特許 7517437 情報処理装置、制御方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2024-07-08

(45)【発行日】2024-07-17

(54)【発明の名称】情報処理装置、制御方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/18 20060101AFI20240709BHJP

【ＦＩ】

G06F17/18 Z

【請求項の数】 10

(21)【出願番号】P 2022547354

(86)(22)【出願日】2020-09-14

(86)【国際出願番号】 JP2020034671

(87)【国際公開番号】W WO2022054270

(87)【国際公開日】2022-03-17

【審査請求日】2023-03-07

(73)【特許権者】

【識別番号】000004237

【氏名又は名称】日本電気株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】100107331

【弁理士】

【氏名又は名称】中村 聡延

(74)【代理人】

【識別番号】100104765

【弁理士】

【氏名又は名称】江上 達夫

(74)【代理人】

【識別番号】100131015

【弁理士】

【氏名又は名称】三輪 浩誉

(72)【発明者】

【氏名】松岡 達也

(72)【発明者】

【氏名】大坂 直人

【審査官】坂東 博司

(56)【参考文献】

【文献】特開２０１７－４０５７２（ＪＰ，Ａ）

【文献】恐神 貴行，データサイエンスの数理 数理で読み解くデータの価値，数理科学 第５７巻 第６号 MATHEMATICAL SCIENCES，日本，株式会社サイエンス社，2019年06月01日，第57巻 第６号，pp.58-64，【ISSN】0386-2240

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｆ １７／１８

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得する取得手段と、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する生成手段と、
を有する情報処理装置。

【請求項2】

前記第１エルミート行列及び前記第２エルミート行列は、行列式点過程の行列であり、
前記第１エルミート行列に対応する確率分布は、前記第２エルミート行列に対応する確率分布と等しい、請求項１に記載の情報処理装置。

【請求項3】

前記生成手段は、前記要素の各々を頂点とし、前記第２エルミート行列の非零成分に対応する頂点のペアを有向枝のペアにより結んだ補助グラフを作成し、当該有向枝のペアの各々の重みを前記第２エルミート行列の成分として算出する、請求項１または２に記載の情報処理装置。

【請求項4】

前記生成手段は、前記第１エルミート行列の１×１及び２×２に対応する各主小行列式に基づき、前記補助グラフにおいて重みが実数となる全域木を構築し、当該全域木に該当しない前記非零成分の有向枝のペアの重みを、前記全域木と前記有向枝のペアとにより形成される有向閉路の頂点集合に対応する主小行列式に基づき算出する、請求項３に記載の情報処理装置。

【請求項5】

前記第２エルミート行列の少なくとも一部の成分は、πの倍数以外の偏角を有する、請求項１～４のいずれか一項に記載の情報処理装置。

【請求項6】

前記取得手段は、前記部分集合を指定したクエリに基づき、当該部分集合に対応する前記主小行列式を取得する、請求項１～５のいずれか一項に記載の情報処理装置。

【請求項7】

前記取得手段は、前記部分集合の選択に関する試行結果に基づき、前記主小行列式を算出する、請求項１～５のいずれか一項に記載の情報処理装置。

【請求項8】

前記取得手段は、前記集合のある部分集合に対応する主小行列式として、当該部分集合を含む集合が選択された確率を、前記試行結果に基づき算出する、請求項７に記載の情報処理装置。

【請求項9】

コンピュータにより、
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する、
制御方法。

【請求項10】

所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する処理をコンピュータに実行させるプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本開示は、確率分布の学習に関する情報処理装置、制御方法及び記憶媒体の技術分野に関する。

【背景技術】

【0002】

台集合の部分集合についての確率分布を、行列により表現する行列式点過程が知られている。行列式点過程によれば、ｎ個の要素からなる集合の部分集合の数が２^ｎ個であり、任意の分布を表そうとするとＯ（２^ｎ）個のパラメータが必要なのに対し、ある性質をもつ確率分布の場合においてＯ（ｎ^２）個のパラメータにより確率分布を表現することが可能となる。また、非特許文献１では、対称行列に対する主小行列式に基づく学習方法が研究されており、このうちある性質をもつ（一部のクラスの）行列に対応する確率分布の学習が応用として挙げられている。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0003】

【文献】J. Rising, A. Kulesza, and B. Taskar. An efficient algorithm for the symmetric principal minor assignment problem. Linear Algebra and its Applications, 473, pp. 126--144, 2015.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0004】

非特許文献１の方法では、非対称行列に対応する確率分布の学習は扱われていなかった。本開示の目的は、上述した課題を鑑み、確率分布の学習を好適に行うことが可能な情報処理装置、制御方法及び記憶媒体を提供することである。

