(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-10-15
(45)【発行日】2024-10-23
(54)【発明の名称】割り当て装置、割り当て方法、および割り当て記録媒体
(51)【国際特許分類】
G06N 10/80 20220101AFI20241016BHJP
G06N 99/00 20190101ALI20241016BHJP
【ＦＩ】
G06N10/80
G06N99/00 180
【請求項の数】
10
(21)【出願番号】P 2023520580
(86)(22)【出願日】2021-05-10
(86)【国際出願番号】 JP2021017690
(87)【国際公開番号】W WO2022239059
(87)【国際公開日】2022-11-17
【審査請求日】2023-10-20
(73)【特許権者】
【識別番号】000004237
【氏名又は名称】日本電気株式会社
(74)【代理人】
【識別番号】100103090
【弁理士】
【氏名又は名称】岩壁 冬樹
(74)【代理人】
【識別番号】100124501
【弁理士】
【氏名又は名称】塩川 誠人
(72)【発明者】
【氏名】宮崎 涼二
【審査官】千葉 久博
(56)【参考文献】
【文献】特開２０２０－９３０１（ＪＰ，Ａ）
【文献】山道智博，ジョセフソンパラメトリック発振器を用いたアニーリング型量子コンピュータの開発，２０２１年電子情報通信学会総合大会講演論文集 エレクトロニクス２，2021年02月23日，p.(SS-20)-(SS-23)
【文献】ARMAN ZARIBAFIYAN, 外2名，Systematic and Deterministic Graph Minor Embedding for Cartesian Products of Graphs，[online]，2016年07月06日，p.1-22，[検索日 2024.06.19], インターネット＜ＵＲＬ：https://arxiv.org/pdf/1602.04274＞
【文献】DATTANI, N., et al.，Embedding quadratization gadgets on Chimera and Pegasus graphs [online]，arXiv.org，2019年01月23日，[検索日 2021.07.06], Internet: <URL: https://arxiv.org/pdf/1901.07676.pdf>
【文献】ZBINDEN, S., et al.， Embedding Algorithms for Quantum Annealers with Chimera and Pegasus Connection Topologies [online]，SpringerLink，2020年06月15日，[検索日 2021.07.06], Internet: <URL: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-50743-5_10>
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｎ １０／８０
Ｇ０６Ｎ ９９／００
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、前記二値変数の数と前記二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる割り当て手段と、前記二値変数の前記ノードへの割り当て結果に基づいて、前記二値変数と前記ノードとの対応関係を示す情報を出力する出力手段と
を備え、
前記割り当て手段は、前記イジング問題の前記コスト関数で積になる前記二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、前記ペガサスグラフ上の前記ノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、前記二値変数を前記ノードに割り当てる
ことを特徴とする割り当て装置。
【請求項2】
前記二値変数の数および前記パラメータの入力を受け付ける入力受付手段を備えた請求項１記載の割り当て装置。
【請求項3】
タイルは、ペガサスグラフを構成する単位グラフであるユニットの３つ分からなり、前記パラメータは、前記ノードの並ぶ任意の方向を表す値と、前記ノードの並ぶ方向についての前記タイルの番号と、前記タイル内での前記ノードの番号と、前記ノードの並ぶ方向と直交する前記タイルの番号とからなる
請求項１または請求項２記載の割り当て装置。
【請求項4】
前記コスト関数が下記式（Ａ）で表され、前記イジング問題の二値変数は、下記式（Ａ）中のσとτとであり、下記式（Ａ）中のJｉｊは、行列Ｊのｉ行ｊ列の値であり、ｉとｊとは、ともに１，２，．．．，Ｎ－１の値を取り、下記式（Ａ）中のＣは、正の値の範囲で調節すべきパラメータである請求項３記載の割り当て装置。
【数11】
【請求項5】
前記割り当て手段は、前記イジング問題のコスト関数の二値変数をノードへ割り当てる際に、前記ノードの集合として、２つのノードで構成される４種類のチェインα，チェインβ，チェインγ，チェインδを用い、チェインの種類を、前記ペガサスグラフ上の隣接する２つの第１ユニット，第２ユニット内のノードの相対的な位置のみによって決め、
前記第１ユニットの前記ノードの並ぶ任意の方向を表す値が０である前記ノードを前記タイル内での前記ノードの番号が小さい順にＡ００，Ａ０１，Ａ０２，Ａ０３とし、
前記第１ユニットの前記ノードの並ぶ任意の方向を表す値が１である前記ノードを前記タイル内での前記ノードの番号が小さい順にＡ１０，Ａ１１，Ａ１２，Ａ１３とし、
前記第２ユニットの前記ノードの並ぶ任意の方向を表す値が０である前記ノードを前記タイル内での前記ノードの番号が小さい順にＢ００，Ｂ０１，Ｂ０２，Ｂ０３とし、
前記第２ユニットの前記ノードの並ぶ任意の方向を表す値が１である前記ノードを前記タイル内での前記ノードの番号が小さい順にＢ１０，Ｂ１１，Ｂ１２，Ｂ１３としたとき、
前記チェインαは、前記Ａ１２と前記Ａ０２とによって構成され、
前記チェインβは、前記Ａ０１と前記Ａ１１とによって構成され、
前記チェインγは、前記Ａ０３と前記Ｂ１３とによって構成され、
前記チェインδは、前記Ａ１０と前記Ｂ００とによって構成される
請求項３または請求項４記載の割り当て装置。
【請求項6】
前記ペガサスグラフ上の前記ユニットの座標を３つのパラメータの組（ｗ，ｋ，ｚ）で表し、前記割り当て手段は、
前記イジング問題のコスト関数の二値変数をノードへ割り当てる際に、前記ノードの集合として、２つのノードで構成される４種類のチェインα，チェインβ，チェインγ，チェインδを用い、
整数ｉを整数ｊで割ったときの余りをｉ％ｊと表し、ｉ％４が０のとき前記チェインα、ｉ％４が１のとき前記チェインβ、ｉ％４が２のとき前記チェインγ、ｉ％４が３のとき前記チェインδを指定する関数ｃ［ｉ］を利用し、
前記二値変数の１つであるイジング変数σ１，２を（ｗ０，ｋ０，ｚ０）で指定される前記ユニットにパラメータｃ０とｃ［ｃ０］で指定されるチェインの種類へ割り当て、前記チェインをチェインｃ［ｃ０］（ｗ０，ｋ０，ｚ０）と表し、
前記割り当て手段は、ｉ＝１，２，．．．，Ｎの二値変数σｉ，２を割り当てる前記チェインの種類をｃ［ｃ０＋１］で決め、前記チェインが属する前記ユニットを（ｗｉ，ｋｉ，ｚｉ）とし、
二値変数σ１，ｊが割り当てられる前記ユニットを（ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，ｚｊ＋１）とするとき、
前記割り当て手段は、前記（ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，ｚｊ＋１）を、
（ｃ０＋ｊ－２）％４が０か２のときは、下記の式（Ｂ）で決め、
（ｃ０＋ｊ－２）％４が３のときは、下記の式（Ｃ）で決め、
（ｃ０＋ｊ－２）％４が１のときは、下記の式（Ｄ）で決め、
前記割り当て手段は、上記規則で逐次的にｊ＝２，．．．，Ｎ－２の前記イジング変数σ１，ｊを割り当て、
前記二値変数のイジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍ（ただし、ｉ＋ｍ＜ｊ－ｍ）を割り当てる前記チェインの種類を前記チェインｃ［ｃ０＋ｉ＋ｊ－３］とし、前記イジング変数σ１，ｉ＋ｊ－１が割り当てられる前記ユニットは上記の規則によって決められ、他の前記ｍについては、前記ｍが１大きくなるごとに、イジング変数が割り当てられる前記ユニットが、ユニット列内の右上隣のユニットへ変わり、前記右上隣のユニットへ移るときの座標の変化は、下記の式（Ｅ）で表され、
前記割り当て手段は、前記イジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍが割り当てられる前記ユニットを（ｗｍ，ｋｍ，ｚｍ）とするとき、前記イジング変数σｉ＋ｍ＋１，ｊ－ｍ－１が割り当てられる前記ユニット（ｗｍ＋１，ｋｍ＋１，ｚｍ＋１）を、下記の式（Ｆ）で決め、
前記割り当て手段は、上記規則に従って逐次的に前記イジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍの割り当てを行い、
前記チェインαに割り当てられた前記イジング変数σｉ，ｊの添え字ｉ，ｊに対して、前記イジング変数τｉ－１，ｊ－１を、前記イジング変数σｉ，ｊが割り当てられた前記ノードが含まれる前記ユニットの前記チェインβに割り当て、前記イジング変数τｉ，ｊ－１を、前記イジング変数σｉ，ｊが割り当てられた前記ノードが含まれる前記ユニットの前記チェインγに割り当て、
前記チェインβに割り当てられた前記イジング変数σｉ，ｊの添え字ｉ，ｊに対して、前記イジング変数τｉ，ｊを、前記イジング変数σｉ，ｊが割り当てられた前記ノードが含まれる前記ユニットの前記チェインαに割り当て、前記イジング変数τｉ，ｊ－１を、前記イジング変数σｉ，ｊが割り当てられた前記ノードが含まれる前記ユニットの前記チェインδに割り当てる
請求項３または請求項４に記載の割り当て装置。
【数12】
【数13】
【数14】
（ｗ，８，ｚ） （ｋ＝４のとき）
（ｗ＋１，０，ｚ） （ｋ＝８のとき）
式（Ｅ）
【数15】
【請求項7】
イジング問題において複数の変数からコスト関数を算出する処理手順を表す情報から、前記複数の変数を、該処理手順における参照関係に従い、周期的構造を有する複数の処理群に分け、量子アニーリングマシンのハードウェアにおける複数の構成要素が、構成要素間の接続関係に従いグループ分けされた所定のグループ情報に従い、前記処理群を、それぞれ、１つのグループが処理するよう割り当てを決める割り当て手段を備える割り当て装置。
【請求項8】
コンピュータが、
ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、前記二値変数の数と前記二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当て、
前記二値変数の前記ノードへの割り当て結果に基づいて、前記二値変数と前記ノードとの対応関係を示す情報を出力し、
前記イジング問題の前記コスト関数で積になる前記二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、前記ペガサスグラフ上の前記ノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、前記二値変数を前記ノードに割り当てる
ことを特徴とする割り当て方法。
【請求項9】
コンピュータに、ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、前記二値変数の数と前記二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる割り当て処理と、
前記二値変数の前記ノードへの割り当て結果に基づいて、前記二値変数と前記ノードとの対応関係を示す情報を出力する出力処理と
を実行させ、
前記割り当て処理で、前記イジング問題の前記コスト関数で積になる前記二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、前記ペガサスグラフ上の前記ノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、前記二値変数を前記ノードに割り当てさせる
ための割り当てプログラム。
【請求項10】
コンピュータに、前記二値変数の数および前記パラメータの入力を受け付ける入力受付処理を実行させる
請求項９記載の割り当てプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、量子アニーリングにおける割り当て装置、割り当て方法、および割り当て記録媒体に関する。
【背景技術】
【0002】
組合せ最適化問題を解く方法の１つに、量子アニーリングがある。量子アニーリングでは、コスト関数が定義される。そして、そのコスト関数の値が最小になる状態が組合せ最適化問題の解と対応付けられる。
【0003】
ここで用いられるコスト関数は、イジング変数もしくはイジングスピンと呼ばれる変数の関数である。以下では、イジング変数を用いて議論する。イジング変数は、１と－１の値のみを取り得る変数である。多数のイジング変数によってコスト関数が表される。イジング変数は、組合せ最適化問題の変数と対応付けられている。組合せ最適化問題の変数の値の任意の組合せは、コスト関数のイジング変数の値の組合せで表される。特に、コスト関数の値が小さいほど組合せ最適化問題における、より良い組合せである。よって、イジング変数の組合せのうちコスト関数の値を最も小さくするものが、その組合せ最適化問題における最適な組合せ、すなわち最適解を表す。
【0004】
このようにイジング変数のコスト関数を最小化する問題として表された組合せ最適化問題をイジング問題と呼ぶ。以下では、このイジング問題を解くことを念頭において議論する。
【0005】
量子アニーリングでは、定義されたコスト関数を最小にするイジング変数の組合せが探索される。その際、コスト関数のイジング変数は、量子ビットで表される。量子ビットは、量子アニーリングという方法においては単なる変数であるが、その着想は物理的実体に起源を持ち、２つの状態を取ることができる。その２つの状態がイジング変数の１と－１に対応付けられる。この方法が実装されたハードウェアとして量子アニーリングマシンがある。
【0006】
複数の量子ビットからなるシステム全体のエネルギーを定義可能である。そのエネルギーが、例えば、最も低くなる量子ビットの状態の組合せを見つける方法が量子アニーリングである。量子アニーリングを、イジング問題を解くことに利用できる。すなわち、量子アニーリングマシンにおいては、量子ビットの２つの状態をイジング変数に対応させ、量子ビット全体のエネルギーをイジング問題のコスト関数に対応させる。これにより、量子アニーリングで量子ビット全体のエネルギーの低い状態を得ることが、イジング問題のコスト関数の値を小さくする変数の組合せを見つけることに対応する。
【0007】
イジング問題と対応するコスト関数の表し方についてＬＨＺ（Lechner-Hauke-Zoller）方式（特許文献１）と呼ばれる方式がある。ＬＨＺ方式で扱われるコスト関数に対して量子アニーリングを行うことを、ＬＨＺ方式の量子アニーリングと呼ぶことにする。ＬＨＺ方式の量子アニーリングを量子アニーリングマシンで行うためには、量子アニーリングマシンにおいて４つの量子ビットを直接的に相互作用（四体相互作用）させる必要がある。
【0008】
現在商用利用されている量子アニーリングマシンは、D-wave Systems inc. が開発した量子アニーリングマシン（以下、Ｄ－ｗａｖｅ（登録商標）と呼ぶ）のみである。しかし、Ｄ－ｗａｖｅにおけるハードウェアが扱えるのは、２つの量子ビットの相互作用（二体相互作用）のみである。すなわち、Ｄ－ｗａｖｅは、四体相互作用を、直接、扱うことはできず、ＬＨＺ方式の量子アニーリングを直接扱うことはできない。
【0009】
ただ、Ｄ－ｗａｖｅにおいては、ＬＨＺ方式の量子アニーリングが実効的に実現できる可能性はある。四体相互作用は、複数の二体相互作用に変換することによって、Ｄ－ｗａｖｅにおいては、ＬＨＺ方式の量子アニーリングを扱うことができる。この変換前後で、システム全体のエネルギーを低くする量子ビットの状態は一致する。そのため、Ｄ－ｗａｖｅは、低いエネルギーの状態を探索することを目的とする量子アニーリングを実効的に実現することが可能である。
【0010】
ＬＨＺ方式に限らず、Ｄ－ｗａｖｅを用いて量子アニーリングを行う際、コスト関数の中に現れるイジング変数の積を量子ビット間相互作用に対応させる。Ｄ－ｗａｖｅの量子ビットの相互作用ネットワークは、ノードとエッジとで構成されたキメラグラフやペガサスグラフと呼ばれる構造を有する。本明細書ではペガサスグラフに注目する。Ｄ－ｗａｖｅによってイジング問題を量子アニーリングで解くために、コスト関数の変数をペガサスグラフ上のノードへ適切に割り当てる。適切な割り当てを見つける方法の一例が非特許文献１および非特許文献２に記載されている。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0011】
【文献】特許第６６５６２７３号
【非特許文献】
【0012】
【文献】K. Boothby, et al., “Technical report”, [online], D-wave Systems inc., [令和3 年3 月23日検索] インターネット<URL:https://www.dwavesys.com/sites/default/files/14-1026A-C_Next-Generation-Topology-of-DW-Quantum-Processors.pdf>
【文献】J. Cai, et al., “A practical heuristic for finding graph minors”, arXiv:1406.2741 (2014).
