特許 7316452 双方向レンジングを使用したエッジ距離推定のみを用いた同時マルチラテレーションによる線形グラメトリ及び較正

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2023-07-19

(45)【発行日】2023-07-27

(54)【発明の名称】双方向レンジングを使用したエッジ距離推定のみを用いた同時マルチラテレーションによる線形グラメトリ及び較正

(51)【国際特許分類】

   G06T 7/70 20170101AFI20230720BHJP

   G06T 19/00 20110101ALI20230720BHJP

【ＦＩ】

G06T7/70 A

G06T19/00 A

【請求項の数】 20

(21)【出願番号】P 2022517946

(86)(22)【出願日】2020-09-20

(65)【公表番号】

(43)【公表日】2022-11-21

(86)【国際出願番号】 US2020051712

(87)【国際公開番号】W WO2021055914

(87)【国際公開日】2021-03-25

【審査請求日】2022-03-18

(31)【優先権主張番号】62/903,015

(32)【優先日】2019-09-20

(33)【優先権主張国・地域又は機関】US

(31)【優先権主張番号】17/026,139

(32)【優先日】2020-09-18

(33)【優先権主張国・地域又は機関】US

(73)【特許権者】

【識別番号】504080663

【氏名又は名称】エヌイーシー ラボラトリーズ アメリカ インク

【氏名又は名称原語表記】ＮＥＣ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｉｅｓ Ａｍｅｒｉｃａ， Ｉｎｃ．

(74)【代理人】

【識別番号】100123788

【弁理士】

【氏名又は名称】宮崎 昭夫

(74)【代理人】

【識別番号】100127454

【弁理士】

【氏名又は名称】緒方 雅昭

(72)【発明者】

【氏名】ホジャステポウル、 モハンマド

(72)【発明者】

【氏名】ランガラジャン、 サンパス

【審査官】合田 幸裕

(56)【参考文献】

【文献】特開平０８－３２０９３９（ＪＰ，Ａ）

【文献】特開２０１７－２２３６４５（ＪＰ，Ａ）

【文献】米国特許出願公開第２０１４／０１９２０４６（ＵＳ，Ａ１）

【文献】米国特許第０７９２５７３０（ＵＳ，Ｂ１）

【文献】Rajat Sanyal et al.，Scalable and Accurate Sensor Network Localization using Cliques，2016 International Conference on Signal Processing and Communications (SPCOM)，米国，IEEE，2016年06月12日，<DOI: https://doi.org/10.1109/SPCOM.2016.7746639>

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｔ ７／７０

Ｇ０６Ｔ １９／００

ＩＥＥＥ Ｘｐｌｏｒｅ

ＪＳＴＰｌｕｓ（ＪＤｒｅａｍＩＩＩ）

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

選択されたオブジェクトのペア間の一次元の距離推定を使用して、複数の次元を有する空間における複数のオブジェクトの相対的な位置を特定するためのコンピュータ実装方法であって、
コンピュータによって、
セットにおける個々のオブジェクトのペア間の距離推定が既知であるオブジェクトの前記セット（クリーク）を識別するステップと、
前記クリーク内のオブジェクトの相対的な位置をそれぞれの座標によって特定するステップと、
前記クリークの座標系を統一するステップと、
前記オブジェクトの位置の情報を出力するステップと、
を実行する、方法。

【請求項2】

前記クリークは、新たなクリークを生成するために、それ以上のオブジェクトを前記クリークに追加できない最大クリークである、請求項１に記載の方法。

【請求項3】

２つの前記クリークの座標系を統一するステップは、前記空間の次元に１を加えたものと等しいサイズの共通クリークを有する２つのクリークを見つけるステップを有する、請求項１に記載の方法。

【請求項4】

前記クリークの座標系を統一するステップは、
全てのクリークをユニオンクリークに初期化し、全てのユニオンクリークのセットを生成するステップと、
２つのユニオンクリークの前記座標系を統一し、統一された座標系を有する結合されたユニオンクリークを生成するステップと、
全てのユニオンクリークのセットにおいて、前記２つのユニオンクリークを、該２つのユニオンクリークを組み合わせたユニオンクリークに置き換えるステップと、
を有する、請求項３に記載の方法。

【請求項5】

前記オブジェクトのセットは、アンカーのセットを有し、
前記相対的な位置の特定は、アンカーポイント間にユニオンクリークを形成するために、最初に前記アンカーポイントのセットに対して実行される、請求項１に記載の方法。

【請求項6】

少なくとも１つのアンカーが、計画フェーズにおいて特定の位置に配置される、請求項５に記載の方法。

【請求項7】

ｎを前記空間の次元としたとき、前記アンカーが、前記距離測定値に関してクリークを形成するアンカーポイントの少なくとも２つのサブセットの交点に、少なくともｎ＋１の前記アンカーが含まれるように配置される、請求項５に記載の方法。

