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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B1)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2022-11-02
(45)【発行日】2022-11-11
(54)【発明の名称】プログラム
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20221104BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
【請求項の数】
5
(21)【出願番号】P 2022075531
(22)【出願日】2022-04-29
【審査請求日】2022-05-02
【早期審査対象出願】
(73)【特許権者】
【識別番号】714001548
【氏名又は名称】菅原 孝幸
(72)【発明者】
【氏名】菅原 孝幸
【審査官】北川 純次
(56)【参考文献】
【文献】特開２０１９－２８５７６（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２０１５－２２２４６４（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２０１５－１７２７９４（ＪＰ，Ａ）
【文献】米国特許出願公開第２０１２／０２７８６７５（ＵＳ，Ａ１）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｎ ９９／００
Ｇ０６Ｑ １０／１０
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
所定の集団に属するスタッフのスケジュールを構成するシフトとスケジュールに関する制約とに基づきスケジュールの最適化に関する処理をコンピュータに実行させるためのプログラムであって、前記制約は、必ず守るべき制約であるハード制約と、必ずしも満たす必要はないが出来れば満たしたい制約であるソフト制約とを含み、
各スタッフ毎に、前記各スタッフに関わるハード制約およびソフト制約について、シフトをワンホットコードでZDD（ゼロサプレス型二分決定グラフ）にエンコードしたZDDグラフの始点と終点間のZDDノードのコスト総和を最小化する経路を求めることによって、前記ハード制約を充足させ、かつ、前記ソフト制約の違反する制約の重みの総和を最小化する、各スタッフの最適化問題の解を得る第１手段、
前記各スタッフの最適化問題の解を列とする列生成法と、分枝限定法とに基づいて、整数解を得る第２手段、
として前記コンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項2】
請求項１に記載のプログラムであって、前記第１手段が、各スタッフ毎に基数制約以外のハード制約およびソフト制約についてシフトをワンホットコードでZDDにエンコードして得られる解を列とする列生成法と、分枝限定法とに基づき、各スタッフの最適化問題の解を整数化するように前記コンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項3】
請求項１に記載のプログラムであって、前記第１手段が、前記コンピュータの複数のプロセッサによって各スタッフの最適化問題の解を得るように前記コンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項4】
請求項１に記載のプログラムであって、前記ハード制約と前記ソフト制約とを各々CNFにエンコードする第３手段、
前記列に対する線形緩和主問題の主解の整数データをCNFにエンコードする第４手段、
前記第３手段と前記第４手段とによって得られたCNFをMaxSATソルバーに入力することで整数解を得る第５手段、
として前記コンピュータを機能させるためのプログラム。
【請求項5】
請求項１に記載のプログラムであって、前記ハード制約と前記ソフト制約とを各々CNFにエンコードする第３手段、
得られたCNFをMaxSATソルバーに入力することで整数解を得る第５手段、
前記第５手段によって得られた整数解を前記列生成法の初期解として設定する第６手段、
として前記コンピュータを機能させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、ナーススケジューリング問題等に関して最適化を行うプログラム等に関する。
【背景技術】
【0002】
従来より、例えば、所定の集団に属するスタッフのスケジュールを最適化するナーススケジューリング問題が知られている。ナーススケジューリング問題は、制約充足最適化問題システムでもNP困難な例として知られている。この種のスケジューリング問題に対する解法として、非特許文献１や非特許文献２等で示されているように、分枝価格法（Branch and Price）で解く方法がある。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0003】
【文献】Strandmark, P., Qu, Y. and Curtois, T. First-order linear programming in a column generation-based heuristic approach to the nurse rostering problem. Computers & Operations Research, 2020. 120, p. 104945. (pdf)
【文献】Antoine Legrain, J.Omer, Samuel Rosat. A rotation-based branch-and-price approach for the nurse scheduling problem. Mathematical Programming Computation, Springer, 2020, 12 (3), pp.417- 450. ff10.1007/s12532-019-00172-4ff. ffhal-01545421v2
【文献】Minato, S. 1993. Zero-suppressed BDDs for set manipulation in combinatorial problems. 30thConference on Design Automation. 272-277.
