特許 7396601 解析装置、解析方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2023-12-04

(45)【発行日】2023-12-12

(54)【発明の名称】解析装置、解析方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G06N 7/01 20230101AFI20231205BHJP

【ＦＩ】

G06N7/01

【請求項の数】 6

(21)【出願番号】P 2022536433

(86)(22)【出願日】2021-07-14

(86)【国際出願番号】 JP2021026531

(87)【国際公開番号】W WO2022014657

(87)【国際公開日】2022-01-20

【審査請求日】2022-12-07

(31)【優先権主張番号】P 2020122352

(32)【優先日】2020-07-16

(33)【優先権主張国・地域又は機関】JP

(73)【特許権者】

【識別番号】000004226

【氏名又は名称】日本電信電話株式会社

(73)【特許権者】

【識別番号】503359821

【氏名又は名称】国立研究開発法人理化学研究所

(74)【代理人】

【識別番号】100107766

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠重

(74)【代理人】

【識別番号】100070150

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠彦

(74)【代理人】

【識別番号】100124844

【弁理士】

【氏名又は名称】石原 隆治

(72)【発明者】

【氏名】橋本 悠香

(72)【発明者】

【氏名】石川 勲

(72)【発明者】

【氏名】池田 正弘

(72)【発明者】

【氏名】河原 吉伸

【審査官】武田 広太郎

(56)【参考文献】

【文献】HASHIMOTO, Yuka et al.，Analysis via Orthonormal Systems in Reproducing Kernel Hilbert C*-Modules and Applications，arXiv [online]，2020年03月02日，[検索日 2023.11.02], インターネット：＜URL：https://arxiv.org/pdf/2003.00738.pdf>

【文献】SRIPERUMBUDUR, Bharath K et al.，Injective Hilbert Space Embeddings of Probability Measures，Proceedings of the 21st Annual Conference on Learning Theory，2008年，111-122，[検索日 2023.11.02], インターネット：＜URL：https://is.tuebingen.mpg.de/fileadmin/user_upload/files/publications/Paper- 4_[0].pdf>

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｎ ７／０１

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

ランダム性を持つ複数のデータのデータ集合を取得する取得部と、
前記データ集合上の確率測度μ及びνであって、フォン・ノイマン環に値を持つ確率測度μ及びνを、カーネル平均埋め込みを拡張した写像ΦによってRKHM上にそれぞれ写像したΦ（μ）及びΦ（ν）の内積又はノルムを、前記確率測度μ及びνの内積又はノルムとして計算する解析部と、
を有することを特徴とする解析装置。

【請求項2】

前記確率測度はランダム性を持つ複数のデータ間の共分散を表す測度を各成分とする行列、前記フォン・ノイマン環はｍ×ｍの複素数値行列全体の集合であり、
前記解析部は、
前記データ集合上に値を持つｍ個の確率変数をそれぞれＸ_１，・・・，Ｘ_ｍ及びＹ_１，・・・，Ｙ_ｍ、Ｘ_ｉとＸ_ｊの共分散を表す測度を（ｉ，ｊ）成分とする確率測度をμ＝μ_Ｘ、Ｙ_ｉとＹ_ｊの共分散を表す測度を（ｉ，ｊ）成分とする確率測度をν＝μ_Ｙとして、前記確率変数Ｘ_１，・・・，Ｘ_ｍから得られたデータと前記確率変数Ｙ_１，・・・，Ｙ_ｍから得られたデータとを用いて、Φ（μ_Ｘ）及びΦ（μ_Ｙ）の内積を、ｍ×ｍの複素数値行列を値に持つ正定値カーネルにより近似計算する、ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。

【請求項3】

前記確率測度は量子力学において量子の状態を表す測度、前記フォン・ノイマン環はｍ×ｍの複素数値行列全体の集合であり、
前記解析部は、
前記量子の観測を表す前記フォン・ノイマン環上の測度をμ'、前記量子の状態をρ_１及びρ_２、前記確率測度をμ＝ρ_１μ'、ν＝ρ_２μ'として、前記データ集合に含まれるデータを用いて、Φ（ρ_１μ'）及びΦ（ρ_２μ'）の内積を、ｍ×ｍの複素数値行列を値に持つ正定値カーネルにより計算する、ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。

