特許 7579579 組合せ最適化問題処理装置、組合せ最適化問題処理方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2024-10-30

(45)【発行日】2024-11-08

(54)【発明の名称】組合せ最適化問題処理装置、組合せ最適化問題処理方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06N 10/60 20220101AFI20241031BHJP

   G06F 17/11 20060101ALI20241031BHJP

【ＦＩ】

G06N10/60

G06F17/11

【請求項の数】 8

(21)【出願番号】P 2021553521

(86)(22)【出願日】2020-10-22

(86)【国際出願番号】 JP2020039702

(87)【国際公開番号】W WO2021085297

(87)【国際公開日】2021-05-06

【審査請求日】2023-08-09

(31)【優先権主張番号】P 2019196324

(32)【優先日】2019-10-29

(33)【優先権主張国・地域又は機関】JP

(73)【特許権者】

【識別番号】504157024

【氏名又は名称】国立大学法人東北大学

(74)【代理人】

【識別番号】100165179

【弁理士】

【氏名又は名称】田▲崎▼ 聡

(74)【代理人】

【識別番号】100188558

【弁理士】

【氏名又は名称】飯田 雅人

(74)【代理人】

【識別番号】100175824

【弁理士】

【氏名又は名称】小林 淳一

(74)【代理人】

【識別番号】100152272

【弁理士】

【氏名又は名称】川越 雄一郎

(74)【代理人】

【識別番号】100181722

【弁理士】

【氏名又は名称】春田 洋孝

(72)【発明者】

【氏名】大関 真之

【審査官】渡辺 順哉

(56)【参考文献】

【文献】国際公開第２０１８／０７４００６（ＷＯ，Ａ１）

【文献】特表２０１８－５３３１０６（ＪＰ，Ａ）

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｎ ３／００－９９／００

Ｇ０６Ｆ １７／１１

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

解析対象の組合せ最適化問題を表す関数であって変数ｑの３次以上の項を含む関数である解析対象関数をハミルトニアンとする分配関数であり前記ハミルトニアンが変数Ｘによる所定の積分表示によって表された前記分配関数であり前記ハミルトニアンが前記変数ｑの２次以下の項だけを含む第１式と前記変数ｑを含まない第２式との和で表される前記分配関数を求根対象分配関数とし、前記変数ｑのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第１の所定の条件を満たす前記変数ｑの値を取得する処理を第１最適化処理とし、前記第１最適化処理によって取得された前記第１の所定の条件を満たす変数ｑを第１解とし、前記変数Ｘのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第２の所定の条件を満たす前記変数Ｘの値を取得する処理を第２最適化処理とし、前記第２最適化処理によって取得された前記第２の所定の条件を満たす変数Ｘを第２解として、前記第１最適化処理と前記第２最適化処理とを所定の終了条件が満たされるまで繰り返す交互最適化アルゴリズムにおける前記第１解の候補をアニーリングの手法によって取得するアニーリング部と、
前記第２解を取得する演算部と、
前記終了条件が満たされた場合に直前に得られた前記第１解の候補を、前記組合せ最適化問題の解の候補として取得する解候補取得部と、
を備える組合せ最適化問題処理装置。

【請求項2】

前記第１の所定の条件は、前記分配関数の値が極大値である、という条件である、
請求項１に記載の組合せ最適化問題処理装置。

【請求項3】

前記第２の所定の条件は、前記分配関数の値が極大値である、という条件である、
請求項１又は２に記載の組合せ最適化問題処理装置。

【請求項4】

前記所定の積分表示は、フーリエ積分表示である、
請求項１から３のいずれか一項に記載の組合せ最適化問題処理装置。

【請求項5】

前記アニーリングの手法は、量子アニーリングである、
請求項１から４のいずれか一項に記載の組合せ最適化問題処理装置。

【請求項6】

前記演算部は、前記第２解を求根アルゴリズムによって取得する、
請求項１から５のいずれか一項に記載の組合せ最適化問題処理装置。

【請求項7】

コンピュータが、解析対象の組合せ最適化問題を表す関数であって変数ｑの３次以上の項を含む関数である解析対象関数をハミルトニアンとする分配関数であり前記ハミルトニアンが変数Ｘによる所定の積分表示によって表された前記分配関数であり前記ハミルトニアンが前記変数ｑの２次以下の項だけを含む第１式と前記変数ｑを含まない第２式との和で表される前記分配関数を求根対象分配関数とし、前記変数ｑのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第１の所定の条件を満たす前記変数ｑの値を取得する処理を第１最適化処理とし、前記第１最適化処理によって取得された前記第１の所定の条件を満たす変数ｑを第１解とし、前記変数Ｘのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第２の所定の条件を満たす前記変数Ｘの値を取得する処理を第２最適化処理とし、前記第２最適化処理によって取得された前記第２の所定の条件を満たす変数Ｘを第２解として、前記第１最適化処理と前記第２最適化処理とを所定の終了条件が満たされるまで繰り返す交互最適化アルゴリズムにおける前記第１解の候補をアニーリングの手法によって取得するアニーリングステップと、
コンピュータが、前記第２解を取得する演算ステップと、
コンピュータが、前記終了条件が満たされた場合に直前に得られた前記第１解の候補を、前記組合せ最適化問題の解の候補として取得する解候補取得ステップと、
を有する組合せ最適化問題処理方法。

【請求項8】

請求項１から６のいずれか一項に記載の組合せ最適化問題処理装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、組合せ最適化問題処理装置、組合せ最適化問題処理方法及びプログラムに関する。
本願は、２０１９年１０月２９日に、日本に出願された特願２０１９－１９６３２４号に基づき優先権を主張し、その内容をここに援用する。