【課題を解決するための手段】

【0005】

情報処理装置の一の態様は、
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得する取得手段と、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する生成手段と、
を有する情報処理装置である。

【0006】

制御方法の一の態様は、
コンピュータにより、
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する、
制御方法である。

【0007】

プログラムの一の態様は、
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する処理をコンピュータに実行させるプログラムである。

【発明の効果】

【0008】

確率分布の学習を好適に実行することができる。

【図面の簡単な説明】

【0009】

【図1】第１実施形態における学習システムの構成を示す。

【図2】第１実施形態における処理の概要を示す。

【図3】行列式点過程に基づく確率分布の行列を示す。

【図4】第１及び第２実施形態に共通する情報処理装置のハードウェア構成の一例を示す。

【図5】第１及び第２実施形態に共通する第２エルミート行列の生成処理の手順を示すフローチャートの一例である。

【図6】有向枝ペア追加処理の手順を示すフローチャートの一例である。

【図7】図５のステップＳ１２において生成される補助グラフの一例を示す。

【図8】図５のステップＳ１４の実行後の補助グラフの一例を示す。

【図9】図５のステップＳ１５の実行後の補助グラフの一例を示す。

【図10】第２実施形態における情報処理装置の機能ブロック図の一例を示す。

【図11】第３実施形態における情報処理装置の機能ブロック図である。

【図12】第３実施形態において情報処理装置が実行するフローチャートの一例である。

【発明を実施するための形態】

【0010】

以下、図面を参照しながら、情報処理装置、制御方法及び記憶媒体の実施形態について説明する。

【0011】

＜第１実施形態＞
（１）システム構成
図１は、第１実施形態に係る学習システム１００の構成を示す。学習システム１００は、与えられた集合の部分集合を選ぶ状況において、エルミート行列に対応する確率分布に対して、主小行列式の割り当てにより、確率分布を表すエルミート行列の学習を効率的に行うシステムである。学習システム１００は、主に、情報処理装置１と、主小行列式出力装置２とを備える。以後では、与えられた集合（台集合）を「Ｖ」、集合Ｖの部分集合を「Ｓ」と表記する。

【0012】

情報処理装置１は、推定する確率分布がエルミート行列の行列式点過程（ＤＰＰ：Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔａｌ Ｐｏｉｎｔ Ｐｒｏｃｅｓｓ）であるということを仮定して、部分的な情報（即ち主小行列式）から確率分布の学習を行う。ここで、行列式点過程は、サイズ「ｎ」の台集合の部分集合についての確率分布をｎ×ｎの行列により表現したものであり、台集合Ｖの部分集合Ｓを選ぶ確率が、部分集合Ｓに対応する部分行列の行列式を用いた式により定まる。なお、行列式点過程の行列は、各主小行列式が非負となる。そして、情報処理装置１は、確率分布の学習を、行列の構築（本実施形態ではエルミート行列の構築）により行う。

【0013】

情報処理装置１は、機能的には、要求部５と、エルミート行列生成部６とを有する。

【0014】

要求部５は、部分集合Ｓを指定したクエリ「Ｓｇ１」を主小行列式出力装置２に送信し、当該クエリＳｇ１の応答として、クエリＳｇ１により指定した部分集合Ｓに対応する主小行列式を示す主小行列式情報「Ｓｇ２」を主小行列式出力装置２から受信する。エルミート行列生成部６は、要求部５が主小行列式出力装置２から受信した主小行列式情報Ｓｇ２に基づき、推定する確率分布を表すエルミート行列を生成する。エルミート行列生成部６の処理の詳細については後述する。

【0015】

主小行列式出力装置２は、情報処理装置１からクエリＳｇ１を受信した場合に、クエリＳｇ１により指定された部分集合Ｓに対応する主小行列式を示す主小行列式情報Ｓｇ２を生成し、主小行列式情報Ｓｇ２を情報処理装置１へ送信する。

【0016】

（２）処理概要
図２は、情報処理装置１及び主小行列式出力装置２の処理の概要を示す図である。以後では、推定する対象となる確率分布を表すエルミート行列を「第１エルミート行列Ａ」と表記し、情報処理装置１が学習により生成するエルミート行列を「第２エルミート行列Ｂ」と表記する。

【0017】

図２に示すように、情報処理装置１は、第２エルミート行列Ｂの生成に必要な主小行列式に対応する部分集合Ｓを指定したクエリＳｇ１を、主小行列式出力装置２に送信する。この場合、主小行列式出力装置２は、指定された部分集合Ｓに対応する、第１エルミート行列Ａの主小行列式を示す主小行列式情報Ｓｇ２を生成し、生成した主小行列式情報Ｓｇ２を情報処理装置１へ送信する。

