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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-09-13
(45)【発行日】2024-09-25
(54)【発明の名称】非レシプロカル・バンド・パス・フィルタ
(51)【国際特許分類】
H03H 7/52 20060101AFI20240917BHJP
H03H 11/04 20060101ALI20240917BHJP
H01P 1/20 20060101ALI20240917BHJP
【ＦＩ】
H03H7/52
H03H11/04 Z
H01P1/20 Z
【請求項の数】
20
(21)【出願番号】P 2021572539
(86)(22)【出願日】2020-05-05
(65)【公表番号】
(43)【公表日】2022-08-15
(86)【国際出願番号】 US2020031460
(87)【国際公開番号】W WO2020247132
(87)【国際公開日】2020-12-10
【審査請求日】2023-04-12
(31)【優先権主張番号】16/434,596
(32)【優先日】2019-06-07
(33)【優先権主張国・地域又は機関】US
(73)【特許権者】
【識別番号】520128820
【氏名又は名称】ノースロップ グラマン システムズ コーポレーション
(74)【代理人】
【識別番号】100118902
【弁理士】
【氏名又は名称】山本 修
(74)【代理人】
【識別番号】100106208
【弁理士】
【氏名又は名称】宮前 徹
(74)【代理人】
【識別番号】100196508
【弁理士】
【氏名又は名称】松尾 淳一
(74)【代理人】
【識別番号】100173565
【弁理士】
【氏名又は名称】末松 亮太
(74)【代理人】
【識別番号】100195408
【弁理士】
【氏名又は名称】武藤 陽子
(72)【発明者】
【氏名】ディマジオ，ドナルド
(72)【発明者】
【氏名】ラルーシュ，ステファン
(72)【発明者】
【氏名】ラディシク，ベスナ
【審査官】福田 正悟
(56)【参考文献】
【文献】米国特許出願公開第２０１５／００３０２８０（ＵＳ，Ａ１）
【文献】米国特許出願公開第２０１６／００８７８２３（ＵＳ，Ａ１）
【文献】米国特許出願公開第２０１６／０１５６３２７（ＵＳ，Ａ１）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｈ０３Ｈ ７／５２
Ｈ０３Ｈ １１／０４
Ｈ０１Ｐ １／２０
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
非レシプロカル・バンド・パス・フィルタであって、各ユニット・セルが所定の長さを有し且つインダクタおよびバラクタを含むものである、複数の繰り返す有限サイズのユニット・セルを含む伝送ラインと、
前記伝送ラインを伝播する伝送信号を提供する信号源と、
前記バラクタを変調する変調信号を提供する変調源であって、前記ユニット・セルの前記所定の長さと前記変調信号の波長との比は、前記伝送信号が、制御されたパス・バンドで一方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを許容するが、前記伝送信号が、前記制御されたパス・バンドで逆方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを妨げる伝播モードを提供するように、選択され、前記ユニット・セルの前記所定の長さは、前記変調信号の変調周期よりも小さい、変調源と
を含むフィルタ。
【請求項2】
請求項１のフィルタであって、前記伝送ラインはダブル・バンド・ギャップを有する分散曲線を有するように構成され、一方のバンド・ギャップは、前記ユニット・セルの前記所定の長さと前記変調信号の波長との比に依存する、フィルタ。
【請求項3】
請求項１のフィルタであって、前記伝送ラインは、時間的に静的であるが空間的に変調される伝送ラインである、フィルタ。
【請求項4】
請求項１のフィルタであって、前記変調信号は前記バラクタのキャパシタンスを制御する、フィルタ。
【請求項5】
請求項１のフィルタであって、前記インダクタは一定値インダクタである、フィルタ。
【請求項6】
請求項１のフィルタであって、前記変調源は、前記伝送信号と同じ方向に前記変調信号を伝播させる、フィルタ。
【請求項7】
請求項１のフィルタであって、前記変調源は、前記伝送信号と逆の方向に前記変調信号を伝播させる、フィルタ。
【請求項8】
請求項１から７のいずれか一項に記載のフィルタを備えるアイソレータ。
【請求項9】
非レシプロカル・バンド・パス・フィルタであって、各ユニット・セルが所定の長さを有し且つ一定値インダクタおよびバラクタを含むものである、複数の繰り返す有限サイズのユニット・セルと、時間的に静的であるが空間的に変調された伝送ラインと、
前記伝送ラインを伝播する伝送信号を提供する信号源と、
