特表 2024-529116 整数の素因数分解を実行する量子計算方法及び装置、論理ゲート回路を反転させる量子計算方法及び装置

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】公表特許公報(A)

(11)【公表番号】

(43)【公表日】2024-08-01

(54)【発明の名称】整数の素因数分解を実行する量子計算方法及び装置、論理ゲート回路を反転させる量子計算方法及び装置

(51)【国際特許分類】

   G06N 10/60 20220101AFI20240725BHJP

【ＦＩ】

G06N10/60

【審査請求】有

【予備審査請求】未請求

(21)【出願番号】P 2024508403

(86)(22)【出願日】2021-08-12

(85)【翻訳文提出日】2024-04-09

(86)【国際出願番号】 EP2021072520

(87)【国際公開番号】W WO2023016650

(87)【国際公開日】2023-02-16

(81)【指定国・地域】

(71)【出願人】

【識別番号】521339153

【氏名又は名称】パリティ クオンタム コンピューティング ゲーエムベーハー

(74)【代理人】

【識別番号】110001748

【氏名又は名称】弁理士法人まこと国際特許事務所

(72)【発明者】

【氏名】レヒナー，ヴォルフギャング

(72)【発明者】

【氏名】ランターラー，マーティン

(57)【要約】

整数の素因数分解を実行する量子計算方法は、論理ゲート（１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（１０００）を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成される。量子計算方法は、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（Ｈ_Ｇ）を決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素（４０１～４０４、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（１１００）を提供することを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法は、読み出しに基づいて整数の素因数を決定することを含む。
【選択図】図１１

【特許請求の範囲】

【請求項1】

整数の素因数分解を実行する量子計算方法であって、
ａ）複数の論理ゲート（１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（１０００）を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
ｂ）前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（Ｈ_Ｇ）を決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である、前記決定するステップと、
ｃ）構成要素（４０１～４０４、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（１１００）を提供するステップであって、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記提供するステップと、
ｄ）前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
ｅ）前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｆ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｇ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｈ）前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項2】

前記量子システムは、それぞれが前記構成要素のサブセットを含むローカルサブシステム（１１１０～１１１３、１１２０～１１２３、１１３０～１１３３、１１４０～１１４３）を含み、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンが、ローカルサブシステムに関連付けられる、
請求項１に記載の量子計算方法。

【請求項3】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから短距離量子相互作用を決定するステップであって、前記決定された短距離量子相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された短距離量子相互作用を実行することを含む、
請求項２に記載の量子計算方法。

【請求項4】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから単体相互作用を決定するステップであって、前記決定された単体相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する単体ハミルトニアンによって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された単体相互作用を実行することを含む、
請求項２又は３に記載の量子計算方法。

【請求項5】

複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは相互作用係数を有し、前記相互作用係数は単体相互作用にマッピングされる、
請求項４に記載の量子計算方法。

【請求項6】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから１つ以上の制約相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上の制約相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する制約ハミルトニアンによって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された１つ以上の制約相互作用を実行することを含む、
請求項２から５の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項7】

前記論理ゲート回路は、論理ゲートのペア間の複数のゲート相互接続（１０５０）を含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲート相互接続の各ゲート相互接続（１０５０）について、前記ゲート相互接続から１つ以上のゲート相互接続相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上のゲート相互接続相互作用は、前記量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアン（１１５０）によって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定されたゲート相互接続相互作用を実行することを含む、
請求項２から６の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項8】

前記論理ゲート回路は、論理ゲートのグループの共通変数を含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
共通変数のセットの各共通変数について、前記共通変数から１以上の共通変数相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上の共通変数相互作用が、共通変数ハミルトニアン（１１５１～１１５３、１１６１～１１６３、１１７１～１１７３）によって表現可能であり、前記量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合する、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された共通変数相互作用を実行することを含む、
請求項２から７の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項9】

前記量子システムを発展させるステップが、総ハミルトニアンの基底状態に向かって前記量子システムを発展させるステップを含み、前記総ハミルトニアンが、第１のハミルトニアン及び第２のハミルトニアンを含む総和であり、前記第１のハミルトニアンが、前記短距離量子相互作用の第１セットを表し、前記第２のハミルトニアンが、前記短距離量子相互作用の第２のセットを表す、
請求項１から８の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項10】

前記量子システムを発展させるステップが、
前記量子システムを冷却するステップ、又は、
前記量子システムの断熱発展を実行するステップ、又は、
前記量子システムの反断熱発展を実行するステップ、又は、
前記量子システムのユニタリ発展を実行するステップ、又は、
それらの任意の組み合わせを含む、
請求項１から９の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項11】

複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンが、古典的ハミルトニアン又は量子ハミルトニアンである、
請求項１から１０の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項12】

前記論理ゲートは、ＡＮＤゲート及び／又はＡＮＤ．ＦＡゲートを含み、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートは、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートのうちの１つである、
請求項１から１１の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項13】

ＡＮＤゲートである、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連付けられた前記ゲートコード化ハミルトニアンが以下の形式を有する、
請求項１２に記載の量子計算方法。

【数34】

ここで、σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓは、それぞれ論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量であり、前記論理変数ｕ及びｖは前記ＡＮＤゲートの入力変数であり、前記論理変数ｓは前記ＡＮＤゲートの出力変数である。

【請求項14】

ＡＮＤ．ＦＡゲートである、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連付けられた前記ゲートコード化ハミルトニアンが以下の形式を有する、
請求項１２又は１３に記載の量子計算方法。

【数35】

ここで、σｕ、σｖ、σｓ、σｃ、σｓ’及びσｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量であり、前記論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃは前記ＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数であり、前記論理変数ｓ’及びｃ’は前記ＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数である。

【請求項15】

整数の素因数分解を実行する量子計算方法であって、
ａ）複数の論理ゲート（１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（１０００）を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
ｂ）構成要素（４０１～４０４、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（１１００）を提供するステップと、
ｃ）前記論理ゲートに基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップであって、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートに対して、前記論理ゲートに関連付けられた前記構成要素のサブセット（１１１０～１１１３、１１２０～１１２３、１１３０～１１３３、１１４０～１１４３）を決定することと、前記構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で前記論理ゲートをコード化することと、を含む、前記決定するステップと、
ｄ）前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｅ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットの実行を含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｆ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｇ）前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項16】

構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンであって、
少なくとも４つの構成要素を含む前記量子システムの基本的サブシステム（Ｓ_ＡＮＤ）を決定するステップであって、
以下の式（Ａ）で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの各被加数ハミルトニアンが、前記基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられており、

【数36】

前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、論理変数ｕ及びｖを入力変数として有し、論理変数ｓを出力変数として有するＡＮＤゲートの入出力関係をコード化し、
σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓはそれぞれ前記論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量である、
前記基本的サブシステムを決定するステップと、
前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから前記基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するステップと、
前記決定された短距離量子相互作用を前記基本的サブシステムで実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
を有する基本的サブルーチン。

【請求項17】

構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンであって、
少なくとも４つの構成要素を含む前記量子システムの基本的サブシステム（Ｓ_ＡＮＤ）を決定するステップであって、
以下の式（Ｂ）で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の各被加数ハミルトニアンが、前記基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられており、

【数37】

前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃを入力変数として有し、論理変数ｓ’及びｃ’を出力変数として有するＡＮＤ．ＦＡゲートの入出力関係をコード化し、
σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’はそれぞれ前記論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である、
前記基本的サブシステムを決定するステップと、
前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から前記基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するステップと、
前記決定された短距離量子相互作用を前記基本的サブシステムで実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
を有する基本的サブルーチン。

【請求項18】

量子計算を実行する方法であって、
構成要素を含む量子システムを提供するステップと、
請求項１６に記載の１つ以上の基本的サブルーチン及び／又は請求項１７に記載の１つ以上の基本的サブルーチンを実行するステップと、
前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
を有する量子計算実行方法。

【請求項19】

複数の論理ゲート（２１～２８、１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（２００、１０００）を反転する量子計算方法であって、
ａ）前記論理ゲート回路の未知の入力に対応する前記論理ゲート回路の出力を提供するステップと、
ｂ）前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（Ｈ_Ｇ）を決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である、前記決定するステップと、
ｃ）構成要素（３２０、４０１～４０４、７５０、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（３００、７００、１１００）を提供するステップであって、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記提供するステップと、
ｄ）前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
ｅ）前記論理ゲート回路の出力に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｆ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｇ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｈ）前記読み出しに基づいて前記論理ゲート回路の前記未知の入力を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項20】

整数の素因数分解を実行する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和であり、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記決定するステップと、
前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【請求項21】

整数の素因数分解を実行する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップであって、前記複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連する構成要素のサブセットを決定し、前記構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で前記論理ゲートをコード化する、前記第１のセットを決定するステップと、
前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【請求項22】

複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
前記論理ゲート回路の未知の入力に対応する前記論理ゲート回路の出力を提供するステップと、
前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和であり、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記決定するステップと、
前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
前記論理ゲート回路の出力に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記論理ゲート回路の前記未知の入力を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本明細書に記載の実施形態は、量子計算方法に関する。量子計算方法は、キュービットなどの構成要素を含む量子システムを使用する。量子システムの構成要素には、構成要素によって運ばれる情報を処理するために、例えば量子処理ユニットが作用する。量子システムの構成要素の一部は、構成要素に含まれる情報を明らかにするために測定される。測定から得られた読み出しに基づいて、計算問題が解かれる。本明細書に記載の更なる実施形態は、量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンに関する。本明細書に記載の更なる実施形態は、開示された方法を実行するための装置に関する。

【背景技術】

【0002】

全ての整数が素因数の積として分解できることは、基本的な数学的事実である。しかし、与えられた整数の素因数を計算する問題は、計算的に難しいことが知られている。実際、従来の (古典的な) コンピュータ用のアルゴリズムで、実行時に整数を因数分解し、問題の整数の桁数の多項式としてスケールできるアルゴリズムは知られていない。この因数分解問題の計算の難しさは、情報の暗号化に広く使用されているＲＳＡ (Rivest-Shamir-Adleman)などの暗号化プロトコルの基礎を形成している。

【0003】

量子コンピュータは、情報が量子システムに記憶される新しいタイプの計算装置である。量子システムは、情報の記憶と処理に使用されるキュービットなどの複数の構成要素で構成され得る。量子計算の終了時に、量子システムの少なくとも一部の測定を実行することで情報を読み出すことができる。量子システムは、量子物理学の法則に従うことで、量子効果を示す。このような量子効果を利用すると、既知の古典的なアルゴリズムよりも高速に特定の計算タスクを実行できる。

【0004】

整数因数分解を実行するための量子アルゴリズムが提案されている。ただし、このようなアルゴリズムのいくつかは、理論的には任意のサイズの整数を因数分解するタスクを実行できる可能性があるが、そのような量子アルゴリズムの実際の実施は経験的に非常に困難である。特に、中程度のサイズの整数を因数分解するのに必要なキュービットの数は、かなり多くなる可能性がある。更に、問題の量子アルゴリズムの実施に必要な量子相互作用は長距離相互作用である可能性があり、実現不可能ではないにしても、実現するのは経験的に困難である。

【0005】

例えば、１つのアプローチは、因数分解問題を二次無制約二値最適化（ＱＵＢＯ）問題などの最適化問題として定式化し、そのようなＱＵＢＯ問題一般を解くために既存の量子アルゴリズムを使用することである。ただし、整数因数分解に対するこのようなＱＵＢＯアプローチには、通常、長距離量子アルゴリズムが含まれる。一部の実施では、これらの長距離相互作用は、その後、短距離量子相互作用のみを使用して整数因数分解を実現できる別の量子システムに量子システムをマッピングすることによって除去できる。例えば、最初のＱＵＢＯ関連の量子アルゴリズムは、ＤＷＡＶＥシステムで使用される量子ハードウェアグラフにマッピングできる。ＤＷＡＶＥシステムには、短距離相互作用のみが含まれる。ただし、このような追加のマッピングでは、結果として得られる量子システムに必要なキュービットの数が犠牲になる。特に、短距離相互作用のみが含まれることを保証するために必要なキュービットの数は、（ｌｏｇＮ）^４としてスケールされる可能性がある。Ｎは因数分解される整数のサイズ（桁数）である。このような４次スケーリングは、桁数が大きくなるにつれて扱いにくくなる可能性がある。

【0006】

上記の観点から、整数因数分解のための改良された量子アルゴリズムが必要である。

【発明の概要】

【0007】

一実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素と関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算法方法は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法は、読み出しに基づいて整数の素因数を決定することを含む。

【0008】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含む。量子計算方法は、論理ゲートに基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。第１のセットを決定することは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に、論理ゲートに関連する構成要素のサブセットを決定することと、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で論理ゲートをコード化することとを含む。量子計算方法は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法は、読み出しに基づいて整数の素因数を決定することを含む。

【0009】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の又はそのための基本的サブルーチンが提供される。基本的サブルーチンは、少なくとも４つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムを決定することを含む。以下の式で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨＡＮＤの各被加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられている。

【数1】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、論理変数ｕ及びｖを入力変数として有し、論理変数ｓを出力変数として有するＡＮＤゲートの入出力関係をコード化する。σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓはそれぞれ論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量である。基本的サブルーチンは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することを含む。基本的サブルーチンは、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。

【0010】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の又はそのための基本的サブルーチンが提供される。基本的サブルーチンは、少なくとも８つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムを決定することを含む。以下の式で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の各被加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられている。

【数2】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、入力変数として論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃを有し、出力変数として論理変数ｓ’及びｃ’を有するＡＮＤ．ＦＡゲートの入出力関係をコード化する。σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である。基本的サブルーチンは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することを含む。基本的サブルーチンは、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。

【0011】

更なる実施形態によれば、量子計算を実行する方法が提供される。本方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含む。本方法は、ＡＮＤゲートに関わる１つ以上の基本的サブルーチン及び／又はＡＮＤ．ＦＡゲートに関わる１つ以上の基本的サブルーチンなど、本明細書に記載の１つ以上の基本的サブルーチンを実行することを含む。本方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。

【0012】

更なる実施形態によれば、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、論理ゲート回路の未知の入力に対応する論理ゲート回路の出力を提供することを含む。量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素と関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、論理ゲート回路の出力に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させることを含む。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法は、読み出しに基づいて論理ゲート回路の未知の入力を決定することを含む。

【0013】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する装置が提供される。本装置は古典的計算システムを含む。本装置は、構成要素を含む量子システムを含む。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するように構成され、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。古典的計算システムは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するように構成され、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。古典的計算システムは、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。古典的計算システムは、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成される。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するように更に構成されている。

【0014】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する装置が提供される。本装置は古典的計算システムを含む。本装置は構成要素を含む量子システムを含む。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するように構成され、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。古典的計算システムは、論理ゲートに基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。この決定することには、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセットを決定することと、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で論理ゲートをコード化することとが含まれる。古典的計算システムは、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成されている。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するように更に構成されている。

【0015】

更なる実施形態によれば、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転する装置が提供される。本装置は古典的計算システムを含む。本装置は構成要素を含む量子システムを含む。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、論理ゲート回路の未知の入力に対応する論理ゲート回路の出力を提供するように構成されている。古典的計算システムは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するように構成され、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。古典的計算システムは、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。古典的計算システムは、論理ゲート回路の出力に基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成されている。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、読み出しに基づいて論理ゲート回路の未知の入力を決定するように更に構成されている。

【0016】

実施形態は、本明細書に記載のシステムを動作させる方法、及び、本明細書に記載の実施形態に係る方法を実行するためのシステムの使用にも関係する。

【0017】

本明細書に記載の実施形態と組み合わせることができる、更なる利点、特徴、態様及び詳細は、従属請求項、明細書及び図面から明らかである。

【図面の簡単な説明】

【0018】

当業者に対する完全かつ実施可能な開示は、添付の図面への参照を含めて、明細書の残りの部分でより具体的に説明される。

【図1】ＡＮＤゲートの概略図を示す。

【図2】論理ゲート回路の概略図を示す。

【図3】ローカルサブシステムを有する量子システムの概略図を示す。

【図4】ＡＮＤゲートに関連付けられたローカルサブシステムの概略図を示す。

【図5】本明細書に記載のゲートコード化ハミルトニアンから量子システムのローカルサブシステムの構成要素へのマッピングを概略的に示す。

【図6】本明細書に記載のゲートコード化ハミルトニアンを介した論理ゲートから短距離量子ハミルトニアンへのマッピングを概略的に示す。

【図7】図２の論理ゲート回路に関連付けられた量子システムの概略図を示す。

【図8】ＡＮＤ．ＦＡゲートの概略図を示す。

【図9】ＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステムの概略図を示す。

【図10】乗算関数を計算する論理ゲート回路の概略図を示す。

【図11】図１０の論理ゲート回路に関連付けられた量子システムの概略図を示す。

【図12】本明細書に記載の実施形態に係る装置を示す。

【図13】整数乗算の反転としての整数因数分解を示す。

【図14】本明細書に記載の実施形態に係る方法を使用した乗算回路の量子システムへのマッピングを示す。

【図15i】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15ii】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15iii】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15iv】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15v】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15vi】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15vii】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15viii】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図15ix】論理ゲート、論理ゲート間の相互接続、並びに、関連するローカルサブシステム及び量子ハミルトニアンを示す。

【図16a)】ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートで構成される乗算回路を示す。

【図16b)】ＡＮＤ．ＦＡゲートの内部構造を示す。

【図17】ＡＮＤゲート及び関連するゲートコード化ハミルトニアンの特性を示す。

【図18】ＡＮＤ．ＦＡゲート及び関連するゲートコード化ハミルトニアンの特性を示す。

【図19】量子コンピュータを使用して整数を因数分解するの様々な方法の性能を示す。

【図20A】入力ｐ及びｑが３ビット整数である場合について、本明細書に記載の実施形態による整数因数分解を実行する方法を示す。

【図20B】入力ｐ及びｑが３ビット整数である場合について、本明細書に記載の実施形態による整数因数分解を実行する方法を示す。

【発明を実施するための形態】

【0019】

ここで、様々な例示的な実施形態を詳細に参照し、その１つ又は複数の例を各図に示す、各例は説明のために提供されており、限定を意味するものではない。例えば、一実施形態の一部として図示又は説明された特徴は、他の実施形態で、又は他の実施形態と併せて使用して、さらに別の実施形態を生み出すことができる。本開示は、そのような修正及び変形を含むことが意図されている。

【0020】

以下の図面の説明において、同じ参照番号は、同じ構成要素を指す。一般に、個々の実施形態に関する差異のみが説明される。図面に示される構造は、必ずしも縮尺どおりに描かれているわけではなく、実施形態のより良い理解を可能にするために誇張された方法で描かれた詳細を含む場合がある。

【0021】

本明細書に記載の実施形態は、整数の素因数分解を実行する量子計算方法に関する。量子計算方法は、複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（gate-encoding Hamiltonian）を決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供するステップを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムのそれぞれの構成要素と関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットの実行を含む、量子システムを発展させるステップを含む。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップを含む。量子計方法は、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するステップを含む。

【0022】

実施形態は、量子計算方法が短距離量子相互作用のみを含むという利点を提供する。長距離相互作用は経験的に実現不可能である可能性があるため、これは長距離相互作用を必要とする因数分解への他のアプローチよりも改善されている。特に、いくつかの実施形態によれば、量子システムの構成要素は、３次元体心格子の一部（具体的には、その一部は、上に積み重ねられた一対の２次元格子を含み得る）の頂点上に配置され、相互作用は、格子の隣接するユニットセルのペア間にのみ存在する。

【0023】

別の利点は、量子システムの構成要素の数が（ｌｏｇＮ）^２としてスケールされることである。Ｎは、因数分解される整数のサイズ（桁数）である。したがって、例えば、（ｌｏｇＮ）^４スケーリングを有する因数分解へのＱＵＢＯアプローチと比較すると、指数は係数２だけ改善される。

【0024】

別の利点は、本方法が、柔軟な方法で一緒に結合可能な基本構成ブロックから構成されるスケーラブルなアプローチを提供することである。これは、因数分解される整数のサイズが大きくなるにつれて、初期の量子システムをほぼ変更せずに、構成要素の基本グループ（本明細書ではローカルサブシステムと呼ぶ）を更に追加することによって、対応する量子システムをモジュール方式で拡大できることを意味する。同様に、必要な短距離量子相互作用もモジュール式である。つまり、整数のサイズの増加は、追加のローカルサブシステム間に新しい量子相互作用を追加することによって説明できるが、最初の短距離相互作用はそのまま維持できる。

【0025】

別の利点は、短距離量子相互作用の大きさ（強度）が、数学的にＯ（１）として表される定数によって制限されることである。つまり、相互作用の大きさは、因数分解される整数が大きくなるにつれて増加するのではなく、整数のサイズには依存しない。これは、Ｏ（Ｎ）以上の大きさの相互作用、つまり整数の桁数に応じた大きさの相互作用が必要な他のアプローチとは対照的である。このような大きさは、例えば非常に強い電磁場の適用が必要となるため、経験的には非常に困難である。

【0026】

量子システム

【0027】

本明細書に記載の量子システムは、量子効果を示す物理システムである。つまり、量子システムは、現実世界のオブジェクトである。量子システムには構成要素が含まれる。量子システムの構成要素は、物理的な量子実体そのものであり、共同して量子システムを形成する、より小さなｄレベルの量子システムとみなすことができる。具体的には、量子システムの構成要素は、キュービットであり得る。キュービットは、２レベルの量子システムを実現する物理的実体として理解する必要がある。構成要素は、ｄ＞２のｄレベル量子システム（「キューディット（qudits）」）であってもよく、ｄレベルのうちの２つのレベルのみが使用されてもよい。

【0028】

量子システムは、初期量子状態（量子計算の開始時に準備される）及び最終量子状態（量子計算によって最終的に終了する量子状態）などの、異なる量子状態にあり得る。最終量子状態は、量子システムの最終量子ハミルトニアンの基底状態になり得る。量子ハミルトニアンは、その固有値が量子システムの可能なエネルギーを表す量子システムの観測可能量（つまり、測定可能な量）である。量子システムは、初期量子状態から、量子システムの最終量子ハミルトニアンの基底状態まで発展可能である。このような発展は、現実世界のプロセスであり、特に、量子システムを初期量子状態から、計算問題の解に関する情報を含む先験的に未知の最終量子状態に導く、制御された技術プロセス（量子計算）である。前記情報は、量子システム又はその一部、つまりその構成要素の少なくとも一部を測定することによって明らかにすることができる。測定という行為は物理的／技術的なプロセスである。測定により、量子システムの読み出しを取得できる。量子システムの読み出しは、量子システムの構成要素との物理的相互作用を伴う、量子システムの構成要素の測定によって得られる測定値のセットである。

【0029】

量子システムは、Ｋ個のキュービットを含むことができ、Ｋは、少なくとも１００、少なくとも１０００、又は少なくとも１００００であり得る。Ｋは、１００～１００００、又は、１００～１０００００の範囲であり得るが、Ｋは、１０００００より大きくなってもよい。図に示され、例示される量子システムは、例示及び説明の目的で、はるかに小さい場合があるが、いかなる制限を与えるものではないことを理解する必要がある。

【0030】

欧州特許第３１１３０８４号明細書に記載されているように、量子システムの構成要素のグループ間の結合量子相互作用は、そのグループの構成要素が互いに近い場合にのみ実現可能である。短距離量子ハミルトニアンは、構成要素のグループ内の結合相互作用を表すハミルトニアンを指し、相互作用遮断距離Ｄ_ＳＲよりも長い距離だけ互いに離れている構成要素間では相互作用が起こらない。相互作用遮断距離Ｄ_ＳＲは一定の距離であってもよい。相互作用遮断距離Ｄ_ＳＲは、量子システムの構成要素の特定の配置における構成要素間の最大構成要素距離と比較して、はるかに小さい可能性がある。例えば、相互作用遮断距離は、最大構成要素距離の３０％以下、具体的には２０％以下、より具体的には１０％以下であってもよい。構成要素が基本距離（格子定数）を有する格子内に配置されている場合、短距離量子ハミルトニアンは、格子の基本距離（格子定数）のｒ倍を超える距離だけ互いに離れた構成要素間では相互作用が起こらないようにすることができる。ここで、ｒは１～５であり得る。例えば、ｒ＝√２，２，３，４又は５であってもよい。

【0031】

短距離量子ハミルトニアンによって表される量子相互作用は、短距離量子相互作用と称される。量子システムの構成要素のグループ間の量子相互作用は、そのグループ内の構成要素の最大距離が相互作用遮断距離Ｄ_ＳＲ以下である場合、短距離量子相互作用である。

【0032】

本明細書では、「古典的」という用語は、「量子」と区別するために使用される。「古典的」という用語は「量子ではない」と理解され得る。

【0033】

例えば、古典ビットなどの古典的情報担体は、キュービットなどの量子情報担体とは区別される。古典ビットは、２つの可能な値０及び１を想定できる情報担体である。量子ビット（すなわち、キュービット）は、２つのレベル（量子状態）｜０＞及び｜１＞を有する量子システムであり、量子ビットの状態空間には、ａ｜０＞＋ｂ｜１＞の形式（ａ及びｂの複素係数を用いた）の量子状態の連続体が含まれる。本明細書に記載の量子システムの構成要素は、量子情報担体として機能する。

【0034】

別の例として、古典的計算システムは、量子計算システムと区別される。古典的計算システムは、古典ビットなどの古典的情報担体のみを使用して情報を記憶及び処理する計算システムとして理解され得る。古典的計算システムは、パーソナルコンピュータ又はパーソナルコンピュータのネットワークを含むことができる。古典的計算システムでは、情報の処理に量子情報担体を使用できない場合がある。量子計算システムは、情報を記憶及び処理するための量子情報担体として量子システムの構成要素を使用する。情報は、構成要素に記憶され、構成要素に対して演算を実行することによって（例えば、構成要素間の相互作用を提供することによって、１つ以上の構成要素の測定を実行することによってなど）、処理され得る。量子計算システムは、古典的情報担体及び量子情報担体の両方を使用するハイブリッドシステムであり得る。例えば、量子計算システムは、量子情報担体として機能する量子システムの構成要素（例えば、キュービット）、構成要素に記憶された情報を処理するための量子処理ユニット（例えば、レーザを含むシステム）、及び、どの演算を実行するかについて量子処理ユニットに指示するために、量子処理ユニットに接続された古典的計算システムを含むことができる。

【0035】

更に別の例として、古典的ハミルトニアンは、量子ハミルトニアンと区別される。古典的ハミルトニアンは、古典的スピンなどの古典的な実体間の相互作用を記述する関数である。古典的スピンは、有限の、すなわち少なくとも可算なセットを状態空間として有する変数又は量として理解され得る。例えば、古典的スピンは、＋１及び－１などの２つの可能な状態を取ることができる変数ｚにすることができる。古典的スピンｚ１，ｚ２，・・・のシステムの古典的ハミルトニアンは、古典的スピンのシステムにおける相互作用を表す関数Ｈ（ｚ１，ｚ２，・・・）になり得る。量子ハミルトニアンは、量子システムの構成要素間の量子相互作用を表す観測可能量（ヒルベルト空間に作用するエルミート演算子によって数学的に表現される）である。古典的ハミルトニアン及び量子ハミルトニアンの例を以下に示す。

【0036】

論理ゲート回路

【0037】

論理ゲートは、論理ゲート回路の基本構成要素である。論理ゲートの例としては、ＡＮＤ、ＯＲ、ＮＯＴ、ＮＡＮＤ、ＦＡ、ＡＮＤ．ＦＡゲートなどがある。論理ゲートは、１つ以上の入力変数及び１つ以上の出力変数を含む論理変数を有する。論理変数は、０又は１（又は、同等に１及び－１など）などの２つの可能な値を取ることができる変数、つまりバイナリ変数であり得る。

【0038】

論理ゲートの真理値表は、論理ゲートの入力変数の値の全ての可能な構成を列挙し、このような構成のそれぞれについて、論理ゲートの出力変数の対応する値を与える、テーブル、行列、リスト、シーケンス、セットなどである。論理ゲートの真理値表は、行を含む場合がある。論理ゲートがｋ個の入力変数及びｍ個の出力変数を有する場合（ｋとｍは、ｋ及び／又はｍが１に等しい場合を含め、ゼロ以外の任意の自然数であり得る）、真理値表の行は、ａ_１・・・ａ_ｋ ｂ_１・・・ｂ_ｍの形式のシーケンスとして理解され得る。ａ_１，・・・，ａ_ｋはｋ個の入力変数の値の可能な構成であり、ｂ_１，・・・，ｂ_ｍは問題の論理ゲートの作用に基づくｍ個の出力変数の対応する値である。論理ゲートの各入力変数が２つの可能な値０及び１を取ることができる場合、真理値表は合計２^ｋ個の行を含む。論理ゲートの真理値表はｋ＋ｍ個の列を有する場合がある。最初のｋ個の列のそれぞれは、ｋ個の入力変数の１つに関連付けることができる。最後のｍ個の列のそれぞれは、ｍ個の出力変数の１つに関連付けることができる。

【0039】

例えば、ＡＮＤゲートは、２つの入力変数ｕ及びｖと、１つの出力変数ｓとを有する論理ゲートである。ｕ、ｖ及びｓは、それぞれ値０又は１を取ることができ、ｓ＝ｕ・ｖである（したがって、ｕ及びｖの両方が１に等しい場合に限り、ｓは１に等しくなる）。ＡＮＤゲートの真理値表は、以下のテーブルで与えられる。

【数3】

上記の真理値表の第１列、第２列及び第３列は、それぞれＡＮＤゲートの入力変数ｕ、入力変数ｖ及び出力変数ｓに対応する。真理値表の各行には、行の最初の２つの位置に入力変数ｕ及びｖの取り得る値の構成が含まれ、行の３番目の位置に出力変数ｓの関連する値が含まれる。任意の論理ゲートの真理値表も同様の方法で構築できる。

【0040】

論理ゲートは、論理ゲートの論理変数毎に１本の脚を有するボックス又は他の形状によって概略的に表すことができる。例えば、３本の脚を有する形状としてのＡＮＤゲートの概略図を図１に示す。図１は、ＡＮＤゲートの入力変数ｕを表す第１の脚１２、ＡＮＤゲートの入力変数ｖを表す第２の脚１４及びＡＮＤゲートの出力変数ｓを表す第３の脚１６を有するＡＮＤゲートを示す。

【0041】

論理ゲート回路は、入力ｘに作用して出力ｙを生成する論理ゲートのセットを含む。入力ｘは、ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_Ｋ）の形式の文字列になり得る。例えば、入力の各成分ｘ_ｉはビットである。同様に、出力ｙは、ｙ＝（ｙ_１，ｙ_２，・・・，ｙ_Ｍ）の形式の文字列になり得る。各成分ｙ_ｊはビットである。入力ｘの長さＫ（成分ｘ_ｉの数）は、出力ｙの長さＬ（成分ｙ_ｊの数）と同じであっても、異なっていてもよい。論理ゲート回路の論理ゲートの一部は、論理ゲートの出力変数を別の論理ゲートの入力変数として使用できるという意味で、連結して適用することができる（そのような論理ゲートは（相互）接続されているといわれる）。論理ゲート回路は、論理ゲート回路の論理ゲート毎に１つずつボックスの集合によって概略的に表すことができ、いくつかのボックスを接続する脚は、一部のゲートの出力変数が他のゲートの入力変数として機能することを示す。