【0018】

そして、情報処理装置１は、主小行列式情報Ｓｇ２に基づき、第１エルミート行列Ａと全ての主小行列式が一致するような第２エルミート行列Ｂを生成する。また、行列式点過程では、主小行列式によって確率分布が定まる。従って、情報処理装置１は、第１エルミート行列Ａと全ての主小行列式が一致するような第２エルミート行列Ｂを生成することで、第１エルミート行列Ａに対応する確率分布と一致する確率分布を表す第２エルミート行列Ｂを生成することができる。

【0019】

ここで、行列式点過程について補足説明する。行列式点過程によれば、ｎ個存在する要素に基づく２^ｎ個の部分集合の確率分布を、当該確率分布がある性質を持つ場合に、「ｎ×ｎ」の行列で表すことができる。そして、行列式点過程では、部分集合を構成する各要素に対応する上記の行列の成分から算出される行列式が、当該部分集合がサンプリングされる確率に対応する。そして、行列式点過程によれば、個々の要素が選定される容易度（選定容易度）を行列の対角要素により表し、要素同士の両立のしにくさ（要素同士が同時選定される難易度）を行列の非対角要素により表す。

【0020】

図３は、集合Ｖを構成する６個の要素（「ａ」～「ｆ」）に対する行列式点過程に基づく確率分布の行列を示す。図３では、１列目及び１行目が要素ａに対応し、２列目及び２行目が要素ｂに対応し、３列目及び３行目が要素ｃに対応している。また、４列目及び４行目が要素ｄに対応し、５列目及び５行目が要素ｅに対応し、６列目及び６行目が要素ｆに対応している。

【0021】

ここで、一例として、要素ａ、ｄ、ｅからなる部分集合Ｓの確率について検討する。この場合、要素ａ、ｄ、ｅに関連する破線枠内の行列成分から構成した３×３の主小行列式に対し、全要素数６個から要素数３個を選択した２０個（＝_６Ｃ_３）の全組合せに対する３×３の主小行列式の和で割った値が、要素ａ、ｄ、ｅからなる部分集合Ｓの確率となる。

【0022】

（３）ハードウェア構成
図４は、情報処理装置１のハードウェア構成の一例を示す。情報処理装置１は、ハードウェアとして、プロセッサ１１と、メモリ１２と、インターフェース１３とを含む。プロセッサ１１、メモリ１２、及びインターフェース１３は、データバス１９を介して接続されている。

【0023】

プロセッサ１１は、メモリ１２に記憶されているプログラムを実行することにより、情報処理装置１の全体の制御を行うコントローラ（演算装置）として機能する。プロセッサ１１は、例えば、ＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）、ＧＰＵ（Ｇｒａｐｈｉｃｓ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）、ＴＰＵ（Ｔｅｎｓｏｒ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）などのプロセッサである。プロセッサ１１は、複数のプロセッサから構成されてもよい。プロセッサ１１は、コンピュータの一例である。

【0024】

メモリ１２は、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、フラッシュメモリなどの各種の揮発性メモリ及び不揮発性メモリにより構成される。また、メモリ１２には、情報処理装置１が実行する処理を実行するためのプログラムが記憶される。なお、メモリ１２が記憶する情報の一部は、情報処理装置１と通信可能な１又は複数の外部記憶装置により記憶されてもよく、情報処理装置１に対して着脱自在な記憶媒体により記憶されてもよい。

【0025】

インターフェース１３は、情報処理装置１と他の装置とを電気的に接続するためのインターフェースである。これらのインターフェースは、他の装置とデータの送受信を無線により行うためのネットワークアダプタなどのワイアレスインタフェースであってもよく、他の装置とケーブル等により接続するためのハードウェアインターフェースであってもよい。

【0026】

ここで、図１に示す情報処理装置１の要求部５及びエルミート行列生成部６と、図４に示すハードウェア構成との関係について説明する。要求部５及びエルミート行列生成部６の各構成要素は、例えば、プロセッサ１１がプログラムを実行することによって実現できる。この場合、必要なプログラムを任意の不揮発性記憶媒体に記録しておき、必要に応じてインストールすることで、各構成要素を実現するようにしてもよい。なお、プロセッサ１１は、要求部５として機能する場合、インターフェース１３を介してクエリＳｇ１及び主小行列式情報Ｓｇ２の授受を主小行列式出力装置２と行う。

