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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-01-12
(45)【発行日】2024-01-22
(54)【発明の名称】流れパターンの語表現装置、語表現方法およびプログラム
(51)【国際特許分類】
G16H 30/00 20180101AFI20240115BHJP
G16H 10/40 20180101ALI20240115BHJP
【ＦＩ】
G16H30/00
G16H10/40
【請求項の数】
6
(21)【出願番号】P 2020013646
(22)【出願日】2020-01-30
(65)【公開番号】P2021120781
(43)【公開日】2021-08-19
【審査請求日】2023-01-25
【国等の委託研究の成果に係る記載事項】（出願人による申告）平成３０年度、国立研究開発法人科学技術振興機構、未来社会創造委託事業、「流線トポロジーデータ解析の理論と応用研究・ソフトウェア「開発・データ駆動数理モデリングの開発」、産業技術力強化法第１７条の適用を受ける特許出願
(73)【特許権者】
【識別番号】516109509
【氏名又は名称】株式会社Ｃａｒｄｉｏ Ｆｌｏｗ Ｄｅｓｉｇｎ
(74)【代理人】
【識別番号】100130845
【弁理士】
【氏名又は名称】渡邉 伸一
(74)【代理人】
【識別番号】100140350
【弁理士】
【氏名又は名称】渡辺 和宏
(74)【代理人】
【識別番号】100201020
【弁理士】
【氏名又は名称】野中 信宏
(73)【特許権者】
【識別番号】509349141
【氏名又は名称】京都府公立大学法人
(74)【代理人】
【識別番号】100105924
【弁理士】
【氏名又は名称】森下 賢樹
(72)【発明者】
【氏名】坂上 貴之
(72)【発明者】
【氏名】板谷 慶一
【審査官】今井 悠太
(56)【参考文献】
【文献】国際公開第２０１６／０７２５１５（ＷＯ，Ａ１）
【文献】国際公開第２０１５／０６８７８４（ＷＯ，Ａ１）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ１６Ｈ １０／００－８０／００
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備え、前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
前記語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備え、
前記ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、
前記木表現構成手段は、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
前記ＣＯＴ表現生成手段は、前記木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成し、
前記流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含むことを特徴とする語表現装置。
【請求項2】
前記流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含むことを特徴とする請求項１に記載の語表現装置。
【請求項3】
前記流れパターンは、心室内血流のパターンである請求項１または２に記載の語表現装置。
【請求項4】
前記流れパターンから抽出された位相的データ構造を表示する表示部をさらに備える請求項１から３のいずれかに記載の語表現装置。
【請求項5】
記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータによって実行される、二次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
前記語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、
前記ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、
前記木表現構成ステップは、前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成し、
前記ＣＯＴ表現生成ステップは、前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成し、
前記流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含むことを特徴とする語表現方法。
【請求項6】
記憶部と語表現生成部とを備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムであって、前記記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、
与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、
前記与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、前記記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、前記流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、前記与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、
前記木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、前記与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を前記語表現生成部に実行させ、
前記流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含むことを特徴とするプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、流れパターンの語表現装置、語表現方法およびプログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに対して、多対１の語表現（極大語表現）を与える技術、および語表現と正規表現を使った流体中の構造物の形状の設計方法が開示されている（例えば、特許文献１参照）。また、曲面上の非圧縮性流体の流れ構造に対して、流れパターンに１対１に対応するグラフ表現から語表現（正規表現）を与える技術が開示されている（例えば、特許文献２参照）。また心臓内の血液の流れについて超音波の計測断面で血流速度の分布を取得し、流線を表示する技術（特許文献３参照）や、心臓ＭＲＩで心臓内の血流速度分布を取得し、内腔や断面での流線を表示したりする技術（特許文献４参照）が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0003】
【文献】国際公開第２０１４／０４１９１７号
【文献】国際公開第２０１６／０７２５１５号
【文献】国際公開第２０１３／０７７０１３号
【文献】国際公開第２０１４／１８５５２１号
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0004】
前述の技術は、曲面上の非圧縮性流体の流れパターンに的確な語表現を与えることができるが、圧縮性流体を含む一般的な流れパターン、特に計測面内に湧き出しや吸い込みを伴うような断面を通過する流れパターンを表現できない。また前述の技術は、物理境界においては滑り境界条件（ｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）を前提として語表現が構築されており、物理境界が流れの発生源となるような事象、例えば心臓のように袋状に囲んだ壁が内部流れを圧迫し駆出したり、壁が膨張し流れを吸い込むような流れの事象について語表現を与えることができない。
【0005】
本発明はこうした課題に鑑みてなされたものであり、その目的は、移動する物理境界が流れを発生させる現象について語表現を与えることであり、３次元流れの２次元計測断面に対して語表現を与えることにある。その応用として特に心臓内に発生する超音波やＭＲＩなどの医用画像から可視化される血流の渦流について、その流れパターンを分類し、当該流れパターンに対して語表現を与えることにある。
【課題を解決するための手段】
【0006】
上記課題を解決するために、本発明のある態様の語表現装置は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備える。記憶部は、流れパターンを構成する複数の構造に関し、各構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現（ＣＯＴ：ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｃｙｃｌｉｃａｌｌｙ Ｏｒｄｅｒｅｄ ｒｏｏｔｅｄ Ｔｒｅｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）生成手段と、を備える。ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成手段は、与えられた流れパターンの構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成手段は、木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成し、流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含む。ここで「２次元領域」とは、関心領域（Ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ＝ＲＯＩ）となる曲面上の領域のことをいう。また「物理境界」とは、上記２次元領域と外部領域との境界線である。「移動する物理境界」とは、この境界線が時間とともに移動することを示す。例えば「２次元領域」が左心室長断面である場合、「物理境界」は左心室断面を取り巻く壁の輪郭であり、「移動する物理境界」はこの壁の輪郭が収縮拡張して移動することを表す。
【0007】
本発明の別の態様は、語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法であって、記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定ステップと、木表現構成ステップと、ＣＯＴ表現生成ステップと、を実行し、ルート決定ステップは、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成ステップは、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成ステップは、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成し、流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含む。
【0008】
本発明のさらに別の態様は、プログラムである。このプログラムは、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させる。記憶部は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字との対応関係を記憶する。このプログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するルート決定ステップと、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する木表現構成ステップと、木表現構成ステップで構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成するＣＯＴ表現生成ステップと、を語表現生成部に実行させ、流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含む。
【0009】
なお、以上の構成要素の任意の組み合わせや、本発明の構成要素や表現を方法、装置、プログラム、プログラムを記録した一時的なまたは一時的でない記憶媒体、システムなどの間で相互に置換したものもまた、本発明の態様として有効である。
【0010】
本発明のさらに別の態様は、装置である。この装置は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置であって、記憶部と、語表現生成部と、を備える。記憶部は、流れパターンを構成する複数の構造に関し、各構造とその文字との対応関係を記憶し、語表現生成部は、ルート決定手段と、木表現構成手段と、ＣＯＴ表現生成手段と、を備える。ルート決定手段は、与えられた流れパターンのルートを決定し、木表現構成手段は、与えられた流れパターンの構造を抜き出し、記憶部に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成し、ＣＯＴ表現生成手段は、木表現構成手段によって構成された木表現をＣＯＴ表現に変換して、与えられた流れパターンの語表現を生成し、流れパターンを構成する流れは、移動する物理境界が発生させる流れを含む。
【発明の効果】
【0011】
本発明によれば、移動を伴う物理境界に囲まれた３次元流体の断面内流れに対して語表現を与えることができ、例えば心臓内に発生する渦流の流れパターンに対して語表現を与えることができる。
【図面の簡単な説明】
【0012】
【図1】通常解剖（内臓正位、房室結合信大血管結合正位）での心臓（左心室）の収縮・拡張に伴う血流・血圧・心臓弁の周期的運動を示す図である。
【図2】ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅおよびｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを示す図である。（ａ）、（ｂ）はｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅを示す。（ｃ）、（ｄ）は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを示す。
【図3】有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）：ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す図である。（ａ）は開矩形領域で軌道空間が開区間であるものを示す。（ｂ）は開円環領域で軌道空間が円周であるものを示す。（ｃ）は開円環領域で軌道空間が開区間であるものを示す。
【図4】（Ｂｄ（ｖ））ｃの軌道群を表す構造（２次元構造）を示す図である。（ａ）は構造ｂ～±を示す。（ｂ）は構造ｂ±を示す。
【図5】球面Ｓ上の基本構造を示す図である。（ａ）は構造σφ±、σφ～±０、σφ～±±、σφ～±干を示す。（ｂ）は構造βφ±を示す。（ｃ）は構造βφ２を示す。
【図6】Ｂｄ（ｖ）の流れの０次元点構造と１次元構造の例を示す図である。（ａ）は１次元構造としての構造β±を示す。（ｂ）は０次元点構造としての構造σ±、σ～±０、σ～±±、σ～±干を示す。（ｃ）は１次元構造としての構造ｐ～±を示す。（ｄ）は１次元構造としての構造ｐ±を示す。
【図7】（Ｓ１）系列の１次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ±を示す。（ｂ）は構造ｑ±を示す。
【図8】（Ｓ２）系列の１次元構造を示す図である。（ａ）は構造ｂ±±を示す。（ｂ）は構造ｂ±干を示す。
【図9】（Ｓ４）系列の１次元構造を示す図である。（ａ）は構造β±を示す。（ｂ）は構造ｃ±を示す。（ｃ）は構造ｃ２±を示す。
【図10】（Ｓ５）系列の１次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ２を示す。（ｂ）は構造γφ～±を示す。（ｃ）は構造γ～±－を示す。（ｄ）は構造γ～±＋を示す。
【図11】（Ｓ３）系列の１次元構造を示す図である。（ａ）は構造ａ～±を示す。（ｄ）は構造ｑ～±を示す。
【図12】ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅの作り方を示す図である。
【図13】ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの例を示す図である。
【図14】有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）の中に現れる３種類のｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔｓを示す図である。
【図16】０次元構造：∞～±を示す図である。
【図17】木表現の説明図である。
【図18】第１実施の形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。
【図19】第２実施の形態に係る語表現装置の機能ブロック図である。
【図20】第３実施形態に係る語表現方法のフロー図である。
【図21】工程Ｎ１の処理を示すフロー図である。
【図22】工程Ｎ２の処理を示すフロー図である。
【図23(a)】工程Ｎ３の処理の前半を示すフロー図である。
【図23(b)】工程Ｎ３の処理の後半を示すフロー図である。
【図24】同じＣＯＴ表現を持つが、異なる流線トポロジーを持つ流れパターンの例を示す図である。
【図25】心室内血流画像データに対する位相的前処理の例を示す図である。（ａ）は心室内血流画像の流れパターンを示す。（ｂ）は（ａ）から抽出した不完全な位相的データ構造を示す。（ｃ）は（ｂ）に対して位相的前処理を行ってサドルを１つだけ外部に追加して得られた整合的な位相的データ構造を示す。
【図26】パターンＡの心血流に対するＣＯＴ表現の与え方を示す図である。（ａ）は、心室血流画像の流れパターンを示す。（ｂ）は、（ａ）の軌道構造から抽出された位相的データ構造を示す。（ｃ）は、（ｂ）から最内部の特異点を取り除いた状態を示す。（ｄ）は、（ｃ）から構造ａ～－を取り除いて境界に縮退させて得られる軌道構造を示す。
【図27】パターンＢ、ＣおよびＤの心血流に対するＣＯＴ表現の与え方を示す図である。（ａ）は、パターンＢを示す。（ｂ）は、パターンＣを示す。（ｃ）は、パターンＤを示す。
【図28】超音波ＶＦＭ（ｖｅｃｔｏｒ ｆｌｏｗ ｍａｐｐｉｎｇ）で解析した収縮早期と中期の間の時相、すなわち大動脈弁が解放され始めた時相の左室心内血流を流線で可視化した図である。（ａ）は健常者、（ｂ）は心不全患者１、（ｃ）は心不全患者２の例を示す。
【発明を実施するための形態】
【0013】
以下、本発明を好適な実施の形態をもとに各図面を参照しながら説明する。実施の形態および変形例では、同一または同等の構成要素、部品には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、各図面における部品の寸法は、理解を容易にするために適宜拡大、縮小して示される。また、各図面において実施の形態を説明する上で重要ではない要素の一部は省略して表示する。また、第１、第２などの序数を含む用語は多様な構成要素を説明するために用いられるが、この用語は１つの構成要素を他の構成要素から区別する目的でのみ用いられ、この用語によって構成要素が限定されるものではない。
【0014】
［左心室内の血流］
心臓は血液を周期的に駆出する。その仕組みは、心筋が収縮拡張を繰り返し、それに伴い心室の入口である房室弁と出口である半月弁が交互に開閉することにより、毎心拍一定量の血液の駆出が維持されるというものである。通常解剖では心室には左心室と右心室とが存在する。本明細書は、循環器臨床の検査画像で得られる心内血流の軌道群に関する分類およびその離散組み合わせ構造を語表現することも適用先として含む試みであることから、心内血流の流線可視化技術も取り扱うこととする。
心臓は血液を周期的に駆出する。その仕組みは、心筋が収縮拡張を繰り返し、それに伴い心室の入口である房室弁と出口である半月弁が交互に開閉することにより、毎心拍一定量の血液の駆出が維持されるというものである。通常解剖では心室には左心室と右心室とが存在する。本明細書は、循環器臨床の検査画像で得られる心内血流の軌道群に関する分類およびその離散組み合わせ構造を語表現することも適用先として含む試みであることから、心内血流の流線可視化技術も取り扱うこととする。
【0015】
図１に、通常解剖（内臓正位、房室結合信大血管結合正位）での心臓（左心室）の収縮・拡張に伴う血流・血圧・心臓弁の周期的運動を示す。通常左心室では、血流の入口にあたる房室弁である僧帽弁（Ｍｉｔｒａｌ ｖａｌｖｅ）と血流の出口にあたる半月弁である大動脈弁（Ａｏｒｔｉｃ ｖａｌｖｅ）が開閉を繰り返し、以下の４つの時相を一心周期で繰り返す。
（１）等容収縮期（Ｉｓｏｖｏｌｕｍｉｃ Ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）：心室が充満し、房室弁である僧帽弁は閉鎖する。このとき半月弁である大動脈弁はまだ解放されず、心室容積を維持したまま心内圧が上昇する時相。
（２）収縮期（Ｓｙｓｔｏｌｅ）：心室圧が大動脈圧を超えると大動脈弁が解放され、心筋が収縮し、心室容積が縮小し、血液を絞り出すように大動脈に駆出する時相。左室心筋は、袋状の心室を単純に押しつぶすように収縮するだけではなく、心筋が線維方向にねじれ収縮する。収縮期は、大動脈弁通過血流が加速する収縮早期（ｅａｒｌｙ ｓｙｓｔｏｌｅ）、大動脈に多量の血液が駆出される収縮中期（ｍｉｄ ｓｙｓｔｏｌｅ）および大動脈弁通過血流速度が減速する収縮後期（ｌａｔｅ ｓｙｓｔｏｌｅ）に大別することができる。
（３）等容拡張期（Ｉｓｏｖｏｌｕｍｉｃ Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）：心室内の血液が駆出されると、大動脈圧が心室内圧を上回るようになり大動脈弁が閉鎖する。このとき僧帽弁はまだ解放されず、左室心筋は能動的に弛緩し、心室内圧が容積を維持したまま低下する時相。
（４）拡張期（Ｄｉａｓｔｏｌｅ）：左室内圧が左房圧より低下すると僧帽弁が解放され、左室内に血流が流入する時相。このとき心筋は拡張し、左室容積が増高し左室は充満する。上述の収縮期の逆で、心室をただ袋状に広げるだけでなく、心筋線維方向にほどけながら拡張することが知られている。拡張期では、心筋拡張に伴い僧帽弁通過血流が増多する急速流入期（ｒａｐｉｄ ｆｉｌｌｉｎｇ）の後に、僧帽弁通過血流速度が減少する緩徐流入期（ｌａｔｅ ｆｉｌｌｉｎｇ）を迎える。その後、左心房の収縮により再度僧帽弁通過血流が増えるが、これを心房収縮期（ａｔｒｉａｌ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）という。その後の時相を拡張末期（ｅｎｄ ｄｉａｓｔｏｌｅ）と呼ぶ。また収縮期同様拡張期を時間的に３分し、僧帽弁通過血流が急速に流入するあたりの時相を拡張早期（ｅａｒｌｙ ｄｉａｓｔｏｌｅ）、流入血流が減速し比較的ｓｔａｔｉｃに流れが一様に遅くなる時相を拡張中期（ｍｉｄ ｄｉａｓｔｏｌｅ）、心房収縮に伴い左室に再流入する時相以降を拡張後期（ｌａｔｅ ｄｉａｓｔｏｌｅ）と呼ぶこともある。
（１）等容収縮期（Ｉｓｏｖｏｌｕｍｉｃ Ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）：心室が充満し、房室弁である僧帽弁は閉鎖する。このとき半月弁である大動脈弁はまだ解放されず、心室容積を維持したまま心内圧が上昇する時相。
（２）収縮期（Ｓｙｓｔｏｌｅ）：心室圧が大動脈圧を超えると大動脈弁が解放され、心筋が収縮し、心室容積が縮小し、血液を絞り出すように大動脈に駆出する時相。左室心筋は、袋状の心室を単純に押しつぶすように収縮するだけではなく、心筋が線維方向にねじれ収縮する。収縮期は、大動脈弁通過血流が加速する収縮早期（ｅａｒｌｙ ｓｙｓｔｏｌｅ）、大動脈に多量の血液が駆出される収縮中期（ｍｉｄ ｓｙｓｔｏｌｅ）および大動脈弁通過血流速度が減速する収縮後期（ｌａｔｅ ｓｙｓｔｏｌｅ）に大別することができる。
（３）等容拡張期（Ｉｓｏｖｏｌｕｍｉｃ Ｒｅｌａｘａｔｉｏｎ）：心室内の血液が駆出されると、大動脈圧が心室内圧を上回るようになり大動脈弁が閉鎖する。このとき僧帽弁はまだ解放されず、左室心筋は能動的に弛緩し、心室内圧が容積を維持したまま低下する時相。
（４）拡張期（Ｄｉａｓｔｏｌｅ）：左室内圧が左房圧より低下すると僧帽弁が解放され、左室内に血流が流入する時相。このとき心筋は拡張し、左室容積が増高し左室は充満する。上述の収縮期の逆で、心室をただ袋状に広げるだけでなく、心筋線維方向にほどけながら拡張することが知られている。拡張期では、心筋拡張に伴い僧帽弁通過血流が増多する急速流入期（ｒａｐｉｄ ｆｉｌｌｉｎｇ）の後に、僧帽弁通過血流速度が減少する緩徐流入期（ｌａｔｅ ｆｉｌｌｉｎｇ）を迎える。その後、左心房の収縮により再度僧帽弁通過血流が増えるが、これを心房収縮期（ａｔｒｉａｌ ｃｏｎｔｒａｃｔｉｏｎ）という。その後の時相を拡張末期（ｅｎｄ ｄｉａｓｔｏｌｅ）と呼ぶ。また収縮期同様拡張期を時間的に３分し、僧帽弁通過血流が急速に流入するあたりの時相を拡張早期（ｅａｒｌｙ ｄｉａｓｔｏｌｅ）、流入血流が減速し比較的ｓｔａｔｉｃに流れが一様に遅くなる時相を拡張中期（ｍｉｄ ｄｉａｓｔｏｌｅ）、心房収縮に伴い左室に再流入する時相以降を拡張後期（ｌａｔｅ ｄｉａｓｔｏｌｅ）と呼ぶこともある。
【0016】
