特許 7496972 音場解析装置、音場解析方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2024-05-31

(45)【発行日】2024-06-10

(54)【発明の名称】音場解析装置、音場解析方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G01H 17/00 20060101AFI20240603BHJP

   G01H 3/00 20060101ALI20240603BHJP

【ＦＩ】

G01H17/00 Z

G01H3/00 Z

【請求項の数】 7

(21)【出願番号】P 2021008481

(22)【出願日】2021-01-22

(65)【公開番号】P2022112624

(43)【公開日】2022-08-03

【審査請求日】2023-11-01

(73)【特許権者】

【識別番号】303057365

【氏名又は名称】株式会社安藤・間

(73)【特許権者】

【識別番号】504150450

【氏名又は名称】国立大学法人神戸大学

(74)【代理人】

【識別番号】100095407

【弁理士】

【氏名又は名称】木村 満

(74)【代理人】

【識別番号】100098246

【弁理士】

【氏名又は名称】砂場 哲郎

(74)【代理人】

【識別番号】100132883

【弁理士】

【氏名又は名称】森川 泰司

(74)【代理人】

【識別番号】100181618

【弁理士】

【氏名又は名称】宮脇 良平

(72)【発明者】

【氏名】吉田 卓彌

(72)【発明者】

【氏名】奥園 健

(72)【発明者】

【氏名】阪上 公博

【審査官】佐々木 崇

(56)【参考文献】

【文献】特開２００７－０４０７３４（ＪＰ，Ａ）

【文献】特開２００７－１８８１６４（ＪＰ，Ａ）

【文献】特開２００３－２５５９５５（ＪＰ，Ａ）

【文献】米国特許出願公開第２０１３／０２４３２９４（ＵＳ，Ａ１）

【文献】中国特許出願公開第１１２００１１３３（ＣＮ，Ａ）

【文献】YOSHIDA, Takumi et al.，Numerically stable explicit time-domain finite element method for room acoustics simulation using an，Noise Control Engineering Journal，米国，Institute of Noise Control Engineering，2018年05月01日，Volume 66, Number 3，pp. 176-188，DOI:https://doi.org/10.3397/1/376615

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０１Ｈ１／００－１７／００

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析装置であって、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する数値計算部、を備える、
音場解析装置。

【請求項2】

前記微分ベクトルの時間更新式は、前記比音響アドミタンス比を有理関数近似することにより得られる補助関数を含み、
前記数値計算部は、前記補助関数の時間発展を時間積分法により計算する、
請求項１に記載の音場解析装置。

【請求項3】

前記数値計算部は、前記時間積分法としてルンゲクッタ法、オイラー法、クランク・ニコルソン法又はホイン法を用いて、前記補助関数の時間発展を計算する、
請求項２に記載の音場解析装置。

【請求項4】

前記音圧ベクトルの時間更新式は、第ｎ時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を、第（ｎ－１）時間ステップでの前記音圧ベクトルの値と、第（ｎ－１）時間ステップでの前記微分ベクトルの値と、により定める式であり、
前記微分ベクトルの時間更新式は、第ｎ時間ステップでの前記微分ベクトルの値を、第（ｎ－１）時間ステップ及び第ｎ時間ステップでの前記音圧ベクトルの値と、第（ｎ－１）時間ステップでの前記微分ベクトルの値と、第ｎ時間ステップでの前記補助関数の値と、により定める式である、
請求項２又は３に記載の音場解析装置。

【請求項5】

前記微分ベクトルの時間更新式は、前記微分ベクトルの時間一階微分を一次精度の後退差分近似で離散化し、更に前記音圧ベクトルの時間一階微分を二次精度の中央差分近似で離散化することにより得られる、
請求項１から４のいずれか１項に記載の音場解析装置。

【請求項6】

解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析方法であって、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する、
音場解析方法。

【請求項7】

コンピュータを、
解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析装置として機能させるプログラムであって、
前記コンピュータを、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する数値計算部、として機能させる、
プログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、音場解析装置、音場解析方法及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

数値シミュレーションにより音場を解析する手法が知られている。例えば、非特許文献１，２は、一階常微分方程式（ＯＤＥ：Ordinary Differential Equation）に基づく時間領域有限要素法（ＴＤＦＥＭ：Time-Domain Finite Element Method）を用いて音場を解析する手法を開示している。具体的に説明すると、非特許文献１は、以下の（手順１）～（手順４）に従って音場を解析する手法を開示している。

【0003】

（手順１）
剛壁境界、振動境界又はインピーダンス境界により囲われた音場を対象とした場合の半離散化方程式に、対角質量行列と音圧の時間一階微分と等価なベクトルとを導入することで得られる連立一階常微分方程式を対象とする。連立一階常微分方程式は、具体的には、解析対象の空間における音圧の分布を示すベクトルｐ（以下、“音圧ベクトルｐ”と呼ぶ。）と、音圧ベクトルｐの時間一階微分と等価なベクトルｖ（以下、“微分ベクトルｖ”と呼ぶ。）と、を未知数として、下記（１）式及び（２）式のように表される。

【0004】

【数1】

【0005】

【数2】

【0006】

ここで、（１）式及び（２）式における“Ｍ”、“Ｋ”、“Ｃ”、及び“Ｄ”は、それぞれ質量行列、剛性行列、減衰行列、及び対角質量行列を表す。質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃ、及び対角質量行列Ｄは、それぞれ、要素質量行列Ｍ_ｅ、要素剛性行列Ｋ_ｅ、要素減衰行列Ｃ_ｅ、及び要素対角質量行列Ｄ_ｅを重ね合わせて構成される全体行列である。また、（１）式及び（２）式において、“ｆ”は解析対象の空間に加えられる外力の分布を示す外力ベクトルを表し、“ｃ_０”は音速を表し、“・”は時間に関する一階微分を表す。また、ｙ_ｎは、周波数に非依存な比音響アドミタンス比を表す。ｙ_ｎは、比音響インピーダンス比の逆数である。

【0007】

（手順２）
空気領域の有限要素として正方形又は立方体形状の線形一次要素を設定する。そして、設定された空気領域の有限要素に対して、非特許文献２に開示された離散化誤差の低減法である修正積分則を適用して、（１）式及び（２）式における質量行列Ｍと剛性行列Ｋとを計算する。

