特開 2024-92146 計算方法、計算システム、及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公開特許公報(A)

(11)【公開番号】P2024092146

(43)【公開日】2024-07-08

(54)【発明の名称】計算方法、計算システム、及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06N 99/00 20190101AFI20240701BHJP

【ＦＩ】

G06N99/00 180

【審査請求】未請求

【請求項の数】4

【出願形態】ＯＬ

(21)【出願番号】P 2022207874

(22)【出願日】2022-12-26

【新規性喪失の例外の表示】特許法第３０条第２項適用申請有り ｈｔｔｐｓ：／／ｊｐｓ２０２２ａ．ｇａｋｋａｉ－ｗｅｂ．ｎｅｔ／ｄａｔａ／ｐｄｆ／１２ｐＨ１１２．ｐｄｆ、令和４年９月１日 一般社団法人 日本物理学会 ２０２２年秋季大会 国立大学法人東京工業大学（東京都目黒区大岡山２－１２－１）、令和４年９月１２日（開催期間：令和４年９月１２日～令和４年９月１５日）

【国等の委託研究の成果に係る記載事項】（出願人による申告）令和元年度、国立研究開発法人科学技術振興機構、戦略的創造研究推進事業（ＣＲＥＳＴ）「地理空間情報を自在に操るイジング計算機の新展開」委託研究、産業技術力強化法第１７条の適用を受ける特許出願

(71)【出願人】

【識別番号】899000068

【氏名又は名称】学校法人早稲田大学

(74)【代理人】

【識別番号】110002675

【氏名又は名称】弁理士法人ドライト国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】戸川 望

(72)【発明者】

【氏名】白井 達彦

(57)【要約】

【課題】イジングマシンを用いて制約付き組合せ最適化問題を解く際に必要なスピン変数の個数を削減し、イジングマシンの性能を改善させる。
【解決手段】線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くために、古典コンピュータ２０は、複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、第１スピン以外を第２スピンとして設定し、線形の等式制約に基づいて第１スピンを第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられるイジングモデルのハミルトニアンを第２スピンの関数として定義し、イジングマシン３０は、ハミルトニアンに対する最適解を計算する。古典コンピュータ２０は、イジングマシン３０で計算された最適解から、第２スピンの一次式に基づいて第１スピンの値を計算することによって、イジングモデルの最適解を計算する。
【選択図】図８

【特許請求の範囲】

【請求項1】

線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算方法であって、
古典コンピュータにより、
前記複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、前記複数のスピン変数のうち前記第１スピン以外を第２スピンとして設定し、前記線形の等式制約に基づいて前記第１スピンを前記第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられる前記イジングモデルのハミルトニアンを前記第２スピンの関数として定義し、
イジングマシンにより、
前記ハミルトニアンに対する最適解を計算し、
前記古典コンピュータにより、
前記イジングマシンで計算された最適解から、前記一次式に基づいて前記第１スピンの値を計算することによって、前記イジングモデルの最適解を計算する、計算方法。

【請求項2】

前記一次式における一次の項の係数及び定数項は整数である、請求項１に記載の計算方法。

【請求項3】

線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算システムであって、
前記複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、前記複数のスピン変数のうち前記第１スピン以外を第２スピンとして設定し、前記線形の等式制約に基づいて前記第１スピンを前記第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられる前記イジングモデルのハミルトニアンを前記第２スピンの関数として定義する古典コンピュータと、
前記ハミルトニアンに対する最適解を計算するイジングマシンと、
を備え、
前記古典コンピュータは、前記イジングマシンで計算された最適解から、前記一次式に基づいて前記第１スピンの値を計算することによって、前記イジングモデルの最適解を計算する、計算システム。

