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特許7484750直交座標系からフレネ座標系への座標変換方法、座標変換装置、およびプログラム
(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-05-08
(45)【発行日】2024-05-16
(54)【発明の名称】直交座標系からフレネ座標系への座標変換方法、座標変換装置、およびプログラム
(51)【国際特許分類】
G01B 21/00 20060101AFI20240509BHJP
【ＦＩ】
G01B21/00 Z
【請求項の数】
7
(21)【出願番号】P 2021013279
(22)【出願日】2021-01-29
(65)【公開番号】P2022116874
(43)【公開日】2022-08-10
【審査請求日】2023-09-21
(73)【特許権者】
【識別番号】000004204
【氏名又は名称】日本精工株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】110002000
【氏名又は名称】弁理士法人栄光事務所
(72)【発明者】
【氏名】楠崎 晃司
【審査官】國田 正久
(56)【参考文献】
【文献】特開平１１－２１１４５４（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２０１６－６１６３１（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２００５－２７３８９９（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２００９－２１２０５７（ＪＰ，Ａ）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０１Ｂ ２１／００
Ｇ０１Ｍ １３／０２ － １３／０２１
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法であって、前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【数1】
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換方法。
【請求項2】
前記設定工程において、前記ｘ軸が前記螺旋の螺旋軸に一致するように前記直交座標系を設定し、
前記直交座標系の前記ｘ軸に対する前記点の座標の値に基づいて、第１の螺旋角を算出し、
前記第１の螺旋角に基づいて、前記螺旋の進行方向とは逆方向に前記直交座標系を回転させ、
前記点の前記ｘ軸の座標の値に基づいて前記直交座標系を平行移動させる、
ことにより前記直交座標系を設定することを特徴とする請求項１に記載の座標変換方法。
【請求項3】
前記第１の螺旋角は、前記直交座標系の前記ｘ軸に対する前記点の座標の値、前記螺旋の始点角、および前記螺旋のピッチに基づいて算出されることを特徴とする請求項２に記載の座標変換方法。
【請求項4】
前記変換工程において、前記第１の螺旋角と、前記θ０とを合算することで、前記設定工程における前記直交座標系を回転させる前のθの値を算出することを特徴とする請求項２または３に記載の座標変換方法。
【請求項5】
前記フレネ座標系は、前記螺旋上の点を原点として、前記螺旋の進行方向をξ軸方向とし、前記螺旋の中心方向をη軸とし、前記ξ軸と前記η軸それぞれに直交する方向をζ軸として規定される座標系であることを特徴とする請求項１～４のいずれか一項に記載の座標変換方法。
【請求項6】
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換装置であって、前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定手段と、
前記設定手段にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換手段と、
【数2】
前記変換手段は、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換装置。
【請求項7】
コンピュータに、螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法を実行させるためのプログラムであって、
前記座標変換方法は、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【数3】
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とするプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本願発明は、直交座標系からフレネ座標系への座標変換方法、座標変換装置、およびプログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
