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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2023-12-27
(45)【発行日】2024-01-11
(54)【発明の名称】整数計画装置、整数計画方法及び整数計画プログラム
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20231228BHJP
G06N 10/60 20220101ALI20231228BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
G06N10/60
【請求項の数】
8
(21)【出願番号】P 2019219811
(22)【出願日】2019-12-04
(65)【公開番号】P2021089596
(43)【公開日】2021-06-10
【審査請求日】2022-12-02
(73)【特許権者】
【識別番号】518135412
【氏名又は名称】株式会社リクルート
(73)【特許権者】
【識別番号】899000068
【氏名又は名称】学校法人早稲田大学
(74)【代理人】
【識別番号】100079108
【弁理士】
【氏名又は名称】稲葉 良幸
(74)【代理人】
【識別番号】100109346
【弁理士】
【氏名又は名称】大貫 敏史
(74)【代理人】
【識別番号】100117189
【弁理士】
【氏名又は名称】江口 昭彦
(74)【代理人】
【識別番号】100134120
【弁理士】
【氏名又は名称】内藤 和彦
(74)【代理人】
【識別番号】100139066
【弁理士】
【氏名又は名称】伊藤 健太郎
(72)【発明者】
【氏名】棚橋 耕太郎
(72)【発明者】
【氏名】田中 宗
【審査官】多賀 実
(56)【参考文献】
【文献】特開２０１９－０４６０３８（ＪＰ，Ａ）
【文献】特表２０１９－５１２１３４（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２０１７－２１９９７９（ＪＰ，Ａ）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｎ ３／００－９９／００
Ｇ０６Ｑ １０／０４－１０／０４７
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、前記制約条件を表し、前記複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する設定部と、前記アニーリングマシンによって求められた前記複数のスピンの値を取得する取得部と、
前記第２項の係数を、前記第２項の値に基づいて更新する更新部と、
を備える整数計画装置。
【請求項2】
前記更新部は、前記第２項の前記係数を、前記係数を固定して前記アニーリングマシンによって求められた前記第２項の期待値に基づいて更新する、請求項１に記載の整数計画装置。
【請求項3】
前記更新部は、前記第２項の前記係数を固定して前記アニーリングマシンによって所定回数求められた前記複数のスピンの値が前記制約条件を満たす頻度を算出し、前記頻度が閾値以上である場合に、前記第２項の前記係数の更新を終了する、請求項１又は２に記載の整数計画装置。
【請求項4】
前記設定部は、前記制約条件が不等号条件の場合、前記不等号条件を満たす値が値域となる関数による等号条件を表す前記第２項及び前記第３項を含むハミルトニアンを前記アニーリングマシンに設定する、請求項１から３のいずれか一項に記載の整数計画装置。
【請求項5】
前記更新部は、前記第３項の係数を、前記第２項の前記係数の更新とともに定数倍して更新する、請求項１から４のいずれか一項に記載の整数計画装置。
【請求項6】
前記設定部は、前記第１項と、複数の制約条件を表し、前記複数のスピンに関する複数の１次式の重み付き和で表される第２項と、前記複数の制約条件を表し、前記複数のスピンに関する複数の２次式の和で表される第３項とを含むハミルトニアンを前記アニーリングマシンに設定し、前記更新部は、前記第２項の重み係数を、前記複数の１次式の値に基づいて更新する、
請求項１から５のいずれか一項に記載の整数計画装置。
【請求項7】
整数計画装置の演算部によって、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、前記制約条件を表し、前記複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することと、
前記アニーリングマシンによって求められた前記複数のスピンの値を取得することと、
前記第２項の係数を、前記第２項の値に基づいて更新することと、
を含む整数計画方法。
【請求項8】
整数計画装置に備えられた演算部を、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、前記制約条件を表し、前記複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する設定部、
前記アニーリングマシンによって求められた前記複数のスピンの値を取得する取得部、及び
前記第２項の係数を、前記第２項の値に基づいて更新する更新部、
として機能させる整数計画プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、整数計画装置、整数計画方法及び整数計画プログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