上述の心周期を繰り返すことにより、周期的な血液の駆出がなされる。構造上左心室では、入口である僧帽弁（Ｍｉｔｒａｌ ｖａｌｖｅ）と出口である大動脈弁（Ａｏｒｔｉｃ ｖａｌｖｅ）とが、解剖学的に弁輪を共有し隣り合わせに接触する形で存在する。このため、流入血流と流出血流の向きは、ほぼ１８０度異なる向きとなる。従って、円錐形の袋状の左室内で血流は１８０度旋回しなければならず、左室内には渦流が発生する。解剖学的には、この大動脈弁と僧帽弁が連結した部分の近傍を左室基部（ｂａｓｅ）と呼び、袋状の盲端の近傍を心尖部（ａｐｅｘ）と呼び、基部と心尖部の間を左室中部（ｍｉｄ）と呼ぶ。僧帽弁には、やや弁尖長の長い前尖（ａｎｔｅｒｉｏｒ ｌｅａｅｔ）と、弁尖長の短い後尖（ｐｏｓｔｅｒｉｏｒ ｌｅａｅｔ）とが存在する。これらは、拡張期に流入血流が僧帽弁を通過する際に流れの剥離を発生し、弁腹の広い前尖の周囲でより半径の大きな渦流が発生する。３次元的にはトーラス型の渦が発生しており、これはｖｏｒｔｅｘ ｒｉｎｇと呼ばれる。僧帽弁後尖の渦は比較的早期に消失するが、前尖周囲の渦は緩徐流入期に心尖部にやや近づき消退する。心房収縮期には、僧帽弁前尖周囲に再度渦流が発達し、等容収縮期にかけて左室基部を中心に左室内を大きく占める渦が発生する。大動脈弁の解放と同時に、あたかもこの渦から血流が駆出されるかのように、駆出血流が発生する。収縮期の中期には、心機能のよい左室では渦流が消失するが、心機能の悪化した左室では収縮後期まで渦流が残存することが知られている。
【0017】
以上述べたように、左室内血流は、心筋が収縮、拡張することが流れの発生源となっている。すなわち、大動脈弁、僧帽弁の開閉により血流が左室から流出、流入する。また心内においては、心室内浮遊血栓や浮遊腫瘍や疣贅の破片などが浮遊するような特殊な状況を除いて、左心室内腔には血流路に物理境界が存在しない。すなわちトポロジカルには、３次元開球体と同一視できる領域で、内部に物理境界が存在しないものとみなせる。
【0018】
以下、左室の特徴的な渦流を議論するために、左室長軸断面（縦切り断面）に焦点を当てて説明する。左室において、大動脈弁と僧帽弁の中心点と心尖部とを結ぶ断面を、長軸断面と呼ぶ。これは、心室瘤や心筋梗塞など局所の心筋壁の変性を伴うような疾患を除き、健常人ではほぼ面対称な構造をしている。長軸断面では、流入血流速度も流出血流速度も最も高速になる。このため、この断面内で描かれた血流ベクトルは、本来であれば３次元血流ベクトルの２次元断面への射影であるはずだが、断面通過成分よりも面内ベクトルの成分の方が大きいことが想定され、左室内血流の渦流に関してはこの断面内の流れのベクトル及び軌道が３次元的な左室の流れの特徴をよくとらえていると想定される。
【0019】
本明細書は、この長軸断面における血流の２次元性を強いるものではない。しかしながら、後述するように、本明細書には流れの湧き出し（ｓｏｕｒｃｅ）、吸い込み（ｓｉｎｋ）を組み込んであり、局所的な２次元性の破綻は理論（後述の先行研究）と無矛盾である。この断面における境界曲線の特徴は、左室心筋が心尖部を盲端として後壁側と中隔側に存在し、中隔側に大動脈弁が右冠尖の中央部と左冠尖と無冠尖の交連を渡るように前後軸に切られ出口となり、後壁側に僧帽弁の前後弁尖中央部で線対称に切られる断面となり、境界線をなすことにある。これらの境界において、弁逆流が存在しない限りは、僧帽弁は拡張期にｓｏｕｒｃｅとなる境界となり、大動脈弁は収縮期にｓｉｎｋとなる境界になる。弁逆流が存在する場合は、解剖学的な弁輪の一部分にｓｏｕｒｃｅやｓｉｎｋを許す構造となるため、基本的には理論は崩れない。また心筋は一様には動かず、収縮にも早期に収縮する部位とやや遅れて収縮する部位とがある。従って、各時相においてｓｏｕｒｃｅになったりｓｉｎｋになったりする部分が混在するような境界となる。一方、心室内部の領域は、この断面での心室内腔には物理境界が存在しないと考えてよく、トポロジカルには開円盤領域に相同であるとしても問題はない。
【0020】
以下、有限型の流れ（以下、単に「流れ」と書く）パターンを構成する複数の構造（渦、湧き出し点、吸い込み点等）あるいはベクトル場の各々を「流線構造」または単に「構造」と呼ぶ。本発明者らは鋭意検討を重ねた結果、曲面Ｓの有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）が生成する流線構造（すなわち、２次元領域における任意の流れパターンを構成する流線構造）と、それに対応する文字すなわち「部分円順序根付き木表現」を与えることに成功した。以下、この文字列を組み合わせることにより流れパターンを表現したものを「語表現」と呼ぶ。以下、この知見を「先行研究」と呼ぶことがある。なお本明細書では、「部分円順序根付き木表現」のことを「ＣＯＴ表現」と呼ぶ。（ＣＯＴ：ｐａｒｔｉａｌｌｙ Ｃｙｃｌｉｃａｌｌｙ Ｏｒｄｅｒｅｄ ｒｏｏｔｅｄ Ｔｒｅｅ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ）。以下、これらの流線構造とそれに対応するＣＯＴ表現について説明する。
【0021】
以下、流れｖの特異点の集合をＳｉｎｇ（ｖ）、周期軌道の集合をＰｅｒ（ｖ）、非閉軌道の集合をＰ（ｖ）と書く。
まず以下を定義する。
（定義１）「曲面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）を以下で与える。
Ｂｄ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂ｐｅｒ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
（１）Ｐｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ）の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合
（２）∂Ｐｅｒ（ｖ）：周期軌道集合の境界となる軌道の集合
（３）∂Ｐ（ｖ）：非閉軌道集合の境界となる軌道の集合
（４）∂ｐｅｒ（ｖ）：Ｓの境界∂Ｓに沿って回る周期軌道の集合（∂Ｓ∩ｉｎｔＰｅｒ（ｖ））」
また（Ｂｄ（ｖ））ｃを、（Ｂｄ（ｖ））ｃ＝Ｓ－Ｂｄ（ｖ）で定義する。
まず以下を定義する。
（定義１）「曲面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）を以下で与える。
Ｂｄ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂ｐｅｒ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
（１）Ｐｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ）の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合
（２）∂Ｐｅｒ（ｖ）：周期軌道集合の境界となる軌道の集合
（３）∂Ｐ（ｖ）：非閉軌道集合の境界となる軌道の集合
（４）∂ｐｅｒ（ｖ）：Ｓの境界∂Ｓに沿って回る周期軌道の集合（∂Ｓ∩ｉｎｔＰｅｒ（ｖ））」
また（Ｂｄ（ｖ））ｃを、（Ｂｄ（ｖ））ｃ＝Ｓ－Ｂｄ（ｖ）で定義する。
【0022】
図２（ａ）、（ｂ）に、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。サドル点ｘとそれにつながるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと湧き出し構造（吸い込み構造）の組を「ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅ構造」と呼ぶ。サドル点ｘは、４つのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。これらをγ１、γ２、γ３、γ４と書くと、α（γ１）＝α（γ３）＝ω（γ２）＝ω（γ４）＝ｘである。この「サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅ」であるとは、「ω（γ１）が吸い込み点であり、ω（γ３）が吸い込み構造（図中では－を○で囲んだ記号で示される）である」場合（図２（ａ））、あるいは「α（γ２）が湧き出し点であり、α（γ４）が湧き出し構造である（図中では＋を○で囲んだ記号で示される）」場合（図２（ｂ））のいずれかを指す。
【0023】
図２（ｃ）、（ｄ）に、ｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの点ｘを示す。「境界サドル点ｘがｓｌｉｄａｂｌｅである（あるいはｘがｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅである）」とは、ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ γ ⊂ｉｎｔＳと境界に沿ったｓｅｐａｒａｔｒｉｘ μと１つのｘと同じ境界にあって吸い込み構造につながる境界サドル点ｙ≠ｘがあって、ω（γ）＝ｘ、α（γ）が湧き出し点、α（μ）＝ｘ、ω（μ）＝ｙとなる構造を持つときのことをいう（図２（ｃ））。このベクトルの向きを反転させた構造もｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅである（図２（ｄ））。
【0024】
先行研究のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの軌道位相構造の語表現・ツリー表現理論では、この境界軌道によって分割される領域（数学的には、（Ｂｄ（ｖ））ｃ＝Ｓ－Ｂｄ（ｖ）と書ける）の隣接関係をグラフとして表現し、それに文字列やツリーなどの離散組み合わせ構造を割り当てたものである。本明細書も同様のアイデアで（Ｂｄｈ（ｖ））ｃ＝Ｓ－Ｂｄｈ（ｖ）なるｂｏｒｄｅｒ ｏｒｂｉｔｓに分割された２次元領域の中に入っている軌道群に文字を割り当てる。そのため、軌道群にある種の同値関係を導入して得られるｏｒｂｉｔ ｓｐａｃｅ（軌道空間）の概念が必要である。
【0025】
（定義２）曲面Ｓ上の流れｖによって生成されるｐｒｏｐｅｒな軌道群で開部分集合Ｔ（⊂Ｓ）の内部を通るものとする。
このとき、Ｔのｏｒｂｉｔ ｓｐａｃｅ（軌道空間）Ｔ／～は、次の同値関係「任意のｘ，ｙ∈Ｔ，Ｏ（ｘ）＝Ｏ（ｙ）ならばｘ～ｙ」から導入される商集合である。
このとき、Ｔのｏｒｂｉｔ ｓｐａｃｅ（軌道空間）Ｔ／～は、次の同値関係「任意のｘ，ｙ∈Ｔ，Ｏ（ｘ）＝Ｏ（ｙ）ならばｘ～ｙ」から導入される商集合である。
【0026】
この商集合は、同じ軌道上にある点を１つの点につぶして同一視するという操作を意味している。例えば、図３（ａ）のように矩形をした開集合Ｔの中に一様流のような流れが並行に入っている場合、その軌道空間は開区間となっている。同様に図３（ｂ）（ｃ）のように開円環領域にある軌道群の軌道空間は、それぞれ円周と開区間とからなっている。
【0027】
図３は、有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）：ｖの境界軌道の集合Ｂｄ（ｖ）の補集合に表れる領域内の軌道群の分類を示す。図３（ａ）は、開矩形領域で軌道空間が開区間であるものである。すなわち図３（ａ）に示されるような矩形をした開集合Ｔの中に一様流のような流れが平行に入る場合、その軌道空間は開区間となる。図３（ｂ）は、開円環領域で軌道空間が円周であるものである。図３（ｃ）は、開円環領域で軌道空間が開区間であるものである。図３に示されるように、開円環領域にある軌道群の軌道空間は、それぞれ円周と開区間とからなる。
【0028】
［２次元構造］
はじめに２次元領域構造を定義し、これらに対応する文字（ＣＯＴ表現）を与える。Ｂｄ（ｖ）によって分割される開領域を埋め尽くす軌道群は図３に示される３種類しかないことが証明されている。図３（ａ）に示される開矩形領域は、湧き出し構造と吸い込み構造とを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍の非閉軌道群を含むものであるが、ここで説明する変換アルゴリズムでは、これには記号を与えない。すなわちデフォルトの構造とする。これ以外の２つの２次元構造に文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。図４に、図３（ｂ）および（ｃ）に示される軌道群を表す２次元構造を示す。
はじめに２次元領域構造を定義し、これらに対応する文字（ＣＯＴ表現）を与える。Ｂｄ（ｖ）によって分割される開領域を埋め尽くす軌道群は図３に示される３種類しかないことが証明されている。図３（ａ）に示される開矩形領域は、湧き出し構造と吸い込み構造とを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍の非閉軌道群を含むものであるが、ここで説明する変換アルゴリズムでは、これには記号を与えない。すなわちデフォルトの構造とする。これ以外の２つの２次元構造に文字（ＣＯＴ表現）を割り当てる。図４に、図３（ｂ）および（ｃ）に示される軌道群を表す２次元構造を示す。
【0029】
（２次元構造：ｂ～±）
図３（ｂ）に示される開円環領域の構造は、外側から内側へ向かう非閉軌道で埋め尽くされている状況にある。これに対しては、図４（ａ）のようにｂ～±と記号を割り当てる。記号についている符号～±については、軌道群が円環の外側境界から内側境界へ流れるときは、流れが中心に吸い込まれていることを表現するものとして、～－とする。反対に内側境界から外側境界に軌道群が広がるような場合は、～＋とする。その内側境界には吸い込み／湧き出し構造が必ず入るが、そのようなＢｄ（ｖ）の構造の集合を□～±と書いておく。また、領域を埋め尽くしている非閉軌道の１つ１つに対しては、□ａ～±で表されるＢｄ（ｖ）のｃｌａｓｓ－ａ～±の軌道構造を任意個数（ｓ≧０個）入れることができるので、これを表す記号を□ａ～±ｓと書く。この□ａ～±ｓに対応する構造の並びは円順序で一意に決まらない。以上の考察に基づき、ＣＯＴ表現はｂ～±（□～±，｛□ａ～±ｓ｝）（複合同順）のようになる。また、□ａ～±ｓは、非圧縮流の□ａｓの場合の記法と同様に、
□ａ～±ｓ：＝□１ ａ～±・・・ □ｓ ａ～± （ｓ＞０）
□ａ～±ｓ：＝λ～ （ｓ＝０）
とし、「何も入っていない」ことを表現するのに記号λ～を用いる。
図３（ｂ）に示される開円環領域の構造は、外側から内側へ向かう非閉軌道で埋め尽くされている状況にある。これに対しては、図４（ａ）のようにｂ～±と記号を割り当てる。記号についている符号～±については、軌道群が円環の外側境界から内側境界へ流れるときは、流れが中心に吸い込まれていることを表現するものとして、～－とする。反対に内側境界から外側境界に軌道群が広がるような場合は、～＋とする。その内側境界には吸い込み／湧き出し構造が必ず入るが、そのようなＢｄ（ｖ）の構造の集合を□～±と書いておく。また、領域を埋め尽くしている非閉軌道の１つ１つに対しては、□ａ～±で表されるＢｄ（ｖ）のｃｌａｓｓ－ａ～±の軌道構造を任意個数（ｓ≧０個）入れることができるので、これを表す記号を□ａ～±ｓと書く。この□ａ～±ｓに対応する構造の並びは円順序で一意に決まらない。以上の考察に基づき、ＣＯＴ表現はｂ～±（□～±，｛□ａ～±ｓ｝）（複合同順）のようになる。また、□ａ～±ｓは、非圧縮流の□ａｓの場合の記法と同様に、
□ａ～±ｓ：＝□１ ａ～±・・・ □ｓ ａ～± （ｓ＞０）
□ａ～±ｓ：＝λ～ （ｓ＝０）
とし、「何も入っていない」ことを表現するのに記号λ～を用いる。
【0030】
（２次元構造：ｂ±）
図３（ｃ）は、開円板領域内部が周期軌道で埋め尽くされている状況を表す。これに対応する流線構造は、図４（ｂ）に示される構造ｂ±である。符号は、周期軌道が反時計回り（正方向回転）であるときに＋を、時計回り（負方向回転）であるときに－を割り当てる。この内部に入る構造もＢｄ（ｖ）の元であるが、そこに入るのはｃｌａｓｓ－αの軌道構造であるため、□α±と書く。非閉軌道と異なり周期軌道には□ａのような構造は入らないので、このＣＯＴ表現は複合同順で、ｂ±（□α±）と与えられる。
図３（ｃ）は、開円板領域内部が周期軌道で埋め尽くされている状況を表す。これに対応する流線構造は、図４（ｂ）に示される構造ｂ±である。符号は、周期軌道が反時計回り（正方向回転）であるときに＋を、時計回り（負方向回転）であるときに－を割り当てる。この内部に入る構造もＢｄ（ｖ）の元であるが、そこに入るのはｃｌａｓｓ－αの軌道構造であるため、□α±と書く。非閉軌道と異なり周期軌道には□ａのような構造は入らないので、このＣＯＴ表現は複合同順で、ｂ±（□α±）と与えられる。
【0031】
以下、Ｂｄ（ｖ）によって分割された領域に含まれうる軌道群の構造を、上の中から選ぶ。ここで、Ｂｄ（ｖ）に対して定義されるＣＯＴ表現で用いるために、（Ｂｄ（ｖ））ｃの構造から定義される集合□ｂφ、□ｂ＋、□ｂ－、□ｂ～＋、□ｂ～－を以下のように定める。
□ｂ＋＝｛ｂ～±，ｂ＋｝
□ｂ－＝｛ｂ～±，ｂ－｝
□ｂ～＋＝｛ｂ～＋｝
□ｂ～－＝｛ｂ～－｝
□ｂ＋＝｛ｂ～±，ｂ＋｝
□ｂ－＝｛ｂ～±，ｂ－｝
□ｂ～＋＝｛ｂ～＋｝
□ｂ～－＝｛ｂ～－｝
【0032】
［基本構造］
平面は、トポロジカルには、無限遠点を取り除いた球面Ｓと同一視できる。この球面Ｓ上に、以下のような基本的な流れが存在する。以下、これらの流体構造を「基本構造」または「ルート構造」と呼ぶ。図５に、球面Ｓ上の基本構造を示す。
平面は、トポロジカルには、無限遠点を取り除いた球面Ｓと同一視できる。この球面Ｓ上に、以下のような基本的な流れが存在する。以下、これらの流体構造を「基本構造」または「ルート構造」と呼ぶ。図５に、球面Ｓ上の基本構造を示す。
【0033】
（基本構造：σφ±、σφ±０、σφ～±±、σφ～±干）
平面内に物理境界が全く存在しないときの流れ場は、図５（ａ）に示されるような球面の流れと同一視できる。この球面上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）は、両極の２つの０次元点構造を除く円環領域内の流れを与える。このときこの構造のＣＯＴ表現は、内部にどのような軌道構造が入るかで分類する必要がある。この円環領域が構造ｂ±で与えられる周期軌道からなる軌道群構造ｂ±で埋め尽くされるとき、σφ干（□ｂφ±）の表現を割り当てる。ただし□ｂφ±＝ｂ±（□α±）である。一方、円環領域が湧き出し点／吸い込み点のｃｌａｓｓ－～±の非閉な軌道群構造ｂ～±で埋め尽くされているとき、そのＣＯＴ表現は、湧き出し点／吸い込み点の周辺の軌道の回転方向により、σφ～干０（□ｂφ～±）、σφ～干±（□ｂφ～±）、σφ～干干（□ｂφ～±）のいずれかとなる。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσφ～干０（□ｂφ～±）、反時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干＋（□ｂφ～±）、時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干－（□ｂφ～±）である。ここで□ｂφ～±＝ｂ～±（□～±，｛□ａ～±ｓ｝）である。なお、σφ～±０、σφ～干干、σφ～干±の記号についている符号と中に入る２次元軌道群構造のＣＯＴ表現の符号とが逆になっているのは、無限遠点に相当する点の周りの流れの構造に符号をつけていることによる。例えば、ｂ＋の表現が内部に入って反時計回り（すなわち＋の方向）の周期軌道を埋め込むためには、無限遠点の点の周りには時計回り（すなわち－の方向）の流れが生じなければならない。従って具体的なＣＯＴ表現は、
σφ－（□ｂφ＋）
□ｂφ＋＝ｂ＋（□α＋）
となる。
平面内に物理境界が全く存在しないときの流れ場は、図５（ａ）に示されるような球面の流れと同一視できる。この球面上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）は、両極の２つの０次元点構造を除く円環領域内の流れを与える。このときこの構造のＣＯＴ表現は、内部にどのような軌道構造が入るかで分類する必要がある。この円環領域が構造ｂ±で与えられる周期軌道からなる軌道群構造ｂ±で埋め尽くされるとき、σφ干（□ｂφ±）の表現を割り当てる。ただし□ｂφ±＝ｂ±（□α±）である。一方、円環領域が湧き出し点／吸い込み点のｃｌａｓｓ－～±の非閉な軌道群構造ｂ～±で埋め尽くされているとき、そのＣＯＴ表現は、湧き出し点／吸い込み点の周辺の軌道の回転方向により、σφ～干０（□ｂφ～±）、σφ～干±（□ｂφ～±）、σφ～干干（□ｂφ～±）のいずれかとなる。すなわち、無限遠点の点である湧き出し点／吸い込み点の周りで，非閉な軌道群が回転していないときは複合同順でσφ～干０（□ｂφ～±）、反時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干＋（□ｂφ～±）、時計回りに回転しているときは複合同順でσφ～干－（□ｂφ～±）である。ここで□ｂφ～±＝ｂ～±（□～±，｛□ａ～±ｓ｝）である。なお、σφ～±０、σφ～干干、σφ～干±の記号についている符号と中に入る２次元軌道群構造のＣＯＴ表現の符号とが逆になっているのは、無限遠点に相当する点の周りの流れの構造に符号をつけていることによる。例えば、ｂ＋の表現が内部に入って反時計回り（すなわち＋の方向）の周期軌道を埋め込むためには、無限遠点の点の周りには時計回り（すなわち－の方向）の流れが生じなければならない。従って具体的なＣＯＴ表現は、
σφ－（□ｂφ＋）
□ｂφ＋＝ｂ＋（□α＋）
となる。
【0034】
（基本構造：βφ±、βφ２）
球面が物理境界をいくつか含んでいると仮定する。このとき、その中から１つを選んで特別な境界とし、北極がその境界内部に含まれるような球面極座標を導入することができる。このとき、この座標系に付随した立体射影（Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）を通して、球面上の流れを２次元有界領域の内部流れと同一視することができる。図５（ｂ）に、ルートの子で外側物理境界に湧き出し／吸い込み構造が全く存在しない流れを示す。このＣＯＴ表現は、外側境界の流れの方向が反時計回りのときは、βφ－（□ｂ＋，｛□ｃ－ｓ｝）と与える。この構造は、□ｂ＋のところに常にｃｌａｓｓ－ｂ＋構造を含まなければならないが、外側境界には任意の個数ｃｌａｓｓ－ｃ－の軌道構造をつけることができる。外側境界の流れの方向が時計回りのときは、すべての符号を反転させてβφ＋（□ｂ－，｛□ｃ＋ｓ｝）なるＣＯＴ表現を持つ基本構造となる。なお、双方において、ｓ≧０個のｃｌａｓｓ－ｃ軌道構造を意味する□ｃ±ｓは、具体的には複合同順で以下のように書ける。
球面が物理境界をいくつか含んでいると仮定する。このとき、その中から１つを選んで特別な境界とし、北極がその境界内部に含まれるような球面極座標を導入することができる。このとき、この座標系に付随した立体射影（Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）を通して、球面上の流れを２次元有界領域の内部流れと同一視することができる。図５（ｂ）に、ルートの子で外側物理境界に湧き出し／吸い込み構造が全く存在しない流れを示す。このＣＯＴ表現は、外側境界の流れの方向が反時計回りのときは、βφ－（□ｂ＋，｛□ｃ－ｓ｝）と与える。この構造は、□ｂ＋のところに常にｃｌａｓｓ－ｂ＋構造を含まなければならないが、外側境界には任意の個数ｃｌａｓｓ－ｃ－の軌道構造をつけることができる。外側境界の流れの方向が時計回りのときは、すべての符号を反転させてβφ＋（□ｂ－，｛□ｃ＋ｓ｝）なるＣＯＴ表現を持つ基本構造となる。なお、双方において、ｓ≧０個のｃｌａｓｓ－ｃ軌道構造を意味する□ｃ±ｓは、具体的には複合同順で以下のように書ける。
【数1】
【0035】
図５（ｃ）に示される外側物理境界につながる湧き出し／吸い込み構造が少なくとも１つ存在する基本流れ構造を示す。基本構造βφ２は、この図５（ｃ）に示される基本流れ構造である。この湧き出し／吸い込み構造から最も左側にあるペアを選んでｃｌａｓｓ－～±の特別な軌道構造とし、他の湧き出し／吸い込み構造にはｃｌａｓｓ－γφの軌道構造を割り当てる。他に境界に沿って、任意の個数のｃｌａｓｓ－ｃ±の軌道構造を左右につけることができる。この状況をＣＯＴ表現では、特別な湧き出し点－吸い込み点のペアを□～±で、任意の個数のｃｌａｓｓ－γφｓ軌道構造を□γφｓで表す。具体的には以下のように書けばよい。
【数2】
【0036】
特別な湧き出し点－吸い込み点のペアがあるため、それらを結ぶｃｌａｓｓ－ａの軌道構造を任意の個数つけることができる。それらを、ＣＯＴ表現では□ａｓと表す。なお、□ａｓに入りうるｃｌａｓｓ－ａの構造群の定義については表１を参照のこと。□ａｓは、非圧縮流の場合の記法と同様に、
□ａｓ：＝□１ ａ・・・□ｓ ａ （ｓ＞０）
□ａｓ：＝λ～ （ｓ＝０）
と定める。まとめると、この基本構造のＣＯＴ表現は、外側境界についている各構造を反時計回りに円順序で並べて、
βφ２（｛□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ，□～－，□γφｓ｝，□ａｓ）
で与えられる。
□ａｓ：＝□１ ａ・・・□ｓ ａ （ｓ＞０）
□ａｓ：＝λ～ （ｓ＝０）
と定める。まとめると、この基本構造のＣＯＴ表現は、外側境界についている各構造を反時計回りに円順序で並べて、
βφ２（｛□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ，□～－，□γφｓ｝，□ａｓ）
で与えられる。
【0037】
［Ｂｄ（ｖ）の流れの０次元点構造および１次元構造］