【請求項8】

補助アンカーが、前記アンカーのセットに動的に追加される、請求項５に記載の方法。

【請求項9】

前記補助アンカーは、２つのアンカー間の測定が可能なノード及びエッジとしての前記アンカーを含むグラフの連結性を満たす、請求項８に記載の方法。

【請求項10】

前記補助アンカーは、クリークのサイズが増加するように追加される、請求項８に記載の方法。

【請求項11】

較正期間にのみ少なくとも１つの補助アンカーを追加するステップと、
較正後に追加されたアンカーを除去するステップと、
をさらに有する、請求項８に記載の方法。

【請求項12】

クリークにおけるオブジェクトの相対的な位置が特定された測定値と、相対的な位置が特定されたクリークの統一状態とをフィルタリングするステップをさらに有する、請求項１に記載の方法。

【請求項13】

オブジェクトのペア間の測定をスケジューリングすることをさらに有する、請求項１に記載の方法。

【請求項14】

前記クリークのサイズを統一するステップは、次元ｎの周囲空間の次元よりも１だけ低い次元を有する同じ超平面内に無いように、少なくともｎ＋１のオブジェクトを含むクリークを選択するステップを有する、請求項１に記載の方法。

【請求項15】

選択されたクリークは、二次元空間において同じ線上にないオブジェクトが少なくとも３つ含まれているクリーク、または三次元空間において同じ平面にないオブジェクトが少なくとも４つ含まれているクリークである、請求項１４に記載の方法。

【請求項16】

ポリトープと関連付けられた測定値にポリトープの面の領域またはポリトープのボリュームが含まれるように、前記ポリトープのコーナーにオブジェクトを配置するステップをさらに有する、請求項１に記載の方法。

【請求項17】

階数が前記空間の次元以下である階数落ち行列近似を用いて、オブジェクトのサブセットの相対的な位置を特定するステップをさらに有する、請求項１に記載の方法。

【請求項18】

最大クリークを識別し、前記最大クリークにおけるオブジェクトの相対的な位置を特定し、位置が特定されたオブジェクトに対する距離測定値が最大数のオブジェクトを見出し、同じ座標系においてこのオブジェクトの相対的な位置を特定し、位置が特定されていないオブジェクトの相対的な位置を１つずつ特定するプロセスを継続する、請求項１７に記載の方法。

【請求項19】

前記２つのユニオンクリーク間の前記統一は、前記２つのユニオンクリークから前記オブジェクト間の距離測定値が最大数の２つのユニオンクリークを選択するステップをさらに有する、請求項４に記載の方法。

【請求項20】

異なるオーダーを有するユニオンクリークを選択し、最後に最小平均二乗誤差を有するユニオンクリークを選択することで、座標を統一するステップをさらに有する、請求項４に記載の方法。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本開示は、一般に、多角的な物体位置に関する。より具体的には、双方向レンジングを使用したエッジ距離推定のみを用いた同時マルチラテレーションによる線形グラメトリ及び較正を記述する。

【背景技術】

【0002】

デジタル画像の爆発的な増加と、地上マッピングに関する有用性は、他の用途の中でもとりわけ、リストを作成するには多すぎる社会的利益をもたらした。二次元写真からオブジェクトの三次元座標を判定して利用することができる。そのような重要性を考えると、オブジェクトの位置と配置のための改善された方法及び技術は、当該技術分野に対する歓迎すべき追加事項を示すことになる。

【発明の概要】

【0003】

当技術分野の進歩は、双方向レンジングを使用したエッジ距離推定のみを用いる同時マルチラテレーションによる線形グラメトリ及び較正を実行するシステム、方法及び構成を対象とする本開示の態様によって成される。

【0004】

従来技術とは対照的に、本開示の態様によるシステム、方法及び構成は、オブジェクトのペア間の一次元距離測定／推定を用いて多次元空間にオブジェクトを有利に配置する新しい方法を導入する。

【0005】

一態様から見ると、本開示は、選択されたオブジェクトのペア間の一次元の距離推定を用いて、複数の次元を有する空間における複数のオブジェクトの相対的な位置を特定するためのコンピュータ実装方法であって、コンピュータによって、セットにおける個々のオブジェクトのペア間の距離推定が既知であるオブジェクトのセット（クリーク）を識別するステップと、それぞれの座標によってクリーク内のオブジェクトの相対的な位置を特定するステップと、クリークの座標系を統一するステップと、オブジェクトの位置の情報を出力するステップとを有する。

【0006】

本開示のより完全な理解は、添付の図面を参照することで実現される。

【図面の簡単な説明】

【0007】

【図1】図１は、本発明の一実施形態による、例示的な方法を示すフロー図である。

【0008】

例示的な実施形態は、図面及び詳細な説明によってより完全に説明される。しかしながら、本開示による実施形態は、様々な形態で実現されてもよく、図面及び詳細な説明に記載された特定のまたは例示的な実施形態に限定されない。

【発明を実施するための形態】

【0009】

以下は、単に本開示の原理を例示するものである。したがって、当業者であれば、本明細書で明示的に説明または図示されなくても、本開示の主旨及び範囲に含まれる、本開示の原理を具体化する様々な構成を考え出すことができることを理解されたい。

