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特表2024-534058最適化ソリューションジェネレータシステムおよび方法のために光学的誤り訂正を用いるコヒーレントイジングマシン
(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公表特許公報(A)
(11)【公表番号】
(43)【公表日】2024-09-18
(54)【発明の名称】最適化ソリューションジェネレータシステムおよび方法のために光学的誤り訂正を用いるコヒーレントイジングマシン
(51)【国際特許分類】
G06N 99/00 20190101AFI20240910BHJP
【ＦＩ】
G06N99/00 180
【審査請求】有
【予備審査請求】未請求
(21)【出願番号】P 2024509342
(86)(22)【出願日】2022-08-17
(85)【翻訳文提出日】2024-04-16
(86)【国際出願番号】 US2022040647
(87)【国際公開番号】W WO2023158462
(87)【国際公開日】2023-08-24
(31)【優先権主張番号】63/234,127
(32)【優先日】2021-08-17
(33)【優先権主張国・地域又は機関】US
(81)【指定国・地域】
(71)【出願人】
【識別番号】523112138
【氏名又は名称】エヌティーティー リサーチ インコーポレイテッド
(71)【出願人】
【識別番号】504137912
【氏名又は名称】国立大学法人 東京大学
(74)【代理人】
【識別番号】100094569
【弁理士】
【氏名又は名称】田中 伸一郎
(74)【代理人】
【識別番号】100103610
【弁理士】
【氏名又は名称】▲吉▼田 和彦
(74)【代理人】
【識別番号】100109070
【弁理士】
【氏名又は名称】須田 洋之
(74)【代理人】
【識別番号】100067013
【弁理士】
【氏名又は名称】大塚 文昭
(74)【代理人】
【識別番号】100120525
【弁理士】
【氏名又は名称】近藤 直樹
(74)【代理人】
【識別番号】100139712
【弁理士】
【氏名又は名称】那須 威夫
(74)【代理人】
【識別番号】100141553
【弁理士】
【氏名又は名称】鈴木 信彦
(72)【発明者】
【氏名】ライフェンシュタイン サム
(72)【発明者】
【氏名】加古 敏
(72)【発明者】
【氏名】ルルー ティモテ
(72)【発明者】
【氏名】山本 喜久
(57)【要約】
コヒーレントイジングマシンは、光信号パルスを生成するように構成されたポンプパルス生成器と、光学的誤りパルスを生成するように構成された光学的誤り訂正回路と、光信号パルスおよび光学的誤りパルスを格納するように構成されたメインリングキャビティとを備えることができ、光学的誤りパルスにより、コヒーレントイジングマシンは、イジング解の極小値に収束せず、近くの状態を探索し続ける。
【特許請求の範囲】
【請求項1】
コヒーレントイジングマシンであって、光信号パルスを生成するように構成されたポンプパルス生成器と、
光学的誤りパルスを生成するように構成された光学的誤り訂正回路と、
前記光信号パルスおよび前記光学的誤りパルスを格納するように構成されたメインリングキャビティとを備え、前記光学的誤りパルスにより、前記コヒーレントイジングマシンは、イジング解の極小値に収束せず、近くの状態を探索し続ける、コヒーレントイジングマシン。
【請求項2】
前記メインリングキャビティが、前記光信号パルスを、圧縮された光信号パルスとして格納するように、前記光信号パルスを圧縮するように構成された位相感応増幅器をさらに備える、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項3】
前記メインリングキャビティが、前記光学的誤りパルスを、圧縮された光学的誤りパルスとして格納するように、前記光学的誤りパルスを圧縮するように構成された位相感応増幅をさらに備える、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項4】
前記光学的誤りパルスの二乗振幅が、前記メインリングキャビティの光学的パラメトリック発振器の飽和レベルに比べて小さい、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項5】
前記光信号パルスは、線形増幅器／減増幅器方式と非線形発振器方式との両方で操作されるように構成された、請求項４に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項6】
前記光学的誤りパルスは、線形増幅器／減増幅器方式で操作されるように構成された、請求項４に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項7】
前記ポンプパルス生成器、前記メインリングキャビティ、および前記光学的誤り訂正回路は、単一チップにモノリシックに集積された、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項8】
前記ポンプパルス生成器は、前記光信号パルスを、第２の高調波発生パルスとして生成するように構成された、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項9】
前記光学的誤り訂正回路は、前記光信号パルスおよび前記光学的誤りパルスの振幅を測定するように構成された光学的ホモダイン検出器を備える、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項10】
前記光学的誤り訂正回路は、所定の振幅を有する前記光学的誤りパルスを生成するように構成されたファンアウトおよびファンイン回路を備える、請求項１に記載のコヒーレントイジングマシン。
【請求項11】
イジング問題を解く方法であって、コヒーレントイジングマシンのポンプパルス生成器によって、光信号パルスを生成することと、
前記コヒーレントイジングマシンの光学的誤り訂正回路によって、光学的誤りパルスを生成することと、
前記コヒーレントイジングマシンのメインリングキャビティによって、前記光信号パルスおよび前記光学的誤りパルスを格納することとを備え、前記光学的誤りパルスにより、前記コヒーレントイジングマシンは、イジング解の極小値に収束せず、近くの状態を探索し続ける、方法。
【請求項12】
前記メインリングキャビティが、前記光信号パルスを、圧縮された光信号パルスとして格納するように、前記コヒーレントイジングマシンの位相感応増幅器によって、前記光信号パルスを圧縮することをさらに備える、請求項１１に記載の方法。
【請求項13】
前記メインリングキャビティが、前記光学的誤りパルスを、圧縮された光学的誤りパルスとして格納するように、前記コヒーレントイジングマシンの位相感応増幅によって、前記光学的誤りパルスを圧縮することをさらに備える、請求項１１に記載の方法。
【請求項14】
前記光学的誤りパルスの二乗振幅は、前記メインリングキャビティの光学的パラメトリック発振器の飽和レベルに比べて小さい、請求項１１に記載の方法。
【請求項15】
前記光信号パルスは、線形増幅器／減増幅器方式と非線形発振器方式との両方で操作される、請求項１４に記載の方法。
【請求項16】
前記光学的誤りパルスは、線形増幅器／減増幅器方式で操作される、請求項１４に記載の方法。
【請求項17】
前記ポンプパルス生成器、前記メインリングキャビティ、および前記光学的誤り訂正回路が、単一チップにモノリシックに集積された、請求項１１に記載の方法。
【請求項18】
前記コヒーレントイジングマシンの前記ポンプパルス生成器によって、前記光信号パルスを、第２の高調波発生パルスとして生成することをさらに備える、請求項１１に記載の方法。
【請求項19】
前記光学的誤り訂正回路の光学的ホモダイン検出器によって、前記光信号パルスおよび前記光学的誤りパルスの振幅を測定することをさらに備える、請求項１１に記載の方法。
【請求項20】
前記光学的誤り訂正回路のファンアウトおよびファンイン回路と、所定の振幅を有する前記光学的誤りパルスとを備える、生成することをさらに備える、請求項１１に記載の方法。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
（相互参照）
本出願は、２０２１年８月１７月に出願された米国仮特許出願第６３／２３４，１２７号の優先権を主張し、その全体が参照により本明細書に組み込まれる。
本出願は、２０２１年８月１７月に出願された米国仮特許出願第６３／２３４，１２７号の優先権を主張し、その全体が参照により本明細書に組み込まれる。
【0002】
（付録）
付録Ａ～Ｆ（８ページ）は、１）シミュレーションパラメータの最適化、２）Ｇセットのシミュレーション結果、３）パラメータ選択の理由、４）Ｇセットに対するＣＩＭ－ＳＦＣの結果および議論、５）ＣＩＭアルゴリズムとＳＢＭアルゴリズムとの類似点および相違点、６）ＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施を開示しており、これらはすべて明細書の一部であり、参照により本明細書に組み込まれる。付録Ｇは、引用文献を開示している。
付録Ａ～Ｆ（８ページ）は、１）シミュレーションパラメータの最適化、２）Ｇセットのシミュレーション結果、３）パラメータ選択の理由、４）Ｇセットに対するＣＩＭ－ＳＦＣの結果および議論、５）ＣＩＭアルゴリズムとＳＢＭアルゴリズムとの類似点および相違点、６）ＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施を開示しており、これらはすべて明細書の一部であり、参照により本明細書に組み込まれる。付録Ｇは、引用文献を開示している。
【0003】
本開示は、ｑｕａｎｔｕｍ－ｉｎｓｐｉｒｅｄ最適化プロセスを使用して、組合せ最適化問題を解くためのシステムおよび方法に関する。
【背景技術】
【0004】
