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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-07-22
(45)【発行日】2024-07-30
(54)【発明の名称】最適化装置、最適化プログラム、及び最適化方法
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20240723BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
【請求項の数】
11
(21)【出願番号】P 2020207842
(22)【出願日】2020-12-15
(65)【公開番号】P2022094763
(43)【公開日】2022-06-27
【審査請求日】2023-08-04
(73)【特許権者】
【識別番号】000005223
【氏名又は名称】富士通株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】100107766
【弁理士】
【氏名又は名称】伊東 忠重
(74)【代理人】
【識別番号】100070150
【弁理士】
【氏名又は名称】伊東 忠彦
(72)【発明者】
【氏名】島田 大地
【審査官】多賀 実
(56)【参考文献】
【文献】特開２０２０－１６０６８５（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２０２０－０６４５３６（ＪＰ，Ａ）
【文献】米国特許出願公開第２０１１／０２３８３９２（ＵＳ，Ａ１）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｎ ３／００－９９／００
Ｇ０６Ｑ １０／０４－１０／０４７
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
第１の値又は第２の値をとる複数個の変数を含む最適化問題であって、前記複数個の変数は複数個のグループにグループ化され、前記複数個のグループの各々に含まれる各変数のうち所定個数の変数のみが前記第２の値をとるという拘束条件が前記複数個のグループの各々に課せられる最適化問題に対し、最適化計算により近似解を求める最適化装置であって、前記複数個のグループから選択された１つ又は複数の選択グループに属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数に対して最適化計算を実行することにより前記拘束条件を満たす近似解を求める最適化計算部と、
前記選択グループの各々において、最適解で前記第２の値にならない変数を前記近似解に基づいて推定して除外して、第２の変数を残す変数選択部と
を含み、前記最適化計算部は、前記第２の変数と少なくとも１つの非選択グループに属する第３の変数とにより前記第１の変数を更新した後に新たな最適化計算を実行することにより、前回の非選択グループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返す、最適化装置。
【請求項2】
第１の変数の総数が所定数以下であり、前記第３の変数と前記第１の変数との合計が前記所定数より大きく、前記第２の変数と前記第３の変数との合計が前記所定数以下である、請求項１記載の最適化装置。
【請求項3】
前記選択グループの各々において、前記近似解で値が前記第２の値となる変数の添字の値が第１の添字値であり着目変数の添字の値が第２の添字値である場合に、前記変数選択部は、前記第１の添字値と前記第２の添字値との差が所望の閾値よりも大きければ前記着目変数を除外する、請求項１又は２に記載の最適化装置。
【請求項4】
前記選択グループの１つのグループにおいて前記近似解で値が前記第２の値となる変数と前記選択グループの別の１つのグループにおける１つの着目変数との積に、前記最適化計算で用いる目的関数式において係っている係数の値が所望の閾値よりも大きい場合、前記変数選択部は前記着目変数を除外する、請求項１又は２に記載の最適化装置。
【請求項5】
制約違反が発生しやすい度合いを前記複数個のグループの各々に対して計算する違反発生度計算部と、前記制約違反が発生しやすい度合いが大きいグループから順番に、前記複数のグループからグループを抽出するグループ抽出部と、
を更に含み、前記最適化計算部は、前記グループ抽出部により順番に抽出されたグループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返していく、請求項１乃至４いずれか一項記載の最適化装置。
【請求項6】
前記複数個のグループのうちの着目グループに対して前記違反発生度計算部により計算される前記制約違反が発生しやすい度合いは、前記最適化計算で用いる目的関数式に含まれる前記着目グループに属する変数の自乗項に係る係数のうち０でない係数の数が多いほど、大きい値である、請求項５記載の最適化装置。
【請求項7】
前記複数個のグループのうちの着目グループに対して前記違反発生度計算部により計算される前記制約違反が発生しやすい度合いは、前記最適化計算で用いる目的関数式に含まれる前記着目グループに属する変数の自乗項に係る係数のうち０でない係数の平均値が大きいほど、大きい値である、請求項５記載の最適化装置。
【請求項8】
前記複数個のグループのうちの着目グループに対して前記違反発生度計算部により計算される前記制約違反が発生しやすい度合いは、前記複数個のグループのうちの前記着目グループ以外のグループに属する変数と前記着目グループに属する変数との積に、前記最適化計算で用いる目的関数式において第１の係数が係っている場合、当該第１の係数のうち０でない係数の数が多いほど、大きい値である、請求項５記載の最適化装置。
【請求項9】
前記複数個のグループのうちの着目グループに対して前記違反発生度計算部により計算される前記制約違反が発生しやすい度合いは、前記複数個のグループのうちの前記着目グループ以外のグループに属する変数と前記着目グループに属する変数との積に、前記最適化計算で用いる目的関数式において第１の係数が係っている場合、前記第１の係数のうち０でない係数の分散値が大きいほど、大きい値である、請求項５記載の最適化装置。
【請求項10】
第１の値又は第２の値をとる複数個の変数を含む最適化問題であって、前記複数個の変数は複数個のグループにグループ化され、前記複数個のグループの各々に含まれる各変数のうち所定個数の変数のみが前記第２の値をとるという拘束条件が前記複数のグループの各々に課せられる最適化問題に対し、最適化計算により近似解を求める最適化方法であって、前記複数個のグループから選択された１つ又は複数の選択グループに属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数に対して最適化計算を実行することにより前記拘束条件を満たす近似解を求め、
前記選択グループの各々において、最適解で前記第２の値にならない変数を前記近似解に基づいて推定して除外して、第２の変数を残し、
前記第２の変数と少なくとも１つの非選択グループに属する第３の変数とにより前記第１の変数を更新した後に新たな最適化計算を実行することにより、前回の非選択グループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返していく
処理をコンピュータにより実行する、最適化方法。
【請求項11】
第１の値又は第２の値をとる複数個の変数を含む最適化問題であって、前記複数個の変数は複数個のグループにグループ化され、前記複数個のグループの各々に含まれる各変数のうち所定個数の変数のみが前記第２の値をとるという拘束条件が前記複数のグループの各々に課せられる最適化問題に対し、最適化計算により近似解を求める最適化プログラムであって、前記複数個のグループから選択された１つ又は複数の選択グループに属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数に対して最適化計算を実行することにより前記拘束条件を満たす近似解を求め、
前記選択グループの各々において、最適解で前記第２の値にならない変数を前記近似解に基づいて推定して除外して、第２の変数を残し、
前記第２の変数と少なくとも１つの非選択グループに属する第３の変数とにより前記第１の変数を更新した後に新たな最適化計算を実行することにより、前回の非選択グループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返していく
処理をコンピュータに実行させる、最適化プログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本願開示は、最適化装置、最適化プログラム、及び最適化方法に関する。
【背景技術】
【0002】
最適化装置には、入力可能なデータ量に制限があるため、大規模な問題を解くことができない。最適化装置のハードウェア構成により入力可能なデータ量が一義的に決まる場合もあれば、最適化装置のメモリ容量及びメモリ使用効率等の制限により実用的に効率を落とすこと無く実行可能なデータ量が制限される場合もある。
【0003】
