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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-04-30
(45)【発行日】2024-05-10
(54)【発明の名称】情報処理装置
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20240501BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
【請求項の数】
10
(21)【出願番号】P 2022556762
(86)(22)【出願日】2020-10-14
(86)【国際出願番号】 JP2020038818
(87)【国際公開番号】W WO2022079842
(87)【国際公開日】2022-04-21
【審査請求日】2023-04-11
【国等の委託研究の成果に係る記載事項】（出願人による申告）令和２年度、国立研究開発法人科学技術振興機構、個人型研究（ＡＣＴ－Ｉ）「部分的フィードバックに基づくオンライン凸最適化」に関する委託研究、 産業技術力強化法第１７条の適用を受ける特許出願
(73)【特許権者】
【識別番号】000004237
【氏名又は名称】日本電気株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】110000338
【氏名又は名称】弁理士法人 ＨＡＲＡＫＥＮＺＯ ＷＯＲＬＤ ＰＡＴＥＮＴ ＆ ＴＲＡＤＥＭＡＲＫ
(72)【発明者】
【氏名】伊藤 伸志
(72)【発明者】
【氏名】松岡 達也
(72)【発明者】
【氏名】大坂 直人
【審査官】山田 辰美
(56)【参考文献】
【文献】HAZAN, Elad, et al.，Online Submodular Minimization，Journal of Machine Learning Research，Vol.13，2012年10月，Pages 2903-2922，https://www.jmlr.org/papers/volume13/ha zan12a/hazan12a.pdf
【文献】ITO, Shinji，Submodular Function Minimization with Noisy Evaluation Oracle，Proceedings of Neural Information Processing Systems 2019 (NIPS 2019)，2019年，p.1－p.11，https://papers.nips.cc/paper/9378-submodular-function-minimizationwith- noisy-evaluation-oracle.pdf
【文献】JEGELKA, Stefanie Sabrina，COMBINATORIAL PROBLEMS WITH SUBMODULAR COUPLING IN MACHINE LEARNING AND COMPUTER VISION，ETH ZURICH，2012年，Chapter 8, p.162－p.179，https://www.research-collection.ethz.ch/bitstream/handle/ 20.500.11850/72760/eth-5796-02.pdf
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｎ ９９／００
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
ここで、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）は、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）＝｜Ｘｔ ＊∪Ｘｔ＋１ ＊｜－｜Ｘｔ ＊∩Ｘｔ＋１ ＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【請求項2】
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ａ）式により与えられる、
ことを特徴とする請求項１に記載の情報処理装置。
【数1】
【請求項3】
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを選択した後、（１）選択した部分集合Ｘｔに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘｔ）を参照することが可能であり、且つ、（２）選択した部分集合以外の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが不可能であり、前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｂ）式により与えられる、
ことを特徴とする請求項１に記載の情報処理装置。
【数2】
ここで、γは、０以上１以下の予め定められた定数である。
【請求項4】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄはｌｏｇＴ＋４を超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘｔの第ｉ成分として、ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出する劣勾配導出ステップと、
下記（ａ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ａ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【数3】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数4】
ここで、ηは、ｄ及びＴに応じて定まる定数である。
【請求項5】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定する目的関数設定手段と、部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄは４ｌｏｇＴを超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘ ｔ の第ｉ成分として、（１）ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出するか、又は、（２）ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす集合［ｎ］上の置換σおよびランダムに選択されたｓｔ∈｛０，１，…，ｎ｝を用いて部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する部分集合導出ステップであって、部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率が１－γであり、部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率がγである部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（＾ｇはｇ上に∧を乗せた記号）を導出する不偏推定量導出ステップと、
下記（ｂ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ｂ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【数5】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数6】
ここで、ηは、ｎ、ｄ、及びＴに応じて定まる定数である。
【請求項6】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ ＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
ここで、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）は、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）＝｜Ｘｔ ＊∪Ｘｔ＋１ ＊｜－｜Ｘｔ ＊∩Ｘｔ＋１ ＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【請求項7】
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、前記関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｃ）式により与えられる、
ことを特徴とする請求項６に記載の情報処理装置。
【数7】
【請求項8】
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、前記関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｄ）式により与えられる、
ことを特徴とする請求項６に記載の情報処理装置。
【数8】
【請求項9】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）から引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する部分集合導出ステップと、
ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ），…，ｌｔｎ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【請求項10】
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
（１）Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定し、（２）ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）を用いて、ｑｔ （ｓ）をｑｔ （ｓ）＝（１＋２ｐｔ１ （ｓ））／４に設定し、（３ａ）確率ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定するか、又は、（３ｂ）確率１－ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する部分集合導出ステップと、
αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ ｔｓ ＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝（１－ｑｔ （ｓ））αｔｓ及びｌｔ２ （ｓ）＝ｑｔ （ｓ）βｔｓに従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、オンライン劣モジュラ最適化問題を解く情報処理装置に関する。
【背景技術】
【0002】
ウェブ広告に関してユーザに提示する広告を決定したり、ウェブ販売において割引販売する商品を決定したりするために、オンライン劣モジュラ最適化を利用することが検討されている。オンライン劣モジュラ最適化とは、目的関数の累積値を最小化又は最大化することを目的として、各ラウンドにおいて与えられた集合の部分集合を選択することを指す。
【0003】
オンライン劣モジュラ最小化に関する公知文献としては、例えば、非特許文献１が挙げられる。非特許文献１には、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－ｍｉｎＸ∈Ｓ｛Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘ）｝の期待値をＯ（（ｎＴ）１／２）以下に抑える部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するアルゴリズムが開示されている。ここで、ｆｔは、ラウンドｔにおける目的関数を表す。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0004】
【文献】E. Hazan and S. Kale, "Online Submodular Minimization", Journal of Machine Learning Research 13 (2012) 2903-2922
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