組合せ最適化問題は、現代の科学、工学、医学、およびビジネスにおいて遍在しており、これらの問題は、多くの場合、ＮＰハードであるため、古典的なデジタルコンピュータにおけるランタイムは指数関数的に拡大すると予想される。ＮＰハードな組合せ最適化問題の代表的な例は、非平面イジングモデル（ｎｏｎ－ｐｌａｎａｒ Ｉｓｉｎｇ ｍｏｄｅｌ）である。特殊用途の量子ハードウェアデバイスは、標準的なヒューリスティックなアプローチ（ｓｔａｎｄａｒｄ ｈｅｕｒｉｓｔｉｃ ａｐｐｒｏａｃｈ）よりも、より効率的にイジング問題の解を発見するために開発された。１つの例は、時間依存ハミルトニアンによる純粋状態ベクトルの断熱進行を利用する量子アニーリング（ｑｕａｎｔｕｍ ａｎｎｅａｌｉｎｇ，ＱＡ）デバイスである。別の例は、量子発振器ネットワークにおける混合状態密度演算子の、量子から古典への遷移を利用するコヒーレントイジングマシン（ｃｏｈｅｒｅｎｔ Ｉｓｉｎｇ ｍａｃｈｉｎｅ，ＣＩＭ）である。完全グラフ、密グラフ、および疎グラフなどの様々なイジングモデルに対するＱＡとＣＩＭとの性能比較が報告されている。さらに、グローバ探索アルゴリズムまたは断熱量子計算アルゴリズムを実施した理想的なゲートモデル量子コンピュータと、ＣＩＭとの間の理論的性能比較が実行された。スピン間の全対全結合を備えたＣＩＭは効果的であり得るが、外部ＦＰＧＡ回路のみならず、アナログデジタルコンバータ（ＡＤＣ）およびデジタルアナログコンバータ（ＤＡＣ）を使用すると、大量のエネルギー散逸（ｅｎｅｒｇｙ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ）が発生し、高速動作のための潜在的なボトルネックをももたらす。
【発明の概要】
【0005】
ＣＩＭの標準的な線形結合方式は、構成する量子発振器間の振幅の不均一性の影響を受けることが認識されている。この振幅の不均一性のため、イジングハミルトニアンは、誤ってネットワーク損失にマッピングされ、特にフラストレートしたスピンシステムでは、動作の失敗につながる。この問題を解決するために、誤り訂正フィードバック方式（ｅｒｒｏｒ ｃｏｒｒｅｃｔｉｏｎ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｓｃｈｅｍｅ）が開発され、これにより、ＣＩＭは、ブレークアウトローカル探索（ＢＬＳ）などの最先端のヒューリスティックの状態と、解の精度において競合するようになる。
【0006】
誤り訂正フィードバックのための準古典的モデル
ＣＩＭには、いくつかの相互結合および誤り訂正フィードバック方式が存在する。この議論を単純化するために、準古典的な決定論的な見方が使用される。準古典的モデルは、以下のような架空のマシンの近似理論である。初期時間ｔ＝０では、図１Ａに示すように、各信号パルス場は、真空状態で準備される。ポンプ場ｐおよびｐi（図１Ｃに示す）がｔ≧０で、スイッチオンされると、オープンポートから抽出ビームスプリッタＢＳeに入射する真空場は、このＯＤＬ－ＣＩＭでは、図１Ｃに図示されるように、位相感応増幅器（ＰＳＡ）１０２によって圧縮／反圧縮される。すなわち、同相成分
ＣＩＭには、いくつかの相互結合および誤り訂正フィードバック方式が存在する。この議論を単純化するために、準古典的な決定論的な見方が使用される。準古典的モデルは、以下のような架空のマシンの近似理論である。初期時間ｔ＝０では、図１Ａに示すように、各信号パルス場は、真空状態で準備される。ポンプ場ｐおよびｐi（図１Ｃに示す）がｔ≧０で、スイッチオンされると、オープンポートから抽出ビームスプリッタＢＳeに入射する真空場は、このＯＤＬ－ＣＩＭでは、図１Ｃに図示されるように、位相感応増幅器（ＰＳＡ）１０２によって圧縮／反圧縮される。すなわち、同相成分
【0007】
【数1】
【数2】
【0008】
圧縮されたリザーバを有するそのような量子光学ＣＩＭのためのｔｒｕｎｃａｔｅｄ－Ｗｉｇｎｅｒ確率微分方程式（Ｗ－ＳＤＥ）が導出され、研究されてきた。この特定のＣＩＭは、同相成分に沿ったＯＰＯパルス場の間で最大の量子相関を達成し、最大の成功確率を達成する。これは、ＯＰＯパルス場の間の量子相関が、そのようなシステムにおいて相関のない新鮮なリザーバノイズを注入することなく、ＯＰＯパルス場の真空変動の相互結合によって形成されるためである。上記のＷ－ＳＤＥの近似理論として、大きな減増幅率（ｄｅａｍｐｌｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆａｃｔｏｒ）（Ｇ＞＞１）の制限の下で、以下の準古典的モデルが考慮される。（リザーバ工学を使用しない）光学的誤り訂正回路を備えた、より現実的なＣＩＭの完全な量子の説明が、以下で論じられる。
【0009】
ＣＩＭにおける振幅不均一性の問題を克服するために、誤り検出および訂正のための補助変数の追加が提案されている。このシステムは、測定フィードバックＣＩＭの修正版として研究されている。スピン変数（信号パルス振幅）ｘiと、補助変数（誤りパルス振幅）ｅiとは、以下の決定論的方程式（ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ ｅｑｕａｔｉｏｎ）
【0010】
【数3】
【数4】
【0011】
ＣＩＭ－ＣＡＣ方程式は、以下のように修正でき、
ｚi＝ｅiΣjξＪijｘj （３）
これを、我々は、ＣＩＭ－ＣＦＣ（カオスフィードバック制御を備えたＣＩＭ）と呼ぶ。式（２）と式（５）との相違は、誤差変数（ｅｒｒｏｒ ｖａｒｉａｂｌｅ）ｅiの時間進行が、内部振幅ｘiではなく、フィードバック信号ｚiを監視することである。この新たな式は、ＣＩＭ－ＣＡＣに非常に類似した動力学を与え、これは、ＣＩＭ－ＣＡＣとＣＩＭ－ＣＦＣとがほぼ同一の固定点を有することを観察することで理解できる。ＣＩＭ－ＣＡＣに加えてＣＩＭ－ＣＦＣを分析する背後にある動機は、これらのシステムがどのように機能するのかを、より良好に理解しようとすることである。それに加えて、ＣＩＭ－ＣＦＣは、数値積分を容易にする、わずかに単純な動力学を有し得る。
ｚi＝ｅiΣjξＪijｘj （３）
【数5】
【0012】
非常に異なる一連の方程式、
ｚi＝ΣjξＪijｘj （６）
を有する別のシステムもある。非線形関数ｆは、ｆ（ｚ）＝ｔａｎｈ（ｚ）などのシグモイド状の関数であり、ｐ、ｋ、ｃおよびβは、システムパラメータである（パラメータ選択については付録Ａ参照）。この新しいフィードバックシステムの重要性は、誤り信号ｅiの微分方程式が、「相互結合信号」ｚiにおいて線形であることである。それに加えて、ｚiは単純に、式（６）におけるような追加の係数ｅiなしに、ΣjξＪijｘjとして計算される。これは、このシステムにおける非線形要素は、利得飽和項（ｇａｉｎ ｓａｔｕｒａｔｉｏｎ ｔｅｒｍ）
ｚi＝ΣjξＪijｘj （６）
【数6】
【0013】
【数7】
【0014】
ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣ（式（１）～式（５））と比較したＣＩＭ－ＳＦＣ（式（６）、式（７）、および式（８））の別の大きな相違点は、ＣＩＭ－ＳＦＣにおける補助変数ｅiが、まったく異なる意味を有していることである。ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣでは、ｅiは、指数関数的に変化し、相互結合項を調整する厳密な正の数であると意図されている。ＣＩＭ－ＳＦＣでは、ｅiは、符号情報を格納する変数であり、相互結合信号ｚiと同じ範囲の値をとる。誤り信号ｅiは、基本的に、ｚiに対するローパスフィルタと考えることができ、項ｋ（ｅi－．ｚi）は、ｚiのハイパスフィルタと考えることができる（言い換えると、ｋ（ｅi－．ｚi）のみがｚiにおける急激な変化を記録する）。ＣＩＭ－ＳＦＣ、ＣＩＭ－ＣＡＣ、およびＣＩＭ－ＣＦＣの類似点および相違点を理解する手法は、固定点に注目することである。ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣでは、固定小数点は、
ｘi＝λ1σi （９）
ｘi＝λ1σi （９）
【0015】
【数8】
ｈi＝ΣjξＪijσi （１１）
の形式をとる。ここで、σiは、イジングハミルトニアンの極小値に対応するスピン構成である。λ1およびλ2は、システムパラメータに依存する定数である。ＣＩＭ－ＳＦＣでは、一般に、固定点は非常に複雑であり、明示的に記述するのは難しい。しかしながら、ｃ＞＞１の制限の場合、固定点は、
ｘi＝ｄ-1（１）σi （１２）
ｅi＝ｄ-1（１）ｈi （１３）
および
ｄ（ｘ）＝－ｘ3＋（ｐ－１）ｘ （１４）
の形式をとる。繰り返すが、σiは、極小値に対応するスピン構成である。この式は、ｆ（ｃｚ）が、ｃｚ＞＞１の場合は＋１、ｃｚ＜＜－１の場合は－１の値をとる奇数関数である場合にのみ有効である。このため、適切な関数ｆが選択されることが重要である。
【0016】
これら２つのタイプのシステムの固定点間の大きな相違は、ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣでは、誤り信号が
である一方、ＣＩＭ－ＳＦＣでは、誤り信号が｜ｅi｜∝｜ｈi｜であることである。以下で論じられるように、この相違により、ＣＩＭ－ＳＦＣは、リザーバやポンプ源からの量子ノイズに対して、よりロバストになる。
【数9】
【図面の簡単な説明】
【0017】
【図1A】真空状態および圧縮真空状態（ｓｑｕｅｅｚｅｄ ｖａｃｕｕｍ ｓｔａｔｅ）を例示する図である。
【図1B】コヒーレント状態および圧縮コヒーレント状態を例示する図である。
【図1C】コヒーレントイジングマシンを例示する図である。
【図2A】１００ＧＨｚのＣＩＭにおけるアクティブフォトニックデバイスの動作電力を例示する図である。
【図2B】ＣＩＭにおける３つのサブシステムにおける解までのエネルギーを例示する図である。
【図2C】ＣＩＭにおけるＯＰＯ振幅の軌道を例示する図である。
【図2D】別のＣＩＭにおけるＯＰＯ振幅の軌道を例示する図である。
【図2E】さらに別のＣＩＭにおけるＯＰＯ振幅の軌道を例示する図である。
【図3】４つの異なるフィードバックシステムの相互結合場および注入フィードバック場を例示する図である。
【図4】異なる進行時間における信号パルス振幅相関を例示する図である。
【図5】固定および調整されたシステムパラメータを有する信号パルスの軌道を例示する図である。
【図6A】斬新なＣＩＭのための光学的誤り訂正回路を例示する図である。
【図7】ＣＩＭ－ＳＦＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの成功確率対飽和パラメータを例示する図である。
【図8】ＣＩＭ－ＳＦＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの解までのエネルギーコストをジュールで例示する図である。
【図9】ＣＩＭ－ＣＡＣ対問題サイズの光学的実施およびＧＰＵ実施の解までの推定エネルギーコストを例示する図である。
【図10】ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣのＴＴＳを例示する図である。
【図11】ＣＩＭ－ＳＦＣおよびＮＭＦＡのＴＴＳ対問題サイズを例示する図である。
【図12】ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣ対ｄＳＢＭのための行列ベクトル乗算の必要数を例示する図である。