【請求項4】

線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算方法をイジングマシンと併用して古典コンピュータに実行させるためのプログラムであって、
前記複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、前記複数のスピン変数のうち前記第１スピン以外を第２スピンとして設定し、前記線形の等式制約に基づいて前記第１スピンを前記第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられる前記イジングモデルのハミルトニアンを前記第２スピンの関数として定義し、
前記イジングマシンで計算された前記ハミルトニアンに対する最適解から、前記一次式に基づいて前記第１スピンの値を計算することによって、前記イジングモデルの最適解を計算するプロセスを実行させるためのプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、組合せ最適化問題を解くための計算方法、計算システム、及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

多数の組合せの中から最も良い組合せを選ぶ組合せ最適化問題をイジングモデル、又はイジングモデルと等価なquadratic unconstrained binary optimization（ＱＵＢＯ）モデルに変換し、イジングマシンを用いて求解する技術が知られている。組合せ最適化問題とは、与えられた制約のもとで目的関数を最小化又は最大化する変数の組合せを求める問題である。

【0003】

等式制約のある組合せ最適化問題をイジングモデルに変換する際、ハミルトニアンＨは、スピンと呼ばれる変数（以下、スピン変数）を用いて目的関数Ｈoと制約項Ｈcの和で与えられる。従来、制約項Ｈcはペナルティ法を用いて与えられてきた。制約を満たすときＨc＝０となり、制約を満たす解を実行可能解と呼ぶ。ペナルティ法は、非実行可能解（制約を満たさない解）のエネルギーを増加させる。そのため、スピン配置空間において、エネルギーの小さな実行可能解がエネルギーの大きな非実行可能解によって分離される（例えば、非特許文献１参照）。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0004】

【非特許文献1】Andrew Lucas, “Ising formulations of many NP problems”, Frontiers in Physics, Volume 2, Article 5, 2014.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0005】

しかしながら、ペナルティ法では、量子揺らぎや熱揺らぎが小さいとき、分離された実行可能解の間の遷移確率が小さくなるため、イジングマシンの性能が悪化するという課題がある。また、イジングマシンに入力可能なスピン変数の個数には上限があるため、イジングマシンを用いて大規模な組合せ最適化問題を解くことができないという課題がある。

【0006】

本発明は、上記課題に鑑みてなされたものであり、イジングマシンを用いて制約付き組合せ最適化問題を解く際に必要なスピン変数の個数を削減し、イジングマシンの性能を改善させる計算方法、計算システム、及びプログラムを提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0007】

本発明に係る計算方法は、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算方法であって、古典コンピュータにより、複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、複数のスピン変数のうち第１スピン以外を第２スピンとして設定し、線形の等式制約に基づいて第１スピンを第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられるイジングモデルのハミルトニアンを第２スピンの関数として定義し、イジングマシンにより、ハミルトニアンに対する最適解を計算する。古典コンピュータは、イジングマシンで計算された最適解から、一次式に基づいて第１スピンの値を計算することによって、イジングモデルの最適解を計算する。

【0008】

本発明に係る計算システムは、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算システムであって、複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、複数のスピン変数のうち第１スピン以外を第２スピンとして設定し、線形の等式制約に基づいて第１スピンを第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられるイジングモデルのハミルトニアンを第２スピンの関数として定義する古典コンピュータと、ハミルトニアンに対する最適解を計算するイジングマシンと、を備える。古典コンピュータは、イジングマシンで計算された最適解から、一次式に基づいて第１スピンの値を計算することによって、イジングモデルの最適解を計算する。

【0009】

本発明に係るプログラムは、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための計算方法をイジングマシンと併用して古典コンピュータに実行させるためのプログラムであって、複数のスピン変数のうち少なくとも１つを第１スピンとして選択し、複数のスピン変数のうち第１スピン以外を第２スピンとして設定し、線形の等式制約に基づいて第１スピンを第２スピンの一次式で表すことで、目的関数項と制約項との和で与えられるイジングモデルのハミルトニアンを第２スピンの関数として定義し、イジングマシンで計算されたハミルトニアンに対する最適解から、一次式に基づいて第１スピンの値を計算することによって、イジングモデルの最適解を計算するプロセスを実行させる。

