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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2023-09-08
(45)【発行日】2023-09-19
(54)【発明の名称】抵抗素子を含む数理問題解法回路
(51)【国際特許分類】
G06G 7/16 20060101AFI20230911BHJP
G11C 11/54 20060101ALI20230911BHJP
G11C 13/00 20060101ALI20230911BHJP
G06G 7/60 20060101ALI20230911BHJP
G06G 7/32 20060101ALI20230911BHJP
【ＦＩ】
G06G7/16 510
G11C11/54
G11C13/00 200
G06G7/60
G06G7/32
【請求項の数】
15
(21)【出願番号】P 2020517172
(86)(22)【出願日】2018-09-27
(65)【公表番号】
(43)【公表日】2020-12-17
(86)【国際出願番号】 IB2018057487
(87)【国際公開番号】W WO2019064215
(87)【国際公開日】2019-04-04
【審査請求日】2021-07-29
(31)【優先権主張番号】102017000108281
(32)【優先日】2017-09-27
(33)【優先権主張国・地域又は機関】IT
(73)【特許権者】
【識別番号】501193001
【氏名又は名称】ポリテクニコ ディ ミラノ
【氏名又は名称原語表記】ＰＯＬＩＴＥＣＮＩＣＯ ＤＩ ＭＩＬＡＮＯ
【住所又は居所原語表記】Ｐｉａｚｚａ Ｌｅｏｎａｒｄｏ ｄａ Ｖｉｎｃｉ，３２２０１３３ ＭＩＬＡＮＯ－Ｉｔａｌｙ
(74)【代理人】
【識別番号】100091683
【弁理士】
【氏名又は名称】▲吉▼川 俊雄
(74)【代理人】
【識別番号】100179316
【弁理士】
【氏名又は名称】市川 寛奈
(72)【発明者】
【氏名】イエルミニ，ダニエレ
(72)【発明者】
【氏名】サン，ゾン
(72)【発明者】
【氏名】ペドレッティ，ジャコモ
【審査官】豊田 真弓
(56)【参考文献】
【文献】国際公開第２０１７／０５２５９８（ＷＯ，Ａ１）
【文献】国際公開第２０１６／０６８９５３（ＷＯ，Ａ１）
【文献】米国特許出願公開第２０１７／００４００５４（ＵＳ，Ａ１）
【文献】村野 靖，『オペアンプ回路の「しくみ」と「基本」』，第1版，株式会社技術評論社 片岡 巌，2012年12月10日，第１１７頁
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｇ ７／１６
Ｇ１１Ｃ １１／５４
Ｇ１１Ｃ １３／００
Ｇ０６Ｇ ７／６０
Ｇ０６Ｇ ７／３２
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
数理問題解法回路（１００；１０００）であって、複数の行導体（Ｌｉ）、複数の列導体（Ｃｊ；Ｃｏｕｊ）、及びそれぞれが行導体と列導体との間で接続される複数の抵抗素子（Ｇｉｊ；Ｘｉｊ）を含む、交点行列（ＭＧ；ＭＧｏｕ）と、
複数の演算増幅器（ＯＡｉ；ＯＡｏｕｊ）であって、それぞれは、対応する行導体（Ｌｉ）に接続される第１の入力端子（ＩＮ１ｉ；「＋」）、アース端子（ＧＲ）に接続される第２の入力端子（ＩＮ２ｉ；「－」）、及び対応する行導体に対応する抵抗素子を介して接続される列導体（Ｃｊ；Ｃｏｕｊ）に、直接的に又は間接的に接続される出力端子（ＯＵｉ；ＯＵＰｊ）を有し、閉ループを構成し、対応する前記第１の入力端子（ＩＮ１ｉ；「＋」）を仮想接地に向けるようにする、複数の演算増幅器（ＯＡｉ；ＯＡｏｕｊ）と、を備え、
前記複数の抵抗素子は、対応するコンダクタンス値（Ｇｉｊ；Ｘｉｊ）によって、数理問題の第１の複数の既知の値を表し、
前記数理問題の少なくとも１つの第２の既知の値を表す少なくとも１つの構成可能な電気量（Ｉｉ；λＧ０；Ｇｏ）は前記回路と関連付けられ、
前記複数の演算増幅器（ＯＡｉ；ＯＡｏｕｊ）は、対応する出力端子（ＯＵｉ；ＯＵＰｊ）から、前記数理問題の複数の解の値を代表する複数の出力電圧（Ｖｉ；ｗｉ）を定め、
前記回路は、前記第１の入力端子（ＩＮ１ｉ；「＋」）が仮想接地を想定するときに、複数の解の値を表す複数の出力電圧（Ｖｉ；ｗｉ）が想定されるように構成される、数理問題解法回路（１００；１０００）。
【請求項2】
前記複数の抵抗素子は、抵抗メモリ、三端子抵抗素子（Ｄｉｊ、ＴＲｉｊ）、抵抗メモリ（ＭＲｉｊ）及び三端子抵抗素子（ＴＲｉｊ）の組合せのグループに属する少なくとも１つのデバイスである、請求項１に記載の回路（１００）。
【請求項3】
前記少なくとも１つの第２の既知の値は第２の複数の既知の値を含み、前記回路は、それぞれが、前記複数の行導体の行導体（Ｌｉ）に接続され、かつ前記第２の複数の既知の値の既知の値に対応する電流を発生させるように構成される複数の電流発生器（Ｉｉ）をさらに備える、請求項１に記載の回路（１００、２００）。
【請求項4】
それぞれの演算増幅器（ＯＡｉ）の前記第１の入力端子（ＩＮ１ｉ）は反転端子であり、それぞれの演算増幅器（ＯＡｉ）の前記第２の入力端子（ＩＮ２ｉ）は非反転端子である、請求項１～３のうちいずれか一項に記載の回路。
【請求項5】
行列形式で表現できる正方方程式系、実正方行列の反転、固有ベクトルの算出、微分方程式の解のグループに属する数理問題を解くように構成される、請求項３に記載の回路。【請求項6】
前記交点行列（ＭＧ＋）の前記複数の抵抗素子は、前記対応するコンダクタンス値（Ｇｉｊ＋）によって、前記第１の複数の既知の値を表すように構成され、このような前記第１の複数の既知の値は正の値である、請求項１～５のうちいずれか一項に記載の回路（２００；３００、５００）。
【請求項7】
さらなる複数の行導体（Ｌｉ－）、それぞれが、前記さらなる複数の行導体の行導体（Ｌｉ－）と前記複数の列導体（Ｃｊ）の対応する列導体との間で接続されるさらなる複数の抵抗素子（Ｇｉｊ－）を含む、さらなる交点行列（ＭＧ－）であって、前記対応するコンダクタンス値（Ｇｉｊ－）によって、前記数理問題に関する第２の複数の既知の負の値の絶対値を表すように構成される、さらなる交点行列（ＭＧ－）と、それぞれが、対応する列導体（Ｃｉ）上に配設され、かつ前記交点行列と前記さらなる交点行列との間に介在している複数の電圧インバータ（Ｉｎｖ１、Ｉｎｖ２、Ｉｎｖ３）と、をさらに含み、
前記さらなる複数の行導体（Ｌｉ－）のそれぞれの行導体は、前記仮想接地を想定するために対応する演算増幅器（ＯＡｉ）の前記第１の入力端子（ＩＮ１ｉ）に接続される、請求項６に記載の回路（３００、５００）。
【請求項8】
