(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】特許公報(B2)
(11)【特許番号】
(24)【登録日】2024-10-21
(45)【発行日】2024-10-29
(54)【発明の名称】機構の設計
(51)【国際特許分類】
G06F 30/10 20200101AFI20241022BHJP
G06F 30/20 20200101ALI20241022BHJP
G06F 111/04 20200101ALN20241022BHJP
【ＦＩ】
G06F30/10
G06F30/20
G06F111:04
【請求項の数】
12
(21)【出願番号】P 2020212612
(22)【出願日】2020-12-22
(65)【公開番号】P2021108118
(43)【公開日】2021-07-29
【審査請求日】2023-12-05
(31)【優先権主張番号】19306781.6
(32)【優先日】2019-12-27
(33)【優先権主張国・地域又は機関】EP
(73)【特許権者】
【識別番号】500102435
【氏名又は名称】ダッソー システムズ
【氏名又は名称原語表記】ＤＡＳＳＡＵＬＴ ＳＹＳＴＥＭＥＳ
(74)【代理人】
【識別番号】110001243
【氏名又は名称】弁理士法人谷・阿部特許事務所
(72)【発明者】
【氏名】ジャン－フランソワ ラモー
(72)【発明者】
【氏名】ルイシエン ルノー
【審査官】合田 幸裕
(56)【参考文献】
【文献】特開２０１８－０６３５９２（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開平０３－１２９４７６（ＪＰ，Ａ）
【文献】特開２００３－０６７４２７（ＪＰ，Ａ）
【文献】米国特許第５８３５６９３（ＵＳ，Ａ）
【文献】中国特許出願公開第１０９１７６５２５（ＣＮ，Ａ）
(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)
Ｇ０６Ｆ ３０／００ － ３０／３９８
ＩＥＥＥ Ｘｐｌｏｒｅ
ＪＳＴＰｌｕｓ（ＪＤｒｅａｍＩＩＩ）
(57)【特許請求の範囲】
【請求項1】
剛体および機械式継手を備える機構を設計するためのコンピュータ実施方法であって、前記機構は寸法パラメータと位置パラメータとを含むパラメータを有し、前記機構はパラメータ値を含む閉鎖方程式を有し、入力状態における前記機構を表す入力パラメータ値を提供するステップであって、前記入力パラメータ値は、入力寸法値を含む、該ステップと、
出力状態における前記機構を表す出力パラメータ値を決定するステップであって、前記出力パラメータ値は、出力寸法値を含み、決定するステップは、拘束下において目的関数を最小化するステップを含み、前記目的関数は、前記出力寸法値と前記入力寸法値との間の距離にペナルティを課し、前記拘束は、前記出力パラメータ値によって前記閉鎖方程式の検証を表す第１の拘束と、前記出力状態における前記機構の可動性を表す第２の拘束とを含む、該ステップと
を含むことを特徴とするコンピュータ実施方法。
【請求項2】
前記第２の拘束は、前記出力状態における前記機構の２次可動性を表す等式拘束であることを特徴とする請求項１記載のコンピュータ実施方法。
【請求項3】
前記目的関数は、微分可能であり、前記最小化するステップは、ラグランジュ写像導関数のゼロを見つけるステップを含み、前記ラグランジュ写像導関数は、ラグランジュ乗数を有する前記目的関数への拘束の挿入に基づいていることを特徴とする請求項２記載のコンピュータ実施方法。
【請求項4】
前記目的関数は、２回微分可能であり、前記見つけるステップは、前記入力状態に対応する点から開始して、ベクトル場に対応する微分方程式を積分するステップを含み、前記ベクトル場の各安定した平衡点は、ラグランジュ写像導関数のゼロであることを特徴とする請求項３記載のコンピュータ実施方法。
【請求項5】
前記微分方程式は、タイプが【数1】
Ｌは、ラグランジュ写像を表し、
ｘは、最小化の未知数を表し、
λは、ラグランジュ乗数を表す
ことを特徴とする請求項４記載のコンピュータ実施方法。
【請求項6】
前記等式拘束は、タイプがＦ（ｕ，ｐ）＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖｖ＋Ｆpp（ｕ，ｐ）ｗ＝０
｜｜ｖ｜｜2－１＝０
〈ｖ，ｗ〉＝０
であり、ここで、
・Ｆは、閉鎖方程式を表し、
・ｕは、機構の寸法値を表し、
・ｐは、機構の位置値を表し、
・ｖは、機構の軌道の接線を表し、
・ｗは、軌道の曲率を表す
ことを特徴とする請求項２ないし５のいずれか１つに記載のコンピュータ実施方法。
【請求項7】
前記拘束は、剛性継手非存在を表す、第３の拘束をさらに含むことを特徴とする請求項１ないし６のいずれか１つに記載のコンピュータ実施方法。
【請求項8】
前記第３の拘束は、タイプが【数2】
・βは、スカラを示し、
・ｖiは、ｖの座標ｉを表し、
・ｕiは、ｕの座標ｉを表す
ことを特徴とする請求項７に記載のコンピュータ実施方法。
【請求項9】
前記拘束は、前記出力状態における前記機構の非縮退を表す第４の拘束をさらに含むことを特徴とする請求項１ないし８のいずれか１つに記載のコンピュータ実施方法。
【請求項10】
請求項１ないし９のいずれか１つに記載のコンピュータ実施方法を実行するための命令を含むことを特徴とするコンピュータプログラム。
【請求項11】
請求項１０記載のコンピュータプログラムをその上に記録したことを特徴とするコンピュータ可読記憶媒体。
【請求項12】
メモリおよびグラフィカルユーザインターフェースに結合されたプロセッサを備え、前記メモリは、その上に請求項１０記載のコンピュータプログラムを記録したことを特徴とするシステム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、コンピュータプログラムおよびシステムの分野に関し、より詳細には、剛体および機械式継手を備える機構を設計するための方法、システム、およびプログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
オブジェクトの設計、エンジニアリング、製造のために、数々のシステムおよびプログラムが、市場において提供されている。ＣＡＤは、コンピュータ支援設計の頭字語であり、例えば、それは、オブジェクトを設計するためのソフトウェア解法（ｓｏｌｕｔｉｏｎ）に関連する。ＣＡＥは、コンピュータ支援エンジニアリングの頭字語であり、例えば、それは、将来の製品の物理的挙動をシミュレートするためのソフトウェア解法に関連する。ＣＡＭは、コンピュータ支援製造の頭字語であり、例えば、それは、製造プロセスおよび作業を定義するためのソフトウェア解法に関連する。そのようなコンピュータ支援設計システムにおいて、グラフィカルユーザインターフェースは、技法の効率に関して、重要な役割を果たす。これらの技法は、製品ライフサイクル管理（ＰＬＭ）システム内に組み込まれることがある。ＰＬＭとは、会社が、拡大企業体という概念全体にわたる、構想からそれらの寿命の終わりまで、製品データを共有し、共通のプロセスを適用し、製品の開発のための企業知識を活用することを助ける、ビジネス戦略を指す。（商標ＣＡＴＩＡ、ＥＮＯＶＩＡ、およびＤＥＬＭＩＡの下で）Ｄａｓｓａｕｌｔ Ｓｙｓｔｅｍｅｓによって提供されるＰＬＭ解法は、製品エンジニアリング知識を組織するエンジニアリングハブと、製造エンジニアリング知識を管理するマニュファクチャリングハブと、企業体統合ならびにエンジニアリングハブおよびマニュファクチャリングハブ両方への接続を可能にするエンタープライズハブとを提供する。すべてが一緒になって、システムは、最適化された製品定義、製造準備、生産、およびサービスを推進する、ダイナミックな知識ベースの製品作成および意思決定支援を可能にする、製品、プロセス、リソースを結び付けるオープンオブジェクトモデルを実現する。
【0003】
剛体および機械式継手（ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｊｏｉｎｔ）を備える機構の設計を可能にする、または助ける解法は、広範な重要性を獲得している。ＣＡＤシステムを使用することによって可動機構を設計することは、実際に、ますます一般的になりつつある。いくつかのＣＡＤシステムは、特に、設計者が、設計の初期段階において、機構の仮想バージョンを取り扱うことを可能にする。
【0004】
本開示を通して、それは、先行技術文献中の文献を参照することがある。
【0005】
本開示全体を通して、「自由度」という表現は、ＤＯＦと書かれることがある。典型的な機構は、完全な機械式継手によって互いに接続された、剛体から作られる。典型的な１ＤＯＦ機械式継手は、回転、ひねり、角柱である。典型的な２ＤＯＦ機械式継手は、ピンを有する円柱、球である。典型的な３ＤＯＦ機械式継手は、球、平面である。典型的な４ＤＯＦ機械式継手は、ボール－円柱、円柱－平面である。典型的な５ＤＯＦ機械式継手はボール－平面である。各機械式継手は、少なくとも１ＤＯＦであることを特徴とするにもかかわらず、機構の全体的な可動性または剛性は、本体（ｂｏｄｙ）と継手（ｊｏｉｎｔ）が組織される方法に密接に関連する。対偶およびＤＯＦは、当技術分野においてよく知られており、例えば、非特許文献１３からよく知られる。
【0006】
最先端技術は、機構のＤＯＦの数を計算するために、（「可動性インデックス」とも呼ばれる）クッツバッハ－グルーブラ基準を提供する。本体の数をｎbで、継手の数をｎjで表し、ｎが継手のＤＯＦの合計であるとし、各継手が、独立に考察される。次に、クッツバッハ－グルーブラ基準は、機構のいわゆる可動性インデックスδを、δ＝ｎ－ｇ（ｎj－ｎb＋１）によって計算し、ここで、ｇは、無拘束の任意の本体のＤＯＦの数である。平面または球機構については、ｇ＝３である。空間機構については、ｇ＝６である。可動性インデックスは、それぞれ剛体と関連付けられたｎb個のノードと、それぞれ継手と関連付けられたｎj個の弧とを含む、グラフを使用することによって、計算されてよい。各弧は、それぞれの継手のＤＯＦを用いてラベル付けされ、つまり、ｎは、すべてのラベルの合計である。
【0007】
図１は、平面可動機構を、ラベル付けされた本体および継手のグラフと一緒に例示している。明らかに、ｎb＝ｎj＝４、ｇ＝３であり、各継手は、平面回転であり、１ＤＯＦであることを特徴とし、そのため、予想される通り、ｎ＝４、δ＝ｎ－ｇ（ｎj－ｎb＋１）＝４－３（４－４＋１）＝１である。
【0008】
図２は、剛性組立体を、それのラベル付けされたグラフと一緒に例示している。ここで、ｎb＝５、ｎj＝６、ｇ＝３であり、各継手は、１ＤＯＦであることを特徴とし、そのため、予想される通り、ｎ＝６、δ＝ｎ－ｇ（ｎj－ｎb＋１）＝６－３（６－５＋１）＝０である。
【0009】
残念ながら、クッツバッハ－グルーブラ基準は、多くの現実世界の状況、特に、本開示の文脈において、疑わしいことが知られている。難点が、図３に例示されている。機構は、図２における機構と同じ本体および継手の配置である（しかし、同じ寸法ではない）ことを特徴とし、そのため、それは可動であるにもかかわらず、δ＝０である（例は、可動性が直感的に明らかであるように選択されている）。
【0010】
過剰拘束された可動機構の最新の定義は、以下の通りである。可動機構は、それの対応するクッツバッハ－グルーブラインデックスδが、非正である、すなわち、δ≦０である場合、過剰拘束されている。過剰拘束された機構の可動性は、特別な関係が実現されるとき、有効である。この関係は、本体の寸法を代数式に組み込み、「可動性条件」と呼ばれる。例えば、先の５つ棒の平面機構は、ｌ2＝ｌ4＝ｌ5およびｌ1＝ｌ3の場合に限って、可動性がある。
【0011】
過剰拘束された可動空間機構の典型的なクラスは、回転継手によって接続された本体のループから作られる。各本体は、図４に例示されるように、棒の長さｌと、回転軸間の角度αとによって、寸法取りされる。
【0012】
これらの機構は、図５に例示されるように、ループ内の本体の数に応じて、４Ｒ、５Ｒ、６Ｒ、７Ｒなどと名付けられる。文字「Ｒ」は、棒が回転継手を通して接続されることを意味する。
【0013】
２つまたは３つの本体から作られたループは、間違いなく剛性がある。逆に、４つ、５つ、または６つの本体から作られたループは、一般に、剛性があるが、何らかの特定の可動性条件が実現されたとき、可動であることができる。例えば、４Ｒ機構の可動性条件は、