【発明の効果】

【0010】

本発明によれば、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くために、古典コンピュータが、線形の等式制約に基づいてあるスピン変数を他のスピン変数の一次式で表すようにした。これにより、イジングマシンがイジングモデルの最適解を計算する際に必要なスピン変数を削減することができ、イジングマシンの性能を改善させることが可能となる。

【図面の簡単な説明】

【0011】

【図1】グラフ分割問題の一例を示す模式図である。

【図2】ペナルティ法を用いて図１のグラフ分割問題を解く場合の解のリストを表す模式図である。

【図3】本実施形態に係るダークスピン法を用いて図１のグラフ分割問題を解く場合の解のリストを表す模式図である。

【図4】二次割当問題の一例を示す模式図である。

【図5】図４の二次割当問題をスピン変数で表現した模式図である。

【図6】図５のスピン変数におけるダークスピンを説明するための模式図である。

【図7】ダークスピン法が適用できない例を説明するための模式図である。

【図8】本実施形態に係る計算システムの構成を示すブロック図である。

【図9】図８に示す古典コンピュータのハードウェア構成を示すブロック図である。

【発明を実施するための形態】

【0012】

以下、図面を参照して、本発明の実施形態を説明する。本実施形態では、線形の等式制約のある組合せ最適化問題をＱＵＢＯモデルに変換して解くものとする。ＱＵＢＯモデルとは、イジングモデルを０と１の二値をとるスピン変数の二次式のエネルギー関数で表したものである。

【0013】

まず、線形の等式制約のある組合せ最適化問題の例として、グラフ分割問題を挙げる。グラフ分割問題は、偶数個の頂点の集合Ｖと辺集合Ｅを有するグラフが与えられ、頂点集合Ｖを等しいサイズの２つの部分集合に分割するとき、２つの部分集合を結ぶ辺の数（カット数）が最小になるように分割するものである。グラフ分割問題はＮＰ困難な問題である。

【0014】

グラフの各頂点ｉ∈Ｖに対してスピン変数ｘ_ｉを定義し、頂点ｉが第１部分集合に属するときｘ_ｉ＝１、頂点ｉが第２部分集合に属するときｘ_ｉ＝０と設定する。

【0015】

図１に、グラフ分割問題の一例を示す。図１のグラフは、４つの頂点ｉ∈Ｖを有し、頂点１と頂点２、頂点２と頂点３、頂点３と頂点４が、それぞれ辺で結合されている。図１のグラフでは、頂点集合Ｖを頂点２と頂点３とを結ぶ辺で分割したとき（図１の点線）、カット数が最小となる。

【0016】

図１のグラフ分割問題を従来のペナルティ法によって解く際、４つのスピン変数ｘ_ｉのうちの２つがｘ_ｉ＝１という制約を与える。ハミルトニアンＨをＨ＝Ｈo＋ＡＨc（Ｈoは目的関数、Ｈcは制約項、Ａは制約係数）と表記すると、Ｈcは式（１）のように与えられ、カット数を表すＨoは式（２）のように与えられる。式（１）のＨcは、制約を満たすとき、最小値０をとる。

【数1】

【数2】

【0017】

式（１）及び式（２）に示すように、図１のグラフ分割問題をペナルティ法によって解くには、４つ（全て）のスピン変数ｘ_ｉが必要となる。よって、図２に示すように、全部で２^４＝１６通りのスピン変数の組合せが存在する。そのうち、制約を満たす実行可能解は６つ（グレー領域）であり、実行可能解のうちエネルギーが最小となる最適解は２つ（太枠）である。図２では、Ａ＝１０（すなわち、Ｈ＝Ｈo＋１０Ｈc）であるときのエネルギー値を示している。

