特開 2024-84444 情報処理装置、情報処理方法およびプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024084444

(43)【公開日】2024-06-25

(54)【発明の名称】情報処理装置、情報処理方法およびプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/12 20060101AFI20240618BHJP

【ＦＩ】

G06F17/12

【審査請求】未請求

【請求項の数】12

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2022198722

(22)【出願日】2022-12-13

(71)【出願人】

【識別番号】000003078

【氏名又は名称】株式会社東芝

(71)【出願人】

【識別番号】598076591

【氏名又は名称】東芝インフラシステムズ株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】110002147

【氏名又は名称】弁理士法人酒井国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】福島 亜梨花

(72)【発明者】

【氏名】吉田 琢史

(72)【発明者】

【氏名】近藤 浩一

(72)【発明者】

【氏名】今原 修一郎

【テーマコード（参考）】

5B056

【Ｆターム（参考）】

5B056BB02

(57)【要約】

【課題】連立方程式に含まれる複数の変数ごとに解に関する情報を得る。
【解決手段】情報処理装置は、処理部を備える。処理部は、ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与し、複数の誤差項それぞれに対する優先度の１つ以上のパターンごとに、複数の方程式を制約として、優先度と誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、変数それぞれの最適解を算出し、ｎ個の変数それぞれに対して、パターンに対して算出された最適解に基づいて、変数の解に関する情報を示す解情報を生成する。
【選択図】図１

【特許請求の範囲】

【請求項1】

ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与し、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の１つ以上のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出し、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成する、
処理部、
を備える情報処理装置。

【請求項2】

前記処理部は、
複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の変動がある場合に解が存在しないことを示し、前記変動がない場合に解が存在することを示す判定情報をさらに含む前記解情報を生成する、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項3】

前記処理部は、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記最適解の矛盾度をさらに含む前記解情報を生成する、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項4】

前記処理部は、複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
前記矛盾度は、複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の変動の大きさである、
請求項３に記載の情報処理装置。

【請求項5】

前記処理部は、
複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の代表値である前記解情報を生成する、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項6】

前記代表値は、複数の前記最適解の平均値、中央値、最頻値、または、四分位数である、
請求項５に記載の情報処理装置。

【請求項7】

前記評価関数は、前記変数のばらつきを最小化するための追加項を含む、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項8】

前記追加項は、前記変数のＬ２ノルムまたはＬ１ノルムである、
請求項７に記載の情報処理装置。

【請求項9】

前記処理部は、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる複数の前記パターンごとに、前記変数それぞれの最適解を算出する、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項10】

前記処理部は、
複数の前記方程式それぞれに対して複数の前記誤差項のいずれかを付与する付与部と、
前記最適解を算出する算出部と、
前記解情報を生成する生成部と、
を含む、
請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項11】

情報処理装置で実行される情報処理方法であって、
ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与するステップと、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる１つ以上の前記優先度のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出するステップと、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成するステップと、
を含む情報処理方法。

【請求項12】

コンピュータに、
ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与するステップと、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる１つ以上の前記優先度のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出するステップと、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成するステップと、
を実行させるためのプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明の実施形態は、情報処理装置、情報処理方法およびプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式としてモデル化して得られた実行可能解を利用する処理は、ロボット工学および画像処理などさまざまな分野で実行されている。しかしながら、連立方程式は、解が一意に求まる場合のみではなく、解が複数存在する場合（不定）、および、複数の方程式同士に矛盾が含まれるために解が存在しない場合（不能）がある。

【0003】

連立方程式が実行可能解を持つことを保証するために連立代数方程式の係数に対する許容誤差限界を評価する技術が提案されている。しかしこのような技術は、例えば変数ごとの解に関する情報を得ることができない。また、評価できる変数の個数が制限される場合がある。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0004】

【特許文献1】特開２０１１－１９２１９９号公報

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0005】

本発明は、連立方程式に含まれる複数の変数ごとに解に関する情報を得ることができる情報処理装置、情報処理方法およびプログラムを提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0006】

実施形態の情報処理装置は、処理部を備える。処理部は、ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与し、複数の誤差項それぞれに対する優先度の１つ以上のパターンごとに、複数の方程式を制約として、優先度と誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、変数それぞれの最適解を算出し、ｎ個の変数それぞれに対して、パターンに対して算出された最適解に基づいて、変数の解に関する情報を示す解情報を生成する。

【図面の簡単な説明】

【0007】

【図1】実施形態の情報処理装置のブロック図。

【図2】変数テーブルの一例を示す図。

【図3】変数テーブルの一例を示す図。

【図4】連立方程式リストの一例を示す図。

【図5】連立方程式リストの他の例を示す図。

【図6】誤差項テーブルの一例を示す図。

【図7】優先度テーブルの一例を示す図。

【図8】最適解テーブルの一例を示す図。

【図9】解情報テーブルの一例を示す図。

【図10】実施形態における解析処理のフローチャート。

【図11】誤差項付与処理のフローチャート。

【図12】最適化処理のフローチャート。

【図13】解情報出力処理のフローチャート。

【図14】最適解の例を示す図。

【図15】最適解の例を示す図。

【図16】解情報出力処理のすフローチャート。

【図17】解情報テーブルの一例を示す図。

【図18】解情報テーブルの一例を示す図。

【図19】方程式情報テーブルの例を示す図。

【図20】実施形態の情報処理装置のハードウェア構成図。

【発明を実施するための形態】

【0008】

以下に添付図面を参照して、この発明にかかる情報処理装置の好適な実施形態を詳細に説明する。

【0009】

実施形態の情報処理装置は、ｎ個の変数を用いた連立方程式を解析する装置である。例えば、本実施形態の情報処理装置は、以下の機能を有する。
（Ｆ１）連立方程式の各方程式に誤差項を付与する機能
（Ｆ２）誤差項の付与された連立方程式を制約として、制約ごとの予め設定された優先度（重み）を含む評価関数を用いて誤差項を最小化する数理最適化問題を解き、最適解を算出する機能
（Ｆ３）最適解を用いて、解に関する情報（解情報）を変数ごとに生成して出力する機能