前記演算増幅器（ＯＡｉ）はトランスインピーダンス構成を有し、それぞれは、前記対応する出力端子（ＯＵｉ）と前記第１の入力端子（ＩＮｉ）との間に配設される帰還抵抗（λＧ０）を含み、前記帰還抵抗は前記少なくとも１つの第２の既知の値に関連しているコンダクタンス値を有する、請求項１に記載の回路（４００、５００）。
【請求項9】
前記回路は、以下の行列形式：Ａｘ＝ｂ
によって表現できる正方方程式系を解くように構成され、
式中、
Ａは既知の要素の行列であり、前記交点行列（ＭＧ）の前記コンダクタンス値は前記行列Ａの前記既知の要素に関連しており、
ｂは既知の要素のベクトルであり、前記複数の電流発生器（Ｉｉ）は、それぞれの電流発生器が前記ベクトルｂの既知の要素に対応する電流を発生させるように構成され、
ｘは未知の要素のベクトルであり、前記複数の出力電圧（Ｖｉ）は前記未知の要素を表す、請求項３または５に記載の回路。
【請求項10】
前記回路は、方程式系：ＡＡ－１＝Ｕ
に従って、反転させる正方行列Ａの反転行列Ａ－１を判断するように構成され、
前記反転させる正方行列Ａは既知の要素を含有し、前記交点行列（ＭＧ）の前記コンダクタンス値は前記既知の要素に関連しており、
Ｕは単位行列であり、前記複数の電流発生器（Ｉｉ）は前記単位行列Ｕのベクトルの値に対応する値の電流を発生させるように構成され、
前記反転行列Ａ－１は未知の要素の複数のベクトルを含み、前記複数の出力電圧（Ｖｉ）は前記反転行列Ａ－１の未知の要素の前記ベクトルのうちの１つを表す、請求項５に記載の回路。
【請求項11】
前記回路は、関係：Ａｘ＝λｘ
によって表現できる正方行列の固有ベクトル及び固有値問題を解くように構成され、
Ａは、各既知の要素を含有する正方行列であり、前記交点行列（ＭＧ）の前記コンダクタンス値は前記正方行列Ａの前記既知の要素に関連しており、
λは、前記帰還抵抗（λＧ０）の前記コンダクタンス値に関連している既知の固有値であり、
ｘは、未知の固有ベクトルであり、複数の出力電圧（Ｖｉ）は前記未知の固有ベクトルを表す、請求項８に記載の回路。
【請求項12】
前記回路は定電流またはパルス電流によって供給されるように構成される、請求項１～１１のうちいずれか一項に記載の回路。
【請求項13】
前記回路は前記複数の出力電圧（Ｖｉ）を測定するための少なくとも１つのデバイスを含む、請求項１～１２のうちいずれか一項に記載の回路。
【請求項14】
入力計算回路（６００）及び出力計算回路（７００）を備え、前記入力計算回路（６００）は、
複数の入力行導体（Ｌｉ）、複数の入力列導体（Ｃｊ）、及びそれぞれが入力行導体と入力列導体との間で接続される複数の入力抵抗素子（Ｘｉｊ）を含む、入力交点行列（ＭＧ）と、
それぞれがトランスインピーダンス構成である複数の入力演算増幅器（ＯＡｉ）であって、それぞれは、対応する行導体（Ｌｉ）に接続される第１の入力端子（ＩＮ１ｉ）、アース端子（ＧＲ）に接続される第２の入力端子（ＩＮ２ｉ）、及び出力端子（ＯＵｉ；ＯＵＰｊ）を有し、対応する前記第１の入力端子（ＩＮ１ｉ）を仮想接地に向けるようにする、複数の入力演算増幅器（ＯＡｉ）と、を備え、
前記出力計算回路（７００）は、
出力交点行列（Ｍ Ｇｏｕ ）及び複数の出力演算増幅器（ＯＡｏｕｊ）を備え、
それぞれの入力演算増幅器（ＯＡ ｉ ）は、前記交点行列（ＭＧｏｕ）の対応する行導体に接続される出力端子（ＯＵｉ）を有し、
それぞれの出力演算増幅器（ＯＡｏｕｊ）は、前記出力交点行列（ＭＧｏｕ）の対応する列導体（Ｃｏｕｊ）に接続される第１の入力端子（「＋」）及び前記入力交点行列（ＭＧ）の対応する入力列導体（Ｃｊ）に接続される出力端子（ＯＵＰｊ）を有する、請求項１に記載の回路（１０００）。
【請求項15】
前記回路は、以下のモード：線形回帰アクセラレータ、ロジスティック回帰アクセラレータのうちの１つに従って動作するように構成される、請求項１または１４に記載の回路（１０００）。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、抵抗素子を用いる電子回路によって行われる数学的計算の分野に関する。
【背景技術】
【0002】
抵抗メモリは、数学的計算電子回路において頻繁に応用されていることが見られる。この件に関して、特許文献１には、交点行列で編成された抵抗メモリを備え、かつ、タイプｘ＝Ａｂの行列ベクトル積演算を行うために構築される抵抗メモリを備える回路が記載されており、式中、ｘは電流ベクトル、Ａはコンダクタンス行列、及びｂは交点行列のそれぞれの行に印加される電圧のベクトルである。
【0003】
特許文献２には、計算アクセラレータに対する、とりわけ、方程式系を解くためのものであり、反復数値計算技法を用いることによる、抵抗メモリの行列が記載されている。このような解法には、収束を得るためのいくつかの反復が必要とされると考えられる。
【0004】
特許文献２に開示されるものと類似したアプローチが、Ｍ．Ｌｅ Ｇａｌｌｏ、「Ｍｉｘｅｄ－Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｍｅｍｃｏｍｐｕｔｉｎｇ」、ａｒＸｉｖ：１７０１．０４２７９［ｃｓ．ＥＴ］において見出される。ここでは、混合精度解法に対する相変化メモリの行列を組み合わせることによって反復アプローチ（クリロフ部分空間法）によって線形系を解くという問題に直面している。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0005】
【文献】米国特許第９１５２８２７号明細書
【文献】米国特許出願公開第２０１７／００４００５４号明細書
【非特許文献】
【0006】
【文献】Ｍ．Ｌｅ Ｇａｌｌｏ、「Ｍｉｘｅｄ－Ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｍｅｍｃｏｍｐｕｔｉｎｇ」、ａｒＸｉｖ：１７０１．０４２７９［ｃｓ．ＥＴ］
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0007】
出願人は、先行技術の計算処理方法は、実行可能な演算処理のタイプ（すなわち、簡易な乗算）との関連で、及び代数的な問題を解く可能性に対する計算負荷に関して、限界を示していると考えた。
【課題を解決するための手段】
【0008】
本発明の第１の目的は、独立請求項１に記載されるような数理問題解法回路である。詳細な実施形態は、従属請求項２～１５に記載されている。
【0009】
本発明について、以下の図面における例証的なやり方でのみ示される非限定的な例を参照して、以下に説明する。これらの図面は、本発明の種々の態様及び実施形態を示しており、適切な場合、種々の図における同様の構造、構成要素、材料、及び／または要素は同じ参照番号で指示される。
【図面の簡単な説明】
【0010】
【図1】数理問題解法回路の例を示す図である。
【図2】正方方程式系を解くための第１の回路の例を示す図である。
【図3】例として、正方方程式系を解くための第２の回路を示す図である。