【0027】

なお、要求部５及びエルミート行列生成部６の少なくとも一部は、プログラムによるソフトウェアで実現することに限ることなく、ハードウェア、ファームウェア、及びソフトウェアのうちのいずれかの組合せ等により実現してもよい。また、これらの各構成要素の少なくとも一部は、例えばＦＰＧＡ（field-programmable gate array）又はマイクロコントローラ等の、ユーザがプログラミング可能な集積回路を用いて実現してもよい。この場合、この集積回路を用いて、上記の各構成要素から構成されるプログラムを実現してもよい。また、各構成要素の少なくとも一部は、ＡＳＳＰ（Application Specific Standard Produce）、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）又は量子プロセッサ（量子コンピュータ制御チップ）により構成されてもよい。このように、各構成要素は、種々のハードウェアにより実現されてもよい。以上のことは、後述する他の実施の形態においても同様である。さらに、これらの各構成要素は、例えば、クラウドコンピューティング技術などを用いて、複数のコンピュータの協働によって実現されてもよい。

【0028】

（４）第２エルミート行列Ｂの生成
次に、エルミート行列生成部６による第２エルミート行列Ｂの生成方法について具体的に説明する。概略的には、エルミート行列生成部６は、要求部５が主小行列式出力装置２から取得した全ての１×１及び２×２の主小行列式に基づき、ｎ個の頂点からなる補助グラフにおいて全域木を形成し、全域木の各枝の重みに対応する第２エルミート行列Ｂの成分を実数値に定める。さらに、エルミート行列生成部６は、第２エルミート行列Ｂの未決定の各非零成分に対応する枝２本組（始点と終点が逆となる有向枝のペア）について順次重みを決定する。

【0029】

（４－１）処理フロー
図５は、第２エルミート行列Ｂの生成処理の手順を示すフローチャートの一例である。

【0030】

まず、要求部５は、１×１及び２×２の各主小行列式を取得する（ステップＳ１１）。この場合、要求部５は、集合Ｖのｎ個の要素の１個又は２個の全組合せ（即ち、ｎ個＋_ｎＣ_２個の組合せ）の主小行列式を主小行列式出力装置２から取得する。この場合、要求部５は、クエリＳｇ１を主小行列式出力装置２に送信することで、上述の各主小行列式を示す主小行列式情報Ｓｇ２を、主小行列式出力装置２から受信する。

【0031】

ここで、第２エルミート行列Ｂのｊ行ｋ列（ｊ、ｋは、１以上ｎ以下の整数、かつ、ｊ＜ｋとする）の成分を「Ｂ_ｊｋ」、当該成分での偏角を「θ_ｊｋ」、第１エルミート行列Ａの部分集合Ｓに対する主小行列を「Ａ（Ｓ）」と表記すると、要求部５は、ステップＳ１１において、以下の主小行列式を取得する。

【0032】

【数1】

なお、Ｂ_ｋｊ（ｊ＜ｋ）は、Ｂ_ｊｋ（ｊ＜ｋ）から一意に定まることから、好適には、要求部５（又はエルミート行列生成部６）は、Ｂ_ｋｊ（ｊ＜ｋ）を、主小行列式出力装置２から取得する代わりに、Ｂ_ｊｋ（ｊ＜ｋ）から求めるとよい。

【0033】

次に、エルミート行列生成部６は、ｎ頂点の補助グラフを作成する（ステップＳ１２）。この場合、エルミート行列生成部６は、Ｂ_ｊｋ≠０（ｊ＜ｋ）のとき、有向枝のペア（ｊ、ｋ）と（ｋ、ｊ）を作成する。ここで、各有向枝の重みは、有向枝の始点及び終点の頂点の組み合わせにより行番号及び列番号が特定される第２エルミート行列Ｂの成分に対応する。

【0034】

そして、エルミート行列生成部６は、非零成分に対応する各有向枝のペアを１本の無向枝とみなし、全域木「Ｔ」（即ち、全頂点が繋がっていて閉路がない部分グラフ）を形成する（ステップＳ１３）。この場合、エルミート行列生成部６は、例えば、ラベル１の頂点から幅優先探索により全域木Ｔを生成する。

【0035】

そして、エルミート行列生成部６は、ステップＳ１３で形成した全域木Ｔを構成する枝の重みを、偏角θ_ｊｋを全て０にして決定する（ステップＳ１４）。この場合、エルミート行列生成部６は、ステップＳ１１で取得された１×１及び２×２の各主小行列式に基づき、全域木Ｔの枝の重みを、実数値に設定する。これにより、全域木Ｔを構成する枝に対応する第２エルミート行列Ｂの成分の値が決定される。

【0036】

次に、エルミート行列生成部６は、全域木Ｔに対応しない有向枝のペアを追加する処理である有向枝ペア追加処理を実行する（ステップＳ１５）。この場合、エルミート行列生成部６は、全域木Ｔに対応しない有向枝のペアについて、両端点の全域木Ｔにおける深さの辞書順に追加していく。ステップＳ１５の処理の詳細については、図６を参照して後述する。そして、エルミート行列生成部６は、対象となる全ての有向枝ペアの追加が完了した場合（ステップＳ１６；Ｙｅｓ）、フローチャートの処理を終了する。一方、エルミート行列生成部６は、対象となるいずれかの有向枝ペアの追加が完了していない場合（ステップＳ１６；Ｎｏ）、追加すべき有向枝ペアに対する有向枝ペア追加処理をステップＳ１５において実行する。