【0008】

（手順３）
（１）式及び（２）式で表される連立一階常微分方程式を時間方向に離散化することで時間進行スキームを構築し、音波の時間進行を計算する。

【0009】

（手順４）
（手順３）で音波の時間進行を計算する際に、数値的安定性を保つため、（１）式の音圧ベクトルｐの時間一階微分を１次精度の前進差分近似で離散化し、更に（２）式の微分ベクトルvの時間一階微分を１次精度の後退差分近似で離散化する。この結果として、下記（３）式及び（４）式が得られる。

【0010】

【数3】

【0011】

【数4】

【0012】

ここで、（３）式及び（４）式における“ｎ”は時間ステップ数を表す自然数であり、“Δｔ”は時間刻み幅を表す。非特許文献１に開示された手法では、（３）式及び（４）式により表される時間更新式に従って、音波の時間進行を計算する。なお、（４）式は、ｖ^ｎに関して陰的な式であるが、減衰行列Ｃに集中化を施すことによって、ｖ^ｎに関して陽的な式に変形することができる。

【0013】

このような一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法は、計算効率に関する長所として次の２点を有する。
（Ｉ）時間進行スキームが陽的であるため、連立一次方程式の求解が不要である。そのため、時間ステップあたりの計算負荷が少ない。
（ＩＩ）修正積分則の適用により、使用する要素が一次要素であるにもかかわらず、時間及び空間で４次の精度を達成することができる。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0014】

【文献】Takumi Yoshida, Takeshi Okuzono, Kimihiro Sakagami, “Numerically stable explicit time-domain finite element method for room acoustics simulation using an equivalent impedance model”, Noise Control Engineering Journal, 66(3), 176-189 (1 May2018)

【文献】B. Yue, MN. Guddati, “Dispersion-reducing finite elements for transient acoustics”, Journal of Acoustical Society of America, 118(4), 2132-2141(2005)

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0015】

陽的な時間領域有限要素法を含む計算力学的手法を用いた音響シミュレーションでは、境界面における吸音の取り扱い方法が予測結果を大きく左右する。特に、境界の吸音における周波数依存性を適切に取り扱うことは、実際の音響現象を模擬するために重要である。しかし、陽的な時間領域有限要素法による音響解析手法では、実装の容易さと計算負荷の少なさから、境界の吸音を周波数に非依存な表面インピーダンスモデルで考慮しており、吸音の周波数依存性を近似的に扱っている。これは、時間領域解析での高精度な吸音モデルの定式化には、周波数依存特性の考慮に伴い、計算負荷の大きい畳み込みが発生するためである。そのため、時間領域有限要素法を用いた音場解析において、周波数に依存するインピーダンス境界を効率的に扱うことが可能な手法が求められている。

【0016】

本発明は、以上の課題を解決するためのものであり、時間領域有限要素法を用いた音場解析において、周波数に依存するインピーダンス境界を効率的に扱うことが可能な音場解析装置、音場解析方法及びプログラムを提供することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0017】

上記目的を達成するために、本発明の第１の観点に係る音場解析装置は、
解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析装置であって、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する数値計算部、を備える。

【0018】

前記微分ベクトルの時間更新式は、前記比音響アドミタンス比を有理関数近似することにより得られる補助関数を含み、
前記数値計算部は、前記補助関数の時間発展を時間積分法により計算しても良い。

【0019】

前記数値計算部は、前記時間積分法として４次精度の陽的ルンゲクッタ法を用いて、前記補助関数の時間発展を計算しても良い。

【0020】

前記音圧ベクトルの時間更新式は、第ｎ時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を、第（ｎ－１）時間ステップでの前記音圧ベクトルの値と、第（ｎ－１）時間ステップでの前記微分ベクトルの値と、により定める式であり、
前記微分ベクトルの時間更新式は、第ｎ時間ステップでの前記微分ベクトルの値を、第（ｎ－１）時間ステップ及び第ｎ時間ステップでの前記音圧ベクトルの値と、第（ｎ－１）時間ステップでの前記微分ベクトルの値と、第ｎ時間ステップでの前記補助関数の値と、により定める式であっても良い。

【0021】

前記微分ベクトルの時間更新式は、前記微分ベクトルの時間一階微分を一次精度の後退差分近似で離散化し、更に前記音圧ベクトルの時間一階微分を二次精度の中央差分近似で離散化することにより得られても良い。

【0022】

上記目的を達成するために、本発明の第２の観点に係る音場解析方法は、
解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析方法であって、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する。

【0023】

上記目的を達成するために、本発明の第３の観点に係るプログラムは、
コンピュータを、
解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルと、前記音圧ベクトルの時間一階微分と等価な微分ベクトルと、に関する一階常微分方程式であって、前記空間を囲む境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む前記一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する音場解析装置として機能させるプログラムであって、
前記コンピュータを、
前記一階常微分方程式において、前記音圧ベクトルの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる前記音圧ベクトルの時間更新式と、前記一階常微分方程式において、前記減衰項に含まれる周波数に依存する比音響アドミタンス比の逆フーリエ変換値と前記音圧ベクトルの時間一階微分との畳み込みをAuxiliary Differential Equations法で近似することにより得られる前記微分ベクトルの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの前記音圧ベクトルの値を計算する数値計算部、として機能させる。

【発明の効果】

【0024】

本発明によれば、時間領域有限要素法を用いた音場解析において、周波数に依存するインピーダンス境界を効率的に扱うことができる。

【図面の簡単な説明】

【0025】

【図1】本発明の実施形態に係る音場解析装置の構成を示すブロック図である。

【図2】実施形態におけるメッシュの設定例を示す図である。

【図3】実施形態に係る音場解析装置における数値計算部の構成を示すブロック図である。

【図4】実施形態に係る音場解析装置によって得られた音圧の時間変化の表示例を示す図である。

【図5】実施形態に係る音場解析装置によって得られた音圧の空間分布の表示例を示す図である。

【図6】実施形態に係る音場解析装置によって実行される処理の流れを示すフローチャートである。

【図7】数値実験において、解析対象の空間として使用した音響管モデルの断面を示す図である。

【図8】数値実験において、有理関数モデルで計算した多孔質吸音体の吸音率と理論値との比較を示す図である。

【図9】数値実験において、実施形態の手法及び従来法で計算した多孔質吸音体の吸音率と理論値との比較を示す図である。

【発明を実施するための形態】

【0026】

以下、本発明の実施形態について、図面を参照して説明する。なお、図中同一又は相当する部分には同一符号を付す。

【0027】

（実施形態）
本実施形態に係る音場解析装置１０は、時間領域有限要素法を用いた波動音響数値シミュレーションにより音場を解析し、これにより音響分野における材料や測定法の開発、設計支援等に活用することが可能な装置である。ここで、音場とは、音波が存在する空間を意味する。