【文献】A. Rocchetto, et al., “Stabilizers as a design tool for new forms of the Lechner-Hauke-zoller annealer”, Science Advances 2, e1601246 (2016).
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0013】
非特許文献１に記載されている方法は、どのようなイジング問題にも適用できる方法である。しかし、非特許文献１に記載されている方法は、どのようなイジング問題に対しても同じ割り当てを行う。すると、それぞれのイジング問題についてペガサスグラフ上で使用するノードの数をより少なくできる割り当てがある可能性がある。非特許文献２に記載されている方法は、ヒューリスティックな方法である。非特許文献２に記載されている方法では、割り当ては見つかるが、毎回の実施で同じ割り当てを得られる保証はない。特に、非特許文献２に記載されている方法は、使用するノードの数を少なくできる保証もない。また、非特許文献２に記載されている方法では、各変数が割り当てられるノードの数に偏りが生じ得る。したがって、上述した２つの方法では、イジング問題をペガサスグラフ上で表現して解く際に、使用するノード数が少なく、かつ、偏りが少ない割り当てを見つけられない、または、見つけ出せる保証がない、という課題があった。
【0014】
本発明は、このような問題を解決することを目的の１つとし、ＬＨＺ方式の量子アニーリングを行う際に扱うイジング問題の変数とイジング問題を解くためのグラフのノードとの対応関係として、各変数が割り当てられるノード数の偏りが少なく、使用するノード数が少ない対応関係を得ることができる割り当て装置、割り当て方法、および割り当て記録媒体を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0015】
本発明による割り当て装置は、ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、二値変数の数と二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる割り当て手段と、二値変数のノードへの割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力する出力手段とを含み、割り当て手段は、イジング問題のコスト関数で積になる二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、ペガサスグラフ上のノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、二値変数をノードに割り当てる。
【0016】
本発明による割り当て方法は、ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、二値変数の数と二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当て、二値変数のノードへの割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力し、イジング問題のコスト関数で積になる二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、ペガサスグラフ上のノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、二値変数をノードに割り当てる。
【0017】
本発明による割り当て記録媒体は、コンピュータで実行されるときに、ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、二値変数の数と二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる割り当て処理と、二値変数のノードへの割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力する出力処理とを実行させ、割り当て処理で、イジング問題のコスト関数で積になる二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、ペガサスグラフ上のノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、二値変数をノードに割り当てさせる割り当てプログラムを記録する。
【発明の効果】
【0018】
本発明によれば、量子ビット結合構造がペガサスグラフであるＬＨＺ方式の量子アニーリングが実施される際に、少ない量子ビットで偏りのない変数の割り当てを行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【0019】
【図1】ＬＨＺ方式を用いたコスト関数の四体相互作用を示す説明図である。
【図2】ペガサスグラフの一例を示す説明図である。
【図3】ペガサスグラフにおけるユニットの一例を示す説明図である。
【図4】ペガサスグラフにおけるｕ＝０のタイルを示す説明図である。
【図5】ペガサスグラフにおけるｕ＝１のタイルを示す説明図である。
【図6】チェインの例を示す説明図である。
【図7】コスト関数における変数間の積の構造を示す説明図である。
【図8】コスト関数における変数間の積の構造の一部を示す説明図である。
【図9】コスト関数における変数間の積の構造の一部を示す説明図である。
【図10】ペガサスグラフにおけるユニット列を示す説明図である。
【図11】コスト関数における変数間の積の構造の一部とプラケット列とを示す説明図である。
【図12】チェインを示す説明図である。
【図13】計算システムの一例を示す説明図である。
【図14】割り当て装置の構成の一例を示すブロック図である。
【図15】割り当て装置のハードウェア構成の一例を示すブロック図である。
【図16】コスト関数における変数間の積の構造の一部とプラケット列とを示す説明図である。
【図17】割り当て装置の動作の流れを示すフローチャートである。
【図18】計算システムによるイジング問題の計算動作の流れを示すフローチャートである。
【図19】本実施形態の効果を説明するための説明図である。
【図20】割り当て装置の主要部を示すブロック図である。
【発明を実施するための形態】
【0020】
実施形態の理解を助けるために、まず、イジング問題、ＬＨＺ方式の量子アニーリング、ペガサスグラフ、イジング問題をペガサスグラフ上で表すこと、および、それらと関連している量子アニーリングマシンについて説明する。
【0021】
イジング問題は、一般に次のように表される。まず１と－１の値を取り得る変数、すなわち二値変数を例えばＮ（Ｎは、自然数）個用意する。それらをｓｉと表す。ただし、ｉは１，２，．．．，Ｎの値を取り得て、ｉの値の違いによりｓｉを区別する。コスト関数Ｈは、例えば、以下の式（１）のように定義される。
【0022】
【数1】
【0023】
式（１）の右辺のＪｉｊは行列Ｊのｉ行ｊ列の値であり、ｉとｊとは、ともに１，２，．．．，Ｎ－１の値を取り得る。式（１）の右辺のｈｉはベクトルｈのｉ列の値であり、ｉは１，２，．．．，Ｎ－１の値を取り得る。Ｊｉｊおよびｈｉは、実数の値を取ることができる。式（１）は、１か－１の値のみを取るＮ－１個の変数ｓｉからなる１次と２次の実数係数多項式の一般的表現である。さらにｓＮ＝１、ＪｉＮ＝ｈｉとし、ｉとｊとがＮの値も取ることができるとすると、式（１）は式（２）で表される。
【0024】
【数2】
【0025】
ｓＮが１と－１の値を取り得るとした場合、式（１）は、特殊な場合として式（２）に含まれる。以下では、コスト関数を式（２）の形で考える。また、ｉ＞ｊのＪｉｊの値はすべて０としても一般的表現として十分である。よって、以下では、ｉ≧ｊのＪｉｊの値はすべて０とし、ｉ＜ｊのＪｉｊだけを考える。イジング問題は、行列Ｊが具体的に与えられたときに式（２）のコスト関数Ｈを最小にするｓｉ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ）の値の組合せを見つける問題である。
【0026】
上述したように、イジング問題を解くための１つの方法として量子アニーリングがある。量子アニーリングの方式の１つとしてＬＨＺ方式がある。ＬＨＺ方式の量子アニーリングは、式（２）でコスト関数が表されるイジング問題を解くために、以下に示すコスト関数ＨＬＨＺを最小化する。
【0027】
【数3】
【0028】
式（３）のＪｉｊは、式（２）のＪｉｊと同じである。σｉｊは、１と－１の値を取り得る変数で、ｓｉと同様に二値変数である。式（３）では、ｓｉと区別するために文字σが使われている。Ｊｉｊのｉとｊは、式（２）のｉとｊと同じ範囲の値を取る。しかし、σｉｊのｉとｊは、Ｊｉｊの範囲に加えて、ｉ＝ｊにもなる。ただし、σｉｉは、表現を簡潔にするために導入されたものであり、常に１と等しく、変数ではなく定数である。Ｃは、正の値の範囲で調節すべきパラメータである。
【0029】
図１は、ＬＨＺ方式を用いたコスト関数の四体相互作用を示す説明図である。４つのσの積（σｉｋσｉｌσｊｋσｊｌ）の和の範囲は、図１によって理解され得る。図１では、式（３）の変数σｉｊが格子点上にある変数として表されている。４つのσの積（σｉｋσｉｌσｊｋσｊｌ）の和は、図１の斜線部で表された四角形の４つの頂点に記載されているσの積の和である。４つのσの積の一例は、σ１３σ１４σ２３σ２４である。
【0030】
σの値は１か－１であるため、４つのσの積（σｉｋσｉｌσｊｋσｊｌ）も１か－１になる。Ｃが大きい正の値のとき、ＨＬＨＺを最小にするσｉｊ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ、ｊ＝ｉ＋１，ｉ＋２，．．．，Ｎ）の値の組合せでは、式（３）の右辺第２項（以下、２つ目の和という。）の４つのσの積（σｉｋσｉｌσｊｋσｊｌ）は１になる。２つ目の和の４つのσの積がすべて１になるσｉｊ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ、ｊ＝ｉ＋１，ｉ＋２，．．．，Ｎ）の値の組合せは複数あり、２つ目の和はそれらの組合せにおいて等しい値になる。それらの中でＨＬＨＺを最小にするものはΣｉ＜ｊＪｉｊσｉｊを最小にする。また、２つ目の和の４つの積がすべて１になるとき、σｉｊ＝ｓｉｓｊとすることができる。このｓｉは式（２）のｓｉと同様に、１と－１を取り得る二値変数である。実際、σｉｊ＝ｓｉｓｊのときσｉｋσｉｌσｋｊσｌｊ＝ｓｉｓｋｓｉｓｌｓｋｓｊｓｌｓｊ＝１となる。上記の通りσｉｉ＝１としているが、これはσｉｉ＝ｓｉｓｉ＝１を満たす。したがって、Ｃが大きいときのＨＬＨＺの値を最小にするσｉｊ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ、ｊ＝ｉ＋１，ｉ＋２，．．．，Ｎ）の値の組合せは、Σｉ＜ｊＪｉｊｓｉｓｊを最小にするｓｉ（ｉ＝１，２，．．．，Ｎ）を与える。すなわち、ここで得られるｓｉは、式（２）のコスト関数Ｈを最小にし、当初のイジング問題の解である。
【0031】
次に、ペガサスグラフについての必要最低限の事項を説明する。図２は、ペガサスグラフの一例を示す説明図である。ペガサスグラフは、複数のノード９０１とそれらをつなぐエッジ９０２とからなる。ペガサスグラフは、ユニット９０３を並べて構成される。ユニット９０３は、ペガサスグラフを構成する単位グラフである。ペガサスグラフにおいて、ノード９０１やユニット９０３は周期的に並べられる。言い換えると、ペガサスグラフは、量子アニーリングマシンが有するハードウェア構成を表す情報であるともいうことができる。該ハードウェア構成は、例えば、複数の量子ビットと、該複数の量子ビット間を結合している構造とを表す。この周期的な配置について以下で説明する。
【0032】
ペガサスグラフにおける座標を（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）で表す。それぞれｕ＝０，１、ｗ＝０，１，．．．，Ｍ－１、ｋ＝０，１，．．．，１１、ｚ＝０，１，．．．，Ｍ－２のように値を取り得る。Ｍは、ペガサスグラフ全体の大きさを表すパラメータである。例えば、図２に示すペガサスグラフのＭは３である。図３は、ペガサスグラフにおけるユニットの一例を示す説明図である。図３に示すように、ユニット内で横に並ぶ４つのノード９１１ａ，９１１ｂ，９１１ｃ，９１１ｄのｕは０である。縦に並ぶ４つのノード９１２ａ，９１２ｂ，９１２ｃ，９１２ｄのｕは１である。ｕ＝０のノードは、横方向に隣接する１２個ごとにまとめられる。図２に示す例では、ユニット３つ分に相当し、タイルと呼ばれる。タイルは、横方向と縦方向に正方格子状に並んでいる。タイルの横方向の番号はｗで表される。タイルの縦方向の番号はｚで表される。言い換えると、（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）は、ペガサスグラフにおける、ある構造（「単位構造」と表す）が繰り返し現れる繰り返し構造、および、各単位構造における構造を表すパラメータであるということもできる。なお、単位構造は、必ずしも、ある１つの構造でなくともよく、単位構造であると判定される構造であってもよい。その判定処理は、例えば、２つの構造の類似性に基づき行ってもよいし、同一の構造に対する、異なっている構造の差異の度合いに基づき行ってもよい。繰り返し構造を判定する処理は、上述した例に限定されない。