【0018】

次に、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を本実施形態に係る計算方法（以下、ダークスピン法と呼ぶ。）を用いて解く手法について説明する。ダークスピン法は、変数消去法に基づいており、全てのスピン変数のうち少なくとも１つをダークスピン（第１スピン）として選択し、ダークスピン以外のスピン変数をブライトスピン（第２スピン）として設定し、線形の等式制約が与えるスピン変数間の関係式に基づいて、ダークスピンをブライトスピンの一次式で表す。一次独立な等式制約の数とダークスピン候補の数は等しく、１つの等式制約により、１つのダークスピンを消去することができる。よって、等式制約が増えると、ダークスピン候補の数も増える。ダークスピンは、全てのスピン変数の中から任意に選択することができる。

【0019】

ダークスピン法でのハミルトニアンをＨ_dark＝Ｈo′＋ＡＨc′と表記する。ここで、Ｈo′は目的関数、Ｈc′は制約項、Ａは制約係数である。

【0020】

図１のグラフ分割問題をダークスピン法で解く際、４つのスピン変数ｘ_ｉのうち任意の１つをダークスピンとして選択し、線形の等式制約により、このダークスピンを他の３つのスピン変数（ブライトスピン）の一次式で表す。例えば、ｘ_１をダークスピンとすると、４つのスピン変数ｘ_ｉのうちの２つがｘ_ｉ＝１という線形の等式制約により、ダークスピンは、ｘ_１＝２－ｘ_２－ｘ_３－ｘ_４と表される。

【0021】

ここで、ダークスピンｘ_１∈｛０、１｝であるため、ブライトスピンに対してｘ_２＋ｘ_３＋ｘ_４∈｛１、２｝という制約を課す。これにより、制約項Ｈc′は式（３）のように与えられる。式（３）のＨc′は、制約を満たすとき、最小値０をとる。

【数3】

【0022】

式（２）のＨoからダークスピンｘ_１を消去すると、目的関数Ｈo′は式（４）のように与えられる。

【数4】

【0023】

式（３）及び式（４）に示すように、ダークスピン法を用いると、図１のグラフ分割問題を３つのスピン変数ｘ_ｉ（ブライトスピン）で定式化することができる。よって、図３に示すように、全部で２^３＝８通りのブライトスピンの組合せが存在し、そのうち実行可能解は６つ（グレー領域）であり、実行可能解のうち最適解は２つ（太枠）である。図３では、Ａ＝１０（すなわち、Ｈ_dark＝Ｈo′＋１０Ｈc′）であるときのエネルギー値を示している。

【0024】

このように、ダークスピン法は、ペナルティ法に比べてスピン変数の個数を削減することができるため、非実行可能解の割合を減少させ、実行可能解の割合を増加させることができる。よって、イジングマシンは、効率的に最適解を探索することができ、性能を改善させることができる。

【0025】

次に、線形の等式制約のある組合せ最適化問題の別の例として、二次割当問題を挙げる。二次割当問題は、ｎ個の施設とｎ個の地区があり、施設間の輸送量、地区間の距離が与えられたとき、輸送量と距離との積の総和である総輸送コストを最小にするように、複数の施設を異なる地区に割り当てるものである。二次割当問題もＮＰ困難な問題である。

【0026】

図４に、二次割当問題の一例として、３つの施設（１、２、３）と３つの地区（ａ、ｂ、ｃ）を示している。図５は、図４の二次割当問題をスピン変数ｘ_ｉｋで表したものである。図５に示すように、二次割当問題のスピン変数は行列で表され、ｘ_ｉｋ＝１は、地区ｋに施設ｉが配置されていることを示し、ｘ_ｉｋ＝０は、地区ｋに施設ｉが配置されていないことを示す。以下では、３つの地区（ａ、ｂ、ｃ）も（１、２、３）と表記する。

