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特開2024-75083構造物設計装置、構造物設計方法、プログラムおよび記録媒体
(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2024075083
(43)【公開日】2024-06-03
(54)【発明の名称】構造物設計装置、構造物設計方法、プログラムおよび記録媒体
(51)【国際特許分類】
G06F 30/20 20200101AFI20240527BHJP
G06F 30/10 20200101ALI20240527BHJP
G06F 111/10 20200101ALN20240527BHJP
【ＦＩ】
G06F30/20
G06F30/10 100
G06F111:10
【審査請求】未請求
【請求項の数】8
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2022186263
(22)【出願日】2022-11-22
(71)【出願人】
【識別番号】504137912
【氏名又は名称】国立大学法人 東京大学
(74)【代理人】
【識別番号】100105924
【弁理士】
【氏名又は名称】森下 賢樹
(72)【発明者】
【氏名】山田 崇恭
(72)【発明者】
【氏名】岡 大将
【テーマコード（参考）】
5B146
【Ｆターム（参考）】
5B146DC01
5B146DC04
5B146DC05
5B146DJ01
5B146DL08
5B146EC08
(57)【要約】
【課題】構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現する。
【解決手段】構造物設計装置１は、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶部１０と、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶部２０と、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶部３０と、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新部４０と、を含む。
【選択図】図１
【解決手段】構造物設計装置１は、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶部１０と、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶部２０と、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶部３０と、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新部４０と、を含む。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶部と、
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶部と、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶部と、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新部と、を含む構造物設計装置。
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶部と、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶部と、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新部と、を含む構造物設計装置。
【請求項2】
前記反応拡散方程式は非線形反応拡散方程式であることを特徴とする請求項１に記載の構造物設計装置。
【請求項3】
前記レベルセット関数更新部は、前記設計領域内で前記物体領域のトポロジー変化および前記境界領域の移動を同時に行うことを特徴とする請求項１または２に記載の構造物設計装置。
【請求項4】
前記レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＜１であることを特徴とする請求項１または２に記載の構造物設計装置。
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＜１であることを特徴とする請求項１または２に記載の構造物設計装置。
【請求項5】
前記レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＞１であることを特徴とする請求項１または２に記載の構造物設計装置。
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＞１であることを特徴とする請求項１または２に記載の構造物設計装置。
【請求項6】
構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む構造物設計方法。
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む構造物設計方法。
【請求項7】
