特許 7370575 計算装置、複素数の絶対値の計算方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2023-10-20

(45)【発行日】2023-10-30

(54)【発明の名称】計算装置、複素数の絶対値の計算方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/17 20060101AFI20231023BHJP

   G06F 17/10 20060101ALI20231023BHJP

【ＦＩ】

G06F17/17

G06F17/10 F

【請求項の数】 10

(21)【出願番号】P 2019198315

(22)【出願日】2019-10-31

(65)【公開番号】P2021071934

(43)【公開日】2021-05-06

【審査請求日】2022-08-03

【新規性喪失の例外の表示】特許法第３０条第２項適用 発行者名：一般社団法人映像情報メディア学会、刊行物名：映像情報メディア学会技術報告 ＶＯＬ．４３，ＮＯ．２６、発行年月日：２０１９年８月１９日 集会名：サマーセミナー２０１９「ビジョン技術の今を知り、未来を切り拓く」、主催：公益社団法人精密工学会 画像応用技術専門委員会 共催：一般社団法人映像情報メディア学会 メディア工学研究会、開催日：２０１９年８月２６日

(73)【特許権者】

【識別番号】304027279

【氏名又は名称】国立大学法人 新潟大学

(74)【代理人】

【識別番号】100095407

【弁理士】

【氏名又は名称】木村 満

(74)【代理人】

【識別番号】100175019

【弁理士】

【氏名又は名称】白井 健朗

(74)【代理人】

【識別番号】100195648

【弁理士】

【氏名又は名称】小林 悠太

(74)【代理人】

【識別番号】100104329

【弁理士】

【氏名又は名称】原田 卓治

(74)【代理人】

【識別番号】100132883

【弁理士】

【氏名又は名称】森川 泰司

(72)【発明者】

【氏名】村松 正吾

(72)【発明者】

【氏名】山田 寛喜

(72)【発明者】

【氏名】児玉 侑也

【審査官】漆原 孝治

(56)【参考文献】

【文献】特開昭５７－２０１９５７（ＪＰ，Ａ）

【文献】特開平０２－１７０２７４（ＪＰ，Ａ）

【文献】特開平０５－２４８８１３（ＪＰ，Ａ）

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｆ １７／１７

Ｇ０６Ｆ １７／１０

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行する計算部と、
前記計算部が前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する決定部と、を備える、
計算装置。

【請求項2】

前記計算部は、固定小数点演算により、前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行する、
請求項１に記載の計算装置。

【請求項3】

前記複数の角度の正弦値及び余弦値が少なくとも格納された三角比テーブルを記憶する記憶部、を更に備え、
前記計算部は、前記記憶部に記憶された前記三角比テーブルを参照して、前記計算処理を実行する、
請求項１又は２に記載の計算装置。

【請求項4】

前記複数の角度の個数を設定する設定部、を更に備え、
前記計算部は、前記設定部により設定された前記個数の前記複数の角度のそれぞれについて、前記計算処理を実行する、
請求項１から３のいずれか１項に記載の計算装置。

【請求項5】

前記複数の角度のそれぞれは、０からπ／２までの範囲で互いに等しい間隔を空けた角度である、
請求項１から４のいずれか１項に記載の計算装置。

【請求項6】

前記決定部により決定された前記複素数の絶対値に対応する値に基づいて、信号処理を実行する信号処理部と、
前記信号処理部により実行された前記信号処理の結果を示す出力情報を出力する出力部と、を更に備える、
請求項１から５のいずれか１項に記載の計算装置。

【請求項7】

前記信号処理部は、前記信号処理として、観測画像から復元画像を復元する画像復元処理を実行し、
前記出力部は、前記出力情報として、前記復元画像を出力する、
請求項６に記載の計算装置。

【請求項8】

前記信号処理部は、前記画像復元処理において、繰り返しソフト閾値アルゴリズムを用いて前記観測画像から係数ベクトルを推定し、推定された前記係数ベクトルから前記復元画像を復元する、
請求項７に記載の計算装置。

【請求項9】

計算装置が実行する計算方法であって、
与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行し、
前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する、
複素数の絶対値の計算方法。

【請求項10】

コンピュータを、
与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行する計算部、
前記計算部が前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する決定部、として機能させる、
プログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、計算装置、複素数の絶対値の計算方法及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

画像処理をはじめとする様々な分野において、複素数の信号処理に対する需用がある。例えば特許文献１は、複素数の絶対値を近似により計算する手法を開示している。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0003】

【文献】特開平０２－１７０２７４号公報

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0004】

複素数の絶対値は、理論的には、実部と虚部の自乗和の平方根を計算することにより得られる。そのため、計算機において複素数の絶対値を計算するためには、自乗及び平方根の計算が必要になる。しかしながら、自乗の計算は、定数乗算に比べて大きな回路規模及び電力消費を必要とする。一方で、平方根の計算は、多項式近似、区分線形近似（折れ線近似）、ＣＯＲＤＩＣ（Coordinate Rotation Digital Computer）等のような近似計算の手法を利用することができるが、いずれも複素数の実部と虚部の自乗和の計算を避けることはできない。そのため、自乗及び平方根の計算を必要とせずに複素数の絶対値を計算することが求められている。

【0005】

本発明は、上記実情に鑑みてなされたものであり、自乗及び平方根の計算を必要とせずに複素数の絶対値を計算することが可能な計算装置、複素数の絶対値の計算方法及びプログラムを提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0006】

上記目的を達成するため、本発明の第１の観点に係る計算装置は、
与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行する計算部と、
前記計算部が前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する決定部と、を備える。

【0007】

前記計算部は、固定小数点演算により、前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行しても良い。

【0008】

前記計算装置は、前記複数の角度の正弦値及び余弦値が少なくとも格納された三角比テーブルを記憶する記憶部、を更に備え、
前記計算部は、前記記憶部に記憶された前記三角比テーブルを参照して、前記計算処理を実行しても良い。

【0009】

前記計算装置は、前記複数の角度の個数を設定する設定部、を更に備え、
前記計算部は、前記設定部により設定された前記個数の前記複数の角度のそれぞれについて、前記計算処理を実行しても良い。

【0010】

前記複数の角度のそれぞれは、０からπ／２までの範囲で互いに等しい間隔を空けた角度であっても良い。

【0011】

前記計算装置は、前記決定部により決定された前記複素数の絶対値に対応する値に基づいて、信号処理を実行する信号処理部と、
前記信号処理部により実行された前記信号処理の結果を示す出力情報を出力する出力部と、を更に備えても良い。

【0012】

前記信号処理部は、前記信号処理として、観測画像から復元画像を復元する画像復元処理を実行し、
前記出力部は、前記出力情報として、前記復元画像を出力しても良い。

【0013】

前記信号処理部は、前記画像復元処理において、繰り返しソフト閾値アルゴリズムを用いて前記観測画像から係数ベクトルを推定し、推定された前記係数ベクトルから前記復元画像を復元しても良い。