【0010】

上記のような機能により、例えば、連立方程式の変数ごとに解情報を求めて出力することができる。解情報は、例えば以下の情報を含む。
・得られた解（一意の解、または、不定の場合の解の一例、不能の場合の近似解）を示す情報
・解が存在するか否かを示す情報（判定情報）

【0011】

上記の（Ｆ２）では、複数の優先度のパターン（以下、優先度パターン）に従い、優先度を変化させながら誤差項を最小化する数理最適化問題を繰り返し求め、最適解が算出されてもよい。複数の優先度パターンに対する最適解の変動を解析することにより、例えば、各変数が矛盾する度合いを示す情報（矛盾度）を提供することが可能となる。

【0012】

まず、本実施形態を適用し得る連立方程式の例について説明する。

【0013】

本実施形態は、ｎ個の変数ｘ＿１～ｘ＿ｎを用いたｍ個（ｍは２以上の整数）の方程式の連立ｋ次方程式（ｋは１以上の整数）であるｎ元連立ｋ次方程式を対象とすることができる。ｎ元連立ｋ次方程式の解は、１つに定まる（以下、一意とする）場合だけでなく、複数の解が存在する（以下、不定とする）場合、および、解が存在しない（以下、不能とする）場合がある。

【0014】

以下では説明を簡易にするために、ｘ＿１～ｘ＿３の３つの変数（ｎ＝３）を用いた具体例を説明する

【0015】

一意となる連立方程式の例を以下の（１）式に示す。（１）式の連立方程式の解はｘ＿１＝３、ｘ＿２＝４、ｘ＿３＝３の一通りのみである。
ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝ １０
ｘ＿１ ＝ ３
ｘ＿２ ＝ ４
・・・（１）

【0016】

不定となる連立方程式の例を（２）式に示す。この場合、ｘ＿１は１つの値（ｘ＿１＝３）となるが、ｘ＿２およびｘ＿３に関しては、ｘ＿２＋ｘ＿３＝７を満たす（ｘ＿２，ｘ＿３）＝（１，６）および（－１，８）などように、複数の値が解となりうる。
ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝ １０
ｘ＿１ ＝ ３
・・・（２）

【0017】

不能となる連立方程式の例を（３）式に示す。この場合、連立方程式の第１式「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１０」は第２式～第４式までの加算である「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１２」と矛盾する。このため、ｘ＿１～ｘ＿３の変数の間に矛盾が生じており、この連立方程式を満たす解は存在しない。
ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝ １０
ｘ＿１ ＝ ３
ｘ＿２ ＝ ４
ｘ＿３ ＝ ５
・・・（３）

【0018】

連立方程式が一意であるか、不定であるか、または、不能であるかは、一般的には係数行列または拡大係数行列のランクと変数数との関係で判断できる。しかし、ランクを用いる方法は、連立方程式を単位として一意、不定および不能を判断できるが、変数ごとの解情報、例えば、不定の場合の解の一例などを得ることはできない。その他、不定および不能の場合に解の情報を得るための手段として、一般化逆行列を用いる方法が考えられる。この方法では、不能の場合は各変数の近似解を得ることができるが、例えば不能の要因となる矛盾に関する情報は提供できない。また、これらの方法はｋ＝１に相当する連立一次方程式に限定されている。

【0019】

そこで本実施形態は、ｎ元連立ｋ次方程式に対し、不能である場合は方程式間の矛盾に要因があることに着目して、矛盾を変数として明示的に扱い（以下、矛盾を示す変数を誤差項とする）、数理最適化により誤差項の値を探索する。これにより、本実施形態は、ｎ元連立ｋ次方程式において解が存在する（一意または不定）か、解が存在しない（不能）かを判定し、各変数についての解情報を提供する。また、本実施形態は、各変数および各方程式に関する矛盾を明示的に示唆することを可能とする。

【0020】

なお、本実施形態による解析の対象は、どのような連立方程式であってもよい。ロボット工学および画像処理で用いられる連立方程式のほか、例えば、以下のようなシステムで用いられる連立方程式を対象とすることができる。
・ビルシステムなどの建物内の空間に含まれる１個以上のエリアそれぞれの在人数を推定するシステム

【0021】

図１は、本実施形態の情報処理装置１００の構成の一例を示すブロック図である。図１に示すように、情報処理装置１００は、付与部１０１と、算出部１０２と、生成部１０３と、出力制御部１０４と、記憶部１２０と、を備えている。

【0022】

付与部１０１は、上記の（Ｆ１）の機能を実現する構成部である。例えば付与部１０１は、ｎ元連立ｋ次方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与する。