【0010】

さらに、本明細書で挙げる全ての実施例及び条件を示す用語は、本開示の原理及び本技術を推進するために本発明者らが提供するコンセプトの理解を助ける教育目的のためだけであることを意味し、具体的に挙げられた実施例及び条件に限定されないと解釈されるべきである。

【0011】

さらに、本開示の原理、態様及び実施形態、並びにその特定の実施例で挙げる本明細書の全てのステートメントは、その構成及び機能の均等物の両方を含むことを意味する。さらに、そのような均等物には、現在知られている均等物と、将来開発される均等物、すなわち構成に関係なく同じ機能を実現する、開発された要素の両方を含むことを意味する。

【0012】

したがって、例えば、本明細書の任意のブロック図は、本開示の原理を実施する回路の実例を示す概念図であることが当業者に理解されよう。

【0013】

本明細書では、特に明記しない限り、図を含む図面は、正確な縮尺率で描かれていない。
序文

【0014】

いくつかの追加の背景として、マルチラテレーションは、オブジェクトから既知の位置のセットまでの距離測定を使用することで、オブジェクト（またはタグ）のおおよその位置を見つけるために使用することに留意されたい。既知の位置のセットは、通常、アンカーポイントと呼ばれ、静止していると見なされるが、移動パラメータが既知であれば、静止していないアンカーポイントを使用してもよい。

【0015】

マルチラテレーションアルゴリズムの精度は、一般に、距離測定の精度と既知の（複数の）位置の精度に依存する。興味深いことに、測定精度はマルチラテレーションアルゴリズムの精度に影響を与えるだけでなく、アンカーポイントの絶対位置にも影響を与える。したがって、アンカーポイントを最適な場所に配置するには、計画フェーズが必要である。

【0016】

マルチラテレーションアルゴリズムで遭遇する最初の問題の１つは、アンカーポイントの位置を知る必要があることである。この情報は、原点及び与えられた座標系、すなわちデカルト座標に対する各アンカーポイントの位置の物理的な測定によって取得できる。しかしながら、このような物理的な測定は、特にアンカーポイントの数が増えた場合、または１つ以上のアンカーポイントを再配置する必要がある場合に困難である。そのような認識において、本明細書では、所与の座標系において、それらの位置を見つけるために、有利には、アンカー間の双方向レンジングを採用した較正メカニズムを説明する。

【0017】

動作上、較正アルゴリズムは、(測定誤差まで含む)アンカーポイントの正確な位置を判定する。その結果、そのような較正は、アンカーの配置だけでなく、オブジェクトの形状を推測するためにも使用され得る。

【0018】

一般に、アンカーは、与えられたマルチコーナー形状の全てのコーナーポイントを「カバー」する必要がある。本明細書で使用するように、マルチコーナー形状は、各３つの面の交点がコーナーポイントを定義し、各２つの面の交点がエッジを定義する、有限セットの面によって定義される任意の形状（凸状または非凸状）であることに留意されたい。マルチコーナーオブジェクトは、実際には有限数の表面を有するポリトープである。実際、較正アルゴリズムの出力は、このようなマルチコーナーの関心のある領域の形状を提供する。

【0019】

フォトグラメトリは、異なる角度から撮影された二次元フォトグラフ（写真）に基づいて三次元空間における座標を見つける手段として当該技術分野で知られている。フォトグラメトリでは、各写真が平面に対する三次元形状の二次元投影を提供する。したがって、平面上での測定は、ポイント間の距離に関する推定値を提供するだけでなく、二次元空間における方向情報も提供する。

【0020】

前述した較正プロセスでは、三次元（または二次元）の形状及び座標の推定が一次元空間の測定値のみを用いて取得される。この測定値は、一次元空間の場合でも、方向情報無しで２点間の距離の推定値のみを提供する。したがって、本明細書で使用するように、線形グラメトリという用語は、フォトグラメトリによって提起される問題と同様に、三次元（または二次元）の形状を推定し、一次元空間の距離測定を使用することで、形状の頂点の座標を見出している。

【0021】

さらに、ノード間の双方向レンジングの連結性及び可能性を維持するために、追加のアンカーポイントが必要とされ得ることに留意されたい。例えば、２つのノードが遠く離れており、それらの間の双方向レンジングが不可能である場合、双方向レンジングの可能性を維持するために、追加のアンカーポイントを配置することが必要とされ得る。

【0022】

全ての互いのアンカーポイント間の双方向レンジングが望ましいが、必ずしも必要ではない。それでも、隣接する全てのポイントのペア間の接続は維持することがよい。

【0023】

興味深いシナリオの１つは、較正フェーズ後（通常または正常なマルチラテレーションの動作中）まで配備されないヘルパーアンカーポイントを導入する。この場合、タグとアンカーポイントとの間の双方向レンジングを用いてオブジェクト（またはタグ）の位置が検出される。ヘルパーアンカーポイントは、オリジナルのアンカーポイントのシステムに対してより多くの制約を課すために使用され、オリジナルのアンカーポイントの位置を見つけるために、全てのオリジナルのアンカーポイントとヘルパーアンカーポイントとの間の双方向レンジングが考慮される。

