特許 7647771 スカラー倍算システム、スカラー倍算装置、スカラー倍算方法及びプログラム

(19)【発行国】日本国特許庁(JP)

(12)【公報種別】特許公報(B2)

(11)【特許番号】

(24)【登録日】2025-03-10

(45)【発行日】2025-03-18

(54)【発明の名称】スカラー倍算システム、スカラー倍算装置、スカラー倍算方法及びプログラム

(51)【国際特許分類】

   G09C 1/00 20060101AFI20250311BHJP

   G06F 17/10 20060101ALI20250311BHJP

【ＦＩ】

G09C1/00 650A

G06F17/10 Z

【請求項の数】 5

(21)【出願番号】P 2022574883

(86)(22)【出願日】2021-01-12

(86)【国際出願番号】 JP2021000684

(87)【国際公開番号】W WO2022153363

(87)【国際公開日】2022-07-21

【審査請求日】2023-07-04

(73)【特許権者】

【識別番号】000004226

【氏名又は名称】日本電信電話株式会社

(74)【代理人】

【識別番号】110004381

【氏名又は名称】弁理士法人ＩＴＯＨ

(74)【代理人】

【識別番号】100107766

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠重

(74)【代理人】

【識別番号】100070150

【弁理士】

【氏名又は名称】伊東 忠彦

(74)【代理人】

【識別番号】100124844

【弁理士】

【氏名又は名称】石原 隆治

(72)【発明者】

【氏名】川原 祐人

(72)【発明者】

【氏名】小林 鉄太郎

【審査官】金沢 史明

(56)【参考文献】

【文献】特開２０１５－１３５３６３（ＪＰ，Ａ）

【文献】FAY, Bjoern，Double-and-Add with Relative Jacobian Coordinates，Cryptology ePrint Archive [online]，International Association for Cryptologic Research，2014年12月，Paper 2014/1014，pp. 1-9，[2024年10月24日検索], インターネット<URL: https://eprint.iacr.org/2014/1014>

【文献】小林 航也, 他，Twisted Edwards曲線への写像を用いた効率的な電子署名を実現する楕円スカラー倍算法の提案，第42回情報理論とその応用シンポジウム予稿集 [CD-ROM]，2019年11月19日，5.3.4 (pp. 402-407)

(58)【調査した分野】(Int.Cl.，ＤＢ名)

Ｇ０９Ｃ １／００

Ｇ０６Ｆ １７／１０

(57)【特許請求の範囲】

【請求項1】

楕円曲線上の点に対するスカラー倍を計算するスカラー倍算システムであって、
前記楕円曲線上の点Ｐとｄ個の整数ｅ_ｉ（ｉ∈［１，ｄ］）とに対して、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算又は楕円曲線２倍算を利用してヤコビアン座標系のＺ座標がすべての点で同一であるｄ個の点ｅ_ｉＰ（ただし、ｅ_１Ｐ＝Ｐ）で構成される事前計算テーブルＴを計算する事前計算部と、
スカラー値ｋを、ｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）と表現されるスカラー値ｋ'に変換する変換部と、
前記事前計算テーブルＴと前記スカラー値ｋ'とを用いて、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算を利用してスカラー倍算ｋ'Ｐを計算する評価部と、
を有し、
前記事前計算部は、
予め決められた自然数ａに対して、Ａ←ａＰ、Ｐ［１］←Ｐ（ただし、Ｐ［１］のＺ座標はＡのＺ座標と同一）、ｔ _１ をＡ _Ｚ ＝ｔ _１ Ｐ _Ｚ を満たす値（ただし、Ａ _Ｚ はＡのＺ座標、Ｐ _Ｚ はＰのＺ座標）として、
楕円曲線加算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｐ［ｉ－１］のＺ座標がＡのＺ座標と異なるときはＰ［ｉ－１］とＺ座標が同一になる点にＡを変換した上で、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線加算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←Ａ＋Ｐ［ｉ－１］を計算し、
楕円曲線２倍算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線２倍算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←２Ｐ［ｉ－１］を計算し、
Ｐ［ｉ］ _Ｘ 、Ｐ［ｉ］ _Ｙ 、Ｐ［ｉ］ _Ｚ をそれぞれＰ［ｉ］のＸ座標、Ｙ座標、Ｚ座標として、ｓ←ｔ _ｄ とした後、ｉ＝ｄ－１，・・・，１に対して、Ｐ［ｉ］ _Ｘ ←Ｐ［ｉ］ _Ｘ ・ｓ ^２ と、Ｐ［ｉ］ _Ｙ ←Ｐ［ｉ］ _Ｙ ・ｓ ^３ と、Ｐ［ｉ］ _Ｚ ←Ｐ［ｉ］ _Ｚ ・ｓと、ｓ←ｓ・ｔ _ｉ とを行うことにより、
前記事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［２］，・・・，Ｐ［ｄ］｝＝｛Ｐ，ｅ _２ Ｐ，・・・，ｅ _ｄ Ｐ｝を計算する、スカラー倍算システム。

【請求項2】

マルチスカラー倍ｋ_０Ｐ_０＋・・・＋ｋ_ｍ－１Ｐ_ｍ－１を計算する場合、
前記事前計算部は、各点Ｐ_ｉ（ｉ∈［０，ｍ－１］）に対して事前計算テーブルＴ_ｉを計算し、
前記変換部は、各スカラー値ｋ_ｉ（ｉ∈［０，ｍ－１］）をｋ_ｉ'＝ｋ_ｉ０'２^０＋ｋ_ｉ１'２^１＋・・・＋ｋ_ｉｎ－１'２^ｎ－１（ｋ_ｉｊ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）に変換し、
前記評価部は、前記事前計算テーブルＴ_ｉ（ｉ∈［０，ｍ－１］）と変換後のスカラー値ｋ_ｉ'（ｉ∈［０，ｍ－１］）とを用いて、マルチスカラー倍ｋ_０'Ｐ_０＋・・・＋ｋ_ｍ－１'Ｐ_ｍ－１を計算する、請求項１に記載のスカラー倍算システム。