従来、ボールねじなどの機械部品においては、螺旋形状の部位（例えば、転動体が転動可能に動作する溝）を備えている。このような螺旋形状を有する機械部品において、各部位の動作状態や形状などを適切に解析するための様々な手法が開示されている。
【0003】
例えば、特許文献１では、螺旋形状を有するねじ部において、螺旋形状の谷底部分のデータを抽出し、その螺旋形状を解析する方法が開示されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0004】
【文献】特許第３９７１９６８号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
例えば、ボールねじなどの螺旋形状を有する機械部品において、その内部の転動体（たま）の接触状態を計算する上では、その螺旋形状における転動体の位置を適切に特定することが必要となる。このとき、任意の位置にあるねじ軸と転動体の接触を計算するためには、転動体の座標がねじ軸の螺旋近傍のどの位置にあるのかを探索する必要がある。特に機構解析などを行う場合には、転動体などの機械部品の構成要素全てが任意の位置に移動し得るため、その都度位置を特定するために計算処理の繰り返し回数が多くなる。更には、このような近傍探索の計算において高い精度が求められている。
【0006】
しかしながら、このような計算は逆問題となり、３元の非線形連立方程式の解であるため、代数的にその解を求めることができない。その一方、螺旋形状を有する機械部品では、その構成に着目すると、転動体の移動範囲は螺旋近傍の一定の範囲に限定されるという特徴がある。
【0007】
上記課題を鑑み、本願発明は、ボールねじなどの螺旋形状を有する機械部品の構成を考慮し、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換を可能とする変換方法を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0008】
上記課題を解決するために本願発明は以下の構成を有する。すなわち、螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【0009】
【数1】
【0010】
を有し、
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出する。
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出する。
【0011】
また、本願発明の別の形態は以下の構成を有する。すなわち、螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換装置であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定手段と、
前記設定手段にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換手段と、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定手段と、
前記設定手段にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換手段と、
【0012】
【数2】
【0013】
を有し、
前記変換手段は、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出する。
前記変換手段は、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出する。
【0014】
また、本願発明の別の形態は以下の構成を有する。すなわち、コンピュータに、
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法を実行させるためのプログラムであって、
前記座標変換方法は、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法を実行させるためのプログラムであって、
前記座標変換方法は、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータを（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【0015】
【数3】
【0016】
を有し、
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）を導出する。
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標を示すパラメータ（θ０，η０，ζ０）を導出する。
【発明の効果】
【0017】
