横軸座標は小刻みに大小関係の逆転が見つかるのは，むしろ普通である。しかし，全体としては右下がりのトレンドを持つので，ｇ_１の回帰で吸収されるので，非増加関数が生成されるのである。

【0068】

しかし，本例のＥ図の●４は，最小が望ましいものが，実際には最大になっている。このような逆転は，局所的なものではなく，大域的なものであり，回帰で吸収されず，むしろ，しっかりと捉えてしまう。よって，真面目に対処を検討しないと（図２）と同じく不正な関数となる。最悪な対処としては，回帰式として，多項式を使うもので，フィットが良すぎてＵ字型のｇ_１（ｕ）が生成され，（図２）と同じ不正な関数が生じる。（図２）のような不正な関数は避けなければならない。そこでの対策としては，以下の３つの修正方法があろう。これら下記の修正方法は「解決」というより「妥協」である。

【0069】

第１の修正は，Ａ図のデータを変更するというものである。（００６５）の含意として，Ａ図の等高線の間隔が狭ければ狭いほど，Ｃ図での横軸切片の逆転は生じやすいといえる。つまり，ユーザーが選択した等高線の間隔が狭く密集していると，接線は互いに近いところを通過するので，僅かな傾きの違いでも交差が生じて切片の順序が入れ替わってしまう。よって，もしも，等高線の元データをユーザーが選べるのであれば，４番の等高線を，今よりも高いｕの値に対応する等高線データを抽出することで，３番と４番の等高線の間隔を広くなるように準備段階でデータを工夫すべきである。Ｃ図の４番の等高線が図の位置よりも高い位置に横たわっていれば，４番の横軸切片の位置が右側にスライドして，横軸切片の順序が改善されるであろう。

【0070】

第２の修正は，Ｃ図を変更して，●４を等高線に沿って左右に移動させるような既存の等高線式をもとにＣ図の●の位置を変更したり，●の数を増減させることである。これによって，Ｅ図の●４の位置が下がるかは疑わしいが，多少は効果がある。ただし，Ｃ図でユーザーが決定する●１～●４の座標は，可能な４つの（ｘ_１，ｘ_２）座標の組合せは無数にあり，２変数でなく多変数になると更に，可能な組み合わせは増える。よって，アドバイスとしては，この修正方法を試すときには，現状の共通のｘ_１を使った●１～●４のセットに，更に，ｘ_１を変更したセットを用意し，１セットで追加して●５～●８とする。共通のｘ_１をもつ４つの●を１セットにして，セット単位で追加してゆく方が良さそうである。そして，その後に，Ｅ図を生成して，都合の悪い●をＣ図から削除して都合の良いものを残す。ただし，この方法は，各セットの４番の等高線上の●が総じて高い位置になり，実際にはＥ図の●４の位置は下がらないこともあるから過大な期待はできない。

【0071】

第３の修正は，Ｅ図でのｇ_１（ｕ）の回帰式に制約を追加するものである。回帰式をｇ_１（ｕ）＝α_１１ｕ^－α１２に，α_１２＞０のようなパラメータ制約を付けて回帰を実施する。Ｕ字型に並んだ●データに，右下がり回帰式を用いるので，フィットが悪くなる。しかし，フィットを犠牲にしても，強制的に非増加関数となるように回帰をするのである。Ｅ図の点線は推計したｇ_１（ｕ）＝α_１１ｕ^－α１２のグラフである。点線を見ると●と点線は大きく乖離している。しかし，それでも点線は緩やかに右下がりになっており，非増加的なｇ_１（ｕ）が生成されていることが確認できる。ｇ_１（ｕ）については，●との乖離が大きいが，これで妥協するのである。妥協すべき都合の良い理由として，Ｅ図に見える●１～●４の値は４．４５～４．６という狭い範囲に集中するのに対して，Ｆ図の●１～●４の値は３～１２とかなり大きい。よって，Ｅ図にある乖離の影響は小さいだろうから，ｇ_１（ｕ）が増加関数にならなければ，全体としては，ベターな（数３）が生成できると予想ができるだろう。この第３の方法の長所は，ユーザーがＥ図の●の並びを目視して，目で見て，大体，成功するかどうか？どうやれば成功するか？の見当がつくことである。財の数が１０００財のように増加しても，１０００次元の描画不能な図ではなく，Ｇ_１からＧ_１０００までの１０００枚の２次元図となる。２次元図であれば，１０００枚位は，簡単に目で確認できる。

【0072】

第４の修正は，Ｂ図である。Ｂ図では観察データに対して等高線式がピッタリフィットしている。しかし，もしも，Ｂ図のフィットが悪く，●と等高線に乖離がある場合，Ｆ_１の関数形やパラメータを変更すれば，Ｃ図においては４つの●の座標と接線もＦ_１の変化に応じて変化するから，これによりＥ図の●の並びが改善するかも知れない。残念ながら，現段階では，意図的にＢ図のフィットを悪くして，Ｅ図やＦ図を改善する方法については，十分に研究していない。本発明は，Ｂ図をしっかりフィットさせたケースが念頭に置いている。

【0073】

第４段階の最後に，Ｄ図を生成する。Ｄ図の＊は観察データ，４本の実線はＢ図の等高線と同じもの，点線は完成した（数４）から生成した等高線を描画したものである。４本の点線は，１本の効用関数から生成した等高線であり，４本の別個の式から作ったものではない。第２段階で決定したｆ_２（ｘ_２）と，第３段階で作ったｆ_１（ｘ_１）と，第４段階で作ったｇ_１（ｕ），ｇ_２（ｕ）を（数３）に沿って，組み合わせて，「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｕ）」という１本の効用関数を完成させて，その，等高線を描画したものなのである。Ｄ図を拡大して見ると，実線と点線は，３番と４番で小さな乖離が見える。これがＥ図の妥協による乖離であろう。それでも，概ね，元の関数と似たような形の等高線を持った効用関数が生成されているのが分かる。

【0074】

以上で，第１段階～第４段階の抽象的な説明は終わり。

【0075】

次に，効用関数の分解図について説明する。
（００７６）～（００８２）が請求項１の手段
（００８３）～（００９８）が請求項３の手段
である。発明の経緯としては，分解図を原理として，それを実装して細部が作られたのではない。相互作用的に，どちらかというと細部が先にできて，分解図は，販売やマーケティングを考える中で後から出来たものである。しかし，今では，分解図を手段のように書いてしまった方が良さそうである。分かり易いければ，それが原理であると言ってしまえるからである。

【0076】

（図４）は効用関数「分解図」である。（数３）は「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_１（ｘ_２）」という陰関数であり，どのような関数なのかイメージが難しい。この問題を克服するのが（図４）の分解図である。この分解図を使うと，見通しが良くなり，発明の実用性が向上する。以下，（図４）を説明する。

【0077】

効用関数「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_１（ｘ_２）」のｆ_１とｆ_２を変数としてみて，縦軸にｆ_２，横軸にｆ_１をとって，所与の一定のｕについてグラフを書くと，第１象限の直線１のような直線となる。

【0078】

効用関数「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_１（ｘ_２）」のうち，ｆ_１（ｘ_１）だけを取り出して，第４象限にグラフを曲線６として描く。同様に，ｆ_２（ｘ_２）だけを取り出して，第２象限にグラフを曲線４として描く。