【文献】Ｊ． Ｋａｗａｈａｒａ， Ｔ． Ｉｎｏｕｅ， Ｈ． Ｉｗａｓｈｉｔａ， ａｎｄ Ｓ． Ｍｉｎａｔｏ，“Ｆｒｏｎｔｉｅｒ－ｂａｓｅｄ ｓｅａｒｃｈ ｆｏｒ ｅｎｕｍｅｒａｔｉｎｇ ａｌｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｕｂｇｒａｐｈｓ ｗｉｔｈ ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ”，ＩＥＩＣＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ， Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， ｖｏｌ．Ｅ１００．Ａ， ｎｏ．９， ｐｐ．１７７３－１７８４， ２０１７．
【文献】Modeling and solving staff scheduling with partial weighted maxSATEmir Demirovic, Nysret Musliu & Felix Winter Annals of Operations Research volume 275, pages79-99 (2019)
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0004】
非特許文献１で示されているように、ナーススケジューリング問題において、求解速度を上げようとする設計アプローチは、最適解に対する精度の低下をもたらす。反対に、高精度を狙う設計では、求解速度が低下する傾向にある。高精度化と高速化を両立させることは、難しいという問題がある。
本発明は、かかる問題に鑑み、例えば、最適解保証付きの解を高速に出力できるようにすることを目的とする。
本発明は、かかる問題に鑑み、例えば、最適解保証付きの解を高速に出力できるようにすることを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0005】
本発明の第１の態様によると、所定の集団に属するスタッフのスケジュールを構成するシフトとスケジュールに関する制約とに基づきスケジュールの最適化に関する処理をコンピュータに実行させるためのプログラムは、制約は、必ず守るべき制約であるハード制約と、必ずしも満たす必要はないが出来れば満たしたい制約であるソフト制約とを含み、各スタッフ毎に、各スタッフに関わるハード制約およびソフト制約について、シフトをワンホットコードでZDD（ゼロサプレス型二分決定グラフ）にエンコードしたZDDグラフの始点と終点間のZDDノードのコスト総和を最小化する経路を求めることによって、ハード制約を充足させ、かつ、ソフト制約の違反する制約の重みの総和を最小化する、各スタッフの最適化問題の解を得る第１手段、各スタッフの最適化問題の解を列とする列生成法と、分枝限定法とに基づいて、整数解を得る第２手段、としてコンピュータを機能させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【0006】
本発明によれば、最適解保証付きの解を、高速に得られる割合が格段に向上する効果が見込める。最適解が得られれば、それ以上良い解はないと考えられるため、探索を止めることができ、ユーザが無駄に待たされることを防ぐ効果も見込める。
【図面の簡単な説明】
【0007】
【発明を実施するための形態】
【0008】
以下、図面を参照して、本発明を適用した実施形態の一例について説明する。
なお、本発明を適用可能な実施形態が以下説明する実施形態に限定されるわけでないことは勿論である。
なお、本発明を適用可能な実施形態が以下説明する実施形態に限定されるわけでないことは勿論である。
【0009】
［１． 分枝価格法］
図１は、分枝価格法を用いて勤務の解を得るためのシステムの全体ブロック図の一例を示す図である。このブロック図は、従来方式も本発明も変わらない枠組みとしてもよい。以下このブロック図について説明する。
図１は、分枝価格法を用いて勤務の解を得るためのシステムの全体ブロック図の一例を示す図である。このブロック図は、従来方式も本発明も変わらない枠組みとしてもよい。以下このブロック図について説明する。
【0010】
[１．１ ハード・ソフト制約]
制約は、２種類に分けられる。「ハード制約」と「ソフト制約」である。
ハード制約とは、必ず守るべき制約である。
ソフト制約とは、必ずしも守る必要はないが、出来れば守りたい制約である。
制約の具体例を、図２に示す。
制約は、２種類に分けられる。「ハード制約」と「ソフト制約」である。
ハード制約とは、必ず守るべき制約である。
ソフト制約とは、必ずしも守る必要はないが、出来れば守りたい制約である。
制約の具体例を、図２に示す。
【0011】
制約には、主に各スタッフに関する制約である行制約、組織全体の制約であるカバー制約、各スタッフの決まっている予定などの予定制約等を含めることができる。いずれをハード制約とするかソフト制約とするかは、自由度がある。ソフト制約にした場合は、それを破った場合、各ソフト制約毎に定められてコストが発生する。システム全体としては、ハード制約は全て守った上で、ソフト制約を破ったコストの総和を目的関数値と呼ぶが、目的関数値を最小にすることが、最適解を出力するための要件である。
【0012】
上記のように、いずれの制約をハード制約・ソフト制約にするかは、自由度がある。１つの手法として、例えば、ユーザが決める（設定する）ようにしてもよい。
また、コンピュータがプログラムによって自動的に決める（設定する）ようにしてもよい。
また、コンピュータがプログラムによって自動的に決める（設定する）ようにしてもよい。
【0013】
[１．２ 分枝価格法のアルゴリズム]
図３に、分枝価格法のフローチャートの一例を示す。分枝価格法は、シンプレックス法の一変形形態である列生成（列生成ブロック）と、分枝限定法（分枝限定ブロック）とから成る。
図３に、分枝価格法のフローチャートの一例を示す。分枝価格法は、シンプレックス法の一変形形態である列生成（列生成ブロック）と、分枝限定法（分枝限定ブロック）とから成る。
【0014】
[１．３ 従来システム]
図４は、従来システムの列生成ブロックのブロック図の一例を示す図である。
列生成ブロックは、各スタッフ毎に、各スタッフの制約に係わるサブプログラム（以下、「プライサ-(Pricer)」と呼称する。）群と、線形緩和主問題ソルバーとから成る。
線形緩和主問題ソルバーは、離散系から連続系に緩和した問題を解くソルバーであり、例えば、オープンソースのCOIN-OR projectがある。線形緩和主問題ソルバーは、主解(Primal)と双対解（Dual）との二つを出力する。プライサーは、自身のスケジュールに関する離散解（以降、「ロースター」と呼称する。）を出力する。それが、主問題の系の改善に寄与するものであるならば、ロースターは、“列”として主問題ソルバーに変数として取り込まれる。
