特許 7504099 ビデオ符号化用の方法及び装置

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2024-06-13

(45)【発行日】2024-06-21

(54)【発明の名称】ビデオ符号化用の方法及び装置

(51)【国際特許分類】

   H04N 19/12 20140101AFI20240614BHJP

   H04N 19/136 20140101ALI20240614BHJP

   H04N 19/176 20140101ALI20240614BHJP

   H04N 19/70 20140101ALI20240614BHJP

【ＦＩ】

H04N19/12

H04N19/136

H04N19/176

H04N19/70

【請求項の数】 5

(21)【出願番号】P 2021532395

(86)(22)【出願日】2020-03-09

(65)【公表番号】

(43)【公表日】2022-02-01

(86)【国際出願番号】 US2020021659

(87)【国際公開番号】W WO2020185656

(87)【国際公開日】2020-09-17

【審査請求日】2021-06-08

(31)【優先権主張番号】62/816,124

(32)【優先日】2019-03-09

(33)【優先権主張国・地域又は機関】US

(31)【優先権主張番号】16/812,000

(32)【優先日】2020-03-06

(33)【優先権主張国・地域又は機関】US

(73)【特許権者】

【識別番号】520353802

【氏名又は名称】テンセント・アメリカ・エルエルシー

(74)【代理人】

【識別番号】100107766

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠重

(74)【代理人】

【識別番号】100070150

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠彦

(74)【代理人】

【識別番号】100135079

【弁理士】

【氏名又は名称】宮崎 修

(72)【発明者】

【氏名】ジャオ，シン

(72)【発明者】

【氏名】リ，シアン

(72)【発明者】

【氏名】リィウ，シャン

【審査官】間宮 嘉誉

(56)【参考文献】

【文献】ZHOU, Minhua et al.，CE6-related: A Study of Primary Transforms，JVET-M0046 (version 1)，ITU，2018年12月24日，pp.1-10，JVET-M0046-v1.docx

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｈ０４Ｎ ７／１２

Ｈ０４Ｎ １９／００－１９／９８

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

デコーダにおけるビデオ復号用の方法であって、
符号化されたビデオビットストリームから係数ブロックの符号化情報を復号するステップであって、前記符号化情報が前記係数ブロックのサイズを示すステップと、
前記係数ブロックの前記サイズに基づいて、逆一次変換の逆水平変換および逆垂直変換の適用順序を決定するステップであって、前記逆一次変換は、前記係数ブロックの変換係数を中間ブロックの中間データに変換し、前記中間データを残余ブロックの残余データに変換するものである、ステップと、
前記逆一次変換を実行するステップであって、
第１順序では、先に前記逆垂直変換、後に前記逆水平変換を適用し、
第２順序では、先に前記逆水平変換、後に前記逆垂直変換を適用し、
前記第１順序において先に適用される前記逆垂直変換では、前記係数ブロックの前記変換係数を前記中間ブロックの前記中間データに変換し、前記中間ブロックの前記中間データの上位１６行が計算されており、前記中間ブロックの残りの中間データがゼロであり、
前記第２順序において先に適用される前記逆水平変換では、前記係数ブロックの前記変換係数を前記中間ブロックの前記中間データに変換し、前記中間ブロックの前記中間データの左１６列が計算されており、前記中間ブロックの残りの中間データがゼロであり、
前記第１順序において後に適用される前記逆水平変換及び前記第２順序において後に適用される前記逆垂直変換では、前記中間ブロックの前記中間データを前記残余ブロックの前記残余データに変換する、ステップと、
前記残余データに基づいて前記残余ブロック内のサンプルを再構成するステップと、を含む方法。

【請求項2】

前記適用順序を決定するステップは、前記係数ブロックの前記サイズが３２×６４である場合、前記第２順序を用いると決定し、前記係数ブロックの前記サイズが３２×６４と異なる場合前記第１順序を用いると決定するステップを含む、請求項１に記載の方法。

【請求項3】

前記適用順序を決定するステップは、前記係数ブロックの前記サイズがＭ×Ｎであり、高さＮが幅Ｍよりも大きい場合、第２順序を用い、高さＮが幅Ｍ以下である場合、第１順序を用いると決定するステップを含む、請求項１に記載の方法。

【請求項4】

前記係数ブロックの前記サイズがＭ×Ｎであり、Ｍ及びＮのうちの両方が３２よりも大きい場合、前記適用順序を決定するステップにおいて決定された前記第１順序又は前記第２順序において、前記逆垂直変換及び前記逆水平変換を適用する、請求項１に記載の方法。

【請求項5】

請求項１乃至４いずれか１項記載の方法を実行するように構成された処理回路を含む、ビデオ復号用の装置。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

［関連出願の相互参照］
本出願は２０２０年３月６日に出願された米国特許出願第１６／８１２,０００号「ビデオ符号化用の方法と装置」の優先権の利益を主張するものであり、当該出願は２０１９年３月９日に出願された米国仮出願第６２／８１６,１２４号「適応変換係数ゼロアウト」の優先権の利益を主張するものである。先願発明の全開示はその全体が参照によって組み込まれる。
［技術分野］
本開示は、一般的にビデオ符号化に関連する実施形態を説明する。

【背景技術】

【0002】

本明細書で提供される背景記述は、本開示の文脈を一般的に提示することを目的とする。この背景部分において記述される範囲で、本願において名前の記載がある発明者の研究、およびその他の点で出願時に先行技術として認められない明細書の態様は、本開示に対する先行技術として明示的にも暗黙的にも認められない。

【0003】

ビデオ符号化および復号は、動き補償を用いたインター画像予測を使用して実行され得る。非圧縮デジタルビデオは、各画像が、例えば、１９２０×１０８０の輝度サンプルおよび関連するクロミナンスサンプルの空間次元を有する一連の画像を含み得る。この一連の画像は、例えば６０画像／秒または６０Ｈｚの、固定または可変画像レート（非公式にはフレームレートとも呼ばれる）を有し得る。非圧縮ビデオは、相当数のビットレートを必要とする。例えば、サンプルあたり８ビットの１０８０ｐ６０、４：２：０ビデオ（６０Ｈｚのフレームレートで１９２０ｘ１０８０の輝度サンプル解像度）の場合、１．５Ｇｂｉｔ／ｓに近い帯域が必要となる。１時間分のそのようなビデオは、６００ＧＢｙｔｅｓ超のストレージスペースを必要とする。

【0004】

ビデオ符号化および復号の目的の１つは、圧縮による入力ビデオ信号の冗長性低減であり得る。圧縮は、前述の帯域幅またはストレージスペースの要求を、場合によっては２桁以上も削減することができる。可逆圧縮および非可逆圧縮の両方、またそれらの組み合わせを用いてもよい。可逆圧縮とは、圧縮された元の信号から、元の信号の正確なコピーを再構成する技術をいう。非可逆圧縮を用いた場合、再構成された信号は元の信号と同一ではないこともあるが、元の信号と再構成された信号との間の歪みは充分小さく、意図する用途に用いることができる。ビデオの場合、非可逆圧縮が広く使用されている。許容される歪みの量は、アプリケーションによって異なり、例えば、消費者向けの特定のストリーミングアプリケーションのユーザは、テレビ配信アプリケーションのユーザよりも高い歪みを許容する可能性がある。実現可能な圧縮率は、許容できる／許される歪みが大きいほど、より高い圧縮率になり得る。

【0005】

ビデオエンコーダおよびデコーダは、例えば、動き補償、変換、量子化およびエントロピー符号化を含む、いくつかの広いカテゴリからの技術を利用することができる。

【0006】

ビデオ符号化技術は、イントラ符号化として知られる技術を含むことができる。イントラ符号化では、サンプル値は、以前に再構成された参照画像からのサンプルまたは他のデータを参照せずに表される。一部のビデオ符号化では、画像は、サンプルのブロックに空間的に分割される。サンプルの全てのブロックがイントラモードで符号化される場合、その画像はイントラ画像であり得る。イントラ画像および独立デコーダリフレッシュ画像などのその派生物は、デコーダの状態をリセットするために用いることができ、したがって符号化されたビデオビットストリームおよびビデオセッションの第１画像として、あるいは静止画像として用いることができる。イントラブロックのサンプルは変換に供することができ、変換係数はエントロピー符号化の前に量子化することができる。イントラ予測は、変換前領域のサンプル値を最小化する技術である場合がある。場合によっては、変換後のＤＣ値が小さく、かつＡＣ係数が小さいほど、エントロピー符号化後のブロックを表すために所与の量子化ステップサイズで必要とされるビットが少なくなる。

【0007】

例えばＭＰＥＧ－２世代の符号化技術から知られているような従来のイントラ符号化は、イントラ予測を用いない。しかし、一部の新たなビデオ圧縮技術は、例えば、周囲サンプルデータ、及び／又は空間的に隣接し復号順で先行するデータのブロックの符号化／復号中に取得されたメタデータから試みる技術を含む。このような技術は、以降「イントラ予測」技術と呼ばれる。少なくとも一部のケースでは、イントラ予測は再構成中の現在の画像からの参照データのみを使用し、参照画像からのものは使用しないことに留意されたい。

【0008】

イントラ予測には様々な形式があり得る。そのような技術の１つ以上を所与のビデオ符号化テクノロジーで用いることができる場合、その用いる技術を、イントラ予測モードで符号化することができる。場合によっては、モードはサブモード及び／又はパラメータを有することができ、これらを個別に符号化することも、モードコードワードに含めることもできる。所与のモード／サブモード／パラメータの組み合わせにどのコードワードを用いるかは、イントラ予測による符号化効率利得に影響を及ぼす場合があり、コードワードをビットストリームに変換するために用いられるエントロピー符号化技術もまた同様である。

【0009】

イントラ予測の特定のモードはＨ．２６４で導入され、Ｈ．２６５で改善され、共同探索モデル（ＪＥＭ）、多用途ビデオ符号化（ＶＶＣ）、ベンチマークセット（ＢＭＳ）などの新しい符号化技術においてさらに洗練された。予測子ブロックは、既に利用可能なサンプルに属する隣接サンプル値を用いて形成することができる。隣接サンプルのサンプル値は、ある方向に従って予測子ブロックにコピーされる。用いられる方向への参照はビットストリーム内で符号化することも、それ自体を予測することもできる。

【0010】

図１Ａを参照すると、右下に、Ｈ．２６５の３３の可能な予測子方向（３５イントラモードの３３角度モードに対応）から既知の９つの予測子方向のサブセットが描かれている。矢印が収束する点１０１は、予測されているサンプルを表す。矢印は、サンプルが予測されている方向を表す。例えば、矢印１０２は、サンプル１０１が、１つ以上のサンプルから右上へ、水平から４５度の角度で予測されることを示す。同様に、矢印１０３は、サンプル１０１が、１つ以上のサンプルからサンプル１０１の左下へ、水平から２２．５度の角度で予測されることを示す。

【0011】

さらに図１Ａを参照すると、左上に、４×４サンプルの正方形のブロック１０４（破線の太字の線で示す）が描かれている。正方形のブロック１０４は１６個のサンプルを含み、そのそれぞれに「Ｓ」と、Ｙ次元でのその位置（例えば、行インデックス）と、Ｘ次元でのその位置（例えば、列インデックス）とが付されている。例えば、サンプルＳ２１は、Ｙ次元で（上から）２番目、Ｘ次元で（左から）１番目のサンプルである。同様に、サンプルＳ４４は、ブロック１０４で４Ｙ次元およびＸ次元のいずれにおいても番目のサンプルである。ブロックのサイズは４×４サンプルであるため、Ｓ４４は右下にある。同様の符番方式に従った参照サンプルをさらに示す。参照サンプルには、Ｒと、ブロック１０４に対するそのＹ位置（例えば、行インデックス）と、Ｘ位置（列インデックス）とが付されている。Ｈ．２６４とＨ．２６５ではともに、予測サンプルは再構成中のブロックに隣接し、したがって負の値を用いる必要はない。

【0012】

イントラ画像予測は、通知された予測方向によって適切なように隣接サンプルから参照サンプル値をコピーすることによって機能する。例えば、符号化されたビデオビットストリームが、このブロックについて、矢印１０２と一貫性のある予測方向を示す通知を含むと仮定する、即ち、サンプルは、予測サンプルから右上へ、水平から４５度の角度で予測される。その場合、サンプルＳ４１，Ｓ３２，Ｓ２３およびＳ１４は、同じ参照サンプルＲ０５から予測される。次に、サンプルＳ４４が参照サンプルＲ０８から予測される。

【0013】

場合によっては、特に方向が４５度で均等に割り切れない場合は、複数の参照サンプルの値を例えば補間を介して合成し、それによって参照サンプルを計算してもよい。

【0014】

ビデオ符号化技術が発展するにつれて、可能な方向の数は増えてきた。Ｈ．２６４（２００３年）では、９つの異なる方向を表すことができた。この方向は、Ｈ．２６５（２０１３年）では３３に増加し、ＪＥＭ／ＶＶＣ／ＢＭＳでは、開示時点で最大６５方向をサポートすることができる。実験は最も可能性の高い方向を識別するように行われ、エントロピー符号化の特定の技術は、この可能性のある方向を少数のビットで表すために用いられ、可能性の低い方向に対する特定のペナルティを受け入れる。さらに方向自体を、隣接する既に復号されたブロックで用いられる隣接方向から予測できる場合がある。

【0015】

図１Ｂに、経時的に増加する予測方向の数を記載する、ＪＥＭによる６５のイントラ予測方向を示す概略図１８０を示す。

【0016】

方向を表す符号化されたビデオビットストリームにおけるイントラ予測方向ビットのマッピングは、ビデオ符号化技術ごとに異なる場合があり、予測方向の単純な直接マッピングからイントラ予測モード、コードワード、最も可能性の高いモードを含む複雑な適応方式、および同様の技術にまで及び得る。しかし全ての場合において、特定の他の方向よりもビデオコンテンツで統計的に発生する可能性が低い特定の方向が存在する場合がある。ビデオ圧縮の目標は冗長性の削減であるが、この可能性の低い方向は、適切に機能するビデオ符号化技術では、可能性の高い方向よりも多いビット数で表される。

【0017】

ビデオの符号化および復号を、動き補償付きのインター画像予測を用いて実行することができる。動き補償は、１つの非可逆圧縮技術であり得、また、以前に再構成された画像またはその一部（参照画像）からのサンプルデータのブロックが、動きベクトル（以降、ＭＶ）によって示される方向に空間的にシフトされた後、新たに再構成される画像または画像部分の予測のために用いられる技術に関連し得る。場合によっては、参照画像は、現在再構成中の画像と同じであり得る。ＭＶは、２つの次元ＸとＹを有するか、または３つの次元を有してもよく、第３の次元は使用中の参照画像の表示である（後者は、間接的には、時間次元であり得る）。

【0018】

一部のビデオ圧縮技術において、サンプルデータの特定の領域に適用可能なＭＶは、他のＭＶ、例えば再構成中の領域に空間的に隣接し、復号の順においてそのＭＶに先行するサンプルデータの別の領域に関連するＭＶから予測することができる。そうすることにより、ＭＶの符号化に必要なデータ量を大幅に減らし、これにより冗長性を除去し、圧縮率を高めることができる。ＭＶ予測が効果的に機能するのは、例えば、カメラから得られる入力ビデオ信号（自然ビデオとして知られている）を符号化する場合、１つのＭＶが適用できる領域よりも大きな領域は類似の方向に動くという統計的な可能性があり、したがって、場合によっては、隣接する領域のＭＶから導出される類似の動きベクトルを用いて予測することができるためである。その結果、ある特定の領域に対するＭＶは、周辺のＭＶから予測されるＭＶに類似するか、同じであるということが判明し、エントロピー符号化の後、ＭＶを直接に符号化した場合に用いられるよりも少ないビット数で表現することができるようになる。ＭＶ予測は、元の信号（すなわちサンプルストリーム）から得られる信号（すなわちＭＶ）の可逆圧縮の一例である場合がある。ＭＶ予測自体が、例えば、周囲の複数のＭＶから予測変数を計算する際の丸め誤差により、非可逆性である場合もある。

【0019】

様々なＭＶ予測メカニズムがＨ．２６５／ＨＥＶＣ（ＩＴＵ－Ｔ Ｒｅｃ． Ｈ．２６５， 「高効率ビデオ符号化」、２０１６年１２月）に記載されている。Ｈ．２６５が提供する多くのＭＶ予測メカニズムのうち、本願においては、以降「空間マージ」と呼ぶ技術について述べる。

【0020】

図２を参照すると、現在のブロック２０１は、空間的にシフトされた同じサイズの先行するブロックから予測可能であることが動きサーチプロセス中にエンコーダにより判明したサンプルを含む。そのＭＶを直接に符号化する代わりに、Ａ０、Ａｌ、およびＢ０、Ｂｌ、Ｂ２（それぞれ２０２～２０６）と表記された５つの周囲サンプルのいずれかに関連付けられたＭＶを用いて、１つまたは複数の参照画像に関連付けられたメタデータから、例えば（復号の順において）最新の参照画像から、ＭＶを導出することができる。Ｈ．２６５において、ＭＶ予測に、隣接するブロックが使用しているのと同じ参照画像の予測変数を用いることができる。

【発明の概要】

【0021】

本開示の態様は、ビデオ符号化／復号用の方法と装置を提供する。一部の例では、ビデオ復号用の装置は、処理回路を含む。処理回路は、符号化されたビデオビットストリームから係数ブロックの符号化情報を復号することができる。符号化情報は、係数ブロックのサイズを示すことができる。処理回路は、係数ブロックのサイズに基づいて、残余ブロックの残余データを取得するために逆一次変換の逆水平変換および逆垂直変換を係数ブロックの変換係数に対して実行する順序を決定することができる。係数ブロックのサイズが条件を満たす場合、逆垂直変換を、逆水平変換を係数ブロックの変換係数に対して実行してから実行する。処理回路は、残余データに基づいて残余ブロック内のサンプルを再構成することができる。一例では、条件は、係数ブロックのサイズが３２×６４であることである。一例では、条件は、Ｍ×Ｎの係数ブロックの高さＮが係数ブロックの幅Ｍよりも大きいことである。一例では、係数ブロックのサイズはＭ×Ｎであり、ＭとＮは正の整数である。残余ブロックのｍ×ｎ領域の第１残余データは、逆一次変換によって計算され、残余ブロックのｍ×ｎ領域外の第２残余データは、逆一次変換によって計算されず、ｍはＭ以下であり、ｎはＮ以下である。条件は、比ｍ／Ｍが比ｎ／Ｎ以上であることである。

【0022】

本開示の態様は、ビデオ符号化／復号用の方法と装置を提供する。一部の例では、ビデオ復号用の装置は処理回路を含む。処理回路は、符号化されたビデオビットストリームから係数ブロックの符号化情報を復号することができる。符号化情報は、係数ブロックのサイズを示すことができる。処理回路は、係数ブロックのサイズに基づいて、逆一次変換の逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つにおいて計算回数を削減するか否かを判定することができる。逆垂直変換は、係数ブロックの変換係数を中間ブロックの中間データに変換することができ、逆水平変換は、中間データを残余ブロックの残余データに変換することができる。処理回路は、逆一次変換を実行することができる。逆垂直変換の計算回数を削減すると判定した場合、中間ブロックの中間データの上位１６行が逆垂直変換によって計算され、中間ブロックの残りの中間データはゼロになる。逆水平変換の計算回数を削減すると判定した場合、残余ブロックの残余データの左１６列が逆水平変換によって計算され、残余ブロックの残りの残余データはゼロになる。処理回路は、残余データに基づいて残余ブロックのサンプルを再構成することができる。

【0023】

一実施形態では、係数ブロックのサイズは、３２×６４である。逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つは、逆垂直変換である。処理回路は、係数ブロックのサイズが３２×６４である場合、逆垂直変換の計算回数を削減すると判定することができる。処理回路は、逆一次変換を実行することができ、中間ブロックの中間データの上位１６行を逆垂直変換によって計算することができ、中間ブロックの残りの中間データはゼロになる。

【0024】

一実施形態では、係数ブロックのサイズは、３２×６４である。逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つは、逆水平変換である。処理回路は、係数ブロックのサイズが３２×６４である場合、逆水平変換の計算回数を削減すると判定することができる。処理回路は、逆一次変換を実行することができ、残余ブロックの残余データの左１６列を逆水平変換によって計算することができ、残余ブロックの残りの残余データはゼロになる。

【0025】

一実施形態では、係数ブロックのサイズは、３２×３２である。逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つは、逆水平変換である。処理回路は、係数ブロックのサイズが３２×３２である場合、逆水平変換の計算回数を削減すると判定することができる。処理回路は、逆一次変換を実行することができ、残余ブロックの残余データの左１６列を逆水平変換によって計算することができ、残余ブロックの残りの残余データはゼロになり、中間ブロックの中間データを逆垂直変換によって計算することができる。

【0026】

一実施形態では、係数ブロックのサイズは、３２×３２である。逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つは、逆垂直変換である。処理回路は、係数ブロックのサイズが３２×３２である場合、逆垂直変換の計算回数を削減すると判定することができる。処理回路は、逆一次変換を実行することができ、中間ブロックの中間データの上位１６行を逆垂直変換によって計算することができ、中間ブロックの残りの中間データはゼロになり、残余ブロックの残余データを逆水平変換によって計算することができる。