【0042】

図２は、論理ゲート２１～２８を含む論理ゲート回路２００の一例を示す。論理ゲート回路は、入力ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３，ｘ_４，ｘ_５，ｘ_６，ｘ_７）を出力ｙ＝（ｙ_１，ｙ_２，ｙ_３，ｙ_４，ｙ_５）にマッピングする。各ｘ_ｉと各ｙ_ｊはビットであり得る。図２に示す例示的な論理回路２００では、計算は矢印で示すように左から右に進み、論理ゲート２１、２２、２３が最初に適用され、論理ゲート２８が最後に適用される。各論理ゲートは、ゲートの左側に論理ゲートの入力変数を表す１本以上の脚を有し、論理ゲートの右側に出力変数を表す１本以上の脚を有する。図２に示す入力変数及び出力変数にそれぞれ対応する脚の左右分割は一例に過ぎず、本発明はこれに限定されるものではない。脚の一部は異なるゲートを相互に接続する。例えば、論理ゲート２３及び論理ゲート２５は脚１５によって互いに接続されており、論理ゲート２３の出力変数が論理ゲート２５の入力変数として機能することを示している。論理ゲートのいくつかは共通の入力変数を有する。例えば、ｘ_２は論理ゲート２１の入力変数であり、論理ゲート２４の入力変数でもある。

【0043】

論理ゲート回路は、論理ゲート回路の各入力ｘを出力ｙにマッピングする。ｙ＝ｆ（ｘ）で与えられる関数ｆは、論理ゲート回路によって計算される関数である。入力ｘが与えられると、論理ゲート回路を入力ｘに適用することで、対応する出力ｙ＝ｆ（ｘ）を決定できる。本明細書に記載の実施形態は、論理ゲート回路を反転するという逆問題、すなわち、未知の入力ｘに対応する出力ｙが与えられた場合に、タスクが入力ｘを決定することである問題に関する。論理ゲート回路を反転することは、比較的単純な論理ゲート回路であっても、計算的に難しいタスクであると考えられている。例えば、２つの整数の乗算を計算する論理ゲート回路（乗算は計算上簡単なタスク）を考えると、そのような論理ゲート回路を反転することは、前述のように、難しい問題であることが知られている素因数分解のタスクに相当する。論理ゲート回路を反転することの難しさは、論理ゲート回路の論理ゲートが不可逆ゲートになる可能性があるという事実に関係している。論理ゲートの複数の入力が同じ出力にマッピングされている場合、その論理ゲートは不可逆的であるため、出力のみに基づいて入力を取得することは不可能である。例えば、ＡＮＤゲートの出力０は、入力変数の３つの可能な構成、つまり（０，０）、（０，１）及び（１，０）に対応できる。出力０のみに基づいて、入力が（０，０）、（０，１）及び（１，０）であるかどうかを決定することはできない。

【0044】

本明細書に記載の実施形態は、論理ゲート回路を反転する量子計算方法に関する。本明細書に記載のいくつかの実施形態は、整数の素因数分解を実行する量子計算方法、すなわち、乗算関数を計算するように構成された論理ゲート回路（乗算回路）を考慮することによる方法に関する。

【0045】

本明細書に記載の量子計算方法は、論理ゲート回路の未知の入力ｘに対応する論理ゲート回路の出力ｙを提供するステップを含む。この方法によって実行されるタスクは、出力ｙから未知の入力ｘを決定することである。例えば、出力は２つの未知の素数ｐとｑとの乗算である整数ｎ（つまり、ｎ＝ｐ・ｑ）にすることができ、目的は未知の素因数の少なくとも１つを計算することである。出力ｙが「提供される」ということは、量子計算方法の後続の演算を実行できるように、出力がユーザ又は装置に利用可能になるという意味で理解されるであろう。出力を提供することには、例えば、出力が記憶されている可能性があるメモリから出力を取得すること、出力が別の場所からユーザ又は装置に伝達される場合に出力を受信すること、又は、出力を決定する（例えば、特定の前処理演算を実行して出力を決定する）ことなどが含まれ得る。

【0046】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ _Ｇ

【0047】

反転される論理ゲート回路は、論理ゲートを含む。実施形態によれば、複数の論理ゲートの各論理ゲートＧについて、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇが論理ゲートから決定される。ゲートコード化ハミルトニアンの概念には、以下に説明するいくつかの態様が含まれる。

【0048】

ゲートコード化ハミルトニアンは、量子ハミルトニアン又は古典的ハミルトニアンであり得る。ゲートコード化ハミルトニアンは、量子システム、例えば、多数のキュービットを含む量子システムで発生する可能性のある相互作用を表す量子ハミルトニアンであり得る。或いは、ゲートコード化ハミルトニアンは、多数の古典的スピンを含む古典的システムで発生する可能性のある相互作用を表す古典的ハミルトニアンであってもよい。

【0049】

更に、ゲートコード化ハミルトニアン（量子ハミルトニアンか古典的ハミルトニアンかは問わない）は、論理ゲートの入出力関係をコード化する。次に、ゲートコード化ハミルトニアンが量子ハミルトニアンである場合について説明する。古典的なゲートコード化ハミルトニアンについては後述する。

【0050】

論理ゲートＧがｋ個の入力変数及びｍ個の出力変数を有する場合（ｋ及びｍは、ｋ及び／又はｍが１に等しい場合を含む、ゼロ以外の任意の自然数であり得る）、対応するゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、論理ゲートの真理値表をコード化する基底空間を有するｋ＋ｍ個のキュービットの量子ハミルトニアンであってもよい。基底空間は、｜ａ_１，・・・，ａ_ｋ，ｂ_１，・・・，ｂ_ｍ＞という形式の全ての２^ｋ個の量子状態（基底状態）から構成される基底を有し得る。このような各量子状態は、ｋ＋ｍ個のキュービットの状態である。ここで、ａ_１，・・・，ａ_ｋはｋ個の入力変数の値の全ての可能な構成の範囲（例えば、各値は０又は１であるため、合計２ｋ個の構成がある）に亘り、ｂ_１，・・・，ｂ_ｍは、論理ゲートＧの作用下でのｍ個の出力変数の対応する値である。換言すれば、各量子状態｜ａ_１，・・・，ａ_ｋ，ｂ_１，・・・，ｂ_ｍ＞は、論理ゲートＧの真理値表の行に対応し得る。

【0051】

したがって、ｋ個の入力変数及びｍ個の出力変数を有する論理ゲートＧのゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、ｋ＋ｍ個のキュービットのシステムにおける量子相互作用を表す量子ハミルトニアンであり得る。略して、ｋ＋ｍは「ゲートコード化ハミルトニアンのキュービットの数」であると言われるか、又は、ゲートコード化ハミルトニアンは「ｋ＋ｍ個のキュービットのハミルトニアン」であると言われる。前述のように、最初のｋ個のキュービットはそれぞれＧの入力変数に対応し、最後のｍ個のキュービットはそれぞれＧの出力変数に対応する。

【0052】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの基底空間は、論理ゲート自体が不可逆ゲートである場合でも、論理ゲートＧの作用の可逆コード化を提供する。可逆コード化は、Ｇの入力変数のどの値が出力変数のどの値にマッピングされるかを「記憶する」コード化として理解され得る。したがって、Ｈ_Ｇの基底空間は、Ｇの出力変数の値の所定の構成（出力構成）について、論理ゲートＧの作用下で入力変数の値のどの構成が前記出力構成にマッピングされるかを決定することを可能にする情報を含む。換言すれば、Ｈ_Ｇの基底空間に含まれる情報により、論理ゲートＧを反転することができる。

【0053】

例えば、ＡＮＤゲートのゲートコード化ハミルトニアンは、｜０ ０ ０＞、｜０ １ ０＞、｜１ ０ ０＞及び｜１ １ １＞の４つの量子状態から構成される基底を有する基底空間を有する３個のキュービットの量子ハミルトニアンであり得る。上記の量子状態のそれぞれは、前述のＡＮＤゲートの真理値表の１行に対応する。ＡＮＤゲートの入力変数をｕ及びｖ、出力変数をｓで表すと、上記の４つの量子状態のそれぞれの最初の２個のキュービットは入力変数ｕ及びｖに対応し、３番目のキュービットは出力変数ｓに対応する。

【0054】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、論理ゲートＧの真理値表を考慮し、その後、前述の意味での真理値表に対応する基底空間、すなわち、｜ａ_１，・・・，ａ_ｋ，ｂ_１，・・・，ｂ_ｍ＞の基底を具備する基底空間を有する量子ハミルトニアンを決定することによって構築され得る。真理値表をコード化するそのような基底空間が与えられると、全て同じ基底空間を有するいくつかのハミルトニアンが存在する可能性があるため、対応するゲートコード化ハミルトニアンは一意ではない可能性がある。ゲートコード化ハミルトニアンの可能な形式を以下に説明する。

【0055】

論理ゲートＧに関連付けられたゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、被加数ハミルトニアンＨ_１，Ｈ_２，・・・の総和、換言すれば、Ｈ_Ｇ＝Ｈ_１＋Ｈ_２＋・・・であってもよい。いくつかの実施形態によれば、ゲートコード化ハミルトニアンは、以下の形式を有する量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑ（上付き文字ｑは、これが量子ハミルトニアンであることを示す）であってもよい。

【数4】

ここで、Ｚ_ｉは、ｉ番目のキュービットに作用するパウリσ_Ｚ演算子（量子スピン－１／２観測可能）を示す。最大ｎ個のパウリσ_Ｚ演算子の積（テンソル積）を上記の式に含めることができる。ｎはゲートコード化ハミルトニアンのキュービットの数である（キュービットの数ｎは、前述のように、ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた論理ゲートＧの論理変数の数ｋ＋ｍに等しくてもよい）。さらに、ｃ_ｉ，ｃ_ｉｊ，ｃ_ｉｊｋ，・・・は、ゼロ又は非ゼロの非ゼロ係数である。Ｉが恒等演算子で、ｃが別の係数である、ｃＩ形式の項を追加することもできるが、そのような項はエネルギー準位の全体的なシフトにのみ対応するため、上記の式の場合と同様に省略できる。非ゼロである係数ｃ_ｉ、ｃ_ｉｊ、ｃ_ｉｊｋは、本明細書ではゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑの相互作用係数と称される。問題の係数が非ゼロである上記の総和の各項は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑの被加数ハミルトニアンである。換言すれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑは、被加数ハミルトニアンの総和であり、各被加数ハミルトニアンは、それぞれの相互作用係数が与えられたパウリσ_Ｚ演算子の積（又は単一のパウリσ_Ｚ演算子）である。

【0056】

パウリσ_Ｚ演算子及びその積のみを含むゲートコード化ハミルトニアンの上記の形式は、例示であり、本開示はそれに限定されるものではない。例えば、キュービットの一部又は全てにユニタリ変換（基底の変更）を適用することにより、上記のゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑを、例えば、パウリσ_Ｘ及び／又はσ_Ｙ演算子（それぞれＸ及びＺで表される）を含む別の形式を有するゲートコード化ハミルトニアンに変換できる。このような変換されたゲートコード化ハミルトニアンも、最初のゲートコード化ハミルトニアンと同じ情報、つまり、論理ゲートの入出力関係をコード化するため、本方法の目的に使用できる。更に、上記の例は、キュービットシステムのハミルトニアンに言及しているが、例えば、２つの準位だけが占有されるｄ準位のシステムなど、他の量子システムも使用できる。

【0057】

ＡＮＤゲートの例に戻ると、対応するゲートコード化ハミルトニアンは、３つのキュービットの量子ハミルトニアン（これも上付き文字ｑで示される）である以下の量子ハミルトニアンである。

【数5】

ここで、Ｚ_ｕ、Ｚ_ｖ及びＺ_ｓは、ＡＮＤゲートの論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられた各キュービットに作用するパウリσ_Ｚ演算子である。ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｑは、４個の被加数ハミルトニアン、すなわち、－Ｚ_ｓ、－Ｚ_ｕＺ_ｓ、－Ｚ_ｖＺ_ｓ及びＺ_ｕＺ_ｖＺ_ｓを有する。ここで、－１、－１、－１及び１は、それぞれの相互作用係数である。Ｈ_ＡＮＤ ^ｑの基底空間は、前述のＡＮＤゲートの真理値表の行に対応する、３個のキュービットの４つの量子状態｜０ ０ ０＞、｜０ １ ０＞、｜１ ０ ０＞及び｜１ １ １＞から構成される正規直交基底を有する。第１キュービットは入力変数ｕに関連付けられ、第２キュービットは入力変数ｖに関連付けられ、第３キュービットは出力変数ｓに関連付けられる。

【0058】

前述のように、ゲートコード化ハミルトニアンは、量子ハミルトニアン又は古典的ハミルトニアンであり得る。次に、古典的なゲートコード化ハミルトニアンの場合について説明する。この点において、量子ゲートコード化ハミルトニアンの前述の例には、パウリσ_Ｚ演算子のみが含まれることに注意すべきである。このような演算子は相互に可換である（つまり、共通基底で対角的である）ため、対応する古典的ハミルトニアンで特定できる。問題の古典的ハミルトニアンは、各パウリ演算子Ｚ_ｉを、ｚ_ｉ∈｛１，－１｝などの２つの可能な状態を想定できる古典的スピンｚ_ｉに置き換えることによって取得できる。例えば、量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｑに対応する古典的ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｃは、３つの古典的スピンの古典的ハミルトニアン（これは上付き文字ｃで示される）である以下の式によって与えられる。

【数6】

ここで、ｚ_ｕ、ｚ_ｖ及びｚ_ｓは、ＡＮＤゲートの論理変数ｕ、ｖ、ｓに関連付けられた古典的スピンであり、ｚ_ｕ，ｚ_ｖ，ｚ_ｓ∈｛１，－１｝となる。ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｃは、－ｚ_ｓ、－ｚ_ｕｚ_ｓ、－ｚ_ｖｚ_ｓ及びｚ_ｕｚ_ｖｚ_ｓという４個の被加数ハミルトニアンを有する。ここで、－１、－１、－１及び１は、量子の場合と同様に、それぞれの相互作用係数である。Ｈ_ＡＮＤ ^ｃの基底空間は、４つのスピン構成（１，１，１）、（１，－１，１）、（－１，１，１）及び（－１，－１，－１）から構成される。ここで、各構成の最初の古典的スピンは入力変数ｕに関連付けられ、２番目の古典的スピンは入力変数ｖに関連付けられ、３番目の古典的スピンは出力変数ｓに関連付けられる。古典的スピンｚ∈｛１，－１｝は、ｚ＝１の場合はｂ_ｚ＝０、ｚ＝－１の場合はｂ_ｚ＝１という対応により、対応するビットｂｚ∈｛０，１｝で特定可能である。したがって、Ｈ_ＡＮＤ ^ｃの基底空間を形成する４つのスピン構成（１，１，１）、（１，－１，１）、（－１，１，１）及び（－１，－１，－１）は、それぞれビット構成（０，０，０）、（０，１，０）、（１，０，０）及び（１，１，１）に対応する。後者は、前述のＡＮＤゲートの真理値表の行である。したがって、Ｈ_ＡＮＤ ^ｃの基底空間内の４つのスピン構成のそれぞれは、量子の場合と同様に、ＡＮＤゲートの真理値表の行に対応する。

【0059】

より一般的には、量子の場合と同様に、ｋ個の入力変数及びｍ個の出力変数を有する論理ゲートＧの古典的ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｃは、ｋ＋ｍ個の古典的スピンのシステム内の相互作用を表す古典的ハミルトニアンであり得る。ｋ＋ｍは「ゲートコード化ハミルトニアンの古典的スピンの数」と言われるか、或いは、ゲートコード化ミルトニアンは「ｋ＋ｍ個の古典的スピンのハミルトニアン」であると言われる。古典的ゲートコード化ハミルトニアンは以下の形式を有し得る。

【数7】

上記の形式は、前述の量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑと類似しているが、各パウリ演算子Ｚ_ｉは古典的スピンｚ_ｉ∈｛１，－１｝に置き換えられている。最大ｎ個の古典的スピンの積が上記の式に含まれる場合がある。ここで、ｎ＝ｋ＋ｍは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ^ｃの古典的スピンの数である。更に、ｃ_ｉ、ｃ_ｉｊ、ｃ_ｉｊｋ・・・はゼロ又は非ゼロの係数であり、非ゼロである係数ｃ_ｉ、ｃ_ｉｊ、ｃ_ｉｊｋは、本明細書では量子の場合と同様にゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｃの相互作用係数と呼ばれる。問題の係数が非ゼロである上記の総計の各項は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｃの被加数ハミルトニアンある。換言すれば、古典的ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｃは被加数ハミルトニアンの総和であり、各被加数ハミルトニアンはそれぞれの相互作用係数が与えられた複数の古典的スピンの積（又は単一の古典的スピン）である。

【0060】

本開示では、以下の表記が使用される。ゲートコード化ハミルトニアンＨは、以下の形式の式で表すことができる。

【数8】

ここで、σ_ｉ，σ_ｊ，σ_ｋ・・・は、各キュービットｉ，ｊ，ｋ・・・に作用するパウリ演算子Ｚ_ｉ，Ｚ_ｊ，Ｚ_ｋ・・・又は古典的スピンｚ_ｉ，ｚ_ｊ，ｚ_ｋ・・・のいずれかを表すスピン観測可能量である。換言すれば、上記の式は、σ_ｉ、σ_ｊ、σ_ｋがどのように理解されるによって、前述のように、古典的ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｃ及び量子ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ｑの双方を包含する。例えば、ＡＮＤゲートの例に戻ると、対応するゲートコード化ハミルトニアンの以下の式は、スピン観測可能量σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓをそれぞれパウリ演算子Ｚ_ｕ、Ｚ_ｖ、Ｚ_ｓに設定する場合、量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｑとして理解でき、σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓをそれぞれ古典的スピンｚ_ｕ、ｚ_ｖ、ｚ_ｓに設定する場合、古典的ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ｃとして理解できる。

【数9】

【0061】

本明細書に記載の実施形態によれば、ゲートコード化ハミルトニアン（古典ハミルトニアンであるか量子ハミルトニアンであるかに関係なく）は、論理ゲート回路の各論理ゲートから決定される。ゲートコード化ハミルトニアンを決定する動作は、例えば、本明細書に記載の古典的計算システムによって実行される古典的手順として理解できる。ゲートコード化ハミルトニアンを決定することは、ゲートコード化ハミルトニアンの記述（つまり、古典的記述）を決定することとして理解できる。ゲートコード化ハミルトニアンを決定することは、ゲートコード化ハミルトニアンを特定可能にする、特にゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンを特定可能にする古典的情報を決定することとして理解できる。例えば、ゲートコード化ハミルトニアンを決定することは、ゲートコード化ハミルトニアンの数式を決定すること、各被加数ハミルトニアンの数式を個別に決定すること、どのパウリ演算子（量子の場合）又はどの古典的スピン（古典的な場合）がゲートコード化ハミルトニアン及び／又は各被加数ハミルトニアンに含まれるかを決定すること、各被加数ハミルトニアンがどのキュービット（量子の場合）又はどの古典的スピン（古典的な場合）に作用するように構成されているかを決定すること、各被加数ハミルトニアンの相互作用係数を決定すること、などを含むことができる。「決定する」という用語は、「計算する」（例えば、古典的計算システムによって）としても理解できるが、「読み取る」（たとえば、ゲートコード化ハミルトニアン及び／又は各被加数ハミルトニアンの記述が保存されているメモリから読み取る）としても理解できるし、「受信する」（例えば、ゲートコード化ハミルトニアンの記述が別の場所で計算され、その後、本方法を実行するために通信される場合に、その記述を受信する）としても理解できる。

【0062】

ゲートコード化ハミルトニアンに関する更なる態様は、ゲートコード化ハミルトニアンによって表される相互作用が物理的に実行されるかどうかという問題に関する。量子計算へのいくつかのアプローチによれば、ゲートコード化ハミルトニアンは量子ハミルトニアンであり、これらの量子ハミルトニアンは、論理ゲート回路を反転するための量子計算方法の一部として物理的に実行される。すなわち、量子システム（例えば、キュービットのシステム）を提供することができ、量子ゲートコード化ハミルトニアンによって表される量子相互作用を量子システム内で物理的に実現して、論理ゲート回路を量子システムにコード化することができる。ただし、ゲートコード化ハミルトニアンを物理的に実行するこのようなアプローチには、キュービット間の長距離相互作用が含まれる可能性があるという欠点がある。長距離相互作用は、通常、例えば、論理ゲートが論理ゲート回路内で互いに遠く離れた入力変数を有する場合に発生する。このような長距離相互作用を実際に実現することは、不可能ではないにしても、困難であり得る。

【0063】

本明細書に記載の実施形態によれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ（古典ハミルトニアンであるか量子ハミルトニアンであるかに関係なく）は、実際の物理システムにおいて物理的に実行される必要はない。つまり、ゲートコード化ハミルトニアンのキュービット（量子の場合）や古典的スピン（古典的な場合）だけではなく、ゲートコード化ハミルトニアンによって表される相互作用も物理的に実行される必要はない。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、中間の古典的演算として決定される。各ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの古典的記述は、短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲを決定するために使用され、後者のハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲが、論理ゲート回路を反転するための量子計算方法の一部として物理的に実行される。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、量子システムの構成要素間の短距離量子相互作用を表す。これらの短距離量子相互作用は、対応するゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇによって表される相互作用とは異なる。実際、量子システム自体も、以下で明らかになるように、ゲートコード化ハミルトニアンが関連するシステムとは完全に異なる可能性がある。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲが決定された後、対応する短距離量子相互作用が、本明細書に記載の量子計算方法の一部として量子システムにおいて物理的に実行される。

【0064】

ローカルサブシステム

【0065】

本明細書に記載の実施形態によれば、構成要素を含む量子システムが提供される。量子システムは、それぞれが量子システムの構成要素のサブセットから構成され得るローカルサブシステムを含むことができる。ローカルサブシステムは、相互に素であり得る（量子システムの各構成要素は、最大１つのローカルサブシステムに属することができる）。

【0066】

ローカルサブシステムは、量子システムの小さなサブシステムであり得る。ローカルサブシステム内の構成要素の数は、量子システムの構成要素の総数の３０％以下、具体的には２０％以下、より具体的には１０％以下であってもよい。ローカルサブシステムには、２０個以下の構成要素、より具体的には１０個以下の構成要素が含まれる場合がある。

【0067】

ローカルサブシステムは、構成要素のサブセットであり得る。サブセット内の任意の２つの構成要素間の距離は、量子システムの局所直径（locality diameter）Ｄ_{ｌｏｃａｌ}以下である。局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、量子システムの構成要素の特定の配置における構成要素間の最大構成要素距離よりもはるかに小さい可能性がある。局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は一定の距離であってもよい。例えば、局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、最大構成要素距離の３０％以下、具体的には２０％以下、より具体的には１０％以下であってもよい。構成要素が基本距離（格子定数）を有する格子内に配置されている場合、局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、格子の基本距離のｒ倍であり得る。ここで、ｒは１～５であり得る。例えば、ｒ＝√２，２，３，４又は５であってもよい。局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、構成要素の空間的配置（例えば、構成要素が２次元格子に沿って配置されているか、３次元格子に沿って配置されているか、格子が正方形、三角形又は六角形の格子であるか又は格子ではない別の幾何学的構造であるかなど）に依存する可能性がある。更に、又は、代わりに、局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、構成要素間の利用可能な物理的相互作用の最大範囲の関数であってもよい。換言すれば、利用可能な相互作用の種類に応じて、互いに最大でも所定の距離だけ離れた構成要素を物理的に結合できる可能性がある。局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、後者の距離の関数であり得る。

【0068】

例えば、量子システムが２次元正方格子に沿って配置された構成要素によって形成される場合、格子のプラケット（基本正方形）を形成する４個の構成要素のサブセットは、量子システムのローカルサブシステムと考えることができる。同様に、構成要素が３次元正方格子に沿って配置されている場合、格子の基本立方体（８個の構成要素を有する）からなる構成されるサブシステムは、問題の量子システムのローカルサブシステムとして理解できる。これらの実例は単なる例示であり、本開示はこれらに限定されるものではない。例えば、２次元正方格子の場合、隣接する２つのプラケットから構成されるサブシステム、又は、１個のプラケットとそのプラケットに隣接する１個の追加の構成要素などから構成されるサブシステムも、問題の量子システムの特定の局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}に応じて、ローカルサブシステムであり得る。

【0069】

図３は、ローカルサブシステム３５０を有する量子システム３００を示す。各ローカルサブシステム３５０は、量子システム３００の構成要素３２０を含む。各ローカルサブシステム３５０の構成要素の数は、量子システム３００の構成要素の総数と比較して小さい（図３では、各ローカルサブシステムは５個以下の構成要素を含む）。局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}は、３０２で示されている。各ローカルサブシステム３５０内の構成要素の最大距離は、局所直径Ｄ_{ｌｏｃａｌ}未満である。

【0070】

短距離量子ハミルトニアンＨ _Ｇ ^ＳＲ

【0071】

本明細書に記載の実施形態によれば、各ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ（Ｇは論理ゲート回路の論理ゲート）は、量子システムのローカルサブシステムＳ_Ｇの内部で発生する量子相互作用を表す短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲにマッピングされる。ローカルサブシステムＳ_Ｇは論理ゲートＧに関連付けられている。可能なマッピングを以下に説明する。

【0072】

問題のマッピングによれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ＝Σ_ｉＨ_ｉの各被加数ハミルトニアンＨ_ｉは、ローカルサブシステムＳ_Ｇの各構成要素に関連付けられる（又は割り当てられる）。換言すれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの被加数ハミルトニアンＨ_ｉ毎に、サブシステムＳ_Ｇ内の対応する構成要素が提供される。

【0073】

例えば、ＡＮＤゲートのゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ＝－σ_ｓ－σ_ｕσ_ｓ－σ_ｖσ_ｓ＋σ_ｕσ_ｖσ_ｓに関して、前述のように、このハミルトニアンは４個の被加数ハミルトニアンを有する。したがって、関連するローカルサブシステムＳ_ＡＮＤには、被加数ハミルトニアン毎に、１個ずつ、合計４個の構成要素が含まれる。４個の構成要素は、各被加数ハミルトニアンに現れる指数に対応して、それぞれ（ｓ）、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）及び（ｕ，ｖ，ｓ）でラベル付けできる。図４は、ＡＮＤゲート（図１を参照）に関連付けられたローカルサブシステムＳ_ＡＮＤと、それぞれ４０１、４０２、４０３、４０４で示される、Ｓ_ＡＮＤの４個の構成要素（ｓ）、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）及び（ｕ，ｖ，ｓ）を示している。問題の構成要素は、基本正方形（プラケット）に沿って配置されている。

【0074】

したがって、前述のマッピングに従ってゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに関連付けられる構成要素の数は、Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアンの数に依存することに留意されたい。前記被加数ハミルトニアンの数は、Ｈ_Ｇのキュービット（量子の場合）又は古典的スピン（古典的な場合）の数とは異なり、具体的にはそれより大きい場合がある。例えば、前述のように、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは４個の被加数ハミルトニアンを有するため、Ｈ_ＡＮＤは４個の構成要素のセットにマッピングされる。対照的に、ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ自体は３個のキュービット／古典的スピンのハミルトニアンである。

【0075】

図５は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＧからローカルサブシステムＳ_Ｇの構成要素へのマッピングを示す。具体的にするために（範囲を制限するものではないが）、図５に示すゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは４個の被加数ハミルトニアンＨ_ｉを有し、Ｈ_Ｇ＝Ｈ_１＋Ｈ_２＋Ｈ_３＋Ｈ_４となる。例えば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、ＡＮＤゲートに関連付けられたハミルトニアンＨ_ＡＮＤにすることができる。量子システムには、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに関連付けられたローカルサブシステムＳ_Ｇが含まれている。ローカルサブシステムＳ_Ｇは、４個の構成要素５０１、５０２、５０３及び５０４を含み、これら４個の構成要素のそれぞれは、被加数ハミルトニアンＨ_ｉの１個に関連付けられる。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ（図示せず）は、ローカルサブシステムＳ_Ｇ内で作用する。上記の４個の構成要素がローカルサブシステムＳ_Ｇの一次構成要素である。図示のように、ローカルサブシステムＳ_Ｇは、Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアンに関連付けられていない更なる構成要素（サブシステムＳ_Ｇの中心に位置する２次構成要素）を含むことができる。

【0076】

Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアンＨ_ｉに関連する構成要素は、被加数ハミルトニアンＨ_ｉのパリティをコード化することができる。被加数ハミルトニアンＨ_ｉがパウリ演算子又はパウリ演算子の（テンソル）積である場合（前述のように、ゲートコード化ハミルトニアンで発生する可能性があるＺ_ｉ Ｚ_ｊ Ｚ_ｋ・・・形式の演算子など）、被加数ハミルトニアンＨ_ｉと関連する構成要素との対応を定義できる。ここで、固有値＋１を有するＨ_ｉの固有空間は構成要素の基底状態｜０＞にマッピングされ、固有値－１を有するＨ_ｉの固有空間は構成要素の基底状態｜１＞にマッピングされる。この対応によれば、問題の構成要素は被加数ハミルトニアンＨ_ｉのパリティをコード化していると言われている。このマッピングを各被加数ハミルトニアンに適用することにより、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、Ｈ_Ｇの各被加数ハミルトニアンのパリティをコード化する構成要素のサブセットに関連付けられる。

【0077】

ローカルサブシステムＳ_Ｇは、Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアンに関連する前述の構成要素に加えて、更なる構成要素を含み得ることに留意されたい。これについては後述する。

【0078】

マッピングには、更に、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇから短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲを決定することが含まれる。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、ローカルサブシステムＳ_Ｇ内の短距離量子相互作用を表す。Ｈ_ＧからＨ_Ｇ ^ＳＲへのマッピングは、両方のハミルトニアンの基底空間の間に対応があるように構成できる。Ｈ_Ｇが量子ハミルトニアンの場合、Ｈ_Ｇ及びＨ_Ｇ ^ＳＲの基底空間はそれぞれ量子状態の基底を有し、Ｈ_Ｇの基底空間の量子基底状態はＨ_Ｇ ^ＳＲの基底空間の量子基底状態に対応する。対応は１対１の対応であってもよい。同様に、Ｈ_Ｇが古典的ハミルトニアンである場合、Ｈ_Ｇ ^ＳＲは、Ｈ_Ｇの基底状態（古典的スピン構成）に対応する量子状態の基底を有する。したがって、Ｈ_Ｇ及びＨ_Ｇ ^ＳＲの基底空間は、異なるコード化を使用しているにも関わらず、両方とも対応する論理ゲートＧの入出力関係をコード化する。前述のように、Ｈ_Ｇの基底空間はＧの真理値表の行を直接的にコード化するが、Ｈ_Ｇ ^ＳＲの基底空間は同じ真理値表を、被加数ハミルトニアンのパリティを関連する構成要素にコード化することによって、間接的な方法でコード化する。それでも、短距離量子ハミルトニアンＨＧＳＲの基底空間に含まれる情報により、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの基底空間、したがってＧの入出力関係を、問題のマッピングを反転することによって導き出すことができる。したがって、Ｈ_Ｇ ^ＳＲの基底空間が分かっている場合（例えば、量子計算の終了時）、それに基づいてＧの真理値表を決定できる。