【請求項4】

前記解析部は、
前記内積又はノルムの計算結果を用いて、前記データ集合の次元削減、前記確率測度の可視化、又は前記確率測度に対する異常検知を行う、ことを特徴とする請求項１又は２に記載の解析装置。

【請求項5】

ランダム性を持つ複数のデータのデータ集合を取得する取得手順と、
前記データ集合上の確率測度μ及びνであって、フォン・ノイマン環に値を持つ確率測度μ及びνを、カーネル平均埋め込みを拡張した写像ΦによってRKHM上にそれぞれ写像したΦ（μ）及びΦ（ν）の内積又はノルムを、前記確率測度μ及びνの内積又はノルムとして計算する解析手順と、
をコンピュータが実行することを特徴とする解析方法。

【請求項6】

コンピュータを、請求項１乃至４の何れか一項に記載の解析装置として機能させるプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、解析装置、解析方法及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

自然界に現れるデータは基本的にランダム性を含んでおり、ランダム性を考慮したデータ解析技術が従来から研究されている。このようなランダム性をデータ解析において扱う枠組みとして、カーネル平均埋め込み（kernel mean embedding）が知られている。ランダム性は、事象の起こりやすさを表す集合関数である確率測度によって定式化される。カーネル平均埋め込みでは、この確率測度に内積やノルムといった「近さ」の概念を与える手法であり、確率測度同士の近さはRKHS（reproducing kernel Hilbert space）と呼ばれる空間での内積により与えられる。多くのデータ解析手法は近さの概念により成り立っているため、これにより、ランダム性を含むデータ同士の近さを測ったり、或るランダム性のあるデータを生成する確率測度を推定したりする等の一般的なデータ解析を、ランダム性のあるデータに対して適用することが可能となる。

【0003】

一方で、ランダム性を含まないデータ解析技術で、複数のデータの相互作用を考慮する枠組みとして、RKHM（reproducing kernel Hilbert C*-module）を用いたものが知られている。RKHMはRKHSの拡張であり、通常複素数値である内積の代わりに、行列や線形作用素を一般化したC*-algebraと呼ばれる空間に値を持つ内積を定義することで、相互作用の情報を保存したまま解析を行うことができるようになる。これにより、相互作用のあるデータを精度良く解析したり、相互作用の情報を抽出したりすることが可能となる。

【0004】

ところで、データの中には、複数のランダムなデータが相互作用し合って生じるものも多い。また、量子計算等の量子を扱う分野においては、量子の状態が各観測の確率という複数の確率により表現される。ランダム性を定式化するためには確率測度が用いられるが、データ解析における既存の枠組みでは、確率測度は複素数値であり、複数のランダム性を同時に扱うことはできない。一方で、量子力学においては、複数の確率により表される量子の状態を定式化するために、Hilbert空間上の線形作用素に値を持つ確率測度が用いられている（例えば、非特許文献１）。また、純粋数学の分野では、これをより一般化したベクトル値測度という概念が理論的に研究されている（例えば、非特許文献２）。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0005】

【文献】H.E. Brandt, Quantum measurement with a positive operator-valued measure. Acta Phys. Hung. B 20, 95-99, 2004.