非特許文献１に記載の方法においては、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－ｍｉｎＸ∈Ｓ｛Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘ）｝の期待値をＯ（（ｎＴ）１／２）以下に抑える部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。このため、全てのラウンドにおいて同じ部分集合を選択する固定戦略が有効なオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができるが、そうでないオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができない、という問題があった。また、オンライン劣モジュラ最大化問題についても、類似の問題があった。
【0006】
本発明の一態様は、上記の問題に鑑みてなされたものであり、その目的の一例は、固定戦略が有効でないオンライン劣モジュラ最適化問題においても、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することが可能な情報処理装置を実現することにある。
【課題を解決するための手段】
【0007】
本発明の一側面に係る情報処理装置は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている。
【0008】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0009】
本発明の一側面に係る情報処理装置は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている。
【0010】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0011】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0012】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【発明の効果】
【0013】
本発明の一態様によれば、固定戦略が有効でないオンライン劣モジュラ最適化問題においても、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することが可能な情報処理装置を実現することができる。
【図面の簡単な説明】
【0014】
【図1】第１の例示的実施形態に係る情報処理装置の構成を示すブロック図である。
【図2】第１の例示的実施形態に係る情報処理方法の流れを示すフロー図である。
【図5】第２の例示的実施形態に係る情報処理装置の構成を示すブロック図である。
【図6】第２の例示的実施形態に係る情報処理方法の流れを示すフロー図である。
【図9】第１の例示的実施形態又は第２の例示的実施形態に係る情報処理装置として機能するコンピュータの構成を示すブロック図である。
【発明を実施するための形態】
【0015】
〔例示的実施形態１〕
本発明の第１の例示的実施形態について、図面を参照して詳細に説明する。
本発明の第１の例示的実施形態について、図面を参照して詳細に説明する。
【0016】
（オンライン劣モジュラ最小化問題）
ｎ個の要素からなる集合Ｓと、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して定義された目的関数ｆｔ：２Ｓ→Ｉと、を考える。ここで、ｎ及びＴは、任意の自然数を表す。また、［Ｔ］は、１以上Ｔ以下の自然数の集合を表す。また、２Ｓは、集合Ｓの冪集合、すなわち、集合Ｓの全ての部分集合からなる集合を表す。また、Ｉは、実数Ｒ上の閉区間を表す。本例示的実施形態においてはＩ＝［－１，１］と仮定する。この仮定は、以下に説明する式及び値に影響を与え得るが、本発明は、本例示的実施形態に限定されるものではなく、したがって、この仮定により限定されるものでもない。
ｎ個の要素からなる集合Ｓと、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して定義された目的関数ｆｔ：２Ｓ→Ｉと、を考える。ここで、ｎ及びＴは、任意の自然数を表す。また、［Ｔ］は、１以上Ｔ以下の自然数の集合を表す。また、２Ｓは、集合Ｓの冪集合、すなわち、集合Ｓの全ての部分集合からなる集合を表す。また、Ｉは、実数Ｒ上の閉区間を表す。本例示的実施形態においてはＩ＝［－１，１］と仮定する。この仮定は、以下に説明する式及び値に影響を与え得るが、本発明は、本例示的実施形態に限定されるものではなく、したがって、この仮定により限定されるものでもない。
【0017】
各目的関数ｆｔは、劣モジュラ関数であると仮定する。すなわち、Ｘ⊆Ｙを満たす任意の部分集合Ｘ，Ｙ∈２Ｓ、及び、任意の要素ｉ∈Ｓに対して、不等式ｆｔ（Ｘ∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘ）≧ｆ
ｔ
（Ｙ∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｙ）を満たすものと仮定する。
【0018】
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを選択する問題のうち、目的関数ｆｔの累積値Σｔ∈Ｔｆｔ（Ｘｔ）の最小化を目標とする問題のことを、「オンライン劣モジュラ最小化問題」という。本例示的実施形態においては、オンライン劣モジュラ最小化問題を、下記のFull-Information設定又はBandit-Feedback設定の下で検討する。
【0019】
Full-Information設定：ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを選択した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能である。
【0020】
Bandit-Feedback設定：ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを選択した後、（１）選択した部分集合Ｘｔに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘｔ）を参照することが可能であり、且つ、（２）選択した部分集合以外の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが不可能である。
【0021】
【0022】
情報処理装置１は、ｎ個の要素からなる集合Ｓに関するオンライン劣モジュラ最小化問題を解くための装置であり、図１に示すように、目的関数設定部１１と、部分集合列導出部１２と、を備えている。
【0023】
目的関数設定部１１は、各ラウンドｔにおける目的関数ｆｔとして、集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための手段である。目的関数設定部１１は、特許請求の範囲における「目的関数設定手段」の一例である。目的関数設定部１１が目的関数ｆｔとして設定する劣モジュラ関数は、予め定められたものであってもよいし、キーボード等を介してユーザが入力したものであってもよいし、通信ネットワーク等を介して他の装置が入力したものであってもよい。また、目的関数設定部１１が目的関数ｆｔとして設定する劣モジュラ関数は、情報処理装置１の内部で実行される各種処理において生成されたものであってもよい。
【0024】
部分集合列導出部１２は、下記の条件αを満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための手段である。部分集合列導出部１２は、特許請求の範囲における「部分集合列導出手段」の一例である。部分集合列導出部１２が導出する部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴは、ディスプレイ等を介してユーザに提供されてもよいし、通信ネットワーク等を介して他の装置に提供されてもよい。また、部分集合列導出部１２が導出する部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴは、情報処理装置１の内部で実行される各種処理において利用されてもよい。
【0025】
条件α：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる。ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0026】
【0027】
情報処理方法Ｓ１は、ｎ個の要素からなる集合Ｓに関するオンライン劣モジュラ最小化問題を解くための方法であり、図２に示すように、目的関数設定処理Ｓ１１と、部分集合列導出処理Ｓ１２と、を含んでいる。情報処理方法Ｓ１は、例えば、情報処理装置１により実施される。
【0028】
目的関数設定処理Ｓ１１は、各ラウンドｔにおける目的関数ｆｔとして、集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための処理である。目的関数設定処理Ｓ１１は、例えば、情報処理装置１の目的関数設定部１１により実行される。部分集合列導出処理Ｓ１２は、前節で示した条件αを満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための処理である。部分集合列導出処理Ｓ１２は、例えば、情報処理装置１の部分集合列導出部１２により実行される。
【0029】
（情報処理装置および情報処理方法の効果）
非特許文献１に記載の方法においては、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－ｍｉｎＸ∈Ｓ｛Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘ）｝の期待値がｎ、Ｔに応じて定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ）以下になる部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。このため、全てのラウンドにおいて同じ部分集合を選択する固定戦略が有効なオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができるが、そうでないオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができない。
非特許文献１に記載の方法においては、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－ｍｉｎＸ∈Ｓ｛Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘ）｝の期待値がｎ、Ｔに応じて定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ）以下になる部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。このため、全てのラウンドにおいて同じ部分集合を選択する固定戦略が有効なオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができるが、そうでないオンライン劣モジュラ最小化問題に対しては、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができない。
【0030】
これに対して、本例示的実施形態に係る情報処理装置１及びは情報処理方法Ｓ１においては、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値がｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。この際、ベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊は、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たしていればよく、一定であることを要さない。したがって、固定戦略が有効でないオンライン劣モジュラ最小化問題に対しても、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができる。
【0031】
（部分集合列導出処理の具体例１）
本願発明者らは、Full-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最小化問題に関して、下記の定理Ａを証明することに成功した。
本願発明者らは、Full-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最小化問題に関して、下記の定理Ａを証明することに成功した。