【0079】

短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの可能な形式を以下に説明する。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、２つのハミルトニアン、つまり単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}及び制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓの総計であり得るため、Ｈ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_ｃｏｎｓである。

【0080】

単体ハミルトニアンは、単体被加数ハミルトニアンの総和であるハミルトニアンとして理解することができ、各単体被加数ハミルトニアンは量子システムの単一の構成要素に作用する。単体ハミルトニアンは、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＝Ａ_１＋Ａ_２＋Ａ_３＋・・・の形式を有し得る。ここで、各単体被加数ハミルトニアンＡ_ｉは、量子システムのα_ｉ番目の構成要素にのみ作用する。例えば、Ｈ＝ａ_１Ｚ_１＋ａ_２Ｚ_２＋ａ_３Ｚ_３＋・・・で、各ａ_ｉが係数、各Ｚ_ｉがｉ番目の構成要素に作用するパウリσ_Ｚ演算子である、という形式のハミルトニアンは、単体ハミルトニアンである。単体ハミルトニアンは、ｄ＝１のｄ体ハミルトニアンである。

【0081】

短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの一部を形成する単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}の機能は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに含まれる情報、具体的には、その相互作用係数に含まれる情報をコード化することである。単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}は、単体被加数ハミルトニアンの総和であってもよく、各単体被加数ハミルトニアンは、Ｈ_Ｇの各被加数ハミルトニアンに関連付けられたＳ_Ｇの構成要素に作用し、単体被加数ハミルトニアンは、問題の被加数ハミルトニアンの関数である。例えば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇを被加数ハミルトニアンＨ_ｉの総和Ｈ_Ｇ＝Σ_ｉＨ_ｉとして表すと、各被加数ハミルトニアンＨ_ｉをａ_ｉＺ_ｉの形式の項で置き換えることによって、単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}を取得できる。ここで、ａ_ｉは係数、Ｚ_ｉは被加数ハミルトニアンＨ_ｉに関連付けられたローカルサブシステムＳ_Ｇの構成要素に作用するパウリσ_Ｚ演算子である。したがって、Ｈ_ＧがＨ_Ｇ＝Σ_ｉＨ_ｉの形式を有する場合、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}はＨ_{１－ｂｏｄｙ}＝Σ_ｉａ_ｉＺ_ｉの形式を有し得る。いくつかの実施形態によれば、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}の各係数ａ_ｉは、対応する被被加数ハミルトニアンＨ_ｉの相互作用係数に等しいか、又は、より一般的にはその関数であり得る。パウリσ_Ｚ演算子のみを含む単体ハミルトニアンの形式であるＨ_{１－ｂｏｄｙ}＝Σ_ｉａ_ｉＺ_ｉは単なる一例であり、本開示はこれに限定されないことを理解されたい。例えば、構成要素の少なくとも一部に基底の変更を適用することにより、単体ハミルトニアンには、Ｘ演算子やＹ演算子などのパウリσ_Ｚ演算子以外の演算子、更には他の（パウリ以外の）演算子を含めることができる。

【0082】

図５に示す例に関連して、ゲートコード化ハミルトニアンＨＧは、短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_ｃｏｎｓにマッピングされる。単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}は、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＝Ａ_１＋Ａ_２＋Ａ_３＋Ａ_４という形式を有する。ここで、単体被加数ハミルトニアンＡ_１、Ａ_２、Ａ_３及びＡ_４は、それぞれ構成要素５０１、５０２、５０３及び５０４に作用する。

【0083】

Ｈ_Ｇの各基底状態について、前述のマッピングにより、単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}の基底空間内に対応する基底状態が存在し得る。しかし、前述のように、Ｈ_Ｇに関連付けられる構成要素の数はＨ_Ｇの被加数ハミルトニアンの数に依存するため、Ｈ_Ｇのキュービット／古典的スピンの数よりも大きくなる可能性がある。換言すれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇと量子システムの構成要素のセットとの関連付けには、自由度の数の増加が含まれる可能性がある。更に、Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアン間には依存関係がある可能性がある（例えば、以下で詳しく説明するように、Ｈ_Ｇの全ての被加数ハミルトニアンの積は１に等しいため、被加数ハミルトニアンの１つが残りの被加数ハミルトニアンの積として記述される可能性がある）。これは、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}の基底状態に反映されていない可能性がある。したがって、単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}の基底空間には、Ｈ_Ｇの基底空間に対応する基底状態がない基底状態が含まれる可能性がある。制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓの機能は、この矛盾を取り除くことである。制約ハミルトニアンは、Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}の基底空間に１つの更なる制約又は複数の更なる制約を課すことにより、基底空間の次元を削減し、マッピングの一貫性を確保する。つまり、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの基底空間と、短距離ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_ｃｏｎｓの基底空間との間に対応関係があることを保証する。

【0084】

例えば、いくつかの実施形態によれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの全ての被加数ハミルトニアンの積は、恒等（identity）に比例し得る。量子ゲートコード化ハミルトニアンの場合、これは全ての被加数ハミルトニアンの積がｃＩに等しいことを意味する。ここで、Ｉは恒等演算子であり、ｃは係数である。古典的ゲートコード化ハミルトニアンの場合、これは、全ての被加数ハミルトニアンの積が定数ｃ、つまりゲートコード化ハミルトニアンの古典的スピンｚ_ｉ，ｚ_ｊ・・・から独立した係数に等しいことを意味する。例えば、Ｈ_Ｇが、前述のように、以下の形式で与えられる古典的ハミルトニアン又は量子ハミルトニアンである場合、

【数10】

Ｈ_Ｇの全ての被加数ハミルトニアンの積は、上記の総計の各インデックスｉ，ｊ，ｋ・・・について、問題のインデックスが現れる被加数ハミルトニアンの数（つまり、上記の総計内の非ゼロ項の数）が偶数である場合、恒等に比例する。ゲートコード化ハミルトニアンの積が恒等に比例するという特性は、Ｋ個のパウリσ_Ｚ演算子の（テンソル）積である制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓを、Ｈ_ＧのＫ個の被加数ハミルトニアンに関連付けられたＫ個の構成要素に作用するＨ_ｃｏｎｓ＝－ｋＺＺＺ・・・の形式（ｋは係数）で追加することで、ローカルサブシステムＳ_Ｇで強制可能である。したがって、Ｈ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_ｃｏｎｓの基底空間には、Ｈ_Ｇの全ての被加数ハミルトニアンの積が１に等しいという条件と一致する量子状態のみが含まれる。

【0085】

より一般的には、いくつかの実施形態によれば、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの被加数ハミルトニアンのサブセットの積は、恒等に比例し得る。サブセットは、Ｈ_Ｇの被加数ハミルトニアンの一部又は全てで構成され得る。この特性は、適切な制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓを追加することによってローカルサブシステムＳ_Ｇで強制できる。適切な制約ハミルトニアンは、例えば、問題のサブセット内の被加数ハミルトニアンに関連付けられた全ての構成要素に作用するパウリσ_Ｚ演算子の（テンソル）積である制約ハミルトニアンである。

【0086】

ｄ体ハミルトニアン（ｄは自然数）は、量子システムのｄ以下の構成要素のグループ内の相互作用を表すハミルトニアンとして理解され得る。被加数ハミルトニアンの総計であるハミルトニアンは、各被加数ハミルトニアンがｄ以下の構成要素のグループ内の結合相互作用を表す場合、ｄ体ハミルトニアンであり得る。構成要素のｄ体相互作用は、ｄ体ハミルトニアンで表現できる相互作用である。

【0087】

制約ハミルトニアンは、ｄ体ハミルトニアンであってもよい。ここで、ｄは自然数であり、ｄは２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１又は１２であり得る。数ｄは４以下であってもよい。数ｄは３以上であってもよい。数ｄは定数であってもよい。制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓは、被加数ハミルトニアンＢ_ｉの総計、つまりＨ_ｃｏｎｓ＝Σ_ｉＢ_ｉであり得る。制約ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、パウリ演算子（おそらく係数を伴う）であり得る。各被加数ハミルトニアンには、最大ｄ個の構成要素に作用するＺ演算子が含まれ得る。各被加数ハミルトニアンはＣ Ｚ・・・Ｚの形式を有することができ、各被加数ハミルトニアンは最大ｄ個の構成要素に対して制約強度Ｃで作用する。或いは、制約ハミルトニアンは単一の項、例えば複数の被加数ハミルトニアンの総計ではなく、単一のパウリ演算子であってもよい。例えば、図５を参照すると、制約ハミルトニアンは、構成要素５０１、５０２、５０３及び５０４に作用する形式Ｈ_ｃｏｎｓ＝Ｃ ＺＺＺＺ（単一項）の４体ハミルトニアンであってもよい。制約ハミルトニアンは、パウリσ_Ｚ演算子（ここではＺで示される）のみを含む必要はないことを理解されたい。例えば、ユニタリ変換（基底の変更）を構成要素の一部又は全てに適用することによって、例えばパウリσ_Ｘ演算子及び／又はパウリσ_Ｙ演算子、更には他の（パウリ以外の）演算子を含む、異なる形式を有する制約ハミルトニアンが取得され得る。

【0088】

本明細書に記載のように、単体ハミルトニアン及び短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの制約ハミルトニアンは、パウリσ_Ｚ演算子のみを含み得る。単体ハミルトニアン及び制約ハミルトニアンは可換ハミルトニアン（commuting Hamiltonians）であり得る。論理ゲート回路に関連付けられた全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、互いにペアで可換であり得る。

【0089】

ＡＮＤゲートと、対応する以下のゲートコード化ハミルトニアンの例では、

【数11】

関連するローカルサブシステムには、（ｓ）、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）及び（ｕ，ｖ，ｓ）でラベル付けされた４個の構成要素が含まれることを前述した。これら４個の構成要素は、矩形格子のプラケットの頂点上に配置され得る。したがって、構成要素は量子システムのローカルサブシステムを形成するか、少なくともそれに属することができる。関連する短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲは以下の形式を有し得る。

【数12】

ここで、－Ｚ_（ｓ）－Ｚ_{（ｕ，ｓ）}－Ｚ_{（ｖ，ｓ）}＋Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ）}は単体ハミルトニアンであり、Ｚ_（ｓ）、Ｚ_{（ｕ，ｓ）}、Ｚ_{（ｖ，ｓ）}及びＺ_{（ｕ，ｖ，ｓ）}は、それぞれキュービットｓ、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）、（ｕ，ｖ，ｓ）に作用するパウリ演算子である。更に、これらのパウリ演算子のそれぞれに与えられる各係数－１、－１、－１及び１は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの相互作用係数と同じである。更に、－ｋＺ_（ｓ）Ｚ_{（ｕ，ｓ）}Ｚ_{（ｖ，ｓ）}Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ）}は、問題の４個のパウリ演算子の積を含む制約ハミルトニアン（この例では、ｄ＝４のｄ体ハミルトニアン）であり、ｋは正の係数である。ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲの基底空間は、４個のキュービットの量子状態から構成される基底を有し、各基底状態は、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの基底状態に対応する。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤでは、各インデックスｕ、ｖ、ｓが偶数回出現するため、被加数ハミルトニアンの積（－σ_ｓ）（－σ_ｕσ_ｓ）（－σ_ｖσ_ｓ）（σ_ｕσ_ｖσ_ｓ）は恒等に比例する。これは、Ｈ_ＡＮＤ ^ＳＲの基底空間がこの条件に合致することを保証する制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓ＝－ｋＺ_ｓＺ_{（ｕ，ｓ）}Ｚ_{（ｖ，ｓ）}Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ）}の存在によって反映されている。Ｈ_ＡＮＤからＨ_ＡＮＤ ^ＳＲへのマッピング、及び、２つの基底空間の間の対応に関する技術的な詳細については、後述の「更なる態様」の項で説明する。

【0090】

したがって、本方法によれば、各論理ゲートＧは、当該論理ゲートの真理値表をコード化する基底空間を有するゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに関連付けることができる。次に、各ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、ローカルサブシステムＳ_Ｇ内の構成要素間の短距離量子相互作用を表す短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_ｃｏｎｓにマッピングされる。このため、Ｈ_Ｇ ^ＳＲの基底空間に含まれる情報により、Ｈ_Ｇの基底状態、つまり論理ゲートＧの入出力関係を決定することができる。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇを短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲにマッピングすることは、Ｈ_Ｇ ^ＳＲが短距離の相互作用のみを含むため、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに存在する可能性のある長距離相互作用が除去されるという利点を有する。

【0091】

図６は、前述のマッピングを示す。論理ゲートＧは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇにマッピングされる（６１０）。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇは、量子システムのローカルサブシステムＳ_Ｇにマッピングされる（６２０）。短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ＝Ｈ_{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ^ｃｏｎｓはローカルサブシステムＳ_Ｇ内で作用し、Ｈ_Ｇの基底空間に対応する基底空間を有する。

【0092】

ゲート相互接続ハミルトニアン、共通変数ハミルトニアン

【0093】

前述のように、本明細書に記載の実施形態によれば、互いに素な複数のローカルサブシステムＳ_Ｇが提供され、各ローカルサブシステムは論理ゲート回路の論理ゲートＧに関連付けられる。論理ゲート回路の論理ゲートは互いに独立していない。論理ゲート間に相互接続が存在する場合、及び／又は、異なる論理ゲートが共通の入力変数を有する場合もある。本明細書に記載の実施形態によれば、論理ゲート間のこのような依存関係は、対応するローカルサブシステムを互いに結合することによって量子システムに反映され得る。

【0094】

第１の論理ゲートＧ_１及び第２の論理ゲートＧ_２が互いに接続されていること（すなわち、換言すれば、２つの論理ゲート間に相互接続が存在すること）は、第１の論理ゲートＧ_１の出力変数が第２の論理ゲートＧ_２に入力されるため、Ｇ_１の出力変数はＧ_２の入力変数でもある、という意味で理解することができる。第１の論理ゲートＧ_１は、前述のマッピングによって、第１のローカルサブシステムＳ_Ｇ１及び第１の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲに関連付けられ得る。第１の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲの基底空間は、第１の論理ゲートＧ_１の入出力関係を（前述のように間接的に）コード化する状態から構成される基底を有する可能性がある。同様に、第２の論理ゲートＧ_２は、第２のローカルサブシステムＳ_Ｇ２及び第２の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ２ ^ＳＲに関連付けられ得る。第２の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ２ ^ＳＲの基底空間は、第２の論理ゲートＧ_２の真理値表を（やはり間接的に）コード化する基底を有する可能性がある。演繹的に、Ｈ_Ｇ１ ^ＳＲ及びＨ_Ｇ２ ^ＳＲの各基底空間は互いに独立している。Ｇ_１の出力変数がＧ_２の入力変数でもあるということは、問題の２つの論理ゲートの論理変数に課せられる副条件又は制約と見なすことができる（つまり、ａ_ｉ＝ｂ_ｊの形式の制約である。ここで、ａ_ｉはＧ_１の入力変数であり、ｂ_ｊはＧ_２の出力変数である）。この副条件は、第１のローカルサブシステムＳ_Ｇ１を第２のローカルサブシステムＳ_Ｇ２に結合するゲート相互接続ハミルトニアンＨ_１２ ^ｃｏｎｎを導入することによって、量子システムでも同様に強制できる。ゲート相互接続ハミルトニアンＨ_１２ ^ｃｏｎｎは、これら２つのローカルサブシステム間の量子相互作用（本明細書ではゲート相互接続相互作用と呼ぶ）を表す量子ハミルトニアンである。より具体的には、ゲート相互接続ハミルトニアンは、ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲ＋Ｈ_Ｇ２ ^ＳＲ＋Ｈ_１２ ^ｃｏｎｎの基底空間がこの副条件に従う基底状態のみを含むような方法で２つのローカルサブシステムを結合することができる。ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲ＋Ｈ_Ｇ２ ^ＳＲ＋Ｈ_１２ ^ｃｏｎｎの各基底状態は、（ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇ１及びＨ_Ｇ２から短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲ及びＨ_Ｇ２ ^ＳＲへのマッピングを反転することにより）、２つの論理ゲートの論理変数の「有効な」構成、つまり前述の第１の論理ゲートＧ_１の出力変数が第２の論理ゲートＧ_２の入力変数でもある構成に対応する可能性がある。したがって、ゲート相互接続ハミルトニアンは、論理変数の有効な構成に対応する量子状態をエネルギー的に優先する（つまり、低エネルギーを割り当てる）。ゲート相互接続ハミルトニアンの構築に関する更なる例及び技術的詳細は、後述の「更なる態様」の項で説明する。

【0095】

これに加えて、又は、この代わりに、２つの論理ゲートが共通の入力変数を有してもよい。すなわち、同じ論理変数が第１の論理ゲートＧ_１及び第２の論理ゲートＧ_２の入力変数であってもよい。ゲート相互接続について前述したことと同様に、２つの論理ゲートが共通の入力変数を有するということは、対応するハミルトニアン（本明細書では共通変数ハミルトニアンＨ_１２ ^{ｃｏｍ－ｖａｒ}と呼ぶ）によって量子システム内で強制できる副条件とみなすことができる。共通変数ハミルトニアンは、ハミルトニアＨ_Ｇ１ ^ＳＲ＋Ｈ_Ｇ２ ^ＳＲ＋Ｈ_１２ ^{ｃｏｍ－ｖａｒ}の基底空間がこの副条件に従う基底状態のみを含むような方法で、第１及び第２のローカルサブシステムを結合できる量子ハミルトニアンである。ハミルトニアンＨ_Ｇ１ ^ＳＲ＋Ｈ_Ｇ２ ^ＳＲ＋Ｈ_１２ ^{ｃｏｍ－ｖａｒ}の各基底状態は、（ゲートコード化ハミルトニアンから第１／第２短距離量子ハミルトニアンへのマッピングを反転することによって）２つの論理ゲートの論理変数の「有効な」構成、すなわち、問題の入力変数が第１の論理ゲートＧ_１及び第２の論理ゲートＧ_２の共通の入力変数である構成に対応する可能性がある。共通変数ハミルトニアンの構築に関する更なる例及び技術的詳細は、後述の「更なる態様」の項で説明する。

【0096】

２つのゲートが相互に接続され、共通の入力変数を有する場合、Ｈ_Ｇ１ ^ＳＲ＋Ｈ_Ｇ２ ^ＳＲ＋Ｈ_１２ ^ｃｏｎｎ＋Ｈ_１２ ^{ｃｏｍ－ｖａｒ}形式のハミルトニアンなど、ゲート相互接続ハミルトニアン及び共通変数ハミルトニアンの組み合わせを提供できる。

【0097】

図７は、図２に示す論理ゲート回路２００に関連付けられる量子システム７００を示す。量子システムは、円で示す構成要素７５０を含む（表現を容易にするため、２つの構成要素のみを参照符号７５０によって明示的に参照するが、図７の各円は量子システムの構成要素を表すことを理解されたい）。量子システムは、図２に示す論理ゲート回路２００の論理ゲート２１～２８にそれぞれ関連付けられたローカルサブシステム７２１～７２８を含む。各ローカルサブシステムは、構成要素のセットを含む（明確にするために、各ローカルサブシステムは４つの構成要素を含むように示されているが、本開示はそれに限定されない）。各短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、ボックス７３１～７３８で示されているように、各ローカルサブシステムに作用する。ローカルサブシステムの一部は実線で接続されており、問題のローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアンを表している。例えば、ゲート相互接続ハミルトニアンは、ローカルサブシステム７２１とローカルサブシステム７２４とを結合し、図２の論理ゲート回路２００が論理ゲート２１と論理ゲート２４との間の接続を含むので、これら２つのサブシステムを接続する実線によって示される。ローカルサブシステムの一部は破線で接続されており、問題のローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンを表している。例えば、図２に示される論理ゲート２３及び２５が共通の入力変数（すなわち、変数ｘ_６）を有するため、共通変数ハミルトニアンは、ローカルサブシステム７２３とローカルサブシステム７２５とを結合し、これら２つのサブシステムを接続する破線で示される。

【0098】

以下では、「ゲート結合ハミルトニアン」という用語は、ゲート相互接続ハミルトニアン又は共通変数ハミルトニアンのいずれかを指すために使用されるものとする。

【0099】

前述のように、ローカルサブシステムＳ_Ｇは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの被加数ハミルトニアンＨ_ｉに関連付けられた構成要素を含むことができる。このような構成要素を、本明細書ではローカルサブシステムＳ_Ｇの一次構成要素と呼ぶ。一次構成要素に加えて、ローカルサブシステムは１つ以上の二次構成要素を含むことができる。ローカルサブシステムの二次構成要素は、ゲートコード化ハミルトニアンの被加数ハミルトニアンに関連付けられておらず、ローカルサブシステムの「追加の」構成要素である場合がある。第１の論理ゲートＧ_１に関連付けられた第１のローカルサブシステムＳ_Ｇ１を第２の論理ゲートＧ_２に関連付けられた第２のローカルサブシステムＳ_Ｇ２に結合するゲート結合ハミルトニアンに関して（ゲート結合ハミルトニアンが、ゲート相互接続ハミルトニアンであるか、共通変数ハミルトニアンであるかに関係なく）、ゲート結合ハミルトニアンは、第１のローカルサブシステムの１つ以上の構成要素及び第２のローカルサブシステムの１つ以上の構成要素に共同して作用できる。第１のローカルサブシステムの１つ以上の構成要素は、第１のローカルサブシステムの１つ以上の一次構成要素及び／又は１つ以上の二次構成要素を含むことができる。第２のローカルサブシステムの１つ以上の構成要素は、第２のローカルサブシステムの１つ以上の一次構成要素及び／又は１つ以上の二次構成要素を含むことができる。

【0100】

ゲート結合ハミルトニアンは、ｋ体ハミルトニアンであってもよい。ここで、ｋは自然数であり、ｋは２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１又は１２であってもよい。数ｋは４以下であってもよい。数ｋは３以上であってもよい。数ｋは定数であってもよい。ゲート結合ハミルトニアンは、被加数ハミルトニアンの総和であってもよい。ゲート結合ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、パウリ演算子（おそらく係数付き）にすることができる。各被加数ハミルトニアンは、最大でｋ個の構成要素に作用するＺ演算子を含む場合がある。各被加数ハミルトニアンは、Ｋ Ｚ・・・Ｚの形式を有することができ、各被加数ハミルトニアンは最大ｋ個の構成要素に対して結合強度Ｋで作用し得る。或いは、ゲート結合ハミルトニアンは単一の項、例えば、複数の被加数ハミルトニアンの総計ではなく、単一のパウリ演算子であってもよい。ゲート結合ハミルトニアンは、パウリσ_Ｚ演算子のみを含む必要はないことが理解されるであろう。例えば、ユニタリ変換（基底の変更）を構成要素の一部又は全てに適用することにより、例えばパウリσ_Ｘ演算子及び／又はσ_Ｙ演算子、更には他の（非パウリ）演算子を含む、異なる形式を有するゲート結合ハミルトニアンを取得できる。

【0101】

出力コード化ハミルトニアン、総ハミルトニアン、論理ゲート回路の反転

【0102】

論理ゲートを有する論理ゲート回路（例えば、乗算回路）が与えられると、全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ（すなわち、論理ゲート回路の全ての論理ゲートＧに亘る）と、全てのゲート結合ハミルトニアン（すなわち、全てのゲート相互接続ハミルトニアン及び全ての共通変数ハミルトニアン）との総計である第１のハミルトニアンＨ_１を考慮することができる。第１のハミルトニアンＨ_１は、量子システムの一次及び二次構成要素に作用する量子ハミルトニアンである。第１のハミルトニアンＨ_１は、論理ゲート回路の有効な入出力構成、つまり各論理ゲートの各動作に従い、ゲートの相互接続及び共通変数（存在する場合）から生じる副条件に従う論理変数の構成をコード化する基底状態を有する基底空間を有する。

【0103】

前述のように、本明細書に記載の方法の目的は、論理ゲート回路を反転することである。つまり、論理ゲート回路の出力ｙが与えられた場合、その出力ｙに対応する入力ｘを決定することが課題となる。論理ゲート回路の出力がｙに等しいということは、論理ゲート回路に課せられるもう一つの副条件とみなすことができる。ゲート結合ハミルトニアンの場合と同様に、この副条件は、本明細書では出力コード化ハミルトニアンと呼ばれる第２の量子ハミルトニアンＨ_２を導入することによって量子システムでも強制できる。第２の量子ハミルトニアンは、第１のハミルトニアンＨ_１に追加され、問題の出力ｙに対応する基底状態（複数ある場合は複数の基底状態）のみをエネルギー的に優先する。出力コード化ハミルトニアンには、１つ以上の一次構成要素及び／又は１つ以上の二次構成要素が含まれる場合がある。

【0104】

出力コード化ハミルトニアンは、ｒ体ハミルトニアンであってもよい。ここで、ｒは自然数であり、ｒは２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１又は１２であってもよい。数ｒは４以下であってもよい。例えば、数ｒは２以上であってもよい。数ｒは定数でもよい。出力コード化ハミルトニアンは、被加数ハミルトニアンの総計であり得る。出力コード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、パウリ演算子（おそらく係数付き）にすることができる。各被加数ハミルトニアンには、最大でｒ個の構成要素に作用するパウリσ_Ｚ演算子（本明細書ではＺで示す）が含まれる場合がある。各被加数ハミルトニアンは、Ｒ Ｚ・・・Ｚの形式を有することができ、各被加数ハミルトニアンは最大ｒ個の構成要素に対して結合強度Ｒで作用する。或いは、出力コード化ハミルトニアンは、単一の項、例えば、複数の被加数ハミルトニアンの総計ではなく、単一のパウリ演算子であってもよい。出力コード化ハミルトニアンは、パウリσ_Ｚ演算子のみを含む必要がないことが理解されるべきである。例えば、ユニタリ変換（基底の変更）を構成要素の一部又は全てに適用することにより、例えばパウリσ_Ｘ及び／又はパウリσ_Ｙ演算子、更には他の（パウリ以外の）演算子を含む、異なる形式を有する出力コード化ハミルトニアンを取得できる。出力コード化ハミルトニアンの構築に関する更なる例及び技術的詳細は、後述の「更なる態様」の項で説明する。

【0105】

上記を考慮して、第１のハミルトニアンＨ_１と出力コード化ハミルトニアンＨ_２（第２のハミルトニアン）との総和によって与えられる量子ハミルトニアンである、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}を考慮することができる。したがって、
Ｈ^{ＴＯＴＡＬ}＝Ｈ^１＋Ｈ^２
ここで、
Ｈ_１＝Σ（全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ）＋Σ（全てのゲート結合ハミルトニアン）である。
Ｈ_１に関する上記の式の最初の総計及び２番目の総計は、それぞれ、論理ゲート回路に関連付けられた、全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの総計及び全てのゲート結合ハミルトニアンの総計を概略的に表す。出力コード化ハミルトニアンＨ_２のおかげで、Ｈ^{ＴＯＴＡＬ}の基底空間は、出力ｙに対応する論理変数の構成（又は複数の構成）、換言すれば、未知の入力ｘをコード化する構成のみを含む量子状態の基礎を有する。したがって、未知の入力ｘは、量子システムを総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態に等しい（又はそれに近い）量子状態に発展させ、その後、量子システムの少なくとも一部を測定することによって決定できる。

【0106】

例えば、論理ゲート回路が、単一の入力ｘが出力ｙに対応するようなものである場合、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}は単一の基底状態を有し得る。この基底状態は、ゲートコード化ハミルトニアンから短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲへのマッピングを介して、未知の入力ｘをコード化する。つまり、基底状態は、未知の入力ｘを決定できる情報を含んでいる。したがって、量子システムがＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態又は基底状態に近いときに構成要素の少なくとも一部の測定を実行し、続いて前述のマッピングを反転することによって、論理ゲート回路の未知の入力ｘを決定することができる。同様に、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}が縮退した基底空間（複数の基底状態）を有する場合、同じ出力ｙに対応する複数の入力ｘが存在する可能性がある（つまり、論理ゲート回路は多対１関数を計算する可能性がある）。このような場合、同じ手順を適用して、未知の入力ｘの少なくとも１つを決定することができる。この場合も、測定を実行し、その後マッピングを反転する。

【0107】

測定に関しては、論理ゲート回路に関連付けられたゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇのうちの１つの被加数ハミルトニアンに関連付けられた全ての構成要素（すなわち、量子システムの全ての一次構成要素）を、例えば、標準基底｛｜０＞，｜１＞｝で測定することができる。これらの測定から得られた読み出しに基づいて、本明細書に記載のマッピングを反転して、未知の入力ｘ（例えば、因数分解される整数の素因数）を決定することができる。具体的には、各ローカルサブシステムＳ_Ｇの一次構成要素の測定から得られた測定結果を使用して、論理ゲート回路の各論理ゲートＧについて、論理ゲート回路の出力がｙであるという事実と一致するＧの入力変数の値の構成（又は複数の構成）を決定することができる。具体的には、論理ゲート回路の入力に直接作用する全ての論理ゲートＧ（例えば、図２では、これらは論理ゲート２１、２２、２３、２４及び２５であり、図１０では、全ての論理ゲートは論理ゲート回路の入力に直接作用する）のサブセットに対してこれを実行し、論理ゲートのこの特定のサブセットのマッピングを反転することによって、出力ｙに対応する入力ｘを決定できる。

【0108】

或いは、未知の入力ｘを決定するには、一次構成要素のサブセットのみを測定するだけで十分な場合がある。例えば、論理ゲート回路の入力に直接作用するローカルゲートの前述のサブセットに対応するローカルサブシステムＳ_Ｇの一次構成要素のみを測定するだけで十分な場合がある。更に、ローカルサブシステムのこのサブセット内であっても、全ての一次構成要素を測定する必要はない場合がある。例えば、同じローカルサブシステムＳ_Ｇ内では、Ｓ_Ｇ内の１つ以上の一次構成要素の量子状態がＳ_Ｇ内の残りの一次構成要素の量子状態によって決定されるという意味で、その一次構成要素間に依存関係が存在する可能性がある。このような場合、Ｓ_Ｇの構成要素のサブセットのみを測定するだけで十分な場合がある。

【0109】

いくつかの実施形態によれば、例えば一貫性チェックを実行するために、二次構成要素の少なくとも一部を測定することができる。

【0110】

本明細書に記載のように、総ハミルトニアンに現れる全てのハミルトニアン（すなわち、短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ、ゲート相互接続ハミルトニアン、共通変数ハミルトニアン、出力コード化ハミルトニアン）は、Ｚ演算子のみを含む可能性がある。したがって、総ハミルトニアンは、相互に可換なハミルトニアンから構成される総和である可能性がある。

【0111】

更に、総ハミルトニアンによって表される相互作用は、量子システムのサイズ（構成要素の数）とは独立した定数によって上限が設定されるそれぞれの大きさ（総ハミルトニアンに現れる係数によって表される）を有し得る。これは、より大きな論理ゲート回路、つまり、より大きな量子システムを考慮しても、量子計算方法を実現するために必要な相互作用の大きさ（相互作用強度）はそれに応じて増加せず、小さな一定の範囲内に留まる可能性があることを意味する。