【0033】
図４は、ペガサスグラフにおけるｕ＝０のタイルを示す説明図である。図４に示す例では、ｕ＝０、ｗ＝０、ｚ＝０のタイルは、タイル９２１である。ｕ＝０、ｗ＝１、ｚ＝０のタイルは、タイル９２２である。ｕ＝０、ｗ＝０、ｚ＝１のタイルは、タイル９２４である。ｕ＝１のノードもタイルとしてまとめられる。しかし、ｕ＝０の場合と異なり、ｕ＝１のノードは、縦方向に隣接する１２個ごとにタイルとしてまとめられる。そして、タイルの縦方向の番号がｗで表され、横方向の番号がｚで表される。
【0034】
図５は、ペガサスグラフにおけるｕ＝１のタイルを示す説明図である。図５に示す例では、ｕ＝１、ｗ＝０、ｚ＝０のタイルは、タイル９３１である。ｕ＝１、ｗ＝１、ｚ＝０のタイルは、タイル９３２である。ｕ＝１、ｗ＝０、ｚ＝１のタイルは、タイル９３４である。すなわち、ｕ＝０，１ともに、そのノードの並ぶ方向についてのタイルの番号がｗで表され、それと直交する方向についてのタイルの番号がｚで表される。ｋは、各タイル内でのノードの番号を表す。例えば、図４では、ｕ＝０、ｗ＝２、ｚ＝０のタイルはタイル９２３であるが、タイル９２３内のノード９２７ａ，９２７ｂ，９２７ｃ，．．．，９２７ｌのｋは、ｋ＝０，１，２，．．．，１１である。
【0035】
次に、イジング問題をペガサスグラフ上で表現することを説明する。イジング問題をペガサスグラフ上で表現することは、イジング問題のコスト関数の変数を適切にペガサスグラフのノードに割り当てることに相当する。何をもって適切とするかは後述する。割り当ては、イジング問題の変数、すなわちコスト関数の変数のそれぞれが割り当てられるノードを列挙することで表現される。このとき１つの変数が割り当てられるノードは複数でも良い。
【0036】
コスト関数の変数をペガサスグラフのノードへ割り当てることの背景には、そうすることで、ペガサスグラフを用いるマシン、例えば量子アニーリングマシンによってイジング問題を解くことができる、ということがある。必ずしも量子アニーリングマシンが使用されなくても良いが、以下ではイジング問題を解く際に量子アニーリングマシンを使用することを想定する。
【0037】
量子アニーリングマシンは、量子ビット、および量子ビット間の結合をもつ。量子ビットには主に２つの状態があり、量子ビットが、その２つのどちらの状態にあるかということを、二値の変数として扱うことができる。また、量子アニーリングマシンにおいては、量子ビット全体のエネルギーを定義することができる。そのエネルギーが最も低くなる量子ビットの状態の組合せを見つける方法が、量子アニーリングである。量子アニーリングマシンは、量子アニーリングを実行し、エネルギーが最も低くなる量子ビットの状態の組合せを見つけることを目指す。組合せを見つけることは、次のようにイジング問題を解くことに利用できる。量子アニーリングマシンにおいては、量子ビットの２つの状態をイジング変数に対応させ、量子ビット全体のエネルギーをイジング問題のコスト関数に対応させる。これにより、量子アニーリングマシンで量子ビット全体のエネルギーの低い状態を得ることが、対応するイジング問題のコスト関数の値を小さくする変数の組合せを見つけることになる。
【0038】
量子アニーリングマシンの量子ビット全体のエネルギーをイジング問題のコスト関数に対応させるために、量子ビットの２つの状態をイジング問題の変数に対応させ、かつ、量子ビット間の結合をコスト関数内の変数の積に対応させる。結合と変数の積とを対応させるために、例えば、ｉ番目の量子ビットとｊ番目の量子ビットとの結合の強さをコスト関数のＪｉｊと等しくする。そして、コスト関数の行列Ｊのすべての要素を量子ビット間の結合の強さに対応させると、量子ビット全体のエネルギーがイジング問題のコスト関数に対応する。したがって、量子アニーリングマシンでイジング問題を解くためには、行列Ｊが量子アニーリングマシンに入力され、量子アニーリングマシンが量子ビット間の結合の強さをＪｉｊと一致するように調節する。しかし、量子アニーリングマシンの量子ビット間の結合が、すべての量子ビットの組合せについて存在するとは限らない。実際、D-wave Systems inc. が開発した量子アニーリングマシンにおける量子ビットの結合は、ペガサスグラフの構造かキメラグラフの構造になっている。本明細書では、ペガサスグラフのみに注目し、キメラグラフは考慮されない。量子ビットは、ペガサスグラフのノードに対応する。量子ビット間の結合は、ペガサスグラフのエッジに対応する。
【0039】
以上に説明したように、イジング問題の変数、量子ビット、ペガサスグラフのノードの３つは対応関係をもつ。同時に、イジング問題の変数の積、量子ビットの結合、ペガサスグラフのエッジの３つも対応関係をもつ。イジング問題を量子アニーリングマシンで解くために、イジング問題の変数と量子ビットとを対応させる。それはすなわち、イジング問題の変数とペガサスグラフのノードとを対応させることに相当する。そして同時に、イジング問題の変数の積を量子ビットの結合に対応させるために、変数の積をペガサスグラフのエッジに対応させる。
【0040】
以上のように、量子アニーリングマシンでイジング問題を解くとき、問題の変数をペガサスグラフのノードに割り当てることになる。また、その割り当ては、イジング問題の変数の積がペガサスグラフのエッジに対応するような割り当てである。そのような割り当てが、適切な割り当てである。適切な割り当てが得られると、量子アニーリングマシンがイジング問題の変数の積をペガサスグラフ上のどの量子ビット間の結合に対応させればよいかがわかる。この割り当てとイジング問題の行列Ｊとを量子アニーリングマシンに入力すると、量子アニーリングマシンにおいては、量子ビット間の結合の強さを行列Ｊと対応させることが可能になる。その結果、量子アニーリングマシンがイジング問題を解くことができる。
【0041】
上述したように、一般に、イジング問題をペガサスグラフ上で表現するためには、変数がノードへ適切に割り当てられることが求められる。１つの変数を複数のノードに割り当ててもよい。どのような割り当てが適切かを具体的に説明するために、まず、チェインを導入する。チェインは、同一の変数が割り当てられるノードの集合であり、エッジでつながっている一連のノード群である。ここで、添え字まで含めて値が一致する場合に、変数が同一と判定される。例えば、ｓとσとは異なる変数である。σとτとは異なる変数である。例えば、ｓｉとｓｊは、ｉとｊとが異なる場合に異なる変数であり、ｉとｊとが同じ場合に同一の変数である。ただし、チェイン内のノード数は１つでも複数でもよい。チェイン内のノード数が複数の場合、チェイン内の全てのノードは、同一チェイン内のノードの少なくとも１つとエッジでつながっている。図６は、チェインの例を示す説明図である。
【0042】
適切な割り当ての条件は、イジング問題のコスト関数で積になる変数の組のすべてについて、各組の２つのチェインがエッジでつながっていることである。チェインがエッジでつながるとは、一方のチェイン内のノードの少なくとも１つが、他方のチェイン内のノードの少なくとも１つとエッジでつながることである。ここで、積になる変数の組とは、一般に、式（１）においてＪｉｊ≠０であるｉとｊとで表されるｓｉとｓｊとの組のことである。Ｊｉｊ＝０の場合、ｓｉとｓｊとの組はコスト関数に積として現れていないと解釈する。
【0043】
例えば、図６に示されているチェインは、以下の式（４）で表されるイジング問題のコスト関数のペガサスグラフへの適切な割り当てを与える。
【0044】
【数4】
【0045】
図６に示すノード９４１，９４２，９４３，９４４は、それぞれ１つのノードからなるチェインに相当する。ノード９４５ａとノード９４５ｂとは、２つのノードがエッジ９４６によってつながったチェインを構成する。式（４）は、イジング問題の変数が５つあり、任意の２変数の組がコスト関数で積として現れている。式（４）では、すべてのｉとｊとについてＪｉｊ＝１である。式（４）における変数のそれぞれが、図６に例示されたチェインの１つに割り当てられる。この場合は重複がなければ、どの変数をどのチェインに割り当てても適切な割り当てになる。例えば、ｓ１を図６におけるノード９４１に割り当てる。ｓ２をノード９４２に割り当てる。ｓ３をノード９４３に割り当てる。ｓ４をノード９４４に割り当てる。ｓ５をノード９４５ａとノード９４５ｂとからなるチェインに割り当てる。
【0046】
割り当てについての条件の背景は以下の通りである。上述したように、量子アニーリングマシンでイジング問題を解く場合には、イジング問題のコスト関数の変数の積とペガサスグラフのエッジとを対応させる。したがって、変数のノードへの割り当ての条件は、素朴には、コスト関数で積になっている２つの変数が割り当てられたノード同士がエッジでつながっていることである。しかし、ペガサスグラフでは全てのノードの組同士がエッジでつながっているわけではない。そこで、チェインを利用する。
【0047】
チェイン内のノードには、イジング問題の同じ変数が割り当てられている。そのため、２つのチェインがエッジでつながっていれば、その２つのチェインに対応する変数の積がペガサスグラフ上で表現できたことになる。よって、チェインをうまく構成することで、コスト関数における変数の全ての積をペガサスグラフ上のチェイン間のエッジとして表すことが可能である。実際、非特許文献１において、その方法の一例が示されている。以上が、上で述べた条件の背景である。
【0048】
ペガサスグラフ上のノードへの変数の割り当てを行って量子アニーリングマシンなどで問題を解く際、注意すべき点がある。すなわち、量子アニーリングマシンは、チェインの存在を認識していない。また、量子アニーリングマシンは、チェイン内のノードの量子ビットを異なる変数として問題を解いているという点である。しかし、イジング問題を解くために、チェイン内のノードに、元のイジング問題における変数と同じ変数が割り当てられている。よって、チェイン内のノードの量子ビットの状態は全て同じであることが要請される。そのため、チェイン内のノードをつなぐエッジに対応する量子ビット間の結合を強め、チェイン内のノードの量子ビットが結果的にすべて同じ状態になるようにする。この結合の強さは、例えば、量子アニーリングマシンで問題を解く際にユーザによって指定される。
【0049】
量子アニーリングマシンにおいてはペガサスグラフ上の異なるノードを異なる変数として問題を解いているという事実は、次のことも意味する。すなわち、１つのイジング問題について、異なる割り当てにより変数をペガサスグラフ上へ割り当てた場合、それら異なる割り当てによって得られるペガサスグラフ上での問題の表現は、量子アニーリングマシンにとっては異なる問題と認識される。そのため、異なる割り当てが存在するとき、どの割り当てを行うべきか、ということが考慮されるべきである。
【0050】
特定の問題に対して上述の条件を満たした割り当ては、一般に一意でない。そして、複数あり得る割り当ての中でも、使用するノードが少ない割り当ての方が望ましい。なぜなら、量子アニーリングマシンなどで問題を解く際、ペガサスグラフ上のノードを多く使用した方が正解を得ることが難しくなる傾向があるからである。また、使用するノードの数はそれぞれの変数について偏りがない方が望ましい。なぜなら、割り当てによる影響が均一化されることが好ましいからである。特に、ノードを多く使用した方が正解を得ることが難しくなる理由は以下の通りである。
【0051】
イジング問題を解く際、変数の数が多い方が、組合せの数が増えるため、一般に正解を得ることがより困難になる。これは、正解を確実に得るまでの計算時間が長くなる、と言い換えることもできる。そして、量子アニーリングマシンは、実際には、ペガサスグラフ上で表現された問題を解く。量子アニーリングマシンが解く問題の変数の数は、ペガサスグラフ上で使用されるノードの数である。よって、割り当てによって使用するノードの数が多いと、量子アニーリングマシンが解く問題の変数の数も多くなり、正解を得ることが難しくなる。つまり、元々のイジング問題が同じでも、異なる割り当てを行うと、量子アニーリングマシンを用いて正解を得る難しさが変化する。そのため、複数あり得る割り当ての中でも、使用されるノードが少ない割り当ての方が望ましい。
【0052】
上述した非特許文献１および非特許文献２に記載された技術は、使用ノード数の少ない割り当てを見つけることを目指してはいない。適切な割り当てとしての条件を満たし、かつ、使用ノード数の少ない割り当てを見つけることは容易でない。