前記バラクタのキャパシタンスを制御することにより前記バラクタを変調する変調信号を提供する変調源であって、前記ユニット・セルの前記所定の長さと前記変調信号の波長との比は、前記伝送信号が、制御されたパス・バンドで一方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを許容するが、前記伝送信号が、前記制御されたパス・バンドで逆方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを妨げる伝播モードを提供するように、選択され、前記ユニット・セルの前記所定の長さは、前記変調信号の変調周期よりも小さい、変調源と
を含み、
前記伝送ラインはダブル・バンド・ギャップを有する分散曲線を有するように構成され、一方のバンド・ギャップは、前記ユニット・セルの前記所定の長さと前記変調信号の波長との比に依存する、フィルタ。
【請求項10】
請求項９のフィルタであって、前記変調源は、前記伝送信号と同じ方向に前記変調信号を伝播させる、フィルタ。
【請求項11】
請求項９のフィルタであって、前記変調源は、前記伝送信号と逆の方向に前記変調信号を伝播させる、フィルタ。
【請求項12】
請求項９から請求項１１のいずれか一項に記載のフィルタを備えるアイソレータ。
【請求項13】
各ユニット・セルが所定の長さを有し且つインダクタおよびバラクタを含むものである、複数の繰り返す有限サイズのユニット・セルを含む伝送ラインに沿って、伝送信号が、制御されたパス・バンドで一方向に伝播することを許容するが、前記伝送ラインに沿って、前記伝送信号が、前記制御されたパス・バンドで逆方向に伝播することを妨げるための方法であって、前記伝送信号が、制御されたパス・バンドで一方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを許容するが、前記伝送信号が、前記制御されたパス・バンドで逆方向に前記伝送ラインに沿って伝播することを妨げる伝播モードを提供するように、前記ユニット・セルの前記所定の長さと変調信号の波長との比を選択することを含み、前記ユニット・セルの前記所定の長さは、前記変調信号の変調周期よりも小さい、方法。
【請求項14】
請求項１３の方法であって、前記伝送ラインはダブル・バンド・ギャップを有する分散曲線を有するように構成され、一方のバンド・ギャップは、前記ユニット・セルの前記所定の長さと前記変調信号の波長との比に依存する、方法。
【請求項15】
請求項１３の方法であって、前記伝送ラインは、時間的に静的であり空間的に変調される伝送ラインである、方法。
【請求項16】
請求項１３の方法であって、前記変調信号は前記バラクタのキャパシタンスを制御する、方法。
【請求項17】
請求項１３の方法であって、前記インダクタは一定値インダクタである、方法。
【請求項18】
請求項１３の方法であって、前記伝送ラインは非レシプロカル・バンド・パス・フィルタの一部である、方法。
【請求項19】
請求項１３の方法であって、前記伝送信号と前記変調信号とは同じ方向に前記伝送信号に沿って伝播する、方法。
【請求項20】
請求項１３の方法であって、記伝伝送信号と前記変調信号とは逆の方向に前記伝送信号に沿って伝播する、方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
[0001] 本発明は、一般に、有限のユニット・セルを含む非レシプロカル・バンド・パス・フィルタと関連し、より具体的には、複数の繰り返す有限のユニット・セルを有する伝送ラインを含む非レシプロカル・バンド・パス・フィルタであって、伝送信号が一方向に伝送ラインに沿ってパス・バンド内を伝播することを可能にし且つそのバンド内の伝送信号が反対方向に伝送ラインに沿って伝播することを妨げるようにする伝播モードを提供するように、ユニット・セルの長さと変調信号の波長との比が選択される、非レシプロカル・バンド・パス・フィルタと関連する。
【背景技術】
【0002】
[0002] 一方向にＲＦまたは電磁エネルギが流れることのみを可能とするように、即ち、非レシプロカルであるように、レーダ・システム、アイソレータ、サーキュレータなどのような特定の回路および装置を設計することが望まれることが多々ある。また、通常、これらのタイプの回路は、コンパクトに、また、チップ上の集積回路として構成されることが望ましい。例えば、特定の周波数の電磁信号を送ることを可能とするが、その周波数の電磁信号を受け取らないようにする、即ち、レシプロシティを破る（break）回路を提供する必要があることが多い。
【0003】
[0003] 伝統的に、これらのタイプの回路および装置は、ＲＦエネルギの流れを制御するために空間対称性を破るために、バルク磁性材料に依存している。現代のレーダ・システムおよび通信システムは、オンチップの高速および高パワーの回路を必要とする集積型フロントエンド受信機（integrated front-end receivers）に依存している。フェライトなどのようなバルク磁性材料は、このスケールの集積に適するようにできない。このレベルのコンパクトな集積を達成するためには、レシプロシティを破るための非磁性の代替物が必要である。同様に、バルク結晶を用いるファラデー回転を通じて光学的分離が達成されているが、これは、フォトニック・システムの集積には都合が悪い。ＲＦおよびフォトニック・システムの集積に関する可能性を持つ、広帯域かつ低損失の非磁性アイソレータに関するコンセプトの進展における劇的な成長が、最近見られた。