【0112】

ＡＮＤ．ＦＡゲート

【0113】

論理ゲート回路は、１つ以上のＡＮＤ．ＦＡゲートを含むことができる（「ＦＡ」は「全加算器」を表す）。ＡＮＤ．ＦＡゲートは４つの入力変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ及び２つの出力変数ｓ’、ｃ’を有し、それぞれは０と１の値を取り得る。入力変数に対するＡＮＤ．ＦＡゲートの動作は、以下の関係によって定義される。
２ｃ’＋ｓ’＝ｓ＋ｃ＋ｕ・ｖ
上記の式は、入力変数の関数として出力変数の値を一意に定義する（例えば、ｕ＝ｖ＝ｓ＝ｃ＝１の場合、上記の式はｃ’＝ｓ’＝１を意味する）。

【0114】

ＡＮＤ．ＦＡゲートの可能なゲートコード化ハミルトニアンは、以下のように与えられる。

【数13】

ここで、σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である。これらのスピン観測可能量は、それぞれのキュービット又は古典的スピンｚ_ｕ、ｚ_ｖ、ｚ_ｓ、ｚ_ｃ、ｚ_ｓ’及びｚ_ｃ’に作用するパウリ演算子Ｚ_ｕ、Ｚ_ｖ、Ｚ_ｓ、Ｚ_ｃ、Ｚ_ｓ’及びＺ_ｃ’を表す可能性がある。換言すれば、前述のように、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、古典的ゲートコード化ハミルトニアン又は量子ゲートコード化ハミルトニアンであり得る。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は８つの被加数ハミルトニアンを有する。したがって、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}に関連付けられたローカルサブシステムＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は８つの（一次）構成要素を含む。問題の構成要素は、各被加数ハミルトニアンに現れるインデックスに対応する（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）、（ｓ’，ｃ’）でラベル付けされ得る。関連する短距離ハミルトニアンは、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲ＝Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^{１－ｂｏｄｙ}＋Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ｃｏｎｓ、つまり、単体ハミルトニアン及び制約ハミルトニアンの総和の形式を有する場合がある。ここで、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^{１－ｂｏｄｙ}、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ｃｏｎｓは、以下の通りである。

【数14】

単体ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^{１－ｂｏｄｙ}では、各Ｚ演算子は、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の対応する被加数ハミルトニアンの相互作用係数に等しい係数を有する。したがって、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の被加数ハミルトニアンとＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^{１－ｂｏｄｙ}の被加数ハミルトニアンとの間には直接の対応関係がある。制約ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ｃｏｎｓ（この例では４体ハミルトニアン）は、２つのパウリ演算子を含む総計であり、それぞれは４つのＺ演算子の（テンソル）積であり、ｋ_１及びｋ_２は正の係数である。

【0115】

ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲの基底空間は８個のキュービットの量子状態から構成される基底を有し、基底状態のそれぞれはゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の基底状態に対応する。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}では、最初の４つの被加数ハミルトニアンの積（－σ_ｓσ_ｃσ_ｓ’）（－σ_ｕσ_ｓσ_ｃσ_ｓ’）（－σ_ｖσ_ｓσ_ｃσ_ｓ’）（σ_ｕσ_ｖσ_ｓσ_ｃσ_ｓ’）が恒等に比例する（各インデックスが偶数回出現する）ことに留意されたい。これは、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲの基底空間がこの条件と一致することを保証する制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓの第１項－ｋ_１Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}の存在に反映されている。同様に、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}では、４つの被加数ハミルトニアンの第２のセットの積（－σ_ｓσ_ｃσ_ｓ’σ_ｃ’）（－σ_ｓσ_ｃ’）（－σ_ｃσ_ｃ’）（σ_ｓ’σ_ｃ’）が恒等に比例する。これは、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲの基底空間もこの条件と一致することを保証する制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓの第２項－ｋ_２Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ，ｃ’）}Ｚ_{（ｃ，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ’，ｃ’）}の存在に反映されている。

【0116】

８つの（一次）構成要素は、立方体の頂点に沿って配置することができ、（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）及び（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）は立方体の４つの下部頂点に位置し（立方体の第１プラケットを形成し、本明細書では「総和プラケット」と呼ばれる）、（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）及び（ｓ’，ｃ’）は立方体の４つの上部頂点に配置される（立方体の第２プラケットを形成し、本明細書では「キャリープラケット」と呼ばれる）。したがって、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ｃｏｎｓの第１項は立方体の４つの下部頂点によって形成される第１プラケットに作用し、第２項は４つの上部頂点によって形成される第２プラケットに作用する。これら８つの一次構成要素とは別に、ローカルサブシステムＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は二次構成要素を含む場合がある。ＡＮＤ．ＦＡゲートが論理ゲート回路の別の論理ゲートに接続されている、及び／又は、論理ゲート回路の別の論理ゲートと共通変数を共有している場合、二次構成要素は、ゲート相互接続ハミルトニアン及び／又は共通変数ハミルトニアンによって作用され得る。二次構成要素は、例えば、８つの一次構成要素から構成される立方体（体心立方体）の中心に配置され得る。

【0117】

ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲに関する更なる技術的詳細と、関連するゲート結合ハミルトニアンの可能な形式については、「更なる態様」の項で説明する。

【0118】

図８は、ＡＮＤ．ＦＡゲートの概略図を示す。入力変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ及び出力変数ｓ’、ｃ’は、それぞれＡＮＤ．ＦＡゲートの各脚（実線）に対応する。

【0119】

図９は、図８に示すＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられるローカルサブシステムＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}を示す。ローカルサブシステムＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、立方体の角に配置された、８つの一次構成要素（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）及び（ｓ’，ｃ’）を含む。それぞれ９０１、９０２、９０３及び９０４で示される構成要素（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）及び（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）は、第１プラケット（「総和プラケット」）を形成する立方体の４つの下部頂点に位置する。それぞれ９１１、９１２、９１３及び９１４で示される構成要素（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）及び（ｓ’，ｃ’）は、第２プラケット（「キャリープラケット」）を形成する４つの上部頂点に配置されている。ローカルサブシステムＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、立方体の中心に配置された二次構成要素９５０を含む。

【0120】

いくつかの実施形態によれば、本明細書に記載の論理ゲート回路の論理ゲートは、１つ以上のＡＮＤゲート及び１つ以上のＡＮＤ．ＦＡゲートを含み、具体的にはそれらから構成される。複数の論理ゲートの各論理ゲートは、ＡＮＤゲート又はＡＮＤ．ＦＡゲートであり得る。このような回路は、例えば、以下に説明するように、整数を因数分解するための量子計算方法という観点から興味深いものとなり得る。

【0121】

整数因数分解

【0122】

実施形態によれば、論理ゲート回路は乗算関数（乗算回路）を計算することができる。具体的には、論理ゲート回路は、２つの整数ｐ及びｑの積を計算することができる。回路の入力ｘには２つの整数ｐ及びｑのバイナリ表現が含まれる場合があり、出力ｙには積ｎ＝ｐ・ｑのバイナリ表現が含まれる場合がある。したがって、論理ゲート回路を反転するタスクは、整数ｎを与え、ｎ＝ｐ・ｑとなるように整数ｐ及びｑを決定することになる。ｐ及びｑが素数の場合、数値ｎは半素数と言われる。したがって、論理ゲート回路（乗算回路）を反転するタスクには、整数ｎの素因数を決定する問題が含まれる。したがって、本明細書に記載の実施形態は、素因数分解のための量子計算方法を含む。

【0123】

実施形態によれば、乗算回路は、各論理ゲートがＡＮＤゲート又はＡＮＤ．ＦＡゲートであるようなものであってもよい。図１０は、乗算関数を計算する論理ゲート回路１０００、すなわち乗算回路を示す。論理ゲート回路の各論理ゲートは、ＡＮＤゲート又はＡＮＤ．ＦＡゲートのいずれかである。ＡＮＤゲートは１０１０、１０１１、１０１２及び１０１３で示される。ＡＮＤ．ＦＡゲートは、１０２０、１０２１、１０２２及び１０２３（ＡＮＤ．ＦＡゲートの第１行）、１０３０、１０３１、１０３２及び１０３３（ＡＮＤ．ＦＡゲートの第２行）、並びに、１０４０、１０４１、１０４２及び１０４３（ＡＮＤ．ＦＡ ゲートの第３行）で示される。論理ゲート回路１０００の入力は、バイナリ表現ｐ＝ｐ_０２^０＋ｐ_１２^１＋ｐ_２２^２＋・・・及びｑ＝ｑ_０２^０＋ｑ_１２^１＋ｑ_２２^２＋・・・で提供される２つの整数ｐ及びｑによって構成され、ｐ_ｉ及びｑ_ｉは、ビットである。図１０に示す簡単な例では、ｐ及びｑは４ビット整数であるが、乗算回路を任意の整数に一般化することはすぐにできる。乗算回路の出力は、整数ｎ＝ｎ_０２^０＋ｎ_１２^１＋ｎ_２２^２＋・・・（ｎ＝ｐ・ｑ）である。図１０では、計算は上から下に進む。

【0124】

図１１は、図１０の論理ゲート回路１００に関連付けられた量子システム１１００を示す。量子システム１１００は、図１０に示す乗算回路のＡＮＤゲートに関連付けられたローカルサブシステム１１１０、１１１１、１１１２及び１１１３と、ローカルサブシステム１１２０、１１２１、１１２２及び１１２３と、ローカルサブシステム１１３０、１１３１、１１３２及び１１３３と、図１０の乗算回路のＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステム１１４０、１１４１、１１４２及び１１４３と、を含む。図１１のローカルサブシステムは、前述のように、それぞれローカルサブシステムＳ_ＡＮＤ及びＳ_{ＡＮＤ．ＦＡ}であってもよく、本明細書に記載のマッピングに従って構築されてもよい。具体的には、ＡＮＤゲートに関連付けられたローカルサブシステム１１１０、１１１１、１１１２及び１１１３のそれぞれは、例えば図４に示すような、プラケットに沿って配置された４つの構成要素から構成され得る。ＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステム１１２０、１１２１、１１２２、１１２３、１１３０、１１３１、１１３２、１１３３、１１４０、１１４１、１１４２及び１１４３のそれぞれは、立方体に沿って配置された８つの一次構成要素と、例えば図９に示すように、立方体の中心に配置された二次構成要素とから構成され得る。したがって、量子システムは、垂直に積み重ねられた２層の構成要素（一次構成要素）を含み得る。各層は２次元正方格子であり、二次構成要素が２つの層の間に配置される。量子システムのこの形式を図１４に更に示す。

【0125】

図１０において論理ゲート間の実線で表される２つの論理ゲート間の各接続について、図１１において対応する実線で示される、対応するローカルサブシステムを結合するために、対応するゲート相互接続ハミルトニアンが提供され得る。論理ゲート間の例示的な接続は、図１０の１０５０に示されており、対応するゲート相互接続ハミルトニアンは、図１１の１１５０に示されている。図１０の乗算回路では、接続は隣接する論理ゲート間にのみ存在する（換言すれば、乗算回路では離れたゲート間に長距離接続は存在しない）ため、全てのゲート相互接続ハミルトニアンは短距離ハミルトニアンになる。

【0126】

更に、図１１においてローカルサブシステムを接続する破線によって示される共通変数ハミルトニアンは、対応する論理ゲートが共通の入力変数を有するローカルサブシステムを結合するために提供され得る。例えば、図１０では変数ｑ_０が論理ゲート回路の全てのＡＮＤゲートに共通であり、ＡＮＤゲートは乗算回路のゲート１０１０、１０１１、１０１２及び１０１３の最上行を形成していることが分かる。前述のように、論理変数が一対の論理ゲートに共通であることは、論理ゲート回路に課せられる付帯条件として理解できる。したがって、図１０の乗算回路内のＡＮＤゲートの各対に対して、変数ｑ_０が問題のＡＮＤゲートのペアに対する共通の入力変数であることを強制するための対応する副条件が提供され得る。ただし、結果として得られる副条件は全て互いに独立しているわけではない。換言すれば、そのような全ての副条件のセットには冗長性が含まれる。例えば、ｑ_０が第１のＡＮＤゲート１０１０及び第２のＡＮＤゲート１０１１の共通変数であることを要求し、更にｑ_０が第２のＡＮＤゲート１０１１及び第３のＡＮＤゲート１０１２の共通変数であることを要求することは、ｑ_０が第１のＡＮＤゲート１０１０及び第３のＡＮＤゲート１０１２の共通変数でもあることを意味する。したがって、第１のＡＮＤゲート１０１０及び第３のＡＮＤゲート１０１２に関する後者の副条件は、対応する共通変数ハミルトニアンによって量子システム内で明示的に強制される必要はない。したがって、図１１に示すように、共通変数ｑ_０に関連する全ての副条件を課すためのＡＮＤゲートの行に対応する、ローカルサブシステム１１１０、１１１１、１１１２及び１１１３の行に対応するチェーンに沿って配列された共通変数ハミルトニアン１１５１、１１５２及び１１５３のセットを提供すれば十分である。特に、共通変数ハミルトニアン１１５１、１１５２及び１１５３のチェーンには、これらの共通変数ハミルトニアンのそれぞれが互いに隣接するローカルサブシステムを結合するため、短距離ハミルトニアンのみが含まれる。同様の考慮事項が残りの共通変数にも当てはまる。例えば、ｑ_１は、乗算回路のＡＮＤ．ＦＡゲート（ゲート１０２０、１０２１、１０２２及び１０２３）の最上行の共通変数であり、これは、ローカルサブシステム１１２０、１１２１、１１２２及び１１２３の対応する行に沿ってチェーン状に配置された共通変数ハミルトニアン１１６１、１１６２及び１１６３のセットによって強制される。繰り返すが、結果として生じる共通変数ハミルトニアンのチェーンには、隣接するローカルサブシステムのペアのみが結合されているため、短距離ハミルトニアンのみが含まれる。更に別の例示的な例として、ｐ_０は、乗算回路の右側にある斜めに配置されたゲートのセット（すなわち、ゲート１０１０、１０２０、１０３０及び１０４０）の共通変数であり、これは、対応する斜めに配置されたローカルサブシステム１１１０、１１２０、１１３０及び１１４０に沿ってチェーン状に配置された、共通変数ハミルトニアン１１７１、１１７２及び１１７３によって強制される。繰り返すが、結果として生じる共通変数ハミルトニアンのチェーンには、隣接するローカルサブシステムのペアのみが結合されているため、短距離ハミルトニアンのみが含まれる。

【0127】

上記を考慮すると、本明細書に記載のマッピングを図１０に示す乗算回路に適用すると、結果として得られるゲート結合ハミルトニアンは全て短距離ハミルトニアンとなり得る。

【0128】

短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲを構築するための本明細書に記載のマッピング、並びに、ゲート相互接続及び論理ゲートの共通変数を反映するゲート結合ハミルトニアンの構築は、前述の乗算回路に適用することができる。同様に、因数分解される整数ｎは、出力コード化ハミルトニアンによって量子システムにコード化できる。この場合、出力コード化ハミルトニアンは２体ハミルトニアンになる。量子システムは、全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲ、全てのゲート結合ハミルトニアン並びに出力コード化ハミルトニアンの総計である総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態まで（又は少なくともそれに向かって）発展させることができる。その後、測定を実行して読み出しを与え、それに基づいて、未知の入力、つまりｎの未知の素因数を決定できる。これにより、整数ｎ（乗算回路の出力）に基づいて、素因数ｐ及びｑ（未知の入力）を計算する量子計算手法が得られる。

【0129】

図１２は、整数の素因数分解を実行するための装置１２００を示す。装置１２００は、古典的計算システム１２１０、量子処理ユニット１２２０、測定ユニット１２３０、及び、破線で示すローカルサブシステムにグループ化され得る構成要素を含む量子システム１２５０を含む。量子システム１２５０は、本明細書に記載の任意の量子システム、例えば、量子システム３００（図３参照）、量子システム７００（図７参照）又は量子システム１１００（図１１参照）であってよい。

【0130】

古典的計算システム１２１０は、量子処理ユニット１２２０及び測定ユニット１２３０に接続される。古典的計算システム１２１０は、量子処理ユニット１２２０及び／又は測定ユニット１２３０に命令を送信するように構成され得る。古典的計算システム１２１０は、量子処理ユニット１２２０及び／又は測定ユニット１２３０から情報を受信するように構成され得る。例えば、測定ユニット１２３０によって得られた測定結果は、古典的計算システム１２１０に送信され得る。古典的計算システム１２１０は、論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するように構成され得る。論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成され得る。古典的計算システム１２１０は、本明細書に記載のように、論理ゲートからゲートコード化ハミルトニアンを決定するように構成することができ、ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。古典的計算システム１２１０は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用（例えば、総ハミルトニアンによって表される相互作用）の第１のセットを決定するように構成され得る。古典的計算システム１２１０は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用（例えば、出力コード化ハミルトニアンによって表される相互作用）の第２のセットを決定するように構成され得る。

【0131】

量子処理ユニット１２２０及び測定ユニット１２３０は、量子システム１２５０に作用するように構成され得る。量子処理ユニット１２２０は、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含む、量子システム１２５０を発展させるように構成され得る。測定ユニット１２３０は、量子システム１２５０の少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成され得る。古典的計算システム１２１０は、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するように構成され得る。

【0132】

装置１２００は、より一般的には、論理ゲート回路を反転するための装置であり得る。装置１２００は、本明細書に記載の実施形態に係る論理ゲート回路を反転する量子計算方法を実行するように構成され得る。

【0133】

構成要素の空間的配置

【0134】

量子システムのローカルサブシステムは、論理ゲート回路内の論理ゲートの空間的配置を反映する方法で空間的に配置することができる。これを図７及び図１１に示す。図７および図１１を参照すると、ローカルサブシステムが配置される幾何学的構造は、関連する論理ゲート回路内の論理ゲートの空間的配置に対応していることが分かる（例えば、図２及び図１０参照）。したがって、論理ゲート回路内で論理ゲートＧ_２が論理ゲートＧ_１の近くに位置する場合、関連するローカルサブシステムも量子システム内で互いに近くに位置する可能性がある。論理ゲート回路の２つの論理ゲート間の接続（本明細書に記載のように、第１の論理ゲートの出力変数が第２の論理ゲートの入力変数として機能することを意味する）は、２つの論理ゲートが論理ゲート回路の遮断距離Ｄ_{ｃｉｒｃｕｉｔ}以下の距離だけ互いに離れている場合、短距離接続と言われる。遮断距離Ｄ_{ｃｉｒｃｕｉｔ}は一定の距離であってもよい。遮断距離Ｄ_{ｃｉｒｃｕｉｔ}は、論理ゲート回路の論理ゲートの特定の配置における論理ゲート間の最大ゲート距離に比べてはるかに小さくなり得る。例えば、遮断距離Ｄ_{ｃｉｒｃｕｉｔ}は、最大ゲート距離の３０％以下、具体的には２０％以下、より具体的には１０％以下であってもよい。論理ゲート回路内の論理ゲート間の全ての接続が短距離接続である場合、論理ゲート回路は短距離ゲート相互接続のみを含むと言われる。論理ゲート回路におけるゲート間の短距離接続に対応するゲート相互接続ハミルトニアンは、短距離ハミルトニアンであってもよい。短距離ゲート相互接続のみを含む論理ゲート回路の場合、関連する量子システムに作用する全ての対応するゲート相互接続ハミルトニアンは短距離ハミルトニアンであり得る。例えば、本明細書に記載の乗算回路は短距離接続のみを含むため、関連するゲート相互接続ハミルトニアンは全て短距離ハミルトニアンである。

【0135】

更に、論理ゲート回路の構造は、関連する量子システムに作用する全ての共通変数ハミルトニアンが同様に短距離ハミルトニアンであるようなものであってもよい。論理変数ｖについて、入力変数としてｖを有する論理ゲート回路の全ての論理ゲートのセットを考える。このセットから取られた論理ゲートの各ペアは、本明細書では共通変数副条件と呼ばれる、「ｖは論理ゲートＸ及び論理ゲートＹの共通変数である」という形式の副条件を生じさせる。変数ｖに関連する全てのこのような共通変数副条件から構成されるセットＣｏｍｍ－Ｖａｒ（ｖ）には冗長性が含まれている。つまり、セット内の全ての共通変数副条件が互いに独立しているわけではない。例えば、「ｖは論理ゲートＧ_１及び論理ゲートＧ_２の共通変数である」という第１の副条件と、「ｖは論理ゲートＧ_２及び論理ゲートＧ_３の共通変数である」という第２の副条件は、「ｖは論理ゲートＧ_１及び論理ゲートＧ_３の共通変数である」という第３の副条件を意味する。変数ｖの共通変数副条件の最小サブセットは、変数ｖの残りの全ての共通変数副条件を意味する共通変数副条件のサブセットである。論理ゲート回路は、論理ゲート回路内の論理ゲートの共通変数である各論理変数について、その論理変数の共通変数副条件の最小サブセット内の全ての副条件が、論理ゲート回路の遮断距離Ｄ_{ｃｉｒｃｕｉｔ}以下の距離だけ互いに離れた論理ゲートを含む場合、短距離共通変数副条件のみを含むと言われる。論理ゲート回路が短距離共通変数副条件のみを含む場合、対応する全ての共通変数ハミルトニアンは短距離ハミルトニアンである可能性があります。例えば、前述のように、本明細書に記載の乗算回路は、短距離共通変数副条件のみを含むため、関連する共通変数ハミルトニアンは全て短距離ハミルトニアンである。

【0136】

実施形態によれば、論理ゲート回路は、短距離ゲート相互接続のみを含み得る、及び／又は、短距離共通変数副条件のみを含み得る。具体的には、乗算回路は、短距離ゲート相互接続のみを含む得る、及び／又は、短距離共通変数副条件のみを含み得る。

【0137】

量子システムの発展

【0138】

量子計算方法は、量子システムの構成要素を初期状態に初期化すること、量子システムを発展させること、及び、量子システムの構成要素の少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含むことができる。量子システムの発展は、初期状態から最終状態まで続く可能性がある。最終状態は、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態と少なくともほぼ等しくてもよい。量子システムが最終状態にあるときに、構成要素の少なくとも一部について測定を行うことができる。量子計算を実行する装置は、量子システムを初期状態に初期化し、及び／又は、量子システムの発展を制御するための量子処理ユニットを含むことができる。この装置は、量子システムの測定を実行するための測定ユニットを含んでもよい。

【0139】

本明細書に記載の実施形態によれば、量子計算方法は、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態に向かって量子システムを発展させることを含む。量子システムを発展させることには、総ハミルトニアンによって表される量子相互作用（具体的には、本明細書に記載の短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセット）を実行することが含まれ得る。量子相互作用を実行する行為は、量子システム内の量子相互作用を物理的に実現又は操作するために１つ以上の演算を実行することとして理解できる。１つ以上の演算は、量子システムに結合された量子処理ユニット（例えば、レーザを含む）によって実行され得る。

【0140】

量子計算中の量子システムの発展は、アナログ駆動、特に断熱スイープ（量子アニーリング）によって制御され得る。断熱駆動（量子アニーリング）の背景は、欧州特許第３１１３０８４号明細書に記載されている。或いは、アナログ駆動は、追加の反断熱部分を有するハミルトニアンを使用する反断熱駆動であってもよく、この技術の背景は国際公開第２０２０／２５９８１３号に記載されている。欧州特許第３１１３０８４号明細書及び国際公開第２０２０／２５９８１３号は、参照することにより組み込まれる。

【0141】

量子システムを発展させることは、量子システムを初期量子状態に初期化することを含んでもよい。初期量子状態は、量子システムの初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔの基底状態であってもよい（又は、少なくともそのような基底状態に近いものであってもよい）。駆動ハミルトニアンとも呼ばれる初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔは、例えば（ただし範囲を限定するものではない）、ハミルトニアンΣ_ｉＸ_ｉなど、既知の基底状態を有するハミルトニアンであってもよい。Ｘ_ｉは量子システムのｉ番目の構成要素に作用するパウリσ_Ｘ演算子である。初期ハミルトニアン及び総ハミルトニアンは互いに可換ではない可能性がある。例えば、初期ハミルトニアンにはσ_Ｘ演算子のみが含まれる場合があり、総ハミルトニアンにはσ_Ｚ演算子のみが含まれる場合がある。

【0142】

量子システムを発展させることは、初期ハミルトニアンから中間ハミルトニアンを介して総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}に徐々に移行することを含むことができる。量子ハミルトニアンＨ（ｔ）のファミリーを考慮することができる。ここで、ｔは初期時間ｔ_ｉｎｉｔから最終時間ｔ_ｆｉｎまでの範囲の時間パラメータであり、ｔ＝ｔ_ｉｎｉｔの場合、Ｈ（ｔ）はＨ_ｉｎｉｔに等しくなり、ｔ＝ｔ_ｆｉｎの場合、Ｈ（ｔ）はＨ^{ＴＯＴＡＬ}に等しくなる。ｔ_ｉｎｉｔとｔ_ｆｉｎとの間の時間ｔの場合、ハミルトニアンＨ（ｔ）は中間ハミルトニアンである。ハミルトニアンＨ（ｔ）は、初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔ及び総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の線形結合であり得る。より一般的には、ハミルトニアンＨ（ｔ）は、初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔと、論理ゲート回路に関連付けられた短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲと、論理ゲート回路に関連付けられたゲート相互接続ハミルトニアンと、論理ゲート回路に関連付けられた共通変数ハミルトニアンと、出力コード化ハミルトニアンと、を含む線形結合であり得る。線形結合内の各ハミルトニアンには係数が与えられる場合がある。線形結合におけるハミルトニアンの係数は、時間依存関数であり得る。各時間依存関数は、各ハミルトニアンの強度を表すことができる。時間依存関数は、時間の経過に伴うハミルトニアンの相対的な強度を記述できる。例示的な例では（ただし、範囲を限定するものではない）、ｔ_ｉｎｉｔ＝０及びｔ_ｆｉｎ＝１であり、ハミルトニアンＨ（ｔ）は以下の形式を有する可能性がある。
Ｈ（ｔ）＝（１－ｔ）Ｈ_ｉｎｉｔ＋ｔＨ^{ＴＯＴＡＬ}
上記の式において、ｔ＝０の場合、Ｈ（ｔ）はＨ_ｉｎｉｔに等しく、ｔ＝１の場合、Ｈ（ｔ）はＨ^{ＴＯＴＡＬ}に等しくなる。

【0143】

初期ハミルトニアンから総ハミルトニアンへの移行は、初期ハミルトニアンのフェードアウト及び総ハミルトニアンのフェードインを含むことができる。フェードアウトには、時間の経過とともに減少する時間依存関数によって表される、対応するハミルトニアンダウンの強度の調整が含まれる場合がある。逆に、フェードインには、時間の経過とともに増加する時間依存関数によって記述される、対応するハミルトニアンの強度の調整が含まれる場合がある。

【0144】

量子システムを発展させることは、量子システムの断熱発展（量子アニーリング）を実行することを含むことができる。初期ハミルトニアンから総ハミルトニアンへの段階的な移行は、断熱的に実行されてもよい。例えば、特定の理論に束縛されるつもりはないが、量子力学の断熱定理を考慮して、量子システムの量子状態は、基底状態になるか、初期ハミルトニアンから総ハミルトニアンへの移行が十分にゆっくりと実行される場合、初期時間から最終時間までの時間パラメータｔの全ての値について、少なくとも全てのハミルトニアンＨ（ｔ）の基底状態によってよく近似される。したがって、断熱発展（量子アニーリング）は、初期時間の初期量子状態を最終時間の最終量子状態に発展させる。最終量子状態は、総ハミルトニアンの基底状態であるか、少なくとも総ハミルトニアンの基底状態式でよく近似される。

【0145】

いくつかの実施形態によれば、中間ハミルトニアンＨ（ｔ）は、初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔ、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}及び追加のハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}（反断熱ハミルトニアン）の線形結合であり得る。ハミルトニアンＨ（ｔ）は、初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔと、論理ゲート回路に関連付けられた短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲと、論理ゲート回路に関連付けられたゲート相互接続ハミルトニアンと、論理ゲート回路に関連付けられた共通変数ハミルトニアンと、出力コード化ハミルトニアンと、反断熱ハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}と、を含む線形結合であり得る。前記線形結合における各ハミルトニアンには係数を与えることができる。前述のように、線形結合におけるハミルトニアンの係数は時間依存関数であり得る。例示的な例では（ただし、範囲を限定するものではない）、ハミルトニアンＨ（ｔ）は以下の形式を有する可能性がある。
Ｈ（ｔ）＝Ａ（ｔ）Ｈ_ｉｎｉｔ＋Ｂ（ｔ）Ｈ^{ＴＯＴＡＬ}＋Ｃ（ｔ）Ｈ_{ｃｏｕｎｔ}
ここで、Ａ（ｔ）、Ｂ（ｔ）及びＣ（ｔ）は、Ａ（ｔ_ｉｎｉｔ）＝１＝Ｂ（ｔ_ｆｉｎ）で、Ａ（ｔ_ｆｉｎ）＝Ｃ（ｔ_ｆｉｎ）＝Ｂ（ｔ_ｉｎｉｔ）＝Ｃ（ｔ_ｉｎｉｔ）＝０であるような時間依存係数である。反断熱ハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}は、初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔと可換でない場合、及び／又は、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}と可換でない場合がある。例えば、初期ハミルトニアンにはσ_Ｘ演算子のみが含まれる場合があり、総ハミルトニアンにはσ_Ｚ演算子のみが含まれる場合があり、反断熱ハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}にはσ_Ｙ演算子のみが含まれる場合がある。例えば、反断熱ハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}はΣ_ｉｂ_ｉＹ_ｉの形式を有する場合がある。ここで、Ｙ_ｉは量子システムのｉ番目の構成要素に作用するパウリσ_Ｙ演算子であり、各ｂ_ｉは係数である。反断熱ハミルトニアンＨ_{ｃｏｕｎｔ}を含む中間ハミルトニアンを有することにより、初期ハミルトニアンを総ハミルトニアンに発展させるための可能な「パス」のより広い空間が利用可能になる。このより大きな空間を利用して、初期ハミルトニアンを総ハミルトニアンに発展させるのに必要な時間を短縮できる。したがって、計算問題を解くためのより高速な実行時間を提供することができる。具体的には、反断熱ハミルトニアンを含む中間ハミルトニアンを経由することにより、初期ハミルトニアンを、発展を通じて量子システムの基底状態に十分に近い状態に維持したまま、断熱過程（又は、非断熱過程、反断熱過程）に従って総ハミルトニアンに発展させることができる。反断熱ハミルトニアンを含む中間ハミルトニアンを経由することにより、初期ハミルトニアンから総ハミルトニアンへの発展は、断熱的に、つまり断熱定理によって許容される速度よりも速く実行され、同時に総ハミルトニアンの基底状態に近い基底状態に到達することができる。

【0146】

量子計算中の量子システムの発展は、デジタル駆動、特にゲートベースの量子計算によって制御され得る。ゲートベースの量子計算では、量子システムの初期状態にユニタリ演算子のシーケンスを適用することによって量子計算が駆動される。ユニタリ演算子のシーケンスとそのパラメータは、少なくとも１つの前の回で量子システムを読み出し（測定し）、古典的なフィードフォワードを使用して後の回で最適化されたシーケンスを適用することにより、Ｎ回の演算で最適化できる。ゲートベースの量子計算技術の背景は、国際公開第２０２０／１５６６８０号に記載されている。国際公開第２０２０／１５６６８０号は、参照することにより組み込まれる。