図４は、従来システムの列生成ブロックのブロック図の一例を示す図である。
列生成ブロックは、各スタッフ毎に、各スタッフの制約に係わるサブプログラム（以下、「プライサ-(Pricer)」と呼称する。）群と、線形緩和主問題ソルバーとから成る。
線形緩和主問題ソルバーは、離散系から連続系に緩和した問題を解くソルバーであり、例えば、オープンソースのCOIN-OR projectがある。線形緩和主問題ソルバーは、主解(Primal)と双対解（Dual）との二つを出力する。プライサーは、自身のスケジュールに関する離散解（以降、「ロースター」と呼称する。）を出力する。それが、主問題の系の改善に寄与するものであるならば、ロースターは、“列”として主問題ソルバーに変数として取り込まれる。
【0015】
一方、寄与しないと判断されれば、取り込まれない。主問題の目的関数値の改善が続く限り列は追加される。最終的に列が追加されなくなったときが、そのシステムの下界を示すことになる。ここでいう下界は、連続系における最小値である。ナーススケジューリングの問題の実システムの目的関数値は、離散系であり一般的には整数値となり下界値に等しいかまたは常に、下界よりは大きいという性質がある。
【0016】
[１．３．１ プライサー]
プライサーは、リソース制約付き最短距離問題に一般化することができる。プライサーは、NP-困難な問題であることが分かっている。プライサーの出力するロースターがシステム全体の精度と求解速度の鍵となる。これまで、これを解く様々な提案がなされている。その一つとして、非特許文献１には、ヒューリスティクス的に解を得る方法が記載されている。
プライサーは、リソース制約付き最短距離問題に一般化することができる。プライサーは、NP-困難な問題であることが分かっている。プライサーの出力するロースターがシステム全体の精度と求解速度の鍵となる。これまで、これを解く様々な提案がなされている。その一つとして、非特許文献１には、ヒューリスティクス的に解を得る方法が記載されている。
【0017】
[１．３．２ 列生成ブロック 線形緩和主問題ソルバー]
列が追加されるごとに変数は多くなるが、変数増加は、高々、列に関する分だけで済む。他に、線形緩和主問題ソルバーが扱うのは、スタッフ間に関わるカバー制約を扱うだけであり、ナーススケジューリング問題全体の変数を扱うのに比べれば、遥かに少ない変数で全体の最適化を達成することができる。これにより、線形緩和主問題を「限定主問題（Restricted Master Problem）」と呼称することがある。線形緩和主問題ソルバーは、双対解（DUAL）を各プライサーに出力し、各プライサーは、それを受けて最適ロースターを返す、というループにより主問題の目的関数値の改善を行う。
線形緩和主問題の目的関数は、数１のように定式化できる。
各シンボルの意味を数６に示す。
列が追加されるごとに変数は多くなるが、変数増加は、高々、列に関する分だけで済む。他に、線形緩和主問題ソルバーが扱うのは、スタッフ間に関わるカバー制約を扱うだけであり、ナーススケジューリング問題全体の変数を扱うのに比べれば、遥かに少ない変数で全体の最適化を達成することができる。これにより、線形緩和主問題を「限定主問題（Restricted Master Problem）」と呼称することがある。線形緩和主問題ソルバーは、双対解（DUAL）を各プライサーに出力し、各プライサーは、それを受けて最適ロースターを返す、というループにより主問題の目的関数値の改善を行う。
線形緩和主問題の目的関数は、数１のように定式化できる。
【数1】
【数2】
【数3】
【数4】
【数5】
【数6】
【0018】
数５は、プライサーの目的関数であり、「Reduced Cost」とも呼ばれる。Reduced Costが負のときに、数１の目的関数値は、改善の可能性があるので、そのロースターは列として線形緩和主問題ソルバーに追加される。数５の目的関数値が負になるロースターがないときは、改善の終点となる。このとき、数1の最適値は、下界を示すことが知られている。逆に、ナーススケジューリング問題の系の下界を正しく知るためには、プライサーも最適解である値を出力することが要件となる。
【0019】
[１．４ 分枝限定法]
線形緩和主問題ソルバーの主解出力は、連続系であり浮動小数点による出力となる。しかし、システムが欲しいのは整数解であって、浮動小数点のデータは(例えば、０．３や０．５)解には成り得ないため整数化を行う必要がある。そのために必要なブロックが分枝限定法ブロックである。列生成で下界を得つつ、分枝限定操作で整数化を行うことで、システムの最適値を得る。分枝が発生する毎に、ノードを生成させ、全データの整数化を行えた時点で、整数解（以下、「実行可能解」と呼称する。）が得られる。全てのノードの探索が終了するか、実行可能解の最小値＝UBが、下界値（＝LB）と等しくなった時点で、最適値が確定する。分枝操作は、フラクショナルな値（例えば０．５）の箇所を選び、０/1にそれぞれ固定分枝するのが一般的である。図５は、この様子を示したものである。
線形緩和主問題ソルバーの主解出力は、連続系であり浮動小数点による出力となる。しかし、システムが欲しいのは整数解であって、浮動小数点のデータは(例えば、０．３や０．５)解には成り得ないため整数化を行う必要がある。そのために必要なブロックが分枝限定法ブロックである。列生成で下界を得つつ、分枝限定操作で整数化を行うことで、システムの最適値を得る。分枝が発生する毎に、ノードを生成させ、全データの整数化を行えた時点で、整数解（以下、「実行可能解」と呼称する。）が得られる。全てのノードの探索が終了するか、実行可能解の最小値＝UBが、下界値（＝LB）と等しくなった時点で、最適値が確定する。分枝操作は、フラクショナルな値（例えば０．５）の箇所を選び、０/1にそれぞれ固定分枝するのが一般的である。図５は、この様子を示したものである。
【0020】
[１．５ ヒューリスティクス]
早期に、実行可能解を得る方法として、ヒューリスティクスを使うこともある。一般的なヒューリスティクスは、非特許文献１にあるように、浮動小数点データの丸めを繰り返し行うことで整数化を行っている。
早期に、実行可能解を得る方法として、ヒューリスティクスを使うこともある。一般的なヒューリスティクスは、非特許文献１にあるように、浮動小数点データの丸めを繰り返し行うことで整数化を行っている。