【図面の簡単な説明】

【0027】

開示された主題のさらなる特徴、性質、および様々な利点は、以下の詳細な説明および添付の図面から、より明らかになるものである。

【図1A】イントラ予測モードの例示的なサブセットの概略図である。

【図1B】例示的なイントラ予測方向の図である。

【図2】一例における現在のブロックおよびその周囲の空間マージ候補の概略図である。

【図3】一実施形態による通信システム３００の簡略化されたブロック図の概略図である。

【図4】一実施形態による通信システム４００の簡略化されたブロック図の概略図である。

【図5】一実施形態によるデコーダの簡略化されたブロック図の概略図である。

【図6】一実施形態によるエンコーダの簡略化されたブロック図の概略図である。

【図7】別の実施形態によるエンコーダのブロック図を示す。

【図8】別の実施形態によるデコーダのブロック図を示す。

【図9】一実施形態による変換ユニット構文の例を示す。

【図10A】一実施形態による残余符号化構文の例を示す。

【図10B】一実施形態による残余符号化構文の例を示す。

【図10C】一実施形態による残余符号化構文の例を示す。

【図11A】一実施形態による一次変換の例を示す。

【図11B】一実施形態による一次変換の例を示す。

【図12A】一実施形態による例示的な変換プロセスを示す。

【図12B】一実施形態による例示的な変換プロセスを示す。

【図12C】一実施形態による例示的な変換プロセスを示す。

【図12D】一実施形態による例示的な変換プロセスを示す。

【図12E】一実施形態による例示的な変換プロセスを示す。

【図13】別の実施形態による残余符号化構文の例を示す。

【図14】一実施形態によるプロセス１４００を概説するフローチャートを示す。

【図15】一実施形態によるプロセス１５００を概説するフローチャートを示す。

【図16】本開示の一実施形態によるコンピュータシステムの概略図である。

【実施形態の詳細な説明】

【0028】

図３は、本開示の一実施形態による通信システム３００の簡略化したブロック図を示す。通信システム３００は、例えば、ネットワーク３５０を介して、互いに通信可能な複数の端末装置を含む。例えば、通信システム３００は、ネットワーク３５０を介して相互に接続された第１の対の端末装置３１０および３２０を含む。図３の例において、第１の対の端末装置３１０および３２０は、データの一方向送信を実行する。例えば、端末装置３１０は、ネットワーク３５０を介して他の端末装置３２０に送信するためにビデオデータ（例えば、端末装置３１０によりキャプチャされたビデオ画像のストリーム）を符号化してもよい。エン符号化されたビデオデータは、１つまたは複数の符号化されたビデオビットストリームの形態で送信されてもよい。端末装置３２０は、ネットワーク３５０から符号化されたビデオデータを受信し、符号化されたビデオデータを復号してビデオ画像を復元し、復元されたビデオデータに従ってビデオ画像を表示してもよい。データの一方向伝送は、メディアサービングアプリケーションなどにおいて一般的であり得る。

【0029】

別の例において、通信システム３００は、例えばビデオ会議中に発生し得る符号化されたビデオデータの双方向伝送を行う第２の対の端末装置３３０および３４０を含む。一例において、端末装置３３０および３４０の各端末装置は、データの双方向伝送のために、ネットワーク３５０を介して端末装置３３０および３４０のうちの他方の端末装置に送信するためにビデオデータ（例えば、端末装置によってキャプチャされたビデオ画像のストリーム）を符号化してもよい。また、端末装置３３０および３４０の各端末装置は、端末装置３３０および３４０の他の端末装置から送信された符号化されたビデオデータを受信し、符号化されたビデオデータを復号してビデオ画像を復元し、復元されたビデオデータに従ってアクセス可能な表示装置にビデオ画像を表示してもよい。

【0030】

図３の例では、端末装置３１０、３２０、３３０および３４０は、サーバ、パーソナルコンピュータおよびスマートフォンとして例示されていてもよいが、本開示の原理はそのようには限定されなくてもよい。本開示の各実施形態は、ラップトップコンピュータ、タブレットコンピュータ、メディアプレーヤー及び／又は専用のビデオ会議装置に適用することができる。ネットワーク３５０は、例えば有線（ワイアード）及び／又は無線通信ネットワークを含む端末装置３１０、３２０、３３０、３４０の間で、符号化されたビデオデータを伝達する任意の数のネットワークを表す。通信ネットワーク３５０は、回路スイッチ及び／又はパケットスイッチ型チャネルでデータを交換してもよい。代表的なネットワークには、通信ネットワーク、ローカルエリアネットワーク、ワイドエリアネットワーク及び／又はインターネットが含まれる。本記述内容の範囲において、ネットワーク３５０のアーキテクチャおよびトポロジーは、以下で説明されていない限り、本開示の動作に関して重要ではない場合がある。

【0031】

図４は、開示された主題の適用の一例として、ストリーミング環境におけるビデオエンコーダとビデオデコーダとの配置を示したものである。開示された主題は、例えば、ビデオ会議、デジタルテレビ、およびＣＤ、ＤＶＤ、メモリスティックなどを含むデジタルメディアへの圧縮ビデオの保存などを含む、他のビデオ対応用途にも同様に適用することができる。

【0032】

ストリーミングシステムは、キャプチャサブシステム４１３を含んでもよく、これは、例えばデジタルカメラなどのビデオソース４０１を含むことができ、例えば圧縮されていないビデオ画像のストリーム４０２を作成することができる。一例において、ビデオ画像のストリーム４０２は、デジタルカメラで撮影されたサンプルを含む。ビデオ画像のストリーム４０２は、エンコードされたビデオデータ４０４（または符号化されたビデオビットストリーム）に比してデータ量が多いことを強調するために太線により示されているが、ビデオソース４０１に接続されたビデオエンコーダ４０３を含む電子デバイス４２０によって処理されてもよい。ビデオエンコーダ４０３は、以下でより詳細に説明するように、開示された主題の態様を可能にする、または実行するために、ハードウェア、ソフトウェア、またはそれらの組み合わせを含んでもよい。ビデオ画像のストリーム４０２に比しデータ量が少ないことを強調するために細線で示されているエンコードされたビデオデータ４０４（またはエンコードされたビデオビットストリーム４０４）は、将来の使用のためにストリーミングサーバ４０５に保存されてもよい。図４のクライアントサブシステム４０６および４０８などの１つまたは複数のストリーミングクライアントサブシステムは、ストリーミングサーバ４０５にアクセスして、エンコードされたビデオデータ４０４のコピー４０７および４０９を取得することができる。クライアントサブシステム４０６は、例えば、電子デバイス４３０にビデオデコーダ４１０を含んでもよい。ビデオデコーダ４１０は、エンコードされたビデオデータの入力されるコピー４０７を復号し、ディスプレイ４１２（例えば、表示画面）または他のレンダリングデバイス（図示せず）上でレンダリングできるビデオ画像の発信ストリーム４１１を作成する一部のストリーミングシステムにおいて、エンコードされたビデオデータ４０４、４０７、および４０９（例えば、ビデオビットストリーム）は、特定のビデオ符号化／圧縮規格に従ってエンコードされてもよい。ＩＴＵ－Ｔ推奨Ｈ．２６５はそれらの規格の一例である。一例として、非公式には多用途ビデオ符号化（ＶＶＣ）として知られているビデオ符号化規格が開発されつつある。本開示の主題は、ＶＶＣの文脈で使用されてもよい。

【0033】

なお、電子デバイス４２０および４３０は、他の構成要素（図示せず）を含んでもよい。例えば、電子デバイス４２０は、ビデオデコーダ（図示せず）を含んでよく、同様に電子デバイス４３０は、ビデオエンコーダ（図示せず）を含んでもよい。

【0034】

図５は、本開示の一実施形態によるビデオデコーダ５１０のブロック図を示す。ビデオデコーダ５１０は、電子デバイス５３０に含まれてもよい。電子デバイス５３０は、受信機５３１（例えば、受信回路）を含んでもよい。ビデオデコーダ５１０は、図４の例のビデオデコーダ４１０の代わりに用いてもよい。

【0035】

受信機５３１は、ビデオデコーダ５１０によって復号される１つまたは複数の符号化されたビデオシーケンスを受信してもよく、同じまたは別の実施形態においては、各符号化されたビデオシーケンスの復号が他の符号化されたビデオシーケンスから独立している場合、一度に１つの符号化されたビデオシーケンスを受信してもよい。符号化されたビデオシーケンスは、チャネル５０１から受信されてもよく、このチャネルは、エンコードされたビデオデータを記憶する記憶装置へのハードウェア／ソフトウェアリンクであってもよい。受信機５３１は、エンコードされたビデオデータを、他のデータ、例えば、符号化された音声データ及び／又は補助的なデータストリームとともに受信してもよく、それらは、それぞれを利用するエンティティ（図示せず）に転送されてもよい。受信機５３１は、符号化されたビデオシーケンスを他のデータから分離してもよい。ネットワークジッターに対処するために、バッファメモリ５１５が、受信機５３１とエントロピーデコーダ／パーサ５２０（以下、「パーサ５２０」）との間に接続されてもよい。特定のアプリケーションにおいて、バッファメモリ５１５は、ビデオデコーダ５１０の一部である。別のアプリケーションにおいて、それはビデオデコーダ５１０の外部にあってもよい（図示せず）。さらに他のアプリケーションにおいて、例えばネットワークジッターに対処するために、ビデオデコーダ５１０の外部にバッファメモリ（図示せず）があってもよく、さらに、例えばプレイアウトのタイミングに対処するために、ビデオデコーダ５１０の内部に別のバッファメモリ５１５があってもよい。受信機５３１が、十分な帯域幅と制御性を有するストア／転送デバイスから、または等時性ネットワークからデータを受信している場合には、バッファメモリ５１５は必要がないか、あるいは小さくてもよい。インターネットのようなベストエフォート型のパケットネットワークにおいて使用する場合、バッファメモリ５１５が必要とされることがあり、比較的大型であってもよく、適応的なサイズであれば有利であり、また、少なくとも部分的に、ビデオデコーダ５１０の外部のオペレーティングシステムまたは同様の要素（図示せず）において実行されてもよい。

【0036】

ビデオデコーダ５１０は、符号化されたビデオシーケンスからシンボル５２１を再構成するためにパーサ５２０を含んでもよい。それらのシンボルのカテゴリには、ビデオデコーダ５１０の演算を管理するために使用される情報、および、場合によっては、図５に示すように、電子デバイス５３０の不可欠な部分ではないが、電子デバイス５３０に接続されてもよいレンダリングデバイス５１２（例えば、表示画面）などのレンダリングデバイスを制御するための情報が含まれる。レンダリングデバイスのための制御情報は、補足強化情報（ＳＥＩメッセージ）またはビデオユーザビリティ情報（ＶＵＩ）パラメータセットフラグメント（図示せず）の形態であってもよい。パーサ５２０は、受信した符号化されたビデオシーケンスを構文解析／エントロピー復号してもよい。符号化されたビデオシーケンスの符号化は、ビデオ符号化技術または規格に準拠していてもよく、可変長符号化、ハフマン符号化、文脈感度を伴う、または伴わない算術符号化などを含む様々な原理に則ってもよい。パーサ５２０は、符号化されたビデオシーケンスから、グループに対応する少なくとも１つのパラメータに基づいて、ビデオデコーダ内の画素のサブグループの少なくとも１つに対する一組のサブグループパラメータを抽出してもよい。サブグループは、画像群（ＧＯＰｓ）、画像、タイル、スライス、マクロブロック、符号化ユニット（ＣＵ）、ブロック、変換ユニット（ＴＵ）、予測ユニット（ＰＵ）などを含んでもよい。また、パーサ５２０は、変換係数、量子化器パラメータ値、動きベクトルなどの情報を、符号化されたビデオシーケンスから抽出してもよい。

【0037】

パーサ５２０は、バッファメモリ５１５から受信したビデオシーケンスに対して、エントロピー復号／構文解析演算を実行し、シンボル５２１を作成してもよい。

【0038】

シンボル５２１の再構成には、符号化されたビデオ画像またはその一部のタイプ（例えば、インターおよびイントラ画像、インターおよびイントラブロック）などの要素に従って、複数の異なるユニットが関与してもよい。いずれのユニットが、どのように関与するかは、パーサ５２０によって符号化されたビデオシーケンスから構文解析されたサブグループ制御情報によって制御されてもよい。パーサ５２０と以下の複数のユニットとの間のこのようなサブグループ制御情報の流れは、煩雑さを避けるために、描かれていない。

【0039】

ビデオデコーダ５１０は、既に述べた機能ブロック以外にも、以下に説明するように概念的に複数の機能ユニットに分割されてもよい。商業的な制約の下で動作する実用的な実施において、これらのユニットの多くは互いに密接に作用し、少なくとも部分的に相互に組み込まれてもよい。しかしながら、開示された主題を説明するためには、以下の機能ユニットに概念的に分割することが適切である。

【0040】

第１のユニットは、スケーラ／逆変換ユニット５５１である。スケーラ／逆変換ユニット５５１は、量子化された変換係数に加えて、いずれの変換を使用するか、ブロックサイズ、量子化係数、量子化スケーリングマトリクスなどの制御情報を、シンボル５２１としてパーサ５２０から受信する。スケーラ／逆変換ユニット５５１は、アグリゲータ５５５に入力され得るサンプル値を含むブロックを出力してもよい。

【0041】

スケーラ／逆変換部５５１の出力サンプルは、イントラ符号化されたブロック、すなわち、以前に再構成された画像からの予測情報を使用していないが、現在の画像に先行して再構成された部分からの予測情報を使用し得るブロックに関連している場合がある。このような予測情報は、イントラ画像予測ユニット５５２によって提供されてもよい。イントラ画像予測ユニット５５２が、現在の画像バッファ５５８からフェッチされた、既に再構成された周囲の情報を使用して、再構成中のブロックと同じサイズおよび形状のブロックを生成する場合がある。現在の画像バッファ５５８は、例えば、部分的に再構成された現在の画像及び／又は完全に再構成された現在の画像をバッファリングする。アグリゲータ５５５は、場合によっては、イントラ予測ユニット５５２が生成した予測情報を、サンプルごとに、スケーラ／逆変換ユニット５５１が提供する出力サンプル情報に追加する。

【0042】

また、スケーラ／逆変換ユニット５５１の出力サンプルが、インター符号化された、また場合によっては動き補償されたブロックに関連する場合もある。このような場合、動き補償予測ユニット５５３は、参照画像メモリ５５７にアクセスして、予測に使用されるサンプルをフェッチしてもよい。ブロックに関連するシンボル５２１に従ってフェッチされたサンプルを動き補償した後、これらのサンプルは、アグリゲータ５５５によって、スケーラ／逆変換ユニット５５１の出力（この場合、残余サンプルまたは残余信号と呼ぶ）に追加され、出力サンプル情報を生成してもよい。動き補償予測ユニット５５３が予測サンプルをフェッチする参照画像メモリ５５７内のアドレスは、例えばＸ、Ｙ、および参照画像成分を有し得るシンボル５２１の形態で動き補償予測ユニット５５３に利用可能な動きベクトルによって制御されてもよい。また動き補償は、サブサンプルまで精度が保証された動きベクトルが使用されているとき、参照画像メモリ５５７からフェッチされたサンプル値の補間、および動きベクトル予測メカニズムなどを含んでもよい。

【0043】

アグリゲータ５５５の出力サンプルは、ループフィルタユニット５５６において、様々なループフィルタリング技術にかけられてもよい。ビデオ圧縮技術は、符号化されたビデオシーケンス（符号化されたビデオビットストリームとも呼ぶ）に含まれるパラメータによって制御され、パーサ５２０からシンボル５２１としてループフィルタユニット５５６が利用することのできるループ内フィルタ技術を含んでもよいが、符号化された画像または符号化されたビデオシーケンスの（復号順において）先行する部分の復号時に得られるメタ情報に応答してもよく、また、先行して再構成され、ループフィルタリングされたサンプル値に応答してもよい。

【0044】

ループフィルタユニット５５６の出力は、レンダリングデバイス５１２に出力されてもよく、また将来のインター画像予測に使用するために参照画像メモリ５５７に保存され得るサンプルストリームであってもよい。

【0045】

特定の符号化された画像は、一度完全に再構成されると、将来の予測のための参照画像として使用されてもよい。例えば、現在の画像に対応する符号化された画像が完全に再構成され、その符号化された画像が（例えばパーサ５２０によって）参照画像として識別されると、現在の画像バッファ５５８は参照画像メモリ５５７の一部となってもよく、次の符号化された画像の再構成を開始する前に、新たな現在の画像バッファが再割り当てされてもよい。

【0046】

ビデオデコーダ５１０は、ＩＴＵ－Ｔ Ｒｅｃ．Ｈ．２６５などの規格における所定のビデオ圧縮技術に従って復号動作を実行してもよい。

【0047】

符号化されたビデオシーケンスは、符号化されたビデオシーケンスが、ビデオ圧縮技術または規格のシンタックスと、ビデオ圧縮技術または規格で文書化されたプロファイルとの両方を厳守するという意味で、使用されているビデオ圧縮技術または規格により指定されたシンタックスに準拠してもよい。具体的には、プロファイルは、ビデオ圧縮技術または規格で利用可能なすべてのツールの中から、特定のツールをそのプロファイルで利用可能な唯一のツールとして選択してもよい。また、規格に準拠するためには、符号化されたビデオシーケンスの計算量が、ビデオ圧縮技術または規格のレベルによって定義された範囲内であることが要求される。レベルにより、最大画像サイズ、最大フレームレート、最大再構成サンプルレート（例えば、メガサンプル／秒として測定）、最大参照画像サイズなどが制限される場合がある。レベルによって設定された制限は、場合によっては、仮想参照デコーダ（ＨＲＤ）仕様および符号化されたシーケンスで伝達されたＨＲＤバッファ管理のためのメタデータによりさらに制限されることがある。

【0048】

一実施形態において、受信機５３１は、エンコードされたビデオを有する追加の（冗長な）データを受信してもよい。この追加データは、符号化されたビデオシーケンスの一部として含まれてもよい。この追加データは、データを適切に復号するため、及び／又は元のビデオデータをより正確に再構成するために、ビデオデコーダ５１０によって使用されてもよい。追加データは、例えば、時間的、空間的、または信号雑音比（ＳＮＲ）強化層、冗長スライス、冗長画像、順方向誤り訂正コードなどの形態であってもよい。

【0049】

図６は、本開示の一実施形態によるビデオエンコーダ６０３のブロック図を示す。ビデオエンコーダ６０３は、電子デバイス６２０に含まれる。電子デバイス６２０は、送信機６４０（例えば、送信回路）を含む。ビデオエンコーダ６０３は、図４の例のビデオエンコーダ４０３の代わりに使用されてもよい。

【0050】

ビデオエンコーダ６０３は、ビデオエンコーダ６０３によって符号化されるビデオ画像をキャプチャすることができるビデオソース６０１（図６の例において電子デバイス６２０の一部ではない）からビデオサンプルを受信してもよい。別の例において、ビデオソース６０１は、電子デバイス６２０の一部である。

【0051】

ビデオソース６０１は、ビデオエンコーダ６０３によって符号化されるソースビデオシーケンスを、任意の適切なビット深度（例えば、８ビット、１０ビット、１２ビット、など）、任意の色空間（例えば、ＢＴ．６０１ Ｙ ＣｒＣＢ、ＲＧＢ、など）、および任意の適切なサンプリング構造（例えば、Ｙ ＣｒＣｂ ４：２：０、Ｙ ＣｒＣｂ ４：４：４）を有し得るデジタルビデオサンプルストリームの形態で提供してもよい。メディアサービングシステムにおいて、ビデオソース６０１は、以前に作成されたビデオを保存する記憶装置であってもよい。ビデオ会議システムにおいて、ビデオソース６０１は、ローカル画像情報をビデオシーケンスとしてキャプチャするカメラであってもよい。ビデオデータは、連続して見たとき、動きを付与する複数の個々の画像として提供されてもよい。画像自体は、画素の空間アレイとして編成されてもよく、各画素は、使用時のサンプリング構造、色空間などに依存して、１つまたは複数のサンプルを含んでもよい。当業者であれば、画素とサンプルとの関係を容易に理解することができる。以下の記述において、サンプルを中心に説明する。

【0052】

一実施形態によれば、ビデオエンコーダ６０３は、ソースビデオシーケンスの画像を符号化し、リアルタイムで、またはアプリケーションが要求する他の時間制約の下で、符号化されたビデオシーケンス６４３に圧縮してもよい。適切な符号化速度を課することは、コントローラ６５０の１つの機能である。一部の実施形態において、コントローラ６５０は、以下に述べるとおり他の機能ユニットを制御し、他の機能ユニットに機能的に接続されている。この接続は、煩雑さを避けるために、描かれていない。コントローラ６５０によって設定されるパラメータは、レート制御関連パラメータ（画像スキップ、量子化器、レート歪み最適化技術のラムダ値、など）、画像サイズ、画像群（ＧＯＰ）レイアウト、最大動きベクトルサーチ範囲などを含んでもよい。コントローラ６５０は、あるシステム設計に最適化されたビデオエンコーダ６０３に関連する他の適切な機能を有するように構成されてもよい。

【0053】

一部の実施形態において、ビデオエンコーダ６０３は、符号化ループで動作するように構成されている。極端に簡略化して述べれば、一例として、符号化ループは、ソースコーダ６３０（例えば、符号化される入力画像と参照画像とに基づいて、シンボルストリームなどのシンボルを作成する機能を果たす）と、ビデオエンコーダ６０３に組み込まれた（ローカル）デコーダ６３３とを含んでもよい。デコーダ６３３は、（リモート）デコーダが作成するのと同様の方法で、サンプルデータを作成するためにシンボルを再構成する（これは、開示された主題で扱われているビデオ圧縮技術においては、シンボルと符号化されたビデオビットストリームとの間のいかなる圧縮も、可逆的であるためである）。再構成されたサンプルストリーム（サンプルデータ）は、参照画像メモリ６３４に入力される。シンボルストリームの復号は、デコーダの位置（ローカルまたはリモート）に依存しないビットパーフェクトな結果をもたらすため、参照画像メモリ６３４内のコンテンツも、ローカルエンコーダとリモートエンコーダとの間でビットパーフェクトである。換言すれば、エンコーダの予測部分は、デコーダが復号時に予測を用いるときに「見る」のと全く同一のサンプル値を、参照画像サンプルとして「見る」。この参照画像の同期性（および、例えばチャンネルエラーなどで同期性が維持できない場合は、結果的に発生するドリフト）の基本原理は、一部の関連技術においても用いられる。