次に、曲面Ｓ上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）：ｖが定めるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄｓｓ（ｖ）を構成するＢｄ（ｖ）の０次元点構造および１次元構造の分類とそれに対応するＣＯＴ表現を与える。前述の理論によれば、Ｂｄ（ｖ）＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂ｐｅｒ（ｖ）と表現されているので、それぞれの集合に対応させてＢｄ（ｖ）を実現する０次元点構造および１次元構造を導入する。ここで、各１次元構造はその周辺の軌道群情報によって、どの集合に入るかが変わりうることに注意する。図６に、Ｂｄ（ｖ）の０次元点構造と１次元構造の例を示す。
次に、曲面Ｓ上の有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ）：ｖが定めるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄｓｓ（ｖ）を構成するＢｄ（ｖ）の０次元点構造および１次元構造の分類とそれに対応するＣＯＴ表現を与える。前述の理論によれば、Ｂｄ（ｖ）＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｓｅｐ（ｖ）∪∂ｐｅｒ（ｖ）と表現されているので、それぞれの集合に対応させてＢｄ（ｖ）を実現する０次元点構造および１次元構造を導入する。ここで、各１次元構造はその周辺の軌道群情報によって、どの集合に入るかが変わりうることに注意する。図６に、Ｂｄ（ｖ）の０次元点構造と１次元構造の例を示す。
【0038】
［∂ｐｅｒ（ｖ）、Ｓｉｎｇ（ｖ）の構造］
（１次元構造：β±）
その定義から∂ｐｅｒ（ｖ）の流れは、物理境界に沿って流れる周期軌道を指す。物理境界に∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれたｃｌａｓｓ－ｃの構造が全くついていないことを記号βで表す。すなわち、物理境界の流れが反時計回りのときβ＋｛λ＋｝、時計回りのときβ－｛λ－｝のようにＣＯＴ表現を与える（図６（ａ）参照）。これらの物理境界は、ｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－α±の構造に入る。
（１次元構造：β±）
その定義から∂ｐｅｒ（ｖ）の流れは、物理境界に沿って流れる周期軌道を指す。物理境界に∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれたｃｌａｓｓ－ｃの構造が全くついていないことを記号βで表す。すなわち、物理境界の流れが反時計回りのときβ＋｛λ＋｝、時計回りのときβ－｛λ－｝のようにＣＯＴ表現を与える（図６（ａ）参照）。これらの物理境界は、ｃｌａｓｓ－～±およびｃｌａｓｓ－α±の構造に入る。
【0039】
（０次元点構造：σ±、σ～±０、σ～±±、σ～±干）
Ｓｉｎｇ（ｖ）＼Ｄｓｓ（ｖ）の元は、０次元の点構造（孤立構造）である。点構造は、その周りの軌道によって分類することができる。もし点が渦心点で、その周囲に反時計回りあるいは時計回りの周期軌道を伴うとき、そのＣＯＴ表現はそれぞれσ＋およびσ－で与えられる。一方、点が湧き出し点または吸い込み点であるとき、ＣＯＴ表現は、その周囲の軌道の回転方向と合わせてそれぞれσ～±０、σ～±±、σ～±干で与える（図６（ｂ）参照）。これらの点構造はｃｌａｓｓ－～±の構造に入る。
Ｓｉｎｇ（ｖ）＼Ｄｓｓ（ｖ）の元は、０次元の点構造（孤立構造）である。点構造は、その周りの軌道によって分類することができる。もし点が渦心点で、その周囲に反時計回りあるいは時計回りの周期軌道を伴うとき、そのＣＯＴ表現はそれぞれσ＋およびσ－で与えられる。一方、点が湧き出し点または吸い込み点であるとき、ＣＯＴ表現は、その周囲の軌道の回転方向と合わせてそれぞれσ～±０、σ～±±、σ～±干で与える（図６（ｂ）参照）。これらの点構造はｃｌａｓｓ－～±の構造に入る。
【0040】
［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）に入る構造］
（１次元構造：ｐ～±、ｐ±）
集合∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）は、それぞれ非閉軌道および周期軌道の境界集合として定義される１次元構造である。また、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅはその内側と外側のいずれかが非閉軌道の極限軌道となる周期軌道である。これはｉｎｔＰ（ｖ）の元ではないため、集合Ｐｓｅｐ（ｖ）の元にはなり得ない構造である。このとき、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側と内側の構造によって場合分けが必要となる。すなわち、１つはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側領域では周期軌道となる構造（図６（ｃ））、いま１つはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅが外側領域にある非閉軌道のω（α）極限集合となる構造（図６（ｄ））である。前者の構造をｐ～±と書く。このときこの周期軌道がｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅとなるためには、これが内側からの非閉軌道の極限軌道（すなわち境界軌道）となっていなければならない。そのため、内部にはｂ～±の２次元構造を入れる。従って、そのＣＯＴ表現はｐ～±（□ｂ～±）である。後者の構造を記号ｐ±で表す。このとき外側からの極限周期軌道になっているため、内部の２次元極限軌道群の構造はどのようなものでもよい。従って、そのＣＯＴ表現は複合同順でｐ±（□ｂ±）で表すことができる。
（１次元構造：ｐ～±、ｐ±）
集合∂Ｐ（ｖ）および∂Ｐｅｒ（ｖ）は、それぞれ非閉軌道および周期軌道の境界集合として定義される１次元構造である。また、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅはその内側と外側のいずれかが非閉軌道の極限軌道となる周期軌道である。これはｉｎｔＰ（ｖ）の元ではないため、集合Ｐｓｅｐ（ｖ）の元にはなり得ない構造である。このとき、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側と内側の構造によって場合分けが必要となる。すなわち、１つはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの外側領域では周期軌道となる構造（図６（ｃ））、いま１つはｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅが外側領域にある非閉軌道のω（α）極限集合となる構造（図６（ｄ））である。前者の構造をｐ～±と書く。このときこの周期軌道がｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅとなるためには、これが内側からの非閉軌道の極限軌道（すなわち境界軌道）となっていなければならない。そのため、内部にはｂ～±の２次元構造を入れる。従って、そのＣＯＴ表現はｐ～±（□ｂ～±）である。後者の構造を記号ｐ±で表す。このとき外側からの極限周期軌道になっているため、内部の２次元極限軌道群の構造はどのようなものでもよい。従って、そのＣＯＴ表現は複合同順でｐ±（□ｂ±）で表すことができる。
【0041】
［∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐｓｅｐ（ｖ）のいずれかの構造集合に入りうる１次元構造は、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの構造を含む非閉軌道を持つ。その内部と外部に入る２次元構造は、一方が非閉軌道で、他方が周期軌道で埋め尽くされた領域である場合（このとき、∂Ｐ（ｖ）か∂Ｐｅｒ（ｖ））と、両側が非閉軌道で埋め尽くされた領域である場合（このときＰｓｅｐ（ｖ）の元とする）とを考えなければならない。
∂Ｐ（ｖ）、∂Ｐｅｒ（ｖ）、Ｐｓｅｐ（ｖ）のいずれかの構造集合に入りうる１次元構造は、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの構造を含む非閉軌道を持つ。その内部と外部に入る２次元構造は、一方が非閉軌道で、他方が周期軌道で埋め尽くされた領域である場合（このとき、∂Ｐ（ｖ）か∂Ｐｅｒ（ｖ））と、両側が非閉軌道で埋め尽くされた領域である場合（このときＰｓｅｐ（ｖ）の元とする）とを考えなければならない。
【0042】
まず、サドル点につながるｓｅｐａｒａｔｒｉｘは４本存在するので、このｓｅｐａｒａｔｒｉｘの局所的な流れの方向を考慮すれば、以下の３つの可能性がある。
（Ｓ１）１つが湧き出し構造、１つが吸い込み構造につながり、残り２つがｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。
（Ｓ２）２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎがある。
（Ｓ３）２つが湧き出し（吸い込み）構造につながっている。残り２つは、位相的制約から流れの方向からｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになりえないことに注意する。
（Ｓ１）１つが湧き出し構造、１つが吸い込み構造につながり、残り２つがｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。
（Ｓ２）２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎがある。
（Ｓ３）２つが湧き出し（吸い込み）構造につながっている。残り２つは、位相的制約から流れの方向からｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになりえないことに注意する。
【0043】
このうち（Ｓ３）の場合は非閉軌道を持ち得ないので、ここでは（Ｓ１）と（Ｓ２）だけを考えればよい。一方、境界サドル点は３本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが存在するが、そのうち２本は境界上を走る必要があるので自由度は１本しかない。従って、その連結する構造の可能性は以下の２つとなる。
（Ｓ４）同じ境界上にある別の境界サドル点とつながる∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ。
（Ｓ５）領域内部にある湧き出し／吸い込み構造につながる。
（Ｓ４）同じ境界上にある別の境界サドル点とつながる∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持つ。
（Ｓ５）領域内部にある湧き出し／吸い込み構造につながる。
【0044】
（Ｓ４）の場合は明らかに非閉軌道を形成するので問題はないが、（Ｓ５）の場合は周囲の状況による。すなわち、この場合は単独で非閉軌道は生じない。しかしながら、ベクトル場の特異点の指数との関係で、１つの境界サドル点と、少なくとも１つの異なる境界サドル点との存在を認めなければならない。そのため、その境界サドル点が∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを持てば、構造全体が非閉軌道を含みうる。以上のことから、以下、（Ｓ１）（Ｓ２）（Ｓ４）（Ｓ５）に対応する４つの構造を考える。
【0045】
（１次元構造：ａ±、ｑ±）
図７に、（Ｓ１）系列の１次元構造を示す。湧き出し構造と吸い込み構造、およびｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で、これらの構造を分類する。
図７に、（Ｓ１）系列の１次元構造を示す。湧き出し構造と吸い込み構造、およびｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で、これらの構造を分類する。
【0046】
まず、図７（ａ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の外側に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をａ±と書く。その符号は、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが反時計回りになる場合をａ＋、時計回りになる場合をａ－と決める。この構造では、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの内部には周期軌道か非閉軌道が入りうる。このうち周期軌道が入る場合は、その回転方向が自動的に決まることから、ａ＋には□ｂ＋で定義された構造集合が、ａ－には□ｂ－で定義された構造集合が入る。
【0047】
次に図７（ｂ）に示される構造、すなわちｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部に湧き出し／吸い込み構造が存在する構造をｑ±と書く。符号については、外側のｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｑ＋、時計回りのときｑ－と書く。この構造の内部に、囲まれている湧き出し／吸い込み構造とそれらをつなぐ□ａｓの構造集合の元が任意個（ｓ≧０）存在しうるので、そのＣＯＴ表現はｑ±（□～＋，□～－，□ａｓ）となる。
【0048】
（１次元構造：ｂ±±、ｂ±干）
図８に、（Ｓ２）系列の１次元構造を示す。ここでは２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で構造を分類する。
図８に、（Ｓ２）系列の１次元構造を示す。ここでは２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの位置関係で構造を分類する。
【0049】
まず、図８（ａ）に示される構造、すなわち２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域が互いの外側にある構造を、複合同順でｂ±±と書く。符号については、２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの回転方向が反時計回りのときｂ＋＋、時計回りのときｂ－－と書く。この２つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれた内部領域には２次元構造が入りうる。周期軌道が入る場合はその回転方向が自動的に決まること、また２つの領域の並べる順番には自由度があることから、これらを｛｝で囲み、そのＣＯＴ表現をｂ＋＋｛□ｂ＋，□ｂ＋｝およびｂ－－｛□ｂ－，□ｂ－｝とする。
【0050】
次に、図８（ｂ）に示される構造、すなわち１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの囲む領域の内部にもう１つのｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが含まれる構造を、複合同順でｂ±干と書く。符号については、外側にあるｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの向きが反時計回りのときｂ＋－、時計回りのときｂ－＋と書く。この符号の決め方から、内部にある軌道群が周期軌道の場合は、その回転方向が互いに反対方向となることが自動的に決まる。従ってそのＣＯＴ表現は、ｂ＋－（□ｂ＋，□ｂ－）およびｂ－＋（□ｂ－，□ｂ＋）となる。ここではｂの下についている符号と合うように内部の構造の並べ方の順序をつけると決める。
【0051】
図９に、（Ｓ４）系列の１次元構造を示す。
（１次元構造：β±）
図９（ａ）に示される構造は、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが任意個数ついた物理境界に対応する。もし、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついていないときは、図６（ａ）に示される形となり、そのＣＯＴ表現はβ±｛λ±｝であった。一方、境界に１個以上の∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついているときのＣＯＴ表現は、境界に沿って反時計回りの流れとなっている場合はβ＋｛□ｃ＋ｓ｝、時計回りの流れとなっている場合はβ－｛□ｃ－ｓ｝を与える（図９（ａ）参照）。すなわち□ｃ±ｓには、各構造を円順序で反時計回りに並べた以下の記号が入る。
□ｃ±ｓ：＝□１ ｃ±・・・□ｓ ｃ± （ｓ＞０）
□ｃ±ｓ：＝λ±・・・ （ｓ＝０）
（１次元構造：β±）
図９（ａ）に示される構造は、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが任意個数ついた物理境界に対応する。もし、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついていないときは、図６（ａ）に示される形となり、そのＣＯＴ表現はβ±｛λ±｝であった。一方、境界に１個以上の∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがついているときのＣＯＴ表現は、境界に沿って反時計回りの流れとなっている場合はβ＋｛□ｃ＋ｓ｝、時計回りの流れとなっている場合はβ－｛□ｃ－ｓ｝を与える（図９（ａ）参照）。すなわち□ｃ±ｓには、各構造を円順序で反時計回りに並べた以下の記号が入る。
□ｃ±ｓ：＝□１ ｃ±・・・□ｓ ｃ± （ｓ＞０）
□ｃ±ｓ：＝λ±・・・ （ｓ＝０）
【0052】
（１次元構造：ｃ±、ｃ２±）
１次元構造ｃ±、ｃ２±は（Ｓ４）系列に対応する。これらは、図９（ｂ）、（ｃ）に示されるように、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた内部にどのような構造が入るかによって分類することができる。
１次元構造ｃ±、ｃ２±は（Ｓ４）系列に対応する。これらは、図９（ｂ）、（ｃ）に示されるように、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた内部にどのような構造が入るかによって分類することができる。
【0053】
まず、周期軌道や非閉軌道で埋め尽くされた２次元構造が入るとき、すなわち、境界サドル点とつながる湧き出し／吸い込み構造が入らないときは、図９（ｂ）に示される構造となる。これをｃ±と書く。符号については、∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと境界に沿った軌道で回る方向が反時計回りのとき＋、時計回りのとき－とする。このとき、内部の軌道群が周期軌道からなれば、その方向は自動的に決まる。この内部にさらにｃ±の構造を任意個含み得るが、その場合は内部の回転方向が逆になることに注意する。このことを踏まえてｃ±構造の集合を、
□ｃ＋＝｛ｃ＋｝
□ｃ－＝｛ｃ－｝
と定義する。これが任意個（ｓ≧０）並ぶという意味で、□ｃ±ｓなる構造集合を複合同順で定義しておけば、そのＣＯＴ表現は複合同順でｃ±（□ｂ±，□ｃ干ｓ）となる。
□ｃ＋＝｛ｃ＋｝
□ｃ－＝｛ｃ－｝
と定義する。これが任意個（ｓ≧０）並ぶという意味で、□ｃ±ｓなる構造集合を複合同順で定義しておけば、そのＣＯＴ表現は複合同順でｃ±（□ｂ±，□ｃ干ｓ）となる。
【0054】
次に内部に湧き出し／吸い込み構造が入る場合、これらの構造はベクトル場の特異点の指数との関係で、同じ境界にある境界サドル点につながっている必要がある。すなわち図９（ｃ）に示される構造、すなわちｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅが∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造となる。これをｃ２±と書く。一般に吸い込み／沸きだし構造からそれぞれ境界にあるサドル点に繋がる構造であるｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅはいくつでも境界につけることができるので、その最も右側にあるものを選出し、これに対応する湧き出し／吸い込み構造のペアを□～±と表す。また、この湧き出し／吸い込み構造をつなぐ構造集合□ａが任意個（ｓ≧０）存在しうることを示す構造集合□ａｓを含む。さらに境界の上には、ｃ±構造がその向きに応じて任意個（ｓ≧０）存在しうることに加えて、これ以外にも任意個（ｓ≧０）のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造を表す集合□γ干ｓが存在しうる。なお、□γ±ｓの構造が常に向かって左側についているのは、全部でｓ＋１個あるｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造のうち最も右側にあるものを選出して□～±と表現しているためである。ここでこの構造のＣＯＴ表現を与えるために、内部構造の並べ方に１つのルールを決めておく。すなわち「内部にある円境界に∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造が存在する場合、その内部構造を境界の内部から見て反時計回りに回る方向に並べる。一方、さきほど現れたβφ２の外部境界につく場合は境界の内部からみて時計回り（逆に流体のある部分から見れば反時計回り）に構造を並べる」というルールである。このルールに従えば、図９（ｂ）に示される構造のＣＯＴ表現は、この構造が内部境界につくことを踏まえれば、一番右から構造を並べればよく、ｃ２＋（□ｃ干ｓ，□～±，□ｃ±ｓ，□～干，□γ干ｓ，□ｃ干ｓ，□ａｓ）となる。なお、このようにルールを決めておくと、構造は内部・外部の境界によらず必ず時計回りについている構造が並ぶ形となる。
【0055】
（１次元構造：ａ２、γφ～±、γ～±±）
図１０に、（Ｓ５）系列の１次元構造を示す。この１次元構造は、基本的に、境界にある湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅに対応する。後のアルゴリズム構成の便宜のため、このような構造が複数存在する場合は、その１つを特別なものとして扱う。
図１０に、（Ｓ５）系列の１次元構造を示す。この１次元構造は、基本的に、境界にある湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅに対応する。後のアルゴリズム構成の便宜のため、このような構造が複数存在する場合は、その１つを特別なものとして扱う。
【0056】
図１０（ａ）に示される構造は、湧き出し／吸い込み構造のペアをつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅのうち特別な１つを表す構造であり、これをａ２と書く。物理境界には∂－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに囲まれた構造□ｃ±がその境界上の流れの方向に応じて任意個（ｓ≧０）つきうる。これを□ｃ±ｓと表す。また、他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅ構造も任意個つき得るが、特に最も下側にあるｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを選べば、その上側にのみ他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造□γ－がｓ≧０個存在することになる。これをγ～－＋と表現する。最終的にそのＣＯＴ表現は、内部円境界につく構造に対するＣＯＴ表現の構造の並べ方のルールに従い、構造を境界反時計回りに並べることにしてａ２（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，γ～－＋）とできる。なお、□ｃ－ｓの左側にしかγ～－＋が入っていないのは、後で導入する構造γ～±±の定義によるものである。
【0057】
特別な湧き出し／吸い込み構造をつなぐｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅを選出した後は、他のｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅはすべて同等に扱う必要がある。ここに追加する構造については、つける境界の構造で分類をしなければならない。まずβφ２の外側円境界に任意個の構造をつけられるが、βφ２の定義では常に最も左側にある湧き出し点－吸い込み点のペア構造に□～±の記号を割り当てるため、他のものはすべて右側についていることになる。右側の境界に沿って流れは上から下へと進むのでｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅも同じ方向にｓ≧０個追加することができる。このとき、ベクトル場の特異点の指数との関係で、２つの∂－ｓａｄｄｌｅが追加される。これによって、間に□ｃ±ｓの構造を挟むことが可能になる。右側境界は、流れに沿って□ｃ＋ｓの構造が入る。従ってこの先にｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造を足すためには、図１０（ｂ）に示されるような構造である必要がある。この構造をγφ～±と書く。符号については、新たに足す構造が湧き出し構造である場合はγφ～＋、吸い込み構造である場合はγφ～－とする。各構造のＣＯＴ表現は、外部境界につく構造の場合は、左側から右へ反時計回りに（つまり外部内部からみれば時計回りに）構造を読むので、γφ～＋（□ｃ＋ｓ，□～＋，□ｃ－ｓ）およびγφ～－（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□～－）となる。なお、追加された湧き出し（吸い込み）構造につながる境界サドル点とは異なる境界サドル点には、既存の吸い込み（湧き出し）構造がつながっていることに注意する。