【請求項3】

楕円曲線上の点に対するスカラー倍を計算するスカラー倍算装置であって、
前記楕円曲線上の点Ｐとｄ個の整数ｅ_ｉ（ｉ∈［１，ｄ］）とに対して、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算又は楕円曲線２倍算を利用してヤコビアン座標系のＺ座標がすべての点で同一であるｄ個の点ｅ_ｉＰ（ただし、ｅ_１Ｐ＝Ｐ）で構成される事前計算テーブルＴを計算する事前計算部と、
スカラー値ｋを、ｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）と表現されるスカラー値ｋ'に変換する変換部と、
前記事前計算テーブルＴと前記スカラー値ｋ'とを用いて、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算を利用してスカラー倍算ｋ'Ｐを計算する評価部と、
を有し、
前記事前計算部は、
予め決められた自然数ａに対して、Ａ←ａＰ、Ｐ［１］←Ｐ（ただし、Ｐ［１］のＺ座標はＡのＺ座標と同一）、ｔ _１ をＡ _Ｚ ＝ｔ _１ Ｐ _Ｚ を満たす値（ただし、Ａ _Ｚ はＡのＺ座標、Ｐ _Ｚ はＰのＺ座標）として、
楕円曲線加算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｐ［ｉ－１］のＺ座標がＡのＺ座標と異なるときはＰ［ｉ－１］とＺ座標が同一になる点にＡを変換した上で、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線加算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←Ａ＋Ｐ［ｉ－１］を計算し、
楕円曲線２倍算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線２倍算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←２Ｐ［ｉ－１］を計算し、
Ｐ［ｉ］ _Ｘ 、Ｐ［ｉ］ _Ｙ 、Ｐ［ｉ］ _Ｚ をそれぞれＰ［ｉ］のＸ座標、Ｙ座標、Ｚ座標として、ｓ←ｔ _ｄ とした後、ｉ＝ｄ－１，・・・，１に対して、Ｐ［ｉ］ _Ｘ ←Ｐ［ｉ］ _Ｘ ・ｓ ^２ と、Ｐ［ｉ］ _Ｙ ←Ｐ［ｉ］ _Ｙ ・ｓ ^３ と、Ｐ［ｉ］ _Ｚ ←Ｐ［ｉ］ _Ｚ ・ｓと、ｓ←ｓ・ｔ _ｉ とを行うことにより、
前記事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［２］，・・・，Ｐ［ｄ］｝＝｛Ｐ，ｅ _２ Ｐ，・・・，ｅ _ｄ Ｐ｝を計算する、スカラー倍算装置。

【請求項4】

楕円曲線上の点に対するスカラー倍を計算するコンピュータが、
前記楕円曲線上の点Ｐとｄ個の整数ｅ_ｉ（ｉ∈［１，ｄ］）とに対して、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算又は楕円曲線２倍算を利用してヤコビアン座標系のＺ座標がすべての点で同一であるｄ個の点ｅ_ｉＰ（ただし、ｅ_１Ｐ＝Ｐ）で構成される事前計算テーブルＴを計算する事前計算手順と、
スカラー値ｋを、ｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）と表現されるスカラー値ｋ'に変換する変換手順と、
前記事前計算テーブルＴと前記スカラー値ｋ'とを用いて、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算を利用してスカラー倍算ｋ'Ｐを計算する評価手順と、
を実行し、
前記事前計算手順は、
予め決められた自然数ａに対して、Ａ←ａＰ、Ｐ［１］←Ｐ（ただし、Ｐ［１］のＺ座標はＡのＺ座標と同一）、ｔ _１ をＡ _Ｚ ＝ｔ _１ Ｐ _Ｚ を満たす値（ただし、Ａ _Ｚ はＡのＺ座標、Ｐ _Ｚ はＰのＺ座標）として、
楕円曲線加算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｐ［ｉ－１］のＺ座標がＡのＺ座標と異なるときはＰ［ｉ－１］とＺ座標が同一になる点にＡを変換した上で、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線加算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←Ａ＋Ｐ［ｉ－１］を計算し、
楕円曲線２倍算を行う場合、ｉ＝２，・・・，ｄに対して、Ｃｏ－Ｚによる楕円曲線２倍算により（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ _ｉ ）←２Ｐ［ｉ－１］を計算し、
Ｐ［ｉ］ _Ｘ 、Ｐ［ｉ］ _Ｙ 、Ｐ［ｉ］ _Ｚ をそれぞれＰ［ｉ］のＸ座標、Ｙ座標、Ｚ座標として、ｓ←ｔ _ｄ とした後、ｉ＝ｄ－１，・・・，１に対して、Ｐ［ｉ］ _Ｘ ←Ｐ［ｉ］ _Ｘ ・ｓ ^２ と、Ｐ［ｉ］ _Ｙ ←Ｐ［ｉ］ _Ｙ ・ｓ ^３ と、Ｐ［ｉ］ _Ｚ ←Ｐ［ｉ］ _Ｚ ・ｓと、ｓ←ｓ・ｔ _ｉ とを行うことにより、
前記事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［２］，・・・，Ｐ［ｄ］｝＝｛Ｐ，ｅ _２ Ｐ，・・・，ｅ _ｄ Ｐ｝を計算する、スカラー倍算方法。