【0028】

図１に、音場解析装置１０の構成を示す。図１に示すように、音場解析装置１０は、制御部１１と、記憶部１２と、操作部１３と、表示部１４と、通信部１５と、を備える。

【0029】

制御部１１は、音場解析装置１０の各部と制御バスを介して接続されており、音場解析装置１０全体の動作を統括制御する。具体的に説明すると、制御部１１は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＲＯＭ（Read Only Memory）及びＲＡＭ（Random Access Memory）を備える。ＣＰＵは、例えばマイクロプロセッサ等であって、様々な処理及び演算を実行する中央演算処理部である。制御部１１において、ＣＰＵが、ＲＯＭに記憶されている制御プログラムを読み出して、ＲＡＭをワークメモリとして用いながら、各種の処理を実行する。

【0030】

記憶部１２は、フラッシュメモリ、ハードディスク等の不揮発性メモリである。記憶部１２は、オペレーションシステム、アプリケーションプログラム等の、制御部１１が各種処理を行うために使用するプログラム及びデータを記憶する。また、記憶部１２は、制御部１１が各種処理を行うことにより生成又は取得するデータを記憶する。

【0031】

操作部１３は、キーボード、マウス、ボタン、タッチパッド、タッチパネル等の入力デバイスを備えており、ユーザから操作を受け付ける。ユーザは、操作部１３を操作することによって、様々な指示を音場解析装置１０に入力することができる。操作部１３は、ユーザから入力された操作指示を受け付けると、受け付けた操作指示を制御部１１に送信する。

【0032】

表示部１４は、液晶ディスプレイ、有機ＥＬ（Electro Luminescence）ディスプレイ等の表示デバイスを備える。表示部１４は、図示しない表示駆動回路によって駆動され、制御部１１による制御のもとで様々な画像を表示する。例えば、表示部１４は、数値シミュレーションにより音場を解析した結果を表す画像を表示する。

【0033】

通信部１５は、音場解析装置１０が外部の機器と通信するための通信インタフェースを備える。通信部１５は、例えばインターネット等の広域ネットワーク、ＬＡＮ（Local Area Network）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）等の有線又は無線による通信を介して、外部の機器と通信する。

【0034】

制御部１１は、図１に示すように、機能的に、設定受付部１１０と、数値計算部１２０と、出力部１３０と、を備える。制御部１１において、ＣＰＵがＲＯＭに記憶されたプログラムをＲＡＭに読み出して実行することにより、これら各部として機能する。

【0035】

設定受付部１１０は、音場解析装置１０において音場を解析するための設定を受け付ける。ここで、設定は、数値計算部１２０が数値シミュレーションにより音圧の分布を計算するための条件やパラメータ等であって、具体的には解析対象の空間、境界条件、メッシュ等に関する情報である。設定受付部１１０は、ユーザが所望の設定を入力するための設定画面を表示部１４に表示する。ユーザは、表示部１４に表示された設定画面を見ながら、操作部１３を操作して、設定を入力する。設定受付部１１０は、ユーザにより入力された設定を受け付ける。

【0036】

第１に、設定受付部１１０は、音場解析の目的物である解析対象の空間の設定を受け付ける。具体的に説明すると、設定受付部１１０は、操作部１３を介してユーザから入力された操作に従って、解析対象の空間の次元及び形状の設定を受け付ける。

【0037】

例えば、長方形状の２次元平面内における音場を解析する場合、設定受付部１１０は、解析対象の空間として、長方形状の２次元の空間の設定を受け付ける。或いは、３次元の室内空間内における音場を解析する場合には、設定受付部１１０は、解析対象の空間として、その室内空間に対応する形状の３次元の空間の設定を受け付ける。

【0038】

第２に、設定受付部１１０は、境界条件の設定を受け付ける。境界条件は、解析対象の空間を囲む境界に関する条件である。設定受付部１１０は、操作部１３を介してユーザから入力された操作に従って、境界条件として、剛壁境界と振動境界とインピーダンス境界とのうちのいずれかの設定を受け付ける。

【0039】

剛壁境界とは、音響的に剛である境界であって、境界上における粒子の速度が０である境界である。剛壁境界に入射した音波は、吸収されずに完全に反射される。これに対して、振動境界とは、境界上における粒子が振動可能な境界である。また、インピーダンス境界とは、音響インピーダンスを有する境界である。インピーダンス境界に入射した音波は、その境界の音響インピーダンス値ｚ_ｎに応じた吸収率で吸収される。そのため、音波は、インピーダンス境界で反射することにより減衰する。

【0040】

解析対象の空間を囲む境界のうちの少なくとも一部にインピーダンス境界が含まれる場合、インピーダンス境界で反射された音波の減衰を評価するため、一階常微分方程式には、（２）式に示したように減衰行列Ｃを含む減衰項が必要になる。これに対して、解析対象の空間を囲む境界にインピーダンス境界が含まれない場合、（２）式における減衰行列Ｃを含む減衰項は不要になる。以下では、解析対象の空間を囲む境界の少なくとも一部にインピーダンス境界が含まれる場合を例にとって説明する。境界条件としてインピーダンス境界を設定する場合、設定受付部１１０は、そのインピーダンス境界における音響インピーダンス値ｚ_ｎの設定をユーザから受け付ける。

【0041】

第３に、設定受付部１１０は、メッシュの設定を受け付ける。ここで、メッシュは、解析対象の空間を数値的に解析するために、解析対象の空間を四角形等の単純な形状をした複数の有限要素に分割（離散化）したものである。なお、有限要素は、単に“要素”とも呼ぶ。設定受付部１１０は、操作部１３を介してユーザから入力された操作に従って、メッシュを構成する複数の要素の形状及びサイズの設定を受け付ける。

【0042】

図２に、２次元の解析対象の空間２０を四角形状の要素で分割した例を示す。解析対象の空間２０が２次元である場合、解析対象の空間２０は、例えば図２に示すように、１辺の長さｈの正方形状の要素によって、横方向にＸ個、縦方向にＹ個に分割される。すなわち、解析対象の空間２０は、合計（Ｘ×Ｙ）個の要素で離散化される。或いは、解析対象の空間が３次元である場合には、図示は省略するが、解析対象の空間は、立方体、直方体等の３次元形状の要素によって、横方向、縦方向及び高さ方向に分割される。