構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラム。
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラム。
【請求項8】
構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラムを記録した記録媒体。
前記構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、
前記構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは前記物体領域と前記空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、
前記レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、前記構造物の性能を目標性能値に近づけるように前記レベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラムを記録した記録媒体。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、構造物設計装置、構造物設計方法、プログラムおよび記録媒体に関する。
【背景技術】
【0002】
構造物の設計を最適化する手法の１つとして、トポロジー最適化がある（例えば、特許文献１参照）。トポロジー最適化は、構造設計問題を、与えられた設計領域内における材料分布問題に置き換えるものである。材料分布問題とは、材料が存在する領域（以下、「構造領域」と呼ぶ）と材料が存在しない領域（以下、「空洞領域」と呼ぶ）の最適な分布を決定する問題である。トポロジー最適化は、設計の変更過程におけるトポロジー変更を可能とすることから、設計自由度が高く、構造物の大幅な性能向上を実現できるものと期待される。
【先行技術文献】
【特許文献】
【0003】
【特許文献1】国際公開第２０１９／２１６２２１号
【特許文献2】国際公開第２０１０／０２９８１０号
【非特許文献】
【0004】
【非特許文献1】Y. Nesterov, "A method of solving a convex programming problem with convergence rate O(1/k2)", Soviet Mathematics Doklady 27 (1983), 372.376.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0005】
トポロジー最適化には、均質化設計法、密度法およびレベルセット法に基づくものがある。このうちレベルセット法に基づくものは、レベルセット関数と呼ばれるスカラー関数の等位面により構造領域の境界面を表現し、このレベルセット関数の変更により構造領域の形状変更を表現するものである。均質化設計法や密度法に比べ、レベルセット法には、グレースケール（構造領域と空洞領域との中間領域）問題を排除できるというメリットがある。
【0006】
構造物設計の最適化問題に対して、レベルセット法に基づくトポロジー最適化を適用する技術が提案されている。特に特許文献２に開示された技術は、最初にレベルセット関数を定めておき、所定の制約条件下において、剛性等の構造物の性能を目標値に近づけるようにレベルセット関数を更新して、物体領域と空洞領域との境界を移動させるとともに、レベルセット関数の更新に伴う物体領域内のトポロジー変化を許容して物体領域内に新たな空洞領域を形成し、その新たな空洞領域と物体領域との境界を移動させるという手法を用いている。
【0007】
この特許文献２に記載の技術は、最適構造を明確に形状表現することができ、物体領域のトポロジー変化を許容するという点で、極めて自由度の高い構造最適化を可能としている。しかしながらこの技術には、最適構造への収束が遅いとか、境界付近での振動が原因で収束が安定しない、などといった課題がある。
【0008】
本発明はこうした状況に鑑みてなされたものであり、その目的は、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現する技術を提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【0009】
上記課題を解決するために、本発明のある態様の構造物設計装置は、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶部と、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶部と、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶部と、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新部と、を含む。
【0010】
ある実施の形態では、反応拡散方程式は非線形反応拡散方程式であってもよい。
【0011】
ある実施の形態では、レベルセット関数更新部は、設計領域内で物体領域のトポロジー変化および境界領域の移動を同時に行ってもよい。
【0012】
ある実施の形態では、レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式∂ｔｖ＝△ｖｐの拡散係数ｐ｜ｖ｜ｐ－１で表したとき、可変な拡散係数はｐ＜１であってもよい。