【請求項5】

コンピュータを、請求項１又は２に記載のスカラー倍算システムとして機能させるプログラム。

【発明の詳細な説明】

【技術分野】

【0001】

本発明は、スカラー倍算システム、スカラー倍算装置、スカラー倍算方法及びプログラムに関する。

【背景技術】

【0002】

楕円曲線暗号やペアリング暗号を用いた暗号方式では、楕円曲線上のスカラー倍算／マルチスカラー倍算の計算コストが支配的である。このため、スカラー倍算／マルチスカラー倍算を効率的に実行する様々な手法が提案されている。

【0003】

スカラー倍算／マルチスカラー倍算を効率的に実行する手法は、事前計算テーブルを利用する手法と事前計算テーブルを利用しない手法に大別することができる。事前計算テーブルを利用する手法は事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算（又はオンライン事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算）と呼ばれ、ｗ－ＮＡＦ法やＷｉｎｄｏｗ法、Ｓｌｉｄｉｎｇ Ｗｉｎｄｏｗ法等が知られている。また、Ｃｏ－Ｚ法を利用して、事前計算付きスカラー倍算における事前計算処理を実行する手法も知られている（非特許文献１）。なお、Ｃｏ－Ｚ法とはヤコビアン座標系における楕円曲線加算を効率的に計算する手法のことである。

【先行技術文献】

【非特許文献】

【0004】

【文献】永井善孝, 白勢政明, 伊豆哲也, 酒見由美, "Co-Z 法を用いたスカラー倍算の高速化について," SCIS 2014, 2014.

【発明の概要】

【発明が解決しようとする課題】

【0005】

しかしながら、Ｃｏ－Ｚ法を利用した従来の事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算では、例えば、一部の処理でＣｏ－Ｚ法を用いずにヤコビアン座標系における楕円曲線加算を行う必要があったり、ヤコビアン座標系からアフィン座標系への変換が必要であったりする。このため、一部の楕円曲線加算が非効率となったり、座標系の変換に余分な計算コストを要したりしている。

【0006】

本発明の一実施形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算を効率的に実行することを目的とする。

【課題を解決するための手段】

【0007】

上記目的を達成するため、一実施形態に係るスカラー倍算装置は、楕円曲線上の点に対するスカラー倍を計算するスカラー倍算システムであって、前記楕円曲線上の点Ｐとｄ個の整数ｅ_ｉ（ｉ∈［１，ｄ］）とに対して、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算又は楕円曲線２倍算を利用してヤコビアン座標系のＺ座標が同一のｄ個の点ｅ_ｉＰで構成される事前計算テーブルＴを計算する事前計算部と、スカラー値ｋを、ｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）と表現されるスカラー値ｋ'に変換する変換部と、前記事前計算テーブルＴと前記スカラー値ｋ'とを用いて、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算を利用してスカラー倍算ｋ'Ｐを計算する評価部と、を有する。

【発明の効果】

【0008】

事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算を効率的に実行することができる。

【図面の簡単な説明】

【0009】

【図1】従来のＢｉｎａｒｙ法を用いたマルチスカラー倍算のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図2】従来のｗ－ＮＡＦ法による事前計算付きスカラー倍算のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図3】本実施形態に係る事前計算処理のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図4】本実施形態に係る評価処理のアルゴリズムの一例を示す図である。

【図5】本実施形態に係るスカラー倍算装置のハードウェア構成の一例を示す図である。

【図6】本実施形態に係るスカラー倍算装置の機能構成の一例を示す図である。

【図7】本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算のフローチャートの一例を示す図である。

【図8】実施例におけるｗ－ＮＡＦ法による事前計算付きスカラー倍算の事前計算処理のアルゴリズムを示す図である。

【図9】実施例におけるｗ－ＮＡＦ法による事前計算付きスカラー倍算の評価処理のアルゴリズムを示す図である。

【発明を実施するための形態】

【0010】

以下、本発明の一実施形態について説明する。本実施形態では、Ｃｏ－Ｚ法を利用して、事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算を効率的に実行することができるスカラー倍算装置１０について説明する。なお、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、例えば、汎用サーバやＰＣ（パーソナルコンピュータ）、スマートフォン、タブレット端末、組込み機器、ウェアラブルデバイス等の様々な機器で実現可能である。

【0011】

＜準備＞
まず、いくつかの用語や概念等を準備する。

【0012】

素数ｐ、正の整数ｃに対して、ｑ＝ｐ^ｃとして有限体をＦ_ｑとする。なお、Ｆは正確には中抜き文字（黒板太字）で表記されるが、明細書のテキスト中では「Ｆ」と表記する。

【0013】

有限体Ｆ_ｑ上で定義された楕円曲線Ｅに対して、楕円曲線上のＦ_ｑ有理点の集合を以下で定義する。

【0014】

Ｅ（Ｆ_ｑ）＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｅ｜ｘ，ｙ∈Ｆ_ｑ｝∪Ｏ
ここで、Ｏは無限遠点である。

【0015】

このとき、Ｅ（Ｆ_ｑ）は加法群をなすことが知られている。すなわち、Ｅ（Ｆ_ｑ）では、任意のＰ，Ｑ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）に対して、楕円曲線加算Ｒ＝Ｐ＋Ｑ（ただし、Ｐ≠±Ｑ）と楕円曲線２倍算Ｒ＝２Ｐとが計算できる。また、無限遠点Ｏは加法群の零元となり、任意の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）に対してＰ＋Ｏ＝Ｐとなる。なお、以下では、楕円曲線加算及び楕円曲線２倍算をそれぞれ楕円加算及び楕円２倍算ともいう。