【文献】C. W. Swartz, Products of vector measures by means of Fubini's theorem, Mathematica Slovaca, 27(4):375-382, 1977.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0006】

しかしながら、上記の非特許文献１や非特許文献２は理論的な研究に留まっており、実際のデータ解析において、線形作用素に値を持つ確率測度を利用する枠組みは未だない。最近では量子から現れるデータを、機械学習の手法を用いて解析する研究も注目を集めており、そのような観点からも、複数のランダム性を同時に扱えるような、線形作用素に値を持つ確率測度をデータ解析において利用する枠組みは重要であると考えられる。

【0007】

本発明の一実施形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、複数のランダム性を持つデータ解析を実現することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0008】

上記目的を達成するため、一実施形態に係る解析装置は、ランダム性を持つ複数のデータのデータ集合を取得する取得部と、前記データ集合上の確率測度μ及びνであって、フォン・ノイマン環に値を持つ確率測度μ及びνを、カーネル平均埋め込みを拡張した写像ΦによってRKHM上にそれぞれ写像したΦ（μ）及びΦ（ν）の内積又はノルムを、前記確率測度μ及びνの内積又はノルムとして計算する解析部と、を有することを特徴とする。

【発明の効果】

【0009】

複数のランダム性を持つデータ解析を実現することができる。

【図面の簡単な説明】

【0010】

【図1】本実施形態に係る解析装置のハードウェア構成の一例を示す図である。

【図2】本実施形態に係る解析装置の機能構成の一例を示す図である。

【図3】本実施形態に係るデータ解析処理の一例を示すフローチャートである。

【図4】実験結果の一例を示す図（その１）である。

【図5】実験結果の一例を示す図（その２）である。

【発明を実施するための形態】

【0011】

以下、本発明の一実施形態について説明する。本実施形態は、複数のランダム性を持つデータ解析を行うことができる解析装置１０について説明する。本実施形態に係る解析装置１０を用いることで、複数のランダム性を持つデータの解析、特に、例えば、複数のランダムなデータが相互作用し合っている場合のデータや量子状態を表すデータの可視化、異常検知等を行うことが可能となる。なお、本実施形態に係る解析装置１０は、このような可視化や異常検知等の解析に加えて、例えば、その解析結果（特に、異常検知結果等）に基づいて、異常が検知されたデータが表す装置、機器、プログラム等の停止等の制御を行ってもよい。

【0012】

＜理論的構成及びその応用例＞
まず、本実施形態の理論的構成及びその応用例について説明する。本実施形態では、カーネル平均埋め込みを拡張し、線形作用素に値を持つ確率測度に内積・ノルム等の「近さ」の概念を与える。ただし、複数のランダム性の情報をできるだけ保った解析を行うために、内積の値は複素数値ではなく、線形作用素値とする。このために、RKHSを用いた既知のカーネル平均埋め込みの代わりに、RKHMを用いたカーネル平均埋め込みとする。

【0013】

１． RKHMを用いたカーネル平均埋め込み
Ｘをデータ（ランダム性を持つデータ）の属する空間、Ａをフォン・ノイマン環（von Neumann-algebra）とし、Ａ値positive definite kernel ｋ：Ｘ×Ｘ→Ａを考える。ただし、写像ｋ：Ｘ×Ｘ→ＡがＡ値positive definite kernelであるとは、以下の条件１及び条件２を満たすことをいう。なお、フォン・ノイマン間の具体例としては、例えば、線形作用素全体の集合や行列全体の集合等が挙げられる。

【0014】

（条件１）任意のｘ，ｙ∈Ｘに対して、ｋ（ｘ，ｙ）＝ｋ（ｘ，ｙ）^＊ （^＊は共役を表す）
（条件２）ｍを任意の自然数として、任意のｘ_０，ｘ_１，・・・，ｘ_ｍ－１∈Ｘと任意のｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ－１∈Ａに対して、

【0015】

【数1】

はpositive
ここで、positiveとはvon Neumann-algebraで正定値であることを意味し、全ての固有値が０以上であるエルミート行列（つまり、エルミート正定値）等の一般化である。

【0016】

Ａ値positive definite kernel ｋが与えられたとき、ＸからＡ値関数への写像φを、φ（ｘ）＝ｋ（・，ｘ）により定義する。この写像φはfeature mapとも呼ばれる。