【0023】

算出部１０２は、上記の（Ｆ２）の機能を実現する構成部である。例えば算出部１０２は、複数の誤差項それぞれに対する優先度を定める１つ以上の優先度パターンごとに、連立方程式に含まれる複数の方程式を制約として、優先度と誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、変数それぞれの最適解を算出する。算出部１０２が数理最適化問題を解くために用いる手法（ソルバー）は、従来から用いられているどのような手法であってもよい。

【0024】

優先度パターンは１つであってもよいし、複数であってもよい。複数の優先度パターンは、例えば、複数の誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なるように定められる。複数の優先度パターンを用いれば、複数の優先度パターンに対して得られる複数の最適解の変動を解析し、各変数に関する矛盾度を示す情報を提供することができる。

【0025】

生成部１０３は、上記の（Ｆ３）の機能を実現する構成部である。例えば生成部１０３は、ｎ個の変数それぞれに対して、優先度パターンに対して算出された最適解に基づいて、変数の解情報を生成する。

【0026】

解情報は、例えば、以下の情報を含む。
（Ｉ１）一意の場合の解、不定の場合の解の例、または、不能の場合の近似解。これらの解または近似解は、例えば、複数の優先度パターンに対する複数の最適解の代表値である。代表値は、例えば、複数の最適解の平均値、中央値、最頻値、または、四分位数（第１四分位数、第３四分位数）である。
（Ｉ２）解が存在するか否かを示す判定情報。判定情報は、例えば、複数の優先度パターンに対する複数の最適解の変動がある場合に解が存在しないことを示し、変動がない場合に解が存在することを示す。
（Ｉ３）最適解の矛盾の度合いを示す矛盾度。矛盾度は、例えば、複数の優先度パターンに対する複数の最適解の変動の大きさを示す情報である。

【0027】

出力制御部１０４は、情報処理装置１００で処理される各種情報の出力を制御する。例えば出力制御部１０４は、生成部１０３により生成された解情報を、表示装置、および、外部の情報処理装置（外部装置）などに出力する。

【0028】

上記各部（付与部１０１、算出部１０２、生成部１０３、および、出力制御部１０４）の少なくとも一部は、１つの処理部により実現されてもよい。上記各部は、例えば、１または複数のプロセッサにより実現される。例えば上記各部は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）などのプロセッサにプログラムを実行させること、すなわちソフトウェアにより実現してもよい。上記各部は、専用のＩＣ（Integrated Circuit）などのプロセッサ、すなわちハードウェアにより実現してもよい。上記各部は、ソフトウェアおよびハードウェアを併用して実現してもよい。複数のプロセッサを用いる場合、各プロセッサは、各部のうち１つを実現してもよいし、各部のうち２つ以上を実現してもよい。

【0029】

記憶部１２０は、情報処理装置１００で処理される各種情報を記憶する。記憶部１２０は、例えば、変数テーブル１２１、連立方程式リスト１２２、誤差項テーブル１２３、優先度テーブル１２４、最適解テーブル１２５、および、解情報テーブル１２６を記憶する。

【0030】

なお、情報処理装置１００は、変数テーブル１２１と連立方程式リスト１２２とを入力し、上記の（Ｆ１）、（Ｆ２）、（Ｆ３）の各機能を実行することにより、各変数の解情報を記述した解情報テーブル１２６を出力する。各機能の実行時には、誤差項テーブル１２３、優先度テーブル１２４、および、最適解テーブル１２５が使用される。

【0031】

以下、記憶部１２０に記憶される各情報のデータ構造の例について図２～図９を用いて説明する。なお、図２～図９に示す各情報のデータ構造は一例であり、これらに限られるものではない。

【0032】

変数テーブル１２１は、ｎ個の変数の定義を記述したテーブルである。図２は、変数テーブル１２１の一例を示す図である。変数テーブル１２１は、列名に変数名を持つ１列ｎ行のテーブルで、連立方程式で利用されている変数のシンボルを定義するテーブルである。

【0033】

連立方程式の解は数理最適化を用いて求められる。数理最適化を用いるときの各変数の解空間を制御するため、変数テーブル１２１は、各変数の下界および上界の少なくとも一方を含んでもよい。図３は、このような場合の変数テーブル１２１の一例を示す図である。図３に示すように、この場合の変数テーブル１２１は、下界および上界の列名を持つ２列が追加される。下界および上界には、どのような値が設定されてもよい。一部の変数のみに下界または上界を設定する場合は、該当する変数の該当列（下界または上界）に値が記述され、その他の要素にはＮＡが記述される。

【0034】

連立方程式リスト１２２は、解析対象となる連立方程式を記述した情報である。図４は、連立方程式リスト１２２の一例を示す図である。図４に示すように、連立方程式リスト１２２は、解析対象となるｍ個の連立方程式の各方程式を一行ずつ記載したｍ行のリストである。各方程式の左辺と右辺は「＝」でつながれる。左辺および右辺に変数テーブルで定義された変数と値が記述される。図４は、上記（３）式に対応する連立方程式リスト１２２の例である。

【0035】

なお、（３）式の例では変数の次数がｋ＝１であり、かつ、説明のために変数を左辺に記述し、値を右辺に記述しているが、このような形式に限られるものではない。図５は、連立方程式リスト１２２の他の例を示す図である。図５に示すように、次数ｋはｋ＝１以外であってもよいし、左辺と右辺とに変数および値が分かれているような方程式であってもよい。