【図13】ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、ＣＩＭ－ＳＦＣ、およびｄＳＢＭのＴＴＳを例示する図である。
【図14】ＣＩＭ－ＣＡＣおよびｄＳＢＭに関する多数の未決のインスタンスを例示する図である。
【図15】ＣＩＭ－ＣＡＣの成功確率を例示する図である。
【図16】異なるパラメータの問題サイズに関するＣＩＭ－ＣＡＣの性能を例示する図である。
【図16-1】Ｇセットグラフに対するＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびｄＳＢＭの成功確率およびＴＴＳを例示する表である。
【図17】ＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施を例示する図である。
【発明を実施するための形態】
【0018】
本開示は、組合せ最適化問題（ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ）を解くために使用され得るメインキャビティ、光学的誤り訂正回路、およびパルスポンプファクトリの組合せを含む光学的フィードバック訂正を有するコヒーレントイジングマシン（ＣＩＭ）に関し、本文脈では、その開示が説明される。しかしながら、そのシステムおよび方法は、本開示の範囲内で以下に開示される要素の他の変形を使用して実施できることが理解されよう。
【0019】
本明細書で開示される斬新なＣＩＭアーキテクチャは、光学的に実施される誤り訂正を有する。このアーキテクチャでは、計算集約型の行列ベクトル乗算（ＭＶＭ）と、非線形フィードバック機能とが、位相感知式（縮退）光学的パラメトリック増幅器（ｐｈａｓｅ ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ （ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ） ｏｐｔｉｃａｌ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ａｍｐｌｉｆｉｅｒ）によって実施される。これらは基本的に、メインキャビティ光学的パラメトリック発振器（ＯＰＯ）のために使用されるデバイスと同じである。この斬新なＣＩＭアーキテクチャは、薄膜ＬｉＮｂＯ3プラットフォームを使用して、将来のフォトニック集積回路にモノリシックに実施される可能性がある。光学的誤り訂正回路を備えたオープン散逸量子発振器のネットワークは、将来のハードウェアプラットフォームとして有望であるだけでなく、そのシンプルで効率的な理論的説明により、ｑｕａｎｔｕｍ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムとしても有望である。Ｎ量子ビット量子システムの時間進行を数値的にシミュレートするために、２N個の複素数振幅が使用され得る。しかしながら、量子発振器ネットワークのために、量子光学の様々な位相空間技法が開発されている。量子発振器のネットワークの完全な説明は、マスタ方程式の正のＰ表現、ｔｒｕｎｃａｔｅｄ－Ｗｉｇｎｅｒ表現、またはｔｒｕｎｃａｔｅｄフシミ表現に基づくＮ（または２Ｎ）セットの確率微分方程式（ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ＳＤＥ）によって可能になった。これらのＳＤＥは、最新のデジタルプラットフォームで、ヒューリスティックアルゴリズムとして使用できる。低Ｑ量子発振器のネットワークを完全に説明するために、ガウス量子モデルを使用した離散マップ手法が利用可能であり、これは計算効率も高い。同様に、断熱ハミルトニアン調整を備えた無散逸量子発振器のネットワークは、Ｎセットの決定論的方程式によって説明され、現代のデジタルプラットフォームのヒューリスティックアルゴリズムとしても使用される。このヒューリスティックアルゴリズムは、シミュレートされた分岐マシン（ＳＢＭ）とも呼ばれ、その変形が以下に開示される。これら２つのｑｕａｎｔｕｍ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムを比較するのは興味深いが、以下で論じられるＳＢＭのバージョン（ｄＳＢＭ）は、アルゴリズムの性能を向上させるために、非弾性壁を使用して人為的に散逸が追加されるため、必ずしも真のユニタリシステムであるとは限らない。どちらのアルゴリズムも、デジタルコンピュータでシミュレーションされる場合、計算のボトルネックとして行列ベクトル乗算（ＭＶＭ）を有しているので、ＭＶＭの数は、性能比較のための優れた指標である。以下に記載されるように、ＳＢＭが一貫して苦労するノードごとのエッジが大きく変化するグラフタイプを除き、ほとんどの場合、どちらのタイプのシステムも、同様の性能を有し得る。
【0020】
ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣの数値シミュレーション
１つの知られているＣＩＭアーキテクチャは、誤り検出／訂正機構を使用せずに、単純な線形フィードバックを採用し、式（１）におけるフィードバック項は、単純にΣjξＪijｘjとなる。この場合、図２Ｃに図示されるように、特にフラストレートスピンシステムの場合、ＯＰＯ振幅の不均一性により、イジングハミルトニアンをネットワーク損失に適切にマッピングすることができない。そのようなＣＩＭは、多くの場合、イジングハミルトニアンの基底状態を発見できず、代わりに、結合（ヤコビアン）行列［Ｊij］の最低エネルギーの固有状態を発見する。この望ましくない動作は、システムの不均一な振幅の形成によって引き起こされる。この技術的問題は、ｔａｎｈ（ΣjξＪijｘj）などのフィードバックパルスのための非線形フィルタ関数を導入することによって部分的に解消できる。その後、ＣＩＭシステムは、図２Ｄに図示されるように、少なくともしきい値を十分に上回る均一なＯＰＯ振幅を達成し、システムの軌道の終了に向かって適切なマッピング条件を満たすことができる。しかしながら、そのような非線形フィルタリングだけでは、マシンが、多数の極小値にトラップされるのを防ぐほど十分に強力ではない可能性がある。問題サイズＮが増加すると、ＮＰハードイジング問題では、極小値の数が指数関数的に増加すると予想されるため、あまりに容易にトラップされるシステムは、効果がない。
１つの知られているＣＩＭアーキテクチャは、誤り検出／訂正機構を使用せずに、単純な線形フィードバックを採用し、式（１）におけるフィードバック項は、単純にΣjξＪijｘjとなる。この場合、図２Ｃに図示されるように、特にフラストレートスピンシステムの場合、ＯＰＯ振幅の不均一性により、イジングハミルトニアンをネットワーク損失に適切にマッピングすることができない。そのようなＣＩＭは、多くの場合、イジングハミルトニアンの基底状態を発見できず、代わりに、結合（ヤコビアン）行列［Ｊij］の最低エネルギーの固有状態を発見する。この望ましくない動作は、システムの不均一な振幅の形成によって引き起こされる。この技術的問題は、ｔａｎｈ（ΣjξＪijｘj）などのフィードバックパルスのための非線形フィルタ関数を導入することによって部分的に解消できる。その後、ＣＩＭシステムは、図２Ｄに図示されるように、少なくともしきい値を十分に上回る均一なＯＰＯ振幅を達成し、システムの軌道の終了に向かって適切なマッピング条件を満たすことができる。しかしながら、そのような非線形フィルタリングだけでは、マシンが、多数の極小値にトラップされるのを防ぐほど十分に強力ではない可能性がある。問題サイズＮが増加すると、ＮＰハードイジング問題では、極小値の数が指数関数的に増加すると予想されるため、あまりに容易にトラップされるシステムは、効果がない。
【0021】
極小値によって引き起こされるアトラクタを不安定にし、マシンに真の基底状態を探索させ続けるために、式（２）または式（５）によって表される誤り検出／訂正変数を導入することができる。極小値が不安定になると、基底状態も同様に不安定になることは避けられない。これは望ましくないことであるが、ＣＩＭマシンは、多くの極小値に到達し、その後、どの極小値が、最もエネルギーが低いのかを発見できる。あるいは、システムパラメータが調整され得、以下に論じられるように、システムは、軌道の終了に向かって基底状態に留まる可能性が高くなる。
【0022】
別のＮ個の自由度の追加により、マシンは、極小値に到達できるが、その後、極小値を抜け出して、近くの状態を探索し続けることができる。これは、従来のＣＩＭアルゴリズムでは可能ではない。図２Ｅに図示されるように、誤り訂正変数を有しているＣＩＭの軌道は平衡に達せず、多くの状態を探索し続ける。逆に、誤り訂正変数（ｅi）を有していない図２Ｃおよび図２Ｄにおけるシステムは、多くの場合、イジングハミルトニアンの高エネルギー励起状態に対応する固定点に迅速に収束する。上記問題は、ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＳＦＣを含む誤り訂正方式を使用して解決できる。ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＳＦＣは、非常に異なる式によって説明されるが、２つのシステムは、元々は、同様の概念によって考案された。ＣＩＭ－ＣＦＣとＣＩＭ－ＳＦＣとが類似している理由を理解するために、「相互結合信号」Ｍi（ｔ）＝ΣjξＪijｘj（ｔ）および「注入フィードバック信号」Ｉi（ｔ）を導入することによって、これらのシステムを検討することが役立つ。これらの信号は、ＣＩＭ－ＣＦＣとＣＩＭ－ＳＦＣとの両方について、
Ｍi（ｔ）＝ΣjξＪijｘj（ｔ） （１５）
Ｍi（ｔ）＝ΣjξＪijｘj（ｔ） （１５）
【0023】
【数10】
【0024】
ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＳＦＣは、同じ原理に基づいて考案されたが、２つのシステムの動力学は互いに異なる可能性がある。特に、ＣＩＭ－ＣＦＣ（およびＣＩＭ－ＣＡＣ）は、軌道が初期条件に非常に敏感であるため、ほぼ常にカオス的な動力学を特徴としている。ＣＩＭ－ＳＦＣの場合、パラメータが動的に調整されない限り、軌道は、多くの場合、すぐに安定した周期軌道となる。
【0025】