【0054】

「ローカル」デコーダ６３３の演算は、図５を参照して既に詳細に述べたビデオデコーダ５１０などの「リモート」デコーダの演算と同じであり得る。しかしながら、ここで図５も簡単に参照しつつ説明すると、シンボルが利用可能であり、エントロピーコーダ６４５およびパーサ５２０による、符号化されたビデオシーケンスへのシンボルの符号化／復号は可逆的であり得るため、バッファメモリ５１５およびパーサ５２０を含むビデオデコーダ５１０のエントロピーデコーダ部分は、ローカルデコーダ６３３において完全には実行されなくてもよい。

【0055】

この時点で言えることは、デコーダに存在する構文解析／エントロピー復号を除く任意のデコーダ技術は、必然的に、対応するエンコーダにおいても、実質的に同一の機能形態で存在するということである。このため、開示された主題は、デコーダの演算に焦点を当てている。デコーダ技術の説明は、包括的に説明されるエンコーダ技術の逆であるため、簡略化することができる。特定の領域においてのみ、より詳細な説明が必要であり、それに関して以下に述べる。

【0056】

動作時、一部の例において、ソースコーダ６３０は、「参照画像」として指定されたビデオシーケンスから、以前に符号化された１つ以上の画像を参照して入力画像を予測的に符号化する、動き補償された予測符号化を実行してもよい。このようにして、符号化エンジン６３２は、入力画像の画素ブロックと、入力画像に対する予測参照として選択され得る参照画像の画素ブロックとの間の差分を符号化する。

【0057】

ローカルビデオデコーダ６３３は、ソースコーダ６３０によって作成されたシンボルに基づいて、参照画像として指定され得る画像の符号化されたビデオデータを復号してもよい。符号化エンジン６３２の演算は、非可逆処理であることが有利である。符号化されたビデオデータがビデオデコーダ（図６には示されていない）で復号されてもよい場合、再構成されたビデオシーケンスは、典型的には、いくつかのエラーを伴うソースビデオシーケンスのレプリカであってもよい。ローカルビデオデコーダ６３３は、ビデオデコーダにより参照画像に対して実行され得る復号処理を複製し、再構成された参照画像を参照画像キャッシュ６３４に保存させてもよい。このようにして、ビデオエンコーダ６０３は、（伝送エラーがないという条件で）遠端のビデオデコーダによって取得される再構成された参照画像と共通の内容を有する再構成された参照画像のコピーをローカルに保存してもよい。

【0058】

予測器６３５は、符号化エンジン６３２のために予測検索を行ってもよい。すなわち、新規の画像を符号化するため、予測器６３５は、新規の画像のための適切な予測参照として機能することができるサンプルデータ（候補参照画素ブロックとして）、または参照画像動きベクトル、ブロック形状などの特定のメタデータを参照画像メモリ６３４内で検索してもよい。予測器６３５は、適切な予測参照を求めるために、サンプルブロック、画素ブロック単位で動作してもよい。場合によっては、予測器６３５によって得られた検索結果によって決定されることであるが、入力画像は、参照画像メモリ６３４に保存された複数の参照画像から予測参照を引き出させてもよい。

【0059】

コントローラ６５０は、例えば、ビデオデータをエンコードするのに用いられるパラメータおよびサブグループパラメータの設定などを含む、ソースコーダ６３０の符号化演算を管理してもよい。

【0060】

前述のすべての機能ユニットの出力には、エントロピーコーダ６４５においてエントロピー符号化を施してもよい。エントロピーコーダ６４５は、ハフマン符号化、可変長符号化、算術符号化などの技術に従ってシンボルを可逆圧縮することにより、様々な機能ユニットによって生成されたシンボルを符号化されたビデオシーケンスに変換する。

【0061】

送信機６４０は、エントロピーコーダ６４５によって作成されたような符号化されたビデオシーケンスをバッファリングして、エンコードされたビデオデータを保存することになる記憶装置へのハードウェア／ソフトウェアリンクであり得る通信チャネル６６０を介した送信の準備をしてもよい。送信機６４０は、ビデオエンコーダ６０３からの符号化されたビデオデータを、例えば、符号化された音声データ及び／又は補助データストリーム（ソースは図示せず）などの、送信される他のデータと統合してもよい。

【0062】

コントローラ６５０は、ビデオエンコーダ６０３の演算を管理してもよい。符号化時、コントローラ６５０は、各符号化された画像に、それぞれの画像に適用され得る符号化技術に影響を与える可能性がある特定の符号化された画像タイプを割り当ててもよい。例えば、画像は以下の画像タイプの１つとして割り当てられてもよいことが多い。

【0063】

その１つがイントラ画像（Ｉ画像）であり、これはシーケンスにおける他の画像を予測源として使用せずに符号化および復号することができる。ビデオ符号化によっては、例えば独立デコーダリフレッシュ（「ＩＤＲ」）画像を含む、異なるタイプのイントラ画像に対応できるものもある。当業者には、それらのＩ画像の変種ならびにそれぞれの用途および特徴は知られている。

【0064】

予測画像（Ｐ画像）は、各ブロックのサンプル値を予測するために、最大１つの動きベクトルおよび参照インデックスを使用し、イントラ予測またはインター予測を用いて符号化および復号され得るものであってもよい。

【0065】

双方向予測画像（Ｂ画像）は、各ブロックのサンプル値を予測するために、最大２つの動きベクトルおよび参照インデックスを使用し、イントラ予測またはインター予測を用いて符号化および復号され得るものであってもよい。同様に、マルチ予測画像は、単一のブロックの再構成に３つ以上の参照画像および関連するメタデータを用いることができる。

【0066】

ソース画像は一般的に、空間的に複数のサンプルブロック（例えば、それぞれ４×４、８×８、４×８、または１６×１６のサンプルのブロック）に分割され、ブロックごとに符号化されてもよい。ブロックは、ブロックのそれぞれの画像に適用される符号化割り当てによって決定される、他の（すでに符号化された）ブロックを参照して予測的に符号化されてもよい。例えば、Ｉ画像のブロックは、非予測的に符号化されてもよいし、同じ画像の既に符号化されたブロックを参照して予測的に符号化されてもよい（空間予測またはイントラ予測）。Ｐ画像の画素ブロックは、以前に符号化された１つの参照画像を参照して、空間的予測または時間的予測によって予測的に符号化されてもよい。Ｂ画像のブロックは、以前に符号化された１つまたは２つの参照画像を参照して、空間的予測または時間的予測によって予測的に符号化されてもよい。

【0067】

ビデオデエンコーダ６０３は、所定のビデオ符号化技術またはＩＴＵ－Ｔ Ｒｅｃ．Ｈ．２６５などの規格に従って符号化演算を実行してもよい。その演算において、ビデオエンコーダ６０３は、入力ビデオシーケンスの時間的および空間的な冗長性を利用する予測符号化演算を含む様々な圧縮演算を行ってもよい。したがって、符号化されたビデオデータは、使用されているビデオ符号化技術または規格によって指定されたシンタックスに準拠してもよい。

【0068】

一実施形態において、送信機６４０は、エンコードされたビデオを有する追加のデータを送信してもよい。ソースコーダ６３０は、そのようなデータを、符号化されたビデオシーケンスの一部として含んでもよい。追加データは、時間／空間／ＳＮＲ強化層、冗長画像やスライスなどの他の形態の冗長データ、ＳＥＩメッセージ、ＶＵＩパラメータセットフラグメントなどを含んでもよい。

【0069】

ビデオは、時間的に連続した複数のソース画像（ビデオ画像）としてキャプチャされてもよい。イントラ画像予測（イントラ予測と略されることが多い）は、所与の画像の空間的な相関関係を利用し、インター画像予測は画像間の（時間的またはその他の）相関関係を利用する。一例として、現在の画像と呼ぶ符号化／復号中の特定の画像は、ブロックに分割されている。現在の画像内のブロックが、ビデオの、以前に符号化され、まだバッファリングされている参照画像内の参照ブロックに類似する場合、現在の画像内のブロックは、動きベクトルと呼ばれるベクトルによって符号化することができる。動きベクトルは、参照画像内の参照ブロックを指し、複数の参照画像が使用されている場合は、参照画像を識別する第３の次元を有してもよい。

【0070】

一部の実施形態において、インター画像予測に双予測技術を用いてもよい。双予測技術によれば、ビデオ内の現在の画像に復号の順序において先行する（ただし、表示順ではそれぞれ過去と未来にあってもよい）第１の参照画像および第２の参照画像などの２つの参照画像が用いられる。現在の画像内のブロックは、第１の参照画像内の第１の参照ブロックを指す第１の動きベクトルと、第２の参照画像内の第２の参照ブロックを指す第２の動きベクトルとによって符号化されてもよい。ブロックは、第１の参照ブロックと第２の参照ブロックとの組み合わせによって予測されてもよい。

【0071】

さらに、符号化の効率を向上させるために、インター画像予測においてマージモード技術を用いてもよい。

【0072】

本開示の一部の実施形態によれば、インター画像予測およびイントラ画像予測などの予測は、ブロック単位で実行される。例えば、ＨＥＶＣ規格によれば、一連のビデオ画像内の１つの画像は、圧縮のために符号化ツリーユニット（ＣＴＵ）に分割され、一画像内のＣＴＵは、６４×６４画素、３２×３２画素、または１６×１６画素などの同じサイズを有する。一般的に、１つのＣＴＵは、１つのルーマＣＴＢおよび２つのクロマＣＴＢである３つの符号化ツリーブロック（ＣＴＢ）を含む。各ＣＴＵは、再帰的に１つまたは複数の符号化ユニット（ＣＵ）にクワッドツリー分割することができる。例えば、６４×６４画素のＣＴＵは、６４×６４画素の１つのＣＵ、または３２×３２画素の４つのＣＵ、または１６×１６画素の１６個のＣＵに分割することができる。一例において、各ＣＵが分析され、インター予測タイプやイントラ予測タイプなど、ＣＵの予測タイプが決定される。ＣＵは、時間的及び／又は空間的な予測可能性に従って、１つまたは複数の予測ユニット（ＰＵ）に分割される。一般的に、各ＰＵは、１つのルーマ予測ブロック（ＰＢ）と、２つのクロマＰＢとを含む。一実施形態において、符号化（符号化／復号）における予測演算は、予測ブロックの単位で実行される。予測ブロックの一例として、ルーマ予測ブロックを用いると、予測ブロックは、８×８画素、１６×１６画素、８×１６画素、１６×８画素などの、画素に対する値（例えば、ルーマ値）のマトリクスを含む。

【0073】

図７は、本開示の別の実施形態によるビデオエンコーダ７０３を示す図である。ビデオエンコーダ７０３は、ビデオ画像のシーケンスにおける現在のビデオ画像内のサンプル値の処理ブロック（例えば、予測ブロック）を受信し、処理ブロックを、符号化されたビデオシーケンスの一部である符号化された画像へとエンコードするように構成されている。一例として、ビデオエンコーダ７０３は、図４の例のビデオエンコーダ４０３の代わりに使用されている。

【0074】

ＨＥＶＣの例において、ビデオエンコーダ７０３は、８×８サンプルの予測ブロックなどの処理ブロックに対するサンプル値のマトリクスを受信する。ビデオエンコーダ７０３は、処理ブロックがイントラモード、インターモード、または双予測モードを用いて最適に符号化されているか否かを、例えばレート歪み最適化処理を用いて判断する。処理ブロックがイントラモードで符号化される場合、ビデオエンコーダ７０３は、イントラ予測技術を用いて処理ブロックを符号化された画像にエンコードしてもよく、処理ブロックがインターモードまたは双予測モードで符号化される場合、ビデオエンコーダ７０３は、それぞれ、インター予測または双予測技術を用いて、処理ブロックを符号化された画像にエンコードしてもよい。特定のビデオ符号化技術において、マージモードは、動きベクトルが、予測器の範囲外にある符号化された動きベクトル成分の恩恵を受けずに、１つまたは複数の動きベクトル予測変数から導出されるインター画像予測サブモードであってもよい。他の特定のビデオ符号化技術においては、当該ブロックに適用可能な動きベクトル成分が存在してもよい。一例において、ビデオエンコーダ７０３は、処理ブロックのモードを決定するモード決定モジュール（図示せず）などの他の構成要素を含む。

【0075】

図７の例において、ビデオエンコーダ７０３は、図７に示すように接続されたインターエンコーダ７３０、イントラエンコーダ７２２、残余計算機７２３、スイッチ７２６、残余エンコーダ７２４、汎用コントローラ７２１、およびエントロピーエンコーダ７２５を含む。

【0076】

インターエンコーダ７３０は、現在のブロック（例えば、処理ブロック）のサンプルを受信し、ブロックを参照画像内の１つまたは複数の参照ブロック（例えば、先行する画像および後続の画像内のブロック）と比較し、インター予測情報（例えば、インター符号化技術による冗長情報の記述、動きベクトル、マージモード情報）を生成し、任意の適切な技術を用いて、インター予測情報に基づきインター予測結果（例えば、予測ブロック）を計算するように構成されている。一部の例において、参照画像は、エンコードされたビデオ情報に基づいて復号される復号された参照画像である。

【0077】

イントラエンコーダ７２２は、現在のブロック（例えば、処理ブロック）のサンプルを受信し、場合によってはブロックを同じ画像において既に符号化されたブロックと比較し、変換後の量子化係数を生成し、場合によってはイントラ予測情報（例えば、１つまたは複数のイントラ符号化技術によるイントラ予測方向情報）も生成するように構成されている。一例において、イントラエンコーダ７２２は、イントラ予測情報と同一画像内の参照ブロックとに基づいて、イントラ予測結果（例えば、予測ブロック）も計算する。

【0078】

汎用コントローラ７２１は、汎用制御データを決定し、汎用制御データに基づいてビデオエンコーダ７０３の他の構成要素を制御するように構成されている。一例において、汎用コントローラ７２１は、ブロックのモードを決定し、当該モードに基づいてスイッチ７２６に制御信号を提供する。例えば、モードがイントラモードである場合、汎用コントローラ７２１は、スイッチ７２６を制御して、残余計算機７２３が使用するイントラモードの結果を選択し、エントロピーエンコーダ７２５を制御して、イントラ予測情報を選択し、かつビットストリームにイントラ予測情報を含め、モードがインターモードである場合、汎用コントローラ７２１は、スイッチ７２６を制御して、残余計算機７２３が使用するインター予測結果を選択し、エントロピーエンコーダ７２５を制御して、インター予測情報を選択し、ビットストリームにインター予測情報を含める。

【0079】

残余計算機７２３は、受信したブロックと、イントラエンコーダ７２２またはインターエンコーダ７３０から選択された予測結果との間の差分（残余データ）を計算するように構成されている。残余エンコーダ７２４は、残余データに基づいて演算を実行し、残余データをエンコードして変換係数を生成するように構成されている。一例において、残余エンコーダ７２４は、残余データを空間領域から周波数領域に変換して、変換係数を生成するように構成されている。次に、変換係数が量子化処理を受けて、量子化された変換係数が得られる。また、様々な実施形態において、ビデオエンコーダ７０３は、残余デコーダ７２８を含む。残余デコーダ７２８は、逆変換を行い、復号された残余データを生成するように構成されている。復号された残余データは、イントラエンコーダ７２２およびインターエンコーダ７３０で好適に使用されてもよい。例えば、インターエンコーダ７３０は、復号された残余データおよびインター予測情報に基づいて復号されたブロックを生成し、イントラエンコーダ７２２は、復号された残余データおよびイントラ予測情報に基づいて復号されたブロックを生成することができる。復号されたブロックは好適に処理されて復号された画像を生成し、復号された画像はメモリ回路（図示せず）にバッファリングされ、一部の例において参照画像として用いられてもよい。

【0080】

エントロピーエンコーダ７２５は、エンコードされたブロックを含むようにビットストリームをフォーマットするように構成されている。エントロピーエンコーダ７２５は、ＨＥＶＣ規格などの適切な規格に従って、さまざまな情報を含むように構成されている。一例において、エントロピーエンコーダ７２５は、汎用制御データ、選択された予測情報（例えば、イントラ予測情報またはインター予測情報）、残余情報、およびその他の適切な情報をビットストリームに含むように構成されている。なお、開示された主題によれば、インターモードまたは双予測モードのいずれかのマージサブモードでブロックを符号化する場合、残余情報は存在しない。

【0081】

図８は、本開示の別の実施形態によるビデオデコーダ８１０を示す図である。ビデオデコーダ８１０は、符号化されたビデオシーケンスの一部である符号化された画像を受信し、符号化された画像を復号して再構成画像を生成するように構成されている。一例として、ビデオデコーダ８１０は、図４の例のビデオデコーダ４１０の代わりに使用されている。

【0082】

図８の例において、ビデオデコーダ８１０は、図８に示すように接続された、エントロピーデコーダ８７１、インターデコーダ８８０、残余デコーダ８７３、再構成モジュール８７４、およびイントラデコーダ８７２を含む。

【0083】

エントロピーデコーダ８７１は、符号化された画像から、符号化された画像を構成するシンタックス要素を表す特定のシンボルを再構成するように構成されてもよい。そのようなシンボルは、例えば、ブロックが符号化されるモード（例えば、イントラモード、インターモード、双予測モード、およびマージサブモードまたは別のサブモードにおける後者２つ）、特定のサンプルを識別することができる予測情報（例えば、イントラ予測情報またはインター予測情報など）またはそれぞれイントラデコーダ８７２またはインターデコーダ８８０によって予測に使用されるメタデータ、例えば量子化された変換係数などの形態の残余情報、などを含むことができる。一例として、予測モードがインター予測モードまたは双予測モードである場合、インター予測情報がインターデコーダ８８０に提供され、予測タイプがイントラ予測タイプである場合、イントラ予測情報はイントラデコーダ８７２に提供される。残余情報は、逆量子化処理を受けてもよく、残余デコーダ８７３に提供される。

【0084】

インターデコーダ８８０は、インター予測情報を受信し、インター予測情報に基づいてインター予測結果を生成するように構成されている。

【0085】

イントラデコーダ８７２は、イントラ予測情報を受信し、イントラ予測情報に基づいて予測結果を生成するように構成されている。

【0086】

残余デコーダ８７３は、逆量子化を実行して、非量子化された変換係数を抽出し、非量子化された変換係数を処理して、周波数領域から空間領域に残余を変換するように構成される。また、残余デコーダ８７３は、特定の制御情報（量子化器パラメータ（ＱＰ）を含むように）を必要としてもよく、その情報は、エントロピーデコーダ８７１によって提供されてもよい（データパスは、これが低容量の制御情報のみである可能性があるため、描かれていない）。

【0087】

再構成モジュール８７４は、空間領域において、残余デコーダ８７３によって出力された残余と、予測結果（場合により、インターまたはイントラ予測モジュールによって出力されたもの）とを組み合わせて、再構成ブロックを形成するように構成されており、このブロックは、再構成画像の一部であってもよく、この再構成画像は再構成ビデオの一部であってもよい。なお、視覚的品質を向上させるために、デブロッキング演算などの他の適切な演算を実行してもよい。

【0088】

なお、ビデオエンコーダ４０３、６０３、７０３、およびビデオデコーダ４１０、５１０、８１０は、任意の適切な技術を用いて動作させることができる。一実施形態において、ビデオエンコーダ４０３、６０３、７０３、およびビデオデコーダ４１０、５１０、８１０は、１つまたは複数の集積回路を用いて動作させることができる。別の実施形態において、ビデオエンコーダ４０３、６０３、７０３、およびビデオデコーダ４１０、５１０、８１０は、ソフトウェア命令を実行する１つまたは複数のプロセッサを用いて動作させることができる。

【0089】

ＨＥＶＣなどの一部の実施形態では、一次変換は、４点、８点、１６点および３２点の離散コサイン変換（ＤＣＴ）タイプ２（ＤＣＴ－２）を含んでもよく、変換コア行列は、８ビット整数（即ち、８ビット変換コア）を用いて表されてもよい。付録Ｉに示すように、より小さいＤＣＴ－２の変換コア行列は、より大きいＤＣＴ－２の変換コア行列の一部である。

【0090】

ＤＣＴ－２コア行列は、対称性／反対称性特徴を示す。したがって、「部分バタフライ」実装は、演算カウント（例えば、乗算、加算、減算、シフト、および/または同様のものなど）の数を低減するようにサポートされ、部分バタフライを用いて、行列乗算の同一の結果を得ることができる。

【0091】

ＶＶＣなどの一部の実施形態では、上記の４点、８点、１６点および３２点ＤＣＴ－２変換に加えて、追加の２点および６４点ＤＣＴ－２もまた含まれる場合がある。ＶＶＣで用いられるような６４点ＤＣＴ－２コアの例を、付録ＩＩに６４×６４行列として示す。

【0092】

ＨＥＶＣで用いられるようなＤＣＴ－２および４×４ＤＳＴ－７に加えて、適応多重変換（ＡＭＴ）（拡張多重変換（ＥＭＴ）または多重変換選択（ＭＴＳ）とも呼ばれる）方式を、例えばＶＶＣにおいて用い、インター符号化されたブロックおよびイントラ符号化されたブロックの両方について残余符号化を行うことができる。ＡＭＴ方式は、ＨＥＶＣにおける現在の変換以外のＤＣＴ／ＤＳＴファミリーからの多重選択変換を用いてもよい。新しく導入された変換行列は、ＤＳＴ－７、ＤＣＴ－８である。表１に、Ｎ点入力に対して選択されたＤＳＴ／ＤＣＴの基底関数の例を示す。