【0004】
[0004] 電磁エネルギの優先的な又は一方向の流れを可能とする簡単な方法は、提案されたアイソレータ材料を、それに優先的方向を与えるために「バイアス」することである。これを行う１つの方法は、非線形材料または伝送ライン構造を通して変調波を伝播させて、変調波と制御される信号波との間でエネルギが結合されるようにする。信号波の伝送特性は、変調波の方向に対しての、その流れの方向に依存する。これは、川の水の流れを制御するためにパドル・ホイールを用いるというコンセプトと類似している。信号波としての水が、変調波としての動くパドルの方向に流れると、その水は通過するが、水の方向が逆になると、パドルの動きとは逆に流れてブロックされる。この類推は、水の速度に対して、パドルの速度、即ち、変調波の位相速度を変化させることにより、拡張することができる。水がパドルを伴って流れる場合、幾らかの水は跳ね返されるが、伴うのは幾分低いエネルギであり、これはダウンコンバージョンであり、それに対して、パドルに対して逆に流れる水に関しては、その水は高いエネルギでブロックされて跳ね返され、これはアップコンバージョンである。水の流れへの正味の影響はまた、パドルの速度が水の速度より速いか遅いかに依存する。
【0005】
[0005] 周期的空間時間変調媒体（periodic space-time modulated medium）の影響の基礎は良く知られており、伝送ライン理論と、空間時間変調は磁石無しのレシプロシティの破壊および信号の分離へと導くことができるという認識とを用いる空間時間変調連続媒体（space-time modulated continuous media）を含む。弱い空間時間変調がなされた媒体においてその非レシプロシティを認識するには、十分な精度で波の伝播を形作るために、僅かな変調高調波のみを必要とし、比較的高速の変調、即ち、信号より高い変調周波数のためのシステムを予想するために３波法（three-wave method）が提案されている。これは、非分散連続右手型媒体（nondispersive continuous right-handed media）に関してのみ達成された。短経路にわたって逆方向の波を効率的にブロックし、且つ順方向の伝送を向上させるために、空間時間変調媒体の能力を制御し且つ可能性としては向上させるために、分散エンジニアリング（dispersion engineering）を使用できることが、認識されている。このコンテキストでは、分散エンジニアリングは、有限のユニット・セルの寸法を考慮した、左手または負の指数の特性（left-handed or negative index characteristic）および／またはより複雑な等価の回路構造の組み入れのことであり得る。
【図面の簡単な説明】
【0006】
【図2】図２は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトル（real wave vector）とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインに関しての、波ベクトルの実数部分と、波周波数との間の分散関係のグレイ・スケール・プロットを示し、セルの長さは、１次ハーモニック近似（first order harmonic approximation）を用いる空間変調周期と比べて小さい。
【図3】図３は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインに関しての、波ベクトルの実数部分と、波周波数との間の分散関係のグレイ・スケール・プロットを示し、セルの長さは、２次ハーモニック近似（second order harmonic approximation）を用いる空間変調周期と比べて小さい。
【図4】図４は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、１次元ハーモニック近似を用いる実数波ベクトルの固定部分を有する、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの虚数部分の分散のグレイ・スケール・プロットを示す。
【図5】図５は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、第１バンド・ギャップで実数波ベクトルの固定部分を有し且つ２次元ハーモニック近似を用いる、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの虚数部分の分散のグレイ・スケール・プロットを示す。
【図6】図６は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、第１バンド・ギャップで実数波ベクトルの固定部分を有し、２次元ハーモニック近似を用いる、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの虚数部分の分散のグレイ・スケール・プロットを示す。