【背景技術】

【0002】

近年、機械学習、深層学習又は人工知能の研究が進んでいる。機械学習、深層学習又は人工知能においては、巡回セールスマン問題等の組合せ最適化問題を高速に処理することが重要な課題の一つとなっている。そのため、組合せ最適化問題を高速に処理する装置の実装への期待が高まっている。このような組合せ最適化問題を高速に処理する装置の１つは、量子アニーリングによって最適化問題を処理する量子アニーリングマシン（非特許文献１）である。量子アニーリングマシンは、量子ビットを基本素子とする計算機であり複数の量子ビットを備える計算機である。量子アニーリングマシンは、自装置が備える複数の量子ビットを含む系（以下「ビット系」という。）における所定の固有状態（例えば基底状態）を示す情報をビット系の測定によって取得する（量子アニーリング）。固有状態を示す情報とは、具体的には、固有状態における各量子ビットの示す値の分布を示す情報である。そして、量子アニーリングマシンは、取得結果を組合せ最適化問題の解の候補として出力する。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0003】

【文献】”The D-Wave 2000Q System”、［online］、Ｄ Ｗａｖｅ Ｔｈｅ Ｑｕａｎｔｕｍ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙ、［令和１年１０月８日検索］、インターネット〈URL：https://www.dwavesys.com/d-wave-two-system>

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0004】

しかしながら、従来の量子アニーリングマシンは隣接する量子ビット間の相互作用を用いるため２次形式で表される組合せ最適化問題しか扱うことができないという問題がある。そのため、従来はアニーリングの手法を利用して変数の３次以上の項を含む方程式の解の候補を取得することはできなかった。
また、このような問題は、量子アニーリングマシンに限らず、アニーリングの手法を利用して組合せ最適化問題の解の候補を出力する装置について共通の課題であった。

【0005】

上記事情に鑑み、本発明は、変数の３次以上の項を含む関数で表される組合せ最適化問題の解の候補をアニーリングの手法を利用して取得する技術を提供することを目的としている。

【課題を解決するための手段】

【0006】

本発明の一態様は、解析対象の組合せ最適化問題を表す関数であって変数ｑの３次以上の項を含む関数である解析対象関数をハミルトニアンとする分配関数であり前記ハミルトニアンが変数Ｘによる所定の積分表示によって表された前記分配関数であり前記ハミルトニアンが前記変数ｑの２次以下の項だけを含む第１式と前記変数ｑを含まない第２式との和で表される前記分配関数を求根対象分配関数とし、前記変数ｑのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第１の所定の条件を満たす前記変数ｑの値を取得する処理を第１最適化処理とし、前記第１最適化処理によって取得された前記第１の所定の条件を満たす変数ｑを第１解とし、前記変数Ｘのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第２の所定の条件を満たす前記変数Ｘの値を取得する処理を第２最適化処理とし、前記第２最適化処理によって取得された前記第２の所定の条件を満たす変数Ｘを第２解として、前記第１最適化処理と前記第２最適化処理とを所定の終了条件が満たされるまで繰り返す交互最適化アルゴリズムにおける前記第１解の候補をアニーリングの手法によって取得するアニーリング部と、前記第２解を取得する演算部と、前記終了条件が満たされた場合に直前に得られた前記第１解の候補を、前記組合せ最適化問題の解の候補として取得する解候補取得部と、を備える組合せ最適化問題処理装置である。

【0007】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置であって、前記第１の所定の条件は、前記分配関数の値が極大値である、という条件である。

【0008】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置であって、前記第２の所定の条件は、前記分配関数の値が極大値である、という条件である。

【0009】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置であって、前記所定の積分表示は、フーリエ積分表示である。

【0010】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置であって、前記アニーリングの手法は、量子アニーリングである。

【0011】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置であって、前記演算部は、前記第２解を求根アルゴリズムによって取得する。

【0012】

本発明の一態様は、解析対象の組合せ最適化問題を表す関数であって変数ｑの３次以上の項を含む関数である解析対象関数をハミルトニアンとする分配関数であり前記ハミルトニアンが変数Ｘによる所定の積分表示によって表された前記分配関数であり前記ハミルトニアンが前記変数ｑの２次以下の項だけを含む第１式と前記変数ｑを含まない第２式との和で表される前記分配関数を求根対象分配関数とし、前記変数ｑのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第１の所定の条件を満たす前記変数ｑの値を取得する処理を第１最適化処理とし、前記第１最適化処理によって取得された前記第１の所定の条件を満たす変数ｑを第１解とし、前記変数Ｘのみを独立変数とし前記求根対象分配関数の最大値に関する第２の所定の条件を満たす前記変数Ｘの値を取得する処理を第２最適化処理とし、前記第２最適化処理によって取得された前記第２の所定の条件を満たす変数Ｘを第２解として、前記第１最適化処理と前記第２最適化処理とを所定の終了条件が満たされるまで繰り返す交互最適化アルゴリズムにおける前記第１解の候補をアニーリングの手法によって取得するアニーリングステップと、前記第２解を取得する演算ステップと、前記終了条件が満たされた場合に直前に得られた前記第１解の候補を、前記組合せ最適化問題の解の候補として取得する解候補取得ステップと、を有する組合せ最適化問題処理方法である。