【0017】

自然数ｍと、ｘ_０，ｘ_１，・・・，ｘ_ｍ－１∈Ｘと、ｃ_０，ｃ_１，・・・，ｃ_ｍ－１∈Ａに対して、

【0018】

【数2】

全体から、RKHMと呼ばれる空間を構成することができる。この空間をＭ_ｋと表す。Ｍ_ｋには、Ａ値の内積〈・，・〉_ｋとＡ値の大きさ｜・｜_ｋを定めることができる。

【0019】

Ｘ上のＡ値測度とは、可測集合と呼ばれるＸの部分集合からＡへの関数μで、任意の２ペアの交わりがないような可算無限個の可測集合Ｅ_１，Ｅ_２，・・・に対して、

【0020】

【数3】

を満たすものである。

【0021】

Ａ値測度に対して、その測度に関する積分を考えることができる。Ａ値関数ｆが、単関数と呼ばれる関数の列

【0022】

【数4】

の極限で表されるとき、ｆのμに関する積分は、ｓ_ｉのμに関する積分の極限で定義される。ここで、単関数ｓとは、或る有限個の可測集合Ｅ_１，・・・，Ｅ_ｎで任意の２ペアの交わりがないようなものとｃ_１，・・・，ｃ_ｎ∈Ａに対して、

【0023】

【数5】

と表されるような関数である。ただし、

【0024】

【数6】

は指示関数である。

【0025】

このとき、ｓ（ｘ）を左からμで積分した値を

【0026】

【数7】

で定義し、

【0027】

【数8】

と表す。同様に、ｓ（ｘ）を右からμで積分した値を

【0028】

【数9】

で定義し、

【0029】

【数10】

と表す。

【0030】

上記の設定の下、有限なＡ値測度をRKHMの元に移す写像Φを、

【0031】

【数11】

により定め、カーネル平均埋め込みと呼ぶ。RKHMの元同士のＡ値内積は定まっているため、Φが単射であれば、有限なＡ値測度μ、νのＡ値内積を、Φ（μ）とΦ（ν）のＡ値内積によって定めることができる。

【0032】

例えば、Ｘ＝Ｒ^ｄ、Ａ＝Ｃ^ｍ×ｍに対して、ｋ：Ｘ×Ｘ→Ａを、

【0033】

【数12】

とする。ただし、||・||_ＥはＲ^ｄ上のユークリッドノルム、ｃ＞０、Ｉはｍ次の単位行列である。また、Ｒは実数値全体、Ｃは複素数値全体を表す。このとき、このｋから定まるΦは単射であることが示せる。

【0034】

２． RKHMを用いたカーネル平均埋め込みの応用
２．１ Ａ値測度の間の距離
有限Ａ値測度μ、νのＡ値距離を以下で定義する。

【0035】

γ（μ，ν）＝｜Φ（μ）－Φ（ν）｜_ｋ
このとき、Φが単射であれば、例えば、||γ（μ，ν）||は距離の性質を完全に満たす。つまり、||γ（μ，ν）||＝||γ（ν，μ）||、||γ（μ，ν）||＝０ならばμ＝ν、||γ（μ，ν）||≦||γ（μ，λ）||＋||γ（λ，ν）||が任意の有限Ａ値測度μ、ν、λに対して成立する。

【0036】

以下に有限Ａ値測度の例を２つ挙げる。

【0037】

例１：ランダム性を持つ複数のデータ間の共分散を表す測度
Ａ＝Ｃ^ｍ×ｍとする。Ｘに値を持つｍ個の確率変数Ｘ_１，・・・，Ｘ_ｍとＹ_１，・・・，Ｙ_ｍを考える。ＰをＸ上の確率測度とし、μ_Ｘを、（ｉ，ｊ）成分がＸ_ｉとＸ_ｊの共分散を表す測度（Ｘ_ｉ，Ｘ_ｊ）_*ＰになるようなＡ値測度（又は、その測度を中心化したバージョン

【0038】

【数13】

になるようなＡ値測度）とする。このとき、γ（μ_Ｘ，μ_Ｙ）＝０と、任意の有界関数ｆ、ｇにより変換された確率変数の共分散が等しいこととが同値になる。よって、このようなＡ値測度に対して、後述するKernel PCAを行うことで、データ間の共分散の情報を保つような低次元の空間を得ることができる。