【0014】

上記目的を達成するため、本発明の第２の観点に係る複素数の絶対値の計算方法は、
計算装置が実行する計算方法であって、
与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行し、
前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する。

【0015】

上記目的を達成するため、本発明の第３の観点に係るプログラムは、
コンピュータを、
与えられた角度の正弦値と余弦値とのうちの一方と計算対象となる複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの他方と前記複素数の虚部との積と、の和を計算し、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記他方と前記複素数の実部との積と、前記角度の正弦値と余弦値とのうちの前記一方と前記複素数の虚部との積と、の差を計算し、更に、前記和の絶対値と前記差の絶対値とを加算する計算処理を、異なる複数の角度のそれぞれについて実行する計算部、
前記計算部が前記複数の角度のそれぞれについて前記計算処理を実行することにより得られた複数の値のうちの最大値を、前記複素数の絶対値に対応する値と決定する決定部、として機能させる。

【発明の効果】

【0016】

本発明によれば、自乗及び平方根の計算を必要とせずに複素数の絶対値を計算することができる。

【図面の簡単な説明】

【0017】

【図1】本発明の実施形態１に係る計算装置の構成を示すブロック図である。

【図2】実施形態１に係る計算装置に記憶されている三角比テーブルの例を示す図である。

【図3】複素数の絶対値と実部及び虚部との理論的な関係を３次元座標により示す図である。

【図4】実施形態１において複素数の絶対値を計算するために用いられる関数と実部及び虚部との関係を３次元座標により示す図である。

【図5】実施形態１に係る計算装置により実行される複素数の絶対値の計算処理の流れを示すフローチャートである。

【図6】本発明の実施形態２に係る計算装置の構成を示すブロック図である。

【図7】実施形態２に係る計算装置により実行される画像復元処理の概要を示す図である。

【図8】実施形態２に係る計算装置により実行される画像復元処理の流れを示すフローチャートである。

【図9】（ａ）は、複素数の絶対値の近似手法を用いなかった場合におけるソフト閾値関数の出力の絶対値を３次元座標により示す図である。（ｂ）は、実施形態２に係る近似手法を用いた場合におけるソフト閾値関数の出力の絶対値を３次元座標により示す図である。（ｃ）は、（ａ）と（ｂ）との差分を示す図である。

【図10】本発明の性能評価におけるシミュレーションの諸元を示す図である。

【図11】本発明の性能評価における画像復元処理の諸元を示す図である。

【図12】（ａ）は、性能評価に用いた原画像の実部を示す図である。（ｂ）は、性能評価に用いた観測画像の実部を示す図である。（ｃ）は、近似手法を用いずに複素数の絶対値を計算した場合における復元画像の実部を示す図である。（ｄ）は、実施形態２に係る近似手法を用いて複素数の絶対値を計算した場合における復元画像の実部を示す図である。

【図13】（ａ）は、性能評価に用いた原画像の虚部を示す図である。（ｂ）は、性能評価に用いた観測画像の虚部を示す図である。（ｃ）は、近似手法を用いずに複素数の絶対値を計算した場合における復元画像の虚部を示す図である。（ｄ）は、実施形態２に係る近似手法を用いて複素数の絶対値を計算した場合における復元画像の虚部を示す図である。

【図14】近似手法を用いずに複素数の絶対値を計算した場合における復元画像と、実施形態２に係る近似手法を用いて複素数の絶対値を計算した場合における復元画像と、の間におけるピーク信号対雑音比の差分のヒストグラムを示す図である。

【図15】固定小数点演算の小数部の幅を変えた場合における復元画像のピーク信号対雑音比の推移を示す図である。

【図16】固定小数点演算の小数部の幅を変えた場合における素子の使用量を示す図である。

【発明を実施するための形態】

【0018】

以下、本発明の実施形態について、図面を参照して説明する。なお、図中同一又は相当する部分には同一符号を付す。

【0019】

（実施形態１）
図１に、実施形態１に係る計算装置１０の構成を示す。計算装置１０は、計算対象として与えられた複素数の絶対値を近似手法により計算する装置である。計算装置１０は、一例として、パーソナルコンピュータ、タブレット、サーバ等の情報処理装置である。或いは、計算装置１０は、ＦＰＧＡ（Field-Programmable Gate Array）、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）、ＡＩ（Artificial Intelligence）チップ等のような組み込み機器であっても良い。いずれの場合であっても、同様に説明することができる。

【0020】

図１に示すように、計算装置１０は、制御部１１と、記憶部１２と、入力受付部１３と、出力部１４と、を備える。

【0021】

制御部１１は、計算装置１０の各部と制御バスを介して接続されており、計算装置１０全体の動作を統括制御する。具体的に説明すると、制御部１１は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＲＯＭ（Read Only Memory）及びＲＡＭ（Random Access Memory）を備える。ＣＰＵは、例えばマイクロプロセッサ等を備えており、様々な処理及び演算を実行する中央演算処理部として機能する。制御部１１において、ＣＰＵが、ＲＯＭに記憶されている制御プログラムを読み出して、ＲＡＭをワークメモリとして用いながら、各種の処理を実行する。

【0022】

記憶部１２は、フラッシュメモリ、ハードディスク等の不揮発性メモリを備える。記憶部１２は、オペレーションシステム、アプリケーションプログラム等の、制御部１１が各種処理を行うために使用するプログラム及びデータを記憶する。また、記憶部１２は、制御部１１が各種処理を行うことにより生成又は取得するデータを記憶する。

【0023】

記憶部１２は、複素数の絶対値を計算するために必要となる各種の定数値を記憶している。具体的には、記憶部１２は、図２に示すような三角比テーブル１９０を記憶している。三角比テーブル１９０は、０からπ／２の範囲における複数の角度θのそれぞれについて、正弦値ｓｉｎθ及び余弦値ｃｏｓθが対応付けて格納されたテーブルである。

【0024】

ここで、三角比テーブル１９０における複数の角度θは、互いに一定の角度差をつけられている。複数の角度θの個数をどの程度に設定するか、すなわち０からπ／２の範囲でどの程度の細かい角度差で区切って三角比の値を三角比テーブル１９０に格納しておくかは、後述する角度θの離散化数Ｎをどの程度の大きさに設定するかにより異なる。三角比テーブル１９０により多くの角度θの三角比の値が格納されているほど、離散化数Ｎとして大きな値が設定可能になる。三角比テーブル１９０には、計算装置１０により計算処理に用いられる可能性がある複数の角度の正弦値及び余弦値が少なくとも格納される。

【0025】

図１に戻って、入力受付部１３は、計算装置１０の外部からの入力を受け付ける。例えば、入力受付部１３は、キーボード、ボタン等の入力デバイスを備えており、入力デバイスを介してユーザからの入力を受け付ける。また、入力受付部１３は、広域ネットワーク、ＬＡＮ（Local Area Network）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）等の有線又は無線による通信を介して、入力を受け付ける。