【0013】
ある実施の形態では、レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式∂ｔｖ＝△ｖｐの拡散係数ｐ｜ｖ｜ｐ－１で表したとき、可変な拡散係数はｐ＞１であってもよい。
【0014】
本発明の別の態様は、構造物設計方法である。この方法は、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む。
【0015】
本発明のさらに別の態様は、コンピュータプログラムである。このプログラムは、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させる。
【0016】
本発明のさらに別の態様は、記録媒体である。この記録媒体は、構造物の設計領域を記憶する設計領域記憶ステップと、構造物の目標性能値を記憶する目標性能値記憶ステップと、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶するレベルセット関数データ記憶ステップと、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新するレベルセット関数更新ステップと、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラムを記録する。
【0017】
なお、以上の構成要素の任意の組合せ、本発明の表現を装置、方法、システム、記録媒体、コンピュータプログラムなどの間で変換したものもまた、本発明の態様として有効である。
【発明の効果】
【0018】
本発明によれば、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現することができる。
【図面の簡単な説明】
【0019】
【図1】第１の実施の形態に係る構造物設計装置の機能ブロック図である。
【図2】第２の実施の形態に係る構造物設計方法の処理手順を示すフローチャートである。
【図3】数値シミュレーションのフローチャートである。
【図4】平均コンプライアンス問題に関する数値シミュレーションのフローチャートである。
【図5】平均コンプライアンス問題に関する数値シミュレーションの結果を示す図である（高速拡散方程式）。
【図6】平均コンプライアンス問題に関する数値シミュレーションの結果を示す図である（線形拡散方程式）
【図7】目的汎関数の時間発展を示す図である。
【図8】高コントラスト熱拡散問題に関する数値シミュレーションのフローチャートである。
【図9】高コントラスト熱拡散問題に関する数値シミュレーションの結果を示す図である。
【図10】目的汎関数の時間発展を示す図である。
【図11】レベルセット関数の差分の時間発展を示す図である。
【発明を実施するための形態】
【0020】
以下、本発明を好適な実施の形態をもとに図面を参照しながら説明する。実施の形態は、発明を限定するものではなく例示である。実施の形態に記述されるすべての特徴やその組み合わせは、必ずしも発明の本質的なものであるとは限らない。各図面に示される同一または同等の構成要素、部材、処理には、同一の符号を付するものとし、適宜重複した説明は省略する。また、各図に示す各部の縮尺や形状は、説明を容易にするために便宜的に設定されており、特に言及がない限り限定的に解釈されるものではない。また、本明細書または請求項の中で「第１」、「第２」等の用語が用いられる場合、特に言及がない限りこの用語はいかなる順序や重要度を表すものでもなく、ある構成と他の構成とを区別するだけのためのものである。また、各図面において実施の形態を説明する上で重要ではない部材の一部は省略して表示する。
【0021】
具体的な実施の方法を述べる前に、先ず基礎となる原理を説明する。
【0022】
［レベルセット法に基づくトポロジー最適化］
有限領域Ωで微分可能な関数ｆの目的関数Ｆは次式で表される。
ただし、ｕΩは与えられた状態変数、▽ｕΩはｕΩの勾配である。トポロジー最適化では、この目的関数が最小となるように最適構造を求める。
有限領域Ωで微分可能な関数ｆの目的関数Ｆは次式で表される。
【数1】
【0023】
ここでＤ⊂ΩとなるようなＤを所定の設計領域とし、以下のレベルセット関数φおよび特性関数χφを導入する。
これにより構造領域および空洞領域は、それぞれ以下のように表すことができる。
このとき目的関数Ｆ（Ω）を、以下の目的汎関数Ｆ（φ）に置き換えることができる。
これは、
と定式化すると、トポロジー最適化が材料分布問題であると解釈することができる。
【数2】
【数3】
【数4】
【数5】
【数6】
【数7】
【0024】
さらに
および最適構造
は、それぞれ以下のように表すことができる。
【数8】
【数9】
【数10】
【数11】
【0025】
以上を基に、
を求めることを考える。ここで
をレベルセット関数の関数列とし、φΩを初期レベルセット関数とする。レベルセット法では、レベルセット関数を更新することにより、目的汎関数を最小化する。このために以下の最急降下法を適用する。
ただしｋ＞０はステップ幅を表し、Ｆの降下方向
はフレシェ微分を表す。目的汎関数Ｆは、以下のようにＦεで近似できる。
このように、式（１）のＦをＦεで置き換えることにより、以下の反応拡散方程式が得られる。
