特許 7498003 複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法、及び当該方法を用いた情報処理装置

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2024-06-03

(45)【発行日】2024-06-11

(54)【発明の名称】複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法、及び当該方法を用いた情報処理装置

(51)【国際特許分類】

   G06F 17/16 20060101AFI20240604BHJP

   G01M 99/00 20110101ALI20240604BHJP

【ＦＩ】

G06F17/16 N

G01M99/00 Z

【請求項の数】 5

(21)【出願番号】P 2020045873

(22)【出願日】2020-03-16

(65)【公開番号】P2021149223

(43)【公開日】2021-09-27

【審査請求日】2023-03-10

(73)【特許権者】

【識別番号】301021533

【氏名又は名称】国立研究開発法人産業技術総合研究所

(73)【特許権者】

【識別番号】000141060

【氏名又は名称】株式会社関電工

(74)【代理人】

【識別番号】100075410

【弁理士】

【氏名又は名称】藤沢 則昭

(74)【代理人】

【識別番号】100135541

【弁理士】

【氏名又は名称】藤沢 昭太郎

(72)【発明者】

【氏名】鍛冶 良作

(72)【発明者】

【氏名】吉岡 匠

(72)【発明者】

【氏名】大川 慶直

(72)【発明者】

【氏名】昆 盛太郎

(72)【発明者】

【氏名】神徳 徹雄

(72)【発明者】

【氏名】河合 洋明

(72)【発明者】

【氏名】泉 敬介

(72)【発明者】

【氏名】中島 栄一

(72)【発明者】

【氏名】関 健一

【審査官】漆原 孝治

(56)【参考文献】

【文献】特開２０２０－１４４１１１（ＪＰ，Ａ）

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０６Ｆ １７／１６

Ｇ０１Ｍ ９９／００

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

複数の変数を有するシステムにおいて、
前記複数の変数のうち、一方の変数をＸ軸に、他方の変数をＹ軸に並べて図示した場合に、両変数が円環の関係性を有する２つの変数を選択し、
各変数のＸ軸方向の値を実部、各変数のＹ軸方向の値を虚部とする複素数としてとらえ、
当該複数の変数間の複素相関係数を算出し、
算出された複素相関係数を行列で表し、
当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出し、
算出された複素マハラノビス距離の値により、前記システムの正常、異常を診断することを特徴とする、複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法。

【請求項2】

前記複素相関係数は以下の数２で算出し、前記複素マハラノビス距離は以下の数３で算出することを特徴とする、請求項１に記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法。

【数2】

【数3】

【請求項3】

前記システムの正常、異常の診断は、システムが正常な状態に係る基準空間の複素相関係数行列の逆行列を使って、対象空間の複素マハラノビス距離を算出して行うことを特徴とする、請求項１又は２記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法。

【請求項4】

前記基準空間を、所定の条件に基づいて、再設定し、
再設定後の基準空間の複素相関係数行列の逆行列を使って、対象空間の複素マハラノビス距離を再度算出し、前記システムの正常、異常の診断を行うことを特徴とする、請求項３に記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法。

【請求項5】

請求項１～４のいずれかに記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法に用いる情報処理装置であって、
当該情報処理装置は、
前記複数の変数間の複素相関係数を算出し、
算出された複素相関係数を行列で表し、
当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出し、
算出された複素マハラノビス距離の値により、前記システムの正常、異常を診断する制御手段を有することを特徴とする、情報処理装置。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

この発明は、複数の変数の相関性を考慮した距離「マハラノビス距離」を用いて、対象の正常状態と異常状態を判別する多変量解析手法「ＭＴ法」を使用する、複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法、及び当該方法を用いた情報処理装置に関するものである。

【背景技術】

【0002】

ＭＴ法とは、品質工学において対象の品質を的確に確保する方法として、複数の変数の相関性を考慮した距離「マハラノビス距離」（＝Ｄ_Ｍ）を用い、対象の正常状態と異常状態を判別する多変量解析手法である。

【0003】

ある変数mに関する時系列データがi個あるとする。これを時系列ベクトルxmで表す（数９）。

【0004】

【数9】

【0005】

すると、変数mに関する平均μ_mは、数１０で計算される。

【0006】

【数10】

【0007】

同様にして、別の変数nに関する時系列データがi個あるとする。これを時系列ベクトルxnで表す（数１１）

【0008】

【数11】

【0009】

すると、変数nに関する平均μ_nは、数１２で計算される。

【0010】

【数12】

【0011】

この時、変数m、nの共分散Σmnは、数１３で計算される。

【0012】

【数13】

【0013】

平均値μ_n、μ_mなどが変数順に並んだ平均ベクトルをμとし、変数m、nの共分散Σmnをその成分に持つ共分散行列をΣとすると、ある時刻jにおける多変数ベクトルｘ= [ x_jm x_jn … ] （前記 xm、xnは時刻に関する集合であるのに対し、このベクトルは変数に関する集合であることに注意せよ）に対するマハラノビス距離Ｄ_Ｍは、次式で定義される（数１）。

【0014】

【数1】

【0015】

マハラノビス距離Ｄ_Ｍは、多変数ベクトルｘに対して、各要素間の相関を踏まえた多次元空間上の距離として定義される、直感的には、例えば、二次元空間における楕円状の分布に対して、重心から標本点までの距離と、その方向における楕円の幅との比で算出される。物理的には、複数の測定データによって構成されるある対象の状態を、測定データ間の相関関係が大きいものについてはその重みを大きくし、相関関係が小さいものについてはその重みを小さく評価した上で、平均的な状態から、ばらつきが正規分布（ガウス分布）している理想状態に対するずれを、マハラノビス距離Ｄ_Ｍという一つの値に集約して示したものと考えることが出来る。