【0079】

直線１の上に，点３をとる。次に，点３の真左に点７をとり，点３の真下には点５をとる。そして，点７の真下，点５の真横にある点が点９である。点９は，点３のｕの値を与える（ｘ_１，ｘ_２）座標を与えている。そして，点３を直線１に沿って，左上や右下方向に移動させると，点７，点５，点９が連動して移動する。このときの点９の軌跡が曲線８である。曲線８上の点の効用は，直線１の点３と同じであるから，曲線８は（数３）のｕの等高線である。

【0080】

こうして，効用関数「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_１（ｘ_２）」は４枚の図に分解される。

【0081】

（図４）の第１象限の直線２は，直線１よりもｕの値が大きい場合の直線であり，直線１と直線２は交点がない。なぜならば，ｕの値が上昇すると，ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２のうちの右辺のｕが上昇し，かつ，左辺はｇ_１′≦０，ｇ_２′≦０であるから，直線１は一様に右シフトして直線２のようになる（ただし，厳密にはｇ_１′＝０，ｇ_２′＝０のときはシフトしない。一様な右シフトには，シフトしないケースを含む。）。この一様な右シフトは一般的には非平行な一様なシフトであり，ｕの陰関数で実現している。そして，直線２についても第３象限に点９のような軌跡をとると，直線２に対応した等高線が曲線１０のように描ける。この第３象限の曲線１０と曲線８は，数学的に交点を持たないことが図から分かろう。交点を持たないから，第３象限の（ｘ_１，ｘ_２）平面上の１点をとると，ｕの値は１つに定まり，ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という関数のように使うことできる。

【0082】

以上で，発明の効用関数の分解図の基本は完成。

【0083】

つぎに，この分解図を生かして，効用関数を生成する方法を説明する。

【0084】

等高線データから，効用関数「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_１（ｘ_２）」を生成する発明の原理は，分解図を使って説明すると次のようになる。

【0085】

当初，（図５）はＦ_１軸，Ｆ_２軸，ｘ_１軸，ｘ_２軸の４軸だけが描かれた白紙であるとする。そこにユーザーは観察された２本の等高線データを●と＊のようにプロットする。（図５）の●の並び，＊の並びが，それぞれ等高線であると想定されている。

【0086】

次に，５つの●からなる等高線について，ｘ_２からｘ_１への回帰を行う。回帰式は，ｘ_２＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）のような式で，パラメータβ_１を回帰で求めることになるが，ｘ_２については理論上，変換が許される。

【0087】

そこで，ｘ_２を関数Ｆ_２（ｘ_２）で値を適切に変換して，回帰式（以下，等高線式とよぶ）として，「Ｆ_２（ｘ_２）＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）」を一般形とし，Ｆ_２（ｘ_２）は回帰の前に計算しておいてよい。そして，β_０，β_１を推計する回帰を成功させ，回帰線を描くと曲線６（以下，等高線６）となる。

【0088】

この回帰に成功した等高線式について，Ｆ_２（ｘ_２）のグラフを第２象限に曲線２として描く。Ｆ_１（ｘ_１，β_１）のグラフを第４象限に曲線５のように描く。

【0089】

更に，第１象限に直線３を描く。等高線式「Ｆ_２（ｘ_２）＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）」において，Ｆ_１＝０のとき，Ｆ_２＝β_０である。また，Ｆ_２＝０のとき，Ｆ_１＝β_０である。よって，第１象限の直線３は，縦軸と横軸の切片をβ_０とする傾き４５度の直線として描く。

【0090】

これで，等高線６は，曲線２，直線３，曲線５に分解された。

【0091】

次に，もう１本の等高線データである。５つの＊のデータについても，同じ回帰式を使って回帰を実行してβ_０とβ_１を推計する。それをもとに曲線１１（以下，等高線１１）を描画し，この曲線１１を曲線２，直線８，曲線１０に分解する。

【0092】

こうして，●と＊の観察された２本の等高線データと整合的な曲線５と曲線１０が得られた。この曲線５と曲線１０は，（数３）におけるｆ_１（ｘ_１）に相当し，本発明でデータから生成したいと思っている眼目である。

【0093】

しかし，当然，この曲線５と曲線１０として示された２本のＦ_１のグラフは，当然に，通常は大きく異なり，一致しないのが普通である。しかし，理論上は（数３）で使うｆ_１（ｘ_１）は，すべての等高線に対して共通でなければならないから，Ｆ_１（ｘ_１）として曲線５と曲線１０の２本があるというのでは困ったことになる。

【0094】

そこで，曲線５と曲線１０を元に，これらと平均的に共通な曲線を導出して，それをｆ_１（ｘ_１）のグラフとする。このｆ_１（ｘ_１）のグラフは，曲線５と曲線１０の平均的な位置に描かれる（ただし，（図５）には，ｆ_１（ｘ_１）のグラフは描いていない。自分で描いてください）。

【0095】

当然，曲線５と曲線１０を平均してｆ_１（ｘ_１）とすれば，ｆ_１（ｘ_１）から生成される等高線は，観察データである●や＊から大きく乖離したものとなってしまう。そこで，平均化により生じた乖離を，直線３と直線８の傾きや切片を調整して吸収するのである。この直線３と直線８は（数３）ではｕの陰関数で実現され，比較的自由に，そして等高線が交点を持たないように動かすことができる。よって，直線３と直線８を調整すれば，連動して第３象限にできる等高線の形状が変化し，●や＊に近づけることができるのである。

【0096】

この直線３と直線８の調整の部分が，理想値Ｇ_１とＧ_２の計算と，そこからのｇ_１（ｕ），ｇ_２（ｕ）の生成作業に該当し，これに関わる技術が請求項２，請求項３，請求項４を構成する。そして，平均をとってｆ_１（ｘ_１）とするという部分が請求項３［１］である。こうして，請求項１の効用関数が全体として生成されるのである。

【0097】

言い換えれば，等高線データから作った別個の２本の等高線式「Ｆ_２（ｘ_２）＝ｕ－Ｆ_１（ｘ_１）」をもとに，そこからｆとｇの情報を抽出して（請求項２）から（請求項５）の技術で，１本の効用関数（数３）「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）ｆ_１（ｘ_１）」に集約することで，データに良好にフィットする請求項１である効用関数を生成したのである。

【0098】

以上で，分解図による説明はすべて終わり。

【0099】

以下では，理想値Ｇ_１とＧ_２の算出式の導出過程を示す。これは（請求項２）の（数３６），（数３７）の原理を２変数のケースで解説するものである。ユーザーが，最適点の（ｘ_１，ｘ_２）座標と，その点の接線の傾きを指定すると，指定した座標が最適点になるようなｇ_１，ｇ_２の値である理想値Ｇ_１，Ｇ_２の値を算出する方法が以下に示される。

【0100】

効用関数には（数３）と，その変種である（数４）の２つのバージョンがあり，使用するＧ_１，Ｇ_２の式が異なる。（数３）でのＧ_１，Ｇ_２の式の導出を（０１０１）に示す。（数４）でのＧ_１，Ｇ_２の式の導出を（０１０２）に示す。