【0026】

具体的には、入力受付部１３は、計算装置１０において絶対値を計算する対象となる複素数の入力を受け付ける。また、入力受付部１３は、角度θの離散化数Ｎの設定入力を受け付ける。入力受付部１３は、受け付けた入力を制御部１１に供給する。

【0027】

出力部１４は、計算装置１０において計算された複素数の絶対値の計算結果を出力する。例えば、出力部１４は、液晶ディスプレイ、有機ＥＬ（Electro Luminescence）ディスプレイ等の表示デバイスを備えており、制御部１１による制御のもとで、計算結果を示す画像を表示する。また、出力部１４は、広域ネットワーク、ＬＡＮ、ＵＳＢ等の有線又は無線による通信を介して、計算結果を示す出力情報を計算装置１０の外部に出力する。

【0028】

計算装置１０は、固定小数点演算により、計算対象となる複素数の絶対値の近似値を計算する。ここで、複素数の絶対値は、理論的には下記（１）式のように、複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）と虚部Ｉｍ（ｚ）との自乗和の平方根により定められる。

【0029】

【数1】

【0030】

図３に、上記（１）式で定められる複素数ｚの絶対値と実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）との関係を３次元座標により示す。図３に示す３次元座標は、水平面内の２方向（ｘ方向及びｙ方向）に複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）の値を表し、高さ方向（ｚ方向）に複素数ｚの絶対値を表している。

【0031】

図３に示すように、実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）の値が様々に変化した場合、上記（１）式で定められる複素数ｚの絶対値は、原点を頂点とし、中心軸が高さ方向に延びる円錐によって表現される。この円錐を水平面に平行な面で切断した場合における切断面は、半径√（Ｒｅ^２（ｚ）＋Ｉｍ^２（ｚ））の円になる。

【0032】

上記（１）式で定められるように、複素数の絶対値の計算は、自乗及び平方根の計算を含む。自乗の計算は、定数乗算に比べて大きな回路規模及び電力消費を必要とする。一方で、平方根の計算は、多項式近似、区分線形近似（折れ線近似）、ＣＯＲＤＩＣ等のような近似計算の手法を利用することができるが、いずれも複素数の実部と虚部の自乗和の計算を避けることはできない。そのため、（１）式に従って複素数の絶対値を計算するには、相対的に大きな回路規模及び電力消費を必要とする。このような平方根と自乗和の計算は、実数の絶対値演算では現れない複素数特有の課題である。

【0033】

特に、ＦＰＧＡ、ＧＰＵ、ＡＩチップ等のような組み込み機器や高並列計算機器では、計算速度、回路規模、電力消費等の観点から、固定小数点演算を採用することが望まれる。しかしながら、固定小数点演算は、浮動小数点演算と比べて、ビット幅に対して表現できる実数の範囲が限られるため、自乗及び平方根の計算に適していない。そのため、固定小数点演算では、実数の絶対値を計算することは容易であるのに対して、複素数の絶対値を上記（１）式に従って計算することは容易ではない。

【0034】

そこで、実施形態１に係る計算装置１０は、複素数の絶対値の近似値を、自乗及び平方根の計算を必要としない方法で計算する。具体的に説明すると、計算装置１０は、複素数ｚの絶対値が、下記（２）式に示されるように、関数ａ_θ（ｚ）の０≦θ＜π／２の範囲における上限値として表現可能であることを利用する。ここで、下記（２）式で定められる関数ａ_θ（ｚ）は、下記（３）式に示されるように、予め与えられた角度θに対する複素数ｚの関数である。

【0035】

【数2】

【0036】

【数3】

【0037】

ここで、複素数ｚの絶対値が上記（２）式で表現されることについて説明する。上記（３）式で定められる関数ａ_θ（ｚ）は、下記（４）式のように変形することができる。なお、（４）式において、αは、ｃｏｓα＝Ｒｅ（ｚ）／｜ｚ｜、且つ、ｓｉｎα＝Ｉｍ（ｚ）／｜ｚ｜を満たす角度である。

【0038】

【数4】

【0039】

θ＝α－π／４の関係が成立する場合、（４）式で表される関数ａ_θ（ｚ）は、下記（５）式のように、複素数ｚの絶対値に等しくなる。また、関数ａ_θ（ｚ）を角度θに関する偏微分を表す下記（６）式から、０≦α－θ＜π／２の範囲において、関数ａ_θ（ｚ）は、θ＝α－π／４で極大値をとることが分かる。

【0040】

【数5】

【0041】

【数6】

【0042】

ここで、任意の整数ｋに対して、ａ_θ（ｚ）＝ａ_{θ＋πｋ／２}（ｚ）の関係が成立することに注意すると、上記（２）式に示したように、０≦θ＜π／２の範囲における関数ａ_θ（ｚ）の上限値が複素数ｚの絶対値に等しくなることが導かれる。

【0043】

図４に、上記（３）式で定められる関数ａ_θ（ｚ）と複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）との関係を３次元座標により示す。図４に示す３次元座標は、図３と同様に、水平面内の２方向（ｘ方向及びｙ方向）に複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）の値を表し、高さ方向（ｚ方向）に関数ａ_θ（ｚ）の値を表している。

【0044】

図４に示すように、実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）の値が様々に変化した場合、上記（１）式で定められる複素数ｚの絶対値は、原点を頂点とし、中心軸が高さ方向に延びる正四角錐によって表現される。この正四角錐を水平面に平行な面で切断した場合における切断面の各頂点と正四角錐の中心軸との距離は、図３に示した円錐の半径√（Ｒｅ^２（ｚ）＋Ｉｍ^２（ｚ））と一致する。

【0045】

角度θを様々に変化させた場合、図４に示す正四角錐は、中心軸の周りに回転する。そして、正四角錐が中心軸の周りに回転した場合、正四角錐の斜辺の軌跡は、図３に示した円錐と一致する。言い換えると、上記（２）式のように０≦θ＜π／２の範囲における関数ａ_θ（ｚ）の上限値（最大値）により複素数ｚの絶対値を計算する方法は、正四角錐の回転軌跡で円錐を表現することに相当する。

【0046】

関数ａ_θ（ｚ）は、正四角錐を用いた複素数ｚのスカラー評価と言うことができ、角度θが与えられると、自乗及び平方根の計算を必要とすることなく、定数乗算と実数の絶対値の和によって計算することができる。したがって、固定小数点演算で容易に実現することができる。このように、実施形態１に係る計算装置１０は、円錐を正四角錐の回転軌跡で表現できることを利用して、複素数ｚの絶対値を計算する。

【0047】

具体的には、計算装置１０は、関数ａ_θ（ｚ）を計算する際に、角度θを、０からπ／２までの範囲で互いに等しい間隔を空けたＮ個の角度θ_０，θ_１，…，θ_Ｎ－１に離散化する。そして、計算部１２０は、下記（７）式に従って、離散化されたＮ個の角度θ_０，θ_１，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて計算された関数ａ_θ（ｚ）の値のうちの最大値によって、複素数ｚの絶対値を近似する。