ｌ1＝ｌ3
ｌ2＝ｌ4
α1＝α3
α2＝α4
ｌ2ｓｉｎα3＋ｌ3ｓｉｎα2＝０
であり、ここで、ｌiおよびαi、ｉ＝１，．．．，４は、それぞれの本体の寸法である。最後に、少なくとも７つの本体から作られたループ、７Ｒ、８Ｒなどは、常に可動である。
ｌ1＝ｌ3
ｌ2＝ｌ4
α1＝α3
α2＝α4
ｌ2ｓｉｎα3＋ｌ3ｓｉｎα2＝０
であり、ここで、ｌiおよびαi、ｉ＝１，．．．，４は、それぞれの本体の寸法である。最後に、少なくとも７つの本体から作られたループ、７Ｒ、８Ｒなどは、常に可動である。
【0014】
次の表は、これらの結果を集めたものである。
【0015】
【表1】
【0016】
基本的な難点は、可動性条件が、一般には、達成できないことである。それは、機構理論のコミュニティ内における多年の研究の後、非常に特定的な過剰拘束された機構（Ｂｅｎｎｅｔｔ ４Ｒ、Ｇｏｌｄｂｅｒｇ ５Ｒ、Ｂｒｉｃａｒｄ ６Ｒ）について知られている。しかし、非特許文献４に従うと、可動性条件は、効率的なアルゴリズムによって獲得されることができない。これは、過剰拘束された可動機構を作成することを不可能にし、ＣＡＤシステムに適合する時間フレーム内で編集することを不可能にする。
【0017】
その結果、今日では、それらの設計が非常に難しいので、少数の過剰拘束された機構だけしか、産業に貢献していない。ほとんどの設計者は、過剰拘束された機構の存在およびその特性に気づいていない。ときには、エンジニアは、それが過剰拘束されていることを知らずに、機構に取り組むことがある。設計される過剰拘束された機構は、剛性構造のように振る舞うので、エンジニアは、少なくとも１つの機械本体および１つの機械式継手を追加することによって、適切な動作を取得する。これは、剛性機構から可動機構を設計するための、業界の経験に従った、最も簡単な方法である。しかしながら、この操作は、３つの難点をもたらす。第１の難点は、本体および継手の数に起因する、追加の製造コストである。第２の難点は、制御される追加のパラメータである。第３の難点は、本体の数に起因する、追加の出荷コストである。逆に、過剰拘束された可動機構は、より少ない本体およびより少ない継手を用いて、同じ機能を果たし、したがって、コストを削減する。
【0018】
例えば、図６は、６Ｒの過剰拘束された可動機構に基づいた、プラットフォームを例示している。図７に示される対応する等拘束されたプラットフォームは、６つのアクチュエータに基づく。６Ｒプラットフォームは、約６個の本体を含み、一方、アクチュエータプラットフォームは、約１２個の本体を含む。過剰拘束された可動機構の別の産業用途は、図８に例示されるような、空間的な６Ｒの過剰拘束された機構に基づいた、産業用シェーカ－ミキサーである。
【0019】
過剰拘束された可動機構が役立つ産業分野は、マニピュレータロボットと、平面機構のネットワークとを含む。実際、マニピュレータロボットは、制御された軸を必要とし、大きいＤＯＦで動作し、高価な機械という結果となる。さらに、この柔軟性は、与えられたタスクのために、常に必要とは限らないことがある。平面機構のネットワークとして、平面機構ユニットは、単一の過剰拘束された機構と比較して、同じ動きを達成するために、より多くのリンクを必要とすることがある。したがって、これらの過剰拘束された機構が、簡単かつ迅速に作成される場合、より多くの産業用途が、同じ機能のために、より簡単な機構の恩恵を受けることができる。非特許文献８ないし１３は、これらのトピックに言及している。
【0020】
この状況内において、剛体および機械式継手を備える機構を設計するための改善された解法の必要性が、依然として存在する。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0021】
【文献】Ｒｅｎａｕｄ Ｒ．， Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｄｅｓ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｄ’ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｄ’ｕｎｅ ｃｌａｓｓｅ ｄｅ ｓｙｓｔｅｍｅｓ ｄｅ ｓｏｌｉｄｅｓ ｓｕｒｃｏｎｔｒａｉｎｔｓ ａｖｅｃ ｌｅｓ ｂａｓｅｓ ｄｅ Ｇｒｏｂｎｅｒ （Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｐａｔｉｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｆａｍｉｌｙ ｏｆ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｙｓｔｅｍｓ ｕｓｉｎｇ Ｇｒｏｂｎｅｒ ｂａｓｅｓ）， Ｐｈ．Ｄ ｔｈｅｓｉｓ， ＬＩＳＭＭＡ （ＥＡ２３３６）， Ｅｃｏｌｅ ｄｏｃｔｏｒａｌｅ ｄｅ Ｃｅｎｔｒａｌｅ Ｐａｒｉｓ， （２０１４）
【文献】Ｌｉｕ， Ｒ．， Ｓｅｒｒｅ， Ｐ．， Ｒａｍｅａｕ， Ｊ．－Ｆ．， Ｃｌｅｍｅｎｔ， Ａ．， ２０１５． Ｇｅｎｅｒｉｃ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｙｍｂｏｌｉｃ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｒｏｂｎｅｒ Ｂａｓｉｓ ｆｏｒ Ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ａｓｓｅｍｂｌｉｅｓ． Ｐｒｏｃｅｄｉａ ＣＩＲＰ ２７， ２２３－２２９
【文献】Ｒａｍｅａｕ， Ｊ．－Ｆ．， Ｓｅｒｒｅ， Ｐ．， ２０１６． Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｏｆ ｒｉｇｉｄｉｔｙ ａｎｄ ｍｏｂｉｌｉｔｙ． ＣＡＤ Ｃｏｍｐｕｔ． Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓ． ７１， １－１４
【文献】Ａ． Ｌｉｅｕｔｉｅｒ， Ｊ．Ｆ． Ｒａｍｅａｕ， Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｌｉｎｋａｇｅ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ＮＰ－ｈａｒｄｎｅｓｓ， Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ ８２ （２０１４） ９７－１１４
【文献】Ｒａｍｅａｕ， Ｊ．－Ｆ．， Ｓｅｒｒｅ， Ｐ．， Ｍｏｉｎｅｔ， Ｍ．， ２０１８． Ｃｌｅａｒａｎｃｅ ｖｓ． ｔｏｌｅｒａｎｃｅ ｆｏｒ ｒｉｇｉｄ ｏｖｅｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ａｓｓｅｍｂｌｉｅｓ． ＣＡＤ Ｃｏｍｐｕｔ． Ａｉｄｅｄ Ｄｅｓ． ９７（２０１８）， ２７－４０
【文献】Ｒａｍｅａｕ， Ｊ．－Ｆ．， Ｓｅｒｒｅ， Ｐ．， ２０１５． Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｍｏｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ Ｇｒｏｅｂｎｅｒ ｂａｓｉｓ． Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ ９１ （２０１５） ２１－３８
【文献】Ｒｕｉｘｉａｎ Ｌｉｕ， Ｐｈｉｌｉｐｐｅ Ｓｅｒｒｅ， Ｊｅａｎ－Ｆｒａｎｃｏｉｓ Ｒａｍｅａｕ， Ａ ｔｏｏｌ ｔｏ ｃｈｅｃｋ ｍｏｂｉｌｉｔｙ ｕｎｄｅｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｖａｒｉａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ， Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ ６９ （２０１３） ４４－６１
【文献】Ｃ． Ｍａｖｒｏｉｄｉｓ ｅｔ ａｌ．， Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｏｆ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ， １９９４
【文献】Ｏ． Ｓｅｌｖｉ ， Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｋｉｎｅｍａｔｉｃ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｏｆ Ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ， ２０１２
【文献】Ｃ． Ｍａｖｒｏｉｄｉｓ ｅｔ ａｌ．， Ａ ｓｐａｔｉａｌ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｔｈａｔ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｐｒａｃｔｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， １９９５
【文献】Ｘ． Ｋｏｎｇ， Ｋｉｎｅｍａｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ６Ｒ ｓｉｎｇｌｅ－ｌｏｏｐ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｐａｔｉａｌ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ｆｏｒ ｃｉｒｃｕｌａｒ ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ， ２０１５
【文献】Ｗａｎｇ ｅｔ ａｌ．， Ｔｈｒｅｅ－ｆａｃｅ ｏｖｅｒ－ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｓｃｉｓｓｏｒ－ｔｙｐｅ ｌｉｆｔｉｎｇ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ， ２０１０
【文献】Ｙ． Ｃｈｅｎ ， Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｓｍｓ， ２００３
【文献】Ｑ． Ｙｉｎ， Ｔ． Ｙａｎｇ， Ｏｖｅｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｓｐａｔｉａｌ ６－ｌｉｎｋ ｌｏｏｐｓ， Ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｈｅｏｒｙ ３７ （２００２） ２６７－２７８
【発明の概要】
【課題を解決するための手段】
【0022】
したがって、剛体および機械式継手（ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｊｏｉｎｔ）を備える機構を設計するためのコンピュータで実施される方法が、提案される。機構は、寸法パラメータと位置パラメータとを含む、パラメータを有する。機構は、パラメータ値を含む閉鎖方程式（ｃｌｏｓｕｒｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ）を有する。方法は、入力パラメータ値を提供するステップを含む。入力パラメータ値は、入力状態における機構を表す。入力パラメータ値は、入力寸法値を含む。方法は、出力パラメータ値を決定するステップも含む。出力パラメータ値は、出力状態における機構を表す。出力パラメータ値は、出力寸法値を含む。決定するステップは、拘束（ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ）下において目的関数を最小化するステップを含む。目的関数は、出力寸法値と入力寸法値との間の距離にペナルティを課す。拘束は、出力パラメータ値による閉鎖方程式の検証を表す、第１の拘束を含む。拘束は、出力状態における機構の可動性を表す、第２の拘束をさらに含む。
【0023】
方法は、以下のうちの１つまたは複数を含んでよく、すなわち、
－ 第２の拘束は、出力状態における機構の２次可動性を表す、等式拘束であり、