【0039】

実際には、Ｘ_１，・・・，Ｘ_ｍから得られたデータ｛ｘ_１，１，ｘ_１，２，・・・，ｘ_１，Ｎ｝，・・・，｛ｘ_ｍ，１，ｘ_ｍ，２，・・・，ｘ_ｍ，Ｎ｝と、Ｙ_１，・・・，Ｙ_ｍから得られたデータ｛ｙ_１，１，ｙ_１，２，・・・，ｙ_１，Ｎ｝，・・・，｛ｙ_ｍ，１，ｙ_ｍ，２，・・・，ｙ_ｍ，Ｎ｝とが与えられた際、Φ（μ_Ｘ）とΦ（μ_Ｙ）の内積〈Φ（μ_Ｘ），Φ（μ_Ｙ）〉_ｋの（ｉ，ｊ）成分を以下の式（１）のように近似する。

【0040】

【数14】

ただし、ｋ（ｘ，ｙ）は、全ての成分がＸ^２上の複素数値positive definite kernel

【0041】

【数15】

であるようなＣ^ｍ×ｍ値positive definite kernelである場合を考える。

【0042】

例２：量子の状態を表す測度
量子力学において、Ａを有界線形作用素全体の集合とする。量子の状態は線形作用素ρにより表され、その観測はＡ値測度μにより表されるため、量子の状態を表す線形作用素ρ_１、ρ_２、観測を表すＡ値測度μ_１、μ_２に対し、各状態の観測μ_１ρ_１とμ_２ρ_２の近さはΦ（μ_１ρ_１）とΦ（μ_２ρ_２）の内積により表すことができる。

【0043】

例えば、Ａ＝Ｃ^ｍ×ｍ、Ｘ＝Ｃ^ｍとし、ｉ＝１，・・・，ｓに対し、｜ψ_ｉ〉∈Ｘを正規化されたベクトルとする。これに対して、観測（つまり、Ｘ上のＡ値測度）

【0044】

【数16】

を考える。このとき、状態ρ_１、ρ_２∈Ｃ^ｍ×ｍに対して、Φ（μρ_１）とΦ（μρ_２）の内積は以下の式（２）により計算できる。

【0045】

【数17】

２．２ Kernel PCA
Ａ＝Ｃ^ｍ×ｍとする。複数のＡ値測度μ_１，・・・，μ_ｎに対して、〈Φ（μ_ｉ），Φ（μ_ｊ）〉_ｋ∈Ａを（ｉ，ｊ）ブロックに持つ行列をＧとする。Ｇはエルミート正定値行列になるため、固有値λ_１≧・・・≧λ_ｍｎ≧０と、これらの固有値にそれぞれ対応する正規直交な固有ベクトルｖ_１，・・・，ｖ_ｍｎとが存在する。第ｉ主軸を

【0046】

【数18】

により定義し、ｐ_ｉと表すこととすると、任意のｓ＝１，・・・，ｍｎに対してｐ_１，・・・，ｐ_ｓは以下の式（３）を満たす。

【0047】

【数19】

つまり、ｐ_１，・・・，ｐ_ｓは、Φ（μ_１），・・・，Φ（μ_ｎ）を表現するｓ個（通常、ｓ＜＜ｎ）のベクトルのうち、誤差を最小にするものとみなせる。そこで、Φ（μ_ｉ）を

【0048】

【数20】

で近似することでμ_１，・・・，μ_ｎを可視化したり、或るＡ値測度μ_０に対して

【0049】

【数21】

を、μ_０がμ_１，・・・，μ_ｎと比べてどの程度外れているかの値とみなして異常検知を行ったりすることができる。また、上述したように、データ間の共分散の情報を保つように次元削減を行うことができる。

