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特開2023-132590組合せ最適化装置、組合せ最適化方法、およびプログラム
(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2023132590
(43)【公開日】2023-09-22
(54)【発明の名称】組合せ最適化装置、組合せ最適化方法、およびプログラム
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20230914BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
【審査請求】未請求
【請求項の数】8
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2022038002
(22)【出願日】2022-03-11
(71)【出願人】
【識別番号】000004226
【氏名又は名称】日本電信電話株式会社
(71)【出願人】
【識別番号】899000068
【氏名又は名称】学校法人早稲田大学
(74)【代理人】
【識別番号】100121706
【弁理士】
【氏名又は名称】中尾 直樹
(74)【代理人】
【識別番号】100128705
【弁理士】
【氏名又は名称】中村 幸雄
(74)【代理人】
【識別番号】100147773
【弁理士】
【氏名又は名称】義村 宗洋
(72)【発明者】
【氏名】巴 徳瑪
(72)【発明者】
【氏名】新井 淳也
(72)【発明者】
【氏名】八木 哲志
(72)【発明者】
【氏名】寺本 純司
(72)【発明者】
【氏名】川上 蒼馬
(72)【発明者】
【氏名】武笠 陽介
(72)【発明者】
【氏名】鮑 思雅
(72)【発明者】
【氏名】戸川 望
(57)【要約】 （修正有）
【課題】従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解くことが可能な組合せ最適化装置、組合せ最適化方法およびプログラムを提供する。
【解決手段】組合せ最適化装置は、集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値を得、これにより複数の対象ｖｉに複数の要素ｓｃを割り当てる。Ｈ１は対象ｖｉのそれぞれに要素ｓｃのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となり、Ｈ２は、組（ｖｉ，ｖｊ）のｖｉおよびｖｊに互いに異なる要素ｓｃが割り当てられたときに最小となり、Ｈ３は特定の対象ｖｋ∈Ｖに特定の要素ｓｄが割り当てられたときに最小となり、Ｈ４は特定の要素ｓｆが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となり、Ｈｏｂｊは割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる。
【選択図】図１
【解決手段】組合せ最適化装置は、集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値を得、これにより複数の対象ｖｉに複数の要素ｓｃを割り当てる。Ｈ１は対象ｖｉのそれぞれに要素ｓｃのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となり、Ｈ２は、組（ｖｉ，ｖｊ）のｖｉおよびｖｊに互いに異なる要素ｓｃが割り当てられたときに最小となり、Ｈ３は特定の対象ｖｋ∈Ｖに特定の要素ｓｄが割り当てられたときに最小となり、Ｈ４は特定の要素ｓｆが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となり、Ｈｏｂｊは割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
複数の対象ｖｉに複数の要素ｓｃを割り当てる組合せ最適化装置であって、
Ｖが前記対象ｖｉの集合であり、Ｅが前記集合Ｖに含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合であり、Ｓが前記要素ｓｃの集合であり、ｑｉ，ｃが前記対象ｖｉへの前記要素ｓｃの割り当てを表す変数であり、
前記集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得るエネルギー関数生成部と、
前記エネルギー関数Ｈが最小となる前記変数ｑｉ，ｃの値を得る組合せ最適化部と、を有し、
Ｈ１が、前記対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに前記要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ２が、前記組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる前記要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ３が、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ４が、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となる関数であり、
Ｈｏｂｊが、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる関数であり、
αおよびβが正の実数係数であり、γ，δ，εが０以上の実数係数であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である、
組合せ最適化装置。
Ｖが前記対象ｖｉの集合であり、Ｅが前記集合Ｖに含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合であり、Ｓが前記要素ｓｃの集合であり、ｑｉ，ｃが前記対象ｖｉへの前記要素ｓｃの割り当てを表す変数であり、
前記集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得るエネルギー関数生成部と、
前記エネルギー関数Ｈが最小となる前記変数ｑｉ，ｃの値を得る組合せ最適化部と、を有し、
Ｈ１が、前記対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに前記要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ２が、前記組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる前記要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ３が、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ４が、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となる関数であり、
Ｈｏｂｊが、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる関数であり、
αおよびβが正の実数係数であり、γ，δ，εが０以上の実数係数であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である、
組合せ最適化装置。
【請求項2】
請求項１の組合せ最適化装置であって、
γが正である、組合せ最適化装置。
γが正である、組合せ最適化装置。
【請求項3】
請求項１または２の組合せ最適化装置であって、
δが正である、組合せ最適化装置。
δが正である、組合せ最適化装置。
【請求項4】
請求項１から３の何れかの組合せ最適化装置であって、
εが正である、組合せ最適化装置。
εが正である、組合せ最適化装置。
【請求項5】
請求項１の組合せ最適化装置であって、
γ，δ，εが正である、組合せ最適化装置。
γ，δ，εが正である、組合せ最適化装置。
【請求項6】
請求項１から５の何れかの組合せ最適化装置であって、
Ｎが前記集合Ｖに含まれた前記対象ｖｉの個数を表す正整数であり、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、
Ｃが前記集合Ｓに含まれた前記要素ｓｃの個数を表す正整数であり、ｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、