【0058】
最後に、ａ２やｃ２にある境界につくｓｌｉｄａｂｌｅ ∂－ｓａｄｄｌｅの構造は、境界に沿った流れの下流側から追加した構造（図１０（ｃ））と、上流側から追加する構造（図１０（ｄ））の２種類がある。これらをそれぞれγ～±－、γ～±＋と書く。あとは新規に追加するものが湧き出し構造か吸い込み構造かにより、その符号が決まる。これに対応するＣＯＴ表現は、内部境界を反時計回りに構造を読むので、γ～＋－（□ｃ－ｓ，□～＋，□ｃ＋ｓ），γ～－－（□ｃ－ｓ，□ｃ＋ｓ，□～－），γ～＋＋（□ｃ＋ｓ，□ｃ－ｓ，□～＋）およびγ～－＋（□ｃ＋ｓ，□～－，□ｃ－ｓ）となる。なおここで導入される□γ＋ｓにはγ～±＋の構造がｓ≧０個あり、□γ－ｓにはγ～±－の構造がｓ≧０個あることを示す。
【0059】
［Ｐｓｅｐ（ｖ）に入る構造］
（１次元構造：ａ～±、ｑ～±）
図１１に、（Ｓ３）系列の１次元構造を示す。これらはサドル点に２つの同じ湧き出し／吸い込み構造がつくので、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅ構造となる。このｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅにつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係により、構造を分類する。このとき近傍の軌道はすべて非閉軌道で埋め尽くされた２次元領域（開矩形領域）なので、常にＰｓｅｐ（ｖ）の元となる。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの外側に存在する図１１（ａ）のｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する構造をａ～±と書く。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの内側に存在する図１１（ｂ）の構造は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する。これをｑ～±と書く。符号については、両側に湧き出し構造□～＋がついている場合ａ～＋、両側に吸い込み構造□～－がついている場合ａ～－と書く。これらの湧き出し／吸い込み構造の順序は自由に選べるので、そのＣＯＴ表現は複合同順でａ～±｛□～±、□～±｝とｑ～±（□～±）である。
（１次元構造：ａ～±、ｑ～±）
図１１に、（Ｓ３）系列の１次元構造を示す。これらはサドル点に２つの同じ湧き出し／吸い込み構造がつくので、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅ構造となる。このｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅにつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係により、構造を分類する。このとき近傍の軌道はすべて非閉軌道で埋め尽くされた２次元領域（開矩形領域）なので、常にＰｓｅｐ（ｖ）の元となる。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの外側に存在する図１１（ａ）のｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する構造をａ～±と書く。ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの内側に存在する図１１（ｂ）の構造は、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する。これをｑ～±と書く。符号については、両側に湧き出し構造□～＋がついている場合ａ～＋、両側に吸い込み構造□～－がついている場合ａ～－と書く。これらの湧き出し／吸い込み構造の順序は自由に選べるので、そのＣＯＴ表現は複合同順でａ～±｛□～±、□～±｝とｑ～±（□～±）である。
【0060】
以上説明したすべての流線構造に関し、各流線構造とその文字（ＣＯＴ表現）との対応関係を表１にまとめて示す。
【表1】
【0061】
しかしながら心室内血流の場合、心室壁が収縮拡張することが、移動境界として流れの発生源や吸収源となる。このため、上記で前提とされた物理境界上のｓｌｉｐ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎが成立せず、軌道群が境界に対して横断的となる。その結果、心筋壁や心臓弁などの構造がｓｏｕｒｃｅ（湧き出し）／ｓｉｎｋ（吸い込み）となる。このため上記（先行技術）の基本構造だけでは、十分なＣＯＴ表現を与えることができないという課題がある。
【0062】
本明細書における関心領域（Ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ Ｉｎｔｅｒｅｓｔ＝ＲＯＩ）は、心エコーやＭＲＩなどの心室内流れの測定装置のデータから構成される心室内の２次断面領域である。こうした心室領域の境界は、弁を通して流体を出し入れする部分と、心臓運動に伴って時間変化する変形境界とからなる。本明細書では、これらの２つの境界を区別せずに１つと見なして、トポロジカルに２次元開円盤領域Ωと同一視する。厳密には心臓は拍動するため境界の形状は時々刻々変化するが、トポロジカルには円盤領域であることには変わりないので、この仮定は妥当なものである。
【0063】
いま、扱う流れが心室内部の血流であるということを踏まえれば、Ωの内部に物理境界は存在しないと仮定してよい。一方、対象となる流れが心室内の流れの計測情報から構成された軌道群の画像データ（以下、「心室内血流画像データ」と呼ぶ）であることを踏まえると、ＲＯＩの円周境界∂Ωでは流れはｓｌｉｐ境界条件を満たさないことに注意する。すなわち、流線可視化によって得られる軌道群の多くは流れの発生源（ｓｏｕｒｃｅ）や吸い込み（ｓｉｎｋ）となっており、円周境界に横断的（ｔｒａｎｓｖｅｒｓａｌ）に交わっている。心室内血流画像データでは、ノイズの影響や計測精度の不十分さから、すべての軌道を抜き出すことは必ずしも保証できない。さらに、いくつかの軌道は、境界上のある点で接すること状況も想定される。しかしながらそのような場合は、接点の周りの領域を少し切り取って新しい境界とすることで、軌道群は境界∂Ωの全ての点で横断的であるようにできると仮定することができる。この状況の下で、境界上の点に以下の同値関係を導入する。
∀ｘ，ｘ’∈Ω￣， ｘ～ｘ’⇔ｘ，ｘ’∈∂Ω
ただし、Ω￣は集合Ωの閉包を表す。
∀ｘ，ｘ’∈Ω￣， ｘ～ｘ’⇔ｘ，ｘ’∈∂Ω
ただし、Ω￣は集合Ωの閉包を表す。
【0064】
この同値関係によって得られるΩ￣／～を考えると、これは境界上の点を１点に潰して球面Ｓと同一視することができる。さらに、適当な球面極座標系を導入することによって、この代表元を球面における北極（平面における無限遠点。以下、｛∞｝と書く）とすることができる。軌道群はすべて境界に横断的であるため、この無限遠点には無限個の軌道が出入りすることになり、無限遠点は退化特異点（ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｐｏｉｎｔ）となる。その一方で、それ以外の球面上の点ｘ∈Ｓ＼｛∞｝（すなわちΩ上の点）では、非退化（ｒｅｇｕｌａｒ ｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）な流れと仮定することは自然である。従って、心室内血流画像データの軌道群のトポロジー分類で取り扱う流れは、無限遠点に退化特異点を一つ有する球面Ｓ上の流れに帰着する。上記で説明した曲面上の軌道群のトポロジーの分類とその離散組み合わせ構造への変換理論では、このような退化特異点の存在は許していなかった。従って、変形する境界における心室内血流が作る軌道群のトポロジー分類においては，この退化特異点の流れの数学的扱いが重要な役割を果たす。
【0065】
［０次元特異点構造における新たな定義］
本明細書では、関心領域Ω内においては、特異点はすべて非退化（ｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）であると仮定する。このとき、Ωの内点に存在し得る非退化特異点は以下の４種類である。
・Ｃｅｎｔｅｒ（渦心点）
・ｓａｄｄｌｅ（サドル点）
・ｓｏｕｒｃｅ（湧き出し点）
・ｓｉｎｋ（吸い込み点）
ただし、本明細書では関心領域Ω内部に物理境界は存在しないと仮定するので、∂－ｓａｄｄｌｅ（境界サドル点）、∂－ｓｏｕｒｃｅ（境界湧き出し点）、∂－ｓｉｎｋ（境界吸い込み点）等の境界にある非退化特異点は現れない。
本明細書では、関心領域Ω内においては、特異点はすべて非退化（ｎｏｎ－ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）であると仮定する。このとき、Ωの内点に存在し得る非退化特異点は以下の４種類である。
・Ｃｅｎｔｅｒ（渦心点）
・ｓａｄｄｌｅ（サドル点）
・ｓｏｕｒｃｅ（湧き出し点）
・ｓｉｎｋ（吸い込み点）
ただし、本明細書では関心領域Ω内部に物理境界は存在しないと仮定するので、∂－ｓａｄｄｌｅ（境界サドル点）、∂－ｓｏｕｒｃｅ（境界湧き出し点）、∂－ｓｉｎｋ（境界吸い込み点）等の境界にある非退化特異点は現れない。
【0066】
本明細書では、その仮定から心室内血流画像データにおける∂Ωに横断的に交わる軌道群を扱うため、無限遠点に退化した特異点をうまく導入して、その位相的な分類を行う必要がある。また、境界から出て改めて境界に戻ってくるような無限個の軌道群の存在を認めなければならない。従って境界上の点の同一視により、これらの軌道群は、無限遠点の近傍では吸い込みと湧き出しの流れが１点に潰れたような退化した構造になっている必要がある。一般にこのようなｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋのペアが１点につぶれる構造は一意ではないが、Ω内部の非退化特異点の構造と、心内血流流線可視化画像データから得られる軌道群の境界での横断条件とを踏まえて以下のように定義する。
【0067】
（定義３）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ：
球面上の点ｘ∈Ｓの開近傍Ｕ内にｎ（≧１）個のｓａｄｄｌｅをおき、これらの４ｎ本のｓｅｐａｒａｔａｒｉｘがＵの境界に横断的に交差すると仮定する。このとき、Ｕは３ｎ＋１個のｄｉｓｊｏｉｎｔな領域に分割される。これらの分割領域のうち、その境界がただ１つのｓａｄｄｌｅ点を含むものには内部に１つｃｅｎｔｅｒをおく。このｃｅｎｔｅｒとｓａｄｄｌｅとを１点ｘに潰してできる退化特異点を「ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ－ｓａｄｄｌｅ」（あるいは、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ）と呼ぶ。
球面上の点ｘ∈Ｓの開近傍Ｕ内にｎ（≧１）個のｓａｄｄｌｅをおき、これらの４ｎ本のｓｅｐａｒａｔａｒｉｘがＵの境界に横断的に交差すると仮定する。このとき、Ｕは３ｎ＋１個のｄｉｓｊｏｉｎｔな領域に分割される。これらの分割領域のうち、その境界がただ１つのｓａｄｄｌｅ点を含むものには内部に１つｃｅｎｔｅｒをおく。このｃｅｎｔｅｒとｓａｄｄｌｅとを１点ｘに潰してできる退化特異点を「ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ－ｓａｄｄｌｅ」（あるいは、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ）と呼ぶ。
【0068】
図１２に、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅの作り方を示す。条件を満たすｎ個のｓａｄｄｌｅが点ｘの近傍Ｕに存在するとき、ｃｅｎｔｅｒを置く領域は２ｎ＋２個ある。そして、これらのすべてのｓａｄｄｌｅとｃｅｎｔｅｒとを１点ｘに束ねる（ｂｕｎｄｌｅｄ）ことで、この退化特異点を構成する。この作り方から、この退化特異点の指数は、２ｎ＋２＋(－ｎ）＝ｎ＋２である。また、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｘには４ｎ本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘが存在している。いま、関心領域Ωの中にｎ個の非退化なｓａｄｄｌｅが存在しているとし、この４ｎ本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘがすべて∂Ωと横断的に交わっているとする。このとき、∂Ωを同値関係によって１点に潰したときに得られる球面Ｓ上の無限遠にある退化特異点として、このｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅをおけば、境界のない球面全体でｎ＋２＋（－ｎ）＝２となり、Ｐｏｉｎｃａｒｅ－Ｈｏｐｆの定理を満足し、さらにｓａｄｄｌｅとｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅの４ｎ本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘを一意的に大域接続できる。ｎ＝１のときは、図１２（ｃ）に示す構造になる。ｎ＝２のときは、図１２（ｄ）に示す構造になり、局所的には８つの分割領域のうち６つの領域内にはｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋペアの軌道群が、残り２つの領域には湧き出しと吸い込みの軌道群が含まれている。
【0069】
一方で、もしΩ内部にそのｓｅｐａｒａｔｒｉｘがすべて境界と横断的に交わるようなｓａｄｄｌｅ点がないとき、軌道群が境界と横断的に交わるためには、Ω内部の流れは、それぞれ湧き出し点（吸い込み点）構造をもつ流れになっているか、Ω内を横断的にすべての軌道群が一様に貫く流れになっているかのいずれかである必要がある。このような場合、前者については、無限遠点には非退化特異点であるそれぞれ吸い込み点（湧き出し点）をおけば、球面Ｓ全体で流れは非退化となる。一方後者については、図１２（ｂ）に示すような、無限遠点にｓｏｕｒｃｅとｓｉｎｋを一つに潰した退化特異点（１－ｓｏｕｒｃｅ－ｓｉｎｋ ｐｏｉｎｔ）をおけばよい。なお、この退化特異点は定義３でｎ＝０とおいたときに構成される特異点に相当するので、０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅと見なすこともできる。従って、ここでは無限遠点におけるｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅをｎ≧０で考えればよい。
【0070】
最後に、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを軌道として特異点と定義するためには、境界を同一視することによって、境界に横断的に交わる軌道をｔ→±∞で平面の無限遠点到達するように「延長」しなければならない。実際の心室内血流画像データでは、軌道は有限時間でその境界に到達するが、境界を１点に潰して球面の北極における特異点と見なすことは、平面全体でみたときに軌道を無限遠点に伸ばすことに対応している。こうすることで、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅは特異点と見なし、ここへ繋がる無限個の軌道は無限時間で到達するようにできる。その結果、この特異点に入ってくる軌道はここから再び出ることはないので、特異点としてはｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造の退化特異点となっていることに注意する。
【0071】
［新たな１次元構造］
（定義４）曲面Ｓ上の流れｖで定義されたｘ∈Ｓを通るｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、ω極限集合（ω－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）ω（ｘ）およびα極限集合（α－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）α（ｘ）を以下で定義する。
Ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ（サドルセパラトリクス構造）とは、そのα極限集合またはω極限集合がｓａｄｄｌｅ（サドル）である軌道をいう。Ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが同じｓａｄｄｌｅをつなぐとき、これをｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｉｘと呼ぶ。
（定義４）曲面Ｓ上の流れｖで定義されたｘ∈Ｓを通るｐｒｏｐｅｒな軌道に対して、ω極限集合（ω－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）ω（ｘ）およびα極限集合（α－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）α（ｘ）を以下で定義する。
【数3】
【数4】
【0072】
異なる非退化ｓａｄｄｌｅ点をつなぐｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘをｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと呼ぶ。これらのｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはＰ（ｖ）の元である。なお、ハミルトンベクトル場に構造安定性の仮定をしたときに表れるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄなもののみであることが証明されている。ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとは、これらのｓａｄｄｌｅとｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ全体がなす集合である。なお，特許文献１や特許文献２では流れ領域に境界が存在するために同様の概念を、境界サドル（∂－ｓａｄｄｌｅ）を含むように定義しているが、本明細書では内部境界はないとするので、こうした境界サドルをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘは考える必要がないことに注意する。
【0073】
次に、圧縮性のある流れ構造に付随するｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを定義する。ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとは、（１）ｓｏｕｒｃｅ、（２）ｓｉｎｋ、（３）ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔおよび（４）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅのいずれかを指すものとする。ｓａｄｄｌｅとｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘをｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと呼ぶ。図１３に、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとそれらを結ぶｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの例を示す。図１３（ａ）は、Ω内に存在するｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの例を表す。図１３（ｂ）に示すようなΩ内にある非退化ｓａｄｄｌｅから退化特異点ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに繋がるｓｅｐａｒａｔｒｉｘもｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。Ｓａｄｄｌｅ、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘ、ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ、ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを集めた集合をｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍと呼ぶことにし、以下、曲面Ｓ上の流れｖが生成するｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍをＤｓｓ（ｖ）と書く。なお、ここで扱われるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍは、先行研究で扱われたものから境界サドル点を取り除いて、新たにｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを追加したものである。
【0074】
本明細書の対象は、球面の北極（無限遠点）にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ境界無し球面Ｓの流れｖの軌道群の分類である。退化無限遠点を持たない（境界を持つ）球面Ｓにおける軌道群の文字化およびツリー表現による位相的分類理論は先行研究で与えられているが、ここではそれを拡張して以下のような流れを考える。
【0075】
（定義５）境界を持たない球面Ｓ上の流れｖが以下の４つの条件を満たすときｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ有限型の流れ（ｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｗｉｔｈ ａｎ ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ）であるという。
（１）ｖによって生成される軌道はすべてｐｒｏｐｅｒである。
（２）すべてのｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔはｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを除き非退化（ｎｏｎ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）である。
（３）ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの数は有限個である。
（４）すべてのｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄかｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに連結している。
（１）ｖによって生成される軌道はすべてｐｒｏｐｅｒである。
（２）すべてのｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔはｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを除き非退化（ｎｏｎ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ）である。
（３）ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅの数は有限個である。
（４）すべてのｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは、ｓｅｌｆ－ｃｏｎｎｅｃｔｅｄかｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに連結している。
【0076】
（１）の条件は既に仮定したものである。（２）の条件を課すと、ｓｉｎｇｕｌａｒ ｏｒｂｉｔの数は有限で孤立していることが分かる。（３）の条件は、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅのような構造が無限に集積しないという仮定である。（４）の条件と流れ領域に境界がないことを踏まえれば、ｓａｄｄｌｅをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって構成されるｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔは図１４に示す３つのパターンしかないことも結論できる。心室内血流画像データの軌道群においては、関心領域Ωの内部では退化特異点は存在せず、また無限に集積するようなｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ、ｈｅｔｅｒｏｃｌｉｎｉｃ軌道を持つ構造はｇｅｎｅｒｉｃには観察されないため、分類理論やこの理論に基づく心室内軌道群データへの適用を強く制限するものではない。
【0077】