【0024】

較正プロセスは、形状すなわちアンカーポイントを頂点として定義されるポリトープの座標を提供するために、他の測定が可能である。そのような測定には、例えば、２つのノードが互いに到達できないために、双方向レンジングフェーズにおいて、不明及び／または判定された２つのアンカーポイント間の距離を見つけることが含まれる。このような測定の別の例は、マルチコーナー形状の特定の面の領域、または同じ平面上にある任意のコーナーポイントのセットによって定義される形状の領域を見つけることである。さらに別の例は、凸領域または非凸領域のいずれかとして、アンカーノードの任意のサブセットによって定義されるマルチコーナー形状のボリュームを見つけることを含む。
同時マルチラテレーション

【0025】

Ｎ＋１の位置Ｐ₀、Ｐ₁、…、Ｐ_N間の推定距離の観測値の収集について考える。

【数1】

は観測点Ｐ₀、Ｐ₁、…、Ｐ_Nの推定位置を表し、ｄ_ijは２点Ｐ_iとＰ_j間の推定距離を表すとする。位置

【数2】

のポイント

【数3】

を原点とする。推定距離は推定時間の単なる線形関数であり、ｄ_ijの任意の線形結合に対処できるため、ｄ_ijは推定距離ではなく推定時間であってもよいことに留意されたい。

【0026】

ｒ₁、…、ｒ_Nは、ポイント

【数4】

から原点

【数5】

までの距離、すなわち

【数6】

を表すとする。

【0027】

任意のｉ及びｊに関して、以下のアンカーポイントＰ₀、Ｐ₁、…、Ｐ_Nの座標を見つける。

【数7】

ここで、

【数8】

は列ベクトル

【数9】

である。

【0028】

この近似方程式のセットは、推定位置

【数10】

に関して同時に満たされなければならないため、同時マルチラテレーションと呼ばれる。同時とは、アンカーの（絶対または相対）位置に関する事前の知識が予め利用できない、当面の問題で固有の特性を指すことに留意されたい。しかしながら、そのような座標を見つけるアルゴリズムは、本質的に順次的または並列的である可能性がある。通常のマルチラテレーションでは、単一のポイント、例えばｒ_iの位置は不明であり、いくつかのｊに関する推定距離ｄ_ijのセットが利用可能であり、対応する近似方程式が同時に考慮されて、

【数11】

の最良の推定値を見つかる。

【0029】

以下では、本開示の態様による、同時マルチラテレーションのための２つの解決策について説明する。従来のマルチラテレーションまたは通常のマルチラテレーションは、以下で提案するものと同じアルゴリズムを使用して実行できることに留意されたい。その理由は、そのような場合、既知の位置

【数12】

の間の全ての互いの距離が

【数13】

として直接計算されてアルゴリズムに代入されるからである。

【0030】

また、２つのポイント

【数14】

の間の全ての互いの距離推定が利用可能な場合、階数落ち行列近似（rank deficient matrix approximation）手法は、全てのアンカーポイントの座標を並列に直接見つけることができることにも留意されたい。（ｉ、ｊ）ペアの一部のサブセットに関して、そのような推定のサブセットのみが利用可能な場合、階数落ち行列近似は、全ての互いの距離推定が利用可能なノードのサブセットのみに適用できる。次のセクションでは、距離推定のサブセットのみが利用可能な場合に適用できる再帰的三角再構成（recursive triangular reconstruction）に基づいた代替アプローチである、本開示による第２の手法について説明する。

【0031】

一般に、階数落ち行列近似は、全ての制約を均一に考慮するため、特に多数のノードに対して、より低い推定誤差でより良い推定を提供する。しかしながら、再帰的三角再構成手法は、そのような三角形を選択する様々なオーダーに対して実行できるため、推定誤差はそのような選択に依存する。もちろん、常に様々な選択オーダーを試して、最終的に最小平均二乗誤差を有する解を選択できる。それにもかかわらず、与えられたオーダーに対してさえ、再帰的三角再構成は、階数落ち分解手法と比べて、特にアンカーノードの数が少ない場合（例えば１０ノードオーダー）に、平均二乗誤差の点でより良い解を提供できる。

【0032】

距離推定ｄ_ijが利用可能なペア（ｉ、ｊ）のサブセットをＳで表すとする。このとき、近似式（１）を同時に満たすという意味は、以下のように解釈できることに留意されたい。

【数15】

【0033】

ここで、最小化は、アンカーノードＰ_iの位置

【数16】

で行われる。また、例えば以下の他の解釈も可能である。

【数17】

または

【数18】

階数落ち行列近似手法

【0034】

階数落ち行列近似のプロセスを通して解が得られるように問題を記述するために、全てのペア（ｉ，ｊ）（０＜ｉ，ｊ＜Ｎ）に関して、近似方程式のセットを同時に最小化する、大まかに提示される問題定義を採用する。