【0048】

【数7】

【0049】

図１に戻って、計算装置１０の制御部１１は、機能的に、設定部１１０と、計算部１２０と、決定部１３０と、を備える。制御部１１において、ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムをＲＡＭに読み出して実行することにより、これら各部として機能する。

【0050】

設定部１１０は、離散化された複数の角度θの個数、すなわち角度θの離散化数Ｎを設定する。具体的に説明すると、設定部１１０は、入力受付部１３により受け付けられた入力に基づいて、離散化数Ｎを設定する。ユーザは、入力受付部１３のキー、ボタン等を操作することで、離散化数Ｎを設定することができる。

【0051】

ここで、離散化数Ｎをより大きく設定するほど近似精度がより向上するが、計算量がより増大する。言い換えると、近似精度と計算量とはトレードオフの関係にある。そのため、近似精度と計算量の低減とのどちらを優先するかに応じて、ユーザは、所望の離散化数Ｎを設定することができる。設定部１１０は、離散化数Ｎを設定すると、０からπ／２までの範囲で互いに等しい間隔を空けたＮ個の角度θ_ｋ＝πｋ／２Ｎ（ｋ＝０，１，２，…，Ｎ－１）を設定する。

【0052】

計算部１２０は、設定部１１０により設定されたＮ個の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて、上記（３）式に従った計算処理を実行し、関数ａ_θｋ（ｚ）の値を計算する。

【0053】

第１に、計算部１２０は、与えられた角度θ_ｋ（ｋは０からＮ－１までの整数）の余弦値ｃｏｓθ_ｋと計算対象となる複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の和を計算する。第２に、計算部１２０は、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの余弦値ｃｏｓθ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の差を計算する。このとき、計算部１２０は、記憶部１２に記憶されている三角比テーブル１９０を参照して、角度θ_ｋに対応する正弦値ｓｉｎθ_ｋと余弦値ｃｏｓθ_ｋとを特定する。

【0054】

第３に、計算部１２０は、計算した和の絶対値“｜ｃｏｓθ_ｋ・Ｒｅ（ｚ）＋ｓｉｎθ_ｋ・Ｉｍ（ｚ）｜”と差の絶対値“｜ｓｉｎθ_ｋ・Ｒｅ（ｚ）－ｃｏｓθ_ｋ・Ｉｍ（ｚ）｜”とを加算する。そして、計算部１２０は、得られた加算値を２の平方根“√２”で除する、すなわち“√２”の逆数を乗ずることにより、関数ａ_θｋ（ｚ）の値を計算する。以下では、角度θ_ｋに対して計算された関数ａ_θｋ（ｚ）の値を“ａ_ｋ”と表す。

【0055】

計算部１２０は、このような計算処理を、離散化されたＮ個の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて実行する。これにより、計算部１２０は、Ｎ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を得る。

【0056】

角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋ及び余弦値ｃｏｓθ_ｋは、予め三角比テーブル１９０に記憶されているため、固定小数点の定数として扱うことができる。また、√２の逆数も同様に、その値が予め記憶部１２に記憶されることで、固定小数点の定数として扱うことができる。そのため、ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１の計算は、自乗及び平方根の演算はもちろん、変数の乗算も必要とせず、定数乗算、加減算、及び実数絶対値計算という簡便な演算によって実現できる。

【0057】

なお、Ｎ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１の計算は、角度θ_ｋ毎に独立且つ並列に計算ができる。そのため、計算部１２０は、１個の角度θ_ｋに対して１個の値ａ_ｋを計算する場合に比べて、それほど大きく計算速度を低下させることなく、計算処理を実行することができる。

【0058】

決定部１３０は、計算部１２０がＮ個の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて上記の計算処理を実行することにより得られたＮ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、計算対象となる複素数ｚの絶対値に対応する値と決定する。具体的に説明すると、決定部１３０は、計算部１２０の計算処理により得られたＮ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を比較する。比較の結果、決定部１３０は、上記（７）式に従って、Ｎ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数ｚの絶対値の近似値と決定する。

【0059】

以上のように構成される計算装置１０によって実行される複素数ｚの絶対値の計算処理の流れについて、図５に示すフローチャートを参照して説明する。図５に示す計算処理は、計算装置１０が絶対値の計算対象となる複素数ｚの入力を受け付けたことに応答して、開始する。

【0060】

図５に示す計算処理を開始すると、制御部１１は、設定部１１０として機能し、入力受付部１３を介してユーザから受け付けた設定入力に従って、角度θの離散化数Ｎを設定する（ステップＳ１１）。離散化数Ｎを設定すると、制御部１１は、カウンタ変数ｋの値を０に初期化する（ステップＳ１２）。

【0061】

カウンタ変数ｋを初期化すると、制御部１１は、記憶部１２に記憶されている三角比テーブル１９０を参照して、角度θ_ｋ（＝πｋ／２Ｎ）に対応する余弦値ｃｏｓθ_ｋ及び正弦値ｓｉｎθ_ｋを特定する。そして、制御部１１は、特定したｃｏｓθ_ｋ及び正弦値ｓｉｎθ_ｋを、それぞれ変数ｃ_ｋ，ｓ_ｋに代入する（ステップＳ１３）。

【0062】

変数ｃ_ｋ，ｓ_ｋに値を代入すると、制御部１１は、計算部１２０として機能し、（３）式に従って関数ａ_ｋ（＝ａ_θｋ（ｚ））の値を計算する（ステップＳ１４）。具体的に説明すると、制御部１１は、変数ｃ_ｋと複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、変数ｓ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の和を計算し、変数ｓ_ｋと複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、変数ｃ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の差を計算する。そして、制御部１１は、計算した和の絶対値と差の絶対値とを加算した加算値を２の平方根で除した値を、関数ａ_ｋの値として計算する。

【0063】

関数ａ_ｋの値を計算すると、制御部１１は、カウンタ変数ｋの値をインクリメントする（ステップＳ１５）。そして、制御部１１は、カウンタ変数ｋが離散化数Ｎよりも小さいか否かを判定する（ステップＳ１６）。カウンタ変数ｋが離散化数Ｎよりも小さい場合（ステップＳ１６；ＹＥＳ）、制御部１１は、処理をステップＳ１３に戻し、インクリメントされたカウンタ変数ｋに対してステップＳ１３～Ｓ１５の処理を実行する。

【0064】

このように、制御部１１は、カウンタ変数ｋが離散化数Ｎに達するまで、カウンタ変数ｋの値を０から１ずつインクリメントしながらステップＳ１３～Ｓ１５の処理を繰り返す。これにより、制御部１１は、Ｎ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を計算する。

【0065】

最終的に、カウンタ変数ｋが離散化数Ｎに達した場合（ステップＳ１６；ＮＯ）、制御部１１は、決定部１３０として機能し、繰り返し処理におけるステップＳ１４で計算されたＮ個の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数ｚの絶対値の近似値と決定する（ステップＳ１７）。以上により、図５に示した複素数ｚの絶対値の計算処理は終了する。