この相違を実証するために、図４は、互いに非常に近い２つの初期条件間のパルス振幅の相関を図示している。（ｘ軸にプロットされた）パルス振幅＃１の初期条件は、標準偏差０．２５のゼロ平均ガウス分布から選択され、（ｙ軸にプロットされた）同じパルス＃２の他の初期条件は、＃１に少量のノイズ（標準偏差０．０１）を加えたものに等しい。図４は、Ｓｈｅｒｒｉｎｇｔｏｎ－Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ（ＳＫ）スピングラスインスタンスｆ0問題サイズＮ＝１００の、２つの初期条件間の１００個のパルス振幅すべての相関を図示している。ＣＩＭ－ＳＦＣ（第１行）では、相関は、４０００時間ステップ（往復）後でさえも維持される。これは、２つの初期条件が、ほぼ同一の軌道を辿ることを意味する。しかしながら、ＣＩＭ－ＣＦＣ（第２行）では、２つの軌道の初期条件が非常に近いにも関わらず、約１００時間ステップ後に、ｘi変数の相関がなくなった。これは、ＣＩＭ－ＣＦＣが初期条件に対して非常に感度が高いのに対し、ＣＩＭ－ＳＦＣはそうではないことを定性的に実証している。
【0026】
このパターンは、異なるパラメータおよび初期条件が使用される場合に当てはまる傾向がある。しかしながら、ほとんどの場合、ＣＩＭ－ＳＦＣは相関性を保っているが、システムパラメータと初期条件の一部の領域で、２つの軌道が分岐する。これは、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ＣＩＭ－ＣＦＣよりも初期条件の影響を受けにくいものの、探索中、特にパラメータが調整されている場合に、カオス的な動力学が発生する可能性が依然として高いことを意味する。
【0027】
動力学の相違を定性的に理解する別の手法は、単に軌道を見ることによるものである。図５は、固定システムパラメータと、線形調整システムパラメータとを用いた、両システムの例示的な軌道を図示している（上記のＳＫ問題では、１００個のｘi変数のうち１０個が図示されている）。パラメータが固定されている場合、２つのシステム間の相違は明らかである。ＣＩＭ－ＳＦＣは、安定した周期的アトラクタに迅速にトラップされるが、ＣＩＭ－ＣＦＣは、予測できない手法で探索を続ける。このため、システムが基底状態を発見するために、ＣＩＭ－ＳＦＣでパラメータがゆっくりと調整されることが必要である。ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＣＡＣは、固定パラメータで基底状態を発見することができる。しかしながら、システムパラメータの調整により、ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＣＡＣの性能が大幅に向上する（詳細については付録Ｃ参照）。
【0028】
図５の左下のパネルでは、ＣＩＭ－ＳＦＣのパラメータｃおよびパラメータｐは、低い値から高い値まで直線的に増加する（ｐは、－１から＋１の範囲であり、ｃは、１から３の範囲である）。図示されるように、パラメータが変化すると、システムは、１つのアトラクタから別のアトラクタにジャンプし、最終的には固定点／極小値に到達し得る。ＣＩＭ－ＳＦＣにおいて、パラメータｃおよびパラメータｐを、低い値から高い値に線形的に増加させることにより、非線形項ｔａｎｈ（ｃｚi）は、非線形結合項が、－１と１との間の値の連続範囲を有する「ソフトスピン」モードから、ｔａｎｈ（ｃｚi）が主に＋１または－１の値をとる「離散」モードへ遷移する。この遷移は、ＣＩＭ－ＳＦＣが適切に機能するために重要であると考えられる。
【0029】
ほとんどの固定パラメータに対して、ＣＩＭ－ＳＦＣは、図５におけるような周期的または固定点アトラクタに迅速に接近するが、前述したように、ｃおよびｐのいくつかの特定の値に対して、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ＣＩＭ－ＣＦＣと同様のカオス的な動力学を特徴とする可能性がある。決定論的システムを使用して、およびシミュレートされた分岐マシンにおいて、難しい最適化問題を効率的に解く場合、カオス的な動力学が観察されることが図示されている。
【0030】
光学的誤り訂正回路を備えたＣＩＭの実施
図６Ａおよび図６Ｂは、図１Ｃと併せて、光学的誤り訂正回路を備えたＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの物理的セットアップを図示している。全体的なアーキテクチャが、図６Ｃに図示される。この斬新なアーキテクチャでは、（図１Ｃに図示される）メインリングキャビティが、正規化された振幅ｘiを有する信号パルスと、正規化された振幅ｅiを有する誤りパルスとの両方を格納し、ここで、ｉ＝１，２，．．．，Ｎである。信号パルスは、真空状態｜Ｏ＞1｜Ｏ＞2．．．｜Ｏ＞Nから始まり、正（または負）のポンプ速度ｐによってＸ座標に沿って増幅（または減増幅）される。
図６Ａおよび図６Ｂは、図１Ｃと併せて、光学的誤り訂正回路を備えたＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの物理的セットアップを図示している。全体的なアーキテクチャが、図６Ｃに図示される。この斬新なアーキテクチャでは、（図１Ｃに図示される）メインリングキャビティが、正規化された振幅ｘiを有する信号パルスと、正規化された振幅ｅiを有する誤りパルスとの両方を格納し、ここで、ｉ＝１，２，．．．，Ｎである。信号パルスは、真空状態｜Ｏ＞1｜Ｏ＞2．．．｜Ｏ＞Nから始まり、正（または負）のポンプ速度ｐによってＸ座標に沿って増幅（または減増幅）される。
【0031】
誤りパルスは、α＞０である場合、コヒーレント状態｜α＞1｜α＞2．．．｜α＞Nから始まり、以下に説明されるように、ポンプ速度ｐ’によってＸ座標に沿って増幅（または減増幅）される。誤りパルスの二乗振幅は、メインキャビティＯＰＯの飽和レベルと比較して、小さく
【0032】
【数11】
【数12】
【数13】
【0033】
抽出ビームスプリッタ（図１Ｃに図示されるＢＳｅは、ノイズのない位相感応増幅器（図６Ａに図示されるようなＰＳＡ０によって増幅される信号パルスおよび誤りパルスの部分波を取り出す。ＰＳＡ０は、追加のノイズを導入せずに、信号パルスおよび誤りパルスを、古典的なレベルへ増幅する。抽出された振幅
【0034】
【数14】
【数15】
【0035】
ＰＳＡ０出力のごく一部は、抽出された信号パルスおよび誤りパルスを振幅
および
を用いて測定する光学的ホモダイン検出器６００に送られる。ホモダイン検出の測定誤差は、（上記で説明したように）ＢＳｅの反射率と、ＢＳｅに入射する真空変動によってのみ決定される。図６Ａは、信号パルス対信号パルス間隔２τによって分離された異なる時間インスタンスｔ＝τ；３τ；５τ；．．．でのファンアウト回路の出力を図示している。
【数16】
【数17】
【0036】
たとえば、信号パルス
は、まずＰＳＡjに入力され、その後、（２Ｎ－２ｊ＋１）τの遅延時間で、光学的遅延線ＤＬjに送られる。ＰＳＡjの位相感応利得／損失は、時間ｔ＝２Ｎτにおいてファンイン回路の前に到着する増幅／減増幅信号パルスが、
【数18】
【0037】
【数19】
【数20】
【数21】
【0038】
次に、ファンイン回路の出力は、
の係数で増幅する別の位相感応増幅器ＰＳＡｅに入力される。これは、
の測定結果に基づいて、ポンプパワーをＰＳＡｅに調整することによって達成される。最後に、ＰＳＡｅの出力は、図６Ａに図示される信号ＢＳiを介して、図１Ｃに図示されるビームスプリッタＢＳiへと、メインキャビティの信号パルス（ｘi）に再び注入される。抽出ビームスプリッタＢＳｅは、信号パルスだけでなく、ホモダイン検出のみに使用される誤りパルスも出力する。したがって、ＣＩＭを使用する場合、ポンプパワーは、誤りパルスのためにスイッチオフＰＳＡ0され、残りの誤りパルスを、ＰＳＡ1、ＰＳＡ2、．．．、ＰＳＡN、ＰＳＡeによって減増幅する。このようにして、ＣＩＭは、メインキャビティへの誤りパルスのあらゆる誤注入（ｓｐｕｒｉｏｕｓ ｉｎｊｅｃｔｉｏｎ）を回避する。誤りパルスの動力学は、メインキャビティＰＳＡへのポンプパワーｐiによってのみ支配され、
【数22】
【数23】
【0039】
【数24】
【数25】
【0040】
ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣのこの光学的実施の１つの利点は、１種類の能動デバイス、つまりノイズのない位相感応（縮退光学的パラメトリック）増幅器のみが使用され、他のすべての要素が受動デバイスであることである。この事実により、ＣＩＭシステムのオンチップモノリシック統合が可能になる可能性があり、また、以下で論じられる計算ユニットにおける低エネルギー散逸も可能になる。ＣＩＭ－ＳＦＣの同様の光学的実施が付録Ｆに図示される。
【0041】
図６（ｂ）は、第２の高調波発生（ＳＨＧ）パルスを、メインキャビティＰＳＡ、後置増幅器ＰＳＡ0、遅延線増幅器ＰＳＡ1、ＰＳＡ2、．．．ＰＳＡNおよび出口増幅器ＰＳＡeに提供するポンプパルスファクトリを図示している。このポンプパルスファクトリの目的は、ＣＩＭ全体において最もエネルギーを消費するデバイスであるＥＯＭ調整器の使用を低減することである。ソリトン周波数コム発生器（ｓｏｌｉｔｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｃｏｍｂ ｇｅｎｅｒａｔｏｒ）は、１００ＧＨｚの繰り返し周波数および１．５６μｍの波長でパルス列を生成する。パルス列は、多くの分岐に分割される前に、ポンプ増幅器ＰＳＡpによって増幅される。行列ベクトル乗算
【0042】
【数26】
【0043】
【数27】
【0044】
光学的実施を検討する際に考慮する必要がある別の詳細は、イジングエネルギーの計算である。本開示における結果を生成するために使用されるデジタルシミュレーションでは、イジングエネルギーが、時間ステップ（往復）ごとに計算され、取得された最小エネルギーが、計算の結果として使用される。これは、光学的実施では、システムが、往復ごとに
【0045】
【数28】
【0046】
これは、光学的誤り訂正を備えたＣＩＭにおいて、システムが、計算結果を得るために何度も往復した後、
の最終測定結果を単純にデジタル化することができ、依然として高い成功確率を有することを実証する。ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＣＡＣの場合、マシンは通常、たとえその状態に留まらなくても、軌道の終了近くで基底状態に到達するため、最後の数往復中にスピン構成を複数回読み取ることが有益である可能性がある。
【数29】
【0047】
解までの量子ノイズ解析およびエネルギー
ＣＩＭは、アナログ光デバイスの使用を開示しているため、光学的実施に基づいて、量子モデルを使用して、物理システムからのノイズ（この場合、ポンプ源および外部リザーバからの量子ノイズ）が、どの程度性能を低下させるかを研究することが重要である。
ＣＩＭは、アナログ光デバイスの使用を開示しているため、光学的実施に基づいて、量子モデルを使用して、物理システムからのノイズ（この場合、ポンプ源および外部リザーバからの量子ノイズ）が、どの程度性能を低下させるかを研究することが重要である。