【0016】

ＭＴ法おいては、基準となる測定データ（基準状態）の平均値と共分散行列を用いて、比較対象となる測定データにおけるマハラノビス距離Ｄ_Ｍを算出する。これにより、基準状態に対する比較対象の状態変化を把握することが可能である。

【0017】

例えば、特許文献１に示すもののように、このマハラノビス距離Ｄ_Ｍを用いて監視対象物の異常の有無を判定する方法や装置が多数開発されている。

【先行技術文献】

【特許文献】

【0018】

【文献】特開２０１８－１２８３５８号公報

【発明の開示】

【発明が解決しようとする課題】

【0019】

しかしながら、従来のＭＴ法は、変数の値を実数として扱い、それらから算出した共分散（相関係数）の行列を用いてマハラノビス距離Ｄ_Ｍを算出する手法であるため、例えば二つの変数が円環上の関係性をもって分布している場合など、現象としては何らかの関係性を有するにもかかわらず、計算上の相関関係はゼロに近い値となってしまい、相互の関係性がマハラノビス距離Ｄ_Ｍに反映されないケースがある。この場合、対象が本来持っているはずの重要な関係性やその関係性の崩れを見落としてしまう恐れがある。

【0020】

以下、変数の値を実数として扱う、従来のＭＴ法を用いると、相関関係がゼロになってしまう事例について説明する。

【0021】

図７はある回路の電圧Ｖ１と電流Ｉ１と、他の回路の電圧Ｖ２と電流Ｉ２の時間的な変動を例示したものである。電圧と電流は夫々位相がπ／２（＝９０度）ずれている。

【0022】

図８は従来のＭＴ法でこれらを解析するために、電流と電圧に係る４つの変数の散布図と、これら４つの変数における、２つの変数間の相関係数を示したものである。求めた相関係数から分かるように、電圧Ｖ１と電圧Ｖ２の相関が１に近く、また、電流Ｉ１と電流Ｉ２の相関の相関が１に近い。その他の相関はほぼゼロである。また、図８の散布図を見ると、電圧Ｖ１と電圧Ｖ２の関係と電流Ｉ１と電流Ｉ２の関係は直線状に並んでおり、相関が１に近いことが分かる。

【0023】

これに対し、電圧Ｖ１と電流Ｉ１の関係並びに電圧Ｖ２と電流Ｉ２の関係は位相がπ／２（＝９０度）ずれているため、円を描いていることが分かる。この様な特殊な関係性を有するにもかかわらず、従来のＭＴ法を用いて、電圧Ｖ１、電流Ｉ１の相関分析をするとゼロと出てしまう。

【0024】

そこで、この発明は上述の課題を解決するため、システム（対象）から得られた変数がそれぞれ、二次元的な分布を持つ場合に、これらの変数を複素数として扱い、これら複素数同士の関係性をみることで、当該システム（対象）が正常か異常かを正確に診断できる、複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法、及び当該方法を用いた情報処理装置を提供することを目的としたものである。

【課題を解決するための手段】

【0025】

請求項１の発明は、
複数の変数を有するシステムにおいて、
前記複数の変数のうち、一方の変数をＸ軸に、他方の変数をＹ軸に並べて図示した場合に、両変数が円環の関係性を有する２つの変数を選択し、
各変数のＸ軸方向の値を実部、各変数のＹ軸方向の値を虚部とする複素数としてとらえ、
当該複数の変数間の複素相関係数を算出し、
算出された複素相関係数を行列で表し、
当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出し、
算出された複素マハラノビス距離の値により、前記システムの正常、異常を診断する、複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法とした。

【0026】

また、請求項２の発明は、
前記複素相関係数は以下の数２で算出し、前記複素マハラノビス距離は以下の数３で算出する、請求項１の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法とした。

【0027】

【数2】

【0028】

【数3】

【0029】

また、請求項３の発明は、
前記システムの正常、異常の診断は、システムが正常な状態に係る基準空間の複素相関係数行列の逆行列を使って、対象空間の複素マハラノビス距離を算出して行う、請求項１又は２記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法とした。

【0030】

また、請求項４の発明は、
前記基準空間を、所定の条件に基づいて、再設定し、
再設定後の基準空間の複素相関係数行列の逆行列を使って、対象空間の複素マハラノビス距離を再度算出し、前記システムの正常、異常の診断を行う、請求項３に記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法とした。

【0031】

また、請求項５の発明は、
請求項１～４のいずれかに記載の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法に用いる情報処理装置であって、
当該情報処理装置は、
前記複数の変数間の複素相関係数を算出し、
算出された複素相関係数を行列で表し、
当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出し、
算出された複素マハラノビス距離の値により、前記システムの正常、異常を診断する制御手段を有する、情報処理装置とした。

【発明の効果】

【0032】

請求項１～５の各発明によれば、システムの有する複数の変数が、夫々二次元的な分布を持つ場合に、各変数のＸ軸方向の値を実部、各変数のＹ軸方向の値を虚部とする複素数として扱い、当該複数の変数間の複素相関係数を算出し、算出された複素相関係数を行列で表し、当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出する。このようにして求められた複素マハラノビス距離は、従来の、各変数を実数として扱って求めるマハラノビス距離では反映されず、相関がないと認識される、変数同士の関係性を数値化して把握できる。そして、把握した関係性を踏まえて、システムの正常、異常状態を判別（診断）することが出来る。更に、システムの正常・異常を示すデータを的確に検出することができる。