【0016】

≪座標系≫
アフィン座標系とは、楕円曲線上の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）をＰ＝（ｘ，ｙ）（ｘ，ｙ∈Ｆ_ｑ）と表現する座標系のことである。一方で、ヤコビアン座標系とは、楕円曲線上の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）をＰ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ）（Ｘ，Ｙ，Ｚ∈Ｆ_ｑ）と表現する座標系のことである。ヤコビアン座標系の点Ｐ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ）（ただし、Ｚ≠０）は、（Ｘ／Ｚ^２，Ｙ／Ｚ^３）＝（ｘ，ｙ）という計算によりアフィン座標系の点に変換できる。なお、以下、楕円曲線上の任意の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）のヤコビアン座標系におけるＸ座標、Ｙ座標及びＺ座標をそれぞれＰ_Ｘ、Ｐ_Ｙ及びＰ_Ｚと表す。

【0017】

≪Ｃｏ－Ｚ法≫
楕円曲線上の点Ｐ，Ｑ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）のヤコビアン座標系における表現をＰ＝（Ｐ_Ｘ，Ｐ_Ｙ，Ｐ_Ｚ），Ｑ＝（Ｑ_Ｘ，Ｑ_Ｙ，Ｑ_Ｚ）とする。このとき、Ｃｏ－Ｚ法とは、Ｐ_Ｚ＝Ｑ_Ｚであれば、楕円曲線加算Ｐ＋Ｑを効率的に計算することができる手法のことである。

【0018】

Ｃｏ－Ｚ法を用いることで、ヤコビアン座標系で以下の楕円曲線加算を効率的に計算することができる。

【0019】

（Ｒ，Ｐ'，ｔ）←Ｐ＋Ｑ
ここで、点ＲはＰ＋Ｑの加算結果、点Ｐ'はＰと等価でありＰ'_Ｚ＝Ｒ_Ｚ（つまり、Ｐ'のＺ座標とＲのＺ座標とが同一）を満たす点、ｔはＲ_Ｚ＝ｔＰ_Ｚを満たす補助出力である。

【0020】

同様に、Ｃｏ－Ｚ法を用いることで、ヤコビアン座標系で以下の楕円曲線２倍算を効率的に計算することができる。

【0021】

（Ｒ，Ｐ'，ｔ）←２Ｐ
ここで、点Ｒは２Ｐの結果、点Ｐ'はＰと等価でありＰ'_Ｚ＝Ｒ_Ｚを満たす点、ｔはＲ_Ｚ＝ｔＰ_Ｚを満たす補助出力である。

【0022】

なお、Ｃｏ－Ｚ法の詳細については、例えば、上記の非特許文献１や参考文献１「N. Meloni, "New Point Addition Formulae for ECC Applications," WAIFI 2007, LNCS 4547, pp. 189-201, 2007.」等を参照されたい。

【0023】

≪スカラー倍算／マルチスカラー倍算≫
楕円曲線上のスカラー倍算とは、楕円曲線上の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）と０以上の整数ｋに対して、

【0024】

【数1】

を求める計算のことである。

【0025】

マルチスカラー倍算とはスカラー倍算の拡張であり、ｍ個の楕円曲線上の点Ｐ_０，・・・，Ｐ_ｍ－１とｍ個の０以上の整数ｋ_０，・・・，ｋ_ｍ－１に対して、

【0026】

【数2】

を求める計算のことである。

【0027】

スカラー値ｋ_ｉは、ｎビットの２進数

【0028】

【数3】

で表現されるとする。

【0029】

このとき、最も基本的なマルチスカラー倍算のアルゴリズムとしてＢｉｎａｒｙ法を用いたものが知られている。このアルゴリズムは事前計算テーブルを利用しない手法である。Ｂｉｎａｒｙ法を用いたマルチスカラー倍算のアルゴリズムの一例を図１に示す。図１に示すように、Ｂｉｎａｒｙ法を用いたマルチスカラー倍算のアルゴリズムはｍ個の点Ｐ_０，・・・，Ｐ_ｍ－１∈Ｅ（Ｆ_ｑ）とｍ個のスカラー値ｋ_０，・・・，ｋ_ｍ－１とを入力として、マルチスカラー倍算の結果Ｒを出力するものであり、Ｒ←Ｏと初期化した上で（１行目）、ｊ＝ｎ－１からｊ＝０までｊを１ずつ減少させながら３行目～８行目の手続きを繰り返した後（２行目）、最後にＲを出力する（１０行目）。３行目～８行目の手続きでは、まずＲ←２Ｒとした後（３行目）、ｉ＝０からｉ＝ｍ－１までｉを１ずつ増加させながら５行目～７行目の手続きを繰り返す（４行目）。５行目～７行目の手続きでは、ｋ_ｉ，ｊ＝１である場合（５行目）、Ｒ←Ｒ＋Ｐ_ｉによりＲを更新する（６行目）。

【0030】

≪事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算≫
以下では、説明を簡単にするため、事前計算付きスカラー倍算について説明する。上述したように、マルチスカラー倍算はスカラー倍算の拡張であるため、以下の説明はマルチスカラー倍算にも容易に拡張可能である。

【0031】

事前計算付きスカラー倍算とは、点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）とスカラー値ｋに対して、以下の３つの処理によりスカラー倍算の結果ｋＰを計算するものである。