退化した特異点を持たない球面上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの分類理論としてＰｏｉｎｃａｒｅ－Ｂｅｎｄｉｘｏｎの定理を一般化したものを、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ境界を持たないＳ上への流れに拡張すると、以下のような極限集合に関する結果を得る。
【0078】
（補題）ｖを境界を持たない球面Ｓ上のｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅとする。このとき、ｖのｐｒｏｐｅｒなｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔｓのω－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ（α－ｌｉｍｉｔ ｓｅｔ）は以下で構成される。
（１）ｓａｄｄｌｅ；
（２）ｓｉｎｋ；
（３）ｓｏｕｒｃｅ；
（４）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ） ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；
（５）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ （ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ） ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ；
（６）ｃｅｎｔｅｒ；
（７）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ
（１）ｓａｄｄｌｅ；
（２）ｓｉｎｋ；
（３）ｓｏｕｒｃｅ；
（４）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ（ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ） ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅ；
（５）ａｔｔｒａｃｔｉｎｇ （ｒｅｐｅｌｌｉｎｇ） ｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔ；
（６）ｃｅｎｔｅｒ；
（７）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ
【0079】
この補題によれば、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの軌道群は以下の３つのカテゴリに分類できることが分かる。
（ｉ）ｌｉｍｉｔ ｓｅｔとそれらをつなぐｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｂｉｔｓ；
（ｉｉ）ｃｅｎｔｅｒまたはｃｉｒｃｕｉｔとその周りのｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔｓ；
（ｉｉｉ）ｉｎｔＰ（ｖ）に入っているｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔｓ
（ｉ）ｌｉｍｉｔ ｓｅｔとそれらをつなぐｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｂｉｔｓ；
（ｉｉ）ｃｅｎｔｅｒまたはｃｉｒｃｕｉｔとその周りのｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔｓ；
（ｉｉｉ）ｉｎｔＰ（ｖ）に入っているｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔｓ
【0080】
次に、これに基づいて軌道群の分類を行う。ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｖのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄｓｓ（ｖ）を構成する１次元以下の構造の集合ｂｏｒｄｅｒ ｏｒｂｉｔｓ（境界軌道）を以下で特徴付ける。
【0081】
（定義６）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ曲面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ：ｖのｂｏｒｄｅｒ ｏｒｂｉｔの集合Ｂｄｈ（ｖ）は以下で与える．
Ｂｄｈ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｈ ｓｅｐ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
・Ｐｈ ｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ)の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合；
・∂Ｐ（ｖ）：ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔ集合の境界となる軌道の集合：
・∂Ｐｅｒ（ｖ）：ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔ集合の境界となる軌道の集合
Ｂｄｈ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｈ ｓｅｐ（ｖ）
ただし、各集合は以下で与えられる軌道集合である。
・Ｐｈ ｓｅｐ（ｖ）：Ｐ（ｖ)の内点集合にあるｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとからなる軌道集合；
・∂Ｐ（ｖ）：ｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔ集合の境界となる軌道の集合：
・∂Ｐｅｒ（ｖ）：ｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔ集合の境界となる軌道の集合
【0082】
ここで与えたＢｄｈ（ｖ）の各集合のうち、∂Ｐ（ｖ）と∂Ｐｅｒ（ｖ）は先行研究で与えられたもので、ｌｉｍｉｔ ｃｙｃｌｅやｎｏｎ－ｔｒｉｖｉａｌ ｌｉｍｉｔ ｃｉｒｃｕｉｔを指す。一方、先行研究で与えられていたｂｏｒｄｅｒ ｏｒｂｉｔ：Ｂｄ（ｖ）における、Ｓの境界∂Ｓに沿って回るｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔの集合∂Ｐｅｒ（ｖ）は、本明細書では内部境界の存在を考えないので除外されている。また、Ｐｈ
ｓｅｐ（ｖ）はｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘやｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘからなる集合で、先行研究のＰｓｅｐ（ｖ）に加えて、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅと繋がるｓｅｐａｒａｔｒｉｘが追加されていることに注意する。Ｂｄｈ（ｖ）によって分割される開領域を埋め尽くす軌道群は、この図３に示された３種類しかないという主張が以下の定理１である。この結果は、退化特異点であるｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅが存在していても先行研究の結果と全く同じものである。
【0083】
（定理１）ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面Ｓ⊆Ｓ２上の任意のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ ｖに対して、境界集合の補集合（Ｂｄｈ（ｖ））ｃに入っている領域の軌道は以下の３種類のいずれかである。
・開矩形領域でＰ（ｖ）のｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間。図３（ａ）ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍領域の流れ。
・開円環領域でＰ（ｖ）のｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は円周。図３（ｂ）ｓｏｕｒｃｅ（ｓｉｎｋ） ｄｉｓｋ／ｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れ。
・開円環領域でＰ（ｖ）のｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間。図３（ｃ）ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋ／ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れ。
・開矩形領域でＰ（ｖ）のｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間。図３（ａ）ｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの近傍領域の流れ。
・開円環領域でＰ（ｖ）のｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は円周。図３（ｂ）ｓｏｕｒｃｅ（ｓｉｎｋ） ｄｉｓｋ／ｌｉｍｉｔ ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れ。
・開円環領域でＰ（ｖ）のｐｅｒｉｏｄｉｃ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされたもの。その軌道空間は開区間。図３（ｃ）ｃｅｎｔｅｒ ｄｉｓｋ／ｐｅｒｉｏｄｉｃ ａｎｎｕｌｕｓの近傍領域の流れ。
【0084】
［新たな基本構造］
（基本構造：ｓφｎ）
図１５（ｂ）（ｃ）（ｄ）に、ここで新たに導入する基本構造ｓφｎを示す。無限遠点｛∞｝にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ（ｎ≧０）が存在しているとき、その作り方から、無限遠点近傍を除く球面内におけるｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの流れの中にはｎ個のｓａｄｄｌｅが存在している。この基本流れはこれらのｓａｄｄｌｅに付随した４ｎ個のｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと繋がっているようなものとなる。このとき各ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになっていることに注意する。なお図１５（ａ）は、図５に示した基本構造の再掲である。
（基本構造：ｓφｎ）
図１５（ｂ）（ｃ）（ｄ）に、ここで新たに導入する基本構造ｓφｎを示す。無限遠点｛∞｝にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ（ｎ≧０）が存在しているとき、その作り方から、無限遠点近傍を除く球面内におけるｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの流れの中にはｎ個のｓａｄｄｌｅが存在している。この基本流れはこれらのｓａｄｄｌｅに付随した４ｎ個のｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと繋がっているようなものとなる。このとき各ｓｅｐａｒａｔｒｉｘはｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘになっていることに注意する。なお図１５（ａ）は、図５に示した基本構造の再掲である。
【0085】
ｎ＝０のとき、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘは存在しないので、Ｓ＼｛∞｝にｓａｄｄｌｅが存在する必要はない。このとき、図１２（ｂ）に示した無限遠点の０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅの作る流れは、Ｓ＼｛∞｝およびＲＯＩ領域Ωにおける流れの構造は図１５（ｂ）のような流れになっている。各軌道は後で議論するように無限遠点に繋がるｃｌａｓｓ－ａの軌道構造と無限遠点｛∞｝に縮退するｃｌａｓｓ－∞～±の軌道構造が入り得る。この状況を詳しく説明するために、図１５（ｂ）のように、流れをΩ上に展開して考えてみる。関心領域Ωの片側境界∂Ωから出て、反対側の境界に至る一様流の流れが存在する。この起点と終点にはｃｌａｓｓ－∞～±の縮退した構造が存在し得るが、その間にｃｌａｓｓ－ａの構造を任意ｓ個（ｓ≧０）つけることもできる。従って、これらの構造を表現するには、∂Ωでの起点と終点のｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造と、その間をつなぐｃｌａｓｓ－ａの軌道とを一括して表現する必要がある。例えば，この図に示す構造の一番上の軌道については［□１
∞～＋，□１
ａ，□１
∞～－］と表現して、縮退している構造を１つの「セット」と表現する。一般には１本の軌道構造に対して、三つ組み
□ａ∞～±：＝［□∞～＋，□ａｓ，□∞～－］
で表現する。
□ａｓには、□～＋と□～－との間をつなぐｓ個（ｓ≧０）のｃｌａｓｓ－ａの軌道構造□ａを表しており、以下のように並べられる。
□ａｓ：＝□１ ａ・．．．・□ｓ ａ（ｓ＞０），□ａｓ＝λ～（ｓ＝０）
ここで、この三つ組みには□∞～±に入る構造がない、つまり無限遠点で縮退する構造がない場合は複合同順で∞～±の記号を、ｃｌａｓｓ－ａがないときはλ～の記号をつける。
この三つ組み構造が、さらにｓ個並んでいることを以下のように表現する。
□ａ∞～±ｓ：＝□１ ａ∞～±・．．．・□ｓ ａ∞～±（ｓ＞０），□ａ∞～±ｓ＝λ～（ｓ＝０）
こうして作ったΩ内部の軌道構造に対して０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅから順に（図中は上から下へ）読んで並べることで、この基本構造のＣＯＴ表現をｓφ０（□ａ∞～±ｓ）のように与えることができる。
□ａ∞～±：＝［□∞～＋，□ａｓ，□∞～－］
で表現する。
□ａｓには、□～＋と□～－との間をつなぐｓ個（ｓ≧０）のｃｌａｓｓ－ａの軌道構造□ａを表しており、以下のように並べられる。
□ａｓ：＝□１ ａ・．．．・□ｓ ａ（ｓ＞０），□ａｓ＝λ～（ｓ＝０）
ここで、この三つ組みには□∞～±に入る構造がない、つまり無限遠点で縮退する構造がない場合は複合同順で∞～±の記号を、ｃｌａｓｓ－ａがないときはλ～の記号をつける。
この三つ組み構造が、さらにｓ個並んでいることを以下のように表現する。
□ａ∞～±ｓ：＝□１ ａ∞～±・．．．・□ｓ ａ∞～±（ｓ＞０），□ａ∞～±ｓ＝λ～（ｓ＝０）
こうして作ったΩ内部の軌道構造に対して０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅから順に（図中は上から下へ）読んで並べることで、この基本構造のＣＯＴ表現をｓφ０（□ａ∞～±ｓ）のように与えることができる。
【0086】
ｎ＝１のとき、１－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅは、図１５（ｃ）にあるように無限遠点｛∞｝から出ているｓｅｐａｒａｔｒｉｘはＳ＼｛∞｝にあるｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと連結している。関心領域ではΩ内部にあるｓａｄｄｌｅから伸びる４本のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘが∂Ωに横断的に交わる状況となっている。各ｓｅｐａｒａｔｒｉｘについて球面の｛∞｝あるいは関心領域における∂Ωにｃｌａｓｓ－∞～±の軌道構造を縮退させられることに注意する。また、このｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって球面Ｓ（あるいはΩ）は３ｎ＋１＝４領域に分割されて、それぞれの分割領域の中には１－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅから出て戻るような吸い込み湧き出し対に対応する軌道構造が存在している。この分割領域の各軌道に対しては軌道構造□ａ∞～±を考えることができる。
【0087】
ｎ＝０の場合と違って、この軌道にはｓａｄｄｌｅにつながるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘという位相幾何学的に特別な軌道が存在するため、ＣＯＴ表現の中でこれらの軌道構造を使って並べる順序を以下のように決定できる。いま、ｓａｄｄｌｅと繋がっているｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを任意に１つ選ぶ。このｓｅｐａｒａｔｒｉｘが∂Ωと交わる点に縮退した構造□∞～±と、その反時計周り方向にある分割領域にある軌道構造□ａ∞～±の並べ方を考える。ここでは説明のため、選んだｓｅｐａｒａｔｒｉｘ構造が湧き出しの場合、つまりこのｓｅｐａｒａｔｒｉｘと関心領域の境界∂Ωが交わるところに□∞～＋に縮退した構造をもつ場合を考える。このとき、この分割領域のもう一方の境界となる（選んだｓｅｐａｒａｔｒｉｘの反時計回り側にある別の）ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがもう１つ存在し、それが境界∂Ωに交わる点で縮退した構造□∞～－が存在し得ることに注意する。この分割領域に存在する位相構造を持つ軌道群を□１
ａ∞～±ｓと書くことにして、そこに属する軌道群は２つのｓａｄｄｌｅと無限遠点を結ぶｓｅｐａｒａｔｒｉｘの軌道から遠い順に並べる。つまり、ｓａｄｄｌｅに近い点から関心領域の境界∂Ωに近づく方向に向けて並べる。この操作を順次残りのｓｅｐａｒａｔｒｉｘとその分割領域の内部にある位相構造をもつ軌道群（これらを□ｋ
ａ∞～±ｓ，ｋ＝２，３，４と書く）に対して行い、それらを反時計回りに並べれば以下のＣＯＴ表現を得る。
ｓφ１｛□１ ａ∞～±ｓ，□２ ａ∞～±ｓ，□３ ａ∞～±ｓ，□４ ａ∞～±ｓ｝
なおこの基本構造ｓφ１に限り、最初のｓｅｐａｒｔａｒｉｘの選び方にｃｙｃｌｉｃな自由度があるため、ＣＯＴ表現では｛｝で囲む。
ｓφ１｛□１ ａ∞～±ｓ，□２ ａ∞～±ｓ，□３ ａ∞～±ｓ，□４ ａ∞～±ｓ｝
なおこの基本構造ｓφ１に限り、最初のｓｅｐａｒｔａｒｉｘの選び方にｃｙｃｌｉｃな自由度があるため、ＣＯＴ表現では｛｝で囲む。
【0088】
ｎ≧２のときは、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅとｓａｄｄｌｅをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって球面Ｓは３ｎ＋１個に分割され、いずれの領域でも２次元領域は図１５（ａ）と同じとなり、各分割領域では□ａ∞～±ｓで表現される軌道構造が入ることは変わりないが、そのうち２ｎ＋２個の領域では内部で吸い込み湧き出し対に繋がる軌道構造になっているのに対して、残りのｎ－１個の領域では、軌道は湧き出し点から出て球面を一周まわって反対側の吸い込み点に入る軌道構造になっている。また、４ｎ本のｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅとｎ個のｓａｄｄｌｅをつなぐｓｅｐａｒａｔｒｉｘは無限遠点に縮退するｃｌａｓｓ－∞～±の軌道を埋め込むことができる。
【0089】
これらの軌道構造の位置関係をあいまいさなく表現するＣＯＴ表現の与え方（図１５（ｄ））を、関心領域Ωを用いて説明する。まず、各ｓａｄｄｌｅに付随したｓｅｐａｒａｔｒｉｘと、それによって分割される領域を考え、そのｓａｄｄｌｅのうち一番端（図では左端）にあるものから、構造に番号をつけていく。すなわち、一番左端のｓｅｐａｒａｔｒｉｘに図１５（ｄ）のように１～４の番号を反時計回りにつけ、それらによって囲まれる３つの領域にも順に１～４の反時計回りに番号をつける。次に、その右隣のｓａｄｄｌｅの４本のｓｅｐａｒａｔｒｉｘの左下のものから順に反時計回り５～８の番号をつけて、それらが囲む３領域に順に５～７の番号をつける。以下、帰納的にｋ≧２に対して、右側にあるｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘに対して左下から反時計回りに４ｋ＋１～４ｋ＋４の番号を反時計回りにつけて、それらが囲む３つの領域に３ｋ－１～３ｋ＋１の番号をつけていく。この操作をｎ番目のｓａｄｄｌｅまでｓｅｐａｒａｔｒｉｘとその分割する領域までに番号をつけて，その番号順に軌道構造を並べていく。こうして分割された３ｎ＋１個の領域には任意のｓ≧０個の位相構造をもつ一様流の軌道群（□ｋ
ａ∞～±ｓ，ｋ＝１，．．．，３ｎ＋１）が入りうる。各構造に対して境界∂Ωの連結成分に起点と終点を持つ２ｎ＋２個の領域内部では、ｓφ１と同様にｓａｄｄｌｅから近い構造から境界に向かって三つ組み構造をならべ、∂Ωの非連結な成分にそれぞれ起点と終点を持つｎ－１個の領域では右側のｓａｄｄｌｅから左側のｓａｄｄｌｅへ向けて三つ組み構造を順次並べれば、この基本構造のＣＯＴ表現を以下で与えることができる。
ｓφｎ（□１ ａ∞～±ｓ，□２ ａ∞～±ｓ，□３ ａ∞～±ｓ，□４ ａ∞～±ｓ，□５ ａ∞～±ｓ，□６ ａ∞～±ｓ，□７ ａ∞～±ｓ，．．．，□３ｎ－１ ａ∞～±ｓ，□３ｎ ａ∞～±ｓ，□３ｎ＋１ ａ∞～±ｓ）
ｓφｎ（□１ ａ∞～±ｓ，□２ ａ∞～±ｓ，□３ ａ∞～±ｓ，□４ ａ∞～±ｓ，□５ ａ∞～±ｓ，□６ ａ∞～±ｓ，□７ ａ∞～±ｓ，．．．，□３ｎ－１ ａ∞～±ｓ，□３ｎ ａ∞～±ｓ，□３ｎ＋１ ａ∞～±ｓ）
【0090】
次に、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ曲面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ：ｖが定めるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ Ｄｓｓ（ｖ）を構成するＢｄｈ（ｖ）の１次元構造の分類と、それに対応するＣＯＴ表現とを与える。前述の通り、Ｂｄｈ（ｖ）：＝Ｓｉｎｇ（ｖ）∪∂Ｐｅｒ（ｖ）∪∂Ｐ（ｖ）∪Ｐｈ
ｓｅｐ（ｖ）と表現されているので、それぞれの集合に対応させてＢｄｈ（ｖ）を実現する０次元・１次元構造を導入する。ただし、各１次元構造はその周辺の軌道群情報によって、どの集合に入るのかが変わりうることに注意する。
【0091】
（０次元構造：∞～±）
この点は球面の無限遠点｛∞｝にあるｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに対応する退化特異点である。図１６に、例として１－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅと２－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを示すが、一般にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを表現する。実際にどのｎに対応するかの情報は、この退化特異点の存在を１つしか認めないこと、および基本構造のＣＯＴ表現ｓφｎの中で与えられることから、ここで記号として区別する必要はない。この構造はｃｌａｓｓ－∞～±に入っている。
この点は球面の無限遠点｛∞｝にあるｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに対応する退化特異点である。図１６に、例として１－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅと２－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを示すが、一般にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを表現する。実際にどのｎに対応するかの情報は、この退化特異点の存在を１つしか認めないこと、および基本構造のＣＯＴ表現ｓφｎの中で与えられることから、ここで記号として区別する必要はない。この構造はｃｌａｓｓ－∞～±に入っている。
【0092】
（１次元構造：ａ～±、ｑ～±）
ａ～±、ｑ～±は、前述の（Ｓ３）に対応する構造である。このときは、ｓａｄｄｌｅに２つの同じｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造がついているので、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅになっている。このｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅにつながっているｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係で構造を分類する。このとき、近傍の軌道はすべてｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされた２次元領域（開矩形領域）なので、常にＰｈ ｓｅｐ（ｖ）の元となる。