【0050】

２．３ その他の応用例
機械学習や統計のRKHSにおけるカーネル平均埋め込みを用いる既存の方法は、RKHSにおける確率測度のカーネル平均埋め込みを、上記の例１で記載した共分散を表す測度のRKHMにおけるカーネル平均埋め込みに一般化することで、依存し合う複数の要素を持つデータに対して適用可能となる。例えば、以下のような例が挙げられる。

【0051】

・参考文献１「A. Gretton, K. M. Borgwardt, M. J. Rasch, B. Scholkopf, and A. Smola, A kernel two-sample test, Journal of Machine Learning Research, 13(1):723-773, 2012.」に記載されているtwo-sample testを一般化することで、依存し合う複数の要素を持つデータ同士の比較が可能となる。

【0052】

・参考文献２「W. Jitkrittum, P. Sangkloy, M. W. Gondal, A. Raj, J. Hays, and B. Scholkopf, Kernel mean matching for content addressability of GANs, In Proceedings of the 36th International Conference on Machine Learning, volume 97, pages 3140-3151, 2019.」に記載されている生成モデルに対するkernel mean matchingを一般化することで、依存し合う複数の要素の共分散の情報を保ったデータを生成できる。

【0053】

・参考文献３「H. Li, S. J. Pan, S. Wang, and A. C. Kot, Heterogeneous domain adaptation via nonlinear matrix factorization, IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, 31:984-996, 2019.」に記載されているMMDを用いたdomain adaptationを一般化することで、ソースドメインとターゲットドメインのデータが依存し合う複数の要素を持つ場合に、その共分散の情報を保って学習を行うことができる。

【0054】

また、上記の例２で記載した量子の状態を表す測度に対するカーネル平均埋め込みの内積を用いて、量子の状態に対する機械学習や統計の手法を用いた解析が可能となる。

【0055】

＜解析装置１０のハードウェア構成＞
次に、本実施形態に係る解析装置１０のハードウェア構成について、図１を参照しながら説明する。図１は、本実施形態に係る解析装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。

【0056】

図１に示すように、本実施形態に係る解析装置１０は一般的なコンピュータ又はコンピュータシステムで実現され、ハードウェアとして、入力装置１１と、表示装置１２と、外部Ｉ／Ｆ１３と、通信Ｉ／Ｆ１４と、プロセッサ１５と、メモリ装置１６とを有する。これらの各ハードウェアは、それぞれがバス１７を介して通信可能に接続されている。

【0057】

入力装置１１は、例えば、キーボードやマウス、タッチパネル等である。表示装置１２は、例えば、ディスプレイ等である。なお、解析装置１０は、入力装置１１及び表示装置１２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。

【0058】

外部Ｉ／Ｆ１３は、外部装置とのインタフェースである。外部装置には、記録媒体１３ａ等がある。解析装置１０は、外部Ｉ／Ｆ１３を介して、記録媒体１３ａの読み取りや書き込み等を行うことができる。なお、記録媒体１３ａには、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等がある。

【0059】

通信Ｉ／Ｆ１４は、解析装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。プロセッサ１５は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）等の各種演算装置である。メモリ装置１６は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＲＯＭ（Read Only Memory）、フラッシュメモリ等の各種記憶装置である。

【0060】

本実施形態に係る解析装置１０は、図１に示すハードウェア構成を有することにより、後述するデータ解析処理を実現することができる。なお、図１に示すハードウェア構成は一例であって、解析装置１０は、他のハードウェア構成を有していてもよい。例えば、解析装置１０は、複数のプロセッサ１５を有していてもよいし、複数のメモリ装置１６を有していてもよい。

【0061】

＜解析装置１０の機能構成＞
次に、本実施形態に係る解析装置１０の機能構成について、図２を参照しながら説明する。図２は、本実施形態に係る解析装置１０の機能構成の一例を示す図である。