【0066】

以上説明したように、実施形態１に係る計算装置１０は、角度θ_ｋの余弦値ｃｏｓθ_ｋと複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の和を計算し、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの余弦値ｃｏｓθ_ｋと複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の差を計算し、更に、計算した和の絶対値と差の絶対値とを加算する計算処理を実行する。そして、計算装置１０は、このような計算処理を複数の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて実行することにより得られた複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数ｚの絶対値の近似値と決定する。これにより、自乗及び平方根の計算を必要とせずに、定数乗算、加減算、及び実数絶対値計算によって複素数の絶対値の近似値を計算することができる。そのため、大きな回路規模及び消費電力を必要とせずに、複素数の絶対値の近似値を計算することができる。

【0067】

特に、固定小数点演算では、ビット幅に対して表現できる実数の範囲が限られるため、自乗及び平方根の計算に適していない。これに対して、実施形態１に係る計算装置１０によれば、自乗及び平方根の計算を必要としないため、固定小数点演算でも複素数の絶対値の近似値を容易に計算することができる。

【0068】

（実施形態２）
次に、本発明の実施形態２について説明する。実施形態２では、実施形態１で説明した複素数の絶対値を計算する手法を、画像復元処理に適用する。なお、実施形態１と同様の事項については適宜説明を省略する。

【0069】

図６に、実施形態２に係る計算装置２０の構成を示す。図６に示すように、計算装置２０は、制御部２１と、記憶部１２と、入力受付部１３と、出力部１４と、を備える。制御部２１は、機能的に、設定部１１０と、計算部１２０と、決定部１３０と、信号処理部２１０と、を備える。制御部２１において、ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムをＲＡＭに読み出して実行することにより、計算部１２０、決定部１３０及び信号処理部２１０の各部として機能する。設定部１１０、計算部１２０及び決定部１３０の処理は、実施形態１と同様であるため説明を省略する。

【0070】

信号処理部２１０は、決定部１３０により決定された複素数の絶対値に対応する値に基づいて、信号処理を実行する。具体的に説明すると、信号処理部２１０は、信号処理として、観測画像から復元画像を復元する画像復元処理を実行する。実施形態２に係る計算装置２０は、信号処理（画像復元処理）を実行する信号処理装置（画像復元装置）と呼ぶこともできる。

【0071】

図７に、信号処理部２１０により実行される画像復元処理の概要を示す。図７において、原画像ｙ、観測画像ｖ及び復元画像ｙ’は、各画素の画素値が複素数により表現される複素画像であって、それぞれの複素画像における複素数の画素値を要素（成分）として有する複素ベクトルにより表される。信号処理部２１０は、画像復元処理を実行することにより、原画像ｙが観測過程で劣化した画像である観測画像ｖから復元画像ｙ’を復元する。

【0072】

入力受付部１３は、観測画像ｖの入力を受け付ける。例えば、入力受付部１３は、無線通信又は有線通信を介して、信号処理部２１０による処理の対象となる観測画像ｖを計算装置２０の外部から受け付ける。或いは、観測画像ｖは、記憶部１２に予め記憶されていても良い。

【0073】

観測画像ｖは、下記（８）式のように、原画像ｙに行列Ｐを乗じ、更にベクトルｗを加算したベクトルとして表される。ここで、行列Ｐは、観測過程における画像の劣化を表す行列である。ベクトルｗは、加法性白色ガウスノイズ（ＡＷＧＮ：Additive White Gaussian Noise）を表すベクトルである。

【0074】

【数8】

【0075】

原画像ｙは、下記（９）式のように、係数ベクトルｘに辞書行列Ｄを乗じたベクトルとして表される。ここで、辞書行列Ｄは、原画像ｙを複数の基底ベクトルのスパースな線形結合により表現するための行列である。係数ベクトルｘは、線形結合の係数を要素とするスパースな（すなわち、ほとんどの要素が０である）ベクトルである。

【0076】

【数9】

【0077】

信号処理部２１０は、画像復元処理において、ＩＳＴＡ（繰り返しソフト閾値アルゴリズム；Iterative Shrinkage Soft-Thresholding Algorithm）を用いて観測画像ｖから係数ベクトルｘを推定し、推定された係数ベクトルｘから復元画像ｙ’を復元する。ここで、ＩＳＴＡは、スパースモデリングで現れる最適化問題を解く手法の１つである。係数ベクトルｘを推定するために、信号処理部２１０は、スパースモデリングの問題設定の１つであるＬ１ノルム正則化最小自乗法（Ｌａｓｓｏ）を利用する。

【0078】

具体的に、Ｌ１ノルム正則化最小自乗法は、係数ベクトルｘと観測画像ｖとを用いて、下記（１０）式のように定式化される。下記（１０）式において、右辺は、係数ベクトルｘに関する関数“||ＰＤｘ－ｖ||_２／２＋λ||ｘ||_１”が最小となるときのｘを返す関数を表している。すなわち、信号処理部２１０は、下記（１０）式の右辺の値が最小となるときのｘを、係数ベクトルｘの推定値ｘ’として求める。また、||ＰＤｘ－ｖ||_２は、ベクトル“ＰＤｘ－ｖ”のＬ２ノルムを表し、||ｘ||_１は、係数ベクトルｘのＬ１ノルムを表す。λは、正則化パラメータと呼ばれ、誤差と解の大きさとのバランスを調整するパラメータである。正則化パラメータλ、観測過程を表す行列Ｐ、及び辞書行列Ｄは、予め設定されて記憶部１２に記憶される。

【0079】

【数10】

【0080】

上記（１０）式を解くために、信号処理部２１０は、近接勾配法を利用する。具体的には、信号処理部２１０は、下記（１１）式に従って、ｋの値をｋ＝０，１，２，…と１ずつ増やしながら、第ｋベクトルｘ^（ｋ）から第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を計算する。

【0081】

【数11】

【0082】

ここで、上記（１１）式における右辺は、ソフト閾値処理を行うための関数（ソフト閾値関数）である。また、γは、γ≦１／λ_ｍａｘ（（ＰＤ）^ＨＰＤ）を満たす定数である。λ_ｍａｘ（（ＰＤ）^ＨＰＤ）は、勾配“∇ｆ（ｘ）＝（ＰＤ）^Ｈ（ＰＤｘ－ｖ）”のリプシッツ定数であって、（ＰＤ）^ＨＰＤの最大固有値である。上付きの“Ｈ”は、エルミート転置を意味する。定数γは、適切な値に予め設定されて記憶部１２に記憶される。

【0083】

ソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ^（ｋ））は、具体的には下記（１２）式のように定められる。ここで、（１２）式におけるｚ^（ｋ）は、下記（１３）式で定められるように、観測画像ｖと第ｋベクトルｘ^（ｋ）とに基づく複素ベクトルである。