【図4】固有ベクトルを算出するための第１の回路の例を示す図である。
【図5】固有ベクトルを算出するための第２の回路の例を示す図である。
【図6】三端子抵抗素子を使用して一実施形態における正方方程式系を解くための第１の回路を示す図である。
【図7】抵抗メモリと組み合わせた三端子抵抗素子を使用して一実施形態における正方方程式系を解くための第１の回路を示す図である。
【図8】開ループ演算増幅器を含む一実施形態における固有ベクトルを算出するための第１の回路を示す図である。
【図9】線形回帰アクセラレータ回路の例を示す図である。
【図10】線形回帰アクセラレータ回路を使用することによってトレーニングされるニューラルネットワークの例を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【0011】
本発明は種々の修正及び代替的な構成の影響を受けやすいが、いくつかの、対応して例証される実施形態が図面に示され、かつ以下に具体的に説明されるものになる。いずれにしても、本発明を特定の示される実施形態に限定することは意図されておらず、それどころか、本発明は、特許請求の範囲で定められるような本発明の範囲内にある、修正、代替的な構成、及び等価物全てを包含することが意図されていることを述べておく。
【0012】
図１は、数理問題１００を解くための回路の例について触れる。解法回路１００は、複数の行導体Ｌｉ、複数の列導体Ｃｊ、及びそれぞれが対応する行導体Ｌｉと対応する列導体Ｃｊとの間で接続される複数のアナログ抵抗メモリＧｉｊを含む、交点行列ＭＧを含む。
【0013】
本発明の目的で、（メモリスタとしても既知の）抵抗メモリは、可能な新しい構成が得られるまで維持される値にするように構成可能であるコンダクタンスを有する２つの端子（換言すれば、双極子）を有する回路素子である。例えば、以下のデバイスは、抵抗メモリ：抵抗変化型メモリ（ＲＲＡＭ（登録商標））、導電性ブリッジランダムアクセスメモリ（ＣＢＲＡＭ）、相変化メモリ（ＰＣＭ）、種々のタイプの磁気抵抗ランダムアクセスメモリ（ＭＲＡＭ）、種々のタイプの強誘電ランダムアクセスメモリ（ＦｅＲＡＭ）、有機体メモリ、または、電気、磁界、熱、光、機械動作、もしくは任意の他のタイプの動作、またはこれらの組合せによるこのコンダクタンスを変更できる他のデバイスである。
【0014】
上述した抵抗メモリＧｉｊは、好ましくは、アナログタイプのものであり、これは、これらの抵抗メモリが、動作範囲内で連続したコンダクタンス値にすることができることを意味するが、デジタルタイプの抵抗メモリＧｉｊの可能性は除外されず、これは、これらの抵抗メモリが値の有限集合にあるコンダクタンス値にできることを意味する。
【0015】
特定の示される例は、行導体Ｌｉの数Ｎ＝３、列導体Ｃｊの等しい数Ｎ＝３、及びこれらのコンダクタンスＧｉｊによって表されるアナログ抵抗メモリの数Ｎ×Ｎ＝３×３を示す。
【0016】
また、回路１００は、閉ループ構成を有する複数の演算増幅器ＡＯｉを含み、それぞれは、対応する行導体Ｌｉに接続される第１の入力端子ＩＮ１ｉ、及び、アース端子ＧＲ及び出力端子ＯＵｉに接続される第２の入力端子ＩＮ２ｉを有する。とりわけ、第１の入力端子ＩＮ１ｉは、対応する演算増幅器ＯＡｉの反転端子であり、第２の入力端子ＩＮ２ｉは、対応する演算増幅器ＯＡｉの非反転端子である。
【0017】
それぞれの演算増幅器ＯＡｉの出力端子ＯＵｉは、対応する列Ｃｊに接続される。具体的には、図１によると、それぞれの出力端子ＯＵｉは、ｊ＝ｉである列Ｃｊの端部に接続される。図１は、説明される例によると、３つの演算増幅器ＯＡｉ（ＯＡ１、ＯＡ２、ＯＡ３）を示すことで、３つの第１の入力端子ＩＮ１ｉ（ＩＮ１１、ＩＮ１２、ＩＮ１３）、３つの第２の入力端子ＩＮ２ｉ（ＩＮ２１、ＩＮ２２、ＩＮ２３）、及び３つの出力端子ＯＵｉ（ＯＵ１、ＯＵ２、ＯＵ３）が示されている。
【0018】
負帰還により、それぞれの演算増幅器ＡＯｉは、対応する第１の入力端子ＩＮ１ｉを仮想接地にするために、換言すれば、第２の入力端子ＩＮ２ｉによって想定されるアースＧＲのものに近い（理論上は等しい）電圧値にするために、動作できることが分かる。仮想接地は、有限利得を有する演算増幅器によって理論上想定されることが分かる。とりわけ、それぞれの演算増幅器ＡＯｉは反転構成を有する。
【0019】
解かれるべき数理問題に関して、複数の抵抗メモリＧｉｊは、対応するコンダクタンス値によって（さらにはＧｉｊによって指示される）、数理問題の第１の複数の既知の値を表すように構成可能である。
【0020】
また、回路１００は、解かれるべき数理問題の第２の既知の値または第２の複数の既知の値を表すように構成可能であるように適応される、回路自体の複数の電気の大きさを検出できるようにする。この第２の複数の既知の値は、例えば、それぞれの行導体において流された電流の値を含む、または、既知の値は、複数の演算増幅器ＡＯｉに接続可能な追加の電気部品のコンダクタンス（または別のパラメータ）とすることができる。
【0021】
複数の演算増幅器ＡＯｉは、数理問題を解く複数の値を代表する（それぞれの出力端子ＯＵｉで測定可能な）複数の出力電圧Ｖｉを定める。
【0022】
特定の実施形態によると、解法回路１００は、線形代数の問題の近似解に使用可能であり、この中で、以下が例示として挙げられる：
－行列形式で表現できる正方方程式系の解；
－実正方行列の反転；
－固有ベクトルの算出。
－行列形式で表現できる正方方程式系の解；
－実正方行列の反転；
－固有ベクトルの算出。
【0023】
解法回路１００は、（示されない）電圧値Ｖｉを測定するための少なくとも１つの装置をさらに備えることができる。このような測定装置は、アナログ（すなわち、電位差計）またはデジタルとすることができ、それによって、アナログからデジタルに電圧値Ｖｉを変えることが必要とされる。
【0024】
本明細書において、同一のまたは類似の回路部品は図における同じ特定する記号で指示されることが分かる。
【0025】
正方方程式系の解
図２は、上述される回路１００の第１の実施形態に触れており、例として、正方方程式系を解くための第１の回路２００を示す。
図２は、上述される回路１００の第１の実施形態に触れており、例として、正方方程式系を解くための第１の回路２００を示す。
【0026】
第１系の解法回路２００は、以下の行列形式によって表現できる正方方程式系を解くことが可能である。
Ａｘ＝ｂ （１）
式中、Ａは寸法Ｎ×Ｎを有する実係数の行列であり、ｘは長さがＮである未知のベクトルであり、ｂは長さがＮである実素子のベクトルである。
Ａｘ＝ｂ （１）
式中、Ａは寸法Ｎ×Ｎを有する実係数の行列であり、ｘは長さがＮである未知のベクトルであり、ｂは長さがＮである実素子のベクトルである。
【0027】