【0062】

図２に示すように、本実施形態に係る解析装置１０は、機能部として、取得部１０１と、解析部１０２と、記憶部１０３とを有する。取得部１０１及び解析部１０２は、例えば、解析装置１０にインストールされた１以上のプログラムがプロセッサ１５に実行させる処理により実現される。また、記憶部１０３は、例えば、メモリ装置１６を用いて実現可能である。なお、記憶部１０３は、例えば、解析装置１０と通信ネットワークを介して接続される記憶装置（例えば、データベースサーバ等）により実現されていてもよい。

【0063】

記憶部１０３には、解析対象のデータ（例えば、解析対象となるＸの元及びそのＡ値測度、上記の例２に対して適用する場合は更に量子の状態を表す線形作用素ρ等）が記憶される。

【0064】

取得部１０１は、解析対象のデータを記憶部１０３から取得する。解析部１０２は、取得部１０１によって取得されたデータの解析（つまり、例えば、内積・ノルムの計算や、その計算結果を用いた可視化・異常検知等）を行う。

【0065】

＜データ解析処理＞
次に、本実施形態に係る解析装置１０が実行するデータ解析処理の流れについて、図３を参照しながら説明する。図３は、本実施形態に係るデータ解析処理の一例を示すフローチャートである。

【0066】

まず、取得部１０１は、解析対象のデータ（つまり、解析対象となるＸの元及びそのＡ値測度、上記の例２に対して適用する場合は更に量子の状態を表す線形作用素ρ等）を記憶部１０３から取得する（ステップＳ１０１）。

【0067】

そして、解析部１０２は、上記のステップＳ１０１で取得されたデータの解析を行う（ステップＳ１０２）。なお、データの解析としては、上記の「２． RKHMを用いたカーネル平均埋め込みの応用」に記載した内積・ノルムの計算やその計算結果を用いた可視化・異常検知、データ同士の比較、データの生成、学習等が挙げられる。なお、内積の計算方法の具体例は、ランダム性を持つ複数のデータ間の共分散を表す測度である場合は上記の式（１）、量子の状態を表す測度である場合は上記の式（２）に示す通りである。

【0068】

以上により、本実施形態に係る解析装置１０は、複数のランダム性を持つデータ解析（特に、複数のランダムなデータが相互作用し合っている場合のデータや量子状態を表すデータの可視化、異常検知等）を行うことができる。

【0069】

＜実験＞
最後に、上記の「２．１ Ａ値測度の間の距離」に記載した例１及び例２に対して、本実施形態に係る解析装置１０を適用した場合の実験結果について説明する。

【0070】

１． ランダム性を持つ複数のデータ間の共分散を表す測度
Ｘ＝Ｒ、Ω＝Ｒ^５とし、Ω上の、Ｘに値を持つ以下の式（４）～（６）のような確率変数からデータを作成した。

【0071】

【数22】

μ_Ｘを、（ｉ，ｊ）成分がＸ_ｉとＸ_ｊの共分散を表す測度

【0072】

【数23】

になるようなＡ値測度とする。このとき、Φ（μ_Ｘ）とΦ（μ_Ｙ）の内積、Φ（μ_Ｙ）とΦ（μ_Ｚ）の内積、Φ（μ_Ｘ）とΦ（μ_Ｚ）の内積を上記の式（１）によりそれぞれ計算し、Kernel PCAにより第１主軸及び第２主軸でμ_Ｘ、μ_Ｙ、μ_Ｚを可視化した。その結果を図４に示す。図４に示すように、相互に関係しているμ_Ｙとμ_Ｚ間の距離は近いのに対して、関係のないμ_Ｘとμ_Ｙ間の距離及びμ_Ｘとμ_Ｚ間の距離は遠くなっている。

【0073】

（既存手法との比較）
上記の式（４）で定義される［Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３］に従う独立なデータと、上記の式（５）で定義される［Ｙ_１，Ｙ_２，Ｙ_３］に従う独立なデータとをそれぞれ用意し、上記の参考文献１に記載されているtwo-sample testを行った。なお、two-sample testは２種類のサンプルが同じ確率分布に従うかどうかを判定するテストである。