【0033】

また従来から、各変数を実数として扱って求めるマハラノビス距離を用いることによって生じていた、システムの正常・異常とは関連性のない、マハラノビス距離の異常値の発生を低減させることができる。

【0034】

請求項１～５の各発明は、特に、電気、電磁波といった複素空間上の分布が「振幅」、「位相」の二つの実数で表現される現象等を扱う体系に対して有効である。また、請求項１～５の各発明は、複素空間上の関係性が、一方の変数の微分が他方の変数に関連するような、電信方程式やマクスウェルの方程式、シュレディンガーの方程式等に代表される物理量を扱う体系に特に有効である。

【図面の簡単な説明】

【0035】

【図1】（ａ）図は二次元上の平面に円を描くように推移する関係性をもつ２つの変数データの平面図、（ｂ）図は平面内軸を実軸（実部）、虚軸（虚部）とし、縦軸を時間軸として２組の前記変数データが螺旋を描く散布図である。

【図2】二次元上の平面に円を描くように推移する関係性をもつ２組の振幅と位相の変数データの説明図であって、（ａ）図は回転（螺旋）方向が同じで位相が同じ場合の前記変数を実数としてとらえた散布図、（ｂ）図は同じく各変数を複素数としてとらえた散布図、（ｃ）図は回転（螺旋）方向が同じで、位相がπ／２ずれた場合の前記変数を実数としてとらえた散布図、（ｄ）図は同じく各変数を複素数としてとらえた散布図である。

【図3】二次元上の平面に円を描くように推移する関係性をもつ２組の振幅と位相の変数データの説明図であって、（ａ）図は回転（螺旋）方向が反対で位相が同じである場合の前記変数を実数としてとらえた散布図、（ｂ）図は同じく前記各変数を複素数としてとらえた散布図、（ｃ）図は回転（螺旋）方向が反対で、位相がπ／２ずれた場合の変数を実数としてとらえた散布図、（ｄ）図は同じく前記各変数を複素数としてとらえた散布図である。

【図4】図７の信号Ｖ１、Ｉ１（Ｖ２、Ｉ２）を実部虚部とする複素信号Ｚ１（Ｚ２）を、水平面内軸を実軸（実部）、虚軸（虚部）とし、縦軸を時間としてプロットした散布図である。４つ実変数として示されていたものは、実は２つの複素変数であることを示している。

【図5】（ａ）図７の４つの実変数に基づく相関係数行列から算出されたマハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＭＤ二乗値とした、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラムであり、横軸はＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図6】（ａ）図７の４つ実変数データを図４の２つの複素変数データとして見直し、その２つの複素変数に基づく複素相関係数行列から算出された複素マハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＣＭＤ二乗値としたグラフ、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラム図であり、横軸はＣＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図7】４つの実変数（Ｖ１、Ｉ１、Ｖ２、Ｉ２）の時間推移を示すグラフであり、Ｖ、Ｉは信号Ｚの実部、虚部である。信号Ｖ１には、時刻６０から１００の間に他の期間の５倍のランダムノイズが重畳されている。

【図8】図７の４つの実変数データのそれぞれを縦軸、横軸とした時の散布図（４つの中から２つ抜き出す組み合わせ数：４×３÷２＝６個）と、それらの相関係数を示したものである。

【図9】図７の４つの実変数のその後の時間推移を示すグラフ。Ｖ、Ｉは信号Ｚの実部、虚部である。信号が増幅されて、定常状態になった様子を示している。信号Ｖ１には、時刻４００から６００の間に他の期間の３．５倍のランダムノイズが重畳されている。

【図10】（ａ）図９の４つの変数に基づく相関係数行列から算出されたマハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＭＤ二乗値としたグラフ、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラム図であり、横軸はＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図11】図９の信号Ｚ１と信号Ｚ２のそれぞれの実部と虚部を、平面内軸を実軸（実部）、虚軸（虚部）とし、縦軸を時間としてプロットした散布図である。

【図12】（ａ）図１１の複素信号Ｚ１とＺ２に基づく複素相関係数行列から算出された複素マハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＣＭＤ二乗値としたグラフ、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラム図であり、横軸はＣＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図13】（ａ）図１０の閾値が５以下の最も長い期間（時刻０から１００）を基本空間に再設定した相関係数行列から算出されるマハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＭＤ二乗値としたグラフ図、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラム図であり、横軸はＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図14】（ａ）図１２の閾値が５以下の最も長い期間（時刻２００から３００）を基本空間とした複素相関係数行列から算出される複素マハラノビス距離であり、横軸を時間、縦軸をＣＭＤ二乗値としたグラフ図、（ｂ）図は（ａ）図のヒストグラム図であり、横軸はＣＭＤ二乗値、縦軸は頻度を表す。

【図15】この発明の方法を実現するための情報処理装置の概略図である。

【発明を実施するための形態】

【0036】

（実施の形態例１）
以下、この発明の実施の形態例１の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法、及び当該方法を用いた情報処理装置について説明する。

【0037】

図１（ｂ）は、実軸、虚軸を座標軸に持つ複素平面（ＸＹ平面）上を時間進展と共に回転する軌跡を描く二つの複素データdata1（z=x+jy）、data2（w=u+jv）を、Ｚ軸を時間軸として示したものである。ここで、jは虚数単位を示す。このような時間進展に関して螺旋の関係性を内包するデータは、交流電圧・電流や電磁界の反射係数など、多数ある。

