特許 6445487 論理和演算装置および論理和演算方法

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】6445487

(24)【登録日】2018年12月7日

(45)【発行日】2018年12月26日

(54)【発明の名称】論理和演算装置および論理和演算方法

(51)【国際特許分類】

   G06F 7/38 20060101AFI20181217BHJP

【ＦＩ】

   G06F7/38 510

【請求項の数】8

【全頁数】24

(21)【出願番号】特願2016-109091(P2016-109091)

(22)【出願日】2016年5月31日

(65)【公開番号】特開2017-215771(P2017-215771A)

(43)【公開日】2017年12月7日

【審査請求日】2018年5月31日

(73)【特許権者】

【識別番号】000004226

【氏名又は名称】日本電信電話株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】100121706

【弁理士】

【氏名又は名称】中尾 直樹

(74)【代理人】

【識別番号】100128705

【弁理士】

【氏名又は名称】中村 幸雄

(74)【代理人】

【識別番号】100147773

【弁理士】

【氏名又は名称】義村 宗洋

(72)【発明者】

【氏名】高橋 康博

(72)【発明者】

【氏名】谷 誠一郎

【審査官】 田川 泰宏

(56)【参考文献】

【文献】 特開２０１３−０８８８３９（ＪＰ，Ａ）

【文献】 特開２００８−２６９０１２（ＪＰ，Ａ）

【文献】 米国特許第０６０８１８８２（ＵＳ，Ａ）

(58)【調査した分野】（Int.Cl.，ＤＢ名）

Ｇ０６Ｆ ７／３８

Ｇ０６Ｆ ７／３８

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

ｎが２以上の整数であり、ｗが１≦ｗ≦ｎを満たす整数であり、ｘ_ｗ∈｛０，１｝であり、｜ｘ｜＝ｘ_１＋…＋ｘ_ｎであり、ｃｅｉｌ（・）が（・）の天井関数であり、ｍ＝ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））であり、ｋが１≦ｋ≦ｍを満たす整数であり、
初期状態が｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉であるｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ、初期状態が｜ｙ〉である１個の出力量子ビットＹ、初期化補助量子ビット、および未初期化補助量子ビットを用い、

【数32】

で表される状態｜φ_ｋ〉を生成する第１量子演算部と、
前記状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉からφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成する第２量子演算部と、
を有する論理和演算装置。

【請求項2】

請求項１の論理和演算装置であって、
ｎが３以上の整数である、論理和演算装置。

【請求項3】

請求項１または２の論理和演算装置であって、
Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）がｍ個の前記初期化補助量子ビットであり、ｎｍ（ｍ＋３）／２個の前記未初期化補助量子ビットからなる集合が部分集合Ａ（１），…，Ａ（ｍ），Ｂ（１），…，Ｂ（ｍ）からなり、前記部分集合Ａ（ｋ）がｎ個の前記未初期化補助量子ビットＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）からなり、前記部分集合Ｂ（ｋ）がｋ個の部分集合Ｂ（ｋ，１），…，Ｂ（ｋ，ｋ）からなり、ｒは１≦ｒ≦ｋを満たす整数であり、前記部分集合Ｂ（ｋ，ｒ）がｎ個の前記未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）からなり、
前記第１量子演算部は、第１から第１０演算部を含み、ｍ個のステージＳ（１），…，Ｓ（ｍ）を実行し、ｓが１≦ｓ≦ｍを満たす整数であり、ｓ’が２≦ｓ’≦ｍを満たす整数であり、前記ステージＳ（ｓ’）は前記ステージＳ（ｓ’−１）の後に実行され、
前記初期化補助量子ビットＩ（１），…，Ｉ（ｍ）の初期状態が｜０〉，…，｜０〉であり、前記未初期化補助量子ビットＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）の初期状態が｜ａ_１（ｋ）〉，…，｜ａ_ｎ（ｋ）〉であり、前記未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）の初期状態が｜ｂ_１（ｋ，ｒ）〉，…，｜ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）〉であり、
前記ステージＳ（ｓ）では、
前記第１演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用し、
前記第２演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を行い、
前記第３演算部が、ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を行い、
前記第４演算部が、
ｓ＝１のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を行い、
ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を行い、
前記第５演算部が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を行い、
前記第６演算部が、
ｓ＝１のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を行い、
ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を行い、
前記第７演算部が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を行い、
前記第８演算部が、ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を行い、
前記第９演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を行い、
前記第１０演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用する、論理和演算装置。

【請求項4】

請求項３の論理和演算装置であって、
前記第２量子演算部は、第１１から１４演算部を含み、
前記第１１演算部は、１≦ｋ≦ｍについて、Ｉ（ｋ）にNOT演算を適用し、
前記第１２演算部は、Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）を制御ビットとし、Ｙを標的ビットとした(m+1)-Toffoli演算を適用し、
前記第１３演算部は、１≦ｋ≦ｍについてのＩ（ｋ）およびＹにNOT演算を適用し、
前記第１４演算部は、逆演算ＲＳ（ｍ），…，ＲＳ（１）を行い、
前記逆演算ＲＳ（ｓ）は前記ステージＳ（ｓ）の逆演算であり、前記逆演算ＲＳ（ｓ’−１）は前記逆演算ＲＳ（ｓ’）の後に実行される、論理和演算装置。

【請求項5】

ｎが２以上の整数であり、ｗが１≦ｗ≦ｎを満たす整数であり、ｘ_ｗ∈｛０，１｝であり、｜ｘ｜＝ｘ_１＋…＋ｘ_ｎであり、ｃｅｉｌ（・）が（・）の天井関数であり、ｍ＝ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））であり、ｋが１≦ｋ≦ｍを満たす整数であり、
第１量子演算部が、初期状態が｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉であるｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ、初期状態が｜ｙ〉である１個の出力量子ビットＹ、初期化補助量子ビット、および未初期化補助量子ビットを用い、

【数33】

で表される状態｜φ_ｋ〉を生成する第１量子演算ステップと、
第２量子演算部が、前記状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉からφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成する第２量子演算ステップと、
を有する論理和演算方法。