本願発明により、螺旋近傍の点の座標に関し、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換を可能とする変換方法を提供することが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【0018】
【図1】本願発明の一実施形態に係る装置構成の例を示す概略図。
【図2】本願発明に係る座標変換方法を適用可能な機械部品の一例を示す概略図。
【図3】螺旋の各要素を説明するための図。
【図4】本願発明の一実施形態に係る座標系を説明するための図。
【図5】本願発明の一実施形態に係る座標変換を説明するための図。
【図6】本願発明の一実施形態に係る座標平面を説明するための図。
【図7】本願発明の一実施形態に係るｘｙｚ座標系の移動を説明するための図。
【図8】本願発明の一実施形態に係る全体処理のフローチャート。
【図9】本願発明の一実施形態に係る微小螺旋角および座標の算出処理のフローチャート。
【図10】本願発明の一実施形態に係る算出結果の例を示す図。
【発明を実施するための形態】
【0019】
以下、本願発明を実施するための形態について図面などを参照して説明する。なお、以下に説明する実施形態は、本願発明を説明するための一実施形態であり、本願発明を限定して解釈されることを意図するものではなく、また、各実施形態で説明されている全ての構成が本願発明の課題を解決するために必須の構成であるとは限らない。また、各図面において、同じ構成要素については、同じ参照番号を付すことにより対応関係を示す。
【0020】
＜第１の実施形態＞
以下、本願発明の第１の実施形態について説明を行う。
以下、本願発明の第１の実施形態について説明を行う。
【0021】
［装置構成］
図１は、本実施形態に係る座標変換方法を実行可能な座標変換装置の全体構成の一例を示す概略構成図である。本実施形態に係る座標変換装置１は、例えば、ＰＣ（Ｐｅｒｓｏｎａｌ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ）などの情報処理装置が用いられてよく、その構成は特に限定するものではない。
図１は、本実施形態に係る座標変換方法を実行可能な座標変換装置の全体構成の一例を示す概略構成図である。本実施形態に係る座標変換装置１は、例えば、ＰＣ（Ｐｅｒｓｏｎａｌ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ）などの情報処理装置が用いられてよく、その構成は特に限定するものではない。
【0022】
座標変換装置１は、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）１０、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）１１、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）１２、ＨＤＤ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）１３、入力装置１４、表示装置１５、および通信装置１６を含んで構成される。ＣＰＵ１０は、座標変換装置１全体の制御を司る部位であり、例えば、ＨＤＤ１３に格納されたプログラムを読み出して実行することで各種機能を実現してよい。ＲＯＭ１１は、不揮発性の記憶領域である。ＲＡＭ１２は、揮発性の記憶領域であり、一時的なデータの保存場所として用いられる。ＨＤＤ１３は、不揮発性の記憶領域であり、各種プログラムやデータが記憶、管理される。入力装置１４は、外部からの入力を受け付ける部位であり、例えば、マウスやキーボードなどから構成される。表示装置１５は、各種情報を表示するための部位であり、例えば、液晶ディスプレイなどが該当する。なお、入力装置１４と表示装置１５が一体となったタッチパネルディスプレイが用いられてもよい。通信装置１６は、外部装置（不図示）とネットワーク（不図示）を介して通信するための部位である。ここでの通信は、有線／無線は問わず、また、通信規格なども特に限定するものではない。
【0023】
本実施形態に係る座標変換方法は、例えば、ボールねじなど螺旋構造を有する機械部品の動作のシミュレーションに用いることが可能である。図２は、本実施形態に係る座標変換方法を適用可能なボールねじ２０の構成例を示す図である。ボールねじ２０は、ナット２１、ねじ軸２２、および複数の転動体２３を含んで構成される。ねじ軸２２の外周面には、転動体２３が接触して転がる螺旋溝２２ａが形成されている。螺旋溝２２ａは、弦巻線（常らせん）状の３次元曲線を描く。また、図２において、直交座標系におけるｘ軸、ｙ軸、ｚ軸を示している。以下の説明において、各座標系の軸は対応している。
【0024】
図３は、本実施形態で扱う螺旋の各要素を説明するための図である。ここでは、ｘｙｚ座標系において、螺旋である弦巻線がｘ軸周りに反時計回りにて示されている。ｌは、螺旋のピッチを示す。ｒは、螺旋の半径を示す。θは螺旋角を示す。
【0025】
［座標系］