入力可能なデータ量よりも大規模な最適化問題に対して解を求める手法として、種々の工夫をすることが考えられるが、単純な工夫では、計算量が多くなってしまったり、最適解や良好な近似解が得られなくなってしまったりする。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0004】
【文献】特開2020-4387号公報
【文献】特開2020-64535号公報
【文献】特開2020-4384号公報
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
以上を鑑みると、最適化装置における所定の入力データ量を超えた問題を扱う場合において、最適解又は良好な近似解を効率的に得られる最適化手法が望まれる。
【課題を解決するための手段】
【0006】
第１の値又は第２の値をとる複数個の変数を含む最適化問題であって、前記複数個の変数は複数個のグループにグループ化され、前記複数個のグループの各々に含まれる各変数のうち所定個数の変数のみが前記第２の値をとるという拘束条件が前記複数個のグループの各々に課せられる最適化問題に対し、最適化計算により近似解を求める最適化装置は、前記複数個のグループから選択された１つ又は複数の選択グループに属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数に対して最適化計算を実行することにより前記拘束条件を満たす近似解を求める最適化計算部と、前記選択グループの各々において、最適解で前記第２の値にならない変数を前記近似解に基づいて推定して除外して、第２の変数を残す変数選択部とを含み、前記最適化計算部は、前記第２の変数と少なくとも１つの非選択グループに属する第３の変数とにより前記第１の変数を更新した後に新たな最適化計算を実行することにより、前回の非選択グループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返す。
【発明の効果】
【0007】
少なくとも１つの実施例によれば、最適化装置における所定の入力データ量を超えた問題を扱う場合において、最適解又は良好な近似解を効率的に得られる最適化手法を提供できる。
【図面の簡単な説明】
【0008】
【図1】最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。
【図2】最適化装置の機能構成の一例を示す図である。
【図3】最適化問題の一例を模式的に示す図である。
【図4】最適化問題の別の一例を模式的に示す図である。
【図5】最適化計算部が実行する最適化計算の対象となる変数を示す図である。
【図6】最適化装置が実行する最適化方法の一例を示すフローチャートである。
【図7】制約違反発生度合を計算する方法の一例を示す図である。
【図8】制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。
【図9】制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。
【図10】制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。
【図11】最適化対象変数の追加について説明するための図である。
【図12】行列の要素数を削減する処理を示す図である。
【図13】最適解で値が１にならない変数を推定する処理の一例を説明する図である。
【図15】最適解で値が１にならない変数を推定する処理の別の一例を説明する図である。
【発明を実施するための形態】
【0009】
本願開示による技術は、第１の値又は第２の値をとる複数個の変数のうち正確に所定個数の変数のみが第２の値をとる拘束条件が各グループに課せられる複数個のグループに属する変数の総数が、所定データ量を超える問題を対象とする。この問題に対して、所定データ量以下のデータに対する最適化計算により当該問題に対する近似解を求める。この最適化計算は、発見的手法に基づく汎用的な近似アルゴリズム（メタヒューリスティックアルゴリズム）により、現実的な計算時間で良好な近似解を求める計算であってよい。なお異なるグループにおいて上記所定個数は異なってよい。
【0010】
本願開示における問題の定式化において、例えば０又は１の値をとる変数ｘｉ（ｉ＝１～ｎ）を用いて本願開示の技術を説明する。添字の無いｘを、以下の列ベクトルとする。
ｘ＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３，・・・，ｘn）Ｔ （１）
ここでＴは転置を表す。このとき最適化計算において最小化すべき目的関数Ｅは以下の式により表されてよい。
Ｅ＝ｘＴＡｘ （２）
ここでＡはａｉｊ（ｉ＝１～ｎ，ｊ＝１～ｎ）を要素とする、要素数がｎ×ｎの２次元行列である。この式（２）は、イジングモデルの式と等価であり、イジングモデルにおいて－１又は１の値をとる変数を０又は１の値をとる変数に置き換えたＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式の式に相当する。なお変数が一般化された第1の値又は第２の値をとる場合、上記目的関数の式（２）の形が異なるものとなるが、変数が０又は１の値をとる場合と変数が第1の値又は第２の値をとる場合とで、両者は等価である。
ｘ＝（ｘ１，ｘ２，ｘ３，・・・，ｘn）Ｔ （１）
ここでＴは転置を表す。このとき最適化計算において最小化すべき目的関数Ｅは以下の式により表されてよい。
Ｅ＝ｘＴＡｘ （２）
ここでＡはａｉｊ（ｉ＝１～ｎ，ｊ＝１～ｎ）を要素とする、要素数がｎ×ｎの２次元行列である。この式（２）は、イジングモデルの式と等価であり、イジングモデルにおいて－１又は１の値をとる変数を０又は１の値をとる変数に置き換えたＱＵＢＯ（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式の式に相当する。なお変数が一般化された第1の値又は第２の値をとる場合、上記目的関数の式（２）の形が異なるものとなるが、変数が０又は１の値をとる場合と変数が第1の値又は第２の値をとる場合とで、両者は等価である。
【0011】
ｎ－Ｈｏｔ条件とは、着目集合に属する変数のうちでｎ個の変数のみが１となりそれ以外の全ての変数が０となる拘束条件である。即ち着目集合中で１となる変数の数が正確にｎ個であることを要求する拘束条件である。例えば１－Ｈｏｔ条件であれば、着目集合中で１となる変数の数が正確に１個であることが要求され、２－Ｈｏｔ条件であれば、着目集合中で１となる変数の数が正確に２個であることが要求される。
【0012】
本願開示における問題の定式化において、各々がｎ－Ｈｏｔ条件を有する複数個のグループが規定される。例えば、変数の総数ｎが１０であり、ｘ１乃至ｘ５が第１のグループに属し、ｘ６乃至ｘ１０が第２のグループに属する場合に、例えば第１のグループには１－Ｈｏｔ条件が課せられ、第２のグループには２－Ｈｏｔ条件が課せられてよい。このようにグループ毎にｎ－Ｈｏｔ条件が存在する具体的な例については後程説明する。
【0013】
本願開示における問題の定式化において、最適化計算に入力されるデータ量は、所定データ量以下である。即ち、最適化計算は、所定データ量より大きなデータ量の入力データに対して実行されることはなく、常に所定データ量以下の入力データに対して実行される。例えば、最適化装置のハードウェア構成により入力可能なデータ量が一義的に決まる場合もあれば、最適化装置のメモリ容量及びメモリ使用効率等の制限により実用的に効率を落とすこと無く実行可能なデータ量が制限される場合もある。また最適化装置では、上記所定データ量以上のデータ量の入力データに対して最適化計算を実行することが可能であるが、消費電力を削減したい等の何らかの事情により、所定データ量以下の入力データに対して最適化演算を実行したい場合等もある。
【0014】
例えば、問題を規定する変数ｘｉの総数ｎが１０であり、所定データ量に相当する変数の数が８個である場合、ｘ１乃至ｘ１０で規定される問題に対して直接的に解を求めることはできない。そこで本願開示の技術では、各グループに対してｎ－Ｈｏｔ条件が課せられていることを利用して、各グループにおいて最適解で１にならないであろうと推定される変数を間引くことにより、最適化計算対象となる変数の数を削減する。
【0015】
例えば第１のグループの変数ｘ１乃至ｘ５には１－Ｈｏｔ条件が課せられ、第２のグループの変数ｘ６乃至ｘ１０には２－Ｈｏｔ条件が課せられている場合を考える。このとき第１のグループにおいて、最適解で１になる変数はｘ１乃至ｘ４のいずれかでありｘ５は１にならないと推定される場合、ｘ５については０に固定して最適化計算対象から除外しても、最適解又は良好な近似解を支障なく求めることができる。また第２のグループにおいて、最適解で１になる変数はｘ５乃至ｘ９のいずれかでありｘ１０は１にならないと推定される場合、ｘ１０については０に固定して最適化計算対象から除外しても、最適解又は良好な近似解を支障なく求めることができる。
【0016】
従ってこの場合、ｘ１乃至ｘ４並びにｘ５乃至ｘ９の合計８個の変数を対象として、所定データ量（変数８個）以下のデータ量の入力データを対象とする最適化計算を実行することにより、最適解又は良好な近似解を問題なく求めることができる。またこの際、最適化計算対象となる変数の数を削減することにより効率的な最適化計算を実現できるので、最適解又は良好な近似解を効率的に求めることが可能となる。