【請求項6】

請求項５の論理和演算方法であって、
ｎが３以上の整数である、論理和演算方法。

【請求項7】

請求項５または６の論理和演算方法であって、
Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）がｍ個の前記初期化補助量子ビットであり、ｎｍ（ｍ＋３）／２個の前記未初期化補助量子ビットからなる集合が部分集合Ａ（１），…，Ａ（ｍ），Ｂ（１），…，Ｂ（ｍ）からなり、前記部分集合Ａ（ｋ）がｎ個の前記未初期化補助量子ビットＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）からなり、前記部分集合Ｂ（ｋ）がｋ個の部分集合Ｂ（ｋ，１），…，Ｂ（ｋ，ｋ）からなり、ｒ＝１，…，ｋであり、前記部分集合Ｂ（ｋ，ｒ）がｎ個の前記未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）からなり、
前記第１量子演算部は、第１から第１０演算部を含み、ｍ個のステージＳ（１），…，Ｓ（ｍ）を実行し、ｓが１≦ｓ≦ｍを満たす整数であり、ｓ’が２≦ｓ’≦ｍを満たす整数であり、前記ステージＳ（ｓ’）は前記ステージＳ（ｓ’−１）の後に実行され、
前記初期化補助量子ビットＩ（１），…，Ｉ（ｍ）の初期状態が｜０〉，…，｜０〉であり、前記未初期化補助量子ビットＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）の初期状態が｜ａ_１（ｋ）〉，…，｜ａ_ｎ（ｋ）〉であり、前記未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）の初期状態が｜ｂ_１（ｋ，ｒ）〉，…，｜ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）〉であり、
前記ステージＳ（ｓ）では、
前記第１演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用し、
前記第２演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を行い、
前記第３演算部が、ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を行い、
前記第４演算部が、
ｓ＝１のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を行い、
ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を行い、
前記第５演算部が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を行い、
前記第６演算部が、
ｓ＝１のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を行い、
ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を行い、
前記第７演算部が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を行い、
前記第８演算部が、ｓ≧２のときに、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を行い、
前記第９演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を行い、
前記第１０演算部が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用する、論理和演算方法。

【請求項8】

請求項７の論理和演算方法であって、
前記第２量子演算部は、第１１から１４演算部を含み、
前記第１１演算部は、１≦ｋ≦ｍについて、Ｉ（ｋ）にNOT演算を適用し、
前記第１２演算部は、Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）を制御ビットとし、Ｙを標的ビットとした(m+1)-Toffoli演算を適用し、
前記第１３演算部は、１≦ｋ≦ｍについてのＩ（ｋ）およびＹにNOT演算を適用し、
前記第１４演算部は、逆演算ＲＳ（ｍ），…，ＲＳ（１）を行い、
前記逆演算ＲＳ（ｓ）は前記ステージＳ（ｓ）の逆演算であり、前記逆演算ＲＳ（ｓ’−１）は前記逆演算ＲＳ（ｓ’）の後に実行される、論理和演算方法。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、量子計算技術に関し、特に論理和関数を計算する技術に関する。

【背景技術】

【0002】

入力桁数をｎとするとき、初期化補助量子ビットを持たず、１個の未初期化補助量子ビットを持ち、Ｏ（ｎ）個の計算ステップで論理和関数ｘ_１∨…∨ｘ_ｎを計算する量子回路の構成方法が知られている（例えば、非特許文献１等参照）。図１７はｎ＝７としたときの例であり、状態（量子状態）｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉の入力量子ビットおよび状態｜ｙ〉の出力量子ビットの他に、任意の状態｜ａ_１〉の未初期化補助量子ビットが用いられる。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0003】

【非特許文献1】Barenco, C. H. Bennett, R. Cleve, D. P. DiVincenzo, N. Margolus, P. Shor, T. Sleator, J. A. Smolin, and H. Weinfurter, “Elementary gates for quantum computation,” Phys. Rev. A, Vol. 52 No. 5, pp. 3457-3467, 1995.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0004】

計算ステップの個数が多いほど量子回路の計算時間が長くなる。また、計算ステップの個数が多いほど物理的実現性が低下する。従って、物理的実現性の高さと短い計算時間を同時に実現するためには、計算ステップの個数を小さくするほうがよい。従来方法ではＯ（ｎ）個の計算ステップで論理和関数を行っており、物理的実現性と計算時間の長さに問題がある。

【0005】

本発明の課題は、従来よりも少ない計算ステップで論理和関数を計算することである。

【課題を解決するための手段】

【0006】

ｘ_１，…，ｘ_ｎの論理和を計算するために、初期状態が｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉であるｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ、初期状態が｜ｙ〉である１個の出力量子ビットＹ、初期化補助量子ビット、および未初期化補助量子ビットを用い、

【数1】

で表される状態｜φ_ｋ〉を生成し、当該状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉からφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成する。ただし、ｎが２以上の整数であり、ｗが１≦ｗ≦ｎを満たす整数であり、ｘ_ｗ∈｛０，１｝であり、｜ｘ｜＝ｘ_１＋…＋ｘ_ｎであり、ｃｅｉｌ（・）が（・）の天井関数であり、ｍ＝ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））であり、ｋが１≦ｋ≦ｍを満たす整数である。

【発明の効果】

【0007】

初期化補助量子ビットおよび未初期化補助量子ビットを用い、ｘ_１，…，ｘ_ｎの論理和の計算をφ_１，…，φ_ｍの論理和の計算に帰着させることで、従来よりも少ない計算ステップで論理和関数を計算できる。

【図面の簡単な説明】

【0008】

【図1】図１は実施形態の論理和演算装置の機能構成を例示したブロック図である。

【図2】図２Ａおよび図２Ｂは補助量子ビットの構成を例示したブロック図である。

【図3】図３は本形態の論理和演算を行う量子回路の例示である。

【図4】図４は本形態の論理和演算を行う量子回路の例示である。

【図5】図５は本形態の論理和演算を行う量子回路の例示である。

【図6】図６ＡはNOT演算を表し、図６ＢはCNOT演算を表し、図６Ｃはアダマール演算を表し、図６Ｄはz-Toffoli演算を表す。

【図7】図８は5-Toffoli演算を行う量子回路である。

【図8】図７は3-Toffoli演算を行う量子回路である。

【図9】図９Ａは制御Ｖ演算を表し、図９Ｂは制御Ｖ演算の逆演算を表す。

【図10】図１０はp-fanout演算を表す。

【図11】図１１は9-fanout演算を行う量子回路の一例である。

【図12】図１２Ａは(p,q)−位相シフト演算を表し、図１２Ｂは(p,q)−位相シフト演算の逆演算を表す。

【図13】図１３は(9,q)−位相シフト演算を行う量子回路の一例である。

【図14】図１４Ａは本形態の処理の全体を説明するためのフローチャートである。図１４Ｂは図１４ＡのステップＳ１の詳細を説明するためのフローチャートである。

【図15】図１５はステップＳ（ｓ）の詳細を説明するためのフローチャートである。

【図16】図１６はステップＳ２の詳細を説明するためのフローチャートである。

【図17】図１７は論理和関数を計算する従来の量子回路の例示である。

【発明を実施するための形態】

【0009】

以下、本発明の実施形態を説明する。
［定義］
まず実施形態で使用する用語を定義する。
論理和関数とは、長さ１以上の全ての有限ビット列からなる集合を定義域とし、｛０，１｝を値域とする関数であり、入力ビット列ｘがｎ個のビットｘ_１，…，ｘ_ｎからなる列のとき、