【0013】

本発明の一態様は、上記の組合せ最適化問題処理装置としてコンピュータを機能させるためのプログラムである。

【発明の効果】

【0014】

本発明により、変数の３次以上の項を含む関数で表される組合せ最適化問題の解の候補をアニーリングの手法を利用して取得することが可能となる。

【図面の簡単な説明】

【0015】

【図1】実施形態の組合せ最適化問題処理装置１の機能構成の一例を示す図。

【図2】実施形態における制御部１１の機能構成の一例を示す図。

【図3】実施形態における状態測定部１５の一例を説明する説明図。

【図4】実施形態における複数の物理量子ビット１０１の位置関係の一例を示す図。

【図5】実施形態の組合せ最適化問題処理装置１が実行する処理の流れの一例を示すフローチャート。

【発明を実施するための形態】

【0016】

（実施形態）
図１は、実施形態の組合せ最適化問題処理装置１の機能構成の一例を示す図である。まず、組合せ最適化問題処理装置１の概要を説明する。

【0017】

＜組合せ最適化問題処理装置１の概要＞
組合せ最適化問題処理装置１は、交通管理の最適化等の組合せ最適化問題であって解析対象の組合せ最適化問題の解の候補をアニーリングの手法を利用して取得する装置である。より具体的には、組合せ最適化問題処理装置１は、変数の３次以上の項ｇ_ｉを含む関数（以下「解析対象関数」という。）によって表される組合せ最適化問題の解をアニーリングの手法を利用して取得する装置である。解析対象関数によって表される組合せ最適化問題の解は、具体的には、解析対象の組合せ最適化問題を表す所定の条件（以下「組合せ条件」という。）を満たす変数の値の候補をアニーリングの手法を利用して取得することで取得される。

【0018】

組合せ条件は、解析対象の組合せ最適化問題を表す条件であればどのような条件であってもよい。組合せ条件は、例えば解析対象関数の値が最小値であるという条件である。組合せ条件は、解析対象の組合せ最適化問題によっては、例えば解析対象関数の値が極小値であるという条件である。組合せ条件は、解析対象の組合せ最適化問題によっては、例えば解析対象関数の値が極大値であるという条件である。以下、説明の簡単のため、組合せ条件が、解析対象関数の値が最小値であるという条件である場合を例に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。以下、組合せ条件を満たす変数の値を、解析対象関数の条件下解という。すなわち、解析対象関数の条件下解は、解析対象の組合せ最適化問題の解である。なお、ｉは１以上Ｉ以下の整数（Ｉは１以上の整数）である。異なるｉは、３次以上の各項ｇ_ｉを区別するための記号である。解析対象関数は、例えば式（１）で表される式である。

【0019】

【数1】

【0020】

【数2】

【0021】

式（１）においてｆ（ｑ）は、解析対象関数を表す。式（１）においてｑは、解析対象関数中の変数を表す。変数ｑは、スカラー又はベクトルである。以下、説明の簡単のためｑがＮ個の要素を有するベクトルである場合を例に、組合せ最適化問題処理装置１を説明する。変数ｑの各要素は、２値変数である。

【0022】

式（１）において、ｆ_０（ｑ）は、解析対象関数ｆ（ｑ）が含む項であって変数ｑの二次の項を表す。式（１）において、中式の第２項は、解析対象関数ｆ（ｑ）の各項のうち、変数ｑの３次以上の項の和を表す。式（２）において、上付きのＴは、変数ｑの転置を表す。式（２）においてＱは、係数行列を表す。

【0023】

解析対象関数ｆ（ｑ）を量子系等の所定の系を表すハミルトニアンと見なした場合、ハミルトニアンｆ（ｑ）によって表される分配関数Ｚは、以下の式（３）によって表される。

【0024】

【数3】

【0025】

式（３）においてβは、後述するアニーリングの手法によって系の状態を測定するときの系の温度の逆温度を表す。式（３）においてシグマ記号Σは、変数ｑの要素ごとにシグマ記号Σの右に記載の項の値を算出し、算出した値の和をとることを意味する。式（３）の右辺のネイピア数を底とする指数関数の指数を、変数ｘによるフーリエ積分表示によって表すと、式（３）は以下の式（４）で表される。以下、式（４）を第１フーリエ表示式という。変数ｘはｘ_ｉを要素にもつＩ次元のベクトルである。ｑがベクトルである場合、ｘｉもベクトルである。

【0026】

【数4】

【0027】

式（４）において、δ（・・・）は、ディラックのデルタ関数を表す。このように、第１フーリエ表示式は変数ｘと変数ｑとの差分を引数とするデルタ関数を含む。

【0028】

式（４）のデルタ関数を変数Ｘによるフーリエ積分表示によって表すと、式（４）のデルタ関数は以下の式（５）で表される。変数ＸはＸ_ｉを要素にもつＩ次元のベクトルである。ｑがベクトルである場合、Ｘｉもベクトルである。

【0029】

【数5】

【0030】

式（３）、式（４）及び式（５）より、分配関数Ｚは、以下の式（６）で表される。以下、式（６）を第２フーリエ表示式という。

【0031】

【数6】

【0032】

式（３）と式（６）とを比較すると、解析対象関数ｆ（ｑ）は以下の式（７）で表されることがわかる。

【0033】

【数7】

【0034】

ただし、式（７）のＨ_１は以下の式（８）で表され、式（７）のＨ_２は、以下の式（９）で表される。以下、Ｈ_１を第１解析対象項という。以下、Ｈ_２を第２解析対象項という。

【0035】

【数8】

【0036】

【数9】

【0037】

このように、変数ｑの３次以上の項をふくむ関数である解析対象関数ｆ（ｑ）は、変数Ｘおよびxを用いることで、変数ｑの２次以下の項だけを含む関数に変換される。より具体的には、解析対象関数ｆ（ｑ）は、変数Ｘおよびｘを用いることで、変数ｑの２次以下の項だけを含む第１解析対象項と変数ｑを含まない第２解析対象項との和の式に変形される。変数ｑの２次以下の項だけを含む関数の値が０に等しいことを示す方程式の場合、量子アニーリング等のアニーリングの手法でその解の取得が可能である（例えば非特許文献１参照）。