【0147】

ゲートベースの量子計算の目的は、まず量子近似最適化アルゴリズム（ＱＡＯＡ）でエネルギーＥ_ｍｉｎ＝ｍｉｎ＜Ψ｜Ｈ^{ＴＯＴＡＬ}｜Ψ＞を最小化することである。最小の（又は許容可能な低さの）エネルギーが決定されると、構成要素が、最小の（許容可能な低さの）エネルギーを有する量子状態にあるときに、測定によって読み出される。問題の量子状態は、総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態に近いため、読み出しには、因数分解される整数ｙの素因数に関する情報が含まれる（より一般的には、論理ゲート回路が乗算回路ではない場合、読み出しには、出力ｙに対応する未知の入力に関する情報が含まれる）。ここで、以下の式が成り立つ。

【数15】

ここで、ユニタリ演算子はそれぞれのハミルトニアンの伝播関数であり、｜ｉｎｉｔ＞は初期状態である。つまり、Ｕ_{Ｈｉｎｉｔ}（α）＝ｅｘｐ（－ｉαＨ_ｉｎｉｔ）であり、Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}（β）＝ｅｘｐ（－ｉβＨ^{ＴＯＴＡＬ}）であることを意味する。最小化は、全てのパラメータα_１・・・α_ｍ、β_１・・・β_ｍ（変分パラメータ）に亘って行われる。１つの「グローバル」変分パラメータβを総ハミルトニアンに割り当てる演算子Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}（β）の代わりに、総ハミルトニアンの各項に対して異なる変分パラメータを考慮することも可能であり、結果として、Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}（β^（１），β^（２），β^（３），・・・）として示される複数のパラメータに依存する演算子Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}が得られる。演算子Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}（β^（１），β^（２），β^（３）・・・）は演算子の積である場合があり、積内の各演算子は、形式ｅｘｐ（－ｉβ^（ｊ）Ａ）の伝播関数であり、独自の個々の変分パラメータβ^（ｊ）を有する。ここで、Ａは、（ｉ）短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ、（ii）ゲート相互接続ハミルトニアン、共通変数ハミルトニアン、又は、出力コード化ハミルトニアンである。初期状態｜ｉｎｉｔ＞は、例えば、本明細書に記載の初期ハミルトニアンＨ_ｉｎｉｔの基底状態であってもよい。

【0148】

最小化は、α_１・・・α_ｍ、β_１・・・β_ｍなどの変分パラメータを、異なる演算回で個別に変更する変分法によって実行され得る。異なる演算回で得られたエネルギーを比較すると、より小さなエネルギーをもたらしたユニタリ演算子のシーケンスを選択し、選択したシーケンスを使用して小さな摂動によってパラメータを更に変更することができる。このようにして、最適化の次の回は、フィードフォワードされる前の回の古典的な情報に依存する可能性があり、エネルギーは常に低下するか、少なくとも増加しない。このような変分法の詳細は、国際公開第２０２０／１５６６８０号に記載されている。

【0149】

ユニタリ演算子Ｕ_{Ｈｉｎｉｔ}は局所的であり、単一キュービットの回転及び位相回転によって実現可能である。ユニタリ演算子Ｕ_Ｈ ^{ＴＯＴＡＬ}、より具体的には各制約ハミルトニアンの伝播関数は、国際公開第２０２０／１５６６８０号に記載されているように、ＣＮＯＴゲート及び単一キュービット回転（Ｒ_ｚ）によって実現可能である。

【0150】

本明細書に記載の量子計算方法は、ユニタリ演算子のシーケンスを決定することを含み得る。シーケンス内のユニタリ演算子は、以下のユニタリ演算子のセットから取得できる。すなわち、初期ハミルトニアンの関数であるユニタリ演算子、短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの関数であるユニタリ演算子、ゲート相互接続ハミルトニアンの関数であるユニタリ演算子、共通変数ハミルトニアンの関数であるユニタリ演算子、及び、出力コード化ハミルトニアンの関数であるユニタリ演算子である。関数は指数関数であってもよい。ユニタリ演算子は、前述のハミルトニアンの伝播関数であり得る。関数には変分パラメータが含まれる場合がある。ユニタリ演算子のシーケンス内の各ユニタリ演算子には、独自の変分パラメータが付属する場合がある。

【0151】

量子システムを発展させることは、ユニタリ演算子のシーケンスを量子システムに、具体的には量子システムの初期状態に適用することを含み得る。初期状態は、初期ハミルトニアンの基底状態であってもよい。ユニタリ演算子のシーケンスを適用する際、ユニタリ演算子のパラメータは第１の構成であってもよい。本方法は、第１の読み出しを取得するためにユニタリ演算子のシーケンスを適用した後、量子システムの構成要素の少なくとも一部を測定することを含み得る。本方法は、第１の読み出しから第１のエネルギーを導出することを含んでもよく、第１のエネルギーは、ユニタリ演算子のシーケンスを初期状態に適用した結果得られる量子状態の総ハミルトニアンのエネルギーであり得る。

【0152】

本方法は、ユニタリ演算子の第２のシーケンスを量子システムに、具体的には量子システムの初期状態に適用することを含み得る。ユニタリ演算子の第２のシーケンスを適用する際、ユニタリ演算子のパラメータは、第１の構成とは異なる第２の構成であってもよい。本方法は、第２の読み出しを取得するためにユニタリ演算子の第２のシーケンスを適用した後、量子システムの構成要素の少なくとも一部を測定することを含み得る。本方法は、第２の読み出しから第２のエネルギーを導出することを含んでもよく、第２のエネルギーは、ユニタリ演算子の第２のシーケンスを初期状態に適用した結果得られる量子状態の総ハミルトニアンのエネルギーであり得る。本方法は、第１及び第２の読み出しに応じて第１又は第２のシーケンスを選択すること、具体的には第１のエネルギーが第２のエネルギーよりも低い場合には第１のシーケンスを選択し、第２のエネルギーが第１のエネルギーよりも小さい場合には第２のシーケンスを選択することを含んでもよい。

【0153】

本方法は、ユニタリ演算子の第３のシーケンスを量子システムに、具体的には量子システムの初期状態に適用することを含み得る。ユニタリ演算子の第３のシーケンスを適用する際、ユニタリ演算子のパラメータは第３の構成であってもよく、第１のシーケンスが選択された場合、第３の構成は第１の構成の変形であり、第２のシーケンスが選択された場合、第３の構成は第２のシーケンスの変形である。本方法は、Ｎ回の演算を含むことができ、Ｎ≧２であり、Ｎ回の演算の各回は、パラメータがｉ番目の構成にあるユニタリ演算子のｉ番目のシーケンスの適用を含み、ｉ番目の読み出しを取得するために量子システムの構成要素の少なくとも一部を測定することを含み得る。本方法は、ｉ番目の読み出しからｉ番目のエネルギーを導出することを含んでもよく、ｉ番目のエネルギーは、ユニタリ演算子のｉ番目のシーケンスを初期状態に適用した結果得られる量子状態の総ハミルトニアンのエネルギーであり得る。パラメータのｉ番目の構成は、前の回の演算の１つ以上の読み出し（又は１つ以上のエネルギー）に基づいて決定され得る。ｉ番目の構成は、選択された構成に対応する量子状態のエネルギーが減少する（又は少なくとも増加しない）ように決定され得る。

【0154】

本方法は、Ｎ回目の演算の後、ユニタリ演算子の最終シーケンスを量子システムに、具体的には初期状態に適用して、量子システムを最終状態に発展させることを含んでもよい。最終シーケンスは、そのパラメータの構成がＮ回の演算で決定されたＮ個のエネルギーの最小値を提供するように選択され得る。本方法は、量子システムが最終状態にあるときに、量子システム又はその少なくとも一部を測定することを含み得る。本方法は、この測定値の読み出しから、因数分解される整数の素因数（又は、より一般的には、論理ゲート回路の既知の出力ｙに対応する未知の入力ｘ）を決定することを含み得る。

【0155】

量子システムを発展させることは、総ハミルトニアンの基底状態に向けて量子システムを冷却することを含む場合があり、これは冷却ユニットによって実行することができる。量子ハミルトニアンの基底状態は、温度がゼロの量子状態である。したがって、量子システムを十分に低い温度まで冷却することによって、少なくとも近似的に、総ハミルトニアンの基底状態を準備可能である。このような冷却プロセスは、例えば断熱、反断熱又はゲートベースの発展を更に実行する必要なしに、量子システムを総ハミルトニアンの基底状態（又はそれに近い状態）にすることができる。

【0156】

量子システムの例示的な実行

【0157】

本明細書に記載のように、量子システム及びその構成要素（キュービットなど）は物理的実体である。以下、量子システム／構成要素、及び、量子計算方法に含まれる相互作用の具体的な実行について説明する。しかしながら、本方法は、前記物理的実体及びそれらの相互作用の他の特定の実行に対して行うことができ、例示的な実行は限定的なものとはみなされない。

【0158】

構成要素は、超伝導キュービット、例えばトランスモン又は磁束キュービットであり得る。超伝導キュービットは、一次及び二次超伝導ループを含み得る。一次超電導ループ内をそれぞれ時計回り及び反時計回りに伝播する超伝導電流は、超電導キュービットの量子基底状態｜１＞及び｜０＞を形成することができる。更に、二次超伝導ループを通る磁束バイアスは、量子基底状態｜０＞及び｜１＞を結合可能である。

【0159】

単体ハミルトニアンは、超伝導キュービットと相互作用する複数の磁束によって実現可能である。磁束又は磁束バイアスは、超伝導キュービットの一次超伝導ループ及び二次超伝導ループを通って延びることがある。単体ハミルトニアンのパラメータは、複数の磁束又は磁束バイアスを調整することで調整可能である。或いは、単体ハミルトニアンは、複数の超伝導キュービットと相互作用する複数の電荷によって実現可能である。問題ハミルトニアンのパラメータは、複数の電荷バイアスフィールドを調整することで調整可能である。単体駆動ハミルトニアンを実現するために（例えば、断熱発展の観点から）、超伝導キュービットの一次超伝導ループを通る磁束バイアスは、基底状態｜０＞と｜１＞とが同じエネルギーを有する、すなわち、これらの基底状態のエネルギー差がゼロであるように設定され得る。更に、二次超伝導ループを通る磁束バイアスは、基底状態｜０＞と｜１＞とを結合可能である。その結果、ｈσ_ｘ ^（ｋ）の形式の駆動ハミルトニアンの被加数ハミルトニアンと、したがってＨ_{ｄｒｉｖｅ}＝ｈΣ_ｋσ_ｘ ^（ｋ）の形式の駆動ハミルトニアンも、複数の超伝導キュービットに対して実現可能である。

【0160】

ｄ個のキュービットのグループ（例えば、プラケット）に作用するｄ体ハミルトニアン（ゲート相互接続ハミルトニアン、共通変数ハミルトニアン、出力コード化ハミルトニアン）は、補助キュービットを使用して実現することができる。補助キュービットは、ｄ個のキュービットのグループ内に（例えば、プラケットの中心に）配置され得る。ｃ_ｋｍσ_ｚ ^（ｋ）σ_ｚ ^（ｍ）の形式のキュービット間の相互作用は、結合ユニット、例えば誘導結合ユニットによって実現可能である。結合ユニットは、超伝導量子干渉デバイスを含む。超伝導量子干渉デバイスに調整可能な磁束バイアスを適用すると、係数ｃ_ｋｍを調整できる。ｄ体ハミルトニアンは、Ｃ（σ_ｚ ^（１）＋σ_ｚ ^（２）＋・・・σ_ｚ ^（ｄ）－２σ_ｚ ^（ｐ）－１）^２によって実現可能である。これには、｜０＞及び｜１＞の量子基底状態間に課されたエネルギー差に対応する形式σ_ｚ ^（ｋ）σ_ｚ ^（ｍ）及び単体σ_ｚ ^（ｌ）項の対相互作用のみが含まれる。ここで、σ_ｚ ^（ｐ）は補助キュービットを表す。或いは、プラケットハミルトニアンのようなｄ体ハミルトニアンは、例えばトランスモンキュービットとして３島超伝導デバイスを使用するなど、補助キュービット無しで実現することもできる。結合ユニットに２つの追加の超伝導量子干渉デバイスを統合し、プラケットの４つのキュービットをコプレーナ共振器に容量結合することによって、－Ｃσ_ｚ ^（１）σ_ｚ ^（２）σ_ｚ ^（３）σ_ｚ ^（４）の形式の制約ハミルトニアンを実現可能である。結合係数Ｃは、２つの追加の超電導量子干渉デバイスを介した時間依存性の磁束バイアスによって調整可能である。

【0161】

超伝導キュービットのキュービット状態｜０＞及び｜１＞は、複数の超伝導量子干渉デバイス、具体的にはＮ個のヒステリシスＤＣ超伝導量子干渉デバイスと、バイアス線によって制御されるＮ個のＲＦ超伝導量子干渉デバイスのラッチ（バイアス線の数は√Ｎに従って変化する）と、を含む測定デバイスを使用して、高い忠実度で測定可能である。

【0162】

或いは、量子システムは、キュービットとしてトラップされたイオンのシステムを使用して実現してもよい。この場合、キュービットの量子基底状態｜０＞及び｜１＞は、ゼーマン多様体若しくは超微細多様体の２つの準位によって、又はＣａ４０＋などの、アルカリ土類若しくはアルカリ土類のような正荷電イオンの禁制光学遷移を横切って形成される。個々のイオンは、空間的分離又はエネルギー的分離によって対処可能である。空間的分離の場合には、音響光学偏向器、音響光学変調器、マイクロミラーデバイスなどを通過した、及び／又は、反射したレーザビームの使用が含まれる。エネルギー的分離の場合には、内部遷移周波数を変化させる磁場勾配の使用が含まれ、これにより、エネルギー差による選択、つまり印加磁場の離調が可能になる。単体ハミルトニアンは、内部遷移と共鳴又は非共鳴するレーザフィールド又はマイクロ波によって、或いは、空間磁場の差によって実現可能である。イオン間の相互作用は、フォノンバスを介して伝達可能である。この目的のために、フォノンの青側及び／又は赤側のバンド遷移に関して離調されたレーザ又はマイクロ波を使用可能である。レーザの強度及び離調により、相互作用の強度を調整できる。リュードベリ励起による直接相互作用も使用可能である。イオンは、イオンを２つの量子基底状態のうちの１つに決定論的に移すレーザを使用する光ポンピングによって初期化（初期状態に準備）することができる。このプロセスはエントロピーを減少させるため、イオンの内部状態の冷却とみなすことができる。単体ユニタリ演算子ｅｘｐ（ｉｔσ_ｘ）又はｅｘｐ（ｉｔσ_ｚ）は、制御された磁気双極子遷移又は制御されたラマン遷移によって実現可能である。イオンベースの量子システムの測定は、蛍光分光法によって行うことができる。そこでは、イオンが２つのスピン状態のいずれかにある場合、イオンは短い寿命で遷移する。その結果、駆動状態にあるイオンは多くの光子を放出するが、他のイオンは暗いままになる。放出された光子は、市販のＣＣＤカメラで記録できる。ブロッホ球上の任意の方向の測定は、蛍光分光法に先立って適切な単一キュービットパルスによって行われる。

【0163】

更に別の代替として、量子システムは、レーザフィールドから光格子又は大きな間隔の格子にトラップされた超低温原子、例えば超低温の中性アルカリ原子を使用して実現されてもよい。前記原子は、レーザ冷却を使用して、基底状態に向かって発展可能である。キュービットの量子基底状態は、原子の基底状態と高位のリュードベリ状態とによって形成可能である。キュービットはレーザ光によって対処可能である。単体ハミルトニアンは、レーザ周波数に対する電子遷移周波数の離調の変化によって実現可能である。キュービット間の相互作用は、ｄ個の原子を励起するレーザの離調によって制御可能である。この場合、ハミルトニアンはｄ体ハミルトニアンである。ｄ体ハミルトニアンは、ｄ体相互作用から又は２体相互作用を有する補助キュービットから実行され得る。初期状態は、基底状態にある原子を大きな離調を伴ってリュードベリ状態に励起することによって準備され得る。単体ユニタリ演算子ｅｘｐ（ｉｔσ_ｘ）又はｅｘｐ（ｉｔσ_ｚ）は、リュードベリ遷移の離調レーザ駆動で実現可能である。キュービットは、基底状態原子の選択的スイープ及びシングルサイト解像度での蛍光イメージングを実行することによって測定可能である。

【0164】

更に別の代替として、量子システムは、量子ドットを用いて実現されてもよい。量子ドットキュービットは、ＧａＡｓ／ＡｌＧａＡｓヘテロ構造から製造し得る。キュービットはスピン状態でコード化されており、これはポテンシャルを単一井戸から二重井戸ポテンシャルに断熱的に調整することによって準備し得る。単体ハミルトニアンは、電場を用いて実現可能である。初期状態では、各キュービットは、｜０＞又は｜１＞の状態で準備される。これは、強力な追加磁場を使用して単一井戸から二重井戸に断熱的に切り替えることによって実行される。２つのキュービット間の相互作用は、電場勾配及び磁場によって調整可能である。ｄ体ハミルトニアンは、追加の補助キュービットと、パルスシーケンス及び磁場で実現される相互作用とを使用することによって実現され得る。単体ユニタリ演算子ｅｘｐ（ｉｔσ_ｘ）又はｅｘｐ（ｉｔσ_ｚ）は、電気パルスシーケンス及び磁場を使用して実現可能である。量子ドットキュービットは、急速な断熱通過によってパルスシーケンスから読み出すことができる。

【0165】

更に別の代替として、量子システムは、ダイヤモンド結晶の点欠陥であるＮＶセンターなどの固体結晶中の不純物を用いて実現し得る。他の不純物、例えば、クロム不純物に関連する色中心、固体結晶内の希土類イオン、又は、炭化ケイ素の欠陥中心が使用される可能性がある。ＮＶセンターは、２つの不対電子を有し、スピン１の基底状態を提供する。これにより、おそらく周囲の核スピンと組み合わせてキュービットを実現するために使用できる、長寿命を有する２つの鋭い欠陥準位の特定が可能になる。マイクロ波パルスの印加による磁気共鳴を使用すると、キュービット状態をナノ秒の時間スケールでコヒーレントに操作することができる。選択的な単一キュービット操作は、近くの核スピンの状態を条件として達成することもできる。短距離ハミルトニアンを実現するためのＮＶセンター間の相互作用は、ＮＶセンターを光場に結合することによって伝達可能である。ＮＶセンターを用いて実現される量子システムの場合、ＮＶセンターは、標準的な光学共焦点顕微鏡技術を使用することによって個別に対処され得る。初期化（初期状態の準備）及び測定は、非共鳴又は共鳴光励起によって実行可能である。単一キュービット演算は、核スピンを電子スピンに結合し、電子スピンをマイクロ波駆動することによって実行される。

【0166】

実施形態

【0167】

一実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートのうちの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素と関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、整数に基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法には、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットの実行を含む、量子システムを発展させることが含まれる。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを得ることを含む。量子計算方法には、読み出しに基づいて整数の素因数を決定することが含まれる。

【0168】

論理ゲート回路が「決定される」ということは、量子計算方法の後続の演算を実行できるように、論理ゲート回路の記述がユーザ又は装置に利用可能になるという意味で理解することができる。論理ゲート回路を決定することは、例えば、論理ゲート回路の記述をそれが記憶されているメモリから検索すること、論理ゲート回路の記述を受信すること、例えば、論理ゲート回路の記述が別の場所からユーザ又は装置に伝達される場合に当該記述を受信すること、又は、例えば、特定の前処理操作を実行して、論理ゲート回路の記述が何であるかを決定することによって当該記述を計算すること、を含むことができる。

【0169】

「複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定する」という表現における「１つ」という用語は、複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、「１つの」ゲートコード化ハミルトニアンが決定されるという意味で理解されるべきである。問題の表現は、所定の論理ゲートに対して複数の、つまり１以上のゲートコード化ハミルトニアンが決定されることを除外するものではない。つまり、前述の表現における「１つ」という用語は、「１つだけ」という限定された意味ではなく、「少なくとも１つ」、換言すれば「１つ、場合によってはそれより多くの」という意味で理解されるべきである。

【0170】

複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、古典的ハミルトニアン又は量子ハミルトニアンであってもよい。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートのうちの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化する基底空間を有することができる。基底空間は、論理ゲートの真理値表をコード化することができる。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、論理変数を有する論理ゲートの入出力関係をコード化することができ、論理変数には、論理ゲートの１つ以上の入力変数（例えば、ｕ，ｖ，・・・）及び１つ以上の出力（例えば、ｓ’，ｃ’，・・・）が含まれる。ゲートコード化ハミルトニアンには、論理ゲートの論理変数毎に１つずつ、スピン観測可能量（例えば、σ_ｕ，σ_ｖ，σ_ｓ’，σ_ｃ’・・・）が含まれる場合がある。各スピン観測可能量は、古典的スピン又は量子観測可能量であり得る。

【0171】

複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、古典的ハミルトニアン又は量子ハミルトニアンであってもよい。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートのうちの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化する基底空間を有することができる。基底空間は、論理ゲートの真理値表をコード化することができる。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンは、論理変数を有する論理ゲートの入出力関係をコード化することができ、論理変数には、論理ゲートの１つ以上の入力変数（例えば、ｕ，ｖ，・・・）及び１つ以上の出力（例えば、ｓ’，ｃ’，・・・）が含まれる。ゲートコード化ハミルトニアンには、論理ゲートの論理変数毎に１つずつ、スピン観測可能量（例えば、σ_ｕ，σ_ｖ，σ_ｓ’，σ_ｃ’・・・）が含まれる場合がある。各スピン観測可能量は、古典的スピン又は量子観測可能量であり得る。

【0172】

短距離量子相互作用の第１のセットを決定することは、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンに対して、ゲートコード化ハミルトニアンから短距離量子相互作用を決定することを含み得る。短距離量子相互作用は、本明細書に記載の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲによって表される相互作用であり得る。決定された短距離量子相互作用は、短距離量子相互作用の第１のセットに含まれてもよい。決定された短距離量子相互作用は、ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられたローカルサブシステム内で作用する可能性がある。本明細書に記載の短距離量子相互作用の第１のセットを実行することは、決定された短距離量子相互作用を実行することを含むことができる。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに関連付けられた短距離量子相互作用及び／又は短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇに関連付けられたローカルサブシステムに論理ゲートＧの入出力関係をコード化するように構成され得る。単体相互作用は、量子システムの単体ハミルトニアンで表現可能な相互作用として理解できる。単体相互作用は、例えば、量子システムの単一の構成要素を外部場と相互作用させることによって実現できる。

【0173】

本明細書に記載の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することは、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、ゲートコード化ハミルトニアンから単体相互作用を決定することを含み得る。決定された単体相互作用は、短距離量子相互作用の第１のセットに含まれる可能性がある。短距離量子相互作用の第１のセットを実行することは、決定された単体相互作用を実行することを含むことができる。決定された単体相互作用は、ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられたローカルサブシステム内で動作する単体ハミルトニアンＨ_{１－ｂｏｄｙ}によって表現できる可能性がある。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、相互作用係数を有し得る。相互作用係数は、複数の単体相互作用のうちの１つの単体相互作用にマッピングされてもよい。単体相互作用は相互作用係数の関数であり得る。

【0174】

本明細書に記載の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することは、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンに対して、ゲートコード化ハミルトニアンから１つ以上の制約相互作用を決定することを含み得る。１つ以上の制約相互作用は、短距離量子相互作用の第１のセットに含まれてもよい。短距離量子相互作用の第１のセットを実行することは、決定された１つ以上の制約相互作用を実行することを含み得る。１つ以上の制約相互作用は、ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられたローカルサブシステム内で作用する制約ハミルトニアンＨ_ｃｏｎｓによって表現可能であり得る。ゲートコード化ハミルトニアンから決定される制約相互作用及び／又は制約ハミルトニアンは、ゲートハミルトニアンのキュービット又は古典的スピンと、ゲートコード化ハミルトニアンの被加数ハミルトニアンに関連付けられた構成要素との間の一貫性を与えるように構成され得る。制約相互作用及び／又は制約ハミルトニアンは、短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの基底空間をゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの１つ以上の特性と一致させるように構成され得る。１つ以上の特性のそれぞれは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_Ｇの被加数ハミルトニアンのサブセットの積が恒等に比例すること、又は、Ｈ_Ｇの全ての被加数ハミルトニアンの積が恒等に比例することを規定することができる。

【0175】

本明細書に記載の論理ゲート回路は、論理ゲートのペア間のゲート相互接続を含むことができる。同じ論理変数が第１の論理ゲートの出力変数と第２の論理ゲートの入力変数との両方である場合、第１の論理ゲートと第２の論理ゲートとの間にゲート相互接続が存在する。短距離量子相互作用の第１のセットを決定することは、複数のゲート相互接続の各ゲート相互接続について、ゲート相互接続からゲート相互接続相互作用又はゲート相互接続のセットを決定することを含み得る。ゲート相互接続から決定される各ゲート相互接続又はゲート相互接続相互作用のセットは、量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアンによって表すことができる。ゲート相互接続ハミルトニアンは、第１のローカルサブシステム及び第２のローカルサブシステムに共同して作用することができる。第１のローカルサブシステムは、第１のゲートコード化ハミルトニアンと関連付けることができる。第２のローカルサブシステムは、第２のゲートコード化ハミルトニアンと関連付けることができる。第１のゲートコード化ハミルトニアン及び第２のゲートコード化ハミルトニアンは、それぞれ、論理ゲートの第１の論理ゲート及び第２の論理ゲートに関連付けることができる。第１の論理ゲート及び第２の論理ゲートは、複数のゲート相互接続のうちの１つのゲート相互接続によって互いに接続されてもよい。ゲート相互接続及び／又はゲート相互接続ハミルトニアンは、量子システムにおける論理ゲート回路のゲート相互接続をコード化するように構成され得る。

【0176】

決定されたゲート相互接続相互作用は、短距離量子相互作用の第１のセットに含まれてもよい。短距離量子相互作用の第１のセットを実行することには、決定されたゲート相互接続相互作用を実行することが含まれる。

【0177】

本明細書に記載の論理ゲート回路は、共通変数を含むことができる。共通変数は、２つ以上の論理ゲートのグループ内の各論理ゲートの入力変数である同じ論理変数である。短距離量子相互作用の第１のセットを決定することは、共通変数相互作用、又は、共通変数のセットの各共通変数から共通変数相互作用のセットを決定することを含み得る。共通変数から決定される共通変数相互作用又は共通変数相互作用のセットは、量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンによって表現可能であり得る。共通変数ハミルトニアンは、第１のローカルサブシステム及び第２のローカルサブシステムに共同して作用することができる。第１のローカルサブシステムは、第１のゲートコード化ハミルトニアンと関連付けることができる。第２のローカルサブシステムは、第２のゲートコード化ハミルトニアンと関連付けることができる。第１のゲートコード化ハミルトニアン及び第２のゲートコード化ハミルトニアンは、それぞれ、論理ゲートの第１の論理ゲート及び第２の論理ゲートに関連付けることができる。

【0178】

問題の共通変数は、第１の論理ゲート及び第２の論理ゲートの両方の入力変数であってもよい。共通変数相互作用及び／又は共通変数ハミルトニアンは、論理ゲート回路における共通変数の出現を量子システムにコード化するために構成され得る。

【0179】

決定された共通変数相互作用は、短距離量子相互作用の第１のセットに含まれてもよい。短距離量子相互作用の第１のセットを実行することには、決定された共通変数相互作用を実行することが含まれる。

【0180】

短距離量子相互作用の第２のセットを決定することは、因数分解される整数から、又は、より一般的には論理ゲート回路の出力から（論理ゲート回路が乗算回路でない場合）、出力コード化相互作用のセットを決定することを含んでもよい。出力コード化相互作用のセットは、出力コード化ハミルトニアンによって表現できる場合がある。出力コード化ハミルトニアンは、２体ハミルトニアンであってもよい。決定された出力コード化相互作用は、短距離量子相互作用の第２のセットに含まれてもよい。短距離量子相互作用の第２のセットを実行することには、決定された出力コード化相互作用を実行することが含まれる。出力コード化相互作用及び／又は出力コード化ハミルトニアンは、因数分解される整数、より一般的には論理ゲート回路の出力を、量子システムにコード化するように構成され得る。

【0181】

本明細書に記載の量子システムを発展させることは、総ハミルトニアン、例えば本明細書に記載の総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態に向けて量子システムを発展させることを含み得る。総ハミルトニアンは、第１のハミルトニアンと第２のハミルトニアンとを含む総和であってもよい。第１のハミルトニアンは、本明細書に記載のように、短距離量子相互作用の第１のセットを表すことができる。第１のハミルトニアンは、決定された単体相互作用に対応する単体ハミルトニアンと、決定された制約相互作用に対応する制約ハミルトニアンと、決定されたゲート相互接続相互作用に対応するゲート相互接続ハミルトニアンと、決定された共通変数相互作用に対応する共通変数ハミルトニアンと、又はそれらの任意の組み合わせとを含む総和であり得る。第２の量子ハミルトニアンは、本明細書に記載のように、短距離量子相互作用の第２のセットを表すことができる。第２のハミルトニアンは、本明細書に記載のゲートコード化ハミルトニアンであってもよい。総ハミルトニアンの基底状態は、因数分解される整数の少なくとも１つの素因数、又はより一般的には、問題の論理ゲート回路の未知の入力（論理ゲート回路が乗算回路でない場合）をコード化し得るか、或いは、少なくとも素因数／未知の入力を決定できるようにする情報をコード化し得る。本明細書に記載のように、読み出しを取得するために量子システムの少なくとも一部を測定することは、量子システムが総ハミルトニアンの基底状態と等しいかほぼ等しい量子状態にあるときに測定を実行することを含み得る。

【0182】

本明細書に記載の量子システムを発展させることには、量子システムを冷却することと、量子システムの断熱発展を実行することと、量子システムの反断熱発展を実行することと、量子システムのゲートベースの発展を実行することと、又はそれらの任意の組み合わせとが含まれる場合がある。

【0183】

本明細書に記載の論理ゲート回路の論理ゲートは、ＡＮＤゲート及び／又はＡＮＤ．ＦＡゲートを含むことができる。具体的には、複数の論理ゲートの各論理ゲートは、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートのうちの１つであり得る。

【0184】

ＡＮＤゲートである複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、論理ゲートに関連付けられたゲートコード化ハミルトニアンは、以下の形式を有し得る。

【数16】

ここで、σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓは、それぞれ論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量であり得る。スピン観測可能量は、古典的スピン又は量子観測可能量であり得る。論理変数ｕ及びｖは、ＡＮＤゲートの入力変数であってもよく、論理変数ｓは、ＡＮＤゲートの出力変数であってもよい。

【0185】

ＡＮＤ．ＦＡゲートである複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、論理ゲートに関連付けられたゲートコード化ハミルトニアンは、以下の形式を有し得る。

【数17】

ここで、σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及び／ｃ’に関連付けられたスピン観測可能量であり得る。スピン観測可能量は、古典的スピン又は量子観測可能量であり得る。論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃはＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数であり、論理変数ｓ’及びｃ’はＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数であり得る。