【数2】

を出力する関数を意味する。ただし、ｎが１以上の整数であり、１≦ｗ≦ｎを満たす整数ｗに対し、ｘ_ｗは０または１（ｘ_ｗ∈｛０，１｝）であり、｜ｘ｜＝ｘ_１＋…＋ｘ_ｎである。例えばｎは２以上の整数であり、特に本形態ではｎが３以上の整数のときに効果が高い。以下では、論理積関数も扱うが、この関数は入力ビット列ｘがｎ個のビットｘ_１，…，ｘ_ｎからなる列のとき、

【数3】

を出力する。

【0010】

【数4】

は２を法とする加算（排他的論理和）を表し、記載表記の制約上、本形態ではこれを（＋）と表記することもある。任意のα∈｛０，１｝に対し、α（＋）１（αにNOT演算を適用した値）を

【数5】

と記述する。このとき

【数6】

という関係が成り立つことは容易に確認できる。

【0011】

入力桁数をｎとするとき、論理和関数を計算する量子回路とは，ｎ個の入力量子ビットと１個の出力量子ビットを持ち、任意のｘ_１，…，ｘ_ｎ，ｙ∈｛０，１｝に対し、入力量子ビットの初期状態を｜ｘ_１〉…｜ｘ_ｎ〉、出力量子ビットの初期状態を｜ｙ〉とすると、その量子回路を構成する基本演算を全て適用することにより、入力量子ビットの状態は変化せず、出力量子ビットの状態がｙ（＋）ｘ_１∨…∨ｘ_ｎ（２を法とした、ｙにｘ_１∨・・・∨ｘ_ｎを加算した値の剰余）となるような量子回路のことである。論理積関数を計算する量子回路も同様に定義される。すなわち、論理積関数を計算する量子回路とは，ｎ個の入力量子ビットと１個の出力量子ビットを持ち、任意のｘ_１，…，ｘ_ｎ，ｙ∈｛０，１｝に対し、入力量子ビットの初期状態を｜ｘ_１〉…｜ｘ_ｎ〉、出力量子ビットの初期状態を｜ｙ〉とすると、その量子回路を構成する基本演算を全て適用することにより、入力量子ビットの状態は変化せず、出力量子ビットの状態が｜ｙ（＋）ｘ_１∧…∧ｘ_ｎ〉となるような量子回路のことである。なお、「状態」とは「量子状態」と同義であり、「初期状態」とは「初期量子状態」と同義である。

【0012】

量子回路は入力量子ビットと出力量子ビット以外に、補助量子ビットを持つことができ、補助量子ビットは、初期化補助量子ビットと未初期化補助量子ビットに分類される。初期化補助量子ビットとは、初期状態が｜０〉と定められたものであり、未初期化補助量子ビットとは、初期状態が｜０〉と｜１〉のどちらでも許されるものである。論理和関数を計算する量子回路が、ｕ個の初期化補助量子ビットとｑ個の未初期化補助量子ビットを持つとき（ただし、ｕおよびｑは正整数）、初期化量子ビット全体の初期状態は｜０〉…｜０〉であるが、未初期化補助量子ビット全体の初期状態は、任意のａ_１，…，ａ_ｑ∈｛０，１｝に対し、｜ａ_１〉…｜ａ_ｑ〉であるとし、その量子回路を構成する全ての基本演算を適用した後で、これらの状態は変化しないものとする。すなわち、計算の途中で補助量子ビットはどのような状態になっても良いが、計算終了後には初期状態に戻らなければならないということを要請する。

【0013】

量子回路において、１個の計算ステップとは、その量子回路の中で並列に実行可能な基本演算のグループのことである。ただし、異なる量子ビット上の基本演算（NOT演算およびアダマール演算などの１量子ビット演算、並びにCNOT演算などの２量子ビット演算）は並列に実行可能であるとする。従って、λ個の計算ステップで論理和関数を計算する量子回路において、その量子回路に含まれる基本演算はλ個のグループに分類され、各グループにおいて、その中の全ての演算は並列に実行可能である。

【0014】

図６Ａに示すように、NOT演算Ｘは、任意の状態｜χ〉にある１個の量子ビットに対する演算であり、この量子ビットの状態を｜χ（＋）１〉にする（ただし、χ∈｛０，１｝，χ（＋）１＝χ＋１ ｍｏｄ ２）。

【0015】

図６Ｂに示すように、CNOT演算は、任意の状態｜χ〉にある１個の制御ビットと任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビットとに対する演算である。CNOT演算後の当該制御ビットの状態は｜χ〉であり、当該標的ビットの状態は｜χ（＋）γ〉である（ただし、χ，γ∈｛０，１｝，χ（＋）γ＝χ＋γ ｍｏｄ ２）。