抵抗メモリＧｉｊは、最小値Ｇｍｉｎと最大値Ｇｍａｘとの間の範囲内で（不確定性マージン以外の）所定の値にするように構成可能であることが分かる。
【0028】
行列１の抵抗メモリのそれぞれのコンダクタンス値Ｇｉｊは、行列Ａの要素Ａｉｊに等しいまたは比例する。とりわけ、図２に示される、正方方程式系を解くための第１の回路２００は、全て正である行列Ａの要素ＡｉＪを指す。
【0029】
第１系の解法回路２００はまた、それぞれが、例えば、行導体Ｌｉの第１の端部に接続される複数の電流発生器Ｉｉを備える。それぞれの演算増幅器ＡＯｉは、例えば、電流発生器Ｉｉに接続される第１の端部の反対側の第２の端部で、対応する行導体Ｌｉに接続されることが分かる。例によると、抵抗メモリＧｉｊは、固有の行導体Ｌｉの第１の端部と第２の端部との間に含まれる、ノードｎｉｊにおいて対応する行導体に接続される対応する端子を示す。
【0030】
電流発生器Ｉｉは、各行導体において、電流Ｉｉ（Ｉ１、Ｉ２、Ｉ３）を流すように構成され、これらの値は、行列系（１）の既知のベクトルｂの要素に等しくなるまたは比例するように選択される。電流Ｉｉは定電流またはパルス電流である。
【0031】
演算では、行導体Ｌｉに供給する電流Ｉｉは、それぞれの演算増幅器ＡＯｉの第１の入力端子ＩＮｉ（換言すれば、仮想接地端子ＩＮ１ｉ）に流れる。電圧Ｖｉは、対応する出力端子ＯＵｉとアースＧＲとの間で数値が求められる。
【0032】
図２から、オームの法則及びキルヒホッフの法則に基づいて以下の式を書き込むことが可能である：
Ｖ１ Ｇ１１＋Ｖ２ Ｇ１２＋Ｖ３ Ｇ１３＝－Ｉ１
Ｖ１ Ｇ２１＋Ｖ２ Ｇ２２＋Ｖ３ Ｇ２３＝－Ｉ２ （２）
Ｖ１ Ｇ３１＋Ｖ２ Ｇ３２＋Ｖ３ Ｇ３３＝－Ｉ３
Ｖ１ Ｇ１１＋Ｖ２ Ｇ１２＋Ｖ３ Ｇ１３＝－Ｉ１
Ｖ１ Ｇ２１＋Ｖ２ Ｇ２２＋Ｖ３ Ｇ２３＝－Ｉ２ （２）
Ｖ１ Ｇ３１＋Ｖ２ Ｇ３２＋Ｖ３ Ｇ３３＝－Ｉ３
【0033】
式（２）は、数式（３）：
ΣｊＶｊＧｉｊ＝－Ｉｉ （３）
にあるようなコンパクトなやり方で、及びまた、以下の行列方程式（４）：
ＡＶ＝－Ｉ （４）
による代数表記法によって、書き換え可能である。式中、既に（１）によって表現されるように、ＡはコンダクタンスＧｉｊの行列であり、Ｉは既知のベクトル－ｂであり、電圧Ｖのベクトルは線形系Ａｘ＝ｂを解く。
ΣｊＶｊＧｉｊ＝－Ｉｉ （３）
にあるようなコンパクトなやり方で、及びまた、以下の行列方程式（４）：
ＡＶ＝－Ｉ （４）
による代数表記法によって、書き換え可能である。式中、既に（１）によって表現されるように、ＡはコンダクタンスＧｉｊの行列であり、Ｉは既知のベクトル－ｂであり、電圧Ｖのベクトルは線形系Ａｘ＝ｂを解く。
【0034】
演算では、上に述べられるように、コンダクタンスＧｉｊの値が構成され、第１の回路２００は所定の電流値Ｉｉによって供給される。
【0035】
演算増幅器ＡＯｉは、対応する第１の入力端子ＩＮｉ（反転端子）にすることで、出力端子ＯＵｉにおける、アースへの行導体Ｌｉ、ひいては電圧Ｖｉ全てによって、関係（４）によって表現されるように、最終値が想定される。
【0036】
高利得演算増幅器ＯＡｉを選択することによって、仮想接地に非常に迅速に達することが可能になり、電圧はまた、判断される値Ｖｉに迅速に収束することが分かる。とりわけ、この実施形態、及び他の実施形態に対して、１０５を上回る公称利得を有する演算増幅器が選択可能である。
【0037】
第１系の解法回路２００において達した電圧値Ｖｉ（具体的には、Ｖ１、Ｖ２、及びＶ３）を測定することによって、ベクトルｘの要素を得ることができ、その結果として、方程式系（１）を解くことが可能になる。
【0038】
図２の第１系の解法回路２００は、正の要素のみを含有する係数行列Ａを指す。正の要素及び負の要素両方を含有する係数行列Ａ１を考慮することによって、方程式系の解
Ａ１ｘ＝ｂ （１ａ）
は、係数行列Ａ１が寸法Ｎ＝３を有する具体的な例において、正方方程式系３００を解くための第２の回路の例を示す、図３における実施形態によって得られ得る。
Ａ１ｘ＝ｂ （１ａ）
は、係数行列Ａ１が寸法Ｎ＝３を有する具体的な例において、正方方程式系３００を解くための第２の回路の例を示す、図３における実施形態によって得られ得る。
【0039】
第２系の解法回路３００は、行列Ａ１が、両方が正の要素のみを含有する第１の行列Ａ＋と第２の行列Ａ－との間の差として表され得ると考えることにより構成される。
Ａ１＝Ａ＋－Ａ－ （５）
Ａ１＝Ａ＋－Ａ－ （５）
【0040】
とりわけ、第２の行列Ａ－は、行列Ａ１の負の要素の絶対値を含有する。
【0041】
数式（５）によると、第２系の解法回路３００は、図２の行列ＭＧに類似した第１の交点行列ＭＧ＋を含み、この抵抗メモリは、第１の行列Ａ＋の要素に対応するコンダクタンスＧｉｊ＋を有し、及び（構造的に第１の交点行列と類似した）第２の交点行列ＭＧ－を含み、この抵抗メモリは、第２の行列Ａ－の要素に対応するコンダクタンスＧｉｊ－を有する。
【0042】
２つの交点行列は、同じ列導体Ｃｊを有し、これらのそれぞれに沿って、（抵抗メモリＧｉｊ＋と抵抗メモリＧｉｊ－との間に）電圧の符号をこの入力からこの出力まで反転させるように構成され、かつ関係（５）によって指示される差に対応する、対応する反転デバイスＩｎｖ１（示される例では、Ｉｎｖ１、Ｉｎｖ２、Ｉｎｖ３）が介在している。
【0043】
第１の交点行列ＭＧ＋はＮ＝３の行導体Ｌｉ＋（Ｌ１＋、Ｌ２＋、Ｌ３＋）を含み、これらのそれぞれは、対応する電流発生器Ｉｉに接続される対応する供給ノードＮｉ（Ｎ１、Ｎ２、Ｎ３）に接続される端部を有する。
【0044】
例の第２の交点行列ＭＧ－はＮ＝３の行導体Ｌｉ－（Ｌ１－、Ｌ２－、Ｌ３－）を含み、これらのそれぞれは、供給ノードＮｉ（Ｎ１、Ｎ２、Ｎ３）のうちの１つに接続される端部を有する。
【0045】
とりわけ、第２系の解法回路３００の演算増幅器ＯＡｉは、仮想接地に対して上述されるように動作し、かつ、とりわけ、供給ノードＮ１、Ｎ２、及びＮ３で、ひいては仮想接地ノードとして動作する、それぞれの行導体Ｌｉ＋及びＬｉ－に接続される対応する反転入力端子Ｉｎ１ｉを有する。
【0046】
既知の電流（Ｉ１、Ｉ２、及びＩ３）のそれぞれは、供給ノードＮ１、Ｎ２、及びＮ３のうちの１つにおいて２つの項、すなわちＩｉ＋及びＩｉ－に分けられる。
Ｉｉ＝Ｉｉ＋＋Ｉｉ－ （６）
Ｉｉ＝Ｉｉ＋＋Ｉｉ－ （６）
【0047】
第１の交点行列ＭＧ＋に関して、式：
ΣｊＶｊＧｉｊ＋＝－Ｉｉ＋ （７）
は有効である。式中、Ｖｊは電圧ベクトルＶ１、Ｖ２、Ｖ３を指示する。
ΣｊＶｊＧｉｊ＋＝－Ｉｉ＋ （７）
は有効である。式中、Ｖｊは電圧ベクトルＶ１、Ｖ２、Ｖ３を指示する。
【0048】
第２の交点行列ＭＧ－に関して、以下の式：
－ΣｊＶｊＧｉｊ－＝－Ｉｉ－ （８）
は有効である。
－ΣｊＶｊＧｉｊ－＝－Ｉｉ－ （８）
は有効である。
【0049】
式（７）及び（８）をそれぞれ合計すると、