ここで∂＝∂ｔであり、τ、ρ＞０であり、ｄＴＦは以下で定義されるＦのトポロジカル導関数である。
【数9】
【数12】
【数13】
【数14】
【数15】
【数16】
【0026】
（定義１）
関数の集合
を考える。集合Ａで定義される関数Ｊに以下の極限が存在するとき、トポロジカル導関数を以下で定義する。
ここで、
である。｜Ｂε（ｘ）｜は、
のルベーグ測度である。
式（３）を解き、
を更新することにより、
を得ることができる。
関数の集合
【数17】
【数18】
【数19】
【数20】
式（３）を解き、
【数21】
【数9】
【0027】
［レベルセット関数のための非線形拡散方程式］
レベルセット関数の更新は、以下の非線形拡散方程式を用いることにより、より実用的かつ汎用的に実行することができる。
ここで、ｑ、τ、ρ＞０であり、
φｑ：＝ｑ｜φ｜ｑ－１φであり、
である。
は
となるようなデルタ関数の近似関数列である。
レベルセット関数の更新は、以下の非線形拡散方程式を用いることにより、より実用的かつ汎用的に実行することができる。
【数22】
【数23】
【数24】
【数25】
【数26】
【0028】
本発明者らは、以下の命題１が成り立つことを見出した。
（命題１）
微分可能な汎関数Ｆを以下で定義する。
ここで
は式（５）に現れた関数であり、関数列
は
に従うものとする。
ただし、ｋ＞０、η＞０に関し、
と定義する。ここで任意のε＞０に対し、
が存在し、
を満たすならば、
は、好適な初期関数
の下で
のｍｉｎｉｍｉｚｅｒである。
（命題１）
微分可能な汎関数Ｆを以下で定義する。
【数27】
【数28】
【数12】
【数29】
ただし、ｋ＞０、η＞０に関し、
【数30】
【数31】
【数32】
【数33】
【数34】
【数35】
【0029】
命題１は以下を意味する。
すなわち所定の条件を満たすとき、
は、
で近似することができる。
すなわち
である。
すなわち所定の条件を満たすとき、
【数36】
【数37】
すなわち
【数38】
【0030】
この
を用いて、式（４）が導かれる。
【数28】
【0031】
［拡散項］
以下の拡散方程式を考える。
ｐ＝１の場合、式（７）は線形拡散方程式である。一方、ｐ≠１の場合、式（７）は非線形拡散方程式となる。ｐ＞１のとき、この非線形拡散方程式を「低速拡散方程式」と呼ぶ。一方、ｐ＜１のとき、この非線形拡散方程式を「高速拡散方程式」と呼ぶ。
以下の拡散方程式を考える。
【数39】
【0032】
拡散項
は、
に拡張できる。
このとき、
は拡散係数と考えることができる。
【数40】
【数41】
このとき、
【数42】
【0033】
このように、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
の拡散係数を
で表したとき、ｐの値を変えることにより、拡散係数を可変とすることができる。
【数39】
【数42】
【0034】
［低速拡散方程式］
ｐ＞１の場合、すなわち低速拡散方程式を考える。｜ｖ｜≪１（これは、構造領域と空洞領域との境界に対応する）の場合、拡散係数の値は線形拡散の場合に比べてずっと小さいものとなる。実際、自己相似解として、以下のＢａｒｅｎｂｌａｔｔ解（またはＺｅｌ’ｄｏｖｉｃｈ－Ｋｏｍｐａｎｅｅｔｓ－Ｂａｒｅｎｂｌａｔｔ解）が知られている。
ここで、
Ｃ＞０である。このとき
の台は、以下のように表される。
ｐ＞１の場合、すなわち低速拡散方程式を考える。｜ｖ｜≪１（これは、構造領域と空洞領域との境界に対応する）の場合、拡散係数の値は線形拡散の場合に比べてずっと小さいものとなる。実際、自己相似解として、以下のＢａｒｅｎｂｌａｔｔ解（またはＺｅｌ’ｄｏｖｉｃｈ－Ｋｏｍｐａｎｅｅｔｓ－Ｂａｒｅｎｂｌａｔｔ解）が知られている。
【数43】
【数44】
【数45】
【数46】
【数47】
【0035】
【数48】
特に境界構造は、速度
【数49】
【数50】
このとき解ｖ（ｙ、ｔ）は
【数51】
【数52】
【数53】
【0036】
［高速拡散方程式］
これに対し、ｐ＜１の場合（すなわち高速拡散方程式）は、低速拡散方程式と異なる特性を持つ。｜ｖ｜≪１の場合、式（８）に関して、拡散係数は境界付近で非常に大きな値を取ると考えられる。さらに線形拡散と同様に、高速拡散方程式は無限伝搬特性を持つ。
これに対し、ｐ＜１の場合（すなわち高速拡散方程式）は、低速拡散方程式と異なる特性を持つ。｜ｖ｜≪１の場合、式（８）に関して、拡散係数は境界付近で非常に大きな値を取ると考えられる。さらに線形拡散と同様に、高速拡散方程式は無限伝搬特性を持つ。
【0037】
［レベルセット法の解釈］
以上に基づき、ｖをレベルセット関数として設定する（すなわち、ｖ＝φ）。すると以下の解釈が成り立つ。
以上に基づき、ｖをレベルセット関数として設定する（すなわち、ｖ＝φ）。すると以下の解釈が成り立つ。
【0038】
（高速拡散方程式）
境界構造付近の拡散係数は非常に大きい。従って、感度が小さくても境界構造は拡張しようとする。すなわち、より急速に最適構造に収束することが期待できる。しかし境界構造は、最適構造付近でも依然として拡張しようとする点に注意する。これは、境界構造の問題を引き起こす可能性がある。
境界構造付近の拡散係数は非常に大きい。従って、感度が小さくても境界構造は拡張しようとする。すなわち、より急速に最適構造に収束することが期待できる。しかし境界構造は、最適構造付近でも依然として拡張しようとする点に注意する。これは、境界構造の問題を引き起こす可能性がある。