【0016】

図６Ｃに示すように、アダマール（Hadamard）演算（変換）は、任意の状態｜χ〉にある１個の量子ビットに対する演算であり、この量子ビットの状態を

【数7】

にする（ただし、χ∈｛０，１｝）。

【0017】

図６Ｄに示すように、z-Toffoli演算は、任意の状態｜χ_１〉，…，｜χ_ｚ−１〉にあるｚ−１個の制御ビット（ただし、ｚは３以上の整数）、および任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビットに対する演算である。z-Toffoli演算後の当該ｚ−１個の制御ビットの状態はそれぞれ｜χ_１〉，…，｜χ_ｚ−１〉であり、当該標的ビットの状態は｜γ（＋）χ_１…χ_ｚ−１〉である（ただし、χ_１，…，χ_ｚ−１，γ∈｛０，１｝である。χ_１…χ_ｚ−１はχ_１，…，χ_ｚ−１の積であり、χ_１，…，χ_ｚ−１の論理積を表す）。z-Toffoli演算は、入力桁数がｚ−1の論理積関数χ_１∧…∧χ_ｚ−１を計算する量子回路であることに注意する。z-Toffoli演算は３-Toffoli演算からなる量子回路によって計算できる。例えば、５-Toffoli演算は図７に例示する３-Toffoli演算からなる量子回路によって計算できる。任意の状態｜χ_１〉，…，｜χ_４〉にある４個の制御ビット、任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビット、および任意の状態｜ａ_１〉，｜ａ_２〉にある２個の未初期化補助量子ビットに対し、この量子回路を適用することで、５-Toffoli演算を行うことができる。この演算後の当該４個の制御ビットの状態はそれぞれ｜χ_１〉，…，｜χ_４〉であり、当該標的ビットの状態は｜γ（＋）χ_１…χ_４〉であり、当該２個の未初期化補助量子ビットの状態はそれぞれ｜ａ_１〉，｜ａ_２〉である。図８に例示するように、３-Toffoli演算は、CNOT演算、制御Ｖ演算および制御Ｖ演算の逆演算からなる量子回路によって計算できる。任意の状態｜χ_１〉，｜χ_２〉にある２個の制御ビット、任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビットに対し、この量子回路を適用することで、３-Toffoli演算を行うことができる。この演算後の当該２個の制御ビットの状態はそれぞれ｜χ_１〉，｜χ_２〉であり、当該標的ビットの状態は｜γ（＋）χ_１χ_２〉である。

【0018】

図９Ａに示すように、制御Ｖ演算は、任意の状態｜χ〉にある１個の制御ビットと任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビットとに対する演算である（ただし、χ，γ∈｛０，１｝）。制御Ｖ演算後の当該制御ビットの状態は｜χ〉であり、当該標的ビットの状態は以下である。ただし、ｉは虚数単位を表す。

【数8】

【0019】

図９Ｂに示すように、制御Ｖの逆演算は、任意の状態｜χ〉にある１個の制御ビットと任意の状態｜γ〉にある１個の標的ビットとに対する演算である（ただし、χ，γ∈｛０，１｝）。制御Ｖ演算後の当該制御ビットの状態は｜χ〉であり、当該標的ビットの状態は以下である。

【数9】

【0020】

図１０に示すように、p-fanout演算は、任意の状態｜γ〉にある１個の制御ビット、および任意の状態｜χ_１〉，…，｜χ_ｐ−１〉にあるｐ−１個（ただし、ｐは２以上の整数）の標的ビットに対する演算である。p-fanout演算後の当該制御ビットの状態は｜γ〉であり、当該ｐ−１個の標的ビットの状態はそれぞれ｜χ_１（＋）γ〉，…，｜χ_ｐ−１（＋）γ〉である（ただし、γ，χ_１，…，χ_ｐ−１∈｛０，１｝）。

【0021】

参考文献１（C. Moore, “Quantum circuits: fanout, parity, and counting,” arXiv:quant-ph/9903046, 1999.）で述べられている量子回路から、補助量子ビットを持たず、Ｏ（ｌｏｇｐ）個の計算ステップでp-fanout演算を実行する量子回路は容易に構成できる。一例として、ｐ＝２^κ＋１のとき（ただし、κは１以上の整数）のp-fanout演算を実行する量子回路を述べる（なお、κ＝０のとき、p-fanout演算はCNOT演算であるから、１個のCNOT演算だけからなる量子回路で実行できる）。次のような量子ビットを用意する。
・１個の制御ビットΓ
・ｐ−１個の標的ビットΧ_１，…，Χ_ｐ−１
Γの初期状態は｜γ〉であり、Χ_１，…，Χ_ｐ−１の初期状態はそれぞれ、｜χ_１〉，…，｜χ_ｐ−１〉である。ただし、γ，χ_１，…，χ_ｐ−１∈｛０，１｝である。この初期状態｜γ〉｜χ_１〉，…，｜χ_ｐ−１〉を｜γ〉｜χ_１（＋）γ〉，…，｜χ_ｐ−１（＋）γ〉に変換するp-fanout演算を行う量子回路を示す。この量子回路はCNOT演算だけから構成される。この量子回路による処理は以下のようになる。

【0022】

＜ステップI＞量子回路は、Ｌ＝１，２，３，…，κについて１からκまで昇順に、次の処理を実行する。

【数10】

を制御ビットとし、

【数11】

を標的ビットとしたCNOT演算を適用する。ただし、ｊは０≦ｊ≦２^κ−Ｌ−１を満たす整数であり、これら２^κ−Ｌ個のCNOT演算は並列に適用される。
＜ステップII＞次に量子回路はΓ制御ビットとし、Χ_１を標的ビットとしたCNOT演算を適用する。
＜ステップIII＞次に量子回路はステップIの逆演算を適用する。すなわち量子回路は、Ｌ＝κ，κ−１，κ−２，…，１についてκから１まで降順に、次の処理を実行する。

【数12】

を制御ビットとし、

【数13】

を標的ビットとしたCNOT演算を適用する。ただし、ｊは０≦ｊ≦２^κ−Ｌ−１を満たす整数であり、これら２^κ−Ｌ個のCNOT演算は並列に適用される。

【0023】

κ＝３の場合（9-fanout）の量子回路は図１１のようになる。

【0024】

ｐがｐ＝２^κ＋１で表すことができない場合、p-fanout演算を行う量子回路は次のように構成される。まず、ｐ＜ｐ’＝２^κ＋１となる最小のｐ’に対し、ｐ＝ｐ’とした上述のステップI〜IIIを実行する量子回路を構成する。ただし、κは１以上の整数である。この量子回路は量子ビットΓ，Χ_１，…，Χ_ｐ’−１を持つ。次に、Χｐ，Χｐ＋１，…，Χ_ｐ’−１のいずれかの量子ビットに適用されている演算をすべて削除する。これが求める量子回路である。例えば，ｐ＝８の場合、ｐ’＝９（κ＝３）となり、図１１の回路において，Χ_８に適用されている２つのCNOT演算（最初のステップと最後のステップに含まれる）を削除したものが、8-fanout演算を実行する量子回路である。

【0025】

以上のように、任意のｐに対し、p-fanout演算を実行する量子回路は補助量子ビットを持たない。ｐ’に対応するκはκ≦ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２ ｐ）を満たすので、この量子回路の計算ステップの個数はＯ（ｌｏｇ_２ ｐ）となる。