－ 目的関数は、微分可能であり、最小化するステップは、ラグランジュ写像導関数のゼロを見つけるステップを含み、ラグランジュ写像導関数は、ラグランジュ乗数を有する目的関数への拘束の挿入に基づき、
－ 目的関数は、２回微分可能であり、見つけるステップは、入力状態に対応する点から開始して、ベクトル場に対応する微分方程式を積分するステップを含み、ベクトル場の各安定した平衡点は、ラグランジュ写像導関数のゼロであり、
－ 微分方程式は、タイプが
－ 第２の拘束は、出力状態における機構の２次可動性を表す、等式拘束であり、
－ 目的関数は、微分可能であり、最小化するステップは、ラグランジュ写像導関数のゼロを見つけるステップを含み、ラグランジュ写像導関数は、ラグランジュ乗数を有する目的関数への拘束の挿入に基づき、
－ 目的関数は、２回微分可能であり、見つけるステップは、入力状態に対応する点から開始して、ベクトル場に対応する微分方程式を積分するステップを含み、ベクトル場の各安定した平衡点は、ラグランジュ写像導関数のゼロであり、
－ 微分方程式は、タイプが
【0024】
【数1】
【0025】
であり、ここで、Ｌは、ラグランジュ写像を表し、ｘ、は最小化の未知数を表し、λは、ラグランジュ乗数を表し、
－ 等式拘束は、タイプが
Ｆ（ｕ，ｐ）＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖｖ＋Ｆpp（ｕ，ｐ）ｗ＝０
｜｜ｖ｜｜2－１＝０
〈ｖ，ｗ〉＝０
であり、ここで、
・Ｆは、閉鎖方程式を表し、
・ｕは、機構の寸法値を表し、
・ｐは、機構の位置値を表し、
・ｖは、機構の軌道の接線を表し、
・ｗは、軌道の曲率を表し、
－ 拘束は、剛性継手非存在を表す、第３の拘束をさらに含み、
－ ここで、第３の拘束は、タイプが
－ 等式拘束は、タイプが
Ｆ（ｕ，ｐ）＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖｖ＋Ｆpp（ｕ，ｐ）ｗ＝０
｜｜ｖ｜｜2－１＝０
〈ｖ，ｗ〉＝０
であり、ここで、
・Ｆは、閉鎖方程式を表し、
・ｕは、機構の寸法値を表し、
・ｐは、機構の位置値を表し、
・ｖは、機構の軌道の接線を表し、
・ｗは、軌道の曲率を表し、
－ 拘束は、剛性継手非存在を表す、第３の拘束をさらに含み、
－ ここで、第３の拘束は、タイプが
【0026】
【数2】
【0027】
であり、ここで
・βは、スカラを示し、
・ｖiは、ｖの座標ｉを表し、
・ｕiは、ｕの座標ｉを表し、および／または
－ 拘束は、出力状態における機構の非縮退を表す、第４の拘束をさらに含む。
・βは、スカラを示し、
・ｖiは、ｖの座標ｉを表し、
・ｕiは、ｕの座標ｉを表し、および／または
－ 拘束は、出力状態における機構の非縮退を表す、第４の拘束をさらに含む。
【0028】
方法を実行するための命令を含むコンピュータプログラムが、さらに提供される。
【0029】
コンピュータプログラムをその上に記録したコンピュータ可読記憶媒体が、さらに提供される。
【0030】
メモリおよびグラフィカルユーザインターフェースに結合されたプロセッサを備えるシステムが、さらに提供され、メモリは、その上にコンピュータプログラムを記録する。
【図面の簡単な説明】
【0031】
本発明の実施形態が、添付の図面を参照しながら、非限定的な例として、今から説明される。
【図1】機構設計に関連する概念を例示する図である。
【図2】機構設計に関連する概念を例示する図である。
【図3】機構設計に関連する概念を例示する図である。
【図4】機構設計に関連する概念を例示する図である。
【図5】機構設計に関連する概念を例示する図である。
【図6】可動機構の例の写真を示す図である。
【図7】可動機構の例の写真を示す図である。
【図8】可動機構の例の写真を示す図である。
【図9】システムのグラフィカルユーザインターフェースの例を示す図である。
【図10】システムの例を示す図である。
【図11】方法を例示する図である。
【図12】方法を例示する図である。
【図13】方法を例示する図である。
【図14】方法を例示する図である。
【図15】方法を例示する図である。
【図16】方法を例示する図である。
【図17】方法を例示する図である。
【図18】方法を例示する図である。
【図19】方法を例示する図である。
【図20】方法を例示する図である。
【図21】方法を例示する図である。
【図22】方法を例示する図である。
【図23】方法を例示する図である。
【図24】方法を例示する図である。
【図25】方法を例示する図である。
【図26】方法を例示する図である。
【図27】方法を例示する図である。
【図28】方法を例示する図である。
【図29】方法を例示する図である。
【発明を実施するための形態】
【0032】
剛体および機械式継手を備える機構を設計するためのコンピュータで実施される方法が、提案される。機構は、寸法パラメータと位置パラメータとを含む、パラメータを有する。機構は、パラメータ値を含む、閉鎖方程式も有する。方法は、入力パラメータ値を提供するステップを含む。入力パラメータ値は、入力状態における機構を表す。入力パラメータ値は、入力寸法値を含む。方法は、出力パラメータ値を決定するステップも含む。出力パラメータ値は、出力状態における機構を表す。出力パラメータ値は、出力寸法値を含む。決定するステップは、拘束下において目的関数を最小化するステップを含む。目的関数は、出力寸法値と入力寸法値との間の距離にペナルティを課す。拘束は、出力パラメータ値による閉鎖方程式の検証を表す、第１の拘束を含む。拘束は、出力状態における機構の可動性を表す、第２の拘束をさらに含む。
【0033】
そのような方法は、剛体および機械式継手を備える機構を設計するための改善された解法を形成する。
【0034】
特に、方法は、入力パラメータ値から出力パラメータ値を決定する。したがって、方法は、入力状態から開始して、機構を出力状態にすることを可能にする。状態のこの変化は、機構の設計ステップを形成する。この設計ステップは、最適化プログラムによって、すなわち、拘束下における目的関数の最小化によって実行される。これは、方法の効率化を可能にする。
【0035】
今、第１の拘束は、最適化からもたらされるパラメータ値が、閉鎖方程式を検証することを保証する。結果として、方法によって設計された機構は、それが閉じられた、言い換えると、組み立てられた、出力状態にある。機構は、使用するために組み立てられることが意図されているので、第１の拘束は、産業的に適切な機構の設計に使われることを可能にする。
【0036】
加えて、第２の拘束は、最適化からもたらされるパラメータ値が、可動性を提示する機構を表すことを保証する。機構は、機能するために（剛性とは対照的に）可動であることが意図されているので、第２の拘束は、産業的に適切な機構の設計に使われることを可能にする。機構は、特に、出力状態における可動性条件を検証してよい。言い換えると、方法によって設計された機構は、可動機構であってよい。
【0037】
したがって、第１および第２の拘束は、一緒になって、機能する可動機構を獲得することを可能にしてよい。したがって、方法によって出力される設計は、シミュレーション目的で、および／または現実世界における対応する物理的機構を製造するために、使用されてよい。
【0038】
開示された方法全体にわたって、機構は、剛体の同じ組合せと、機械式継手の同じ組合せとを、すべて同じ配置で備えてよい（配置は、どの剛体が、機械式継手のうちのどの１つによって、一緒に接続されるかを指す）。機構のパラメータ値、言い換えると、機構の要素の寸法および／または位置だけが、変化してよい。言い換えると、入力状態から出力状態まで、機構を形成する剛体および機械式継手のタイプは、すべて、同じままであり、それらは、すべて、同じ配置に留まるが、出力パラメータ値のセットは、入力パラメータ値のセットと異なってよい。しかしながら、方法の後、機構は、任意の方式で、例えば、剛体を追加および／または交換することによって、さらに変更されてよい。そのような後処理変更は、本開示の範囲外にある。
【0039】
機構の「状態」によって、それは、本明細書においては、パラメータの異なる値を用いて、機構が取ることができる、異なる構成を指す。例えば、図２および図３は、同じ機構を示しているが、剛性棒の異なる寸法のせいで、異なる状態にある。対照的に、図１の機構は、５つの代わりに、４つの棒しか有さないので、図１は、図２および図３と異なる機構を示している。また、図５は、左から右へ３つの異なる機構、すなわち、４Ｒ、５Ｒ、および６Ｒを表している。完全を期すために、本開示における「状態」という用語は、可動機構が取ることができる異なる位置を指すのではなく、むしろ、説明されたように、同じタイプ／クラスの可動機構の異なるインスタンスを指すことにここで留意されたい。
【0040】
したがって、方法は、特に機構の閉鎖方程式に基づいて、機構のパラメータ値だけを処理する。機構のパラメータ値は、実際、最小化の自由変数／未知数の中に含まれてよい。したがって、最小化は、機構を組み立てられた可動状態にするために、機構の寸法パラメータ値および／または位置パラメータ値を編集する。
【0041】
機構の閉鎖方程式は、定義によって、機構のすべてのパラメータを引数として取る方程式であり、それは、パラメータ値が方程式を検証したときに、機構が組み立てられ／閉じられるようなものである。閉鎖方程式は、任意の方法で提供されてよく、例えば、方法に対して事前決定されてよい。閉鎖方程式は、例えば、与えられたタイプの機構に対して各々が提供される、閉鎖方程式のライブラリから獲得されてよい。あるいは、閉鎖方程式は、任意の知られた方法で、方法の前に、ユーザによって確立されてよい。完全を期すために、任意の与えられた機構の閉鎖方程式を確立することを可能にする、数学それ自体が、知られていることにここで留意されたい（例示的な実施が、後で提供される）。
【0042】
機構は、先に提供された意味において、過剰拘束されていることがある。そのようなケースにおいては、ユーザ編集は、困難であるが、方法は、産業的および機能的な設計に到達する自動的な方法を提供する。
【0043】
（機構が、過剰拘束されていることも、または過剰拘束されていないこともある）方法の第１の適用においては、機構は、入力状態において、分解されている（すなわち、閉じていない、または開いている）ことがあり、方法は、寸法および／または位置パラメータを編集することによって、それを組み立てることを可能にする。入力パラメータ値は、閉鎖方程式を検証しないので、機構は、入力状態において、分解されていることがある。これは、入力パラメータ値が、ジオメトリとして、分解された状態にある機構を、入力寸法パラメータ値と一緒に表す、入力位置値を含むためであることがある。そのような状況は、入力寸法値が、機構の組み立てを物理的にまったく可能にしないために、または入力寸法値は、機構の組み立てを物理的に可能にするが、入力位置値が、そのような組み立てを達成しないために、生じることがある。あるいは、これは、入力パラメータ値が、パラメータのいくつかについて、値を欠いているために、例えば、それらが、入力位置値を含みさえしないためであることがある。
【0044】
（機構が、過剰拘束されていることも、または過剰拘束されていないこともある）方法の第２の適用においては、機構は、入力状態において、組み立てられているが、剛性があることがあり、方法は、寸法および／または位置パラメータを編集することによって、それを可動にすることを可能にする。機構は、組み立てられているが、入力寸法パラメータ値が、機構のいかなる可動性も可能にしないために、機構は、入力状態において、組み立てられているが、剛性があることがある。これは、例えば、可動状態にある同じ機構を示す図３とは対照的に、剛性状態にある、図２に示される機構の状況である。
【0045】
（機構が、過剰拘束されていることも、または過剰拘束されていないこともある）方法の第３の適用においては、機構は、入力状態において、分解されているが、単なる再配置によって、組み立てられることがあり、方法は、寸法および／または位置パラメータを編集することによって、それを組み立てることを可能にする。そのようなケースにおいては、入力寸法値は、単なる再配置が剛性組立体をもたらすようなものであってよく、方法は、機構を組み立てるばかりでなく、（寸法パラメータを含む）パラメータを編集することによって、それを可動にすることもさらに可能にする。
【0046】