【0027】

図４の二次割当問題を従来のペナルティ法によって解く際、ｉ行のスピン変数ｘ_ｉｋのうち１つのみがｘ_ｉｋ＝１という制約１と、ｋ列のスピン変数ｘ_ｉｋのうち１つのみがｘ_ｉｋ＝１という制約２を与える。制約１に対応する制約項Ｈc⁽¹⁾は式（５）で表され、制約２に対応する制約項Ｈc⁽²⁾は式（６）で表される。

【数5】

【数6】

【0028】

ハミルトニアンをＨ＝Ｈo＋Ａ（Ｈc⁽¹⁾＋Ｈc⁽²⁾）と表記すると（Ｈoは目的関数、Ａは制約係数）、総輸送コストＣを表す目的関数Ｈoは、式（７）のように全てのスピン変数の関数として表すことができる。

【数7】

【0029】

式（５）～式（７）に示すように、図４の二次割当問題をペナルティ法によって解くには、図５に示す全てのスピン変数が必要となる。

【0030】

一方、図４の二次割当問題をダークスピン法によって解く場合、上述の制約１及び制約２（６つの線形の等式制約）から、ダークスピンをブライトスピンの一次式で表すことができる。例えば、制約１ではｘ_ｉ１（ｉ＝１、２、３）をダークスピンとして選択し、制約２ではｘ_１ｋ（ｋ＝１、２、３）をダークスピンとして選択する。ここで、ｘ_１１（ｉ＝ｋ＝１）は制約１と制約２の双方に関わるため、実質的にダークスピンの数は５つとなる。この場合、図６の網掛け領域のスピン変数がダークスピンとなり、式（８）のように与えられる。

【数8】

【0031】

ここで、式（８）においてダークスピンｘ_ｉ１∈｛０、１｝であるため、ブライトスピンｘ_ｉ２、ｘ_ｉ３に対してｘ_ｉ２＋ｘ_ｉ３∈｛０、１｝という制約を課す。これにより、式（９）に示す制約項Ｈc′⁽¹⁾を与えることができる。式（９）のＨc′⁽¹⁾は、制約を満たすとき、最小値０をとる。

【数9】

【0032】

さらに、式（８）においてダークスピンｘ_１ｋ∈｛０、１｝であるため、ブライトスピンｘ_２ｋ、ｘ_３ｋに対してｘ_２ｋ＋ｘ_３ｋ∈｛０、１｝という制約を課す。これにより、式（１０）に示す制約項Ｈc′⁽²⁾を与えることができる。式（１０）のＨc′⁽²⁾は、制約を満たすとき、最小値０をとる。

【数10】

【0033】

さらに、式（８）においてダークスピンｘ_１１∈｛０、１｝であるため、ブライトスピンｘ_２２、ｘ_２３、ｘ_３２、ｘ_３３に対してｘ_２２＋ｘ_２３＋ｘ_３２＋ｘ_３３∈｛１、２｝という制約を課す。これにより、式（１１）に示す制約項Ｈc′⁽³⁾を与えることができる。式（１１）のＨc′⁽³⁾は、制約を満たすとき、最小値０をとる。

【数11】

【0034】

ハミルトニアンＨ_darkをＨ_dark＝Ｈo′＋Ａ（Ｈc′⁽¹⁾＋Ｈc′⁽²⁾＋Ｈc′⁽³⁾）と定義すると（Ｈo′は目的関数、Ａは制約係数）、総輸送コストＣ′を表すＨo′は、式（１２）のように４つのブライトスピンの関数として表すことができる。

【数12】

【0035】

式（９）～式（１２）に示すように、ダークスピン法では、図４の二次割当問題を４つのスピン変数ｘ_ｉｋ（ブライトスピン）で定式化することができる。ダークスピン法は、ペナルティ法に比べてスピン変数の個数を大幅に削減することができることから、非実行可能解の割合を減少させ、実行可能解の割合を増加させることができる。これにより、イジングマシンは効率的に最適解を探索することができ、性能を改善させることができる。