【0101】

Ｐ_１とＰ_２をｘ_１とｘ_２の価格，定数ｕを達成したい効用水準としたとき，費用最小化問題は，目的関数をＰ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２，制約条件を（数３）である「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）」として，最適化問題「ｍｉｎ_ｘ１ｘ２ Ｐ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２，ｓ．ｔ ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）－ｕ＝０」となる。ラグランジュ関数はＬ＝Ｐ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２＋λ（ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）－ｕ）である。最適条件は，λ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１′（ｘ_１）／Ｐ_１，かつ，λ＝ｇ_２（ｕ）ｆ_２′（ｘ_２）／Ｐ_２，かつ，ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）－ｕ＝０の３本の式であり，最後の条件式は（数３）と同じである。λを消去すると，｛ｇ_１（ｕ）ｆ_１′（ｘ_１）｝／Ｐ_１＝｛ｇ_２（ｕ）ｆ_２′（ｘ_２）｝／Ｐ_２をえる。これをｇ_２（ｕ）について解くと，ｇ_２（ｕ）＝ｇ_１（ｕ）×｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝となる。これを元の効用関数（数３）に代入してｇ_２（ｕ）を消去すると，（数４）はｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_１（ｕ）×｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）＝ｕとなる。これはｇ_１（ｕ）について解くことができ，ｇ_１（ｕ）＝ｕ／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］をえる。右辺のｇ_１（ｕ）を関数Ｇ_１と表記すると（数１０）のＧ_１の式ができる。また，このＧ_１の添え字の１と２を入れ替えて（数１０）のＧ_２ができる。
［数１０］Ｇ_１＝ｕ／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］，および，Ｇ_２＝ｕ／［ｆ_２（ｘ_２）＋｛ｆ_２′（ｘ_２）／ｆ_１′（ｘ_１）｝×｛Ｐ_１／Ｐ_２｝×ｆ_１（ｘ_１）］

【0102】

効用関数が（数４）の場合は，１文字だけ変わるが，次の通りとなる。費用最小化問題は，目的関数をＰ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２，制約条件を（数４）である「１＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）」となり，左辺がｕから１へと１文字だけ変わる。よって，最適化問題「ｍｉｎ_ｘ１ｘ２ Ｐ_１ｘ_１＋Ｐ_２ｘ_２，ｓ．ｔ ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）－１＝０」と制約式が１文字だけ変わる（注，つまり，ｇ_１とｇ_２にだけｕが入る）。ラグランジュ関数などについて（０１０１）のｕを１に変更して読み替えて同様に計算すると，
［数１１］Ｇ_１＝１／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］，および，Ｇ_２＝１／［ｆ_２（ｘ_２）＋｛ｆ_２′（ｘ_２）／ｆ_１′（ｘ_１）｝×｛Ｐ_１／Ｐ_２｝×ｆ_１（ｘ_１）］
となる。この（数１１）は，（数１０）の分子のｕが１に変わっただけの式である。ただし，ｕを指定しなくてもＧ_１とＧ_２の値が計算できるために，ｕを決める工程を省くことができるという長所があるので，便利である。そして，分子の１の部分は，スケーリングをして１００のような大きな値を使い，スケーリングをしたら対応する効用関数（数４）の左辺の１も，スケーリングして１００にしておくことを忘れないように。

【0103】

（数１０）と（数１１）に示した関数Ｇ_１，Ｇ_２は，消費量（ｘ_１，ｘ_２）が価格（Ｐ_１，Ｐ_２）のもとで費用最小化点になると仮定したとき，ｇ_１（ｕ）が取るべき値を与える関数である。ユーザーが，ｘ_１，ｘ_２，Ｐ_２／Ｐ_１の観察データを次々と与えると，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の取るべき値が次々と生成される。

【0104】

そして，経済理論により最適点においては，等高線の接線の式と予算線は一致する。このため，本発明では，（数１０）と（数１１）のＰ_１とＰ_２は価格ではなく，接線の傾きを表す変数として解釈し，等高線式から算出してよい。観察された費用最小化点について，その点を通る等高線式が１＝Ｆ_１（ｘ_１）＋Ｆ_２（ｘ_２）とデータから推計されていた場合，等高線の接線の傾きはＦ_１′（ｘ_１）／Ｆ_２′（ｘ_２）であり，これは経済学では価格の比Ｐ_１／Ｐ_２に等しい。このためＰ_１＝Ｆ_１′（ｘ_１），Ｐ_２＝Ｆ_２′（ｘ_２）と見做して構わない。以上の理由により（数１０）や（数１１）において，（数１２）と解釈して構わない。つまり，（数１０）と（数１１）において，
［数１２］Ｐ_１＝Ｆ_１′（ｘ_１）， Ｐ_２＝Ｆ_２′（ｘ_２）
である。（数１０），（数１１），（数１２）が理想値Ｇの計算式である。

【0105】

以上で，Ｇ_１とＧ_２の算出方法の説明は終わりである。

【0106】

以下では，請求項４となっている，不正な●の選択の公式を証明する。この証明は経済学では見慣れたものが多い。前にも断ったが，請求項４は請求項３の最良の実施形態として権利化するものではなく，あくまで不良を直すときの判断装置の１つとして権利化するものである。

【0107】

（図６）のＣ_１とＣ_２は２本の等高線式のグラフ，Ａ点とＢ点はＣ_１，Ｃ_２上の費用最小化点，接線Ｍ_１と接線Ｍ_２はＡ点とＢ点の接線であり，それら接線の傾きはＰ_１ ^Ａ／Ｐ_２ ^Ａ，Ｐ_１ ^Ｂ／Ｐ_２ ^Ｂ，横軸切片がｘ_１ ^ａ，ｘ_１ ^ｂ，縦軸切片がｘ_２ ^ａ，ｘ_２ ^ｂで示されている。Ｍ_１とＭ_２は一般には平行ではない。この（図５），前の説明における（図３）のＣ図と同じものである。Ａ点の座標は（ｘ_１ ^Ａ，ｘ_２ ^Ａ），Ｂ点のそれは（ｘ_１ ^Ａ，ｘ_２ ^Ｂ）とし，図に描くとＡ点とＢ点は垂直に一直線に並ぶように設定する。Ｍ_１とＭ_２のｘ_１軸切片を見ると，ｘ_１ ^ａ＜ｘ_１ ^ｂという大小関係で図示されているが，これは一般には成立せず，（図３）のＣ図のように，ｘ_１ ^ａ＞ｘ_１ ^ｂとなり逆転が起こることもある。

【0108】

Ａ点とＢ点の接線の式をｘ_２＝切片＋傾きｘ_１­の形で表すと，Ａ点の接線は「ｘ_２＝（Ｐ_１ ^Ａ／Ｐ_２ ^Ａ）（ｘ_１－ｘ_１ ^Ａ）＋ｘ_２ ^Ａ」であり，Ｂ点の接線は「ｘ_２＝（Ｐ_１ ^Ｂ／Ｐ_２ ^Ｂ）（ｘ_１－ｘ_１ ^Ａ）＋ｘ_２ ^Ｂ」と表すことができる。この接線の式を変形して，ｘ_１軸切片を求めると，Ａ点の接線の横軸切片をｘ_１ ^ａと表すと
［数１３］Ａ点の接線の横軸座標： ｘ_１ ^ａ＝ｘ_１ ^Ａ＋（Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ）ｘ_２ ^Ａ
であり，Ｂ点のそれの横軸切片は
［数１４］Ｂ点の接線の横軸座標： ｘ_１ ^ｂ＝ｘ_１ ^Ａ＋（Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ）ｘ_２ ^Ｂ
となる。