【図7】図７は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、上側周波数カットオフを有する、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの実数部分についての分散曲線を示す。
【図8】図８は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、固定の実数波ベクトルにおいて上側ギャップ虚数波ベクトルを有する、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの固定の実数部分についての分散曲線を示す。
【図9】図９は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、固定の実数波ベクトルにおいて下側ギャップ虚数波ベクトルを有する、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの実数部分についての分散曲線を示す。
【図12】図１２は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインに関しての、波ベクトルの分散曲線を示す。
【図13】図１３は、横軸を波ベクトルのノーマライズされた虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインに関しての分散曲線を示す。
【図14】図１４は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインに関しての分散曲線に関しての数値計算されたバンド構造を示す。
【図15】図１５は、横軸を波ベクトルの虚数成分とし、縦軸をノーマライズされた周波数としたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルの固定の実数部分に関しての、分散曲線バンド・ギャップを示す。
【図16】図１６は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をフロケ展開（Floquet expansion）係数の絶対値としたグラフであり、ハーモニックが＋１のときの、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、順方向に動く信号波に関する。
【図17】図１７は、横軸をノーマライズされた実数波ベクトルとし、縦軸をフロケ展開係数の絶対値としたグラフであり、ハーモニックが－１のときの、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、順方向に動く信号波に関する。
【発明を実施するための形態】
【0007】
[0025] 有限サイズのユニット・セルを含む非レシプロカル・バンド・パス・フィルタに関する発明の実施形態の下記の検討は、本質的に単なる例示であり、本発明やその応用や使用を限定することは全く意図されていない。
【0008】
[0026] 図１は、複数の有限ユニット・セル１４を含む右手型１次元非レシプロカル伝送ライン構造１２を含む非レシプロカル・バンド・パス・フィルタ１０の概略的な図であり、ここでは、複数の有限ユニット・セル１４は３つであり、それぞれ、セル長ａと、独立的に変調されるキャパシタンスＣｎ、例えば、バラクタと、一定インダクタンスＬとを含む。実際には、伝送ライン構造１２は、多くのセル１４を含み、数学的には無限の長さと考えることができる。フィルタ１０は、更に、フィルタリングされて伝送ライン構造１２を左から右へ伝播する伝送信号を提供する伝送信号源１６と、伝送信号を変調するためにキャパシタＣのキャパシタンスを制御する変調信号を提供する変調信号源１８とを含む。変調信号は、伝送信号と同じ方向に伝播するものとして示されているが、伝送信号と逆の方向へ伝播することもできる。下記は、バルク磁性材料を用いない非レシプロカル・バンド・パス・フィルタの開発へと導く、右手型の空間時間変調される伝送ライン構造に関しての、有限ユニット・セル長ａを持つ現実的な等価回路のモデリングに関する検討である。
【0009】
[0027] 波動解（wave solution）のブロッホ－フロケ展開（Bloch-Floquet expansion）は、伝送ライン構造１２を分析するために、時間と空間との双方に周期性を含むように、周期的ポテンシャルにおいて用いることができる。フロケ理論では、周期的ポテンシャルにより変調される無限媒体における波動方程式の一般解は、平面波と、同じ変調の周期性を持つ関数との積として書くことができる、と述べている。この場合、構造１２の周期性は、空間と時間との双方の変調を含むように一般化できる。解の一般化した形は下記により与えられる。
【0010】
【数1】
【0011】
ここで、ｗは、実数値を有する正の周波数であり、ｋは、複素数波ベクトルであり、Ｆ（ｚ，ｔ）は、変調と同じ空間および時間の周期性を持つ関数であり、級数展開として表すことができる。
【0012】
【数2】
【0013】