【0039】
（低速拡散方程式）
拡散係数が小さいため、感度が大きくても境界構造は拡張しようとしない。従って、境界構造の振動に伴う振動問題を排除することができる。
拡散係数が小さいため、感度が大きくても境界構造は拡張しようとしない。従って、境界構造の振動に伴う振動問題を排除することができる。
【0040】
［第１の実施の形態］
図１は、第１の実施の形態に係る構造物設計装置１の機能ブロック図である。構造物設計装置１は、設計領域記憶部１０と、目標性能値記憶部２０と、レベルセット関数データ記憶部３０と、レベルセット関数更新部４０と、を含む。
図１は、第１の実施の形態に係る構造物設計装置１の機能ブロック図である。構造物設計装置１は、設計領域記憶部１０と、目標性能値記憶部２０と、レベルセット関数データ記憶部３０と、レベルセット関数更新部４０と、を含む。
【0041】
設計領域記憶部１０は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶部２０は、構造物の目標性能値を記憶する。ここで構造物の目標性能値とは、例えば強度、剛性、固有振動等に関するものや、放熱性に関するものなどであってよい。レベルセット関数データ記憶部３０は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新部４０は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
【0042】
本実施の形態によれば、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現することができる。
【0043】
ある実施の形態では、反応拡散方程式は非線形反応拡散方程式であってもよい。すなわち、レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ≠１であってもよい。
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ≠１であってもよい。
【0044】
本実施の形態によれば、従来の線形反応拡散方程式でのデメリットを克服して、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現ことができる。具体的には、拡散係数をｐ＜１とすることにより、構造物の最適設計を高速化することができる。あるいは、拡散係数をｐ＞１とすることにより、構造物の最適設計を安定的に実現することができる。
【0045】
ある実施の形態では、レベルセット関数更新部は、設計領域内で物体領域のトポロジー変化および前記境界領域の移動を同時に行ってもよい。
【0046】
本実施の形態によれば、設計領域内で物体領域のトポロジー変化および前記境界領域の移動を別々に行う場合に比べて、構造物の最適設計を効率的に実現することができる。
【0047】
ある実施の形態では、レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＜１であってもよい。
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＜１であってもよい。
【0048】
この実施の形態によれば、高速拡散方程式を使うので、構造物の最適設計を高速化することができる。
【0049】
ある実施の形態では、レベルセット関数の可変な拡散係数を、実数の指数ｐを含む物理量ｖに関する非線形方程式
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＞１であってもよい。
∂ｔｖ＝△ｖｐ
の拡散係数を
ｐ｜ｖ｜ｐ－１
で表したとき、前記レベルセット関数の可変な拡散係数はｐ＞１であってもよい。
【0050】
この実施の形態によれば、低速拡散方程式を使うので、境界付近の振動が排除でき、構造物の最適設計を安定的に実現することができる。
【0051】
［第２の実施の形態］
図２に、第２の実施の形態に係る構造物設計方法の処理手順を示すフローチャートを示す。この設計支援方法は、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を備える。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
図２に、第２の実施の形態に係る構造物設計方法の処理手順を示すフローチャートを示す。この設計支援方法は、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を備える。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
【0052】
本実施の形態によれば、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現することができる。
【0053】
［第３の実施の形態］
第３の実施の形態は、コンピュータプログラムである。このプログラムは、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を含む方法をコンピュータに実行させる。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