【0021】
［２． 本発明の要点］
図６は、本発明による解を得るためのシステム構成の一例を示す図である。
図４に示したシステム構成と比して、まず、符号２の構成に特徴がある。
符号２はプライサーである。具体的には、スタッフに関わるハード制約とソフト制約について、シフトをワンホットコードでエンコードしたゼロサプレス型２分決定グラフ（ZDD）を用いて各スタッフの最適化を行うロースターを出力するのが特徴である。
ここで、プライサー２が扱うハード制約とソフト制約は、例えば、前述した行制約や予定制約とすることができる。
図６は、本発明による解を得るためのシステム構成の一例を示す図である。
図４に示したシステム構成と比して、まず、符号２の構成に特徴がある。
符号２はプライサーである。具体的には、スタッフに関わるハード制約とソフト制約について、シフトをワンホットコードでエンコードしたゼロサプレス型２分決定グラフ（ZDD）を用いて各スタッフの最適化を行うロースターを出力するのが特徴である。
ここで、プライサー２が扱うハード制約とソフト制約は、例えば、前述した行制約や予定制約とすることができる。
【0022】
ワンホットコードとは、例えば、早番：(1, 0, 0, 0)、日勤：(0, 1, 0, 0)、遅番：(0, 0, 1, 0)、公休：(0, 0, 0, 1)のように、「１」となる部分が１個であり、かつ、互いにその位置が異なるエンコードの仕方である。これをZDDグラフで表したのが図７である。コンパクトにスタッフのシフトのありえる状態の全てを表現できることがポイントとなっている。
このエンコード条件下で、そのスタッフに関わるハード制約とソフト制約をZDD上にエンコードしたグラフが一度でき上がれば、それを用いてプライサーの最適解を高速に計算できる。列生成法においては、プライサーの計算が系のネックになっており、プライサーが高速に計算されれば、系の最適値も高速に求まる。
このエンコード条件下で、そのスタッフに関わるハード制約とソフト制約をZDD上にエンコードしたグラフが一度でき上がれば、それを用いてプライサーの最適解を高速に計算できる。列生成法においては、プライサーの計算が系のネックになっており、プライサーが高速に計算されれば、系の最適値も高速に求まる。
【0023】
［３. ナーススケジューリング問題による実施の形態］
本実施形態では、プライサーの目的関数、例えば前述した数６を、各スタッフ毎の詳細な制約を入れて展開する。これにより、例えば数７を得ることができる。
本実施形態では、プライサーの目的関数、例えば前述した数６を、各スタッフ毎の詳細な制約を入れて展開する。これにより、例えば数７を得ることができる。
【数7】
【数8】
【数9】
【数10】
【数11】
【0024】
［３.１ ワンホットコードの実装］
例として、図２の行制約を実装する。ここでは、「早番＝E」,「遅番＝L」、「日勤＝D」とする。陽のシフトは以上だが、それ以外の状態、つまり勤務していない日もシフトとみなし、これを「公休＝Y」として、ワンホットコードを構成する。例えばDateが「１」（Date１）から「５」（Date５）まであるとして、Date１の早番をE1と表記する。また、あるスタッフの制約論理関数をRとする。
例として、図２の行制約を実装する。ここでは、「早番＝E」,「遅番＝L」、「日勤＝D」とする。陽のシフトは以上だが、それ以外の状態、つまり勤務していない日もシフトとみなし、これを「公休＝Y」として、ワンホットコードを構成する。例えばDateが「１」（Date１）から「５」（Date５）まであるとして、Date１の早番をE1と表記する。また、あるスタッフの制約論理関数をRとする。
【0025】
ワンホットコードは、Least One なおかつ Most Oneであるので、全シフトのOR,と、二つのシフトが同時に２個アクティブにならないという制約を実装すればよい。
論理演算子＆（AND）、｜（OR）、NOT（～）を使用して、制約論理関数Ｒは、
R=E１ | D１ | L１ | Y１
R &=～（E１ &D１ ）
R &=～（E１＆L１ ）
R &=～（E１& Y１）
R &=～（D１&L１）
R &=～（D１&Y１）
R&=～(L１&Y１)
と記述することができる。
上はDate1についてだけ実装したが、その他のDateについても同様に構築することができる。
論理演算子＆（AND）、｜（OR）、NOT（～）を使用して、制約論理関数Ｒは、
R=E１ | D１ | L１ | Y１
R &=～（E１ &D１ ）
R &=～（E１＆L１ ）
R &=～（E１& Y１）
R &=～（D１&L１）
R &=～（D１&Y１）
R&=～(L１&Y１)
と記述することができる。
上はDate1についてだけ実装したが、その他のDateについても同様に構築することができる。
【0026】
この論理関数をグラフ化するには、LSIの論理合成ツールとして広く用いられているBDDパッケージを用いるのが簡単である。BDDとは、２分決定グラフ（Binary Decision Diagram）であり、論理関数をコンパクトに表現することができる。既約化したBDDは、その表現が一意になることが知られている。
【0027】
BDDパッケージとしては、オープンソースであるCUDD（Colorado University Decision Diagram Package）を使ってもよい。BDDは、論理関数の表現に適する。一方、ZDDは、BDDを集合表現にしたとも言えるもので、データ構造を集合表現にするときに役立つ。BDD上のANDは、ZDD上では、集合の∩ である。CUDDには、BDD表現から、ZDD表現に変換するコンバータが付属しており、上記論理関数もZDD表現に変換することができる。ZDDもその既約表現は、一意になる。
【0028】
【0029】
［３．２. ハード行制約の実装］
次に、図２の行制約の符号２０で示した「日勤後に早番禁止」を実装してみる。前のワンホットコード論理関数にAND操作を行うと、制約論理関数Ｒは、以下のようになる。
R＆=～(D１ ＆ E２)
R &=～（D２ & E３）
R &=～（D３ & E４）
R &=～（D４ & E５）
この時点の制約論理関数RをZDDに変換したものが図９である。
次に、図２の行制約の符号２０で示した「日勤後に早番禁止」を実装してみる。前のワンホットコード論理関数にAND操作を行うと、制約論理関数Ｒは、以下のようになる。
R＆=～(D１ ＆ E２)
R &=～（D２ & E３）
R &=～（D３ & E４）
R &=～（D４ & E５）
この時点の制約論理関数RをZDDに変換したものが図９である。
【0030】