【0017】
以下に、実施例を添付の図面を用いて詳細に説明する。
【0018】
図１は、最適化装置のハードウェア構成の一例を示す図である。図１に示す最適化装置は、ＣＰＵ１１、表示部１２、入力部１３、ＲＯＭ１４、ＲＡＭ１５、ＨＤＤ１６、ネットワークインターフェース１７、可搬型記憶媒体用ドライブ１８、及びメタヒューリスティック計算部１９を含む。
【0019】
入力部１３は、ユーザとのインターフェースを提供するものであり、最適化装置を操作するための各種コマンドや要求されたデータに対するユーザ応答等が入力される。表示部１２は、最適化装置で処理された結果等をディスプレイ画面に表示すると共に、最適化装置を操作する際にユーザとの対話を可能にするために様々なデータ表示を行う。ネットワークインターフェース１７は、周辺装置との通信又は遠隔地との通信を行なうためのものである。
【0020】
図１に示される最適化装置はコンピュータであり、最適化方法は、最適化装置が実行可能なコンピュータプログラムとして提供される。このコンピュータプログラムは、可搬型記憶媒体用ドライブ１８に装着可能な記憶媒体Ｍに記憶されており、記憶媒体Ｍから可搬型記憶媒体用ドライブ１８を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。或いは、このコンピュータプログラムは、周辺装置又は遠隔地にある記憶媒体（図示せず）に記憶されており、この記憶媒体からネットワークインターフェース１７を介して、ＲＡＭ１５或いはＨＤＤ１６にロードされる。
【0021】
入力部１３を介してユーザからプログラム実行指示があると、ＣＰＵ１１は、記憶媒体Ｍ、周辺装置、遠隔地記憶媒体、或いはＨＤＤ１６からプログラムをＲＡＭ１５にロードする。ＣＰＵ１１は、ＲＡＭ１５の空き記憶空間をワークエリアとして使用して、ＲＡＭ１５にロードされたプログラムを実行し、適宜ユーザと対話しながら処理を進める。なおＲＯＭ１４は、最適化装置の基本動作を制御するための制御プログラムが格納されている。
【0022】
上記コンピュータプログラムを実行することにより、最適化装置が、問題に対して近似解を求める動作を実行する。メタヒューリスティック計算部１９は、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行するように専用に設計された専用ハードウェアであってよく、例えばシミュレーテッド・アニーリングによりイジング問題の解探索を実行する専用ハードウェアであってよい。但し専用のメタヒューリスティック計算部１９を設けることなく、汎用計算用のプロセッサであるＣＰＵ１１が、メタヒューリスティック計算部として機能することにより、メタヒューリスティックアルゴリズムを実行してもよい。メタヒューリスティックアルゴリズムとしては、シミュレーテッド・アニーリング、ランダムウォーク解探索アルゴリズム、遺伝的アルゴリズム、確率的進化手法、或いはタブーサーチ等であってよい。メタヒューリスティックアルゴリズムは、目的関数を最小化する解に近い解（近似解）を発見的に探索するアルゴリズムであってよい。
【0023】
図２は、最適化装置の機能構成の一例を示す図である。図２に示す最適化装置は、データ格納部２０、データ取得部２１、違反発生度計算部２２、グループ抽出部２３、最適化計算部２４、変数選択部２５、変数固定部２６、処理終了判定部２７、及びデータ出力部２８を含む。
【0024】
データ格納部２０及び最適化計算部２４以外の各機能部は、図１に示すＣＰＵ１１により実現されてよい。データ格納部２０の機能は、図１に示すＲＡＭ１５又はＨＤＤ１６により実現されてよい。最適化計算部２４の機能は、図１に示すＣＰＵ１１又はメタヒューリスティック計算部１９により実現されてよい。
【0025】
なお各ボックスで示される各機能ブロックと他の機能ブロックとの境界は、機能的な境界を示すものであり、プログラムモジュールの境界に対応したり、制御論理的な分離等に対応したりするとは限らない。また、ある１つの機能ブロックが別の機能ブロックと組み合わさり１つの機能ブロックとして動作してもよいし、ある１つの機能ブロックが複数の機能ブロックに分割されて各々が協働して動作してもよい。
【0026】
データ格納部２０には、変数グループ情報２０Ａ、最適化計算用変数群２０Ｂ、最良解２０Ｃ、及び固定変数値２０Ｄが格納されている。
【0027】
データ取得部２１は、最適化問題を規定するために外部から入力されたデータを、変数グループ情報２０Ａとしてデータ格納部２０に格納する。最適化問題において規定される変数、変数のグループ分けに関する情報、各グループに規定されるｎ－Ｈｏｔ条件等が変数グループ情報２０Ａとして格納されてよい。またそれら以外に、各種制約条件に関する項を含む目的関数を規定する行列Ａの値も、変数グループ情報２０Ａの一部としてデータ格納部２０に格納されてよい。
【0028】
図３は、最適化問題の一例を模式的に示す図である。図２に示す最適化装置が解を求める対象となる最適化問題として、例えば資源制約付きスケジューリング問題がある。資源制約付きスケジューリング問題は、複数の作業及び複数の資源に制約条件が存在する状況において、全作業の終了時刻が最適化対象時刻内に収まるように、制約条件を満たしながら複数の資源を複数の作業に割り当てる問題である。図２に示される最適化計算部２４が例えばイジング装置としてイジングモデルによる最適化処理を実行する場合、資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化し、当該モデルに対して最適化処理を実行することになる。
【0029】
図３に示す表３０において、製品Ａに対する作業＃１乃至＃３をそれぞれ作業Ａ１乃至Ａ３として示してある。また製品Ｂに対する作業＃１乃至＃３をそれぞれ作業Ｂ１乃至Ｂ３として示してある。更に製品Ｃに対する作業＃１及び＃２をそれぞれ作業Ｃ１及びＣ２として示してある。表３０において、各行は時刻（３０分刻みの時間帯）を表し、各列は各作業と各設備との組み合わせを表す。
【0030】
図３に示される資源制約付きスケジューリング問題を２値変数によりモデル化するために、２値変数ｘｊｍｔを定義してよい。添字ｊは作業を特定し、添字ｍは資源を特定し、添字ｔは時刻を特定する。時刻は８：３０から１８：００までを３０分毎に１９個の時間帯に分割し、時刻の添字ｔに１～１９の数字を割り当てることにより、特定の時間帯を指定することができる。例えば「作業Ａ１」の「設備１」の列は、製品Ａに対する作業＃１を設備１に割り当てることを規定した変数ｘ１１ｔの各時刻ｔにおける値を示している。このようにして図３に示される表３０の一つ一つのセルが、２値変数ｘｊｍｔの一つ一つに対応することになる。
【0031】
例えば２値変数ｘ１１１は、製品Ａに対する作業＃１の、設備１での、時刻８：３０における作業状態を表す。この２値変数ｘ１１１の値が１である場合、製品Ａに対する作業＃１が設備１において時刻８：３０から開始されることを示す。なお図３に示されるように、ｘ１１ｔの値は時刻８：３０の時間帯においてのみ値が１となり（即ちｘ１１１＝１）、それ以外の時間帯においては値が０となる。表３０において、２値変数ｘｊｍｔの値が１となり、作業ｊを設備ｍで時刻ｔから開始することを示しているセルは、網掛け表示で示されている。
【0032】
資源制約付きスケジューリング問題においては、各作業は一回だけ実行される、という制約が存在する。即ち、例えば製品Ａに対する作業＃１は、いずれかの１つの設備において時刻８：３０から１８：００までの間に一回だけ実行される。従って、作業Ａ１を示す２値変数ｘｊｍｔにより、図３に示されるようにグループ３１を形成すれば、グループ３１には１－Ｈｏｔ条件が制約として課せられることになる。即ち、グループ３１に属する２値変数ｘｊｍｔのうちで１つの変数のみが値１となり、残りの全ての変数は値０となる。
【0033】
その他の全ての作業Ａ２、Ａ３、Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｃ１、及びＣ２についても同様である。従って、図３に示す資源制約付きスケジューリング問題を規定する２値変数ｘｊｍｔは、作業Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｃ１、及びＣ２にそれぞれ対応する８個のグループに分けられ、各グループには１－Ｈｏｔ条件が制約として課せられることになる。
【0034】
図４は、最適化問題の別の一例を模式的に示す図である。図２に示す最適化装置が解を求める対象となる最適化問題として、例えば巡回セールスマン問題がある。巡回セールスマン問題は、各都市を正確に一回ずつ訪れながら全ての都市を巡り出発地に戻る巡回路のうちで、総コスト（例えば総移動距離）が最小のものを求める問題である。
【0035】
図４に示す表３２において、各行は各都市を表し、各列は訪問順番を表す。図４に示される巡回セールスマン問題を２値変数によりモデル化するために、２値変数ｘｊｋを定義してよい。添字ｊは都市を特定し、添字ｋは訪問順番を特定する。図４に示される表３２の一つ一つのセルが、２値変数ｘｊｋの一つ一つに対応することになる。
【0036】
例えば「都市＃１」を２番目に訪問する場合、２値変数ｘ１２の値が１となる。都市＃１を示す２値変数ｘ１ｋは、２番目以外の訪問順（即ちｋ＝２以外）においては値が０となる。表３２において、２値変数ｘｊｋの値が１となり、都市＃ｊを順番ｋで訪問することを示しているセルは、網掛け表示で示されている。