【0048】
ＣＩＭ－ＣＡＣ用に提案された光学的実施では、実数信号パルス振幅μi（光子振幅の単位）は、以下のｔｒｕｎｃａｔｅｄ－Ｗｉｇｎｅｒ ＳＤＥ［２２；２３］
に従い、ここで、項ｐμiは、パラメトリック線形利得を表し、－μi．は、線形損失率を表す。これは、相互結合および誤り訂正のためのキャビティバックグラウンド損失および抽出／注入ビームスプリッタ損失を含む。非線形項ｇ2μi
3は、利得飽和（または、信号からポンプへの逆変換）を表し、ここで、ｇは、飽和パラメータである。飽和光子数は、１／ｇ2によって与えられ、これは、ポンプ速度ｐ＝２（しきい値の２倍）における孤立ＯＰＯの平均光子数に等しい。Ｊijは、上記で説明したＮ×Ｎイジング結合行列の（Ｉ，ｊ）要素である。時間ｔは、線形損失率によって正規化されるため、信号振幅は、時間ｔ＝１において１／ｅで減衰する。
【数30】
【0049】
【数31】
【数32】
【0050】
【数33】
【0051】
【数34】
【0052】
実数誤りパルス振幅νj（光子振幅の単位）は、
によって支配され、ここで、ノイズ項の相関関数は、＜ｍi（ｔ）ｍi（ｔ’）＞＝１／２δ（ｔ－ｔ’）によって与えられる。誤りパルスのポンプ速度ｐ’tは、飽和パラメータ
【数35】
【0053】
【数36】
【数37】
【0054】
誤りパルスは、ある正の実数１／ｇ＞＞γ＞０について、コヒーレント状態｜γ＞1｜γ＞2．．．｜γ＞Nから始まる。式（１８）に利得飽和項が存在しないことは、誤りパルスが、常にしきい値未満でポンピングされることを意味する。それにも関わらず、誤りパルスは、指数関数的に変化する振幅を表す。パラメータβは、誤り訂正動力学の時定数を支配し、αは、目標振幅の二乗である。このフィードバックモデルは、指数関数的に変化する誤りパルス振幅ｅi＝ｇνjによって、二乗信号パルス振幅
【0055】
【数38】
【数39】
【数40】
【数41】
【数42】
【0056】
ＣＩＭ－ＣＦＣは、図６に図示される実験設定によっても実現される。この場合、誤りパルス振幅に関してｔｒｕｎｃａｔｅｄ－Ｗｉｇｎｅｒ ＳＤＥは、依然として式（１８）または式（２１）によって与えられるが、ポンプ速度ｐ’iは、
を用いて
に修正される必要がある。
【数43】
【数44】
【0057】
最後に、ＣＩＭ－ＳＦＣは、付録Ｆおよび図１７）に図示される実験設定によっても実現することができる。この場合、式（２０）および式（２１）は、
および
のように修正される必要がある。
【数45】
【数46】
【数47】
【0058】
式（１）～式（８）によって表されるＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣの準古典的非線形動力学モデルを、量子非線形動力学モデル（ｔｒｕｎｃａｔｅｄ－Ｗｉｇｎｅｒ ＳＤＥ）式（２０）～式（２６）と比較すると、主な相違点は、真空ノイズと、ポンプノイズ項ｇｎiおよびｇｍiの有無である。他の重要な相違点は、量子モデルでは
【0059】
【数48】
【数49】
【0060】
ＣＩＭの性能に対する量子ノイズの影響を分析することが重要である。式（２０）～式（２６）に示すように、信号パルスおよび誤りパルスにおける量子ノイズの相対的な大きさは、飽和パラメータｇによって支配される。ｇが増加すると、正規化されたパルス振幅（ｘi，ｅi）と、正規化された量子ノイズ振幅（ｇｎiおよびｇｍi）との比が小さくなる。したがって、ｇが増加すると、ＣＩＭの性能が低下すると予想される。しかしながら、ｇが増加すると、ＯＰＯしきい値ポンプ出力が減少し（［３１］における図Ｃ１参照）、これは、ｇの増加により、解までのＯＰＯエネルギーコストを潜在的に削減できることを示唆している。
【0061】
図７に図示されるように、Ｎ＝１００のイジング問題（ＳＫモデル）の成功確率Ｐs対飽和パラメータｇ2がプロットされる。抽出ビームスプリッタＲBの反射率は、ＲB＝０．１であると仮定される。成功確率Ｐsは、ｇ2≦１０-4である限り、飽和パラメータｇ2にほとんど依存しない。しかしながら、ｇ2が１０-3を超えると、前述したように信号対量子ノイズ比が減少するため、成功確率は迅速に低下する。
【0062】
図８では、Ｎ＝１００およびＮ＝８００のイジング問題（ＳＫモデル）の解のためのエネルギーコストが、メインキャビティＰＳＡへのポンプパワーのみを使用して
と図示されており、ここで、ＭＶＭは、解までの行列ベクトル乗算ステップの数であり、Δｔは、信号寿命（約０．１）によって正規化された往復時間である。図８では、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ＣＩＭ－ＣＦＣと比較して量子ノイズに対してよりロバストであり、潜在的に、より大きなｇ2値を使用できることが分かる。これは、誤差変数ｅiが、各システムにおいて果たす役割が異なるため、予想されることである。ＣＩＭ－ＣＦＣでは、フィードバック信号は、
【数50】
【0063】
【数51】
【数52】
【数53】
【数54】
【数55】
【0064】
【0065】
光学的誤り訂正回路および（図６において説明された）ポンプパルスファクトリにおけるエネルギーコストが含まれる場合、エネルギーコストは、図９に図示されるように桁違いに増加する。ここでは、ポンプパルスエネルギーは、光学的誤り訂正回路におけるＰＳＡ1、ＰＳＡ2、．．．、ＰＳＡNおよびＰＳＡeにおける小さな信号増幅（約１０ｄＢ）の場合、１００ｆＪ／パルスであり、ＰＳＡ0における大きな信号増幅（約５０ｄＢ）の場合、１ｐＪ／パルスであると仮定される。これらの数値は、７８０ｎｍのポンプ波長および１００フェムト秒のポンプパルス持続時間における薄膜ＬｉＮＯ３リッジ導波路ＤＯＰＯの実験値に対応する［１５］。光学的誤り訂正回路において消費されるポンプエネルギーは、Ｅcorrection＝［（Ｎ＋１）×１０-13として推定される。ポンプパルスファクトリにおけるエネルギー消費は、次の３つの部分、すなわち、１００ＧＨｚソリトン周波数コム発生器、ＥＯＭ調整器、および位相感応増幅器（図６（ｂ））で構成される。１００ＧＨｚソリトン周波数コム発生器には、約１００ｍＷの入力電力が必要である。［１６］１００ＧＨｚＥＯＭ調整器は、それぞれ約４００ｍＷの電気入力電力が必要である。［１７］ＰＳＡpのパルスあたりのエネルギーコストは約１ｐＪであるが、ストレージリングキャビティのＮ個のＰＳＡのエネルギーコストは約１００ｆＪである。Ｎ個のＥＯＭ（ＥＯＭ1、ＥＯＭ2、：：：ＥＯＭN）は、最初の１つの往復時間１０-11Ｎ（秒）の間だけ動作する必要があることに留意されたい。１００ＧＨｚＣＩＭにおける能動デバイスの動作電力が、図２Ａに要約される。ポンプパルスファクトリにおけるエネルギーコストは、Ｅfactory＝［１．３×１０-11Ｎ（ＭＶＭ）＋４×１０-12Ｎ2＋（１０-12＋１０-13Ｎ）（ＭＶＭ）Ｎ］（Ｊ）である。図２Ｂは、ＣＩＭの３つの部分におけるエネルギーコストを要約する。図９において、ＣＩＭ－ＣＦＣアルゴリズムがＧＰＵにおいて実施されている場合の解までのエネルギーが図示される。このアプローチの詳細な説明が以下に与えられる。図６において説明されるような誤り訂正回路およびポンプパルスファクトリの光学的実施は、技術的に困難であるが、最新のＧＰＵと比較してエネルギーコストを桁違いに削減できる。
【0066】
ＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄヒューリスティックアルゴリズム－ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣのスケーリング性能
３つの古典的な非線形動力学モデル、式（１）、式（２）、式（３）、式（４）、式（５）、式（６）、式（７）、および式（８）が優れたイジングソルバであるか否かをテストするために、デジタルプラットフォーム上でそれらを数値的に統合することが可能である。それに加えて、数値的な安定性を保証するために、いくつかの変数の範囲が制限されており、その詳細は、付録Ａにおいて見ることができる。関連する性能指標は、解までの時間、ＴＴＳ（９９％の成功率を得るまでの積分時間ステップの数）である。特に、ランダムに生成されたＳｈｅｒｒｉｎｇｔｏｎ－Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ（ＳＫ）スピングラスインスタンス（結合は、＋１と－１との間でランダムに選択される）の問題サイズの関数として中央値ＴＴＳがどのようにスケールされるかが比較される。中央値ＴＴＳは、問題サイズごとにランダムに生成された１００個のインスタンスのセットに基づいて計算され、ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が使用される。
３つの古典的な非線形動力学モデル、式（１）、式（２）、式（３）、式（４）、式（５）、式（６）、式（７）、および式（８）が優れたイジングソルバであるか否かをテストするために、デジタルプラットフォーム上でそれらを数値的に統合することが可能である。それに加えて、数値的な安定性を保証するために、いくつかの変数の範囲が制限されており、その詳細は、付録Ａにおいて見ることができる。関連する性能指標は、解までの時間、ＴＴＳ（９９％の成功率を得るまでの積分時間ステップの数）である。特に、ランダムに生成されたＳｈｅｒｒｉｎｇｔｏｎ－Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ（ＳＫ）スピングラスインスタンス（結合は、＋１と－１との間でランダムに選択される）の問題サイズの関数として中央値ＴＴＳがどのようにスケールされるかが比較される。中央値ＴＴＳは、問題サイズごとにランダムに生成された１００個のインスタンスのセットに基づいて計算され、ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が使用される。
【0067】
図１０には、３つのＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズム（ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、ＣＩＭ－ＳＦＣ）の中央値ＴＴＳが、問題サイズに関して図示される。影付きの領域は２５～７５パーセンタイルを表す。ＴＴＳ対
【0068】
【数57】
【0069】
【数58】
【0070】
ＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄヒューリスティックアルゴリズム－ノイズ平均場アニーリング（ＮＭＦＡ）との比較