【0109】

さて，Ａ点とＢ点におけるＧ_１の値をＧ_１ ^ＡとＧ_１ ^Ｂと表す。（数１０）に，ｘ_１ ^Ａ，ｘ_２ ^Ａ，ｘ_２Ｂ，Ｐ_１ ^Ａ，Ｐ_２ ^Ａを代入して，値を計算すると，
［数１５］
Ｇ_１ ^Ａ＝１／［ｆ_１（ｘ_１ ^Ａ）＋｛ｆ_１′（ｘ_１ ^Ａ）／ｆ_２′（ｘ_２ ^Ａ）｝×｛Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ｝×ｆ_２（ｘ_２ ^Ａ）］，
［数１６］
Ｇ_１ ^Ｂ＝１／［ｆ_１（ｘ_１ ^Ａ）＋｛ｆ_１′（ｘ_１ ^Ａ）／ｆ_２′（ｘ_２ ^Ｂ）｝×｛Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ｝×ｆ_２（ｘ_２ ^Ｂ）］，
をえる。ここで，軸となる関数ｆ_２の関数形はユーザーが自由に決めることができる。そして，ｆ_２の関数形として，私は，
［数１７］ ｆ_２（ｘ_２）／ｆ_２′（ｘ_２）＝αｘ_２（αは正の定数，ｘ_２の指数は１）
となる関数を推奨した。このような関数としては，ｆ_２（ｘ_２）＝２ｘ_２ ^０．８のようなべき乗の関数がある。（数１７）を（数１５）と（数１６）に代入して，ｆ_２（ｘ_２）／ｆ_２′（ｘ_２）を消去すると，
［数１８］Ｇ_１ ^Ａ＝１／［ｆ_１（ｘ_１ ^Ａ）＋ｆ_１′（ｘ_１ ^Ａ）×｛Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ｝×αｘ_２ ^Ａ］
［数１９］Ｇ_１ ^Ｂ＝１／［ｆ_１（ｘ_１ ^Ａ）＋ｆ_１′（ｘ_１ ^Ａ）×｛Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ｝×αｘ_２ ^Ｂ］
が得られる。（数１８）と（数１９）において，ｘ_１の値はｘ_１ ^Ａで共通であることから，分母のｆ_１（ｘ_１ ^Ａ）とｆ_１′（ｘ_１ ^Ａ）も共通となる。よって， Ｇ_１ ^ＡとＧ_１ ^Ｂの大小関係は，分母の｛Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ｝×ｘ_２ ^Ａと｛Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ｝ｘ_２ ^Ｂの大小関係のみで決定されることが分かる。もし，｛Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ｝×ｘ_２ ^Ａ＞｛Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ｝ｘ_２ ^Ｂであれば，Ｇ_１ ^Ａ＞Ｇ_１ ^Ｂとなるが，同時に（数１３）と（数１４）で切片座標を計算するとｘ_１ ^ａ＜ｘ_１ ^ｂが成立している。反対に，もし，｛Ｐ_２ ^Ａ／Ｐ_１ ^Ａ｝×ｘ_２ ^Ａ＜｛Ｐ_２ ^Ｂ／Ｐ_１ ^Ｂ｝ｘ_２ ^Ｂであれば，Ｇ_１ ^Ａ＜Ｇ_１ ^Ｂとなるが，同時に（数１３）と（数１４）で切片座標を計算するとｘ_１ ^ａ＞ｘ_１ ^ｂが成立している。

【0110】

以上をまとめると，Ｃ_１とＣ_２という２本の等高線式のグラフがあったときに，軸となる変数であるｘ_２座標だけが異なり，他の変数であるｘ_１の座標を共通にするようにＡ点とＢ点をとる。更に，ｆ_２（ｘ_２）について，ｆ_２（ｘ_２）／ｆ_２′（ｘ_２）＝αｘ_２という定数項のない１次式を採用した場合，Ｇ_１ ^ＡとＧ_１ ^Ｂの大小関係は，あらゆるｆ_１の関数形について，Ａ点とＢ点を通る接線の横軸切片の大小関係の反対と一致する。

【0111】

残念ながら，ｘ_２軸切片については，ｘ_１軸切片のような強い定理は導けないが，それでも，切片をｘ_２ ^ａ，ｘ_２ ^ｂとしたとき，ｘ_２ ^ａ＞ｘ_２ ^ｂ⇒Ｇ_２ ^Ａ＜Ｇ_２ ^Ｂは成立した（ｘ_２ ^ａ≦ｘ_２ ^ｂ⇒Ｇ_２ ^Ａ＜Ｇ_２ ^Ｂも排除できなかった）。よって，ｘ_２ ^ａ＞ｘ_２ ^ｂのような逆転があった場合は，Ｇ_２の逆転が起こることだけしか分からず，逆転がなかった場合でも，Ｇ_２の逆転は起こりうる。

【0112】

以上を総括したＧの不可能性の含意は２つある。第１の含意は，２本の接線が正の領域で交点を持った場合には，Ｇ_１，Ｇ_２のいずれかの大小関係が望ましくない事態となり，Ｆやｆの関数形を変えても改善できない。この２変数の証明は，すべてｎ変数でも成立するため，１０００変数の場合であっても，２つの等高超平面上の２点を，ｘ_２を除くｘ_１～ｘ_１０００まで共通にして点を取り，ｆ_２には（数１７）を使った場合，２つの接超平面が交点を持ったら，ｇの逆転が生じる。このときｆ_２を除くｆ_１からｆ_１０００について，様々な関数形を試すのは，時間とエネルギーの無駄であることが判定できる。よって，複雑な試行錯誤は避けて，（００６９）～（００７２）で述べた「妥協」をする処理にジャンプする方がよいといった条件分岐ができる。

【0113】

第２の含意は，２つの接超平面が交点を持たなかった場合には，Ｇ_２を除くＧ_１からＧ_１０００の並びは，すべて減少的になり，作業は望ましい状態にある。軸となっているＧ_２については，（０１１１）でも述べたように，完全な判定ができない訳であるが，多数の変数の中でｘ_２だけが判定が難しいとしても，１つだけだったら，対応を考えるのは，大した手間にはならない。したがって，作業的な処理としては，指定した最適点を通る接線が交点を持つかどうかを真っ先に調べて，交点のないデータであった場合には，本発明は簡単に実施できる可能性が高いと考えて，強気に処理を進めることができる。

【0114】

なお，第３の含意は，２つの接超平面が交点を持たない場合には，ｆ_２を除くｆ_１からｆ_１０００までの関数の関数形が，どのようなものであったとしても，Ｇ_１からＧ_１０００は正しく生成できることを意味する。つまり，「どのような関数であったとしても，」なので，例えば，ｆ_１（ｘ_１）にｓｉｎなどの３角関数などを適当に組みあわせて正値になる関数をｆ_１（ｘ_１）として使っても大丈夫であり，この時は理論上は（図５）のＡ点とＢ点の近傍だけは似ているが，等高線の全体では，Ｃ_１，Ｃ_２の曲線とは似ても似つかない波型の形状の等高線を持った効用関数も生成できる。しかし，実際には，元のＣ_１とＣ_２を無視して局所的にだけフィットする効用関数を作るのは意味がないから，ｆ_２を除くｆ_１からｆ_１０００は，観察された等高線式Ｃ_１，Ｃ_２の関数形やパラメータを生かして，関数形を共通にしてパラメータをＣ_１とＣ_２の加重平均にするなどの処理が望ましい。あまり，凝ったことをしても，なかなか上手くいかないから，ｆ_ｉ（ｘ_ｉ）の関数形はシンプルなものを使う方がよい。