近年、量子アニーリングマシン等のアニーリングマシンを、組合せ最適化問題を解くために用いる試みが行われている。組合せ最適化問題の多くは、制約付き整数計画問題として定式化することができるため、アニーリングマシンによって組合せ最適化問題を解くことは、制約付き整数計画問題を解くことに帰着される。
【0003】
制約付き整数計画問題を解く方法として、例えば、下記非特許文献１には、制約条件を表すスピンの二次式をハミルトニアンに加えて、制約条件を満たすスピンの配列が基底状態となるようにする方法が記載されている。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0004】
【文献】D-Wave, "Using QUBOs to Represent Constraints",［online］,［令和元年１１月１５日検索］、インターネット〈URL：https://docs.dwavesys.com/docs/latest/c_gs_6.html>
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
非特許文献１に記載のように、制約条件を表すスピンの２次式と、目的関数との和をハミルトニアンとすることで、制約条件を満たしつつ、目的関数を最小化又は最大化するスピンの配列を求めることができる。具体的には、二値変数（スピン）をｘと表し、目的関数をｆ（ｘ）と表し、複数の制約条件をｇi（ｘ）＝ｃiと表すとき、以下の数式（１）で表されるハミルトニアンの基底状態を求めることで、制約付き整数計画問題を解くことができる。ここで、ｉが属する集合Ｃは、制約条件の集合を表す。
【0006】
【数1】
【0007】
ここで、制約条件を表すスピンの２次式の係数μiを適切な値に設定しなければ、精度の高い解を得ることができない。そのため、従来、適切な解が得られるように係数μiをグリッドサーチ等で探索している。しかしながら、係数μiの探索は、係数の数が増えるほど困難となるため、制約条件の数が増えるほど精度の高い解を得ることが困難となる。
【0008】
そこで、本発明は、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる整数計画装置、整数計画方法及び整数計画プログラムを提供する。
【課題を解決するための手段】
【0009】
本発明の一態様に係る整数計画装置は、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する設定部と、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの値を取得する取得部と、第２項の係数を、第２項の値に基づいて更新する更新部と、を備える。
【0010】
この態様によれば、１次式で表される第２項と、２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することで、第２項の係数を第２項の値に基づいて更新することができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【0011】
上記態様において、更新部は、第２項の係数を、係数を固定してアニーリングマシンによって求められた第２項の期待値に基づいて更新してもよい。
【0012】
この態様によれば、第２項の係数の更新をより適切に行うことができ、係数の更新回数を減らすことができる。
【0013】
上記態様において、更新部は、第２項の係数を固定してアニーリングマシンによって所定回数求められた複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度を算出し、頻度が閾値以上である場合に、第２項の係数の更新を終了してもよい。
【0014】
この態様によれば、制約条件を満たす確率が高い係数を定めることができ、アニーリングマシンによって求められる解の精度をより高くすることができる。
【0015】
上記態様において、設定部は、制約条件が不等号条件の場合、不等号条件を満たす値が値域となる関数による等号条件を表す第２項及び第３項を含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定してもよい。
【0016】
この態様によれば、等号条件のみならず、不等号条件で表される制約条件を含む整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【0017】
上記態様において、更新部は、第３項の係数を、第２項の係数の更新とともに定数倍して更新してもよい。
【0018】
この態様によれば、第３項の係数の更新を適切に行うことができ、アニーリングマシンによって求められる解の精度をより高くすることができる。
【0019】
上記態様において、設定部は、第１項と、複数の制約条件を表し、複数のスピンに関する複数の１次式の重み付き和で表される第２項と、複数の制約条件を表し、複数のスピンに関する複数の２次式の和で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定し、更新部は、第２項の重み係数を、複数の１次式の値に基づいて更新してもよい。
【0020】
この態様によれば、複数の制約条件がある場合であっても、第３項の係数を複数の２次式について共通として、調整する係数を第２項の重み係数に絞ることができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【0021】