【0036】

誤差項テーブル１２３は、付与部１０１によって付与された誤差項を記述したテーブルである。図６は、誤差項テーブル１２３の一例を示す図である。図６に示すように、誤差項テーブル１２３は、列名に誤差項名を持つ１列ｍ行のテーブルで、誤差項のシンボルを定義するテーブルである。図６は、例えば、（３）式のように４個（ｍ＝４）の連立方程式の各方程式に対して付与される４個の誤差項ｅｐｓ＿１～ｅｐｓ＿４を含む誤差項テーブルの例である。

【0037】

優先度テーブル１２４は、算出部１０２が誤差項の値を探索する際に利用する優先度を記述するテーブルである。図７は、優先度テーブル１２４の一例を示す図である。図７に示すように、優先度テーブル１２４は、列名に優先度名｛ｗ＿１，…，ｗ＿ｊ｝（ｊ＝１，…，Ｊ；Ｊ≧ｍ）を持ち、各列の要素として優先度ｗ＿ｉの値が予め設定される。Ｊは、２以上の整数であり、連立方程式の各誤差項に対応できるようにｍ以上の値が設定される。

【0038】

優先度は、連立方程式内のどの方程式を遵守するか、すなわち、誤差項を０にするかを調整する情報に相当する。優先度は、例えば、乱数より生成される。

【0039】

優先度テーブル１２４は、複数の優先度｛ｗ＿１，…，ｗ＿ｊ｝の値が相互に異なる優先度パターンを記述するテーブルと解釈することができる。図７では、２つの優先度パターンを含む優先度テーブル１２４の例が示されている。複数の優先度パターンを記述する場合、優先度テーブル１２４は、優先度パターンを識別するための識別情報（パターンＩＤ）を含んでもよい。

【0040】

最適解テーブル１２５は、算出部１０２により算出された最適解を記述するテーブルである。図８は、最適解テーブル１２５の一例を示す図である。図８に示すように、最適解テーブル１２５は、列名に優先度ｗ＿１～ｗ＿ｍ、誤差項ｅｐｓ＿１～ｅｐｓ＿ｍ、変数ｘ＿１～ｘ＿ｎを持ち（図８ではｍ＝４、ｎ＝３）、優先度パターンごとに、誤差項および変数それぞれの最適解の値を１つの行に記述するテーブルである。

【0041】

解情報テーブル１２６は、生成部１０３により生成された解情報を記述するテーブルである。図９は、解情報テーブル１２６の一例を示す図である。図９に示すように、解情報テーブル１２６は、列名に変数名と解とを持つ。解の列には、一意の場合の解、不定の場合の解の例、または、不能の場合の近似解が記述される。

【0042】

記憶部１２０は、フラッシュメモリ、メモリカード、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、および、光ディスクなどの一般的に利用されているあらゆる記憶媒体により構成することができる。

【0043】

記憶部１２０は、物理的に異なる記憶媒体としてもよいし、物理的に同一の記憶媒体の異なる記憶領域として実現してもよい。例えば、物理的に異なる複数の記憶媒体に、変数テーブル１２１、連立方程式リスト１２２、誤差項テーブル１２３、優先度テーブル１２４、最適解テーブル１２５、および、解情報テーブル１２６がそれぞれ分散して記憶されてもよい。

【0044】

次に、本実施形態の情報処理装置１００による連立方程式の解析処理について説明する。図１０は、本実施形態における解析処理の一例を示すフローチャートである。

【0045】

付与部１０１は、誤差項付与処理を実行する（ステップＳ１０１）。誤差項付与処理では、付与部１０１は、変数テーブル１２１および連立方程式リスト１２２を記憶部１２０から読み出し、連立方程式リスト１２２に含まれる連立方程式の各方程式に誤差項を付与する。

【0046】

算出部１０２は、最適化処理を実行する（ステップＳ１０２）。最適化処理では、算出部１０２は、連立方程式の各方程式を制約として、誤差項の絶対値を最小化するように、すなわち、誤差項の絶対値が０に近づくように設計された数理最適化問題をソルバーで解き、変数および誤差項それぞれの最適解を算出する。

【0047】

生成部１０３は、解情報出力処理を実行する（ステップＳ１０３）。解情報出力処理では、生成部１０３は、算出部１０２から出力される最適解を利用して各変数の解情報を生成して出力する。

【0048】

以下、図１０の各ステップの詳細について説明する。図１１は、誤差項付与処理の一例を示すフローチャートである。

【0049】

付与部１０１は、変数テーブル１２１を読み出す（ステップＳ２０１）。付与部１０１は、連立方程式リスト１２２を読み出す（ステップＳ２０２）。付与部１０１は、連立方程式リスト１２２に含まれる複数の方程式のうち、未処理の方程式を取得する（ステップＳ２０３）。

【0050】

付与部１０１は、取得した方程式に誤差項を付与する（ステップＳ２０４）。付与部１０１は連立方程式リスト１２２に含まれるすべての方程式を処理したか否かを判定する（ステップＳ２０５）。すべての方程式を処理していない場合（ステップＳ２０５：Ｎｏ）、付与部１０１は、ステップＳ２０４に戻り、次の未処理の方程式を取得して処理を繰り返す。