【0053】
以下、ペガサスグラフ上でＬＨＺ方式を実効的に実施する際に、イジング問題の変数とイジング問題を解くためのグラフのノードとの対応関係として、使用するノード数が抑制され、かつ、偏りのない対応関係を得ることができる実施形態を説明する。以降、説明の便宜上、「偏りのない」と表すが、「偏りが小さい」と読み替えることもできる。例えば、偏りの小ささの判定は、偏りが所定の基準を満たしているか否かによって判定する。所定の基準とは、偏りが小さいことを判定する基準であり、例えば、偏りが所定の値よりも小さいという基準である。
＜実施形態の概要＞
＜実施形態の概要＞
【0054】
実施形態を具体的に説明する前に、概要を説明する。本実施形態の割り当て装置および割り当て方法は、イジング問題をＬＨＺ方式で表し、かつ、ＬＨＺ方式をペガサスグラフ上に表現して解く際、イジング問題の変数をペガサスグラフ上のノードに割り当てる。
【0055】
本実施形態の割り当て方法は、大きく２つのステップに分けられる。
【0056】
第１のステップは、ＬＨＺ方式で用いられるコスト関数（式（３））を３つ以上の変数の積が現れないコスト関数に変換する。この変換として、例えば、非特許文献３に記載されている方法を用いる。変換後のコスト関数は以下の通りである。
【0057】
【数5】
【0058】
式（５）におけるＪｉｊ、σｉｊ、Ｃは、変換前のコスト関数である式（３）におけるＪｉｊ、σｉｊ、Ｃと同じである。式（５）において、ｉおよびｊも式（３）におけるｉおよびｊと同じ範囲の値を取り得る。τｉ，ｊは１か－１を取り得るイジング変数で、変換によって新しく生じた変数（補助変数）である。
【0059】
式（５）のコスト関数は、イジング変数が３つ以上からなる積を含まないので、σとτとを区別せずにイジング変数ｓとして表せば、式（２）の形で表すことができる。このときのｓｉとｓｊとの係数であるＪｉｊは、一般に、式（５）に現れるＪｉｊとは異なるが、Ｊｉｊの値とＣとの値に基づいて計算し、導出することができる。
【0060】
式（５）のコスト関数を最小にするσｉｊの値の組合せは、式（３）のコスト関数を最小にするσｉｊの値の組合せと同じである。コスト関数を最小にするときτｉ，ｊの値も定まるが、それは解こうとしている問題（Ｊｉｊで定まる問題）の解には含まれない。τｉ，ｊは、式（５）のコスト関数内の変数σの４つの積を２つの積に分解するために導入されている。
【0061】
図７は、コスト関数における変数間の積の構造を示す説明図である。式（５）で表されるコスト関数の変数を図７に例示されているような格子点上の変数としたとき、コスト関数における変数の積を、格子点間のエッジとして記述できる。格子点間のエッジは、図７には示されていない。例えば、σ１２、σ１３、σ２２、σ２３、τ１２の部分だけ取り出してエッジを描くと図８に示すようになる。図８は、コスト関数における変数間の積の構造の一部を示す説明図である。σ同士のエッジは実線で図示され、σとτの間のエッジは点線で図示されている。格子の他の部分にも同様の構造が見られる。
【0062】
図９は、コスト関数における変数間の積の構造の一部を示す説明図である。コスト関数の変数間の関係性を表した周期的構造として、図９のような正方格子を考えることもできる。丸はσ、四角はτを表す。図９に示されているエッジは、式（５）で表されるコスト関数の変数の積の一部を表している。変数の積は、例えば、σとτとの積である。コスト関数にはσ同士の積もあるが、それらは図９ではエッジとして表されていない。それらは、図９におけるノード間の空間的距離に基づいて、第２近接ノードの変数同士と第３近接ノードとの変数同士の積である。この格子構造は以下に述べる第２のステップで用いる。
【0063】
第２のステップは、第１のステップでの変換によって得られた式（５）のコスト関数の変数σとτｉ，ｊとをペガサスグラフ上の複数のノードに割り当てるステップである。このとき、ノードの数が少ないチェインを構成することで、全体の使用ノード数が少なくなることを目指す。また、偏りのない割り当てが実現されることを目指す。チェインを構成するための方針を以下で説明する。特に、ノードの数が少ないチェインを構成するための方針と、その具体的方法を説明する。
【0064】
少ないノードのチェインによる割り当てを構成する基本的な方針は、式（５）のコスト関数の変数間の関係性を表した周期的構造とペガサスグラフの周期的構造とを対応させることである。コスト関数についての周期的構造とは上記の正方格子構造のことである。図９には、図７に示された構造に対応した周期的構造が示されている。上述したように、正方格子構造では隣接する格子点に割り当てられた変数同士のみが積としてコスト関数に現れる。ある格子点に隣接とは、該ある格子点にて定義される変数に対する積が定義されている格子であることを表す。ペガサスグラフではエッジでつながっているノードの組は限られている。エッジでつながっているノード同士は隣接するノードと解釈できる。正方格子構造がペガサスグラフ上に反映されることで、コスト関数で積になる変数同士を隣接するノード同士、もしくは隣接するノードに隣接する別のノードに割り当てることができる。これにより、チェインを長くする必要がなくなる。
【0065】
具体的に正方格子構造とペガサスグラフとの構造をどのように対応させるかを説明するために、まず、ペガサスグラフの構造を考える。図１０は、ペガサスグラフにおけるユニット列を示す説明図である。ペガサスグラフにおけるユニットは、他の複数のユニットと結合をもつ。図２に示す例では、ユニット自身の左下隣と右上隣のユニットとが最も多くの結合をもつ。このような多くの結合をもつユニットの列として、図１０に示すように左下から右上方向に延びるユニット列９５１ａ～９５１ｅを考えることができる。以下、これらの各々を単にユニット列と呼ぶ。ただし、図１０におけるユニット列９５１ａ，９５１ｂ，９５１ｄ，９５１ｅのように、ペガサスグラフ全体の端付近では、ユニット列に一部のノードが欠けたユニットが含まれることがある。ペガサスグラフには、ユニット列内のユニット間をつなぐエッジと、隣接するユニット列をつなぐエッジのみが存在する。隣接するユニット列とは、図１０におけるユニット列９５１ｂとユニット列９５１ｃのような、エッジでつながったユニット列の組を意味する。ユニット列９５１ａ，９５１ｂ，９５１ｄ，９５１ｅは、量子アニーリングマシンのハードウェアにおける複数の構成要素（ユニット）が、構成要素間の接続関係に従いグループ（ユニット列）分けされたグループ情報であるということもできる。グループ情報は、所与のグループ情報であってもよいし、構成要素間の接続関係に従いグループ分けする処理に従い取得される情報であってもよい。
【0066】
次に、式（５）のコスト関数の変数間の関係性を表した正方格子（図９参照）の格子点を図１１に示すように周期的に分割することを考える。図１１は、コスト関数における変数間の積の構造の一部とプラケット列とを示す説明図である。４つの格子点からなる正方形をプラケットと呼び、ここで分割されたそれぞれをプラケット列と呼ぶ。プラケット列は、例えば、図１１における部位９６１ｂなどである。変数を表す格子点全体の端付近では、４つの格子点からなる完全なプラケットではない部分もあるが、これらも含めて、周期的に分割し、分割によって生じたそれぞれの部分をプラケット列と呼ぶことにする。つまり、本実施形態では、部位９６１ａや部位９６１ｅもプラケット列である。
【0067】
図１４を参照しながら後述するように、割り当て部１０２は、式（５）に例示されるような、イジング問題において複数の変数からコスト関数を算出する処理手順を表す情報から、該複数の変数を、該処理手順における参照関係（あるいは、関係性）に従い、周期的構造を有する複数の処理群（プラケット列）に分ける処理を実行してもよい。言い換えると、割り当て部１０２は、式（５）に例示されているような処理（または、プログラム）を字句解析、構文解析等を実行することによって、該処理にて用いられている複数の変数を、添え字まで含めて特定する。割り当て部１０２は、２つの変数が掛け算されている場合に、該処理において該２つの変数に参照関係（あるいは、関係性）があると判定する。割り当て部１０２は、該関係性から周期的構造を抽出することによって、該処理（または、プログラム）を、周期的構造を有する複数の処理群（プラケット列）に分ける。周期的構造を判定する処理は、上述したような単位構造に基づく方法であってもよいし、異なる方法であってもよい。
【0068】
上述したように、変数の割り当てにおいて正方格子構造とペガサスグラフの構造とを対応させる。それは、プラケット列をユニット列に対応させることを意味する。１つのプラケット列内にある変数は、すべて同一のユニット列内に割り当てられる。異なるプラケット列は異なるユニット列に割り当てられる。そして、異なるプラケット列に属する変数の積は、異なるユニット列間のエッジとして表される。
【0069】
次に、変数の割り当ての概略を説明する。プラケット列の変数をユニット列のノードに割り当てることに注目する。まず、１つのプラケット（例えば、図１１におけるプラケット９６２ａ）を考える。プラケットの４つの変数が１つのユニット（図１０におけるユニット９５２ａとする。）内のノードに割り当てられる。具体的には、プラケットの４つの変数は、ユニット内の左下の４つのノード（図３におけるノード９１１ａ，９１１ｂ，９１２ｃ，９１２ｄ）に割り当てられる。プラケット内のノードとエッジとはペガサスグラフにおける４つのノードとそれらをつなぐエッジの部分グラフである。よって、ペガサスグラフにおける４つのノードでプラケットを表すことができる。
【0070】
プラケット列内の隣のプラケット（例えば、図１１におけるプラケット９６２ｂ）の４つの変数がペガサスグラフの同じユニット（図１０におけるユニット９５２ａ）内の残りの４つのノードに割り当てられる。ユニットの対称性により、この新しいプラケットも残りの４つのノード（図３におけるノード９１１ｃ，９１１ｄ，９１２ａ，９１２ｂ）によって表すことができる。２つのプラケットの両方に属する変数が２つある（図１１における変数９６３ａと変数９６３ｂ）。これらは、ペガサスグラフのユニット内の２つのノードに割り当てられることになる。具体的には、変数９６３ａが、ノード９１１ｂとノード９１２ｂとに割り当てられる。変数９６３ｂが、ノード９１１ｃとノード９１２ｃとに割り当てられる。これらの２つのノードはエッジでつながっている。変数で割り当てられたノードが、この変数のチェインになる。さらに、２つのプラケットに属する変数の積も、ユニット内のエッジで表すことができる。したがって、１つのユニットで、２つのプラケット内の変数とそれらの積とをすべて表すことができる。
【0071】
同じプラケット列内のさらに隣のプラケット（例えば、図１１におけるプラケット９６２ｃ）を考える。このプラケットは、ユニット列内の隣のユニット（図１０におけるユニット９５２ｂ）の左下の４つのノード（図３におけるノード９１１ａ，９１１ｂ，９１２ｃ，９１２ｄ）に割り当てられる。プラケット９６２ｂとプラケット９６２ｃとの両方に属している変数（図１１における変数９６３ｃと変数９６３ｄ）は、ユニット９５２ａの１つのノードとユニット９５２ｂの１つのノードとの合計２つのノードに割り当てられる。具体的には、変数９６３ｃがユニット９５２ａのノード９１２ａとユニット９５２ｂのノード９１１ａとに割り当てられる。変数９６３ｄがユニット９５２ａのノード９１１ｄとユニット９５２ｂのノード９１２ｄとに割り当てられる。これらの２つのノードはエッジでつながっている。変数が割り当てられたノードが、この変数のチェインになる。プラケット９６２ｂとプラケット９６２ｃとに属する変数の積も、ユニット間のエッジで表すことができる。したがって、２つのユニット９５２ａ，９５２ｂで、２つのプラケット９６２ｂ，９６２ｃの変数とそれらの積とをすべて表すことができる。
【0072】
上記の処理が繰り返されることで、プラケット列の変数とプラケット列内の変数の積とがユニット列のノードに適切に割り当てられる。そして、各変数のチェインの長さは２である。
【0073】
次に、隣接するプラケット列（図１１におけるプラケット列９６１ｃとプラケット列９６１ｄ）に属する変数同士の積を隣接するユニット列間のエッジで表すことを考える。具体的には、図１１におけるプラケット９６２ｃとプラケット９６２ｄとに属する変数同士の積を考える。プラケット９６２ｃの変数とプラケット９６２ｄの変数とは、それぞれ図１０におけるユニット列９５１ｃとユニット列９５１ｄとに割り当てられる。特に、図１０におけるユニット９５２ｂとユニット９５２ｃとに割り当てられることで、プラケット間の変数の積をすべてエッジで表すことができる。
【0074】
上記のような処理を繰り返すことで第１のプラケット列と第２のプラケット列とに属する変数間の積をすべて第１のユニット列と第２のユニット列との間のエッジとして表すことができる。プラケット列間の変数の積を表すために新しいチェインは新しく導入されていない。また、既存のチェインに新たにノードが加わることもない。したがって、各変数のチェインの長さは２のままである。