【0037】

図６は、図５のステップＳ１５で実行される有向枝ペア追加処理の手順を示すフローチャートの一例である。

【0038】

まず、エルミート行列生成部６は、全域木Ｔに対する有向枝ペアの追加により生成される有向閉路の１つを選択する（ステップＳ２１）。以後では、選択した有向閉路を「ｃ」とする。この場合、エルミート行列生成部６は、有向閉路ｃの選択では、ショートカットするような枝が無いものを選択する。そして、要求部５は、有向閉路ｃの頂点集合に対応する主小行列式を取得する（ステップＳ２２）。この場合、要求部５は、クエリＳｇ１を主小行列式出力装置２に送信することで、有向閉路ｃの頂点集合に対応する主小行列式を示す主小行列式情報Ｓｇ２を取得する。

【0039】

そして、エルミート行列生成部６は、ステップＳ２２で取得された主小行列式に基づき、全域木Ｔに対してペアで追加した有向枝のペアの重みを算出する（ステップＳ２３）。具体的には、有向閉路ｃの頂点集合に対応する主小行列を「Ｍ」とすると、エルミート行列生成部６は、以下の式を用い、全域木Ｔに対してペアで追加した有向枝の重みを算出する。なお、以下の式が成り立つような主小行列Ｍに対応する有向閉路ｃは、ショートカットが無いものとなっている。

【0040】

【数2】

【0041】

ここで、「Ｍ［ｐ，ｑ］」は、（主小行列Ｍのｐ～ｑ行目）×（主小行列Ｍのｐ～ｑ列目）の主小行列を表す。また、ここでの「ｎ」は、主小行列Ｍの行数を表す。ここで、追加した有向枝の重みに対応するのは、上記の式の右辺の最後の項において掛けられている。よって、エルミート行列生成部６は、その対応するものに関して上記の式を解くことにより、追加した有向枝の重みを算出する。なお、エルミート行列の一態様である実対称行列の場合に関しては、非特許文献１に開示されている同様の手順による行列成分の算出方法が適用できる。本願は、非特許文献１とは、有向グラフ、特に必ず双方向のペアで枝が存在するグラフを用いる点、及び、各枝のペアに和が０の偏角を対応させる点において異なる。

【0042】

（４－２）具体例
次に、図５及び図６のフローチャートにより説明した第２エルミート行列Ｂの算出方法の具体例について説明する。ここでは、一例として、以下のエルミート行列を第１エルミート行列Ａとする。

【0043】

【数3】

【0044】

ここで、まず、図５のステップＳ１１に基づき、要求部５は、第１エルミート行列Ａの各１×１及び２×２の主小行列式を取得する。この場合、例えば、要求部５は、１×１の主小行列式として、
ｄｅｔ（Ａ（｛１｝））＝１０、
ｄｅｔ（Ａ（｛２｝））＝１２、
ｄｅｔ（Ａ（｛３｝））＝１４、
ｄｅｔ（Ａ（｛４｝））＝１６
の４つの値を取得する。また、要求部５は、２×２の主小行列式として、
ｄｅｔ（Ａ（｛１，２｝））＝１１６、
ｄｅｔ（Ａ（｛３，４｝））＝２１５
などの６つの値を取得する。

【0045】

次に、エルミート行列生成部６は、ステップＳ１２に基づき、ｎ（ここでは４）頂点の補助グラフを作成する。図７は、ステップＳ１２において生成される補助グラフの一例を示す。ここでは、エルミート行列生成部６は、取得した主小行列式に基づき、１行３列目の成分「Ｂ_１３」、３行１列目の成分「Ｂ_３１」、２行４列目の成分「Ｂ_２４」、４行２列目の成分「Ｂ_４２」が夫々０となり、それ以外の成分が非零成分となると判定する。よって、エルミート行列生成部６は、非零成分に対応する頂点のペア（即ち、１と２、２と３、３と４、４と１）を、有向枝により結ぶ対象であると認識する。図７では、頂点ｊを始点とし、頂点ｋを終点とする有向枝を、「ｇ_ｊ，ｋ」と表記している。ここでは、重み（即ち、対応する第２エルミート行列Ｂの成分）が決定された有向枝を実線により示し、重みが未決定の有向枝を破線により示す。図７に示す状態では、いずれの有向枝についても重みが未決定となっている。