【0026】

また図１２Ａに示すように、(p,q)−位相シフト演算は、任意の状態｜χ_１〉，…，｜χ_ｐ−１〉にあるｐ−１個の制御ビット、および任意の状態｜χ_ｐ〉にある１個の標的ビットに対するｐ量子ビット演算である（ただし、χ_１，…，χ_ｐ−１，χ_ｐ∈｛０，１｝、ｐは２以上の整数であり、ｑは１以上の整数である）。(p,q)−位相シフト演算後の当該ｐ−１個の制御ビットおよび１個の標的ビットの状態は

【数14】

である。

【0027】

非特許文献１で述べられている量子回路から、補助量子ビットを持たず、Ｏ（ｐ）個の計算ステップで(p,q)−位相シフト演算を実行する量子回路は、１個の(2,q)−位相シフト演算、２個の(2,q+1)−位相シフト演算の逆演算、および２個の(p-1)-Toffoli演算から構成できることが分かる。例えば、ｐ＝９のときの(p,9)−位相シフト演算を実行する量子回路は図１３のようになる。この8-Toffoli演算は、図１７の量子回路の最初と最後の演算ステップのNOT演算をすべて取り除き、入力量子ビットの状態｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_７〉を｜χ_１〉，…，｜χ_７〉に置換し、出力量子ビットの状態｜ｙ〉を｜χ_９〉に置換し、未初期化補助量子ビットの状態｜ａ_１〉を｜χ_８〉に置換した量子回路によって計算できる。

【0028】

図１２Ｂに示すように、(p,q)−位相シフトの逆演算は、任意の状態｜χ_１〉，…，｜χ_ｐ−１〉にあるｐ−１個の制御ビット、および任意の状態｜χ_ｐ〉にある１個の標的ビットに対するｐ量子ビット演算である（ただし、χ_１，…，χ_ｐ−１，χ_ｐ∈｛０，１｝、ｐは２以上の整数であり、ｑは１以上の整数である）。(p,q)−位相シフトの逆演算後の当該ｐ−１個の制御ビットおよび１個の標的ビットの状態は

【数15】

である。

【0029】

［実施形態］
次に、図面を参照して実施形態の概要を説明する。
＜構成＞
図１および図２に例示するように、本形態の論理和演算装置１は、演算部１１０１〜１１１０を含む量子演算部１１、演算部１２１１〜１２１４を含む量子演算部１２、ｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ、１個の出力量子ビットＹ、ｍ個の初期化補助量子ビットＩ（１），…，Ｉ（ｍ）、ｎｍ（ｍ＋３）／２個の未初期化補助量子ビットを有する。ｎは２以上の整数であるが、ｎが３以上の整数のときに計算ステップの削減効果が顕著である。ｍ＝ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））であり、ｃｅｉｌ（・）は（・）の天井関数を表す。未初期化補助量子ビットからなる集合は、部分集合Ａ（１），…，Ａ（ｍ），Ｂ（１），…，Ｂ（ｍ）からなる。部分集合Ａ（ｋ）はｎ個の未初期化補助量子ビットＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）からなる（図２Ａ）。ただし、ｋは１≦ｋ≦ｍを満たす整数（ｋ＝１，…，ｍ）である。部分集合Ｂ（ｋ）はｋ個の部分集合Ｂ（ｋ，１），…，Ｂ（ｋ，ｋ）からなり、部分集合Ｂ（ｋ，ｒ）はｎ個の未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）からなる（図２Ｂ）。ただし、ｒは１≦ｒ≦ｋを満たす整数（ｒ＝１，…，ｋ）である。すなわち部分集合Ｂ（ｋ）は、ｋｎ個の未初期化補助量子ビットＢ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）（ただし、１≦ｋ≦ｍ，１≦ｒ≦ｋ）からなる。

【0030】

論理和演算装置１は周知の量子コンピュータを用いて実現できる。例えば、イオントラップ量子コンピュータを用いる場合、イオンの基底状態と励起状態を利用して量子ビットを実現し、イオンを直線上に並べて各演算を行う。アダマール演算を含む１量子ビットユニタリ演算は個々のイオンに狙いを定めたレーザービームによって実現され、２量子ビット演算であるCNOT演算も同様に実現される。一般の２量子ビット演算は、１量子ビット演算とCNOT演算を組み合わせて実現される。

【0031】

＜処理＞
ｎ個のビットｘ_１，…，ｘ_ｎからなる入力ビット列ｘに前述の論理和関数（式（１））を適用し、論理和ｘ_１∨…∨ｘ_ｎを得る処理の概要を説明する。ただし、ｘ_ｗ∈｛０，１｝であり、ｗは１≦ｗ≦ｎを満たす整数である。

【0032】

図１４Ａに例示するように、まず量子演算部１１（第１量子演算部）が、初期状態が｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉であるｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ、初期状態が｜ｙ〉である１個の出力量子ビットＹ、初期化補助量子ビット、および未初期化補助量子ビットを用い、ｋ＝１，…，ｍについて

【数16】

で表される状態｜φ_ｋ〉を生成する。ただし、｜ｘ｜＝ｘ_１＋…＋ｘ_ｎである（ステップＳ１）。

【0033】

次に、量子演算部１２（第２量子演算部）が、状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉からφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成する。言い換えると、状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉に対する量子演算を行ってφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成する（ステップＳ２）。

【0034】

ここで、ステップＳ１で得られる状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉に対応するφ_１，…，φ_ｍの論理和φ_１∨…∨φ_ｍを表す状態は、ｘ_１，…，ｘ_ｎの論理和ｘ_１∨…∨ｘ_ｎを表す状態と等しくなる。例えばｎ＝３のときにはｍ＝２となり、ステップＳ１では次のような２つの１量子ビット状態が生成される。

【数17】

【0035】

これらが次の性質を持つことは容易に確かめられる（例えば、参考文献２：P. Hoyer and R. Spalek, “Quantum fan-out is powerful,” Theory of Computing, Vol. 1, pp. 81-103, 2005.）。
・ｘ_１∨ｘ_２∨ｘ_３＝１（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３の中の少なくとも１つは１）の場合、上の２つの状態（式（２）（３））の中の少なくとも１つは｜１〉。
・ｘ_１∨ｘ_２∨ｘ_３＝０（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３の全てが０）の場合、上の２つの状態（式（２）（３））は全て｜０〉。
従って、ｘ_１∨ｘ_２∨ｘ_３の計算は、状態｜φ_１〉，｜φ_２〉の論理和、すなわち論理和φ_１∨φ_２を表す状態を得る計算に帰着される。そのため、ステップＳ２で状態｜φ_１〉…｜φ_ｍ〉からφ_１，…，φ_ｍの論理和を表す状態を生成することで、ｘ_１∨ｘ_２∨ｘ_３の演算結果を得ることができる。