【0043】

音場解析装置１０は、このように離散化された要素の単位で音圧の値を計算することにより、解析対象の空間における音圧の分布を解析する。要素のサイズを小さく設定するほど、空間の離散化に伴う誤差が小さくなるため解析精度が向上するが、計算量が増大する。

【0044】

第４に、設定受付部１１０は、時間刻み幅Δｔ、総ステップ数Ｎｓ、及び外力ベクトルｆの設定を受け付ける。時間刻み幅Δｔは、解析対象の空間における音波の時間進行を計算するための時間ステップの単位である。時間刻み幅Δｔを小さく設定するほど、時間の離散化に伴う誤差が小さくなるため解析精度が向上するが、計算量が増大する。総ステップ数Ｎｓは、解析対象の空間における音波の時間進行を初期状態から何ステップ先まで計算するかを示す値である。数値計算部１２０は、Δｔ×Ｎｓの時間区間に亘って、音圧を計算する。外力ベクトルｆは、計算開始から計算終了までの時間区間において、解析対象の空間に加えられる外力の分布を示すベクトルである。

【0045】

このように、設定受付部１１０は、時間領域有限要素法により音場を解析するための設定を、操作部１３を介してユーザから受け付ける。設定受付部１１０は、制御部１１が操作部１３等と協働することにより実現される。

【0046】

図１に戻って、数値計算部１２０は、設定受付部１１０により受け付けられた設定のもとで、数値計算を実行する。具体的に説明すると、数値計算部１２０は、解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルｐと、音圧ベクトルｐの時間一階微分と等価な微分ベクトルｖと、に関する一階常微分方程式から得られる音圧ベクトルｐの時間更新式と微分ベクトルｖの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐの値を計算する。一階常微分方程式は、（１）式及び（２）式に示した式であって、境界での音波の減衰を評価するための減衰項を含む。

【0047】

ここで、数値計算部１２０による計算手法について説明する。本実施形態において、数値計算部１２０は、音圧ベクトルｐの時間更新式として、背景技術で説明した（３）式を用いる。（３）式は、背景技術で説明したように、（１）式において音圧ベクトルｐの時間一階微分を１次精度の差分近似で離散化することにより得られる音圧ベクトルｐの時間更新式である。一方で、数値計算部１２０は、境界での吸音の周波数依存性を取り扱うために、微分ベクトルｖの時間更新式として、背景技術で説明した（４）式とは異なる時間更新式を用いる。

【0048】

以下、本実施形態における微分ベクトルｖの時間更新式の導出について説明する。周波数に依存するインピーダンス境界を扱う場合、背景技術で説明した（２）式は、以下の（５）式のように書き換えられる。ここで、（５）式における“＊”は、以下の（６）式で定められる畳み込みを表す。また、（６）式において、“＾”付きのｙは、周波数に依存する比音響アドミタンス比ｙ（ω）の逆フーリエ変換値を表す。

【0049】

【数5】

【0050】

【数6】

【0051】

ここで、一般的に、時間領域有限要素法による音響解析は、計算時間ステップ数が大きくなる。よって、（５）式における畳み込みの計算コストは膨大となるため、畳み込みを伴う手法の実用的な使用は困難である。従って、時間領域有限要素法で周波数に依存するインピーダンス境界を扱うには、効率的な畳み込み手法が必要となる。

【0052】

そこで、本実施形態では、計算効率に優れた再帰的な畳み込み手法であるＡＤＥ（Auxiliary Differential Equations）法により、時間領域有限要素法に周波数依存性を効率的に組み込む。ここで、ＡＤＥ法の詳細は、例えば“D. Dragna, A generalized recursive convolution method for time-domain propagation in porous media, Journal of Acoustical Society of America, 1030-1042 (2015) ”に開示されている。

【0053】

ＡＤＥ法を用いる場合、周波数に依存する比音響アドミタンス比ｙ（ω）を、以下の（７）式のように有理関数近似する。（７）式において、ω，ｊは、それぞれ角周波数と虚数単位ｊ^２＝－１である。また、ｎ_ｒｐ，ｎ_ｃｐは、それぞれ有理関数近似に使用される実数の極λ_ｉの数及び複素共役な極の対α_ｉ±ｊβ_ｉの数である。ｙ_∞，Ａ_ｉ，Ｂ_ｉ，Ｃ_ｉは、係数である。

【0054】

【数7】

【0055】

（７）式における極λ_ｉ，α_ｉ，β_ｉ及び係数ｙ_∞，Ａ_ｉ，Ｂ_ｉ，Ｃ_ｉは、全て実数であり、その値はデータフィッティングの手法を用いることで得られる。例えば、上述の極及び係数に適当な初期値を与えた（７）式を用いて複数の周波数におけるｙ（ω）を計算した計算値と、その理論値又は実験値とを、比較する。そして、（７）式を用いた計算値と理論値又は実験値とが高い精度で一致するように、データフィッティングの手法を用いて、極λ_ｉ，α_ｉ，β_ｉ及び係数ｙ_∞，Ａ_ｉ，Ｂ_ｉ，Ｃ_ｉを決定する。なお、因果性を満たすため、λ_ｉ，α_ｉは正の値となる。

【0056】

有理関数近似された比音響アドミタンス比ｙ（ω）を用いることで、（５）式の畳み込みは、以下の（８）式のように、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）を用いて近似できる。補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）は、アキュムレータと呼ばれる。

【0057】

【数8】

【0058】

ここで、（８）式における補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の時間発展は、それぞれ以下の（９）、（１０）、（１１）式により表される一階常微分方程式により計算される。

【0059】

【数9】

【0060】

【数10】

【0061】

【数11】

【0062】

数値計算部１２０は、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の時間発展を、時間積分法により計算する。時間積分法として、例えば、ルンゲクッタ法、オイラー法、クランク・ニコルソン法、ホイン法等の周知の手法を用いることができる。

【0063】

なお、時間積分法の精度と安定性は、計算全体の精度と安定性に影響を及ぼす。そのため、効率的なシミュレーションのためには、適切な時間積分法を選択する必要がある。後述の数値実験で示すように、陽的な時間領域有限要素法では、４次精度の陽的ルンゲクッタ法を用いることで（８）式を高精度かつ安定的に計算できる。そのため、以下では、時間積分法として、４次精度の陽的ルンゲクッタ法を用いる場合を例にとって説明する。なお、時間領域有限要素法における４次精度の陽的ルンゲクッタ法の詳細は、例えば“P. O. J. Scherer, Computational Physics: Simulation of Classical and Quantum Systems, Third ed. (Springer Nature,Berlin/Heidelberg, 2017).”に開示されている。