【0093】

【表1】

ＶＶＣで用いられるような一次変換行列は、８ビット表現で用いられ得る。一実施形態では、ＡＭＴは、幅および高さがともに３２以下であるＣＵに変換行列を適用する。ＡＭＴが適用されるか否かは、フラグ（例えば、ｍｔｓ＿ｆｌａｇ）によって制御され得る。ｍｔｓ＿ｆｌａｇが０に等しい場合、一部の例では、ＤＣＴ－２のみが符号化残余データに適用される。ｍｔｓ＿ｆｌａｇが１に等しい場合、インデックス（例えば、ｍｔｓ＿ｉｄｘ）は、さらに、例えば表２に従って用いられる水平変換および垂直変換を識別するように、２つのビンを用いて通知される。ここでタイプ値１はＤＳＴ－７が用いられることを意味し、タイプ値２はＤＣＴ－８が用いられることを意味する。表２では、ｔｒＴｙｐｅＨｏｒとｔｒＴｙｐｅＶｅｒの仕様は、ｍｔｓ＿ｉｄｘ［ｘ］［ｙ］［ｃＩｄｘ］に依存する。

【0094】

【表2】

一部の実施形態では、暗黙的ＭＴＳを、上記の通知ベースのＭＴＳ（即ち、明示的ＭＴＳ）が用いられない場合に適用することができる。暗黙的ＭＴＳでは、変換の選択は、通知ではなく、ブロックの幅と高さに応じて行われる。例えば、暗黙的ＭＴＳでは、ＤＳＴ－７はＭ×Ｎのブロックの短辺（即ち、ＭおよびＮのうちの最小値のもの）に対して選択され、ＤＣＴ－２はブロックの長辺（即ち、ＭおよびＮのうちの最大値のもの）に対して選択される。

【0095】

ＤＳＴ－７およびＤＣＴ－８の、それぞれが基底ベクトルによって構成される行列である例示的な変換コアを、付録ＩＩＩに示す。

【0096】

ＶＶＣなどの一部の例では、符号化ブロックの高さと幅がともに６４以下である場合、ＴＢサイズは符号化ブロックサイズと同じである。符号化ブロックの高さまたは幅のいずれかが６４より大きい場合、（逆変換、逆一次変換などの）変換またはイントラ予測を行うと、符号化ブロックはさらに複数のサブブロックに分割される。ここでそれぞれのサブブロックの幅と高さは６４以下である。１つの変換を、それぞれのサブブロックに実行することができる。

【0097】

ＶＶＣの一部の例におけるＭＴＳの関連する構文およびセマンティックを、図９および１０Ａ～１０Ｃで後述する（ラベル９１０とラベル１０１０とを用いて強調表示する）。変換ユニット構文の例を、図９に示す。残余符号化構文の例を、図１０Ａ～１０Ｃに示す。

【0098】

変換ユニットのセマンティックの例は、次の通りである。ｃｕ＿ｍｔｓ＿ｆｌａｇ［ｘ０］［ｙ０］が１に等しい場合、関連する輝度変換ブロックの残余サンプルに多重変換選択を適用することを指定する。ｃｕ＿ｍｔｓ＿ｆｌａｇ［ｘ０］［ｙ０］が０に等しい場合、関連する輝度変換ブロックの残余サンプルに多重変換選択を適用しないことを指定する。配列インデックスｘ０，ｙ０は、画像の左上輝度サンプルに対する、考慮される変換ブロックの左上輝度サンプルの位置（ｘ０，ｙ０）を指定する。ｃｕ＿ｍｔｓ＿ｆｌａｇ［ｘ０］［ｙ０］が存在しない場合、それは０に等しいと推定される。

【0099】

残余符号化セマンティックの例は、次の通りである。ｍｔｓ＿ｉｄｘ［ｘ０］［ｙ０］は、現在の変換ブロックの水平方向と垂直方向に沿って輝度残余サンプルに適用される、変換カーネルを指定する。配列インデックスｘ０，ｙ０は、画像の左上の輝度サンプルに対する、考慮される変換ブロックの左上の輝度サンプルの位置（ｘ０，ｙ０）を指定する。ｍｔｓ＿ｉｄｘ［ｘ０］［ｙ０］が存在しない場合、それは－１に等しいと推定される。

【0100】

図１１Ａに、エンコーダによって実行される例示的な順変換（順一次変換とも呼ばれる）を示す。順変換としては、順水平変換と順垂直変換とを含むことができる。順水平変換を、最初に、残余データを有する残余ブロック１１１０に適用して、中間ブロックを取得する。続いて、順垂直変換を中間ブロックに適用して、変換係数を有する係数ブロック１１１２を取得する。

【0101】

図１１Ｂに、デコーダによって実行される例示的な後向き変換（逆一次変換または逆変換とも呼ばれる）を示す。一般的に言えば、逆変換は順変換と一致する。逆一次変換は、（逆水平変換とも呼ばれる）逆一次水平変換と、（逆垂直変換とも呼ばれる）逆一次垂直変換とを含むことができる。順変換に一致させるために、逆水平変換と逆垂直変換を適用する順序は、逆変換において切り替えられる。したがって、逆垂直変換を最初に係数ブロック１１２２に適用して、中間ブロックを取得する。続いて逆水平変換を中間ブロックに適用して、残余ブロック１１２０を取得する。

【0102】

一次変換とは、順一次変換または逆一次変換を指す場合がある。水平変換とは、逆水平変換または順水平変換を指す場合がある。同様に、垂直変換とは、逆垂直変換または順垂直変換を指す場合がある。

【0103】

ＶＶＣなどの例では、デコーダで、図１１Ｂと、図１２Ａ～１２Ｅのラベル１２１０～１２１１を用いて強調表示されたテキストとに示すように、逆垂直一次変換（逆垂直変換とも呼ばれる）が最初に実行され、次に逆水平一次変換（逆水平変換とも呼ばれる）が、逆垂直変換を適用した後に実行される。スケーリングされた変換係数の変換処理の例を、図１２Ａ～１２Ｅに示す。

【0104】

順一次変換または逆一次変換などの一次変換は、以下に記載するように、ゼロアウト法またはゼロアウト方式を利用することができる。ＶＶＣなどの一部の例では、６４点（または６４長）ＤＣＴ－２の場合、最初の３２個の係数のみが計算され、残りの係数は０に設定される。したがって、ＤＣＴ－２変換を用いて符号化されたＭ×Ｎブロックの場合、左上のｍｉｎ（Ｍ，３２）×ｍｉｎ（Ｎ，３２）の低周波数係数が計算される。残りの係数は０に設定され、通知されない。一例では、残りの係数は計算されない。係数ブロックのエントロピー符号化を、係数ブロックサイズをｍｉｎ（Ｍ，３２）×ｍｉｎ（Ｎ，３２）として設定することによって実行することができ、それによってＭ×Ｎブロックの係数符号化は、ｍｉｎ（Ｍ，３２）×ｍｉｎ（Ｎ，３２）係数ブロックと見なされる。

【0105】

ＭＴＳが用いられる一部の例では、３２点ＤＳＴ－７またはＤＣＴ－８の場合、最初の１６個の係数のみが計算され、残りの係数は０に設定される。したがって、ＤＳＴ－７またはＤＣＴ－８変換を用いて符号化されたＭ×Ｎブロックの場合、左上のｍｉｎ（Ｍ，１６）×ｍｉｎ（Ｎ，１６）の低周波数係数が保持される。残りの係数は０に設定されるか、通知されない場合がある。しかし、６４点ゼロアウトＤＣＴ－２を適用する場合に用いられる係数符号化方式とは異なり、３２点ＭＴＳの場合、ＭまたはＮが１６より大きい場合でも、係数符号化はＭ×Ｎブロック全体で実行される。しかし、係数群（ＣＧ）が左上の１６×１６低周波領域外にある（即ち、係数群がゼロアウト領域にある）場合、係数群がゼロ以外の係数を有するか否かを示すフラグ（例えば、coded＿ｓｕｂ＿ｂｌｏｃｋ＿ｆｌａｇ）は通知されない。ゼロアウト領域とは、係数ブロック内の係数がゼロである領域を指し、したがって、ゼロアウト領域の係数はゼロである。残余符号化構文の例を以下に説明し、図１３のラベル１３１０を用いて強調表示されたテキストによって示す。

【0106】

逆一次変換や順一次変換などの一次変換の主要な複雑さの１つの態様は、サンプルあたりの平均乗算回数（ＭＰＳ）である。例えば、８×８一次変換では、完全行列乗算を用いるＤＳＴ－７が８×８ブロックの水平変換と垂直変換の両方に適用される場合、水平変換はそれぞれの係数を計算するために８回の乗算を必要とし、垂直変換はそれぞれの係数を計算するために８回の乗算を必要とし、したがって合わせて１６の乗算がサンプルごとに用いられる。

【0107】

一部の例では、最悪ケースのＭＰＳは、以下に記載するように、３２×３２ＤＣＴ２と３２×６４ＤＣＴ－２である。ＭＰＳはまた、係数あたりの乗算と呼ばれる場合がある。
Ｍ×ＮのＴＵでは、ＴＵの左上のｍ×ｎ（即ち、ｍｎの積）領域で非ゼロ変換係数が保持される場合、直接行列乗算構造で実装された逆変換の係数あたりの乗算回数は、

【0108】

【数1】

に従って計算され得る。ｎがＮ未満であるか、またはｍがＭ未満である場合、ゼロアウト法を適用し、係数あたりの乗算回数を削減することができる。

【0109】

同様に、ハーフバタフライおよびハーフ直接行列乗算の構造で実装された逆変換の係数あたりの乗算回数は、

【0110】

【数2】

に従って計算され得る。

【0111】

ＶＶＣなどの一部の例では、ＤＳＴ７／ＤＣＴ８は、最大３２点（例えば、４点ＤＳＴ－７、８点ＤＳＴ－７、１６点ＤＳＴ－７、３２点ＤＳＴ－７、４点ＤＣＴ－８、８点ＤＣＴ－８、１６点ＤＣＴ－８および３２点ＤＣＴ－８）で変換され、ＤＣＴ２変換は、最大６４点（例えば、４点ＤＣＴ－２、８点ＤＣＴ－２、１６点ＤＣＴ－２、３２点ＤＣＴ－２および６４点ＤＣＴ－２）で一次変換に対して定義される。６４点一次変換（例えば、６４点ＤＣＴ－２）の場合、変換係数ゼロアウト方式（ゼロアウト法、ゼロアウト方式とも呼ばれる）を適用することができる。ゼロアウト方式では、６４点一次変換の場合、一部の例では、最初の３２個の係数のみが保持され、残りの係数は０に設定される。例えば、６４×６４ブロックである場合、左上の３２×３２の係数が保持され、残りの係数は０に設定される。６４×ＮブロックでありＮが３２以下である場合、左の３２×Ｎの係数を保持し、残りの係数を０に設定してもよい。Ｍ×６４ブロックでありＭが３２である場合、上位のＭ×３２の係数を保持し、残りの係数を０に設定してもよい。

【0112】

表３に係数ごとの乗算回数を示す。ここで、Ｍはブロック幅であり、Ｎはブロック高さであり、ｍは水平方向（即ち、それぞれの行）に保持される係数の数であり、ｎは垂直方向（即ち、それぞれの列）に保持される係数の数である。表３に示すように、左上の１６×１６の係数がＤＳＴ－７／ＤＣＴ－８用に保持される（即ち、ｍ＝ｎ＝１６である）場合、最悪ケース（例えば、係数あたりの乗算回数が最大数である）としては、３２×６４および３２×３２ＤＣＴ－２が挙げられる。例えば、（ハーフバタフライを用いた）３２×６４および３２×３２ＤＣＴ－２の係数あたりの乗算回数は４０であり、悪いケースに対応する。

【0113】

一部の例では、ゼロアウトなしでハーフバタフライを用いる３２×３２ＤＣＴ２、ゼロアウト付き３２×３２ＤＳＴ７／ＤＣＴ８（ｍ＝ｎ＝１６）、ゼロアウト付き３２×１６ＤＳＴ７／ＤＣＴ８（ｍ＝ｎ＝１６）、ゼロアウト付き１６×３２ＤＳＴ７／ＤＣＴ８（ｍ＝ｎ＝１６）を、ビデオ符号化で用いることができる。

【0114】

【表3】

一実施形態では、モード依存の分離不可能な二次変換（ＮＳＳＴ）を、エンコーダ側での順コア変換と量子化との間、およびデコーダ側での非量子化と逆コア変換との間で用いることができる。例えば、複雑さを低く保つために、ＮＳＳＴは、一次変換（またはコア変換）の後に低周波数係数に適用される。変換係数ブロックの幅（Ｗ）と高さ（Ｈ）がともに８以上である場合、８×８ＮＳＳＴが、変換係数ブロックの左上の８×８領域に適用される。そうでない場合、変換係数ブロックの幅Ｗまたは高さＨのいずれかが４であるときは、４×４ＮＳＳＴが適用され、４×４ＮＳＳＴが変換係数ブロックの左上のｍｉｎ（８，Ｗ）×ｍｉｎ（８，Ｈ）領域で実行される。上記の変換選択方法は、輝度成分と彩度成分の両方に適用される。

【0115】

ＮＳＳＴの行列乗算の実装は、例として４×４入力ブロックを用いて次のように記載される。４×４入力ブロックＸは、次式（１）で記述される。

【0116】

【数3】

入力ブロックＸは、ベクトルとして式（２）で表すことができる。

【0117】

【数4】

分離不可能な変換は、

【0118】

【数5】

に従って計算され、式中、

は変換係数ベクトルを示し、Ｔは１６×１６変換行列である。続いて１６×１変換係数ベクトル

が、入力ブロックＸのスキャン順序（例えば、水平スキャン順序、垂直スキャン順序または対角スキャン順序）を用いて、４×４ブロックとして再編成される。より小さいインデックスを有する係数は、４×４係数ブロックのより小さいスキャンインデックスによって配置され得る。一部の実施形態では、バタフライ実装を有するハイパーキューブギブンズ変換（ＨｙＧＴ）を上記の行列乗算の代わりに用いて、ＮＳＳＴの複雑さを低減することができる。

【0119】

一例では、３５×３の分離不可能な２次変換が、４×４と８×８の両方のブロックサイズで利用可能である。ここで、３５はイントラ予測モードに関連付けられた変換セットの数であり、３はそれぞれのイントラ予測モードのＮＳＳＴ候補の数である。表４に、イントラ予測モードからそれぞれの変換セットへのマッピングの例を示す。輝度／彩度変換係数に適用される変換セットは、イントラ予測モードから変換セットインデックスへのマッピングを示す表４に従って、対応する輝度／彩度イントラ予測モードによって指定される。対角予測方向に対応する３４よりも大きいイントラ予測モードの場合、変換係数ブロックは、それぞれエンコーダ／デコーダにおいてＮＳＳＴの前後で転置される。

【0120】

変換セットごとに、選択されたＮＳＳＴ候補はさらに、明示的に通知されたＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスによって指定され得る。ＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスは変換係数の後にそれぞれのイントラ符号化されたＣＵのビットストリームで通知され、切り捨てユーナリーバイナライゼーションがそのＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスに用いられる。例えば、切り捨てられた値は、平面モードまたはＤＣモードでは２であり、角度イントラ予測モードでは３である。一例では、ＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスは、ＣＵに非ゼロ係数が複数ある場合にのみ通知される。デフォルト値はゼロであり、通知されず、このことはＮＳＳＴがＣＵに適用されていないことを示す。値１～３のそれぞれは、変換セットから適用されるＮＳＳＴ候補を示す。

【0121】

【表4】

一部の実施形態では、ＮＳＳＴは、変換スキップモードで符号化されたブロックには適用されない。ＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスがＣＵに対して通知され、ゼロに等しくない場合、ＮＳＳＴは、ＣＵの変換スキップモードで符号化されたブロックには用いられない。全ての成分のブロックを含むＣＵが変換スキップモードで符号化されるか、または非変換スキップモードのＣＢの非ゼロ係数の数が２未満である場合、ＣＵレベルのＮＳＳＴインデックスは、ＣＵに通知されない。

【0122】

表３を参照すると、ＤＣＴ－２が一次変換で用いられる場合、一次変換に用いられる最悪ケースのＭＰＳは、３２×３２または３２×６４のＴＢサイズに対応することができる。一例では、最悪ケースのＭＰＳは、２番目に悪いケース（例えば、ＤＣＴ２を用いる場合の６４×６４または６４×３２のＴＢサイズ）に対して１／３多くの乗算を用いる。本開示の態様は、ＤＣＴ－２を用いて逆一次変換などの一次変換を実行する場合に３２×３２または３２×６４のＴＢサイズのＭＰＳを低減する方法を含む。本明細書の実施形態はまた、任意の適切なＴＢサイズのＭＰＳを低減するために、ＤＣＴ－２に限定されない任意の適切な変換を用いて適用され得る。適切な変換は、ＤＣＴ－２、ＤＳＴ－７、ＤＳＴ－４、ＤＣＴ－８、ＤＣＴ－４などを含むＤＣＴ及び／又はＤＳＴファミリーの変換行列を用いることができる。

【0123】

本明細書に記載の実施形態は別々に用いることも、任意の順序で組み合わせて用いることもできる。さらに実施形態は、エンコーダ、デコーダなどの処理回路（例えば、１つ以上のプロセッサまたは１つ以上の集積回路）によって実装することができる。一例では、１つ以上のプロセッサは、非一時的コンピュータ可読媒体に格納されたプログラムを実行することができる。

【0124】

本開示では、ＭＴＳ候補のＤＳＴ－７に適用可能な実施形態は、ＤＳＴ－４に適用可能であり得、逆もまた同様である。同様に、ＭＴＳ候補のＤＣＴ－８に適用可能な実施形態は、ＤＣＴ－４にも適用可能であり、逆もまた同様である。

【0125】

本開示では、ＮＳＳＴに適用可能な実施形態は、ＮＳＳＴの代替設計である縮小二次変換（ＲＳＴ）に適用可能であり得る。二次変換とは、ＮＳＳＴまたはＲＳＴを指すことができる。

【0126】

図１１Ｂで上述したように、逆一次変換がＴＢに適用される第１順序では、最初に逆垂直変換、続いて逆水平変換を適用する。一部の実施形態によれば、第２順序を用いて、逆水平変換が最初に適用される逆一次変換を適用し、逆水平変換を適用した後に、逆垂直変換を適用することができる。したがって、第１順序を第２順序に切り替えることができる。一般的に、逆一次変換は、ＤＣＴ－２、ＤＳＴ－７、ＤＳＴ－４、ＤＣＴ－８、ＤＣＴ－４などを含むＤＣＴ及び／又はＤＳＴファミリーの変換行列などの、任意の適切なタイプの一次変換を用いることができる。一部の実施形態では、逆一次変換は、ＤＣＴ－２変換行列を用いて実装される。一例では、逆一次変換は直接行列乗算構造を用いて実装される。別の例では、逆一次変換は、ハーフバタフライおよびハーフ直接行列乗算の構造を用いて実装される。

【0127】

一実施形態では、第２順序が、特定のＴＢサイズに対して用いられる（例えば、第１順序が第２順序に切り替えられる）。したがって、水平方向および垂直方向逆変換を適用する順序は、ＴＢサイズに依存し得る。ＴＢサイズとは、Ｍ×Ｎ、ＴＢの幅、ＴＢの高さなどのＴＢの領域を指すことができる。一例では、ＴＢサイズが３２×６４である場合、第２順序が用いられる（即ち、逆水平変換が逆垂直変換の前に適用される）。ＴＢサイズが３２×６４と異なる場合、第１順序が用いられる（即ち、逆垂直変換が逆水平変換の前に適用される）。

【0128】

一実施形態では、Ｍ×ＮのＴＢの高さＮがＴＢの幅Ｍよりも大きい場合、第２順序を用いて、逆水平変換を逆垂直変換の前に適用することができる。そうでなく、ＴＢの高さＮがＴＢの幅Ｍ以下である場合、第１順序を用いて、逆垂直変換を逆水平変換の前に適用することができる。

【0129】

逆水平変換を実行して、Ｍ×Ｎの第１ブロックの第１要素をＭ×Ｎの第２ブロックの第２要素に変換することができる。逆水平変換は、Ｍ長変換などの１次元変換と呼ぶことができ、逆水平変換は、それぞれの行にＭ個の第１要素を有する第１ブロックに行ごとに適用され得る。ある実施形態では、第２ブロックの左ｍ列の第２要素は逆水平変換によって計算され、一方、第２ブロックの右の（Ｍ－ｍ）列の第２要素は計算されず、ゼロになる。逆水平変換がゼロアウト法を含む場合、ｍはＭ未満の正の整数であり、上記の逆水平変換は第２ブロックのそれぞれの行の最初のｍ個の第２要素を計算するが、残りの（Ｍ－ｍ）個の第２要素はそれぞれの行で計算されず、ゼロになる。これにより、（それぞれの行の）最初のｍ個の第２要素は、ゼロアウト法を用いたＭ長変換によって保持される。したがって、計算回数（と計算され格納されるデータの量と）を、ゼロアウト法を含むかまたは用いることによって削減することができる。逆水平変換がゼロアウト法を含まない場合、ｍはＭに等しくなり得る。

【0130】

逆垂直変換を実行して、Ｍ×Ｎの第３ブロックの第３要素をＭ×Ｎの第４ブロックの第４要素に変換することができる。逆垂直変換は、Ｎ長変換などの１次元変換と呼ぶことができる。ここで、逆垂直変換を列ごとに第３ブロックに適用することができ、それぞれの列はＮ個の第３要素を有する。一実施形態では、第４ブロックの上位ｎ行の第４要素は逆垂直変換によって計算され、一方、第４ブロックの下位（Ｎ－ｎ）行の第４要素は計算されず、ゼロになる。逆垂直変換がゼロアウト法を含む場合、ｎはＮ未満の正の整数であり、上記の逆垂直変換は、第４ブロックのそれぞれの列の最初のｎ個の第４要素を計算するが、それぞれの列の残りの（Ｎ－ｎ）個の第４要素列は計算されず、ゼロになる。これにより、（それぞれの列の）最初のｎ個の第４要素は、ゼロアウト法を用いたＮ長変換によって保持される。したがって、計算回数（と計算され格納されるデータの量と）を、ゼロアウト法を含めることによって削減することができる。逆垂直変換がゼロアウト法を含まない場合、ｎはＮに等しくなり得る。