【0074】

本実施形態に係る解析装置１０により各データ間の距離を測り（つまり、｜Φ（μ_Ｘ）－Φ（μ_Ｙ）｜_ｋにより測り）、two-sample testを行ったもの（提案手法）と、既存の距離を測り、two-sample testを行ったもの（従来手法）とを比較した。従来手法としては、参考文献１に記載されているRKHSと、参考文献４「B. K. Sriperumbudur, K. Fukumizu, A. Gretton, B. Scholkopf, and G. R. G. Lanckriet, On the empirical estimation of integral probability metrics. Electronic Journal of Statistics, 6:1550-1599, 2012.」に記載されているKantrovich及びDadleyとを採用した。また、以下のCase1及びCase2のそれぞれの場合で、提案手法及び従来手法の各手法において異なるデータで５０回テストを行い、２種類のサンプルが同じ分布に従うと判定された率を計算した。その結果を以下の表１に示す。

【0075】

・Case1：［Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３］に従う独立なデータ１０個と［Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３］に従う独立なデータ１０個
・Case2：［Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３］に従う独立なデータ１０個と［Ｙ_１，Ｙ_２，Ｙ_３］に従う独立なデータ１０個

【0076】

【表1】

Case1では２種類のサンプルが同じ分布に従うと判定される率が高く、Case2では２種類のサンプルが同じ分布に従うと判定される率が低い方が、判定問題を正確に解けているといえる。提案手法ではCase1の率が高く、Case2の率が低いことを同時に達成しており、両方の場合で正確な判定ができているといえる。

【0077】

２． 量子の状態を表す測度
上記の例２において、ｍ＝２、ｓ＝４とする。また、

【0078】

【数24】

とする。このとき、ａ_１，ｉ＝０．２５（ただし、ｉ＝１，２，３，４）に対して

【0079】

【数25】

とする。また、ａ_２，１＝０．４、ａ_２，４＝０．１、ａ_２，２＝ａ_２，３＝０．２５に対して

【0080】

【数26】

とする。更に、上記の例２と同様にμを定義する。ρ_１及びρ_２についてはそれぞれに少量のノイズを加え、それぞれ５０個のサンプルを用意した。

【0081】

このとき、ρ_１に関する５０個の各サンプルρ_１，ｉ（ただし、ｉ＝１，・・・，５０）について上記の式（３）に示す誤差（再構成誤差）を最小にする第１主軸ｐ_１を求め、ρ_１に関する５０個の各サンプルとρ_２に関する５０個の各サンプルρ_ｊ，ｉ（ただし、ｊ＝１，２、ｉ＝１，・・・，５０）それぞれに関してＣ^ｍ×ｍ値の再構成誤差

【0082】

【数27】

を計算し、そのノルムの値をプロットした。このプロット結果を図５に示す。つまり、図５では、ρ_１に関するデータを正常状態と考え、それを用いて学習を行い、得られた近似ｐ_１〈ｐ_１，Φ（ρ_ｊ，ｉμ）〉_ｋと真の状態Φ（ρ_ｊ，ｉμ）とがどの程度離れているかの値を、正常状態からの乖離（異常度）と捉え、プロットしている。

【0083】

図５に示すように、ρ_１に関するサンプルに比べてρ_２に関するサンプルの異常度は高くなっていることから、正常状態であるρ_１に対してρ_２が乖離している（つまり、異常状態である）ということが精度良く表現できているといえる。

【0084】

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術等との組み合わせが可能である。

【0085】

本願は、日本国に２０２０年７月１６日に出願された基礎出願２０２０－１２２３５２号に基づくものであり、その全内容はここに参照をもって援用される。

【符号の説明】

【0086】

１０ 解析装置
１１ 入力装置
１２ 表示装置
１３ 外部Ｉ／Ｆ
１３ａ 記録媒体
１４ 通信Ｉ／Ｆ
１５ プロセッサ
１６ メモリ装置
１７ バス
１０１ 取得部
１０２ 解析部
１０３ 記憶部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】