Ｆが前記集合Ｅに含まれた前記組（ｖｉ，ｖｊ）に対応する（ｉ，ｊ）の集合であり、ｊ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、
Ａが前記予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖおよび前記予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓに対応する（ｋ，ｄ）の集合であり、ｋ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｄ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、
Ｂが前記予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓに対応するｆの集合であり、Ｌｆが前記予め定められた回数を表す正整数であり、ｆ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、ｎ＝０，…，Ｌｆ－１であり、
前記変数ｑｉ，ｃは、前記対象ｖｉに前記要素ｓｃを割り当てるときにｑｉ，ｃ＝１を満たし、前記対象ｖｉに前記要素ｓｃを割り当てない場合にｑｉ，ｃ＝０を満たし、
ｙｆ，ｎ∈｛０，１｝およびｘｃ∈｛０，１｝が変数であり、
である、組合せ最適化装置。
Ｎが前記集合Ｖに含まれた前記対象ｖｉの個数を表す正整数であり、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、
Ｃが前記集合Ｓに含まれた前記要素ｓｃの個数を表す正整数であり、ｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、
Ｆが前記集合Ｅに含まれた前記組（ｖｉ，ｖｊ）に対応する（ｉ，ｊ）の集合であり、ｊ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、
Ａが前記予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖおよび前記予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓに対応する（ｋ，ｄ）の集合であり、ｋ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｄ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、
Ｂが前記予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓに対応するｆの集合であり、Ｌｆが前記予め定められた回数を表す正整数であり、ｆ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、ｎ＝０，…，Ｌｆ－１であり、
前記変数ｑｉ，ｃは、前記対象ｖｉに前記要素ｓｃを割り当てるときにｑｉ，ｃ＝１を満たし、前記対象ｖｉに前記要素ｓｃを割り当てない場合にｑｉ，ｃ＝０を満たし、
ｙｆ，ｎ∈｛０，１｝およびｘｃ∈｛０，１｝が変数であり、
【数18】
【数19】
【数20】
【数21】
【数22】
である、組合せ最適化装置。
【請求項7】
複数の対象ｖｉに複数の要素ｓｃを割り当てる組合せ最適化方法であって、
Ｖが前記対象ｖｉの集合であり、Ｅが前記集合Ｖに含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合であり、Ｓが前記要素ｓｃの集合であり、ｑｉ，ｃが前記対象ｖｉへの前記要素ｓｃの割り当てを表す変数であり、
エネルギー関数生成部において、前記集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得るエネルギー関数生成ステップと、
組合せ最適化部において、前記エネルギー関数Ｈが最小となる前記変数ｑｉ，ｃの値を得る組合せ最適化部と、を有し、
Ｈ１が、前記対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに前記要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ２が、前記組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる前記要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ３が、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ４が、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となる関数であり、
Ｈｏｂｊが、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる関数であり、
αおよびβが正の実数係数であり、γ，δ，εが０以上の実数係数であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である、
組合せ最適化方法。
Ｖが前記対象ｖｉの集合であり、Ｅが前記集合Ｖに含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合であり、Ｓが前記要素ｓｃの集合であり、ｑｉ，ｃが前記対象ｖｉへの前記要素ｓｃの割り当てを表す変数であり、
エネルギー関数生成部において、前記集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得るエネルギー関数生成ステップと、
組合せ最適化部において、前記エネルギー関数Ｈが最小となる前記変数ｑｉ，ｃの値を得る組合せ最適化部と、を有し、
Ｈ１が、前記対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに前記要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ２が、前記組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる前記要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ３が、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数であり、
Ｈ４が、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となる関数であり、
Ｈｏｂｊが、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる関数であり、
αおよびβが正の実数係数であり、γ，δ，εが０以上の実数係数であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である、
組合せ最適化方法。
【請求項8】
請求項１から６の何れかの組合せ最適化装置としてコンピュータを機能させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、組合せ最適化問題を解く技術に関し、特に、割当問題を解く技術に関する。
【背景技術】
【0002】
グラフ彩色問題は組合せ最適化問題の一つである。グラフ彩色とは、ある制約条件のもとでグラフの要素に色を割り当てることである。従来の制約条件として、例えば「１つの頂点に割り当てる色は、必ず１つである」「隣接する頂点の色は、必ず異なる色である」などを例示できる。
【0003】
グラフ彩色問題は、ラウンドロビンスケジューリングや周波数割り当てなどの産業上の割当問題に応用可能である（例えば、非特許文献１等参照）。また、量子アニーリングマシンやイジングマシンを用いてグラフ彩色問題などの割当問題を解く方法が知られている（例えば、非特許文献２等参照）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0004】
【非特許文献1】S. Ahmed, “Applications of Graph Coloring in Modern Computer Science”, IJCIT , vol. 3, no. 2, 2012.