上記の適用に取って代わる、または付け加えられる、方法の第４の適用においては、方法は、既存の機構の１つまたは複数のパラメータ値、例えば、１つまたは複数の寸法値を編集するために、使用されてよい。ユーザは、例えば、１つまたは複数の目標寸法パラメータ値を設定してよく、方法は、そのような目標を最適化問題に組み込んでよい（これは、単純に、最適化可能な未知数のセットからの関連付けられたパラメータ値を、最小化から、取り除くことによって、行われてよい）。機構は、特に、入力状態において、過剰拘束および／または可動であり、おそらくは組み立てられていてよい。そのようなケースにおいては、方法は、機構の可動性を維持しながら、パラメータ値を変更することを可能にする。そのような適用の実施においては、機構は、入力状態において、剛性であり、任意選択で目標寸法値と関連付けられてよく、または過剰拘束され、可動であり、強制的に目標寸法値と関連付けられてよい。そのような第４の適用においては、１つまたは複数の目標値は、１つの目標値、例えば、１つの目標寸法パラメータ値に制限されてよい。これは、（いくつかの目標寸法パラメータ値と比較して）非可動解法への収束のリスクを低減する。
【0047】
方法は、ユーザ－マシン対話に組み込まれてよい。ユーザ－マシン対話は、機構を構成する剛体および機械式継手の配置を提供することを含んでよい。
【0048】
これは、例えば、ユーザが、剛体および機械式継手のタイプを選択し、それらを設計においてインスタンス化することによって、実行されてよい。剛体および／または機械式継手のグラフィカル表現が、ユーザに表示されてよい。ユーザは、寸法パラメータ値および／または位置パラメータ値を定義してよい。位置パラメータ値は、例えば、（マウス、またはタッチデバイス、例えば、タッチパッドもしくはタッチスクリーンなどの）ハプティックデバイスを介した、例えば、ユーザのディスプレイとのグラフィカル対話を用いて、定義されてよい。グラフィカル対話は、剛体および／または機械式継手のグラフィカル表現を、ディスプレイのあるロケーションにドラッグアンドドロップすることを含んでよい。この方式においては、ユーザは、入力パラメータ値を最小化に提供する、機構の入力状態を定義してよい。このユーザ－マシン対話のせいで、特に、過剰拘束された機構を用いると、入力状態は、ほとんど必然的に、機構が分解されている状態、または組み立てられている／組み立てられることができるが剛性がある状態である。ユーザは、特に、機構を組み立ててよいが、例えば、グラフィカル対話と、それの不可避的な不正確さの結果として、近似的に組み立てるにすぎない。ユーザが、機構を組み立てようと努力したとしても、機構が、過剰拘束されている場合、ユーザが、パラメータ値を編集し、可動状態を見つけることは、一般に非常に困難である。方法は、ユーザがそれを行うのを支援し、それによって、可動機構設計のエルゴノミクスを改善する。
【0049】
これは、ユーザが、既存の可動機構を呼び出し、例えば、寸法パラメータ値を編集することによって、機構の変更を要求することによって、実行されてよい。機構の剛体および／または機械式継手のグラフィカル表現が、ユーザに表示されてよい。寸法パラメータの編集は、例えば、（マウス、またはタッチデバイス、例えば、タッチパッドもしくはタッチスクリーンなどの）ハプティックデバイスを介した、例えば、ユーザのディスプレイとのグラフィカル対話の使用を用いて、実行されてよい。グラフィカル対話は、剛体および／または機械式継手のグラフィカル表現の末端を、ディスプレイのあるロケーションにドラッグアンドドロップすることを含んでよい。方法は、機構の可動性を維持することを可能にする。
【0050】
すべてのケースにおいて、機構は、それについての可動性条件が、従来技術においては未知である機構であってよい。この可動性条件が、未知であるとき、それの自動計算は、妥当な時間フレーム内において達成できない。方法は、機構が過剰拘束されているとしても、可動性条件の知識なしに、可動性を保存しながら、可動性機構の寸法を変更することを可能にしてよい。あるいは、または加えて、方法は、可動性条件の知識なしに、剛性構造を過剰拘束された可動機構に変更することを可能にしてよい。
【0051】
実際には、入力パラメータ値は、入力寸法値に加えて、入力位置値を含んでよい。あるいは、または加えて、出力パラメータ値は、出力寸法値に加えて、出力位置値を含んでよい。
【0052】
実際には、入力パラメータ値は、各位置パラメータについてのそれぞれの入力位置値と、各寸法パラメータについてのそれぞれの入力寸法値とを含んでよく、および／または出力パラメータ値は、各位置パラメータについてのそれぞれの出力位置値と、各寸法パラメータについてのそれぞれの出力寸法値とを含んでよい。任意選択で、上で説明されたように、ただ１つの目標寸法値が、最小化にさらに入力されてよい。
【0053】
目的関数は、出力寸法値と入力寸法値の間の距離にペナルティを課す、任意のコストであってよい。方法の効率的な実施のため、目的関数は、微分可能であってよく、２回微分可能であってさえよい。目的関数は、例えば、距離の２乗に比例してよい。
【0054】
方法は、コンピュータで実施される。これは、方法のステップ（または実質的にすべてのステップ）が、少なくとも１つコンピュータによって、または同様に任意のシステムによって実行されることを意味する。したがって、方法のステップは、コンピュータによって、おそらくは完全に自動的に、または半自動的に実行される。例においては、方法の少なくともいくつかのステップのトリガは、ユーザ－コンピュータ対話を通して、実行されてよい。必要とされるユーザ－コンピュータ対話のレベルは、予測される自動化のレベルに依存し、ユーザの希望を実施するための必要とバランスを取ってよい。例においては、このレベルは、ユーザ定義および／または事前定義されてよい。
【0055】
方法のコンピュータ実施の典型的な例は、この目的に適合させられたシステムを用いて、方法を実行することである。システムは、メモリおよびグラフィカルユーザインターフェース（ＧＵＩ）に結合されたプロセッサを備えてよく、メモリは、方法を実行するための命令を含む、コンピュータプログラムをその上に記録する。メモリは、データベースを記憶してもよい。メモリは、そのような記憶に適合させられた、おそらくはいくつかの物理的に異なる部分を備える（例えば、プログラム用に１つ、おそらくはデータベース用に１つ）、任意のハードウェアである。
【0056】
方法は、一般に、モデル化されたオブジェクトを操作する。モデル化されたオブジェクトは、例えば、データベース内に記憶されたデータによって定義される、任意のオブジェクトである。拡大解釈すると、「モデル化されたオブジェクト」という表現は、データ自体を指す。システムのタイプに従って、モデル化されたオブジェクトは、異なる種類のデータによって定義されてよい。システムは、実際、ＣＡＤシステム、ＣＡＥシステム、ＣＡＭシステム、ＰＤＭシステム、および／またはＰＬＭシステムの任意の組合せであってよい。それらの異なるシステムにおいて、モデル化されたオブジェクトは、対応するデータによって定義される。したがって、ＣＡＤオブジェクト、ＰＬＭオブジェクト、ＰＤＭオブジェクト、ＣＡＥオブジェクト、ＣＡＭオブジェクト、ＣＡＤデータ、ＰＬＭデータ、ＰＤＭデータ、ＣＡＭデータ、ＣＡＥデータについて話してよい。しかしながら、モデル化されたオブジェクトは、これらのシステムの任意の組合せに対応するデータによって、定義されてよいので、これらのシステムは、他のものに対して排他的なシステムではない。したがって、システムは、以下で提供されるそのようなシステムの定義から明らかなように、おそらくＣＡＤシステムおよびＰＬＭシステムの両方であってよい。
【0057】
ＣＡＤシステムによって、加えて、ＣＡＴＩＡなど、モデル化されたオブジェクトのグラフィカル表現に基づいて、少なくともモデル化されたオブジェクトを設計するために適合させられた任意のシステムが、意味される。このケースにおいては、モデル化されたオブジェクトを定義するデータは、モデル化されたオブジェクトの表現を可能にするデータを含む。ＣＡＤシステムは、例えば、エッジまたはラインを使用して、あるケースにおいては、フェイスまたはサーフェスを用いて、ＣＡＤでモデル化されたオブジェクトの表現を提供してよい。ライン、エッジ、またはサーフェスは、様々な方式、例えば、非一様有理Ｂスプライン（ＮＵＲＢＳ）で表されてよい。具体的には、ＣＡＤファイルは、それから幾何学形状が生成されてよく、ひいては、表現が生成されることを可能にする、仕様を含む。モデル化されたオブジェクトの仕様は、単一のＣＡＤファイルまたは複数のＣＡＤファイル内に記憶されてよい。ＣＡＤシステムにおいてモデル化されたオブジェクトを表すファイルの典型的なサイズは、パーツごとに１メガバイトの範囲内にある。また、モデル化されたオブジェクトは、一般に、数千のパーツの組立体であってよい。
【0058】
ＣＡＤの文脈においては、モデル化されたオブジェクトは、一般に、例えば、パーツもしくはパーツの組立体などの製品、またはおそらくは製品の組立体を表す、３Ｄモデル化されたオブジェクトであってよい。「３Ｄモデル化されたオブジェクト」によって、それの３Ｄ表現を可能にするデータによってモデル化された任意のオブジェクトが、意味される。３Ｄ表現は、すべての角度からパーツを見ることを可能にする。例えば、３Ｄモデル化されたオブジェクトは、３Ｄ表現されたとき、それの軸のいずれかの周りで、または表現がその上に表示された画面内のいずれかの軸の周りで、操作および回転されてよい。これは、特に、３Ｄモデル化されていない、２Ｄアイコンを除外する。３Ｄ表現の表示は、設計を容易化する（すなわち、統計的に、設計者が彼らのタスクを達成するスピードを高める）。製品の設計は、製造プロセスの一部であるため、これは、工業界における製造プロセスをスピードアップする。
【0059】
方法によって設計された３Ｄモデル化されたオブジェクトは、例えば、ＣＡＤソフトウェア解法またはＣＡＤシステムを用いた仮想設計の完了後に、現実世界において製造される可動機構の幾何学形状を表してよい。
【0060】
可動機構は、航空宇宙、建築、建設、消費財、ハイテクデバイス、産業機器、輸送、海事、および／またはオフショア石油／ガス生産もしくは輸送を含む、様々な無制限の産業分野に属して（すなわち、使用されて）よい。
【0061】
可動機構は、完全な機械式継手によって一緒に接続された剛体から作られ、それは、任意のＤＯＦであることを特徴としてよい。
【0062】
機械式継手は、以下のタイプの機械式継手のうちの、すなわち、
－ 回転、ひねり、角柱を含む、１ＤＯＦ機械式継手、
－ ピンを有する円柱、球を含む、２ＤＯＦ機械式継手、
－ 球、平面を含む、３ＤＯＦ機械式継手。４ＤＯＦ機械式継手は、ボール－円柱、円柱－平面である、
－ ボール－平面を含む、５ＤＯＦ機械式継手
のうちのいずれか１つの間で選択されてよい。
－ 回転、ひねり、角柱を含む、１ＤＯＦ機械式継手、
－ ピンを有する円柱、球を含む、２ＤＯＦ機械式継手、
－ 球、平面を含む、３ＤＯＦ機械式継手。４ＤＯＦ機械式継手は、ボール－円柱、円柱－平面である、
－ ボール－平面を含む、５ＤＯＦ機械式継手
のうちのいずれか１つの間で選択されてよい。
【0063】
剛体は、（直線または非直線の）棒、またはセグメントによって表されてよい任意の剛体を含んでよい。知られているように、機構設計を可能にするＣＡＤシステムは、２つの機械式継手の間において定義されるセグメントとして、剛体を表す。
【0064】
可動機構は、過剰拘束されることがある。可動機構は、マニピュレータロボットの一部、平面機構のネットワーク、自動車機構、または本明細書において提示される（特に、背景技術セクションにおける、回転継手によって接続された本体の平面もしくは非平面ループを含む）他の任意のタイプの機構を形成してよく、またはそれらであってよい。
【0065】
図９は、システムのＧＵＩの例を示しており、システムは、ＣＡＤシステムである。図９に示される３Ｄモデル化されたオブジェクトは、回転可動性（ディスク）および並進可動性（ブレーキパッド）を有する機構、すなわち、ディスクブレーキを表す。
【0066】