【0038】

図２（ａ）は、同図（ｂ）のdata1の実部x、虚部y、data2の実部u、虚部vを、それぞれ独立したデータとして考えて、散布図として示したものである。図２（ａ）一段目左から順にxyの散布図、xuの散布図、yuの散布図であり、二段目左から順にuvの散布図、xvの散布図、yvの散布図を示している。ここに、図中のr_xy、r_xu、r_yu、r_uv、r_xv、r_yvはそれぞれの相関係数を示している。

【0039】

データを実数として扱う従来の相関分析法では、一方のデータ（data1）の実部と虚部、他方のデータ（data2）の実部と虚部をそれぞれ、実数の変数としてとらえ、計４つのデータから２つ選んだ時のデータの全組み合わせ（４×３÷２＝６組）を考慮する。これらの相関関係を見ると、実部のデータと実部のデータの相関係数r_xuは１、虚部のデータと虚部のデータの相関係数r_yvも１、実部のデータと虚部のデータの相関係数r_xy、r_yu、r_uv、r_xvは０となる。従って、実部のデータと虚部のデータでは相関関係がない。

【0040】

図２の（ａ）図は、data1とdata2の上記螺旋が同じ方向で、位相も同じ場合を示すが、「data1の実部：data2の実部」の相関係数r_xuが１、「data1の虚部：data2の虚部」の相関係数r_yvが１となっている。また、図２の（ｃ）図は、上記螺旋が同じ方向で、位相はπ／２（＝９０度）ずれている場合を示すが、「data1の実部：data2の虚部」の相関係数r_xvが１、「data1の虚部：data2の実部」の相関係数r_yuが－１となっている。従来のＭＴ分析では、data1とdata2の関係性を把握するために、６種の組み合わせ（＝「data1の実部：data1の虚部」、「data2の実部：data2の虚部」、「data1の実部：data2の実部」、「data1の実部：data2の虚部」、「data1の虚部：data2の実部」、「data1の虚部：data2の虚部」）を調べていた。

【0041】

また、図３の（ａ）図は、同図（ｂ）で示すように、data1とdata2の上記螺旋の向きが反対で位相が同じ場合の各実部・虚部の散布図を示したものであるが、「data1の実部：data2の実部」の相関係数r_xuは１、「data1の虚部：data2の虚部」の相関係数r_yvが－１である。また、図３の（ｃ）図は、同図（ｄ）のように、data1とdata2の上記螺旋の向きが反対で位相はπ／２（＝９０度）ずれている場合の各実部・虚部の散布図を示したものであるが、「data1の実部：data2の虚部」の相関係数r_xvは１、「data1の虚部：data2の実部」の相関係数r_yuが１である。従来のＭＴ分析では、data1とdata2の関係性を把握するためには、６種の組み合わせ（＝「data1の実部：data1の虚部」、「data2の実部：data2の虚部」、「data1の実部：data2の実部」、「data1の実部：data2の虚部」、「data1の虚部：data2の実部」、「data1の虚部：data2の虚部」）を調べていた。

【0042】

＜複素マハラノビス距離の算出＞
そこで、この発明では、これらのdata1及びdata2の実部、虚部のデータを個別の変数として扱わず、実部と虚部で一つの複素数として扱い、data1の複素数とdata2の複素数間の複素相関係数を算出し、算出された複素相関係数を行列で表し、当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出する。以下、詳しく説明する。

【0043】

data1（「複素数z=x+jy」とする）及びdata2（「複素数w=u+jv」とする）の時系列i（←「i」は筆記体。時系列iは、1～nの時系列）の各数値は、以下の表１の通りである。そして、時系列i（←「i」は筆記体）のdata1及びdata2の各数値から、data1及びdata2の複素平均値μと複素標準偏差σを算出する。詳しくは、複素平均値μは次式で求める。（数１４）、

【0044】

【数14】

【0045】

複素標準偏差σは次式で求める（数１５）。

【0046】

【数15】

【0047】

【表1】

【0048】

次に、算出されたdata1及びdata2の複素平均値μと複素標準偏差σを用いて、data1及びdata2の時系列i（←「i」は筆記体）の各数値について、規格化（＝正規化、標準化）を行う。例えば、data1及びdata2の時系列i（←「i」は筆記体。時系列iは、１～nの時系列）の各数値を規格化する場合には、以下の式となる（数４）。

【0049】

【数4】

【0050】

「規格化」は、統計の分野で一般的に行われており、平均が0、標準偏差が1となるように値を変換することである。「規格化」することで、単位や平均値などが異なる値同士を単純に比較できるようになり、コンピュータ（情報処理装置）で扱いやすくなる。

【0051】

そして、数４を使って、data1及びdata2の時系列の各数値を規格化した結果は、以下の表２の通りである。

【0052】

【表2】

【0053】

次に、複素相関係数行列をRとすると、以下のように数１６で表わされる。

【0054】

【数16】

【0055】

【数2】

【0056】

数２において、変数丸マーク（←図形の丸）と△をそれぞれの平均値と標準偏差で数４のように規格化すると、数２は、以下の通り数５に変形される。

【0057】

【数5】

【0058】

そこで、数５を用いて、規格化されたdata1及びdata2の時系列i（←「i」は筆記体）の各数値から各複素相関係数を算出する。そして、算出された各複素相関係数を、複素相関係数行列Rで以下のように表わす（数１７）。

【0059】

【数17】

【0060】

次に、複素相関係数行列Rを使って、時刻i（←「i」は筆記体）の、複素マハラノビス距離の二乗値Di²（←「i」は筆記体で下付き。「2」は上付き）を算出する（数３）。