【0038】

量子統計力学等の量子系の物理学でよく知られているように、分配関数が最大の場合にハミルトニアンは最低値である。そのため、解析対象関数の条件下解は変数ｑ、変数Ｘ及び変数ｘを変数とする関数の極小値を与える変数ｑ、変数Ｘ及び変数ｘにおける変数ｑである。特に、変数ｘが変数ｑ又は変数Ｘの関数である場合、解析対象関数の条件下解は変数ｑ及び変数Ｘを変数とする関数の極小値を与える変数ｑ及び変数Ｘにおける変数ｑである。

【0039】

後述するように変数ｘは変数ｑの関数であるため、組合せ最適化問題処理装置１は、アニーリングの手法及び非アニーリングの手法を用いて以下で説明する交互最適化アルゴリズムを実行することで解析対象関数の条件下解を取得する。非アニーリングの手法とは、アニーリング以外の手法を意味する。

【0040】

組合せ最適化問題処理装置１が実行する交互最適化アルゴリズムは、所定の終了条件が満たされるまで第１最適化処理と第２最適化処理とを交互に繰り返すアルゴリズムである。第１最適化処理は、変数ｑのみを独立変数として、分配関数Ｚの最大値に関する第１の所定の条件（以下「第１分配関数条件」という。）を満たす変数ｑを取得する処理である。以下、第１分配関数条件を満たす変数ｑを第１解という。第１分配関数条件は、例えば分配関数Ｚの値と分配関数Ｚの最大値との差が所定の値未満という条件である。第１分配関数条件は、例えば分配関数Ｚの値が分配関数Ｚの最大値である、という条件であってもよい。第１分配関数条件は、分配関数Ｚの値が極大値である、という条件であってもよい。以下、説明の簡単のため、第１分配関数条件が、分配関数Ｚの値が極大値であるという条件である場合を例に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。

【0041】

第２最適化処理は、変数Ｘのみを独立変数として、分配関数Ｚの最大値に関する第２の所定の条件（以下「第２分配関数条件」という。）を満たす変数Ｘを取得する処理である。以下、第２分配関数条件を満たす変数Ｘを第２解という。第２分配関数条件は、例えば分配関数Ｚの値と分配関数Ｚの最大値との差が所定の値未満という条件である。第２分配関数条件は、例えば分配関数Ｚの値が分配関数Ｚの最大値である、という条件であってもよい。第２分配関数条件は、分配関数Ｚの値が極大値である、という条件であってもよい。以下、説明の簡単のため、第２分配関数条件が、分配関数Ｚの値が極大値であるという条件である場合を例に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。

【0042】

より具体的には、組合せ最適化問題処理装置１が実行する交互最適化アルゴリズムでは、まず第１最適化処理の実行により第１解が取得される。次に、第１解が分配関数Ｚに代入される。次に、変数Ｘを独立変数とする代入後の分配関数Ｚの極大値を与える変数Ｘ（すなわち第２解）が取得される。次に、変数ｑを独立変数とし第２解が代入された分配関数Ｚの極大値を与える変数ｑの値が取得される。次に、変数Ｘを独立変数とし取得された変数ｑの代入後の分配関数Ｚの極大値を与える変数Ｘが取得される。組合せ最適化問題処理装置１が実行する交互最適化アルゴリズムでは、以下このような第１解と第２解とを取得する処理が、所定の終了条件（以下「最適化終了条件」という。）が満たされるまで繰り返される。最適化終了条件は、例えば第１解の値の変化が所定の値未満という条件である。

【0043】

組合せ最適化問題処理装置１は、第１最適化処理を量子アニーリング等のアニーリングの手法で実行する。組合せ最適化問題処理装置１は、第１最適化処理をアニーリングの手法で取得するため、組合せ最適化問題処理装置１が取得する第１解は、変数ｑの値と変数ｑの各値の確率密度との組である。

【0044】

ここで、組合せ最適化問題処理装置１が取得する第１解が変数ｑの値と変数ｑの各値の確率密度との組であることを説明する。アニーリングの手法では、アニーリングの対象の系（以下「アニーリング対象系」という。）の状態を測定する。アニーリング対象系は、複数の物理量子ビットを含み、ハミルトニアンが式（８）で表される系である。アニーリング対象系は、例えばイジングモデルで表されるスピン系等の量子系である。以下、アニーリングの手法が量子アニーリングであってアニーリング対象系がイジングモデルで表されるスピン系である場合を例に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。変数ｑの値は、アニーリング対象系が有する電子のスピン等の物理量子ビットの状態を示す。

【0045】

アニーリング対象系に対して状態が測定された場合、量子力学等の量子系の物理学でよく知られているように、物理量の値とその物理量の確率密度とが測定される。そのため、組合せ最適化問題処理装置１が量子アニーリングの手法で変数ｑの値を取得する場合、組合せ最適化問題処理装置１は変数ｑに対応する物理量の値と変数ｑに対応する物理量の値の確率密度とを測定する。なお、物理量の値だけでなく物理量の値の確率密度も測定されることは、量子アニーリングに限らずアニーリングの手法であればどのような方法においても同様である。

【0046】

アニーリングの手法において変数Ｘ及び変数ｘの値は、それぞれハミルトニアンが式（８）で表されるアニーリング対象系の状態を制御するための情報（以下「アニーリング制御情報」という。）のひとつである。例えばアニーリングの手法が量子アニーリングであってアニーリング対象系がイジングモデルで表されるスピン系である場合、アニーリングの手法において変数Ｘの値は、スピンに印加する磁場の向き及び強さに関する値である。なお、磁場の向き及び強さは、具体的には、分配関数Ｚの値と変数Ｘとによって決まる値である。また、このような場合、アニーリングの手法において変数ｘの値は、直前の第１最適化処理において取得された第１解が示す変数ｑの期待値である。なお、変数ｑの期待値は、具体的には、分配関数Ｚに応じた値である。アニーリング制御情報は、変数Ｘ及び変数ｘの値に加えて後述する形式情報、式係数情報及び温度情報を含む。