ΣｊＶｊ（Ｇｉｊ＋－Ｇｉｊ－＝－Ｉｉ＋－Ｉｉ－＝－Ｉ （９）
が得られる。
ΣｊＶｊ（Ｇｉｊ＋－Ｇｉｊ－＝－Ｉｉ＋－Ｉｉ－＝－Ｉ （９）
が得られる。
【0050】
関係（５）に基づいて、
（Ｇｉｊ＋－Ｇｉｊ－）＝（Ａ＋－Ａ）＝－Ａ１ （１０）
が得られる。
（Ｇｉｊ＋－Ｇｉｊ－）＝（Ａ＋－Ａ）＝－Ａ１ （１０）
が得られる。
【0051】
従って、以下のように（８）を書き換えることが可能である。
（Ａ＋－Ａ－）ｘ＝Ａ１ｘ＝－Ｉ＝ｂ （１１）
（Ａ＋－Ａ－）ｘ＝Ａ１ｘ＝－Ｉ＝ｂ （１１）
【0052】
電流Ｉｉを既知のベクトルｂの値に変更することによって、電圧Ｖｊを測定することによって、負の要素及び正の要素を含む、係数行列Ａ１に対する方程式系（１ａ）も解くことが可能になる。
【0053】
【0054】
反転行列Ａ－１は関係：
ＡＡ－１＝Ｕ （１２）
を満たす。ここで、Ｕは単位行列であり、この要素は、１に等しい対角線の要素以外は、全てゼロである。
ＡＡ－１＝Ｕ （１２）
を満たす。ここで、Ｕは単位行列であり、この要素は、１に等しい対角線の要素以外は、全てゼロである。
【0055】
反転行列Ａ－１を判断するために、以下の方程式系：
ＡＡｉ －１＝Ｕｉ （１３）
を解くことが必要とされることが分かる。ここで、
－Ａｉ －１は反転行列Ａ－１のｉ番目の列であり、
－Ｕｉは単位行列Ｕのｉ番目の列である。
ＡＡｉ －１＝Ｕｉ （１３）
を解くことが必要とされることが分かる。ここで、
－Ａｉ －１は反転行列Ａ－１のｉ番目の列であり、
－Ｕｉは単位行列Ｕのｉ番目の列である。
【0056】
行列Ａの寸法がＮ×Ｎである場合、（１３）に従ってＮの系を解くことが必要とされる。この場合、方程式系を解くための第１の回路２００は、方程式系（１３）のうちの１つに関して構成可能であり、それによって、
－交点行列ＭＧは反転される行列Ａの値に等しいコンダクタンスＧｉｊを有し、
－電流Ｉｉは単位行列Ｕのｉ番目の列の値Ｕｉになる。
－交点行列ＭＧは反転される行列Ａの値に等しいコンダクタンスＧｉｊを有し、
－電流Ｉｉは単位行列Ｕのｉ番目の列の値Ｕｉになる。
【0057】
このような条件の下で、図２に関して指示されるのと同じやり方で、電圧Ｖｊの値は反転行列Ａ－１の列Ａｉ
－１を表す。
【0058】
図３に関して説明されるモードを使用することによって、負の要素及び正の要素も含有する行列を反転させることが可能である。
【0059】
固有ベクトルの算出
上で論じられるように、回路１００は、例えば、第１の固有ベクトル算出回路４００を示す図４に示されるように、固有ベクトルを算出するために使用可能である。
上で論じられるように、回路１００は、例えば、第１の固有ベクトル算出回路４００を示す図４に示されるように、固有ベクトルを算出するために使用可能である。
【0060】
解かれるべき問題は、関係：
Ａｘ＝λｘ （１４）
によって表され得る。ここで、
－Ａは既知の要素のＮ×Ｎ行列であり、
－ｘは未知である、行列Ａの固有ベクトルであり、
－λは既知である、行列Ａの（スカラー）固有値である。
Ａｘ＝λｘ （１４）
によって表され得る。ここで、
－Ａは既知の要素のＮ×Ｎ行列であり、
－ｘは未知である、行列Ａの固有ベクトルであり、
－λは既知である、行列Ａの（スカラー）固有値である。
【0061】
第１の固有ベクトル算出回路４００では、演算増幅器ＡＯｉは、トランスインピーダンス構成を有し、とりわけ、第１の入力端子ＩＮ１ｉ（反転するものは「－」）は、λＧ０に等しいコンダクタンスを有する対応する帰還抵抗によってそれぞれの演算増幅器ＯＡｉの出力端子ＯＵｉに接続され、ここで、Ｇ０は、既知の値であり、かつ基準コンダクタンスである。
【0062】
とりわけ、（抵抗メモリによって実装可能な）それぞれの帰還抵抗λＧ０は、それぞれの演算増幅器ＯＡｉの反転端子にそれぞれ接続される、出力端子ＯＵｉと入力ノードＩＮｉ（例では、ＩＮ１、ＩＮ２、ＩＮ３）との間で接続される。
【0063】
演算増幅器ＡＯｉの出力端子ＯＵｉは、閉ループ構成を得るために各インバータＩＮＶ１Ｉ、ＩＮＶ２、及びＩＮＶ３によって行導体Ｌｉに接続される。
【0064】
図４の例は、正の要素のみを含有する行列Ａに対するＮ＝３の事例を指す。
【0065】
対応する演算増幅器の入力ノードＩＮｉに流れる電流Ｉ１、Ｉ２、及びＩ３は、
Ｉ１＝Ｖ１Ｇ１１＋Ｖ２Ｇ１２＋Ｖ３Ｇ１３
Ｉ２＝Ｖ１Ｇ２１＋Ｖ２Ｇ２２＋Ｖ３Ｇ２３
Ｉ３＝Ｖ１Ｇ３１＋Ｖ２Ｇ３２＋Ｖ３Ｇ３３ （１５）
によって表され得る。
Ｉ１＝Ｖ１Ｇ１１＋Ｖ２Ｇ１２＋Ｖ３Ｇ１３
Ｉ２＝Ｖ１Ｇ２１＋Ｖ２Ｇ２２＋Ｖ３Ｇ２３
Ｉ３＝Ｖ１Ｇ３１＋Ｖ２Ｇ３２＋Ｖ３Ｇ３３ （１５）
によって表され得る。
【0066】
一般的な値Ｎについて、系（１５）は以下のやり方：
Ｉｉ＝ΣｊＶｊＧｉｊ （１６）
または、行列表記法によって、以下のやり方：
Ｉ＝ＧＶ （１７）
で書き換え可能である。
Ｉｉ＝ΣｊＶｊＧｉｊ （１６）
または、行列表記法によって、以下のやり方：
Ｉ＝ＧＶ （１７）
で書き換え可能である。
【0067】
電流Ｉのベクトルは、電圧ベクトルＶに、トランスインピーダンス構成を有する演算増幅器ＯＡｉによって変換される。
Ｖ＝Ｉ／ＧＴＩＡ （１８）
Ｖ＝Ｉ／ＧＴＩＡ （１８）
【0068】
関係（１８）によって表される変換は、トランスインピーダンス増幅器として動作するそれぞれの演算増幅器ＯＡｉによって、及び対応するインバータＩＮＶｉによって可能にされる。
【0069】
ここで、ＧＴＩＡは、帰還抵抗のコンダクタンスである。
ＧＴＩＡ＝λＧ０ （１９）
式中、λは固有値であり、Ｇ０は基準コンダクタンスである。
ＧＴＩＡ＝λＧ０ （１９）
式中、λは固有値であり、Ｇ０は基準コンダクタンスである。
【0070】
従って、
ＧＶ＝Ｇ０λＶ （２０）
を書き込むことが可能である。
ＧＶ＝Ｇ０λＶ （２０）
を書き込むことが可能である。
【0071】
式（２０）と関係Ａｘ＝λｘとの比較によって、
Ａ＝Ｇ／Ｇ０、ｘ＝Ｖ （２１）
を得ることが可能になる。
Ａ＝Ｇ／Ｇ０、ｘ＝Ｖ （２１）
を得ることが可能になる。
【0072】
従って、図４の回路４００において、交点行列ＭＧの抵抗メモリのコンダクタンスＧｉｊは、基準コンダクタンスＧ０の値で乗算された行列Ａの要素のものに等しい値を有する。
【0073】
帰還抵抗ＧＴＩＡは、固有値λ及び基準コンダクタンスＧ０の積によって与えられる。電圧Ｖｉ（Ｖ１、Ｖ２、及びＶ３）の測定された値は、要求された固有ベクトルｘに相当する。固有ベクトルｘの完全集合は、固有値、換言すれば、帰還抵抗ＧＴＩＡの値を修正することによって得られることが分かる。
【0074】
第１の固有ベクトル算出回路４００の可能な応用がランキングアルゴリズムの（例えば、Ｇｏｏｇｌｅの）リンク行列において見出され、ここで、固有値はそれぞれのページの重要性スコアを表現していることが分かる。従って、説明した解法は、インターネットページのランキングを加速させ、かつ一般的に「ビッグデータ」を解析するのに極めて有利であると思われる。