【0075】
図１２は、チェインを示す説明図である。上記の割り当ての方法で用いられるチェインは、図１２に例示されているようにユニット列内で任意の隣接する２つのユニットを考えたときに、チェイン９７１ａ，９７１ｂ，９７１ｃ，９７１ｄの４種類に分類される。これらのチェインの種類については後述する。変数を割り当てる際には、ペガサスグラフ内のユニットとチェインの種類とが指定される。そのようにして、使用するノードが一意に指定される。１つのイジング変数が割り当てられるユニットの位置とチェインの種類とが決められると、上述の手順により、すべての変数の割り当てを行うことができる。この割り当てによって、変数同士の積はペガサスグラフのエッジとしてすべて表される。後述するが、１つ目のイジング変数の割り当てを決めるためのパラメータは、ｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０と表される。これらのパラメータは、コスト関数における変数間の関係を表す繰り返し構造と、ペガサスグラフが有する繰り返し構造とを対応付けする基準を表しているということもできる。したがって、後述するように、このような所与の基準を用いて、コスト関数における繰り返し構造と、ペガサスグラフにおける繰り返し構造とを対応付けすることができる。
【0076】
以下、実施形態を、図面を参照して詳細に説明する。
[構成の説明]
[構成の説明]
【0077】
図１３は、本実施形態の計算システム１０の一例を示す説明図である。本実施形態では、割り当て装置１００が、イジング問題の変数とノードとの対応関係を決定する。図１３に示す計算システム１０では、イジング問題を解くために量子アニーリングマシン２００が使用されることを想定する。なお、量子アニーリングマシン２００の代わりに、ペガサスグラフを用いてイジング問題を解く他の任意の装置が用いられてもよい。また、計算システム１０は、量子アニーリングマシン２００に問題を入力し、計算結果の出力を得るための補助的な装置として、計算装置３００と入出力装置４００とを含む。このように、図１３に示す例では、計算システム１０は、割り当て装置１００と、量子アニーリングマシン２００と、計算装置３００と、入出力装置４００とを有する。
【0078】
割り当て装置１００は、入力として、イジング問題のイジング変数の数Ｎ、および、割り当てについてのパラメータであるｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０を受付けて、イジング問題の変数とペガサスグラフのノードとの対応関係を示す情報を出力する装置である。本実施形態では、イジング問題の変数とペガサスグラフのノードとの対応関係を示す情報は、入出力装置４００に入力される。入出力装置４００への情報の入力は、ユーザの入力操作を介して行われてもよいし、割り当て装置１００から直接入力されてもよい。イジング問題の変数の係数は、入出力装置４００に入力される。入出力装置４００への係数の入力は、ユーザの入力操作を介して行われてもよいし、計算装置３００から直接入力されてもよい。入出力装置４００は、量子アニーリングマシン２００との間の入出力処理を行う装置である。入出力装置４００は、割り当て装置１００および計算装置３００の出力結果に基づいて、使用する量子ビットと、量子ビット間の結合の強さとを量子アニーリングマシン２００に対し出力する。また、入出力装置４００は、量子アニーリングマシン２００から量子ビットの最終状態を取得し、イジング問題の解を出力する。
【0079】
なお、割り当て装置１００、計算装置３００、および入出力装置４００は、一般的なコンピュータ、すなわち、いわゆる古典コンピュータである。計算装置３００および入出力装置４００の機能の一部または全てが割り当て装置１００に組み込まれていてもよい。
【0080】
また、割り当て装置１００、量子アニーリングマシン２００、計算装置３００、および入出力装置４００の一部または全てはクラウドにより実現されてもよい。例えば、量子アニーリングマシン２００と入出力装置４００とだけがクラウドにより実現されてもよい。量子アニーリングマシン２００と入出力装置４００とだけがクラウドにより実現される場合、割り当て装置１００と計算装置３００とからの出力は、ネットワークを介して入出力装置４００に入力されてもよい。そして、入出力装置４００の出力が量子アニーリングマシン２００に入力され、量子アニーリングマシン２００からの出力が入出力装置４００に入力される。さらに、入出力装置４００からの計算結果の出力は、ネットワークを介して行われる。
【0081】
上述したように、割り当て装置１００は、イジング問題のイジング変数の数Ｎとイジング変数σ１，２が割り当てられるノードのパラメータｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０とを入力として受け付ける。そして、割り当て装置１００は、イジング問題のコスト関数（式（２））の表現に基づき、コスト関数のイジング変数をペガサスグラフ上のどのノードに割り当てるかを示す情報を出力する。
【0082】
また、計算装置３００は、解こうとしているイジング問題の変数の係数であるＪｉｊと正の値の範囲で調節すべきパラメータであるＣとを入力として受け取る。そして、計算装置３００は、この入力に基づいて、式（５）で示されるコスト関数のイジング変数の係数を計算し、出力する。イジング変数の係数とは、式（５）を式（２）の形で表したときの式（２）におけるＪｉｊを意味する。具体的には、計算装置３００は、ｉ＝１，２，．．．，Ｎと、ｊ＝ｉ，ｉ＋１，ｉ＋２，．．．，Ｎと、ｋ＝１，２，．．．，Ｎと、ｌ＝ｋ，ｋ＋１，ｋ＋２，．．．，Ｎとについて、変数σｉｊの係数および変数σｉｊとσｋｌとの積の係数のリストを出力する。
【0083】
割り当て装置１００の出力（割り当て結果）と計算装置３００の出力（イジング変数の係数）とは、入出力装置４００に入力される。さらに、ユーザが、チェイン内のノードをつなぐエッジに対応する量子ビット間の結合の強さ（チェイン強度）を指定し、入出力装置４００にその強さの値を入力する。この値として、チェイン内のノードの量子ビットがすべて同じ状態になるような値が入力される。ここで指定するチェイン強度は、すべてのチェインで同一であるとする。
【0084】
入出力装置４００は、割り当て結果、イジング変数の係数、チェイン強度を使って、量子アニーリングマシン２００で使用する量子ビットを決め、量子ビット間の結合の強さを算出する。ここで算出された量子ビット間の結合の強さには、チェイン内のエッジに対応する結合の強さも含まれている。結合の強さは、すべて、指定したチェイン強度と等しくなっている。そして、入出力装置４００は、使用する量子ビットのリストと量子ビット間の結合の強さとを量子アニーリングマシン２００へ入力する。
【0085】
量子アニーリングマシン２００は、入力で指定された量子ビットにおいて、入力で指定された量子ビット間結合の強さを実現する。そして、量子アニーリングマシン２００は、量子アニーリングを実行し、最終的な量子ビットの状態を示すリストを入出力装置４００に出力する。入出力装置４００は、量子ビットの状態を示すリストをイジング変数の値を示すリストに変換する。入出力装置４００は、図示しない出力装置（例えば、ディスプレイや電子ファイルなど）にリストを出力する。
【0086】
ペガサスグラフと量子アニーリングマシンとの関係は、上述した通りである。つまり、量子アニーリングマシン２００のどの量子ビットとどの量子ビットとが結合しているかが、ペガサスグラフの構造に対応している。すなわち、量子ビットはペガサスグラフのノードに対応し、量子ビット間の結合はペガサスグラフのエッジに対応する。量子ビットは２つの状態からなり、量子アニーリングマシン２００は、どちらの状態であるかを二値変数として扱うことができる。そして、量子アニーリングマシン２００は、この二値変数をイジング問題の変数に対応させることができる。量子アニーリングマシン２００は、イジング問題をペガサスグラフに対応させ、ペガサスグラフ上のノードに割り当てられたイジング変数の値と量子ビットの状態とを対応させることで、イジング問題を解くことができる。ただし、上述したように、量子アニーリングマシン２００は、イジング問題をペガサスグラフに対応させる際に、イジング問題の変数をペガサスグラフ上のノードに適切に割り当てる。
【0087】
以下、割り当て装置１００を詳細に説明する。図１４は、割り当て装置１００の構成の一例を示すブロック図である。割り当て装置１００は、図１４に示されるように、入力受付部１０１と、割り当て部１０２と、出力部１０３とを有する。入力受付部１０１は、イジング問題の変数の数Ｎ、イジング変数σ１，２の割り当てについてのパラメータであるｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０の入力を受付ける。この入力は、例えば、キーボードなどの入力装置（図示せず）を介して実行される。例えば、ユーザは、解きたいイジング問題の変数の数Ｎと、具体的に値を指定したｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０とを入力する。
【0088】
割り当て部１０２は、イジング問題のイジング変数を、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる処理を行う。すなわち、割り当て部１０２は、イジング問題のコスト関数における周期的構造をペガサスグラフの周期的構造に反映させ、各イジング変数をペガサスグラフのノードに割り当てる。
【0089】
出力部１０３は、割り当て部１０２による二値変数のノードへの割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力する。例えば、出力部１０３は、ディスプレイなどの出力装置（図示せず）に、対応関係を示す情報を出力する。出力部１０３は、例えば、二値変数とノードとの対応関係を示すリストを出力する。例えば、出力部１０３は、イジング変数σｉ，ｊやイジング変数τｉ，ｊが割り当てられるペガサスグラフ上のノードを列挙したリストを、ｉ＝１，２，．．．，Ｎとｊ＝ｉ＋１，ｉ＋２，．．．，Ｎについて列挙したリスト、すなわち、リストを含むリストを出力する。例えば、割り当て部１０２が、イジング変数σ１，２をノード０とノード１とに割り当て、イジング変数σ２，３をノード２とノード３とに割り当て、イジング変数τ１，２をノード４とノード５とに割り当て、イジング変数τ２，３をノード６とノード７とに割り当てる場合、出力部１０３は、｛σ１，２：［０，１］，σ２，３：［２，３］，τ１，２：［４，５］，τ２，３：［６，７］}と表される情報を出力する。
【0090】
図１５は、割り当て装置１００のハードウェア構成の一例を示すブロック図である。図１５に示す割り当て装置１００は、ネットワークインタフェース１５０、メモリ１５１、およびプロセッサ１５２を含む。ネットワークインタフェース１５０、メモリ１５１、およびプロセッサ１５２は、データバスなどを介して相互に接続されている。
【0091】
ネットワークインタフェース１５０は、他の任意の装置と通信するために使用される。ネットワークインタフェース１５０は、例えば、ネットワークインタフェースカード（ＮｉＣ）を含んでもよい。
【0092】
メモリ１５１は、例えば、揮発性メモリと不揮発性メモリとの組合せによって構成される。メモリ１５１は、プロセッサ１５２により実行される、１以上の命令を含むソフトウェア（コンピュータプログラム）、および割り当て装置１００の各種処理に用いるデータなどを格納するために使用される。
【0093】
プロセッサ１５２は、メモリ１５１からソフトウェア（コンピュータプログラム）を読み出して実行することで、図１４に示した各構成要素の処理を行う。
【0094】
プロセッサ１５２は、例えば、マイクロプロセッサ、ＭＰＵ（Ｍｉｃｒｏ Ｐｒｏｃｅｓｓｏｒ Ｕｎｉｔ）、またはＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）である。プロセッサ１５２は、複数のプロセッサを含んでもよい。
【0095】
このように、割り当て装置１００は、コンピュータとして機能する装置（情報処理装置）で実現可能である。
【0096】