【0064】

続いて、周波数に依存するインピーダンス境界を扱う場合の陽的スキームを構築する。具体的には、（８）式を（５）式に代入することで、以下の（１２）式が導出される。

【0065】

【数12】

【0066】

（１２）式を安定的に解くため、微分ベクトルｖの時間一階微分を一次精度の後退差分近似で離散化する。更に、周波数に依存するインピーダンス境界を高精度に計算するため、音圧ベクトルｐの時間一階微分を２次精度の中央差分近似で離散化する。その際、音圧ベクトルｐの時間一階微分は、（３）式を踏まえて以下の（１３）式のように離散化される。

【0067】

【数13】

【0068】

更に、完全な陽的スキームとするため、（１３）式の質量行列Ｍを集中化して対角質量行列Ｄに変換する。結果として、微分ベクトルｖの時間更新式は、以下の（１４）式のように表される。（１４）式は、周波数に依存する比音響アドミタンス比ｙ（ω）の逆フーリエ変換値と音圧ベクトルｐの時間一階微分との畳み込みをＡＤＥ法により近似することにより得られた微分ベクトルｖの時間更新式である。

【0069】

【数14】

【0070】

数値計算部１２０は、このようにして導出された微分ベクトルｖの時間更新式である（１４）式と、音圧ベクトルｐの時間更新式である（３）式と、に従って、複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐの値を計算する。

【0071】

図３に、数値計算部１２０のより詳細な構成を示す。図３に示すように、数値計算部１２０は、行列設定部１２１と、音圧ベクトル計算部１２３と、補助関数計算部１２４と、微分ベクトル計算部１２５と、繰り返し部１２７と、の機能を有する。

【0072】

行列設定部１２１は、（３）式と（１４）式とに含まれる質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃ、及び対角質量行列Ｄを設定する。質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃ、及び対角質量行列Ｄは、解析対象の空間を離散化する要素の数に対応するサイズの行列であって、各行列に含まれる要素の値は、解析対象の空間の次元及び形状と、離散化する要素の形状と、に依存して定められる。そのため、行列設定部１２１は、設定受付部１１０によりユーザから受け付けられた設定に応じて、質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃ、及び対角質量行列Ｄを設定する。これにより、行列設定部１２１は、音圧ベクトルｐ及び微分ベクトルｖの時間更新式を確立する。

【0073】

より詳細には、行列設定部１２１は、非特許文献２に開示された修正積分則を適用して、質量行列Ｍ及び剛性行列Ｋを計算する。計算方法としては、例えば、非特許文献２に習い、行列設定部１２１において、設定受付部１１０により設定された時間刻み幅Δｔ及び要素長ｈからクーラン数τを計算し、数値積分点α_ｍ及びα_ｋを設定する。そして、行列設定部１２１は、設定した数値積分点α_ｍ及びα_ｋを用いてＧａｕｓｓ－Ｌｅｇｅｎｄｒｅ求積法により要素質量行列Ｍ_ｅ及び要素剛性行列Ｋ_ｅを計算し、質量行列Ｍ及び剛性行列Ｋを設定する。

【0074】

ここで、数値積分点α_ｍ及びα_ｋから要素質量行列Ｍ_ｅ及び要素剛性行列Ｋ_ｅを計算し、更に質量行列Ｍ及び剛性行列Ｋを得る手法は、非特許文献１，２等に開示されている周知の手法を用いることができる。また、行列設定部１２１は、非特許文献１，２等に開示されている周知の手法を用いて、対角行列である要素対角質量行列Ｄ_ｅを計算し、対角質量行列Ｄを設定する。

【0075】

更に、行列設定部１２１は、インピーダンス境界において設定された音響インピーダンス値ｚ_ｎを用いて要素減衰行列Ｃ_ｅを計算し、減衰行列Ｃを設定する。音響インピーダンス値ｚ_ｎから要素減衰行列Ｃ_ｅを計算し、更に減衰行列Ｃを得る手法は、非特許文献１等に開示されている周知の手法を用いることができる。

【0076】

音圧ベクトル計算部１２３は、音圧ベクトルｐの時間更新式である（３）式に従って、第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎを計算する。ここで、第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎは、解析対象の空間に設定された複数の要素のそれぞれにおける、計算開始時点からｎ番目の時間ステップでの音圧の値を要素として有するベクトルである。

【0077】

上述したように、（３）式は、第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎの値を、第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の値と、第（ｎ－１）時間ステップの微分ベクトルｖ^ｎ－１の値と、により定める式である。従って、音圧ベクトル計算部１２３は、第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎの値を、第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の値と、第（ｎ－１）時間ステップの微分ベクトルｖ^ｎ－１の値と、から計算する。

【0078】

補助関数計算部１２４は、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の時間更新式である（９）～（１１）式に従って、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の時間発展を計算する。上述したように、微分ベクトルｖの時間更新式である（１４）式は、比音響アドミタンス比ｙ（ω）を有理関数近似することにより得られる補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）を含んでいる。補助関数計算部１２４は、４次精度の陽的ルンゲクッタ法を用いて、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の時間発展を計算する。

【0079】

具体的に説明すると、補助関数計算部１２４は、第（ｎ－１）時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値と、第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の時間一階微分と、４次精度の陽的ルンゲクッタ法とを用いて（９）～（１１）式の常微分方程式を解くことにより、第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値を計算する。第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の時間一階微分としては第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１を用いる。

【0080】

微分ベクトル計算部１２５は、微分ベクトルｖの時間更新式である（１４）式に従って、第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎを計算する。ここで、第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎは、解析対象の空間に設定された複数の要素のそれぞれにおける、計算開始時間ステップからｎ番目の時間ステップでの音圧の時間一階微分に相当する値を要素として有するベクトルである。

【0081】

上述したように、（１４）式は、第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎの値を、第（ｎ－１）時間ステップ及び第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１，ｐ^ｎの値と、第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１の値と、第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値と、により定める式である。従って、微分ベクトル計算部１２５は、第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎの値を、音圧ベクトル計算部１２３により計算された音圧ベクトルｐ^ｎ－１，ｐ^ｎの値と、補助関数計算部１２４により計算された補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値と、第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１の値と、から計算する。