【非特許文献2】Lucas, Andrew. "Ising formulations of many NP problems." Frontiers in Physics 2 (2014): 5.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
しかしながら、従来のグラフ彩色問題の制約条件だけでは、産業上の割当問題に対応できない場合がある。例えば、周波数割り当てでは、割り当て可能な周波数が予め定められているとか、割り当てる周波数の使用回数に上限があるとか、割り当て可能な周波数帯域が未定であってなるべく少ない周波数で割り当て行う必要があるなどの制約条件が必要な場合がある。
【0006】
本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解く技術を提供することを目的とする。
【課題を解決するための手段】
【0007】
本発明では、組合せ最適化装置は、集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、複数の変数ｑｉ，ｃについてのエネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値を得、これにより複数の対象ｖｉに複数の要素ｓｃを割り当てる。ここで、Ｖは対象ｖｉの集合であり、Ｅは集合Ｖに含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合であり、Ｓは要素ｓｃの集合であり、ｑｉ，ｃが対象ｖｉへの要素ｓｃの割り当てを表す変数である。Ｈ１は、対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数である。Ｈ２は、組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である。Ｈ３は、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である、Ｈ４は、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小となる関数である。Ｈｏｂｊは、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数が最大のときに最小となる関数である。αおよびβが正の実数係数であり、γ，δ，εが０以上の実数係数であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である。
【発明の効果】
【0008】
本発明では、従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解くことができる。
【図面の簡単な説明】
【0009】
【発明を実施するための形態】
【0010】
以下、図面を参照して本発明の実施形態を説明する。
［原理］
まず原理を説明する。
＜産業上の割当問題＞
グラフ彩色問題とは、与えられた制約条件をすべて満たすように、与えられたグラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）のすべての頂点に色を割り当てる問題である。ここでＶはグラフＧの頂点の集合を表し、Ｅは予め定められた頂点の組（すなわち、辺）の集合を表す。
［原理］
まず原理を説明する。
＜産業上の割当問題＞
グラフ彩色問題とは、与えられた制約条件をすべて満たすように、与えられたグラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）のすべての頂点に色を割り当てる問題である。ここでＶはグラフＧの頂点の集合を表し、Ｅは予め定められた頂点の組（すなわち、辺）の集合を表す。
【0011】
このグラフ彩色問題は、産業上の割当問題に一般化できる。すなわち、産業上の割当問題は、与えられた制約条件をすべて満たすように、複数の対象ｖｉ∈Ｖに複数の要素ｓｃ∈Ｓを割り当てる問題である。例えば、産業上の割当問題は、与えられた制約条件をすべて満たすように、与えられたすべての対象ｖｉ∈Ｖに要素ｓｃ∈Ｓを割り当てる問題である。Ｖは対象ｖｉの集合を表し、Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝である。ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、Ｎは集合Ｖに含まれた対象ｖｉの個数を表す正整数である。例えば、Ｎは２以上の正整数である。対象ｖｉはグラフ彩色問題におけるグラフＧの頂点に対応する。Ｅは集合Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝に含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合を表す。ｖｉ∈｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝であり、ｖｊ∈｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝であり、ｖｉ≠ｖｊである。対象の組（ｖｉ，ｖｊ）は、集合Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝から選択可能なすべての対象の組であってもよいし、それらの一部の対象の組であってもよい。対象の組（ｖｉ，ｖｊ）はグラフ彩色問題における辺に対応する。Ｓ＝｛ｓ０，…，ｓＣ－１｝は対象に割り当てられる要素ｓｃの集合を表す。ｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝であり、Ｃは集合Ｓに含まれた要素ｓｃの個数を表す正整数である。例えば、Ｃは２以上の正整数である。要素ｓｃはグラフ彩色問題における色に対応する。また、要素ｓｃの割り当てはグラフ彩色問題における彩色に対応する。例えば、産業上の割当問題がラウンドロビンスケジューリングである場合、対象ｖｉは各時間区間でのプロセッサに相当し、要素ｓｃは実行可能状態にあるプロセスに相当する。例えば、産業上の割当問題が周波数割り当てある場合、対象ｖｉは周波数が割り当てられる用途に相当し、要素ｓｃは割り当て可能な周波数（周波数帯域）に相当する。ただし、これらは一例であって、産業上の割当問題はこれらに限定されるものではない。
【0012】
上述のような産業上の割当問題について、対象ｖｉへの要素ｓｃの割り当てを表す変数をｑｉ，ｃと表現する。例えば、変数ｑｉ，ｃは真値１または偽値０をとるバイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝であり、対象ｖｉに要素ｓｃを割り当てる場合にｑｉ，ｃ＝１を満たし、対象ｖｉに要素ｓｃを割り当てない場合にｑｉ，ｃ＝０を満たす。
図２に、Ｎ＝５，Ｃ＝４の場合における、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いた対象ｖｉ∈Ｖへの要素ｓｃ∈Ｓの割り当てを例示する。
【数1】
図２に、Ｎ＝５，Ｃ＝４の場合における、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いた対象ｖｉ∈Ｖへの要素ｓｃ∈Ｓの割り当てを例示する。
【0013】
＜制約条件および目的関数＞
以下に本実施形態の産業上の割当問題の制約条件および目的関数を例示する。
＜制約条件１＞
制約条件１は、１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つであるという制約条件である。制約条件１は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いて式(1)のように定式化できる。