【0036】

本実施形態のダークスピン法は、グラフ分割問題、二次割当問題以外の組合せ最適化問題にも適用可能であり、以下のように一般化することができる。ｉ∈Ｖ（ｉ＝１、２、…）に対してスピン変数ｘ_ｉ∈｛０、１｝を定義し、線形の等式制約の集合をＭと表記する。式（１３）のように与えられるｋ番目の等式制約Ｃ_k({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ)＝０のもとで目的関数Ｑ({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ)を最小にする組合せ最適化問題を考える。

【数13】

【0037】

スピン変数の集合Ｖのうち、ダークスピンの集合をＶ_２、ブライトスピンの集合をＶ_１＝Ｖ－Ｖ_２と定義し、等式制約の集合Ｍのうち、スピン変数の削減とともに消去する等式制約の集合をＭ_２、Ｍ_２の補集合をＭ_１＝Ｍ－Ｍ_２と定義する。ｋ∈Ｍ_２に対する等式制約Ｃ_k({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ)＝０から、ダークスピンｘ_ｉ（ｉ∈Ｖ_２）は、式（１４）のようにブライトスピンの一次式で表される。

【数14】

【0038】

次に、目的関数と等式制約をブライトスピンの関数として再定義する。目的関数Ｑ({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ)と等式制約Ｃ_k({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ)においてダークスピンｘ_ｉを式（１４）のＲ_i({ｘ_j}_j∈Ｖ1)に置き換えると、それぞれ、式（１５）及び式（１６）で与えられる新たな目的関数Ｑ′({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ1)及び等式制約Ｃ_k′({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ1)を得ることができる。

【数15】

【数16】

【0039】

式（１４）～式（１６）から、ブライトスピンの関数としてのハミルトニアンを定義することができる。ハミルトニアンＨ_dark({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ1)は、十分大きな実数λ及びτに対し、式（１７）のように与えられ、組合せ最適化問題は、Ｈ_dark({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ1)を最小にする問題に定式化される。

【数17】

【0040】

ここで、ダークスピン法で最適解を得るためには、ダークスピンｘ_ｉをブライトスピンｘ_ｊの一次式で表すとき（式（１４））、以下に示すように定数項ａ_0,iと一次の項の係数ａ_j,iとが整数である必要がある（ダークスピン条件（１８））。

【数18】

【0041】

式（１７）で定義されたＨ_darkの基底状態を得るためには、十分大きなλに対し、右辺第２項がゼロとなり、十分大きなτに対し、右辺第３項が最小値をとる必要がある。ダークスピン条件（１８）を充足していれば、式（１４）のＲ_i({ｘ_j}_j∈Ｖ1)の範囲が整数に限定される。Ｒ_i({ｘ_j}_j∈Ｖ1)が整数であれば、式（１７）の右辺第３項の最小値はゼロとなり、Ｒ_i({ｘ_j}_j∈Ｖ1)∈｛０、１｝と一致する。よって、組合せ最適化問題は、式（１７）の右辺第１項Ｑ′({ｘ_ｉ}_ｉ∈Ｖ1)が最小となるブライトスピンの組合せを探す問題に帰着する。

【0042】

ダークスピン条件（１８）を充足していない場合にダークスピン法を適用できないことを示すため、例として、３つのスピン変数ｘ_１、ｘ_２、ｘ_３∈｛０、１｝に対し、制約ｘ_１＋ｘ_２＋２ｘ_３－２＝０のもとでｘ_１を最小にする組合せ最適化問題を考える。ｘ_３をダークスピンとして選択すると、制約に基づいてｘ_３は式（１９）のように表される。式（１９）より、ブライトスピンｘ_１、ｘ_２の係数は整数ではないため、ダークスピン条件（１８）を満たしていない。