ＣＩＭ－ＳＦＣにおける補助変数（誤りパルス）の重要性を示すために、その性能が、ノイズ平均場アニーリング（ＮＭＦＡ）として知られている別のＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムと比較された。［２６］ＮＭＦＡは、双曲線正接関数を、相互結合項にも適用する。しかしながら、ＮＭＦＡには、補助変数がなく、極小値から逃れるために（人工）量子ノイズに依存する。図１１では、ＮＭＦＡからＣＩＭ－ＳＦＣへのスケーリングが、フィードバックパラメータｋの様々な値と比較される。パラメータｋは、補助変数によって引き起こされる不安定化力の強さを制御するので、スケーリング振舞いに対する項ｋ（ｚi－ｅi）の重要性が測定され得る。ｋ＝０の場合、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ＮＭＦＡとほぼ同一である。ｋ＝０のＣＩＭ－ＳＦＣの性能がわずかに悪いという事実は、ＮＭＦＡに含まれるノイズの影響が小さい可能性があり、極小値の不安定化に寄与する可能性があることを示している（これは、図７においても観察できる）。ｋ＝０．１５の場合は、中間の場合として図示され、ｋ＝０．２は、ＣＩＭ－ＳＦＣにおいて、ｋのための（実験的に得られた）最適値である。式（７）に誤り訂正フィードバック項ｋ（ｚi－ｅi）を追加することは、ＳＫインスタンスにおけるＴＴＳのスケーリングと広がりとの両方を改善するのに効果的である。これは、補助変数によって提供される「相関人工ノイズ」が、リザーバからの「ランダムな量子ノイズ」よりも、より良好な解を発見する際に、より効果的であることを示唆する。
ＣＩＭ－ＳＦＣにおける補助変数（誤りパルス）の重要性を示すために、その性能が、ノイズ平均場アニーリング（ＮＭＦＡ）として知られている別のＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムと比較された。［２６］ＮＭＦＡは、双曲線正接関数を、相互結合項にも適用する。しかしながら、ＮＭＦＡには、補助変数がなく、極小値から逃れるために（人工）量子ノイズに依存する。図１１では、ＮＭＦＡからＣＩＭ－ＳＦＣへのスケーリングが、フィードバックパラメータｋの様々な値と比較される。パラメータｋは、補助変数によって引き起こされる不安定化力の強さを制御するので、スケーリング振舞いに対する項ｋ（ｚi－ｅi）の重要性が測定され得る。ｋ＝０の場合、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ＮＭＦＡとほぼ同一である。ｋ＝０のＣＩＭ－ＳＦＣの性能がわずかに悪いという事実は、ＮＭＦＡに含まれるノイズの影響が小さい可能性があり、極小値の不安定化に寄与する可能性があることを示している（これは、図７においても観察できる）。ｋ＝０．１５の場合は、中間の場合として図示され、ｋ＝０．２は、ＣＩＭ－ＳＦＣにおいて、ｋのための（実験的に得られた）最適値である。式（７）に誤り訂正フィードバック項ｋ（ｚi－ｅi）を追加することは、ＳＫインスタンスにおけるＴＴＳのスケーリングと広がりとの両方を改善するのに効果的である。これは、補助変数によって提供される「相関人工ノイズ」が、リザーバからの「ランダムな量子ノイズ」よりも、より良好な解を発見する際に、より効果的であることを示唆する。
【0071】
ＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄヒューリスティックアルゴリズム－離散シミュレート分岐マシン（ｄＳＢＭ）との比較
ＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムの性能は、離散シミュレート分岐マシン（ｄＳＢＭ）として知られる別のヒューリスティックイジングソルバとも比較され得る。［２７；２９；２８］ＣＩＭと同様に、ｄＳＢＭも、アナログスピンおよび連続動力学を利用して、組合せ最適化問題を解く。［２９］の著者らは、必要な行列ベクトル乗算（ＭＶＭ）の数を解と比較することにより、ｄＳＢＭが、ＣＩＭ－ＣＡＣよりもアルゴリズム的に優れていると主張しているようである。［２９］の著者らは、多くの問題セットにおいて、実施の実時間ＴＴＳについて論じたが、アルゴリズムの優位性を主張する際に、２つの問題サイズに対するＳＫインスタンスの中央値ＴＴＳ（ＭＶＭ単位）のみを使用した。
ＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムの性能は、離散シミュレート分岐マシン（ｄＳＢＭ）として知られる別のヒューリスティックイジングソルバとも比較され得る。［２７；２９；２８］ＣＩＭと同様に、ｄＳＢＭも、アナログスピンおよび連続動力学を利用して、組合せ最適化問題を解く。［２９］の著者らは、必要な行列ベクトル乗算（ＭＶＭ）の数を解と比較することにより、ｄＳＢＭが、ＣＩＭ－ＣＡＣよりもアルゴリズム的に優れていると主張しているようである。［２９］の著者らは、多くの問題セットにおいて、実施の実時間ＴＴＳについて論じたが、アルゴリズムの優位性を主張する際に、２つの問題サイズに対するＳＫインスタンスの中央値ＴＴＳ（ＭＶＭ単位）のみを使用した。
【0072】
これらの方法を評価するために、解までのＭＶＭ（または同等に、解までの積分時間ステップ）を使用することによって、ｄＳＢＭに対する３つのアルゴリズム（ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣ）の、より詳細な比較が、性能指標として使用され得る。これらのアルゴリズムはすべて、デジタルプラットフォームにおいて実施される場合、計算のボトルネックとして行列ベクトル乗算を伴うため、これは良い比較である。上記で論じたように、イジングエネルギーの計算は、ほとんどの場合、軌道の終了まで残すことができるため、解までのＭＶＭを計算する際には、相互結合項の計算に含まれるＭＶＭのみが考慮される。
【0073】
比較のために使用される問題インスタンスセットは、１）１００個のランダムに生成された８００スピンのＳＫインスタンスのセットを含み得る。このインスタンスセットは、＋１，－１の重みを有する完全に接続されたインスタンス、２）Ｍａｘ－Ｃｕｔ性能のためのベンチマークとして使用されているＧセットインスタンス（ｈｔｔｐｓ：／／ｗｅｂ．ｓｔａｎｆｏｒｄ．ｅｄｕ／ｙｙｙｅ／ｙｙｙｅ／Ｇｓｅｔ／で入手可能）を含む。この比較のために、問題サイズ８００～２０００の５０個のインスタンスが使用され、これらのインスタンスは、変動するエッジ密度を有し、＋１，０の重み、または＋１，０，－１の重みのいずれかを含み、３）別の１０００個のセットは、最悪の場合の性能を評価するために使用される８００スピンおよび１２００スピンのＳＫインスタンスをランダムに生成する。
【0074】
８００スピンのＳＫインスタンスにおける性能を比較するために、ｄＳＢＭアルゴリズムもＧＰＵにおいて実施された。ｄＳＢＭのパラメータは、［２９］においてパラメータに基づいて選択されており、付録Ｄにおいて発見できる。
【0075】
図１２は、３つのアルゴリズム（ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣ）の性能が、８００スピンＳＫインスタンスセットにおけるｄＳＢＭと、インスタンスごとに比較されることを図示している。解までのＭＶＭを評価するために使用される基底状態エネルギーは、４つのアルゴリズムによって発見された最低エネルギーである。４つのアルゴリズムは、すべて同じ最低エネルギーを発見したため、これらが、真の基底状態エネルギーである可能性が高い。４つすべてのシステムのパラメータは、付録Ａにおいて発見することができる。図１２において、８００スピンインスタンスにおいて性能を比較すると、パラメータが最適化されている場合、４つのシステムすべてが、著しく類似した性能を示している。図１２において使用されたパラメータでは、ＣＩＭ－ＳＦＣは、１つのインスタンスで、基底状態を発見できなかったことに留意することが重要である。しかしながら、異なるパラメータが使用される場合、ＣＩＭ－ＳＦＣは、この特定のインスタンスの基底状態も同様に発見するであろう。これは、ＣＩＭ－ＳＦＣは高い性能を達成できるが、パラメータ選択に非常に敏感であることを意味する。
【0076】
ＣＩＭ－ＣＦＣ、ＣＩＭ－ＳＦＣ、およびｄＳＢＭの中央値ＴＴＳ（ＭＶＭ単位）は、ほぼ同一であり、約２×１０5である。さらに、これら３つのアルゴリズムのＴＴＳにおける広がりは、かなり類似している。ＣＩＭ－ＣＡＣは、わずかに悪い（２倍未満悪い）ＴＴＳ中央値を有するが、ＣＩＭ－ＣＡＣが、ｄＳＢＭよりもより良好に実行するインスタンスは、より難しいインスタンスである傾向にあることは注目に値する。これは、４つのアルゴリズムのうち、ＣＩＭ－ＣＡＣが、最悪の場合の性能がわずかに優れている可能性があることを示し得る。このパターンはＧセットでも見られる。
【0077】
全体として、４つのアルゴリズムはすべて、完全に接続されたインスタンスセットに対して同様の性能を示し、どの特定のアルゴリズムがこの問題タイプに対して最も効果的であるかについて結論を下すことは不可能である。中央値ＴＴＳおよび広がりが同様であることに加えて、４つすべてのシステム間では、ＴＴＳに高いレベルの相関がある。これは、インスタンスの難易度がすべてのイジングヒューリスティックの普遍的な特性であること、または、論じられた４つのアルゴリズムに根本的に共通するものがあることを示し得る。付録Ｅは、これら４つのシステム間の類似点および相違点についての詳細な議論を含む。
【0078】
ＣＩＭ－ＳＦＣは、完全に接続された問題インスタンスにおいて良好な性能を示すが、多くのＧセットインスタンスにおいて苦労する。付録Ｄは、この欠陥の部分的な理由を含むが、完全な理由は理解されていない。ＧセットにおけるＣＩＭ－ＳＦＣの結果については、付録Ｄを参照されたい。
【0079】
３つのアルゴリズム（ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびｄＳＢＭ）はすべて、Ｇセットにおいてかなり良好な性能を示すが、３つのアルゴリズムのうち、ＣＩＭ－ＣＡＣがより一貫して効果的なアルゴリズムであるように見える。ＣＩＭ－ＣＡＣおよびｄＳＢＭは、４７／５０インスタンスにおいて、知られている最良のカット値を発見できたが、ＣＩＭ－ＣＦＣは、４５／５０のインスタンスにおいて、知られている最良のカット値を発見した。ｄＳＢＭのＴＴＳを計算するために使用されたシミュレーション時間［２９］が、この比較で使用されたものよりもはるかに長かったことは注目に値する。同じシミュレーション時間を仮定すると、ｄＳＢＭは、おそらく４５／５０のインスタンスしか解くことができなかったであろう。図１３に実証されるように、ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣは、ほとんどのインスタンスでｄＳＢＭよりも（ＭＶＭ単位で）高速である。さらに重要なことに、ｄＳＢＭが高速であるインスタンスのうち、ＣＩＭ－ＣＡＣが、知られている最良のカット値を発見できなかったＧ３７を除き、ｄＳＢＭがＣＩＭ－ＣＡＣよりも大幅に高速である場合はない。一方、我々は、ＣＩＭ－ＣＡＣがｄＳＢＭよりも１桁以上高速であり、多くの問題タイプを考慮した場合、ＣＩＭ－ＣＡＣの方がより信頼性の高いアルゴリズムである１３／５０のインスタンスを認めた。