本発明の他の態様に係る整数計画方法は、整数計画装置の演算部によって、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することと、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの値を取得することと、第２項の係数を、第２項の値に基づいて更新することと、を含む。
【0022】
この態様によれば、１次式で表される第２項と、２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することで、第２項の係数を第２項の値に基づいて更新することができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【0023】
本発明の他の態様に係る整数計画プログラムは、整数計画装置に備えられた演算部を、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する設定部、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの値を取得する取得部、及び第２項の係数を、第２項の値に基づいて更新する更新部、として機能させる。
【0024】
この態様によれば、１次式で表される第２項と、２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することで、第２項の係数を第２項の値に基づいて更新することができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【発明の効果】
【0025】
本発明によれば、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる整数計画装置、整数計画方法及び整数計画プログラムを提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【0026】
【図1】本発明の実施形態に係る整数計画システムのネットワーク構成を示す図である。
【図2】本実施形態に係る整数計画装置の機能ブロックを示す図である。
【図3】本実施形態に係る整数計画装置の物理的構成を示す図である。
【図4】本実施形態に係る整数計画装置によりナップサック問題を解いた場合の目的関数の平均値と、従来法でナップサック問題を解いた場合の目的関数の平均値との関係を示す図である。
【図5】本実施形態に係る整数計画装置によりナップサック問題を解く場合の係数の更新回数と、従来法でナップサック問題を解く場合の係数の更新回数との関係を示す図である。
【図6】本実施形態に係る整数計画装置によりナップサック問題を解く場合及び従来法によりナップサック問題を解く場合における正規化した目的関数の値を示す図である。
【図7】本実施形態に係る整数計画装置により制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数の平均値と、従来法で制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数の平均値との関係を示す図である。
【図8】本実施形態に係る整数計画装置により制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数と、従来法で制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数との関係を示す図である。
【図9】本実施形態に係る整数計画装置により実行される整数計画処理のフローチャートである。
【図10】本実施形態に係る整数計画装置により実行される整数計画処理のフローチャートである。
【発明を実施するための形態】
【0027】
添付図面を参照して、本発明の実施形態について説明する。なお、各図において、同一の符号を付したものは、同一又は同様の構成を有する。
【0028】
図１は、本発明の実施形態に係る整数計画システム１００のネットワーク構成を示す図である。整数計画システム１００は、整数計画装置１０及びアニーリングマシン２０を含む。整数計画装置１０及びアニーリングマシン２０は、インターネット等の通信ネットワークＮを介して互いに通信可能に構成される。
【0029】
整数計画装置１０は、汎用のコンピュータで構成され、制約付き整数計画問題を、アニーリングマシン２０を用いて解く。ここで、制約付き整数計画問題は、１又は複数の制約条件を満たすように、所定の目的関数を最小化又は最大化するような整数値を求める問題である。本実施形態では、整数値が０又は１である、０－１整数計画問題を解く場合について説明する。
【0030】
アニーリングマシン２０は、イジングモデルのハミルトニアンの基底状態を求める専用コンピュータであり、整数計画装置１０により設定されたハミルトニアンについて、その基底状態を求める。整数計画装置１０は、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。
【0031】
アニーリングマシン２０は、量子アニーリングマシンであっても、一般のアニーリングマシンであってもよい。ここで、アニーリングマシンとは、二値変数を引数とするイジングモデルの目的関数（ハミルトニアン）を最小化又は最大化する二値変数の値を確率的に求める装置である。二値変数は、古典ビットや量子ビットで実現されてよい。アニーリングマシンは、目的関数がイジングモデルの形式でハードウェアによって実装された非ノイマン型コンピュータであってよく、自然計算（natural computing）を実行する計算機であってよい。アニーリングマシン２０は、量子アニーリングマシンの他、ＦＰＧＡ（Field-Programmable Gate Array）によって構成されてよく、二値変数を引数とする目的関数を最小化又は最大化する二値変数の値を確率的に求めるものであればどのようなハードウェアによって構成されるものであってもよく、目的関数の最小又は最大を求める過程において量子現象を利用していてもよいし、利用していなくてもよい。