【0131】

逆一次変換、例えばＤＣＴ－２を、Ｍ×ＮのＴＢサイズを有する係数ブロックに適用して、Ｍ×Ｎの残余ブロックを取得することができる。本開示の一実施形態によれば、残余ブロックのｍ×ｎ領域の第１残余データは、逆一次変換によって決定され、残余ブロックのｍ×ｎ領域外の第２残余データは、逆一次変換によって計算されず、ｍはＭ以下であり、ｎはＮ以下である。上記のように、逆水平変換がゼロアウト法を含む場合、ｍはＭ未満である。逆垂直変換がゼロアウト法を含む場合、ｎはＮ未満である。比率ｍ／Ｍが比率ｎ／Ｎ以上である場合、逆垂直変換を適用する前に、逆水平変換が適用される。そうでなく、比率ｍ／Ｍが比率ｎ／Ｎより小さい場合、逆水平変換を適用する前に、逆垂直変換が適用される。

【0132】

一般的に、逆一次変換は、係数ブロックの変換係数を残余ブロックの残余データに変換するように実行される。ＴＢは、係数ブロック及び／又は残余ブロックを参照することができる。ＴＢサイズ、係数ブロックのサイズおよび残余ブロックのサイズは、Ｍ×Ｎである。比率ｍ／Ｍが比率ｎ／Ｎ以上である場合、逆垂直変換を適用する前に、逆水平変換が適用される。したがって、第１ブロックはＭ×Ｎの係数ブロックであり、第１データは変換係数である。第２ブロックはＭ×Ｎの中間ブロックであり、第２データは中間データである。第３ブロックは第２ブロックと同一であり、第３データは第２データと同一である。第４ブロックはＭ×Ｎの残余ブロックであり、第４データは残余データである。

【0133】

一部の実施形態によれば、ゼロアウト法を用いてＴＢに適用される１次元変換において計算または保持されるデータの量は、ＴＢサイズに基づいて決定することができる。上記のように、１次元変換とは、逆水平変換または逆垂直変換を指すことができる。一実施形態では、逆一次変換は、図１１Ｂに示す第１順序を用いて実行され、それによって、逆垂直変換が最初に、続いて逆水平変換が適用される。ＴＢサイズが３２×６４で、幅３２、高さ６４である場合、６４長逆垂直変換をゼロアウトと共に適用し、中間ブロックの上位１６行（即ち、それぞれの列の最初の１６行の中間データ）を計算することによって、変換係数を有する３２×６４の係数ブロックを、中間データを有する中間ブロックに変換することができる。中間ブロックの残りの中間データは計算されず、ゼロになる（例えば、残りの中間データをゼロに設定することができる）。一部の例では、ＴＢサイズが、１６×６４などのように３２×６４と異なる場合、６４長逆垂直変換は、中間ブロックの中間データの上位３２行を計算し、中間ブロックの残りの中間データは計算されず、ゼロになる。

【0134】

ＴＢサイズが３２×６４であって、第１順序を用いる場合、３２長逆水平変換をゼロアウトと共に適用し、残余ブロックの左１６列（即ち、それぞれの行の残余データの最初の１６個）を計算することによって、中間データを有する３２×６４の中間ブロックを、残余データを有する残余ブロックに変換することができる。残余ブロック内の残りの残余データは計算されず、ゼロになる（例えば、残りの残余データをゼロに設定することができる）。

【0135】

一部の例では、ＴＢサイズがＭ×３２でＭが３２より小さい場合、３２長逆垂直変換はゼロアウト方式を適用しない。一部の例では、ＴＢサイズが３２×ＮでＮが３２より小さい場合、３２長逆水平変換はゼロアウト方式を適用しない。

【0136】

一部の実施形態によれば、１次元変換を用いて行または列について計算されるデータの量は、１次元変換が逆水平変換であるか逆垂直変換であるかに基づいて決定することができる。
例えば、ゼロアウト方式は、１次元変換のうちの１つにのみ用いられ得る。一実施形態では、逆一次変換を、第１順序を用いて実行し、それによって、逆垂直変換を最初に、続いて逆水平変換を適用する。ＴＢサイズは、３２×３２である。一例では、３２長垂直変換はゼロアウト法を適用しない。したがって、３２長逆垂直変換は、全ての中間データを計算するか、または中間ブロックの３２行に保持する。３２長逆水平変換は、ゼロアウト法を用いて、残余ブロックの左１６列を計算または保持する。残余ブロックの残りの残余データは計算されず、ゼロになる（例えば、残りの残余データをゼロに設定することができる）。一例では、３２長逆垂直変換は、ゼロアウト法を用いて中間ブロックの上位１６行を計算または保持する。中間ブロックの残りの中間データは計算されず、ゼロになる（例えば、残りの中間データをゼロに設定することができる）。一方、３２長逆水平変換は、ゼロアウト方式を適用しない。したがって、３２長逆水平変換は、残余ブロックの３２列の全ての残余データを計算または保持する。

【0137】

第１逆一次変換が逆二次変換なしでＴＢに適用される場合、第１ＭＰＳは第１逆一次変換に起因する。第２逆一次変換と逆二次変換とがＴＢに適用される場合、第２ＭＰＳ（合成ＭＰＳとも呼ばれる）は、第２逆一次変換と逆二次変換の両方に、乗算を含むことができる。第１逆一次変換が第２逆一次変換と同一である場合、追加の乗算が逆二次変換で用いられるため、第２ＭＰＳが第１ＭＰＳよりも大きくなり得る。以下の実施形態は、合成ＭＰＳを制約または削減してＭＰＳ制限（例えば、表３に示す最悪ケースのＭＰＳ）内にあるように実装され、これにより符号化効率を改善することができる。

【0138】

本開示の態様によれば、ゼロアウト方式を用いて保持されるいくつかの非ゼロ変換係数は、及び／又はゼロアウト法が逆一次変換で用いられるか否かは、二次変換が適用されるか否かに依存し得る。したがって、逆一次変換と二次変換との合成ＭＰＳを削減することができる。第１および第２逆一次変換を再度参照すると、本開示の態様によれば、第１逆一次変換は、第１数の残余データを計算または保持することができ、第２逆一次変換は、第２数の残余データを計算または保持することができ、第２数の残余データは第１数の残余データより小さく、その結果、合成ＭＰＳ（即ち、第２ＭＰＳ）は第１ＭＰＳと類似する。一例では、第２逆一次変換の少なくとも１つの１次元変換（例えば、逆水平変換または逆垂直変換）は、ゼロアウト法を含む。第１逆一次変換の１次元変換は、ゼロアウト法を含むこともできるが、第２逆一次変換は、第１逆一次変換よりも少ない残余データを計算または保持することができる。

【0139】

上記のように、逆一次変換と逆二次変換をＴＢに適用して、ＭＰＳを合成することができる。一般的に、逆一次変換は、異なるタイプ（例えば、ＤＣＴ－２、ＤＳＴ－７、ＤＳＴ－４、ＤＣＴ－８、ＤＣＴ－４など）を含むことができる。本開示の態様によれば、ゼロアウト法を用いるか否か及び／又は逆二次変換においてゼロアウト法を用いる場合に計算されるまたは係数ブロックに保持されるデータの量は、逆一次変換のタイプに基づいて決定することができ、したがって合成ＭＰＳを削減することができる。例えば、逆一次変換がより複雑である（例えば、逆一次変換のＭＰＳが比較的大きい）場合、逆二次変換でゼロアウト法を用いる場合に計算されるかまたは係数ブロックに保持されるデータの量を、さらに削減することができる。

【0140】

本開示の態様によれば、ゼロアウト法は、ＴＢに用いられるイントラ予測モードに応じて実行することができる。一部の実施形態では、ゼロアウト法を用いるか否かと、ゼロアウト法を用いるときに計算または保持されるデータの量とが、イントラ予測モードに基づいて決定され得る。

【0141】

一実施形態では、逆水平変換または逆垂直変換がゼロアウト法を用いて実行されるか否かは、ＴＢに用いられるイントラ予測方向に依存する場合がある。イントラ予測方向は、イントラ予測モードに対応する。一例では、イントラ予測方向が水平予測方向に近い場合、ゼロアウト法は逆水平変換に適用される。一例では、イントラ予測方向が垂直予測方向に近い場合、ゼロアウト法は逆垂直変換に適用される。例えば、水平方向の予測方向は値Ｈｏｒでインデックス付けされ、垂直方向の予測方向は値Ｖｅｒでインデックス付けされる。閾値ｔｈｒｅｓは、水平予測方向に対応する水平モードまたは垂直予測方向に対応する垂直モードに対するイントラ予測モードの近さを決定するように定義され得る。［Ｈｏｒ－ｔｈｒｅｓ，Ｈｏｒ＋ｔｈｒｅｓ］の範囲内でインデックス付けされたイントラ予測モード（またはイントラ予測方向）は、水平予測方向に近いと決定される。［Ｖｅｒ－ｔｈｒｅｓ，Ｖｅｒ＋ｔｈｒｅｓ］の範囲内でインデックス付けされたイントラ予測モードは、垂直予測方向に近いと決定され得る。閾値ｔｈｒｅｓの値の例としては、１，２，３，４，…，および１６が挙げられるが、これらに限定されない。

【0142】

一実施形態では、逆一次変換及び／又は二次変換でゼロアウト法を用いるときに計算または保持されるデータの量を、ＴＢのイントラ予測方向に基づいて決定することができる。

【0143】

図１４に、本開示の実施形態によるプロセス１４００を概説するフローチャートを示す。プロセス１４００をイントラモードで符号化されたブロックの再構成に用いて、再構成中にブロックの予測ブロックを生成することができる。一部の例では、プロセス１４００を、インターモードで符号化されたブロックの再構成に用いることができる。様々な実施形態では、プロセス１４００は、端末装置３１０、３２０、３３０および３４０の処理回路などの処理回路、ビデオエンコーダ４０３の機能を実行する処理回路、ビデオデコーダ４１０の機能を実行する処理回路、ビデオデコーダ５１０の機能を実行する処理回路、ビデオエンコーダ６０３の機能を実行する処理回路などのような、処理回路によって実行される。一部の実施形態では、プロセス１４００はソフトウェア命令で実装され、したがって処理回路がソフトウェア命令を実行すると、処理回路はプロセス１４００を実行する。プロセスはＳ１４０１から始まり、Ｓ１４１０に進む。

【0144】

Ｓ１４１０で、符号化されたビデオビットストリームからの係数ブロックなどのＴＢの符号化情報を復号することができる。符号化情報は、ＴＢサイズ（または係数ブロックのサイズと呼ばれる）を示すことができる。上記のように、ＴＢサイズは、ＴＢの領域、幅、高さなどを指す場合がある。

【0145】

Ｓ１４２０で、逆一次変換の逆水平変換および逆垂直変換が実行される順序を、係数ブロックのサイズに基づいて決定することができる。係数ブロックの変換係数を、逆一次変換によって残余ブロックの残余データに変換することができる。上記のように、一例では、順序は第１順序である。一例では、順序は第２順序である。

【0146】

Ｓ１４３０で、上記のように、ＴＢサイズが条件を満たすか否かを判定することができる。条件は、ＴＢサイズが３２×６４であるか否かである。条件は、Ｍ×Ｎの係数ブロックの高さＮが係数ブロックの幅Ｍよりも大きいことである。条件は、第１比率と第２比率を比較することができる。ここで、第１比率（例えば、ｍ／Ｍ）は、行内のデータの総量に対して行について計算されたデータの量であり、第２比率（ｎ／Ｎ）は、列内のデータの総量に対して列について計算されたデータの量である。ＴＢサイズが条件を満たすと判定されると、プロセス１４００はＳ１４４０に進む。そうでない場合、プロセス１４００はＳ１４５０に進む。

【0147】

Ｓ１４４０で、係数ブロックの変換係数に対して逆水平変換が実行された後に逆垂直変換が実行され、したがって第２順序が用いられる。

【0148】

Ｓ１４５０で、係数ブロックの変換係数に対して逆垂直変換が実行された後に逆水平変換が実行され、したがって第１順序が用いられる。

【0149】

Ｓ１４６０で、残余ブロック内のサンプルを、残余データに基づいて再構成することができる。

【0150】

プロセス１４００は適切に適合させることができる。 例えば、１つ以上のステップを変更、省略または組み合わせることができる。例えば、Ｓ１４２０とＳ１４３０とを組み合わせることができる。追加のステップを追加することもできる。プロセス１４００を実行する順序を変更することもできる。

【0151】

図１５に、本開示の実施形態によるプロセス１５００を概説するフローチャートを示す。プロセス１５００をイントラモードで符号化されたブロックの再構成に用いると、再構成中にブロックの予測ブロックを生成することができる。一部の例では、プロセス１５００を、インターモードで符号化されたブロックの再構成に用いることができる。様々な実施形態では、プロセス１５００は、端末装置３１０、３２０、３３０および３４０の処理回路、ビデオエンコーダ４０３の機能を実行する処理回路、ビデオデコーダ４１０の機能を実行する処理回路、ビデオデコーダ５１０の機能を実行する処理回路、ビデオエンコーダ６０３の機能を実行する処理回路などのような、処理回路によって実行される。一部の実施形態では、プロセス１５００はソフトウェア命令で実装され、したがって処理回路がソフトウェア命令を実行すると、処理回路はプロセス１５００を実行する。プロセスはＳ１５０１から始まり、Ｓ１５１０に進む。

【0152】

Ｓ１５１０で、符号化されたビデオビットストリームからの係数ブロックなどのＴＢの符号化情報を復号することができる。符号化情報は、ＴＢサイズ（係数ブロックのサイズとも呼ばれる）を示すことができる。

【0153】

Ｓ１５２０で、逆一次変換の逆水平変換および逆垂直変換のうちの１つにおいて計算回数（または計算されるデータの量）を削減するか否かを、係数ブロックのサイズに基づいて判定することができる。係数ブロックの変換係数は、逆一次変換によって残余ブロックの残余データに変換され得る。一実施形態では、第１順序が用いられる。逆垂直変換は、係数ブロックの変換係数を中間ブロックの中間データに変換することができ、逆水平変換は、中間データを残余ブロックの残余データに変換することができる。一例では、１次元変換（例えば、逆水平変換または逆垂直変換）の計算回数を削減することは、１次元変換がゼロアウト法を含むことを意味する。ここで、データの最初の１６行（逆水平変換の場合）または１６列（逆垂直変換の場合）が計算され、残りのデータは計算されない。例えば、ＴＢサイズが３２×６４および３２×３２のうちのいずれかである場合、１次元変換の計算回数を削減すると判定される。１次元変換の計算回数を削減すると判定すると、プロセス１５００はＳ１５３０に進む。

【0154】

Ｓ１５３０で、逆水平変換の計算回数を削減するか否かを判定することができる。逆水平変換の計算回数を削減する場合、プロセス１５００はＳ１５４０に進む。そうでない場合、プロセス１５００はＳ１５５０に進む。

【0155】

Ｓ１５３０は適切に変更することができる。例えば、逆水平変換の計算回数を削減するか否かを判定する代わりに、Ｓ１５３０で、逆垂直変換の計算回数を削減するか否かを判定することができる。

【0156】

Ｓ１５４０で、逆一次変換が実行され、逆水平変換はゼロアウト法を含み、残余ブロックの残余データの左１６列は逆水平変換によって計算され、
残余ブロックの残りの残余データは、上記のように、計算されずゼロになる。

【0157】

一例では、Ｓ１５４０で、逆垂直変換もまたゼロアウト法を含む。

【0158】

Ｓ１５５０で、逆一次変換が実行され、逆垂直変換はゼロアウト法を含み、したがって、中間ブロックの中間データの上位１６行は逆垂直変換によって計算され、中間ブロックの残りの中間データは、上記のように、計算されずゼロになる。

【0159】

Ｓ１５６０で、残余ブロックのサンプルを残余データに基づいて再構成することができる。

【0160】

プロセス１５００は適切に適合させることができる。例えば、１つ以上のステップを変更、省略または組み合わせることができる。例えば、ステップＳ１５２０とＳ１５３０とを１つのステップに組み合わせることができる。追加のステップを追加することもできる。プロセス１５００を実行する順序を変更することもできる。

【0161】

一例では、プロセス１４００のステップとプロセス１５００のステップとを変更し、組み合わせることができる。

【0162】

上述の技術は、コンピュータ可読命令を用いた、１つ以上のコンピュータ可読媒体に物理的に保存されたコンピュータソフトウェアとして実行されてもよい。例えば、図１６は、開示された主題の特定の実施形態を実施するのに適したコンピュータシステム１６００を示す。

【0163】

コンピュータソフトウェアは、任意の適切な機械コードまたはコンピュータ言語を使用して符号化されてもよく、それは、１つ以上のコンピュータ中央処理装置（ＣＰＵ）、グラフィックス処理装置（ＧＰＵ）などによって、直接、または、解釈、マイクロコードの実行などにより実行することができる命令を含むコードを作成するために、アセンブリ、コンパイル、リンクなどのメカニズムを施されてもよい。

【0164】

命令は、例えば、パーソナルコンピュータ、タブレットコンピュータ、サーバ、スマートフォン、ゲーム機器、モノのインターネット機器などを含む、様々なタイプのコンピュータまたはその構成要素上で実行されてもよい。

【0165】

コンピュータシステム１６００のための図１６に示す構成要素は、本質的に例示的なものであり、本開示の実施形態を実行するコンピュータソフトウェアの使用または機能の範囲に関して、いかなる制限の示唆も意図されていない。また、構成要素の構成は、コンピュータシステム１６００の例示的な実施形態に図示されている構成要素のいずれか１つまたはその組み合わせに関連する依存性または要求を有するものとは解釈されないものとする。

【0166】

コンピュータシステム１６００は、特定のヒューマンインターフェース入力デバイスを含んでもよい。そのようなヒューマンインターフェース入力デバイスは、例えば、触覚入力（例えば、キーストローク、スワイプ、データグローブの動き）、音声入力（例えば、声、拍手）、視覚入力（例えばジェスチャー）、嗅覚入力（図示せず）などを介して、１人または複数の人間のユーザによる入力に反応するものであってもよい。ヒューマンインターフェースデバイスは、音声（スピーチ、音楽、周囲の音など）、画像（スキャンした画像、静止画カメラで撮影した写真画像など）、ビデオ（二次元ビデオ、立体ビデオを含む三次元ビデオなど）など、人間による意識的な入力に必ずしも直接に関係しない特定のメディアをキャプチャするために用いてもよい。

【0167】

入力用ヒューマンインターフェースデバイスは、キーボード１６０１、マウス１６０２、トラックパッド１６０３、タッチスクリーン１６１０、データグローブ（図示せず）、ジョイスティック１６０５、マイクロフォン１６０６、スキャナ１６０７、カメラ１６０８のうちの１つまたは複数（それぞれ１つのみが図示されている）を含んでもよい。

【0168】

また、コンピュータシステム１６００は、特定のヒューマンインターフェース出力デバイスを含んでもよい。そのようなヒューマンインターフェース出力デバイスは、例えば、触覚出力、音、光、および匂い／味を介して、１人または複数の人間のユーザの感覚を刺激するものであってもよい。そのようなヒューマンインターフェース出力デバイスに含まれてもよいものとしては、触覚出力デバイス（例えば、タッチスクリーン１６１０による触覚フィードバック）、データグローブ（図示せず）、またはジョイスティック１６０５などであるが、入力デバイスとして機能しない触覚フィードバックデバイスもあってもよい）、音声出力装置（例えば、スピーカー１６０９）、ヘッドフォン（図示せず）、視覚出力デバイス（ＣＲＴスクリーン、ＬＣＤスクリーン、プラズマスクリーン、ＯＬＥＤスクリーンなどのスクリーン１６１０であって、それぞれタッチスクリーン入力機能を有する、または有しないもの、かつ触覚フィードバック機能を有する、または有しないもの、などである。ここで、そのうちの一部は、二次元視覚出力、または立体画法出力などの手段による三次元以上の出力を出力することができてもよいもの、さらに仮想現実ゴーグル（描かれていない）、ホログラフィックディスプレイ、スモークタンク（描かれていない））、およびプリンタ（描かれていない）などがある。

【0169】

また、コンピュータシステム１６００は、ＣＤ／ＤＶＤなどのメディア１６２１を備えたＣＤ／ＤＶＤ ＲＯＭ／ＲＷ１６２０を含む光学メディア、サムドライブ１６２２、リムーバブルハードドライブまたはソリッドステートドライブ１６２３、テープやフロッピーディスクなどのレガシー磁気メディア（描かれていない）、セキュリティドングル（描かれていない）などの特殊なＲＯＭ／ＡＳＩＣ／ＰＬＤベースのデバイスなど、人間がアクセス可能な記憶装置およびそれらに関連付けられたメディアを含んでもよい。

【0170】

また当業者には、本願において開示された主題に関連して使用される用語「コンピュータ可読媒体」が、伝送媒体、搬送波、または他の一過性の信号を包含しないことは周知のことである。