なお、上述したプログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（ｎｏｎ－ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｒｅａｄａｂｌｅ ｍｅｄｉｕｍ）に格納され、コンピュータに供給され得る。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（ｔａｎｇｉｂｌｅ ｓｔｏｒａｇｅ ｍｅｄｉｕｍ）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えば、フレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスク）、光磁気記録媒体（例えば、光磁気ディスク）、ＣＤ－ＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）、ＣＤ－Ｒ、ＣＤ－ＲＷ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Ｐｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅ ＲＯＭ）、ＥＰＲＯＭ（Ｅｒａｓａｂｌｅ ＰＲＯＭ）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ））である。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ｒｅａｄａｂｌｅ ｍｅｄｉｕｍ）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体は、例えば、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）である。プログラムは、電線および光ファイバ等の有線通信路、または無線通信路を介して、コンピュータに供給されてもよい。
【0097】
以下、割り当て部１０２による割り当てを説明する。
【0098】
上述したように、割り当て部１０２は、割り当ての際、ユニットの位置とチェインの種類とを指定する。そこで、まず、ペガサスグラフのノードの指定方法を説明する。そして、ユニットの位置を指定する方法を説明し、その後、チェインの種類を説明する。
【0099】
上述したように、ペガサスグラフ上のノードの座標は、（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）によって表される。取り得る値は、それぞれｕ＝０，１、ｗ＝０，１，．．．，Ｍ－１、ｋ＝０，１，．．．，１１、ｚ＝０，１，．．．，Ｍ－２である。Ｍは、ペガサスグラフ全体の大きさを表すパラメータである。ここでは、Ｍは十分大きいとする。ただし、割り当て装置１００がイジング変数のノードへの割り当てのリストを出力する際に、ノードの座標自体は出力に用いられない。その代わりに、座標から一意に決まるノードの番号が用いられる。ノードの座標が（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）のとき、そのノードの番号をｘとすると、ｘは、式（６）で与えられる。
【0100】
【数6】
【0101】
ただし、（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）からｘに変換する処理は、式（６）に例示された処理に限定されない。変換する処理は、異なる２つの座標（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）が、異なるｘに変換される処理であればよい。
【0102】
ただし、以下の説明では、上記のｘではなく、座標（ｕ，ｗ，ｋ，ｚ）を用いる。
【0103】
次に、割り当て部１０２がユニットの位置を指定する方法を説明する。ユニット内のノードのうちｕ＝０である４つのノードを考える。これら４つのノードのうちｋが最も小さいノード（図３におけるノード９１１ａ）の座標が（０，ｗ０，ｋ０，ｚ０）であるとする。このユニットをユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）と呼ぶことにする。ｋ０は、０、４、８のいずれかの値を取り得る。ユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）のｕ＝１の４つのノードのうちｋが最も小さいノード（図３におけるノード９１２ａ）の座標は、ｋ０の値ごとに次のように決まる。ｋ０＝０のとき、ノード９１２ａの座標は、（１，ｚ０，８，ｗ０－１）である。ｋ０＝４のとき、ノード９１２ａの座標は、（１，ｚ０＋１，４，ｗ０）である。ｋ０＝８のとき、ノード９１２ａの座標は、（１，ｚ０＋１，０，ｗ０)である。また、ユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）と同じユニット列に属し連接するユニットを、以下のようにｋ０の値に応じて指定できる。ｋ０＝０のとき、連接するユニットは、ユニット（ｗ０，８，ｚ）とユニット（ｗ０，４，ｚ－１）である。ｋ０＝４のとき、連接するユニットは、ユニット（ｗ０，０，ｚ＋１）とユニット（ｗ０，８，ｚ）である。ｋ０＝８のとき、連接するユニットは、ユニット（ｗ０，４，ｚ）とユニット（ｗ０＋１，０，ｚ）である。それぞれのｋ０に応じた２つずつのユニットのうち、前者を左下隣のユニット、後者を右上隣のユニットと呼ぶことにする。特に右上隣のユニットへ移るときの座標の変化は、以下のように式（７）で表される。
【0104】
（ｗ，ｋ，ｚ）－＞（ｗ，４，ｚ－１） （ｋ＝０のとき）
（ｗ，８，ｚ） （ｋ＝４のとき） 式（７）
（ｗ＋１，０，ｚ） （ｋ＝８のとき）
（ｗ，８，ｚ） （ｋ＝４のとき） 式（７）
（ｗ＋１，０，ｚ） （ｋ＝８のとき）
【0105】
次に、チェインの種類を説明する。チェインの種類は、隣接する２つのユニット内のノードの相対的な位置関係のみによって決まる。チェインの種類は、隣接する２つのユニットのペガサスグラフ内での位置には依存しない。そのため、図１２に示すようにユニット列で隣接する２つのユニット９７２ａとユニット９７２ｂとを考える。ユニット９７２ｂは、ユニット９７２ａの右上隣のユニットである。ペガサスグラフ内でのユニット９７２ａの位置は、任意である。ここで、ユニット９７２ａのｕ＝０の４つのノードをｋの小さい順にノードＡ００，Ａ０１，Ａ０２，Ａ０３と呼び、ユニット９７２ａのｕ＝１の４つのノードをｋの小さい順にノードＡ１０，Ａ１１，Ａ１２，Ａ１３と呼ぶ。ユニット９７２ｂのｕ＝０の４つのノードをｋの小さい順にノードＢ００，Ｂ０１，Ｂ０２，Ｂ０３と呼び、ユニット９７２ｂのｕ＝１の４つのノードをｋの小さい順にノードＢ１０，Ｂ１１，Ｂ１２，Ｂ１３と呼ぶ。チェインの種類は４つある。それらをチェイン種類（以下、これもチェインと呼ぶ。）α，β，γ，δと呼ぶことにする。これらは、すべて２つのノードからなる。それぞれのチェインで使用するノードは、上記のノードで次のように構成される。チェインαは、ノードＡ１２とノードＡ０２とで構成される。チェインβは、ノードＡ０１とノードＡ１１とで構成される。チェインγは、ノードＡ０３とノードＢ１３とで構成される。チェインδは、ノードＡ１０とノードＢ００とで構成される。つまり、図１２において、チェインαはチェイン９７１ａである。チェインβはチェイン９７１ｂである。チェインγはチェイン９７１ｃである。チェインδはチェイン９７１ｄである。
【0106】
割り当て部１０２は、変数を割り当てる際に、上記のユニット９７２ａのペガサスグラフ内での位置（ｗ，ｋ，ｚ）とチェインの種類とを指定する。これにより、割り当てるノードが特定される。そこで、ユニット９７２ａの位置とチェインの種類とを１つにして表すことで、ノードが特定されたチェインを表すことにする。例えば、ユニット９７２ａがユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）であり、チェインの種類がチェインαであるとき、このチェインをα（ｗ０，ｋ０，ｚ０）と表す。チェインの種類がチェインβ，γ，δのときも同様に表す。変数の割り当ては、各変数と上記の各チェインとを対応付けることに帰着する。
【0107】
以下、割り当て部１０２がユニットの位置とチェインの種類とを指定することで変数の割り当てを行う具体的な方法を説明する。
【0108】
上述したように、割り当て部１０２は、イジング変数の正方格子構造におけるプラケット列をユニット列に対応させるように割り当てを行う。まずは、割り当て部１０２が１つのプラケットを１つのユニットに対応させる方法を示す。イジング変数σｉ＋１，ｊ＋１、τｉ，ｊ、τｉ＋１，ｊ、σｉ＋１，ｊからなる１つのプラケットを考える。図１６において、イジング変数σｉ＋１，ｊ＋１，τｉ，ｊ，τｉ＋１，ｊ，σｉ＋１，ｊは、それぞれ、イジング変数９８１ａ，９８１ｂ，９８１ｃ，９８１ｄであるとする。プラケットは、プラケット９８２ａであるとする。割り当て部１０２は、プラケット９８２ａの各イジング変数をそれぞれチェインα（ｗ０，ｋ０，ｚ０）、チェインβ（ｗ０，ｋ０，ｚ０）、チェインγ（ｗ０，ｋ０，ｚ０）、チェインδ（ｗ０，ｋ０，ｚ０）に割り当てる。
【0109】
次に、割り当て部１０２が、プラケット列をユニット列に対応させる方法を説明する。プラケット９８２ａが属するプラケット列９８３ａ内で、プラケット９８２ａの２つ隣のプラケット９８２ｂを考える。プラケット９８２ｂは、イジング変数σｉ＋２，ｊ，τｉ＋１，ｊ－１，τｉ＋２，ｊ－１，σｉ＋２，ｊ－１からなる。割り当て部１０２は、この４つの変数をユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）の右上隣のユニットにあるチェインα，β，γ，δにそれぞれ割り当てる。右上隣のユニットへ移るとき、式（７）のように座標が変化する。割り当て部１０２は、これを繰り返して、プラケット列９８３ａのすべてのイジング変数を同一ユニット列のノードからなるチェインに割り当てることができる。したがって、プラケット列内の１つのプラケットをどのユニットに割り当てるかを決めれば、そのプラケット列内のすべてのプラケットの割り当てが決まる。したがって、割り当て部１０２は、量子アニーリングマシンのハードウェアにおける複数の構成要素（ユニット）が、構成要素間の接続関係に従いグループ（ユニット列）分けされた所与のグループ情報に従い、処理群（すなわち、プラケット列）を、それぞれ、１つのグループ（ユニット列）が処理するよう割り当てを決めるともいうことができる。係る処理によれば、ノード数の偏りが少なく、使用するノード数が少なくなるよう割り当てをすることができる。これは、周期的構造を有する複数の処理群について、量子アニーリングマシンのハードウェア構成が有する周期的な構成に従い、各処理群を各グループに割り当てるからである。
【0110】
プラケット列をユニット列へ対応させる際、次のような規則に従って、イジング変数がチェインの種類に割り当てられる。２つの添え字の和が等しいイジング変数σは、すべて同じ種類のチェインに割り当てられる。同様に、２つの添え字の和が等しいイジング変数τは、すべて同じ種類のチェインに割り当てられる。この規則が成立するのは、ペガサスグラフにおいてユニット列の右上へユニット１つ分進むと、割り当てられるイジング変数の１つ目の添え字が１だけ増え、２つ目の添え字が１だけ減るためである。上記のプラケット列９８３ａの場合、２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋２のイジング変数σがチェインαに割り当てられる。２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋１のイジング変数σがチェインδに割り当てられる。そして、２つの添え字の和がｉ＋ｊのイジング変数τがチェインβに割り当てられる。２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋１のイジング変数τがチェインγに割り当てられる。
【0111】
次に、隣接するプラケット列を考える。図１６に示す例では、上記のプラケット列９８３ａに隣接するプラケット列は、プラケット列９８３ｂである。プラケット列９８３ｂに含まれるイジング変数は、隣接するユニット列のチェインに割り当てられる。割り当て部１０２は、隣接するプラケット列内のイジング変数の積が、ノード間のエッジで表されるように割り当てるユニットを選ぶ。イジング変数σｉ＋１，ｊ＋１，τｉ，ｊ，τｉ＋１，ｊ，σｉ＋１，ｊからなるプラケットとイジング変数τｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋１，ｊ＋１からなるプラケットとを考える。
【0112】