【0032】

事前計算処理：点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）とｄ個の整数ｅ_１，・・・，ｅ_ｄに対して点ｅ_ｉＰ（ｉ∈［１，ｄ］）となる点を計算し、事前計算テーブルＴ＝｛ｅ_１Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰ｝とする。

【0033】

スカラー値変換処理：スカラー値ｋを、ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１と表現されるスカラー値ｋ'に変換する。ただし、ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝である。

【0034】

すなわち、スカラー値変換処理では、２を底、２^ｉ（ただし、ｉ∈［０，ｎ－１］）に対応する仮数をｋ_ｉ'として、ｋを（ｋ_ｎ－１'，・・・，ｋ_０'）と記数法で表現した場合に、各桁が０又は±ｅ_ｉ（ｉ∈［１，ｄ］）となる値ｋ'に変換する。

【0035】

評価処理：事前計算テーブルＴとスカラー値ｋ'を用いて、楕円曲線加算及び楕円曲線２倍算によりｋ'Ｐを計算する。

【0036】

事前計算付きスカラー倍算を高速に実行する手法の１つとして、ｗ－ＮＡＦ法が知られている。ｗ－ＮＡＦ法による事前計算付きスカラー倍算のアルゴリズムの一例を図２に示す。図２に示すように、ｗ－ＮＡＦ法による事前計算付きスカラー倍算のアルゴリズムは点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）とスカラー値ｋ∈Ｎ（ただし、Ｎは自然数全体の集合）とウインドウ幅ｗ∈Ｎ（ただし、ｗ＞１）とを入力として、スカラー倍算の結果Ｒ＝ｋＰを出力するものであり、事前計算処理（１行目～４行目）とスカラー値変換処理（５行目）と評価処理（６行目～１６行目）とを実行した後、最後にＲを出力する（１７行目）。

【0037】

事前計算処理では、ｉ＝１に対してＰ［ｉ］←ＰとＡ←２Ｐと初期化した後（１行目）、ｉ＝１からｉ＝２^ｗ－２－１までｉを１ずつ増加させながらＰ［２ｉ＋１］←Ａ＋Ｐ［２ｉ－１］とする（２行目～４行目）。これにより、事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［３］，・・・，Ｐ［２^ｗ－１－１］｝＝｛Ｐ，３Ｐ，・・・，（２^ｗ－１－１）Ｐ｝が得られる。

【0038】

スカラー値変換処理では、スカラー値ｋを、ｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ただし、ｋ_ｉ'∈｛０，±１，±３，・・・，±（２^ｗ－１－１）｝）に変換する（５行目）。

【0039】

評価処理では、Ｒ←Ｏと初期化した上で（６行目）、ｉ＝ｎ－１からｉ＝０までｉを１ずつ減少させながら８行目～１５行目の手続きを繰り返す（７行目）。８行目～１５行目の手続きでは、Ｒ←２Ｒとした後（８行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'＞０である場合はＲ←Ｒ＋Ｐ［ｋ_ｉ'］によりＲを更新し（１１行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'≦０である場合はＲ←Ｒ－Ｐ［－ｋ_ｉ'］ によりＲを更新し（１３行目）、それ以外の場合は何もしない。

【0040】

＜本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算＞
次に、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算／マルチスカラー倍算について説明する。以下では、説明を簡単にするため、主に、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算について説明する。上述したように、マルチスカラー倍算はスカラー倍算の拡張であるため、以下の説明はマルチスカラー倍算にも容易に拡張可能である。

【0041】

本実施形態に係るスカラー倍算では、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算及び楕円曲線２倍算を利用して、事前計算処理で計算する全ての点ｅ_１Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰのＺ座標が同じ値となるような事前計算テーブルＴを作成する。これにより、評価処理においてもＣｏ－Ｚ法により楕円曲線加算を効率的に計算することが可能となる。なお、スカラー値変換処理は従来の事前計算付きスカラー倍算（例えば、従来のｗ－ＮＡＦ法やＳｌｉｄｉｎｇ Ｗｉｎｄｏｗ法等）と同様である。

【0042】

≪事前計算処理≫
点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）、事前計算処理で計算するｄ個の点の集合を｛Ｐ（＝ｅ_１Ｐ），ｅ_２Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰ｝とする。また、ａをある自然数として、ｅ_ｉＰが以下で計算できるとする。

【0043】

ｅ_ｉＰ←ｅ_ｉ－１Ｐ＋ａＰ又はｅ_ｉＰ←２ｅ_ｉ－１Ｐ
なお、各ｅ_ｉＰは、適宜、負の点としてもよい。

【0044】

このとき、全ての点のＺ座標が同一である事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ，ｅ_２Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰ｝を作成する事前計算処理のアルゴリズムの一例を図３に示す。図３に示すように、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算の事前計算処理は点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）と自然数ａを入力として、事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ，ｅ_２Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰ｝を出力するものである。なお、図３では、表記を簡単にするため、Ｐ［ｅ_ｉ］（ただし、ｉ∈［１，ｄ］）をＰ［ｉ］と表記する。

【0045】

図３に示す事前計算処理では、まず、１行目～３行目の手続きでＡ←ａＰ、Ｐ［１］←Ｐ、ｔ_１をＡ_Ｚ＝ｔ_１Ｐ_Ｚを満たす値とする。ただし、２行目の手続きでは、Ａ_Ｚ＝Ｐ［１］_Ｚとなる点（つまり、Ｐ［１］はＺ座標がＡのＺ座標と同一となる点）に変換する。