【0051】

すべての方程式を処理した場合（ステップＳ２０５：Ｙｅｓ）、付与部１０１は、誤差項をそれぞれ付与した方程式を出力し（ステップＳ２０６）、誤差項付与処理を終了する。

【0052】

誤差項付与処理により、連立方程式リスト１２２に記述されたｍ個の各方程式にｅｐｓ＿１～ｅｐｓ＿ｍまでのｍ個の誤差項が付与される。例えば、（３）式の連立方程式に対して誤差項が付与された各方程式は（４）式のようになる。
ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝ １０ ＋ｅｐｓ＿１
ｘ＿１ ＝ ３ ＋ｅｐｓ＿２
ｘ＿２ ＝ ４ ＋ｅｐｓ＿３
ｘ＿３ ＝ ５ ＋ｅｐｓ＿４
・・・（４）

【0053】

なお、（４）式では誤差項が左辺に付与されているが、右辺に付与されてもよい。また、付与部１０１は、誤差項テーブル１２３を作成し、誤差項テーブル１２３と、読み出した変数テーブル１２１と、誤差項を付与した連立方程式に含まれるすべての方程式と、を算出部１０２へ出力する。

【0054】

次に、最適化処理について説明する。図１２は、最適化処理の一例を示すフローチャートである。

【0055】

算出部１０２は、記憶部１２０から優先度テーブル１２４を読み出すとともに、付与部１０１から出力された変数テーブル１２１と、誤差項が付与された連立方程式と、誤差項テーブル１２３と、を取得する（ステップＳ３０１）。

【0056】

算出部１０２は、優先度テーブル１２４に含まれる優先度パターンのうち、未処理の優先度パターンを取得する（ステップＳ３０２）。算出部１０２は、連立方程式に含まれる各方程式を、数理最適化問題の制約として設定する（ステップＳ３０３）。算出部１０２は、取得した優先度パターンに含まれる各優先度に基づく評価関数を設定する（ステップＳ３０４）。

【0057】

算出部１０２は、例えば、誤差項を最小化する以下の（５）式のような評価関数を設定する。優先度ｗ＿ｉ（ｉ＝１，．．．，ｍ；ｗ＿ｉ＞＝０）は、各誤差項に付与する重みに相当する。

【数1】

【0058】

算出部１０２は、評価関数を最適化（例えば最小化）するように、複数の誤差項それぞれ、および、複数の変数それぞれの最適解を算出する（ステップＳ３０５）。この処理は、優先度を用いてどの方程式の制約を遵守するか、すなわち、誤差項を０にするかを調整することに相当する。

【0059】

算出部１０２は、優先度テーブル１２４に含まれるすべての優先度パターンを処理したか否かを判定する（ステップＳ３０６）。すべての優先度パターンを処理していない場合（ステップＳ３０６：Ｎｏ）、算出部１０２は、ステップＳ３０２に戻り、次の未処理の優先度パターンを取得して処理を繰り返す。

【0060】

すべての優先度パターンを処理した場合（ステップＳ３０６：Ｙｅｓ）、算出部１０２は、算出した最適解を記述した最適解テーブル１２５を生成して出力し（ステップＳ３０７）、最適化処理を終了する。最適解テーブル１２５は、例えば記憶部１２０に記憶される。なお、図８は、（４）式の連立方程式に対して生成される最適解テーブル１２５の一例を示す。

【0061】

解析対象の連立方程式が一意または不定の場合は、各変数の解が存在する、すなわち矛盾がなく各誤差項を０にする変数の解が存在する。従って、（５）式の評価関数を用いた数理最適化の誤差項ｅｐｓ＿ｉの最適解はすべて０になる。

【0062】

一方、連立方程式が不能の場合は、解が存在しない、すなわち方程式間に矛盾があるため、誤差項の最適解のいずれかが０以外の値となる。そのため、評価関数は、誤差項を０に近づけるような評価関数であればよく、（５）式のような二乗誤差を用いた評価関数に限られない。例えば、算出部１０２は、以下の（６）式のような絶対値を用いた評価関数を用いてもよい。

【数2】

【0063】

優先度テーブル１２４に複数の優先度パターンが用意されている場合は、優先度パターンに従って優先度を設定した評価関数を用いることにより、優先する方程式（制約を遵守する方程式）を変化させながら誤差項最小化問題を解き、連立方程式内の矛盾を探索することができる。

【0064】

優先度の作用を（４）式の例を用いて説明する。（４）式は（３）式に誤差項を付与した方程式である。（３）式は、１行目の方程式（以下、第１方程式）の「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１０」と、２～４行目の方程式（以下、第２～第４方程式）の加算である「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１２」の間に矛盾が生じるために解が存在しない例である。

【0065】

例えば、第１方程式の誤差項ｅｐｓ＿１に対応する優先度ｗ＿１を第２～第４方程式より相対的に大きく、すなわち、第１方程式の「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１０」を遵守（優先）するように設定したとする。なお、説明を簡易化するために第２～第４方程式の優先度は同値に設定する。この場合、数理最適化問題の最適解は例えば以下の（７）式となる。（７）式より第１方程式の誤差項ｅｐｓ＿１が０となり、第１方程式「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１０」が第２～第４方程式よりも遵守される。
ｅｐｓ＿１ ＝ ０
ｅｐｓ＿２ ＝ －０．６６…
ｅｐｓ＿３ ＝ －０．６６…
ｅｐｓ＿４ ＝ －０．６６…
ｘ＿１ ＝ ２．３３…
ｘ＿２ ＝ ３．３３…
ｘ＿３ ＝ ４．３３…
・・・（７）