図１６において、それらのプラケットは、イジング変数９８１ａ，９８１ｂ，９８１ｃ，９８１ｄからなるプラケット９８２ａと、イジング変数９８１ｉ，９８１ｊ，９８１ｋ，９８１ｌからなるプラケット９８２ｃである。割り当て部１０２が、プラケット９８２ａのイジング変数９８１ａ，９８１ｂ，９８１ｃ，９８１ｄをこの順にユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）のチェインα，β，γ，δに割り当てるとする。プラケット９８２ｃが割り当てられるユニットは、ｋ０の値に応じて以下のように定まる。すなわち、割り当て部１０２は、以下のように、プラケット９８２ｃをユニットに割り当てる。ｋ０＝０のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｃをユニット（ｗ０，４，ｚ０)に割り当てる。ｋ０＝４のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｃをユニット（ｗ０，８，ｚ０＋１）)に割り当てる。ｋ０＝８のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｃをユニット（ｗ０＋１，０，ｚ０＋１）に割り当てる。２つのプラケットが割り当てられるユニットのペガサスグラフ内での相対的な位置関係は、すべてのｋ０の値で同じである。プラケット９８２ｃの各イジング変数９８１ｉ，９８１ｊ，９８１ｋ，９８１ｌは、この順でそのユニットのチェインα，β，γ，δに割り当てられる。以上のようにして、１つのプラケット列が割り当てられるユニットが決まると、隣接するプラケット列が割り当てられるユニットがすべて一意に決まる。この割り当てにより、隣接するプラケットに属するイジング変数の積は、すべてペガサスグラフのエッジに対応付けられる。
【0113】
上記の割り当てにおいて、プラケット９８２ｃが属するプラケット列９８３ｂでは、２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋３のイジング変数σがチェインβに割り当てられる。２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋４のイジング変数σがチェインγに割り当てられる。２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋３のイジング変数τがチェインαに割り当てられる。２つの添え字の和がｉ＋ｊ＋２のイジング変数τがチェインδに割り当てられる。プラケット９８２ａでは、イジング変数σがチェインαとチェインδとに割り当てられるのに対して、プラケット９８２ｃでは、イジング変数σがチェインβとチェインγとに割り当てられる。つまり、プラケット列のイジング変数σがチェインαとチェインδとに割り当てられるとき、そのプラケット列に隣接するプラケット列に属するイジング変数σは、チェインβとチェインγとに割り当てられる。
【0114】
上記の２つのプラケット列９８３ａとプラケット列９８３ｂとにおけるイジング変数σの２つの添え字の和とチェインの種類とをまとめると、添え字の和とチェインの種類とは、ｉ＋ｊ＋１とチェインδ、ｉ＋ｊ＋２とチェインα、ｉ＋ｊ＋３とチェインβ、ｉ＋ｊ＋４とチェインγとなっている。ここでの割り当てにおいて、プラケットは、イジング変数σの２つの添え字の和が２だけ増えるごとに隣接するユニット列に割り当てられる。そして、添え字の和とチェインの種類との対応関係は、添え字の和について周期４の周期性がある。つまり、上記の例では、例えば和がｉ＋ｊ＋５とｉ＋ｊ＋７の変数は、隣接するユニット列のチェインδとチェインβとにそれぞれ割り当てられる。周期性はあるものの、添え字の和だけでチェインの種類が一意に定まるわけではないことに注意する。割り当て部１０２が、いずれか１つのイジング変数のチェインの種類を指定することで、添え字の和とチェインの種類とを一意に対応させることができる。例えば、上記の場合、イジング変数σｉ＋１，ｊ＋１がチェインαに割り当てられているため、他のイジング変数が割り当てられるチェインが一意に定まる。
【0115】
同様の周期性はτにもみられる。周期性に加えて次のような関係性もある。イジング変数σｉ，ｊについてｉ＋ｊ＝ｍのとき、２つの添え字の和がｍ＋１であるイジング変数τは、イジング変数σｉ，ｊが割り当てられるチェインと同じ種類のチェインに割り当てられる。例えば、上記の割り当てでは、イジング変数σｉ＋１，ｊ＋１がチェインαに割り当てられ、イジング変数τｉ＋１，ｊ＋２もチェインαに割り当てられる。これは、隣のプラケット列へ移るごとに割り当てるチェインの種類がイジング変数σとイジング変数τとで入れ替わることに由来する。
【0116】
プラケット列のイジング変数σが同一ユニット列のチェインαとチェインδとに割り当てられるとき、隣接するプラケット列がどのように割り当てられるかが説明された。一方、プラケット列のイジング変数σが同一ユニット列のチェインβとチェインγとに割り当てられるとき、隣接するプラケット列をどのように割り当てるかを以下で説明する。
【0117】
イジング変数τｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋１，ｊ＋１からなるプラケットが、この順にユニット（ｗ０，ｋ０，ｚ０）のチェインα，β，γ，δに割り当てられているとする。このプラケットは、図１６に示す例では、イジング変数９８１ｉ，９８１ｊ，９８１ｋ，９８１ｌからなるプラケット９８２ｃである。プラケット９８２ｃは、プラケット列９８３ｂに含まれている。隣接するプラケット列のイジング変数σｉ＋３，ｊ＋３，τｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋３，ｊ＋２，σｉ＋３，ｊ＋２からなるプラケットを考える。このプラケットは、図１６に示す例では、イジング変数９８１ｍ，９８１ｎ，９８１ｏ，９８１ｐからなるプラケット９８２ｄである。プラケット９８２ｄは、プラケット列９８３ｃに含まれている。割り当て部１０２は、プラケット９８２ｄを、ｋ０の値に応じて、以下のように、ユニットに割り当てる。ｋ０＝０のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｄを、ユニット（ｗ０，８，ｚ０）に割り当てる。ｋ０＝４のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｄを、ユニット（ｗ０＋１，０，ｚ０＋１）に割り当てる。ｋ０＝８のとき、割り当て部１０２は、プラケット９８２ｄを、ユニット（ｗ０＋１，４，ｚ０）に割り当てる。そして、割り当て部１０２は、イジング変数σｉ＋３，ｊ＋３，τｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋３，ｊ＋２，σｉ＋３，ｊ＋２をこの順にそのユニットのチェインα，β，γ，δに割り当てる。なお、プラケット９８２ｄのイジング変数σｉ＋３，ｊ＋３，τｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋３，ｊ＋２，σｉ＋３，ｊ＋２の添え字の値は、最初に考えたプラケット９８２ａのイジング変数σｉ＋１，ｊ＋１，τｉ，ｊ，τｉ＋１，ｊ，σｉ＋１，ｊのｉとｊとをそれぞれ２だけ大きくすると得られる。
【0118】
これまでに見てきた関係性から１つのユニットに割り当てられるプラケット内のイジング変数の添え字の相対的な関係とチェインとの組合せがわかる。この相対的な関係とは、１つのイジング変数とそれが割り当てられるチェインとが与えられれば、そのイジング変数と同じユニットに割り当てられるプラケット内の他のイジング変数とそれらが割り当てられるチェインとを特定できるということを意味する。このような相対的な関係は、２種類ある。
【0119】
１種類目は、プラケット９８２ａに対するイジング変数σｉ＋１，ｊ＋１，τｉ，ｊ，τｉ＋１，ｊ，σｉ＋１，ｊについての関係である。チェインの種類は、この順にチェインα，β，γ，δである。これらのイジング変数の添え字のｉを正の整数ｍだけ大きくし、ｊをｍだけ小さくすると、それらイジング変数は同じユニット列のｍだけ右上隣に移動したユニットに割り当てるイジング変数の添え字の値になる。また、ｉとｊをともに２×ｍだけ大きくすると、２×ｍだけ隣のプラケット列のプラケットのイジング変数の添え字になり、それらイジング変数は２×ｍだけ隣のユニット列に割り当てられる。
【0120】
２種類目は、プラケット９８２ｃに対するイジング変数τｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋１，ｊ＋２，σｉ＋２，ｊ＋２，τｉ＋１，ｊ＋１についての関係である。チェインの種類は、この順にチェインα，β，γ，δである。このプラケットは、１種類目のプラケットの隣のプラケット列に属する。このプラケットは、１種類目のプラケット列が割り当てられるユニット列の隣のユニット列に割り当てられる。１種類目のプラケットと同様に、イジング変数の添え字のｉをｍだけ大きくし、ｊをｍだけ小さくすると、それらイジング変数は同じユニット列のｍだけ右上隣に移動したユニットに割り当てられるイジング変数の添え字の値になる。また、ｉとｊをともに２×ｍだけ大きくすると、２×ｍだけ隣のプラケット列のプラケットのイジング変数の添え字になり、それらイジング変数は２×ｍだけ隣のユニット列に割り当てられる。この２種類のみでユニットに割り当てられるすべてのプラケットが表される。例えば、イジング変数σ１，３がチェインαに割り当てられたとき、このイジング変数は、１種類目のプラケットに属する。そして、同じプラケットにあるイジング変数τ０，２、τ１，２、σ１，２が同じユニットのチェインβ、γ、δにそれぞれ割り当てられる。また、イジング変数σ１，３がチェインβに割り当てられたとき、このイジング変数は、２種類目のプラケットに属する。そして、同じプラケットにあるイジング変数τ１，３、σ２，３、τ１，２が同じユニットのチェインα、γ、δにそれぞれ割り当てられる。
【0121】
以上のように、１つのプラケットが割り当てられるユニットを割り当て部１０２が指定することで、すべてのプラケットが割り当てられるユニットが定まる。一般には、割り当て部１０２が最初に指定するプラケットは、どのプラケット列のものでも良い。最初に指定するプラケット列のイジング変数σがチェインαとチェインδとに割り当てられるかチェインβとチェインγとに割り当てられるかは任意である。したがって、１つのイジング変数が割り当てられるチェインの種類と位置とを割り当て部１０２が定めると、その変数が属するプラケット内の他の変数が割り当てられるチェインが定まる。これにより最初のプラケットの割り当てが決まる。上記の割り当て方法により、すべてのプラケット、つまりすべての変数が割り当てられるチェインが定まる。
【0122】
本実施形態では、割り当て部１０２は、まず、イジング変数σ１，２が割り当てられるチェインを指定する。次に、隣接するプラケット列を順に考え、割り当て部１０２が、ｊ＝３，４，．．．，Ｎのイジング変数σ１，ｊが割り当てられるチェインを指定する。その後、割り当て部１０２は、他のイジング変数の割り当てを行う。割り当て部１０２が、チェインを指定する際に関数ｃ［ｉ］を利用する。また、整数ｉを整数ｊで割ったときの余りを、ｉ％ｊと表す。ｃ［ｉ］は、チェインの種類を表す。ｉ％４が０のとき、チェインの種類はチェインαである。ｉ％４が１のとき、チェインの種類はチェインβである。ｉ％４が２のとき、チェインの種類はチェインγである。ｉ％４が３のとき、チェインの種類はチェインδである。
【0123】
イジング変数σ１，２が割り当てられるチェインをｃ［ｃ０]（ｗ０，ｋ０，ｚ０）と呼ぶことにする。ｃ０は、０、１、２、３のいずれかである。このとき、イジング変数σ１，ｊが割り当てられるチェインの種類は、チェインｃ［ｃ０＋ｊ－２］である。チェインが属するユニットは、以下の規則で導出される。イジング変数σ１，ｊがチェインｃ［ｃ０＋ｊ－２］（ｗｊ，ｋｊ，ｚｊ）に割り当てられているとき、イジング変数σ１，ｊ＋１が割り当てられるユニットを(ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，zｊ＋１)とする。（ｃ０＋ｊ－２）％４が０か２のときは、(ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，zｊ＋１)は、式（８）のようになる。
【0124】
【数7】
【0125】
（ｃ０＋ｊ－２）％４が３のときは、(ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，zｊ＋１)は、式（９）のようになる。
【0126】
【数8】
【0127】
（ｃ０＋ｊ－２）％４が１のときは、(ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，zｊ＋１)は、式（１０）のようになる。
【0128】
【数9】
【0129】
イジング変数σ１，ｊ＋１は、上記の規則に従って得られるチェインｃ［ｃ０＋ｊ－１］（ｗｊ＋１，ｋｊ＋１，ｚｊ＋１）に割り当てられる。この規則に基づいて、割り当て部１０２は、逐次的にｊ＝２，３，．．．，Ｎのイジング変数σ１，ｊを割り当てることができる。
【0130】