【0046】

次に、ｉ＝２からｉ＝ｄまでｉを１ずつ増加させながら５行目～１０行目の手続きを繰り返す（４行目）。５行目～１０行目の手続きでは、楕円曲線加算を行う場合に、Ａ_Ｚ≠Ｐ［ｉ－１］_Ｚの場合はＰ［ｉ－１］とＺ座標が同じとなる点にＡを変換し（６行目）、（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ_ｉ）←Ａ＋Ｐ［ｉ－１］とする（７行目）。一方で、楕円曲線２倍算を行う場合は、（Ｐ［ｉ］，Ａ，ｔ_ｉ）←２Ｐ［ｉ－１］とする（９行目）。なお、７行目ではＣｏ－Ｚ法による楕円曲線加算、９行目ではＣｏ－Ｚ法による楕円曲線２倍算を用いている。

【0047】

続いて、ｓ←ｔ_ｄとした後（１２行目）、ｉ＝ｄ－１からｉ＝１までｉを１ずつ減少させながら１４行目～１７行目の手続きを繰り返す（１３行目）。１４行目～１７行目の手続きでは、Ｐ［ｉ］_Ｘ←Ｐ［ｉ］_Ｘ・ｓ^２とＰ［ｉ］_Ｙ←Ｐ［ｉ］_Ｙ・ｓ^３とＰ［ｉ］_Ｚ←Ｐ［ｉ］_Ｚ・ｓとｓ←ｓ・ｔ_ｉとを行う。これにより、各Ｐ［ｉ］＝（Ｐ［ｉ］_Ｘ，Ｐ［ｉ］_Ｙ，Ｐ［ｉ］_Ｚ）のＺ座標は同一となる。

【0048】

そして、最後に事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［ｅ_２］，・・・，Ｐ［ｅ_ｄ］｝＝｛Ｐ，ｅ_２Ｐ，・・・，ｅ_ｄＰ｝を出力する（１９行目）。

【0049】

なお、Ｃｏ－Ｚ法による楕円曲線加算では、ｔ_ｉの代わりにｔ_ｉ ^２，ｔ_ｉ ^３を計算コストなしで計算することができる。そのため、図３に示す事前計算処理の１４行目～１５行目でｓ^２及びｓ^３を逐次計算せずに直接計算することで効率化することもできる。

【0050】

また、図３に示す事前計算処理をマルチスカラー倍算ｋ_０Ｐ_０＋・・・＋ｋ_ｍ－１Ｐ_ｍ－１に対して適用する場合、各Ｐ_ｉに対して図３の１行目～１１行目の手続きを実行した後、全てのＰ_ｉに対して図３の１２行目～１９行目の手続きを実行する。このとき、ｉ≧１のＰ_ｉに対して図３の１行目～１１行目の手続きを実行する前に、Ｐ_ｉ－１［ｅ_ｄ］のＺ座標に対してＰ_ｉＺ＝Ｐ_ｉ－１［ｅ_ｄ］_Ｚ（つまり、Ｐ_ｉのＺ座標がＰ_ｉ－１［ｅ_ｄ］のＺ座標と同一）となるようにＰ_ｉを変換する。

【0051】

≪スカラー値変換処理≫
上述したように、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算のスカラー値変換処理は、従来の事前計算付きスカラー倍算のスカラー値変換処理と同様である。なお、マルチスカラー倍算ｋ_０Ｐ_０＋・・・＋ｋ_ｍ－１Ｐ_ｍ－１に対して適用する場合、各ｋ_ｉ（ｉ∈［０，ｍ－１］）に対してスカラー値変換処理を行えばよい。

【0052】

≪評価処理≫
事前計算テーブルをＴ、スカラー値変換後のスカラー値をｋ'＝ｋ_０'２^０＋ｋ_１'２^１＋・・・＋ｋ_ｎ－１'２^ｎ－１（ただし、ｋ_ｉ'∈｛０，±ｅ_１，・・・，±ｅ_ｄ｝）とする。このとき、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算の評価処理のアルゴリズムを図４に示す。図４に示すように、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算の評価処理は事前計算テーブルＴとスカラー値変換後のスカラー値ｋ'とを入力として、スカラー倍算の結果Ｒ＝ｋ'Ｐを出力するものである。

【0053】

図４に示す評価処理では、まずＲ←Ｏと初期化した後（１行目）、ｉ＝ｎ－１からｉ＝０までｉを１ずつ減少させながら３行目～１２行目の手続きを繰り返した後（２行目）、最後にＲを出力する（１４行目）。３行目～１２行目の手続きでは、Ｒ←２Ｒとした後（３行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'＞０である場合はＡ←Ｐ［ｋ_ｉ'］とし（６行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'≦０である場合はＡ←－Ｐ［－ｋ_ｉ'］として（８行目）、ＡをＲ_Ｚ＝Ａ_Ｚを満たす点に変換（つまり、ＲとＺ座標が同一の点に変換）した後（１０行目）、Ｒ←Ｒ＋ＡによりＲを更新する（１１行目）。一方で、ｋ_ｉ'＝０の場合は何もしない。なお、１１行目でＣｏ－Ｚ法による楕円曲線加算を用いており、これによりスカラー倍算の効率化が実現される。

【0054】

なお、図４に示す評価処理はマルチスカラー倍算に対してそのまま適用可能である。

【0055】

＜スカラー倍算装置１０のハードウェア構成＞
次に、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０のハードウェア構成について、図５を参照しながら説明する。図５は、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。