【0066】

一方、第２～第４方程式の誤差項ｅｐｓ＿２～ｅｐｓ＿４の優先度ｗ＿２～ｗ＿４を第１方程式の優先度より相対的に大きく、すなわち、第２～第４方程式の「ｘ＿１＋ｘ＿２＋ｘ＿３＝１２」を遵守するように設定したとする。なお、説明を簡易化するために第２～第４方程式の優先度は同値に設定する。この場合、数理最適化問題の最適解は例えば以下の（８）式となる。（８）式より第２～第４方程式の誤差項ｅｐｓ＿２、ｅｐｓ＿３、ｅｐｓ＿４が０となり、第２～第４方程式の「ｘ＿１＝３，ｘ＿２＝４，ｘ＿３＝５」が第１方程式よりも遵守される。
ｅｐｓ＿１ ＝ ２
ｅｐｓ＿２ ＝ ０
ｅｐｓ＿３ ＝ ０
ｅｐｓ＿４ ＝ ０
ｘ＿１ ＝ ３
ｘ＿２ ＝ ４
ｘ＿３ ＝ ５
・・・（８）

【0067】

算出部１０２は、例えば優先度パターンの個数分、優先度ｗ＿ｉの値を変化させることにより、連立方程式内で遵守する方程式をさまざまに変化させることができる。生成部１０３は、優先度パターンに応じて変化させた優先度を用いて得られた複数の最適解により、方程式間の矛盾度を探索することができる。

【0068】

次に、解情報出力処理について説明する。図１３は、解情報出力処理の一例を示すフローチャートである。

【0069】

生成部１０３は、算出部１０２により出力され記憶された最適解テーブル１２５を記憶部１２０から読み出す（ステップＳ４０１）。生成部１０３は、最適解テーブル１２５に含まれる複数の変数のうち未処理の変数を取得する（ステップＳ４０２）。生成部１０３は、取得した変数の最適解を用いて解情報を算出する（ステップＳ４０３）。生成部１０３は、最適解テーブル１２５に含まれるすべての変数を処理したか否かを判定する（ステップＳ４０４）。

【0070】

すべての変数を処理していない場合（ステップＳ４０４：Ｎｏ）、生成部１０３は、ステップＳ４０２に戻り、次の未処理の変数を取得して処理を繰り返す。すべての変数を処理した場合（ステップＳ４０４：Ｙｅｓ）、生成部１０３は、各変数の解情報を含む解情報テーブル１２６を生成して出力する（ステップＳ４０５）。解情報テーブル１２６は、例えば記憶部１２０に記憶される。

【0071】

以下、解情報の具体例について説明する。解情報は、上記のように、（Ｉ１）、（Ｉ２）、（Ｉ３）の情報を含みうる。

【0072】

上記の図９の解情報テーブル１２６は、（Ｉ１）のように、一意の場合の解、不定の場合の解の例、または、不能の場合の近似解を含む解情報が記述される例である。解または近似解は、複数の最適解の代表値である。代表値は、例えば、複数の最適解の平均値、中央値、最頻値、または、四分位数（第１四分位数、第３四分位数）である。

【0073】

なお、連立方程式が一意または不定であるときは、優先度パターンがどのような場合であってもすべての誤差項が０になるため、各変数の最適解も一定値になる。従って、どのような代表値を選んでも、連立方程式に解が存在する場合（一意または不定の場合）は、代表値は同値となる。

【0074】

図１４は、連立方程式が一意または不定の場合の、複数の優先度パターンに対して算出される最適解の例を示す図である。図１４の横軸は、優先度パターンのパターンＩＤを示す。図１４は、２つの変数の最適解が、それぞれ３および４で一定であることを示す例である。図１４に示すように、連立方程式が一意または不定であるときは、各変数の最適解は同値となる。

【0075】

一方、連立方程式が不能の場合、優先度パターンによって各変数の最適解が変動する。図１５は、連立方程式が不能の場合の、優先度パターンに対して算出される最適解の例を示す図である。図１５に示すように、連立方程式が不能であるときは、各変数の最適解は優先度パターンに応じて変動する。

【0076】

なお、本実施形態では、各変数ごとに最適解を解析することができる。従って、例えば連立方程式を複数の連立方程式に分割した場合、分割した複数の連立方程式をそれぞれ独立に解析したときの各変数の最適解と、分割前の連立方程式を解析したときの各変数の最適解とは同じになる。

【0077】

次に、（Ｉ２）のような判定情報を含む解情報の例について説明する。連立方程式が一意または不定の場合は連立方程式を満たす解が存在するが、不能の場合は連立方程式を満たす解は存在せず、算出される最適解は近似解となる。また、不能の場合は、図１５に示すように最適解は優先度パターンに応じて変動する。従って、最適解が変動するか否かによって、連立方程式は不能であるか否か、言い換えると、連立方程式を満たす解が存在するか否かを判定することができる。

【0078】

例えば、生成部１０３は、各変数に解が存在するか否かを判定し、判定結果を示す判定情報を含む解情報を出力する。図１６は、判定情報を含む解情報を出力する場合の解情報出力処理の一例を示すフローチャートである。