本実施形態に係る２つの座標系について説明する。１つ目の座標系は螺旋軸を基準とし、ｘ軸と螺旋軸とが一致した直交座標系である。直交座標系において、３つの軸をｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とし、ｘｙｚ座標系とも称する。２つ目の座標系は螺旋の任意の点を基準としたフレネ・セレ標構にて示される座標系（以下、フレネ座標系と称する）である。フレネ座標系において、３つの軸をξ軸、η軸、ζ軸とし、ξηζ座標系とも称する。本実施形態では、この２つの座標系間の座標の変換を座標変換と称する。
本実施形態に係る２つの座標系について説明する。１つ目の座標系は螺旋軸を基準とし、ｘ軸と螺旋軸とが一致した直交座標系である。直交座標系において、３つの軸をｘ軸、ｙ軸、ｚ軸とし、ｘｙｚ座標系とも称する。２つ目の座標系は螺旋の任意の点を基準としたフレネ・セレ標構にて示される座標系（以下、フレネ座標系と称する）である。フレネ座標系において、３つの軸をξ軸、η軸、ζ軸とし、ξηζ座標系とも称する。本実施形態では、この２つの座標系間の座標の変換を座標変換と称する。
【0026】
図３に示した要素に基づき、螺旋のピッチをｌ、螺旋の始点角をα、螺旋の半径をｒ、螺旋角に対応するパラメータをθとした場合、ｘｙｚ座標系において、螺旋上の任意の点ｑは以下の式（１）にて定義される。
【0027】
【数4】
【0028】
ｌ：螺旋のピッチ
α：螺旋の始点角
ｒ：螺旋の半径
θ：パラメータ（螺旋角）
α：螺旋の始点角
ｒ：螺旋の半径
θ：パラメータ（螺旋角）
【0029】
式（１）に示されるように、パラメータθが増加するに従って、ｘ軸方向の正方向に進む。式（１）における始点角αは、ｙ軸方向に沿って螺旋を見た場合のｘ－ｚ平面におけるｘ＝０の位相角に相当する。
【0030】
一方、フレネ座標系において、ξ軸、η軸、ζ軸それぞれの方向の単位ベクトルをｔ、ｎ、ｂとした場合、これらはそれぞれ以下の式（２）、式（３）、式（４）のように定義される。なお、各変数は式（１）と同様である。
【0031】
【数5】
【0032】
【数6】
【0033】
【数7】
【0034】
図４は、本実施形態に係る２つの座標系の関係を説明するための図である。図４において、ｘｙｚ座標系のｘ軸と螺旋軸とが一致するように、螺旋が示されている。また、螺旋上に任意の点ｑが示されている。ξ軸の方向は、図４および上記の式（２）に示すように、螺旋の進行方向に対応し、ｔは点ｑにおける接ベクトルである。η軸の方向は、図４および上記の式（３）に示すように、螺旋の中心方向に対応し、ｎは点ｑにおける法線ベクトルである。そして、図４および上記の式（４）に示すように、ζ軸の方向に対応するベクトルｂ（θ）は点ｑにおける従法線ベクトルであり、接ベクトルｔ（θ）と法線ベクトルｎ（θ）の外積となる。
【0035】
ここで、３次元空間の螺旋周辺における任意の点をｘ０とし、そのｘｙｚ座標系における座標を（ｘ０，ｙ０，ｚ０）とする。これをξηζ座標系に対応付けるためにパラメータθ０、ζ０、η０を用いて以下の式（５）のように表す。本実施形態では、式（５）に基づいた変換処理を、ｘｙｘ座標系とξηζ座標系の座標変換と定義する。
【0036】
【数8】
【0037】
図５は、螺旋上の点ｑを基準として、螺旋の進行方向（ξ軸の方向）に直交するη－ζ平面を示している。このη－ζ平面上に点ｘ０が位置する。この図５に示す関係から、点ｘ０のξηζ座標系におけるζ軸方向の座標とη軸方向の座標を規定する。言い換えると、η－ζ平面は、螺旋上の点ｑを原点とし、ｘ０の座標は、ζ軸とη軸それぞれからの距離として規定される。また、η－ζ平面は、螺旋角に対応するパラメータθによりその位置を特定できる。
【0038】
なお、式（１）～式（５）によると、ｘ０の値によって複数の解が存在し得る。そのため、複数の解が存在する場合には、ζ０、η０が最も小さいものを単一解として扱う。なお、本実施形態に係る座標変換方法の適用対象の一例であるボールねじの場合、図２に示したように、転動体２３は、螺旋溝２２ａにて規定される螺旋に対して十分に近い位置にある。このような機械部品を想定した場合、複数の解が存在する可能性は極めて低い。本実施形態では、転動体２３が螺旋に対して十分に近くに位置するものとして近似を用いて算出を行う。近似を用いることで、解を１つに限定することができる。
【0039】
［近似を用いた座標変換］
本実施形態に係る近似を用いた座標変換について説明する。まず、ｘｙｚ座標系における任意の点ｘを考える。点ｘは、螺旋上とは異なる位置にあるが、螺旋に十分近い位置にある。例えば、任意の点ｘは、図２の例の場合、転動体２３の中心位置であってもよいし、螺旋溝２２ａとの距離が最も近い転動体２３の表面の点であってもよい。ボールねじ２０において、その構成によっては、転動体２３とねじ軸２２が接触する場合もあれば、その間に隙間が生じる場合もある。隙間が生じた場合に、螺旋溝２２ａに最も近い転動体２３の表面の点を任意の点ｘとして想定してもよい。