【0037】
巡回セールスマン問題においては、各都市は一回だけ訪問される、という制約が存在する。即ち、都市＃１は、順番１番目～順番１０番目のうちのいずれか１つの順番においてのみ訪問される。従って、都市＃１を示す２値変数ｘ１ｋにより、図４に示されるようにグループ３３を形成すれば、グループ３３には１－Ｈｏｔ条件が制約として課せられることになる。即ち、グループ３３に属する２値変数ｘ１ｋのうちで１つの変数のみが値１となり、残りの全ての変数は値０となる。
【0038】
その他の全ての都市＃１乃至＃１０についても同様である。従って、図４に示す巡回セールスマン問題を規定する２値変数ｘｊｋは、都市＃１乃至＃１０にそれぞれ対応する１０個のグループに分けられ、各グループには１－Ｈｏｔ条件が制約として課せられることになる。
【0039】
以下の説明においては、資源制約付きスケジューリング問題をイジングマシンを用いて最適化する構成を一例として用い、図２に示す最適化装置が実行する演算について説明する。
【0040】
図２を再び参照し、違反発生度計算部２２は、変数グループ情報２０Ａが示す複数個のグループの各々に対して、制約違反が発生しやすい度合いを計算する。違反発生度計算部２２により求められた制約違反が発生しやすい度合いは、複数個のグループの各々に対応付けて変数グループ情報２０Ａとしてデータ格納部２０に格納される。なおここで言う制約違反とは、ｎ－Ｈｏｔ条件に違反することではなく、その他の制約条件のことである。
【0041】
例えば資源制約付きスケジューリング問題の場合、ある設備を使用不可能な時間帯においては当該設備により作業を実行することはできない等のように、資源利用可能時間に関する制約条件が課せられてよい。また、例えば作業間の順序に関する制約として、ある製品に対する作業＃１、作業＃２、及び作業＃３は、時間的に重複することなくこの順番に実行される必要がある、等の制約条件が課せられてよい。また、特定の作業は特定の資源でしか実行することができない等の作業と資源との間の対応関係に関する制約や、各作業の開始可能時間及び要求納期に関する制約等が設けられてよい。これらの制約は、前述の目的関数を示す式（２）において、行列Ａの係数値に組み込まれていてよい。
【0042】
グループ抽出部２３は、制約違反が発生しやすい度合いが大きいグループから順番に、複数のグループからグループを順次抽出していく。グループ抽出部２３が抽出したグループに属する変数は、最適化計算用変数群２０Ｂとしてデータ格納部２０に格納される。
【0043】
最適化計算部２４は、グループ抽出部２３により順番に抽出されたグループに属する変数、即ち最適化計算用変数群２０Ｂとして格納されている変数を、順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返していく。例えば、最初に２個のグループに属する変数群に対して最適化計算を実行し、その後、当該変数群から変数を間引いた上で第３のグループに属する変数を新たに加えた最適化計算用変数群を作成し、その最適化計算用変数群に対して次の最適化計算を実行してよい。
【0044】
図５は、最適化計算部２４が実行する最適化計算の対象となる変数を示す図である。図５に示す例では、最適化問題は５個のグループＧ１乃至Ｇ４に分けられている。グループＧ１乃至Ｇ４の各々に属する変数は図５に示すとおりである。なお図３に示される資源制約付きスケジューリング問題を説明する際に用いた２値変数ｘｊｍｔの添字は３個である一方、図５に示される２値変数ｘｉの添字は１個である。
【0045】
例えば表３０の１行目において「作業Ａ１」の「設備１」乃至「設備４」の４列に対応する４個のセルにｘ１乃至ｘ４を割り当て、２行目において「作業Ａ１」の「設備１」乃至「作業Ａ１」の４列に対応する４個のセルにｘ５乃至ｘ８を割り当ててよい。残りの３行目から１９行目までも同様にすることにより、表３０のグループ３１の１９行×４列の７６個のセルに、連続する添字を有する変数ｘ１乃至ｘ７６を割り当ててよい。その後、作業Ａ２に対応するグループに対しても同様にして、変数ｘ７７乃至ｘ１５２を割り当ててよい。このようにして、図５に示されるように複数個のグループに属する１個の添字を有する２値変数ｘｉを定義することができる。
【0046】
図５において、グループＧ１乃至Ｇ４は、制約違反が発生しやすい度合いが大きい順番に並べられているとする。即ち、グループＧ１において制約違反が最も発生しやすく、グループＧ４において制約違反が最も発生しにくい。従って、グループＧ１から順番に、グループ抽出部２３により抽出されていくことになる。前述のように、制約違反が発生しやすい度合いは、図２に示す違反発生度計算部２２により計算されてよい。
【0047】
図２に示すグループ抽出部２３は、最初に例えばグループＧ１とグループＧ２とをグループの集合（複数個のグループＧ１乃至Ｇ４からなる集合）から抽出して、グループＧ１とグループＧ２とに属する変数を最適化計算用変数としてよい。具体的には、グループ抽出部２３は、グループＧ１及びＧ２に属する変数を最適化計算用変数群２０Ｂとしてデータ格納部２０に格納してよい。グループ抽出部２３は、例えば、最適化計算部２４が最適化計算の対象とすることが可能な変数の数の上限に関する情報を有していてよい。グループ抽出部２３は、グループＧ１及びＧ２に属する変数の総数は当該上限を超えていないが、グループＧ１乃至Ｇ３に属する変数の総数は上限を超えていることを検出し、グループＧ１及びＧ２に属する変数を最適化計算対象の変数として供給してよい。
【0048】
別の言葉で言えば、複数個のグループＧ１乃至Ｇ４から選択された１つ又は複数の選択グループＧ１及びＧ２に属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数（この場合はグループＧ１及びＧ２に属する全変数）の総数が所定データ量以下である。また更に、１つの非選択グループＧ３に属する第２の変数と上記第１の変数との合計が所定データ量より大きい。これらの条件を満たす状態において、最適化計算部２４は、図５に示されるように上記第１の変数（グループＧ１及びＧ２に属する変数）に対して最適化計算４５を実行することにより、ｎ－Ｈｏｔ条件を満たす近似解を求める。具体的には、最適化計算部２４は、最適化計算用変数群２０Ｂに格納される変数に対して最適化計算４５を実行することにより、ｎ－Ｈｏｔ条件を満たす近似解を求めてよい。例えば図５に示す例では、グループＧ１について１－Ｈｏｔ条件を満たし且つグループＧ２について１－Ｈｏｔ条件を満たす近似解を求める。
【0049】
最適化計算部２４が求めた近似解における各変数の値が、図５において最適化計算４５の実行後における（即ち最適化計算４５を示す矢印の右側における）グループＧ１及びＧ２に属する変数の直下に示されている。グループＧ１及びＧ２の両方において、例えば１－Ｈｏｔ条件が課せられている場合、１つの変数だけ値が１であり残りの全ての変数は値が０である。
【0050】
図２に戻り、最適化計算部２４が求めた近似解は、最良解２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納される。その後、変数選択部２５が、最適化計算用変数群２０Ｂ及び最良解２０Ｃを参照し、選択グループＧ１及びＧ２の各々において、最適解で１にならないであろう変数を近似解（最良解２０Ｃ）に基づいて推定し、当該変数を最適化計算用変数群２０Ｂから除外する。具体的には、図５に示されるように、変数除去４６により、グループＧ１において変数４１及び４２が除外され、グループＧ２において変数４３及び４４が除外される。変数固定部２６は、値をゼロに固定する変数として、上記除外した変数を固定変数値２０Ｄとしてデータ格納部２０に格納してよい。
【0051】
上記変数除去処理を実行するにあたり、変数選択部２５は、ｎ－Ｈｏｔ条件を考慮することにより、最適解で１にならないであろう変数を推定してよい。即ち求めた近似解で値が１である変数は、最適解でも値が１である可能性が十分にあると考えられるので、当該変数は残すべきであることが分かる。一方、近似解で値が１である変数に対応する条件から大きく異なる条件に対応する変数については、最適解で１になる可能性は極めて低い（即ち１にならないであろう）と考えられる。例えば、近似解において作業Ａ１が朝早い９：００の時間帯に開始される条件が示されている場合に、その条件から大きく異なる条件、例えば作業Ａ１が夕刻遅く１７：００の時間帯に開始される条件が最適解に含まれる可能性は極めて低い。従って、作業Ａ１の１７：００の時間帯に相当する変数については、最適解で値が１にならないであろうと推定して除去することができる。
【0052】
なお変数選択部２５は、除外後に残る上記第３の変数（即ちグループＧ１及びＧ２に属する変数のうちで除外されずに残った変数）と上記第２の変数（即ち非選択グループＧ３に属する変数）との合計が所定データ量以下となるように、第３の変数を残す。
【0053】