【0032】
図２は、本実施形態に係る整数計画装置１０の機能ブロックを示す図である。整数計画装置１０は、設定部１１、取得部１２及び更新部１３を備える。
【0033】
設定部１１は、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する１次式で表される第２項と、制約条件を表し、複数のスピンに関する２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。より一般には、設定部１１は、制約付き整数計画問題の目的関数を表す第１項と、複数の制約条件を表し、複数のスピンに関する複数の１次式の重み付き和で表される第２項と、複数の制約条件を表し、複数のスピンに関する複数の２次式の和で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。
【0034】
二値変数（スピン）ベクトルをｘと表し、目的関数をｆ（ｘ）と表し、複数の制約条件をｇi（ｘ）＝ｃiと表すとき、設定部１１は、以下の数式（２）で表されるハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。
【0035】
【数2】
【0036】
ここで、λiは、第２項に含まれる複数の１次式の重み係数であり、μは、第３項の係数である。従来の方法において設定されていたハミルトニアン（数式（１））と比較すると、係数λiが追加されているものの、第３項の係数μが、複数の制約条件を表す複数の２次式について共通となっている点が異なる。このように、複数の制約条件がある場合であっても、第３項の係数を複数の２次式について共通として、調整する係数を第２項の重み係数に絞ることができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。なお、第３稿の係数μを複数の制約条件毎に設定し、係数μiとしてもよい。
【0037】
取得部１２は、アニーリングマシン２０によって求められた複数のスピンの値を取得する。取得部１２は、係数λi及びμを固定して、アニーリングマシン２０によって複数回基底状態を求め、それぞれの場合の複数のスピンの値を取得してよい。
【0038】
更新部１３は、第２項の係数を、第２項の値に基づいて更新する。より一般的には、更新部１３は、第２項の重み係数λiを、複数の１次式の値に基づいて更新する。また、更新部１３は、第３項の係数μを、第２項の係数の更新とともに定数倍して更新する。
【0039】
本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、１次式で表される第２項と、２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定することで、第２項の係数を第２項の値に基づいて更新することができ、係数の探索負荷を軽減することができ、アニーリングマシンによって制約付き整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。また、第３項の係数の更新を適切に行うことができ、アニーリングマシンによって求められる解の精度をより高くすることができる。
【0040】
更新部１３は、第２項の係数を、その係数を固定してアニーリングマシン２０によって求められた第２項の期待値に基づいて更新してよい。具体的には、更新部１３は、
以下の数式（３）により、第２項の係数λi及び第３項の係数μを更新する。ここで、＜ｇi（ｘ）－ｃi＞は、アニーリングマシン２０によって求められた第２項の期待値を表す。また、αは、任意のパラメータであり、例えば１．１～１．２程度としてよい。
以下の数式（３）により、第２項の係数λi及び第３項の係数μを更新する。ここで、＜ｇi（ｘ）－ｃi＞は、アニーリングマシン２０によって求められた第２項の期待値を表す。また、αは、任意のパラメータであり、例えば１．１～１．２程度としてよい。
【0041】
【数3】
【0042】
このように、第２項の期待値に基づいて係数を更新することで、第２項の係数の更新をより適切に行うことができ、係数の更新回数を減らすことができる。
【0043】
更新部１３は、第２項の係数を固定してアニーリングマシン２０によって所定回数求められた複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度を算出し、その頻度が閾値以上である場合に、第２項の係数の更新を終了してよい。このようにして、制約条件を満たす確率が高い係数を定めることができ、アニーリングマシンによって求められる解の精度をより高くすることができる。
【0044】
図３は、本実施形態に係る整数計画装置１０の物理的構成を示す図である。整数計画装置１０は、演算部に相当するＣＰＵ（Central Processing Unit）１０ａと、記憶部に相当するＲＡＭ（Random Access Memory）１０ｂと、記憶部に相当するＲＯＭ（Read only Memory）１０ｃと、通信部１０ｄと、入力部１０ｅと、表示部１０ｆと、を有する。これらの各構成は、バスを介して相互にデータ送受信可能に接続される。なお、本例では整数計画装置１０が一台のコンピュータで構成される場合について説明するが、整数計画装置１０は、複数のコンピュータが組み合わされて実現されてもよい。また、図３で示す構成は一例であり、整数計画装置１０はこれら以外の構成を有してもよいし、これらの構成のうち一部を有さなくてもよい。