ここで、ｓは、ハーモニック整数であり、ポテンシャルの時間および空間の周期性は、変調信号周波数ｗｍの値と、複素数変調信号波ベクトルｋｍの値とにより与えられ、関数Ｆの展開における各項は、時間および空間におけるハーモニックである。
【0014】
[0028] キルヒホフの法則を用いて、構造１２の電流Ｉｎと電圧Ｖ（ｎ，ｔ）との間の関係を導き出すことができ、セル位置ｎと時間ｔとの関数として電圧Ｖ（ｎ，ｔ）に関して波動方程式を表すことにより、下記のものが得られる。
【0015】
【数3】
【0016】
[0029] 式（３）において、ポテンシャルの分布は、時間空間可変キャパシタＣ（ｎ，ｔ）により表される。既知の技術でなされたように、キャパシタＣの周期的変調は簡単な式により与えられる。
【0017】
【数4】
【0018】
ここで、Ｃ０は、一定バックグラウンド・キャパシタンスであり、Ｃｍは、キャパシタンス変調であり、積ｎａは、１次元伝送ライン構造１２に沿ったユニット・セル１４の位置ｚと等しい。展開したフロケ解における共通の項を等しくすると、フロケ展開係数（Floquet expansion coefficient）Ｖｓの中での後続の帰納法的関係が下記のように与えられる。
【0019】
【数5】
【数6】
【0020】
ここで、変調ファクタはＭ＝Ｃｍ／Ｃ０であり、Ｄｓは、セル長ａの有限ユニット・セル長を持つ右手型伝送ラインに関しての一般化した帰納項（generalized recursion term）である。これは結果として、以前に研究された連続（ａ＝０）変調される伝送ラインにおいて存在しない自然な分散となり、ここでまた、上側カットオフ周波数を課す。ユニット・セル長ａが小さい値の場合、式（６）は、時間空間変調される連続的右手型伝送ラインに関して以前に導き出した式へと縮小する。
【0021】
[0030] 式（５）および（６）を用いて、連続的端数関係（continuous fraction relation）を下記のように導き出すことができる。
【0022】
【数7】
【0023】
[0031] ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）に関して式（７）を解くと、周波数ｗと、選択された中央ハーモニックｓあたりに中心がある波ベクトルｋとの間の分散関係が得られる。式（７）は、伝統的に、０次ハーモニック（ｓ＝０）に設定され、従って、低次のハーモニック（例えば、ｓ＝－１およびｓ＝＋１）のみが、小から中の変調ファクタＭを想定した継続的端数において維持される。この近似は、連続的な空間時間変調される伝送ラインを形作るための既知の３波混合アプローチ（three-wave mixing approach）と等価である。
【0024】
[0032] 式（６）は、伝送ライン・コンポーネント・パラメータの特定の組に関しての曲線を計算するために使用できる一組の一般的分散曲線を導き出すために、純粋に無次元の形にすることができる。無次元（ノーマライズした）変数は下記のように定義できる。
【0025】
【数8】
【0026】
[0033] 式（６）は、下記のものへと変換できる。
【0027】
【数9】
【0028】
ここで、ｐ＝ｋｍａ／２π、ｒ＝ｖｍ／ｖ０、ｖｍ＝ｗｍ／ｋｍ、およびｖ０＝ａ／（ＬＣ０）１／２であり、ｖ０は、空間時間ポンプ変調が無くユニット・セル長ａと比較して信号波長が大きい場合の伝送信号の位相速度を表し、ｖｍは、空間時間変調波の等価の位相速度であり、ｒファクタは、これら２つの速度の比である。
【0029】
[0034] 新たに導入されたパラメータｐは、空間変調波長に対しての伝送ラインのユニット・セル長ａの比と等しい。換言すると、パラメータｐは、ユニット・セル長ａと変調信号の波長λとの間の比である。ｐファクタは、システム全体の分散にわたっての追加の制御をもたらし、結果として、ストップ・バンド内の周波数を持つ波に対しての減衰における増進とマルチギャップ分散との双方が得られる。
【0030】
[0035] 分散関係をグラフィック的に解くために、式（７）を、式（９）により与えられる帰納項Ｄｓの無次元の形を用いて作り直すことができ、次に、ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）ｋの絶対値（ＡＢＳ）のｌｏｇを、波ベクトルｋｍ値および周波数ｗｍ値の選択された範囲に関しての（ｋ，ｗ）ペアのグリッドについて、プロットすることができる。周波数ｗｍ値は、正の実数と定義されるが、一般に、ｋＮ波ベクトル値は複素数である。そのため、（ｋＮ，ｗＮ）グリッドは、波ベクトルｋＮの実数部分と虚数部分とに関して分離してプロットされる。伝送ライン構造１２はロスレスなので、波ベクトルｋＮの虚数部分がゼロである波ベクトルｋＮの実数部分の様々な値についての伝播する波の解が、最初に見つかる。同様に、減衰する波の解も得られ、この場合、波ベクトルｋＮは実数（固定）および虚数の成分を有する。これでｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）の値のプロットの有用性が明らかになったが、この場合、ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）の２Ｄのカラーまたはグレイ・スケールのプロットは、最小を表示し、従って、ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）＝０という分散解（dispersion solution）となる。