【0171】

また、コンピュータシステム１６００は、１つまたは複数の通信ネットワークへのインターフェースを含んでもよい。ネットワークは、例えば、無線式、有線式、光学式であってもよい。ネットワークはさらに、ローカルエリア、ワイドエリア、メトロポリタンエリア、車両および産業用、実時間型、遅延耐性型などであってもよい。ネットワークの例としては、イーサネットなどのローカルエリアネットワーク、無線ＬＡＮ、ならびにＧＳＭ、３Ｇ、４Ｇ、５Ｇ、ＬＴＥなどのセルラーネットワーク、ケーブルテレビ、衛星テレビ、地上波放送テレビなどのテレビ有線または無線広域デジタルネットワーク、ＣＡＮＢｕｓなどの車両および産業用ネットワークなどが挙げられる。特定の汎用データポートまたは周辺バス１６４９（例えば、コンピュータシステム１６００のＵＳＢポート）に接続される外部ネットワークインターフェースアダプタを必要とするのが一般的である特定のネットワークがあり、また、後述のシステムバス（例えば、ＰＣコンピュータシステムに組み込まれるイーサネットインターフェースや、スマートフォンコンピュータシステムに組み込まれるセルラーネットワークインターフェースなど）に取り付けることでコンピュータシステム１６００のコアに組み込まれるのが一般的であるネットワークもある。これらのネットワークのいずれかを使用して、コンピュータシステム１６００は、他のエンティティと通信することができる。このような通信は、単一方向受信のみのもの（例えば、テレビ放送）、単一方向送信のみのもの（例えば、特定のＣＡＮｂｕｓデバイスへのＣＡＮｂｕｓ）、または、例えばローカルまたはワイドエリアデジタルネットワークを使用する他のコンピュータシステムとの双方向性のものであってもよい。特定のプロトコルやプロトコルスタックは、前述のようにそれらのネットワークやネットワークインターフェースのそれぞれにおいて使用されてもよい。

【0172】

前述のヒューマンインターフェースデバイス、ヒューマンアクセス可能な記憶装置、およびネットワークインターフェースは、コンピュータシステム１６００のコア１６４０に取り付けられてもよい。

【0173】

コア１６４０は、１つまたは複数の中央処理装置（ＣＰＵ）１６４１、グラフィックスプロセッシングユニット（ＧＰＵ）１６４２、フィールドプログラマブルゲートエリア（ＦＰＧＡ）の形態の特殊なプログラム可能処理装置１６４３、特定のタスクのためのハードウェアアクセラレータ１６４４などを含んでもよい。これらのデバイスは、リードオンリーメモリ（ＲＯＭ）１６４５、ランダムアクセスメモリ１６４６、ユーザがアクセスできない内蔵ハードドライブ、ＳＳＤなどの内蔵大容量記憶装置１６４７とともに、システムバス１６４８を介して接続されてもよい。一部のコンピュータシステムにおいて、システムバス１６４８は、追加のＣＰＵ、ＧＰＵなどによる拡張を可能にするために、１つまたは複数の物理的なプラグの形でアクセス可能であってもよい。周辺機器は、コアのシステムバス１６４８に直接に、または周辺バス１６４９を介して取り付けることができる。周辺バスのアーキテクチャは、ＰＣＩ、ＵＳＢなどを含む。

【0174】

ＣＰＵ１６４１、ＧＰＵ１６４２、ＦＰＧＡ１６４３、およびアクセラレータ１６４４は、組み合わされて前述のコンピュータコードを構成することができる特定の命令を実行してもよい。そのコンピュータコードは、ＲＯＭ１６４５またはＲＡＭ１６４６に格納されていてもよい。また、暫定的なデータは、ＲＡＭ１６４６に保存されてもよく、一方、永続的なデータは、例えば、内蔵大容量記憶装置１６４７に保存されてもよい。記憶装置のいずれかへの高速な記憶およびそれからの取り出しは、ＣＰＵ１６４１、ＧＰＵ１６４２、大容量記憶装置１６４７、ＲＯＭ１６４５、ＲＡＭ１６４６の少なくとも１つに密接に関連し得るキャッシュメモリの使用によって可能になり得る。

【0175】

コンピュータ可読媒体は、コンピュータが実行する様々な演算を実行するためのコンピュータコードを有してもよい。媒体およびコンピュータコードは、本開示の目的のために特別に設計および構築されたものであってもよく、あるいはコンピュータソフトウェアの技術に精通した者によく知られ、かつ利用可能な種類のものであってもよい。

【0176】

非限定的な一例として、アーキテクチャ１６００、特にコア１６４０を有するコンピュータシステムは、プロセッサ（ＣＰＵ、ＧＰＵ、ＦＰＧＡ、アクセラレータなどを含む）が１つまたは複数の有形のコンピュータ可読媒体に具現化されたソフトウェアを実行することによる機能性を提供することができる。このようなコンピュータ可読媒体は、上で紹介したようなユーザアクセス可能な大容量記憶装置、およびコア内部大容量記憶装置１６４７またはＲＯＭ１６４５などの、非一時的な性質を有するコア１６４０の特定の記憶装置に関連する媒体であってもよい。本開示の様々な実施形態を実行するソフトウェアは、そのようなデバイスに格納され、コア１６４０によって実行されてもよい。コンピュータ可読媒体は、特定のニーズに応じて、１つまたは複数のメモリデバイスまたはチップを含んでもよい。ソフトウェアは、コア１６４０および特にその中の処理装置（ＣＰＵ、ＧＰＵ、ＦＰＧＡなどを含む）に、ＲＡＭ１６４６に保存されたデータ構造を定義すること、およびそのようなデータ構造をソフトウェアによって定義されたプロセスに従って変更することを含む、本明細書に記載された特定のプロセスまたは特定のプロセスの特定の部分を実行させることができる。追加または代替として、コンピュータシステムは、本明細書に記載された特定のプロセスまたは特定のプロセスの特定の部分を実行するために、ソフトウェアの代わりに、またはソフトウェアとともに動作することができる回路（例えば、アクセラレータ１６４４）にハードワイヤードの方式で、またはその他の方式で具現化された論理の結果として機能性を提供することができる。ソフトウェアとは、論理を包含してもよく、また場合により、その逆であってもよい。本願において、コンピュータ可読媒体とは、実行のためのソフトウェアを格納した回路（集積回路（ＩＣ）など）、実行のための論理を具現化した回路、または場合によりその両方を含んでもよい。本開示は、ハードウェアおよびソフトウェアの任意の適切な組み合わせを包含する。

【0177】

付録Ａ：頭字語
ＪＥＭ：ｊｏｉｎｔ ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌ（共同探索モデル）
ＶＶＣ：ｖｅｒｓａｔｉｌｅ ｖｉｄｅｏ ｃｏｄｉｎｇ（多用途ビデオ符号化）
ＢＭＳ：ｂｅｎｃｈｍａｒｋ ｓｅｔ（ベンチマークセット）
ＭＶ：Ｍｏｔｉｏｎ Ｖｅｃｔｏｒ（動きベクトル）
ＨＥＶＣ：Ｈｉｇｈ Ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ Ｖｉｄｅｏ Ｃｏｄｉｎｇ（高効率ビデオ符号化）
ＳＥＩ：Ｓｕｐｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｅｎｈａｎｃｅｍｅｎｔ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ（補助強化情報）
ＶＵＩ：Ｖｉｄｅｏ Ｕｓａｂｉｌｉｔｙ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ビデオ有用性情報）
ＧＯＰ：Ｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｐｉｃｔｕｒｅｓ（画像群）
ＴＵ：Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ Ｕｎｉｔｓ（変換ユニット）
ＰＵ：Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ Ｕｎｉｔｓ（予測ユニット）
ＣＴＵ：Ｃｏｄｉｎｇ Ｔｒｅｅ Ｕｎｉｔ（符号化ツリーユニット）
ＣＴＢ： Ｃｏｄｉｎｇ Ｔｒｅｅ Ｂｌｏｃｋ（符号化ツリーブロック）
ＰＢ：Ｐｒｅｄｉｃｔｉｏｎ Ｂｌｏｃｋ（予測ブロック）
ＨＲＤ：Ｈｙｐｏｔｈｅｔｉｃａｌ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ Ｄｅｃｏｄｅｒ（仮想参照デコーダ）
ＳＮＲ：Ｓｉｇｎａｌ Ｎｏｉｓｅ Ｒａｔｉｏ（信号ノイズ比）
ＣＰＵ：Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ（中央処理装置）
ＧＰＵ：Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ（グラフィックス処理装置）
ＣＲＴ：Ｃａｔｈｏｄｅ Ｒａｙ Ｔｕｂｅ（陰極線管）
ＬＣＤ：Ｌｉｑｕｉｄ－Ｃｒｙｓｔａｌ Ｄｉｓｐｌａｙ（液晶ディスプレイ）
ＯＬＥＤ：Ｏｒｇａｎｉｃ Ｌｉｇｈｔ－Ｅｍｉｔｔｉｎｇ Ｄｉｏｄｅ（有機発光ダイオード）
ＣＤ：Ｃｏｍｐａｃｔ Ｄｉｓｃ（コンパクトディスク）
ＤＶＤ：Ｄｉｇｉｔａｌ Ｖｉｄｅｏ Ｄｉｓｃ（デジタルビデオディスク）
ＲＯＭ：Ｒｅａｄ－Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ（読み取り専用メモリ）
ＲＡＭ：Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ（ランダムアクセスメモリ）
ＡＳＩＣ：Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ－Ｓｐｅｃｉｆｉｃ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ（特定用途向け集積回路）
ＰＬＤ：Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｌｏｇｉｃ Ｄｅｖｉｃｅ（プログラマブル論理デバイス）
ＬＡＮ： Ｌｏｃａｌ Ａｒｅａ Ｎｅｔｗｏｒｋ（ローカルエリアネットワーク）
ＧＳＭ：Ｇｌｏｂａｌ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｍｏｂｉｌｅ ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ（グローバル・システム・フォー・モバイル・コミュニケーションズ）
ＬＴＥ：Ｌｏｎｇ－Ｔｅｒｍ Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ（ロングタームエボリューション）
ＣＡＮＢｕｓ：Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ Ａｒｅａ Ｎｅｔｗｏｒｋ Ｂｕｓ（コントローラエリアネットワークバス）
ＵＳＢ：Ｕｎｉｖｅｒｓａｌ Ｓｅｒｉａｌ Ｂｕｓ（ユニバーサルシリアルバス）
ＰＣＩ：Ｐｅｒｉｐｈｅｒａｌ Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ Ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔ（ペリフェラルコンポーネントインターコネクト）
ＦＰＧＡ：Ｆｉｅｌｄ Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ Ｇａｔｅ Ａｒｅａ（フィールドプログラマブルゲートエリア）
ＳＳＤ：ｓｏｌｉｄ－ｓｔａｔｅ ｄｒｉｖｅ（ソリッドステートドライブ）
ＩＣ：Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｃｉｒｃｕｉｔ（集積回路）
ＣＵ：Ｃｏｄｉｎｇ Ｕｎｉｔ（符号化ユニット）
本開示では、一部の例示的な実施形態を説明してきたが、本開示の範囲内にある、変更、変形、および様々な代替的な等価物が存在する。したがって、当業者は、本明細書に明示的に示されていない、または記載されていないが、本開示の原理を具現化し、したがってその趣旨および範囲内にある多数のシステムおよび方法に想到することができることが理解される。

付録I
４×４変換

【0178】

【数6】

８×８変換

【0179】

【数7】

１６×１６変換

【0180】

【数8】

３２×３２変換

【0181】

【数9】

付録ＩＩ
６４点ＤＣＴ－２コア
{
{ aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa,
aa, aa, aa, aa, aa, aa, aa }

{ bf,
bg, bh, bi, bj, bk, bl, bm, bn,
bo, bp, bq, br, bs, bt, bu, bv,
bw, bx, by, bz, ca, cb, cc, cd,
ce, cf, cg, ch, ci, cj, ck, -ck, -cj, -ci,
-ch, -cg, -cf, -ce, -cd, -cc, -cb, -ca, -bz, -by, -bx, -bw, -bv, -bu, -bt, -bs,
-br, -bq, -bp, -bo, -bn, -bm, -bl, -bk, -bj, -bi, -bh, -bg, -bf }

{ ap,
aq, ar, as, at, au, av, aw, ax,
ay, az, ba, bb, bc, bd, be, -be, -bd, -bc,
-bb, -ba, -az, -ay, -ax, -aw, -av, -au, -at, -as, -ar, -aq, -ap, -ap, -aq, -ar,
-as, -at, -au, -av, -aw, -ax, -ay, -az, -ba, -bb, -bc, -bd, -be,
be, bd, bc, bb, ba, az, ay, ax,
aw, av, au, at, as, ar, aq, ap }

{ bg,
bj, bm, bp, bs, bv, by, cb, ce,
ch, ck, -ci, -cf, -cc, -bz, -bw, -bt, -bq, -bn, -bk, -bh, -bf, -bi, -bl,
-bo, -br, -bu, -bx, -ca, -cd, -cg, -cj, cj, cg, cd, ca,
bx, bu, br, bo, bl, bi, bf, bh,
bk, bn, bq, bt, bw, bz, cc, cf,
ci, -ck, -ch, -ce, -cb, -by, -bv, -bs, -bp, -bm, -bj, -bg }

{ ah,
ai, aj, ak, al, am, an, ao, -ao, -an, -am,
-al, -ak, -aj, -ai, -ah, -ah, -ai, -aj, -ak, -al, -am, -an, -ao,
ao, an, am, al, ak, aj, ai, ah,
ah, ai, aj, ak, al, am, an, ao, -ao,
-an, -am, -al, -ak, -aj, -ai, -ah, -ah, -ai, -aj, -ak, -al, -am, -an,
-ao, ao, an, am, al, ak, aj,
ai, ah }

{ bh,
bm, br, bw, cb, cg, -ck, -cf, -ca, -bv, -bq, -bl, -bg,
-bi, -bn, -bs, -bx, -cc, -ch, cj, ce, bz, bu,
bp, bk, bf, bj, bo, bt, by, cd,
ci, -ci, -cd, -by, -bt, -bo, -bj, -bf, -bk, -bp, -bu, -bz, -ce, -cj, ch,
cc, bx, bs, bn, bi, bg, bl, bq,
bv, ca, cf, ck, -cg, -cb, -bw, -br, -bm, -bh }

{ aq,
at, aw, az, bc, -be, -bb, -ay, -av, -as, -ap, -ar, -au, -ax,
-ba, -bd, bd, ba, ax, au, ar, ap,
as, av, ay, bb, be, -bc, -az, -aw, -at, -aq, -aq, -at,
-aw, -az, -bc, be, bb, ay, av, as,
ap, ar, au, ax, ba, bd, -bd, -ba, -ax, -au, -ar,
-ap, -as, -av, -ay, -bb, -be, bc, az, aw, at, aq
}

{ bi,
bp, bw, cd, ck, -ce, -bx, -bq, -bj, -bh, -bo, -bv, -cc,
-cj, cf, by, br, bk, bg, bn,
bu, cb, ci, -cg, -bz, -bs, -bl, -bf, -bm, -bt, -ca, -ch, ch,
ca, bt, bm, bf, bl, bs, bz, cg, -ci,
-cb, -bu, -bn, -bg, -bk, -br, -by, -cf, cj, cc, bv,
bo, bh, bj, bq, bx, ce, -ck, -cd, -bw, -bp, -bi }

{ ad,
ae, af, ag, -ag, -af, -ae, -ad, -ad, -ae, -af, -ag, ag,
af, ae, ad, ad, ae, af, ag, -ag, -af, -ae,
-ad, -ad, -ae, -af, -ag, ag, af, ae, ad,
ad, ae, af, ag, -ag, -af, -ae, -ad, -ad, -ae, -af, -ag,
ag, af, ae, ad, ad, ae, af, ag, -ag,
-af, -ae, -ad, -ad, -ae, -af, -ag, ag, af, ae, ad }

{ bj,
bs, cb, ck, -cc, -bt, -bk, -bi, -br, -ca, -cj, cd,
bu, bl, bh, bq, bz, ci, -ce, -bv, -bm, -bg, -bp,
-by, -ch, cf, bw, bn, bf, bo, bx, cg,
-cg, -bx, -bo, -bf, -bn, -bw, -cf, ch, by, bp,
bg, bm, bv, ce, -ci, -bz, -bq, -bh, -bl, -bu, -cd,
cj, ca, br, bi, bk, bt, cc, -ck, -cb, -bs,
-bj }

{ ar,
aw, bb, -bd, -ay, -at, -ap, -au, -az, -be, ba, av,
aq, as, ax, bc, -bc, -ax, -as, -aq, -av, -ba, be,
az, au, ap, at, ay, bd, -bb, -aw, -ar, -ar, -aw,
-bb, bd, ay, at, ap, au, az, be, -ba,
-av, -aq, -as, -ax, -bc, bc, ax, as, aq,
av, ba, -be, -az, -au, -ap, -at, -ay, -bd, bb, aw, ar }

{ bk,
bv, cg, -ce, -bt, -bi, -bm, -bx, -ci, cc, br, bg,
bo, bz, ck, -ca, -bp, -bf, -bq, -cb, cj, by,
bn, bh, bs, cd, -ch, -bw, -bl, -bj, -bu, -cf, cf,
bu, bj, bl, bw, ch, -cd, -bs, -bh, -bn, -by, -cj,
cb, bq, bf, bp, ca, -ck, -bz, -bo, -bg, -br, -cc,
ci, bx, bm, bi, bt, ce, -cg, -bv, -bk }

{ ai,
al, ao, -am, -aj, -ah, -ak, -an, an, ak, ah,
aj, am, -ao, -al, -ai, -ai, -al, -ao, am, aj, ah,
ak, an, -an, -ak, -ah, -aj, -am, ao, al, ai,
ai, al, ao, -am, -aj, -ah, -ak, -an, an, ak,
ah, aj, am, -ao, -al, -ai, -ai, -al, -ao, am, aj,
ah, ak, an, -an, -ak, -ah, -aj, -am, ao, al, ai }

{ bl, by,
-ck, -bx, -bk, -bm, -bz, cj, bw, bj, bn, ca, -ci,
-bv, -bi, -bo, -cb, ch, bu, bh, bp, cc, -cg, -bt,
-bg, -bq, -cd, cf, bs, bf, br, ce, -ce, -br, -bf,
-bs, -cf, cd, bq, bg, bt, cg, -cc, -bp, -bh, -bu,
-ch, cb, bo, bi, bv, ci, -ca, -bn, -bj, -bw,
-cj, bz, bm, bk, bx, ck, -by, -bl }

{ as, az,
-bd, -aw, -ap, -av, -bc, ba, at, ar, ay, -be, -ax, -aq,
-au, -bb, bb, au, aq, ax, be, -ay, -ar, -at,
-ba, bc, av, ap, aw, bd, -az, -as, -as, -az,
bd, aw, ap, av, bc, -ba, -at, -ar, -ay, be,
ax, aq, au, bb, -bb, -au, -aq, -ax, -be, ay,
ar, at, ba, -bc, -av, -ap, -aw, -bd, az, as }

{ bm, cb,
-cf, -bq, -bi, -bx, cj, bu, bf, bt, ci, -by, -bj,
-bp, -ce, cc, bn, bl, ca, -cg, -br, -bh, -bw,
ck, bv, bg, bs, ch, -bz, -bk, -bo, -cd, cd,
bo, bk, bz, -ch, -bs, -bg, -bv, -ck, bw, bh,
br, cg, -ca, -bl, -bn, -cc, ce, bp, bj, by, -ci,
-bt, -bf, -bu, -cj, bx, bi, bq, cf, -cb, -bm }

{ ab, ac,
-ac, -ab, -ab, -ac, ac, ab, ab, ac, -ac, -ab, -ab,
-ac, ac, ab, ab, ac, -ac, -ab, -ab, -ac,
ac, ab, ab, ac, -ac, -ab, -ab, -ac, ac, ab,
ab, ac, -ac, -ab, -ab, -ac, ac, ab, ab, ac, -ac,
-ab, -ab, -ac, ac, ab, ab, ac, -ac, -ab, -ab,
-ac, ac, ab, ab, ac, -ac, -ab, -ab, -ac,
ac, ab }

{ bn, ce,
-ca, -bj, -br, -ci, bw, bf, bv, -cj, -bs, -bi, -bz,
cf, bo, bm, cd, -cb, -bk, -bq, -ch, bx, bg, bu,
-ck, -bt, -bh, -by, cg, bp, bl, cc, -cc, -bl, -bp,
-cg, by, bh, bt, ck, -bu, -bg, -bx, ch,
bq, bk, cb, -cd, -bm, -bo, -cf, bz, bi, bs,
cj, -bv, -bf, -bw, ci, br, bj, ca, -ce, -bn }

{ at, bc,
-ay, -ap, -ax, bd, au, as, bb, -az, -aq, -aw,
be, av, ar, ba, -ba, -ar, -av, -be, aw, aq,
az, -bb, -as, -au, -bd, ax, ap, ay, -bc, -at, -at, -bc,
ay, ap, ax, -bd, -au, -as, -bb, az, aq, aw, -be,
-av, -ar, -ba, ba, ar, av, be, -aw, -aq, -az,
bb, as, au, bd, -ax, -ap, -ay, bc, at }

{ bo, ch,
-bv, -bh, -ca, cc, bj, bt, -cj, -bq, -bm, -cf,
bx, bf, by, -ce, -bl, -br, -ck, bs, bk, cd, -bz,
-bg, -bw, cg, bn, bp, ci, -bu, -bi, -cb,
cb, bi, bu, -ci, -bp, -bn, -cg, bw, bg, bz, -cd,
-bk, -bs, ck, br, bl, ce, -by, -bf, -bx,
cf, bm, bq, cj, -bt, -bj, -cc, ca, bh, bv,
-ch, -bo }

{ aj, ao,
-ak, -ai, -an, al, ah, am, -am, -ah, -al, an,
ai, ak, -ao, -aj, -aj, -ao, ak, ai, an, -al, -ah,
-am, am, ah, al, -an, -ai, -ak, ao, aj, aj,
ao, -ak, -ai, -an, al, ah, am, -am, -ah, -al, an,
ai, ak, -ao, -aj, -aj, -ao, ak, ai, an, -al, -ah,
-am, am, ah, al, -an, -ai, -ak, ao, aj }