【0032】
定理Ａ：部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２［ｎ］が下記の表１に記載のアルゴリズムにより導出された部分集合列であるならば、任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対して、下記の不等式（１）が成り立つ。その結果、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値の漸近挙動は、｛Ｔ（ｎ＋Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊））｝１／２の漸近挙動と一致する。なお、ここでの漸近挙動の比較においては、ｌｏｇＴの多項式及びｌｏｇｎの多項式を無視している。
ここで、Ｅ［・］は、アルゴリズムの内的ランダムネスに対する期待値を表す。また、「・」（閉じ括弧は」の上下を反転したもの）は、・以上の最小の自然数を表す。
【数1】
ここで、Ｅ［・］は、アルゴリズムの内的ランダムネスに対する期待値を表す。また、「・」（閉じ括弧は」の上下を反転したもの）は、・以上の最小の自然数を表す。
【表1】
【0033】
以下、この定理を具現化することにより得られる、部分集合列導出処理Ｓ１２の具体例について、図３を参照して説明する。なお、以下の説明においては、ｎ個の要素からなる集合Ｓを、自然数の集合［ｎ］＝｛１，２，…，ｎ｝と同一視する。集合Ｓの要素と集合［ｎ］の要素とは一対一に対応するので、この同一視により一般性が損なわれることはない。また、この定理は、本例示的実施形態の一実施例を与えるものに過ぎず、本例示的実施形態は、この定理に限定して解釈されるべきものではない。
【0034】
図３は、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２の流れを示すフロー図である。部分集合列導出処理Ｓ１２は、図３に示すように、初期設定ステップＳ１２１と、部分集合導出ステップＳ１２２と、劣勾配導出ステップＳ１２３と、ベクトル更新ステップＳ１２４と、を含んでいる。部分集合導出ステップＳ１２２、劣勾配導出ステップＳ１２３、及びベクトル更新ステップＳ１２４は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して実行される。すなわち、Ｔ回繰り返される。
【0035】
本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２においては、自然数ｄ、実数η、及び、ｄ個の実数η（１），η（２），…，η（ｄ）が定数として用いられる。また、｜｜ｐｔ｜｜＝１を満たすｄ次元のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、ｎ次元のベクトルｘｔ∈Ｒｎ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）∈Ｒｎが変数として用いられる。また、Ｔ個の実数ｕ１，ｕ２，…，ｕＴが、それぞれ、区間［０，１］上に一様分布する確率変数として用いられる。
【0036】
初期設定ステップＳ１２１は、定数ｄ、η（１），η（２），…，η（ｄ）を設定すると共に、ベクトルｐｔ、ｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）を初期化するためのステップである。初期設定ステップＳ１２１において、部分集合列導出部１２は、定数ｄを、例えば、ｌｏｇＴ以上の最小の自然数に４を加えたものに設定する。また、部分集合列導出部１２は、定数ηを、例えば、η＝｛ｌｏｇｄ／（８Ｔ）｝１／２に設定する。また、各ｊ∈［ｄ］について、部分集合列導出部１２は、定数η（ｊ）を、例えば、η（ｊ）＝（ｎ／２ｊ）１／２に設定する。また、部分集合列導出部１２は、ベクトルｐｔを、例えば、ｐ１＝（１／ｄ，１／ｄ，…，１／ｄ）に初期化する。また、各ｊ∈［ｄ］について、部分集合列導出部１２は、ベクトルｘｔ
（ｊ）を、例えば、ｘｔ
（ｊ）＝（０，０，…，０）に初期化する。
【0037】
部分集合導出ステップＳ１２２は、部分集合Ｘｔを導出するためのステップである。部分集合導出ステップＳ１２２において、部分集合列導出部１２は、まず、ベクトルｘｔを、例えば、ｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ
（ｊ）に設定する。ここで、ｐｔｊは、ベクトルｐｔの第ｊ成分を表す。次に、部分集合列導出部１２は、確率変数ｕｔの値を、ランダムに設定する。次に、部分集合列導出部１２は、Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝により定義される部分集合Ｘｔを導出する。ここで、ｘｔｉは、ベクトルｘｔの第ｉ成分を表す。
【0038】
劣勾配導出ステップＳ１２３は、目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出するステップである。劣勾配導出ステップＳ１２３においては、任意の部分集合Ｘ∈［ｎ］に対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能である。劣勾配導出ステップＳ１２３において、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（２）により定義される劣勾配ｇｔを導出する。下記の式（２）において、σは、ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす、集合［ｎ］上の置換を表す。また、Ｓσ（ｉ）は、Ｓσ（ｉ）＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｉ］｝により定義される、集合［ｎ］の部分集合を表す。また、χ（ｉ）∈｛０，１｝ｎは、第ｉ成分が１であり、それ以外の成分が０であるインジケータベクトルを表す。
【数2】
【0039】
ベクトル更新ステップＳ１２４は、ベクトルｐｔ、ｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）を更新するためのステップである。ベクトル更新ステップＳ１２４において、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（３）に従ってベクトルｘｔ（ｊ）を更新する。また、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（４）に従ってベクトルｐｔを更新する。
【数3】
【数4】
【0040】
定理Ａから明らかなように、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２を用いれば、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊に対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値を、下記の式（５）により定義される上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下にすることができる。
【数5】
【0041】
（部分集合列導出処理の具体例２）
本願発明者らは、Bandit-Feedback設定におけるオンライン劣モジュラ最小化問題に関して、下記の定理Ｂを証明することに成功した。
本願発明者らは、Bandit-Feedback設定におけるオンライン劣モジュラ最小化問題に関して、下記の定理Ｂを証明することに成功した。
【0042】
定理Ｂ：部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２［ｎ］が下記の表２に記載のアルゴリズムにより導出された部分集合列であるならば、任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対して、下記の不等式（６）が成り立つ。その結果、リグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値の漸近挙動は、ｎＴ２／３｛（ｌｏｇｌｏｇＴ／ｎ）１／２＋（１＋Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）／ｎ）｝の漸近挙動と一致する。
ここで、γは、探索パラメータと呼ばれる、０以上１以下の予め定められた定数を表す。
【数6】
ここで、γは、探索パラメータと呼ばれる、０以上１以下の予め定められた定数を表す。
【表2】
【0043】
以下、この定理を具現化することにより得られる、部分集合列導出処理Ｓ１２の具体例について、図４を参照して説明する。なお、以下の説明においては、ｎ個の要素からなる集合Ｓを、自然数の集合［ｎ］＝｛１，２，…，ｎ｝と同一視する。集合Ｓの要素と集合［ｎ］の要素とは一対一に対応するので、この同一視により一般性が損なわれることはない。また、この定理は、本例示的実施形態の一実施例を与えるものに過ぎず、本例示的実施形態は、この定理に限定して解釈されるべきものではない。
【0044】
図４は、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２の流れを示すフロー図である。部分集合列導出処理Ｓ１２は、図４に示すように、初期設定ステップＳ１２５と、部分集合導出ステップＳ１２６と、不偏推定量導出ステップＳ１２７と、ベクトル更新ステップＳ１２８と、を含んでいる。部分集合導出ステップＳ１２６、不偏推定量導出ステップＳ１２７、及びベクトル更新ステップＳ１２８は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して実行される。すなわち、Ｔ回繰り返される。
【0045】
本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２においては、自然数ｄ、実数η、及び、ｄ個の実数η（１），η（２），…，η（ｄ）が定数として用いられる。また、｜｜ｐｔ｜｜＝１を満たすｄ次元のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、ｎ次元のベクトルｘｔ∈Ｒｎ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）∈Ｒｎが変数として用いられる。また、Ｔ個の実数ｕ１，ｕ２，…，ｕＴが、それぞれ、区間［０，１］上に一様分布する確率変数として用いられる。また、Ｔ個の整数ｓ１，ｓ２，…，ｓＴが、それぞれ、｛０，１，…，ｎ｝上に一様分布する確率変数として用いられる。
【0046】
初期設定ステップＳ１２５は、定数ｄ、η（１），η（２），…，η（ｄ）を設定すると共に、ベクトルｐｔ、ｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）を初期化するためのステップである。初期設定ステップＳ１２５において、部分集合列導出部１２は、定数ｄを、例えば、ｌｏｇＴ以上の最小の自然数を４倍したものに設定する。また、部分集合列導出部１２は、定数ηを、例えば、η＝［ｌｏｇｄ／｛２（ｎ＋１）２Ｔ｝］１／２に設定する。また、各ｊ∈［ｄ］について、部分集合列導出部１２は、定数η（ｊ）を、例えば、η（ｊ）＝（ｎ／２ｊ）１／２に設定する。また、部分集合列導出部１２は、ベクトルｐｔを、例えば、ｐ１＝（１／ｄ，１／ｄ，…，１／ｄ）に初期化する。また、各ｊ∈［ｄ］について、部分集合列導出部１２は、ベクトルｘｔ
（ｊ）を、例えば、ｘｔ
（ｊ）＝（０，０，…，０）に初期化する。
【0047】
部分集合導出ステップＳ１２６は、部分集合Ｘｔを導出するためのステップである。部分集合導出ステップＳ１２６において、部分集合列導出部１２は、まず、ベクトルｘｔを、例えば、ｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ
（ｊ）に設定する。ここで、ｐｔｊは、ベクトルｐｔの第ｊ成分を表す。次に、部分集合列導出部１２は、確率変数ｕｔ，ｓｔの値を、ランダムに設定する。次に、部分集合列導出部１２は、（１）Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝により定義される部分集合Ｘｔを導出するか、又は、Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝により定義される部分集合Ｘｔを導出する。ここで、ｘｔｉは、ベクトルｘｔの第ｉ成分を表す。また、σは、ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす、集合［ｎ］上の置換を表す。部分集合導出ステップＳ１２６において部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率は、１－γに設定されている。換言すると、部分集合導出ステップＳ１２６においてＸｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率は、γに設定されている。