【0061】

【数3】

【0062】

本実施の形態例１では、複素変数の数は、「２個」（z、w）であるため、以下の数１８では、複素変数の数を、「２個」（z、w）として、複素マハラノビス距離の二乗値Di²（←「i」は筆記体で下付き。「2」は上付き）を算出する。

【0063】

【数18】

【0064】

次に、data1及びdata2の実部、虚部のデータを個別の変数として扱わず、実部と虚部で一つの複素数として扱い、data1の複素数データｚとdata2の複素数データｗ間の複素相関係数を算出した例を図２（ｂ）及び（ｄ）と図３（ｂ）及び（ｄ）にr_zwとして示す。

【0065】

図２の（ｂ）図は、data1及びdata2の上記螺旋の方向は同じで、位相も同じ場合であるが、複素相関係数r_zwの実部が１となっている。図２の（ｄ）図は、data1及びdata2の上記螺旋の方向は同じで、位相がπ／２（＝９０度）ずれている場合であるが、複素相関係数r_zwの虚部が－１となっている。

【0066】

また、図３の（ｂ）図は、data1及びdata2の上記螺旋の方向は逆向きで、位相は同じ場合であるが、複素相関係数r_zwは０となっている。図３の（ｄ）図は、data1及びdata2の上記螺旋の方向は逆向きで、位相がπ／２（＝９０度）ずれている場合であるが、複素相関係数r_zwが０となっている。またこの場合、実部と虚部の値が入れ替わっていることが分かる。

【0067】

このように、複素相関係数r_zwを用いることによって、data1とdata2のように、円環上の関係性を有する（＝回転して円を描く）データ間の相関関係を的確に示すことができる。ここでの的確という意味は、複素数として扱えば、複素相関一つで表現できるものを、実数として扱うことで、実相関６つで表現しなければならなくなる副作用の問題を回避できることをいう。

【0068】

円環上の関係性を有するデータ間の相関関係を的確に示すことができることにより、伝送線路の電圧・電流や導波管の電磁波の電界・磁界等、エネルギーが２つの物理量を交互に渡り歩くシステムにおける正常な状態の表現が可能になる。また従来から、各変数を実数として扱って求めるマハラノビス距離を用いることによって生じていた、システムの正常・異常とは関連性のないデータの発生を低減させることができる。

【0069】

＜マハラノビス距離と複素マハラノビス距離の比較＞
次に、複素信号（二次元的な分布を有する変数の一例）に関して、従来のＭＴ法に係るマハラノビス距離Ｄ_Ｍを用いるより、この発明に係る複素ＭＴ法に係る複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを用いる方が、より正確にノイズを検知できる例を示す。

【0070】

従来のＭＴ法を用いて、複素信号を実信号２つに分離して解析すると、信号の振動の幅が、ノイズの変動幅より遥かに大きくなり、本来求めるべきノイズの影響を見逃してしまう、すなわち、ノイズが存在する時のＭＤ値と無い時のＭＤ値に識別できるほどの差異が無くなることが判明している。

【0071】

図４は実軸と虚軸を水平面として、縦軸を時間とした２組の複素信号Ｚ１、Ｚ２を示したものである。信号Ｚ１はＶ１（実部）、Ｉ１（虚部）からなり、信号Ｚ２はＶ２（実部）とＩ２（虚部）から成る。それぞれの複素信号は、時間とともに回転半径を増大させるような態様をしている。複素信号の実部、虚部を実信号として分離して示したものが図７である。図４、図７のＶ１の信号には、時刻６０から１００の間において、重畳されるノイズが他の期間の５倍に設定されているが、生データを見る限りにおいては確認できないレベルである。

【0072】

図５は、図７の４つの実信号を基に算出したマハラノビス距離Ｄ_Ｍの二乗値（図５中では、「|MD|^2」と記載）を示したものである。図５の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_Ｍ二乗値を示し、図５の（ｂ）図は横軸がＤ_Ｍ二乗値、縦軸がその出現頻度を示しているヒストグラムである。本図（ａ）から、時間とともに、Ｄ_Ｍ二乗値が増大していくことが分かる。また、本図（ｂ）から、Ｄ_Ｍ二乗値１．７以上の出現回数が非常に少ないことが分かる。

【0073】

図５の（ａ）図では、Ｄ_Ｍ二乗値１．７以上の場合が、通常ではないと解釈したいところではあるが、重畳されたノイズが小さい、時刻１００以上の期間の間においても、１．７以上のＤ_Ｍ二乗値が見られる。これはＶ１、Ｉ１並びにＶ２、Ｉ２を別個の信号として分析したことによる副作用であることを以下で説明する。

【0074】

次に、同信号を複素信号として解釈した場合に関して、この発明に係る複素ＭＴ法を用いる。図６は図４の信号をそのまま、即ち、Ｖ１、Ｉ１のペアを一つの複素信号Ｚ１（＝Ｖ１＋ｊＩ１、ｊは虚数単位）ととらえ、Ｖ２、Ｉ２のペアを一つの複素信号Ｚ２（＝Ｖ２＋ｊＩ２）ととらえ、この２つの複素変数間の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの二乗値（図６中では「|CMD|^2」と記載）を計算したものである。図６の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_ＣＭの二乗値を示し、図６の（ｂ）図は横軸がＤ_ＣＭの二乗値、縦軸がその出現頻度を示したヒストグラムである。ここで２つの複素信号の相関係数r_Z1-Z2は図４の右に示した。