【0082】

繰り返し部１２７は、ｎの値を１ずつ増加させながら、音圧ベクトル計算部１２３により第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎの値を計算する処理と、補助関数計算部１２４により第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値を計算する処理と、微分ベクトル計算部１２５により第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎの値を計算する処理と、を繰り返す。具体的に説明すると、繰り返し部１２７は、ｎの値を１から総ステップ数Ｎｓに達するまで変化させながら、ｎ＝ｋのときの音圧ベクトルｐ^ｋ、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）及び微分ベクトルｖ^ｋの値を、ｎ＝ｋ－１のときに計算された音圧ベクトルｐ^ｋ－１、補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）及び微分ベクトルｖ^ｋ－１の値を用いて計算する。これにより、繰り返し部１２７は、第１時間ステップから第Ｎｓ時間ステップまでの複数の時間ステップにおける音圧ベクトルｐ^１～ｐ^Ｎｓ及び微分ベクトルｖ^１～ｖ^Ｎｓの値を計算する。

【0083】

なお、ｎ＝０のときの音圧ベクトルｐ^ｎと微分ベクトルｖ^ｎ、及び補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値は定義されていない。そのため、これらのベクトルの値は、初期条件として０等の適当な値に予め設定しておく。その上で、繰り返し部１２７は、（３）式及び（１４）式に従って音圧ベクトルｐ^ｎ及び微分ベクトルｖ^ｎを計算する。

【0084】

このようにして、数値計算部１２０は、解析対象の空間における音圧の分布を示す音圧ベクトルｐとその時間一階微分と等価な微分ベクトルｖとを１ステップずつ計算することにより、音波の時間進行を解析する。数値計算部１２０は、制御部１１が記憶部１２等と協働することにより実現される。

【0085】

図１に戻って、出力部１３０は、数値計算部１２０により計算された複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐに基づく出力情報を出力する。複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐに基づく出力情報とは、数値計算部１２０による数値計算により得られた第１時間ステップから第Ｎｓ時間ステップまでの音圧ベクトルｐ^１～ｐ^Ｎｓに基づいて表現することが可能な情報である。出力部１３０は、出力情報として、音圧の時間変化と、音圧の空間分布と、のうちの少なくとも一方を表す情報を出力する。

【0086】

例えば、図４に示すように、出力部１３０は、出力情報として、解析対象の空間内の特定の位置における音圧の時間変化を示す情報を表示部１４に表示出力する。出力部１３０は、数値計算部１２０により計算された第１時間ステップから第Ｎｓ時間ステップまでの音圧ベクトルｐ^１～ｐ^Ｎｓに含まれる音圧の値のうちの、ユーザにより指定された位置の音圧の値を時系列順に並べる。これにより、出力部１３０は、特定の位置における音圧の時間変化を表す画像を生成し、図４に示すように表示部１４に表示出力する。

【0087】

別の例として、図５に示すように、出力部１３０は、出力情報として、特定の時間ステップでの解析対象の空間における音圧の空間分布を示す情報を表示部１４に表示出力する。出力部１３０は、数値計算部１２０により計算された第１時間ステップから第Ｎｓ時間ステップまでの音圧ベクトルｐ^１～ｐ^Ｎｓに含まれる音圧の値のうちの、ユーザにより指定された時間ステップにおける音圧ベクトルの値を、空間分布を表すように並べる。これにより、出力部１３０は、特定の時間ステップでの音圧の空間分布を表す画像を生成し、図５に示すように表示部１４に表示出力する。なお、図５では、例として１次元方向（縦方向、横方向等）の分布を表す画像を表示しているが、出力部１３０は、音圧の２次元又は３次元の分布を表す画像を表示しても良い。

【0088】

或いは、出力部１３０は、音圧の時間変化と空間分布とをどちらも出力しても良い。例えば、出力部１３０は、解析対象の空間内を音波がどのように伝わるかを可視化するために、音圧の空間分布の複数の時間ステップにおける時間変化を表す動画像を生成し、表示部１４に表示出力しても良い。ユーザは、このように表示部１４に表示された音圧の時間変化や空間分布を確認することで、解析対象の空間内で音波がどのように伝搬又は分布するかの情報を得ることができる。

【0089】

更には、時間変化や空間分布以外にも、出力部１３０は、出力情報として、解析対象の空間の音響特性を表す音響パラメータ（例えば残響時間）を出力しても良い。出力部１３０に出力情報としてどのような情報を出力させるかは、ユーザが操作部１３を介して適宜設定することができる。出力部１３０は、制御部１１が表示部１４等と協働することにより実現される。

【0090】

以上のように構成される音場解析装置１０によって実行される音場解析処理の流れについて、図６に示すフローチャートを参照して説明する。図６に示す音場解析処理は、音場解析装置１０が音場解析処理を実行可能な状態において、ユーザからの指示入力に従って適宜開始される。

【0091】

音場解析処理を開始すると、制御部１１は、設定受付部１１０として機能し、音場解析における条件及びパラメータの設定を受け付ける（ステップＳ１１）。具体的に説明すると、制御部１１は、解析対象の空間の次元及び形状、境界条件、要素の形状及びサイズ、時間刻み幅Δｔ、総ステップ数Ｎｓ、外力ベクトルｆ、インピーダンス境界における音響インピーダンス値ｚ_ｎ等の設定を、操作部１３を介してユーザから受け付ける。

【0092】

設定を受け付けると、制御部１１は、行列設定部１２１として機能し、質量行列Ｍ、剛性行列Ｋ、減衰行列Ｃ、及び対角質量行列Ｄを設定する（ステップＳ１２）。具体的に説明すると、制御部１１は、ステップＳ１１で設定された時間刻み幅Δｔとメッシュの要素長ｈとから数値積分点α_ｍ及びα_ｋを設定する。そして、制御部１１は、数値積分点α_ｍ及びα_ｋからそれぞれ要素質量行列Ｍ_ｅ及び要素剛性行列Ｋ_ｅを計算し、質量行列Ｍ及び剛性行列Ｋを設定する。更に、制御部１１は、ステップＳ１１で設定された音響インピーダンス値ｚ_ｎから要素減衰行列Ｃ_ｅを計算し、減衰行列Ｃを設定する。

【0093】

行列を設定すると、制御部１１は、ｎの値を１に初期化する（ステップＳ１３）。そして、制御部１１は、ｎの値を増加させながら、音圧ベクトルｐ及び微分ベクトルｖを１ステップ毎に計算する処理に移行する。