本実施形態に係る近似を用いた座標変換について説明する。まず、ｘｙｚ座標系における任意の点ｘを考える。点ｘは、螺旋上とは異なる位置にあるが、螺旋に十分近い位置にある。例えば、任意の点ｘは、図２の例の場合、転動体２３の中心位置であってもよいし、螺旋溝２２ａとの距離が最も近い転動体２３の表面の点であってもよい。ボールねじ２０において、その構成によっては、転動体２３とねじ軸２２が接触する場合もあれば、その間に隙間が生じる場合もある。隙間が生じた場合に、螺旋溝２２ａに最も近い転動体２３の表面の点を任意の点ｘとして想定してもよい。
【0040】
（ｘ＝０，α＝０の場合）
図６は、ｘｙｚ座標系における点ｘの座標を示す図である。図６は、ｘ＝０のｙ－ｚ平面を示しており、また、螺旋の始点角α＝０である。この時の点ｘのｘｙｚ座標系における座標（ｘ，ｙ，ｚ）を座標（０，ｙ０，ｚ０）とする。上述したように点ｘが螺旋に十分近い位置であるという仮定は、ｘ０＝０、ｙ０≒ｒ、ｚ０≒０であるという条件に置き換えても一般性を失わない。つまり、ｘｙｚ座標系において、ｘ軸方向の座標が０の場合、点ｘの座標は、螺旋上の座標である（０，ｒ，０）に近似するものとして扱うことができる。
図６は、ｘｙｚ座標系における点ｘの座標を示す図である。図６は、ｘ＝０のｙ－ｚ平面を示しており、また、螺旋の始点角α＝０である。この時の点ｘのｘｙｚ座標系における座標（ｘ，ｙ，ｚ）を座標（０，ｙ０，ｚ０）とする。上述したように点ｘが螺旋に十分近い位置であるという仮定は、ｘ０＝０、ｙ０≒ｒ、ｚ０≒０であるという条件に置き換えても一般性を失わない。つまり、ｘｙｚ座標系において、ｘ軸方向の座標が０の場合、点ｘの座標は、螺旋上の座標である（０，ｒ，０）に近似するものとして扱うことができる。
【0041】
そして、図５に示すｙ－ｚ平面上において、上記の式（５）を適用した場合、点ｘに対するｘｙｚ座標系およびξηζ座標系の対応関係として、以下の式（６）を導くことができる。
【0042】
【数9】
【0043】
このとき、転動体２３が螺旋溝２２ａにて規定される螺旋に十分近い位置にあることから、θ０≪１となり、上記の式（６）において、以下の近似値を用いることができる。つまり、本実施形態では、三角関数のテイラー展開において、2次までの値にて近似し、この２次の近似解を代数的に定義して用いる。
【0044】
【数10】
【0045】
【数11】
【0046】
上記の式（６）～（８）から以下の式（９）が得られる。
【0047】
【数12】
【0048】
式（９）から、以下の式（１０）に示す連立方程式が導出される。
【0049】
【数13】
【0050】
式（１０）を解くことで、以下の２つの座標系間の座標変換を行うための式（１１）を定義する。
【0051】
【数14】
【0052】
式（１０）を解くことで定義された式（１１）にｘｙｚ座標系の座標の値を代入することで、フレネ座標系における座標に対応するパラメータθ０、η０、ζ０を導出することができる。
【0053】
（ｘ＝ｘ０，α＝α０の場合）
上記では、ｘ＝０、α＝０の場合の計算について説明した。次に、ｘ＝ｘ０，α＝α０の場合に拡張した場合の算出について説明する。図７（ａ）は、ｘｙｚ座標系における任意の点ｘの座標を示す。この時の点ｘのｘｙｚ座標系における座標（ｘ，ｙ，ｚ）を座標（ｘ０，ｙ０，ｚ０）とする。また、螺旋の始点角α＝α０とする。この場合においても点ｘは、螺旋に対して十分に近い位置にあるものとして説明する。
上記では、ｘ＝０、α＝０の場合の計算について説明した。次に、ｘ＝ｘ０，α＝α０の場合に拡張した場合の算出について説明する。図７（ａ）は、ｘｙｚ座標系における任意の点ｘの座標を示す。この時の点ｘのｘｙｚ座標系における座標（ｘ，ｙ，ｚ）を座標（ｘ０，ｙ０，ｚ０）とする。また、螺旋の始点角α＝α０とする。この場合においても点ｘは、螺旋に対して十分に近い位置にあるものとして説明する。
【0054】
この場合において、ｘｙｚ座標系全体をｘ軸周りに以下の式（１２）にて示す角度（螺旋角β）の分、回転させる。上記と同様、αは螺旋の始点角を示し、本例ではα０となる。式（１２）は、螺旋の進行方向とは逆の方向にｘｙｚ座標系全体を回転させることを示す。例えば、図７（ａ）に示すように、反時計回りに進行する螺旋の場合、時計回りにｘｙｚ座標系全体を回転させる。
【0055】
【数15】
【0056】
次に、点ｘのｘｙｚ座標系におけるｘ軸の値が０になるように、ｘｙｚ座標系全体を－ｘ０の分、移動させる。その結果、点ｘの座標は、図７（ｂ）に示すような関係となり、この場合の点ｘの座標を（０，ｙ１，ｚ１）にて示す。これにより、図６にて示した関係と同様になる。そして、上記のｘ＝０，α＝０の場合にて説明した式（１０）、式（１１）において、（ｘ０，ｙ０，ｚ０）を（０，ｙ１，ｚ１）に置き換えて代入することで同様の座標変換を行うことが可能となる。具体的には、以下の式（１３）を用いる。
【0057】
【数16】
【0058】
［処理フロー］
図８は、本実施形態に係る座標変換処理のフローチャートである。本処理は、座標変換装置１により実行され、例えば、座標変換装置１が備える制御装置（不図示）が本実施形態に係る処理を実現するためのプログラムを記憶装置（不図示）から読み出して実行することにより実現される。