【0031】
[0036] 図２および図３は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗｍとしたグラフであり、空間変調周期と比べて小さいユニット・セル長を有し、時間的に静的であるが空間的に変調される伝送ラインでの、波ベクトルｋＮの実数部分の分散についてのグレイ・スケール・プロットを示す。特に、図２および図３は、式（７）を切り詰めるための帰納項Ｄｓにおける、図２に示す１次ハーモニック（ｓ＝－１，＋１）近似および図３に示す２次ハーモニック近似（ｓ＝－２，－１，＋１，＋２）を伴う、波ベクトルｋＮの実数部分および中心ハーモニックｓ＝０に関してのｌｏｇ ＡＢＳ［ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）］についての、グレイ・スケール・プロットを示す。この例では、ｒ＝０（ｗｍ＝０）と設定され、ａ＜＜空間変調周期（λｍ＝２π／ｋｍ）である。
【0032】
[0037] 図２および図３の明るい線は、ｌｏｇ ＡＢＳ［ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）］の最小値、従って、分散解またはブリルアン・ゾーンを表し、ここでは、－１と＋１とのハーモニック線が０次線と交差し、ゾーンの境界で予想どおりにバンド・ギャップが形成される（図２）。近似に２次、－２および＋２、のハーモニックが付加されると、ここで、２つの追加の分散線が、交差点での追加のバンド・ギャップを伴って、観察される（図３）。
【0033】
[0038] 時間変調は無しと仮定されているので（ｒ＝０またはｗｍ＝０）、分散は、変調信号ベクトルｋＮの符号に関してレシプロカルである。高次のハーモニックを付加することにより、追加の分散線およびバンド・ギャップが図２および図３の０次分散線の上に現れることになる。０次線の左および右への繰り返すブリルアン・ゾーン構造が無いのは、式（７）においてｓ＝０を選択するからである。ｓ＝－１または＋１が選択された場合、これは、図２および図３に示すパターンの原点を、左または右へと、横方向にずらすことになる。これらが高次の解の全てに含まれた場合、伝送ライン構造１２に関しての繰り返すブリルアン・ゾーン・スキームの全てを得ることができる。残りの検討における目的のためには、式（７）における原点を開始するｓ＝０にとどまることのみが必要である。
【0034】
[0039] この時間的に静的でありほぼ連続的な（ａ＜＜空間変調周期）伝送ライン構造１２の分析を完了するために、波ベクトルｋＮの固定の実数部分についてのｌｏｇ ＡＢＳ［ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）］のグレイ・スケール・プロットを、波ベクトルｋＮの虚数部分を変化させながら、得ることができる。波ベクトルｋＮの実数部分は、図２および図３に示すバンド・ギャップのところに固定され、波ベクトルｋＮの虚数部分を変化させて、特定の周波数ｗＮでの波の減衰の強度を決定する。
【0035】
[0040] 図４、図５、および図６は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、バンド・ギャップ内の周波数でのフロケ展開された波の解の成分の減衰の指数強度を表す、波ベクトルｋＮの固定の実数部分を有するｌｏｇ ＡＢＳ［ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）］のグレイ・スケール・プロットを示す、第１バンド・ギャップのところで波ベクトルｋＮの固定の実数部分を有する非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルｋＮの虚数部分の分散についてのグレイ・スケール・プロットを示す。波ベクトルｋＮの実数部分は、ＡＢＳ［ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）］を最小化するように調節され、次に、グレイ・スケール・プロットのためにその値に固定される。図４および図５に示すように、１次および２次の近似についての減衰（波ベクトルｋＮの虚数部分の最大値）は同じである。説明したように、この第１ギャップは、波ベクトルｋＮ＝πの実数部分のブリルアン境界（Brillouin boundary）で生じる。図５において高い周波数範囲で示す２次ギャップは、２次近似と相対して幾らか大きい変調ファクタＭが原因で、波ベクトルｋＮの少しだけ大きい実数部分で生じる。
【0036】
[0041] 図４、図５、および図６は、波ベクトルｋＮの虚数部分に関しての正と負との双方の値を示す。波ベクトルｋＮの固定の正の実数部分に関してのこの時間的に静的な例（外部エネルギ源が無い）における暴走解（runaway solutions）を避けるために、波ベクトルｋＮの虚数部分の正の値を得るようにし、また、波ベクトルｋＮの固定の負の実数部分については、波ベクトルｋＮの虚数部分の負の値を得るようにする。