ＧＵＩ２１００は、標準的なメニューバー２１１０、２１２０、ならびに下部および側部ツールバー２１４０、２１５０を有する、典型的なＣＡＤ様のインターフェースであってよい。そのようなメニューおよびツールバーは、ユーザ選択可能なアイコンのセットを含み、各アイコンは、当技術分野において知られているような、１つまたは複数の操作または機能と関連付けられる。これらのアイコンのいくつかは、ＧＵＩ２１００内に表示される３Ｄモデル化されたオブジェクト２０００を編集するために、および／またはその上で作業するために適合させられた、ソフトウェアツールと関連付けられる。ソフトウェアツールは、ワークベンチ内にグループ化されてよい。各ワークベンチは、ソフトウェアツールのサブセットを含む。特に、ワークベンチのうちの１つは、モデル化された製品２０００の幾何学的特徴を編集するのに適した、編集ワークベンチである。操作中、設計者は、例えば、オブジェクト２０００の一部を事前選択し、適切なアイコンを選択することによって、操作（例えば、寸法、色などの変更）を開始して、または幾何学的拘束を編集してよい。例えば、典型的なＣＡＤ操作は、画面上に表示された３Ｄモデル化されたオブジェクトの穴開けまたは折り畳みのモデリングである。ＧＵＩは、例えば、表示された製品２０００に関連する、データ２５００を表示してよい。図の例においては、「フィーチャツリー」として表示されるデータ２５００、およびそれらの３Ｄ表現２０００は、ブレーキキャリパおよびディスクを含む、ブレーキ組立体に関する。ＧＵＩは、例えば、オブジェクトの３Ｄ方向付けを容易化するための、編集された製品の動作のシミュレーションをトリガするための、または表示された製品２０００の様々な属性をレンダリングするための、様々なタイプのグラフィックツール２１３０、２０７０、２０８０をさらに示してよい。カーソル２０６０は、ユーザがグラフィックツールと対話することを可能にするために、ハプティックデバイスによって制御されてよい。
【0067】
図１０は、システムの例を示しており、システムは、クライアントコンピュータシステム、例えば、ユーザのワークステーションである。
【0068】
例のクライアントコンピュータは、内部通信バス１０００に接続された中央処理ユニット（ＣＰＵ）１０１０と、やはりバスに接続されたランダムアクセスメモリ（ＲＡＭ）１０７０とを備える。クライアントコンピュータは、バスに接続されたビデオランダムアクセスメモリ１１００と関連付けられた、グラフィカル処理ユニット（ＧＰＵ）１１１０をさらに提供される。ビデオＲＡＭ１１００は、当技術分野において、フレームバッファとしても知られている。大容量記憶デバイスコントローラ１０２０は、ハードドライブ１０３０など、大容量メモリデバイスへのアクセスを管理する。コンピュータプログラム命令およびデータを有形に具体化するのに適した、大容量メモリデバイスは、例として、ＥＰＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、およびフラッシュメモリデバイスなどの、半導体メモリデバイス、内蔵ハードディスクおよびリムーバブルディスクなどの、磁気ディスク、光磁気ディスク、ならびにＣＤ－ＲＯＭディスク１０４０を含む、不揮発性メモリのすべての形態を含む。上記のいずれも、特別に設計されたＡＳＩＣ（特定用途向け集積回路）によって補助されて、またはそれに組み込まれてよい。ネットワークアダプタ１０５０は、ネットワーク１０６０へのアクセスを管理する。クライアントコンピュータは、カーソル制御デバイスまたはキーボードなどの、ハプティックデバイス１０９０も含んでよい。カーソル制御デバイスは、ユーザが、ディスプレイ１０８０上の任意の所望のロケーションにカーソルを選択的に位置付けることを可能にするために、クライアントコンピュータにおいて使用される。加えて、カーソル制御デバイスは、ユーザが、様々なコマンドを選択し、制御信号を入力することを可能にする。カーソル制御デバイスは、制御信号をシステムに入力するための、数々の信号生成デバイスを含む。一般に、カーソル制御デバイスは、マウスであってよく、信号を生成するために、マウスのボタンが、使用される。あるいは、または加えて、クライアントコンピュータシステムは、センシティブパッド、および／またはセンシティブスクリーンを備えてよい。
【0069】
コンピュータプログラムは、コンピュータによって実行可能な命令を含んでよく、命令は、上記のシステムに方法を実行させるための手段を含む。プログラムは、システムのメモリを含む、任意のデータ記憶媒体上に記録可能であってよい。プログラムは、例えば、デジタル電子回路で、またはコンピュータハードウェア、ファームウェア、ソフトウェア、もしくはそれらの組合せで、実施されてよい。プログラムは、装置として、例えば、プログラム可能なプロセッサによる実行のために、マシン可読記憶デバイス内に有形に具体化された製品として、実施されてよい。方法ステップは、入力データを操作し、出力を生成することによって、方法の機能を実行するために、命令からなるプログラムを実行する、プログラム可能なプロセッサよって実行されてよい。したがって、プロセッサは、プログラム可能であってよく、データ記憶システム、少なくとも１つの入力デバイス、および少なくとも１つの出力デバイスからデータおよび命令を受け取り、それらにデータおよび命令を送るように結合されてよい。アプリケーションプログラムは、高水準手続き型もしくはオブジェクト指向プログラミング言語で、または必要に応じて、アセンブリ言語もしくは機械語で、実施されてよい。いずれのケースにおいても、言語は、コンパイル型またはインタープリタ型言語であってよい。プログラムは、フルインストールプログラム、または更新プログラムであってよい。システム上におけるプログラムの適用は、いずれのケースにおいても、方法を実行するための命令という結果となる。
【0070】
「３Ｄモデル化されたオブジェクトの設計」は、３Ｄモデル化されたオブジェクトを精巧に作り上げるプロセスの少なくとも一部である、いずれかのアクションまたは一連のアクションを指す。したがって、方法は、３Ｄモデル化されたオブジェクトをゼロから作成するステップを含んでよい。あるいは、方法は、以前に作成された３Ｄモデル化されたオブジェクトを提供し、次に、３Ｄモデル化されたオブジェクトを変更するステップを含んでよい。
【0071】
方法は、方法を実行した後、モデル化されたオブジェクトに対応する物理的製品を製造することを含んでよい、製造プロセス内に含まれてよい。いずれのケースにおいても、方法によって設計されたモデル化されたオブジェクトは、製造オブジェクトを表してよい。したがって、モデル化されたオブジェクトは、モデル化されたソリッド（すなわち、ソリッドを表すモデル化されたオブジェクト）であってよい。製造オブジェクトは、パーツまたはパーツの組立体などの、製品であってよい。方法は、モデル化されたオブジェクトの設計を改善するので、方法は、製品の製造も改善し、したがって、製造プロセスの生産性を向上させる。
【0072】
【0073】
入力の過剰拘束された機構を与えると、方法の実施は、２次まで可動である類似の機構を計算する。原理は、入力された機構の寸法パラメータを、２次可動機構の寸法パラメータのセットに射影することである。剛性継手および寸法がゼロになることを回避するために、追加の方程式が、使用されてよい。射影問題は、非線形拘束と一緒に、２次最適化問題によってモデル化される。古典的なラグランジュ変換を通して、最適化問題は求根問題に変更され、それは、次に、常微分方程式に変更される。微分方程式の初期条件は、入力された機構である。未知の機構（２次において可動）は、微分方程式の安定した平衡点である。この平衡点は、初期条件からの、例えば、十分に大きい時間区間にわたる、微分方程式の数値積分を通して獲得される。解の真の可動性は、標準的なキネマティックソルバを使用することによって、チェックされてよい。これは、図１１に示されている。
【0074】
最先端の技術と比較して、方法の実施は、可動の過剰拘束された非縮退の機構を作成または変更することができる、実用的な解法である。これは、過剰拘束された機構の設計に、エンジニアがアクセス可能であるようにし、ひいては、先に説明されたような、新世代の有利な機構の分野を開く。
【0075】
方法の実施は、２種類の入力を可能にしてよい。第１の種類は、任意選択で目標寸法値と関連付けられた、剛性の過剰拘束された組立体である。第２の種類は、強制的に目標寸法値と関連付けられた、過剰拘束された可動機構である。すべてのケースにおいて、方法の実施のゴールは、それが与えられたときに、目標寸法値を特徴とする、可動機構を提供することである。
【0076】
機構方程式
数学的観点から、機構は、いわゆる閉包写像Ｆ：Ｕ×Ｐ→Ｅ、
数学的観点から、機構は、いわゆる閉包写像Ｆ：Ｕ×Ｐ→Ｅ、
【0077】
【数3】
【0078】
によってモデル化され、ここで、Ｕは、寸法パラメータの空間であり、Ｐは、位置パラメータの空間であり、Ｅは、目標空間である。閉鎖方程式は、Ｆ（ｕ，ｐ）＝０である。解ｕ0、ｐ0は、Ｆ（ｕ0，ｐ0）＝０である場合、ならびにｑ（０）＝ｐ0、すべてのｔについて、ｑ’（ｔ）≠０、およびすべてのｔについて、Ｆ（ｕ0，ｑ（ｔ））＝０であるような、実パラメータｔの位置パラメータの空間
【0079】
【数4】
【0080】
において、滑らかな曲線が存在する場合、「真に可動」、または略して「可動」である。このレベルの抽象化は、方法の実施の状況においては十分である。
【0081】
詳細な閉鎖方程式
閉鎖方程式は、専用の数学的オブジェクトを通して、トポロジおよびジオメトリ情報を捕捉する。トポロジは、機械式継手を通した、剛体の論理接続を含む。ジオメトリは、それぞれの本体の寸法、および機械式継手の自由度を含む。次のセクションは、機構の閉鎖方程式を設定するための最も一般的な方法について説明する。特定の方法は、非特許文献１５などの、特定の機構のために使用されることができる。方法の実施の状況において実行されるテストは、４Ｒおよび５Ｒ機構に容易に適合させることができる、非特許文献１５の方程式に基づいている。
閉鎖方程式は、専用の数学的オブジェクトを通して、トポロジおよびジオメトリ情報を捕捉する。トポロジは、機械式継手を通した、剛体の論理接続を含む。ジオメトリは、それぞれの本体の寸法、および機械式継手の自由度を含む。次のセクションは、機構の閉鎖方程式を設定するための最も一般的な方法について説明する。特定の方法は、非特許文献１５などの、特定の機構のために使用されることができる。方法の実施の状況において実行されるテストは、４Ｒおよび５Ｒ機構に容易に適合させることができる、非特許文献１５の方程式に基づいている。
【0082】
機構のトポロジ
正式には、機構Ｑは、タプルＱ＝（Ｈ，Ｂ，ｑ，Ｊ，Ｄ，Ｃ）によって定義されてよい。集合Ｈ＝｛ｈ1，ｈ2，．．．｝は、有限集合である。集合Ｈの要素は、リンクと呼ばれる。実際には、リンクは、軸システムとして解釈されることができ、ゴールは、リンク間の相対位置を定義することである。集合Ｂ＝｛ｂ1，ｂ2，．．．｝も、有限集合である。集合Ｂの要素は、本体と呼ばれる。写像ｑ：Ｈ→Ｂは、本体は、いくつかのリンクを所有することができるが、各リンクは、一意的な本体と関連付けられるような方法で、各リンクを本体と関連付ける。表記ｑ（ｈ）＝ｂは、リンクｈが、本体ｂと関連付けられることを意味する。表記ｑ-1（ｂ）は、本体ｂと関連付けられたリンクの集合である。各本体ｂについて、１つの特定のリンクが、参照リンクと呼ばれ、ｈ0（ｂ）で表される。以下においては、参照リンクは、同じ本体の他のリンクを位置付けるために使用される。ここで、継手の集合Ｊは、異なる本体に属するリンクの対の部分集合であり、すなわち、Ｊ⊂｛（ｈi，ｈk），ｉ＜ｋ，ｑ（ｈi）≠ｑ（ｈk）｝である。各継手は、異なる本体の２つのリンク間の論理接続を捕捉する。このステップにおいて、グラフＧは、Ｇ＝（Ｂ，Ｊ，ｓ，ｅ）、ｓ：Ｊ→Ｂ、ｅ：Ｊ→Ｂで定義されることができ、ここで、ｓ（ｈi，ｈk）＝ｑ（ｈi）、ｅ（ｈi，ｈk）＝ｑ（ｈk）である。グラフのノードは、本体であり、グラフの弧は、本体（のリンク）を接続する継手である。このステップにおいて、機構のトポロジが、完全に定義される。