【0080】
ＣＩＭ－ＣＡＣとＣＩＭ－ＣＦＣとの間の相違は微妙である。２つのシステムの動力学が非常に類似しているため、これは予想されることである。Ｇセットの２つのアルゴリズムの性能は、ほとんどの場合ほぼ同一であるが、一部のより難しいインスタンスでは、ＣＩＭ－ＣＦＣが、知られている最良のカット値を発見できない場合や、ＣＩＭ－ＣＦＣが、大幅に長いＴＳＳを有する場合がある。これは、ＣＩＭ－ＣＡＣが、基本的により有望なアルゴリズムであるか、ＣＩＭ－ＣＦＣの正確なパラメータ選択が必要であることを示す可能性がある。
【0081】
図１２において留意されるように、ＣＩＭ－ＣＡＣの最悪の場合の性能は、ｄＳＢＭの性能よりわずかに優れている可能性がある。これをさらに評価するために、１０００個の８００スピンおよび１２００スピンのＳＫインスタンスの新たなセットが作成された。図１４では、９９％の成功確率を達成するために必要なＭＶＭの数の関数として解かれたインスタンスの数がプロットされている。両方の場合において、ｄＳＢＭは、より少ない数のＭＶＭで、より簡単なインスタンスを解くことができるが、最も難しいインスタンスの場合、ＣＩＭ－ＣＡＣの方が高速である。これは、図１４における２つの曲線の交点を観察することによって理解できる。
【0082】
ほぼすべての場合において、同様の数のＭＶＭが使用された場合、発見された最良のイジングエネルギーは、両方のソルバで同じであった（パラメータについては付録Ａ参照）。しかしながら、Ｎ＝１２００のインスタンスセットにおける２つのインスタンスでは、ＣＡＣによって発見されたイジングエネルギーは、ｄＳＢＭによって発見されなかった。これは、これらのインスタンスで５０，０００のｄＳＢＭ軌道が使用された場合でも当てはまった。
【0083】
我々の結果に基づくと、ｄＳＢＭは、いくつかのより難しいＳＫインスタンスにおいて非常に苦労する可能性があるように見える。しかしながら、これはｄＳＢＭのための準最適なパラメータ選択（ｓｕｂ－ｏｐｔｉｍａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｓｅｌｅｃｔｉｏｎ）の結果である可能性がある。使用されるパラメータ（付録Ａ参照）は、良好な中央値ＴＴＳを有するように、手作業で最適化されたが、最も難しいインスタンスを解きたい場合には、最適なパラメータではない可能性がある。しかしながら、ＣＩＭ－ＣＡＣの場合、ＴＴＳ中央値のために最適なパラメータは、最も難しいインスタンスでも良好に機能するように見える。
【0084】
イジングソルバが、与えられた問題の真の基底状態を発見することを保証するために、最悪の場合の性能が非常に重要である。この目的のために、少なくとも、ランダムに生成されたＳＫインスタンスの場合、ＣＩＭ－ＣＡＣがより根本的に優れたアルゴリズムである可能性がある。他のＣＩＭの修正に関し、これは、当てはまらない可能性がある。特に、ＣＩＭ－ＳＦＣに関し、（図１０に図示されるように）最悪の場合の性能は、ｄＳＢＭおよびＣＩＭ－ＣＡＣよりも大幅に悪い。
【0085】
本明細書で開示される提案されたＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムは、現在のデジタルプラットフォームにおいて実施された場合でも、高速かつ正確なイジングソルバであることが証明されている。この性能は、ｄＳＢＭなどの他の既存のアナログシステムベースのアルゴリズムと非常に類似している。これは、デジタルコンピュータにおけるアナログスピンのシミュレーションが、純粋な離散ヒューリスティックアルゴリズムを上回ることができるか否かという［１１］で提起された疑問を再び提示する。
【0086】
上記の記載は、説明の目的のために、特定の実施形態を参照してなされた。しかしながら、上記の例示的な議論は、網羅的であること、または開示を、開示された正確な形式に限定することは意図されていない。上記の教示を考慮して、多くの修正および変形が可能である。実施形態は、本開示の原理およびその実際の応用を、最もよく説明し、それによって、他の当業者が、企図される特定の使用に適したように、様々な修正を加えて、本開示および様々な実施形態を最大限に利用できるように、選択および説明された。
【0087】
本明細書で開示されるシステムおよび方法は、１つまたは複数のコンポーネント、システム、サーバ、機器、他のサブコンポーネントを介して実施されてもよく、またはそのような要素間で分散されてもよい。システムとして実施される場合、そのようなシステムは、特に、汎用コンピュータにおいて発見されるソフトウェアモジュール、汎用ＣＰＵ、ＲＡＭなどのコンポーネントを含む、および／または、包含し得る。技術革新がサーバ上に存在する実施では、そのようなサーバは、汎用コンピュータにおいて見られるような、ＣＰＵ、ＲＡＭなどのコンポーネントを含むか、または、包含し得る。
【0088】
それに加えて、本明細書のシステムおよび方法は、上述したものを超えて、異種または完全に異なるソフトウェア、ハードウェアおよび／またはファームウェアコンポーネントを用いた実施によって達成され得る。本発明に関連付けられた、または本発明を具体化するそのような他のコンポーネント（たとえば、ソフトウェア、処理コンポーネントなど）および／またはコンピュータ可読媒体に関して、たとえば、本明細書における技術革新の態様は、多数の汎用または特殊目的のコンピューティングシステムまたは構成と一致して実施され得る。本明細書の技術革新を用いた使用に適し得る様々な例示的なコンピューティングシステム、環境、および／または構成は、ソフトウェアや、または、パーソナルコンピュータ、ルーティング／接続コンポーネントのようなサーバまたはサーバコンピューティングデバイス、ハンドヘルドまたはラップトップデバイス、マルチプロセッサシステム、マイクロプロセッサベースのシステム、セットトップボックス、家庭用電子デバイス、ネットワークＰＣ、他の既存のコンピュータプラットフォーム、上記のシステムまたはデバイスの１つまたは複数を含む分散コンピューティング環境などの内部の、または、これらにおいて具体化された他のコンポーネントを含み得るが、これらに限定されない。
【0089】
いくつかのインスタンスでは、システムおよび方法の態様は、たとえば、そのようなコンポーネントまたは回路構成に関連して実行されるプログラムモジュールを含むロジックおよび／またはロジック命令によって達成または実行され得る。一般に、プログラムモジュールは、特定のタスクを実行するか、または本明細書の特定の命令を実施するルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造などを含み得る。本発明はまた、回路構成が、通信バス、回路構成、またはリンクを介して接続される分散ソフトウェア、コンピュータ、または回路設定の状況において実現され得る。分散設定では、メモリストレージデバイスを含むローカルおよびリモートの両方のコンピュータ記憶媒体から、制御／命令が発生する可能性がある。
【0090】
本明細書におけるソフトウェア、回路構成、およびコンポーネントは、１つまたは複数のタイプのコンピュータ可読媒体を含む、および／または、利用することもできる。コンピュータ可読媒体は、そのような回路および／またはコンピューティングコンポーネント上に常駐するか、それらに関連付けられるか、またはそれらによってアクセスできる任意の利用可能な媒体であることができる。限定ではなく例として、コンピュータ可読媒体は、コンピュータ記憶媒体および通信媒体を備え得る。コンピュータ記憶媒体は、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラムモジュール、または他のデータなどの情報を記憶するための任意の方法または技術で実施された揮発性および不揮発性、リムーバブルおよび非リムーバブルな媒体を含む。コンピュータ記憶媒体は、ＲＡＭ、ＲＯＭ、ＥＥＰＲＯＭ、フラッシュメモリまたは他のメモリ技術、ＣＤ－ＲＯＭ、デジタル多用途ディスク（ＤＶＤ）または他の光学媒体、磁気テープ、磁気ディスクストレージまたは他の磁気記憶デバイス、または、所望の情報を格納するために使用でき、コンピューティングコンポーネントによってアクセスできる他の任意の媒体を含むが、これらに限定されない。通信媒体は、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラムモジュール、および／または他のコンポーネントを備え得る。さらに、通信媒体は、有線ネットワークまたは直接有線接続などの有線媒体を含み得るが、本明細書では、そのような種類の媒体は、一時的な媒体を含まない。上記のいずれの組合せも、コンピュータ可読媒体の範囲内に含まれる。
【0091】
本説明において、コンポーネント、モジュール、デバイスなどの用語は、様々な手法で実施され得る任意の種類の論理的または機能的なソフトウェア要素、回路、ブロック、および／またはプロセスを称し得る。たとえば、様々な回路および／またはブロックの機能を他の任意の数のモジュールに組み合わせることができる。各モジュールは、本明細書における技術革新の機能を実施するために中央処理装置によって読み取られる有形メモリ（たとえば、ランダムアクセスメモリ、読取専用メモリ、ＣＤ－ＲＯＭメモリ、ハードディスクドライブなど）に格納されたソフトウェアプログラムとして実施され得る。あるいは、モジュールは、伝送搬送波を介して汎用コンピュータまたは処理／グラフィックハードウェアに伝送されるプログラミング命令を備えることができる。また、モジュールは、本明細書における技術革新によって包含される機能を実施するハードウェア論理回路構成として実施することもできる。最後に、モジュールは、所望されるレベルの性能およびコストを提供する特殊目的命令（ＳＩＭＤ命令）、フィールドプログラマブル論理アレイ、またはそれらの組合せを使用して実施できる。
【0092】