ａ～±、ｑ～±は、前述の（Ｓ３）に対応する構造である。このときは、ｓａｄｄｌｅに２つの同じｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造がついているので、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅになっている。このｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅにつながっているｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの位置関係で構造を分類する。このとき、近傍の軌道はすべてｎｏｎ－ｃｌｏｓｅｄ ｏｒｂｉｔで埋め尽くされた２次元領域（開矩形領域）なので、常にＰｈ ｓｅｐ（ｖ）の元となる。
【0093】
まず、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながれているｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの外側に存在する図１１（ａ）のｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する構造は、ａ～±である。この構造はｓａｄｄｌｅに接続するｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造が２つある。もし２つともｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ｛∞｝に接続していれば、それは基本構造を構成するｓａｄｄｌｅであるため、関心領域Ωの境界∂Ωに横断的に交わり、そこにＣＯＴ表現を割り当てる必要はない。片方だけがｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに繋がっている場合は、ａ～±｛□～±，∞～±｝と表現すれば、これは無限遠点（あるいは∂Ω）に縮退する構造となる。従って、構造ａ～±はｃｌａｓｓ－～±とｃｌａｓｓ－∞～±の双方に属している。これらのｓｏｕｒｃｅ／ｓｉｎｋ構造の順序は自由に選べるので、そのＣＯＴ表現は複合同順でａ～±｛□～±，□～±｝となる。
【0094】
次に、ｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅがつながれているｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔの内側に存在する図１１（ｂ）のｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅに対応する構造は、ｑ～±である。このＣＯＴ表現は複合同順でｑ～±（□～±）である。この構造はｂ～±の中にのみ含まれる構造なので、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅとは接続しない。従って、ｃｌａｓｓ－ａ～±に属している。
【0095】
表２に、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ（境界無し）球面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ：ｖのＣＯＴ表現で使われる内部に入る構造集合をまとめる。また表３に、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ（境界無し）球面Ｓ上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅ：ｖを構成する構造とそのＣＯＴ表現をまとめる。
【表2】
【表3】
【0096】
［木表現］
次に図１７を参照して、本明細書で用いる「木表現」についての基本的な事項を説明する。図１７は、一般的な木表現の一例を示す。図示されるように、木表現は頂点同士を線で結んだ構造を持つグラフである。木の頂点には大きく分けて、木の終端に位置するもの（○）と、そうでないもの（●）の２種類がある。前者（ｄ、ｅ、ｇ、ｈ、ｊ）を終端頂点（「葉」または「ｌｅａｆ」）、後者（ａ、ｂ、ｃ、ｆ、ｉ）を非終端頂点と呼ぶ。最上部にある非終端頂点（ａ）を「ルート」と呼ぶ。線で直接結ばれている２つの頂点のうち、ルートに近い方（図では上の方）を「親」と呼び、葉に近い方を「子」と呼ぶ。ルートは、木表現の中で親を持たない唯一の頂点である。ルート以外の頂点は、必ず親を１個だけ持つ。例えば図１７では、ｂはａの子でありｃの親である、ｄはｃの子である、といった具合である。
次に図１７を参照して、本明細書で用いる「木表現」についての基本的な事項を説明する。図１７は、一般的な木表現の一例を示す。図示されるように、木表現は頂点同士を線で結んだ構造を持つグラフである。木の頂点には大きく分けて、木の終端に位置するもの（○）と、そうでないもの（●）の２種類がある。前者（ｄ、ｅ、ｇ、ｈ、ｊ）を終端頂点（「葉」または「ｌｅａｆ」）、後者（ａ、ｂ、ｃ、ｆ、ｉ）を非終端頂点と呼ぶ。最上部にある非終端頂点（ａ）を「ルート」と呼ぶ。線で直接結ばれている２つの頂点のうち、ルートに近い方（図では上の方）を「親」と呼び、葉に近い方を「子」と呼ぶ。ルートは、木表現の中で親を持たない唯一の頂点である。ルート以外の頂点は、必ず親を１個だけ持つ。例えば図１７では、ｂはａの子でありｃの親である、ｄはｃの子である、といった具合である。
【0097】
本明細書で説明する語表現技術では、ルートは、対象とする流れパターンにおいて最も外側にある構造であり、具体的には、渦心点、吸い込み点、湧き出し点のいずれかを含む。葉は、ルートの内側にある構造である。後述するように本技術では、対象とする流れパターンが与えられたとき、最初に、ルートに相当する最外部構造が何であるかを決定する。次に、葉に相当する内部構造のうち最内部構造が何であるかを決定して文字を与えこの構造を抜く。次に、残った構造のうち最内部構造が何であるかを決定して文字を与えこの構造を抜く、といったステップを最外部構造のルートに到達するまで繰り返す。例えば、後述するように図２６（ａ）に示される流れパターンが与えられたとき、ＣＯＴ表現
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
が得られる。このとき、ルートはｓφ１であり、葉は、内側から順にσ～－－、∞～－、ａ～－、∞～＋である。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
が得られる。このとき、ルートはｓφ１であり、葉は、内側から順にσ～－－、∞～－、ａ～－、∞～＋である。
【0098】
［第１実施の形態］
本発明の第１実施の形態は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。図１８に、第１実施の形態に係る語表現装置１の機能ブロック図を示す。語表現装置１は、記憶部１０と、語表現生成部２０と、を備える。語表現生成部２０は、ルート決定手段２１と、木表現構成手段２２と、ＣＯＴ表現生成手段２３と、を備える。
本発明の第１実施の形態は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現装置である。図１８に、第１実施の形態に係る語表現装置１の機能ブロック図を示す。語表現装置１は、記憶部１０と、語表現生成部２０と、を備える。語表現生成部２０は、ルート決定手段２１と、木表現構成手段２２と、ＣＯＴ表現生成手段２３と、を備える。
【0099】
記憶部１０は、流れパターンを構成する複数の流線構造に関し、各流線構造とその文字（ＣＯＴ表現）との対応関係を記憶する。この対応関係は、例えば表１および表３にまとめられたものである。すなわち、表１は先行研究で与えられた流線構造とＣＯＴ表現との関係であり、表３は今回与えたｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面上の流線構造とＣＯＴ表現との関係である。
【0100】
ルート決定手段２１は、与えられた流れパターンを木表現するためのルートを決定する。具体的には、当該流れパターンの最も外側の構造が、表１および表３に記載されたいずれに相当するかを判断する。このとき流れの回転の向きは、ルートとなる特異点または境界を中心と見たときの回転の向きとする。ある構造の「内部構造」とは、補集合の連結成分でルートを含まないもののことをいう。さらに、「最内部構造」とは、内部構造を持たない構造か、ｆｌｏｗ ｂｏｘ（開区間の形をしている軌道からなる長方形）以外の内部構造を持たない構造のことをいう。
【0101】
流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む。典型的にはこのような流れパターンは、心室内の血流のパターンである。
【0102】
木表現構成手段２２は、与えられた流れパターンの流線構造を抜き出し、記憶部１０に記憶された対応関係に基づいて当該抜き出した流線構造に文字を付与し、当該抜き出した流線構造を削除する処理を、流れパターンの最内部から順にルートに到達するまで繰り返して実行することにより、与えられた流れパターンの木表現を構成する。木表現の構成は、以下の原則に基づいて実行される。
１．与えられた流れパターンから、最内部から順に１つずつ流線構造を抜き出す。
２．流線構造を抜き出すとき、当該流線構造に対応する文字（ＣＯＴ表現）を木の頂点として付与する。そして当該流線構造を削除する。以下、「流れパターンから流線構造を抜き出し、当該流線構造に文字を付与し、当該流線構造を削除する」処理をまとめて「構造を抜く」と表記する。
３．構造を抜くとき、最内部の構造を抜き出すことから始めて、すべての構造がなくなるまで順次抜いていく。
３．１．最内部の構造は葉に対応する。
３．２．最後に抜く構造はルートに対応する。すなわち、与えられた流れパターンのルートに到達するまで構造を抜く処理を繰り返す。
３．３．ある構造を抜くときに、その構造を□に置き換え、□とその構造をリンクさせて対応させる（これにより、この□を含む上の構造を抜くときに、この構造を上の構造の「子」構造とすることができる）。
木表現構成手段２２は、上記の処理を実行することにより、与えられた流れパターンに含まれるすべての流線構造に対応する文字を木表現して出力する。
１．与えられた流れパターンから、最内部から順に１つずつ流線構造を抜き出す。
２．流線構造を抜き出すとき、当該流線構造に対応する文字（ＣＯＴ表現）を木の頂点として付与する。そして当該流線構造を削除する。以下、「流れパターンから流線構造を抜き出し、当該流線構造に文字を付与し、当該流線構造を削除する」処理をまとめて「構造を抜く」と表記する。
３．構造を抜くとき、最内部の構造を抜き出すことから始めて、すべての構造がなくなるまで順次抜いていく。
３．１．最内部の構造は葉に対応する。
３．２．最後に抜く構造はルートに対応する。すなわち、与えられた流れパターンのルートに到達するまで構造を抜く処理を繰り返す。
３．３．ある構造を抜くときに、その構造を□に置き換え、□とその構造をリンクさせて対応させる（これにより、この□を含む上の構造を抜くときに、この構造を上の構造の「子」構造とすることができる）。
木表現構成手段２２は、上記の処理を実行することにより、与えられた流れパターンに含まれるすべての流線構造に対応する文字を木表現して出力する。
【0103】
ＣＯＴ表現生成手段２３は、木表現構成手段２２により構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。具体的には、木表現を括弧を用いた表現に変換することにより、ＣＯＴ表現を構成する。ただし、円順序で並んだ要素を持つ場合は中括弧｛｝を用い、全順序で並んだ要素を持つ場合は丸括弧（）を用いることで変換が実現される。後述で、ＣＯＴ表現の生成を実例を用いて説明する。例えば、図２６（ａ）に示される流れパターンから、図２６（ｂ）に示される位相的データ構造が抽出される。図２６（ｂ）の位相的データ構造から最内部の流線構造を抜いたものが図２６（ｃ）に示される。以下、上述の手順に従って構造を抜く処理を繰り返すことにより、ＣＯＴ表現
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
が得られる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
が得られる。
【0104】
以上述べたように、本実施の形態に係る語表現装置の一例は、流線構造がｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む流れパターンの流線構造を語表現する。従って本実施の形態に係る語表現装置は、移動する物理境界が発生させる流れを含む流れパターンの流線構造を語表現する。
【0105】
本実施の形態によれば、２次元領域における流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。
【0106】
なお以上で説明した実施の形態では、流線構造に対応する文字は、アルファベットやギリシャ文字に下付き添字を付したものを用いた。しかし流線構造に対応する文字はこれに限られず、任意の種類の文字であってよく、ピクトグラムのような絵文字であってもよい（以下同様）。
【0107】
［第２実施の形態］
図１９に、第２実施の形態に係る語表現装置２の機能ブロック図を示す。語表現装置２は、図１８の語表現装置１の構成に加えて、語表現生成部２０の後段に表示部３０を備える。その他の構成と動作は、語表現装置１と共通である。
図１９に、第２実施の形態に係る語表現装置２の機能ブロック図を示す。語表現装置２は、図１８の語表現装置１の構成に加えて、語表現生成部２０の後段に表示部３０を備える。その他の構成と動作は、語表現装置１と共通である。
【0108】
表示部３０は、流れパターンから抽出された位相的データ構造を表示する。表示部３０はさらに、位相的データ構造に加えてＣＯＴ表現生成手段２３が生成したＣＯＴ表現を表示してもよい。表示部３０はさらに、ＣＯＴ表現に対応した渦流領域を塗りつぶして表示してもよい。表示部３０はさらに、流れの元画像から抽出した流線やその特異点を表示することにより、関心領域内の流れパターンそのものを示してもよい。さらに流れパターンが心室内血流の流れパターンである場合、表示部３０はさらに、超音波ＶＦＭ（ｖｅｃｔｏｒ ｆｌｏｗ ｍａｐｐｉｎｇ）画像や、血流速度ベクトルを表示してもよい。
【0109】
本実施の形態によれば、流れパターンの位相的データ構造を可視化することができる。
【0110】
［第３実施の形態］
本発明の第３実施の形態は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される。図２０に、第３実施の形態に係る語表現方法のフローを示す。本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、を備える。流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む。
本発明の第３実施の形態は、２次元領域における流れパターンの流線構造を語表現する語表現方法である。この方法は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータによって実行される。図２０に、第３実施の形態に係る語表現方法のフローを示す。本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、を備える。流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む。
【0111】
ステップＳ１で本方法は、与えられた流れパターンのルートを決定する。ルート決定の具体的な処理は、第１実施の形態で説明したものと共通であるので、詳細な説明は省略する。
【0112】
ステップＳ２で本方法は、与えられた流れパターンの木表現を構成する。
【0113】
ステップＳ３で本方法は、ステップＳ２で構成された木表現をＣＯＴ表現に変換する。
【0114】
本実施の形態によれば、２次元領域における流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化することができる。
【0115】
［第４実施の形態］
本発明の第４実施の形態は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムである。このプログラムは、図２０に示されるフローをコンピュータに実行させる。すなわち本プログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、をコンピュータに実行させる。流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む。
本発明の第４実施の形態は、記憶部と語表現生成部と、を備えたコンピュータに処理を実行させるプログラムである。このプログラムは、図２０に示されるフローをコンピュータに実行させる。すなわち本プログラムは、与えられた流れパターンのルートを決定するステップＳ１と、当該流れパターンの木表現を構成するステップＳ２と、当該流れパターンのＣＯＴ表現を生成するステップＳ３と、をコンピュータに実行させる。流れパターンを構成する流線構造は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ退化特異点を含む曲面上の基本構造を含む。
【0116】
本実施の形態によれば、２次元領域における流れパターンが与えられたときに、当該流れパターンのＣＯＴ表現を得る、すなわち当該流れパターンを文字化するプログラムをソフトウェアに実装できるので、コンピュータを用いて精度の高い語表現を実現することができる。
【0117】
［構造抽出アルゴリズムの実例］
以下、心室内血流の実例に基づき、当該血流の流れパターンに対して語表現を与える手順を具体的に説明する。先ず以下のアルゴリズムを実行する前に、流れパターンの最も外側の構造であるルートを決定しておく。心室内血流画像の軌道群データの分類による文字生成・ツリー構造などの離散組み合わせ構造の抽出アルゴリズムは大きく分けて、以下の３工程（（Ｎ１）～（Ｎ３））からなる。これらの工程を経て、心室内血流画像の軌道群データの位相構造に対して一対一に対応するリンク表現とＣＯＴ表現を与えることができる。これらの工程は、図１８および１９の語表現装置１および２では、語表現生成部２０で実行される。
（Ｎ１）心室内血流画像の軌道群データに位相的前処理を施してｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する工程。
（Ｎ２）心室内血流画像の軌道群データの軌道構造からリンク構造を抽出する工程。
（Ｎ３）心室内血流画像の軌道群データの軌道構造からＣＯＴ表現とそれに付随するツリー表現を構成する工程。
以下、各工程のアルゴリズムを説明する。
以下、心室内血流の実例に基づき、当該血流の流れパターンに対して語表現を与える手順を具体的に説明する。先ず以下のアルゴリズムを実行する前に、流れパターンの最も外側の構造であるルートを決定しておく。心室内血流画像の軌道群データの分類による文字生成・ツリー構造などの離散組み合わせ構造の抽出アルゴリズムは大きく分けて、以下の３工程（（Ｎ１）～（Ｎ３））からなる。これらの工程を経て、心室内血流画像の軌道群データの位相構造に対して一対一に対応するリンク表現とＣＯＴ表現を与えることができる。これらの工程は、図１８および１９の語表現装置１および２では、語表現生成部２０で実行される。
（Ｎ１）心室内血流画像の軌道群データに位相的前処理を施してｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する工程。
（Ｎ２）心室内血流画像の軌道群データの軌道構造からリンク構造を抽出する工程。
（Ｎ３）心室内血流画像の軌道群データの軌道構造からＣＯＴ表現とそれに付随するツリー表現を構成する工程。
以下、各工程のアルゴリズムを説明する。
【0118】
（Ｎ１）ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍの抽出アルゴリズム
図２１は工程Ｎ１の処理を示すフロー図である。関心領域内における心室内血流画像の軌道群データに対して、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する。このとき、必要に応じて位相的前処理を施すことによって、ｓａｄｄｌｅをＰｏｉｎｃａｒｅ－Ｈｏｐｆの指数定理に矛盾しないように必要最小限の個数付け加えることは許すこととする。位相的前処理が不可能なパターンに対しては以後の解析は行えないので、エラーを返す。これは例えば以下のようなステップ（Ｓ１０）～（Ｓ３０）によって達成できる。
（Ｓ１０）関心領域内の心室内血流画像に位相的前処理が必要かどうか確認する。位相的前処理が不要であれば（Ｓ２０）へ進む。
位相的前処理が必要であれば（Ｓ３０）に進む。
（Ｓ２０）ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを抽出して、本工程は正常終了する。
リンク構造の抽出工程（Ｎ２）へ進む。
（Ｓ３０）画像で位相的前処理が可能なら、位相的前処理（Ｓ３５）を行って（Ｓ２０）へ進む。画像で位相的前処理が不可能なら、エラー終了する。
図２１は工程Ｎ１の処理を示すフロー図である。関心領域内における心室内血流画像の軌道群データに対して、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する。このとき、必要に応じて位相的前処理を施すことによって、ｓａｄｄｌｅをＰｏｉｎｃａｒｅ－Ｈｏｐｆの指数定理に矛盾しないように必要最小限の個数付け加えることは許すこととする。位相的前処理が不可能なパターンに対しては以後の解析は行えないので、エラーを返す。これは例えば以下のようなステップ（Ｓ１０）～（Ｓ３０）によって達成できる。
（Ｓ１０）関心領域内の心室内血流画像に位相的前処理が必要かどうか確認する。位相的前処理が不要であれば（Ｓ２０）へ進む。
位相的前処理が必要であれば（Ｓ３０）に進む。
（Ｓ２０）ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを抽出して、本工程は正常終了する。
リンク構造の抽出工程（Ｎ２）へ進む。
（Ｓ３０）画像で位相的前処理が可能なら、位相的前処理（Ｓ３５）を行って（Ｓ２０）へ進む。画像で位相的前処理が不可能なら、エラー終了する。
【0119】
（Ｎ２）リンク構造抽出アルゴリズム
図２２は工程Ｎ２の処理を示すフロー図である。（Ｎ１）によって構成されたｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから、ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようなｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔにつながっているかをグラフ構造として抜き出す工程である。実際、頂点は「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅ」と「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」であり、辺はｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。このグラフは、頂点と辺の数が有限であるような平面グラフとなっている。そのため、このグラフを抽出する。例えば、このグラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
（Ｓ４０）ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
（Ｓ５０）ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
（Ｓ６０）ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
（Ｓ７０）これらの情報から得られる抽象グラフを、平面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、平面グラフを構成する。
図２２は工程Ｎ２の処理を示すフロー図である。（Ｎ１）によって構成されたｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから、ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘがどのようなｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔにつながっているかをグラフ構造として抜き出す工程である。実際、頂点は「ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅ」と「ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ」であり、辺はｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘである。このグラフは、頂点と辺の数が有限であるような平面グラフとなっている。そのため、このグラフを抽出する。例えば、このグラフを抽出する方法として、以下のようなものがある。
（Ｓ４０）ｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔとつながるｓａｄｄｌｅを抽出する。
（Ｓ５０）ｓａｄｄｌｅとつながるｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔを抽出する。
（Ｓ６０）ｓａｄｄｌｅとつながっているｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出する。