【発明の効果】

【0115】

２０１７年ごろから進んだ陰関数を使った方法は，本発明により，陰関数全体をデータから生成することに成功し，暫定ながら完成レベルに達した。開発を始めた当時に意図した数理最適化の目的関数や制約条件としての用途から離れて，もっと一般的に，汎用的な回帰式としての可能性をテストした印象をのべておく。確かに，（数３）の陰関数は（図１）のＢ図のＳ字の所得消費曲線のような豊かな表現力があるが， それでも，自然データやフリーハンドで描いた任意の等高線データに対して，回帰が一発で成功するほどの万能性は備えていないようである。

【0116】

しかしながら，本発明の回帰式「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）」は，ｆが正値に限定されるという制約があるが，一般的な線形的な非線形回帰式「ｕ＝ｆ_１（ｘ_１）＋ｆ_２（ｘ_２）」の上位互換である。よって，本発明がフィットの良さにおいて，従来の線形的な非線形回帰よりも劣るとは思えない。線形的な非線形回帰には，当然に，普通の線形回帰も含まれる。よって，非線形回帰が好きでなく，線形回帰が好きな人でも使ってもらえる。よって，あらゆる回帰が一発で成功するほどの一般性は無かったとしても，それよりも性能が劣る線形回帰の改良版として，誰でも１度は使ってみたいと思うような商品性を備える。

【0117】

第２の発明の効果は，自由度が高く，しかも，トラクタブルなことである。本発明のｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）という式において，ｆの式としては正値であれば，どのような式でも使える。この為，関数ｆの選択の自由度が高いので，ユーザーは自分で思いついた式を，次々と試すことができる。このような手軽さにより，ユーザーは楽しく作業できるので，試してみたい，使ってみたいと思うようになり，特許の商品価値を高める。更に，分解図があるので商品の説明が楽で，商品価値が高まる。

【0118】

第３の効果は，精度の高い等高線が描けることである。非線形関数ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）は，一般的にはｘ_２＝Ｖ（ｘ_１，ｕ）の形には変形できない。このため数学ソフトでは，ｘ_１とｘ_２に総当たり的に値を与えてｕを計算し，ｕの近いものを集めて等高線を描くことが行われている。このような総当たりで描画される等高線図は誤差が大きく，等高線と予算制約線と重ねて描画すると，最適点と予算線が接せず，誤差の分だけずれてしまう。しかし，本発明の効用関数は，ｘ_２＝Ｖ（ｘ_１，ｕ）のように解けることが多いので，精度の高い計算できて，等高線が精密に描画できる。例えば，等高線と予算線が接するような図を描くと，どんなに図を拡大しても，しっかりと最適点で予算線が接する図が表示される。このような精度の高さは，デバッグを容易にするし，信頼性が高いので，更なる処理を上に乗せることが可能となる。

【0119】

なお，残念なところもある。それは，成功率の必ずしも高くない，時としてかなり難しい作業が含まれていることである。それは，Ｂ図の生成である。Ｂ図の４つの等高線式の生成では，等高線データに対して，多変数の非線形回帰を成功させる必要がある。しかし，これは難易度が高いことがある。比較的難易度の低いとされる「線形的な非線形回帰」の手法が使えると言っても，４変数位になってくると，なかなか成功しないことがある。

【0120】

第２の残念な所は，Ｅ図の●の順序関係の逆転は，妥協すら不可能な場合もあり，図３のＦ図で言えば，●１から●４が，すべて右上がりに並ぶこともある。こうなると妥協すら難しいかもしれない。この短所の幸いな所は，成功しないことが，簡単に分かることも多い点である。無駄な努力はしない方がよく，代替的な手段が，多くあるなら，特定のデータに強く，それ以外では全く無理な方が，ユーザーとしては分かり易くて良い。中途半端に，「頑張れば上手く行くみたいな奴」は，結局は，徒労に終わることも多いから，むしろ，出来ることが明確である方がよいと思うのである。

【0121】

その点からみると，本発明が有効なデータは，効用関数の数学的な構造に沿ったデータである。ｘ_１，ｘ_２といった財は，ｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_２）で決定さる決まりきった満足を本源的には与えるが，全体として得る満足であるｕの値が高い事から価値観が影響を受けて，ｆ_１（ｘ_１），ｆ_２（ｘ_２）の値が一定率だけ減少するというものである。これは財貨については，ある程度，正しいと思える。安い酒は，金持ちでも貧乏人でも同じ効用を与えるが，金持ちは全体の効用が高い事から影響をうけて安い酒では物足りないと思うようなものである。

【発明を実施するための形態】

【0122】

（００３５）から（００７４），および，（００９９）～（０１１４）
の記述と同様である。

【産業上の利用可能性】

【0123】

需要予測，数理ファイナンス，ゲームなどで使用する。数理最適化の目的関数や制約条件としても使用する。

【図面の簡単な説明】

【0124】

【図1】先行技術における効用関数の生成の成功例（技術的背景）

【図2】先行技術における効用関数の生成の失敗例（発明で解決する課題）

【図3】観察データから効用関数を生成するプロセス（実施例１，実施例２，請求項１から請求項４）

【図4】効用関数の分解図（課題を解決するための手段，請求項１）

【図5】効用関数の生成用の分解図（課題を解決するための手段，請求項３）

【図6】接線の式と理想値Ｇの関係（課題を解決するための手段，請求項４）

【実施例0125】

ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という関係を想定して，（図３）のＡ図のような等高線データからＤ図の等高線をもつ（数３）を生成する例を示す。主要関数の一般形を列挙しておく。効用関数は，（数３）の
「ｕ＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）」であるが，途中から（数４）の「１＝ｇ_１（ｕ）ｆ_１（ｘ_１）＋ｇ_２（ｕ）ｆ_２（ｘ_２）」を使う。これらは請求項１に記載した効用関数の２変数に適用したものである。等高線式の一般形は（数６）で「Ｆ_２（ｘ_２）＝β_０－Ｆ_１（ｘ_１，β_１）」である。この数式は請求項３に記載した数式である。ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）の取るべき理想の値を与える関数は（数９）あるいは（数１１）であり，「Ｇ_１＝１／［ｆ_１（ｘ_１）＋｛ｆ_１′（ｘ_１）／ｆ_２′（ｘ_２）｝×｛Ｐ_２／Ｐ_１｝×ｆ_２（ｘ_２）］」と「Ｇ_２＝１／［ｆ_２（ｘ_２）＋｛ｆ_２′（ｘ_２）／ｆ_１′（ｘ_１）｝×｛Ｐ_１／Ｐ_２｝×ｆ_１（ｘ_１）］」であり，請求項２に記載された数式である。

【0126】

ユーザーは（表１）のような等高線データを用意する。（表１）のデータは，ｕ＝ｆ（ｘ_１，ｘ_２）という関係を想定して，ｕが等しくなる（ｘ_１，ｘ_２）を示す。例えば，（表１）の等高線データ１番は，ｆ（１．０，７．８）＝ｆ（４．８，５．７）＝ｆ（８．６，３．９）＝ｆ（１２．４，２．５）＝ｆ（１６．２，１．５）＝ｆ（２０．０，１．０）であると読む。なお，１番から４番の等高線のｕの値は等高線データ１番のｕの値が最もが小さく，４番が最も大きいという順序とする。
（表１）は請求項３でいうＴ＝４組にグループ化されたデータに該当する。