【0075】

この図６（ａ）から、時間とともに、Ｄ_ＣＭの二乗値が増大していくことが分かる。また、図６（ｂ）では、図５（ｂ）よりも１．７以上のＤ_ＣＭの二乗値が若干大きく出ていることがわかる。図５（ａ）に比べると、特に時刻１００以降についてはＤ_ＣＭの二乗値が小さく出ている。これは、信号Ｖ１の時刻６０から１００までのノイズをその他の期間の５倍の振幅で与えた影響が、通常のＭＤ値よりも複素ＭＤ値の方により良く反映されていることを示している。以降では、基準空間の見直しの際に、より顕著な精度向上が可能になることを説明する。

【0076】

＜システム（対象）の正常・異常の判別＞
次に、複素相関係数rを用いて、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出すると、ノイズが載り、正常な動きから外れてしまっているか否か、即ち、システム（対象）が正常状態であるか異常状態であるかを判別（診断）できるという例を示す。システム（対象）が正常状態であるか異常状態であるかを判別（診断）するためには、システム（対象）が正常な状態である「基準空間」の「複素相関係数行列の逆行列」を使って、「対象空間」の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出する。「基準空間」の「複素相関係数行列の逆行列」を使って、「対象空間」の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出する流れについて、上述した表１の場合を例として、以下、詳しく説明する。

【0077】

なお、ここでは、「基準空間」のdata1及びdata2の複素平均値μと複素標準偏差σ並びに複素相関係数（数２）をその成分に持つ複素相関係数行列の逆行列については、算出されているものとする。

【0078】

対象空間に係る、data1（「z」とする）及びdata2（「w」とする）の時系列i（←「i」は筆記体。時系列iは、1～n’（←nダッシュ）の時系列。基準空間を含んでいても良いし、含んでいなくても良い）の各数値に対して、「基準空間」で算出されたdata1及びdata2の複素平均値μと複素標準偏差σを用いて規格化（＝正規化、標準化）を行う。

【0079】

そして、基準空間で算出した「複素相関係数行列の逆行列」を使って、対象空間に係る、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出する。対象空間に係る、時刻i（←「i」は筆記体。時刻iは、１～n’（←nダッシュ））の、複素マハラノビス距離の二乗値をDi²（←「i」は筆記体で下付き。「2」は上付き）とすると、以下の数６となる。

【0080】

【数6】

【0081】

次に、上記図７で対象とした、時刻0から128の時間区間を「基準空間」として、全時間区間の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの二乗値を算出することで、対象の正常状態と異常状態を判別（診断）する例を示す。

【0082】

図９は、図７のその後の波形である。複素信号Ｚ１の実部Ｖ１と虚部Ｉ１と、複素信号Ｚ２の実部Ｖ２と虚部Ｉ２の時間的な変動を例示したものである。横軸の時間（＝time）の目盛りが時刻1000まで伸びている。信号は時刻100くらいまでに増大してその後、定常状態に至る様子を示している。ここで、信号Ｖ１については、時刻400から600の間に、振幅を3.5倍にしたノイズを重畳させた。しかし、このような一次データを見ただけでは、ノイズが付加されているか否かの判別はできない。

【0083】

＜マハラノビス距離と複素マハラノビス距離の比較＞
そこで、図１０に示すように、図９の信号について、時刻0から128までを基準空間として、４×４の実相関係数行列の逆行列を計算し、全時間区間（時刻0から約1000）のマハラノビス距離Ｄ_Ｍの二乗値（図１０中では、「|MD|^2」と記載）を計算した。図１０の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_Ｍの二乗値を示し、図１０の（ｂ）図は横軸がＤ_Ｍの二乗値、縦軸がその出現頻度を示したヒストグラムである。図１０では、Ｄ_Ｍ二乗値にしきい値「５」を設定したが、ノイズのある時間区間を区別することが難しい。

【0084】

図１１は、図９に示した二つの複素数データを、平面内軸は実部、虚部とし、縦軸は時間としてプロットしたものである。Ｖ１及びＩ１に係る複素信号Ｚ１と、Ｖ２及びＩ２に係る複素信号Ｚ２が、二つの螺旋線で表示されている。

【0085】

今度は、図１２に示すように、図９（すなわち図１１でもある）の信号について、時刻0から128までを基準空間として、２×２の複素相関係数行列の逆行列を計算し、全時間区間（時刻0から約1000）の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの二乗値（図１２中では、「|CMD|^2」と記載）を計算した。図１２の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_ＣＭの二乗値を示し、図１２の（ｂ）図は横軸がＤ_ＣＭの二乗値、縦軸がその出現頻度を示したヒストグラムである。この図１２の（ａ）図では、時刻400から600までのノイズを付加した時間区間で、Ｄ_ＣＭ二乗値が大きくなっていることが分かる。

【0086】

図１０のマハラノビス距離Ｄ_Ｍの計算結果と、図１２の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの計算結果を比較する。その結果、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの方が、ノイズを良く反映していることが分かる。マハラノビス距離Ｄ_Ｍは、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭよりも、メリハリのない分布を見せており、しきい値の設定が困難である。例えば、図１０の（ａ）図及び図１２の（ａ）図の水平線で示すように、しきい値を「５」に設定すると、マハラノビス距離Ｄ_Ｍでは、ほとんどの時刻でしきい値を超えてしまっている。一方、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭでは、主として、ノイズのあった時間区間しか、しきい値の「５」を超えていないことが確認できる。

【0087】

＜基準空間の変更・再設定＞
信号分析においては、予めノイズが大きい時間区間が、どこにあるか分かっていないため、通常は形式的に、最初の区間が安定している、正常状態であるとして、仮の基準空間とすることが多い。本実施の形態例１で、時刻0から128までを基準空間としたのも、同様の趣旨からである。