同様にして、基数制約以外の全ての行制約を実装したものが、図１０となる。
【0031】
［３．２．1. 基数制約の実装例］
シフト集合の要素を数えて、その総和に対して不等式で制約することを基数制約という。例えば図２の行制約中、基数制約は、符号２１で示した「公休数は、１日から２日の間」という制約のみである。
基数制約を実装するアプローチには、例えば２つの方法がある。
シフト集合の要素を数えて、その総和に対して不等式で制約することを基数制約という。例えば図２の行制約中、基数制約は、符号２１で示した「公休数は、１日から２日の間」という制約のみである。
基数制約を実装するアプローチには、例えば２つの方法がある。
【0032】
１つ目の方法は、BDD上で２進加算器を用いる方法であり、回路合成手法がそのまま適用可能である。図１３がその構成例である。対象となるシフト集合を２進加算器に入力する。２進加算器の出力を不等式で制約することになる。具体的には、やはり回路合成手法であるコンパレータを使用して制約すればよい。いずれも、回路のプリミティブ要素であるAND,OR,NOTの基本演算だけで、上述の全ては記述可能であり、BDDパッケージCUDDで記述できる。
【0033】
２つ目の方法は、集合演算による方法である。例えば、「１＜＝X＜＝２」という集合は、ｎ入力集合から、１個取る全ての組み合わせ「ｎC１」と、２個取る全て「ｎC２」の組み合わせの和集合(union)と考えることができる。あるいは「１＜＝X」という集合と、「X＜＝２」という集合の共通集合(intersection) とも考えることができる。後者の様子を図１４に示す。基数制約に関しては、例えば、仕様から直接ZDDに落とし込むZDDパッケージTdZdd（URL: https://github.com/kunisura/TdZdd）があり、それを利用するのが簡単である。この場合、基数制約以外は、BDD上で構築してきたので、BDDからZDDにコンバートを行う。基数制約以外のZDD Z1と基数制約のZ2の∩演算を行えば、全体のZDDが得られることになる。ZDD集合演算もCUDD上で可能である。
基数制約を加えてコンパイルしたのが、図１１になる。図８から、新たな変数増加はないことが分かる。
基数制約を加えてコンパイルしたのが、図１１になる。図８から、新たな変数増加はないことが分かる。
【0034】
［３．３. ハード予定制約の実装］
図２における１月7日の勤務を日勤（D２）とするには、
R &=D２
とすればよい。
同様に、図２における1月８日の勤務は遅番（L３)以外とするには、
R &=～L３
とすればよい。この時点の制約論理関数Rをグラフ化したのが、図１２である。このようにして、任意の予定、任意のハード制約のコンパイルがシフトをワンホットコードでZDDにエンコードすることによって可能になる。
以上で、ハード制約の全ての実装が完了した。
図２における１月7日の勤務を日勤（D２）とするには、
R &=D２
とすればよい。
同様に、図２における1月８日の勤務は遅番（L３)以外とするには、
R &=～L３
とすればよい。この時点の制約論理関数Rをグラフ化したのが、図１２である。このようにして、任意の予定、任意のハード制約のコンパイルがシフトをワンホットコードでZDDにエンコードすることによって可能になる。
以上で、ハード制約の全ての実装が完了した。
【0035】
［３．４. ハード制約のコンパイル順］
どのような順序でZDDをコンパイルしても、最終的には、図１２になる。既約したZDDは、その表現が一意に定まるからである。一般にZDDの構築時間は、ZDDグラフが含むノード数に比例する。図８～図１２で、一番ノード数が多いのは図１１であるが、最終的には、図１２が図８に次ぐ小さいグラフとなっている。このことからも分かるように、ワンホット制約と、ハード予定制約は、最初にコンパイルし、その後にその他の制約を実装するのが、構築時間上もメモリ所要上も有利となる。特に大きなインスタンスほど、その効果は大きい。
どのような順序でZDDをコンパイルしても、最終的には、図１２になる。既約したZDDは、その表現が一意に定まるからである。一般にZDDの構築時間は、ZDDグラフが含むノード数に比例する。図８～図１２で、一番ノード数が多いのは図１１であるが、最終的には、図１２が図８に次ぐ小さいグラフとなっている。このことからも分かるように、ワンホット制約と、ハード予定制約は、最初にコンパイルし、その後にその他の制約を実装するのが、構築時間上もメモリ所要上も有利となる。特に大きなインスタンスほど、その効果は大きい。
【0036】
［３．５. ソフト予定制約の実装］
ここからは、［３．１ ワンホットコードのコンパイル］が終了したあとの状態を前提として説明を続ける。
ソフト制約の場合は、図２の制約を次のように、「出来れば」を追加するとソフト制約となる。例えば、以下のような例である。
・１月７日の勤務は、出来れば、日勤（D２）
・１月８日の勤務は、出来れば、遅番（L３)以外
ただし、「出来れば」は、願望であって、出来ないことも許容しなければならない。予定制約の場合、制約適用前後で、グラフの形に変化はない。
実際、ソフト予定制約を適用した、図１５は、ワンホットコードを適用後の図８と同じである。異なるのは、重みである。
ZDDの１枝ノードに予定制約重みが付加されるところが異なる。予定制約重みは、例えば、１月７日の重みをｗ２、１月８日の重みをｗ３とすると、図１５において、符号８０の予定制約重みは「０」、符号８１－８３の予定制約重みはｗ２,符号８４の予定制約重みはｗ３、符号８５－８７の予定制約重みは「０」とすればよい。
ここからは、［３．１ ワンホットコードのコンパイル］が終了したあとの状態を前提として説明を続ける。
ソフト制約の場合は、図２の制約を次のように、「出来れば」を追加するとソフト制約となる。例えば、以下のような例である。
・１月７日の勤務は、出来れば、日勤（D２）
・１月８日の勤務は、出来れば、遅番（L３)以外
ただし、「出来れば」は、願望であって、出来ないことも許容しなければならない。予定制約の場合、制約適用前後で、グラフの形に変化はない。
実際、ソフト予定制約を適用した、図１５は、ワンホットコードを適用後の図８と同じである。異なるのは、重みである。
ZDDの１枝ノードに予定制約重みが付加されるところが異なる。予定制約重みは、例えば、１月７日の重みをｗ２、１月８日の重みをｗ３とすると、図１５において、符号８０の予定制約重みは「０」、符号８１－８３の予定制約重みはｗ２,符号８４の予定制約重みはｗ３、符号８５－８７の予定制約重みは「０」とすればよい。
【0037】
［３．６. ソフト行制約の実装］