第３の実施の形態は、コンピュータプログラムである。このプログラムは、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を含む方法をコンピュータに実行させる。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
【0054】
本実施の形態によれば、コンピュータを用いて、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現することができる。
【0055】
［第４の実施の形態］
第４の実施の形態は、記憶媒体である。この記憶媒体は、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラムを記録する。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
第４の実施の形態は、記憶媒体である。この記憶媒体は、設計領域記憶ステップＳ１と、目標性能値記憶ステップＳ２と、レベルセット関数データ記憶ステップＳ３と、レベルセット関数更新ステップＳ４と、を含む方法をコンピュータに実行させるプログラムを記録する。設計領域記憶ステップＳ１で本方法は、構造物の設計領域を記憶する。目標性能値記憶ステップＳ２で本方法は、構造物の目標性能値を記憶する。レベルセット関数データ記憶ステップＳ３で本方法は、構造物の各部分が、構造を有する物体領域であるか、空洞を形成する空洞領域であるかまたは物体領域と空洞領域との境界領域であるかを表すレベルセット関数のデータを記憶する。レベルセット関数更新ステップＳ４で本方法は、レベルセット関数の係数を可変な拡散係数とした非線形反応拡散方程式を解くことにより、構造物の性能を目標性能値に近づけるようにレベルセット関数を更新する。
【0056】
本実施の形態によれば、構造物の最適設計を高速にまたは安定的に実現するコンピュータプログラムを記録することができる。
【0057】
［数値シミュレーションによる検証］
本発明者らは本発明の技術の有効性を確認するために、実施の形態の構造物設計装置に関し、数値シミュレーションによる検証を行った。
本発明者らは本発明の技術の有効性を確認するために、実施の形態の構造物設計装置に関し、数値シミュレーションによる検証を行った。
【0058】
［数値シミュレーションの概要］
以下、体積を拘束したときの最小化問題の数値シミュレーションについて概要を説明する。この最小化問題は次式で表すことができる。
ここでＦ（φｎ）は目的汎関数、Ｇ（φｎ）は制約汎関数、λ≧０はラグランジュ乗数である。具体的にはこのシミュレーションは、以下のステップで実行する。
以下、体積を拘束したときの最小化問題の数値シミュレーションについて概要を説明する。この最小化問題は次式で表すことができる。
【数54】
【0059】
（ステップＳ１１）
固定された設計領域
および支配方程式の境界条件および初期レベルセット関数
を設定する。
固定された設計領域
【数55】
【数56】
【0060】
（ステップＳ１２）
状態値を設定する、すなわち弱形式の支配方程式を解く。
状態値を設定する、すなわち弱形式の支配方程式を解く。
【0061】
（ステップＳ１３）
Ｆ（φｎ）およびＧ（φｎ）を計算する。
Ｆ（φｎ）およびＧ（φｎ）を計算する。
【0062】
（ステップＳ１４）
ｋε＝１．０×１０－３について、収束条件
を満足するかを確認する。満足する場合は、最小化が達成されたと判断する。満足しない場合は、次のステップＳ１５に進む。
ｋε＝１．０×１０－３について、収束条件
【数32】
【0063】
（ステップＳ１５）
拡張ラグランジュ乗数法を用いて、
の反応項およびλ≧０を計算する。
拡張ラグランジュ乗数法を用いて、
【数22】
【数57】
【0064】
（ステップＳ１６）
を解く。
とする。
特に、時間方向に離散化された有限差分法を使って、
の離散化された弱形式
を解く。
ここで、
は
の部分空間であり、
である。
本明細書全体を通して、
Δｔ＝ρ＝０．７、
τ＝３×１０－４
ξ＝１．０×１０－５
であるとする。
【数22】
【数58】
【数59】
【数60】
特に、時間方向に離散化された有限差分法を使って、
【数22】
【数61】
ここで、
【数62】
【数63】
【数64】
本明細書全体を通して、
Δｔ＝ρ＝０．７、
τ＝３×１０－４
ξ＝１．０×１０－５
であるとする。
【0065】
（ステップＳ１７）
次のレベルセット関数
を設定した後、ステップＳ２２に戻る。
数値シミュレーションを終了する。
次のレベルセット関数
【数65】
数値シミュレーションを終了する。
【0066】
ステップＳ１１およびＳ１２は、最小化問題ごとに変更する必要がある。一方、ステップＳ１３－Ｓ１７は、
の反応項
が定まっていれば、様々な数値シミュレーションで共通である。
【数61】
【数66】
【0067】
図３に、上記の数値シミュレーションのフローチャートを示す。
【0068】
［検証１：平均コンプライアンス問題］
検証１として、平均コンプライアンス問題を取り扱う。平均コンプライアンス問題は、目標性能値として、剛性を最大化する値を設定する。
検証１として、平均コンプライアンス問題を取り扱う。平均コンプライアンス問題は、目標性能値として、剛性を最大化する値を設定する。
【0069】
平均コンプライアンス問題の目的関数Ｆは次式で表すことができる。
ここで
である。
ベクトル値関数
は、以下の線形弾性システムのユニークな解である。