【0046】

さらにエルミート行列生成部６は、ステップＳ１３に基づき、非零成分に対応する各有向枝のペアを１本の無向枝とみなして全域木を形成し、ステップＳ１４に基づき、全域木Ｔを構成する枝の重みを、偏角θ_ｊｋを全て０にして決定する。

【0047】

図８は、ステップＳ１４の実行後の補助グラフの一例を示す。図８では、重み（即ち、対応する第２エルミート行列Ｂの成分）を算出した有向枝を実線により示し、かつ、算出した重みを明示している。ここでは、エルミート行列生成部６は、頂点１と４、頂点１と２、頂点２と３とを結ぶ全域木を形成し、全域木を構成する枝の重みを、ステップＳ１１で取得した主小行列式に基づき、偏角を０として算出している。例えば、成分「Ｂ_４１」は、以下の式により算出される。

【0048】

【数4】

【0049】

一方、頂点３と４を結ぶ有向枝「ｇ_３，４」、「ｇ_４，３」の重みについては、取得した主小行列式から絶対値は定まるものの、偏角が不明となっている。

【0050】

図８に対応する第２エルミート行列Ｂは、以下の式により表される。

【0051】

【数5】

【0052】

上記の式に示されるように、エルミート行列生成部６は、第２エルミート行列Ｂのうち、全域木に対応する成分の偏角を０として算出している。また、全域木に該当しない３行４列目の成分「Ｂ_３４」及び４行３列目の成分「Ｂ_４３」については、絶対値は共に「３」となり、偏角「θ_３４」、「－θ_３４」が定まっていない。

【0053】

次に、エルミート行列生成部６は、ステップＳ１５に基づき、追加すべき有向枝ｇ_３，４、ｇ_４，３のペアに対して有向枝ペア追加処理を実行することで、偏角θ_３４を算出する。図９は、有向枝ｇ_３，４、ｇ_４，３に対するステップＳ１５の実行後の補助グラフの一例を示す。また、図９に対応する第２エルミート行列Ｂは、以下の式により表される。

【0054】

【数6】

【0055】

上式に示される第２エルミート行列Ｂは、第１エルミート行列Ａと全ての主小行列式が一致する。このように、第１実施形態における情報処理装置１は、第１エルミート行列Ａに対応する確率分布を好適に学習することができる。

【0056】

＜第２実施形態＞
図１０は、第２実施形態における情報処理装置１Ａの機能ブロック図の一例を示す。第２実施形態における情報処理装置１Ａは、第１エルミート行列Ａに基づく確率分布に従い、集合Ｖから部分集合Ｂをサンプリング（選択）する試行を行い、その試行結果に基づき、第２エルミート行列Ｂを生成する。以後では、第１実施形態と同様の構成要素については、適宜同一符号を付し、その説明を省略する。

【0057】

情報処理装置１Ａは、第１実施形態における情報処理装置１と同様、図４に示すハードウェア構成を有する。そして、情報処理装置１Ａのプロセッサ１１は、機能的には、試行結果取得部５Ａと、主小行列式生成部５Ｂと、エルミート行列生成部６とを有する。

【0058】

試行結果取得部５Ａは、第１エルミート行列Ａに対応する確率分布に従い集合Ｖから部分集合Ｓをサンプリングした場合の試行結果を取得する。この場合、試行結果取得部５Ａは、十分に多い回数分の試行結果を取得する。「十分に多い回数」は、例えば、得られた試行結果に基づき算出する統計量の信頼性を勘案して予め設定され、メモリ１２に記憶されている。なお、試行結果取得部５Ａは、情報処理装置１Ａとは別の装置から上述の試行結果を受信してもよく、所定のアプリケーションプログラムを実行し、各試行に対する試行結果を認識することで、試行結果を取得してもよい。

【0059】

主小行列式生成部５Ｂは、試行結果取得部５Ａが取得した試行結果に基づき、第１エルミート行列Ａの各主小行列式を算出する。ここで、第２実施形態では、第１実施形態において説明した行列式点過程の行列表現とは異なる行列表現となる。第２実施形態において採用する行列式点過程の行列表現については後述する。

【0060】

エルミート行列生成部６は、主小行列式生成部５Ｂが生成した主小行列式に基づき、第１エルミート行列Ａと主小行列式が全て一致する第２エルミート行列Ｂを生成する。なお、主小行列式に基づく第２エルミート行列Ｂの生成方法については、第１実施形態と同一であるため、その説明を省略する。

【0061】

次に、第２実施形態において採用する行列式点過程の行列表現について説明する。以後では、第１実施形態において採用する行列式点過程の行列表現を「Ｌ」の表現とし、第２実施形態において採用する行列式点過程の行列表現を「Ｋ」の表現とする。また、Ｋ、Ｌは、夫々の場合における行列式点過程の行列を表すものとする。