【数19】

【0035】

全ての位置ベクトル（行ベクトル

【数20】

の形式）を行列Ｒ^Tの列に集めることで下記を得る。

【数21】

ここで、

【数22】

である。

【0036】

近似目的［７］は、全ての相互リンクの距離推定値が利用可能な任意のポイントのセットに対して記述できることに留意されたい。したがって、グラフのノードと、距離推定が利用可能なグラフのエッジとによってアンカーノードを表す場合、このグラフの任意のクリークに関して近似目的［７］が有効である。

【0037】

なお、近似目的［７］は、行列Ｒの階数が３（ほぼ確実）であるという事実を考慮することで解決できることに留意されたい。測定時にノイズのない行列Ｑが得られた場合、この行列も階数が３であることが分かる。但し、測定にノイズが存在する場合、行列Ｑの階数は３を超え、通常はフル階数に近くなる。これは、例えば２００のノードが考慮される場合、行列Ｑの階数が２００に近い、例えば１９７であることを意味する。したがって、近似目的［７］の解は、階数が３の行列Ｑの最良の階数落ち近似である。

【0038】

このような階数落ち近似問題の解は、次数３までの打ち切り特異値分解を使用し、

【数23】

を生成することで、Ｅｃｋａｒｔ－Ｙｏｕｎｇ－Ｍｉｒｓｋｙ定理を通して得られる。ここで、

【数24】

であり、

【数25】

である。

【0039】

階数３の条件は、アンカーが三次元空間にあると仮定されている事実によるものであることに留意されたい。実際にアンカーが平面上にある場合、階数は２になり、アンカーが線上にのみ配置されている場合、階数は１になる。

【0040】

アンカーポイントの全てのペア間の全ての相互距離が利用可能な場合、階数落ち行列近似は、全てのアンカーの位置を特定及び較正するために直接使用できる。但し、一部のアンカーが他のアンカーによって読み取れない可能性がある広い領域では、全ての距離推定を利用できるわけではない。このような場合、階数落ち行列近似手法は、アンカー間の連結グラフのクリークでのみ有用である。

【0041】

階数落ち行列近似手法は、任意の座標系におけるクリークの全てのノードのアンカーの位置を提供するため、様々なクリークに関するそのような解は、様々な座標系で見つかる可能性がある（ほぼ確実に起こる）。このような全ての位置の特定を同じ座標系に統合する可能性について説明する。三次元システムでは、このような統一された座標系は、各２つのクリークの間に少なくとも４つの共通ポイントがある場合にのみ利用できる。その理由は、一意の座標系は、サイズｎ＋１のクリークが含まれている場合にのみｎ次元で定義されるからである。

【0042】

近似目的［７］の同時セットの解は、本質的に、座標系の原点と方向に曖昧さがあることに留意する。これらの２つの曖昧さは、原点、例えばアンカー位置を１つとし、三次元空間における特定のベクトルの方向（例えばｘ軸方向）を固定することで簡単に解決できる。例えば、この方向は、原点から第２のアンカーポイントまでのベクトルと見なすことができる。次に、別のベクトルの方向、例えば最初の２つのアンカーと同じ線上にない第３のアンカーの位置を用いてｙ軸を見つけることができる。その結果、ｚ軸の方向が固定されて決定される。但し、近似目的［７］は全て二次式である（２つのアンカー間のエッジの方向を示さずに絶対距離で定義される）ため、第４のポイントの位置を定義するために、第４のアンカーポイント（先の３つのアンカーポイントの平面にない）の投影の方向を想定する必要がある。これは、第４のポイントがｚ軸への投影に対して任意の正または負の符号を持つことができることを意味する。したがって、第４のポイントは完全に座標系を決定する。

【0043】

一連の近似目的［７］の解には、最後の座標軸、例えばｚ軸の方向に関連する第３の曖昧さがあることに留意することが重要である。この曖昧さを解決することは不可能であり、最終的な解は、原点に関して互いに対称移動である２つの解のうちの１つである。最初の２つの曖昧さ（回転までを含む座標系の原点と方向）は解決可能であり、第３の曖昧さ（対称移動）は解決できないが、少なくとも４つの共通のアンカーポイント（同じ平面上にない）を有する複数の座標系を組み合わせるプロセスでは、この曖昧さは有害ではない。これは、最終的な共通座標が、２つの可能性のある座標系の１つであり、一方が原点に対するもう一方の対称移動であることを意味する。

【0044】

階数落ち行列近似手法の修正版は、固有値分解に直接依存する。行列

【数26】

は対称であるため、

【数27】

の固有値分解は、固有値

【数28】

の対角行列の要素が降順となるように、以下で求めることができる。

【数29】

全ての実数エントリを持つ行列の固有値は複素数である可能性があるが、共役ペアで表示される。そのような場合、固有値を降順で並べ替えるときに、リストの最後に複素数を配置できる。あるいは、上記の特異値分解手法を使用することもできる。以下のように定義することで、上記と同様に階数落ち行列近似を生成できる。