【0075】
第１の固有ベクトル算出回路４００はまた、微分方程式の近似数値解に適用可能である。微分方程式が有限微分方程式に変換される時、再び行列形式Ａｘ＝λｘになる。例えば、シュレーディンガー方程式がこのような形式を取り、ここで、Ａは準対角行列であり、λはエネルギーの固有値であり、ｘは問題の固有関数の解である。
【0076】
固有ベクトルが求められる行列Ａが正の要素及び負の要素両方を含有する場合、問題は、（依然Ｎ＝３として）図５に例として示される第２の固有ベクトル算出回路５００によって解かれ得る。
【0077】
第２の固有ベクトル算出回路５００は、それぞれ、表記法に従って正の要素を含有する行列Ｇ＋及びＧ－に対応する、第１の交点行列ＭＧ＋及び第２の交点行列ＭＧ－を含む。
Ａ＝（Ｇ＋－Ｇ－）／Ｇ０ （２２）
Ａ＝（Ｇ＋－Ｇ－）／Ｇ０ （２２）
【0078】
２つの交点行列は、同じ列導体Ｃｊを有し、これらのそれぞれに沿って、（抵抗メモリＧｉｊ＋と抵抗メモリＧｉｊ－との間に）電圧の符号をこの入力からこの出力まで反転させるように構成される、対応する反転デバイスＩｎｖｊ（Ｉｎｖ４、Ｉｎｖ５、Ｉｎｖ６）が介在している。
【0079】
第１の交点行列ＭＧ＋はＮ＝３の行導体Ｌｉ＋（Ｌ１＋、Ｌ２＋、Ｌ３＋）を含み、これらのそれぞれは、対応する接続ノードＮｉＡ（Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ、Ｎ３Ａ）に接続される端部を有する。例の第２の交点行列ＭＧ－はＮ＝３の行導体Ｌｉ－（Ｌ１－、Ｌ２－、Ｌ３－）を含み、これらのそれぞれは、接続ノードＮｉＡ（Ｎ１Ａ、Ｎ２Ａ、Ｎ３Ａ）のうちの１つに接続される端部を有する。
【0080】
とりわけ、第２系の解法回路３００の演算増幅器ＯＡｉは、仮想接地に対して上記のように動作し、かつ、とりわけ、コンタクトノードＮ１Ａ、Ｎ２Ａ、及びＮ３Ａで、それぞれの行導体Ｌｉ＋及びＬｉ－に接続される対応する入力ノードＩＮｉを有するため、仮想接地ノードとして動作する。
【0081】
図５における回路について、第１の交点行列ＭＧ＋の行導体にある電流Ｉｉ＋（Ｉ１＋、Ｉ２＋、Ｉ３＋）に関して、コンパクトな形式の以下の式が有効である。
Ｉｉ＋＝ΣｊＶｊＧｉｊ＋ （２３）
Ｉｉ＋＝ΣｊＶｊＧｉｊ＋ （２３）
【0082】
第２の交点行列ＭＧ－の行導体において流れる電流Ｉｉ＋（Ｉ１＋、Ｉ２＋、Ｉ３＋）に関して、コンパクトな形式の以下の式が有効である。
Ｉｉ－＝－ΣｊＶｊＧｉｊ－ （２４）
Ｉｉ－＝－ΣｊＶｊＧｉｊ－ （２４）
【0083】
電流Ｉｉ＋及びＩｉ－は、
Ｉｉ＝Ｉｉ＋＋Ｉｉ （２５）
を得るために、キルヒホッフの法則に従って、各接続ノードＮ１Ａ、Ｎ２Ａ、及びＮ３Ａにおいてそれぞれを合計する。
Ｉｉ＝Ｉｉ＋＋Ｉｉ （２５）
を得るために、キルヒホッフの法則に従って、各接続ノードＮ１Ａ、Ｎ２Ａ、及びＮ３Ａにおいてそれぞれを合計する。
【0084】
その結果、電流ベクトルＩは、
Ｉ＝ＧＶ （２６）、
ここで、
Ｇｉｊ＝Ｇｉｊ＋ － Ｇｉｊ－ （２７）
として代数表記法によって表現できる。
Ｉ＝ＧＶ （２６）、
ここで、
Ｇｉｊ＝Ｇｉｊ＋ － Ｇｉｊ－ （２７）
として代数表記法によって表現できる。
【0085】
電流ベクトルＩはトランスインピーダンス演算増幅器ＯＡｉによって、及び対応するインバータＩｎｖｉによって電圧ベクトルＶにおいて変換される。
Ｖ＝Ｉ／ＧＴＩＡ （２８）
ここで、図４の上述される回路に関して、ＧＴＩＡは帰還抵抗のコンダクタンスである。
ＧＴＩＡ＝λＧ０ （２９）
Ｖ＝Ｉ／ＧＴＩＡ （２８）
ここで、図４の上述される回路に関して、ＧＴＩＡは帰還抵抗のコンダクタンスである。
ＧＴＩＡ＝λＧ０ （２９）
【0086】
【0087】
第１の固有ベクトル算出回路４００のそれぞれの演算増幅器ＡＯｉはこれ自体の正の供給源及び負の供給源を有する能動回路であることが分かる。第１の固有ベクトル算出回路４００の行導体及び列導体において、電流／電圧は、問題の解法を判断するオームの法則及びキルヒホッフの法則を満たすように生成される。他で示される図の回路にも類似の検討が有効である。
【0088】
さらなる実施形態
上述した回路全てのコンダクタンス値Ｇｉｊは、抵抗メモリ（換言すれば、メモリスタ）を使用することによってだけでなく、必要とされるコンダクタンスＧｉｊのそれぞれの値に対して、例えば、電界効果トランジスタ、フローティングゲートトランジスタ、フラッシュメモリ、電荷トラップメモリなどの３つ以上の端子を有する抵抗素子（好ましくは、再構成可能なもの）を使用することによって、得られ得ることが分かる。例えば、電荷トラップメモリとして、ｍｅｔａｌ－ｏｘｉｄｅ－ｎｉｔｒｉｄｅ－ｏｘｉｄｅ－ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ（ＭＯＮＯＳ）構造を有するデバイスが使用可能である。
上述した回路全てのコンダクタンス値Ｇｉｊは、抵抗メモリ（換言すれば、メモリスタ）を使用することによってだけでなく、必要とされるコンダクタンスＧｉｊのそれぞれの値に対して、例えば、電界効果トランジスタ、フローティングゲートトランジスタ、フラッシュメモリ、電荷トラップメモリなどの３つ以上の端子を有する抵抗素子（好ましくは、再構成可能なもの）を使用することによって、得られ得ることが分かる。例えば、電荷トラップメモリとして、ｍｅｔａｌ－ｏｘｉｄｅ－ｎｉｔｒｉｄｅ－ｏｘｉｄｅ－ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ（ＭＯＮＯＳ）構造を有するデバイスが使用可能である。
【0089】
この目的で、図６は、図２に関して上述される正方方程式系を解くための第１の回路２００の第１の実施形態（２００Ａ）を示す。ここで、コンダクタンスＧｉｊは対応するＭＯＮＯＳ型デバイスＤｉｊによって得られる。
【0090】
それぞれのデバイスＤｉｊのゲート電圧Ｖｇ、ｉｊは、（示されない）各張力発生器によって制御され、かつ、例えば、列または行のゲート端子全てを電圧発生器自体に接続することによって、接続数を限定するために部分的に互いに短絡可能である。図６における同じ回路は、フローティングゲートトランジスタで、簡易な電界効果トランジスタで、または他のタイプの三端子素子で使用可能である。
【0091】
さらに、三端子抵抗素子はまた、二端子素子（例えば、メモリスタ）及び三端子素子の適した組合せを含むことができることが分かる。図７は、正方方程式系を解くための第１の回路２００の第２の実施形態（２００Ｂ）を例示的に示し、ここで、それぞれのコンダクタンスＧｉｊは、トランジスタデバイスＴＲｉｊ及びメモリスタデバイスＭＲｉｊを含む三端子素子を適当に構成することによって得られる。