【0037】
[0042] 上記で検討したように、連続的に空間的に変調される伝送ラインの分散と減衰との双方を説明するための、ｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）のプロットの有用性が確立された。時間的に静的な伝送ライン構造１２での分散への有限ユニット・セル長ａの影響を、考慮することができる。バラクタ・ベースの伝送ライン構造１２に関して、この推定は、バラクタを、λｍ＝２π／ｋｍの周期でユニット・セル１４間で周期的に変化する固定のキャパシタに置換しないかぎり、非物理的である。
【0038】
[0043] 図７、図８、および図９は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、Ｍ＝０．１、ｒ＝０、およびｐ＝０．２に関して有限ユニット・セル長を持つ、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、波ベクトルｋＮの実数部分についての分散曲線を示す。図７は、２つのバンド・ギャップについての、波ベクトルｋＮの虚数部分のプロットと共に、第１ハーモニック近似についての波ベクトルｋＮの実数部分の分散曲線を示す。後続することは、第２ハーモニック近似に関して基礎的に異ならない。殆どが有限ユニット・セル２ １４から生じる分散を強調するために、比較的弱い変調定数Ｍ＝０．１が選択された。分散は、－１と＋１とのハーモニックでの０次分散線の交差点で形成される２つのバンド・ギャップと共に、上側カットオフ周波数を示す。図７、図８、および図９における下側周波数ギャップは、図４でｋＮ＝πで見られるギャップと同じであるが、ここで、カットオフ周波数に起因して０次分散曲線上で曲がり交差する１次ハーモニックに起因して、第２ギャップが現れる。２つのギャップの相対的減衰強度は図８および図９で見ることができ、ギャップの幅および強度は、周波数ｗＮ＝９．５での「新たな」ギャップに関してはかなり大きい。
【0039】
[0044] 図９の下側ギャップは、ｋＮ＝πにとどまるが、図８の上側ギャップは、式（９）においてもたらされたｐファクタで、波ベクトルｋＮの実数部分のその位置を変える。ｐファクタを定義する別の方法は、空間変調波長（λｍ＝２π／ｋｍ）に対する有限ユニット・セル長ａの比である。上側および下側のギャップは、図１０および図１１に示すように、ｐ＝０．５と設定することにより、波ベクトルｋＮ＝πの実数部分で、一致するようにでき、ここで、図１０は、図７に示すグラフであるがｐファクタが０．５であり、図１１は、１つのギャップへと合体させた図８および図９に示すグラフである。ファクタＰ＞０．５の場合、上側ギャップは、波ベクトルｋＮ＝πの固定の実数部分のギャップより下に落ち、ここで下側ギャップとなる。留意すべき重要な点は、このダブル・バンド・ギャップ特徴は、変調ファクタＭの小から中の値の計算に２次ハーモニック項を含むとき、持続する、ということである。これは、典型的な伝送ライン構造１２の計算に関しては１次ハーモニック分析で十分であろうことを、意味する。
【0040】
[0045] 時間的に静的な周波数ｗｍ＝０の制限は、取り除かれ、有限ユニット・セル伝送ライン構造１２に置かれ、ｒファクタが非０にされることを可能とする。これは、変調波を注入することができ、その振幅は、周波数ｗｍおよび位相速度ｖｍ＝ｗｍ／ｋｍで、空間および時間においてバラクタのキャパシタンスを変化させるために、十分に強いことを、意味する。有限ユニット・セル長ａが無限に小さい場合、非レシプロカルの挙動を回復することができる。有限ユニット・セル長ａが許される場合、図７、図８、および図９に示されるダブル・バンド・ギャップ構造を回復することができるが、非レシプロカルの度合いはｒファクタの値に依存する。時間的に静的な場合と同様に、上側ギャップの波ベクトルｋＮの位置は、ｐファクタを調節することにより調節することができる。しかしながら、伝送ライン構造１２はここでは非レシプロカルなので、２つのバンド・ギャップの相対的な位置は伝送信号の伝播が＋ｋ方向か－ｋ方向かに応じて異なる。
【0041】
[0046] 特に興味深い例は、ａ＋ｋの伝播する信号に関して２バンド・ギャップが１つのギャップへと合体するように、ｐファクタが調節されるときのものである。図１２は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、時間的に静的であるが空間的に変調される伝送ラインについての、波ベクトルｋＮの虚数部分の分散プロットを示し、図１３は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、Ｍ＝０．２０、ｒ＝０．１０、およびｐ＝０．４４に関しての、非レシプロカルの有限ユニット・セルの伝送ラインでの、分散曲線についての計算されたバンド構造を示す。
【0042】