次に、日勤後に早番を出来れば禁止を実装する。新しい変数をXとして禁止状態を表現し、Xに重みpを付加すればよい。以下で、＝＝は、同値を表す。
R＆＝X１==(D１ ＆ E２)
R＆＝X２==（D２ & E３）
R＆＝X３==（D３ & E４）
R＆＝X４==（D４ & E５）
図１６は、制約論理関数RをZDD化したグラフである。符号９０－９３の枝を重みｐとすればよい。
次に、日勤後に早番を出来れば禁止を実装する。新しい変数をXとして禁止状態を表現し、Xに重みpを付加すればよい。以下で、＝＝は、同値を表す。
R＆＝X１==(D１ ＆ E２)
R＆＝X２==（D２ & E３）
R＆＝X３==（D３ & E４）
R＆＝X４==（D４ & E５）
図１６は、制約論理関数RをZDD化したグラフである。符号９０－９３の枝を重みｐとすればよい。
【0038】
同様にして、基数制約以外の全ての行制約をソフト制約化して実装したものが、図１７となる。
【0039】
［３．７. ソフト基数制約を含まない場合の最短経路の計算方法］
数７におけるソフト制約重みｇｋが０となる場合の計算方法について述べる。
図１７のZDDノードを一般化して、図１８を得る。符号１００に示すZDDノードのブール変数をres、値をvalとするとき、resとvalは、符号１０３で示すアルゴリズムのように、子ノード１０１のTVal1と、子ノード１０２のEval1と、1枝の重みｗ（符号１０４）とだけで計算できる。重みｗは、数７の図２ソフト予定シフトの重みとソフト行制約重みと双対値（図６の符号１２）により定まる。ハード基数制約については、ハード基数制約は、［３．２．1. 基数制約の実装例］で示したように変数増加も重みの発生はない。従って符号１０３で計算可能である。
数７におけるソフト制約重みｇｋが０となる場合の計算方法について述べる。
図１７のZDDノードを一般化して、図１８を得る。符号１００に示すZDDノードのブール変数をres、値をvalとするとき、resとvalは、符号１０３で示すアルゴリズムのように、子ノード１０１のTVal1と、子ノード１０２のEval1と、1枝の重みｗ（符号１０４）とだけで計算できる。重みｗは、数７の図２ソフト予定シフトの重みとソフト行制約重みと双対値（図６の符号１２）により定まる。ハード基数制約については、ハード基数制約は、［３．２．1. 基数制約の実装例］で示したように変数増加も重みの発生はない。従って符号１０３で計算可能である。
【0040】
［３．８. ソフト基数制約を含む場合の最短経路の計算方法］
ソフト基数制約を1項でも含む場合の最短経路の計算例を図１９に示す。符号１１６で示すZDDノードは、子ノードとして、符号１１４と符号１１５を持つ。符号１１５は１枝で結ばれている。1枝の場合は、重みと、基数制約に関するデルタ項を持つ。ここでは、重みｗとして「－１」、基数制約デルタ項「１」を例として設定している。それまでの各ZDDノードでの１枝の基数制約デルタ項の総和を符号１１７で示すCountsとしてメモリに保持する。Countsは、それまでのシフトの総計値となる。各ZDDノードでは、Countsとそれに対応する重みの総計を表として持っている。親ノード符号１１６のテーブル符号１１２は、1枝ノード符号１１５に符号１１３を足したものと、０枝ノード符号１１４から求められる。符号１１２は、同じCOUNTS値を持つものに対しては、小さい方を採用するマージ操作を行って、符号１１１で示すテーブルを得る。最終ノード（符号１１０）では、さらに基数制約の重みを加算して、COUNTSに対応する値を得る。最終的に一番小さな値が数７の目的関数値となり求める経路となる。
ソフト基数制約を1項でも含む場合の最短経路の計算例を図１９に示す。符号１１６で示すZDDノードは、子ノードとして、符号１１４と符号１１５を持つ。符号１１５は１枝で結ばれている。1枝の場合は、重みと、基数制約に関するデルタ項を持つ。ここでは、重みｗとして「－１」、基数制約デルタ項「１」を例として設定している。それまでの各ZDDノードでの１枝の基数制約デルタ項の総和を符号１１７で示すCountsとしてメモリに保持する。Countsは、それまでのシフトの総計値となる。各ZDDノードでは、Countsとそれに対応する重みの総計を表として持っている。親ノード符号１１６のテーブル符号１１２は、1枝ノード符号１１５に符号１１３を足したものと、０枝ノード符号１１４から求められる。符号１１２は、同じCOUNTS値を持つものに対しては、小さい方を採用するマージ操作を行って、符号１１１で示すテーブルを得る。最終ノード（符号１１０）では、さらに基数制約の重みを加算して、COUNTSに対応する値を得る。最終的に一番小さな値が数７の目的関数値となり求める経路となる。
【0041】
図１９で、終点ノードから始点ノードへスキャンすることで、数７式の目的関数値を計算できることになる。主問題の双対解は、毎回変わる可能性があり、数７はその度に再計算が必要になる。一方、ZDDノードの構造は、一度コンパイルすれば不変である。
数７は、列生成中多数回、計算することになるが、Countsの計算は、ZDD構造が決まってしまえば、一度計算し結果をテーブルの形で保存できる。これにより、より高速化が可能となる。また、符号１１７は、データ圧縮して保存してもよい。また、逆に始点ノードから終点ノードへスキャンしてもよい。これらの手順により、始点と終点間でZDDノードの重みを総計して最小となる経路が判明する。以上述べた方法により、高速にプライサーの厳密解を得ることが可能になる。数７を用いて計算を行い、負であれば、列として 列追加（図６ 符号１０）を行う。
数７は、列生成中多数回、計算することになるが、Countsの計算は、ZDD構造が決まってしまえば、一度計算し結果をテーブルの形で保存できる。これにより、より高速化が可能となる。また、符号１１７は、データ圧縮して保存してもよい。また、逆に始点ノードから終点ノードへスキャンしてもよい。これらの手順により、始点と終点間でZDDノードの重みを総計して最小となる経路が判明する。以上述べた方法により、高速にプライサーの厳密解を得ることが可能になる。数７を用いて計算を行い、負であれば、列として 列追加（図６ 符号１０）を行う。
【0042】
［３．９. 基数制約を含む場合の最短経路の別解］
別解法として、基数制約を、列生成法の主問題、基数制約以外をZDDでグラフ化し列生成子問題とする列生成法と分枝限定法で解くことも可能である。［３．８. ソフト基数制約を含む場合の最短経路の計算方法］で数７の厳密解は得られるが、インスタンス規模が大きな場合は、搭載メモリの制約を受ける場合がある。その場合、ZDDのコンパイルを基数制約以外に限定することでメモリ所要量を抑えることができる。図２０がその構成図となる。