その後、図５に示されるように、最適化計算部２４は、第３の変数と少なくとも第２の変数とにより第１の変数（最適計算対象である変数）を更新した後に新たな最適化計算４７を実行する。具体的には、グループ抽出部２３が、前回の非選択グループＧ３に属する変数を最適化計算用変数群２０Ｂに追加する。その後最適化計算部２４が、最適化計算用変数群２０Ｂに格納される変数から、固定変数値２０Ｄに格納される変数を除外した後に残る変数に対して、最適化計算を実行する。このようにして、前回の非選択グループＧ３に属する変数を新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返す。
【0054】
別の言葉で言えば、選択された１つ又は複数の選択グループＧ１乃至Ｇ３に属する変数のうちで最適化計算対象である第１の変数（この場合はグループＧ１及びＧ２から除外されずに残った変数とグループＧ３に属する全変数）の総数が所定データ量以下である。また更に、１つの非選択グループＧ４に属する第２の変数と上記第１の変数との合計が所定データ量より大きい。この状態において、最適化計算部２４は、図５に示されるように上記第１の変数（グループＧ１及びＧ２から除外されずに残った変数とグループＧ３に属する全変数）に対して最適化計算４７を実行することにより、ｎ－Ｈｏｔ条件を満たす近似解を求める。
【0055】
このようにして最適化計算部２４は、前回の非選択グループに属する変数を順次新たに含めて最適化計算を実行する処理を繰り返していく。即ち、最初に選択グループＧ１及びＧ２に対する最適化計算を実行し、その後に非選択グループＧ３を新たに含めた最適化計算を行い、その後更に非選択グループＧ４を新たに含めた最適化計算を行う。これにより、最終的に全グループＧ１乃至Ｇ４を対象とした近似解を求めることができる。
【0056】
上記の一連の最適化計算を実行するにあたり、ｎ－Ｈｏｔ条件を利用し、最適解で１にならないであろう変数を近似解に基づいて各グループから除外している。即ち、無作為に変数を除外するのではなく、実際に最適化計算により求めた近似解に基づいて、最適解に貢献しない変数を推定して除外しているので、最適化計算対象の変数の数を削減しているにも関わらず、最適解又は良好な近似解を問題なく求めることができる。また最適化計算対象となる変数の数を削減して最適化計算を効率的に実行できるので、規模の大きな問題に対する最適解又は良好な近似解を効率的に求めることができる。
【0057】
また前述のように、違反発生度計算部２２により、各グループについて制約違反が発生しやすい度合いを計算し、グループ抽出部２３により、制約違反が発生しやすい度合いが大きいグループから順番に最適化計算の対象としてよい。これにより、制約条件を満たすことが難しいグループを、制約条件を満たすことが容易であるグループよりも先に、優先的に最適化計算の対象とすることができる。それとは逆に、制約条件を満たすことが難しいグループを後回しにしたのでは、結果的に制約条件を満たすことができなくなったり、制約条件を満たそうとすると品質の低い近似解しか得られなかったりする可能性がある。図２に示される最適化装置では、制約条件を満たすことが難しいグループを優先的に処理することにより、より最適解に近い良好な近似解を効率的に求めることが可能となる。
【0058】
【0059】
なお図６及び以降の図において、フローチャートに記載された各ステップの実行順序は一例にすぎず、本願の意図する技術範囲が、記載された実行順番に限定されるものではない。例えば、Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、Ａステップの次にＢステップを実行することが可能なだけでなく、Ｂステップの次にＡステップを実行することが、物理的且つ論理的に可能である場合がある。この場合、どちらの順番でステップを実行しても、当該フローチャートの処理に影響する全ての結果が同一であるならば、本願に開示の技術の目的のためには、Ｂステップの次にＡステップが実行されてもよいことは自明である。Ａステップの次にＢステップが実行されるように本願に説明されていたとしても、上記のような自明な場合を本願の意図する技術範囲から除外することを意図するものではなく、そのような自明な場合は、当然に本願の意図する技術範囲内に属する。
【0060】
ステップＳ１において、グループ抽出部２３が、イジングマシンの入力可能サイズ（即ち最適化装置の所定データ量）を示す値をＮに設定する。またグループ抽出部２３は更に、データ量変数ｎ及び最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔをゼロに初期設定する。最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔは、図２に示される最適化計算用変数群２０Ｂに相当する。
【0061】
ステップＳ２において、違反発生度計算部２２が、変数グループごとにＱＵＢＯモデルの係数から制約違反発生度合を推測し、厳しい順にグループをソートし、ソート結果をＧ＿Ｌｉｓｔに格納する。即ち、違反発生度計算部２２が、前述の式（２）に示される目的関数における行列Ａの要素である係数値に基づいて制約違反発生度合を計算し、制約違反が最も発生しやすいものが先頭となるように、度合いの大きさに応じて順番にグループを並べる。
【0062】
図７は、制約違反発生度合を計算する方法の一例を示す図である。図７の左端には、図３に示される表３０のうちで作業Ａ１に関する部分が示されている。この作業Ａ１に関する納期（即ち、それまでに作業Ａ１を完了すべき時刻）が、図７に示されるように１５：００に設定されている。この場合、納期以前の時刻５０において変数ｘｉの値が１になることは許されるが、納期より後の時刻５１において変数ｘｉの値が１になることは許されない。従って、納期より後の時刻５１における変数ｘｉについては、前述の目的関数の式（２）において変数ｘｉの自乗に係る係数ａｉｉ（行列Ａの対角要素）の値を大きな値に設定する。これにより、納期遅れの際にペナルティが大きくなるような目的関数としている。このように変数ｘｉの自乗に係る係数ａｉｉ（行列Ａの対角要素）は、変数ｘｉが値１をとるとペナルティを与える係数であるので、このような対角要素の係数値のうちゼロでない係数の数が多い場合には、制約違反する可能性が高いと推定できる。
【0063】
図７に示される行列は、目的関数の式（２）に示される行列Ａである。当該行列の対角要素５２は、全ての対角要素（全作業に対する対角要素）のうちで作業Ａ１に対応するグループに属する対角要素である。上述の考え方に基づいて、ここに示される作業Ａ１に対応するグループに属する対角要素５２のうちでゼロでない係数の数を、当該グループに対する制約違反発生度合として用いることができる。そのような制約違反発生度合の計算式が式５３として図７に示される。
【0064】
上記のようにして、複数個のグループのうちの着目グループに対して違反発生度計算部２２が制約違反発生度合を計算する。当該制約違反発生度合は、最適化計算で用いる目的関数式に含まれる着目グループに属する変数の自乗項に係る係数のうち０でない係数の数が多いほど、大きい値である。このようにして制約違反発生度合を計算することにより、単純な計算により、各グループについて制約違反が発生しやすい度合いを確実に求めることができる。
【0065】
図８は、制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。図８に示される制約違反発生度合を計算する方法は、図７に示される計算方法と類似しており、作業Ａ１に対応するグループに属する対角要素５２のうちでゼロでない係数に基づいて、当該グループに対する制約違反発生度合を計算する。但し、図７に示される方法では、対角要素５２のうちでゼロでない係数の数を制約違反発生度合として用いたが、図８に示される方法では、対角要素５２のうちでゼロでない係数の平均値を制約違反発生度合として用いる。そのような制約違反発生度合の計算式が式５４として図８に示される。
【0066】
上記のようにして、複数個のグループのうちの着目グループに対して違反発生度計算部２２が制約違反発生度合を計算する。当該制約違反発生度合は、最適化計算で用いる目的関数式に含まれる着目グループに属する変数の自乗項に係る係数のうち０でない係数の平均値が大きいほど、大きい値である。このようにして制約違反発生度合を計算することにより、単純な計算により、各グループについて制約違反が発生しやすい度合いを確実に求めることができる。
【0067】
図９は、制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。図９の左端には、図３に示される表３０のうちで作業Ａ１及び作業Ａ２に関する部分が示されている。この例において、作業Ａ１及び作業Ａ２には作業順序に関する制約があり、作業Ａ１を完了した後にのみ作業Ａ２を開始することができるとする。しかしながら図９に示される例の場合、表３０において点線枠で示されるように、「作業Ａ１」の「設備２」の時間帯１０：３０において変数値１であり、且つ「作業Ａ２」の「設備１」の時間帯９：００において変数値１である。即ちこの例では、作業Ａ１を完了する前に作業Ａ２を開始してしまっている。
【0068】
上記のような作業順序に関する違反は許されないために、図５に示される表３０において２つの点線枠で示される２つのセルに相当する変数同士の積に、最適化計算で用いる目的関数式においてある係数が係っている場合、この係数の値を大きな値に設定する。これにより、作業順序が守られない際にペナルティが大きくなるような目的関数としている。このように異なる２つのグループ間での２つの変数の積に係る係数値は、これら２つの変数が同時に１になるとペナルティを与える係数であるので、このような係数値のうちゼロでない係数の数が多い場合には、制約違反する可能性が高いと推定できる。