図８は、本実施形態に係る座標変換処理のフローチャートである。本処理は、座標変換装置１により実行され、例えば、座標変換装置１が備える制御装置（不図示）が本実施形態に係る処理を実現するためのプログラムを記憶装置（不図示）から読み出して実行することにより実現される。
【0059】
Ｓ８０１にて、座標変換装置１は、対象となる螺旋の螺旋軸と、ｘｙｚ座標系のｘ軸とが一致するようにｘｙｚ座標系を設定する。螺旋軸は、例えば、図２の場合、ねじ軸２２の中心軸に対応する。このとき、着目する座標点ｘのｘｙｚ座標系における座標を、図７（ａ）に示すように、（ｘ０，ｙ０，ｚ０）とする。
【0060】
Ｓ８０２にて、座標変換装置１は、ｘｙｚ座標系内の着目する座標点ｘの高さから、仮の螺旋角βを算出する。ここでの座標点の高さとは、座標点ｘのｘ軸方向の値ｘ０に対応する。仮の螺旋角βは、図３に示した螺旋の構成（ピッチｌ、始点角α）と座標点の高さ（＝ｘ０）とに基づいて、特定することができる。
【0061】
Ｓ８０３にて、座標変換装置１は、ｘｙｚ座標系全体を仮の螺旋角βの分、螺旋の進行方向とは逆方向に回転させる。すなわち、上記の式（１２）にて示した値にて、Ｓ８０１にて設定したｘｙｚ座標系を回転させる。
【0062】
Ｓ８０４にて、座標変換装置１は、着目する座標点ｘのｘ軸方向の値分、ｘｙｚ座標系全体を平行移動する。ここまでの処理により、着目する座標点ｘのｘｙｚ座標系における座標を、図７（ｂ）に示すように、（０，ｙ１，ｚ１）に変換することができる。
【0063】
Ｓ８０５にて、座標変換装置１は、微小螺旋角および座標の算出を行う。本工程の処理は、図８を用いて詳細に説明する。
【0064】
Ｓ８０６にて、座標変換装置１は、Ｓ８０５の処理にて導出した微小螺旋角と、仮の螺旋角βとを合算し、ξηζ座標系における座標点ｘの座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）のうちのθの値を算出する。
【0065】
Ｓ８０７にて、座標変換装置１は、Ｓ８０５およびＳ８０６にて算出したξηζ座標系における座標点ｘの座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）を出力する。ここでの出力方法は特に限定するものではなく、ｘｙｚ座標系における座標点ｘの座標と対応付けて出力してもよいし、そのほかの座標の変換条件を併せて出力してもよい。そして、本処理フローを終了する。
【0066】
【0067】
Ｓ９０１にて、座標変換装置１は、変換処理に伴う微小量に関する近似値の設定を行う。本実施形態では、上記の式（７）、式（８）に示したように、三角関数においてテイラー展開した際の３次以上の項を０とする2次近似の値を用いるものとして、近似値が設定される。
【0068】
Ｓ９０２にて、座標変換装置１は、Ｓ９０１にて設定したテイラー展開の近似値を用いて、微小螺旋角θ０の算出を行う。ここでの微小螺旋角θ０は、ξηζ座標系における座標点ｘの座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）のθと仮の螺旋角βとの差分に相当する。
【0069】
Ｓ９０３にて、座標変換装置１は、微小捩じれ方向の変位を算出する。ここでの捩じれ方向は、ζ軸方向に対応する。したがって、微小捩じれ方向の変位は、ξηζ座標系における座標点ｘの座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）のζの値に対応する。
【0070】
Ｓ９０４にて、座標変換装置１は、微小曲がり方向の変位を算出する。ここでの曲がり方向は、η軸方向に対応する。したがって、微小曲がり方向の変位は、ξηζ座標系における座標点ｘの座標を示すパラメータ（θ，η，ζ）のηの値に対応する。そして、図８のＳ８０６の工程に進む。
【0071】
なお、本実施形態では、微小捩じれ方向を算出してから微小曲がり方向の算出を行ったが、この順に限定するものではなく、逆の順序にて算出してもよい。
【0072】
また、上記の算出方法では、三角関数の値に対して2次近似の値を用いる例を示したが、これに限定するものではない。そのほかにも計算過程において含まれる３次以上の項に関し、本実施形態に係る座標変換方法を適用する機械部品の構成に応じて、近似値を用いるような構成であってもよい。
【0073】
［変換例］
図１０は、本実施形態に係る座標変換方法を用いた変換結果に関する精度を説明するための図である。ここでは、対象をボールねじとし、以下の条件下にて算出を行った。
螺旋のピッチ（ｌ）：６００［ｍｍ］
螺旋の半径（ｒ）：８００［ｍｍ］
螺旋角（θ）：１０００［°］
螺旋と座標点との距離：１μｍ～１００ｍｍ
図１０は、本実施形態に係る座標変換方法を用いた変換結果に関する精度を説明するための図である。ここでは、対象をボールねじとし、以下の条件下にて算出を行った。