【0047】

変数ｘ及び変数Ｘの値は、非アニーリングの手法で値を取得する装置であればどのような装置で値が取得されてもよい。非アニーリングの手法で値を取得する装置は、例えばノイマン型コンピュータある。

【0048】

＜アニーリングの手法の詳細＞
ここで、変数ｑの値を取得するためのアニーリングの手法についてより詳細に説明する。上述したように解析対象関数ｆ（ｑ）は量子系等の所定の系を表すハミルトニアンと見なすことができるので、第１解析対象項Ｈ_１もハミルトニアンｆ（ｑ）の部分系のハミルトニアンと見なすことができる。ハミルトニアンＨ_１によって表される分配関数Ｚ_１は、以下の式（１０）で表される。

【0049】

【数10】

【0050】

また、上述したように、組合せ最適化問題処理装置１は、式（６）で表される分配関数Ｚの極大値を与える変数ｑをアニーリングの手法で取得する。第２解析対象項が変数ｑを陽に含まないため、分配関数Ｚの極大値を与える変数ｑを取得する処理は、分配関数Ｚ_１の極大値を与える変数ｑを取得する処理に等価である。そのため、組合せ最適化問題処理装置１は、第１解析対象項をハミルトニアンとする分配関数の一次微分の値を０にする解をアニーリングの手法によって取得する。すなわち、組合せ最適化問題処理装置１は、アニーリングの手法によって以下の式（１１）及び式（１２）を満たす解をアニーリングの手法で取得する。

【0051】

【数11】

【0052】

【数12】

【0053】

アニーリングの手法で式（１１）及び式（１２）を満たす解を取得する処理は、例えばアニーリングの手法が量子アニーリングである場合、ハミルトニアンが式（８）で表される量子系の量子状態であって分配関数Ｚ_１が最大である量子状態を測定する処理である。以下、ハミルトニアンが式（８）で表される量子系の量子状態であって分配関数Ｚ_１が最大である量子状態を対象量子状態という。分配関数Ｚ１が最大である量子状態は、ハミルトニアンが式（８）で表される量子系の基底状態である。

【0054】

＜第２最適化処理について＞
ここで、第２最適化処理ついてより詳細に説明する。第２最適化処理において、変数ｘには直前のアニーリングによって取得された変数ｑの期待値が代入される。すなわち、第２最適化処理によって変数ｘは以下の式（１３）で表される値に更新される。

【0055】

【数13】

【0056】

第２解は、例えば更新式が以下の式（１４）のである求根アルゴリズムによって取得される。

【0057】

【数14】

【0058】

式（１４）の更新式は、変数ｘの値が式（１３）で表される値である場合において、以下の式（１５）の解を求めるための求根アルゴリズムの更新式である。

【0059】

【数15】

【0060】

式（１５）は、第２解析対象項の値が０に等しいことを表す。

【0061】

なお、求根アルゴリズムは、変数ｘの値が式（１３）で表される値である場合において、以下の式（１５）の解を求めることができればどのようなアルゴリズムであってもよい。求根アルゴリズムは、例えば勾配法であってもよい。求根アルゴリズムは、例えば２分法であってもよい。求根アルゴリズムは、例えば反復代入法であってもよい。

【0062】

＜装置の詳細＞
以下、組合せ最適化問題処理装置１が備える各機能部を説明することで、より具体的に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。

【0063】

組合せ最適化問題処理装置１は、バスで接続されたＣＰＵ（Central Processing Unit）等のバスで接続されたＣＰＵ（Central Processing Unit）等のプロセッサ９１とメモリ９２とを備える制御部１１を備え、プログラムを実行する。組合せ最適化問題処理装置１は、プログラムの実行によって制御部１１、記憶部１２、入力部１３、出力部１４及び状態測定部１５を備える装置として機能する。

【0064】

なお、組合せ最適化問題処理装置１の各機能の全て又は一部は、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）やＰＬＤ（Programmable Logic Device）やＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）等のハードウェアを用いて実現されてもよい。プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録されてもよい。コンピュータ読み取り可能な記録媒体とは、例えばフレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置である。プログラムは、電気通信回線を介して送信されてもよい。

【0065】

制御部１１は、組合せ最適化問題処理装置１の各機能部の動作を制御する。
図２は、実施形態における制御部１１の機能構成の一例を示す図である。図２では、解析対象関数の解の候補の取得に関する機能部を示す。制御部１１は、条件取得部１１１、解候補取得部１１２、非アニーリング演算部１１３及び状態測定制御部１１４を備える。

【0066】

条件取得部１１１は、解析対象関数と、逆温度等のアニーリングの手法によって系の状態を測定するときの系の温度を示す情報（以下「温度情報」という。）と、を取得する。解析対象関数を取得するとは具体的には、解析対象関数の各項を構成する変数、次数等の解析対象関数の形を示す情報と解析対象関数の各項の係数の値を示す情報と、解析対象関数の値が０であることを示す情報とを取得することを意味する。解析対象関数の形を示す情報（以下「形式情報」という。）と解析対象関数の各項の係数の値を示す情報（以下「式係数情報」という。）と解析対象関数の値が０であることを示す情報（以下「零情報」という。）とは、それぞれアニーリング制御情報の１つである。温度情報は、例えば逆温度を示してもよい。