正式には、機構Ｑは、タプルＱ＝（Ｈ，Ｂ，ｑ，Ｊ，Ｄ，Ｃ）によって定義されてよい。集合Ｈ＝｛ｈ1，ｈ2，．．．｝は、有限集合である。集合Ｈの要素は、リンクと呼ばれる。実際には、リンクは、軸システムとして解釈されることができ、ゴールは、リンク間の相対位置を定義することである。集合Ｂ＝｛ｂ1，ｂ2，．．．｝も、有限集合である。集合Ｂの要素は、本体と呼ばれる。写像ｑ：Ｈ→Ｂは、本体は、いくつかのリンクを所有することができるが、各リンクは、一意的な本体と関連付けられるような方法で、各リンクを本体と関連付ける。表記ｑ（ｈ）＝ｂは、リンクｈが、本体ｂと関連付けられることを意味する。表記ｑ-1（ｂ）は、本体ｂと関連付けられたリンクの集合である。各本体ｂについて、１つの特定のリンクが、参照リンクと呼ばれ、ｈ0（ｂ）で表される。以下においては、参照リンクは、同じ本体の他のリンクを位置付けるために使用される。ここで、継手の集合Ｊは、異なる本体に属するリンクの対の部分集合であり、すなわち、Ｊ⊂｛（ｈi，ｈk），ｉ＜ｋ，ｑ（ｈi）≠ｑ（ｈk）｝である。各継手は、異なる本体の２つのリンク間の論理接続を捕捉する。このステップにおいて、グラフＧは、Ｇ＝（Ｂ，Ｊ，ｓ，ｅ）、ｓ：Ｊ→Ｂ、ｅ：Ｊ→Ｂで定義されることができ、ここで、ｓ（ｈi，ｈk）＝ｑ（ｈi）、ｅ（ｈi，ｈk）＝ｑ（ｈk）である。グラフのノードは、本体であり、グラフの弧は、本体（のリンク）を接続する継手である。このステップにおいて、機構のトポロジが、完全に定義される。
【0083】
寸法パラメータ
ジオメトリは、今は、写像ＤおよびＣによって定義される。ゴールは、（写像Ｄを通して）それぞれの本体の寸法を、（写像Ｃを通して）継手の自由度を定義するために、相対位置をリンクの対に関連付けることである。各本体の寸法取りは、本体内のリンクの対の集合を考察することによって行われる。
ジオメトリは、今は、写像ＤおよびＣによって定義される。ゴールは、（写像Ｄを通して）それぞれの本体の寸法を、（写像Ｃを通して）継手の自由度を定義するために、相対位置をリンクの対に関連付けることである。各本体の寸法取りは、本体内のリンクの対の集合を考察することによって行われる。
【0084】
【数5】
【0085】
３次元の剛体運動のグループをＳＥ（３）で表し、写像Ｄ：Ｉ→ＳＥ（３）は、各本体ｂ、および本体ｂの各非参照リンクｈについて、Ｄ（ｈ0（ｂ），ｈ）∈ＳＥ（３）が、参照リンクｈ0（ｂ）に関する、リンクｈの相対位置であるようなものである。各相対位置は、角度および距離によってパラメータ化され、機構の寸法パラメータの集合Ｕは、これらの相対位置のすべてのパラメータによって定義される。
【0086】
位置パラメータ
本体の相対位置は、剛体運動Ｄ（ｈi，ｈk）を各継手（ｈi，ｈk）に関連付ける、写像Ｃ：Ｊ→ＳＥ（３）、
本体の相対位置は、剛体運動Ｄ（ｈi，ｈk）を各継手（ｈi，ｈk）に関連付ける、写像Ｃ：Ｊ→ＳＥ（３）、
【0087】
【数6】
【0088】
を使用することによって定義される。各剛体運動のパラメータは、各継手の自由度を定義し、機構の位置パラメータの集合Ｐは、これらの相対位置のすべてのパラメータによって定義される。明確にするために、Ｄ（ｈi，ｈk）およびＣ（ｈi，ｈk）は、それぞれ、Ｄi,kおよびＣi,kで表される。
【0089】
【0090】
本体とリンクの所有権は、写像ｑ：Ｈ→Ｂによって定義される。
【0091】
ｑ（ｈ1）＝ｑ（ｈ2）＝ｑ（ｈ3）＝ｂ1
ｑ（ｈ4）＝ｑ（ｈ5）＝ｂ2
ｑ（ｈ6）＝ｑ（ｈ7）＝ｑ（ｈ8）＝ｂ3
ｑ（ｈ9）＝ｑ（ｈ10）＝ｂ4
ｑ（ｈ11）＝ｑ（ｈ12）＝ｂ5
参照リンクは、以下の通りである。
ｑ（ｈ4）＝ｑ（ｈ5）＝ｂ2
ｑ（ｈ6）＝ｑ（ｈ7）＝ｑ（ｈ8）＝ｂ3
ｑ（ｈ9）＝ｑ（ｈ10）＝ｂ4
ｑ（ｈ11）＝ｑ（ｈ12）＝ｂ5
参照リンクは、以下の通りである。
【0092】
ｈ0（ｂ1）＝ｈ1
ｈ0（ｂ2）＝ｈ4
ｈ0（ｂ3）＝ｈ6
ｈ0（ｂ4）＝ｈ9
ｈ0（ｂ5）＝ｈ11
継手は、
Ｊ＝｛（ｈ1，ｈ4），（ｈ5，ｈ6），（ｈ7，ｈ11），（ｈ8，ｈ9），（ｈ2，ｈ12），（ｈ3，ｈ10）｝
である。
ｈ0（ｂ2）＝ｈ4
ｈ0（ｂ3）＝ｈ6
ｈ0（ｂ4）＝ｈ9
ｈ0（ｂ5）＝ｈ11
継手は、
Ｊ＝｛（ｈ1，ｈ4），（ｈ5，ｈ6），（ｈ7，ｈ11），（ｈ8，ｈ9），（ｈ2，ｈ12），（ｈ3，ｈ10）｝
である。
【0093】
図１３は、トポロジを例示している。軸システムは、各参照リンクと関連付けられる。点線は、継手を例示している。
【0094】
相対位置は、寸法および位置パラメータが、引数内に明示的に発生するような方法で、表される。これは、閉鎖方程式を明確にするのに役立つ。例は、平面機構であるので、２次元の剛体運動の集合ＳＥ（２）が、使用される。そのような剛体運動は、古典的に
【0095】
【数7】
【0096】
と書かれ、ここで、θは、回転角であり、
【0097】
【数8】
【0098】
は、並進ベクトルである。本体ｂ1の寸法は、平行移動
【0099】
【数9】
【0100】
である、参照リンクｈ1に関するリンクｈ2の相対位置によって、および平行移動
【0101】
【数10】
【0102】
である、参照リンクｈ1に関するリンクｈ3の相対位置によって定義される。本体ｂ2の寸法は、平行移動
【0103】
【数11】
【0104】
である、参照リンクｈ3に関するリンクｈ4の相対位置によって定義される。本体ｂ3の寸法は、平行移動
【0105】
【数12】
【0106】
である、参照リンクｈ6に関するリンクｈ7の相対位置によって、および平行移動
【0107】
【数13】
【0108】
である、参照リンクｈ7に関するリンクｈ8の相対位置によって定義される。本体ｂ4の寸法は、平行移動
【0109】
【数14】
【0110】
である、参照リンクｈ9に関するリンクｈ10の相対位置によって定義される。本体ｂ5の寸法は、平行移動
【0111】
【数15】
【0112】
である、参照リンクｈ11に関するリンクｈ12の相対位置によって定義される。
【0113】
この例においては、各継手は、１ＤＯＦの回転であることを特徴とし、そのため、すべての剛体運動Ｃi、kは、回転
【0114】
【数16】
【0115】
、
【0116】
【数17】
【0117】
、
【0118】
【数18】
【0119】
、
【0120】
【数19】
【0121】
、
【0122】
【数20】
【0123】
、および
【0124】
【数21】
【0125】
である。
【0126】
これは、図１４に例示されている。
【0127】
閉鎖方程式のために、すべての準備がととのった。それは、図１５に例示されるように、機構の２つのループを閉じるために、相対位置を組み合わせることによって書かれる。
【0128】
第１の方程式は、左端のループに従って、立てられ、第２の方程式は、右端のループに従って、立てられる。
【0129】
Ｃ1,4（θ1）Ｄ4,5（ｌ2）Ｃ5,6（θ2）Ｄ6,7（ｌ3）Ｃ7,11（θ3）Ｄ11,12（ｌ5）Ｃ2,12（θ5）-1Ｄ1,2（ｌ1）-1＝Ｉ
Ｃ2,12（θ5）Ｄ11,12（ｌ5）-1Ｃ7,11（θ3）-1Ｄ6,7（ｌ3）-1Ｄ6,8（ｌ3）Ｃ8,9（θ4）Ｄ9,10（ｌ4）Ｃ3,10（θ6）-1Ｄ1,3（ｌ1）-1Ｄ1,2（ｌ1）＝Ｉ
これは、６つの独立したスカラ方程式をもたらす。
Ｃ2,12（θ5）Ｄ11,12（ｌ5）-1Ｃ7,11（θ3）-1Ｄ6,7（ｌ3）-1Ｄ6,8（ｌ3）Ｃ8,9（θ4）Ｄ9,10（ｌ4）Ｃ3,10（θ6）-1Ｄ1,3（ｌ1）-1Ｄ1,2（ｌ1）＝Ｉ
これは、６つの独立したスカラ方程式をもたらす。
【0130】
【数22】
【0131】
明らかに、全体的な寸法パラメータは、ｕ＝（ｌ1，．．．，ｌ5）であり、位置パラメータは、ｐ＝（θ1，．．．，θ6）である。
【0132】
別の例は、ｎＲ機構に含まれる、典型的な棒の寸法である。これは、図１６に例示されるように、２つのリンクｈ1およびｈ2から作られる。
【0133】
参照リンクとしてｈ1を取ると、ｈ1に関するｈ2の相対位置は、角度αによる回転と、回転軸に沿った長さｌによる平行移動とを組み合わせた、剛体運動Ｄ1,2（α、ｌ）である。
【0134】
【数23】
【0135】
数学的準備：部分集合上への射影
このセクションは、方法の実施によって操作される、数学的概念を要約する。
このセクションは、方法の実施によって操作される、数学的概念を要約する。
【0136】
【数24】
【0137】
を、与えられた点とする。Ｍを、暗黙的な方程式によって定義される
【0138】
【数25】
【0139】
の部分集合
【0140】
【数26】
【0141】
とし、ここで、
【0142】
【数27】
【0143】
は、ｍ＜ｎの、滑らかで、おそらくは非線形の写像である。ゴールは、ｘ0に可能な限り近い点である、ｘ*∈Ｍを計算することである。
【0144】
最小化
古典的に、問題は、非線形拘束下における、２次最小化問題として定式化され、すなわち、
古典的に、問題は、非線形拘束下における、２次最小化問題として定式化され、すなわち、
【0145】
【数28】
【0146】
となる。
【0147】
多くの既存の数値アルゴリズムが、この問題に取り組むことができるが、標準的な方法は、可動性計算の状況において、効率的ではないことを、実験が示しているので、方法の実施は、専用の方法を設定する。第１のステップは、求根問題を定式化することである。
【0148】
求根
見て分かるように、この実施において使用される特定の目的関数は、微分可能である（同じ特性を特徴とする他の目的関数が、使用されることができる）。これは、方法が、それがラグランジュ写像導関数のゼロを見つけることを含むような、最小化を実行することを可能にする。ラグランジュ写像導関数は、ラグランジュ乗数を有する目的関数への拘束の挿入に基づく。この手法は、効率的な最小化を可能にする。
見て分かるように、この実施において使用される特定の目的関数は、微分可能である（同じ特性を特徴とする他の目的関数が、使用されることができる）。これは、方法が、それがラグランジュ写像導関数のゼロを見つけることを含むような、最小化を実行することを可能にする。ラグランジュ写像導関数は、ラグランジュ乗数を有する目的関数への拘束の挿入に基づく。この手法は、効率的な最小化を可能にする。
【0149】
ラグランジュ乗数
【0150】
【数29】
【0151】
と、ラグランジュ写像を導入することにより、
【0152】
【数30】
【0153】
である。
【0154】
最小化問題の解は、必然的にラグランジュ写像導関数のゼロであることがよく知られており、すなわち、
Ｌx（ｘ、λ）＝０
Ｌλ（ｘ、λ）＝０
であり、これは、写像
Ｌx（ｘ、λ）＝０
Ｌλ（ｘ、λ）＝０
であり、これは、写像
【0155】
【数31】
【0156】
の零点を見つけることであり、求根問題とも呼ばれる。
【0157】
加えて、
【0158】
【数32】
【0159】
が、線形写像
【0160】
【数33】
【0161】
が最大階数ではないようなものである場合、線形写像
【0162】
【数34】
【0163】
は、可逆ではないことが、証明されることができる。これは、根計算を問題のあるものにし、それが、以下で詳述される特異点の原因である。
【0164】
微分方程式
見て分かるように、この実施において使用される特定の目的関数は、実際には、２回微分可能である（同じ特性を特徴とする他の目的関数が、使用されることができる）。
これは、方法が、それが入力状態に対応する点から開始して（任意選択の目標寸法値に対応するパラメータ値を除去して）微分方程式を積分することを単に含むような方法で、発見を実行することを可能にする。この微分方程式は、ベクトル場に対応し、最終的に、２次可動性に向かう流れを表す。ベクトル場の各安定した平衡点が、ラグランジュ写像導関数のゼロである場合、積分は、拘束を検証する目的関数の最小値に向かって収束する。
見て分かるように、この実施において使用される特定の目的関数は、実際には、２回微分可能である（同じ特性を特徴とする他の目的関数が、使用されることができる）。
これは、方法が、それが入力状態に対応する点から開始して（任意選択の目標寸法値に対応するパラメータ値を除去して）微分方程式を積分することを単に含むような方法で、発見を実行することを可能にする。この微分方程式は、ベクトル場に対応し、最終的に、２次可動性に向かう流れを表す。ベクトル場の各安定した平衡点が、ラグランジュ写像導関数のゼロである場合、積分は、拘束を検証する目的関数の最小値に向かって収束する。
【0165】
ここで再び、求根問題を解く既存の数値アルゴリズムは、可動性計算の状況において、効率的ではないことを、実験が示している。元の未知数ｘと、未知のラグランジュ乗数λを分離することは有用でないので、読み易さのために、求根問題の未知数（ｘ、λ）は、単一の記号ｙを用いて表される。さらに、求根問題は、ｆ（ｙ）＝０と表される。ｙ*が、ベクトル場
【0166】
【数35】
【0167】