【0069】
図９に示される行列は、目的関数の式（２）に示される行列Ａである。当該行列の要素群５５は、作業Ａ１に対応するグループに属する変数間又は当該変数の自乗に係る係数である。また行列の要素群５６及び５７は、作業Ａ１に対応するグループに属する変数と他の作業に対応するグループに属する変数間の積に係る係数である。上述の考え方に基づいて、これらの要素群５６及び５７のうちでゼロでない係数の数を、作業Ａ１に対応するグループに対する制約違反発生度合として用いることができる。そのような制約違反発生度合の計算式が式５８として図９に示される。
【0070】
上記のようにして、複数個のグループのうちの着目グループに対して違反発生度計算部２２が制約違反発生度合を計算する。複数個のグループのうちの着目グループ以外のグループに属する変数と着目グループに属する変数との積に、最適化計算で用いる目的関数式において第１の係数が係っている場合、第１の係数のうち０でない係数の数が多いほど、制約違反発生度合は大きい値である。このようにして制約違反発生度合を計算することにより、単純な計算により、各グループについて制約違反が発生しやすい度合いを確実に求めることができる。
【0071】
図１０は、制約違反発生度合を計算する方法の別の一例を示す図である。図１０に示される計算方法は、図９に示される計算方法と類似しており、作業Ａ１に対応する着目グループに属する変数と他の作業に対応するグループに属する変数間の積に係る係数に基づいて、着目グループに対する制約違反発生度合を計算する。但し、図９に示される方法では、ゼロでない係数の数を制約違反発生度合として用いたが、図８に示される方法では、ゼロでない係数の分散値を、制約違反発生度合として用いる。そのような制約違反発生度合の計算式が式５９として図１０に示される。
【0072】
２つのグループ間での２つの変数の積に係る係数値として、ペナルティの小さいものとペナルティの大きいものとが含まれている場合には、係数値の分散値が大きくなる。前述の例のように、２つの変数の積に係る係数値のうちで、作業順序等の制約条件を破るような変数の組み合わせについて大きな係数値が設定されている場合のように、一部の係数値のみが大きな値となる場合には、係数値の分散値が大きくなる。従ってそのような分散値を用いることにより、より適切な制約違反発生度合を計算することが可能となる。
【0073】
上記のようにして、複数個のグループのうちの着目グループに対して違反発生度計算部２２が制約違反発生度合を計算する。着目グループ以外のグループに属する変数と着目グループに属する変数との積に、最適化計算で用いる目的関数式において第１の係数が係っている場合、第１の係数のうち０でない係数の分散値が大きいほど、制約違反発生度合は大きい値である。このようにして制約違反発生度合を計算することにより、単純な計算により、各グループについて、より適切な制約違反発生度合を求めることができる。
【0074】
なお図７乃至図１０に示す制約違反発生度合を計算する４つの方法は互いに独立であり、違反発生度計算部２２は、予め決められた何れか１つの方法を用いて制約違反発生度合を計算してよい。或いは違反発生度計算部２２は、これら４つの方法のうちの２つ又はそれ以上の方法で計算した複数種類の制約違反発生度合を適宜参照することにより、制約違反が発生しやすい順番にグループを並べてもよい。この際、例えば４つの方法のうちの２つ又はそれ以上の方法で計算した複数種類の制約違反発生度合を、適切な重み係数で重み付けして加算し、加算後の値に基づいて制約違反が発生しやすい順番にグループを並べてもよい。
【0075】
図６のフローチャートに戻り、ステップＳ３において、グループ抽出部２３は、Ｇ＿Ｌｉｓｔが空であるか否かを判断する。Ｇ＿Ｌｉｓｔが空でない場合（ＮＯ）、処理はステップＳ４に進む。Ｇ＿Ｌｉｓｔが空である場合（ＹＥＳ）、処理はステップＳ１１に進む。
【0076】
ステップＳ４において、グループ抽出部２３は、Ｇ＿Ｌｉｓｔの先頭グループを取得し、取得したグループをＴａｒｇｅｔ＿Ｇｒｏｕｐとする。またグループ抽出部２３は更に、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｇｒｏｕｐであるグループに属する変数の数を取得し、当該変数の数をＮｔａｒｇｅｔに格納する。
【0077】
ステップＳ５において、グループ抽出部２３は、データ量変数ｎ（変数の数を示す値：初期値ゼロ）とＮｔａｒｇｅｔとの和が、入力可能サイズＮより大きいか否かを判断する。入力可能サイズＮより大きくない場合（ＮＯ）、処理はステップＳ６に進む。入力可能サイズＮより大きい場合（ＹＥＳ）、処理はステップＳ８に進む。
【0078】
ステップＳ６において、グループ抽出部２３は、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｇｒｏｕｐであるグループに属する変数をＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに追加するとともに、当該グループをＧ＿Ｌｉｓｔから削除する。例えば初期設定後における一回目のステップＳ６の実行において、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｇｒｏｕｐであるグループに属する変数の数が入力可能サイズＮ以下であるので、当該グループに属する変数を最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに追加する。それに伴い、制約違反発生度合に応じて並べられたグループリストＧ＿Ｌｉｓｔから当該グループを削除する。
【0079】
ステップＳ７において、グループ抽出部２３は、新たに最適化対象変数となった変数の数であるＮｔａｒｇｅｔをデータ量変数ｎの値に加算し、加算結果を新たなデータ量変数ｎの値とする。その後処理はステップＳ３に戻る。
【0080】
上記のステップＳ３乃至Ｓ７の処理を繰り返すことにより、グループ抽出部２３は、制約違反発生度合順にグループを順次選択して、当該グループに属する変数を最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに加えていく。最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに格納される変数の数が、入力可能サイズＮ以下で最大となるまで、即ちこれ以上新たなグループに属する変数を追加できなくなるまで、処理が繰り返される。これ以上新たなグループに属する変数をＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに追加できなくなると（即ちステップＳ５でＹＥＳ）、処理はステップＳ８に進む。
【0081】
上記の処理において、初期状態設定の後において初めてステップＳ５でＹＥＳとなった状態では、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔには、Ｇ＿Ｌｉｓｔの先頭から取り出された例えば２個のグループに属する全変数が格納されている。これら格納されている変数に対して、後述するように、最適化計算部２４による最適化計算が実行される。
【0082】
一方、上記最適化計算が実行された直後においてステップＳ５でＹＥＳとなった状態では、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔには、上記２個のグループに属する変数から間引き後に残った変数と、Ｇ＿Ｌｉｓｔにおいて次の順番のグループに属する全変数が格納されている。これら格納されている変数に対して、後述するように、最適化計算部２４による最適化計算が実行される。
【0083】
図１１は、最適化対象変数の追加について説明するための図である。図１１に示される例においては、左端に図示されているように、グループ＃１乃至＃３に対して既に最適化計算が実行済みである状態６０であり、グループ＃４乃至＃６に対しては最適化計算が未実行である状態６１である。
【0084】
前述した変数除去処理として、最適化計算が実行済みであるグループ＃１乃至＃３に対して、解候補とならない変数を抽出して取り除く処理Ｓ２１が実行される。これにより例えばグループ＃１に属する変数ｘ１２及びｘ１３、グループ＃２に属するｘ２２、グループ＃３に属するｘ３１及びｘ３３等が除去される。
【0085】
一方、入力可能サイズ（即ち最適化計算可能な変数の数）から上記変数除去後に残った変数の数を引いた数が、変数除去後に追加可能な数であるので、最適化計算が未実行であるグループ＃４乃至＃６から、この追加可能な数以下で収まるグループを選択する。即ち、イジングマシンの入力可能データ量に収まるように変数グループを選択する処理Ｓ２２を、グループ＃４乃至＃６に対して実行する。その結果、次の最適化計算で使用される変数群６２が得られる。
【0086】