ここで、弾性テンソル
および、歪テンソル
は、それぞれ以下で与えられる。
【数67】
【数68】
ベクトル値関数
【数69】
【数70】
【数71】
【数72】
【数73】
【数74】
【0070】
最小化問題
は、拘束のない最小化問題
に置き換えることができる。
ここで
である。
【数67】
【数54】
ここで
【数75】
【数76】
【0071】
最小化問題の数値解析は、以下のステップで進める。
【0072】
（ステップＳ２１）
ヤング率Ｅ＞０、ポワソン比ν＞０、表面力ベクトルｔ∈ＲｄおよびＧｍａｘを以下のように設定する。
Ｅ＝２．１×１０１１
ν＝０．３
ｔ＝（０、－１．０×１０３）
Ｇｍａｘ＝０．４５｜Ｄ｜
ヤング率Ｅ＞０、ポワソン比ν＞０、表面力ベクトルｔ∈ＲｄおよびＧｍａｘを以下のように設定する。
Ｅ＝２．１×１０１１
ν＝０．３
ｔ＝（０、－１．０×１０３）
Ｇｍａｘ＝０．４５｜Ｄ｜
【0073】
（ステップＳ２２）
以下の支配方程式を解く。
以下の支配方程式を解く。
【数77】
【数78】
【数79】
【数80】
【0074】
（ステップＳ２５）
と
とを組み合わせることにより、
の反応項を以下のように得る。
【数70】
【数38】
【数61】
【数81】
【0075】
（ステップＳ２６）
簡単のため、
と設定し、
を解く。
簡単のため、
【数82】
【数83】
【数84】
【数61】
【0076】
その他のステップは、前述のステップＳ１３、Ｓ１４およびＳ１７と共通である。
【0077】
図４に、平均コンプライアンス問題に関する数値シミュレーションのフローチャートを示す。
【0078】
図５に、平均コンプライアンス問題に関する数値シミュレーションの結果を示す。この数値シミュレーションでは、ｑ＝４としている（高速拡散方程式）。この図は、図３に示される処理を反復（イタレーション）したときの構造物の時間発展を示す。図は左から順に、初期状態、２０回反復後の状態、３５０回反復後の状態、最終状態をそれぞれ示す。初期状態では、設計領域全体を構造領域としている。反復を繰り返すうちに構造最適化が進み、設計領域内に空洞領域が現れる。注目すべきは、２０回反復後の状態で最終状態とほぼ同じ構造が得られている、すなわち２０回の反復で実質的に最適化が達成できている、という点である。
【0079】
比較のため、図６に、ｑ＝１（線形拡散方程式）のときの数値シミュレーションの結果を示す。図５と同様に、左から順に、初期状態、２０回反復後の状態、３５０回反復後の状態、最終状態をそれぞれ示す。最終状態では図５とほぼ同じ結果が得られており、構造最適化が達成されている。しかし反復が２０回および３５０回の状態では、得られた構造は最終状態と異なっており、まだ最適化が達成されていない。このことから、高速拡散方程式を使うことにより、線形拡散方程式を使った場合より遥かに高速に構造物の最適設計を実現できることが分かる。
【0080】
図７に、ｑ＝４、ｑ＝６，ｑ＝８のときの目的汎関数の時間発展を示す。ｑの値がいずれの場合も、一定の反復後には、目的汎関数は同じ状態に収束している。ただし収束の安定性と収束速度はｑによって異なる。この場合は、収束性の速さは、ｑ＝４、ｑ＝８、ｑ＝６の順に速いことが分かる。
【0081】
［検証２：高コントラスト熱拡散問題］
検証２として、高コントラスト熱拡散問題を取り扱う。高コントラスト熱拡散問題は、それぞれ異なる熱伝導率αおよびβを持つ２種類の材料からなる２次元構造を対象とする。目標性能値として、放熱を最大化する値を設定する。
検証２として、高コントラスト熱拡散問題を取り扱う。高コントラスト熱拡散問題は、それぞれ異なる熱伝導率αおよびβを持つ２種類の材料からなる２次元構造を対象とする。目標性能値として、放熱を最大化する値を設定する。
【0082】
高コントラスト熱拡散問題に関する最小化問題は次式で表すことができる。
ここで
である。
λ≧０はラグランジュ乗数を表し、Ｇｍａｘ＞０であり、ｕφは以下の静的熱方程式のユニークな解である。
さらに
は熱伝導係数であり、以下で与えられる。
【数85】
【数86】
λ≧０はラグランジュ乗数を表し、Ｇｍａｘ＞０であり、ｕφは以下の静的熱方程式のユニークな解である。
【数87】
【数88】
【数89】
【0083】
最小化問題の数値解析は、以下のステップで進める
【0084】
（ステップＳ３１）
α＝１、β＝１０－４、ｆ≡１と設定する。
α＝１、β＝１０－４、ｆ≡１と設定する。
【0085】
（ステップＳ３２）
を解く。
【数87】
【0086】
（ステップＳ３５）
と
とを組み合わせることにより、
の反応項を以下のように得る。
【数87】
【数38】
【数61】
【数90】
【0087】
（ステップＳ３６）
および
を設定する。
を解く。
特に、
と設定する。
【数91】
【数92】
【数61】
特に、
【数93】
【数94】
【数95】
【0088】
その他のステップは、前述のステップＳ１３、Ｓ１４およびＳ１７と共通である。
【0089】
図８に、高コントラスト熱拡散問題に関する数値シミュレーションのフローチャートを示す。
【0090】