【0067】

条件取得部１１１は、どのようにして解析対象関数及び温度情報を取得してもよい。条件取得部１１１は、例えば入力部１３に入力された解析対象関数及び温度情報をバスを介して取得することで解析対象関数及び温度情報を取得してもよい。条件取得部１１１は、例えば記憶部１２に記憶された解析対象関数及び温度情報を記憶部１２から読み出すことで解析対象関数と系の温度を示す値とを取得してもよい。

【0068】

解候補取得部１１２は、最適化終了条件が満たされたか否かを判定し、最適化終了条件が満たされた場合に、直前の第１最適化処理によって取得された第１解を解析対象関数の解の候補として取得する。解候補取得部１１２が取得した解の候補が、解析対象の組合せ最適化問題の解の候補である。

【0069】

非アニーリング演算部１１３は、詳細を後述する状態測定部１５の測定結果に基づき、詳細を後述する記憶部１２が記憶する変数ｘの値を式（１３）が表す値に更新する。また、非アニーリング演算部１１３は、詳細を後述する状態測定部１５の測定結果に基づき、第２解を取得する。状態測定部１５の測定結果は、具体的には、変数ｑの値と変数ｑの各値の確率密度とである。非アニーリング演算部１１３は、非アニーリングの方法で第２解を取得する。非アニーリング演算部１１３は、取得した第２解によって詳細を後述する記憶部１２が記憶する変数Ｘの値を更新する。

【0070】

状態測定制御部１１４は、アニーリング制御情報に基づいて状態測定部１５の動作を制御する。状態測定制御部１１４は、最適化終了条件が満たされるまでは第２解が取得されるたびに、状態測定部１５にアニーリング開始指示を出力する。アニーリング開始指示は、状態測定部１５にアニーリングを開始させる信号である。また、状態測定部１５は、解析対象関数及び温度情報が入力部１３に入力された場合にも、状態測定制御部１１４にアニーリング開始指示を出力する。解析対象関数が入力されるとは、形式情報、式係数情報及び零情報が入力部１３に入力されることを意味する。

【0071】

制御部１１は、条件取得部１１１、解候補取得部１１２、非アニーリング演算部１１３及び状態測定制御部１１４が動作すれば、どのような仕組みで動作してもよい。制御部１１は、例えばノイマン型のコンピュータと同様の仕組みで動作をしてもよい。

【0072】

図１の説明に戻る。
記憶部１２は、磁気ハードディスク装置や半導体記憶装置などの記憶装置を用いて構成される。記憶部１２は、自装置に関する各種情報を記憶する。記憶部１２は、例えば状態測定部１５の測定結果を記憶する。記憶部１２は、例えばアニーリング制御情報を記憶する。より具体的には、記憶部１２は、例えば変数Ｘ及び変数ｘの初期値を記憶する。また、記憶部１２は、例えば第２最適化処理の実行によって変数Ｘ及び変数ｘが更新されるたびに、更新後の変数Ｘ及び変数ｘを記憶する。また、記憶部１２は、例えば解析対象関数を記憶する。解析対象関数を記憶するとは、具体的には、形式情報、式係数情報及び零情報を記憶することを意味する。また、記憶部１２は、例えば温度情報を記憶する。

【0073】

記憶部１２は、例えば第１解析対象項を記憶する。第１解析対象項を記憶するとは、具体的には、第１解析対象項を記憶するとは、具体的には、第１解析対象項を構成する変数、次数等の第１解析対象項の形を示す情報と第１解析対象項の係数の値とを記憶することを意味する。記憶部１２は、例えば第２解析対象項を記憶する。第２解析対象項を記憶するとは、具体的には、第２解析対象項を構成する変数、次数等の第２解析対象項の形を示す情報と第２解析対象項の係数の値とを記憶することを意味する。記憶部１２は、例えば第１解を記憶する。記憶部１２は、例えば第２解を記憶する。記憶部１２は、例えば組合せ条件を予め記憶する。

【0074】

入力部１３は、マウスやキーボード、タッチパネル等の入力装置を含んで構成される。入力部１３は、これらの入力装置を自装置に接続するインタフェースとして構成されてもよい。入力部１３は、自装置に対する各種情報の入力を受け付ける。入力部１３は、解析対象関数の入力を受け付ける。解析対象関数の入力を受け付けるとは、具体的には、形式情報、式係数情報及び零情報の入力を受け付けることを意味する。入力部１３は、入力された解析対象関数を制御部１１及び記憶部１２に出力する。

【0075】

出力部１４は、解候補取得部１１２によって取得された解析対象関数の条件下解の候補を出力する。出力部１４は、取得された解析対象関数の条件下解の候補を出力可能であればどのようなものであってもよい。出力部１４は、例えばＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイや液晶ディスプレイ、有機ＥＬ（Electro-Luminescence）ディスプレイ等の表示装置を含んで構成される。出力部１４は、これらの表示装置を自装置に接続するインタフェースとして構成されてもよい。

【0076】

状態測定部１５は、量子アニーリングの手法によってアニーリング対象系の対象量子状態を測定する。状態測定部１５は、対象量子状態の測定によって第１解を取得する。状態測定部１５は、アニーリング開始指示を取得するたび、アニーリング制御情報に基づいてアニーリング対象系の状態を制御する。状態測定部１５は、アニーリング対象系の状態の１つであって状態測定部１５によって制御された状態の１つである対象量子状態を測定する。

【0077】

アニーリング制御情報に基づいてアニーリング対象系の状態を制御するとは、具体的には、アニーリング対象系の状態を以下のハミルトニアン条件を満たす状態であるように制御する。ハミルトニアン条件は、アニーリング対象系のハミルトニアンは、式（８）で表されるハミルトニアンであって、式（８）の変数ｑ以外の各変数及び定数の値はアニーリング制御情報が示す値である、という条件である。アニーリング対象系は、例えば状態測定部１５によるアニーリング対象系への磁場の印加によって制御される。状態測定部１５が状態を測定する際のアニーリング対象系の温度は温度情報が示す温度である。