【0084】

【数12】

【0085】

【数13】

【0086】

なお、（１２）式において、丸の中に“・”を含む記号は、ベクトルの要素毎の積を意味し、丸の中に“／”を含む記号は、ベクトルの要素毎の商を意味する。また、太字の“０”は全ての要素が０であるベクトルを表し、太字の“１”は全ての要素が１であるベクトルを表す。ｍａｘ（ｓ，０）は、与えられたベクトルｓの各要素のうちの値が正又は０の要素はそのままで、値が負の要素が０に置き換えられたベクトルを返す関数である。ａｂｓ（ｚ^（ｋ））は、複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素の絶対値を要素とするベクトルを返す関数である。（１２）式におけるτ（＞０）は閾値である。

【0087】

信号処理部２１０は、関数ａｂｓ（ｚ^（ｋ））を計算する際に、実施形態１で説明した近似手法を用いて、複素数の絶対値を計算する。具体的に説明すると、計算部１２０は、上記（３）式に従った計算処理を、異なる複数の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて実行することにより、複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を計算する。そして、決定部１３０は、計算部１２０により計算された複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数の絶対値の近似値と決定する。

【0088】

計算部１２０及び決定部１３０は、このように複素数の絶対値の近似値を計算する処理を、複素数を要素として有する複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素に対して実行する。信号処理部２１０は、このようにして計算された複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素の絶対値を用いて、上記（１１）式及び（１２）式に従って、第ｋベクトルｘ^（ｋ）から第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を計算する。

【0089】

信号処理部２１０は、ｋの値を０から順に１ずつ増やしながら、第ｋベクトルｘ^（ｋ）から第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を計算する処理を繰り返し実行する。そして、信号処理部２１０は、ｋの値を増やした場合におけるベクトルｘ^（ｋ）の収束値を、係数ベクトルｘの推定値ｘ’と推定する。なお、係数ベクトルの初期値であるｋ＝０のときの第０ベクトルｘ^（０）は、任意に設定することができる。信号処理部２１０は、このようなＩＳＴＡの手法により、上記（１０）式の最適解を得る。

【0090】

このようにして係数ベクトルｘの推定値ｘ’を推定すると、信号処理部２１０は、推定値ｘ’から復元画像ｙ’を復元する。具体的には、信号処理部２１０は、上記（９）式に従って、推定値ｘ’に辞書行列Ｄを乗じることにより、復元画像ｙ’を復元する。

【0091】

出力部１４は、信号処理部２１０が信号処理を実行することにより得られた結果を示す出力情報を出力する。具体的には、出力部１４は、出力情報として、信号処理部２１０が画像復元処理を実行することにより観測画像ｖから復元された復元画像ｙ’を出力する。例えば、出力部１４は、復元画像ｙ’を液晶ディスプレイ等の表示部に表示する。或いは、出力部１４は、復元画像ｙ’を有線又は無線による通信を介して計算装置２０の外部の情報処理装置に送信する。

【0092】

以上のように構成される実施形態２に係る計算装置２０によって実行される画像復元処理の流れについて、図８に示すフローチャートを参照して説明する。図８に示す画像復元処理は、計算装置２０が入力受付部１３を介して観測画像ｖの入力を受け付け、更に観測画像ｖから復元画像ｙ’を復元する指示を受け付けたことに応答して開始する。

【0093】

図８に示す画像復元処理を開始すると、制御部２１は、カウンタ変数ｋを０に初期化する（ステップＳ２１）。更に、制御部２１は、推定対象となる係数ベクトルｘの初期値である第０ベクトルｘ^（０）を任意に設定する（ステップＳ２２）。

【0094】

次に、制御部２１は、観測画像ｖ及び第ｋベクトルｘ^（ｋ）に基づく複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素の絶対値を計算する（ステップＳ２３）。具体的に説明すると、制御部２１は、観測画像ｖ及び第ｋベクトルｘ^（ｋ）に基づいて、上記（１３）式により表される複素ベクトルｚ^（ｋ）を計算する。そして、制御部２１は、複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素について、実施形態１の図５に示した複素数の絶対値の計算処理を実行する。

【0095】

複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素の絶対値を計算すると、制御部２１は、上記（１１）式及び（１２）式に従って、複素ベクトルｚ^（ｋ）をソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ^（ｋ））に入力することにより、第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を計算する（ステップＳ２４）。このとき、制御部２１は、ソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ^（ｋ））に含まれる関数ａｂｓ（ｚ^（ｋ））を計算するために、ステップＳ２３で計算した複素ベクトルｚ^（ｋ）の各要素の絶対値を用いる。

【0096】

第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を計算すると、制御部２１は、第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}と第ｋベクトルｘ^（ｋ）との差の絶対値が、予め定められた基準値よりも小さいか否か、又は、カウンタ変数ｋの値が予め定められた基準回数よりも大きいか否かのいずれか一方が満たされたか否かを判定する（ステップＳ２５）。

【0097】

第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}と第ｋベクトルｘ^（ｋ）との差の絶対値が基準値よりも小さくない場合であって、且つ、カウンタ変数ｋが基準回数以下である場合（ステップＳ２５；ＮＯ）、制御部２１は、カウンタ変数ｋをインクリメントする（ステップＳ２６）。そして、制御部２１は、処理をステップＳ２３に戻し、インクリメントされたカウンタ変数ｋに対してステップＳ２３～Ｓ２４の処理を実行する。

【0098】

このように、制御部２１は、第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}と第ｋベクトルｘ^（ｋ）との差の絶対値が基準値以内に収束するまで、又は、ベクトルｘ^（ｋ）を計算した回数が基準回数を超えるまで、カウンタ変数ｋの値を０から１ずつインクリメントしながら、ベクトルｘ^（１），ｘ^（２），ｘ^（３），…を順に計算する。

【0099】

最終的に、第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}と第ｋベクトルｘ^（ｋ）との差の絶対値が基準値よりも小さくなると、又は、カウンタ変数ｋの値が基準回数より大きくなると（ステップＳ２５；ＹＥＳ）、制御部２１は、ステップＳ２４で計算された第（ｋ＋１）ベクトルｘ^{（ｋ＋１）}を、係数ベクトルｘの推定値ｘ’と推定する（ステップＳ２７）。

【0100】

係数ベクトルｘの推定値ｘ’を推定すると、制御部２１は、推定値ｘ’に辞書行列Ｄを乗じることにより、復元画像ｙ’を復元する（ステップＳ２８）。復元画像ｙ’を復元すると、制御部２１は、復元された復元画像ｙ’を出力部１４により出力する（ステップＳ２９）。以上により、図８に示した画像復元処理は終了する。

【0101】

以上説明したように、実施形態２に係る計算装置２０は、ＩＳＴＡを用いた画像復元処理において、ソフト閾値処理に含まれる複素数の絶対値の計算処理を、実施形態１で説明した近似手法を用いて実行する。これにより、自乗及び平方根の計算を必要とせずに複素数の絶対値を計算することができるため、実施形態２に係る計算装置２０は、大きな回路規模及び消費電力を必要とせずに、画像復元処理を実行することができる。