螺旋のピッチ（ｌ）：６００［ｍｍ］
螺旋の半径（ｒ）：８００［ｍｍ］
螺旋角（θ）：１０００［°］
螺旋と座標点との距離：１μｍ～１００ｍｍ
【0074】
図１０において、横軸は（座標点が螺旋から離れている距離）／（螺旋半径）を示す。また、縦軸は（座標の変換誤差）／（螺旋半径）を示す。図１０に示すように、螺旋半径で誤差と距離を正規化した結果、誤差が１０－１１～１０－３となる範囲で高い精度により座標変換を行うことが可能であった。特に、座標点が螺旋に近い位置にあるほど、高い精度にて座標変換を行ことが可能となる。
【0075】
以上、本実施形態では、ボールねじなどの螺旋形状を有する機械部品の構成を考慮した上で、処理負荷を低減させるための近似値を用いる。これにより、本実施形態では、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
【0076】
＜その他の実施形態＞
【0077】
また、本願発明において、上述した１以上の実施形態の機能を実現するためのプログラムやアプリケーションを、ネットワーク又は記憶媒体等を用いてシステム又は装置に供給し、そのシステム又は装置のコンピュータにおける１つ以上のプロセッサがプログラムを読出し実行する処理でも実現可能である。
【0078】
また、１以上の機能を実現する回路（例えば、ＡＳＩＣ（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ）やＦＰＧＡ（Ｆｉｅｌｄ Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｒａｙ））によって実現してもよい。
【0079】
このように、本発明は上記の実施形態に限定されるものではなく、実施形態の各構成を相互に組み合わせることや、明細書の記載、並びに周知の技術に基づいて、当業者が変更、応用することも本発明の予定するところであり、保護を求める範囲に含まれる。
【0080】
以上の通り、本明細書には次の事項が開示されている。
（１） 螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
（１） 螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【0081】
【数17】
【0082】
を有し、
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換方法。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換方法。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
【0083】
（２） 前記設定工程において、
前記ｘ軸が前記螺旋の螺旋軸に一致するように前記直交座標系を設定し、
前記直交座標系の前記ｘ軸に対する前記点の座標の値に基づいて、第１の螺旋角を算出し、
前記第１の螺旋角に基づいて、前記螺旋の進行方向とは逆方向に前記直交座標系を回転させ、
前記点の前記ｘ軸の座標の値に基づいて前記直交座標系を平行移動させる、
ことにより前記直交座標系を設定することを特徴とする（１）に記載の座標変換方法。
この構成によれば、直交座標系を座標変換が容易な位置に調整して再設定することで、計算処理の負荷を低減することが可能となる。
前記ｘ軸が前記螺旋の螺旋軸に一致するように前記直交座標系を設定し、
前記直交座標系の前記ｘ軸に対する前記点の座標の値に基づいて、第１の螺旋角を算出し、
前記第１の螺旋角に基づいて、前記螺旋の進行方向とは逆方向に前記直交座標系を回転させ、
前記点の前記ｘ軸の座標の値に基づいて前記直交座標系を平行移動させる、
ことにより前記直交座標系を設定することを特徴とする（１）に記載の座標変換方法。
この構成によれば、直交座標系を座標変換が容易な位置に調整して再設定することで、計算処理の負荷を低減することが可能となる。
【0084】
（３） 前記第１の螺旋角は、前記直交座標系の前記ｘ軸に対する前記点の座標の値、前記螺旋の始点角、および前記螺旋のピッチに基づいて算出されることを特徴とする（２）に記載の座標変換方法。
この構成によれば、螺旋の構成に合わせて、座標変換を行う際の仮の螺旋角を設定することが可能となり、計算処理の負荷を低減することが可能となる。
この構成によれば、螺旋の構成に合わせて、座標変換を行う際の仮の螺旋角を設定することが可能となり、計算処理の負荷を低減することが可能となる。
【0085】
（４） 前記変換工程において、前記第１の螺旋角と、前記θ０とを合算することで、前記設定工程における前記直交座標系を回転させる前のθの値を算出することを特徴とする（２）または（３）に記載の座標変換方法。
この構成によれば、直交座標系の調整を行った場合でも、適切に座標変換を行うことができる。
この構成によれば、直交座標系の調整を行った場合でも、適切に座標変換を行うことができる。
【0086】