【0048】
不偏推定量導出ステップＳ１２７は、目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（ｇｔの上に∧記号）を導出するステップである。不偏推定量導出ステップＳ１２７においては、部分集合導出ステップＳ１２６にて導出された部分集合Ｘｔ∈［ｎ］に対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘｔ）のみを参照することが可能である。不偏推定量導出ステップＳ１２７において、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（７）により定義される不偏推定量＾ｇｔを導出する。下記の式（７）において、σは、ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす、集合［ｎ］上の置換を表す。また、ｑｔは、第ｉ成分ｑｔｉがｑｔｉ＝γ／（１＋ｎ）＋（１－γ）（ｘｔσ（ｉ）－ｘｔσ（ｉ＋１））で定義されるベクトルを表す。また、ｉｔは、Ｘｔ＝Ｓσ（ｉｔ）を満たす自然数を表す。
【数7】
【0049】
ベクトル更新ステップＳ１２８は、ベクトルｐｔ、ｘｔ
（１），ｘｔ
（２），…，ｘｔ
（ｄ）を更新するためのステップである。ベクトル更新ステップＳ１２８において、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（８）に従ってベクトルｘｔ（ｊ）を更新する。また、部分集合列導出部１２は、例えば、下記の式（９）に従ってベクトルｐｔを更新する。
【数8】
【数9】
【0050】
定理Ｂから明らかなように、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ１２を用いれば、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊に対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）の期待値を、下記の式（１０）により定義される上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下にすることができる。
【数10】
【0051】
〔例示的実施形態２〕
本発明の第２の例示的実施形態について、図面を参照して詳細に説明する。
本発明の第２の例示的実施形態について、図面を参照して詳細に説明する。
【0052】
（オンライン劣モジュラ最大化問題）
ｎ個の要素からなる集合Ｓと、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して定義された目的関数ｆｔ：２Ｓ→Ｒ≧０と、を考える。ここで、ｎ及びＴは、任意の自然数を表す。また、［Ｔ］は、１以上Ｔ以下の自然数の集合を表す。また、２Ｓは、集合Ｓの冪集合、すなわち、集合Ｓの全ての部分集合からなる集合を表す。また、Ｒ≧０は、非負の実数全体を表す。各目的関数ｆｔは、規格化された劣モジュラ関数であると仮定する。
ｎ個の要素からなる集合Ｓと、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して定義された目的関数ｆｔ：２Ｓ→Ｒ≧０と、を考える。ここで、ｎ及びＴは、任意の自然数を表す。また、［Ｔ］は、１以上Ｔ以下の自然数の集合を表す。また、２Ｓは、集合Ｓの冪集合、すなわち、集合Ｓの全ての部分集合からなる集合を表す。また、Ｒ≧０は、非負の実数全体を表す。各目的関数ｆｔは、規格化された劣モジュラ関数であると仮定する。
【0053】
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを選択する問題のうち、目的関数ｆｔの累積値Σｔ∈Ｔｆｔ（Ｘｔ）の最大化を目標とする問題のことを、「オンライン劣モジュラ最大化問題」という。本例示的実施形態においては、オンライン劣モジュラ最大化問題を、上述したFull-Information設定の下で検討する。
【0054】
【0055】
情報処理装置２は、ｎ個の要素からなる集合Ｓに関するオンライン劣モジュラ最大化問題を解くための装置であり、図５に示すように、目的関数設定部２１と、部分集合列導出部２２と、を備えている。
【0056】
目的関数設定部２１は、各ラウンドｔにおける目的関数ｆｔとして、集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための手段である。目的関数設定部２１は、特許請求の範囲における「目的関数設定手段」の一例である。目的関数設定部２１が目的関数ｆｔとして設定する劣モジュラ関数は、予め定められたものであってもよいし、キーボード等を介してユーザが入力したものであってもよいし、通信ネットワーク等を介して他の装置が入力したものであってもよい。また、目的関数設定部２１が目的関数ｆｔとして設定する劣モジュラ関数は、情報処理装置２の内部で実行される各種処理において生成されたものであってもよい。
【0057】
部分集合列導出部２２は、下記の条件β１又は条件β２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための手段である。部分集合列導出部２２は、特許請求の範囲における「部分集合列導出手段」の一例である。部分集合列導出部２２が導出する部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴは、ディスプレイ等を介してユーザに提供されてもよいし、通信ネットワーク等を介して他の装置に提供されてもよい。また、部分集合列導出部２２が導出する部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴは、情報処理装置２の内部で実行される各種処理において利用されてもよい。
【0058】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動に一致する。
【0059】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動に一致する。
【0060】
【0061】
情報処理方法Ｓ２は、ｎ個の要素からなる集合Ｓに関するオンライン劣モジュラ最大化問題を解くための方法であり、図６に示すように、目的関数設定処理Ｓ２１と、部分集合列導出処理Ｓ２２と、を含んでいる。情報処理方法Ｓ２は、例えば、情報処理装置２により実施される。
【0062】
目的関数設定処理Ｓ２１は、各ラウンドｔにおける目的関数ｆｔとして、集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための処理である。目的関数設定処理Ｓ２１は、例えば、情報処理装置２の目的関数設定部２１により実行される。部分集合列導出処理Ｓ２２は、前節で示した条件β１又は条件β２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための処理である。部分集合列導出処理Ｓ２２は、例えば、情報処理装置２の部分集合列導出部２２により実行される。
【0063】
（情報処理装置および情報処理方法の効果）
本例示的実施形態に係る情報処理装置２及びは情報処理方法Ｓ２においては、αリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値が上限値Ｍａｘ（ｋ，Ｔ，Ｖ）又は上限値Ｍａｘ（ｎ，ｔ，Ｖ）以下になる部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。この際、ベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊は、一定であることを要さない。したがって、固定戦略が有効でないオンライン劣モジュラ最大化に対しても、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができる。
本例示的実施形態に係る情報処理装置２及びは情報処理方法Ｓ２においては、αリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値が上限値Ｍａｘ（ｋ，Ｔ，Ｖ）又は上限値Ｍａｘ（ｎ，ｔ，Ｖ）以下になる部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴが導出される。この際、ベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊は、一定であることを要さない。したがって、固定戦略が有効でないオンライン劣モジュラ最大化に対しても、有益な部分集合Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出することができる。
【0064】
（部分集合列導出処理の具体例１）
本願発明者らは、部分集合Ｘｔの要素数を固定したFull-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最大化問題に関して、下記の定理Ｃを証明することに成功した。
本願発明者らは、部分集合Ｘｔの要素数を固定したFull-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最大化問題に関して、下記の定理Ｃを証明することに成功した。
【0065】
定理Ｃ：各目的関数ｆｔが単調性を有し、ｋ個以下の要素からなる部分集合Ｘｔにより構成された部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２［ｎ］が下記の表３及び表４に記載のアルゴリズムにより導出された部分集合列であるならば、ｋ個以下の要素からなる部分集合Ｘｔ
＊により構成された任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対して、下記の評価式（１１）が成り立つ。ここで、目的関数ｆｔが単調性を有するとは、Ｘ⊆Ｙを満たす任意の部分集合Ｘ，Ｙ∈２［ｎ］に対して、ｆｔ（Ｘ）≦ｆｔ（Ｙ）が成立することを指す。また、上にチルダを付したランダウのＯは、ｌｏｇＴの多項式及びｌｏｇｎの多項式を無視した漸近挙動を表す。
【数11】
【表3】
【表4】
【0066】
なお、表４に示すアルゴリズムは、異なるη（ｊ）に対応するＪ個のＦＳＦ（Fixed Share Forecaster）アルゴリズムを含む。各ＦＳＦアルゴリズムは、公知のアルゴリズムであるため、ここではその説明を割愛する。以下では、｛ｉｔ１，ｉｔ２，…，ｉｔｓ｝をＸｔｓと記載し、｛ｉｔ１，ｉｔ２，…，ｉｔｋ｝をＸｔと記載する。また、Ｘｔｓ∪｛ｉｔ，ｓ＋１｝をＸｔ，ｓ＋１と記載し、ｆｔ（Ｘｔｓ∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔｓ）をｌｔｉと記載する。
【0067】
以下、この定理を具現化することにより得られる、部分集合列導出処理Ｓ２２の具体例について、図７を参照して説明する。なお、以下の説明においては、ｎ個の要素からなる集合Ｓを、自然数の集合［ｎ］＝｛１，２，…，ｎ｝と同一視する。集合Ｓの要素と集合［ｎ］の要素とは一対一に対応するので、この同一視により一般性が損なわれることはない。また、この定理は、本例示的実施形態の一実施例を与えるものに過ぎず、本例示的実施形態は、この定理に限定して解釈されるべきものではない。
【0068】
図７は、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ２２の流れを示すフロー図である。部分集合列導出処理Ｓ２２は、図７に示すように、ＦＳＦアルゴリズム初期化ステップＳ２２１と、部分集合導出ステップＳ２２２と、フィード生成ステップＳ２２３と、を含んでいる。部分集合導出ステップＳ２２２及びフィード生成ステップＳ２２３は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して実行される。すなわち、Ｔ回繰り返される。
【0069】
ＦＳＦアルゴリズム初期化ステップＳ２２１は、ＦＳＦアルゴリズムを実行するｋ個のＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（１），ＦＳＦ＊（２），…，ＦＳＦ＊（ｋ）を、ラウンド数Ｔに応じて初期化するためのステップである。
【0070】
部分集合導出ステップＳ２２２は、部分集合Ｘｔを導出するためのステップである。部分集合導出ステップＳ２２２において、部分集合列導出部２２は、Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、以下の処理をｓ＝１，２，…，ｋについて繰り返す。まず、部分集合列導出部２２は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ
（ｓ）を読み出す。次に、部分集合列導出部２２は、読み出したベクトルｐｔ
（ｓ）から要素ｉｔｓを引き出す。次に、部分集合列導出部２２は、引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する。部分集合列導出部２２は、以上の処理をｓ＝１，２，…，ｋについて繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する。
【0071】
フィード生成ステップＳ２２３は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（１），ＦＳＦ＊（２），…，ＦＳＦ＊（ｋ）に入力するフィードｌｔ
（１），ｌｔ
（２），…，ｌｔ
（ｋ）を生成するためのステップである。フィード生成ステップＳ２２３において、部分集合列導出部２２は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ
（ｓ）＝（ｌｔ１
（ｓ），ｌｔ２
（ｓ），…，ｌｔｎ
（ｓ））を、ｌｔｉ
（ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成する。
【0072】
定理Ｃから明らかなように、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ２２を用いれば、ｋ個以下の要素からなる部分集合Ｘｔ
＊により構成された、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対する（１－１／ｅ）リグレット（１－１／ｅ）Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動を、下記の式（１２）により表される関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動に一致させることができる。
【数12】
【0073】
（部分集合列導出処理の具体例２）
本願発明者らは、部分集合Ｘｔの要素数を固定しないFull-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最大化問題に関して、下記の定理Ｄを証明することに成功した。
本願発明者らは、部分集合Ｘｔの要素数を固定しないFull-Information設定におけるオンライン劣モジュラ最大化問題に関して、下記の定理Ｄを証明することに成功した。
【0074】
定理Ｄ：部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２［ｎ］が下記の表５に記載のアルゴリズムにより導出された部分集合列であるならば、任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対して、下記の評価式（１３）が成り立つ。
【数13】
【表5】
【0075】
以下、この定理を具現化することにより得られる、部分集合列導出処理Ｓ２２の具体例について、図８を参照して説明する。なお、以下の説明においては、ｎ個の要素からなる集合Ｓを、自然数の集合［ｎ］＝｛１，２，…，ｎ｝と同一視する。集合Ｓの要素と集合［ｎ］の要素とは一対一に対応するので、この同一視により一般性が損なわれることはない。また、この定理は、本例示的実施形態の一実施例を与えるものに過ぎず、本例示的実施形態は、この定理に限定して解釈されるべきものではない。
【0076】
図８は、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ２２の流れを示すフロー図である。部分集合列導出処理Ｓ２２は、図８に示すように、ＦＳＦアルゴリズム初期化ステップＳ２２４と、部分集合導出ステップＳ２２５と、フィード生成ステップＳ２２６と、を含んでいる。部分集合導出ステップＳ２２５及びフィード生成ステップＳ２２６は、各ラウンドｔ∈［Ｔ］に対して実行される。すなわち、Ｔ回繰り返される。
【0077】
ＦＳＦアルゴリズム初期化ステップＳ２２４は、ＦＳＦアルゴリズムを実行するｎ個のＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（１），ＦＳＦ＊（２），…，ＦＳＦ＊（ｎ）を、ラウンド数Ｔに応じて初期化するためのステップである。
【0078】
部分集合導出ステップＳ２２５は、部分集合Ｘｔを導出するためのステップである。部分集合導出ステップＳ２２５において、部分集合列導出部２２は、Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定したうえで、以下の処理をｓ＝１，２，…，ｎについて繰り返す。まず、部分集合列導出部２２は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ
（ｓ）を読み出し、ｑｔ
（ｓ）をｑｔ
（ｓ）＝（１＋２ｐｔ１
（ｓ））／４に設定する。次に、部分集合列導出部２２は、確率ｑｔ
（ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定する。それ以外の場合、部分集合列導出部２２は、ＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する。部分集合列導出部２２は、以上の処理をｓ＝１，２，…，ｎについて繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する。
【0079】
フィード生成ステップＳ２２６は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（１），ＦＳＦ＊（２），…，ＦＳＦ＊（ｋ）に入力するフィードｌｔ
（１），ｌｔ
（２），…，ｌｔ
（ｋ）を生成するためのステップである。フィード生成ステップＳ２２６において、部分集合列導出部２２は、αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ
ｔｓ
＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定する。そして、部分集合列導出部２２は、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ
（ｓ）＝（ｌｔ１
（ｓ），ｌｔ２
（ｓ））を、ｌｔｉ
（ｓ）＝（１－ｑｔ
（ｓ））αｔｓ及びｌｔ２
（ｓ）＝ｑｔ
（ｓ）βｔｓに従って生成する。
【0080】
定理Ｄから明らかなように、本具体例に係る部分集合列導出処理Ｓ２２を用いれば、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２［ｎ］に対する（１／２）リグレット（１／２）Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動を、下記の式（１４）により表される関数Ｂ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動に一致させることができる。
【数14】
【0081】
〔ソフトウェアによる実現例〕
情報処理装置１，２の一部又は全部の機能は、集積回路（ＩＣチップ）等のハードウェアによって実現してもよいし、ソフトウェアによって実現してもよい。後者の場合、情報処理装置１，２の各部の機能は、例えば、ソフトウェアであるプログラムの命令を実行するコンピュータによって実現される。
情報処理装置１，２の一部又は全部の機能は、集積回路（ＩＣチップ）等のハードウェアによって実現してもよいし、ソフトウェアによって実現してもよい。後者の場合、情報処理装置１，２の各部の機能は、例えば、ソフトウェアであるプログラムの命令を実行するコンピュータによって実現される。
【0082】
このようなコンピュータの一例（以下、コンピュータＣと記載する）を図９に示す。コンピュータＣは、図９に示すように、少なくとも１つのプロセッサＣ１と、少なくとも１つのメモリＣ２と、を備えている。メモリＣ２には、コンピュータＣを情報処理装置１，２として動作させるためのプログラムＰが記録されている。コンピュータＣにおいて、プロセッサＣ１は、プログラムＰをメモリＣ２から読み取って実行することにより、情報処理装置１，２の各部の機能を実現する。
【0083】
プロセッサＣ１としては、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＧＰＵ（Graphic Processing Unit）、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ＭＰＵ（Micro Processing Unit）、ＦＰＵ（Floating point number Processing Unit）、ＰＰＵ（Physics Processing Unit）、マイクロコントローラ、又は、これらの組み合わせなどを用いることができる。メモリＣ２としては、例えば、フラッシュメモリ、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、又は、これらの組み合わせなどを用いることができる。
【0084】
なお、コンピュータＣは、プログラムＰを実行時に展開したり、各種データを一時的に記憶したりするためのＲＡＭ（Random Access Memory）を更に備えていてもよい。また、コンピュータＣは、他の装置との間でデータを送受信するための通信インタフェースを更に備えていてもよい。また、コンピュータＣは、キーボードやマウスなどの入力機器、及び／又は、ディスプレイやプリンタなどの出力機器を接続するための入出力インタフェースを更に備えていてもよい。
【0085】
また、プログラムＰは、コンピュータＣが読み取り可能な、一時的でない有形の記録媒体Ｍに記録することができる。このような記録媒体Ｍとしては、例えば、テープ、ディスク、カード、半導体メモリ、又はプログラマブルな論理回路などを用いることができる。コンピュータＣは、このような記録媒体Ｍを介してプログラムＰを取得することができる。また、プログラムＰは、伝送媒体を介して伝送することができる。このような伝送媒体としては、例えば、通信ネットワーク、又は放送波などを用いることができる。コンピュータＣは、このような伝送媒体を介してプログラムＰを取得することもできる。
【0086】
〔応用例〕
上述した情報処理装置１，２は、各種問題に応用可能である。以下にその一例を挙げる。
上述した情報処理装置１，２は、各種問題に応用可能である。以下にその一例を挙げる。
【0087】
（リテール）
ある店舗における各社のビールの価格の割引を施策とするものとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［０、２，１、・・・］とした場合、第１要素がＡ社のビール価格を定価とし、第２要素がＢ社のビール価格を定価から１０％割増とし、第３要素がＣ社のビール価格を定価から１０％割引とすることを示すものとする。
ある店舗における各社のビールの価格の割引を施策とするものとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［０、２，１、・・・］とした場合、第１要素がＡ社のビール価格を定価とし、第２要素がＢ社のビール価格を定価から１０％割増とし、第３要素がＣ社のビール価格を定価から１０％割引とすることを示すものとする。
【0088】
そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各社のビールの価格に実行施策Ｘ
ｔ
を適用して販売を行った結果を出力とする。この場合に、上述した最適化方法を適用することで、上記店舗における各社のビール価格の最適な価格設定を導出することができる。
【0089】
（投資ポートフォリオ）
投資家等における投資行動に適用した場合を説明する。この場合、投資家が保有する又は保有しようとする複数の金融商品（株式の銘柄等）に対する投資（購入、増資）、売却、保有を実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素がＡ社の株式への追加投資、第２要素がＢ社の債権を保有（購入も売却もしない）、第３要素がＣ社の株式の売却を示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各社の金融商品に対する投資行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。