【0092】
コンダクタンス値Ｇｉｊを得るために使用可能である可能な抵抗素子に関して説明されるものは、第１の固有ベクトル算出回路４００に関して説明されるコンダクタンス値Ｇ０に依然有効であることが分かることは、有用である。
【0093】
さらに、説明した実施形態全ては一定のコンダクタンス抵抗素子、換言すれば、非再構成可能素子を使用することによって動作可能であることが分かる。
【0094】
ここで、上述される種々の実施形態における演算増幅器ＯＡｉの閉ループ構成を参照する。さらなる実施形態によると、演算増幅器ＯＡｉのうちの１つが、出力端子ＯＵｉが列導体Ｃｉに接続されない開ループ構成であることも企図される。
【0095】
例えば、図８は、第１の固有ベクトル算出回路４００の異なる実施形態（４００Ｂ）を示す。ここで、演算増幅器ＯＡ１の出力端子ＯＵ１は、第１の列導体Ｃ１に接続されないため、（求められる固有ベクトルＶの要素として）測定される電圧Ｖ１’は、演算増幅器ＯＡ１によって（対応する反転デバイスＩｎｖ１によって）駆動される端子ＴＯＵ１で利用可能である。図８の例によると、第１の列Ｃ１は、電圧発生器ＧＥＮによって発生させる電圧Ｖ１によって供給される。また、交点行列ＭＧ内の他の点で、図８に示されるものの代替策としてまたはこれに加えて、第１の列導体Ｃ１が開放される可能性がある。
【0096】
既に述べたように、数理問題解法回路１００及びこの上述される実施形態の応用は、ビッグデータを解析する、例えば、ウェブページのランクページを算出することから成ることが分かる。他の応用は、例えば、シュレーディンガー方程式、及び他の気象学、金融、生物学問題など、微分方程式の近似解を含む。
【0097】
数理問題解法回路１００及びこの上述される実施形態は、近似解を伝えるが、これは、抵抗メモリの構成可能な値について一部不確定であるからである。このような近似は、回路自体の応用のより大きい部分には許容できる。
【0098】
数理問題解法回路１００及びこの上述される実施形態は、計算が簡易であるという利点を有し、計算は、乗算及び加算を必要とせずに１つのクロックだけで行われる。従って、説明した回路は代数的計算アクセラレータとして動作する。
【0099】
図９は、線形回帰アクセラレータ回路１０００として数理問題解法回路の別の例に触れている。
【0100】
線形回帰アクセラレータ回路１０００は、第２の回路７００（または出力回路）に接続される第１の回路６００（または入力回路）を含む。第１の回路６００は、複数のアナログ抵抗メモリがＧｉｊの代わりに参照記号Ｘｉｊによって指示されること以外、図１に説明される数理問題解法回路１００に類似している。第２の入力回路７００はまた、図１に説明される数理問題解法回路１００に類似している。
【0101】
より詳細には、第１の回路６００の演算増幅器ＯＡｉは、トランスインピーダンス構成を有し、具体的には、第１の入力端子ＩＮ１ｉ（反転するものは「－」）は、Ｇ０に等しいコンダクタンスを有する対応する帰還抵抗によってそれぞれの演算増幅器ＯＡｉの出力端子ＯＵｉに接続され、ここで、Ｇ０は、既知の値であり、かつ基準コンダクタンスである。
【0102】
それぞれの演算増幅器ＯＡｉの出力端子ＯＵｉは、出力交点行列ＭＧｏｕを含む第２の回路７００に接続される。出力交点行列ＭＧｏｕは、交点行列ＭＧと同じ寸法を有し、かつ第１の回路６００の交点行列ＭＧのものと同一の値及び回路位置を有するアナログ抵抗メモリＸｉｊを含む。
【0103】
図９の例において、交点行列ＭＧ及び出力交点行列ＭＧｏｕは矩形行列である。とりわけ、列数は行数より（例えば、単位として）少ない。
【0104】
第１の回路６００のそれぞれの演算増幅器ＯＡｉの出力端子ＯＵｉは、出力交点行列ＭＧｏｕの対応する行導体Ｌｉに接続される。出力交点行列ＭＧｏｕのそれぞれの列導体Ｃｏｕｊは対応する出力演算増幅器ＯＡｏｕｉに接続される。それぞれの出力演算増幅器ＯＡｏｕｉは、対応する列導体Ｃｏｕｊに接続される対応する非反転入力端子「＋」、及び、アースＧＲに接続される対応する反転入力端子「－」を有する。
【0105】
それぞれの出力演算増幅器ＯＡｏｕｉは、第１の回路６００の交点行列ＭＧの対応する列導体Ｃｊに接続される対応する出力端子ＯＵＰｊを備える。それぞれの出力演算増幅器ＯＡｏｕｉは閉ループ回路１０００において接続される。
【0106】
また、線形回帰アクセラレータ回路１０００は、この例において、それぞれが、交点行列ＭＧの行導体Ｌｉに接続され、かつコンダクタンスＧ０が接続される対応する端子における電圧－ｙｉを有する電圧発生器ＶＧｉによって供給される。それぞれの演算増幅器ＡＯｉの出力端子ＯＵｉにおける電圧は、参照記号Ｖｉで指示される。出力演算増幅器ＯＡｏｕｉの出力端子ＯＵＰｊにおける電圧は、記号ｗｊ（例では、ｗ１及びｗ２）によって指示される。
【0107】
線形回帰問題に関して、回帰が、無限の仮説母集団から抽出されるサンプリング日に基づいて測定される変数の間の関数関係の問題を正式なものにしかつ解くことに留意されたい。例えば、これは、ｍの点（入力／出力の対が考慮される）であり、それぞれがｎの入力変数：
（ｘ１、ｘ２、…、ｘｎ） （３１）
を有し、出力座標はｙである。
（ｘ１、ｘ２、…、ｘｎ） （３１）
を有し、出力座標はｙである。
【0108】
ｉ番目の入力／出力の対に対して、線形回帰関係がある。
ｙｉ＝ｗ０＋ｗ１ｘ１ ｉ＋ｗ２ｘ２ ｉ＋…＋ｗｎｘｎ ｉ＋εｉ （３２）
ここで、ｉは１からｍまでの整数全てを包含する。
ｙｉ＝ｗ０＋ｗ１ｘ１ ｉ＋ｗ２ｘ２ ｉ＋…＋ｗｎｘｎ ｉ＋εｉ （３２）
ここで、ｉは１からｍまでの整数全てを包含する。
【0109】
行列形式において全体を表現することによって、
ｙ＝Ｘ・ｗ＋ε （３３）
が得られる。式中、Ｗは（判断される）係数の行列であり、εは近似誤差である。
ｙ＝Ｘ・ｗ＋ε （３３）
が得られる。式中、Ｗは（判断される）係数の行列であり、εは近似誤差である。
【0110】
【数1】
【0111】
近似誤差εを最小化するために、ベクトルεのノルムは最小化されるため、
【0112】
【数2】
【0113】
最低ノルムは、変数ｗに対して数式（３４）の導関数をゼロに設定することによって判断可能である。
【0114】
【数3】
【0115】
従って、
ＸＴ×ｗ＝ＸＴｙ （３５）
になる。
ＸＴ×ｗ＝ＸＴｙ （３５）
になる。
【0116】
従って、係数行列ｗは、
ｗ＝（ＸＴＸ）－１ＸＴｙ （３６）
によって示され、式中、（ＸＴＸ）－１ＸＴは行列Ｘの疑似逆である。
ｗ＝（ＸＴＸ）－１ＸＴｙ （３６）
によって示され、式中、（ＸＴＸ）－１ＸＴは行列Ｘの疑似逆である。
【0117】
再び、線形回帰回路１０００に言及すると、数式（３６）を解くことによって二次誤差（３４）を最小化するのに有用である。
【0118】
実際には、（トランスインピーダンス構成において動作させる）演算増幅器ＯＡｉの出力電圧Ｖｉ（ベクトルＶ）は以下の関係によって表現できる。