【0088】

信号に係るデータが時間の経過と共に蓄積されていくと、形式的に基準空間として採用していた時間区間から、より普通（正常）な状態を示した時間区間に基準空間を変更・再設定する方が望ましい。より普通（正常）な状態を示した時間区間に基準空間を変更・再設定することによって、異常状態の識別をより確実に行うことができる。

【0089】

＜マハラノビス距離と複素マハラノビス距離の比較＞
図９ではＶ１の信号について、時刻400から600の間に、ノイズの振幅を3.5倍にして重畳させているが、図１０で示したように、マハラノビス距離Ｄ_Ｍは、特にこの時間帯に集中して大きくなっているわけでもなく、全般的に広がったような分布を見せており、正常状態と異常状態を区別することが難しい。

【0090】

これに対し、図１２で示したように、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭは、明らかに、ノイズを与えた区間だけに大きくなっており、正常状態の時間区間を識別しやすい。この性質を利用すると、より精度の良い状態識別が可能になる。以下、詳しく説明する。

【0091】

例えば、MD二乗値が５以下の値をより長く連続して出す時間区間を切り出して、基準空間を再設定するという手順（アルゴリズム）を用いると、マハラノビス距離Ｄ_Ｍに係る図１０の例では、最初の時間区間である「時刻0から100まで」が基準空間として再設定される。図１０を見る限りにおいては、時間が経過しても、しきい値５以下を連続して出す時間区間が最初の「時刻0から100まで」を超えることはなく、このような単純なアルゴリズムでは、新たな基準空間が採用されることはない。この基準空間（＝「時刻0から100まで」の時間区間）を使って、全ての時間区間のマハラノビス距離Ｄ_Ｍを算出した結果が、図１３に示されている。図１３の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_Ｍの二乗値を示し、図１３の（ｂ）図は横軸がＤ_Ｍの二乗値、縦軸がその出現頻度を示したヒストグラムである。図１３を見ても、ノイズのある（＝異常状態の）時間区間を区別することは難しく、むしろ図１０よりも識別が難しくなっている。

【0092】

一方、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭに係る図１２の例では、５以下の値がより長く連続して存在する時間区間を切り出して、基準空間を再設定するという手順（アルゴリズム）を用いると、「時刻200から300まで」の時間区間が基準空間として再設定される。この基準空間（＝「時刻200から300まで」の時間区間）を使って、全ての時間区間の複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出した結果が、図１４に示されている。図１４の（ａ）図は横軸が時間、縦軸がＤ_ＣＭの二乗値を示し、図１４の（ｂ）図は横軸がＤ_ＣＭの二乗値、縦軸がその出現頻度を示したヒストグラムである。図１４を見ると、ノイズのある（＝異常状態の）時間区間（400から600まで）が際立つ。また、最初（時刻60から100）のノイズ（＝異常状態）も見えてくる。

【0093】

このように、基準空間を変更・再設定することによって、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭは、異常状態の判別（診断）を向上させる上で、更に重要な役割を果たす。

【0094】

＜情報処理装置１の構成＞
次に、この発明の複数の変数を有するシステムの状態解析診断方法を実現するための情報処理装置１について説明する。

【0095】

この情報処理装置１は、システムの有する（システムから得られた）複数の変数が、夫々二次元的な分布を持つ場合に、各変数のＸ軸方向の値を実部、各変数のＹ軸方向の値を虚部とする複素数として扱い、当該複数の変数間の複素相関係数を算出し、算出された複素相関係数を行列で表し、当該複素相関係数行列の逆行列を使って、複素マハラノビス距離を算出する。そして、算出されたマハラノビス距離の値により、システムの正常、異常を診断する。

【0096】

次に、前記情報処理装置１のハードウェア構成について、図１５を参照して説明する。図１５は情報処理装置１のハードウェアを模式的に示した概念図である。

【0097】

図１５において、制御手段１１は、例えばＣＰＵで実現され、後述する記憶手段１２に含まれるハードディスク（ＨＤ）等に格納されているアプリケーションプログラム、オペレーティングシステム（ＯＳ）や制御プログラム等を実行し、記憶手段１２に含まれるＲＡＭにプログラムの実行に必要な情報、ファイル等を一時的に格納する制御を行う。

【0098】

特に、制御手段１１は、入力手段１３を通じて、二次元的な分布を有する変数の時系列の各数値について入力を受け付ける。

【0099】

また、制御手段１１は、入力された変数の時系列の各複素数値について、複素平均値μと複素標準偏差σを算出する。例えば、変数１の時系列の各数値から、複素変数１の複素平均値μと複素標準偏差σを算出する。また、複素変数２の時系列の各数値から、複素変数２の複素平均値μと複素標準偏差σを算出する。また、制御手段１１は、式記憶領域１２１から数４を呼び出し、算出された変数の複素平均値μと複素標準偏差σを用いて、当該複素変数の時系列の各数値について、規格化を行う。例えば、算出された複素変数１の複素平均値μと複素標準偏差σを用いて、複素変数１の時系列の各数値について、規格化を行う。また、算出された複素変数２の複素平均値μと複素標準偏差σを用いて、複素変数２の時系列の各数値について、規格化を行う。

【0100】

また、制御手段１１は、式記憶領域１２１から数５又は数２を呼び出し、規格化後の各変数の時系列の各数値から、複素相関係数rを算出する。

【0101】

また、制御手段１１は、複素相関係数を要素とする複素相関係数行列を作成し、この逆行列を算出し記憶しておく。以上で基準空間の演算が完了する。

【0102】

また、式記憶領域１２１から数３を呼び出して、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭを算出する。制御手段１１は、算出された複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭの値が、所定の範囲に含まれているか否かによって、システム（対象）が正常か異常かを診断する。