【0036】

本形態では、初期化補助量子ビットおよび未初期化補助量子ビットを用い、ｘ_１，…，ｘ_ｎの論理和の計算をφ_１，…，φ_ｍの論理和の計算に帰着させることで、従来よりも少ない計算ステップで論理和関数を計算できる。

【0037】

＜ステップＳ１の詳細＞
ステップ１の詳細を説明する。
次の量子ビットを用いる（図１，図２Ａおよび図２Ｂ）。
・ｎ個の入力量子ビットＸ_１，…，Ｘ_ｎ
・１個の出力量子ビットＹ
・ｍ個の初期化補助量子ビットＩ（１），…，Ｉ（ｍ）
・ｎｍ（ｍ＋３）／２個の未初期化補助量子ビット（未初期化補助量子ビットの構成は前述の通り）

【0038】

初期状態は次の通りである。
Ｘ_１，…，Ｘ_ｎの初期状態はそれぞれ｜ｘ_１〉，…，｜ｘ_ｎ〉
Ｙの初期状態は｜ｙ〉
Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）の初期状態はそれぞれ｜０〉，…，｜０〉
任意の１≦ｋ≦ｍに対し、Ａ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）の初期状態はそれぞれ｜ａ_１（ｋ）〉，…，｜ａ_ｎ（ｋ）〉
任意の１≦ｋ≦ｍおよび１≦ｒ≦ｋに対し、Ｂ_１（ｋ，ｒ），…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）の初期状態はそれぞれ｜ｂ_１（ｋ，ｒ）〉，…，｜ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）〉

【0039】

回路構成の記述を容易にするため、全量子ビットの状態を図示する場合、Ｘ_１，…，Ｘ_ｎの状態を先頭に記述し、その後は、ｋ＝１からｍまで順に、各ｋについてＡ_１（ｋ），…，Ａ_ｎ（ｋ）の状態，Ｉ（ｋ）の状態，Ｂ（ｋ，１），…，Ｂ（ｋ，ｋ）の状態という順序で記述し、最後にＹの状態を記述する。また、任意の１≦ｒ≦ｋに対するＢ（ｋ，ｒ）の状態は、Ｂ_１（ｋ，ｒ）の状態，…，Ｂ_ｎ（ｋ，ｒ）の状態の順に記述する。ステップＳ１では、Ｉ（ｋ）（ただし、１≦ｋ≦ｍ）の状態が｜φ_ｋ〉となり、他の量子ビットの状態は変化しない。例えば、ｎ＝３の場合、ｍ＝２であり、３個の入力量子ビットＸ_１，Ｘ_２，Ｘ_３，１個の出力量子ビットＹ，２個の初期化補助量子ビットＩ（１），Ｉ（２），１５個の未初期化補助量子ビットＡ_１（１），Ａ_２（１），Ａ_３（１），Ａ_１（２），Ａ_２（２），Ａ_３（２），Ｂ_１（１，１），Ｂ_２（１，１），Ｂ_３（１，１），Ｂ_１（２，１），Ｂ_２（２，１），Ｂ_３（２，１），Ｂ_１（２，２），Ｂ_２（２，２），Ｂ_３（２，２）の状態を上で述べた順序で記述すると、次のようになる。
｜ｘ_１〉｜ｘ_２〉｜ｘ_３〉｜ａ_１（１）〉｜ａ_２（１）〉｜ａ_３（１）〉｜０〉｜ｂ_１（１，１）〉｜ｂ_２（１，１）〉｜ｂ_３（１，１）〉｜ａ_１（２）〉｜ａ_２（２）〉｜ａ_３（２）〉｜０〉｜ｂ_１（２，１）〉｜ｂ_２（２，１）〉｜ｂ_３（２，１）〉｜ｂ_１（２，２）〉｜ｂ_２（２，２）〉｜ｂ_３（２，２）〉｜ｙ〉

【0040】

ステップＳ１の処理により、この状態が次の状態になる。
｜ｘ_１〉｜ｘ_２〉｜ｘ_３〉｜ａ_１（１）〉｜ａ_２（１）〉｜ａ_３（１）〉｜φ_１〉｜ｂ_１（１，１）〉｜ｂ_２（１，１）〉｜ｂ_３（１，１）〉｜ａ_１（２）〉｜ａ_２（２）〉｜ａ_３（２）〉｜φ_２〉｜ｂ_１（２，１）〉｜ｂ_２（２，１）〉｜ｂ_３（２，１）〉｜ｂ_１（２，２）〉｜ｂ_２（２，２）〉｜ｂ_３（２，２）〉｜ｙ〉

【0041】

図１４に例示するように、ステップＳ１はｍ個のステージＳ（１），…，Ｓ（ｍ）（ステップＳ１１−１〜Ｓ１１−ｍ）を、Ｓ（１），…，Ｓ（ｍ）の順に実行する。すなわち、ｓ’を２≦ｓ’≦ｍを満たす整数とすると、ステージＳ（ｓ’）はステージＳ（ｓ’−１）の後に実行される。

【0042】

≪ステージＳ（ｓ）の詳細≫
図３，図４，図１５を用いてステージＳ（ｓ）の詳細を説明する。ただし、ｓは１≦ｓ≦ｍを満たす整数である。ただし、図３はｎ＝３，ｍ＝２，ｓ＝１の例であり、図４はｎ＝３，ｍ＝２，ｓ＝２の例である。

【0043】

まず演算部１１０１（第１演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用する（ステップＳ１１１−ｓ）。

【0044】

次に演算部１１０２（第２演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を並列に適用する（ステップＳ１１２−ｓ）。

【0045】

ｓ≧２のときには、次に演算部１１０３（第３演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を並列に適用する。ｓ＝１のときには、演算部１１０３は何の演算も適用しない（ステップＳ１１３−ｓ）。