【数30】

ここで、

【数31】

であり、

【数32】

である。ここで、

【数33】

はｎ次元空間における解を求める場合の次元ｎｂｙｎである。
再帰的三角再構成手法

【0045】

ここで、アンカーノード間の相互距離のセットが部分的にしか分からない場合に適用できる、一般的な手法について説明する。このような場合、階数落ち行列近似手法は、アンカーノードの全てのペア間の距離が既知であるノードのサブセットにのみ適用できる。ノードのこのサブセットは、連結グラフのクリークとして解釈できる。連結グラフは、対応するアンカーノード間の距離推定が既知の場合、アンカーノードのセットに対応するノードのセットと２つのノード間のエッジとして定義される。対応するエッジの重みは、推定距離と等しくなる。

【0046】

クリークのサイズが大きくなると、階数落ち行列近似がより正確になることが分かる。但し、サイズの小さいクリークの場合、このセクションで提案するアルゴリズム（再帰的三角再構成手法）の方がより高速で効果的である。

【0047】

４つのアンカーが同じ平面上に無いサイズ４のクリークである４クリークを考える。アルゴリズムは、座標系におけるこれら４つのノードの相対位置を以下のように見つける。この解は、対称移動まで含むユニークであることに留意する。これは、２つの解のうち、１つだけが実際に起きていることを意味する。もちろん、この座標系の形状及びポイントは、他の座標系に適合するようにシフト及び回転させることができる。

【0048】

アルゴリズムは、第１のポイント（Ａ）を原点と見なすことから始まる。次に、第２のポイントは軸の１つ、例えばｘ軸上にあると仮定される。第１のノードと第２のノードの間の距離（Ｂ）は、符号まで含む第２のノードの位置を一意に決定する。ｘ軸上の第２のノードに関する正の符号を仮定する。第３のポイント（Ｃ）及びｘ軸は平面を定義する。三角形ＡＢＣの周囲長は、この三角形の２つの頂点間の推定距離として知られる、その辺に基づくヘロンの公式を用いることで求められる。これらは、辺ＡＢからのノードＣの高さの半分に等しい。これは、ノードＣのｙ座標を符号まで含んで容易に見出せることを意味する。ノードＣのｙ座標に関して正の符号を仮定する。符号まで含むノードＣのｘ座標は、原点までの距離とノードＣのｙ座標とに基づいて容易に計算できる。最後に、ノードＣのｘ座標の符号は、第２のノード（例えば、ノードＢ）までの距離を考慮することで解決される。

【0049】

第４のポイント（Ｄ）は、最初の３つのポイントと同じ平面に無いと仮定される。したがって、第４のポイントは、座標系を一意に定義するために使用される。ノードＣのｙ座標及びｘ座標を見つけるために実行する手順と同様に、ＡＢＤの平面におけるポイントＤのｘ座標及びｙ座標を見つけることができる。

【0050】

これは、ＡＢＣとＡＢＤによって定義された平面におけるｘ座標が同じであり、そのため、ノードＤの符号を含む座標が一意に定義される。しかしながら、ｙ座標は、より精巧な計算を必要とする。

【0051】

完全な三次元座標系は、同じ平面に無い３つのポイント、例えば三角形ＡＢＣの頂点、または単に三角形ＡＢＣによって定義されることに留意されたい。これは、次のように見ることができる。原点は１つのノードのｘ座標によって定義され、その方向は第２のノードによって仮定され、ｙ軸及びその方向は第３のポイントによって取得される。したがって、ｚ軸も一意に決定される。但し、三角形ＡＢＣで定義された座標系では、三角形ＡＢＣの平面に無いポイントのｚ座標の方向について混乱が生じる可能性がある。曖昧さを解決するには、ｚ軸の方向を仮定するために第４のポイントが必要である。

【0052】

この仮定は、曖昧さを解決し、様々なポイント間の座標系を統一することを可能にするが、ノードの物理的な配置は実際には座標系におけるポイントの対称移動であり得ることに留意されたい。これは、実際の物理的なポイントと一致しない限り、物理的に解決できない固有の曖昧さである。これは、一方が他方の対称移動である場合に、２つの可能性がある解の１つが常に可能であることが主な理由である。この現象の解釈は、ｚ軸の方向が、定義上、右手の法則によって見出されることである。これは、対称移動の座標系をもたらす左手の法則によって非常に良好に定義できる。

【0053】

三角形ＡＢＣで定義される座標系におけるポイントＤのｙ座標を見つけるために、次の２つの方程式を使用する。

【数34】

【0054】

及び

【数35】

【0055】

ここで、ｘ_D，ｘ_C，ｙ_D，ｙ_C，ｚ_D，ｚ_Cは三角形ＡＢＣで定義される座標系内にある。ｘ_D，ｘ_Cは、先に説明した座標系と同じ座標系内にあることに留意されたい。ｙ_Cの値も既知であり、ｚ_Cは実際には０である。