図２０は、図６に示した各々のプライサー２に適用可能な構成を示しており、基数制約を主問題とする線形緩和ソルバ１４０と、その双対解に基づき、基数制約以外のハード制約とソフト制約についてシフトをワンホットコードでエンコードしたZDDグラフの始点‐終点間のノードコスト総和が最小となる経路を得るブロック１４１と、列追加１４２と、基数制約を主問題とする線形緩和ソルバ１４０の主解１４３に基づき分枝限定法によって整数解１４５を得るブロック１４４とを含む。
別解法として、基数制約を、列生成法の主問題、基数制約以外をZDDでグラフ化し列生成子問題とする列生成法と分枝限定法で解くことも可能である。［３．８. ソフト基数制約を含む場合の最短経路の計算方法］で数７の厳密解は得られるが、インスタンス規模が大きな場合は、搭載メモリの制約を受ける場合がある。その場合、ZDDのコンパイルを基数制約以外に限定することでメモリ所要量を抑えることができる。図２０がその構成図となる。
図２０は、図６に示した各々のプライサー２に適用可能な構成を示しており、基数制約を主問題とする線形緩和ソルバ１４０と、その双対解に基づき、基数制約以外のハード制約とソフト制約についてシフトをワンホットコードでエンコードしたZDDグラフの始点‐終点間のノードコスト総和が最小となる経路を得るブロック１４１と、列追加１４２と、基数制約を主問題とする線形緩和ソルバ１４０の主解１４３に基づき分枝限定法によって整数解１４５を得るブロック１４４とを含む。
【0043】
［３．１０. プライサーの並列化］
図６の符号１１内で、各スタッフに対応するプライサー同士は、完全に独立しており、マルチプロセッサによる並列化が容易に構成できる。特にZDD構造は、シーケンシャルアクセス構造をしており、ZDDグラフが、CPUのキャッシュサイズに収まらなくとも、優れたアクセス特性を提供できる。その効果は、マルチプロセッサ構成にしても高い性能を維持できる。マルチプロセッサ構成は、CPU数に余裕がある場合は、各スタッフ毎にCPUを一つ割り当ててもよいし、GPUを利用してもよい。余裕がなければ、物理CPUをOPEN-MPなどでスケジューリングして割り当てればよい。また、複数のスタッフのグループ毎にCPUを一つ割り当ててもよい。
図６の符号１１内で、各スタッフに対応するプライサー同士は、完全に独立しており、マルチプロセッサによる並列化が容易に構成できる。特にZDD構造は、シーケンシャルアクセス構造をしており、ZDDグラフが、CPUのキャッシュサイズに収まらなくとも、優れたアクセス特性を提供できる。その効果は、マルチプロセッサ構成にしても高い性能を維持できる。マルチプロセッサ構成は、CPU数に余裕がある場合は、各スタッフ毎にCPUを一つ割り当ててもよいし、GPUを利用してもよい。余裕がなければ、物理CPUをOPEN-MPなどでスケジューリングして割り当てればよい。また、複数のスタッフのグループ毎にCPUを一つ割り当ててもよい。
【0044】
MaxSAT（最大充足割当問題）とは，連言標準形(Conjunctive Normal Form, CNF)で書かれた論理式内の論理変数に対して，満たす節(clause)の数が最も多くなるような真偽値を求める問題である。Ｗｅｉｇｈｔｅｄ MaxSATとは，CNFで書かれた論理式内の節に重みが与えられている場合に，論理式内の変数に対して，満たす節の重みの和が最も大きくなるような真理値割り当てを求める問題である。Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Partial MaxSATとは，前述のＷｅｉｇｈｔｅｄ MaxSATに対し，必ず満たさなければいけない節(ハード)と満たさなくても構わない節(ソフト)を考えた最適化問題である。非特許文献５には、スケジューリング問題をＷｅｉｇｈｔｅｄ Partial MaxSATに変換して解く方法が述べられている。ここでは、Ｗｅｉｇｈｔｅｄ Ｐａｒｔｉａｌ ＭａｘＳＡＴソルバーのことを単にＭａｘＳＡＴソルバーと呼称する。
【0045】
［３．１１.MaxSATソルバーによる整数化］
さらに高速に解を得る方法として、図６ 符号４ MaxSATソルバーについて説明する。MaxSATソルバーに入力されるのは、図６ 符号５は、図１ 符号５でもあり、その具体的内容は図２の通りである。つまり、システム全体の制約をCNF化してMaxSATソルバーに入力されている。MaxSATソルバーは、符号９ 整数解を出力する。これによりMaxSATソルバー単体で、システム全体の解を得る能力を有している。
さらに高速に解を得る方法として、図６ 符号４ MaxSATソルバーについて説明する。MaxSATソルバーに入力されるのは、図６ 符号５は、図１ 符号５でもあり、その具体的内容は図２の通りである。つまり、システム全体の制約をCNF化してMaxSATソルバーに入力されている。MaxSATソルバーは、符号９ 整数解を出力する。これによりMaxSATソルバー単体で、システム全体の解を得る能力を有している。
【0046】
このMaxSATソルバーの入力として、さらに、符号１ 線形緩和主問題のソルバーの出力 符号６ 浮動小数点データのうち、符号７ 整数データを入力して取り込むことが特徴である。この例を図２１に示す。符号６のデータは、一般的には、浮動小数である。旧来のヒューリスティクスによる方法では、浮動小数点データ、例えば、０．９→１、 ０．１→０ とすることによって整数化を行っている。このうち最も信頼度が高いデータは、整数値であり、もっとも信頼度が低いデータは０．５である。そこで、ＭａｘＳＡＴソルバーに入力するデータは、整数となるデータを補助データとして入力する。ＭａｘＳＡＴソルバー内の制約伝播機構が、入力された補助データと、システムの全体制約から、まだ決定されていない２値データを推定する機構として働く。これにより、高精度な実行可能解を早く出力する。この機構は、分枝限定中も動作させることができる。
【0047】
［３．１２.MaxSATソルバーによる初期解生成］
ＭａｘＳＡＴソルバーは、ハード制約を満たした解（以下、実行可能解と呼ぶ）の導出が速い。図６ 符号４のＭａｘＳＡＴソルバーを最初に動作させ、その解 符号９を 図３ 符号３０ 線形主問題の初期解 としてもよい。こうすると、主問題の改善開始点は、ＭａｘＳＡＴソルバーの出力する目的関数値とすることができ、収束の高速化に寄与する。また、ＭａｘＳＡＴソルバーの目的関数値が、ＺＤＤを構成するソフト制約の重みを下回る場合は、ソフト制約をハード制約としてコンパイルできる。例を、図２１に示す。これによりＺＤＤの構造はさらにコンパクトになり、さらなる高速化が達成される。