図９に、上記の数値シミュレーションの結果を示す。上で説明したように、この数値シミュレーションでは、反復回数が３０００回まではｑ＝１（線形拡散方程式）とし、反復回数が３００１回目以降はｑ＝０（低速拡散方程式）としている。すなわちこの実施の形態では、処理の前半と後半とでｑの値を変更している。図９は、図８に示される処理を反復したときの構造物の時間発展を示している。図は左から順に、初期状態、１５００回反復後の状態、３０００回反復後の状態、３５００回反復後の状態をそれぞれ示す。初期状態では、設計領域全体を熱伝導係数がαの材料で構成している。反復を繰り返すうちに構造最適化が進み、設計領域内に熱伝導係数がβの材料が現れる。
【0091】
１５００回反復後の状態と３０００回反復後の状態とでは、ほぼ同じ構造が得られている。これは、線形拡散方程式でも一定の最適化が達成できていることを示す。しかしながらこの段階では、２つの材料の境界付近の構造は不明確である。
【0092】
一方、低速拡散方程式を用いて処理を行った後の３５００回反復後の状態では、２つの材料の境界付近に明確な構造が現れている。
【0093】
【0094】
図１０および図１１に示されるように、目的汎関数、レベルセット関数ともに、反復回数が３０００回まで（すなわち、線形拡散方程式を使用中の段階）は激しく振動しており収束していない。一方、反復回数が３０００回を過ぎると、線形拡散方程式が低速拡散方程式に切り替わったことにより、目的汎関数、レベルセット関数ともに急速に安定化して一定値に収束している。このことから、低速拡散方程式が構造物の最適設計の安定化に大きく寄与することが分かる。低速拡散方程式が構造物の最適設計の安定化に寄与することについては、図９において、３５００回反復後に２つの材料の境界付近に明確な構造が現れていることからも分かる。
【0095】
以上、本発明のいくつかの実施の形態をもとに説明した。これらの実施の形態は例示であり、いろいろな変形および変更が本開示の特許請求の範囲内で可能なこと、またそうした変形例および変更も本開示の特許請求の範囲にあることは当業者に理解されるところである。従って、本明細書での記述および図面は限定的ではなく例証的に扱われるべきものである。
【0096】
例えば前述の高速拡散方程式にネストロフの加速勾配法（例えば、非特許文献１参照）を組み合わせることによって、構造物の最適設計をより高速化できる。
【0097】
上述した各実施の形態と変形例の任意の組み合わせもまた本開示の実施の形態として有用である。組み合わせによって生じる新たな実施の形態は、組み合わされる各実施の形態および変形例それぞれの効果をあわせもつ。
【0098】
実施の形態および変形例を抽象化した技術的思想を理解するにあたり、その技術的思想は実施の形態および変形例の内容に限定的に解釈されるべきではない。前述した実施の形態および変形例は、いずれも具体例を示したものにすぎず、構成要素の変更、追加、削除等の多くの設計変更が可能である。実施の形態では、このような設計変更が可能な内容に関して、「実施の形態」との表記を付して強調している。しかしながら、そのような表記のない内容でも設計変更が許容されることは言うまでもない。
【産業上の利用可能性】
【0099】
本開示の構造物設計装置、構造物設計方法、プログラムおよび記録媒体は、建築物や乗り物などの構造物の最適設計に利用することができる。
【符号の説明】
【0100】
１・・構造物設計装置
１０・・設計領域記憶部
２０・・目標性能値記憶部
３０・・レベルセット関数データ記憶部
４０・・レベルセット関数更新部
Ｓ１・・設計領域記憶ステップ
Ｓ２・・目標性能値記憶ステップ
Ｓ３・・レベルセット関数データ記憶ステップ
Ｓ４・・レベルセット関数更新ステップ
Ｓ１１・・設計領域、境界条件および初期レベルセット関数を設定するステップ
Ｓ１２・・状態値を設定するステップ
Ｓ１３・・Ｆ（φｎ）およびＧ（φｎ）を計算するステップ
Ｓ１４・・収束条件を満足するかを判断するステップ
Ｓ１５・・反応項およびλ≧０を計算するステップ
Ｓ１６・・拡散方程式を解くステップ
Ｓ１７・・次のレベルセット関数を設定ステップ
Ｓ２１・・ヤング率、ポワソン比、表面力ベクトルおよびGｍａｘを設定するステップ
Ｓ２２・・支配方程式を解くステップ
Ｓ２５・・反応項を計算するステップ
Ｓ２６・・レベルセット関数を更新するステップ
Ｓ３１・・熱伝導率を設定するステップ
Ｓ３２・・支配方程式を解くステップ
Ｓ３５・・反応項を計算するステップ
Ｓ３６・・レベルセット関数を更新するステップ
１０・・設計領域記憶部
２０・・目標性能値記憶部
３０・・レベルセット関数データ記憶部
４０・・レベルセット関数更新部
Ｓ１・・設計領域記憶ステップ
Ｓ２・・目標性能値記憶ステップ
Ｓ３・・レベルセット関数データ記憶ステップ
Ｓ４・・レベルセット関数更新ステップ
Ｓ１１・・設計領域、境界条件および初期レベルセット関数を設定するステップ
Ｓ１２・・状態値を設定するステップ
Ｓ１３・・Ｆ（φｎ）およびＧ（φｎ）を計算するステップ
Ｓ１４・・収束条件を満足するかを判断するステップ
Ｓ１５・・反応項およびλ≧０を計算するステップ
Ｓ１６・・拡散方程式を解くステップ
Ｓ１７・・次のレベルセット関数を設定ステップ
Ｓ２１・・ヤング率、ポワソン比、表面力ベクトルおよびGｍａｘを設定するステップ
Ｓ２２・・支配方程式を解くステップ
Ｓ２５・・反応項を計算するステップ
Ｓ２６・・レベルセット関数を更新するステップ
Ｓ３１・・熱伝導率を設定するステップ
Ｓ３２・・支配方程式を解くステップ
Ｓ３５・・反応項を計算するステップ
Ｓ３６・・レベルセット関数を更新するステップ
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