上記のように、変数除去後に追加可能な変数の数に応じて、１つ又は複数のグループを制約違反発生度合順に選択して、選択されたグループに属する変数を、新たに最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔ（図６参照）に追加していく。これにより、最適化計算に用いるハードウェア資源等を無駄にすることなく、最大限に資源を利用した効率的な最適化計算が可能となる。
【0087】
図６に戻り、ステップＳ８において、最適化計算部２４は、最適化対象変数リストＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔ内にある変数だけを対象にしてＱＵＢＯモデルを作成し、当該ＱＵＢＯモデルに基づいて最適化計算を実行する。最適化計算により求められた近似解は、最良解２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納される（図２参照）。
【0088】
最適化問題において最小化すべき目的関数は、前述の式（２）により規定されており、この式には全てのグループに属する全ての変数が含まれている。従って、ステップＳ８において、最適化計算を実行する際には、目的関数式に現れる行列Ａの要素を間引いて、最適化計算対象である変数に対応した要素のみを残す必要がある。
【0089】
図１２は、行列の要素数を削減する処理を示す図である。図１２において、最適化問題を規定するｎ個の変数ｘ１乃至ｘｎを要素とするベクトル７１が与えられるとき、目的関数を規定する行列７３はｎ×ｎ個の要素ａｉｊ（ｉ＝１～ｎ，ｊ＝１～ｎ）を有する。前述のように、複数個のグループのうちの一部のグループを選択することにより、更には選択後の変数を間引くことにより、ベクトル７１から一部の要素のみを含むベクトル７２が作成される。
【0090】
即ち、最適化計算部２４が実行する最適化計算の対象となる変数は、ベクトル７２の要素である３個の変数ｘ１、ｘ４、ｘｎである。この場合、目的関数を規定する行列７４は、これら３個の変数に対応して、ａ１１、ａ１４、ａ１ｎ、ａ４１、ａ４４、ａ４ｎ、ａｎ１、ａｎ４、ａｎｎの９個の要素を含む行列となる。このように、最適化計算部２４は、最適化計算対象である変数に応じて行列Ａの要素を間引く処理を実行し、最適化計算に用いる適切な目的関数を作成した上で、イジングマシンによる最適化計算を実行する。
【0091】
図６に戻り、ステップＳ９において、変数選択部２５は、Ｇ＿Ｌｉｓｔから削除した変数グループの全変数を対象に、最適解で値が1にならない変数を導出解（最良解２０Ｃ）に基づいて推定して取り除き、解候補となる変数を最大（Ｎ－Ｎｔａｒｇｅｔ）個残す。即ち変数選択部２５は、最適化計算により求められた近似解に含まれる変数から除外対象となる変数を選択するのではなく、当該近似解に含まれる変数が属していたグループに属する全変数から除外対象となる変数を選択する。
【0092】
【0093】
最適化問題に対して単純な定式化を行った場合、一般的に、変数の添字に番号を割り当てる順番は単純な走査順となる。例えば、図１３において走査順割り当て８１の矢印に示されるように、まず表３０の１行目において、「作業Ａ１」の「設備１」乃至「設備４」の４列に対応する４個の変数について、添字番号１乃至４をそれぞれ割り当てることになる。また更に表３０の２行目において、「作業Ａ１」の「設備１」乃至「設備４」の４列に対応する４個の変数について、添字番号５乃至８をそれぞれ割り当てることになる。残りの３行目から１９行目までも同様にすることにより、表３０における作業Ａ１に対応するグループに属する１９行×４列の７６個のセルに、連続する添字を有する変数ｘ１乃至ｘ７６を割り当てることになる。
【0094】
このようにして添字番号が割り当てられた場合、互いに比較的近い距離にある複数個のセルからなるセル群８２は、連続した互いに近い添字番号が割り当てられていると共に、それらに対応する変数は、互いに比較的近い条件を示す変数である。
【0095】
求められた近似解で値が１である変数の周囲に存在する添字番号距離が比較的近い変数は、１である変数と比較的近い条件に対応しているので、最適解でも値が１である可能性が十分にあると推定され、当該変数は残すべきであることが分かる。一方、近似解で値が１である変数から添字番号距離が十分に遠い変数は、１である変数と大きく異なる条件に対応しているので、最適解で値が１にならないであろうと推定され、当該変数は除去してよいことが分かる。
【0096】
従って、図１３に示される例のように、「作業Ａ１」の「設備４」における時間帯「１３：００」での変数値が近似解で１になっている場合、その周囲のセル群８２に対応する変数については、最適解で１になる可能性があると判断して残してよい。更に、セル群８２の外部に存在するセルに対応する変数については、最適解で１にならないであろうと推定して、最適化計算対象から除外してよい。
【0097】
【0098】
ステップＳ３１において、変数選択部２５は、初期化作業として、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄにゼロを設定するとともに、結果リストｒｅｓｕｌｔに空の配列を格納する。
【0099】
ステップＳ３２において、変数選択部２５は、着目グループにおいて近似解で変数値が１である変数ｘｊの添字ｊに対して、絶対値での距離｜ｉ－ｊ｜が閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄより大きい全ての添字ｉの値をＳＧに格納する。変数選択部２５は更に、各グループに対して計算されたＳＧをＳＧ＿Ｌｉｓｔに格納する。
【0100】
ステップＳ３３において、変数選択部２５は、全ての添字を要素とする添字集合ＳａｌｌからＳＧ＿Ｌｉｓｔ内のＳＧに含まれる要素を取り除くことにより残った添字を、ｃａｎｄｉｄａｅ＿Ｌｉｓｔに格納する。これにより、近似解で値が１になった変数の添字の値とは大きく異なる値を有する添字が除外され、それ以外の添字が残される。
【0101】
ステップＳ３４において、変数選択部２５は、ｃａｎｄｉｄａｅ＿Ｌｉｓｔに格納されている要素数がＮ－Ｎｔａｒｇｅｔよりも大きいか否かを判断する。ここでＮは入力可能サイズであり、Ｎｔａｒｇｅｔは次の非選択グループに属する変数の数である。即ち、入力可能サイズから次の非選択グループに属する変数の数を引いた数よりも、次回の最適化計算に残される変数候補数が大きいか否か、即ち、次の非選択グループに属する全ての変数を次回の最適化計算に含めることが不可能であるか否かを判断する。上記判断結果がＮＯの場合、処理はステップＳ３５に進む。上記判断結果がＹＥＳの場合、処理は終了する。
【0102】
ステップＳ３５において、変数選択部２５は、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを１増加し、ＳＧ＿Ｌｉｓｔの内容を結果リストｒｅｓｕｌｔに格納する。その後処理はステップＳ３２に戻り、以降の処理を繰り返す。
【0103】
以上のようにして、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを徐々に増やしながら、残される変数候補数を徐々に増やしていくことにより、次の非選択グループに属する全ての変数を次回の最適化計算に含めることができるような、最大限の数に変数候補数を設定できる。
【0104】
上記説明した処理においては、選択グループの各々において、近似解で値が１となる変数の添字の値が第１の添字値であり着目変数の添字の値が第２の添字値である場合に、第１の添字値と第２の添字値との差が所望の閾値よりも大きければ着目変数を除外する。このようにして除外変数を選択することにより、単純な計算により、各グループについて最適解に貢献しない変数を高い信頼性をもって削除することが可能となる。また更に、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを徐々に増やしながら、残される変数候補数を徐々に増やしていくことにより、最適化計算に無駄な余裕を持たせることなく、効率的な最適化計算を実現することができる。
【0105】
図１５は、最適解で値が１にならない変数を推定する処理の別の一例を説明する図である。図１５には、図３に示される表３０のうちで作業Ａ１及び作業Ａ２に関する部分が示されている。この例において、作業Ａ１及び作業Ａ２には作業順序に関する制約があり、作業Ａ１を完了した後にのみ作業Ａ２を開始することができるとする。
【0106】
図１５に示される例の場合、最適化計算により求めた近似解において、表３０に点線枠で示されるように、「作業Ａ２」の「設備３」の時間帯１１：００において変数値１であり、当該作業が時間帯１１：００から開始されることになっているとする。この場合、作業Ａ１に属する変数を１つずつ着目変数として選択し、当該着目変数と上記の作業Ａ２における値１である変数との積に係る係数値を考える。この係数値が大きい場合、着目変数の値が０から１に変化することにより、目的関数値が大きく増加することになる。このように着目変数の値が０から１に変化することにより目的関数値が大きく増加するのであれば、当該着目変数は最適解で１にならないであろうと推定することは合理的である。
【0107】
従って、図１５に示される例のように、もう一つの点線枠で示される「作業Ａ１」の「設備３」における時間帯「１２：３０」での変数に着目した場合、当該着目変数と作業Ａ２における値１である変数との積に係る係数値が大きければ、当該着目変数を除外してよい。また作業Ａ１に属する他の変数についても、同様の考え方により、係数値に応じて除外するか否かを判断してよい。