【0046】

ｓ＝１のときには、次に演算部１１０４（第４演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を並列に適用する。ｓ≧２のときには、演算部１１０４は、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算の逆演算を並列に適用する（ステップＳ１１４−ｓ）。

【0047】

次に演算部１１０５（第５演算部）が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を並列に適用する（ステップＳ１１５−ｓ）。

【0048】

ｓ＝１のときには、次に演算部１１０６（第６演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を並列に適用する。ｓ≧２のときには、演算部１１０６は、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））およびＢ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(s+1,k(s)-s+1)-位相シフト演算を並列に適用する（ステップＳ１１６−ｓ）。

【0049】

次に演算部１１０７（第７演算部）が、１≦ｊ≦ｎについて、Ｘ_ｊを制御ビットとし、Ａ_ｊ（ｓ），Ａ_ｊ（ｓ＋１），…，Ａ_ｊ（ｍ）を標的ビットとした(m-s+2)-fanout演算を行う（ステップＳ１１７−ｓ：ステップＳ１１５−ｓと同じ）。

【0050】

ｓ≧２のときには、次に演算部１１０８（第８演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍと１≦ｊ≦ｎについて、Ａ_ｊ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），１），…，Ｂ_ｊ（ｋ（ｓ），ｓ−１）を標的ビットとしたs-fanout演算を並列に適用する。ｓ＝１のときには、演算部１１０８は何の演算も適用しない（ステップＳ１１８−ｓ：ステップＳ１１３−ｓと同じ）。

【0051】

次に演算部１１０９（第９演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））を制御ビットとし、Ｂ_１（ｋ（ｓ），ｓ），…，Ｂ_ｎ（ｋ（ｓ），ｓ）を標的ビットとした(n+1)-fanout演算を並列に適用する（ステップＳ１１９−ｓ：ステップＳ１１２−ｓと同じ）。

【0052】

次に演算部１１０１（第１演算部）が、ｓ≦ｋ（ｓ）≦ｍについて、Ｉ（ｋ（ｓ））にアダマール演算を適用する（ステップＳ１２０−ｓ：ステップＳ１１１−ｓと同じ）。

【0053】

以上により、ｍ個の初期化補助量子ビットＩ（１），…，Ｉ（ｍ）の状態がそれぞれ｜φ_１〉，…，｜φ_ｍ〉となる（この理由については後述する）。

【0054】

＜ステップＳ２の詳細＞
図５，図１６を用いてステップ２の詳細を説明する。ただし、図５はｎ＝３，ｍ＝２の例である。

【0055】

上述したステップＳ１の後、まず、演算部１２１１（第１１演算部）は、１≦ｋ≦ｍについて、Ｉ（ｋ）にNOT演算Ｘを並列に適用する（ステップＳ２１）。

【0056】

次に、演算部１２１２（第１２演算部）は、Ｉ（１），…，Ｉ（ｍ）を制御ビットとし、Ｙを標的ビットとした(m+1)-Toffoli演算を並列に適用する。(m+1)-Toffoli演算は、論理和関数ｘ_１∨…∨ｘ_ｎ（ただし、ｎ＝ｍ）を計算する量子回路から最初と最後の計算ステップのNOT演算を取り除いた量子回路によって計算できる（例えば、非特許文献１参照）。なお、このような量子回路は１個の未初期化補助量子ビットを使うが、(m+1)-Toffoli演算の制御ビットおよび標的ビット以外の任意の量子ビット（例えば、入力量子ビットＸ_１）をこの未初期化補助量子ビットに対応させればよい（ステップＳ２２）。

【0057】

次に、演算部１２１３（第１３演算部）は、ＹにNOT演算Ｘを適用し、これと並列にステップＳ２１と同じ演算、すなわち１≦ｋ≦ｍについてＩ（ｋ）へのNOT演算Ｘを適用する（ステップＳ２３）。

【0058】

次に、演算部１２１４（第１４演算部）は、ステージＳ（１），…，Ｓ（ｍ）の逆演算ＲＳ（ｍ），…，ＲＳ（１）を適用する。ただし、逆演算ＲＳ（ｓ）はステージＳ（ｓ）の逆演算であり、２≦ｓ’≦ｍを満たす整数ｓ’について逆演算ＲＳ（ｓ’−１）は逆演算ＲＳ（ｓ’）の後に実行される。すなわち、ステージＳ（ｍ）の逆演算ＲＳ（ｍ）を実行する量子回路から始めて、ステージＳ（１）の逆演算ＲＳ（１）を実行する量子回路まで順に適用する。各ステージＳ（ｓ）の逆演算ＲＳ（ｓ）を実行する量子回路は、各ステージＳ（ｓ）の量子回路において、各ゲートをその逆演算と置換し、適用する順番を逆転させたものである。ＨとＣＮＯＴの逆演算はそれぞれそれ自身である。また、ある演算に対し、その逆演算の逆演算は、元の演算であることに注意する（ステップＳ２４）。

【0059】

ステップＳ２２までの演算とステップ２３の中のＹに適用するNOT演算Ｘにより、｜φ_１〉，…，｜φ_ｍ〉に対する論理和が計算され、Ｙが論理和ｘ_１∨…∨ｘ_ｎを表す状態｜ｙ（＋）ｘ_１∨…∨ｘ_ｎ〉となる。また、ステップＳ２３の中でステップＳ２１と同じ演算を適用しているのはＩ（ｋ）の状態を｜φ_ｋ〉に戻すためであり、Ｙ以外の量子ビットの状態はステップＳ１の出力状態に戻る。従って、ステップ２４により、Ｙ以外の量子ビットの状態は初期状態に戻る。ステップＳ１はＹに演算を適用しないことに注意する。

【0060】

＜ステップＳ１で正しく｜φ_１〉，…，｜φ_ｍ〉が生成される理由＞
ステップＳ１で正しく｜φ_１〉，…，｜φ_ｍ〉が生成される理由を説明する。簡単のため、ｎ＝３（従って、ｍ＝２）の場合について述べる。

【0061】

≪｜φ_１〉について≫
図３に例示したように、｜φ_１〉はステージＳ（１）（ステップＳ１１−１）で用意が完了する。簡単のため、Ｉ（１）とＢ_１（１，１），Ｂ_２（１，１），Ｂ_３（１，１）だけの状態変化を記述する。これらの初期状態は｜０〉｜ｂ_１（１，１）〉｜ｂ_２（１，１）〉｜ｂ_３（１，１）〉であり、ステップＳ１１４−ｓ終了後、状態は次のようになる。