【0045】
ＣＰＵ１０ａは、ＲＡＭ１０ｂ又はＲＯＭ１０ｃに記憶されたプログラムの実行に関する制御やデータの演算、加工を行う制御部である。ＣＰＵ１０ａは、制約なし整数計画問題を、アニーリングマシンを用いて解くプログラム（整数計画プログラム）を実行する演算部である。ＣＰＵ１０ａは、入力部１０ｅや通信部１０ｄから種々のデータを受け取り、データの演算結果を表示部１０ｆに表示したり、ＲＡＭ１０ｂに格納したりする。
【0046】
ＲＡＭ１０ｂは、記憶部のうちデータの書き換えが可能なものであり、例えば半導体記憶素子で構成されてよい。ＲＡＭ１０ｂは、ＣＰＵ１０ａが実行するプログラム、ハミルトニアンに含まれる相互作用や局所磁場に関するデータを記憶してよい。なお、これらは例示であって、ＲＡＭ１０ｂには、これら以外のデータが記憶されていてもよいし、これらの一部が記憶されていなくてもよい。
【0047】
ＲＯＭ１０ｃは、記憶部のうちデータの読み出しが可能なものであり、例えば半導体記憶素子で構成されてよい。ＲＯＭ１０ｃは、例えば広告配信プログラムや、書き換えが行われないデータを記憶してよい。
【0048】
通信部１０ｄは、整数計画装置１０を他の機器に接続するインターフェースである。通信部１０ｄは、インターネット等の通信ネットワークＮに接続されてよい。
【0049】
入力部１０ｅは、ユーザからデータの入力を受け付けるものであり、例えば、キーボード及びタッチパネルを含んでよい。
【0050】
表示部１０ｆは、ＣＰＵ１０ａによる演算結果を視覚的に表示するものであり、例えば、ＬＣＤ（Liquid Crystal Display）により構成されてよい。表示部１０ｆは、例えば、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの配列を表示してよい。
【0051】
整数計画プログラムは、ＲＡＭ１０ｂやＲＯＭ１０ｃ等のコンピュータによって読み取り可能な記憶媒体に記憶されて提供されてもよいし、通信部１０ｄにより接続される通信ネットワークを介して提供されてもよい。整数計画装置１０では、ＣＰＵ１０ａが整数計画プログラムを実行することにより、図２を用いて説明した様々な動作が実現される。なお、これらの物理的な構成は例示であって、必ずしも独立した構成でなくてもよい。例えば、整数計画装置１０は、ＣＰＵ１０ａとＲＡＭ１０ｂやＲＯＭ１０ｃが一体化したＬＳＩ（Large-Scale Integration）を備えていてもよい。
【0052】
［第１実施例］
第１実施例として、本実施形態に係る整数計画装置１０により、アニーリングマシン２０を用いてナップサック問題を解く例を説明する。ナップサック問題とは、ｉ番目（ｉ＝１～Ｎ）の物品に関する価値ｖi及び重量ｗiが与えられた場合に、重量の合計を所定値Ｗ以下とする制約条件を満たしつつ、価値の合計を最大化する問題である。
第１実施例として、本実施形態に係る整数計画装置１０により、アニーリングマシン２０を用いてナップサック問題を解く例を説明する。ナップサック問題とは、ｉ番目（ｉ＝１～Ｎ）の物品に関する価値ｖi及び重量ｗiが与えられた場合に、重量の合計を所定値Ｗ以下とする制約条件を満たしつつ、価値の合計を最大化する問題である。
【0053】
従来法では、以下の数式（４）に示すハミルトニアンの基底状態となる二値変数ｘiを求める。係数μは、定数α＞１を用いて、μ←αμとして制約条件を満たすようになるまで（又は制約条件を満たす頻度が閾値を超えるまで）更新を繰り返すことで定められる。
【0054】
【数4】
【0055】
ここで、ｖ（ｘ）、ｗ（ｘ）及びｈ（ｙ）は、以下の数式（５）で定義される。また、ｙi（ｉ＝１～ｄ）は０又は１の値を取る二値変数であり、ｄ＝ｆｌｏｏｒ（ｌｏｇ2（Ｗ－１））＋１である。ｆｌｏｏｒ（・）は、引数を、引数以下の整数に切り下げる関数である。ｈ（ｙ）は、１からＷまでのいずれかの値を取る関数となる。
【0056】
【数5】
【0057】
本実施形態に係る整数計画装置１０は、以下の数式（６）に示すハミルトニアンの基底状態となる二値変数ｘiを求める。
【0058】
【数6】
【0059】
ここで、ｖ（ｘ）、ｗ（ｘ）及びｈ（ｙ）は、数式（５）で定義される。第２項の係数λ及び第３項の係数μは、数式（３）により更新する。
【0060】
本実施形態に係る整数計画装置１０の設定部１１は、制約条件が不等号条件の場合、不等号条件を満たす値が値域となる関数による等号条件を表す第２項及び第３項を含むハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。本例の場合、設定部１１は、関数ｈ（ｙ）による等号条件を表す第２項及び第３項を含むハミルトニアンをアニーリングマシン２０に設定する。このようにして、等号条件のみならず、不等号条件で表される制約条件を含む整数計画問題の解をより精度よく求めることができる。
【0061】