また、式(1)が成り立つことは、式(2)に示す関数Ｈ１が最小値０をとることと等価である。
すなわち、Ｈ１は、対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数である。
以下に本実施形態の産業上の割当問題の制約条件および目的関数を例示する。
＜制約条件１＞
制約条件１は、１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つであるという制約条件である。制約条件１は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いて式(1)のように定式化できる。
【数2】
また、式(1)が成り立つことは、式(2)に示す関数Ｈ１が最小値０をとることと等価である。
【数3】
すなわち、Ｈ１は、対象ｖｉ∈Ｖのそれぞれに要素ｓｃ∈Ｓのそれぞれが１個ずつ割り当てられたときに最小となる関数である。
【0014】
＜制約条件２＞
制約条件２は、対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ（隣接する対象）には、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられるという制約条件である。制約条件２は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝およびｑｊ，ｃ∈｛０，１｝を用いて式(3)のように定式化できる。
ここで、Ｆは集合Ｅに含まれた組（ｖｉ，ｖｊ）に対応する（ｉ，ｊ）の集合であり、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｊ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｉ≠ｊである。制約条件２は(4)に示す関数Ｈ２が最小値０をとることと等価である。
すなわち、Ｈ２は、組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である。
制約条件２は、対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ（隣接する対象）には、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられるという制約条件である。制約条件２は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝およびｑｊ，ｃ∈｛０，１｝を用いて式(3)のように定式化できる。
【数4】
ここで、Ｆは集合Ｅに含まれた組（ｖｉ，ｖｊ）に対応する（ｉ，ｊ）の集合であり、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｊ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｉ≠ｊである。制約条件２は(4)に示す関数Ｈ２が最小値０をとることと等価である。
【数5】
すなわち、Ｈ２は、組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅのｖｉおよびｖｊに互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である。
【0015】
＜制約条件３＞
制約条件３は、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓを必ず割り当てるという制約条件である。制約条件３は、バイナリ変数ｑｋ，ｄ∈｛０，１｝を用いて式(5)のように定式化できる。
∀（ｋ，ｄ）∈Ａ，ｑｋ，ｄ＝１ （5）
ここで、Ａは当該予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖおよび当該予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓに対応する（ｋ，ｄ）の集合であり、ｋ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｄ∈｛０，…，Ｃ－１｝である。いずれの対象ｖｋ∈Ｖにも予め特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられていない場合にはＡは空集合である。また、式(5)が成り立つことは、式(6)に示す関数Ｈ３が最小値０をとることと等価である。
すなわちＨ３は、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である。
制約条件３は、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓを必ず割り当てるという制約条件である。制約条件３は、バイナリ変数ｑｋ，ｄ∈｛０，１｝を用いて式(5)のように定式化できる。
∀（ｋ，ｄ）∈Ａ，ｑｋ，ｄ＝１ （5）
ここで、Ａは当該予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖおよび当該予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓに対応する（ｋ，ｄ）の集合であり、ｋ∈｛０，…，Ｎ－１｝であり、ｄ∈｛０，…，Ｃ－１｝である。いずれの対象ｖｋ∈Ｖにも予め特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられていない場合にはＡは空集合である。また、式(5)が成り立つことは、式(6)に示す関数Ｈ３が最小値０をとることと等価である。
【数6】
すなわちＨ３は、予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓが割り当てられたときに最小となる関数である。
【0016】
＜制約条件４＞
制約条件４は、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないという制約条件である。制約条件４は、バイナリ変数ｑｉ，ｆ∈｛０，１｝を用いて式(7)のように定式化できる。
ここで、Ｂは当該予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓに対応するｆの集合であり、Ｌｆは当該予め定められた回数を表す正整数であり、ｆ∈｛０，…，Ｃ－１｝である。ここで、式(7)による不等式制約を等式制約に変換するために、変数ｙｆ，ｎ∈｛０，１｝（バイナリ変数）を導入する。またｎ＝０，…，Ｌｆ－１である。式(7)を満たすことは，式(8)を満たすような変数ｙｆ，ｎの組合せが存在することと等価である。
すなわちＨ４は、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小値０となる関数である。
制約条件４は、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないという制約条件である。制約条件４は、バイナリ変数ｑｉ，ｆ∈｛０，１｝を用いて式(7)のように定式化できる。
【数7】
ここで、Ｂは当該予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓに対応するｆの集合であり、Ｌｆは当該予め定められた回数を表す正整数であり、ｆ∈｛０，…，Ｃ－１｝である。ここで、式(7)による不等式制約を等式制約に変換するために、変数ｙｆ，ｎ∈｛０，１｝（バイナリ変数）を導入する。またｎ＝０，…，Ｌｆ－１である。式(7)を満たすことは，式(8)を満たすような変数ｙｆ，ｎの組合せが存在することと等価である。