【数18】

ただし、α＝−ａ_１（１）（１−２ｂ_１（１，１））−ａ_２（１）（１−２ｂ_２（１，１））−ａ_３（１）（１−２ｂ_３（１，１））である。さらにステップＳ１１６−ｓ終了後、状態は次のようになる。

【数19】

ただし、β＝ｘ_１−２（ａ_１（１）（＋）ｂ_１（１，１））ｘ_１＋ｘ_２−２（ａ_２（１）（＋）ｂ_２（１，１））ｘ_２＋ｘ_３−２（ａ_３（１）（＋）ｂ_３（１，１））ｘ_３である。さらに、ステージＳ（１）（ステップＳ１１−１）終了後、状態は次のようになる。

【数20】

ここで、βの中の２の倍数の項が

【数21】

の値に影響しないことに注意する。実際、

【数22】

であり、βの中の２の倍数である他の項も同様に計算され、

【数23】

となる。従って、式（４）の最終状態は次と等しい。

【数24】

これは所望の量子状態

【数25】

である（式（２））。

【0062】

≪｜φ_２〉について≫
図３および図４に例示したように、｜φ_２〉はステージＳ（１）（ステップＳ１１−１）とＳ（２）（ステップＳ１１−２）で用意が完了する。ステージＳ（１）（ステップＳ１１−１）による状態変化は｜φ_２〉の場合と同様であり、ステージＳ（１）後のＩ（２）の状態は次のようになる。

【数26】

ただし、η＝ｘ_１−２（ａ_１（２）（＋）ｂ_１（２，１））ｘ_１＋ｘ_２−２（ａ_２（２）（＋）ｂ_２（２，１））ｘ_２＋ｘ_３−２（ａ_３（２）（＋）ｂ_３（２，１））ｘ_３である。｜φ_１〉の場合と異なり、ηの中の２の倍数の項が

【数27】

の値に影響しないとは言えないことに注意する。これは、ｅの指数部分の値の分母が２ではなく、２^２であるからである。ステージＳ（２）（ステップＳ１１−２）による状態変化は、ステージＳ（１）（ステップＳ１１−１）と同様であり、Ｉ（２）の状態は次のようになる。

【数28】

ただし、δ＝ｘ_１−２^２（ａ_１（２）（＋）ｂ_１（２，１））（ａ_１（２）（＋）ｂ_１（２，２））ｘ_１＋ｘ_２−２^２（ａ_２（２）（＋）ｂ_２（２，１））（ａ_２（２）（＋）ｂ_２（２，２））ｘ_２＋ｘ_３−２^２（ａ_３（２）（＋）ｂ_３（２，１））（ａ_３（２）（＋）ｂ_３（２，２））ｘ_３である。δの中の２^２の倍数の項が

【数29】

の値に影響しないことは、｜φ_１〉を用意する場合に、βの中の２の倍数の項が

【数30】

の値に影響しなかったことと同様である。従って、この状態は所望の状態

【数31】

と等しい。

【0063】

＜補助量子ビットと計算ステップの個数＞
前述のように、本形態の論理和関数を計算する量子回路は、ｍ＝ｃｅｉｌ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））＝Ｏ（ｌｏｇｎ）個の初期化補助量子ビットを持ち、ｎｍ（ｍ＋３）／２＝Ｏ（ｎ （ｌｏｇ_２ｎ）^２）個の未初期化補助量子ビットを持つ。

【0064】

この量子回路の計算ステップの個数を考える。任意の１≦ｓ≦ｍに対し、ステージＳ（ｓ）の計算ステップの個数は以下のようになる。
・ステップＳ１１１−ｓ：１
・ステップＳ１１２−ｓ：Ｏ（ｌｏｇ_２（ｎ＋１））
・ステップＳ１１３−ｓ：Ｏ（ｌｏｇ_２ ｓ）
・ステップＳ１１４−ｓ：Ｏ（ｓ＋１）
・ステップＳ１１５−ｓ：Ｏ（ｌｏｇ_２（ｍ−ｓ＋２））
・ステップＳ１１６−ｓ〜Ｓ１２０−ｓ：ステップＳ１１１−ｓ〜Ｓ１１５−ｓと同じ
ｓ≦ｍ＝Ｏ（ｌｏｇ_２ｎ）であるから、ステージＳ（ｓ）のステップの個数はＯ（ｌｏｇ_２ ｎ）となり、ステップＳ１のステップの個数はＯ（ｍｌｏｇ_２ ｎ）＝Ｏ（（ｌｏｇ_２ ｎ）^２）となる。

【0065】

ステップＳ２については次のようになる。
・ステップＳ２１：１
・ステップ２２：Ｏ（ｍ＋１）
・ステップ２３：１
・ステップ２４：ステップＳ１と同じ
従って、ステップＳ２の計算ステップの個数はＯ（（ｌｏｇ_２ ｎ）^２）となり、本形態の量子回路全体のステップの個数はＯ（（ｌｏｇ_２ｎ）^２）となる。

【0066】

＜本形態の特徴＞
多数の初期化補助量子ビットを実現するのは物理的に困難であるが、多数の未初期化補助量子ビットを実現するのは、初期化補助量子ビットと比較して容易である。また、量子回路の計算ステップの個数が多いほど計算時間が長くなる。従って、物理的実現性の高さと短い計算時間を同時に実現するためには、未初期化補助量子ビットを多く使ったとしても、初期化補助量子ビットの個数と計算ステップの個数を同時に小さくするほうがよい。未初期化補助量子ビットを多く使ったとしても、初期化補助量子ビットの個数と計算ステップの個数が同時に対数多項式（Ｏ（（ｌｏｇ_２ ｎ）^ｃ），ｃは０以上の定数）で表現される程小さい量子回路の構成方法は知られていなかった。

【0067】

本形態の量子回路では、Ｏ（ｎ （ｌｏｇ_２ｎ）^２）個の未初期化補助量子ビットおよびＯ（ｌｏｇ_２ｎ）個の初期化補助量子ビットを利用し、Ｏ（（ｌｏｇ_２ｎ）^２）個の計算ステップで論理和関数を計算する。これにより、物理的実現性の高さと短い計算時間を同時に実現できる。

【0068】

［その他の変形例等］
なお、本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。

【符号の説明】

【0069】

１ 論理和演算装置
１１ 量子演算部
１２ 量子演算部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15】

【図16】

【図17】