【数19】

【0043】

ｘ_３∈｛０、１｝であるため、ｘ_１＋ｘ_２∈｛０、２｝になる必要がある。よって、式（１７）より、ハミルトニアンＨ_darkは式（２０）のように与えられる。

【数20】

【0044】

この場合、図７に示すように、全部で２^２＝４通りのブライトスピン（ｘ_１、ｘ_２）の組合せが存在する。τ＝４とすると、Ｈ_darkは、（ｘ_１、ｘ_２）＝（０、１）のときに最小値－１をとる（太枠）。しかし、最小値でダークスピンｘ_３は１／２となってしまい、ｘ_３∈｛０、１｝と矛盾する。よって、ｘ_３をダークスピンに設定すると、組合せ最適化問題をＱＵＢＯモデルに定式化することができず、最適解ではない解が基底解を与えてしまう。

【0045】

一方、ｘ_１又はｘ_２をダークスピンとして選択すれば、ブライトスピンの一次の項の係数と定数項は全て整数となり、最小のエネルギー値は０となり、最適解（ｘ_１、ｘ_２、ｘ_３）＝（０、０、１）を得ることができる。

【0046】

＜計算システム＞
次に、本実施形態の計算方法（ダークスピン法）を実行する計算システムの構成について説明する。図８に示すように、本実施形態の計算システム１０は、古典コンピュータ２０と、古典コンピュータ２０に接続されたイジングマシン３０とを備える。

【0047】

線形の等式制約のある組合せ最適化問題を扱う際、古典コンピュータ２０は、ダークスピン法を実行してスピン変数を削減し、残りのスピン変数（ブライトスピン）をイジングマシン３０に入力させる。イジングマシン３０は、ブライトスピンで表されるハミルトニアンＨ_darkの最小値を与える最適解を求める。

【0048】

古典コンピュータ２０は、パーソナルコンピュータなどのフォンノイマン型のコンピュータである。イジングマシン３０は、Ｄ－Ｗａｖｅ ２０００Ｑマシン、ＣＭＯＳアニーリングマシン、デジタルアニーラ（登録商標）などの公知のイジングマシンである。

【0049】

図９に示すように、古典コンピュータ２０は、プロセッサ２０２と、メモリ２０４と、記憶装置２０６と、入力部２０８と、ディスプレイ２１０と、I／Ｆ２１２とを備え、これらのデバイスはバスを介して接続される。

【0050】

プロセッサ２０２は、Central Processing Unit（ＣＰＵ）等を有し、メモリ２０４及び記憶装置２０６に格納されたプログラムに従って各種の処理を実行する。プロセッサ２０２は、上述のダークスピン法を実行する。

【0051】

なお、プロセッサ２０２として、ＣＰＵ等の汎用コンピュータの代わりに、本実施形態の計算方法を実行するためのApplication Specific Integrated Circuits（ＡＳＩＣ）、Field Programmable Gate Array（ＦＰＧＡ）等の専用コンピュータを採用してもよい。

【0052】

メモリ２０４は、Read Only Memory（ＲＯＭ）及びRandom Access Memory（ＲＡＭ）を有する。ＲＯＭは、ＢＩＯＳ等のブートプログラムを格納している。プロセッサ２０２が、ＲＯＭに格納されたプログラム又は記憶装置２０６に格納されたプログラムを読み出す際、これらのプログラムはＲＡＭにロードされる。

【0053】

記憶装置２０６は、非一時的なコンピュータ読み取り可能な記憶媒体を有し、本実施形態の計算方法をイジングマシン３０と併用してプロセッサ２０２に実行させるためのプログラムと、プログラムの実行に必要なデータ等を格納している。コンピュータ読み取り可能な記憶媒体として、Hard Disk Drive（ＨＤＤ）、Solid State Drive（ＳＳＤ）、光ディスク等が挙げられる。

【0054】

なお、プロセッサ２０２によって実行されるプログラムを、ネットワークを介して接続された他のコンピュータに格納し、プロセッサ２０２が、他のコンピュータからI／Ｆ２１２を介してプログラムを読み出すようにしてもよい。