Ｖ＝－（Ｘ・ｗ－Ｇ０ｙ）／Ｇ０ （３７）
式中、Ｘはコンダクタンスの行列Ｘｉｊであり、Ｇ０は前に定められたものである。
Ｖ＝－（Ｘ・ｗ－Ｇ０ｙ）／Ｇ０ （３７）
式中、Ｘはコンダクタンスの行列Ｘｉｊであり、Ｇ０は前に定められたものである。
【0119】
演算増幅器ＯＡｉに関して説明されるものと類似した出力演算増幅器ＯＡｏｕｊは、対応する非反転入力端子を仮想接地に接続するように構成されるため、以下になる。
ＸＴ・Ｖ＝－ＸＴ・（Ｘ・ｗ－Ｇ０ｙ）／Ｇ０＝０ （３８）
ＸＴ・Ｖ＝－ＸＴ・（Ｘ・ｗ－Ｇ０ｙ）／Ｇ０＝０ （３８）
【0120】
行列Ｇ０はコンダクタンスの行列Ｘに対する単位であるため、数式（３８）は、
ＸＴＸ・ｗ－ＸＴｙ＝０ （３９）
の形式を取る。これは数式（３６）と同等である。
ＸＴＸ・ｗ－ＸＴｙ＝０ （３９）
の形式を取る。これは数式（３６）と同等である。
【0121】
既知の値に基づいて回路１０００を正確に寸法合わせした後、電圧発生器ＶＧｉによって供給電圧が印加されると、回路１０００は、出力演算増幅器ＯＡｏｕｊの出力端子が（数式（３６）からのように）求めた解を表す対応する電圧ｗｊを有するように動作することになる。先の実施形態に対して行われたものと類似して、線形回帰アクセラレータ回路１０００に対しても、計算は乗算及び加算を必要とすることなく１つのクロックのみで行われる。従って、説明した線形回帰回路１０００は代数的計算アクセラレータとして動作する。
【0122】
前述される線形回帰アクセラレータ回路１０００の配置はまた、ロジスティック回帰アクセラレータとして使用されるように適応可能である。知られているように、ロジスティック回帰は、ｙ依存変数が、２つの値（例えば、真または偽）のみにできる変数全てのように、低値（例えば、－１）及び高値（例えば、＋１）に関係している二値型である事例に関する特定の事例である。
【0123】
ロジスティック回帰アクセラレータを実装するために、（低値として）－１及び（高値として）１の二値を表す電圧（または電流）供給発生器を有する図９の回路１０００のレイアウトを修正することが企図される。得られたベクトルｗは、高い及び低いｙを有する点の２つのクラスを線形に分けることを可能にする式（３２）の係数を特定する。
【0124】
また、線形回帰アクセラレータ回路１０００は、ニューラルネットワークの係数ｗｊを算出するために使用可能であり、これによって、例えば、逆伝搬法に従って、反復トレーニングを行うことが防止される。
【0125】
例えば、図１０は、入口層８０１、隠れ層８０２、及び出口層８０３を含むニューラルネットワーク８００を概略的に示す。
【0126】
図１０の例では、入口層はＮ１＝１４×１４＝１９６のニューロンを含み、隠れ層はＮ２＝７８４のニューロンを含み、最後に、出力または分類層はＮ３＝１０のニューロンを含む。
【0127】
入力層８０１に関連しているニューラルネットワーク８００の重みは、行列Ｗ（１）（例えば、寸法Ｎ１×Ｎ２＝１９６×７８４のＷ（１））によって表され得、隠れ層８０４に関連している重みは行列Ｗ（２）（例えば、寸法Ｎ２×Ｎ３＝７８４×１０のＷ（２））によって表され得る。
【0128】
ニューラルネットワーク８００は、例えば、入力量を承認する／分類するのに使用可能である。特定の例によると、上述したもののようなネットワークは、手書きの数字（０から９まで）を承認するために使用可能である。例えば、Ｎ１の入力値（画素）の行列において表されるＭＮＩＳＴデータセット標準における１桁の数字は、シナプス荷重の値を設定するためにネットワーク８００を適当にトレーニングすることによって０から９までの数字としてニューラルネットワークによって分類可能である。
【0129】
ニューラルネットワーク８００をトレーニングする演算はロジスティック回帰演算であり、この場合、重みは、ニューロンの二値出力をより良く線形に分離する係数を表すことが分かる。
【0130】
結果として、ネットワークは、先述されるロジスティック回帰アルゴリズムに従って動作させる、図９における線形回帰回路１０００によってトレーニング可能である。この目的で、第１のニューロン層８０１と隠れニューロン層８０２との間のシナプス荷重Ｗ（１）は、例えば、重みのランダムな分布に従って、任意に設定される。また、第１の層８０１のニューロンに提示されるＮ１の入力値の集合の判断された数Ｍによって形成されるトレーニングデータセットが使用される。回路１０００内で使用される行列Ｘは、さらにまた、種々のＭの提示で隠れネットワークの出力値によって形成されることになる。
【0131】
Ｍ＊Ｎの提示される入力値全てを含有する行列Ｉを定めることによって、行列Ｉは例えば、
Ｘ＝ｓｉｇｍｏｉｄ（Ｉ＊Ｗ（１）） （４０）
として得られる。ここで、シグモイド関数は、一般的なニューロンに関連している可能な非線形関数である。行列は寸法Ｍ＊Ｎ２を有することが分かる。図９におけるベクトルｙｉは、それとは逆に、（ｉが１からＮ３まで変化するとして）ｉ番目の分類ニューロンを指す、ラベルの行列（「真」というラベルが＋１、「偽」というラベルが－１）として得られる。ｉ番目のニューロンを指すシナプス荷重は従って、線形回帰：
Ｗｉ （２）＝（ＸＴＸ）－１ＸＴｙ （４１）
によって得られる。
Ｘ＝ｓｉｇｍｏｉｄ（Ｉ＊Ｗ（１）） （４０）
として得られる。ここで、シグモイド関数は、一般的なニューロンに関連している可能な非線形関数である。行列は寸法Ｍ＊Ｎ２を有することが分かる。図９におけるベクトルｙｉは、それとは逆に、（ｉが１からＮ３まで変化するとして）ｉ番目の分類ニューロンを指す、ラベルの行列（「真」というラベルが＋１、「偽」というラベルが－１）として得られる。ｉ番目のニューロンを指すシナプス荷重は従って、線形回帰：
Ｗｉ （２）＝（ＸＴＸ）－１ＸＴｙ （４１）
によって得られる。
【0132】
従って、隠れ層８０２の重みＷ（２）の値は、行列表現（４１）が上で論じた行列表現（３６）に類似していることが分かることで、線形回帰アクセラレータ回路１０００を使用することによって得られ得る。動作はＮ３回、それぞれの分類ニューロンにつき１回、繰り返されなければならないことが分かる。それぞれの動作によって、ｉ番目の出力ニューロンを指すＮ２のシナプス荷重を得ることが可能になる。このように、繰り返し演算によって、隠れ層と出力層との間のＮ２×Ｎ３のシナプス荷重Ｗ（２）全てを得ることが可能になる。
【0133】
線形回帰アクセラレータ１０００及びこの上述した特定の実施形態は、データサイエンスにおいて非常に有用であり、かつ、例えば、経済、金融、生物学、物理学、自動トレーニング、ロボット工学などにおける種々の科学及び工学分野において可能な応用を見出すことが分かる。
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】