【数8】
すなわちＨ４は、予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられないときに最小値０となる関数である。
【0017】
＜目的関数＞
目的関数は、できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てるという制約条件である。これは、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数ｍを最大にする制約条件と言い換えることができ、式(9)のような目的関数で表現できる。
Ｈｏｂｊ＝－ｍ (9)
この目的関数は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いて以下のように定式化できる。
ここで、ｘｃは変数ｘｃ∈｛０，１｝（バイナリ変数）である。
目的関数は、できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てるという制約条件である。これは、割り当てられない要素ｓｇ∈Ｓの個数ｍを最大にする制約条件と言い換えることができ、式(9)のような目的関数で表現できる。
Ｈｏｂｊ＝－ｍ (9)
この目的関数は、バイナリ変数ｑｉ，ｃ∈｛０，１｝を用いて以下のように定式化できる。
【数9】
ここで、ｘｃは変数ｘｃ∈｛０，１｝（バイナリ変数）である。
【0018】
＜エネルギー関数＞
エネルギー関数Ｈを以下の式(11)のように定義する。
Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊ (11)
ここで、エネルギー関数Ｈは複数の変数ｑｉ，ｃについての関数であり、例えば複数の変数ｑｉ，ｃ，ｘｃ，ｙｆ，ｎについての関数である。αおよびβは正の実数係数（ハイパーパラメータ、ペナルティ係数）であり、γ，δ，εは０以上の実数係数（ハイパーパラメータ、ペナルティ係数）であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である。例えば、γが正であってもよいし、δが正であってもよいし、εが正であってもよい。γが正でδ，εが０であってもよいし、δが正でγ，εが０であってもよいし、εが正でδ，γが０であってもよいし、γ，δ，εのうち２個が正で他の１個が０であってもよいし、γ，δ，εが全て正であってもよい。正の実数係数は、例えば１であってもよいし、１以外の値であってもよい。エネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃ（ただし、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝，ｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝）が各制約条件を満たす割り当てを表す。すなわち、エネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃが割当問題の解を表す。ここで実数係数α，β，γ，δ，εのうち、正の実数係数が掛け合わされている関数に対応する制約条件のみが当該割当問題で考慮され、０の実数係数が掛け合わされている関数に対応する制約条件は考慮されない。例えば、αおよびβは正であるため、制約条件１，２は常に考慮される。γが正であれば制約条件３も考慮されるが、γが０であれば制約条件３は考慮されない。δが正であれば制約条件３も考慮されるが、δが０であれば制約条件３は考慮されない。εが正であれば制約条件３も考慮されるが、εが０であれば制約条件３は考慮されない。このようなエネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃは、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンを用いて解くことができる。これにより、従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解くことが可能となる。
エネルギー関数Ｈを以下の式(11)のように定義する。
Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊ (11)
ここで、エネルギー関数Ｈは複数の変数ｑｉ，ｃについての関数であり、例えば複数の変数ｑｉ，ｃ，ｘｃ，ｙｆ，ｎについての関数である。αおよびβは正の実数係数（ハイパーパラメータ、ペナルティ係数）であり、γ，δ，εは０以上の実数係数（ハイパーパラメータ、ペナルティ係数）であり、γ，δ，εの少なくとも何れかが正である。例えば、γが正であってもよいし、δが正であってもよいし、εが正であってもよい。γが正でδ，εが０であってもよいし、δが正でγ，εが０であってもよいし、εが正でδ，γが０であってもよいし、γ，δ，εのうち２個が正で他の１個が０であってもよいし、γ，δ，εが全て正であってもよい。正の実数係数は、例えば１であってもよいし、１以外の値であってもよい。エネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃ（ただし、ｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝，ｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝）が各制約条件を満たす割り当てを表す。すなわち、エネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃが割当問題の解を表す。ここで実数係数α，β，γ，δ，εのうち、正の実数係数が掛け合わされている関数に対応する制約条件のみが当該割当問題で考慮され、０の実数係数が掛け合わされている関数に対応する制約条件は考慮されない。例えば、αおよびβは正であるため、制約条件１，２は常に考慮される。γが正であれば制約条件３も考慮されるが、γが０であれば制約条件３は考慮されない。δが正であれば制約条件３も考慮されるが、δが０であれば制約条件３は考慮されない。εが正であれば制約条件３も考慮されるが、εが０であれば制約条件３は考慮されない。このようなエネルギー関数Ｈを最小にする複数の変数ｑｉ，ｃは、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンを用いて解くことができる。これにより、従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解くことが可能となる。
【0019】
＜実施形態＞
次に、本発明の実施形態を説明する。
＜構成＞
図１に例示するように、本実施形態の組合せ最適化装置１は、処理部１１０および組合せ最適化部１２０を有する。処理部１１０は、入力部１１１、エネルギー関数生成部１１２、演算結果生成部１１３、出力部１１４、制御部１１５、および記憶部１１６を有する。処理部１１０に入力された情報（データ）および各処理で得られた情報は、逐一、記憶部１１６に格納され、必要に応じて各部に読み込まれ、各処理に利用される。処理部１１０は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）およびＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備えるノイマン型のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。組合せ最適化部１２０は、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの量子コンピュータである。
次に、本発明の実施形態を説明する。