次に、割り当て部１０２は、イジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍ（ただし、ｉ＋ｍ＜ｊ－ｍ）が割り当てられるチェインを指定する。チェインの種類は２つの添え字の和で決まる。この場合、添え字の和は、任意のｍで、ｉ＋ｊである。したがって、チェインの種類は任意のｍで等しい。ｍ＝１－ｉのとき、つまり、イジング変数σ１，ｉ＋ｊ－1に関して、チェインの種類は、チェインｃ［ｃ０＋ｉ＋ｊ－３］である。イジング変数σ１，ｉ＋ｊ－１が割り当てられるユニットは、上記の規則によって決められる。他のｍについては、ｍが１大きくなるごとに、イジング変数が割り当てられるユニットが、ユニット列内の右上隣のユニットへ変わる。右上隣のユニットへ移るときの座標の変化は、式（７）で表される。これを明示的に示すために、イジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍが割り当てられるユニットを（ｗｍ，ｋｍ，ｚｍ）としたとき、イジング変数σｉ＋ｍ＋１，ｊ－ｍ－１が割り当てられるユニット（ｗｍ＋１，ｋｍ＋１，ｚｍ＋１）は、式（１１）のようになる。
【0131】
【数10】
【0132】
この規則に従って、割り当て部１０２は、逐次的に、イジング変数σｉ＋ｍ，ｊ－ｍの割り当てを行うことができる。
【0133】
割り当て部１０２は、以上のようにして割り当てたイジング変数σを用いて、イジング変数τが割り当てられるチェインも指定できる。上記の通り、１つのユニットに割り当てられるプラケット内のイジング変数の添え字の相対的な関係とチェインとの組合せは２種類のみである。そのため、同じプラケットに属するイジング変数σが割り当てられたチェインから、イジング変数τが割り当てられるチェインが一意に決まる。具体的には、チェインαに割り当てられたイジング変数σｉ，ｊの添え字ｉ，ｊを用いて、イジング変数τｉ－１，ｊ－１は、同じプラケットのチェインβに割り当てられる。イジング変数τｉ，ｊ－１は、同じプラケットのチェインγに割り当てられる。チェインβに割り当てられたイジング変数σｉ，ｊの添え字ｉ、ｊを用いて、イジング変数τｉ，ｊは、同じプラケットのチェインαに割り当てられる。イジング変数τｉ，ｊ－１は、チェインδに割り当てられる。割り当て部１０２は、このような割り当てを、ユニットに割り当てられた各プラケットに対して行う。以上の処理により、すべてのイジング変数τがチェインに割り当てられる。
【0134】
以上のように、割り当て部１０２が上記のｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０を指定すれば、逐次的に、すべてのイジング変数がペガサスグラフ上のチェインに割り当てられる。
【0135】
[動作の説明]
次に、本実施形態の動作を図を参照して説明する。図１７は、割り当て装置１００の動作の流れを示すフローチャートである。また、図１８は、計算システム１０によるイジング問題の計算動作の流れを示すフローチャートである。
次に、本実施形態の動作を図を参照して説明する。図１７は、割り当て装置１００の動作の流れを示すフローチャートである。また、図１８は、計算システム１０によるイジング問題の計算動作の流れを示すフローチャートである。
【0136】
図１７を参照して、割り当て装置１００の動作の流れを説明する。
【0137】
まず、割り当て装置１００の入力受付部１０１は、図示しない入力装置を介して、イジング問題の二値変数（イジング変数）の数Ｎと、１つのイジング変数σ０，１が割り当てられノードに関する情報であるｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０との入力を受付ける（ステップＳ１０１）。
【0138】
次に、割り当て装置１００の割り当て部１０２は、入力されたイジング変数の数のイジング問題を、予め記憶されている式（５）の形のイジング問題として表し、イジング変数σとイジング変数τとをペガサスグラフ上のノードへ割り当てる（ステップＳ１０２）。このとき、式（５）において、どの変数とどの変数とが積の形で現れるかという情報だけが必要であり、式（５）におけるその積の係数の具体的な値は不要である。割り当て部１０２は、Ｎ、ｃ０、ｗ０、ｋ０、ｚ０の値に応じて、上述したように割り当てを実行する。
【0139】
次に、割り当て装置１００の出力部１０３は、割り当て部１０２の割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力する（ステップＳ１０３）。この出力は、例えば、ディスプレイなどの出力装置（図示せず）に対して行われてもよいし、電子ファイルとしての出力であってもよい。
【0140】
次に、計算システム１０によるイジング問題の計算動作の流れを説明する。イジング問題を量子アニーリングマシン２００で解く場合、動作の流れは、図１８のフローチャートに示されるような流れとなる。
【0141】
まず、割り当て装置１００の出力（割り当てのリスト）と計算装置３００の出力（イジング変数の係数）とが、入出力装置４００に入力される（ステップＳ２０１）。さらに、ステップＳ２０１では、ユーザが、チェイン内のノードをつなぐエッジに対応する量子ビット間の結合の強さ（チェイン強度）を指定し、入出力装置４００にその強さの値を入力する。ここで指定するチェイン強度は、すべてのチェインで同一である。
【0142】
次に、入出力装置４００は、割り当てのリスト、イジング変数の係数、およびチェイン強度を使って、量子アニーリングマシン２００で使用する量子ビットを決めるとともに、量子ビット間の結合の強さを算出する（ステップＳ２０２）。量子アニーリングマシン２００は、上記の３つの入力があれば容易に計算を行える。ここで算出された量子ビット間の結合の強さには、チェイン内のエッジに対応する結合の強さも含まれている。結合の強さは、すべて、指定されたチェイン強度と等しくなっている。
【0143】
次に、入出力装置４００は、使用対象の量子ビットのリストと量子ビット間の結合の強さとを量子アニーリングマシン２００へ入力する（ステップＳ２０３）。
【0144】
次に、量子アニーリングマシン２００は入力で指定された量子ビットにおいて、入力で指定された量子ビット間の結合の強さを実現する（ステップＳ２０４）。
【0145】
次に、量子アニーリングマシン２００が量子アニーリングを実行する（ステップＳ２０５）。具体的には、量子アニーリングマシン２００内の量子ビットの状態が、初期状態から、量子ビット全体のエネルギーを最低にする状態へ遷移する。各量子ビットは、一般に２つの状態を取り得るが、最終的にどちらかの状態になる。
【0146】
そして、このときの各量子ビットの状態のリストが、量子アニーリングマシン２００から入出力装置４００に出力される（ステップＳ２０６）。
【0147】
次に、入出力装置４００は、量子ビットの状態のリストをイジング変数の値のリストに変換する（ステップＳ２０７）。変換結果は、例えば、σ１，２＝０、σ１，３＝２、．．．というものである。
【0148】
入出力装置４００は、このリストを出力する（ステップＳ２０８）。この出力は、例えば、ディスプレイなどの出力装置（図示せず）に対して行われてもよいし、電子ファイルとして出力されてもよい。
【0149】
[効果の説明]
本実施形態では、割り当て装置１００が、ＬＨＺ方式のコスト関数によって表されたイジング問題の変数をペガサスグラフ上のノードに割り当てる。上述したように、本実施形態による割り当てによれば、ペガサスグラフ上でのチェインの配置を工夫することにより、ノードの数が少ないチェインが構成される。その結果、全体の使用ノード数を少なくすることができる。また、割り当て装置１００は、各チェインに含まれるノード数に偏りのない割り当てを実現することができる。なお、本実施形態では、各チェインに含まれるノード数は、イジング問題の変数の数Ｎに依存せず、２である。
本実施形態では、割り当て装置１００が、ＬＨＺ方式のコスト関数によって表されたイジング問題の変数をペガサスグラフ上のノードに割り当てる。上述したように、本実施形態による割り当てによれば、ペガサスグラフ上でのチェインの配置を工夫することにより、ノードの数が少ないチェインが構成される。その結果、全体の使用ノード数を少なくすることができる。また、割り当て装置１００は、各チェインに含まれるノード数に偏りのない割り当てを実現することができる。なお、本実施形態では、各チェインに含まれるノード数は、イジング問題の変数の数Ｎに依存せず、２である。
【0150】
比較のため、式（５）のコスト関数が与えられたとき、非特許文献１に記載された割り当て方法に基づく割り当てを行うことを考える。非特許文献１に記載された割り当て方法に基づく割り当ての中でも、チェインに含まれるノード数に偏りのない方法を用いる。この場合、割り当てを行うことができる最大の変数の数Ｎは１９である。この割り当てでは、例えば、Ｎ＝１９の場合、各チェインに含まれるノードの数は１５である。
【0151】
同様に、式（５）のコスト関数が与えられたとき、非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てを行うことを考える。図１９には、非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てについての実験結果と本実施形態の割り当ての結果とが比較されている表が示されている。この例では、変数の数Ｎ＝３０である。非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てでは、試行ごとに割り当てが異なる。そこで、非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てを１００回試行した。各試行において、それぞれのチェインに含まれるノードの数のチェイン間（変数間）での平均と標準偏差とを計算した。そして、チェイン間での平均と分散とを計算し、１００回の試行における平均値と最小値とを計算した。計算結果が、図１９の表に示されている。１００回の試行におけるチェインに含まれるノード数の平均値は２．２であり、最小値は１．９であった。本実施形態の割り当てでは、チェインに含まれるノード数は２である。本実施形態におけるノード数は、非特許文献２に記載された割り当ての１００回の試行のノード数の平均値よりも小さな値になっている。すなわち、本実施形態の割り当ての方が全体の使用ノード数が少ない。しかし、非特許文献２に記載された割り当て方法の場合のチェインに含まれるノード数の平均の最小値は１．９である。すなわち、試行によっては非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当ての方が本実施形態の割り当てより少ない使用ノード数になる。しかし、非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てのチェインに含まれるノード数の標準偏差の１００回の試行における平均値は１．５であり、最小値は１．０であった。つまり、非特許文献２に記載された割り当て方法に基づく割り当てでは、いずれの試行においてもチェインに含まれるノード数に偏りがある。本実施形態の割り当てでは、すべてのチェインにおいてノード数は２であるため、ノード数の偏りがない。したがって、本実施形態の割り当ては、チェインに含まれるノード数に偏りのない割り当てを実現できる。
【0152】
次に、本発明の概要を説明する。図２０は、本発明による割り当て装置の主要部を示すブロック図である。割り当て装置８００は、ＬＨＺ方式のコスト関数を表したイジング問題の二値変数を、二値変数の数と二値変数の割り当てを決めるためのパラメータとに応じて、ペガサスグラフ上のノードに割り当てる割り当て手段８０１（実施形態では、割り当て部１０２で実現される。）と、二値変数のノードへの割り当て結果に基づいて、二値変数とノードとの対応関係を示す情報を出力する出力手段８０２（実施形態では、出力部１０３で実現される。）とを含み、割り当て手段８０１は、イジング問題のコスト関数で積になる二値変数の組の関係性を表した周期的構造を、ペガサスグラフ上のノードとエッジとにおける周期的構造に反映させ、二値変数をノードに割り当てる。
【0153】
以上、実施形態を参照して本願発明を説明したが、本願発明は上記の実施形態に限定されない。本願発明の構成や詳細には、本願発明のスコープ内で当業者が理解し得る様々な変更をすることができる。
【符号の説明】
【0154】
１００ 割り当て装置
１０１ 入力受付部
１０２ 割り当て部
１０３ 出力部
１５０ ネットワークインタフェース
１５１ メモリ
１５２ プロセッサ
２００ 量子アニーリングマシン
３００ 計算装置
４００ 入出力装置
８００ 割り当て装置
８０１ 割り当て手段
８０２ 出力手段
１０１ 入力受付部
１０２ 割り当て部
１０３ 出力部
１５０ ネットワークインタフェース
１５１ メモリ
１５２ プロセッサ
２００ 量子アニーリングマシン
３００ 計算装置
４００ 入出力装置
８００ 割り当て装置
８０１ 割り当て手段
８０２ 出力手段
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図17】
【図18】
【図19】
【図20】