投資家等における投資行動に適用した場合を説明する。この場合、投資家が保有する又は保有しようとする複数の金融商品（株式の銘柄等）に対する投資（購入、増資）、売却、保有を実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素がＡ社の株式への追加投資、第２要素がＢ社の債権を保有（購入も売却もしない）、第３要素がＣ社の株式の売却を示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各社の金融商品に対する投資行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。
【0090】
この場合に、上述した最適化方法を適用することで、上記投資家における各銘柄に対する最適な投資行動を導出することができる。
【0091】
（治験）
製薬会社におけるある薬品の治験のための投薬行動に適用した場合を説明する。この場合、投薬の分量や投薬を回避することを実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素が被験者Ａに対して分量１の投薬を行い、第２要素が被験者Ｂに対して投薬を行わず、第３要素が被験者Ｃに対して分量２の投薬を行うことを示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各被験者に対する投薬行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。
製薬会社におけるある薬品の治験のための投薬行動に適用した場合を説明する。この場合、投薬の分量や投薬を回避することを実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素が被験者Ａに対して分量１の投薬を行い、第２要素が被験者Ｂに対して投薬を行わず、第３要素が被験者Ｃに対して分量２の投薬を行うことを示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各被験者に対する投薬行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。
【0092】
この場合に、上述した最適化方法を適用することで、上記製薬会社の治験における各被験者に対する最適な投薬行動を導出することができる。
【0093】
（ウェブマーケティング）
ある電子商取引サイトの運営会社における広告行動（マーケティング施策）に適用した場合を説明する。この場合、運営会社が販売しようとする商品又はサービスに対する複数の顧客に対する広告（オンライン（バナー）広告、電子メールによる広告、ダイレクトメール、割引クーポンの電子メール送信等）を実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素が顧客Ａに対するバナー広告、第２要素が顧客Ｂに対して広告を行わない、第３要素が顧客Ｃに対する割引クーポンの電子メール送信、を示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各顧客に対する広告行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。ここで、実行結果としては、バナー広告をクリックしたか否か、購入額、購入確率、購入額の期待値であってもよい。
ある電子商取引サイトの運営会社における広告行動（マーケティング施策）に適用した場合を説明する。この場合、運営会社が販売しようとする商品又はサービスに対する複数の顧客に対する広告（オンライン（バナー）広告、電子メールによる広告、ダイレクトメール、割引クーポンの電子メール送信等）を実行施策Ｘｔとする。例えば、実行施策Ｘｔ＝［１、０、２、・・・］とした場合、第１要素が顧客Ａに対するバナー広告、第２要素が顧客Ｂに対して広告を行わない、第３要素が顧客Ｃに対する割引クーポンの電子メール送信、を示すものとする。そして、目的関数ｆｔは、実行施策Ｘｔを入力とし、各顧客に対する広告行動に実行施策Ｘｔを適用した結果を出力とする。ここで、実行結果としては、バナー広告をクリックしたか否か、購入額、購入確率、購入額の期待値であってもよい。
【0094】
この場合に、本実施形態の最適化方法を適用することで、上記運営会社における各顧客に対する最適な広告行動を導出することができる。
【0095】
〔付記事項１〕
本発明は、上述した実施形態に限定されるものでなく、請求項に示した範囲で種々の変更が可能である。例えば、上述した実施形態に開示された技術的手段を適宜組み合わせて得られる実施形態についても、本発明の技術的範囲に含まれる。
本発明は、上述した実施形態に限定されるものでなく、請求項に示した範囲で種々の変更が可能である。例えば、上述した実施形態に開示された技術的手段を適宜組み合わせて得られる実施形態についても、本発明の技術的範囲に含まれる。
【0096】
〔付記事項２〕
上述した実施形態の一部又は全部は、以下のようにも記載され得る。ただし、本発明は、付記として以下の記載する態様に限定されるものではない。
上述した実施形態の一部又は全部は、以下のようにも記載され得る。ただし、本発明は、付記として以下の記載する態様に限定されるものではない。
【0097】
（付記１）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
【0098】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0099】
（付記２）
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ａ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記１に記載の情報処理装置。
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ａ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記１に記載の情報処理装置。
【数15】
【0100】
（付記３）
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄはｌｏｇＴ＋４を超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘｔの第ｉ成分として、ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出する劣勾配導出ステップと、
下記（ａ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ａ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする付記２に記載の情報処理装置。
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
ここで、ηは、ｄ及びＴに応じて定まる定数である。
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄはｌｏｇＴ＋４を超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘｔの第ｉ成分として、ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出する劣勾配導出ステップと、
下記（ａ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ａ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする付記２に記載の情報処理装置。
【数16】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数17】
ここで、ηは、ｄ及びＴに応じて定まる定数である。
【0101】
（付記４）
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを選択した後、（１）選択した部分集合Ｘｔに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘｔ）を参照することが可能であり、且つ、（２）選択した部分集合以外の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが不可能であり、
前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｂ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記１に記載の情報処理装置。
ここで、γは、０以上１以下の予め定められた定数である。
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを選択した後、（１）選択した部分集合Ｘｔに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘｔ）を参照することが可能であり、且つ、（２）選択した部分集合以外の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが不可能であり、
前記上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｂ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記１に記載の情報処理装置。
【数18】
ここで、γは、０以上１以下の予め定められた定数である。
【0102】
（付記５）
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄは４ｌｏｇＴを超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘ ｔ の第ｉ成分として、（１）ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出するか、又は、（２）ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす集合［ｎ］上の置換σおよびランダムに選択されたｓｔ∈｛０，１，…，ｎ｝を用いて部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する部分集合導出ステップであって、部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率が１－γであり、部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率がγである部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（＾ｇはｇ上に∧を乗せた記号）を導出する不偏推定量導出ステップと、
下記（ｂ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ｂ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする付記４に記載の情報処理装置。
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
ここで、ηは、ｎ、ｄ、及びＴに応じて定まる定数である。
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄは４ｌｏｇＴを超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘ ｔ の第ｉ成分として、（１）ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出するか、又は、（２）ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす集合［ｎ］上の置換σおよびランダムに選択されたｓｔ∈｛０，１，…，ｎ｝を用いて部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する部分集合導出ステップであって、部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率が１－γであり、部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率がγである部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（＾ｇはｇ上に∧を乗せた記号）を導出する不偏推定量導出ステップと、
下記（ｂ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ｂ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする付記４に記載の情報処理装置。