【0108】
【0109】
ステップＳ４１において、変数選択部２５は、初期化作業として、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄにゼロを設定するとともに、結果リストｒｅｓｕｌｔに空の配列を格納する。
【0110】
ステップＳ４２において、変数選択部２５は、着目グループに属する変数ｘｉと他の任意のグループにおいて近似解で変数値が１である変数ｘｊとの積に係る係数ａｉｊの大きさが、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄより大きいような、全ての添字ｉの値をＳＧに格納する。変数選択部２５は更に、各グループに対して計算されたＳＧをＳＧ＿Ｌｉｓｔに格納する。
【0111】
ステップＳ４３において、変数選択部２５は、全ての添字を要素とする添字集合ＳａｌｌからＳＧ＿Ｌｉｓｔ内のＳＧに含まれる要素を取り除くことにより残った添字を、ｃａｎｄｉｄａｅ＿Ｌｉｓｔに格納する。これにより、近似解で値が１になった変数の添字の値とは大きく異なる値を有する添字が除外され、それ以外の添字が残される。
【0112】
ステップＳ４４において、変数選択部２５は、ｃａｎｄｉｄａｅ＿Ｌｉｓｔに格納されている要素数がＮ－Ｎｔａｒｇｅｔよりも大きいか否かを判断する。ここでＮは入力可能サイズであり、Ｎｔａｒｇｅｔは次の非選択グループに属する変数の数である。即ち、入力可能サイズから次の非選択グループに属する変数の数を引いた数よりも、次回の最適化計算に残される変数候補数が大きいか否か、即ち、次の非選択グループに属する全ての変数を次回の最適化計算に含めることが不可能であるか否かを判断する。上記判断結果がＮＯの場合、処理はステップＳ３５に進む。上記判断結果がＹＥＳの場合、処理は終了する。
【0113】
ステップＳ４５において、変数選択部２５は、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを１増加し、ＳＧ＿Ｌｉｓｔの内容を結果リストｒｅｓｕｌｔに格納する。その後処理はステップＳ３２に戻り、以降の処理を繰り返す。
【0114】
以上のようにして、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを徐々に増やしながら、残される変数候補数を徐々に増やしていくことにより、次の非選択グループに属する全ての変数を次回の最適化計算に含めることができるような、最大限の数に変数候補数を設定できる。
【0115】
上記説明した処理においては、１つのグループにおいて近似解で値が１となる変数と別の１つのグループにおける１つの着目変数との積に、最適化計算で用いる目的関数式において係っている係数の値が、所望の閾値よりも大きければ着目変数を除外することになる。このようにして除外変数を選択することにより、単純な計算により、各グループについて最適解に貢献しない変数を高い信頼性をもって削除することが可能となる。また更に、閾値ｔｈｒｅｓｈｏｌｄを徐々に増やしながら、残される変数候補数を徐々に増やしていくことにより、最適化計算に無駄な余裕を持たせることなく、効率的な最適化計算を実現することができる。
【0116】
なお図１４及び図１６に示す変数除外処理を計算する２つの方法は互いに独立であり、変数選択部２５は、予め決められた何れか１つの方法を用いることにより、解候補変数として残す変数を決定してよい。或いは変数選択部２５は、これら２つの方法を組み合わせ、ステップＳ３２及びＳ４２に示される少なくとも一方の基準により除去すると判断された変数を除去することにより、解候補変数として残す変数を決定してもよい。
【0117】
図６のフローチャートに再び戻り、ステップＳ１０において、グループ抽出部２３は、抽出した解候補変数でＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔを上書きすると共に、抽出した解候補変数の数をデータ量変数ｎに設定する。その後処理はステップＳ３に戻り、Ｇ＿Ｌｉｓｔが空であるか否かに応じて、ステップＳ４以降の上述の処理を繰り返すか或いはステップＳ１１に進む。
【0118】
ステップＳ３において、Ｇ＿Ｌｉｓｔが空であると判断された場合、即ち、最適化問題の定式化に現れる全てのグループについて近似解に基づく変数除去処理が行われた場合、処理はステップＳ１１に進む。
【0119】
ステップＳ１１において、最適化計算部２４は、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔ内にある変数だけを対象にＱＵＢＯモデルを作成し、イジングマシンで最適化を行う。この時点でＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに格納されている変数は、ステップＳ８で最後に実行した最適化計算により得られた近似解に基づいて間引きした後の変数である。従って、この時点でＴａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに残されている変数は新たな組み合わせの変数であり、この組み合わせの変数に対しては未だ最適化計算は実行されていない。そこでこのステップＳ１１において、最適化計算部２４が、Ｔａｒｇｅｔ＿Ｌｉｓｔに格納されている変数を対象に最適化計算を実行する。
【0120】
ステップＳ１２において、変数選択部２５は、全グループの全変数を対象に、最適解で値が1にならない変数を導出解から推定して取り除き、解候補となる変数を最大Ｎ個抽出する。即ち、変数選択部２５は、ステップＳ１１において得られた近似解に基づいて、前述の図１４又は図１６に示す変数除外処理等を適用することにより全グループの全変数のうち最適解で１にならないであろう変数を推定する。当該推定結果に応じて、変数選択部２５は、当該１にならないであろう変数を除外することにより、最大Ｎ個（入力可能サイズに等しい数）の変数を残す。
【0121】
ステップＳ１３において、処理終了判定部２７は、正の大きな値を変数Ｂｅｓｔに格納する。なおこの処理は、制御手順がステップＳ１３に最初に到達したときにのみ実行する初期値設定処理である。
【0122】
ステップＳ１４において、最適化計算部２４は、ステップＳ１２において求められた解候補を対象にイジングマシンで最適化を行う。即ち最適化計算部２４は、ステップＳ１２において求められた変数除外後の最大Ｎ個の変数を対象として、最適化計算を実行し近似解を求める。
【0123】
ステップＳ１５において、最適化計算部２４は、最適化結果のエネルギー値（即ち目的関数の値）をＥｎｅｒｇｙに格納する。ステップＳ１６において、処理終了判定部２７は、ＥｎｅｒｇｙがＢｅｓｔよりも小さいか否かを判定する。ＥｎｅｒｇｙがＢｅｓｔよりも小さい場合（ＹＥＳ）に処理はステップＳ１７に進み、ＥｎｅｒｇｙがＢｅｓｔ以上である場合（ＮＯ）に処理はステップＳ１８に進む。
【0124】
ステップＳ１６において、処理終了判定部２７がＥｎｅｒｇｙの値によりＢｅｓｔの値を更新すると共に、最適化計算部２４が最適化結果の変数値をＢｅｓｔ＿Ｓｔａｔｅに格納する。最適化結果の変数値をＢｅｓｔ＿Ｓｔａｔｅに格納する処理は、図２に示される構成に対応付けると、最適化計算部２４が最適化計算により得られた近似解の変数値を最良解２０Ｃとしてデータ格納部２０に格納することに相当する。
【0125】
その後処理はステップＳ１２に戻り、以降の処理を繰り返す。これにより、最適化計算を繰り返す過程において、毎回変数を選択し直し、選択し直した変数を対象として最適化計算を行い、最適化計算により得られた目的関数値が前回の最適化計算により得られた目的関数値よりも小さくなる限りは、最適化計算を繰り返す。
【0126】
目的関数値が小さくならなくなり処理がステップ１８に進むと、データ出力部２８が、最適化計算により得られた最良解であるＢｅｓｔ＿Ｓｔａｔｅと、当該最良解に対する目的関数値Ｂｅｓｔとを出力する。
【0127】
以上、本発明を実施例に基づいて説明したが、本発明は上記実施例に限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載の範囲内で様々な変形が可能である。
【符号の説明】
【0128】
１１ ＣＰＵ
１２ 表示部
１３ 入力部
１４ ＲＯＭ
１５ ＲＡＭ
１６ ＨＤＤ
１７ ネットワークインターフェース
１８ 可搬型記憶媒体用ドライブ
１９ メタヒューリスティック計算部
２０ データ格納部
２１ データ取得部
２２ 違反発生度計算部
２３ グループ抽出部
２４ 最適化計算部
２５ 変数選択部
２６ 変数固定部
２７ 処理終了判定部
２８ データ出力部
１２ 表示部
１３ 入力部
１４ ＲＯＭ
１５ ＲＡＭ
１６ ＨＤＤ
１７ ネットワークインターフェース
１８ 可搬型記憶媒体用ドライブ
１９ メタヒューリスティック計算部
２０ データ格納部
２１ データ取得部
２２ 違反発生度計算部
２３ グループ抽出部
２４ 最適化計算部
２５ 変数選択部
２６ 変数固定部
２７ 処理終了判定部
２８ データ出力部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】