【0186】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定することを含み、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含む。量子計算方法は、論理ゲートに基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。決定することは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセットを決定することと、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用において論理ゲートをコード化することとを含む。量子計算方法は、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法には、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含む、量子システムを発展させることが含まれる。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法には、読み出しに基づいて整数の素因数を決定することが含まれる。整数の素因数分解を実行する量子計算方法は、本明細書に記載の量子計算方法に関連して説明される特徴又は態様のいずれかを含むことができる。

【0187】

量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して、論理ゲートからゲートコード化ハミルトニアンを決定することを含んでもよい。ゲートコード化ハミルトニアンは、論理ゲートの入出力関係をコード化することができ、被加数ハミルトニアンの総和になり得る。各被加数ハミルトニアンは、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセットの各構成要素に関連付けることができる。

【0188】

量子システムは、本明細書に記載のように、それぞれが構成要素のサブセットを含むローカルサブシステムを含むことができる。複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、論理ゲートから決定されたゲートコード化ハミルトニアンをローカルサブシステムに関連付けることができる。ローカルサブシステムには、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセットが含まれる場合がある。

【0189】

複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で論理ゲートをコード化することは、本明細書に記載のように、論理ゲートから決定されたゲートコード化ハミルトニアンから単体相互作用を決定することを含むことができる。決定された単体相互作用は、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセット内で作用する単体量子ハミルトニアンによって表すことができる。

【0190】

複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で論理ゲートをコード化することは、本明細書に記載のように、論理ゲートから決定されたゲートコード化ハミルトニアンから１つ以上の制約相互作用を決定することを含むことができる。決定された制約相互作用は、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセット内で作用する制約ハミルトニアンによって表すことができる。

【0191】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の又は量子計算のための基本的サブルーチンが提供される。基本的サブルーチンには、少なくとも４つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムを決定することが含まれる。以下の式で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの各被加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられている。

【数18】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、論理変数ｕ及びｖを入力変数として有し、論理変数ｓを出力変数として有するＡＮＤゲートの入出力関係をコード化する。ここで、σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓはそれぞれ論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量である。基本的サブルーチンには、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することが含まれる。基本的サブルーチンには、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させることが含まれる。基本的サブルーチンは、前述の量子計算方法に関連して説明した特徴又は態様のいずれかを含むか、又はそれらと組み合わせることができる。

【0192】

基本的サブシステムは、本明細書に記載のローカルサブシステムであってもよい。基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することには、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから単体相互作用を決定することが含まれる場合がある。決定された単体相互作用は、ローカルサブシステム内で作用する単体ハミルトニアンによって表現され得る。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの各被加数ハミルトニアンは相互作用係数を有する場合がある。相互作用係数は単体相互作用にマッピングできる。単体相互作用は相互作用係数の関数であり得る。決定された短距離量子相互作用を基本的サブシステムで実行することは、決定された単体相互作用を実行することを含み得る。基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから１つ以上の制約相互作用を決定することを含む場合がある。決定された１つ以上の制約相互作用は、ローカルサブシステム内で作用する制約ハミルトニアンによって表現可能である。決定された短距離量子相互作用を基本的サブシステムで実行することは、決定された１つ以上の制約相互作用を実行することを含み得る。

【0193】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の又は量子計算のための基本的サブルーチンが提供される。基本的サブルーチンには、少なくとも８つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムを決定することが含まれる。以下の式で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の被各加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられている。

【数19】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃを入力変数として有し、論理変数ｓ’及びｃ’を出力変数として有するＡＮＤ．ＦＡゲートの入出力関係をコード化する。ここで、σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である。基本的サブルーチンには、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することが含まれる。基本的サブルーチンには、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させることが含まれる。基本的サブルーチンは、前述の量子計算方法に関連して説明した特徴又は態様のいずれかを含むか、又はそれらと組み合わせることができる。

【0194】

基本的サブシステムは、本明細書に記載のローカルサブシステムであってもよい。基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することには、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から単体相互作用を決定することが含まれる場合がある。決定された単体相互作用は、ローカルサブシステム内で作用する単体ハミルトニアンによって表現され得る。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の各被加数ハミルトニアンは相互作用係数を有する場合がある。相互作用係数は単体相互作用にマッピングできる。単体相互作用は相互作用係数の関数であり得る。決定された短距離量子相互作用を基本的サブシステムで実行することは、決定された単体相互作用を実行することを含むことができる。基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定することは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から１つ以上の制約相互作用を決定することを含む場合がある。決定された１つ以上の制約相互作用は、ローカルサブシステム内で作用する制約ハミルトニアンによって表現可能である。決定された短距離量子相互作用を基本的サブシステムで実行することは、決定された１つ以上の制約相互作用を実行することを含み得る。

【0195】

更なる実施形態によれば、量子計算を実行する方法が提供される。本方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含む。本方法は、本明細書に記載の１つ以上の基本的サブルーチン、例えば、ＡＮＤゲートに関わる１つ以上の基本的サブルーチン及び／又はＡＮＤ．ＦＡゲートに関わる１つ以上の基本的サブルーチンを実行することを含む。本方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。

【0196】

一実施形態によれば、論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転する量子計算方法が提供される。量子計算方法は、論理ゲート回路の未知の入力に対応する論理ゲート回路の出力を提供することを含む。量子計算方法は、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定することを含み、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。量子計算方法は、構成要素を含む量子システムを提供することを含み、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素と関連付けられる。量子計算方法は、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定することを含む。量子計算方法は、論理ゲート回路の出力に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定することを含む。量子計算方法には、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させることが含まれる。量子計算方法は、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得することを含む。量子計算方法には、読み出しに基づいて論理ゲート回路の未知の入力を決定することが含まれる。量子計算方法は、前述の量子計算方法に関連して説明された特徴又は態様のいずれかを含むことができる。量子計算方法は、整数の素因数分解を行う方法であってもよい。論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成され得る。本明細書に記載のように、読み出しに基づいて未知の入力を決定することは、整数の素因数を決定することを含むことができる。

【0197】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行するための装置が提供される。本装置は古典的計算システムを含む。本装置は構成要素を備えた量子システムを含む。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するように構成され、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。古典的計算システムは、複数の論理ゲートの各論理ゲートに対して１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するように構成され、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。ここで、複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。古典的計算システムは、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。古典的計算システムは、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成される。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、更に、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するように構成されている。本装置は、本明細書に記載のいずれかの実施形態に従って、量子計算方法又はその一部を実行するように構成され得る。量子計算方法に関連して前述した特徴及び態様は、本装置の実施形態にも適用可能である。

【0198】

本明細書に記載の量子処理ユニットは、量子システムを冷却するための冷却システムを含むことができる。量子処理ユニットは、量子システムの断熱発展を実行するように構成され得る。量子処理ユニットは、量子システムの反逆断熱発展を実行するように構成され得る。量子処理ユニットは、量子システムのユニタリ発展を実行するように構成され得る。量子処理ユニットは、前述の態様を任意に組み合わせて構成することができる。

【0199】

更なる実施形態によれば、整数の素因数分解を実行するための装置が提供される。本装置は古典的計算システムを含む。本装置は構成要素を備えた量子システムを含む。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するように構成され、論理ゲート回路は、出力として整数を有する乗算関数を計算するように構成されている。古典的計算システムは、論理ゲートに基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。第１のセットを決定することは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に、論理ゲートに関連付けられた構成要素のサブセットを決定することと、構成要素のサブセットの短距離量子相互作用において論理ゲートをコード化することとを含む。古典的計算システムは、整数に基づいて構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成されている。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、更に、読み出しに基づいて整数の素因数を決定するように構成されている。本装置は、本明細書に記載のいずれかの実施形態に従って、量子計算方法又はその一部を実行するように構成され得る。量子計算方法に関連して前述した特徴及び態様は、本装置の実施形態にも適用可能である。

【0200】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンを実行するためのコンポーネントが提供される。本コンポーネントには、古典的計算システムが含まれる。本コンポーネントには、少なくとも４つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムが含まれる。Ｈ_ＡＮＤ＝－σ_ｓ－σ_ｕσ_ｓ－σ_ｖσ_ｓ＋σ_ｕσ_ｖσ_ｓで定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの各被加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられる。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、論理変数ｕ及びｖを入力変数として有し、論理変数ｓを出力変数として有するＡＮＤゲートの入出力関係をコード化する。ここで、σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓは、論理変数ｕ、ｖ及びｓにそれぞれ関連付けられたスピン観測可能量である。本コンポーネントには量子処理ユニットが含まれる。古典的計算システムは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するように構成されている。量子処理ユニットは、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させるように構成されている。本コンポーネントは、本明細書に記載の実施形態に従って基本的サブルーチンを実行するように構成され得る。

【0201】

更なる実施形態によれば、構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンを実行するためのコンポーネントが提供される。本コンポーネントには、古典的計算システムが含まれる。本コンポーネントには、少なくとも８つの構成要素を含む量子システムの基本的サブシステムが含まれる。以下の式で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の各被加数ハミルトニアンは、基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられる。

【数20】

ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃを入力変数として有し、論理変数ｓ’及びｃ’を出力変数として有するＡＮＤ．ＦＡゲートの入出力関係をコード化する。ここで、σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である。本コンポーネントには量子処理ユニットが含まれる。古典的計算システムは、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するように構成されている。量子処理ユニットは、基本的サブシステムで決定された短距離量子相互作用を実行することを含み、量子システムを発展させるように構成されている。本コンポーネントは、本明細書に記載の実施形態に従って基本的サブルーチンを実行するように構成され得る。

【0202】

更なる実施形態によれば、論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転するための装置が提供される。本装置には古典的計算システムが含まれる。本装置には、構成要素を含む量子システムが含まれる。本装置は量子処理ユニットを含む。本装置は測定ユニットを含む。古典的計算システムは、論理ゲート回路の未知の入力に対応する論理ゲート回路の出力を提供するように構成されている。古典的計算システムは、複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するように構成され、各ゲートコード化ハミルトニアンは、複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である。複数のゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、量子システムの各構成要素に関連付けられる。古典的計算システムは、論理ゲート回路の論理ゲートに基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するように構成されている。古典的計算システムは、論理ゲート回路の出力に基づいて、構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するように構成されている。量子処理ユニットは、短距離量子相互作用の第１のセット及び短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、量子システムを発展させるように構成される。測定ユニットは、量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されている。古典的計算システムは、更に、読み出しに基づいて論理ゲート回路の未知の入力を決定するように構成されている。本装置は、本明細書に記載のいずれかの実施形態に従って、量子計算方法又はその一部を実行するように構成され得る。量子計算方法に関連して前述した特徴及び態様は、本装置の実施形態にも適用可能である。

【0203】

更なる態様

【0204】

更なる態様は、図１３から図２０に関連して以下に説明される。

【0205】

図１３は、本明細書に記載の乗算回路を示す。因数分解（素因数分解）は、乗算回路を逆に実行すると考えることができる。左から右への矢印は乗算を示し、逆の矢印は因数分解を示す。不可逆ゲートである乗算回路の論理ゲート（ＡＮＤゲート、ＡＮＤ．ＦＡゲート）は、対応するゲートコード化ハミルトニアンにマッピングされる。後者のハミルトニアンは、各論理ゲートの入出力関係（真理値表）が対応するゲートコード化ハミルトニアンの基底空間にコード化されるため、論理ゲートの可逆コード化を提供する。可逆コード化により、乗算回路を反転できる。

【0206】

図１４は、本明細書に記載の実施形態に係る方法を示す。図１４の下部には、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートで構成される乗算回路が示されてる。乗算回路は、図の上部に示す量子システムにマッピングされる。各ＡＮＤゲートは、プラケットを形成する４つのキュービットで構成されるローカルサブシステムにマッピングされる。各ＡＮＤ．ＦＡゲートは、体心立方体を形成する９つのキュービットで構成されるローカルサブシステムにマッピングされる。短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ又はＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲは、各ローカルサブシステムに作用する。ローカルサブシステムは、ゲート相互接続ハミルトニアン及び共通変数ハミルトニアンを使用して結合されており、その一部は図１４にそれぞれ三角形及び四角形で示されている。

【0207】

図１５（ｉ）は、量子システムのＡＮＤゲート（左）及び関連するローカルサブシステム（右）を示す。ローカルサブシステムは、プラケットの角に配置された４つのキュービットで構成される。短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲは、ローカルサブシステムに作用し得る。ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲは、単体ハミルトニアン及び制約ハミルトニアンの総計である。単体ハミルトニアンは、係数＋１又は－１（相互作用係数）を有するパウリσ_Ｚ演算子の総計である。係数＋１及び－１は、それぞれ白丸及び破線の丸で示されている。制約ハミルトニアンは、係数（－ｋなど、ｋは正の数）が与えられた、プラケットの４つのキュービットに作用するパウリσ_Ｚ演算子のテンソル積によって与えられる４体ハミルトニアンである。制約ハミルトニアンは、４つのキュービットを接続する４本の実線によって形成される形状によって示される。

【0208】

図１５（ｉｉ）は、量子システムのＡＮＤ．ＦＡゲート（左）及び関連するローカルサブシステム（右）を示す。ローカルサブシステムには８つのキュービット（一次キュービット）が含まれている。図１５（ｉｉ）には、４つのキュービットからなる２つのグループが示されており、１つのグループの各キュービットは各プラケットの角に配置されている。左のプラケットが「総和プラケット」、右のプラケットが「キャリープラケット」である。２つのプラケットを互いに積み重ねて立方体を形成することができ、総和プラケットが立方体の底部のプラケットとなる。短距離量子ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲは、ローカルサブシステムに作用し得る。ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲは、単体ハミルトニアン及び制約ハミルトニアンの総和である。単体ハミルトニアンは、係数＋１又は－１（相互作用係数）を有するパウリσ_Ｚ演算子の総和である。係数＋１及び－１は、それぞれ白丸及び破線の丸で示されている。制約ハミルトニアンは、２つの項の総和によって与えられる４体ハミルトニアンである。つまり、第１項は、総和プラケット（係数が与えられる）に作用するパウリσ_Ｚ演算子のテンソル積であり、第２項は、キャリープラケット（これにも係数が与えられる）に作用するパウリσ_Ｚ演算子のテンソル積である。制約ハミルトニアンの第１項は、総和プラケットの４つのキュービットを接続する線によって示される。第２項は、キャリープラケットの４つのキュービットを接続する線によって示される。

【0209】

図１５（ｉｉｉ）は、２つのＡＮＤゲート（左）及び２つの関連するローカルサブシステム（右）を示し、各ローカルサブシステムは、プラケット上に配置された４つのキュービットのグループとして示されている。２つのＡＮＤゲートは共通変数ｑ_０を有し、これは２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンの存在によって量子システムに反映される。共通変数ハミルトニアンは斜線領域で示されている。共通変数ハミルトニアンは、第１のＡＮＤゲート（左側のプラケット）に関連付けられたローカルサブシステムの２つのキュービットと、第２のＡＮＤゲート（右側のプラケット）に関連付けられたローカルサブシステムの２つのキュービットとに作用するパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）の４体テンソル積である。

【0210】

図１５（ｉｖ）は、共通変数ｑ_０を有する２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを示す。更に、２つのゲート間に相互接続が存在する。つまり、変数ｃ_１は、一方のＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数であり、他方のＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数でもある。図１５（ｉｖ）は更に、２つの関連するローカルサブシステムを示す。各ローカルサブシステムは、立方体の角に配置された８つのキュービット（一次キュービット）、及び、立方体の中心にある追加のキュービット（二次キュービット、キャリーキュービット）で構成される。つまり、各ローカルサブシステムは、体心立方体の形状を有する。共通変数ｑ_０は、２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンの存在によって反映される。共通変数ハミルトニアンは、ハッチングを施した四角形で示される。共通変数ハミルトニアンは、第１のＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステムの総和プラケットの２つのキュービット、及び、第２のＡＮＤゲートに関連付けられたローカルサブシステムの総和プラケットの２つのキュービットに作用するパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）の４体テンソル積である。変数ｃ_１に関連する相互接続は、２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続のハミルトニアンによって反映される。ゲート相互接続ハミルトニアンは、３つの項、すなわち第１項、第２項及び第３項の総和である３体ハミルトニアンである。第１項は、２つの二次キュービット（キャリーキュービット）と、２つのローカルサブシステムのうちの第１のローカルサブシステムの一次キュービットとに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第２項は、２つの更なる一次キュービットと、第１のローカルシステムの二次キュービットに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第３項は、第２項に似ているが、第２のローカルサブシステムに適用される。第１項、第２項及び第３項はそれぞれ三角形で示されている。

【0211】

図１５（ｖ）は、相互接続が存在する２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを示し、変数ｓ_１は一方のＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数であり、他方のＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数である。図１５（ｖ）は、更に、２つの関連するローカルサブシステムを示しており、各ローカルサブシステムは、前述のように体心立方体である。変数ｓ_１に関連するゲート相互接続は、２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアンによって反映される。ゲート相互接続ハミルトニアンは、３つの項、すなわち第１項、第２項及び第３項の総和である４体ハミルトニアンである。第１項は、２つのローカルサブシステムそれぞれの各二次キュービット（キャリーキュービット）と１つの各一次キュービットとに作用する４つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第２項は、２つの更なる一次キュービットと第１のローカルシステムの二次キュービットとに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第３項は、第２項に似ているが、第２のローカルサブシステムに適用される。第１項は四角形で示され、第２項及び第３項は三角形で示される。

【0212】

図１５（ｖｉ）は、ＡＮＤ．ＦＡゲートに接続されたＡＮＤゲートを示し、変数ｓ_１は、ＡＮＤゲートの出力変数であるとともに、ＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数である。図１５（ｖｉ）は、更に、２つの関連するローカルサブシステム、すなわちＡＮＤゲートに関連付けられたプラケット及びＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられた体心立方体を示す。変数ｓ_１に関連するゲート相互接続は、２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアンによって反映される。ゲート相互接続ハミルトニアンは、第１項及び第２項の総和である３体ハミルトニアンである。第１項は、ＡＮＤゲートに関連付けられたローカルサブシステムのキュービット、並びに、ＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステムの１次キュービット及び２次キュービット（キャリーキュービット）に作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第２項は、体心立方体の二次キュービット及び２つの更なる一次キュービットに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第１項及び第２項はそれぞれ三角形で示されている。

【0213】

図１５（ｖｉｉ）は、ゲート相互接続が間に存在する２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを示し、変数ｃｓは、一方のＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数であり、他方のＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数でもある。更に、ｐ_ｋは両方のＡＮＤ．ＦＡゲートの共通の入力変数である。図１５（ｖｉｉ）は、更に、２つの関連するローカルサブシステムを示しており、各ローカルサブシステムは、前述のように体心立方体である。ゲート相互接続は、２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアンによって反映される。ゲート相互接続ハミルトニアンは、３つの項、すなわち第１項、第２項及び第３項の総和である３体ハミルトニアンである。第１項は、２つの二次キュービット（キャリーキュービット）と第２のローカルサブシステムの１つの一次キュービットとに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第２項は、第１のローカルシステムの２つの一次キュービット及び二次キュービットに作用する３つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。第３項は、第２項に似ているが、第２のローカルサブシステムに適用される。第１項、第２項及び第３項はそれぞれ三角形で示される。共通変数は、２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンによって反映される。共通変数ハミルトニアンは、単一の項、つまり各ローカルサブシステムの２つの各一次キュービットに作用する４つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積で構成される４体ハミルトニアンである。共通変数ハミルトニアンは四角形で示される。

【0214】

図１５（ｖｉｉｉ）は、共通変数ｐ_ｋを有するＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートを示す。図１５（ｖｉｉｉ）は、更に、２つの関連するローカルサブシステム、すなわちプラケットを形成する第１のローカルサブシステム及び体心立方体を形成する第２のローカルサブシステムを示す。共通変数は、２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンによって反映される。共通変数ハミルトニアンは、４体ハミルトニアン、つまり各ローカルサブシステムの２つの各一次キュービットに作用する４つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。共通変数ハミルトニアンは、ハッチングを施した四角形で示されている。

【0215】

図１５（ｉｘ）は、共通の変数ｐ_ｋを有する２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを示す。図１５（ｉｘ）は、更に、２つの関連するローカルサブシステム、すなわちそれぞれが体心立方体を形成する第１のローカルサブシステム及び第２のローカルサブシステムを示す。共通変数は、２つのローカルサブシステムを結合する共通変数ハミルトニアンによって反映される。共通変数ハミルトニアンは、４体ハミルトニアン、つまり各ローカルサブシステムの２つの各一次キュービットに作用する４つのパウリσ_Ｚ演算子（おそらく係数付き）のテンソル積である。共通変数ハミルトニアンは、ハッチングを施した四角形で示されている。

【0216】

図１６（ａ）は、本明細書に記載のＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートから構成される乗算回路を示す。ゲート間の線は、本明細書に記載のゲート相互接続を表す。具体的には、ＡＮＤ．ＦＡゲートから水平に延びる線は、乗算のキャリー演算を表す。垂直の線は総和演算を表す。ｐ_ｉｑ_ｊ＝ｐ_ｉ∧ｑ_ｊであるため、部分積ｐ_ｉｑ_ｊはＡＮＤゲートを適用することで形成できる。これらを合計する１つの方法は、２Ｄアレイ上に配置された全加算器を利用することである。変数ｐ_ｉ及びｑ_ｊがそれぞれ垂直又は水平に繰り返されるため、ゲートは共通の入力変数を共有する。

【0217】

図１６（ｂ）は、左から右に向かって詳細レベルが増加するＡＮＤ．ＦＡゲートの内部構造を概略的に示す。図１６（ｂ）の１番目の回路図は、ＡＮＤ．ＦＡゲートを表したものである。２番目の回路図は、ＡＮＤ．ＦＡゲートがＡＮＤゲート及び全加算器（ＦＡ）ゲートを含む基本的論理ゲート回路として形成できることを示している。３番目の回路図は、ＦＡゲートがＯＲゲート及び２つの半加算器（ＨＡ）ゲートを含む基本的論理ゲート回路として形成できることを示している。４番目の回路図は、ＨＡゲートがＡＮＤゲート及びＸＯＲゲートを含む基本的論理ゲート回路として形成できることを示している。

【0218】

図１７及び図１８は、それぞれＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられた、ゲートコード化ハミルトニアン及びそのスペクトルを示す。

【0219】

図１９は、異なる量子計算方法による整数ｎの素因数分解を実行するために必要な構成要素（キュービット）の数の比較を示す。横軸は整数の大きさ（ビット数）ｌ＝｜ｌｏｇ_２（ｎ）｜を示す。縦軸は、各方法で必要なキュービットの数を示す。本明細書に記載の方法の実施形態（グラフ１９１０）は、ｌの２次式的にスケールされる多数のキュービットを使用する。対照的に、因数分解問題をＱＵＢＯ問題にマッピングし、その後、後者の問題をアニーリングハードウェアにマッピングすることに基づくアプローチは、Ｏ（ｌ^４）としてスケールされる（グラフ１９２０）。

【0220】

図２０は、３ビット×３ビット乗算の例に基づく本方法を示す。

【0221】

整数乗算の難しさと整数因数分解の難しさとの間の基本的な非対称性は、暗号化の基礎となっており、ＲＳＡなどの有名なプロトコルの基礎を形成している。複雑性理論の観点からは、因数分解問題がＮＰ完全又はＰのいずれかである可能性は低い（ＮＰは「非決定的多項式時間」を表し、Ｐは「多項式時間」を表す）。しかし、因数分解問題は、複雑性クラスＮＰ及びＢＱＰ（「境界誤差量子多項式時間」）にあることが証明されている。ショアの量子アルゴリズムを使用すると、量子コンピュータ上で整数因数分解を多項式時間で実行できることが示され、既知の全ての古典的な因数分解アルゴリズムと比較して、（準）指数関数的な高速化が実現する。それでも、キュービットの数及び量子ゲートの品質に関して広範な要件があるため、ショアのアルゴリズムは依然として概念実証のデモンストレーションに限定されており、現実世界の暗号システムで使用されるサイズの因数分解からは程遠い。

【0222】

本開示では、因数分解問題のパリティベースのスピンモデルへの帰着（reduction）に基づく、整数因数分解のための量子アルゴリズムが提供される。量子アルゴリズムは、Ｏ（ｌｏｇ^２ （ｎ））個のキュービットと、相互作用強度Ｏ（１）とを使用する。ここで、ｎは因数分解される整数である。これは、以前の量子アルゴリズムと比較して、必要なキュービットの数に関して大幅な改善である。本量子アルゴリズムでは、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートの可逆バージョンがパリティベースのコード化を使用して構築される。このコード化では、各論理ゲートの真理値表は、ハミルトニアン（本明細書に記載の短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ）の基底状態でコード化される。これによりゲートが可逆になり、例えば、断熱量子計算プロトコルによって、乗算回路を量子力学的に反転できる。ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの固有対称性を使用して、繰り返して結合できる基本構成ブロックから構成される量子因数分解デバイスが提供され、スケーラブルな量子アーキテクチャが得られる。

【0223】

量子コンピュータで整数因数分解を実行するこれまでのアプローチは、Ｏ（ｌｏｇ^２（ｎ））個のキュービットを含む二次無制約二値最適化（ＱＵＢＯ）問題に基づいている。断熱量子計算技術を使用して最適化問題を解くには、ＱＵＢＯアプローチから得られる長距離ハミルトニアンである２－ローカルハミルトニアンの構造を、例えば、マイナーな埋め込みを介して、Ｄ－ＷＡＶＥシステムなどの利用可能なハードウェア上の短距離接続グラフにマッピングする必要がある。後者のマッピングでは、キュービットの数に更に２次のオーバーヘッドが追加される。したがって、ＱＵＢＯに基づくこのようなアプローチでは、短距離相互作用のみを含む量子システムで因数分解を実行するには、Ｏ（ｌｏｇ^４（ｎ））個のキュービットが必要である。

【0224】

比較すると、本明細書に記載の実施形態によれば、バイナリ乗算回路の論理は、直接、すなわちＱＵＢＯ問題へのマッピングを行わずに実行されるため、Ｏ（ｌｏｇ^２（ｎ））個のキュービットのみを使用して短距離量子相互作用で因数分解を実行でき、これにより、必要なキュービットの数が２次的に向上する。

【0225】

２つの整数ｐ、ｑの２進バイナリ表現を入力として取り、これらの積ｎのバイナリ表現を出力するブール回路（乗算回路）を提供できる。図１６に示すように、この回路はＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートから構築できる。本明細書に記載のように、これらの論理ゲートの有効な入出力関係をコード化する基底空間を有する短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲを構築することができる。これにより、以下の式（１）のハミルトニアン（本明細書に記載の第１のハミルトニアン）は、正しい乗算ロジックに従う量子状態が広がる基底空間を有する。
Ｈ_１＝Σ（全ての短距離量子ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲ）＋Σ（全てのゲート結合ハミルトニアン）・・・（１）
特定の乗算を１つ選び出すために、対応する入力としてｐ及びｑを有しない全ての量子状態にエネルギーペナルティを与える追加項Ｈ_ｉｎ（ｐ，ｑ）を追加できる。したがって、ハミルトニアンＨ_{ｐｒｏｄｕｃｔ}＝Ｈ_１＋Ｈ_ｉｎ（ｐ，ｑ）の基底空間を見つけると、数値ｐ及びｑを乗算する（簡単な）タスクが解決される。同じアプローチが因数分解にも適用できる。出力ｎは、ハミルトニアンＨ_１に追加項Ｈ_{ｏｕｔ－ｅｎｃ}（ｎ）（出力コード化ハミルトニアン／本明細書に記載の第２のハミルトニアン）を追加することで固定できる。これにより、整数ｎの素因数ｐ及びｑをコード化する基底空間を有する総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}＝Ｈ_１＋Ｈ_{ｏｕｔ－ｅｎｃ}（ｎ）が得られる。これらの素因数は、量子システムをＨ^{ＴＯＴＡＬ}の基底状態に発展させ、その後、量子システムを測定することによって決定できる。

【0226】

ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲの構築は、必要なリソースの数、つまりキュービットの数及び相互作用の数に関連する態様と、スケーラビリティを考慮することによって動機付けられる。ハミルトニアンＨＧＳＲの構築は、必要な相互作用の程度及び量を削減するパリティコード化に基づいている。結果として得られる総ハミルトニアンＨ^{ＴＯＴＡＬ}は短距離ハミルトニアンである。総ハミルトニアンが作用する量子システムはユニットセル（ローカルサブシステム）で構成されており、これらのユニットセルを更に追加することで、より大きな整数の因数分解を実現できる。各ハミルトニアンＨ_Ｇ ^ＳＲは２つの部分で構成される。ゲートＧをコード化する単体ハミルトニアン（１体フィールド）、並びに、部分空間にペナルティを課すことによって、ヒルベルト空間を切り捨てるためのパリティ制約を追加する３体項及び４体項（本明細書に記載の制約ハミルトニアンを形成する）である。最後に、Ｈ_{ｏｕｔ－ｅｎｃ}（ｎ）を２体の最近傍ハミルトニアンとして定義することで、所望する整数ｎを特定できる。結果として得られるアーキテクチャは、基底状態がｎ＝ｐ・ｑとなるように素因数ｐ及びｑをコード化する、スケーラブルで短距離のプログラム可能な総ハミルトニアンを提供する。

【0227】

いくつかの表記法が導入されている。以下では、次の式（２）の形式の対角量子ハミルトニアンを繰り返し使用する。

【数21】

上記の式（２）では、Ｚ＝｜０＞＜０｜－｜１＞＜１｜で定義されるパウリ演算子Ｚ（又は同等のσ_ｚ）を使用する。Ｚ_ｉは、キュービットｉに作用する演算子Ｚを示す。ＺｉＺｊや更に簡潔にはＺ_ｉｊなどの用語は、テンソル積Ｚ_ｉ×Ｚ_ｊの短縮表記として使用される。下付き文字は、演算子がどのスピンに作用するかを示す。特に、式（２）の形式のハミルトニアンは、相互に可換な観測可能量から構成されているため、古典的ハミルトニアンに対応する。対応する古典的ハミルトニアンは、各パウリ演算子Ｚ_ｉを古典的スピンｚ_ｉ∈｛－１，１｝で置き換えることによって取得できる。自然数ｎ（及び、同様にｐ、ｑ）は、ｎ＝Σ_ｉｎ_ｉ２^ｉ及びｎ_ｉ∈｛０，１｝を介して、バイナリ表現でｎ≡（ｎ_ｌ，・・，ｎ_０）として表される。

【0228】

基底状態スピンロジックの背後にある考え方には、ビット列Ｓ⊆｛０，１｝^ｍのセットをハミルトニアンＨ_Ｓの基底空間に埋め込むことが含まれる。例えば、４つの有効なビット構成（ｕ，ｖ，ｓ＝ｕ∧ｖ）を定義するＡＮＤゲートを考える。ここで、ｕ及びｖはＡＮＤゲートの入力変数で、ｓはＡＮＤゲートの出力変数である。ｕ，ｖ，ｓ∈｛０，１｝である。ＡＮＤゲートの入出力関係をコード化する、対応するハミルトニアンＨ_ＡＮＤ（ゲートコード化ハミルトニアン）には、以下の式（３）の基底空間が必要である。