{ bp, ck,
-bq, -bo, -cj, br, bn, ci, -bs, -bm, -ch, bt,
bl, cg, -bu, -bk, -cf, bv, bj, ce, -bw, -bi, -cd,
bx, bh, cc, -by, -bg, -cb, bz, bf, ca, -ca, -bf,
-bz, cb, bg, by, -cc, -bh, -bx, cd, bi, bw,
-ce, -bj, -bv, cf, bk, bu, -cg, -bl, -bt, ch,
bm, bs, -ci, -bn, -br, cj, bo, bq, -ck, -bp }

{ au, -be, -at,
-av, bd, as, aw, -bc, -ar, -ax, bb, aq, ay,
-ba, -ap, -az, az, ap, ba, -ay, -aq, -bb, ax,
ar, bc, -aw, -as, -bd, av, at, be, -au, -au,
be, at, av, -bd, -as, -aw, bc, ar, ax, -bb, -aq,
-ay, ba, ap, az, -az, -ap, -ba, ay, aq, bb,
-ax, -ar, -bc, aw, as, bd, -av, -at, -be, au }

{ bq, -ci, -bl,
-bv, cd, bg, ca, -by, -bi, -cf, bt, bn, ck,
-bo, -bs, cg, bj, bx, -cb, -bf, -cc, bw,
bk, ch, -br, -bp, cj, bm, bu, -ce, -bh, -bz, bz,
bh, ce, -bu, -bm, -cj, bp, br, -ch, -bk, -bw, cc,
bf, cb, -bx, -bj, -cg, bs, bo, -ck, -bn, -bt, cf,
bi, by, -ca, -bg, -cd, bv, bl, ci, -bq }

{ ae, -ag, -ad,
-af, af, ad, ag, -ae, -ae, ag, ad, af, -af,
-ad, -ag, ae, ae, -ag, -ad, -af, af, ad, ag, -ae,
-ae, ag, ad, af, -af, -ad, -ag, ae, ae, -ag, -ad,
-af, af, ad, ag, -ae, -ae, ag, ad, af, -af,
-ad, -ag, ae, ae, -ag, -ad, -af, af, ad, ag, -ae,
-ae, ag, ad, af, -af, -ad, -ag, ae }

{ br, -cf, -bg,
-cc, bu, bo, -ci, -bj, -bz, bx, bl, ck, -bm,
-bw, ca, bi, ch, -bp, -bt, cd, bf, ce, -bs,
-bq, cg, bh, cb, -bv, -bn, cj, bk, by, -by,
-bk, -cj, bn, bv, -cb, -bh, -cg, bq, bs, -ce, -bf,
-cd, bt, bp, -ch, -bi, -ca, bw, bm, -ck, -bl,
-bx, bz, bj, ci, -bo, -bu, cc, bg, cf, -br
}

{ av, -bb, -ap,
-bc, au, aw, -ba, -aq, -bd, at, ax, -az, -ar,
-be, as, ay, -ay, -as, be, ar, az, -ax,
-at, bd, aq, ba, -aw, -au, bc, ap, bb, -av,
-av, bb, ap, bc, -au, -aw, ba, aq, bd, -at,
-ax, az, ar, be, -as, -ay, ay, as, -be, -ar, -az,
ax, at, -bd, -aq, -ba, aw, au, -bc, -ap, -bb, av }

{ bs, -cc, -bi,
-cj, bl, bz, -bv, -bp, cf, bf, cg, -bo,
-bw, by, bm, -ci, -bh, -cd, br, bt, -cb, -bj,
-ck, bk, ca, -bu, -bq, ce, bg, ch, -bn,
-bx, bx, bn, -ch, -bg, -ce, bq, bu, -ca, -bk,
ck, bj, cb, -bt, -br, cd, bh, ci, -bm, -by,
bw, bo, -cg, -bf, -cf, bp, bv, -bz, -bl, cj,
bi, cc, -bs }

{ ak, -am,
-ai, ao, ah, an, -aj, -al, al, aj, -an, -ah,
-ao, ai, am, -ak, -ak, am, ai, -ao, -ah, -an,
aj, al, -al, -aj, an, ah, ao, -ai, -am, ak,
ak, -am, -ai, ao, ah, an, -aj, -al, al, aj, -an,
-ah, -ao, ai, am, -ak, -ak, am, ai, -ao, -ah,
-an, aj, al, -al, -aj, an, ah, ao, -ai,
-am, ak }

{ bt, -bz,
-bn, cf, bh, ck, -bi, -ce, bo, by, -bu,
-bs, ca, bm, -cg, -bg, -cj, bj, cd, -bp, -bx,
bv, br, -cb, -bl, ch, bf, ci, -bk, -cc, bq,
bw, -bw, -bq, cc, bk, -ci, -bf, -ch, bl, cb, -br,
-bv, bx, bp, -cd, -bj, cj, bg, cg, -bm,
-ca, bs, bu, -by, -bo, ce, bi, -ck, -bh, -cf,
bn, bz, -bt }

{ aw, -ay,
-au, ba, as, -bc, -aq, be, ap, bd, -ar,
-bb, at, az, -av, -ax, ax, av, -az, -at,
bb, ar, -bd, -ap, -be, aq, bc, -as, -ba, au, ay,
-aw, -aw, ay, au, -ba, -as, bc, aq, -be, -ap,
-bd, ar, bb, -at, -az, av, ax, -ax, -av,
az, at, -bb, -ar, bd, ap, be, -aq, -bc, as,
ba, -au, -ay, aw }

{ bu, -bw,
-bs, by, bq, -ca, -bo, cc, bm, -ce, -bk,
cg, bi, -ci, -bg, ck, bf, cj, -bh, -ch, bj,
cf, -bl, -cd, bn, cb, -bp, -bz, br, bx, -bt, -bv,
bv, bt, -bx, -br, bz, bp, -cb, -bn, cd, bl, -cf, -bj,
ch, bh, -cj, -bf, -ck, bg, ci, -bi, -cg, bk, ce,
-bm, -cc, bo, ca, -bq, -by, bs, bw, -bu }

{ aa, -aa,
-aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa,
aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa,
-aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa,
aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa,
-aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa,
aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa, -aa, aa, aa, -aa,
-aa, aa }

{ bv, -bt,
-bx, br, bz, -bp, -cb, bn, cd, -bl, -cf,
bj, ch, -bh, -cj, bf, -ck, -bg, ci, bi, -cg, -bk,
ce, bm, -cc, -bo, ca, bq, -by, -bs, bw, bu, -bu,
-bw, bs, by, -bq, -ca, bo, cc, -bm, -ce,
bk, cg, -bi, -ci, bg, ck, -bf, cj, bh, -ch,
-bj, cf, bl, -cd, -bn, cb, bp, -bz, -br,
bx, bt, -bv }

{ ax, -av,
-az, at, bb, -ar, -bd, ap, -be, -aq, bc, as, -ba,
-au, ay, aw, -aw, -ay, au, ba, -as, -bc,
aq, be, -ap, bd, ar, -bb, -at, az, av, -ax,
-ax, av, az, -at, -bb, ar, bd, -ap, be, aq,
-bc, -as, ba, au, -ay, -aw, aw, ay, -au, -ba,
as, bc, -aq, -be, ap, -bd, -ar, bb, at, -az, -av,
ax }

{ bw, -bq,
-cc, bk, ci, -bf, ch, bl, -cb, -br, bv, bx,
-bp, -cd, bj, cj, -bg, cg, bm, -ca, -bs,
bu, by, -bo, -ce, bi, ck, -bh, cf, bn, -bz,
-bt, bt, bz, -bn, -cf, bh, -ck, -bi, ce, bo, -by,
-bu, bs, ca, -bm, -cg, bg, -cj, -bj, cd, bp, -bx,
-bv, br, cb, -bl, -ch, bf, -ci, -bk, cc, bq, -bw
}

{ al, -aj,
-an, ah, -ao, -ai, am, ak, -ak, -am, ai, ao,
-ah, an, aj, -al, -al, aj, an, -ah, ao, ai,
-am, -ak, ak, am, -ai, -ao, ah, -an, -aj, al, al,
-aj, -an, ah, -ao, -ai, am, ak, -ak, -am, ai, ao,
-ah, an, aj, -al, -al, aj, an, -ah, ao, ai,
-am, -ak, ak, am, -ai, -ao, ah, -an, -aj, al }

{ bx, -bn,
-ch, bg, -ce, -bq, bu, ca, -bk, -ck, bj, -cb,
-bt, br, cd, -bh, ci, bm, -by, -bw, bo, cg,
-bf, cf, bp, -bv, -bz, bl, cj, -bi, cc, bs,
-bs, -cc, bi, -cj, -bl, bz, bv, -bp, -cf, bf, -cg,
-bo, bw, by, -bm, -ci, bh, -cd, -br, bt, cb,
-bj, ck, bk, -ca, -bu, bq, ce, -bg, ch, bn,
-bx }

{ ay, -as,
-be, ar, -az, -ax, at, bd, -aq, ba, aw, -au,
-bc, ap, -bb, -av, av, bb, -ap, bc, au, -aw,
-ba, aq, -bd, -at, ax, az, -ar, be, as, -ay,
-ay, as, be, -ar, az, ax, -at, -bd, aq, -ba,
-aw, au, bc, -ap, bb, av, -av, -bb, ap, -bc,
-au, aw, ba, -aq, bd, at, -ax, -az, ar, -be,
-as, ay }

{ by, -bk,
cj, bn, -bv, -cb, bh, -cg, -bq, bs, ce, -bf,
cd, bt, -bp, -ch, bi, -ca, -bw, bm, ck, -bl,
bx, bz, -bj, ci, bo, -bu, -cc, bg, -cf, -br, br,
cf, -bg, cc, bu, -bo, -ci, bj, -bz, -bx, bl, -ck,
-bm, bw, ca, -bi, ch, bp, -bt, -cd, bf, -ce,
-bs, bq, cg, -bh, cb, bv, -bn, -cj, bk, -by }

{ af, -ad,
ag, ae, -ae, -ag, ad, -af, -af, ad, -ag, -ae, ae,
ag, -ad, af, af, -ad, ag, ae, -ae, -ag, ad, -af,
-af, ad, -ag, -ae, ae, ag, -ad, af, af, -ad,
ag, ae, -ae, -ag, ad, -af, -af, ad, -ag, -ae, ae,
ag, -ad, af, af, -ad, ag, ae, -ae, -ag, ad, -af,
-af, ad, -ag, -ae, ae, ag, -ad, af }

{ bz, -bh,
ce, bu, -bm, cj, bp, -br, -ch, bk, -bw, -cc, bf,
-cb, -bx, bj, -cg, -bs, bo, ck, -bn, bt, cf,
-bi, by, ca, -bg, cd, bv, -bl, ci, bq, -bq,
-ci, bl, -bv, -cd, bg, -ca, -by, bi, -cf, -bt, bn, -ck,
-bo, bs, cg, -bj, bx, cb, -bf, cc, bw,
-bk, ch, br, -bp, -cj, bm, -bu, -ce, bh, -bz }

{ az, -ap,
ba, ay, -aq, bb, ax, -ar, bc, aw, -as,
bd, av, -at, be, au, -au, -be, at, -av, -bd, as,
-aw, -bc, ar, -ax, -bb, aq, -ay, -ba, ap, -az, -az, ap,
-ba, -ay, aq, -bb, -ax, ar, -bc, -aw, as, -bd, -av, at,
-be, -au, au, be, -at, av, bd, -as, aw, bc,
-ar, ax, bb, -aq, ay, ba, -ap, az }

{ ca, -bf,
bz, cb, -bg, by, cc, -bh, bx, cd, -bi,
bw, ce, -bj, bv, cf, -bk, bu, cg, -bl,
bt, ch, -bm, bs, ci, -bn, br, cj, -bo,
bq, ck, -bp, bp, -ck, -bq, bo, -cj, -br, bn, -ci,
-bs, bm, -ch, -bt, bl, -cg, -bu, bk, -cf, -bv, bj, -ce,
-bw, bi, -cd, -bx, bh, -cc, -by, bg, -cb, -bz, bf, -ca
}

{ am, -ah,
al, an, -ai, ak, ao, -aj, aj, -ao, -ak, ai, -an,
-al, ah, -am, -am, ah, -al, -an, ai, -ak, -ao, aj,
-aj, ao, ak, -ai, an, al, -ah, am, am,
-ah, al, an, -ai, ak, ao, -aj, aj, -ao,
-ak, ai, -an, -al, ah, -am, -am, ah, -al, -an, ai, -ak,
-ao, aj, -aj, ao, ak, -ai, an, al, -ah, am
}

{ cb, -bi,
bu, ci, -bp, bn, -cg, -bw, bg, -bz, -cd, bk, -bs,
-ck, br, -bl, ce, by, -bf, bx, cf, -bm, bq,
-cj, -bt, bj, -cc, -ca, bh, -bv, -ch, bo, -bo, ch,
bv, -bh, ca, cc, -bj, bt, cj, -bq, bm, -cf,
-bx, bf, -by, -ce, bl, -br, ck, bs, -bk,
cd, bz, -bg, bw, cg, -bn, bp, -ci, -bu, bi, -cb }

{ ba, -ar,
av, -be, -aw, aq, -az, -bb, as, -au, bd, ax, -ap,
ay, bc, -at, at, -bc, -ay, ap, -ax, -bd, au, -as,
bb, az, -aq, aw, be, -av, ar, -ba, -ba, ar,
-av, be, aw, -aq, az, bb, -as, au, -bd,
-ax, ap, -ay, -bc, at, -at, bc, ay, -ap,
ax, bd, -au, as, -bb, -az, aq, -aw, -be, av, -ar,
ba }

{ cc, -bl,
bp, -cg, -by, bh, -bt, ck, bu, -bg, bx, ch,
-bq, bk, -cb, -cd, bm, -bo, cf, bz, -bi, bs, -cj,
-bv, bf, -bw, -ci, br, -bj, ca, ce, -bn, bn, -ce,
-ca, bj, -br, ci, bw, -bf, bv, cj, -bs, bi,
-bz, -cf, bo, -bm, cd, cb, -bk, bq, -ch, -bx, bg,
-bu, -ck, bt, -bh, by, cg, -bp, bl, -cc }

{ ac, -ab,
ab, -ac, -ac, ab, -ab, ac, ac, -ab, ab, -ac, -ac,
ab, -ab, ac, ac, -ab, ab, -ac, -ac, ab, -ab,
ac, ac, -ab, ab, -ac, -ac, ab, -ab, ac, ac,
-ab, ab, -ac, -ac, ab, -ab, ac, ac, -ab, ab, -ac,
-ac, ab, -ab, ac, ac, -ab, ab, -ac, -ac, ab,
-ab, ac, ac, -ab, ab, -ac, -ac, ab, -ab, ac }

{ cd, -bo,
bk, -bz, -ch, bs, -bg, bv, -ck, -bw, bh, -br, cg,
ca, -bl, bn, -cc, -ce, bp, -bj, by, ci, -bt, bf,
-bu, cj, bx, -bi, bq, -cf, -cb, bm, -bm, cb,
cf, -bq, bi, -bx, -cj, bu, -bf, bt, -ci, -by, bj,
-bp, ce, cc, -bn, bl, -ca, -cg, br, -bh,
bw, ck, -bv, bg, -bs, ch, bz, -bk, bo, -cd }

{ bb, -au,
aq, -ax, be, ay, -ar, at, -ba, -bc, av, -ap, aw,
-bd, -az, as, -as, az, bd, -aw, ap, -av,
bc, ba, -at, ar, -ay, -be, ax, -aq, au, -bb, -bb,
au, -aq, ax, -be, -ay, ar, -at, ba, bc, -av, ap,
-aw, bd, az, -as, as, -az, -bd, aw, -ap, av, -bc,
-ba, at, -ar, ay, be, -ax, aq, -au, bb }

{ ce, -br,
bf, -bs, cf, cd, -bq, bg, -bt, cg, cc, -bp,
bh, -bu, ch, cb, -bo, bi, -bv, ci, ca, -bn,
bj, -bw, cj, bz, -bm, bk, -bx, ck, by, -bl,
bl, -by, -ck, bx, -bk, bm, -bz, -cj, bw, -bj, bn, -ca,
-ci, bv, -bi, bo, -cb, -ch, bu, -bh, bp, -cc,
-cg, bt, -bg, bq, -cd, -cf, bs, -bf, br, -ce }

{ an, -ak,
ah, -aj, am, ao, -al, ai, -ai, al, -ao, -am, aj,
-ah, ak, -an, -an, ak, -ah, aj, -am, -ao, al,
-ai, ai, -al, ao, am, -aj, ah, -ak, an, an,
-ak, ah, -aj, am, ao, -al, ai, -ai, al, -ao,
-am, aj, -ah, ak, -an, -an, ak, -ah, aj, -am,
-ao, al, -ai, ai, -al, ao, am, -aj, ah,
-ak, an }

{ cf, -bu,
bj, -bl, bw, -ch, -cd, bs, -bh, bn, -by, cj, cb,
-bq, bf, -bp, ca, ck, -bz, bo, -bg, br, -cc,
-ci, bx, -bm, bi, -bt, ce, cg, -bv, bk, -bk,
bv, -cg, -ce, bt, -bi, bm, -bx, ci, cc, -br, bg,
-bo, bz, -ck, -ca, bp, -bf, bq, -cb, -cj, by,
-bn, bh, -bs, cd, ch, -bw, bl, -bj, bu, -cf }

{ bc, -ax,
as, -aq, av, -ba, -be, az, -au, ap, -at, ay, -bd,
-bb, aw, -ar, ar, -aw, bb, bd, -ay, at,
-ap, au, -az, be, ba, -av, aq, -as, ax, -bc,
-bc, ax, -as, aq, -av, ba, be, -az, au,
-ap, at, -ay, bd, bb, -aw, ar, -ar, aw, -bb,
-bd, ay, -at, ap, -au, az, -be, -ba, av, -aq, as,
-ax, bc }

{ cg, -bx,
bo, -bf, bn, -bw, cf, ch, -by, bp, -bg, bm,
-bv, ce, ci, -bz, bq, -bh, bl, -bu, cd, cj,
-ca, br, -bi, bk, -bt, cc, ck, -cb, bs, -bj,
bj, -bs, cb, -ck, -cc, bt, -bk, bi, -br, ca, -cj,
-cd, bu, -bl, bh, -bq, bz, -ci, -ce, bv, -bm, bg,
-bp, by, -ch, -cf, bw, -bn, bf, -bo, bx, -cg }

{ ag, -af,
ae, -ad, ad, -ae, af, -ag, -ag, af, -ae, ad, -ad,
ae, -af, ag, ag, -af, ae, -ad, ad, -ae, af, -ag,
-ag, af, -ae, ad, -ad, ae, -af, ag, ag,
-af, ae, -ad, ad, -ae, af, -ag, -ag, af, -ae, ad,
-ad, ae, -af, ag, ag, -af, ae, -ad, ad,
-ae, af, -ag, -ag, af, -ae, ad, -ad, ae, -af, ag
}

{ ch, -ca,
bt, -bm, bf, -bl, bs, -bz, cg, ci, -cb, bu,
-bn, bg, -bk, br, -by, cf, cj, -cc, bv,
-bo, bh, -bj, bq, -bx, ce, ck, -cd, bw,
-bp, bi, -bi, bp, -bw, cd, -ck, -ce, bx, -bq, bj,
-bh, bo, -bv, cc, -cj, -cf, by, -br, bk, -bg, bn,
-bu, cb, -ci, -cg, bz, -bs, bl, -bf, bm, -bt, ca,
-ch }

{ bd, -ba,
ax, -au, ar, -ap, as, -av, ay, -bb, be, bc,
-az, aw, -at, aq, -aq, at, -aw, az, -bc, -be, bb,
-ay, av, -as, ap, -ar, au, -ax, ba, -bd, -bd, ba,
-ax, au, -ar, ap, -as, av, -ay, bb, -be, -bc, az,
-aw, at, -aq, aq, -at, aw, -az, bc, be,
-bb, ay, -av, as, -ap, ar, -au, ax, -ba, bd }

{ ci, -cd,
by, -bt, bo, -bj, bf, -bk, bp, -bu, bz, -ce,
cj, ch, -cc, bx, -bs, bn, -bi, bg, -bl, bq,
-bv, ca, -cf, ck, cg, -cb, bw, -br, bm,
-bh, bh, -bm, br, -bw, cb, -cg, -ck, cf, -ca, bv,
-bq, bl, -bg, bi, -bn, bs, -bx, cc, -ch, -cj, ce,
-bz, bu, -bp, bk, -bf, bj, -bo, bt, -by, cd, -ci
}

{ ao, -an,
am, -al, ak, -aj, ai, -ah, ah, -ai, aj, -ak, al,
-am, an, -ao, -ao, an, -am, al, -ak, aj, -ai, ah,
-ah, ai, -aj, ak, -al, am, -an, ao, ao,
-an, am, -al, ak, -aj, ai, -ah, ah, -ai, aj,
-ak, al, -am, an, -ao, -ao, an, -am, al, -ak, aj,
-ai, ah, -ah, ai, -aj, ak, -al, am, -an, ao }

{ cj, -cg,
cd, -ca, bx, -bu, br, -bo, bl, -bi, bf, -bh, bk,
-bn, bq, -bt, bw, -bz, cc, -cf, ci, ck,
-ch, ce, -cb, by, -bv, bs, -bp, bm, -bj, bg,
-bg, bj, -bm, bp, -bs, bv, -by, cb, -ce, ch, -ck,
-ci, cf, -cc, bz, -bw, bt, -bq, bn, -bk, bh,
-bf, bi, -bl, bo, -br, bu, -bx, ca, -cd, cg, -cj
}