（Ｓ７０）これらの情報から得られる抽象グラフを、平面上の配置に対応するように頂点と辺を配置して、平面グラフを構成する。
【0120】
なお図２４（ａ）（ｂ）に示すように、同じＣＯＴ表現を持つが、異なる軌道トポロジーを持つ場合も存在する。この場合、ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの接続関係をリンク構造として保持しておけば、ＣＯＴ表現からｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｄ ｄｉａｇｒａｍを再構成するときに、これを参照しながら接続関係を定義すれば正しい復元が可能となる。
【0121】
（Ｎ３）ツリー表現とＣＯＴ表現の生成アルゴリズム
図２３は工程Ｎ３の処理を示すフロー図である。（ａ）はその前半であり、（ｂ）はその後半である。先行研究にもあるように、心室内血流画像の軌道群の位相構造に対してＣＯＴ表現およびそれに付随するツリー構造を付与するアルゴリズムは以下のようにまとめられる。
（Ｓ８０）最内部にある０次元構造を抽出して、それに付随するＣＯＴ表現を割り当てる。点構造が、湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）で反時計回り回転のときσ～＋＋、時計回り回転のときσ～＋－、回転なしのときσ～＋０、点構造が吸い込み点（ｓｉｎｋ）で反時計回り回転のときσ～－＋、時計回り回転のときσ～－－、回転なしのときσ～－０、反時計回りの周期軌道を伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）のときσ＋、時計回りの周期軌道を周囲に伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）のときσ－のＣＯＴ表現（文字）を割り当てる。ＣＯＴ表現を割り当てたら、その構造を軌道構造から取り除いて□なるラベルに置き換える。
（Ｓ８５）（Ｓ８０）での処理の結果、すべての点構造がなくなったか否かを判断する。すべての点構造がなくなった場合は（Ｓ９０）に進む。点構造が残っている場合は（Ｓ８０）に戻る。
（Ｓ９０）最内部にあるｐ±、ｐ～±、ｂ±±、ｂ±干、ｂ±、ｂ～±、ａ～±、ｑ～±、ａ±、ｑ±の構造をすべて抜き出す。もしこれらの構造が見つかれば、この構造をΩから取り除いて、内部に構造が存在しないことを表す□に置き換える。この際に抜いた構造には、かつて取り除いて□に置き換えた内部軌道構造が存在しているので、その内部軌道構造を自分自身の「子ノード」として、また自分自身をその内部軌道構造を「親ノード」にするようにエッジを生成する。
（Ｓ９５）（Ｓ９０）での処理の結果、すべての最内部構造がなくなったか否かを判断する。すべての最内部構造がなくなった場合は（Ｓ１００）に進む。最内部構造が残っている場合は（Ｓ９０）に戻る。
（Ｓ１００）（Ｓ９０）の結果、Ω内部からすべての軌道構造が除かれる。このときΩ内部にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに繋がるｓａｄｄｌｅが存在しない場合、その基本構造が湧き出し／吸い込み点をただ１つ持つなら（Ｓ１１０）へ、関心領域の境界を横断的に横切る一様流からなる場合は（Ｓ１２０）へ進む。もしΩ内部にｓａｄｄｌｅが存在する場合は、（Ｓ１３０）へ進む。
（Ｓ１０５）以下の（条件１）（条件２）のいずれを満たすかを判断する。
（条件１）基本構造が湧き出し／吸い込み点をただ１つ持つ
（条件２）基本構造が関心領域の境界を横断的に横切る一様流からなる
（条件１）を満たす場合は（Ｓ１２０）に進む。（条件２）を満たす場合は（Ｓ１１０）に進む。なお、条件１、条件２のいずれかは必ず満たされる点に注意する。
（Ｓ１１０）基本構造は退化した特異点を持たない球面上の流れとなる。このときΩ内部構造に応じて基本構造を決定する。時計回り湧き出し構造のときσφ～－＋、反時計回り湧き出し構造のときσφ～－－、回転なし湧き出し構造のときσφ～－０、時計回り吸い込み構造のときσφ～＋＋、反時計回り吸い込み構造のときσφ～＋－、回転なし吸い込み構造のときσφ～＋０。この構造が最初に決定したルートであるので、（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出した構造を子ノードとするツリー表現が得られ、アルゴリズムは終了する。
（Ｓ１２０）基本構造は無限遠点に０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面上の流れになる。このうち（Ｓ２０）でΩの境界に退化するｃｌａｓｓ－∞～±構造を持つものやｃｌａｓｓ－ａの構造をもつ軌道がｓ個（ｓ≧０）存在すれば、それらを三つ組みのＣＯＴ表現□ａ∞～±ｓに並べ、なくなるまでその構造を取り尽くす。基本構造ｓφ０をルートとし、その子ノードとして三つ組みの構造を繋げ、さらに（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出したツリー構造を繋げることで対応するツリー表現が得られる。これにより、アルゴリズムは終了する。
（Ｓ１３０）基本構造は、無限遠点にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面の流れになる。関心領域Ωの内部に存在するｓａｄｄｌｅの数ｎをカウントする。次に、ｃｌａｓｓ－∞～±やｃｌａｓｓ－ａの構造からなる三つ組み□ａ∞～±を持つ一様流を取り尽くす。基本構造ｓφｎをルートとして、その子ノードとして三つ組みの構造を繋げ、さらに（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出したツリー構造を繋げることで対応するツリー表現を得る。これにより、アルゴリズムは終了する。
図２３は工程Ｎ３の処理を示すフロー図である。（ａ）はその前半であり、（ｂ）はその後半である。先行研究にもあるように、心室内血流画像の軌道群の位相構造に対してＣＯＴ表現およびそれに付随するツリー構造を付与するアルゴリズムは以下のようにまとめられる。
（Ｓ８０）最内部にある０次元構造を抽出して、それに付随するＣＯＴ表現を割り当てる。点構造が、湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）で反時計回り回転のときσ～＋＋、時計回り回転のときσ～＋－、回転なしのときσ～＋０、点構造が吸い込み点（ｓｉｎｋ）で反時計回り回転のときσ～－＋、時計回り回転のときσ～－－、回転なしのときσ～－０、反時計回りの周期軌道を伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）のときσ＋、時計回りの周期軌道を周囲に伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）のときσ－のＣＯＴ表現（文字）を割り当てる。ＣＯＴ表現を割り当てたら、その構造を軌道構造から取り除いて□なるラベルに置き換える。
（Ｓ８５）（Ｓ８０）での処理の結果、すべての点構造がなくなったか否かを判断する。すべての点構造がなくなった場合は（Ｓ９０）に進む。点構造が残っている場合は（Ｓ８０）に戻る。
（Ｓ９０）最内部にあるｐ±、ｐ～±、ｂ±±、ｂ±干、ｂ±、ｂ～±、ａ～±、ｑ～±、ａ±、ｑ±の構造をすべて抜き出す。もしこれらの構造が見つかれば、この構造をΩから取り除いて、内部に構造が存在しないことを表す□に置き換える。この際に抜いた構造には、かつて取り除いて□に置き換えた内部軌道構造が存在しているので、その内部軌道構造を自分自身の「子ノード」として、また自分自身をその内部軌道構造を「親ノード」にするようにエッジを生成する。
（Ｓ９５）（Ｓ９０）での処理の結果、すべての最内部構造がなくなったか否かを判断する。すべての最内部構造がなくなった場合は（Ｓ１００）に進む。最内部構造が残っている場合は（Ｓ９０）に戻る。
（Ｓ１００）（Ｓ９０）の結果、Ω内部からすべての軌道構造が除かれる。このときΩ内部にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅに繋がるｓａｄｄｌｅが存在しない場合、その基本構造が湧き出し／吸い込み点をただ１つ持つなら（Ｓ１１０）へ、関心領域の境界を横断的に横切る一様流からなる場合は（Ｓ１２０）へ進む。もしΩ内部にｓａｄｄｌｅが存在する場合は、（Ｓ１３０）へ進む。
（Ｓ１０５）以下の（条件１）（条件２）のいずれを満たすかを判断する。
（条件１）基本構造が湧き出し／吸い込み点をただ１つ持つ
（条件２）基本構造が関心領域の境界を横断的に横切る一様流からなる
（条件１）を満たす場合は（Ｓ１２０）に進む。（条件２）を満たす場合は（Ｓ１１０）に進む。なお、条件１、条件２のいずれかは必ず満たされる点に注意する。
（Ｓ１１０）基本構造は退化した特異点を持たない球面上の流れとなる。このときΩ内部構造に応じて基本構造を決定する。時計回り湧き出し構造のときσφ～－＋、反時計回り湧き出し構造のときσφ～－－、回転なし湧き出し構造のときσφ～－０、時計回り吸い込み構造のときσφ～＋＋、反時計回り吸い込み構造のときσφ～＋－、回転なし吸い込み構造のときσφ～＋０。この構造が最初に決定したルートであるので、（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出した構造を子ノードとするツリー表現が得られ、アルゴリズムは終了する。
（Ｓ１２０）基本構造は無限遠点に０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面上の流れになる。このうち（Ｓ２０）でΩの境界に退化するｃｌａｓｓ－∞～±構造を持つものやｃｌａｓｓ－ａの構造をもつ軌道がｓ個（ｓ≧０）存在すれば、それらを三つ組みのＣＯＴ表現□ａ∞～±ｓに並べ、なくなるまでその構造を取り尽くす。基本構造ｓφ０をルートとし、その子ノードとして三つ組みの構造を繋げ、さらに（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出したツリー構造を繋げることで対応するツリー表現が得られる。これにより、アルゴリズムは終了する。
（Ｓ１３０）基本構造は、無限遠点にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面の流れになる。関心領域Ωの内部に存在するｓａｄｄｌｅの数ｎをカウントする。次に、ｃｌａｓｓ－∞～±やｃｌａｓｓ－ａの構造からなる三つ組み□ａ∞～±を持つ一様流を取り尽くす。基本構造ｓφｎをルートとして、その子ノードとして三つ組みの構造を繋げ、さらに（Ｓ８０）、（Ｓ９０）で抽出したツリー構造を繋げることで対応するツリー表現を得る。これにより、アルゴリズムは終了する。
【0122】
［文字列アルゴリズムと適用例］
以上説明した分類理論とＣＯＴ表現の割り当てに基づいて、与えられた心室内血流画像データの軌道群の位相構造に対してＣＯＴ表現と、それに付随するツリー構造を割り当てるアルゴリズムとを構成する。理論はｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅをもつ球面の上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔ ｔｙｐｅの分類理論として与えられているが、現実にＣＯＴ表現を割り当てる時は有界な関心領域Ωの画像に対して、このアルゴリズムを適用する方が便利である。基本的な方針としては、まず与えられた心室内血流画像の軌道群データから関心領域Ωにおけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する。次にそこから「最内部構造」と呼ばれる小さな構造から文字列を割り当てて、それを含むより大きな構造を帰納的に抽出していく。先行研究と比べると、抽出する構造は境界がないと仮定している分、考慮すべき構造の種類は少ないが、基本的な方針は全く同じである。一方、この方法を適用した結果、関心領域の境界∂Ωに横断的に交わる軌道構造は抽出されずに残ることに注意する。そこで、次にこれらの軌道構造を抜き出してＣＯＴ表現を割り当てる。最終的にはルートに到達するので、これで文字列化およびツリー構造などの離散組み合わせ構造の抽出が終了する。
以上説明した分類理論とＣＯＴ表現の割り当てに基づいて、与えられた心室内血流画像データの軌道群の位相構造に対してＣＯＴ表現と、それに付随するツリー構造を割り当てるアルゴリズムとを構成する。理論はｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅをもつ球面の上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔ ｔｙｐｅの分類理論として与えられているが、現実にＣＯＴ表現を割り当てる時は有界な関心領域Ωの画像に対して、このアルゴリズムを適用する方が便利である。基本的な方針としては、まず与えられた心室内血流画像の軌道群データから関心領域Ωにおけるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成する。次にそこから「最内部構造」と呼ばれる小さな構造から文字列を割り当てて、それを含むより大きな構造を帰納的に抽出していく。先行研究と比べると、抽出する構造は境界がないと仮定している分、考慮すべき構造の種類は少ないが、基本的な方針は全く同じである。一方、この方法を適用した結果、関心領域の境界∂Ωに横断的に交わる軌道構造は抽出されずに残ることに注意する。そこで、次にこれらの軌道構造を抜き出してＣＯＴ表現を割り当てる。最終的にはルートに到達するので、これで文字列化およびツリー構造などの離散組み合わせ構造の抽出が終了する。
【0123】
ここで図２５を用いて、心室内血流画像データに対する位相的前処理（ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ）を説明する。例えば図２５（ａ）のような超音波ＶＦＭでの左室内血流画像データ（流れパターン）を考える。この流れからｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成することを考える。まず、関心領域の左側に時計回りの吸い込み流れ構造があり、上部にはサドル領域が見いだされる。他には特徴的な構造は存在しない。この情報だけからｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを抽出しようとすると、図２５（ｂ）のような特徴的軌道構造が位相的データ構造として得られる。しかし、図中点線で書かれた一様流の向きと、湧き出し構造が作る流れの構造の向きとが正反対になっているため、この流れ場は位相的に矛盾する。このような状況を解消するために、関心領域の外部に何らかの構造を仮定して位相的に整合させる必要があるが、そのような方法には任意性がある。そこで補正をする場合のこの恣意性を取り除くために「ｓａｄｄｌｅを１点加えて、そのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを整合的につなぐ操作」のみを許すものとする。このケースではｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅを１つ追加して、湧き出し構造からｓａｄｄｌｅへ伸びるｓｓ－ｓｅｐａｒａｔｒｉｘとｓａｄｄｌｅから境界へ横断的に交差するｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘを３本追加することで、図２５（ｃ）のような点線の一様流の向きと矛盾しない流れ構造が構成できる。実際、図２５（ａ）の下部には、ｓａｄｄｌｅのような流れの構造が見いだされる。
【0124】
このような外部にサドル点を追加することで位相的な矛盾を解消する操作を、心室内血流画像データに対する位相的前処理（ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｎｇ）と呼ぶ。この前処理を行うかどうかの判断は、先の例では点線で示されたような流れ場によって囲まれる領域内部に注目して行えばよい。
【0125】
［ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍからＣＯＴ表現への変換］
まず位相的前処理が行われて構成されるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから「最内部構造」を抽出する。ここで、最内部構造とはその内部に構造を持たないような流れ構造を指す。本心室内血流画像の軌道群データでは、関心領域内部には物理境界が存在しないと仮定しているので、最内部の構造として存在しうるのは０次元の特異点構造、すなわち渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）か吸い込み（ｓｉｎｋ）／湧き出し（ｓｏｕｒｃｅ）のいずれかである。これに基づいて以下のようにアルゴリズムを構成する。
まず位相的前処理が行われて構成されるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから「最内部構造」を抽出する。ここで、最内部構造とはその内部に構造を持たないような流れ構造を指す。本心室内血流画像の軌道群データでは、関心領域内部には物理境界が存在しないと仮定しているので、最内部の構造として存在しうるのは０次元の特異点構造、すなわち渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）か吸い込み（ｓｉｎｋ）／湧き出し（ｓｏｕｒｃｅ）のいずれかである。これに基づいて以下のようにアルゴリズムを構成する。
【0126】
（ステップ１）関心領域Ω内のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから最内部にある０次元特異点構造を探す。その点構造が湧き出し点（ｓｏｕｒｃｅ）で反時計回り回転のときσ～＋＋、時計回り回転のときσ～＋－、回転なしのときσ～＋０、点構造が吸い込み点（ｓｉｎｋ）で反時計回り回転のときσ～－＋、時計回り回転のときσ～－－、回転なしのときσ～－０、反時計回りの周期軌道を伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）であればσ＋、時計回りの周期軌道を周囲に伴う渦心点（ｃｅｎｔｅｒ）であればσ－のＣＯＴ表現を割り当てる。ＣＯＴ表現を割り当てたら、その構造を軌道構造からとりのぞいて□なるラベルに置き換える。このようにラベルを置き換えることによって、内部に構造を「もたない」ことを表現することにし、その抜き出した構造を内部に含む上位の構造を最内部の構造へと変換することができる。この操作をすべての０次元構造がなくなるまで続ける。
【0127】
（ステップ２）次に関心領域Ω内のｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍから最内部（つまり内部に構造をもたず□とラベル付けされている）１次元構造と２次元構造を探す。これらはＣＯＴ表現で、ｐ±、ｐ～±、ｂ±±、ｂ±干、ｂ±、ｂ～±、ａ～±、ｑ～±、ａ±、ｑ±で与えられる構造のいずれかである。もしこれらの構造が見つかれば、この構造をΩから取り除いて、内部に構造が存在しないことを表す□に置き換える。この際に抜いた構造には、かつて取り除いて□に置き換えた内部軌道構造が存在しているので、その内部軌道構造を自分自身の「子ノード」としてまた自分自身をその内部軌道構造を「親ノード」にするようにエッジを生成する。この操作をすべての最内部の構造がなくなるまで帰納的に続ける。
【0128】
（ステップ３）（ステップ２）の結果Ω内部からすべての軌道構造が除かれるが、もしΩ内部にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄｓｓ－ｓａｄｄｌｅに繋がるｓａｄｄｌｅが存在しない場合、その基本構造は湧き出し／吸い込み点をただ１つ持つσφ～±±か、関心領域の境界を横断的に横切る一様流からなる基本領域ｓφ０となる。前者の場合は（ステップ４）へ、後者の場合は（ステップ５）へ進む。Ω内部にｓａｄｄｌｅが存在する場合は、ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ（ｎ≧１）を持つ基本構造となるのでステップ６へ進む。
【0129】
（ステップ４）基本構造は退化した特異点を持たない球面上の流れとなる。このときΩ内部に湧き出し構造があるとき、無限遠点では吸い込みになっている。また回転方向は内部の構造の回転方向と反対になるとして、そのＣＯＴ表現は、σφ～－－（□ｂφ～＋）（内部構造が反時計回り軌道）、σφ～－＋（□ｂφ～＋）（内部構造が時計回り軌道）、σφ～－０（□ｂφ～＋）（内部構造が回転なし軌道）となる。逆にΩ内部が吸い込み構造になっているときは、無限遠点では湧き出しになっている。回転方向も同様に定めて、そのＣＯＴ表現は、σφ～＋－（□ｂφ～－）（内部構造が反時計回り軌道）、σφ～＋＋（□ｂφ～－）（内部構造が時計回り軌道）、σφ～＋０（□ｂφ～－）（内部構造が回転なし軌道）となる。ただし、□ｂφ～±には（ステップ２）で抽出したすべての構造のＣＯＴ表現が入り、この構造をルートとし、（ステップ２）で抽出した構造を子ノードとするツリー表現が得られ、アルゴリズムは終了する。
【0130】
（ステップ５）基本構造は無限遠点に０－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面上の流れになる。Ω内部は境界∂Ωを横断的に横切る一様流の構造になっている。この中でステップ２で境界に退化するｃｌａｓｓ－∞～±構造を持つものや、ｃｌａｓｓ－ａの構造をもつ軌道がｓ個（ｓ≧０）存在すれば、それらを三つ組みのＣＯＴ表現□ａ∞～±ｓに並べて、上から順にｓφ０の下に図１５（ｂ）のように並べればＣＯＴ表現を得る。また、この構造をルートとし、その子ノードとして三つ組みの構造を繋げることで対応するツリー表現が得られ、アルゴリズムは終了する。
【0131】
（ステップ６）基本構造は無限遠点にｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面の流れになる。ｎはΩの中に存在するｓａｄｄｌｅの数である。このとき、これらｎ個のｓａｄｄｌｅと∂Ωに横断的に交わる４ｎ個のｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって分割される３ｎ＋１個の領域ができ、この中にそれぞれｃｌａｓｓ－∞～±やｃｌａｓｓ－ａの構造からなる三つ組み□ａ∞～±を持つ一様流が存在するので、これをルール通りに図１５（ｃ）（ｄ）のように並べていけばＣＯＴ表現を得る。また、この構造をルートとし、その子構造としてこれらの三つ組みを繋げることで、対応するツリー表現も得られ、アルゴリズムは終了する。
【0132】
以上のアルゴリズムを用いて、与えられた流れ構造にＣＯＴ表現と付随するツリー構造は、流れと一対一には対応せず、多対一対応である。これは先行研究で議論されたのと同じ理由である。これを一対一対応にするためには、ＣＯＴ表現に加えて、流れのｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎやｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎの接続状況を表すリンク構造を与えればよい。証明はＣＯＴ表現の与え方およびリンク構造の与え方から先行研究と全く同じであるが、結果として以下の定理が成立する。
【0133】
（定理２）退化特異点ｎ－ｂｕｎｄｌｅｄ ｓｓ－ｓａｄｄｌｅを持つ球面上のｆｌｏｗ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｔｙｐｅの流れは、そこから構成されるＣＯＴ表現とリンク構造と一対一に対応する。
【0134】
このＣＯＴ表現の与え方を図２６の例を用いて説明する。図２６（ａ）は、超音波ＶＦＭで可視化した心内血流の軌道群データである。これは左室収縮期に心尖部近傍の両側の乳頭筋が収縮をはじめ、ｓａｄｄｌｅの位置で血流の力学的な均衡がなされ、左室心基部の渦流からスムーズな駆出血流が出るための代表的な左室収縮早期の血流パターンであり、以下、重要となるので、このパターンを特に「パターンＡ」と呼ぶことにする。
【0135】
図２６（ｂ）は、前述の位相的前処理を行って図２６（ａ）から抽出したｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ（位相的データ構造）である。ここから上で説明したアルゴリズムを使ってＣＯＴ表現を与える。まず（ステップ１）により、関心領域Ωの最内部の特異点を検出する。左下に時計回りの吸い込み点が１つあるので、これにσ～－－のＣＯＴ表現を割り当て、その構造を抜いたことを示す□に入れ替えると図２６（ｃ）のような構造になる。この時点でステップ２で抜き取らねばならないΩ内部の構造は存在しないので、次に無限遠点に縮退するｃｌａｓｓ－ａ∞～±の構造を探すと、吸い込み構造□と境界下部にある∞～－とを結ぶｓｌｉｄａｂｌｅ ｓａｄｄｌｅが存在するので、これに対応するＣＯＴ表現を割り当て、これを境界に縮退させ□∞～－に置き換える。このとき、この構造の□には（ステップ１）で抽出した湧き出し点が「子」構造として入っているので、□∞～－：＝ａ～－｛σ～－－，∞～－｝となっていることに注意する。これらの軌道構造をすべて抜ききると、図２６（ｄ）のように関心領域にはｓｅｐａｒａｔｒｉｘがすべて境界∂Ωに横断的に交わるｓａｄｄｌｅが１つだけ残ることになる。従ってこの流れの基本構造はｓφ１となることが分かる。これにＣＯＴ表現を割り当てるためにｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘに∞１
～＋，∞２
～－，∞３
～＋，∞４
～－と番号をつけておく。このとき∞１
～＋と∞２