【0078】

なお、第２最適化処理の実行が開始されるまでは、第１最適化処理の実行時の変数Ｘ及び変数ｘの値は、変数Ｘ及び変数ｘの初期値である。

【0079】

図３は、実施形態における状態測定部１５の一例を説明する説明図である。
状態測定部１５は、量子ビット体５０１、状態制御部５０２、測定装置５０３及び第１解取得部５０４を備える。

【0080】

量子ビット体５０１は、複数の物理量子ビット１０１を有する。量子ビット体５０１は、例えば量子ドットを有する半導体基板である。このような場合、物理量子ビット１０１は、例えば量子ドット中の電子のスピンである。量子ビット体５０１は、窒素欠陥を有するダイヤモンド基盤であってもよい。このような場合、物理量子ビット１０１は、例えば窒素欠陥中の電子のスピンである。量子ビット体５０１は、超電導回路であってもよい。このような場合、物理量子ビット１０１は、例えば超電導量子ビットである。量子ビット体５０１は、アニーリング対象系の一例である。

【0081】

状態制御部５０２は、量子ビット体５０１の状態を制御する。より具体的には、状態制御部５０２は、量子ビット体５０１のハミルトニアンがハミルトニアン条件を満たすハミルトニアンであるように量子ビット体５０１の状態を制御する。

【0082】

状態制御部５０２は、例えば量子ビット体５０１の物理量子ビット１０１が超電導量子ビットである場合には、各超電導回路に流す電流の制御と、量子ビット体５０１に印加する磁場の制御とによって量子ビット体５０１の状態を制御する。このような場合、状態制御部５０２は、例えば超電導回路に流す電流を制御する回路と、磁場の発生装置とを備える装置である。状態制御部５０２は、さらに温度を制御してもよい。状態制御部５０２は、温度制御によっても量子ビット体５０１の状態を制御してもよい。このような場合、状態制御部５０２は、例えば発熱機又は冷却器を備える。状態制御部５０２は、例えば温度を温度情報が示す温度に制御する。量子ビット体５０１の状態の測定は、室温未満の低温であることが望ましい。特に測定は０Ｋで行われることが望ましい。以下、説明の簡単のため、物理量子ビット１０１が電子のスピンである場合であって測定時の温度が０Ｋである場合を例に組合せ最適化問題処理装置１を説明する。

【0083】

測定装置５０３は、量子ビット体５０１の量子状態を測定する。測定装置５０３は、量子ビット体５０１の量子状態を取得可能であればどのようなものであってもよい。量子ビット体５０１の量子状態とは、具体的には、複数の物理量子ビット１０１の量子状態である。測定装置５０３は、例えば磁束計を備える装置であってもよいし、光センサを備える装置であってもよい。測定装置５０３は、測定結果に基づき量子ビット体５０１の状態が対象量子状態であるか否かを判定する。より具体的には、測定装置５０３は、分配関数Ｚの極大値に関する所定の条件が満たされた場合に、量子ビット体５０１の状態が対象量子状態であると判定する。分配関数Ｚの極大値に関する所定の条件（以下「極大条件」という。）とは、例えば分配関数Ｚの一次微分の値が０を含む所定の範囲内の値であり、かつ、分配関数Ｚの一次微分の符号がプラスからマイナスへの変化であるという条件である。

【0084】

ここで、状態制御部５０２と測定装置５０３との動作についてより詳細に説明する。状態制御部５０２は、アニーリング開始指示を取得すると、量子ビット体５０１の状態を変化させる。具体的には、各物理量子ビット１０１の量子状態を変化させるように量子ビット体５０１の状態を変化させる。

【0085】

測定装置５０３は、状態制御部５０２によって変化させられた量子ビット体５０１の状態を測定する。測定装置５０３は、測定結果に基づき、量子ビット体５０１の状態が対象量子状態であるか否かを判定する。測定装置５０３によって対象量子状態ではないと判定された場合、状態制御部５０２は、再び量子ビット体５０１の状態を変化させる。量子ビット体５０１の状態の変化は、断熱的に行われることが望ましい。そして、測定装置５０３が、変化後の量子ビット体５０１の状態を測定する。以下、同様の処理が極大条件が満たされるまで実行される。このような繰り返しによって、測定装置５０３は、対象量子状態における各物理量子ビット１０１の状態を測定する。

【0086】

第１解取得部５０４は、測定装置５０３の測定結果に基づいて量子ビット体５０１の対象量子状態における各物理量子ビット１０１の状態を示す値と各状態が生じる確率密度とを取得する。物理量子ビット１０１の状態とは、例えば物理量子ビット１０１が電子のスピンであれば、電子のスピンの向き及び大きさである。第１解取得部５０４が取得した各物理量子ビット１０１の状態を示す値は第１解における変数ｑの値である。状態が生じる確率密度は第１解における変数ｑの各値の確率密度である。すなわち、第１解取得部５０４は、測定により第１解を取得する。第１解取得部５０４が取得した第１解は、記憶部１２に記憶される。第１解取得部５０４が取得した第１解は、制御部１１に出力されてもよい。

【0087】

図４は、実施形態における複数の物理量子ビット１０１の位置関係の一例を示す図である。図４は、量子ビット体５０１内に位置する複数の物理量子ビット１０１の図である。図４は、複数の物理量子ビット１０１が格子状に位置することを示す。