【0056】

（１９）の

【数36】

を拡張し、（２０）の

【数37】

で置き換えると以下が得られる。

【数38】

【0057】

最後に、［２０］を用いてｚ_Dの値を求める。三角形ＡＢＣを用いて定義された座標系に基づいてｙ_Dの符号が一意に定義されるが、ｚ_Dの符号は、例えば正であると仮定する必要がある。

【0058】

４つのノードＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとの全ての距離が既知の他のノード、例えばノードＥの座標は、第４のポイント（ポイントＤ）で説明したときと同じ手順を用いて容易に見つけることができる。但し、最後のステップにおいて、ｚ_Eの符号の決定はｄ^２ _DEを用いて実行される。これは、ｚ_Eまたは－ｚ_Eの２つの選択肢のいずれかが、２つのノードＤとＥの間の距離をより適切に近似するためである。すなわち、ｆ（－ｚ_E）＜ｆ（ｚ_E）とし、ｚ_E＝－ｚ_Eのとき、ｚ_Eの任意の符号を選択する。ここで、

【数39】

である。
座標統一

【0059】

マルチコーナー形状のノードの形状または位置特定を識別するプロセス中に、連結グラフのクリークを用いて、それぞれの座標系における各クリークに関する形状を解釈する。この工程は、形状の異なる断片を生成する。座標統一は、全体の形状を生成するためにこれらの部分を組み合わせるプロセスである。座標を統一するには、一度に少なくとも２つの座標系を再帰的に組み合わせる必要がある。

【0060】

先の議論に基づくと、２つのｎ次元の座標系を統一することは、それらが少なくともｎ＋１の共通ノードを有する場合に可能である。これらの共通ノードは、固有の座標系を決定し、これらの座標系の両方をその座標系で表現できる固有の共通座標系が存在する。両方の座標系が共通の原点を持つ場合、それらは、おそらく回転及び対称移動、並びにスケーリングを含む線形変換をよって関連付けられる必要があることに留意する。

【0061】

Ａ₀，...，Ａ_nを両方の座標系の共通ノードとする。まず、Ａ₀が原点（全て０ベクトル）と対応するように、両方の座標系を変換する。次に、第１の座標系及び第２の座標系におけるＡ₁，...，Ａ_nを示すｎ個の列ベクトルを

【数40】

とそれぞれ表現する。そのため、以下を有する。

【数41】

【0062】

は、第１の座標系における任意のベクトル

【数42】

を、第２の座標系においてそれに対応するベクトル

【数43】

に変換できる変換行列である。興味深い観察結果は、この再帰的アルゴリズムの各ステップで、ｎ＋１の共通ノードを持つために必要なクリークは２つだけであるということである。例えば、以下のノードのセットによって定義された３つのクリークしかない例を考える。

【数44】

【0063】

ｋ，ｌ，ｍは任意の値である。クリークＳ₁とＳ₂だけが４つの共通ポイントを有するため、Ｓ₁∪Ｓ₂が定義されている場所でそれらの座標系を統一できることに留意する。したがって、Ｓ₁∪Ｓ₂とＳ₃の２つの座標系は４つの共通ポイント｛Ｂ₀，Ｂ₁，Ｂ₂，Ｂ₃｝を有するため、これらの座標系を考慮することで処理を続行できる。
アンカー位置

【0064】

前に説明したように、アンカーポイントの位置特定の精度だけでなく、それらの実際の位置も、オブジェクトとアンカーポイントのサブセットとの間の双方向レンジングを使用したオブジェクトの位置を特定するシステムの精度に影響する。全てのアンカーポイントまたはそれらの任意のサブセットの位置が知られていない初期ステップにおいても、同じ概念が当てはまる。したがって、アンカーポイントの位置を見つける際に、アンカーポイントのペア間の相対的な距離は、座標系に対するそれらの絶対位置を見つけるために使用される。

【0065】

特に、アンカーポイントのおおよその位置または相対的な位置が特定のガイドラインに従っている場合、我々のアルゴリズムはより低い平均位置特定誤差を達成する。例えば、統一された座標系を使用できるようにするには、クリークが特定の重なりを有するようにアンカーポイントを配置する必要がある。この重なり自体がクリークになり、このクリークのサイズは空間の次元よりも大きくする必要がある。これは、三次元で統一された座標系を有することを意味し、少なくとも２つのクリーク間で４つのアンカーポイントの重なりが必要である。

【0066】

２つのクリーク毎に、空間の次元よりも大きいサイズの共通のクリークを有する必要はないが、これは、オリジナルの連結グラフの各クリーク間でこの条件を満たすための良好なアイデアである。実際、クリーク内のアンカーポイントの位置を見つけるアルゴリズムの精度は、クリークのサイズが大きくなるにつれて高くなる。したがって、初期最大クリークの各ペアの間に十分なレベルの初期クリークがあると、最終的により大きなサイズの共通クリークをもたらす可能性がある。