＜構成＞
図１に例示するように、本実施形態の組合せ最適化装置１は、処理部１１０および組合せ最適化部１２０を有する。処理部１１０は、入力部１１１、エネルギー関数生成部１１２、演算結果生成部１１３、出力部１１４、制御部１１５、および記憶部１１６を有する。処理部１１０に入力された情報（データ）および各処理で得られた情報は、逐一、記憶部１１６に格納され、必要に応じて各部に読み込まれ、各処理に利用される。処理部１１０は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）およびＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備えるノイマン型のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。組合せ最適化部１２０は、例えば、量子アニーリングマシンやイジングマシンなどの量子コンピュータである。
【0020】
＜処理＞
次に、本実施形態の処理を説明する。図１に例示するように、組合せ最適化装置１の入力部１１１には、前述した産業上の割当問題を特定するための情報であるグラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）およびＳが入力される。前述ように、産業上の割当問題は、与えられた制約条件をすべて満たすように、複数の対象ｖｉ∈Ｖに複数の要素ｓｃ∈Ｓを割り当てる問題である。Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝は対象ｖｉの集合を表し、Ｅは集合Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝に含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合を表し、Ｓ＝｛ｓ０，…，ｓＣ－１｝は対象に割り当てられる要素ｓｃの集合を表す。図３に、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝の場合のグラフＧを例示する。また、組合せ最適化装置１には、前述した実数係数α，β，γ，δ，εが入力される。ただし、これらの情報のうち、予め定められている情報については、組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。例えば、集合Ｓが予め組合せ最適化装置１に設定されているのであれば、集合Ｓが組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。同様に、実数係数α，β，γ，δ，εの一部が予め組合せ最適化装置１に設定されている場合、予め設定されている実数係数は組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。また、実数係数γ，δ，εの一部が０であることが定められている場合、０である実数係数は組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい（ステップＳ１１１）。
次に、本実施形態の処理を説明する。図１に例示するように、組合せ最適化装置１の入力部１１１には、前述した産業上の割当問題を特定するための情報であるグラフＧ＝（Ｖ，Ｅ）およびＳが入力される。前述ように、産業上の割当問題は、与えられた制約条件をすべて満たすように、複数の対象ｖｉ∈Ｖに複数の要素ｓｃ∈Ｓを割り当てる問題である。Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝は対象ｖｉの集合を表し、Ｅは集合Ｖ＝｛ｖ０，…，ｖＮ－１｝に含まれた特定の対象の組（ｖｉ，ｖｊ）の集合を表し、Ｓ＝｛ｓ０，…，ｓＣ－１｝は対象に割り当てられる要素ｓｃの集合を表す。図３に、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝の場合のグラフＧを例示する。また、組合せ最適化装置１には、前述した実数係数α，β，γ，δ，εが入力される。ただし、これらの情報のうち、予め定められている情報については、組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。例えば、集合Ｓが予め組合せ最適化装置１に設定されているのであれば、集合Ｓが組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。同様に、実数係数α，β，γ，δ，εの一部が予め組合せ最適化装置１に設定されている場合、予め設定されている実数係数は組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい。また、実数係数γ，δ，εの一部が０であることが定められている場合、０である実数係数は組合せ最適化装置１に入力されなくてもよい（ステップＳ１１１）。
【0021】
組合せ最適化装置１のエネルギー関数生成部１１２は、集合Ｖ，Ｅ，Ｓを用い、エネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋δＨ４＋εＨｏｂｊを得て出力する（式(2)(4)(6)(8)(10)(11)）。エネルギー関数Ｈを表す情報は組合せ最適化部１２０に送られる。エネルギー関数Ｈを表す情報は、エネルギー関数Ｈを表す、組合せ最適化部１２０で処理可能な情報である（ステップＳ１１２）。
【0022】
組合せ最適化部１２０にはエネルギー関数Ｈを表す情報が入力される。組合せ最適化部１２０は、当該エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値（すべてのｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝およびｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝についての変数ｑｉ，ｃの値）を得て出力する。例えば、実数係数δおよびεが正である場合、組合せ最適化部１２０は、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値（すべてのｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝およびｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝についての変数ｑｉ，ｃの値）、変数ｙｆ，ｎの値（すべてのｆ∈｛０，…，Ｃ－１｝およびｎ∈｛０，…，Ｌｆ－１｝についての変数ｙｆ，ｎの値）、およびｘｃの値（すべてのｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝についての変数ｘｃの値）を得て出力する。例えば、実数係数δおよびεが０である場合、組合せ最適化部１２０は、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値を得て出力する。例えば、実数係数δが０でεが正である場合、組合せ最適化部１２０は、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値および変数ｘｃの値を得て出力する。例えば、実数係数δが正でεが０である場合、組合せ最適化部１２０は、エネルギー関数Ｈが最小となる変数ｑｉ，ｃの値および変数ｙｆ，ｎの値を得て出力する（ステップＳ１２０）。
【0023】