[0047] 非レシプロカル・バンドギャップ対称性は、ＭＡＴＬＡＢ（登録商標） ｆｓｏｌｖｅを用い、局所解にしたがって、複素数波ベクトルｋＮに関して式（７）においてｆｓ（ｋＮ，ｗＮ）＝０を数的に解くことにより、より良く示される。図１４は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインでの、－ｋおよび＋ｋの伝播モードに関しての分散曲線についての計算されたバンド構造を示し、非レシプロカル・バンドギャップを表示する。図１５は、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸を周波数ｗＮとしたグラフであり、非レシプロカルの時間空間変調される有限サイズのユニット・セルの伝送ラインについての、計算されたバンド構造でのギャップでの波ベクトルｋＮの固定の実数部分に関しての波ベクトルｋＮの計算された虚数部分を示す。ほぼゼロの長さの有限ユニット・セルを持つ時間空間変調された伝送ラインと比較して、波ベクトルｋＮの最大虚数値の値の大きい増加がある。これは、ストップ・バンド内の周波数を持つ１つの波の減衰を強くし、それに続いて、良好な信号分離に必要な長さ、即ち、ユニット・セル１４の数を減らす。
【0043】
[0048] 伝送ライン・パラメータのこの特定の選択に関して、バンドパス・フィルタを、非レシプロカル特性を用いて構成することができる。この例では、伝送信号は、図１５の左側に示された２つのギャップの間で－ｋ方向に伝播することができるが、このバンド領域内で＋ｋ方向に動く伝送信号は、有効にブロックされる。この挙動は、変調信号の方向を逆にすることにより、自動的に逆にすることができる。
【0044】
[0049] 現実的な寸法、材料、および信号パラメータを持つ非レシプロカル・バンド・パス・フィルタ１０の例は、下記のように提供される。変調ポンプ周波数ｗｍ＝６．２８ＧＨｚおよびｋｍ＝６．５８ｃｍ－１、変調されていない相対的誘電率εｒ＝９．８およびｐ＝０．４４、およびユニット・セル・サイズａ＝０．４２０ｃｍに関して、図１５は、中心バンド・ギャップΔｆ（Δｗ／２π）＝５．１７ＧＨｚを提供し、これに伴う中心ギャップ幅はΔｆ＝１．１８ＧＨｚ、上側ギャップ幅は０．９４ＧＨｚ、下側ギャップ幅は０．６７ＧＨｚである。
【0045】
[0050] また、興味をもたれるのは、フロケ展開係数Ｖsへの、有限ユニット・セル分散の影響である。１次元ハーモニック近似に関しては、これらの複素数の係数Ｖｓは下記のように与えられる。
【0046】
【数10】
【0047】
ここにおいて、周波数ｗＮおよび波ベクトルｋＮは、式（７）の分散条件ｆｓ（ｋ，ｗ）＝０に対しての解のペアであり、係数Ｖ０は１（unity）へと任意に設定される。
【0048】
[0051] 例として、有限ユニット・セル長ａを持つ連続的伝送ラインについての係数を、比較することができる。図１６－図１９は、空間時間変調された伝送ラインでの、横軸を複素数波ベクトルｋＮとし、縦軸をフロケ展開係数Ｖｓの絶対値としたグラフであり、パラメータＭ＝０．３０、ｒ＝０．１０、およびｐ＝０または０．２５についてのグラフ線を有する。図１６は＋ｋ方向の値を示し、図１７は－ｋ方向の値を示し、図１８はｓ＝－１のハーモニックスを示し、図１９はｓ＝＋１のハーモニックスを示す。＋ｋ値がバンドギャップより下の順方向伝播信号については、連続的伝送ラインと比べて、有限ユニット・セルの場合についてはｓ＝＋１のハーモニックにおいて大きい増大が提供され得る。これはまた、逆方向－ｋ信号に関してのｓ＝－１のハーモニックについても真であるが、少し小さいものとなる。逆に、＋ｋ信号についての－１のハーモニックと－ｋ信号についてのｓ＝＋１のハーモニックとの何れも、変化は小さい。
【0049】
[0052] アイソレータの応用についての分散エンジニアのレシプロシティの破壊の方法として、空間時間変調された伝送ライン構造１２は、有限ユニット・セル長ａを含むように、従来技術を超えて拡張された。ブロッホ－フロケの方法は、解のセットの完全なハーモニックの展開を提供し、限定されたハーモニック項のセットの使用を正当化するために用いることができる。周波数ｗＮと波ベクトルｋＮとの双方のグリッドのグレイ・スケール・プロットと、ＭＡＴＬＡＢ（登録商標）の複素数ソルバー（complex solver）とは、様々な伝送ライン・パラメータについての分散バンド構造を例示するために用いられた。有限ユニット・セル分散を用いる時間的に静的で純粋な空間変調は、空間変調周期に対するユニット・セル長ａの比率を制御することによりチューン可能なレシプロカル・ダブル・バンド・ギャップ構造を生じさせる。時間空間変調を導入することにより、一意のバンド・パスおよびストップ・バンドの挙動を示すようにチューン可能な非レシプロカル・ダブル・バンド・ギャップ構造を生じさせる。
【0050】
[0053] 上記の検討は、本開示の単なる例としての実施形態を開示および説明する。当業者は、このような検討から、および添付の図面および請求の範囲から、下記の請求の範囲に定めたこの開示の精神および範囲から外れることなく、それらの様々な変更、改造、および変形が可能であることを、容易に認識するであろう。
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図17】
【図18】
【図19】