【0088】

図５は、実施形態の組合せ最適化問題処理装置１が実行する処理の流れの一例を示すフローチャートである。
条件取得部１１１が解析対象関数及び温度情報を取得する（ステップＳ１０１）。次に、状態測定制御部１１４が状態測定部１５に対してアニーリング開始指示を出力する（ステップＳ１０２）。次に、状態測定部１５は、極大条件が満たされるまで、ハミルトニアン条件を満たすように量子ビット体５０１の状態を変化させながら量子ビット体５０１の状態を測定する（ステップＳ１０３）。次に、状態測定部１５が、対象量子状態における各物理量子ビット１０１の状態を測定する（ステップＳ１０４）。ステップＳ１０４で測定された各物理量子ビット１０１の状態は変数ｑの値と変数ｑの各値の確率密度とを示すため、ステップＳ１０３からステップＳ１０４までの処理は第１最適化処理であり第１解を取得する処理である。

【0089】

ステップＳ１０４の次に、ステップＳ１０４の結果に基づき、非アニーリング演算部１１３が非アニーリングの方法で第２解を取得する（ステップＳ１０５）。非アニーリング演算部１１３は、取得した第２解によって記憶部１２に記憶された変数Ｘの値を更新する。また、非アニーリング演算部１１３は、第２解の取得に際して、ステップＳ１０４の結果に基づき記憶部１２に記憶された変数ｘの値を式（１３）が表す値に更新する。より具体的には、直前のステップＳ１０４において取得された変数ｑの値と変数ｑの各値の確率密度を用いて変数ｑの期待値に変数ｘの値を更新する。ステップＳ１０５の処理は第２最適化処理である。

【0090】

ステップＳ１０５の次に、解候補取得部１１２が、最適化終了条件が満たされたか否かを判定する（ステップＳ１０６）。最適化終了条件が満たされた場合（ステップＳ１０６：ＹＥＳ）、解候補取得部１１２は、直前の第１最適化処理によって取得された第１解を解析対象関数の条件下解の候補として取得する（ステップＳ１０７）。ステップＳ１０７の次に、出力部１４がステップＳ１０７において取得された条件下解の候補を出力する（ステップＳ１０８）。

【0091】

一方、ステップＳ１０６において最適化終了条件が満たされない場合、ステップＳ１０２の処理に戻る。

【0092】

このように構成された実施形態の組合せ最適化問題処理装置１は、式（１）そのものではなく式（１）をハミルトニアンとする分配関数Ｚを用いて解析対象関数の条件下解の候補を取得する。分配関数Ｚは、変数（１）には存在しない変数Ｘを用いることで、変数ｑの２次以下の項だけを含む式に変形される。

【0093】

そこで、組合せ最適化問題処理装置１は、第１最適化処理と、第２最適化処理とを交互に繰り返す。第１最適化処理と第２最適化処理との繰り返しによって、第１分配関数条件を満たす変数ｑが取得される。第１最適化処理と第２最適化処理との繰り返しによって取得された変数ｑのうち、最適化終了条件が満たされた時点における変数ｑが解析対象関数で表される組合せ最適化問題の解の候補である。

【0094】

ところで、変数ｑの２次以下の項だけを含む式の解は、アニーリングの手法によって取得可能である。そこで、組合せ最適化問題処理装置１は、アニーリングを実行する状態測定部１５を備える。そのため、このように構成された組合せ最適化問題処理装置１は、変数の３次以上の項を含む関数で表される組合せ最適化問題の解の候補をアニーリングの手法を利用して取得することができる。

【0095】

（変形例）
なお、状態測定部１５は、必ずしも、量子アニーリングによって第１解を取得する必要は無い。状態測定部１５は、例えば非量子的なアニーリングによって第１解を取得してもよい。非量子的なアニーリングによって第１解を取得する装置は、例えばＣＭＯＳ（Complementary MOS）アニーリングマシンである。

【0096】

なお式（４）のデルタ関数と式（６）で表される分配関数Ｚの指数とは変数Ｘによる所定の積分表示であれば、必ずしもフーリエ積分表示によって表されなくてもよい。より具体的には、所定の積分表示は、分配関数Ｚを表す指数関数の指数に補助変数を導入可能な表示であればどのような積分表示であってもよい。

【0097】

なお、組合せ条件は、必ずしも予め記憶部１２に記憶されている必要はなく、例えば入力部１３を介して入力されてもよい。

【0098】

組合せ最適化問題処理装置１は、ネットワークを介して通信可能に接続された複数台の情報処理装置を用いて実装されてもよい。この場合、組合せ最適化問題処理装置１が備える各機能部は、複数の情報処理装置に分散して実装されてもよい。例えば条件取得部１１１、解候補取得部１１２、非アニーリング演算部１１３及び状態測定制御部１１４と状態測定部１５とはそれぞれ異なる情報処理装置に実装されてもよい。
なお、第１解取得部５０４は、制御部１１が備えてもよい。

【0099】

なお、式（６）によって表される分配関数Ｚは、求根対象分配関数の一例である。なお、状態測定部１５は、アニーリング部の一例である。なお、非アニーリング演算部１１３は、演算部の一例である。なお、第１解析対象項は第１式の一例である。なお、第２解析対象項は第２式の一例である。

【0100】

以上、この発明の実施形態について図面を参照して詳述してきたが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲の設計等も含まれる。

【符号の説明】

【0101】

１…組合せ最適化問題処理装置、 １１…制御部、 １２…記憶部、 １３…入力部、 １４…出力部、 １５…状態測定部、 １１１…条件取得部、 １１２…解候補取得部、 １１３…非アニーリング演算部、 １１４…状態測定制御部、 ５０１…量子ビット体、 ５０２…状態制御部、 ５０３…測定装置、 ５０４…第１解取得部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】