（５） 前記フレネ座標系は、前記螺旋上の点を原点として、前記螺旋の進行方向をξ軸方向とし、前記螺旋の中心方向をη軸とし、前記ξ軸と前記η軸それぞれに直交する方向をζ軸として規定される座標系であることを特徴とする（１）～（４）のいずれかに記載の座標変換方法。
この構成によれば、直交座標系から、螺旋状の点に対応するフレネ座標系への座標変換が可能となる。
（６） 螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換装置であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定手段と、
前記設定手段にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換手段と、
この構成によれば、直交座標系から、螺旋状の点に対応するフレネ座標系への座標変換が可能となる。
（６） 螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換装置であって、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定手段と、
前記設定手段にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換手段と、
【0087】
【数18】
【0088】
を有し、
前記変換手段は、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換装置。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
前記変換手段は、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とする座標変換装置。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
【0089】
（７） コンピュータに、
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法を実行させるためのプログラムであって、
前記座標変換方法は、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
螺旋近傍の点について直交座標系の座標（ｘ，ｙ，ｚ）からフレネ座標系の座標（θ，η，ζ）へ座標変換を行う座標変換方法を実行させるためのプログラムであって、
前記座標変換方法は、
前記螺旋の螺旋軸に対応する前記直交座標系のｘ軸に対する前記点の座標の値が０となるように前記直交座標系を設定する設定工程と、
前記設定工程にて設定された前記直交座標系における前記点の座標を（０，ｙ０，ｚ０）とし、前記フレネ座標系における前記点の座標を（θ０，η０，ζ０）とした場合に、以下の式（１）に基づいて、座標変換を行う変換工程と、
【0090】
【数19】
【0091】
を有し、
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とするプログラム。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
前記変換工程では、前記式（１）において、三次関数をテイラー展開した際の３次以上の項を０とした近似値を用いて得られる連立方程式を解くことにより、前記フレネ座標系における前記点の座標（θ０，η０，ζ０）を導出することを特徴とするプログラム。
この構成によれば、螺旋近傍の点の座標を特定するための、直交座標系からフレネ座標系への高速な変換が可能となる。
【符号の説明】
【0092】
１…座標変換装置
１０…ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）
１１…ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）
１２…ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）
１３…ＨＤＤ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）
１４…入力装置
１５…表示装置
１６…通信装置
２０…ボールねじ
２１…ナット
２２…ねじ軸
２２ａ…螺旋溝
２３…転動体
１０…ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）
１１…ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）
１２…ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）
１３…ＨＤＤ（Ｈａｒｄ Ｄｉｓｋ Ｄｒｉｖｅ）
１４…入力装置
１５…表示装置
１６…通信装置
２０…ボールねじ
２１…ナット
２２…ねじ軸
２２ａ…螺旋溝
２３…転動体
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】