ＭａｘＳＡＴソルバーは、ハード制約を満たした解（以下、実行可能解と呼ぶ）の導出が速い。図６ 符号４のＭａｘＳＡＴソルバーを最初に動作させ、その解 符号９を 図３ 符号３０ 線形主問題の初期解 としてもよい。こうすると、主問題の改善開始点は、ＭａｘＳＡＴソルバーの出力する目的関数値とすることができ、収束の高速化に寄与する。また、ＭａｘＳＡＴソルバーの目的関数値が、ＺＤＤを構成するソフト制約の重みを下回る場合は、ソフト制約をハード制約としてコンパイルできる。例を、図２１に示す。これによりＺＤＤの構造はさらにコンパクトになり、さらなる高速化が達成される。
【0048】
［４．本発明による効果］
大きなインスタンスでも、最適解保証つきの解が高速に得られる。図２３、図２４は、非特許文献１および２と同じインスタンスによる、最新性能の数理ソルバーとの比較である。
ScheduleNurse3が本発明を適用したソルバーである。明らかに、本発明による方法が優位であることが分かる。
また、アカデミックなベンチマークサイト（http://www.schedulingbenchmarks.org/changes.html）には、ナーススケジューリング問題に対して国際記録更新情報が載っている。本発明者(Tak.Sugawara)による更新は、全て本発明による結果であり、長年未解決だった問題を解決する貢献も果たしている。
大きなインスタンスでも、最適解保証つきの解が高速に得られる。図２３、図２４は、非特許文献１および２と同じインスタンスによる、最新性能の数理ソルバーとの比較である。
ScheduleNurse3が本発明を適用したソルバーである。明らかに、本発明による方法が優位であることが分かる。
また、アカデミックなベンチマークサイト（http://www.schedulingbenchmarks.org/changes.html）には、ナーススケジューリング問題に対して国際記録更新情報が載っている。本発明者(Tak.Sugawara)による更新は、全て本発明による結果であり、長年未解決だった問題を解決する貢献も果たしている。
【符号の説明】
【0049】
１ 線形緩和主問題ソルバー
２ プライサー
３ 分枝限定法ブロック
４ MaxSATソルバー
５ ハード制約と制約とソフト制約
６ 符号１の主解（浮動小数点出力）
７ 符号１の整数データ出力
８ 分枝限定法による整数解
９ MaxSATソルバーによる整数解
１０ 主問題へ列追加
１１ プライサーブロック
１２ 主問題ソルバーの双対解出力
１３ ロースター
２０ 行制約の例
２１ 基数制約の例
３０ 列生成法における初期解
８０ 日勤D2の重み
８１ 早番E2の重み
８２ 遅番L2の重み
８３ 休みY2の重み
８４ 遅番L3の重み
８５ 早番E3の重み
８６ 日勤D3の重み
８７ 休みY3の重み
９０ 日勤（D１）→早番（E２）の重み
９１ 日勤（D２）→早番（E３）の重み
９２ 日勤（D３）→早番（E４）の重み
９３ 日勤（D４）→早番（E５）の重み
１００ ZDDノード
１０１ 符号１００の子ノード
１０２ 符号１００の子ノード
１０３ 値、ブール値決定のアルゴリズム
１０４ 符号１００の重み
１１０ 最終ノードでソフト基数制約の重みをマージした結果
１１１ 子ノードの結果をマージした結果
１１２ 子ノードの結果をマージ途中経過
１１３ 符号１１６ノードの重みと、デルタカウント分
１１４ 子ノード
１１５ 子ノード
１１６ ZDDノード
１１７ シフトの和
１４０ プライサー中の主問題ソルバー
１４１ プライサー中の基数制約以外のZDD
１４２ 符号１４０への列追加
１４３ 符号１４０の主解
１４４ 分岐限定法ブロック
１４５ 符号１４０の整数解
１４６ 符号１４０の双対解
２ プライサー
３ 分枝限定法ブロック
４ MaxSATソルバー
５ ハード制約と制約とソフト制約
６ 符号１の主解（浮動小数点出力）
７ 符号１の整数データ出力
８ 分枝限定法による整数解
９ MaxSATソルバーによる整数解
１０ 主問題へ列追加
１１ プライサーブロック
１２ 主問題ソルバーの双対解出力
１３ ロースター
２０ 行制約の例
２１ 基数制約の例
３０ 列生成法における初期解
８０ 日勤D2の重み
８１ 早番E2の重み
８２ 遅番L2の重み
８３ 休みY2の重み
８４ 遅番L3の重み
８５ 早番E3の重み
８６ 日勤D3の重み
８７ 休みY3の重み
９０ 日勤（D１）→早番（E２）の重み
９１ 日勤（D２）→早番（E３）の重み
９２ 日勤（D３）→早番（E４）の重み
９３ 日勤（D４）→早番（E５）の重み
１００ ZDDノード
１０１ 符号１００の子ノード
１０２ 符号１００の子ノード
１０３ 値、ブール値決定のアルゴリズム
１０４ 符号１００の重み
１１０ 最終ノードでソフト基数制約の重みをマージした結果
１１１ 子ノードの結果をマージした結果
１１２ 子ノードの結果をマージ途中経過
１１３ 符号１１６ノードの重みと、デルタカウント分
１１４ 子ノード
１１５ 子ノード
１１６ ZDDノード
１１７ シフトの和
１４０ プライサー中の主問題ソルバー
１４１ プライサー中の基数制約以外のZDD
１４２ 符号１４０への列追加
１４３ 符号１４０の主解
１４４ 分岐限定法ブロック
１４５ 符号１４０の整数解
１４６ 符号１４０の双対解
【要約】
【課題】最適解保証付きの解を高速に出力できるようにする。
【解決手段】列生成法において、符号１の線形主問題ソルバーは、符号１１のプライサーブロックに双対を出力する。符号２の各スタッフ毎のプライサーは、各スタッフ毎に関わるハード制約とソフト制約について、シフトをワンホットコードでエンコードしたZDDグラフを作る。ZDDグラフの始点と終点間のZDDノードのコストの最小値を得て、符号１０の列追加するかどうかを判断する。
【選択図】図６
【解決手段】列生成法において、符号１の線形主問題ソルバーは、符号１１のプライサーブロックに双対を出力する。符号２の各スタッフ毎のプライサーは、各スタッフ毎に関わるハード制約とソフト制約について、シフトをワンホットコードでエンコードしたZDDグラフを作る。ZDDグラフの始点と終点間のZDDノードのコストの最小値を得て、符号１０の列追加するかどうかを判断する。
【選択図】図６
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図17】
【図18】
【図19】
【図20】
【図21】
【図22】
【図23】
【図24】