図４は、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解いた場合の目的関数の平均値と、従来法でナップサック問題を解いた場合の目的関数の平均値との関係を示す図である。同図では、縦軸に従来法でナップサック問題を解いた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値を示し、横軸に本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解いた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値を示している。同図では、価値ｖi及び重量ｗiをランダムに生成して、従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０によって、それぞれアニーリングマシン２０を用いて解を求めた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値をプロットしている。グラフ中に示した破線は、従来法による目的関数ｖ（ｘ）の平均値と、本実施形態に係る整数計画装置１０による目的関数ｖ（ｘ）の平均値とが等しくなる場合を示している。また、同図では、ナップサック問題の物品数ＮがＮ＝２０である場合を丸印で示し、Ｎ＝３０である場合を三角印で示し、Ｎ＝４０である場合を四角印で示している。
【0062】
同図によれば、Ｎ＝２０，３０，４０いずれの場合でも、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解いた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値は、従来法でナップサック問題を解いた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値よりも大きい。よって、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、従来法の場合よりも大きな目的関数ｖ（ｘ）の値を達成できる確率が高く、制約付き整数計画問題についてより精度の高い解が得られていることが読み取れる。このような精度の違いは、ハミルトニアンに含まれる係数を適切に決定できるか否かにより生じていると考えられる。従来法では、係数μを適切に決定できなかったり、収束させるまでに時間がかかったりするが、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、係数λ，μをより適切かつより迅速に決定することができる。
【0063】
図５は、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解く場合の係数の更新回数と、従来法でナップサック問題を解く場合の係数の更新回数との関係を示す図である。ここで、更新回数は、従来法の場合及び本実施形態に係る整数計画装置１０の場合いずれも、アニーリングマシン２０によって求められる複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度が閾値以上となるまでの回数である。
【0064】
同図では、縦軸に従来法でナップサック問題を解く場合の係数μの更新回数を示し、横軸に本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解く場合の係数λ，μの更新回数を示している。同図では、図４の場合と同様に、価値ｖi及び重量ｗiをランダムに生成して、従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０によって、それぞれアニーリングマシン２０を用いて解を求める場合の係数の更新回数をプロットしている。また、プロットの円の面積は、頻度に比例している。また、同図では、ナップサック問題の物品数ＮがＮ＝２０である場合を一点鎖線で示し、Ｎ＝３０である場合を破線で示し、Ｎ＝４０である場合を実線で示している。
【0065】
同図によれば、Ｎ＝２０，３０，４０いずれの場合でも、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解く場合の係数の更新回数は、従来法でナップサック問題を解く場合の係数の更新回数よりも少ない。よって、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、従来法の場合よりも係数λ，μをより高速に収束させることができていることが読み取れる。
【0066】
図６は、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解く場合及び従来法によりナップサック問題を解く場合における正規化した目的関数の値を示す図である。同図では、縦軸に従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０でナップサック問題を解いた場合の目的関数ｖ（ｘ）の平均値を、最適解の場合の目的関数の値で正規化した値を示し、横軸にランダムに生成した価値ｖi及び重量ｗiのナップサック問題を識別する問題ＩＤを示している。同図は、価値ｖi及び重量ｗiが与えられた各問題について、係数λ，μが収束した後に得られた目的関数の値を箱ひげ図で示している。また、同図では、ナップサック問題の物品数ＮがＮ＝４０である場合の結果を示している。
【0067】
同図によれば、２０個の問題全てについて、本実施形態に係る整数計画装置１０によりナップサック問題を解いた場合の正規化した目的関数の値は１．０に近く、従来法でナップサック問題を解いた場合の正規化した目的関数の値（０．５～０．７程度）よりも大きい。同図から、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、従来法の場合よりも目的関数の値が大きいだけでなく、ほとんどの場合に最適解が得られていることが読み取れる。
【0068】
［第２実施例］