【0079】

ステップＳ５０１、Ｓ５０２は、図１３のステップＳ４０１、Ｓ４０２と同じであるため説明を省略する。

【0080】

生成部１０３は、取得した変数の最適解の標準偏差を算出する（ステップＳ５０３）。標準偏差は、最適解が変動するか否かを判定するための情報の一例である。変動の幅を示す指標であれば他の情報が用いられてもよい。例えば、標準偏差の代わりに、分散、または、最大値と最小値との差の絶対値などが用いられてもよい。

【0081】

生成部１０３は、標準偏差が０であるか否かを判定する（ステップＳ５０４）。標準偏差が０である場合（ステップＳ５０４：Ｙｅｓ）、生成部１０３は、連立方程式を満たす解が存在すると判定する（ステップＳ５０５）。標準偏差が０でない場合（ステップＳ５０４：Ｎｏ）、生成部１０３は、連立方程式を満たす解が存在しないと判定する（ステップＳ５０６）。

【0082】

生成部１０３は、ステップＳ５０２で取得した変数の最適解を用いて解情報を算出する（ステップＳ５０７）。このとき、生成部１０３は、ステップＳ５０５またはステップＳ５０６の判定の結果を示す判定情報を含む解情報を算出する。

【0083】

ステップＳ５０８、Ｓ５０９は、図１３のステップＳ４０４、Ｓ４０５と同じであるため説明を省略する。

【0084】

図１７は、判定情報を含む解情報テーブル１２６の一例を示す図である。図１７に示すように、解情報テーブル１２６は、列名として、変数名および解の他に判定が追加される。判定の列には、解が存在するか（解あり）、解が存在しないか（解なし）のいずれかを示す判定情報が設定される。

【0085】

生成部１０３は、最適解テーブル１２５の各変数の最適解の変動を矛盾度として扱うことができる。上記のように、各変数の最適解の変動は、変動の幅を示す指標、例えば、標準偏差、分散、および、（最大値－最小値）の絶対値で示すことができる。生成部１０３は、このような変動の幅を示す指標を、矛盾度として扱うことができる。例えば、一意または不定の場合、各変数の最適解の変動はないため矛盾度＝０となり、不能の場合は各変数の最適解の変動があるため矛盾度は０以上の値となる。

【0086】

図１８は、矛盾度を含む解情報テーブル１２６の一例を示す図である。図１８に示すように、解情報テーブル１２６は、列名として、変数名および解の他に矛盾度が追加される。

【0087】

生成部１０３は、最適解テーブル１２５のｍ個の誤差項を用いて各方程式の矛盾度を示すことも可能である。この場合、生成部１０３は、誤差項の最適解の変動を矛盾度として利用する。誤差項の矛盾度は、変数の変動と同様に変動の幅を示す指標（例えば、標準偏差、分散、（最大値－最小値）の絶対値など）を用いることができる。一意または不定の場合、各誤差項の最適解の変動はないため方程式の矛盾度＝０となり、不能の場合は各誤差項の最適解の変動があるため方程式の矛盾度は０以上の値となる。

【0088】

各方程式の矛盾度を算出する場合、解情報テーブル１２６は、変数の解情報を示すテーブルの他に、方程式に関する情報を記述するテーブル（以下、方程式情報テーブルとする）をさらに含む。図１９は、方程式情報テーブルの例を示す図である。図１９に示すように、方程式情報テーブルは、列名に方程式の識別情報（順序を示す番号など）、および、矛盾度を持つ。矛盾度の列には、方程式の識別情報で識別される方程式の矛盾度の値が設定される。

【0089】

（変形例１）
一意の連立方程式については、どのようなソルバーにより数理最適化問題を解いたとしても、解は同じとなる。一方、不定の連立方程式については、誤差項ｅｐｓ＿ｉ＝０を満たす変数ｘ＿１～ｘ＿ｎの解は複数存在するため、数理最適化問題の解き方、すなわち、ソルバーによって解が異なる可能性がある。

【0090】

変形例１では、不定の連立方程式に対して各変数の最適解がソルバーによって異ならないように、各変数を用いた第２項（追加項）を評価関数に追加する。以下の（９）式は、第２項を追加した評価関数の例を示す。

【数3】

【0091】

（９）式の例では、第２項として各変数のＬ２ノルムが追加されている。（９）式中のλは予め設定しておく必要がある。λの値は、数理最適化問題を解く際に、評価関数の第１項目を優先して求解させるため、十分小さい値である必要がある。

【0092】

追加項は、各変数の最適解を調整する項であり、変数のばらつきを最小化するための項と解釈することができる。

【0093】

追加項は、変数のＬ２ノルムに限られず、各変数を用いて記述されたその他の関数であってもよい。例えば、追加項は、（１０）式のようなＬ１ノルム、または、（１１）式のように各変数のばらつきを抑えるような形の関数であってもよい。

【数4】

【数5】

【0094】

（変形例２）
変数ｘ＿１～ｘ＿ｎの解の優先度γ＿１～γ＿ｎを設定することによって、不定の場合に選択する解を制御することができる。（１２）式は、優先度γ＿ｊ（ｊは１以上ｎ以下の整数）を重みとして各変数に付与した評価関数の例を示す。