の安定した平衡点である場合、それは、求根問題の解であり、つまり、ｆ（ｙ*）＝０であることがよく知られている。そのため、常微分方程式を考察する。
【0168】
ｙ’（ｔ）＝－ｆ’（ｙ（ｔ））-1ｆ（ｙ（ｔ））
ｙ（０）＝ｙ0
これは、適切な初期化点ｙ0を与えられた場合、軌道
ｙ（０）＝ｙ0
これは、適切な初期化点ｙ0を与えられた場合、軌道
【0169】
【数36】
【0170】
が、ｙ（０）＝ｙ0、ｔ→＋∞であるとき、ｙ（ｔ）→ｙ*のようになることを意味する。この定式化は、「連続ニュートン法」として知られている。
【0171】
それにもかかわらず、以下で説明されるように、可動性計算の状況においては、ｙ＝ｙ*において、逆ｆ’（ｙ）-1が存在しないため、この戦略は、適合させられてよい。解法は、逆線形写像ｆ’（ｙ）-1を転置線形写像ｆ’（ｙ）Tによって置き換えることであり、つまり、関心がある微分方程式は、
ｙ’（ｔ）＝－ｆ’（ｙ（ｔ））Tｆ（ｙ（ｔ））
ｙ（０）＝ｙ0
となる。
ｙ’（ｔ）＝－ｆ’（ｙ（ｔ））Tｆ（ｙ（ｔ））
ｙ（０）＝ｙ0
となる。
【0172】
ここで再び、ｆ（ｙ*）＝０である場合、ｙ*も、ベクトル場
【0173】
【数37】
【0174】
の安定した平衡点であることが、証明されることができる。これは、適切な初期設定ｙ0の下において、軌道
【0175】
【数38】
【0176】
が、ｙ（０）＝ｙ0、ｔ→＋∞であるとき、ｙ（ｔ）→ｙ*のようになることを意味する。
【0177】
技術的な理由は、以下の通りである。ベクトル場を、ｇ（ｙ）＝－ｆ’（ｙ）Tｆ（ｙ）で表すと、線形写像ｇ’（ｙ*）の固有値が負であるとき、ｙ*は、ベクトル場ｇ（・）の安定した平衡である。ｇ’（ｙ）＝－ｆ’’（ｙ）Tｆ（ｙ）－ｆ’（ｙ）Tｆ’（ｙ）であるので、ｇ’（ｙ*）＝－ｆ’（ｙ*）Tｆ’（ｙ*）であり、これは、－ＡTＡの形であることを特徴とし、Ａ＝ｆ’（ｙ*）である、行列－ＡTＡのいずれの固有値μも、負であるが、それは、μと関連付けられた正規化された固有ベクトルをｖで表すと、定義により、－ＡTＡｖ＝μｖであるので、－〈ＡTＡｖ、ｖ〉＝μ｜｜ｖ｜｜2、－〈Ａｖ、Ａｖ〉＝μであり、つまり、μ＝－｜｜Ａｖ｜｜2≦０であるからである。
【0178】
図１７は、初期点ｙ0から、ｙ0に最も近いＭの点である解ｙ*まで、軌道
【0179】
【数39】
【0180】
によって辿られる経路を例示している。
【0181】
ラグランジュ表記
【0182】
【数40】
【0183】
および
【0184】
【数41】
【0185】
に戻ると、微分方程式は、
【0186】
【数42】
【0187】
である。
【0188】
また、予想通り、軌道は、ｘ（ｔ）→ｘ*、
【0189】
【数43】
【0190】
のようになり、ここで、Ｌx（ｘ*、λ*）＝０、Ｌy（ｘ*、λ*）＝０であり、
【0191】
【数44】
【0192】
である。
【0193】
より単純な表記は、偏導関数
【0194】
【数45】
【0195】
、
【0196】
【数46】
【0197】
および
【0198】
【数47】
【0199】
を詳述しない。
【0200】
ラグランジュ乗数の他の値は、開始点のために使用されてよいので、λ（０）＝０だけが、（テストされた）効率的な例である。
【0201】
実際には、入力機構は、組み立てられた、またはほぼ組み立てられた（例えば、それがトポロジ的に最終的な意図された設計のように見えるように、ユーザが機構をほぼ組み立てた）入力状態において提供されてよい。これは、（ｘ0部分についての）積分の適切な開始点を定義してよい。方法においては、入力パラメータ値が、各パラメータのためのそれぞれの入力値を含まないケースにおいて、これらのパラメータは、例えば、（それを可動にすることはないが）機構を組み立てる、またはほぼ組み立てる、ヒューリスティックを適用することによって、積分のための任意の方式で、初期化されてよい。
【0202】
解法
解法は、時間区間［０，ｔmax］にわたる、微分方程式ｙ’＝－ｆ’（ｙ）Tｆ（ｙ）の数値積分であり、ここで、ｔmaxは、｜｜ｆ（ｙ（ｔmax））｜｜が、事前定義されたしきい値ε＞０より小さくなるまで、増加する。微分方程式の価値は、解法が、初期条件ｙ0によって定義されるベクトル場において、一意的な経路に従うことである。従来の数値法を用いると、発生することがあるような、反復アルゴリズム、ステップサイズ管理、または局所極小トラップなどは、発生しない。
解法は、時間区間［０，ｔmax］にわたる、微分方程式ｙ’＝－ｆ’（ｙ）Tｆ（ｙ）の数値積分であり、ここで、ｔmaxは、｜｜ｆ（ｙ（ｔmax））｜｜が、事前定義されたしきい値ε＞０より小さくなるまで、増加する。微分方程式の価値は、解法が、初期条件ｙ0によって定義されるベクトル場において、一意的な経路に従うことである。従来の数値法を用いると、発生することがあるような、反復アルゴリズム、ステップサイズ管理、または局所極小トラップなどは、発生しない。
【0203】
初期化点ｙ0は、安定した平衡点の吸引領域にあることがある。
【0204】
【数49】
【0205】
であるような、点
【0206】
【数48】
【0207】
が、存在することがあり、つまり、
【0208】
【数50】
【0209】
は、平衡点であるが、
【0210】
【数51】
【0211】
であり、つまり、
【0212】
【数52】
【0213】
は、求根問題の解ではない。後者は、逆に取って代わった転置によって、引き起こされる。実際には、テストは、方法が、これらの問題にうまく応答することを示している。
【0214】
真の可動性対微小な可動性
可動性を保証する第２の拘束が、今から説明される。
可動性を保証する第２の拘束が、今から説明される。
【0215】
方法のこの実施においては、それは、単に、出力状態における機構の２次可動性を表す、等式拘束である。この拘束は、実際には、機構の可動性を保証するのに十分であることが、識別されている。これは、最適化の実行可能性を可能にする。
【0216】
非特許文献４によって述べられるような、過剰拘束された機構の可動性を生成または保存することの本質的な困難に対処するために、微小な可動性の概念が、非特許文献６によって提案されている。原理は、写像
【0217】
【数53】
【0218】
を考察することであり、ここで、
【0219】
【数54】
【0220】
は、位置パラメータの空間内における曲線である。定義により、解（ｕ，ｐ）は、φ（０）＝ｐ、φ’（０）≠０であるような、またｉ＝０，１，．．．，ｎについて、すべての連続する導関数
【0221】
【数56】
【0222】
が、ｔ＝０において、ゼロになるような、弧
【0223】
【数55】
【0224】
が、存在する場合、ｎ次の微小な可動性を特徴とする。
【0225】
【数57】
【0226】
すべての次数における微小な可動性は、真の可動性と等価であることが、非特許文献６において証明されている。微小な可動性は、捉えにくい概念である。例えば、図１８は、剛性のある平面組立体である。図１９は、可動性条件のおかげの、平面機構の真に可動なバージョンを例示している。
【0227】
図２０および２１は、それぞれ、１次では可動であるが、２次では可動ではない、組立体の２つのバージョンを例示している。その結果、それらは、真に可動ではなく、そのため、それらは、剛性がある。この例においては、１次可動性は、平行な向かい合ったロッドによって引き起こされる。
【0228】
調査およびテスト中に、発明者らは、２次で可動であるが、真に可動ではない、４Ｒ空間組立体のバージョンを発見した。
【0229】
２次可動性の定義
十分に多数の異なる位置に到達することができる組立体は、真に可動であることが、非特許文献７において証明されている。方法の実施は、提案された最適化の状況において、２次可動性は、ほとんど常に真の可動性を提供することを示す、プライベートな実験に基づいている。方程式のより良い調整のために、曲線φ（・）は、曲線横座標を用いてパラメータ化されることを、すなわち、すべてのｔについて、｜｜φ’（ｔ）｜｜2＝１であることを仮定することが、（制限的ではないが）便利である。微分学の基本規則を使用すると、すべてのｔについて、
十分に多数の異なる位置に到達することができる組立体は、真に可動であることが、非特許文献７において証明されている。方法の実施は、提案された最適化の状況において、２次可動性は、ほとんど常に真の可動性を提供することを示す、プライベートな実験に基づいている。方程式のより良い調整のために、曲線φ（・）は、曲線横座標を用いてパラメータ化されることを、すなわち、すべてのｔについて、｜｜φ’（ｔ）｜｜2＝１であることを仮定することが、（制限的ではないが）便利である。微分学の基本規則を使用すると、すべてのｔについて、
【0230】
【数58】
【0231】
である。
【0232】
また、
【0233】
【数59】
【0234】
である。
【0235】
加えて、
【0236】
【数60】
【0237】
である。
【0238】
これは、
Ｆ（ｕ，ｐ）＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖｖ＋Ｆpp（ｕ，ｐ）ｗ＝０
｜｜ｖ｜｜2－１＝０
〈ｖ、ｗ〉＝０
であるような（これは、等式拘束、すなわち、提案された最適化プログラムの第２の拘束を定義してよい）、（ｕ，ｐ）∈Ｕ×Ｐ、ｖ∈Ｐ、およびｗ∈Ｐが、存在する場合、２次可動性方程式をもたらす。
Ｆ（ｕ，ｐ）＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０
Ｆp（ｕ，ｐ）ｖｖ＋Ｆpp（ｕ，ｐ）ｗ＝０
｜｜ｖ｜｜2－１＝０
〈ｖ、ｗ〉＝０
であるような（これは、等式拘束、すなわち、提案された最適化プログラムの第２の拘束を定義してよい）、（ｕ，ｐ）∈Ｕ×Ｐ、ｖ∈Ｐ、およびｗ∈Ｐが、存在する場合、２次可動性方程式をもたらす。
【0239】
そのとき、寸法パラメータｕによって定義される機構は、２次において可動である。実際、設計によって、φ（０）＝ｐ、φ’（０）＝ｖ、およびφ’’（０）＝ｗであるので、
【0240】
【数61】
【0241】
を選択することによって、Ｆ（ｕ、φ（０））＝０、
【0242】
【数62】
【0243】
、および
【0244】
【数63】
【0245】
であることをチェックすることは、難しくない。
【0246】
方法の実施は、それが、実際には、十分であり、相対的に高速な最小化を可能にするので、２次可動性を利用するが、それは、任意のより高次の可動性に容易に拡張されることができる。
【0247】
剛性継手の回避
拘束は、剛性継手非存在を表す、第３の拘束を含んでよい。
拘束は、剛性継手非存在を表す、第３の拘束を含んでよい。
【0248】
可動機構の動作中、この継手によって接続された２つのソリッドが、いかなる相対運動も特徴としない場合、継手は、剛性である。言い換えると、剛性結合によって接続された２つのソリッドは、単一の剛体と見なされることができる。そのような挙動は、何らかの可動性が、他の場所に存在する場合であっても、設計者の観点からは、むしろ回避されるべきである。各継手は、動作中、むしろ活動的であるべきである。ゴールは、今は、剛性継手を回避するための方程式を設定することである。可動性は、条件｜｜ｖ｜｜2＝１を満たす場合に生じ、ここで、ｖは、仮想的な軌道に対する接線ベクトルである。｜｜ｖ｜｜がゼロにならないにもかかわらず、ベクトルｖの（すべてではないが）いくつかの座標は、ゼロになることがあるので、この条件は、剛性継手を回避しない。ベクトルｖの座標を、ｖ＝（ｖ1，．．．，ｖn）で表し、新しいスカラ未知数βを導入すると、剛性継手を除去するための追加の条件は、
【0249】
【数64】
【0250】
である。
【0251】
寸法がゼロになることの回避
加えて、拘束は、寸法がゼロになることがないことを表す、第４の拘束を含んでよい。
加えて、拘束は、寸法がゼロになることがないことを表す、第４の拘束を含んでよい。
【0252】
方法の実施によって計算された出力機構は、むしろ、寸法がゼロになる縮退ソリッドを特徴とすべきではない。寸法パラメータｕの座標を、ｕ＝（ｕ1，．．．，ｕm）で表すと、以前の非剛性継手条件が、非ゼロの寸法を埋め込むために、再使用される。
【0253】
【数65】
【0254】
したがって、第４の拘束は、第３の拘束と（同じ）拘束内において捕捉されてよく、したがって、それは、出力状態における機構の非縮退をさらに表す。言い換えると、第３および第４の拘束は、共通の（例えば、等式）拘束として、提供される。あるいは、第４の拘束は、最適化プログラムにおいては、第３の拘束とは別個の拘束として、提供されてよい。