【0102】

特に、組込み機器や高並列計算機器のような環境の制約が厳しいために固定小数演算が必要となる場合であっても、実施形態２に係る計算装置２０によれば、複素数の絶対値の近似値を容易に計算することができる。そのため、厳しい環境の制約のもとであっても、回路規模及び電力消費を抑えつつ、高速に画像復元処理が可能となる。

【0103】

（性能評価）
次に、上記実施形態２で説明した画像復元処理の性能を評価した結果を示す。

【0104】

まず、実施形態２に係る近似手法を図９（ａ）～（ｃ）に示す３次元座標に可視化して検証した。図９（ａ）～（ｃ）に示す３次元座標は、水平面内の２方向（ｘ方向及びｙ方向）に複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）及び虚部Ｉｍ（ｚ）の値を表し、高さ方向（ｚ方向）にソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）の出力の絶対値を表している。

【0105】

より詳細には、図９（ａ）は、浮動小数点演算で近似手法を用いずに複素数ｚの絶対値を計算した場合におけるソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）の出力の絶対値を示している。一方で、図９（ｂ）は、実施形態２に係る近似手法を用いて複素数ｚの絶対値を計算した場合におけるソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）の出力の絶対値を示している。図９（ｃ）は、図９（ａ）と図９（ｂ）と間におけるソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）の出力の絶対値の差分を示している。

【0106】

なお、図９（ｂ）において実施形態２に係る近似手法を用いた場合における角度θの離散化数Ｎは２に設定した。また、（１２）式に示したソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）の入力と出力はそれぞれベクトルであるが、図９（ａ）～（ｃ）では、ベクトルの一つの要素に対するソフト閾値関数Ｓ_τ（ｚ）を計算した。

【0107】

図９（ｃ）に示すように、離散化数Ｎを２に設定しているため、８方向（２Ｎ＋１方向）で差分の値が０になった。言い換えると、角度がπ／４ずれる毎に、複素数ｚの絶対値の近似誤差が０になることが確認された。また、図９（ｃ）に示す範囲内で、近似誤差の最大値は０．０４１２であった。この結果から、実施形態２で説明した複素数ｚの絶対値の近似手法は許容できると考えられる。また、このような近似誤差は、離散化数Ｎを増やすことで減らすことができる。

【0108】

次に、近似手法を用いずに浮動小数点演算で複素数の絶対値を計算した場合と、実施形態２に係る近似手法により複素数の絶対値を計算した場合とで、画像復元処理のシミュレーションを実行した。

【0109】

図１０に、シミュレーションの諸元を示す。また、図１１に、画像復元モデルの諸元を示す。図１０に示すように、シミュレーションにおいて、画像復元モデルの辞書行列Ｄとして非間引きハール変換を仮定し、観測過程を表す行列Ｐとして画素欠損率１０％の画素欠損を仮定した。

【0110】

図１２（ａ）及び図１３（ａ）に、それぞれ、シミュレーションに用いた原画像の実部及び虚部を示す。図１２（ａ）に示す画像と図１３（ａ）に示す画像との組み合わせにより１枚の複素画像と見立てられる。更に、図１２（ｂ）及び図１３（ｂ）に、それぞれ、図１２（ａ）及び図１３（ａ）に対応する観測画像を示す。図１２（ｂ）に示した観測画像のＰＳＮＲ（Peak Signal-to-Noise Ratio：ピーク信号対雑音比）は１５．８１ｄＢであり、図１３（ｂ）に示した観測画像のＰＳＮＲは１５．８２ｄＢであった。

【0111】

図１２（ｃ）及び図１３（ｃ）に、それぞれ、図１２（ｂ）及び図１３（ｂ）に示した観測画像から複素数の絶対値の近似手法を用いずに復元した復元画像を示す。これに対して、図１２（ｄ）及び図１３（ｄ）に、それぞれ、図１２（ｂ）及び図１３（ｂ）に示した観測画像から実施形態２に係る近似手法を用いて復元した復元画像を示す。なお、図１２（ｄ）及び図１３（ｄ）に示す復元画像を復元した際における角度θの離散化数Ｎは２と設定した。

【0112】

図１２（ｃ）及び図１３（ｃ）に示した復元画像のＰＳＮＲは、それぞれ、２９．２４ｄＢ及び２９．４９ｄＢであった。これに対して、図１２（ｄ）及び図１３（ｄ）に示した復元画像のＰＳＮＲは、それぞれ、２９．２３ｄＢ及び２９．４８ｄＢであった。よって、近似手法を用いた場合と用いなかった場合とで、ＰＳＮＲにほとんど差が見られなかった。また、図１２（ａ）～（ｄ）に示す４つの画像を比較すると、提案手法による近似を行っても画像復元結果に大きな差は見られないことが確認された。図１３（ａ）～（ｄ）でも同様である。

【0113】

図１４に、複素数の絶対値の近似手法を用いなかった場合における復元画像と、実施形態２に係る近似手法を用いた場合における復元画像と、の間におけるＰＳＮＲの差分を１０００サンプル集めたヒストグラムを示す。このヒストグラムから確認されるように、画素欠損の場所やノイズの乱数シードを変えても、近似誤差の最悪値は０．０８以下であった。このことから、実施形態２に係る近似手法は許容できると考えられる。

【0114】

次に、固定小数点演算におけるビット数と、実施形態２に係る近似手法を用いた場合における復元画像の画質と、の関係を評価した。第１に、固定小数点演算ではオーバーフローやアンダーフローが発生しやすいため、小数部のビット幅が画像復元に与える影響を調べる必要がある。そのため、固定小数点の小数部のビット幅を変化させて出力画像のＰＳＮＲの推移を調べた。固定小数点演算は全て符号付き、整数部は５ビット、量子化モードはNearest、オーバーフローモードはSaturateに設定した。

【0115】

図１５に、固定小数点演算の小数部の幅を変えた場合における復元画像のＰＳＮＲの推移を、実部及び虚部のそれぞれについて示す。図１５の結果から、実部及び虚部のいずれの場合も、小数部が１２ビット以上でほぼ変化がなくなることが確認できる。よって、小数部のビット幅は１２ビット以上が適当といえる。

【0116】

第２に、実施形態２に係る近似手法の一部の処理をハードウェアで実装をし、ビット幅を変化させて回路面積の推移を調べた。具体的には、Slice LUTs、Slice Registers及びDSP48E1の３種類のＦＰＧＡ素子をハードウェア実装のターゲットとして評価を行った。ＦＰＧＡ素子の使用量は少ないほど経済性及び省電力性が向上する。そこで以下では、小数部のビット幅に対する素子使用量を測定した。