【数6】

【0095】

例えば、ある変数ｘ＿ｊに付与する優先度γ＿ｊを他の変数に対する優先度より相対的に大きく設定することによって、不定の場合の変数ｘ＿ｊの解空間の中でより小さい解が選択される。さらに、誤差項ｅｐｓ＿ｉに付与する優先度ｗ＿ｉと同様に、解の優先度γ＿ｊのさまざまなパターン（優先度パターン）を予め設定し、数理最適化問題を解くことによって、不定の場合の変数ｘ＿ｊの解空間を探索することができる。例えば、各変数の最適解の変動の幅を示す指標（例えば標準偏差）を、最適解の信頼度とすることができる。

【0096】

なお、（１２）式は、（９）式のＬ２ノルムに優先度γ＿ｊを追加した式であるが、（１２）式の代わりに、（１０）式または（１１）式に対して優先度γ＿ｊを追加した式を用いることもできる。

【0097】

以上説明したとおり、本実施形態および変形例によれば、連立方程式に含まれる複数の変数ごとに解に関する情報を得ることができる。

【0098】

次に、実施形態の情報処理装置のハードウェア構成について図２０を用いて説明する。図２０は、実施形態の情報処理装置のハードウェア構成例を示す説明図である。

【0099】

実施形態の情報処理装置は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）５１などの制御装置と、ＲＯＭ（Read Only Memory）５２やＲＡＭ（Random Access Memory）５３などの記憶装置と、ネットワークに接続して通信を行う通信Ｉ／Ｆ５４と、各部を接続するバス６１を備えている。

【0100】

実施形態の情報処理装置で実行されるプログラムは、ＲＯＭ５２等に予め組み込まれて提供される。

【0101】

実施形態の情報処理装置で実行されるプログラムは、インストール可能な形式または実行可能な形式のファイルでＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disk Read Only Memory）、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ－Ｒ（Compact Disk Recordable）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録してコンピュータプログラムプロダクトとして提供されるように構成してもよい。

【0102】

さらに、実施形態の情報処理装置で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成してもよい。また、実施形態の情報処理装置で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成してもよい。

【0103】

実施形態の情報処理装置で実行されるプログラムは、コンピュータを上述した情報処理装置の各部として機能させうる。このコンピュータは、ＣＰＵ５１がコンピュータ読取可能な記憶媒体からプログラムを主記憶装置上に読み出して実行することができる。

【0104】

実施形態の構成例について以下に記載する。
（構成例１）
ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与し、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の１つ以上のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出し、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成する、
処理部、
を備える情報処理装置。
（構成例２）
前記処理部は、
複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の変動がある場合に解が存在しないことを示し、前記変動がない場合に解が存在することを示す判定情報をさらに含む前記解情報を生成する、
構成例１に記載の情報処理装置。
（構成例３）
前記処理部は、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記最適解の矛盾度をさらに含む前記解情報を生成する、
構成例１または２に記載の情報処理装置。
（構成例４）
前記処理部は、複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
前記矛盾度は、複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の変動の大きさである、
構成例３に記載の情報処理装置。
（構成例５）
前記処理部は、
複数の前記パターンごとに前記最適解を算出し、
複数の前記パターンに対する複数の前記最適解の代表値である前記解情報を生成する、
構成例１から４のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（構成例６）
前記代表値は、複数の前記最適解の平均値、中央値、最頻値、または、四分位数である、
構成例５に記載の情報処理装置。
（構成例７）
前記評価関数は、前記変数のばらつきを最小化するための追加項を含む、
構成例１から６のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（構成例８）
前記追加項は、前記変数のＬ２ノルムまたはＬ１ノルムである、
構成例７に記載の情報処理装置。
（構成例９）
前記処理部は、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる複数の前記パターンごとに、前記変数それぞれの最適解を算出する、
構成例１から８のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（構成例１０）
前記処理部は、
複数の前記方程式それぞれに対して複数の前記誤差項のいずれかを付与する付与部と、
前記最適解を算出する算出部と、
前記解情報を生成する生成部と、
を含む、
構成例１から９のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（構成例１１）
情報処理装置で実行される情報処理方法であって、
ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与するステップと、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる１つ以上の前記優先度のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出するステップと、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成するステップと、
を含む情報処理方法。
（構成例１２）
コンピュータに、
ｎ個（ｎは２以上の整数）の変数を用いた連立方程式に含まれる複数の方程式それぞれに対して、複数の誤差項のいずれかを付与するステップと、
複数の前記誤差項それぞれに対する優先度の値が相互に異なる１つ以上の前記優先度のパターンごとに、複数の前記方程式を制約として、前記優先度と前記誤差項とに基づく評価関数を最適化するように、前記変数それぞれの最適解を算出するステップと、
ｎ個の前記変数それぞれに対して、前記パターンに対して算出された前記最適解に基づいて、前記変数の解に関する情報を示す解情報を生成するステップと、
を実行させるためのプログラム。

【0105】

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、特許請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。

【符号の説明】

【0106】

１００ 情報処理装置
１０１ 付与部
１０２ 算出部
１０３ 生成部
１０４ 出力制御部
１２０ 記憶部
１２１ 変数テーブル
１２２ 連立方程式リスト
１２３ 誤差項テーブル
１２４ 優先度テーブル
１２５ 最適解テーブル
１２６ 解情報テーブル

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15】

【図16】

【図17】

【図18】

【図19】

【図20】