【0056】

図５に示すように、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、入力装置１０１と、表示装置１０２と、外部Ｉ／Ｆ１０３と、通信Ｉ／Ｆ１０４と、プロセッサ１０５と、メモリ装置１０６とを有する。これら各ハードウェアは、それぞれがバス１０７を介して通信可能に接続されている。

【0057】

入力装置１０１は、例えば、キーボードやマウス、タッチパネル、各種ボタン等である。表示装置１０２は、例えば、ディスプレイや表示パネル等である。なお、スカラー倍算装置１０は、入力装置１０１及び表示装置１０２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。

【0058】

外部Ｉ／Ｆ１０３は、記録媒体１０３ａ等の外部装置とのインタフェースである。なお、記録媒体１０３ａとしては、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等が挙げられる。

【0059】

通信Ｉ／Ｆ１０４は、スカラー倍算装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。プロセッサ１０５は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＭＰＵ（Micro Processing Unit）等の各種演算装置である。メモリ装置１０６は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＲＯＭ（Read Only Memory）、フラッシュメモリ等の各種記憶装置である。

【0060】

本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、図５に示すハードウェア構成を有することにより、後述する事前計算付きスカラー倍算を実現することができる。ただし、図５に示すハードウェア構成は一例であって、スカラー倍算装置１０のハードウェア構成は、これに限定されるものではない。

【0061】

＜スカラー倍算装置１０の機能構成＞
次に、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０の機能構成について、図６を参照しながら説明する。図６は、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０の機能構成の一例を示す図である。

【0062】

図６に示すように、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、事前計算処理部２０１と、スカラー値変換処理部２０２と、評価処理部２０３とを有する。これら各部は、スカラー倍算装置１０にインストールされた１以上のプログラムがプロセッサ１０５に実行させる処理により実現される。

【0063】

事前計算処理部２０１は、図３に示すアルゴリズムにより事前計算処理を実行する。なお、事前計算処理で作成された事前計算テーブルＴはメモリ装置１０６に記憶される。

【0064】

スカラー値変換処理部２０２は、従来の事前計算付きスカラー倍算のスカラー値変換処理によりスカラー値ｋをスカラー値ｋ'に変換する。

【0065】

評価処理部２０３は、図４に示すアルゴリズムにより評価処理を実行する。これにより、スカラー倍算の結果（又は、図３に示すアルゴリズムをマルチスカラー倍算に適用した場合はマルチスカラー倍算の結果）が得られる。

【0066】

＜事前計算付きスカラー倍算の流れ＞
次に、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算の流れについて、図７を参照しながら説明する。図７は、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算のフローチャートの一例を示す図である。

【0067】

まず、事前計算処理部２０１は、図３に示すアルゴリズムにより事前計算処理を実行する（ステップＳ１０１）。次に、スカラー値変換処理部２０２は、従来の事前計算付きスカラー倍算のスカラー値変換処理によりスカラー値ｋをスカラー値ｋ'に変換する（ステップＳ１０２）。そして、評価処理部２０３は、図４に示すアルゴリズムにより評価処理を実行する（ステップＳ１０３）。ただし、ステップＳ１０１及びステップＳ１０２は順不同であり、ステップＳ１０２が実行された後にステップＳ１０１が実行されてもよい。

【0068】

＜実施例＞
次に、本実施形態に係る事前計算付きスカラー倍算の実施例として、ｗ－ＮＡＦ法に適用した場合について説明する。楕円曲線上の点Ｐ∈Ｅ（Ｆ_ｑ）とスカラー値ｋとウインドウ幅ｗとがスカラー倍算装置１０に与えられた場合における事前計算処理と評価処理のアルゴリズムをそれぞれ図８及び図９に示す。なお、事前計算処理は事前計算処理部２０１により実行され、評価処理は評価処理部２０３により実行される。また、スカラー値変換処理は従来のｗ－ＮＡＦ法と同様であるためその説明を省略するが、スカラー値変換処理はスカラー値変換処理部２０２により実行される。

【0069】

≪事前計算処理≫
図８に示す事前計算処理では、まず、（Ａ，Ｐ［１］，ｔ_１）←２Ｐとして（１行目）、ｉ＝１からｉ＝２^ｗ－２－１までｉを１ずつ増加させながら（Ｐ［２ｉ＋１］，Ａ，ｔ_ｉ＋１）←Ａ＋Ｐ［２ｉ－１］とする（３行目）。なお、１行目の手続きはＣｏ－Ｚ法による楕円曲線２倍算、３行目の手続きはＣｏ－Ｚ法による楕円曲線加算である。

【0070】

次に、

【0071】

【数4】

及びＺ←Ｐ［２^ｗ－１－１］_Ｚとした後（５行目～６行目）、ｉ＝２^ｗ－２－１からｉ＝１までｉを１ずつ減少させながら８行目～１１行目の手続きを繰り返す（７行目）。８行目～１１行目の手続きでは、Ｐ［２ｉ－１］_Ｘ←Ｐ［２ｉ－１］_Ｘ・ｓ^２とＰ［２ｉ－１］_Ｙ←Ｐ［２ｉ－１］_Ｙ・ｓ^３とＰ［２ｉ－１］_Ｚ←Ｚとｓ←ｓ・ｔ_ｉとを行う。