～－のｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって分割されている領域にのみ無限遠点に縮退したｃｌａｓｓ－ａ∞～±構造が１つあるので、これに対応する三つ組み
［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］を作って、基本領域ｓφ１の構造に埋め込むと、この流れのＣＯＴ表現は以下で与えられる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］を作って、基本領域ｓφ１の構造に埋め込むと、この流れのＣＯＴ表現は以下で与えられる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
【0136】
同様の手順を用いて、他のパターンについてもＣＯＴ表現を割り当てる。図２７（ａ）は、僧帽弁流入血流がピークに達し、流れの剥離によって前後尖の裏にｖｏｒｔｅｘ ｒｉｎｇが形成されたものが心尖部長軸断面で左右反対周りの双子状の渦流が発生する典型的な左室拡張期血流軌道パターンであり、これを「パターンＢ」と呼ぶ。図２７（ｂ）は、左室拡張末期に大きな心内渦流を形成し、来るべき収縮期に向けて滑らかな血流を準備しているかのような渦流が発生する時相の典型的な渦流であり、これを「パターンＣ」と呼ぶ。図２７（ｃ）は、左室拡張後期にしばしばみられる典型的な断面内２次元流れの破綻のパターンであり、これを「パターンＤ」と呼ぶ。まず図２７（ａ）のパターンＢは、関心領域において一様流が下から上に流れているような状況である。その結果として左右に回転流が生成される。流れ場の様子からこれは「湧き出し点」になっていることが分かる。これを模式的にｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとすると右のようになる。これに対してまず、左側に反時計回りの湧き出し点（ＣＯＴ表現σ～＋＋）と右側の時計回りの湧き出し点（ＣＯＴ表現σ～＋－）があり、それら２つを取り出して□に置き換え、さらにｃｌａｓｓ－∞～±の２つの構造（ＣＯＴ表現はａ～＋｛□，∞～＋｝）を無限遠点に縮退させて□∞～＋とすることで、２つのｃｌａｓｓ－ａ∞～±の一様流をともなう基本構造がｓφ０の流れに帰着する。従って、この流れのＣＯＴ表現は以下で与えられる。
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］・［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］・［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
【0137】
次に、図２７（ｂ）のパターンＣでは、関心領域の右側に大きな湧き出しの渦構造が存在し、左上の方に小さなｓａｄｄｌｅ領域が存在しているので、これを模式的にｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍとして書き、そこから時計回りの湧き出し点σ～＋－を１つ抜きだす。さらにｃｌａｓｓ－∞～＋の構造ａ～＋｛□，∞～＋｝を境界に縮退させれば、関心領域内にｓａｄｄｌｅは１つしか残らないので、基本構造はｓφ１となる。このｓａｄｄｌｅから境界に伸びるｓｅｐａｒａｔｒｉｘに∞１
～＋～∞４
～－の番号をつけておいて，順次それらのｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって分割される構造の内部構造を並べることで、ＣＯＴ表現が以下のようになることが分かる。
ｓφ１｛［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～，λ～，λ～｝
ｓφ１｛［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～，λ～，λ～｝
【0138】
最後に図２７（ｃ）のパターンＤには、真ん中に大きな渦構造が見え、それを挟むように左上と右下にｓａｄｄｌｅが存在する。この渦構造の内部は白く抜けているため、ここに何らかの内部構造が入っている可能性も否定できないが、ここでは単に湧き出し点がその中央に存在すると仮定し、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを書いておく。まず、この時計回りの湧き出し点（σ～＋－）を抜き出して□に置き換えると、この湧き出し構造と上下のサドルを結ぶ２つのｓｓ－ｃｏｍｐｏｎｅｎｔが存在することが分かる。原理的にはこのｓａｄｄｌｅのうち１つとこの湧き出し構造、および無限遠点の湧き出し構造∞～＋を１つのｃｌａｓｓ－∞～＋構造とみて無限遠点に縮退させることとなるが、このケースでは境界上側の湧き出しに縮退させるか、下側の湧き出しに縮退させるかの任意性が生じることになる。このような場合は、上にある方へ常に縮退させると決めて、実際に境界に縮退させれば、関心領域内に残るｓａｄｄｌｅは１つとなって基本構造はｓφ１であり、あとはこの縮退した構造から出る２つのｃｌａｓｓ－ａ∞～±の軌道に対応する三つ組みをつくり、ｓａｄｄｌｅに繋がるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘと境界と交わる点に番号∞１
～＋～∞４
～－をつけて順次並べれば次のＣＯＴ表現を得る。
ｓφ１｛λ～，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～｝
ｓφ１｛λ～，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～｝
【0139】
［健常者の心血流エコーデータへの適用］
以下、上述の技術を健常者の心血流エコーデータに適用した例を説明する。具体的には、計測時間の間隔を短くして精度よく取得した一拍動間の健常者の心室内血流画像データに対して、位相的前処理を施してえられたｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにＣＯＴ表現を割り当てる。これにより、心臓の拍動に表れる特徴的な流れパターンとして、前述のパターンＡ～Ｄが表れることが示される。さらに、その心臓機能との関連、今後の心室内血流画像データの文字列表現においてどの時相に注目すればよいのかなどといった、当該心血流の状態の特徴について基礎医学的考察を加える。
以下、上述の技術を健常者の心血流エコーデータに適用した例を説明する。具体的には、計測時間の間隔を短くして精度よく取得した一拍動間の健常者の心室内血流画像データに対して、位相的前処理を施してえられたｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにＣＯＴ表現を割り当てる。これにより、心臓の拍動に表れる特徴的な流れパターンとして、前述のパターンＡ～Ｄが表れることが示される。さらに、その心臓機能との関連、今後の心室内血流画像データの文字列表現においてどの時相に注目すればよいのかなどといった、当該心血流の状態の特徴について基礎医学的考察を加える。
【0140】
ここでは、一心拍動の間に測定された心室内血流画像の軌道群データ（具体的には、０～４４フレームからなる画像データ）を利用する。これらのフレームに位相的前処理を行うことで、フレームごとにｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを構成することができる。
【0141】
これらのフレームを観測すると、以下のように、心臓内に早い血流速度を伴う特徴的な軌道の位相構造が見られる時相が４つ存在することが分かる。
・左室収縮中期（Ｍｉｄ－Ｓｙｓｔｏｌｉｃ）：関心領域の右下から血流が外へ強く流れ出ている。一心拍間において血流が拍出している時相の軌道構造を表している。
・左室拡張流入時（Ｒａｐｉｄ ｆｌｌｉｎｇ ｄｉａｓｔｏｌｉｃ）：関心領域の真ん中あたりから強い血流が流入している。一心拍間において血流が流入している時相の軌道構造を表している。
・拡張後期：関心領域への血流の流入出が止まり、流入時に生じた左渦が散逸して、大きな右渦構造が持続する時相の軌道構造を表している。
・拡張末期：前時相で持続した右渦構造がその慣性により真ん中に移動していく時相の軌道構造を表している。
以下、各時相の軌道群に対してｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを示し、それに対してＣＯＴ表現を与えて流れの位相構造の記述を行う。
・左室収縮中期（Ｍｉｄ－Ｓｙｓｔｏｌｉｃ）：関心領域の右下から血流が外へ強く流れ出ている。一心拍間において血流が拍出している時相の軌道構造を表している。
・左室拡張流入時（Ｒａｐｉｄ ｆｌｌｉｎｇ ｄｉａｓｔｏｌｉｃ）：関心領域の真ん中あたりから強い血流が流入している。一心拍間において血流が流入している時相の軌道構造を表している。
・拡張後期：関心領域への血流の流入出が止まり、流入時に生じた左渦が散逸して、大きな右渦構造が持続する時相の軌道構造を表している。
・拡張末期：前時相で持続した右渦構造がその慣性により真ん中に移動していく時相の軌道構造を表している。
以下、各時相の軌道群に対してｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを示し、それに対してＣＯＴ表現を与えて流れの位相構造の記述を行う。
【0142】
（左室収縮期）
左室収縮期では、軌道の形は変化するものの位相構造は変化しない。関心領域に右下から強く境界外部へ出ていく血流が観測される。その結果、無限遠点に繋がるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘをもつｓａｄｄｌｅが１つ関心領域の上部に観察され、関心領域の左側には大きな時計回りの吸い込み回転流構造が一つ存在している。これらの位相的前処理の結果、この構造に付随するｓａｄｄｌｅが１つ追加されており、これは図２６で示されたパターンＡの構造となっている。この時相におけるＣＯＴ表現は以下で与えられる。
ｓφ１｛λ～，λ～，λ～，［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］｝
左室収縮期では、軌道の形は変化するものの位相構造は変化しない。関心領域に右下から強く境界外部へ出ていく血流が観測される。その結果、無限遠点に繋がるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘをもつｓａｄｄｌｅが１つ関心領域の上部に観察され、関心領域の左側には大きな時計回りの吸い込み回転流構造が一つ存在している。これらの位相的前処理の結果、この構造に付随するｓａｄｄｌｅが１つ追加されており、これは図２６で示されたパターンＡの構造となっている。この時相におけるＣＯＴ表現は以下で与えられる。
ｓφ１｛λ～，λ～，λ～，［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］｝
【0143】
このＣＯＴ表現は、前述のパターンＡに与えたものと違うように見えるが、基本構造ｓφ１ではｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｒａｔｒｉｘの選び方にｃｙｃｌｉｃな任意性があるので同じ表現である。この流れにおいて、時計回りの吸い込み回転構造の影響領域の内部で、流れは構造の中央に吸い込まれていることが分かる。この領域は渦度の負領域と完全に重なるわけではないが、位相的に回転流れ構造の抽出を行ったものになっている。以下、こうした構造を「位相的渦構造」と呼ぶ。このような構造の存在は、ＣＯＴ表現における三つ組み［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］によって回転方向も含めて表現されている。
【0144】
（左室拡張流入時）
前時相で流出がとまると大動脈弁が閉鎖されるが僧帽弁はまだ解放されない等容拡張期の血圧緩和過程に入り、左室内部の流れの構造は複雑になる。その後僧帽弁が解放され、左室拡張流入時相に入ると、今度は強い流れが関心領域内部に入り込むため、流れの構造がはっきりしたものとなる。まず、流出時相で見られた上部のｓａｄｄｌｅは消えてしまうため、基本構造がｓφ０へと変化する。流入時相に入った直後は、流れに伴って関心領域の左側に大きな反時計回りの湧き出し位相的渦構造が形成される。このときのＣＯＴ表現は以下のようになる。
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
前時相で流出がとまると大動脈弁が閉鎖されるが僧帽弁はまだ解放されない等容拡張期の血圧緩和過程に入り、左室内部の流れの構造は複雑になる。その後僧帽弁が解放され、左室拡張流入時相に入ると、今度は強い流れが関心領域内部に入り込むため、流れの構造がはっきりしたものとなる。まず、流出時相で見られた上部のｓａｄｄｌｅは消えてしまうため、基本構造がｓφ０へと変化する。流入時相に入った直後は、流れに伴って関心領域の左側に大きな反時計回りの湧き出し位相的渦構造が形成される。このときのＣＯＴ表現は以下のようになる。
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
【0145】
この後も強い流入が継続し、右側にもう１つ新しい時計回りの湧き出し位相的渦構造が形成され、特徴的な「双子渦」様の構造となる。これは図２７（ａ）で示したパターンＢであり、そのＣＯＴ表現は以下で与えられた。
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］・［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
ｓφ０（［ａ～＋｛σ～＋＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］・［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］）
【0146】
このように湧き出し渦構造が増えるごとに三つ組みが増えていくことが表され、それぞれの三つ組みが位相的渦構造の抽出を行っている。
【0147】
（拡張後期）
心血流の流入が止まると、左側の渦構造は散逸して消えてしまうが、右側の湧き出し時計回り位相的渦構造は大きいまま持続的に存在する。この結果、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを持つパターンＣの流れへと遷移する。そのＣＯＴ表現は既に与えたように以下のようなものになる。
ｓφ１｛［ａ～＋｛σ～＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～，λ～，λ～｝
心血流の流入が止まると、左側の渦構造は散逸して消えてしまうが、右側の湧き出し時計回り位相的渦構造は大きいまま持続的に存在する。この結果、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを持つパターンＣの流れへと遷移する。そのＣＯＴ表現は既に与えたように以下のようなものになる。
ｓφ１｛［ａ～＋｛σ～＋，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～，λ～，λ～｝
【0148】
この三つ組みで表現される湧き出し時計回り位相的渦構造は、この時相で大きさを保ったまま少しずつ上に移動を開始する。
【0149】
（拡張末期）
前の時相で右側に見られた大きな湧き出し時計回り位相的渦構造は、渦の粘性散逸により次第にその大きさを小さくしながら、その慣性により関心領域の中央に移動する。その結果、前の時相で見られたｓａｄｄｌｅに繋がる外向きｓｓ－ｓａｄｄｌｅと渦構造領域の境界にあるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの距離が小さくなる。それがある時点で一致して位相的な構造に遷移が生じ、吸い込み時計回り渦構造が２つのｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれるパターンＤへと変化する。この位相的渦領域は関心領域中央に灰色で塗られた領域である。このＣＯＴ表現は、既に与えられたように以下のようになる。
ｓφ１｛λ～，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～｝
前の時相で右側に見られた大きな湧き出し時計回り位相的渦構造は、渦の粘性散逸により次第にその大きさを小さくしながら、その慣性により関心領域の中央に移動する。その結果、前の時相で見られたｓａｄｄｌｅに繋がる外向きｓｓ－ｓａｄｄｌｅと渦構造領域の境界にあるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘの距離が小さくなる。それがある時点で一致して位相的な構造に遷移が生じ、吸い込み時計回り渦構造が２つのｓａｄｄｌｅのｓｅｐａｒａｔｒｉｘで囲まれるパターンＤへと変化する。この位相的渦領域は関心領域中央に灰色で塗られた領域である。このＣＯＴ表現は、既に与えられたように以下のようになる。
ｓφ１｛λ～，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，［ａ～＋｛σ～＋－，∞～＋｝，λ～，∞～－］，λ～｝
【0150】
基本構造が変わっても、そこに表現されている三つ組みの構造や、その並びには変化がないことに注意する。
【0151】
［心不全データとの比較］
次に、健常例と心不全例の心内の渦流パターンがどのように異なるのかに関し、実際にＣＯＴ表現を与えて差異を検討する。ここで、様々な疾患での全時相の渦流のパターンの変化を記載するにはあまりに解析が膨大になるため、心不全例の中でも代表的な疾患である拡張型心筋症の重度心不全例のサンプルをもとに解析を行う。心不全では、左心室から拍出される血液量が全身臓器の酸素需要を満たさないことが病態の本質となる。そのため本検討では、まずは左心室が血液を駆出する収縮期に着目し、上述のパターンＡが明確に出現しやすい収縮早期から収縮中期にかけての拡張型心筋症で重度心不全を来した症例において、健常と比べどのようにＣＯＴ表現が異なるかを検討することとする。これら拡張型心筋症の症例は、重度の左室璧運動低下、左室駆出率の低下を認め、重症心不全のために左心補助装置の装着を余儀なくされた症例である。
次に、健常例と心不全例の心内の渦流パターンがどのように異なるのかに関し、実際にＣＯＴ表現を与えて差異を検討する。ここで、様々な疾患での全時相の渦流のパターンの変化を記載するにはあまりに解析が膨大になるため、心不全例の中でも代表的な疾患である拡張型心筋症の重度心不全例のサンプルをもとに解析を行う。心不全では、左心室から拍出される血液量が全身臓器の酸素需要を満たさないことが病態の本質となる。そのため本検討では、まずは左心室が血液を駆出する収縮期に着目し、上述のパターンＡが明確に出現しやすい収縮早期から収縮中期にかけての拡張型心筋症で重度心不全を来した症例において、健常と比べどのようにＣＯＴ表現が異なるかを検討することとする。これら拡張型心筋症の症例は、重度の左室璧運動低下、左室駆出率の低下を認め、重症心不全のために左心補助装置の装着を余儀なくされた症例である。
【0152】
図２８は超音波ＶＦＭ（ｖｅｃｔｏｒ ｆｌｏｗ ｍａｐｐｉｎｇ）で解析した収縮早期と中期の間の時相、すなわち大動脈弁が解放され始めた時相の左室心内血流を流線で可視化したものである。（ａ）は健常者、（ｂ）は心不全患者１、（ｃ）は心不全患者２の例を示す。上段の図は、超音波画像に血流速度ベクトルを重ね合わせたものである。中段の図は、上段の画像から流線のみを抽出し、それらの特異点を明示したものであり、関心領域内の軌道群データを示す。特異点は数値的にその位置を求める。なお、心筋壁境界である退化特異点は図示していない。下段の図は、中段の軌道群データから抜き出した流線構造と、これらにｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍを与えたものである。
【0153】
まず健常例では、前述のように、以下のパターンＡに相当するＣＯＴ表現が得られる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
【0154】
このパターンでは、心基部後壁側に渦流が存在する。ここからスムーズに大動脈弁側に向かって血流が駆出できる配置になっており、合理的な流れであると考えられる。三つ組み［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］によって表現された渦領域は、ｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍにおいて灰色の領域として特徴付けられており、心基部後壁側に形成された時計回り吸い込みの渦領域の広がりを明示することに成功している。
【0155】
次に「心不全例１」では、収縮期の同一時相における流線を見ると明らかにパターンが異なり、パターンＡが崩れていることが分かる。実際、この症例のこの時相のＣＯＴ表現は以下のようになる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，［∞～＋，ａ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～）），∞～－］，λ～｝
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，［∞～＋，ａ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～）），∞～－］，λ～｝
【0156】
この場合、ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘによって分割された領域の心尖部側にａ～－｛σ～－－，∞～－｝の渦構造が出現し、ほとんど有効に渦が駆出に使われないであろうことが想定される。さらに側壁側の渦のないλ～の領域を介し、心基部側にはｂ～＋の２連構造の渦が出現している。このため、全体として渦からスムーズに大動脈側に血流が駆出されるどころか、渦が壊れにくく心内に血液が残存する可能性が高いことが示唆される。ＣＯＴ表現により、心基部側にできた２連渦構造領域が現れている。それらの三つ組みは、下側渦構造が［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］、上側渦構造が［∞～＋，ａ－（ｂ～＋（σ～＋－，λ～）），∞～－］として表現されている。パターンの違いが明確にＣＯＴ表現の違いとして現れるのはもちろんだが、本来は下側渦構造が健常例における渦構造に対応するものの、心機能の不全のため十分に構造が形成されていない。その結果、上側の小さな渦構造を閉じ込めた渦領域が形成され、それぞれに対応する渦流領域の面積も非常に小さくなっている。また、これらの三つ組みを分離している基本構造ｓφ１に対応する無限遠点につながるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｒｉｘのｓａｄｄｌｅ位置も左下側に移動しており、健常例との顕著な流れ構造の違いを明確にしている。
【0157】
次に「心不全例２」でも、収縮期の同一時相における流線を見ると明らかにパターンが異なり、パターンＡが崩れていることが分かる。この症例のこの時相のＣＯＴ表現は以下のようになる。
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］・［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
ｓφ１｛［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］・［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］，λ～，λ～，λ～｝
【0158】
この渦では、パターンＡで見られた心基部のａ～－｛σ～－－，∞～－｝の構造の渦が２連の構造を呈し、大動脈弁からやや離れた心室中部側に大きな渦流が発生している。このため、あまり有効に血液駆出に渦が使われていないことが分かる。この心不全例では、基本構造ｓφ１を決定する無限遠点につながるｓｓ－ｓａｄｄｌｅ ｓｅｐａｒａｔｉｘの位置は健常例に近いが、心基部の渦領域の形成が不全であるために、同じ三つ組み［∞～＋，λ～，ａ～－｛σ～－－，∞～－｝］が繋がる時計回り吸い込みの２連の渦流構造のＣＯＴ表現が観察される。すなわち、これは本来１つで形成されるべきパターンＡの渦流構造が２つに分離している。その結果、それぞれに対応する渦流れ領域も小さいものとなっている。
【0159】
流線の形態学的特徴が異なることは、画像だけからも明らかである。しかしながら本実施の形態によれば、この違いは単なる画像上の違いという曖昧な指標ではなく、流線位相構造が表現する渦構造の違いとしてＣＯＴ表現に明確に違う形で現れる。これは、流れ状態の物理的情報を保持した識別子として機能する。それのみならず、これを解析することによって、当該ＣＯＴ表現が表すベクトル場としての圧縮領域と非圧縮領域の分離、その存在領域という定量情報も同時に抽出できる。この点において、心機能を考える上での定性・定量情報を同時に表現できることが重要である。
【符号の説明】
【0160】
１・・語表現装置、 ２・・語表現装置、 １０・・記憶部、 ２１・・ルート決定手段、 ２２・・木表現構成手段、 ２３・・ＣＯＴ表現生成手段、 ２４・・組合せ構造抽出手段、 Ｓ１・・ルートを決定するステップ、 Ｓ２・・木表現を構成するステップ、 Ｓ３・・ＣＯＴ表現を生成するステップ
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図17】
【図18】
【図19】
【図20】
【図21】
【図22】
【図23(a)】
【図23(b)】
【図24】
【図25】
【図26】
【図27】
【図28】