【0094】

第１に、制御部１１は、音圧ベクトル計算部１２３として機能し、（３）式に従って音圧ベクトルｐ^ｎを計算する（ステップＳ１４）。具体的に説明すると、制御部１１は、第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１と、第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１と、を（３）式に代入することにより、第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎを計算する。

【0095】

音圧ベクトルｐ^ｎを計算すると、制御部１１は、第２に、補助関数計算部１２４として機能し、第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）を計算する（ステップＳ１５）。具体的に説明すると、制御部１１は、第（ｎ－１）時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値と、第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の時間一階微分と、４次精度の陽的ルンゲクッタ法とを用いて（９）～（１１）式の常微分方程式を解くことにより第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）の値を計算する。第（ｎ－１）時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎ－１の時間一階微分としては第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１を用いる。

【0096】

補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）を計算すると、制御部１１は、第３に、微分ベクトル計算部１２５として機能し、（１４）式に従って微分ベクトルｖ^ｎを計算する（ステップＳ１６）。具体的に説明すると、制御部１１は、第（ｎ－１）時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎ－１と、第ｎ時間ステップでの外力ベクトルｆ^ｎと、ステップＳ１４で計算された第ｎ時間ステップでの音圧ベクトルｐ^ｎと、ステップＳ１５で計算された第ｎ時間ステップでの補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）とを（１４）式に代入することにより、第ｎ時間ステップでの微分ベクトルｖ^ｎを計算する。

【0097】

微分ベクトルｖ^ｎを計算すると、制御部１１は、ｎの値が総ステップ数Ｎｓよりも小さいか否かを判定する（ステップＳ１７）。ｎの値が総ステップ数Ｎｓよりも小さい場合（ステップＳ１７；ＹＥＳ）、制御部１１は、ｎの値をインクリメントする（ステップＳ１８）。そして、制御部１１は、繰り返し部１２７として機能し、処理をステップＳ１４に戻してステップＳ１４～Ｓ１７の処理を再び実行する。

【0098】

具体的に説明すると、制御部１１は、インクリメント前のｎの値で既に計算された音圧ベクトルｐ^ｎと補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）と微分ベクトルｖ^ｎを用いて、インクリメント後のｎの値における音圧ベクトルｐ^ｎと補助関数φ_ｉ，ψ_ｉ ^（１），ψ_ｉ ^（２）と微分ベクトルｖ^ｎを計算する。そして、制御部１１は、ｎの値が総ステップ数Ｎｓに達したか否かを判定し、ｎの値が総ステップ数Ｎｓに達していない場合、ｎの値をインクリメントして再びステップＳ１４～Ｓ１７の処理を実行する。このようにして、制御部１１は、ｎの値が総ステップ数Ｎｓに達するまで、ｎの値を１ずつ増加させながら音圧ベクトルｐ^ｎと微分ベクトルｖ^ｎを計算することで、解析対象の空間における音波の時間進行を計算する。

【0099】

最終的に、ｎの値が総ステップ数Ｎｓに達すると（ステップＳ１７；ＮＯ）、制御部１１は、出力部１３０として機能し、計算結果を出力する（ステップＳ１９）。例えば、制御部１１は、ステップＳ１４～Ｓ１７の処理を繰り返すことで計算された音圧ベクトルｐ^１～ｐ^Ｎｓにより表現される音波の時間波形や音圧分布を示す画像を生成する。そして、制御部１１は、図４及び図５に示したように、音圧の時間変化や空間分布を示す画像を表示部１４に表示する。

【0100】

以上説明したように、本実施形態に係る音場解析装置１０は、一階常微分方程式に基づく時間領域有限要素法を用いて音場を解析する装置であって、音圧ベクトルｐの時間一階微分を差分近似で離散化することにより得られる音圧ベクトルｐの時間更新式と、周波数に依存する比音響アドミタンス比ｙ（ω）の逆フーリエ変換値と音圧ベクトルｐの時間一階微分との畳み込みをＡＤＥ法で近似することにより得られる微分ベクトルｖの時間更新式と、に従って、複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐの値を計算する。このように、計算負荷の大きい畳み込みをＡＤＥ法で近似するため、本実施形態に係る音場解析装置１０は、周波数に依存するインピーダンス境界を効率的に扱うことができる。

【0101】

特に、周波数に非依存な表面インピーダンスモデルを用いた従来法では、吸音の周波数依存性を反映するために複数の帯域に分けての計算が必要であった。これに対して、本実施形態に係る音場解析装置１０は、一度の計算でより高精度に吸音の周波依存性が反映することができる。

【0102】

また、本実施形態に係る音場解析装置１０は、ＡＤＥ法に付随する常微分方程式である（９）、（１０）、（１１）式を４次精度の陽的ルンゲクッタ法で解くことで、高精度かつ安定的に吸音の周波数依存性を反映することができる。

【0103】

（数値実験）
次に、上記実施形態に係る音場解析装置１０によって音圧をどの程度精度良く推定できるかを数値実験により評価した。これにより、上記実施形態に係る音場解析装置１０による精度改善の効果を検証した。

【0104】

図７に、数値実験において解析対象の空間として使用した音響管モデルの断面を示す。数値実験では、図７に示すように、管端に、周波数に依存するインピーダンス境界をもつ幅０．０１ｍ×０．０１ｍ、長さ０．５ｍの音響管内の音場を解析対象とした。

【0105】

周波数に依存するインピーダンス境界には、Ｍｉｋｉの式でモデル化した、背後剛壁の多孔質吸音体の表面インピーダンスを与えた。なお、Ｍｉｋｉの式の詳細は、“Y. Miki, "Acoustical properties of porous materials - Modification of Delany-Bazley models -," J.Acoust.Soc.Jpn.(E),11,19-24(1990).”に記載されている。多孔質材の厚みと単位厚さ流れ抵抗は、それぞれ０．０２５ｍ、Ｒ＝１３，０００Ｐａ ｓ／ｍ^２とした。この多孔質吸音体の比音響アドミタンス比ｙ（ω）は、ｎ_ｒｐ＝ｎ_ｃｐ＝４で有理関数近似した。

【0106】

図８に、有理関数モデルで計算した多孔質吸音体の吸音率と理論値との比較を示す。図８では、縦軸に吸音率を表し、横軸に周波数を表している。図８に示すように、破線で示す有理関数モデルの計算値と、実線で示すその理論値とは、良好に一致している。