【0072】

そして、最後に事前計算テーブルＴ＝｛Ｐ［１］，Ｐ［３］，・・・，Ｐ［２^ｗ－１－１］｝＝｛Ｐ，３Ｐ，・・・，（２^ｗ－１－１）Ｐ｝を出力する（１３行目）。

【0073】

≪評価処理≫
図９に示す評価処理では、まず、Ｒ←Ｏ及びＺ←Ｐ［１］_Ｚと初期化した後（１行目～２行目）、ｉ＝ｎ－１からｉ＝０までｉを１ずつ減少させながら４行目～１７行目の手続きを繰り返した後（３行目）、Ｒ←（Ｒ_Ｘ，Ｒ_Ｙ，Ｒ_Ｚ・Ｚ）としてＲを出力する（１９行目～２０行目）。４行目～１７行目の手続きでは、Ｒ←２Ｒとした後（４行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'＞０である場合はＡ←Ｐ［ｋ_ｉ'］とし（７行目）、ｋ_ｉ'≠０かつｋ_ｉ'≦０である場合はＡ←－Ｐ［－ｋ_ｉ'］とする（９行目）。また、ｋ_ｉ'≠０である場合に、Ｒ＝ＯのときはＲ←（Ａ_Ｘ，Ａ_Ｙ，１）とし（１２行目）、Ｒ≠ＯのときはＡ←（Ｒ_Ｚ ^２Ａ_Ｘ，Ｒ_Ｚ ^３Ａ_Ｙ，Ｒ_Ｚ）及びＲ←Ｒ＋Ａとする（１４行目～１５行目）。一方で、ｋ_ｉ'＝０の場合は何もしない。

【0074】

なお、図９に示す評価処理では、１５行目における楕円曲線加算でＣｏ－Ｚ法を用いるために、１２行目におけるＲの初期値代入の際にＺ座標を１に設定している。これにより、ＲのＺ座標が本来の値に対して１／Ｚされた値となるため、１４行目においてＲ_Ｚの乗算のみで座標変換ができるようになる。また、１９行目において、Ｚ座標に対してＺを乗じることで、Ｚ座標を変化させた分の補正が行われ、正しい計算結果が得られる。

【0075】

＜従来手法との比較＞
ここで、非特許文献１に記載されているＣｏ－Ｚ法を利用した事前計算付きスカラー倍算と、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０が実行する事前計算付きスカラー倍算とを比較する。

【0076】

非特許文献１には、Ｃｏ－Ｚ法を利用して事前計算処理を行った後、この事前計算処理で作成された事前計算テーブルを利用して２種類の評価処理を行う手法が記載されている。１つ目は、事前計算テーブルをそのまま利用して、評価処理でヤコビアン座標系の楕円曲線加算と楕円曲線２倍算を用いてスカラー倍算の結果を計算する方法である。２つ目は、事前計算テーブルを構成する点をヤコビアン座標系からアフィン座標系に変換した後、評価処理で、ヤコビアン座標系の楕円２倍算と、ヤコビアン座標とアフィン座標を入力とした混合座標における楕円曲線加算とによってスカラー倍算の結果を計算する方法である。

【0077】

非特許文献１に記載されている１つ目の手法では、事前計算処理でＣｏ－Ｚ法を利用しているため高速である一方で、評価処理における楕円曲線加算はＣｏ－Ｚ法を利用しない通常のヤコビアン座標系における楕円曲線加算であるため低速となる。一方で、２つ目の手法では、同様に事前計算処理は高速であり、評価処理でも高速な混合座標における楕円曲線加算が利用できるが、事前計算テーブルを構成する点をアフィン座標系に変換する必要がある。ヤコビアン座標系からアフィン座標系への変換は、１個の点に対してＦ_ｑ上の乗算及び逆元算を行う必要があり、非効率である。

【0078】

これに対して、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０が実行する事前計算付きスカラー倍算では、Ｃｏ－Ｚ法の性質を利用して事前計算テーブルを構成する点のＺ座標を同一の値に変換することで、１個の点に対してＦ_ｑ上の乗算を数回程度で行うことで座標変換を行うことができる。また、評価処理では、座標変換とＣｏ－Ｚ法による楕円曲線加算は、混合座標の計算と同等の計算コストで計算することができる。

【0079】

したがって、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０が実行する事前計算付きスカラー倍算は、非特許文献１に記載されている事前計算付きスカラー倍算のデメリットを解決し、より高速にスカラー倍算を計算することができる。

【0080】

＜まとめ＞
以上のように、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、従来手法と比較して事前計算付きスカラー倍算を効率的に計算することができる。また、マルチスカラー倍算はスカラー倍算の拡張であるため、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、マルチスカラー倍算についても同様に効率的に計算することができる。

【0081】

なお、楕円曲線暗号は、例えば、ＳＳＬ／ＴＬＳ等の安全な通信を行う際に利用されている。また、ペアリング暗号は、例えば、ＩＤベース暗号や関数型暗号等の高機能な暗号方式を構築する際に利用されている。したがって、本実施形態に係るスカラー倍算装置１０は、例えば、ＳＳＬ／ＴＬＳ等で通信を行う機器、装置又はシステムに適用したり、ＩＤベース暗号や関数型暗号等で鍵生成、暗号化及び復号等を行う機器、装置又はシステム等に適用したりすることが可能である。

【0082】

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術との組み合わせ等が可能である。

【符号の説明】

【0083】

１０ スカラー倍算装置
１０１ 入力装置
１０２ 表示装置
１０３ 外部Ｉ／Ｆ
１０３ａ 記録媒体
１０４ 通信Ｉ／Ｆ
１０５ プロセッサ
１０６ メモリ装置
１０７ バス
２０１ 事前計算処理部
２０２ スカラー値変換処理部
２０３ 評価処理部

【図1】

【図2】

【図3】

【図4】

【図5】

【図6】

【図7】

【図8】

【図9】