【数19】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数20】
ここで、ηは、ｎ、ｄ、及びＴに応じて定まる定数である。
【0103】
（付記６）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄはｌｏｇＴ＋４を超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘｔの第ｉ成分として、ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出する劣勾配導出ステップと、
下記（ａ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ａ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
ここで、ηは、ｄ及びＴに応じて定まる定数である。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄはｌｏｇＴ＋４を超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘｔの第ｉ成分として、ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔを導出する劣勾配導出ステップと、
下記（ａ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ａ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【数21】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数22】
ここで、ηは、ｄ及びＴに応じて定まる定数である。
【0104】
（付記７）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定する目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄは４ｌｏｇＴを超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘ ｔ の第ｉ成分として、（１）ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出するか、又は、（２）ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす集合［ｎ］上の置換σおよびランダムに選択されたｓｔ∈｛０，１，…，ｎ｝を用いて部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する部分集合導出ステップであって、部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率が１－γであり、部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率がγである部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（＾ｇはｇ上に∧を乗せた記号）を導出する不偏推定量導出ステップと、
下記（ｂ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ｂ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
ここで、ηは、ｎ、ｄ、及びＴに応じて定まる定数である。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定する目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、｜ｐｔ｜＝１を満たすｄ次元（ｄは４ｌｏｇＴを超えない最大の自然数）のベクトルｐｔ∈［０，１］ｄ、及び、ｄ個のｎ次元のベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）∈Ｒｎを用い、
ｐｔｊをベクトルｐｔの第ｊ成分、ｘｔをｘｔ＝Σｊ∈［ｄ］ｐｔｊｘｔ （ｊ）により定義されるｎ次元のベクトル、ｘｔｉをベクトルｘ ｔ の第ｉ成分として、（１）ランダムに選択されたｕｔ∈［０，１］を用いて部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出するか、又は、（２）ｘｔσ（１）≧ｘｔσ（２）≧…≧ｘｔσ（ｎ）を満たす集合［ｎ］上の置換σおよびランダムに選択されたｓｔ∈｛０，１，…，ｎ｝を用いて部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する部分集合導出ステップであって、部分集合Ｘｔ＝｛ｉ∈［ｎ］｜ｘｔｉ≧ｕｔ｝を導出する確率が１－γであり、部分集合Ｘｔ＝｛σ（ｊ）｜ｊ∈［ｓｔ］｝を導出する確率がγである部分集合導出ステップと、
目的関数ｆｔのｘｔでの劣勾配ｇｔの不偏推定量＾ｇｔ（＾ｇはｇ上に∧を乗せた記号）を導出する不偏推定量導出ステップと、
下記（ｂ１）式に従ってベクトルｘｔ （１），ｘｔ （２），…，ｘｔ （ｄ）を更新すると共に、下記（ｂ２）式に従ってベクトルｐｔを更新するベクトル更新ステップと、を各ラウンドにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【数23】
ここで、η（ｊ）は、ｎに応じて定まる定数である。
【数24】
ここで、ηは、ｎ、ｄ、及びＴに応じて定まる定数である。
【0105】
（付記８）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、を備えている、
ことを特徴とする情報処理装置。
【0106】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0107】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0108】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0109】
（付記９）
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｃ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記８に記載の情報処理装置。
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｃ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記８に記載の情報処理装置。
【数25】
【0110】
（付記１０）
前記部分集合列導出手段は、
Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）から引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する部分集合導出ステップと、
ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ），…，ｌｔｎ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする付記９に記載の情報処理装置。
前記部分集合列導出手段は、
Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）から引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する部分集合導出ステップと、
ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ），…，ｌｔｎ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする付記９に記載の情報処理装置。
【0111】
（付記１１）
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｄ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記８に記載の情報処理装置。
前記部分集合列導出手段は、ラウンドｔにおいて部分集合Ｘｔを導出した後、任意の部分集合Ｘ∈２Ｓに対する目的関数ｆｔの値ｆｔ（Ｘ）を参照することが可能であり、
前記関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）は、下記（ｄ）式により与えられる、
ことを特徴とする付記８に記載の情報処理装置。
【数26】
【0112】
（付記１２）
前記部分集合列導出手段は、
（１）Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定し、（２）ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）を用いて、ｑｔ （ｓ）をｑｔ （ｓ）＝（１＋２ｐｔ１ （ｓ））／４に設定し、（３ａ）確率ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定するか、又は、（３ｂ）確率１－ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する部分集合導出ステップと、
αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ ｔｓ ＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝（１－ｑｔ （ｓ））αｔｓ及びｌｔ２ （ｓ）＝ｑｔ （ｓ）βｔｓに従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする付記１１に記載の情報処理装置。
前記部分集合列導出手段は、
（１）Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定し、（２）ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）を用いて、ｑｔ （ｓ）をｑｔ （ｓ）＝（１＋２ｐｔ１ （ｓ））／４に設定し、（３ａ）確率ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定するか、又は、（３ｂ）確率１－ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する部分集合導出ステップと、
αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ ｔｓ ＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝（１－ｑｔ （ｓ））αｔｓ及びｌｔ２ （ｓ）＝ｑｔ （ｓ）βｔｓに従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする付記１１に記載の情報処理装置。
【0113】
（付記１３）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）から引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する部分集合導出ステップと、
ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ），…，ｌｔｎ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）から引き出した要素ｉｔｓを用いてＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉｔｓ｝を生成する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｋを導出する部分集合導出ステップと、
ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ），…，ｌｔｎ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｉ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）（ｉ∈［ｎ］）に従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【0114】
（付記１４）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