【数22】

式（３）の基底空間を有するハミルトニアンのファミリー全体を構築可能である。特定の１つの選択肢は、以下の式（４）によって与えられる。

【数23】

式（４）のハミルトニアンＨ_ＡＮＤはいくつかの望ましい特性を有する。インデックスｕ、ｖ、ｓはそれぞれ偶数回出現する（式（４）を拡張すると、ｕ及びｖはそれぞれ２回、ｓは４回出現する）。更に、ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、必要な最小限の項数である４つの項（被加数ハミルトニアン）のみで構成される。また、結合強度は－１又は１である。また、Ｈ_ＡＮＤのスペクトルは図１７に示すように、｛－２，２｝の２つの値のみを取る。

【0229】

上記のアプローチを使用すると、論理ゲートから構築された論理ゲート回路をハミルトニアンの基底空間にコード化することができる。これは、２つの整数間の乗算関係を実行する論理ゲート回路（乗算回路）に特に当てはまる。図１６は、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートに基づいてバイナリ乗算回路を作成する可能性を示している。ＡＮＤ．ＦＡゲートは、図１６ｂに示すように、ＡＮＤゲート及び全加算器（ＦＡ）ゲートの連結で構成される。ＡＮＤゲートは、関係ｕ∧ｖ＝ｕ・ｖに基づいて、２つのビットｕ及びｖのバイナリ乗算を実行し、ＦＡゲートは、以下の式（５）に示す関係が満たされるように、総和変数ｓ及びキャリー変数ｃ（又はキャリーオーバーフロー変数）を新しい総和変数ｓ’及び新しいキャリー変数ｃ’にマッピングする。

【数24】

ＡＮＤ．ＦＡゲートは式（５）で定義される。このゲートは６つのビットｕ、ｖ、ｃ、ｓ、ｃ’、ｓ’で演算し、そのうち４つは入力変数（つまり、ｕ、ｖ、ｃ、ｓ）であるため、合計１６個の有効な入出力構成が存在する。これらの入出力構成は、８つの項（つまり、８つの被加数ハミルトニアン）のみを有するゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の基底空間にコード化できる。

【数25】

図１８は、このハミルトニアンのスペクトルを示す。Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の基底状態多様体はエネルギー－４を有し、他の状態（励起状態）はエネルギー０又は＋４を有する。注目すべきことに、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の最初の４つの項（被加数ハミルトニアン）は、式（４）から、ＡＮＤゲートのゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤと非常によく似ている。項Ｚ_ｓの代わりに、積Ｚ_ｓＺ_ｃＺ_ｓ’がある（上記導入した表記に従って、略してＺ_ｓｃｓ’と表される）。出力変数「ｓ」を特定するＡＮＤゲートと同様に、ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}のこの部分は、ＡＮＤゲートのロジックに後続する変数「ｕ」及び「ｖ」の入力に従って「（ｓ，ｃ，ｓ’）」のパリティと一致する。したがって、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の最初の４つの項は、キャリー出力「ｃ’」と相互作用しないため、総和項と呼ばれる。キャリー項（Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の他の４つの項）がなければ、基底空間は３２倍縮退し、ｃ’を固定せずに全ての可能な状態が許可される。これらのキャリー項を追加すると、この縮退が除去され、ＡＮＤ．ＦＡゲートの正しいロジックを実行する状態が優先されることによって、基底空間が分割される。

【0230】

ここでも、ＡＮＤ．ＦＡロジックをコード化できるハミルトニアンのファミリー全体が存在するが、特に（拡張後）全てのインデックスｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｃ’及びｓ’が偶数回含まれるため、上記のハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}が望ましい。

【0231】

それぞれ式（４）及び式（６）のゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}などのゲートコード化ハミルトニアンは、問題の論理ゲートの論理変数によってラベル付けされたキュービットのシステムで定義されたハミルトニアンである。例えば、Ｈ_ＡＮＤは３つのキュービットのシステムで定義され（ＡＮＤゲートは３つの論理変数を有するため）、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は６つのキュービットのシステムで定義される（ＡＮＤ．ＦＡゲートは６つの論理変数を有するため）。ゲートコード化ハミルトニアンが定義されるキュービットを「補助キュービット」と呼び、補助キュービットによって形成される量子システムを「補助量子システム」と呼ぶ。本明細書に記載のように、ゲートコード化ハミルトニアンの決定は中間の古典的ステップであり、換言すれば、ゲートコード化ハミルトニアンによって表される補助キュービットも相互作用も物理的に実行する必要はない。むしろ、ゲートコード化ハミルトニアンは、別の量子システム（補助キュービットを含まない）の構成要素にマッピングされ、物理的に実現されるのは後者の量子システムである。以下では、この量子システムを「補助量子システム」と区別するために「主量子システム」と呼ぶ。主量子システムは、特許請求の範囲に記載され、上記の対応する実施形態で説明された量子システムを指す。

【0232】

具体的には、ゲートコード化ハミルトニアンの各項（被加数ハミルトニアン）に対して、主量子システムのキュービット（本明細書では一次構成要素又は一次キュービットと呼ぶ）を導入する。補助キュービットｉ，ｊ，ｋ，・・・に作用する形式ｃＺ_ｉＺ_ｊＺ_ｋ・・・（ｃは係数）の被加数ハミルトニアン毎に、主量子システムの関連するキュービットは（ｉ，ｊ，ｋ，・・・）でラベル付けできる。以下の条件が課される。

【数26】

ここで、右側の期待値は、補助量子システムの補助キュービットｉ，ｊ，ｋ，・・・に作用する演算子Ｚ_ｉＺ_ｊＺ_ｋ・・・の期待値である。左側の期待値は、被加数ハミルトニアンｃＺ_ｉＺ_ｊＺ_ｋ・・・に関連付けられている主量子システムのキュービット（ｉ，ｊ，ｋ，・・・）に作用する演算子Ｚ_{（ｉ，ｊ，ｋ，・・・）}の期待値である。式（７）は、補助量子システムの第１量子状態から主量子システムの第２量子状態へのマッピング又はコード化を定義する。このコード化によれば、補助量子システムの第１量子状態が位置ｉ，ｊ，ｋ，・・・に偶数個の｜１＞を有する場合、主量子システムの第２量子状態は｜０＞であり、それ以外の場合は｜１＞である。したがって、第２量子状態は、第１量子状態の補助キュービットｉ，ｊ，ｋ，・・・の所定のサブセットのパリティをコード化する。その意味で、２体項Ｚ_ｉＺ_ｊは、並列補助キュービット（つまり、両方の補助キュービットが｜０＞状態にある、又は、両方とも状態｜１＞にある）によって広がる部分空間が、主量子システムの状態｜０＞にマッピングされ、反並列補助キュービット（つまり、１つの補助キュービットは状態｜０＞にあり、もう１つは状態｜１＞にある）によって広がる部分空間が、主量子システムの状態｜１＞にマッピングされるように、補助キュービットｉ及びｊの間の相対的な向きに従ってのみ区別される。

【0233】

ＡＮＤゲートの場合、ハミルトニアンの式（４）は４つの項を有する。そのため、項Ｚ_ｓ、Ｚ_ｕＺ_ｓ、Ｚ_ｖＺ_ｓ及びＺ_ｕＺ_ｖＺ_ｓの期待値をコード化する主量子システムの４つの（一次）キュービット（ｓ）、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）及び（ｕ，ｖ，ｓ）を導入する。このマッピングの作用の下で、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは単体ハミルトニアン（ローカルフィールドの総和）に縮小する。主量子システムのローカルサブシステムを形成する、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤに関連付けられた４つのキュービットのセット内で、前述の式（７）で定義されたマッピングを適用することによって取得される全ての量子状態の部分空間を、問題のローカルサブシステムの有効な部分空間として示す。有効な部分空間内の全ての量子状態は、同じパリティ条件に従う。すなわち、以下の式（８）が成立する。

【数27】

これは、式（４）の形式でのＡＮＤゲートコード化の特定の選択によるものである。ここで、Ｈ_ＡＮＤの各論理変数は偶数回出現し、一般に（Ｚ_ｉ）^２＝１が成り立つ。したがって、有効な部分空間には２番目毎の基底状態のみが属する。これは、８つの可能なビット構成（ｕ，ｖ，ｓ）がある、つまり、３つの補助キュービットのヒルベルト空間は２^３＝８次元であり、これらを主量子システムの４つのキュービット（４つのキュービットは１６次元のヒルベルト空間を有する）を有するシステムにマッピングするからだと理解できる。－ｋＺ（ｓ）Ｚ（ｕ，ｓ）Ｚ（ｖ，ｓ）Ｚ（ｕ，ｖ，ｓ）の形式のペナルティ項（制約ハミルトニアン）を追加すると、前記４つのキュービットのローカルサブシステムの状態セットが、それらのパリティに従って分割され、有効な部分空間がエネルギー的に優先される。要約すると、ゲートコード化ハミルトニアンは、主量子システムのローカルサブシステムを形成する４つのキュービットのセットに作用し、以下の形式を有する短距離量子ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲにマッピングされる。

【数28】

ここで、ｋ＞０である。問題の４つのキュービットは、４体ペナルティ項－ｋＺ_（ｓ）Ｚ_{（ｕ，ｓ）}Ｚ_{（ｖ，ｓ）}Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ）}が幾何学的意味で局所的になるように、プラケット上に配置される。

【0234】

乗算回路は更にＡＮＤ．ＦＡゲートを含む。次に、式（６）のＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}ゲートコード化ハミルトニアンがどのようにして短距離量子ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲにマッピングできるかを示す。短距離量子ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲは、２つの４体プラケットに配置された（主量子システムの）８つのキュービットに作用する単体フィールドを有し、各プラケットには４体パリティ制約が具備されている（図１５ｉｉを参照）。Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の最初の４つの項（被加数ハミルトニアン）は概念的にはＡＮＤゲートコード化に似ているため、これらの項を、単体ハミルトニアン－Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’）}－Ｚ_{（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）}－Ｚ_{（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}＋Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}を有するプラケット上に配置された（主量子システムの）４つのキュービット（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）及び（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）と、前記プラケットに作用する対応する４体パリティペナルティ項（制約ハミルトニアン）－ｋＺ_{（ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）}と、に割り当てることができる。このプラケットを総和プラケットと呼ぶ。Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の形式により、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の他の４つの項もそれぞれ、これらのキュービットの状態が「有効な」状態である場合に限り、（主量子システムの）各キュービット（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）及び（ｓ’，ｃ’）で特定でき、Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ，ｃ’）}Ｚ_{（ｃ，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ’，ｃ’）}＝１となる。したがって、これらの項を第２プラケットに収集することが可能である。これをキャリープラケットと呼ぶ。これは、単体ハミルトニアン－Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）}－Ｚ_{（ｓ，ｃ’）}－Ｚ_{（ｃ，ｃ’）}＋Ｚ_{（ｓ’，ｃ’）}及び４体パリティ制約－ｋＺ_{（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ，ｃ’）}Ｚ_{（ｃ，ｃ’）}Ｚ_{（ｓ’，ｃ’）}が作用する４つのキュービットで構成される（図１５ｉｉ参照）。したがって、ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、立方体の頂点に配置された８つのキュービット（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）、（ｓ’，ｃ’）のセットに作用する以下の短距離ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲにマッピングされる。

【数29】

ｋ＞０である。Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の直接の実行とは対照的に、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲの実行には、３つの２体、１つの３体、３回の１つの４体及び１つの５体の項ではなく、１体のフィールド及び２つの４体の項のみが必要である。更に、乗算回路全体を構築するためにＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}を直接実行すると、長距離ハミルトニアンが生成される。これは、入力変数ｐ_ｉ及びｑ_ｊがＡＮＤ．ＦＡゲートの行全体又は列全体の入力として機能するという事実から来ている（図１６ａを参照）。比較すると、本明細書に記載の実施形態に係る方法は、短距離相互作用のみを含む。

【0235】

短距離ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲは、乗算回路をコード化する総ハミルトニアンを構築するために使用される構成ブロックである。これを実現するには、ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲをレンガのように接続し、前のゲートの出力が後続のゲートに入力されることを反映する必要がある。さらに、総ハミルトニアンは、複数のゲートが同じ入力を共有できることをコード化する。短距離ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲを使用し、所望するロジックが実行されるようにそれらを組み立てる方法を示す。

【0236】

まず、乗算回路の第１行に現れる２つの隣接するＡＮＤゲートに注目する（図１５ｉｉｉを参照）。対応する入力には、ｐ_０，ｑ_０及びｐ_１，ｑ_０というラベルが付けられる。ｑ_０は２回出現するため（第１及び第２のＡＮＤゲートの共通入力変数として）、入力情報をコード化するのに必要なキュービットは４つのキュービットではなく３つのキュービットだけである。これらの入力を特定すると、自由度が「失われる」。ただし、主量子システムでは、依然として各ＡＮＤゲートを４つのキュービットの各プラケットにコード化したい。２つのプラケットに含まれるキュービットの総数は８であるが、変数の１つが共通変数であるため、両方のＡＮＤゲートの論理変数の数は６ではなく５になる。８－５＝３であるため、２つの入力変数の特定は、量子状態の半分にペナルティを与える制約を追加することで補償する必要がある。ｓ_０を第１のＡＮＤゲートの出力、ｓ_１を第２のＡＮＤゲートの出力とすると、第１のプラケットのキュービットのラベルはｓ_０，（ｑ_０，ｓ_０），（ｐ_０，ｓ_０），（ｐ_０，ｑ_０，ｓ_０）になり、第２のプラケットのキュービットのラベルはｓ_１，（ｑ_０，ｓ_１），（ｐ_１，ｓ_１），（ｐ_１，ｑ_０，ｓ_１）となる。変数ｑ_０が共通入力変数であること、つまり両方のプラケットに現れることは、キュービット（ｐ_０，ｓ_０）、（ｐ_０，ｑ_０，ｓ_０）及び（ｓ_１）、（ｑ_０，ｓ_１）（図１５ｉｉｉを参照）にそれぞれ作用する４つのＺ演算子で構成される追加の４体ハミルトニアン（共通変数ハミルトニアン）を導入することにより、量子システムで強制できる。

【0237】

具体性を高めるために、しかし一般性を失わずに、ｐ及びｑは両方ともｌ／２ビットのレジスタに収まる自然数であると仮定する。したがって、積ｎ＝ｐｑは最大でもｌビットを有する。対応する乗算回路を実行するするには、ｌ／２個のＡＮＤゲート及びｌ／２（ｌ／２－１）個のＡＮＤ．ＦＡゲートが必要である。ゲートの相互接続及び共通変数を考慮せず、ゲートの入力ノード及び出力ノードのみを数えると、システムを記述するには３ｌ（ｌ－１）／２個の論理変数が必要になる。ただし、これらのゲートを接続し、乗算回路を実行するために一部の入力変数が共通変数であることを強制することにより、これらの変数の以下のｍ_ｉｄを特定する必要がある（図１６ａ参照）。
ｍ_ｉｄ＝ｌ（ｌ－５／２）
これは、望ましくない状態が広がる部分空間にペナルティを課すことによってヒルベルト空間を制限するために、主量子システムにｍ_ｉｄ個の追加の独立制約（結合ハミルトニアン）を構築する必要があることを意味する。

【0238】

以下では、ｌ／２ビットとｌ／２ビットの数値との乗算に対応する全ての有効な状態に跨る縮退スタビライザ空間を設計するための、ＡＮＤ及びＡＮＤ．ＦＡローカルサブシステムの可能な配置を示す。ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤ ^ＳＲ及びＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ} ^ＳＲの項（被加数ハミルトニアン）に関連付けられた主量子システムのキュービット（ｓ）、（ｕ，ｓ）、（ｖ，ｓ）及び（ｕ，ｖ，ｓ）、並びに、（ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｕ，ｖ，ｓ，ｃ，ｓ’）、（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）、（ｃ，ｃ’）、（ｓ，ｃ’）は、主量子システムの一次キュービットと呼ばれる。３Ｄグリッドの２つの層に沿って一次キュービットを配置し、体心立方体グリッドの中心に二次キュービットを追加する。これらの二次キュービットを使用すると、短距離相互作用のみを使用して、欠落しているｍ_ｉｄ個の制約を３体又は４体パリティ制約（結合ハミルトニアン）として実行できる。更に、対象となる半素数をコード化する追加の制約を追加することで、基底空間の縮退をどのように分割できるかを示す。これにより、（ｐ及びｑの交換とは別に）素因数ｎ＝ｐ・ｑの情報をコード化する単一の基底状態が分離される。

【0239】

前述のように、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の最初の４つの項（被加数ハミルトニアン）は、概念的にはＨ_ＡＮＤの項と同様である。これにより、総プラケット及びキャリープラケットという２つの別個のプラケットが生成される。ＡＮＤゲートに関連付けられたプラケットの行を拡張する２Ｄグリッド上に総プラケットを配置できる。乗算回路のレイアウトでは、入力変数ｐ_０，・・・，ｐ_{ｌ／２－１}が垂直方向に繰り返され、ｑ_０，・・・，ｑ_{ｌ／２－１}が水平方向に繰り返されるため（図１６ａを参照）、共通変数が常に隣接するプラケットで共有されるように、これらのプラケットを配置することが可能である。共通変数を考慮するために、追加のパリティ制約（共通変数ハミルトニアン）を介してプラケットが接続される（図１４及び図１５参照）。欠落しているｍ_ｉｄ－ｌ（ｌ／２－１）個の制約は、１つのゲートの出力ノードと別のゲートの入力ノード（ゲート相互接続）との特定に起因する。

【0240】

乗算回路全体は、以下のルールを使用して相互接続された個々のＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートで構成されていると考えることができる。
ａ）ＡＮＤゲートの総和出力をＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力で特定する（サム・ツー・サム）。図１５ｖｉを参照のこと。
ｂ）２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを「水平に」接続する。つまり、１つのＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー出力を別のＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー入力に接続する（キャリー・ツー・キャリー）。図１５ｉｖを参照のこと。
ｃ）第１のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和出力を第２のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力で特定することにより、２つのＡＮＤ．ＦＡゲートを「垂直に」接続する（サム・ツー・サム）。図１５ｖを参照のこと。
ｄ）ＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー出力を取得し、それを第２のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力に入力する（キャリー・ツー・サム）。図１５ｖｉｉを参照のこと。

【0241】

まずケースｂ）について説明し、図１５ｉｖのラベルに従う。キャリー変数ｃ_１によって与えられるゲート相互接続に加えて、入力変数ｑ_０は両方のゲートへの共通入力変数である。

【0242】

ｑ_０が共通入力変数であることを反映する第１の制約を構築するために、総プラケットを隣り合わせに配置し、追加の４体プラケット（パリティペナルティ項を備えた）のためのスペースを残す。これは図１５ｉｉｉに関連して説明した２つのＡＮＤゲートの場合と同様である。

【0243】

キャリー変数ｃ_１によって与えられる相互接続を反映する第２の独立制約を構築するには、キャリープラケットを３Ｄグリッドの第２層（対応する総プラケットの真上）に配置する。それぞれの８つのキュービットによって形成される各立方体の中心に配置された（ｃ’）で示される２次キュービットを追加し、この２次キュービット（ｃ’）をキャリーキュービットと呼ぶ。キャリーキュービットの値を固定するために、Ｈ_{ＡＮＤ．ＦＡ}に現れる項Ｚ_ｓｃｓ’とＺ_ｓｃｓ’Ｚ_ｃ’はＺ_ｃ’だけ異なることに留意されたい。したがって、２つの主キュービット（ｓ，ｃ，ｓ’）及び（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）と各立方体のキャリーキュービット（ｃ’）とに作用する３体パリティ制約（ゲート相互接続ハミルトニアン）は、立方体のキャリーキュービットの状態が、対応するＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー出力値ｃ’に対応するような状態を優先するように課すことができる（図１５ｉｖを参照）。更に、この制約は、キャリーキュービットの導入後に増加したヒルベルト空間のサイズを修正する。キャリーキュービットの導入後、有効な論理代入が存在する場合、全てのインデックスはＺ_（ｃ’）Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’）}Ｚ_{（ｓ，ｃ，ｓ’，ｃ’）}＝１のように正確に２回出現する。

【0244】

図１５ｉｖに示すように２つのＡＮＤ．ＦＡゲートが水平に接続されている場合、最初のキャリー変数ｃ_１は反復変数である。つまり、第２のプラケットのペアにも（ｃ_１，ｃ_２）として存在する。ｃ_２を第２のＡＮＤ．ＦＡゲートの出力キャリー変数と呼ぶ場合（その値は対応するキャリーキュービットでコード化される）、３つの（ｃ_１）、（ｃ_２）及び（ｃ_１，ｃ_２）により、更なるパリティ制約、すなわち、各立方体のキャリーキュービット（ｃ_１）、（ｃ_２）及び立方体の１つのキュービット（ｃ_１，ｃ_２）に作用する３体ハミルトニアンの導入が可能になる（図１５ｉｖを参照）。

【0245】

更に、各立方体にキャリーキュービットを追加し、前述の対応する３体パリティ制約を追加すると、ケースａ）、ｃ）及びｄ）も解決できる。

【0246】

ケースｃ）に関しては、図１５ｖのラベルに従って、変数ｓ_１は、第２のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力としても機能する、第１のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和出力を示す。このゲート相互接続を強制するために、４体パリティ制約（Ｚ演算子の積）が２つのキャリーキュービット（ｃ_１）及び（ｃ_３）と、両方とも最上層にある（ｃ_１，ｓ_１）及び（ｓ_１，ｃ_３）でラベル付けされた一次キュービットとに作用する。この制約は、図１５ｖにおいて四角形で示されている。

【0247】

ケースａ）及びｄ）は境界ケースで、ＡＮＤゲートの第１行又はＡＮＤ．ＦＡゲートの左端の対角に関連する。図１５ｖｉ）はケースａ）を示す。ＡＮＤゲートに関連付けられた４つのキュービットのプラケット内に（ｓ_１）とラベル付けされたキュービットが存在するため、ＡＮＤゲートの総和出力に直接アクセスできる（図１５ｉを参照）。図１５ｖｉに示すように、この総和出力はＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力に接続される。対応するキャリー出力変数がｃ_３で示されている場合、図１５ｖｉに示すように、キュービット（ｓ_１）、（ｓ_１，ｃ_３）及び（ｃ_３）に作用するパリティ制約（Ｚ演算子の積）を構築できる。ケースｄ）は、部分和がまだ存在せず、図１５ｖｉｉに示すように別のＡＮＤ．ＦＡユニットを使用してｐ_ｋ・ｑ_ｌ＋１にキャリー（桁上げ）を追加したい場合に、次の列にキャリーされるオーバーフローを扱う。ｃ_ｓで示される第１のＦＡゲートのキャリー出力は次のゲートの総和入力で特定されるため、この変数は関連する両方のハミルトニアンに現れる。したがって、第２のＡＮＤ．ＦＡゲートに関連付けられたローカルサブシステムには、ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}に従って組み合わせ（ｓ，ｃ’）に対応するキュービット（ｃｓ，ｃ_３）が含まれる。これにより、キュービット（ｃｓ）、（ｃｓ，ｃ_３）及び（ｃ_３）に作用する別の独立したパリティ制約（Ｚ演算子の積）が存在する。

【0248】

項目ａ）からｄ）で前述したゲート相互接続に加えて、変数ｐ_ｉ及びｑ_ｊが、図１６ａに示す乗算回路に従って共通変数であることも強制されなければならない。２つのＡＮＤゲートの共通変数である変数ｑ_ｉのケースについては前述した。図１５ｉｉｉに関連する説明を参照されたい。２つのＡＮＤ．ＦＡゲートの共通変数である変数ｑ_ｉのケースは、図１５ｉｖに関連して前述した。図１５ｖｉｉｉに示すように、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートの共通変数である変数ｐ_ｊのケースも同様に扱われる。更に、変数ｐ_ｊが２つのＡＮＤ．ＦＡゲートの共通変数であることは、図１５ｉｘに示す方法で強制することができる。共通変数ｐ_ｋを有する２つのＡＮＤ．ＦＡゲートの更なるケースを示す図１５ｖｉｉも参照されたい。

【0249】

追加のキャリーキュービット（二次キュービット）の導入は、適切な出力コード化ハミルトニアンを使用して、所望する半素数ｎ＝ｎ_０ｎ_１ｎ_２・・・（ｎ_ｉはｎのビット）を量子システムにコード化するのにも役立つ。これを説明するために、３ビット×３ビットの例に注目する（図２０を参照）。入力ｐ及びｑはそれぞれ３ビット整数、つまり０から７の範囲の整数である。したがって、積ｎ＝ｐ・ｑは、６ビット整数である７×７＝４９より大きくならない。したがって、一般性を失うことなく、ｎを６ビット整数、つまりｎ＝ｎ_５ｎ_４・・・ｎ_０として表すことができる。最下位の有効ビットｎ_０は、乗算回路の右端のＡＮＤゲートの総和出力変数である（図１６ａ及び図２０ａを参照）。したがって、ビットｎ_０は対応するプラケットの一次キュービット（ｎ_０）として存在するため、ｎ_０は（Ｚ演算子によって）簡単に固定できる。ビットｎ_１はＡＮＤ．ＦＡゲートの総和出力変数である（図１６ａ及び図２０ａを参照）。ビットｎ_１自体は、対応するキュービットとして直接アクセスできない。更に、問題のＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー出力変数をｃ_０で表すと、関連するローカルサブシステムのキャリープラケットはキュービット（ｎ_１，ｃ_０）を有し、（ｃ_０）はローカルサブシステムのキャリーキュービットである。これらのキュービット間の相対的な位置合わせは、ｎ_１にのみ依存する。したがって、２つの局所項±ｋ・σ_ｃ０σ_{（ｎ１，ｃ０）}を追加すると、相互作用の符号に応じて値ｎ_１が固定される。同様に、（ｃ_２，（ｎ_２，ｃ_２））、（ｃ_３，（ｎ_３，ｃ_３））及び（ｎ_５，（ｎ_４，ｎ_５））の間のパリティにより、値ｎ_２、ｎ_３及びｎ_４が固定される。値ｎ_５は補助キュービットｎ_５にコード化されており、ローカルフィールド±ｋ・σ_ｃ５の符号によって固定できる。全加算器ゲートを繰り返し使用するため、前の総和やキャリーがない場合でも、ＡＮＤ．ＦＡゲートの入力の一部をゼロに固定する必要がある。これは、（ｃｓ，（ａ_０，ｃｓ））、（ｃ_０，（ａ_１，ｃ_０））及び（ｃ_２，（ａ_２，ｃ_２））に反磁性／強磁性相互作用を課すことによってｎ_ｉの出力値を固定するケースと同様に行われる。

【0250】

一般に、整数ｎのビットｎ_０，・・・，ｎ_１は、図１６ａに示すように、ＡＮＤ．ＦＡゲートの右端でＡＮＤ．ＦＡゲートの最下行の出力として出現する。全ての半加算器及び全加算器はＡＮＤ．ＦＡユニットで実現される。図１６ａに示すように、最下位の有効ビットｎ_０はＡＮＤゲートの総和出力変数である。したがって、ビットｎ_０は、対応するプラケットの一次キュービット（ｎ_０）として存在する。このため、ｎ_０の値は、キュービット（ｎ_０）に作用する単一キュービットＺ演算子によって量子システムにコード化できる。更に、図１６ａに示すように、最上位の有効ビットｎ_ｌはＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー出力変数である。後者のキャリー出力変数にも、対応するキャリーキュービット（二次キュービット）が導入されているため、直接アクセスできる。したがって、ｎ_ｌの値は、問題のキャリーキュービットに作用する単一キュービットＺ演算子によって量子システムにコード化できる。図１６ａに更に示すように、ビットｎ_１，・・・，ｎ_ｌ－１は、ＡＮＤ．ＦＡゲートの総和出力変数である。これらのビットのそれぞれは、キャリーキュービットｃ’と各ローカルサブシステムのキュービット（ｓ’，ｃ’）との間の２体演算子（ＺＺ形式）によって量子システムにコード化でき、その結果、総和出力ｓ’の値が固定される。このようにして、前述の単体項と２体項との総和である出力コード化ハミルトニアンを提供できる。したがって、問題の出力コード化ハミルトニアンは２体ハミルトニアンである。

【0251】

更に図１６ａ）に示すように、最も右側のＡＮＤ．ＦＡゲートのキャリー入力ｃをゼロに設定することができる（ＡＮＤ．ＦＡゲートを使用して半加算器の動作を実現するため）。これも、キュービットｃ’（キャリーキュービット）と（ｃ，ｃ’）（キャリープラケットの一次キュービット）との間に２体制約（ＺＺ形式）を課すことによって実行できる。

【0252】

ｌ／２倍のｌ／２ビット数を乗算できる乗算回路は、サイズｌ＝｜ｌｏｇ２（ｎ）｜ビットの出力ｎを生成する。このような回路は、ｌ／２個のＡＮＤゲートとｌ／２（ｌ／２－１）個のＡＮＤ．ＦＡゲートで構成される。中間層を形成するキャリーキュービットを含める場合、プラケットを構築するにはｌ（９ｌ－１０）／４個のキュービットが必要である。乗算回路を使用して奇数の半素数ｎ＝ｐ・ｑの因数を求める場合、ｐ及びｑは両方とも奇数である必要があり、ｐ０＝ｑ０＝１となる。これにより、ＡＮＤ（ｕ，１）＝ｕが成り立つため、ＡＮＤゲートの第１行が不要になる。したがって、ＡＮＤゲートに関連する－４ｌ＋２個のキュービットは以下のようなカウントから削除できる。
ｍ_ｐｈｙｓ＝（９ｌ^２－２６ｌ＋８）／４
上記は必要なキュービットの数を示す。

【0253】

前述の構造は、両方の因数がサイズｌ／２のレジスタに収まるように、因数ｎ＝ｐ・ｑに（キュービット数に関して）最適化されている。一般に、任意の半素数ｎに対する因数分解では、因数の十分な長さはＬ_ｐ＝ｌ＝｜ｌｏｇ_２（ｎ）｜及びＬ_ｑ＝｜１／２（ｌ＋１）｜－１となる。因数の長さが事前に分からないわからないことは、因数分解問題の一部である。因数の１つが非常に小さい、又は、両方が等しいといった極端なケースには、古典的にアプローチ可能である。例えば、単純な試行分割では、ｒビットの特定のしきい値サイズまでの因数をチェックできる。一方、フェルマー法としての因数分解アルゴリズムは、両方の因数の値が近い場合に良好に機能する。ＲＳＡプロトコルを使用する場合、攻撃をできるだけ強力にすることに関心があるため、どちらの因数も小さくなく、同じサイズでもないと想定できる。この可能なサイズの範囲にまたがるには、回路は、（Ｌ_ｐ－ｒ）ビットとＬ_ｑビット数の乗算をコード化してｌビット数を生成できなければならない。前処理なし、つまりｒ＝０の場合、必要な最大リソースは約３／２ｍ_ｐｈｙｓ（ｌ）個のキュービットである。これにより、３．４ｌ^２個のキュービットと推定される。