【0255】
非縮退２次可動性のためのモデル
明確にするために、単一の写像Ｍ（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β）が、２次可動性、非剛性継手、および非ゼロ寸法条件を捕捉する。
明確にするために、単一の写像Ｍ（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β）が、２次可動性、非剛性継手、および非ゼロ寸法条件を捕捉する。
【0256】
【数66】
【0257】
このように、非縮退２次可動性は、Ｍ（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β）＝０と書かれる。寸法パラメータｕ0および位置パラメータｐ0によって定義される入力機構を与えられると、問題は、ｕ0に可能な限り近い寸法パラメータｕを見つけること、および
【0258】
【数67】
【0259】
のようなパラメータｐ、ｖ、ｗ、βを見つけることである。
【0260】
先に説明されたように、解法は、最小化問題と関連付けられた微分方程式の数値積分である。ラグランジュ写像は、
【0261】
【数68】
【0262】
である。
【0263】
数学のおかげで、２次可動性を特徴とする非縮退機構を定義する連立方程式は、
Ｌ’（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β，λ）＝０
である。
Ｌ’（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β，λ）＝０
である。
【0264】
定義により、次数ｎ＋１の可動性は、次数ｎの可動性方程式の導関数を含む。２次において可動な機構を考察する。この機構が、真に可動である場合、それは、すべての次数において、微小に可動であり、特に、それは、３次において、可動である。これは、２次可動性方程式を不良条件にするが、それは、それらの導関数も、ゼロになり、それが、最小化問題の拘束において矛盾を生じるからである。結果は、機構が、真に可動であるとき、ラグランジュの２次導関数が、可逆でないことである。
【0265】
数々の過剰拘束された機構において実行されたテストは、線形写像Ｌ’’（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β，λ）が可逆ではないという事実を確認する。そのため、逆転をより適切な何かによって置き換えるために、何かが、行われてよい。最先端技術は、非可逆行列Ａを扱うための３種類の方法を提供する。第１に、行数が、列数よりも大きいとき、行列Ａのいわゆる疑似逆行列は、（ＡTＡ）-1ＡTによって定義される。第２に、行数が、列数よりも少ないとき、行列Ａのいわゆる疑似逆行列は、ＡT（ＡＡT）-1である。第３に、非可逆行列を扱う最も一般的な方法は、純粋に数値的な方法である、特異値分解（ＳＶＤ）法である。これらの方法のどれもが、方法の実施のニーズに適合しない理由が、今から説明される。どちらの疑似逆行列法も、実質的な非縮退条件を必要とし、ＡTＡまたはＡＡTのどちらかが、むしろ可逆であるべきである。方法の実施の状況においては、この非縮退条件は、達成できない。加えて、ＳＶＤは、疑似逆行列の記号的な定義とは対照的に、純粋に数値的であり、時間のかかる方法である。それは、微分方程式の定義において、使用されることができない。方法の実施は、以下の理由のために、転置を利用する。それは、いかなる非縮退条件も必要としないが、それは、転置行列が、常に存在するからである。計算時間は、非常に小さい。数学的な導入において説明されたように、方程式Ｌ’＝０のいずれの解もまた、ベクトル場－（Ｌ’’）TＬ’の安定した平衡である。
【0266】
その結果、微分方程式が、
【0267】
【数69】
【0268】
となるように、逆転Ｌ’’（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β，λ）-1は、転置Ｌ’’（ｕ，ｐ，ｖ，ｗ，β，λ）Tによって、有利に置き換えられる。
【0269】
初期条件の設定
初期条件ｕ0、ｐ0、ｖ0、ｗ0、β0、λ0を設定することは、ベクトル場における軌道の経路を決定する。パラメータｕ0およびｐ0は、入力機構によって与えられ、機構の組み立てられた状態、または実質的に組み立てられた状態に対応してよい。数値テストは、ｗ0＝０、λ0＝０が、有効であることを示している。初期ｖ0は、｜｜ｖ0｜｜2＝１であり、｜｜Ｆp（ｕ0、ｐ0）ｖ0｜｜2が最小であるような方法で、計算される。この選択は、Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０、｜｜ｖ｜｜2＝１であるような、特に、ｕ、ｐ、ｖを見つけることである、目標に従って行われる。加えて、偶然、入力機構が、１次可動性を特徴とする場合、Ｆp（ｕ0，ｐ0）ｖ0＝０となるような、正規化されたｖ0が存在し、初期化プロセスは、当然、この特定のｖ0を計算する。列よりも行が多い行列Ａを与えられると、｜｜Ａｘ｜｜2を最小化する正規化されたベクトルｘは、ＡTＡｘ＝μｘであるような最小数μである、それの最小の固有値と関連付けられた、行列ＡTＡの正規化された固有ベクトルであることが、最適化理論から、よく知られている。その結果、ｖ0は、それの最小の固有値と関連付けられた、行列Ｆp（ｕ0，ｐ0）TＦp（ｕ0，ｐ0）の固有ベクトルである。最後に、β0は、
初期条件ｕ0、ｐ0、ｖ0、ｗ0、β0、λ0を設定することは、ベクトル場における軌道の経路を決定する。パラメータｕ0およびｐ0は、入力機構によって与えられ、機構の組み立てられた状態、または実質的に組み立てられた状態に対応してよい。数値テストは、ｗ0＝０、λ0＝０が、有効であることを示している。初期ｖ0は、｜｜ｖ0｜｜2＝１であり、｜｜Ｆp（ｕ0、ｐ0）ｖ0｜｜2が最小であるような方法で、計算される。この選択は、Ｆp（ｕ，ｐ）ｖ＝０、｜｜ｖ｜｜2＝１であるような、特に、ｕ、ｐ、ｖを見つけることである、目標に従って行われる。加えて、偶然、入力機構が、１次可動性を特徴とする場合、Ｆp（ｕ0，ｐ0）ｖ0＝０となるような、正規化されたｖ0が存在し、初期化プロセスは、当然、この特定のｖ0を計算する。列よりも行が多い行列Ａを与えられると、｜｜Ａｘ｜｜2を最小化する正規化されたベクトルｘは、ＡTＡｘ＝μｘであるような最小数μである、それの最小の固有値と関連付けられた、行列ＡTＡの正規化された固有ベクトルであることが、最適化理論から、よく知られている。その結果、ｖ0は、それの最小の固有値と関連付けられた、行列Ｆp（ｕ0，ｐ0）TＦp（ｕ0，ｐ0）の固有ベクトルである。最後に、β0は、
【0270】
【数70】
【0271】
ように計算される。
【0272】
目標寸法値の設定
先に説明されたように、いくつかの状況においては、目標寸法値は、ユーザによって設定されることができる。このセクションのゴールは、これがどのように実施されるかを説明することである。機構の寸法は、実際には、スカラ変数のリストｕ＝（ｕ1、ｕ2，．．．，ｕn）である、ベクトル変数ｕを通して捕捉され、ここで、各ｕiは、長さまたは角度である。目標寸法値を設定することは、
１．特定のスカラパラメータｕk、ｋ∈｛１，．．．，ｎ｝を選択すること
２．特定の数値をスカラパラメータｕkに設定すること、
３．それが、
先に説明されたように、いくつかの状況においては、目標寸法値は、ユーザによって設定されることができる。このセクションのゴールは、これがどのように実施されるかを説明することである。機構の寸法は、実際には、スカラ変数のリストｕ＝（ｕ1、ｕ2，．．．，ｕn）である、ベクトル変数ｕを通して捕捉され、ここで、各ｕiは、長さまたは角度である。目標寸法値を設定することは、
１．特定のスカラパラメータｕk、ｋ∈｛１，．．．，ｎ｝を選択すること
２．特定の数値をスカラパラメータｕkに設定すること、
３．それが、
【0273】
【数71】
【0274】
になるように、未知のベクトルｕから、このパラメータを除去すること
である。
である。
【0275】
ステップ１および２は、ユーザによって行われる。ステップ３は、システムによって行われる。そのため、目標寸法値が、設定されたとき、方法の実施は、１つ少ない未知数を特徴とする、縮小された未知数ベクトルｕを扱う。これは、全体的なプロセスを変更せず、これは、読み易さのために、それが以前の表記において捕捉されない理由である。
【0276】
【0277】
例１：剛性４Ｒ組立体を非縮退４Ｒ可動機構に変更する
４Ｒ機構の理論的な可動性条件が、知られているので、このテストケースは、方法の検証である。初期４Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、４Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
４Ｒ機構の理論的な可動性条件が、知られているので、このテストケースは、方法の検証である。初期４Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、４Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
【0278】
【数72】
【0279】
【0280】
２次可動性の大きさのオーダは、Ｍ（・・・）≒１０-9であり、可動性条件の大きさのオーダは、１０-8である。結果の機構の可動性は、ＣＡＴＩＡ組立体設計ソルバを使用することによって、確認される。
【0281】
例２：剛性５Ｒ組立体を非縮退５Ｒ可動機構に変更する
初期５Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、５Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
初期５Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、５Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
【0282】
【数73】
【0283】
【0284】
２次可動性の大きさのオーダは、Ｍ（・・・）≒１０-16であり、可動性条件の大きさのオーダは、１０-16である。結果の機構の可動性は、ＣＡＴＩＡ組立体設計ソルバを使用して確認される。
【0285】
例３：剛性６Ｒ組立体を非縮退６Ｒ可動機構に変更する
このテストケースは、可動性条件が未知でありながら、真の可動６Ｒを作成することである。初期６Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、６Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
このテストケースは、可動性条件が未知でありながら、真の可動６Ｒを作成することである。初期６Ｒ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、６Ｒ可動機構ｕ1を以下のように計算した。
【0286】
【数74】
【0287】
【0288】
２次可動性の大きさのオーダは、Ｍ（・・・）≒１０-16である。結果の機構の可動性は、ＣＡＴＩＡ組立体設計ソルバを使用して確認される。
【0289】
例４：剛性４Ｒ１Ｃ組立体を非縮退可動機構に変更する
この例は、４つの回転継手（４Ｒ）と、１つの円柱継手（１Ｃ）とを特徴とする。このテストケースは、可動性条件が未知でありながら、真の可動４Ｒ１Ｃを作成することである。初期４Ｒ１Ｃ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、４Ｒ１Ｃ可動機構ｕ1を計算した。
この例は、４つの回転継手（４Ｒ）と、１つの円柱継手（１Ｃ）とを特徴とする。このテストケースは、可動性条件が未知でありながら、真の可動４Ｒ１Ｃを作成することである。初期４Ｒ１Ｃ剛性組立体ｕ0から開始して、方法の実施は、４Ｒ１Ｃ可動機構ｕ1を計算した。
【0290】
【数75】
【0291】
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図17】
【図18】
【図19】
【図20】
【図21】
【図22】
【図23】
【図24】
【図25】
【図26】
【図27】
【図28】
【図29】