【0103】

また、制御手段１１は、システム（対象）が正常か異常かを診断するために、システム（対象）が正常な状態である「基準空間」の「複素相関係数行列の逆行列」を使って、「対象空間」の複素マハラノビス距離を算出する構成としても良い。この時、「対象空間」の複素変数は、それぞれの「基準空間」の複素平均（μ₁、μ₂、μ₃、…）、複素標準偏差（σ₁、σ₂、σ₃、…）で規格化したものを使用するものとする。

【0104】

また、制御手段１１は、「基準空間」を、例えば、複素マハラノビス距離Ｄ_ＣＭが、あるしきい値（例えば５）以下の値がより長く連続して存在する時間区間を切り出す等の所定の条件に基づいて、再設定し、再設定後の「基準空間」の複素相関係数行列を成分とする複素相関係数行列の逆数を算出し、式記憶領域１２１から数６を呼び出して、対象空間の複素マハラノビス距離を再度算出する構成としても良い。この時、「対象空間」の複素変数は、それぞれの「基準空間」の複素平均（μ₁、μ₂、μ₃、…）、複素標準偏差（σ₁、σ₂、σ₃、…）で規格化したものを使用するものとする。

【0105】

記憶手段１２は、各種情報を一時記憶するためのものであり、制御手段１１の主メモリ、ワークエリア等として機能するＲＡＭや、内部に基本Ｉ／Ｏプログラム等のプログラム、基本処理において使用する各種情報を記憶するＲＯＭを有している。また、大容量メモリとして機能するＨＤを有している。また、記憶手段１２内には、式記憶領域１２１が設けられている。

【0106】

式記憶領域１２１は、数４、数５及び数３が記憶されている。なお、式記憶領域１２１に、数５の代わりに数２が記憶されている構成としても良く、数５及び数２の両方が記憶されている構成としても良い。また、数４、数５（又は数２）、及び数３に加えて、数６が記憶されている構成としても良い。

【0107】

入力手段１３は、ユーザから情報処理装置１に対する情報や命令の入力を受け付ける。例えば、キーボード、タッチパネル、ボタンである。特に、入力手段１３は、ユーザから二次元的な分布を有する変数の時系列の各数値の入力を受け付ける。

【0108】

表示手段１４は、例えば、液晶ディスプレイ、有機ＥＬディスプレイ、ドットマトリクス型のディスプレイであり、入力手段１３から入力された命令や、それに対する情報処理装置１の応答出力等を表示するものである。特に、表示手段１４は、算出された複素マハラノビス距離の値が、所定の範囲に含まれているか否かによって、システムが正常か異常かを判別した診断結果を表示する。

【0109】

バス１６は、情報処理装置１内の流れを司るものである。通信手段１５はインターフェイス（Ｉ／Ｆ）であり、情報処理装置１はこの通信手段１５を介して外部機器と接続される。

【0110】

なお、以上の各装置と同等の機能を実現させるソフトウェアにより、ハードウェア装置の代替として構成することもできる。

【0111】

また、実施の形態例１では、この実施の形態例１に係るプログラム及び関連データを直接ＲＡＭ等の記憶手段１２にロードして実行させることもできるが、この実施の形態例１に係るプログラムを動作させる度に、既にプログラムがインストールされているＨＤ等の記憶手段１２にロードするようにしてもよい。また、この実施の形態例１に係るプログラムをＲＯＭ等の記憶手段１２に記憶しておき、これをメモリマップの一部をなすように構成し、直接ＣＰＵ等の制御手段１１で実行することも可能である。

【0112】

（実施の形態例２）
上記の実施例では、複素変数の数が「２個」（z、w）である場合で説明したが、本発明は、この構成に限定されるわけではない。例えば、複素変数の数が「５個」（x、y、z、u、v）の場合は、時刻i（←「i」は筆記体。時刻iは、１～n）の複素マハラノビス距離の二乗値Di²（←「i」は筆記体で下付き。「2」は上付き）を以下の通り算出する（数１９）。ここに、複素変数に´が付いたものは、それぞれの基本空間の複素平均値、複素標準偏差で規格化されたことを示している。

【0113】

【数19】

【0114】

（実施の形態例３）
本発明は、複素変数の数は、上記した「５個」や「２個」の場合に限定されるものではなく、複素変数の数に関わらず、適用できる。そこで、複素変数の数がm個の場合は、以下のように、変数を表現する。

【0115】

【数7】

【0116】

第１の添え字は、「１～i」（←「i」は筆記体）の時系列を表わし、第２の添え字は、「１～m」の複素変数の種類を表わす。

【0117】

そして、数４を使って、複素変数１～複素変数mの時系列の各数値を規格化した結果は、以下の表３の通りである。

【0118】

【表3】

【0119】

規格化後の各変数の時系列の各数値から、数８を使って、複素相関係数rを算出する。

【0120】

【数8】

【0121】

そして、算出された各相関係数rから、複素相関係数行列Rは、以下のように表わされる（数２０）。

【0122】

【数20】

【符号の説明】

【0123】

１ 情報処理装置 １１ 制御手段
１２ 記憶手段 １２１ 式記憶領域
１３ 入力手段 １４ 表示手段
１５ 通信手段 １６ バス

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】

【図10】

【図11】

【図12】

【図13】

【図14】

【図15】