【0062】

ここで、Ｋの表現では、部分集合Ｓの主小行列式
ｄｅｔ（Ｋ（Ｓ））
は、集合Ｖについて、部分集合Ｓを含む集合をとる確率を示す。

【0063】

一方、Ｌの表現では、部分集合Ｓの主小行列式を正規化した以下の式
ｄｅｔ（Ｌ（Ｓ））／ｄｅｔ（Ｌ＋Ｉ）
は、集合Ｖについて、とる集合がちょうど集合Ｓである確率を示す。

【0064】

また、Ｋの表現とＬの表現とは、互換性があり、夫々以下の式に示される関係を有する。
Ｋ＝Ｉ－（Ｌ＋Ｉ）^－１
Ｌ＝Ｋ（Ｉ－Ｋ）^－１

【0065】

例えば、以下の２つの行列Ｋ、Ｌは、互いに上記の式に示される関係を満たし、同じ確率分布を表す。

【0066】

【数7】

なお、Ｌの表現は空集合をとる確率が０のときはその確率分布を表現できないため、厳密にはＫの表現のほうが表すことのできる確率分布のクラスが広い。このことは、上述した互換性を説明する式において、空集合をとる確率が０の確率分布のＫに対しては、Ｉ－Ｋの逆行列が存在しないことに対応する。

【0067】

次に、第２実施形態の具体的状況について検討する。第２実施形態に好適な状況の一例として、顧客の購買傾向の分析が挙げられる。ここでは、一例として、商品ａと商品ｂの品揃えがある店の顧客の購買傾向について検討する。

【0068】

この場合、部分集合Ｓは、
何も購入しない（即ちＳは空集合）、
商品ａの購入（即ちＳ＝｛ａ｝）、
商品ｂの購入（即ちＳ＝｛ｂ｝）、
商品ａと商品ｂの購入（即ち、Ｓ＝｛ａ，ｂ｝）
のいずれかとなる。この場合、例えば、試行結果取得部５Ａは、来店した顧客毎の購買有無及び購買商品を示す顧客行動履歴を取得する。試行結果取得部５Ａは、例えば、店に設置されたカメラの画像に基づき、入店した顧客数を認識し、かつ、店内の会計端末により生成された商品購入履歴を受信することで、上述の顧客行動履歴を生成する。なお、この顧客行動履歴は、情報処理装置１Ａ以外の装置が生成してもよい。この場合、試行結果取得部５Ａは、上述の装置から、生成された顧客行動履歴を受信する。

【0069】

そして、主小行列式生成部５Ｂは、試行結果取得部５Ａが取得した顧客行動履歴に基づき、各部分集合が出現する確率（割合）を算出することで、推定主小行列式を算出する。この場合、主小行列式生成部５Ｂは、上述したＫの表現の定義に基づき、算出対象となる主小行列式に対応する部分集合Ｓを含む集合をとる確率を算出する。例えば、主小行列式生成部５Ｂは、行列Ｋの商品ａの購入（Ｓ＝｛ａ｝）に対応する成分を求める場合、全体の試行回数に対し、商品ａの購入（Ｓ＝｛ａ｝）が生じた割合と、商品ａ及び商品ｂの購入（Ｓ＝｛ａ，ｂ｝）が生じた割合との和を算出する。

【0070】

このように、主小行列式生成部５Ｂは、顧客行動履歴に基づき、第１エルミート行列Ａに対する任意の主小行列式を算出することができる。その後、情報処理装置１Ａは、第１実施形態の情報処理装置１と同様、図５及び図６に示されるフローチャートに従った処理を実行することで、第２エルミート行列Ｂを好適に算出することができる。なお、図５及び図６に示されるフローチャートにおいて、情報処理装置１Ａの試行結果取得部５Ａは、ステップＳ１１において、部分集合Ｓのサンプリングに関する試行結果（上記の例では顧客行動履歴）を取得する。そして、主小行列式生成部５Ｂは、試行結果取得部５Ａが取得した試行結果に基づき、１×１及び２×２の主小行列式を算出する。図６のステップＳ２２においても同様に、主小行列式生成部５Ｂは、試行結果取得部５Ａが取得した試行結果に基づき、対象の主小行列式を算出する。

【0071】

このように、第２実施形態によれば、情報処理装置１Ａは、顧客の購買傾向等に関する確率分布の学習を好適に実行することができる。なお、第２実施形態において購買傾向の分析に関して述べたような構図であれば、顧客の購買傾向の分析以外の用途（例えば任意の行動分析や事象の分析）においても、第２実施形態を適用して確率分布を学習することが可能である。