【0254】

表Ｉはバイナリ乗算表を示している。ｐ及びｑをバイナリ表現すると、積ｎ＝ｐ・ｑはビットｐ_ｉ及びｑ_ｊで次のように書き換えられる。

【数30】

ただし、上記の展開の係数Σ_ｉｐ_ｉｑ_ｋ－ｉは、ｎのバイナリ表現のビットｎ_ｋで特定できない。これは、Σ_ｉｐ_ｉｑ_ｋ－ｉが０からｍｉｎ（ｋ＋１，ｌ－ｋ）までの範囲の値を取ることができるためである。ｋ＝ｉ＋ｊに関連するべき乗２^ｋに従って表Ｉ内の二項積ｐ_ｉｑ_ｉを列方向に収集すると、方程式のセットを導出できる。方程式の完全なセットは因数分解方程式とも呼ばれ、ｃ_１２のようなキャリー変数が含まれる。ｃ_１２という特定のケースでは、ｑ_０ｐ_１＋ｑ_１ｐ_０＝ｃ_１２２＋ｎ_１のような２^１列に関連する全ての項の総和ｍｏｄ２を計算するときに、その変数がオーバーフローする可能性がある。乗算表の各列の項の数によって、必要なキャリー変数の数が決まる。最悪の場合、それらは全て１になるため、「＃（項）」のバイナリ展開の先頭の項は、ｃ_ｉｊ≠０が必要となる最上位の列ｊを定義する。

【表I】

【0255】

本明細書に記載の実施形態によれば、乗算表に現れる全ての積ｐ_ｉｑ_ｊに対してキャリー変数及び総和変数を導入することができる。キャリー変数は表の異なる列を接続するが、総和変数は異なる行を接続するため、乗算表全体をセルに分割する。ｐとｑとの乗算を実行するには、高次の列に接続されているキャリー変数のバランスをとりながら、各列の全ての項の総和が計算される。総和変数は、部分和ｍｏｄ２を追跡し、キャリー変数は隣接する列のみを接続する。通常、これらの個々のセルのロジックはブール回路の言語で記述される。対応するセルは、それぞれ半加算器（ＨＡ）ゲートと全加算器（ＦＡ）ゲートとによって記述される。上の行からの前の部分和「ｓ」と、前の列からのキャリー「ｃ」とが与えられると、以下の関係は、新しい総和ｓ’変数と新しいキャリーｃ’変数を定義する。
ｓ＋ｃ＋ｘ＝２ｃ’＋ｓ’
乗算回路では、各セルｘはｐ_ｉｑ_ｊの形式であり、変数ｐ_ｉとｑ_ｊとの間の論理ＡＮＤとして見ることができる。

【0256】

本明細書に記載のように、量子システムが総ハミルトニアンの基底状態に発展した後、量子システムの少なくとも一部（すなわち、主量子システム）を測定することができる。例えば、全ての一次キュービット（一次構成要素）を測定することができる。主量子システムのキュービットの各測定値は、パウリ演算子Ｚの測定値である可能性があり、１又は－１のいずれかの読み出しδ（測定結果）が得られる。本明細書に記載のパリティマッピング（例えば、式（７）を参照）のおかげで、主量子システムの一次キュービットａ＝（ｉ，ｊ，ｋ，・・・）に作用するパウリ演算子Ｚは、ゲートコード化ハミルトニアンの被加数ハミルトニアンに対応する。被加数ハミルトニアンは、パウリ演算子Ｚ_ｉＺ_ｊＺ_ｋ・・・の積に比例する。演算子Ｚ_ｉ，Ｚ_ｊ，Ｚ_ｋ，・・・は、補助量子システムのキュービットｉ，ｊ，ｋ，・・・にそれぞれ作用する。変数σ_ｉ∈｛－１，１｝は補助量子システムのキュービットｉに割り当てられ、変数σ_ｊ∈｛－１，１｝は、補助量子システムのキュービットｊに割り当てられ、変数σ_ｋ∈｛－１，１｝は、補助量子システムのキュービットｋに割り当てられる等である。変数σ_ｉ，σ_ｊ，σ_ｋ・・・は、それぞれ補助量子のキュービットｉ，ｊ，ｋ，・・・に作用する演算子Ｚ_ｉ，Ｚ_ｊ，Ｚ_ｋ，・・・の可能な測定結果を表す。主量子システムの一次キュービット（ｉ，ｊ，ｋ，・・・）に作用するパウリ演算子Ｚの測定により読み出しδが得られるということは、δ＝σ_ｉσ_ｊσ_ｋ・・・、つまり読み出しδは変数σ_ｉ、σ_ｊ、σ_ｋ・・・の積であることを意味する。一次キュービットの各測定結果は、このようにパリティマッピングの下で補助量子システムの関連するキュービットに割り当てられた変数の積に対応する。パリティマッピングを反転するタスクは、主量子システムの一次キュービットを測定することによって得られた測定結果δのセットに基づいて、補助量子システムの各キュービットに関連付けられた変数σ_ｉ，σ_ｊ，σ_ｋ・・・のセットを決定することに相当する。したがって、以下の形式の連立方程式を解く必要がある。
σ_ω１＝δ_１，σ_ω２＝δ_２，・・・，σ_ωｒ＝δ_ｒ
ここで、各δ_ａ∈｛－１，１｝は、主量子システムの一次キュービットａを測定することによって得られる測定結果（読み出し）を示し、ｒは一次キュービットの数である。更に、σ_ωａは積σ_ωａ＝σ_ωａ１σ_ωａ２σ_ωａ３・・・の短縮表記である。σ_ωａｉ∈｛－１，１｝であり、ａ１，ａ２，ａ３，・・・は、前述のようにパリティマッピングの下で一次キュービットａに関連付けられた補助システムのキュービットである。

【0257】

｛－１，１｝からの要素の乗算は、変数｛０，１｝に対してＸＯＲ演算（又はモジュロ２加算）を実行することと同形である。したがって、変数ｓ_ｋ＝（１－σ_ｋ）／２及びｄ_ｉ＝（１－δ_ｉ）／２を変更すると、上記の連立方程式は以下の第２の連立方程式と等価になる。

【数31】

そして、以下の式が成立する。

【数32】

このため、第２の連立方程式は、以下のＳＡＴ式と同等である。

【数33】

つまり、変数ｓ_ｉの満足のいく割り当てを見つける問題である。シェーファーの二分定理によれば、ＸＯＲ－ＳＡＴは複雑性クラスＰに属し、ガウス消去法で解くことができる（第２の連立方程式は、モジュロ２の連立一次方程式である）。問題のサイズｌ＝｜ｌｏｇ_２（ｎ）｜の関数として２次式的に多くの論理変数が存在するため、パリティマッピングの逆変換は効率的に、つまりｌの多項式時間で実行できる。

【0258】

３ビット×３ビット乗算器の具体例を図２０Ａ、図２０Ｂに示す。入力数値（素因数）は、バイナリ展開で与えられるｐ＝ｐ_２ｐ_１ｐ_０及びｑ＝ｑ_２ｑ_１ｑ_０である。ｐ及びｑは両方とも０から７までの整数であるため、その積は４９を超えることはできない。したがって、出力数値ｎは６ビットのレジスタｎ＝ｎ_５ｎ_４・・・ｎ_０に収まる。整数積ｎ＝ｐ・ｑの２進数を計算するために、図１６ａ）に示す乗算回路は、２のより高いべき乗へのキャリーオーバーフローを考慮しながら、３^２＝９個の二項積ｐ_ｉｑ_ｊを合計する必要がある。対応する回路は、図２０Ａに示すように、３つのＡＮＤゲート及び６つのＡＮＤ．ＦＡユニットから構築される。前述のように、ゲートノード間の各関係は、対応するローカルサブシステム間の独立した制約によって補償される。このような関係には２つのタイプがある。ａ）共通変数、つまり、２つの入力ノードが、これらの対応する状態が等しくなるように接続されるタイプ、及び、ｂ）ゲート相互接続、つまり、前のゲートの出力ノードが後続のゲートの入力ノードでもあるタイプ、である。

【0259】

図２０Ａの左側のパネルに示すように、各変数ｑ_ｊは３つのゲートの共通変数である。この意味で、ｑ_０は３つのＡＮＤゲート全ての共通入力として機能し、ｑ_１及びｑ_２はそれぞれ３つのＡＮＤ．ＦＡゲートの共通入力として機能する。図示の配置では、変数ｑ_ｊは「水平方向」に繰り返す。同様に、入力変数ｐ_ｉは「垂直方向」に繰り返す。ゲートの各列（１つのＡＮＤゲート及び２つのＡＮＤ．ＦＡゲートで構成されている）は共通の入力ｐ_ｉを有する。３つの独立したＡＮＤゲートの場合とは対照的に、ｑ_０によって与えられる第１行の入力ノード間の接続により、独立変数の数が２つ減る。３ビットの回路例は３行３列のゲートにわたって実行されるため、入力ノード間には合計２・２・３＝１２個の接続が存在する。

【0260】

図２０Ａの右側のパネルは、ゲート相互接続を示す。右端のＡＮＤゲートは最下位の有効ビットｎ_０を直接出力するが、他の２つのＡＮＤゲートは出力ｓ_０及びｓ_１を後続の２つのＡＮＤ．ＦＡゲートに供給する。更に、ＡＮＤ．ＦＡゲートの総和出力は、第２のＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力に２回接続される。４つの場合において、２つのＡＮＤ．ＦＡゲートがキャリー出力からキャリー入力に接続され、最後に１つのケースでは、キャリー出力がＡＮＤ．ＦＡゲートの総和入力に供給される。これにより、合計９つのゲート相互接続が得られる。

【0261】

要約すると、基本的なＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートから３ビット×３ビット乗算器を構築するには、１２＋９＝２１個の制約（１２個の共通変数制約及び９個のゲート相互接続制約）が必要である。図２０Ａは、関連する２４個の論理変数のラベル付けを示している。そのうちの６つは入力ｐ、ｑを保存し、６つは出力情報ｎを保持する。更に、４つの総和変数ｓ_０、ｓ_１、ｓ_２、ｓ_３、４つのキャリー変数ｃ_０、ｃ_１、ｃ_３、ｃ_４、及び、左端のキャリー出力を次の行の総和入力に接続するための特殊変数ｃｓが必要である。最後に、前のキャリーや総和がない場合でも、ＡＮＤ．ＦＡゲートを繰り返し使用するため、３つの補助変数ａ_０、ａ_１、ａ_２を導入する。これらの入力をゼロに設定すると、全加算器の実行内で必要な半加算器を実行できるようになる。

【0262】

パリティモデルへの変換は上記のように進行する。各ＡＮＤゲートは４個のキュービットのプラケットとして実行され、ＡＮＤ．ＦＡゲートは合計９個のキュービットの体心立方体によって実現される。更に、ゲート及びノードの接続は、裸のプラケットを接続するパリティ制約（ゲート相互接続ハミルトニアン、共通変数ハミルトニアン）に変換される。図１５ｉ～図１５ｉｘは、基本的な変換手順を示している。

【0263】

次に、共通変数ハミルトニアンについて説明する。図１５ｉｉｉ、図１５ｉｖは、ｑｊ入力変数を「水平に」繰り返すケースを示している。前述のように、隣接するゲートに現れる共通入力変数ｑ_ｊは、両方の総和プラケットを接続するパリティモデル内の追加の４体制約（共通変数ハミルトニアン）に変換される。入力変数の水平方向の接続に加えて、垂直方向に繰り返される変数ｐ_ｉもある。水平のケースと同様に、これらの接続により、総和プラケットを接続する追加の４体制約が生じる（図１５ｖｉｉ～図１５ｉｘを参照）。よりよく理解するには、より単純な回路を考えることが役立つ。サイズｋ×ｋのＡＮＤゲートの２Ｄグリッドを考える。回路が入力ノード間に２ｋ（ｋ－１）個の接続を有するように、ゲートの第１の入力ノードを列方向に接続し、第２の入力ノードを行方向に接続する。ｋ^２個のプラケットを使用して、ＡＮＤゲートのロジックをパリティモデルに変換する。［ｉ，ｊ］によってＡＮＤゲートを列挙する。ここで、ｉは列インデックスを示し、ｊは行インデックスを示す（図２０Ａの左側のパネルと同様）。ｓ_ｉ，ｊを［ｉ，ｊ］－ＡＮＤゲートの総和出力と呼ぶ場合、対応するプラケットにはラベル（ｓ_ｉ，ｊ）、（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ）、（ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）及び（ｐ_ｉ、ｑ_ｊ、ｓ_ｉ、ｊ）が付けられる。これらをセットＲ：＝｛（ｓ_ｉ，ｊ），（ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）｝及びＬ：＝｛（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ），（ｐ_ｉ，ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）｝にグループ化することもできるし、代わりにＤ：＝｛（ｓ_ｉ，ｊ），（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ）｝及びＵ：＝｛（ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ），（ｐ_ｉ，ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）｝にグループ化することもできる。セット「右」Ｒ及び「左」Ｌからの２つのタプルは、列ｉとは無関係に形式的にはｑ_ｊだけ異なるが、「ダウン」Ｄ及び「アップ」Ｕの要素は、全ての行インデックスｊについてｐ_ｉだけ異なる。したがって、隣接するＡＮＤパリティプラケット［ｉ，ｊ］、［ｉ＋１，ｊ］は、例えば、Ｌ_１：＝｛（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ），（ｐ_ｉ，ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）｝及びＲ_２：＝｛（ｓ_{ｉ＋１，ｊ}），（ｑ_ｊ，ｓ_{ｉ＋１，ｊ}）、つまり、第１のプラケットの左側のセットと第２のプラケットの右側のセットにラベル付けされたキュービットを含むパリティ制約に接続できる。同様に、垂直方向に隣接するＡＮＤパリティプラケット［ｉ，ｊ］、［ｉ，ｊ＋１］は、Ｄ_１：＝｛（ｓ_ｉ，ｊ），（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ）｝及びＵ_２：＝｛（ｑ_ｊ＋１，ｓ_{ｉ，ｊ＋１}），（ｐ_ｉ，ｑ_ｊ＋１，ｓ_{ｉ，ｊ＋１}）｝のラベルを有するキュービットのパリティ制約で接続できる。特に、プラケット間のラベルを慎重に配置することにより、水平方向及び垂直方向のパリティ制約を同時に利用できる。考えられる方法は、上部のキュービットがセットＵからのラベルでラベル付けされ、下部、右側、左側のキュービットがそれぞれラベル付けされるように、各プラケット内のラベル付けを配置することである。その意味では、右下角のキュービットはラベルＲＤ＝Ｒ∩Ｄ＝（ｓ_ｉ，ｊ）を取得する必要がある。同様に、ＬＤ＝（ｐ_ｉ，ｓ_ｉ，ｊ）、ＲＵ＝（ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）、ＬＵ＝（ｐ_ｉ，ｑ_ｊ，ｓ_ｉ，ｊ）が得られる。この配置によって２ｋ（ｋ－１）個の新しい４体パリティ制約が得られることを確認するのは簡単である。

【0264】

この分析を念頭に置いて、乗算回路にあるＡＮＤプラケット及びＡＮＤ．ＦＡプラケットの配置に再度焦点を当てる。すでに前述のように、２つのＡＮＤ．ＦＡプラケットのうちの１つは、概念的にはＡＮＤパリティプラケットと同様であることに留意されたい。つまり、対応するラベル付けは、総和出力ラベルｓを３つのｓ、ｃ、ｓ’で正式に置き換えることによって取得される。この違いを除けば、乗算回路に関連する総和プラケットの全体的な構造は、ＡＮＤゲートの２Ｄグリッドの例と同じである。ここでも、入力変数ｐ_ｉは垂直方向に繰り返され、変数ｑ_ｊは水平方向に繰り返される。これにより、隣接するキュービットのプラケットに作用する２ｋ（ｋ－１）個の新しい４つのパリティ制約を使用して、プラケット及び対応するＡＮＤ．ＦＡゲートの総和プラケットを２Ｄ層に配置できることが容易に理解できる。ｋ＝３の場合、図２０Ｂの左側パネルに示すように、１２個の新しい制約が存在する。これらのプラケットは第１層に配置される。図２０Ｂの左側パネルの図は、物理キュービットのラベル付けを示す。同じプラケットに属するキュービット間でいくつかのインデックスが繰り返し現れるため、簡略表記を導入する。ラベルの文字列を形式的に共通部分と固有部分とに分割する。図２０Ｂにおいて＋（共通ラベル）の形式の表現によって示される共通部分はプラケットの中央に示され、固有の別個の部分はキュービットに関連付けられたラベルとして表される。読者がプラケットの中央に＋（共通ラベル）の形式の表現を見つけたときは常に、これは前記プラケットの４つのキュービットのそれぞれのラベルが共通部分（共通ラベル）によって拡張され、実際のラベル文字列を形成すると理解されるべきである。例えば、図２０Ｂの左側パネルの右上角のプラケットに関して、前記プラケットの３つのキュービットは、（ｐ_０，ｑ_０），（ｑ_０），（ｐ_０）によってラベル付けされており、前記プラケットの１つのキュービットはラベルを有しない。更に、プラケットの中央には＋ｎ_０という表現が示されている。したがって、前記プラケットのキュービットラベルは、共通部分がｎ_０である（ｐ_０，ｑ_０，ｎ_０）、（ｑ_０，ｎ_０）、（ｐ_０，ｎ_０）及び（ｎ_０）として理解されるべきである。

【0265】

第１層を形成する９つのプラケット（すなわち、総和プラケット）の横に、第１層から依然として切断された６つのプラケット（６つのＡＮＤ．ＦＡゲート（キャリープラケット）に関連する）が存在する。ゲート相互接続は、キャリープラケットを第１層に結合するためのパリティ制約（ゲート相互接続ハミルトニアン）に変換される。基本的な構築ステップは前述されており、図１５ｉｖ～図１５ｖｉｉに示されている。前述のように、総和及びキャリープラケットの各ペアに対して、対応するキャリーキュービットの値を制約が固定するように、３体パリティ制約（ゲート相互接続ハミルトニアン）及びキャリーキュービットが導入される。キャリープラケットは、それらの総和の対応物（図２０Ｂの右側のパネルを参照）の上にある第２層上に配置することができるが、キャリーキュービットは、これらの２つの層の間の中間層に配置することができる（図２０Ｂの中央のパネルを参照）。６つのｃ_０、ｃ_１、ｃｓ、ｃ_２、ｃ_３、ｎ_５の補助キャリーキュービットを利用して、ゲート相互接続に関連する欠落している９つの制約を表ＩＩに示すように構築できる。

【表II】

【0266】

表ＩＩでは、２つの変数を有するラベルは最上層のキュービットを参照し、１つの変数を含む他のラベルは、中間層のキャリーキュービット又は最下層のプラケットの第１行の出力キュービットのいずれかに関連付けられる（図２０Ｂを参照）。「ｃｏｍｍ．ｖａｒ．」列は、各ゲート相互接続に関連付けられた共通変数を示す。回路内のそのような各ゲート相互接続により、量子システムにおけるパリティ制約（ゲート相互接続ハミルトニアン）の構築が可能になる。それらのいくつかは、４体制約及び３体制約など、図２０Ｂで強調表示されている。３ビット×３ビット乗算器の例の３Ｄ概略図については、図１４も参照されたい。合計１２＋９＝２１個のパリティ制約により、生のゲートから乗算回路を構築するときに共通入力変数及びゲート相互接続によって行われる２１個の特定が補償される。ラベルｎ_０及びｎ_５に関連付けられたキュービット上の単体フィールド（単体ハミルトニアン）と、ラベルのセット｛（ｃ_２），（ｎ_２，ｃ_２）｝、｛（ｃ_３），（ｎ_３，ｃ_３）｝及び｛（ｃ_５），（ｎ_４，ｃ_５）｝に関連する２体ハミルトニアンとを導入することで、３ビット×３ビットの乗算アーキテクチャをプログラムできる。つまり、因数分解される整数ｎを量子システムにコード化できる。説明のために、図２０Ｂは、ビットｎ_２をプログラムするのに必要な２体ハミルトニアンのうちの１つを示す。更に、一部のキャリー入力ａ１、ａ２と総和入力ａ０は、｛（ｃｓ），（ａ_０，ｃｓ）｝、｛（ｃ_０），（ａ_１，ｃ_０）｝及び｛（ｃ_２），（ａ_２，ｃ_２）｝に作用する追加のハミルトニアンを追加することによってゼロに設定される。これにより、ＡＮＤ．ＦＡゲートの実行内で半加算器のロジックを模倣することができる。

【0267】

前述の３ビット×３ビットの例は、簡単な方法で任意の整数に一般化できる。

【0268】

上記は実施形態を対象としたものであるが、特許請求の範囲によって決定される範囲から逸脱することなく、他の更なる実施形態を考案することができる。

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15i】

【図15ii】

【図15iii】

【図15iv】

【図15v】

【図15vi】

【図15vii】

【図15viii】

【図15ix】

【図16a)】

【図16b)】

【図17】

【図18】

【図19】

【図20A】

【図20B】

【手続補正書】

【提出日】2024-04-09

【手続補正1】

【補正対象書類名】特許請求の範囲

【補正対象項目名】全文

【補正方法】変更

【補正の内容】

【特許請求の範囲】

【請求項1】

整数の素因数分解を実行する量子計算方法であって、
ａ）複数の論理ゲート（１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（１０００）を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
ｂ）前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（Ｈ_Ｇ）を決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である、前記決定するステップと、
ｃ）構成要素（４０１～４０４、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（１１００）を提供するステップであって、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記提供するステップと、
ｄ）前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
ｅ）前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｆ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｇ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｈ）前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項2】

前記量子システムは、それぞれが前記構成要素のサブセットを含むローカルサブシステム（１１１０～１１１３、１１２０～１１２３、１１３０～１１３３、１１４０～１１４３）を含み、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンが、ローカルサブシステムに関連付けられる、
請求項１に記載の量子計算方法。

【請求項3】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから短距離量子相互作用を決定するステップであって、前記決定された短距離量子相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された短距離量子相互作用を実行することを含む、
請求項２に記載の量子計算方法。

【請求項4】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから単体相互作用を決定するステップであって、前記決定された単体相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する単体ハミルトニアンによって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された単体相互作用を実行することを含む、
請求項２又は３に記載の量子計算方法。

【請求項5】

複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは相互作用係数を有し、前記相互作用係数は単体相互作用にマッピングされる、
請求項４に記載の量子計算方法。

【請求項6】

前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンについて、前記ゲートコード化ハミルトニアンから１つ以上の制約相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上の制約相互作用が、前記ゲートコード化ハミルトニアンに関連付けられた前記ローカルサブシステム内で作用する制約ハミルトニアンによって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された１つ以上の制約相互作用を実行することを含む、
請求項２から５の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項7】

（ａ）前記論理ゲート回路は、論理ゲートのペア間の複数のゲート相互接続（１０５０）を含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
複数の前記ゲート相互接続の各ゲート相互接続（１０５０）について、前記ゲート相互接続から１つ以上のゲート相互接続相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上のゲート相互接続相互作用は、前記量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合するゲート相互接続ハミルトニアン（１１５０）によって表現可能である、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定されたゲート相互接続相互作用を実行することを含む、及び／又は、
（ｂ）前記論理ゲート回路は、論理ゲートのグループの共通変数を含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップが、
共通変数のセットの各共通変数について、前記共通変数から１以上の共通変数相互作用を決定するステップであって、前記１つ以上の共通変数相互作用が、共通変数ハミルトニアン（１１５１～１１５３、１１６１～１１６３、１１７１～１１７３）によって表現可能であり、前記量子システムの少なくとも２つのローカルサブシステムを結合する、前記決定するステップを含み、
前記短距離量子相互作用の第１のセットを実行することが、前記決定された共通変数相互作用を実行することを含む、
請求項２から６の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項8】

前記量子システムを発展させるステップが、総ハミルトニアンの基底状態に向かって前記量子システムを発展させるステップを含み、前記総ハミルトニアンが、第１のハミルトニアン及び第２のハミルトニアンを含む総和であり、前記第１のハミルトニアンが、前記短距離量子相互作用の第１セットを表し、前記第２のハミルトニアンが、前記短距離量子相互作用の第２のセットを表す、
請求項１から７の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項9】

（ａ）前記量子システムを発展させるステップが、
前記量子システムを冷却するステップ、又は、
前記量子システムの断熱発展を実行するステップ、又は、
前記量子システムの反断熱発展を実行するステップ、又は、
前記量子システムのユニタリ発展を実行するステップ、又は、
それらの任意の組み合わせを含む、及び／又は、
（ｂ）複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンが、古典的ハミルトニアン又は量子ハミルトニアンである、
請求項１から８の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項10】

前記論理ゲートは、ＡＮＤゲート及び／又はＡＮＤ．ＦＡゲートを含み、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートは、ＡＮＤゲート及びＡＮＤ．ＦＡゲートのうちの１つである、
請求項１から９の何れか１項に記載の量子計算方法。

【請求項11】

ＡＮＤゲートである、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連付けられた前記ゲートコード化ハミルトニアンが以下の形式を有する、
請求項１０に記載の量子計算方法。

【数34】

ここで、σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓは、それぞれ論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量であり、前記論理変数ｕ及びｖは前記ＡＮＤゲートの入力変数であり、前記論理変数ｓは前記ＡＮＤゲートの出力変数である。

【請求項12】

ＡＮＤ．ＦＡゲートである、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連付けられた前記ゲートコード化ハミルトニアンが以下の形式を有する、
請求項１０又は１１に記載の量子計算方法。

【数35】

ここで、σｕ、σｖ、σｓ、σｃ、σｓ’及びσｃ’は、それぞれ論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量であり、前記論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃは前記ＡＮＤ．ＦＡゲートの入力変数であり、前記論理変数ｓ’及びｃ’は前記ＡＮＤ．ＦＡゲートの出力変数である。

【請求項13】

整数の素因数分解を実行する量子計算方法であって、
ａ）複数の論理ゲート（１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（１０００）を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
ｂ）構成要素（４０１～４０４、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（１１００）を提供するステップと、
ｃ）前記論理ゲートに基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップであって、複数の前記論理ゲートの各論理ゲートに対して、前記論理ゲートに関連付けられた前記構成要素のサブセット（１１１０～１１１３、１１２０～１１２３、１１３０～１１３３、１１４０～１１４３）を決定することと、前記構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で前記論理ゲートをコード化することと、を含む、前記決定するステップと、
ｄ）前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｅ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットの実行を含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｆ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｇ）前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項14】

構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンであって、
少なくとも４つの構成要素を含む前記量子システムの基本的サブシステム（Ｓ_ＡＮＤ）を決定するステップであって、
以下の式（Ａ）で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤの各被加数ハミルトニアンが、前記基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられており、

【数36】

前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤは、論理変数ｕ及びｖを入力変数として有し、論理変数ｓを出力変数として有するＡＮＤゲートの入出力関係をコード化し、
σ_ｕ、σ_ｖ及びσ_ｓはそれぞれ前記論理変数ｕ、ｖ及びｓに関連付けられたスピン観測可能量である、
前記基本的サブシステムを決定するステップと、
前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_ＡＮＤから前記基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するステップと、
前記決定された短距離量子相互作用を前記基本的サブシステムで実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
を有する基本的サブルーチン。

【請求項15】

構成要素を含む量子システムで演算する量子計算の基本的サブルーチンであって、
少なくとも４つの構成要素を含む前記量子システムの基本的サブシステム（Ｓ_ＡＮＤ）を決定するステップであって、
以下の式（Ｂ）で定義されるゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}の各被加数ハミルトニアンが、前記基本的サブシステムの各構成要素に関連付けられており、

【数37】

前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}は、論理変数ｕ、ｖ、ｓ及びｃを入力変数として有し、論理変数ｓ’及びｃ’を出力変数として有するＡＮＤ．ＦＡゲートの入出力関係をコード化し、
σ_ｕ、σ_ｖ、σ_ｓ、σ_ｃ、σ_ｓ’及びσ_ｃ’はそれぞれ前記論理変数ｕ、ｖ、ｓ、ｃ、ｓ’及びｃ’に関連付けられたスピン観測可能量である、
前記基本的サブシステムを決定するステップと、
前記ゲートコード化ハミルトニアンＨ_{ＡＮＤ．ＦＡ}から前記基本的サブシステムの短距離量子相互作用を決定するステップと、
前記決定された短距離量子相互作用を前記基本的サブシステムで実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
を有する基本的サブルーチン。

【請求項16】

量子計算を実行する方法であって、
構成要素を含む量子システムを提供するステップと、
請求項１６に記載の１つ以上の基本的サブルーチン及び／又は請求項１７に記載の１つ以上の基本的サブルーチンを実行するステップと、
前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
を有する量子計算実行方法。

【請求項17】

複数の論理ゲート（２１～２８、１０１０～１０１３、１０２０～１０２３、１０３０～１０３３、１０４０～１０４３）を含む論理ゲート回路（２００、１０００）を反転する量子計算方法であって、
ａ）前記論理ゲート回路の未知の入力に対応する前記論理ゲート回路の出力を提供するステップと、
ｂ）前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアン（Ｈ_Ｇ）を決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和である、前記決定するステップと、
ｃ）構成要素（３２０、４０１～４０４、７５０、９０１～９０４、９１１～９１４）を含む量子システム（３００、７００、１１００）を提供するステップであって、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記提供するステップと、
ｄ）前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
ｅ）前記論理ゲート回路の出力に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、
ｆ）前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるステップと、
ｇ）前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するステップと、
ｈ）前記読み出しに基づいて前記論理ゲート回路の前記未知の入力を決定するステップと、
を有する量子計算方法。

【請求項18】

整数の素因数分解を実行する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和であり、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記決定するステップと、
前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【請求項19】

整数の素因数分解を実行する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を決定するステップであって、前記論理ゲート回路は、出力として前記整数を有する乗算関数を計算するように構成される、前記決定するステップと、
前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップであって、前記複数の論理ゲートの各論理ゲートについて、前記論理ゲートに関連する構成要素のサブセットを決定し、前記構成要素のサブセットの短距離量子相互作用で前記論理ゲートをコード化する、前記第１のセットを決定するステップと、
前記整数に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記整数の素因数を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【請求項20】

複数の論理ゲートを含む論理ゲート回路を反転する装置（１２００）であって、
古典的計算システム（１２１０）と、
構成要素を含む量子システム（１２５０）と、
量子処理ユニット（１２２０）と、
測定ユニット（１２３０）と、を備え、
前記古典的計算システムは、
前記論理ゲート回路の未知の入力に対応する前記論理ゲート回路の出力を提供するステップと、
前記複数の論理ゲートの論理ゲート毎に１つずつ、ゲートコード化ハミルトニアンを決定するステップであって、各ゲートコード化ハミルトニアンは、前記複数の論理ゲートの１つの論理ゲートの入出力関係をコード化し、被加数ハミルトニアンの総和であり、複数の前記ゲートコード化ハミルトニアンの各ゲートコード化ハミルトニアンの各被加数ハミルトニアンは、前記量子システムの各構成要素と関連付けられる、前記決定するステップと、
前記論理ゲート回路の前記論理ゲートに基づいて、前記構成要素の短距離量子相互作用の第１のセットを決定するステップと、
前記論理ゲート回路の出力に基づいて前記構成要素の短距離量子相互作用の第２のセットを決定するステップと、を実行するように構成されており、
前記量子処理ユニットは、前記短距離量子相互作用の第１のセット及び前記短距離量子相互作用の第２のセットを実行することを含み、前記量子システムを発展させるように構成されており、
前記測定ユニットは、前記量子システムの少なくとも一部を測定して読み出しを取得するように構成されており、
前記古典的計算システムは、前記読み出しに基づいて前記論理ゲート回路の前記未知の入力を決定するように更に構成されている、
量子計算装置。

【国際調査報告】