{ be, -bd,
bc, -bb, ba, -az, ay, -ax, aw, -av, au, -at, as,
-ar, aq, -ap, ap, -aq, ar, -as, at, -au, av,
-aw, ax, -ay, az, -ba, bb, -bc, bd, -be, -be, bd,
-bc, bb, -ba, az, -ay, ax, -aw, av, -au, at,
-as, ar, -aq, ap, -ap, aq, -ar, as, -at, au,
-av, aw, -ax, ay, -az, ba, -bb, bc, -bd, be }

{ ck, -cj,
ci, -ch, cg, -cf, ce, -cd, cc, -cb, ca, -bz, by,
-bx, bw, -bv, bu, -bt, bs, -br, bq, -bp, bo,
-bn, bm, -bl, bk, -bj, bi, -bh, bg, -bf, bf,
-bg, bh, -bi, bj, -bk, bl, -bm, bn, -bo, bp,
-bq, br, -bs, bt, -bu, bv, -bw, bx, -by, bz,
-ca, cb, -cc, cd, -ce, cf, -cg, ch, -ci, cj, -ck
}
}
ここで
{ aa, ab, ac, ad, ae, af, ag, ah, ai, aj, ak, al, am, an, ao, ap,
aq, ar, as, at, au, av, aw, ax, ay, az, ba, bb, bc, bd, be, bf, bg, bh, bi, bj,
bk, bl, bm, bn, bo, bp, bq, br, bs, bt, bu, bv, bw, bx, by, bz, ca, cb, cc, cd,
ce, cf, cg, ch, ci, cj, ck} =
{64,83,36,89,75,50,18,90,87,80,70,57,43,25,9,90,90,88,85,82,78,73,67,61,54,46,38,31,22,13,4,91,90,90,90,88,87,86,84,83,81,79,77,73,71,69,65,62,59,56,52,48,44,41,37,33,28,24,20,15,11,7,2}

付録III
４点ＤＳＴ－７
{
a, b, c, d }
{ c,
c, 0, -c }
{ d, -a,
-c, b }
{ b,
-d, c, -a }
ここで
{a, b, c, d} = { 29, 55, 74, 84}

８点ＤＳＴ－７
{
a, b, c, d, e, f, g, h,}
{ c,
f, h, e, b, -a, -d, -g,}
{ e,
g, b, -c, -h, -d, a, f,}
{
g, c, -d, -f, a, h, b, -e,}
{ h, -a,
-g, b, f, -c, -e, d,}
{ f, -e,
-a, g, -d, -b, h, -c,}
{ d,
-h, e, -a, -c, g, -f, b,}
{ b,
-d, f, -h, g, -e, c, -a,}
ここで
{a, b, c, d, e, f, g, h} = { 17, 32, 46, 60, 71, 78, 85, 86}

１６点ＤＳＴ－７
{
a, b, c, d, e, f, g, h,
i, j, k, l, m, n, o, p,}
{ c,
f, i, l, o, o, l, i, f,
c, 0, -c, -f, -i, -l, -o,}
{
e, j, o, m, h, c, -b, -g, -l, -p, -k, -f,
-a, d, i, n,}
{ g,
n, l, e, -b, -i, -p, -j, -c, d, k, o,
h, a, -f, -m,}
{ i,
o, f, -c, -l, -l, -c, f, o, i, 0, -i, -o,
-f, c, l,}
{ k,
k, 0, -k, -k, 0, k, k, 0, -k, -k, 0,
k, k, 0, -k,}
{ m,
g, -f, -n, -a, l, h, -e, -o, -b, k, i, -d, -p,
-c, j,}
{ o,
c, -l, -f, i, i, -f, -l, c, o, 0, -o, -c,
l, f, -i,}
{ p, -a,
-o, b, n, -c, -m, d, l, -e, -k, f, j, -g,
-i, h,}
{ n, -e,
-i, j, d, -o, a, m, -f, -h, k, c, -p,
b, l, -g,}
{ l, -i,
-c, o, -f, -f, o, -c, -i, l, 0, -l, i, c,
-o, f,}
{ j,
-m, c, g, -p, f, d, -n, i, a, -k, l,
-b, -h, o, -e,}
{ h,
-p, i, -a, -g, o, -j, b, f, -n, k, -c, -e,
m, -l, d,}
{ f,
-l, o, -i, c, c, -i, o, -l, f, 0, -f,
l, -o, i, -c,}
{ d,
-h, l, -p, m, -i, e, -a, -c, g, -k, o, -n,
j, -f, b,}
{ b, -d,
f, -h, j, -l, n, -p, o, -m, k, -i, g, -e,
c, -a,}
ここで
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p} = { 9, 17, 25, 33, 41, 49, 56,
62, 66, 72, 77, 81, 83, 87, 89, 90}

３２点ＤＳＴ－７
{ a,
b, c, d, e, f, g, h, i,
j, k, l, m, n, o, p, q,
r, s, t, u, v, w, x, y,
z, A, B, C, D, E, F,}
{
c, f, i, l, o, r, u, x,
A, D, F, C, z, w, t, q,
n, k, h, e, b, -a, -d, -g, -j, -m, -p, -s, -v, -y, -B,
-E,}
{ e,
j, o, t, y, D, D, y, t,
o, j, e, 0, -e, -j, -o, -t, -y, -D, -D, -y, -t, -o, -j,
-e, 0, e, j, o, t, y, D,}
{ g,
n, u, B, D, w, p, i, b, -e, -l, -s,
-z, -F, -y, -r, -k, -d, c, j, q, x, E,
A, t, m, f, -a, -h, -o, -v, -C,}
{ i,
r, A, C, t, k, b, -g, -p, -y, -E, -v, -m,
-d, e, n, w, F, x, o, f, -c, -l, -u,
-D, -z, -q, -h, a, j, s, B,}
{ k,
v, F, u, j, -a, -l, -w, -E, -t, -i, b, m,
x, D, s, h, -c, -n, -y, -C, -r, -g, d, o,
z, B, q, f, -e, -p, -A,}
{ m,
z, z, m, 0, -m, -z, -z, -m, 0, m, z,
z, m, 0, -m, -z, -z, -m, 0, m, z, z,
m, 0, -m, -z, -z, -m, 0, m, z,}
{ o,
D, t, e, -j, -y, -y, -j, e, t, D, o,
0, -o, -D, -t, -e, j, y, y, j, -e, -t, -D, -o,
0, o, D, t, e, -j, -y,}
{ q,
E, n, -c, -t, -B, -k, f, w, y, h, -i, -z, -v,
-e, l, C, s, b, -o, -F, -p, a, r,
D, m, -d, -u, -A, -j, g, x,}
{ s,
A, h, -k, -D, -p, c, v, x, e, -n, -F, -m,
f, y, u, b, -q, -C, -j, i, B, r, -a, -t,
-z, -g, l, E, o, -d, -w,}
{ u,
w, b, -s, -y, -d, q, A, f, -o, -C, -h, m,
E, j, -k, -F, -l, i, D, n, -g, -B, -p, e,
z, r, -c, -x, -t, a, v,}
{ w,
s, -d, -A, -o, h, E, k, -l, -D, -g, p, z,
c, -t, -v, a, x, r, -e, -B, -n, i, F, j,
-m, -C, -f, q, y, b, -u,}
{ y,
o, -j, -D, -e, t, t, -e, -D, -j, o, y, 0, -y,
-o, j, D, e, -t, -t, e, D, j, -o, -y,
0, y, o, -j, -D, -e, t,}
{ A,
k, -p, -v, e, F, f, -u, -q, j, B, a, -z,
-l, o, w, -d, -E, -g, t, r, -i, -C, -b, y,
m, -n, -x, c, D, h, -s,}
{ C,
g, -v, -n, o, u, -h, -B, a, D, f, -w, -m,
p, t, -i, -A, b, E, e, -x, -l, q, s, -j,
-z, c, F, d, -y, -k, r,}
{ E,
c, -B, -f, y, i, -v, -l, s, o, -p, -r, m,
u, -j, -x, g, A, -d, -D, a, F, b, -C, -e,
z, h, -w, -k, t, n, -q,}
{ F, -a,
-E, b, D, -c, -C, d, B, -e, -A, f, z, -g,
-y, h, x, -i, -w, j, v, -k, -u, l, t, -m,
-s, n, r, -o, -q, p,}
{ D, -e,
-y, j, t, -o, -o, t, j, -y, -e, D, 0,
-D, e, y, -j, -t, o, o, -t, -j, y, e,
-D, 0, D, -e, -y, j, t, -o,}
{ B, -i,
-s, r, j, -A, -a, C, -h, -t, q, k, -z, -b,
D, -g, -u, p, l, -y, -c, E, -f, -v, o, m, -x,
-d, F, -e, -w, n,}
{ z, -m,
-m, z, 0, -z, m, m, -z, 0, z, -m, -m,
z, 0, -z, m, m, -z, 0, z, -m, -m, z,
0, -z, m, m, -z, 0, z, -m,}
{ x, -q,
-g, E, -j, -n, A, -c, -u, t, d, -B, m, k,
-D, f, r, -w, -a, y, -p, -h, F, -i, -o, z, -b,
-v, s, e, -C, l,}
{ v, -u,
-a, w, -t, -b, x, -s, -c, y, -r, -d, z, -q, -e,
A, -p, -f, B, -o, -g, C, -n, -h, D, -m, -i, E, -l,
-j, F, -k,}
{ t,
-y, e, o, -D, j, j, -D, o, e, -y,
t, 0, -t, y, -e, -o, D, -j, -j, D, -o, -e, y,
-t, 0, t, -y, e, o, -D, j,}
{ r,
-C, k, g, -y, v, -d, -n, F, -o, -c, u, -z,
h, j, -B, s, -a, -q, D, -l, -f, x, -w, e,
m, -E, p, b, -t, A, -i,}
{ p,
-F, q, -a, -o, E, -r, b, n, -D, s, -c, -m,
C, -t, d, l, -B, u, -e, -k, A, -v, f, j,
-z, w, -g, -i, y, -x, h,}
{ n,
-B, w, -i, -e, s, -F, r, -d, -j, x, -A, m,
a, -o, C, -v, h, f, -t, E, -q, c, k,
-y, z, -l, -b, p, -D, u, -g,}
{ l,
-x, C, -q, e, g, -s, E, -v, j, b, -n,
z, -A, o, -c, -i, u, -F, t, -h, -d, p, -B, y,
-m, a, k, -w, D, -r, f,}
{ j,
-t, D, -y, o, -e, -e, o, -y, D, -t, j, 0,
-j, t, -D, y, -o, e, e, -o, y, -D, t,
-j, 0, j, -t, D, -y, o, -e,}
{ h,
-p, x, -F, y, -q, i, -a, -g, o, -w, E, -z,
r, -j, b, f, -n, v, -D, A, -s, k, -c, -e,
m, -u, C, -B, t, -l, d,}
{ f,
-l, r, -x, D, -C, w, -q, k, -e, -a, g, -m,
s, -y, E, -B, v, -p, j, -d, -b, h, -n, t,
-z, F, -A, u, -o, i, -c,}
{ d,
-h, l, -p, t, -x, B, -F, C, -y, u, -q, m,
-i, e, -a, -c, g, -k, o, -s, w, -A, E, -D,
z, -v, r, -n, j, -f, b,}
{ b,
-d, f, -h, j, -l, n, -p, r, -t, v, -x, z,
-B, D, -F, E, -C, A, -y, w, -u, s, -q, o,
-m, k, -i, g, -e, c, -a,}
ここで {a, b, c, d, e,
f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z, A, B, C, D, E, F
} = { 4, 9, 13, 17, 21, 26, 30, 34, 38, 42, 45, 50, 53, 56, 60, 63, 66, 68, 72,
74, 77, 78, 80, 82, 84, 85, 86, 88, 88, 89, 90, 90 }

４点ＤＣＴ－８
{
a, b, c, d,}
{ b,
0, -b, -b,}
{ c, -b,
-d, a,}
{ d,
-b, a, -c,}
ここで
{a, b, c, d} = { 84,74,55,29}
８点ＤＣＴ－８
{ a,
b, c, d, e, f, g, h,}
{ b,
e, h, -g, -d, -a, -c, -f,}
{ c,
h, -e, -a, -f, g, b, d,}
{
d, -g, -a, -h, c, e, -f, -b,}
{ e, -d,
-f, c, g, -b, -h, a,}
{ f,
-a, g, e, -b, h, d, -c,}
{ g,
-c, b, -f, -h, d, -a, e,}
{ h,
-f, d, -b, a, -c, e, -g,}
ここで
{a, b, c, d, e, f, g, h} = { 86,85,78,71,60,46,32,17}
１６点ＤＣＴ－８
{ a,
b, c, d, e, f, g, h, i,
j, k, l, m, n, o, p,}
{ b,
e, h, k, n, 0, -n, -k, -h, -e, -b, -b, -e, -h, -k, -n,}
{
c, h, m, -p, -k, -f, -a, -e, -j, -o, n, i,
d, b, g, l,}
{ d,
k, -p, -i, -b, -f, -m, n, g, a, h, o, -l, -e, -c,
-j,}
{ e,
n, -k, -b, -h, 0, h, b, k, -n, -e, -e, -n,
k, b, h,}
{ f,
0, -f, -f, 0, f, f, 0, -f, -f, 0, f,
f, 0, -f, -f,}
{ g, -n, -a,
-m, h, f, -o, -b, -l, i, e, -p, -c, -k, j,
d,}
{ h, -k,
-e, n, b, 0, -b, -n, e, k, -h, -h, k,
e, -n, -b,}
{ i, -h,
-j, g, k, -f, -l, e, m, -d, -n, c, o, -b,
-p, a,}
{ j, -e,
-o, a, -n, -f, i, k, -d, -p, b, -m, -g, h,
l, -c,}
{ k,
-b, n, h, -e, 0, e, -h, -n, b, -k, -k, b,
-n, -h, e,}
{ l,
-b, i, o, -e, f, -p, -h, c, -m, -k, a, -j,
-n, d, -g,}
{ m,
-e, d, -l, -n, f, -c, k, o, -g, b, -j, -p,
h, -a, i,}
{ n,
-h, b, -e, k, 0, -k, e, -b, h, -n, -n, h,
-b, e, -k,}
{ o, -k,
g, -c, b, -f, j, -n, -p, l, -h, d, -a, e,
-i, m,}
{ p,
-n, l, -j, h, -f, d, -b, a, -c, e, -g, i,
-k, m, -o,}
ここで
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p} = {
90,89,87,83,81,77,72,66,62,56,49,41,33,25,17, 9}
３２点ＤＣＴ－８
{
a, b, c, d, e, f, g, h,
i, j, k, l, m, n, o, p,
q, r, s, t, u, v, w, x,
y, z, A, B, C, D, E, F,}
{
b, e, h, k, n, q, t, w,
z, C, F, -E, -B, -y, -v, -s, -p, -m, -j, -g, -d, -a, -c, -f, -i,
-l, -o, -r, -u, -x, -A, -D,}
{ c,
h, m, r, w, B, 0, -B, -w, -r, -m, -h, -c, -c, -h,
-m, -r, -w, -B, 0, B, w, r, m, h,
c, c, h, m, r, w, B,}
{ d,
k, r, y, F, -A, -t, -m, -f, -b, -i, -p, -w, -D,
C, v, o, h, a, g, n, u, B, -E,
-x, -q, -j, -c, -e, -l, -s, -z,}
{ e,
n, w, F, -y, -p, -g, -c, -l, -u, -D, A, r,
i, a, j, s, B, -C, -t, -k, -b, -h, -q, -z,
E, v, m, d, f, o, x,}
{ f,
q, B, -A, -p, -e, -g, -r, -C, z, o, d, h,
s, D, -y, -n, -c, -i, -t, -E, x, m, b, j,
u, F, -w, -l, -a, -k, -v,}
{ g,
t, 0, -t, -g, -g, -t, 0, t, g, g, t,
0, -t, -g, -g, -t, 0, t, g, g, t, 0, -t,
-g, -g, -t, 0, t, g, g, t,}
{ h,
w, -B, -m, -c, -r, 0, r, c, m, B, -w, -h, -h,
-w, B, m, c, r, 0, -r, -c, -m, -B, w,
h, h, w, -B, -m, -c, -r,}
{ i,
z, -w, -f, -l, -C, t, c, o, F, -q, -a, -r,
E, n, d, u, -B, -k, -g, -x, y, h, j,
A, -v, -e, -m, -D, s, b, p,}
{ j,
C, -r, -b, -u, z, g, m, F, -o, -e, -x, w,
d, p, -E, -l, -h, -A, t, a, s, -B, -i, -k, -D,
q, c, v, -y, -f, -n,}
{ k,
F, -m, -i, -D, o, g, B, -q, -e, -z, s, c,
x, -u, -a, -v, w, b, t, -y, -d, -r, A, f,
p, -C, -h, -n, E, j, l,}
{ l, -E, -h,
-p, A, d, t, -w, -a, -x, s, e, B, -o, -i,
-F, k, m, -D, -g, -q, z, c, u, -v, -b, -y,
r, f, C, -n, -j,}
{ m, -B, -c,
-w, r, h, 0, -h, -r, w, c, B, -m, -m,
B, c, w, -r, -h, 0, h, r, -w, -c, -B,
m, m, -B, -c, -w, r, h,}
{ n, -y, -c,
-D, i, s, -t, -h, E, d, x, -o, -m, z,
b, C, -j, -r, u, g, -F, -e, -w, p, l, -A, -a,
-B, k, q, -v, -f,}
{ o, -v,
-h, C, a, D, -g, -w, n, p, -u, -i, B,
b, E, -f, -x, m, q, -t, -j, A, c, F, -e,
-y, l, r, -s, -k, z, d,}
{ p, -s,
-m, v, j, -y, -g, B, d, -E, -a, -F, c, C,
-f, -z, i, w, -l, -t, o, q, -r, -n, u, k,
-x, -h, A, e, -D, -b,}
{ q, -p,
-r, o, s, -n, -t, m, u, -l, -v, k, w, -j,
-x, i, y, -h, -z, g, A, -f, -B, e, C, -d,
-D, c, E, -b, -F, a,}
{ r, -m,
-w, h, B, -c, 0, c, -B, -h, w, m, -r,
-r, m, w, -h, -B, c, 0, -c, B, h, -w,
-m, r, r, -m, -w, h, B, -c,}
{ s, -j,
-B, a, -C, -i, t, r, -k, -A, b, -D, -h, u,
q, -l, -z, c, -E, -g, v, p, -m, -y, d, -F, -f,
w, o, -n, -x, e,}
{
t, -g, 0, g, -t, -t, g, 0, -g, t, t,
-g, 0, g, -t, -t, g, 0, -g, t, t, -g,
0, g, -t, -t, g, 0, -g, t, t, -g,}
{
u, -d, B, n, -k, -E, g, -r, -x, a, -y, -q, h, -F,
-j, o, A, -c, v, t, -e, C, m, -l, -D,
f, -s, -w, b, -z, -p, i,}
{ v,
-a, w, u, -b, x, t, -c, y, s, -d,
z, r, -e, A, q, -f, B, p, -g, C, o,
-h, D, n, -i, E, m, -j, F, l, -k,}
{ w,
-c, r, B, -h, m, 0, -m, h, -B, -r, c, -w,
-w, c, -r, -B, h, -m, 0, m, -h, B, r,
-c, w, w, -c, r, B, -h, m,}
{ x,
-f, m, -E, -q, b, -t, -B, j, -i, A, u, -c,
p, F, -n, e, -w, -y, g, -l, D, r, -a,
s, C, -k, h, -z, -v, d, -o,}
{ y,
-i, h, -x, -z, j, -g, w, A, -k, f, -v, -B,
l, -e, u, C, -m, d, -t, -D, n, -c, s, E,
-o, b, -r, -F, p, -a, q,}
{ z,
-l, c, -q, E, u, -g, h, -v, -D, p, -b, m,
-A, -y, k, -d, r, -F, -t, f, -i, w, C, -o,
a, -n, B, x, -j, e, -s,}
{ A,
-o, c, -j, v, F, -t, h, -e, q, -C, -y, m,
-a, l, -x, -D, r, -f, g, -s, E, w, -k, b,
-n, z, B, -p, d, -i, u,}
{ B,
-r, h, -c, m, -w, 0, w, -m, c, -h, r, -B,
-B, r, -h, c, -m, w, 0, -w, m, -c, h,
-r, B, B, -r, h, -c, m, -w,}
{ C,
-u, m, -e, d, -l, t, -B, -D, v, -n, f, -c,
k, -s, A, E, -w, o, -g, b, -j, r, -z, -F,
x, -p, h, -a, i, -q, y,}
{ D,
-x, r, -l, f, -a, g, -m, s, -y, E, C,
-w, q, -k, e, -b, h, -n, t, -z, F, B,
-v, p, -j, d, -c, i, -o, u, -A,}
{ E,
-A, w, -s, o, -k, g, -c, b, -f, j, -n, r,
-v, z, -D, -F, B, -x, t, -p, l, -h, d, -a,
e, -i, m, -q, u, -y, C,}
{ F,
-D, B, -z, x, -v, t, -r, p, -n, l, -j, h,
-f, d, -b, a, -c, e, -g, i, -k, m, -o, q,
-s, u, -w, y, -A, C, -E,}
ここで
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z,
A, B, C, D, E, F } = {90,90,89,88,88,86,85,84,82,80,78,77,74,72,68,66,63,60,56,53,50,45,42,38,34,30,26,21,17,13,
9, 4}

【図1A】

【図1B】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10A】

【図10B】

【図10C】

【図11A】

【図11B】

【図12A】

【図12B】

【図12C】

【図12D】

【図12E】

【図13】

【図14】

【図15】

【図16】