【0072】

＜第３実施形態＞
図１１は、第３実施形態における情報処理装置１Ｘの機能ブロック図である。情報処理装置１Ｘは、主に、取得手段５Ｘと、生成手段６Ｘとを有する。

【0073】

取得手段５Ｘは、所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得する。例えば、取得手段５Ｘは、第１実施形態における要求部５とすることができる。他の例では、取得手段５Ｘは、第２実施形態における主小行列式生成部５Ｂ（及び試行結果取得部５Ａ）とすることができる。

【0074】

生成手段６Ｘは、主小行列式に基づき、第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する。生成手段６Ｘは、第１実施形態又は第２実施形態におけるエルミート行列生成部６とすることができる。

【0075】

図１２は、第３実施形態において情報処理装置１Ｘが実行する処理手順を示すフローチャートの一例である。まず、取得手段５Ｘは、所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得する（ステップＳ３１）。次に、生成手段６Ｘは、主小行列式に基づき、第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する（ステップＳ３２）。

【0076】

第３実施形態に係る情報処理装置１Ｘは、所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列と主小行列式が一致する第２エルミート行列を好適に生成することができる。

【0077】

なお、上述した各実施形態において、プログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（non-transitory computer readable medium）を用いて格納され、コンピュータであるプロセッサ等に供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記憶媒体（tangible storage medium）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記憶媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記憶媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ－ＲＯＭ（Read Only Memory）、ＣＤ－Ｒ、ＣＤ－Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）、ＥＰＲＯＭ（Erasable PROM）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（Random Access Memory））を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（transitory computer readable medium）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。

【0078】

その他、上記の各実施形態の一部又は全部は、以下の付記のようにも記載され得るが以下には限られない。

【0079】

［付記１］
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得する取得手段と、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する生成手段と、
を有する情報処理装置。
［付記２］
前記第１エルミート行列及び前記第２エルミート行列は、行列式点過程の行列であり、
前記第１エルミート行列に対応する確率分布は、前記第２エルミート行列に対応する確率分布と等しい、付記１に記載の情報処理装置。
［付記３］
前記生成手段は、前記要素の各々を頂点とし、前記第２エルミート行列の非零成分に対応する頂点のペアを有向枝のペアにより結んだ補助グラフを作成し、当該有向枝のペアの各々の重みを前記第２エルミート行列の成分として算出する、付記１または２に記載の情報処理装置。
［付記４］
前記生成手段は、前記第１エルミート行列の１×１及び２×２に対応する各主小行列式に基づき、前記補助グラフにおいて重みが実数となる全域木を構築し、当該全域木に該当しない前記非零成分の有向枝のペアの重みを、前記全域木と前記有向枝のペアとにより形成される有向閉路の頂点集合に対応する主小行列式に基づき算出する、付記３に記載の情報処理装置。
［付記５］
前記第２エルミート行列の少なくとも一部の成分は、πの倍数以外の偏角を有する、付記１～４のいずれか一項に記載の情報処理装置。
［付記６］
前記取得手段は、前記部分集合を指定したクエリに基づき、当該部分集合に対応する前記主小行列式を取得する、付記１～５のいずれか一項に記載の情報処理装置。
［付記７］
前記取得手段は、前記部分集合の選択に関する試行結果に基づき、前記主小行列式を算出する、付記１～５のいずれか一項に記載の情報処理装置。
［付記８］
前記取得手段は、前記集合のある部分集合に対応する主小行列式として、当該部分集合を含む集合が選択された確率を、前記試行結果に基づき算出する、付記７に記載の情報処理装置。
［付記９］
コンピュータにより、
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する、
制御方法。
［付記１０］
所定個数の要素からなる集合に対する部分集合の選択に関する確率分布を表す第１エルミート行列の主小行列式を取得し、
前記主小行列式に基づき、前記第１エルミート行列と全ての主小行列式が一致する第２エルミート行列を生成する処理をコンピュータに実行させるプログラムが格納された記憶媒体。

【0080】

以上、実施形態を参照して本願発明を説明したが、本願発明は上記実施形態に限定されるものではない。本願発明の構成や詳細には、本願発明のスコープ内で当業者が理解し得る様々な変更をすることができる。すなわち、本願発明は、請求の範囲を含む全開示、技術的思想にしたがって当業者であればなし得るであろう各種変形、修正を含むことは勿論である。また、引用した上記の特許文献等の各開示は、本書に引用をもって繰り込むものとする。

【符号の説明】

【0081】

１、１Ａ、１Ｘ 情報処理装置
２ 主小行列式出力装置
５ 要求部
５Ａ 試行結果取得部
５Ｂ 主小行列式生成部
６ エルミート行列生成部
１１ プロセッサ
１２ メモリ
１３ インターフェース
１００ 学習システム

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】