【0127】

（表１）をプロットコマンドに入力して，プロット図（図３）のＡ図を出力する。（図３）のＡ図をみて，（表１）の（ｘ_１，ｘ_２）と図の＊の座標が正しく対応しているかを検査する。次に，Ａ図の＊を点線で結ぶようにコマンドを入力し，Ａ図のような簡易な等高線を描く。ユーザーはＡ図の簡易な等高線を目で見て，左下方に凸な形状をしている事を目で確認して非線形回帰が必要であることを認識する。また，Ａ図の４本の簡易の等高線を見て，交点を持たないことも確認した方が良い。元データの等高線データが交点を持つときは，変数が足りない等，回帰とは別の根本的な問題がある。

【表1】

【0128】

ユーザーは，Ａ図の＊と点線の簡易の等高線の形状を参考にしつつ，（表１）の４本の等高線データに当てはめる回帰式を用意する。まず，ユーザーは，ｘ_１からｘ_２に回帰するか，ｘ_２からｘ_１に回帰するかを決めて，どちらでも良いが，ここでは後者を選択する。被説明変数となったｘ_２は本発明の「軸となる変数」であり，Ｆ_２（ｘ_２）は「軸となる関数」であり，回帰式は「等高線式」である。
（注）請求項の数式群は，軸となる変数はｘ_２でなく，ｘ_１で記載してあるので，１と２が入れ替わっているので，読むときには注意されたい。
ユーザーは，Ａ図を見ながら，等高線式をイメージして，
［数２０］ｘ_２＝β_０－（β_１ｘ_１ ^－１＋β_２ｘ_１＋β_３ｘ_１ ^２）
を用意した。ユーザーは（数２０）を検査して，「Ｆ_２（ｘ_２）＝ｕ－Ｆ_１（ｘ_１）」という（請求項３）に記載してある等高線式の一般形に，β_０＝ｕ，Ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２，Ｆ_１（ｘ_１）＝β_１ｘ_１ ^－１＋β_２ｘ_１＋β_３ｘ_１ ^２とすることで帰着できることを確認する。この帰着ができるかどうかを確認する様子は（表２）の下の↑で示してある。

【0129】

理論上は，回帰式となる等高線式（数２０）の左辺は必ずしもｘ_２である必要はなく，自身で決めた適当な関数Ｆ_２（ｘ_２）で変数変換をすることが許されているが，実施例では単純な方がよいのでＦ_２（ｘ_２）＝ｘ_２として，ｘ_２の値をそのまま使用することにする。Ｆ_２（ｘ_２）として，「Ｆ_２（ｘ_２）／Ｆ_２′（ｘ_２）＝αｘ_２，α≠０となる関数Ｆ_２」という条件を満たす場合，請求項４に示した不可能性の判断法が使えるようになる。Ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２は，この条件を満たす。

【0130】

ただし，理論上は，（数２０）の代わりに，ｘ_２ ^０．５＝ｕ－（β_１ｘ_１ ^－１＋β_２ｘ_１＋β_３ｘ_１ ^２）のように，左辺にはｘ_２でなくＦ_２（ｘ_２）＝ｘ_２ ^０．５等を試して使ってもよい。そして，回帰をする前に事前にＦ_２（ｘ_２）＝ｘ_２ ^０．５の値は計算しておいて良い。

【0131】

計算機で，（表１）の等高線データの１番から４番に対して，等高線式（数２０）を用いて回帰を実行し，推計したβ_０～β_３の値を転記して（表２）を出力する。（表２）には，１番から４番までの完成した等高線式が示されている。例えば，（表１）の１番の等高線データに対する等高線式は，（表２）の１番に示されており，「ｘ_２＝８．８０－（０．６５ｘ_１ ^－１＋０．６９ｘ_１―０．０２ｘ_１ ^２）」であると読む。更に，これら４つの等高線式の回帰線を数学ソフトで描画し（図３）のＢ図を出力し，回帰が成功したかを検査する。Ｂ図を見ると，点線（回帰線）と＊（元データ）は十分にぴったり重なっていることが確認できるので，フィットは良好であることが分かる。

【表2】

【0132】

次に，（表２）の最下行に，β_１からβ_３について４本の等高線式のパラメータの値の平均値を出力する。例えば，（表２）のβ_１の平均は１．７２と表示されており，これは（０．６５＋１．８１＋２．３０＋２．１３）÷４で求められる。

【0133】

そして，この（表２）におけるβの平均をもって（数３）のｆ_１（ｘ_１）とする。つまり，
［数２１］ｆ_１（ｘ_１）＝１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２
である。また，ｆ_２（ｘ_２）については， Ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２を用いたから，そのまま
［数２２］ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２
とするのである。この（数２１）と（数２２）の式こそが，今回の発明で実現した観察データに良好にフィットする（数３）のｆとして使える式の完成した姿である。

【0134】

以上で，請求項３の［１］の実施が終わり。以下，請求項３の［２］の実施を示す。

【0135】

後述の（０１４３）の利用のために，導関数も作る。
［数２３］ｆ_１′（ｘ_１）＝－１．７２ｘ_１ ^－２＋１．７１－０．０８ｘ_１
［数２４］ｆ_２′（ｘ_２）＝１
となる。

【0136】

次に，（表２）の等高線の番号の１番の数式である
［数２５］ｘ_２＝８．８０－（０．６５ｘ_１ ^－１＋０．６９ｘ_１－０．０２ｘ_１ ^２）
を，一般形で解釈して，Ｆ_２とＦ_１を対応させる。すると，Ｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２，とＦ_１（ｘ_１）＝０．６５ｘ_１ ^－１＋０．６９ｘ_１―０．０２ｘ_１ ^２と解釈できるので，これらを微分して，導関数
［数２６］Ｆ_１′＝－０．６５ｘ_１ ^－２＋０．６９－０．０４ｘ_１
［数２７］Ｆ_２′＝１
をつくる。

【0137】

以上で，第１段階が終了。以下は，最適点を指定するという第２段階となる。

【0138】

次に，１番から４番の等高線上に最適点●１～●４を以下の要領でユーザーが指定する。請求項３の「総数でＭ個（当然Ｍ≧Ｔ）の（数３８）を満たすようなｘ_１，…，ｘ_ｎの値を計算により求め，…」を行う。実施例では，各等高線について１個の最適点を取るので，Ｍ＝４（＝Ｔ）として実施する。

【0139】

まず，自分でｘ_１＝５と決めて，（数２１），（数２２），（数２３），（数２４）に，ｘ_１＝５を代入して，計算すると，ｘ_２＝５．６，Ｆ_２′＝１，Ｆ_１′＝－０．５２，Ｆ_２′＝１をえる。これら数値を（表３）の●１列に出力する。経済学では，●１のｘ_１，ｘ_２座標は，価格比をＦ_１′／Ｆ_２′で与えた時の所与の等高線式における費用最小化点であることから，（表３）の●１を他の表や図の●１と区別するため「最適点番号の●１」とか「最適点●１」とよぶ。経済学を知らないユーザーは，（表３）の●１の列を見たら，１番の等高線上の点（５，５．６）で，その等高線上の点における接線の傾きが０．５２（＝０．５２／１）であるのように，最適点という語は使わずに読めばよい。

【0140】

（表２）の等高線式の番号の２～４番についても，（０１３９）と同様にして，（数２１）～（数２４）に相当する式を作る。そして，これら式に，先に決めたｘ_１＝５を代入して，ｘ_２，Ｆ_２′，Ｆ_１′の値を計算して，（表３）の最適点●２～●４の列を出力し，（表３）を完成させる。最適点●１～●４のｘ_１座標として，ｘ_１＝５を共通に使用することで請求項４が使えるようになる。