組合せ最適化部１２０で得られた変数ｑｉ，ｃの値（すべてのｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝およびｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝についての変数ｑｉ，ｃの値）を表す情報は、演算結果生成部１１３に送られる。演算結果生成部１１３は、演算結果である変数ｑｉ，ｃの値（すべてのｉ∈｛０，…，Ｎ－１｝およびｃ∈｛０，…，Ｃ－１｝についての変数ｑｉ，ｃの値）を得て出力する。演算結果である変数ｑｉ，ｃの値は、ノイマン型のコンピュータで処理可能な値である（ステップＳ１１３）。以上より、従来よりも制約条件の多い産業上の割当問題を解くことができた。
【0024】
以降、具体的な割当問題とその解を例示する。
＜実施例１＞
実施例１では、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝，Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝，Ｃ＝４，Ｓ＝｛ｓ０，ｓ１，ｓ２，ｓ３｝，δ＝０かつα，β，γ，δ＞０，Ａ=｛（０，０），（２，２），（３，１）｝であり、Ｂが空集合である場合を例示する。これをグラフで表現すると図４Ａのようになる。
＜実施例１＞
実施例１では、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝，Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝，Ｃ＝４，Ｓ＝｛ｓ０，ｓ１，ｓ２，ｓ３｝，δ＝０かつα，β，γ，δ＞０，Ａ=｛（０，０），（２，２），（３，１）｝であり、Ｂが空集合である場合を例示する。これをグラフで表現すると図４Ａのようになる。
【0025】
この場合、各制約条件に対応する関数は以下のようになる。
＜制約条件１＞
１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つである。
＜制約条件２＞
対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅには、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられる。
ただし、Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝である。
＜制約条件３＞
予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓを必ず割り当てる。
ただし、Ａ=｛（０，０），（２，２），（３，１）｝である。
＜制約条件４＞
δ＝０であるため、制約条件４は存在しない。すなわち、δＨ４＝０である。
＜目的関数＞
できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てる。
＜制約条件１＞
１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つである。
【数10】
＜制約条件２＞
対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅには、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられる。
【数11】
ただし、Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝である。
＜制約条件３＞
予め定められた特定の対象ｖｋ∈Ｖに予め定められた特定の要素ｓｄ∈Ｓを必ず割り当てる。
【数12】
ただし、Ａ=｛（０，０），（２，２），（３，１）｝である。
＜制約条件４＞
δ＝０であるため、制約条件４は存在しない。すなわち、δＨ４＝０である。
＜目的関数＞
できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てる。
【数13】
【0026】
この場合、エネルギー関数生成部１１２は、エネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋γＨ３＋εＨｏｂｊを生成する。α＝β＝γ＝ε＝１の場合、エネルギー関数生成部１１２は式(12)のエネルギー関数Ｈを生成する。
Ｈ＝Ｈ１＋Ｈ２＋Ｈ３＋Ｈｏｂｊ (12)
Ｈ＝Ｈ１＋Ｈ２＋Ｈ３＋Ｈｏｂｊ (12)
【0027】
組合せ最適化部１２０は、式(12)のエネルギー関数生成部１１２を最小にする変数ｑｉ，ｃの値を求めることができる。その解の一つは、変数ｑ０，０，ｑ１，３，ｑ２，２，ｑ３，１，ｑ４，２が１であり、その他の変数ｑｉ，ｃが０である。これをグラフで表現すると図４Ｂのようになる。
【0028】
＜実施例２＞
実施例２では、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝，Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝，Ｃ＝４，Ｓ＝｛ｓ０，ｓ１，ｓ２，ｓ３｝，γ＝０かつα，β，δ，δ＞０，Ａが空集合であり、Ｂ=｛１，２｝であり、Ｌ１＝２，Ｌ２＝１である場合を例示する。これをグラフで表現すると図５Ａのようになる。
実施例２では、Ｎ＝５，Ｖ＝｛ｖ０，ｖ１，ｖ２，ｖ３，ｖ４｝，Ｅ＝｛（ｖ０，ｖ１），（ｖ０，ｖ４），（ｖ１，ｖ４），（ｖ１，ｖ３），（ｖ１，ｖ２），（ｖ２，ｖ３）｝，Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝，Ｃ＝４，Ｓ＝｛ｓ０，ｓ１，ｓ２，ｓ３｝，γ＝０かつα，β，δ，δ＞０，Ａが空集合であり、Ｂ=｛１，２｝であり、Ｌ１＝２，Ｌ２＝１である場合を例示する。これをグラフで表現すると図５Ａのようになる。
【0029】
この場合、各制約条件に対応する関数は以下のようになる。
＜制約条件１＞
１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つである。
＜制約条件２＞
対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅには、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられる。
ただし、Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝である。
＜制約条件３＞
γ＝０であるため、制約条件３は存在しない。すなわち、γＨ３＝０である。
＜制約条件４＞
予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられない。
ただし、Ｂ=｛１，２｝であり、Ｌ１＝２，Ｌ２＝１である。
＜目的関数＞
できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てる。
＜制約条件１＞
１つの対象ｖｉ∈Ｖに割り当てる要素ｓｃ∈Ｓは必ず１つである。
【数14】
＜制約条件２＞
対象の組（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅには、必ず互いに異なる要素ｓｃ∈Ｓが割り当てられる。
【数15】
ただし、Ｆ＝｛（０，１），（０，４），（１，４），（１，３），（１，２），（２，３）｝である。
＜制約条件３＞
γ＝０であるため、制約条件３は存在しない。すなわち、γＨ３＝０である。
＜制約条件４＞
予め定められた特定の要素ｓｆ∈Ｓが予め定められた回数Ｌｆ以下しか割り当てられない。
【数16】
ただし、Ｂ=｛１，２｝であり、Ｌ１＝２，Ｌ２＝１である。
＜目的関数＞
できるだけ少ない要素ｓｇ∈Ｓを割り当てる。
【数17】
【0030】
この場合、エネルギー関数生成部１１２は、エネルギー関数Ｈ＝αＨ１＋βＨ２＋δＨ４＋εＨｏｂｊを生成する。α＝β＝δ＝ε＝１の場合、エネルギー関数生成部１１２は式(13)のエネルギー関数Ｈを生成する。