第２実施例として、本実施形態に係る整数計画装置１０により、アニーリングマシン２０を用いて制約付きスピングラス問題を解く例を説明する。制約付きスピングラス問題とは、ランダムに生成された相互作用ｑij（ｉ，ｊ＝１～Ｎ）が与えられた場合に、二値変数ｘiの合計がＢとなるように、Σi≦jｑijｘiｘjを最大化する問題である。本例では、ｑijを平均０、分散１の正規分布によって生成した。
第２実施例として、本実施形態に係る整数計画装置１０により、アニーリングマシン２０を用いて制約付きスピングラス問題を解く例を説明する。制約付きスピングラス問題とは、ランダムに生成された相互作用ｑij（ｉ，ｊ＝１～Ｎ）が与えられた場合に、二値変数ｘiの合計がＢとなるように、Σi≦jｑijｘiｘjを最大化する問題である。本例では、ｑijを平均０、分散１の正規分布によって生成した。
【0069】
従来法では、以下の数式（７）に示すハミルトニアンの基底状態となる二値変数ｘiを求める。係数μは、定数α＞１を用いて、μ←αμとして制約条件を満たすようになるまで（又は制約条件を満たす頻度が閾値を超えるまで）更新を繰り返すことで定められる。
【0070】
【数7】
【0071】
本実施形態に係る整数計画装置１０は、以下の数式（８）に示すハミルトニアンの基底状態となる二値変数ｘiを求める。ここで、第２項の係数λ及び第３項の係数μは、数式（３）により更新する。
【0072】
【数8】
【0073】
図７は、本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数の平均値と、従来法で制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数の平均値との関係を示す図である。
同図では、縦軸に従来法で制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値を示し、横軸に本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値を示している。同図では、相互作用ｑijをランダムに生成して、従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０によって、それぞれアニーリングマシン２０を用いて解を求めた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値をプロットしている。グラフ中に示した破線は、従来法による目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値と、本実施形態に係る整数計画装置１０による目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値とが等しくなる場合を示している。また、同図では、制約付きスピングラス問題の制約パラメータＢがＢ＝８である場合を丸印で示し、Ｂ＝１６である場合を三角印で示し、Ｂ＝３２である場合を四角印で示している。
同図では、縦軸に従来法で制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値を示し、横軸に本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値を示している。同図では、相互作用ｑijをランダムに生成して、従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０によって、それぞれアニーリングマシン２０を用いて解を求めた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値をプロットしている。グラフ中に示した破線は、従来法による目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値と、本実施形態に係る整数計画装置１０による目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値とが等しくなる場合を示している。また、同図では、制約付きスピングラス問題の制約パラメータＢがＢ＝８である場合を丸印で示し、Ｂ＝１６である場合を三角印で示し、Ｂ＝３２である場合を四角印で示している。
【0074】
同図によれば、Ｂ＝８，１６，３２いずれの場合でも、本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値は、従来法で制約付きスピングラス問題を解いた場合の目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの平均値の平均値よりも大きい場合が多い。よって、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、従来法の場合よりも大きな目的関数Σi≦jｑijｘiｘjの値を達成できる確率が高く、制約付きスピングラス問題についてより精度の高い解が得られていることが読み取れる。このような精度の違いは、ハミルトニアンに含まれる係数を適切に決定できるか否かにより生じていると考えられる。従来法では、係数μを適切に決定できなかったり、収束させるまでに時間がかかったりするが、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、係数λ，μをより適切かつより迅速に決定することができる。
【0075】