（１）Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定し、（２）ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）を用いて、ｑｔ （ｓ）をｑｔ （ｓ）＝（１＋２ｐｔ１ （ｓ））／４に設定し、（３ａ）確率ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定するか、又は、（３ｂ）確率１－ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する部分集合導出ステップと、
αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ ｔｓ ＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝（１－ｑｔ （ｓ））αｔｓ及びｌｔ２ （ｓ）＝ｑｔ （ｓ）βｔｓに従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、
部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出する部分集合列導出手段と、を備えており、
前記部分集合列導出手段は、
（１）Ｘｔ０をＸｔ０＝φに設定すると共に、Ｙｔ０をＹｔ０＝［ｎ］に設定し、（２）ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）が出力するベクトルｐｔ （ｓ）を用いて、ｑｔ （ｓ）をｑｔ （ｓ）＝（１＋２ｐｔ１ （ｓ））／４に設定し、（３ａ）確率ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１に設定するか、又は、（３ｂ）確率１－ｑｔ （ｓ）でＸｔｓをＸｔｓ＝Ｘｔ，ｓ－１に設定すると共に、ＹｔｓをＹｔｓ＝Ｙｔ，ｓー１＼｛ｓ｝に設定する処理を繰り返すことによって、部分集合Ｘｔ＝Ｘｔｎ＝Ｙｔｎを導出する部分集合導出ステップと、
αｔｓをαｔｓ＝ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１∪｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｘｔ，ｓ－１）に設定すると共に、βｔｓをβ ｔｓ ＝ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１＼｛ｓ｝）－ｆｔ（Ｙｔ，ｓ－１）に設定したうえで、ＦＳＦアルゴリズム実行モジュールＦＳＦ＊（ｓ）に入力するフィードｌｔ （ｓ）＝（ｌｔ１ （ｓ），ｌｔ２ （ｓ））を、ｌｔｉ （ｓ）＝（１－ｑｔ （ｓ））αｔｓ及びｌｔ２ （ｓ）＝ｑｔ （ｓ）βｔｓに従って生成するフィード生成ステップと、を各ラウンドｔにおいて実行する、
ことを特徴とする情報処理装置。
【0115】
（付記１５）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定すること、
Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出することを、含んでいる、
ことを特徴とする情報処理方法。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定すること、
Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出することを、含んでいる、
ことを特徴とする情報処理方法。
【0116】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0117】
（付記１６）
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定すること、
下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出すること、を含んでいる、
ことを特徴とする情報処理方法。
各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定すること、
下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出すること、を含んでいる、
ことを特徴とする情報処理方法。
【0118】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0119】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0120】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0121】
（付記１７）
コンピュータを情報処理装置として動作させるためのプログラムであって、
前記コンピュータを、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、として機能させるプログラム。
コンピュータを情報処理装置として動作させるためのプログラムであって、
前記コンピュータを、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出手段と、として機能させるプログラム。
【0122】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0123】
（付記１８）
付記１７に記載のプログラムが記録された、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
付記１７に記載のプログラムが記録された、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【0124】
（付記１９）
コンピュータを情報処理装置として動作させるためのプログラムであって、
前記コンピュータを、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、として機能させるプログラム。
コンピュータを情報処理装置として動作させるためのプログラムであって、
前記コンピュータを、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定手段と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出手段と、として機能させるプログラム。
【0125】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0126】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0127】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0128】
（付記２０）
付記１９に記載のプログラムが記録された、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
付記１９に記載のプログラムが記録された、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
【0129】
（付記２１）
少なくとも１つのプロセッサを備え、前記プロセッサは、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定処理と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出処理と、を実行する情報処理装置。ここで、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）は、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）＝｜Ｘｔ ＊∪Ｘｔ＋１ ＊｜－｜Ｘｔ ＊∩Ｘｔ＋１ ＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
少なくとも１つのプロセッサを備え、前記プロセッサは、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定処理と、Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１ ＊，Ｘ２ ＊，…，Ｘｔ ＊∈２Ｓに対するリグレットΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ ＊）の期待値が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる上限値Ｍａｘ（ｎ，Ｔ，Ｖ）以下になる部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴ∈２Ｓを導出するための部分集合列導出処理と、を実行する情報処理装置。ここで、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）は、ｄＨ（Ｘｔ ＊，Ｘｔ＋１ ＊）＝｜Ｘｔ ＊∪Ｘｔ＋１ ＊｜－｜Ｘｔ ＊∩Ｘｔ＋１ ＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0130】
（付記２２）
少なくとも１つのプロセッサを備え、前記プロセッサは、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定処理と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出処理と、を実行する情報処理装置。
少なくとも１つのプロセッサを備え、前記プロセッサは、各ラウンドｔ∈［Ｔ］（Ｔは任意の自然数）における目的関数ｆｔとして、ｎ個（ｎは任意の自然数）の要素からなる集合Ｓの冪集合２Ｓ上の規格化された劣モジュラ関数を設定するための目的関数設定処理と、下記の条件β１又はβ２を満たす部分集合列Ｘ１，Ｘ２，…，ＸＴを導出するための部分集合列導出処理と、を実行する情報処理装置。
【0131】
条件β１：ｋを与えられた自然数として、各部分集合Ｘｔが｜Ｘｔ｜≦ｋを満たす。また、Ｖを与えられた０以上の整数として、｜Ｘｔ
＊｜≦ｋとΣｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖとを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｋ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ａ（ｋ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0132】
条件β２：Ｖを与えられた０以上の整数として、Σｔ∈［Ｔ－１］ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）≦Ｖを満たす任意のベンチマークＸ１
＊，Ｘ２
＊，…，Ｘｔ
＊∈２Ｓに対するαリグレットαΣｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ
＊）－Σｔ∈［Ｔ］ｆｔ（Ｘｔ）の期待値の漸近挙動が、ｎ、Ｔ、Ｖから定まる関数Ｂ（ｎ，Ｔ，Ｖ）の漸近挙動と一致する。
【0133】
ここで、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）は、ｄＨ（Ｘｔ
＊，Ｘｔ＋１
＊）＝｜Ｘｔ
＊∪Ｘｔ＋１
＊｜－｜Ｘｔ
＊∩Ｘｔ＋１
＊｜により定義される部分集合間のハミング距離である。
【0134】
（付記２３）
なお、これらの情報処理装置は、更にメモリを備えていてもよく、このメモリには、目的関数設定処理と、部分集合列導出処理と、を前記プロセッサに実行させるためのプログラムが記憶されていてもよい。また、このプログラムは、コンピュータ読み取り可能な一時的でない有形の記録媒体に記録されていてもよい。
なお、これらの情報処理装置は、更にメモリを備えていてもよく、このメモリには、目的関数設定処理と、部分集合列導出処理と、を前記プロセッサに実行させるためのプログラムが記憶されていてもよい。また、このプログラムは、コンピュータ読み取り可能な一時的でない有形の記録媒体に記録されていてもよい。
【符号の説明】
【0135】
１，２ 情報処理装置
１１，２１ 目的関数設定部（目的関数設定手段）
１２，２２ 部分集合列導出部（部分集合列導出手段）
Ｓ１，Ｓ２ 情報処理方法
Ｓ１１，Ｓ２１ 目的関数設定処理
Ｓ１２，Ｓ２２ 部分集合列導出部
１１，２１ 目的関数設定部（目的関数設定手段）
１２，２２ 部分集合列導出部（部分集合列導出手段）
Ｓ１，Ｓ２ 情報処理方法
Ｓ１１，Ｓ２１ 目的関数設定処理
Ｓ１２，Ｓ２２ 部分集合列導出部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】