【0107】

なお、音響管モデルは、要素長が０．００５ｍの６節点立方体要素で離散化した。解析の初期条件として、音響管の入口への平面波入射を仮定した。解析上限周波数は１０ｋＨｚとした。また、時間刻み幅Δｔは、Δｔ＝ｌ・Δｔ_{ＬＩＭＩＴ}とした。ここで、Δｔ_{ＬＩＭＩＴ}は、立方体要素使用時の空気領域の計算における陽的な時間領域有限要素法の時間刻み幅Δｔの安定限界値である（非特許文献１）。また、ｌは、数値的に求めた係数である。ｌ＝１の場合、安定性は空気領域と同等であり、ｌ＜１の場合、安定性が空気領域より悪化したことを表す。

【0108】

図９に、実施形態の手法で計算した多孔質吸音体の吸音率と理論値との比較を示す。図９では、図８と同様に、縦軸に吸音率を表し、横軸に周波数を表している。図９に示すように、破線で示す実施形態の手法の計算値と、実線で示すその理論値とは、良好に一致している。

【0109】

また、図９には、実施形態の手法の有効性を示すため、従来法による計算結果の例もあわせて一点鎖線で載せている。従来法では、境界の吸音を周波数に非依存な表面インピーダンスモデルを用いて、２５０Ｈｚから８ｋＨｚの６つのオクターブバンド毎に分けて解析した場合を示している。従来法を用いる場合、６回の計算を要する上に、吸音の周波数特性が適切に反映されていないことが分かる。これに対して、実施形態の手法を使用することで、広帯域の吸音特性を１度の計算で高精度に反映できることが確認できる。また、実施形態の手法はｌ＝０．８５で安定的に計算可能であり、安定性に関しても優れている。

【0110】

（変形例）
以上に本発明の実施形態について説明したが、上記実施形態は一例であり、本発明の適用範囲はこれに限られない。すなわち、本発明の実施形態は種々の応用が可能であり、あらゆる実施の形態が本発明の範囲に含まれる。

【0111】

例えば、上記実施形態では、（３）式に示した音圧ベクトルｐの時間更新式は、音圧ベクトルｐの時間一階微分を１次精度の前進差分近似で離散化ことにより得られた。また、（１４）式に示した微分ベクトルｖの時間更新式は、微分ベクトルｖの時間一階微分を一次精度の後退差分近似で離散化し、更に音圧ベクトルｐの時間一階微分を二次精度の中央差分近似で離散化することにより得られた。しかしながら、音圧ベクトルｐ及び微分ベクトルｖの時間一階微分は、これ以外の手法で離散化されても良い。

【0112】

上記実施形態では、行列設定部１２１は、非特許文献２に開示された修正積分則に習って、時間刻み幅Δｔ及び要素長ｈからクーラン数τを計算し、数値積分点α_ｍ，α_ｋを設定した。しかしながら、行列設定部１２１は、他の手法で数値積分点α_ｍ，α_ｋを設定しても良い。例えば、行列設定部１２１は、“Takumi Yoshida, Takeshi Okuzono, Kimihiro Sakagami, “Time domain room acoustic solver with fourth-order explicit FEM using modified time integration," Applied Sciences, 10, 3750(2020).”に開示された、解析対象の空間を離散化する要素の形状に依存しない数値積分点α_ｍ，α_ｋを使用しても良い。この場合、数値積分点α_ｍ，α_ｋは、クーラン数τを用いずに、“α_ｍ＝±√（４／３）”及び“α_ｋ＝±√（２／３）”と設定される。

【0113】

上記実施形態では、音場解析装置１０は、表示部１４を備えており、出力部１３０は、数値計算部１２０により計算された複数の時間ステップでの音圧ベクトルｐに基づく出力情報を表示部１４に表示出力した。しかしながら、出力部１３０は、通信部１５による通信を介して、出力情報を音場解析装置１０の外部の装置に出力しても良い。そして、外部の装置が、例えば図４又は図５に示したように、出力部１３０から出力された出力情報を表示するようにしても良い。このように出力情報が外部の装置に出力される場合には、音場解析装置１０は、表示部１４を備えていなくても良い。

【0114】

上記実施形態では、音場解析装置１０の制御部１１において、ＣＰＵがＲＯＭ又は記憶部１２に記憶されたプログラムを実行することによって、設定受付部１１０、数値計算部１２０及び出力部１３０のそれぞれとして機能した。しかしながら、制御部１１は、専用のハードウェアであってもよい。専用のハードウェアとは、例えば単一回路、複合回路、プログラム化されたプロセッサ、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）、ＦＰＧＡ（Field-Programmable Gate Array）、これらの組み合わせ等である。制御部１１が専用のハードウェアである場合、各部の機能それぞれを個別のハードウェアで実現してもよいし、各部の機能をまとめて単一のハードウェアで実現してもよい。また、各部の機能のうち、一部を専用のハードウェアによって実現し、他の一部をソフトウェア又はファームウェアによって実現してもよい。このように、制御部１１は、ハードウェア、ソフトウェア、ファームウェア、又は、これらの組み合わせによって、上述の各機能を実現することができる。

【0115】

本発明に係る音場解析装置の動作を規定する動作プログラムを既存のパーソナルコンピュータ、情報端末装置等に適用することで、当該パーソナルコンピュータ又は情報端末装置等を、本発明に係る音場解析装置として機能させることも可能である。

【0116】

また、このようなプログラムの配布方法は任意であり、例えば、ＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disk ROM）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＭＯ（Magneto Optical Disk）、メモリカード等のコンピュータ読み取り可能な記録媒体に格納して配布してもよいし、インターネット等の通信ネットワークを介して配布してもよい。

【0117】

本発明は、本発明の広義の精神と範囲を逸脱することなく、様々な実施形態及び変形が可能とされるものである。また、上述した実施形態は、この発明を説明するためのものであり、本発明の範囲を限定するものではない。すなわち、本発明の範囲は、実施形態ではなく、特許請求の範囲によって示される。そして特許請求の範囲内及びそれと同等の発明の意義の範囲内で施される様々な変形が、この発明の範囲内とみなされる。

【符号の説明】

【0118】

１０ 音場解析装置
１１ 制御部
１２ 記憶部
１３ 操作部
１４ 表示部
１５ 通信部
２０ 空間
１１０ 設定受付部
１２０ 数値計算部
１２１ 行列設定部
１２３ 音圧ベクトル計算部
１２４ 補助関数計算部
１２５ 微分ベクトル計算部
１２７ 繰り返し部
１３０ 出力部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】