【0067】

広い空間をカバーする場合、一部のアンカーポイントは他のアンカーポイントによって「聞こえない」ことに留意されたい。但し、アンカーポイントは次のように配置する必要がある。（１）アンカーポイント間の連結グラフが単一の連結グラフである。（２）各クリーク内で十分に良好な位置の特定を実現するために、連結グラフの最大クリークのサイズがしきい値よりも大きい。（３）少なくとも２つの初期最大クリークの間に、しきい値よりも大きい（少なくとも空間の次元よりも大きい）サイズの共通クリークがある（最大クリークのペア毎にこの条件を満たしていることがより好ましい）。

【0068】

アンカーポイントを適切に配置するための条件を考慮すると、これらの条件は、主に与えられた座標系におけるアンカーポイントの絶対（成し得る位置特定の精度内）位置が検出される較正ステップで主として必要であることに留意されたい。但し、座標が分かれば、位置特定の精度は、前述のクリークの条件に依存しない場合がある。したがって、アンカーポイントの位置を見つける際に高い精度を達成するために、最大クリークのペア間の共通クリークのサイズ及び最大クリークのサイズに関する、連結の条件を満たすことだけを目的として追加される補助アンカーポイントまたはヘルパーアンカーポイントを考慮できる。

【0069】

ヘルパーアンカーポイントは、較正プロセスが実行されると、その後に削除することができる。例示的な利用例は、ヘルパーポイントの位置がアンカーの永続的な配置に適していない場合であるが、そのような位置は、例えば最大クリークサイズを満たす、またはグラフを連結するのに大いに役立つ。
利用事例

【0070】

こで、様々な利用事例のシナリオについて簡単に検討する。まず、全てのノードの連結グラフが実際には単一のクリークである場合を考える。この場合、行列近似手法を用いて与えられた座標系におけるアンカーポイントの位置を特定できる。次に、座標系が特定の方向及び場所と一致するようにシフト、回転及び対称移動できる。このような方向定位は、アンカーが配置されている実際の物理的空間に関して考えることができる。または、例えば、アンカーポイントが原点であると仮定することで、あるいは特定の軸、方向若しくは平面上にあると仮定することで、アンカーポイントのサブセットに関して定義できる。

【0071】

第２の利用事例のシナリオは、連結グラフがクリークではないアンカーの配置を持つと考えることができる。これは、より大きなクリークを生成するために、任意の他のアンカーポイントを付加できないクリークとして定義される、最大クリークのセットが存在することを意味する。このような場合、行列近似手法を任意のクリークに適用して、座標系のアンカー位置を見つけることができる。任意のステップにおいて、空間の次元よりも大きいサイズの共通クリークを有するクリークが少なくとも２つ存在する場合、座標系は再帰的に統一できる。

【0072】

任意のクリークに対する位置特定の精度を高めるには、座標統一アルゴリズムにおける２つのクリーク間の共通クリークのサイズに関する条件を満たすために、付加的なアンカーポイントを追加できることに留意されたい。

【0073】

第３の利用事例のシナリオでは、全結合連結グラフの一部ではない、アンカーポイントのセットを有することができる。例えば、大規模な倉庫のボリュームを見つけることに関心があると仮定する。倉庫の形状を完全に定義するには、いくつかのコーナーポイントを考慮するだけで十分な場合がある。但し、これにより連結グラフが切断される可能性がある。ノードを追加することで、グラフを連結することができる。しかしながら、統一された座標系で全てのアンカーポイントの座標を見つけるにはまだ十分ではない場合がある。したがって、（統一された座標系における解を見つけるために）最大クリークの条件を満たすには、各最大クリークの位置特定の精度を除いて、アンカーポイントを追加する必要がある。

【0074】

上記のシナリオに関係なく、再帰的三角再構成手法（ＲＴＲＴまたはＲＴ２）を適用できる。ＲＴ２では、位置が不明なアンカーのセットから開始し、位置が既知のアンカーのセットに次のポイントを順次追加する。第１のｎ＋１ノード（空間の次元はｎ）に加えて、次のポイント、例えばＰを、既知の位置を有するアンカーのセットにおけるｎ＋１ノードまでの少なくとも距離の測定値を有するポイントとして追加する。これらのｎ＋１ノードはポイントＰの基底（basis）と呼ばれる。基底は必ずしも一意である必要はない。選択した基底によっては、各ステップで座標系を調整する必要があることに留意されたい。言い換えれば、ポイントＰの座標は、選択した基底によって定義された座標に含まれるため、例えば、既知の位置のセット内の全てのポイントの座標が異なる基底で定義されている場合、この座標は別の座標に変換する必要がある。

【0075】

ここでは、いくつかの具体的な例を用いて本開示を示したが、当業者であれば本教示がそれらに限定されないことを認識するであろう。したがって、本開示は本明細書に添付される特許請求の範囲によってのみ限定されるべきである。

【図1】

【図2】