【0141】

（表３）ができたら（図３）のＣ図を作る処理を開始する。（表３）をもとに数学ソフトのｐｌｏｔコマンド等を使って，（表３）のｘ_１，ｘ_２座標に最適点●１～●４をＢ図の●１～●４のように描画する。更に，Ｂ図で描いた等高線のグラフを重ねて描画し，●１～●４がＢ図に描かれていた等高線上にあるかを検査する。検査して等高線と●がズレていたらバグである。次に，（表３）の●１の行にある「５」と「５．６」と「０．５２」と「１」をもとに，座標（５，５．６）を通る接線の式「ｘ_２＝０．５２／１×（ｘ_１－５）＋５．６／１」をつくる。この接線の式を使って，Ｃ図に接線も描画して，接線が等高線に本当に接しているかを検査する。もしも，接していなかったら●１は最適点にならないのでバグである。同様にして，●２～●４の接線も描画する。（図３）のＣ図が完成する。これを使い●１と同様の検査を行い，●１～●４は全て等高線式上の点となっており，接線も正しく接していることをＣ図で再確認する。

【表3】

【0142】

以上で，請求項３の［２］の請求項３に固有の処理が完了した。４段階のうちの第２段階が完了である。

【0143】

以下では，請求項３の［２］に書かれている請求項２の実施によるｇ_ｋ（ｕ）を生成する処理を実施を説明する。下記は，請求項２の実施例を示すものでもある。

【0144】

次に，（表３）から（表４）を作る。（表３）の１番からｘ_１＝５，ｘ_２＝５．６を読み取り（数２１），（数２２），（数２３），（数２４）に代入することで，ｆ_１＝８．０，ｆ_１′＝１．２７，ｆ_２＝５．６，ｆ_２′＝１をえる。（表３）の１番からＦ_１′＝０．５２とＦ_２′＝１を読み取り，Ｐ_１＝０．５２，Ｐ_２＝１と設定する。そして，ｆ_１，ｆ_１′，ｆ_２，ｆ_２′，Ｐ_１，Ｐ_２の値を請求項２の（数３７）式をｉ＝１，ｎ＝２とした式，すなわち，（数１１）に代入するが，有効桁数のスケーリングのため分子は１でなく，１００に変更して，
［数２８］Ｇ_１＝１００／（８．０＋（１．２７／１）×（１／０．５２）×５．６）
より，Ｇ_１≒４．６０をえる。このＧ_１＝４．６０を（表４）の●１列のＧ_１行に配置する。同様にして，（表３）の最適点●２～●４についてもＧ_１を計算して，（表４）のＧ_１行を完成させる。

【0145】

（表４）のＧ_２の行も，請求項２の（数３７）をｉ＝２，ｎ＝２とした式，すなわち（数１１）を使って同様の計算をすることで最適点●１から●４のＧ_２の値を計算して，（表４）のＧ_２行を作成する。ユーザーは（表４）を見ることで，（表３）の最適点●１が，最適点になるためには効用関数（数４）において，ｇ_１＝４．６０，ｇ_２＝１１．３５でなければならないことを示し，同様に最適点●２が，最適点になるためには効用関数（数４）において，ｇ_１＝４．４７，ｇ_２＝５．６５でなければならないことを理解する。

【表4】

【0146】

次に，ユーザーは（表４）のｕの行に，最適点●１～●４におけるｕの値を記入する。記入するｕの値は（表２）の４つのβ_０の値（つまり，８．８と１７．８４と２６．５１と３４．９８）を転記する。この転記は，（０１２８）において，「ｕ＝β_０」という対応をしていることが確認されたことが根拠の１つである。これで（表４）のｕの行が完成し，（表４）全体が完成した。

【0147】

なお，理論上は（表４）に記入するｕの値は，β_０を使う必要はなく，観察されたｕの大小関係であるｕ_１＜ｕ_２＜ｕ_３＜ｕ_４という大小関係が成立していれば，ｕの値はどのような値でもよい。ただし，ｕ_１，ｕ_２，ｕ_３，ｕ_４の値が観察データから分かっている場合であっても，その値を使わずに，ｕの値を自分で決めた方が良い。事実，本発明のもととなった（特許文献１）では，実際に，自分で決めたｕの値を使用していた。そして，本実施例では，特に，（表２）のβ_０の値を転記して使用することを推奨する。ｕの値をβ_０を転記して流用すると，等高線式と効用関数を変数変換なしに直接に比較できるようになり，Ｄ図の作成が簡単になったり，デバッグが楽になるからである。

【0148】

（表４）のｕとＧ_１から（図３）のＥ図を，（表４）のｕとＧ_２から（図３）のＦ図を，数学ソフトを使って描画する。

【0149】

以上で，第３段階終わり。

【0150】

Ｅ図とＦ図は，理想値Ｇ_１とＧ_２が縦軸に取られており，理論上は，●が右下がりに並んでいる必要がある。そこで，回帰によりｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を生成する前に，ユーザーは，Ｅ図とＦ図の●１～●４の並びが右下がりに並んでいるかを検査しておく必要がある。

【0151】

まず，Ｆ図を先に検査する。Ｆ図を見ると●１から●４が奇麗に右下がりに並んでいるのが分かる。よって，Ｆ図は良好であり，普通に回帰をしてｇ_２（ｕ）を生成するだけで，ｇ_２（ｕ）は首尾よく非増加関数として生成されると予想する。次に，Ｅ図を検査する。Ｅ図を見ると●１から●３は右下がりに並んでいるが，●４が●１より高い位置にあるので●の並びがＵ字型であることを確認する。Ｅ図で，普通に回帰をしてｇ_１（ｕ）を生成すると，良好にフィットすればｇ_１（ｕ）はＵ字型になるから，ｇ_１（ｕ）が非増加関数として生成されないだろうと予想する。

【0152】

以上のＥ図とＦ図の検査から，このままではｇ_１（ｕ）の不適切が原因で，生成される効用関数も（図２）のＢ図で見たようなような不正な関数となることが予想される。よって，（表４）に示されたＧ_１とＧ_２の値では，適正な効用関数は，簡単には生成できないと判断し，Ｇ_１とＧ_２の値の不都合への対応処理へとジャンプする。

【0153】

不都合なＧへの対応として，請求項２を実施する。ユーザーは，（表２）を作るときに，最適点●１から●４のｘ_１座標はｘ_１＝５で統一しておいた。また，ユーザーは，軸となる関数ｆ_２（ｘ_２）としてｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２というｆ_２（ｘ_２）／ｆ_２′（ｘ_２）＝αｘ_２ ^β（α，β＞０）となる関数を選択しておいた。請求項２の基準で条件分岐をした場合，Ｅ図とＦ図の●の並びが両図とも右下がりになるように，Ｆ_ｉやｆ_ｉの関数形を無数にテストするような処理は効果がないことが分かっている。よって，Ｅ図とＦ図の●の並びは現状のまま，回帰に制約を付けるという妥協を選択する。言い換えると，Ｅ図とＦ図の●の並びを変更するのではなく，回帰式に制約を付けることで，フィットを犠牲にしても，とにかく減少関数としてｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）を生成する方向で回帰をする処理にジャンプする。妥協をすると，（図３）のＥ図とＦ図の●は現状のまま，一切変更せずに回帰をどうするかを検討する処理となる。Ｅ図とＦ図の●は現状のままであるから，Ｅ図の回帰と，Ｆ図の回帰は独立した処理となる。