【0055】

入力部２０８は、マウス、キーボード等の入力デバイスを有する。ディスプレイ２１０は、Liquid Crystal Display（ＬＣＤ）等のディスプレイであり、プロセッサ２０２により実行された処理の結果を表示する。

【0056】

I／Ｆ２１２は、古典コンピュータ２０をLocal Area Network（ＬＡＮ）、Wide Area Network（ＷＡＮ）、及び／又はインターネット等のネットワークに接続するためのインターフェースである。

【0057】

本実施形態に係る計算方法において、古典コンピュータ２０は、線形の等式制約のある組合せ最適化問題を複数のスピン変数で表されるイジングモデルで解くための前処理としてダークスピン法を実行する。ダークスピン法において、古典コンピュータ２０は、複数のスピン変数のうち少なくとも１つをダークスピンとして選択し、ダークスピン以外のスピン変数をブライトスピンとして設定し、線形の等式制約に基づいて、ダークスピンをブライトスピンの一次式で表すことで、ブライトスピンの関数としてのハミルトニアンＨ_darkを定義する。イジングマシン３０は、Ｈ_darkが最小となる最適解を計算する。古典コンピュータ２０は、Ｈ_darkに対する最適解から、ブライトスピンの一次式に基づいてダークスピンの値を計算することによって、イジングモデルの最適解を計算する。

【0058】

このように、いったん古典コンピュータ２０がダークスピン法によってスピン変数を削減すれば、古典コンピュータ２０とイジングマシン３０との間で何度もやり取りをすることなく、イジングモデルの最適解を求めることができる。

【0059】

次に、実際にイジングマシンを用いてペナルティ法とダークスピン法との性能の比較をした実施例１及び実施例２について説明する。実施例１ではグラフ分割問題を対象とし、実施例２では二次割当問題を対象とする。イジングマシンとして、シミュレーテッド・アニーリング（ＳＡ）ベースのイジングマシンと、量子アニーリング（ＱＡ）ベースのイジングマシンとを用いる。

【実施例0060】

グラフ分割問題として辺密度０．５のグラフを１０問作成し、ＳＡベースのイジングマシンで１０回実行した結果を表１に示し、ＱＡベースのイジングマシンで１０００回実行した結果を表２に示す。表１及び表２において、｜Ｖ｜は頂点の数、Ｎsはイジングマシンに入力されたスピン変数の数、Ｅaveは得られた実行可能解でのカット数の平均値、ＦＳ rateは実行回数に対して得られた実行可能解（ＦＳ）の割合の平均値を表す。

【0061】

【表1】

【表2】

【0062】

表１より、ダークスピン法はペナルティ法に比べてカット数が削減されていることがわかる。また、表２より、ダークスピン法はペナルティ法に比べてＦＳ rateが改善されていることがわかる。

【実施例0063】

Quadratic Assignment Problem Library（ＱＡＰＬＩＢ；以下のＵＲＬ参照）からベンチマーク問題を選択し、ＳＡベースのイジングマシンで１０回実行した結果を表３に示し、ＱＡベースのイジングマシンで１０００回実行した結果を表４に示す。表３及び表４において、Ｎfは施設の数、Ｃaveは得られた実行可能解でのコスト関数（総輸送コスト）の平均値を表している。コスト関数の値が小さいほど性能が良いことを示している。
https://www.opt.math.tugraz.at/qaplib/

【0064】

【表3】

【表4】

【0065】

表３より、ダークスピン法はペナルティ法に比べて総輸送コストが削減されていることがわかる。また、表４より、ダークスピン法はペナルティ法に比べてＦＳ rateが改善されていることがわかる。

【0066】

実施例１及び実施例２によれば、ダークスピン法によって、ＳＡベースのイジングマシンもＱＡベースのイジングマシンも性能を改善することができる。

【0067】

なお、本発明は、上述の実施形態に限定されるものではなく、本発明の趣旨を逸脱しない範囲内で種々の変更が可能であり、当業者によってなされる他の実施形態、変形例も本発明に含まれる。