【0117】

図１６に、固定小数点演算の小数部の幅を変えた場合におけるＦＰＧＡに実装された素子の使用量（Utilization［％］）の推移を示す。Slice LUTsとSlice Registersの使用量は、ビット幅に応じてほぼ右肩上がりで推移している。一方で、DSP48E1の場合、ビット幅に応じて高位合成の配置結果が異なると考えられる。図１６から、いずれの素子の場合であっても、小さなビット幅による合成で回路素子の使用率が抑えられることが確認できる。この結果から、１２ビットが最適な小数部のビット幅と考えられる。

【0118】

（変形例）
以上に本発明の実施形態について説明したが、上記実施形態は一例であり、本発明の適用範囲はこれに限られない。すなわち、本発明の実施形態は種々の応用が可能であり、あらゆる実施の形態が本発明の範囲に含まれる。

【0119】

例えば、上記実施形態１，２では、計算部１２０は、固定小数点演算により計算処理を実行した。しかしながら、本発明では、計算部１２０は、浮動小数点演算により上記実施形態で説明した計算処理を実行しても良い。浮動小数点演算では固定小数点演算のように自乗及び平方根の演算の制約が大きい訳ではないが、自乗及び平方根の演算をせずに複素数の絶対値に対応する値を計算することで、回路規模及び消費電力を低減させる効果を得ることができる。

【0120】

上記実施形態１では、計算部１２０は、複数の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて上記（３）式に従った計算処理を実行することで複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を計算し、決定部１３０は、複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数ｚの絶対値の近似値と決定した。しかしながら、上記（３）式において正弦値ｓｉｎθと余弦値ｃｏｓθとを入れ替えて関数ａ_θ（ｚ）を計算した場合でも、複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１として同じ組み合わせが得られる。そのため、計算部１２０は、正弦値ｓｉｎθと余弦値ｃｏｓθとを実施形態１で説明した方法とは入れ替えて、関数ａ_θ（ｚ）の値を計算しても良い。具体的に説明すると、本発明において、計算部１２０は、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと余弦値ｃｏｓθ_ｋとのうちの一方と複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと余弦値ｃｏｓθ_ｋとのうちの他方と複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の和を計算し、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと余弦値ｃｏｓθ_ｋとのうちの他方と複素数ｚの実部Ｒｅ（ｚ）との積と、角度θ_ｋの正弦値ｓｉｎθ_ｋと余弦値ｃｏｓθ_ｋとのうちの一方と複素数ｚの虚部Ｉｍ（ｚ）との積と、の差を計算し、更に、計算した和の絶対値と差の絶対値とを加算する。計算部１２０は、このような計算処理を異なる複数の角度θ_０，θ_１，θ_２，…，θ_Ｎ－１のそれぞれについて実行することにより、複数の値ａ_０，ａ_１，ａ_２，…，ａ_Ｎ－１を計算する。

【0121】

また、本発明において、計算部１２０は、関数ａ_θ（ｚ）の値そのものを計算することに限らず、例えば√２で除する処理を省略して、関数ａ_θ（ｚ）の値の√２倍に相当する値を計算しても良い。そして、決定部１３０は、複数の値√２ａ_０，√２ａ_１，√２ａ_２，…，√２ａ_Ｎ－１のうちの最大値を、複素数ｚの絶対値に対応する値と決定しても良い。このように、計算装置１０，２０は、複素数ｚの絶対値に対応する値として、複素数ｚの絶対値そのものの近似値を計算しても良いし、複素数ｚの絶対値を定数倍した値、又は複素数ｚの絶対値に定数を加減した値の近似値を計算しても良い。そして、計算装置１０，２０は、複素数ｚそのものの近似値ではなく、複素数ｚの絶対値を定数倍した値、又は複素数ｚの絶対値に定数を加減した値の近似値を、後段の処理（例えば信号処理部２１０による画像復元処理）に引き渡しても良い。

【0122】

上記実施形態２では、信号処理部２１０は、信号処理として、ＩＳＴＡを用いた画像復元処理を実行した。しかしながら、本発明において、信号処理部２１０により実行される信号処理は、実施形態２で説明したＩＳＴＡに基づく画像復元処理に限らない。例えば、ソフト閾値処理は、ＩＳＴＡに限らず、ＳＡＲ（Synthetic Aperture Radar：合成開口レーダ）の受信信号から狭帯域無線周波数干渉を分離するためのＲＮＮ(Reweighted Nuclear Norm)又はＡＤＭＭ(Alternating Direction Method of Multipliers)のアルゴリズムでも用いられている。ＳＡＲが受信する信号は複素画像であるため、実施形態２で説明した手法を適用することができる。

【0123】

更には、信号処理部２１０により実行される信号処理は、ＣＴ（Computed Tomography）、ＭＲＩ（Magnetic Resonance Imaging）等の医用画像処理であっても良い。或いは、信号処理部２１０により実行される信号処理は、画像復元処理に限らず、音声信号処理、通信信号処理、生体信号処理、機械学習処理等であっても良い。このように、本発明に係る複素数の絶対値を計算する手法は、複素数の絶対値を計算することが必要とする様々なデジタル信号の処理に適用することができる。

【0124】

上記実施形態１，２では、計算装置１０，２０の制御部１１，２１において、ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムを実行することによって、設定部１１０、計算部１２０、決定部１３０及び信号処理部２１０の各部として機能した。しかしながら、本発明において、制御部１１，２１は、ＣＰＵの代わりに、例えばＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）等の専用のハードウェアを備え、専用のハードウェアが、設定部１１０、計算部１２０、決定部１３０及び信号処理部２１０の各部として機能しても良い。この場合、各部の機能それぞれを個別のハードウェアで実現しても良いし、各部の機能をまとめて単一のハードウェアで実現しても良い。また、各部の機能のうち、一部を専用のハードウェアによって実現し、他の一部をソフトウェア又はファームウェアによって実現しても良い。

【0125】

なお、本発明に係る機能を実現するための構成を予め備えた計算装置として提供できることはもとより、プログラムの適用により、既存の情報処理装置等を、本発明に係る計算装置として機能させることもできる。すなわち、上記実施形態１，２で例示した計算装置１０，２０による各機能構成を実現させるためのプログラムを、既存の情報処理装置等を制御するＣＰＵ等が実行できるように適用することで、本発明に係る計算装置として機能させることができる。

【0126】

また、このようなプログラムの適用方法は任意である。プログラムを、例えば、フレキシブルディスク、ＣＤ（Compact Disc）－ＲＯＭ、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）－ＲＯＭ、メモリカード等のコンピュータ読み取り可能な記憶媒体に格納して適用できる。さらに、プログラムを搬送波に重畳し、インターネットなどの通信媒体を介して適用することもできる。そして、このプログラムを起動し、ＯＳ（Operating System）の制御下で、他のアプリケーションプログラムと同様に実行することにより、上記の処理を実行できるように構成してもよい。

【符号の説明】

【0127】

１０，２０…計算装置、１１，２１…制御部、１２…記憶部、１３…入力受付部、１４…出力部、１１０…設定部、１２０…計算部、１３０…決定部、１９０…三角比テーブル、２１０…信号処理部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15】

【図16】