【0154】

まずＦ図を処理する。Ｆ図は適正であることから，回帰式としてＧ_２＝α_２１ｕ^－α２２を制約なしで採用する。これを回帰式として，（表４）のＧ_２の行とｕの行のベクトルを数学ソフトの回帰コマンドに入力すると，Ｇ_２＝０．９９２ｕ^{－０．９９６}が出力される。描画コマンドで（図３）のＦ図に回帰線を描画すると点線のようになり，●と点線は良好にフィットしていることが確認できる。

【0155】

Ｅ図は不適切である。よって，ユーザーは，特に，Ｕ字型になりやすい多項式Ｇ_１＝α_１１ｕ^２＋α_１２ｕ等は選択肢から外す。妥協をすると決めた以上は，複雑な式は避けて，Ｇ_１＝α_１１－α_１２ｕのような線形回帰式や，Ｇ_１＝α_１１ｕ^－α１２のような指数の式を候補とする。ここでは後者のＧ_１＝α_１１ｕ^－α１２を採用し，更に，制約α_１２≧０を付加することで確実に減少関数とすることにする。

【0156】

（表３）のＧ_１の行とｕの行のベクトルを，数学ソフトの回帰コマンドに制約α_１２≧０のオプションを付加して入力すると，Ｇ_１＝０．０４６ｕ^{－０．００４}が出力される。この回帰式のグラフをＥ図に描画して，指数が－０．００４という０に近い値なので，ほぼ水平だが，かすかに右下がりの回帰線が描かれていることを確認する。Ｆ図の●と回帰線は，大きな乖離がありフィットが悪いが，右下がりの曲線であるという絶対的な条件を満たすので，これを受け入れて不都合なＧの処理を完了する。推計したα_１１，α_１２，α_２１，α_２２の値から（表５）のような回帰パラメータの表を作成する。

【表5】

これが（数４）で使用するｇ_１（ｕ），ｇ_２（ｕ）であり，（表４）より，
［数２９］ｇ_１（ｕ）＝０．０４６ｕ^{－０．００４}
［数３０］ｇ_２（ｕ）＝０．９９２ｕ^{－０．９９６}
という関数となる。

【0157】

以上で，請求項３の［３］，請求項２の実施が完了し，ｇ_１（ｕ）とｇ_２（ｕ）が生成された。

【0158】

（表２）で作成した（数２１），（数２２）と（表５）で作成した（数２９），（数３０）を本発明の眼目である効用関数（数４）に代入して，
［数３１］１００＝（０．０４６ｕ^{－０．００４}）（１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２）＋（０．９９２ｕ^{－０．９９６}）ｘ_２
という式を作る。これが（表１）の等高線データにフィットする完成された効用関数の式である。（数３１）の左辺は，１でなく１００としてあるが，この１００という数値は，自分で決めるのではなく，（０１４４）においてＧ_１，Ｇ_２の計算で使用した１００と値を揃えなければならない。

【実施例0159】

以下では，請求項１の実施例を（数３１）を使って示す。（数３１）は請求項１の（数３５）である。

【0160】

（表１）の「等高線番号の１番」の１つ目の座標をｘ_１＝１．０，ｘ_２＝７．８を（数３１）に代入すると，「１００＝（０．０４６ｕ^{－０．００４}）（１．７２＋１．７１―０．０４）＋（０．９９２ｕ^{－０．９９６}）×７．８」となる。これを数学ソフトにｕの初期値を与えて，数値的に解くと，ｕ＝８．８１３をえる。同様に（表１）の２４個のｘ_１，ｘ_２からｕの値を算出して，表にすることで，（表６）が完成する。（表６）は（表１）の２４個の座標上のｕの値を示す表である。

【表6】

【0161】

そして，（表６）の「等高線データ１番」の行にある６個のｕの値をみると，概ね８．４～８．８位の値をとっており，ｕの値が等しい事が確認できることから，等高線になっていることが確認できる。更に，そして，この８．４～８．８という値は，（表２）のβ_０の列にある８．８０や，（表４）のｕの行の８．８と，も近い値である。同様に，「等高線データ２番」～「等高線データ４番」も（表２）のβ０や（表４）のｕの行の値と近い値であることが確認できよう。これは，効用関数のフィットが良いことを示す。ユーザーは，このフィットのよい効用関数を使って，各種のｘ_１とｘ_２の値を与え，ｕを計算して，ｘ_１とｘ_２の良し悪しを判断する。

【0162】

次に，請求項１にある，「効用水準ｕの値を決めた上で，その効用を実現するｘ_１，…，ｘ_ｎの値を下記の効用関数（数３４）の数値解をもちいて，生成する，」を実施して，等高線のグラフを描画してみる。

【0163】

（表４）から最適点●１のｕ＝８．８を読取り，（数３１）のｕに代入すると，
［数３２］１００＝０．０４６（１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２）＋０．１１４ｘ_２
となる。（数３２）を数学ソフトを使ってｘ_１，ｘ_２平面に描画に入力すると，（図３）のＤ図の下から１番目の点線が描画される。同様の処理を（表４）の最適点●２から●４についても行うことで，（図３）のＤ図の４本の点線が完成する。このＤ図の４本の点線が，効用関数（数３１）の等高線グラフである。次に，Ｂ図に描画してある元の等高線グラフをＤ図に実線で重ねるように描画する。最後に，ユーザーはＤ図の点線と実線を目で確認して，点線と実線の対応を検査する。目で見ると点線と実線は，しっかり重なっているので，フィットは良好であり実施例１で生成した関数は合格であることが再度，目で確認できる。

【0164】

（図３）のＤ図にあるような，正確で精度の高い等高線のグラフが，数学ソフトでは簡単に，かつ，正確に描くことができるのは，発明の長所である。一般に，非線形関数の等高線グラフを正確に数値計算をして描くことは必ずしも簡単ではない。しかし，本発明では，効用関数が足算構造であり，本例では，軸となる関数ｆ_２（ｘ_２）にｆ_２（ｘ_２）＝ｘ_２という簡単な式を使ってあるので，（数３２）はｘ_２については簡単に解けて，「ｘ_２＝｛１００－０．０４６（１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２）｝／０．１１４）となり，数学ソフトでは，代入だけで等高線の座標が計算でき，非線形方程式の数値解を計算する必要がない。このため正確な等高線グラフが描ける場合が多い。

【0165】

例えば，経済学の予算制約線と等高線を重ねて描画をすると，本当に最適点で２本の線がピッタリと接する図が出力でき，図を拡大しても，２本の線がピッタリと接する図が表示され続ける。このため，大衆向けの説得力がアップする。また，誤差が小さいと図を描いて視覚的デバッグができたり，上乗せの土台になれる等のメリットが生じる。

【0166】

次に，請求項１の（数３５）から請求項１の（数３４）へと変換できることを示す。

【0167】

（数３１）の両辺をｕ^{０．００４}／１００倍すると，「ｕ^{０．００４}＝（１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２）＋ｕ^{－０．９９４}ｘ_２」となり，Ｕ≡ｕ^{０．００４}とおけば，
［数３３］Ｕ＝（１．７２ｘ_１ ^－１＋１．７１ｘ_１―０．０４ｘ_１ ^２）＋Ｕ^{－０．９９}ｘ_２
が作れ，請求項１の（数３５）のような左辺にＵがある形の効用関数へと変換できる。

【0168】

また，このＵやｕの値が観察データとは異なるときには，関数Ｈ（Ｕ）なりＨ（ｕ）を回帰等により生成して変換して観察データに合わせればよい。これは単回帰であるから簡単である。