Ｈ＝Ｈ１＋Ｈ２＋Ｈ４＋Ｈｏｂｊ (13)
Ｈ＝Ｈ１＋Ｈ２＋Ｈ４＋Ｈｏｂｊ (13)
【0031】
組合せ最適化部１２０は、式(13)のエネルギー関数生成部１１２を最小にする変数ｑｉ，ｃの値を求めることができる。その解の一つは、変数ｑ０，２，ｑ１，０，ｑ２，１，ｑ３，３，ｑ４，１が１であり、その他の変数ｑｉ，ｃが０である。これをグラフで表現すると図５Ｂのようになる。
【0032】
［ハードウェア構成］
実施形態における処理部１１０は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）やＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備える汎用または専用のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。すなわち、実施形態における処理部１１０は、例えば、それぞれが有する各部を実装するように構成された処理回路（processing circuitry）を有する。このコンピュータは１個のプロセッサやメモリを備えていてもよいし、複数個のプロセッサやメモリを備えていてもよい。このプログラムはコンピュータにインストールされてもよいし、予めＲＯＭ等に記録されていてもよい。また、ＣＰＵのようにプログラムが読み込まれることで機能構成を実現する電子回路（circuitry）ではなく、単独で処理機能を実現する電子回路を用いて一部またはすべての処理部が構成されてもよい。また、１個の装置を構成する電子回路が複数のＣＰＵを含んでいてもよい。
実施形態における処理部１１０は、例えば、ＣＰＵ（central processing unit）等のプロセッサ（ハードウェア・プロセッサ）やＲＡＭ（random-access memory）・ＲＯＭ（read-only memory）等のメモリ等を備える汎用または専用のコンピュータが所定のプログラムを実行することで構成される装置である。すなわち、実施形態における処理部１１０は、例えば、それぞれが有する各部を実装するように構成された処理回路（processing circuitry）を有する。このコンピュータは１個のプロセッサやメモリを備えていてもよいし、複数個のプロセッサやメモリを備えていてもよい。このプログラムはコンピュータにインストールされてもよいし、予めＲＯＭ等に記録されていてもよい。また、ＣＰＵのようにプログラムが読み込まれることで機能構成を実現する電子回路（circuitry）ではなく、単独で処理機能を実現する電子回路を用いて一部またはすべての処理部が構成されてもよい。また、１個の装置を構成する電子回路が複数のＣＰＵを含んでいてもよい。
【0033】
図６は、実施形態における処理部１１０のハードウェア構成を例示したブロック図である。図６に例示するように、この例の処理部１１０は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０ｄ、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０ｅ、補助記憶装置１０ｆ、通信部１０ｈ及びバス１０ｇを有している。この例のＣＰＵ１０ａは、制御部１０ａａ、演算部１０ａｂ及びレジスタ１０ａｃを有し、レジスタ１０ａｃに読み込まれた各種プログラムに従って様々な演算処理を実行する。また、入力部１０ｂは、データが入力される入力端子、キーボード、マウス、タッチパネル等である。また、出力部１０ｃは、データが出力される出力端子、ディスプレイ等である。通信部１０ｈは、所定のプログラムを読み込んだＣＰＵ１０ａによって制御されるＬＡＮカード等である。また、ＲＡＭ１０ｄは、ＳＲＡＭ (Static Random Access Memory)、ＤＲＡＭ (Dynamic Random Access Memory)等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｄａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｄｂを有している。また、補助記憶装置１０ｆは、例えば、ハードディスク、ＭＯ（Magneto-Optical disc）、半導体メモリ等であり、所定のプログラムが格納されるプログラム領域１０ｆａ及び各種データが格納されるデータ領域１０ｆｂを有している。また、バス１０ｇは、ＣＰＵ１０ａ、入力部１０ｂ、出力部１０ｃ、ＲＡＭ１０ｄ、ＲＯＭ１０ｅ及び補助記憶装置１０ｆを、情報のやり取りが可能なように接続する。ＣＰＵ１０ａは、読み込まれたＯＳ（Operating System）プログラムに従い、補助記憶装置１０ｆのプログラム領域１０ｆａに格納されているプログラムをＲＡＭ１０ｄのプログラム領域１０ｄａに書き込む。同様にＣＰＵ１０ａは、補助記憶装置１０ｆのデータ領域１０ｆｂに格納されている各種データを、ＲＡＭ１０ｄのデータ領域１０ｄｂに書き込む。そして、このプログラムやデータが書き込まれたＲＡＭ１０ｄ上のアドレスがＣＰＵ１０ａのレジスタ１０ａｃに格納される。ＣＰＵ１０ａの制御部１０ａａは、レジスタ１０ａｃに格納されたこれらのアドレスを順次読み出し、読み出したアドレスが示すＲＡＭ１０ｄ上の領域からプログラムやデータを読み出し、そのプログラムが示す演算を演算部１０ａｂに順次実行させ、その演算結果をレジスタ１０ａｃに格納していく。このような構成により、処理部１１０の機能構成が実現される。
【0034】
上述のプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体の例は非一時的な（non-transitory）記録媒体である。このような記録媒体の例は、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等である。
【0035】
このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。上述のように、このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記憶装置に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
【0036】
実施形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。
【0037】
なお、本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。例えば、処理部１１０が量子コンピュータ（例えば、ゲート型の量子コンピュータ）であってもよいし、組合せ最適化部１２０がゲート型の量子コンピュータやノイマン型のコンピュータにプログラムが読み込まれて構成される装置であってもよい。
【0038】
また、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
【産業上の利用可能性】
【0039】
本発明は、制約条件をすべて満たすように、複数の対象ｖｉ∈Ｖに複数の要素ｓｃ∈Ｓを割り当てる産業上の割当問題を解く場合に適用できる。要素ｓｃの例は、何らかの産業上のリソースであり、対象ｖｉの例は、産業上のリソースを利用、処理、保存、送信、受信、または再分配等する、産業上のエンティティである。産業上の割当問題の例は、ラウンドロビンスケジューリングや通信ネットワーク（例えば、GSMネットワーク）での周波数割り当てである。
【符号の説明】
【0040】
１ 組合せ最適化装置
１１０ 処理部
１２０ 組合せ最適化部
１１０ 処理部
１２０ 組合せ最適化部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】