図８は、本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数と、従来法で制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数との関係を示す図である。ここで、更新回数は、従来法の場合及び本実施形態に係る整数計画装置１０の場合いずれも、アニーリングマシン２０によって求められる複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度が閾値以上となるまでの回数である。
【0076】
同図では、縦軸に従来法で制約付きスピングラス問題を解く場合の係数μの更新回数を示し、横軸に本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解く場合の係数λ，μの更新回数を示している。同図では、図７の場合と同様に、相互作用ｑijをランダムに生成して、従来法及び本実施形態に係る整数計画装置１０によって、それぞれアニーリングマシン２０を用いて解を求める場合の係数の更新回数をプロットしている。また、プロットの円の面積は、頻度に比例している。また、同図では、制約付きスピングラス問題の制約パラメータＢがＢ＝８である場合を一点鎖線で示し、Ｂ＝１６である場合を破線で示し、Ｂ＝３２である場合を実線で示している。
【0077】
同図によれば、Ｂ＝８，１６，３２いずれの場合でも、本実施形態に係る整数計画装置１０により制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数は、従来法で制約付きスピングラス問題を解く場合の係数の更新回数よりも少ない。よって、本実施形態に係る整数計画装置１０によれば、従来法の場合よりも係数λ，μをより高速に収束させることができていることが読み取れる。
【0078】
図９は、本実施形態に係る整数計画装置１０により実行される整数計画処理のフローチャートである。同図では、制約条件が１つである場合の整数計画処理のフローチャートを示している。
【0079】
はじめに、整数計画装置１０は、目的関数を表す第１項と、制約条件を表し、１次式で表される第２項と、制約条件を表し、２次式で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する（Ｓ１０）。
【0080】
その後、整数計画装置１０は、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの値を取得し（Ｓ１１）、第２項の係数を固定してアニーリングマシンによって求められた第２項の期待値に基づいて、第２項の係数を更新する（Ｓ１２）。また、整数計画装置１０は、第３項の係数を定数倍して更新する（Ｓ１３）。
【0081】
整数計画装置１０は、複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度を算出する（Ｓ１４）。そして、整数計画装置１０は、頻度が閾値以上である場合（Ｓ１５：ＹＥＳ）、第２項の係数及び第３項の係数を決定する（Ｓ１６）。なお、整数計画装置１０は、決定された第２項の係数及び第３項の係数を含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定して、制約付き整数計画装置の解を求めてよい。一方、頻度が閾値未満である場合（Ｓ１５：ＮＯ）、整数計画装置１０は、処理Ｓ１１～Ｓ１５を再び実行する。
【0082】
図１０は、本実施形態に係る整数計画装置１０により実行される整数計画処理のフローチャートである。同図では、制約条件が２以上である場合の整数計画処理のフローチャートを示している。
【0083】
はじめに、整数計画装置１０は、目的関数を表す第１項と、複数の制約条件を表し、複数の１次式の重み付き和で表される第２項と、複数の制約条件を表し、複数の２次式の和で表される第３項とを含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定する（Ｓ２０）。
【0084】
その後、整数計画装置１０は、アニーリングマシンによって求められた複数のスピンの値を取得し（Ｓ２１）、第２項の重み係数を固定してアニーリングマシンによって求められた複数の１次式の期待値に基づいて、第２項の重み係数を更新する（Ｓ２２）。また、整数計画装置１０は、第３項の係数を定数倍して更新する（Ｓ２３）。
【0085】
整数計画装置１０は、複数のスピンの値が制約条件を満たす頻度を算出する（Ｓ２４）。そして、整数計画装置１０は、頻度が閾値以上である場合（Ｓ２５：ＹＥＳ）、第２項の重み係数及び第３項の係数を決定する（Ｓ１６）。なお、整数計画装置１０は、決定された第２項の重み係数及び第３項の係数を含むハミルトニアンをアニーリングマシンに設定して、制約付き整数計画装置の解を求めてよい。一方、頻度が閾値未満である場合（Ｓ２５：ＮＯ）、整数計画装置１０は、処理Ｓ２１～Ｓ２５を再び実行する。
【0086】
以上説明した実施形態は、本発明の理解を容易にするためのものであり、本発明を限定して解釈するためのものではない。実施形態が備える各要素並びにその配置、材料、条件、形状及びサイズ等は、例示したものに限定されるわけではなく適宜変更することができる。また、異なる実施形態で示した構成同士を部分的に置換し又は組み合わせることが可能である。
【符号の説明】
【0087】
１０…整数計画装置、１０ａ…ＣＰＵ、１０ｂ…ＲＡＭ、１０ｃ…ＲＯＭ、１０ｄ…通信部、１０ｅ…入力部、１０ｆ…表示部、１１…設定部、１２…取得部、１３…更新部、２０…アニーリングマシン、１００…整数計画システム
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