本明細書で開示されるように、本開示と一致する特徴は、コンピュータハードウェア、ソフトウェア、および／またはファームウェアを介して実施され得る。たとえば、本明細書で開示されるシステムおよび方法は、たとえば、データベース、デジタル電子回路構成、ファームウェア、ソフトウェア、またはそれらの組合せも含む、コンピュータなどのデータプロセッサを含む、様々な形態で具体化され得る。さらに、開示された実施のいくつかは、特定のハードウェアコンポーネントを説明しているが、本明細書における技術革新と一致するシステムおよび方法は、ハードウェア、ソフトウェア、および／またはファームウェアの任意の組合せで実施され得る。さらに、本明細書における上述された特徴および他の態様および原理は、様々な環境で実施され得る。そのような環境および関連アプリケーションは、本発明による様々なルーチン、プロセスおよび／または動作を実行するために特別に構築され得るか、または、必要な機能を提供するためにコードによって選択的に起動または再構成される汎用コンピュータまたはコンピューティングプラットフォームを含み得る。本明細書で開示されるプロセスは、本質的に、いかなる特定のコンピュータ、ネットワーク、アーキテクチャ、環境、または他の装置に関連するものではなく、ハードウェア、ソフトウェア、および／またはファームウェアの適切な組合せによって実施され得る。たとえば、本発明の教示に従って記述されたプログラムとともに、様々な汎用マシンが使用され得るか、または、必要な方法および技法を実行するための専用の装置またはシステムを構築することが、より便利であり得る。
【0093】
ロジックなど、本明細書で説明された方法およびシステムの態様は、フィールドプログラマブルゲートアレイ（「ＦＰＧＡ」）、プログラマブルアレイロジック（「ＰＡＬ」）デバイス、電気的プログラマブルロジックおよびメモリデバイス、および標準的なセルベースのデバイスのみならず、特定用途向け集積回路のようなプログラマブルロジックデバイス（「ＰＬＤ」）を含む様々な回路構成のいずれかにプログラムされた機能としても実施され得る。態様を実施するための他のいくつかの可能なものは、メモリデバイス、メモリ付きマイクロコントローラ（ＥＥＰＲＯＭなど）、組込みマイクロプロセッサ、ファームウェア、ソフトウェアなどを含む。さらに、態様は、ソフトウェアベースの回路エミュレーション、離散ロジック（シーケンシャルおよび組合せ）、カスタムデバイス、ファジー（ニューラル）ロジック、量子デバイス、および上記デバイスタイプのいずれかのハイブリッドを有するマイクロプロセッサにおいて具体化され得る。基礎となるデバイス技術は、たとえば、相補型金属酸化膜半導体（「ＣＭＯＳ」）のような金属酸化膜半導体電界効果トランジスタ（「ＭＯＳＦＥＴ」）技術や、エミッタ結合ロジック（「ＥＣＬ」）、ポリマ技術（シリコン共役ポリマや金属共役ポリマ金属構造など）、アナログとデジタルの混合のようなバイポーラ技術など、様々なコンポーネントタイプで提供され得る。
【0094】
本明細書で開示される様々なロジックおよび／または機能は、その振舞い、レジスタ転送、ロジックコンポーネント、および／または、他の特性の観点から、ハードウェア、ファームウェア、および／または、様々なマシン可読またはコンピュータ可読媒体で具体化されるデータおよび／または命令の任意の数の組合せを使用して有効化され得ることにも留意されるべきである。そのようなフォーマットされたデータおよび／または命令が具体化され得るコンピュータ可読媒体は、限定されないが、様々な形式の不揮発性記憶媒体（たとえば、光学、磁気、または半導体記憶媒体）を含むが、繰り返すが、一時的な媒体は含まない。文脈上明らかに別途の必要がない限り、説明全体を通じて、「備える」、「備えている」などの用語は、排他的または網羅的な意味ではなく、包括的な意味、つまり、「含むが、これに限定されない」という意味で解釈されるべきである。単数または複数を使用する単語は、それぞれ複数または単数も含む。それに加えて、「ここに」、「この下に」、「上に」、「下に」という用語、および同様の主旨の用語は、本願全体を参照するものであり、本願の特定の部分を参照するものではない。２つ以上の項目のリストを参照して「または」という単語が使用される場合、その単語は、以下の単語の解釈、すなわち、リスト内の任意の項目、リスト内のすべての項目、およびリスト内の項目の任意の組合せのすべてをカバーする。
【0095】
本発明の現時点で好ましい特定の実施が、本明細書で具体的に説明されたが、本明細書で図示および説明された様々な実施の変形および修正が、本発明の精神および範囲から逸脱することなく行われ得ることは、本発明に関連する当業者に明らかであろう。したがって、本発明は、適用可能な法の規則によって要求される範囲にのみ限定されることが意図されている。
【0096】
上記は、本開示の特定の実施形態を参照して行われたが、本開示の原理および精神、添付の特許請求の範囲によって定義される本発明の範囲から逸脱することなく、この実施形態における変更を行うことができることが当業者に理解されよう。
【0097】
付録Ａ：シミュレーションパラメータの最適化
ここで、我々は、我々の数値実験において使用されたシミュレーションパラメータを要約する。パラメータは、経験的に最適化されているため、必ずしも真の最適値を反映している訳ではない。
ここで、我々は、我々の数値実験において使用されたシミュレーションパラメータを要約する。パラメータは、経験的に最適化されているため、必ずしも真の最適値を反映している訳ではない。
【0098】
図５におけるパラメータ
【0099】
【表1】
【表2】
【表3】
【表4】
【0100】
図１０、図１１、および図１２において使用されるパラメータ
ＣＩＭ－ＣＡＣ
我々のシミュレーションでは、ｘi変数は、各時間ステップにおける範囲
に制限される。パラメータｐおよびパラメータαは、Ｔr時間ステップ中に開始値から終了値まで線形的に調整され、追加のＴp時間ステップでは最終値に維持される。初期値ｘiは、標準偏差１０-4およびｅi＝１のゼロ平均ガウス分布から選択されたランダムな値に設定される。ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が計算される。シミュレーションに使用される実際のパラメータが以下に列挙される。
ＣＩＭ－ＣＡＣ
我々のシミュレーションでは、ｘi変数は、各時間ステップにおける範囲
【数59】
【0101】
【表5】
【0102】
ＣＩＭ－ＣＦＣ
我々のシミュレーションでは、ｘi変数は、［－１．５，１．５］の範囲に限定され、ｅiは、範囲［０．０１，∞］に限定される。パラメータｐは、第１のＴr時間ステップ中に開始値から終了値まで線形的に調整され、追加のＴp時間ステップのために、最終値に維持される。初期値ｘiは、標準偏差０．１およびｅi＝１のゼロ平均ガウス分布から選択されたランダムな値に設定される。ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が計算される。シミュレーションのために使用される実際のパラメータが、以下に列挙される。
我々のシミュレーションでは、ｘi変数は、［－１．５，１．５］の範囲に限定され、ｅiは、範囲［０．０１，∞］に限定される。パラメータｐは、第１のＴr時間ステップ中に開始値から終了値まで線形的に調整され、追加のＴp時間ステップのために、最終値に維持される。初期値ｘiは、標準偏差０．１およびｅi＝１のゼロ平均ガウス分布から選択されたランダムな値に設定される。ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が計算される。シミュレーションのために使用される実際のパラメータが、以下に列挙される。
【0103】
【表6】
ＣＩＭ－ＳＦＣ
このシステムは、数値的により安定しているため、ｘi変数およびｅi変数の限定は必要とされない。パラメータｐ、ｃおよびβは、シミュレーション中に開始値から終了値まで線形的に調整される。初期値ｘiは、標準偏差０．１およびｅi＝０のゼロ平均ガウス分布から選択されたランダムな値に設定される。ＴＴＳを評価するために、インスタンスごとに３２００の軌道が計算される。シミュレーションのために使用される実際のパラメータが、以下に列挙される。
【0104】
【表7】
【0105】
上記のパラメータに加えて、相互結合項の正規化係数ξを
として選択することが重要である［３１］。
【数60】
【0106】
この選択は、ＣＩＭ－ＳＦＣにおける成功裡の性能のために重要であるが、ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣでは重要ではない。それに加えて、図１０および図１１において、すべての問題サイズに対して、我々は同じ数の時間ステップを使用していることに留意することが重要である。問題サイズが小さいほど、最適な時間ステップの数は小さくなる可能性が高いため、時間ステップ数が問題サイズごとに個別に最適化された場合のＴＴＳのスケーリングは、報告されたスケーリングよりも、わずかに悪化する可能性がある。しかしながら、我々は、その相違がそれほど重要になるとは考えていない。異なるパラメータが選択された場合のＣＩＭ－ＣＡＣのＴＴＳのスケーリングについては、付録Ｃを参照されたい。
【0107】
【0108】
図１４において使用されるパラメータ
Ｎ＝８００のためのパラメータは、図１２のためのパラメータと同じである。Ｎ＝１２００のためのパラメータが、以下に図示される。Ｎ＝１２００のために使用される軌道の数は、ほとんどのインスタンスで３２００であったが、成功確率を正確に評価するために、両アルゴリズムについて、１０の最も難しいインスタンスに対して、１００００～５００００の軌道が計算された。また、Ｎ＝１２００の場合の難しさのため、我々は、真の基底状態が発見されたか否かあまり確信がない。
Ｎ＝８００のためのパラメータは、図１２のためのパラメータと同じである。Ｎ＝１２００のためのパラメータが、以下に図示される。Ｎ＝１２００のために使用される軌道の数は、ほとんどのインスタンスで３２００であったが、成功確率を正確に評価するために、両アルゴリズムについて、１０の最も難しいインスタンスに対して、１００００～５００００の軌道が計算された。また、Ｎ＝１２００の場合の難しさのため、我々は、真の基底状態が発見されたか否かあまり確信がない。
【0109】
ＣＩＭ－ＣＡＣ
【表9】
【0110】
ｄＳＢＭ
【表10】
【0111】
数値積分
（ｄＳＢＭを除く）すべての場合において積分にオイラーステップが使用される。上記で説明したように、数値の安定性を保証するために、我々は、ｘi変数の範囲を制限する。これは性能のためには必要ないが、成功確率を損なうことなく積分時間ステップを２倍または３倍増加させることができる。図１５において、我々は、制限付きシステムと制限なしシステムとの両方について、時間ステップに対するＣＩＭ－ＣＡＣの成功確率を示す。
（ｄＳＢＭを除く）すべての場合において積分にオイラーステップが使用される。上記で説明したように、数値の安定性を保証するために、我々は、ｘi変数の範囲を制限する。これは性能のためには必要ないが、成功確率を損なうことなく積分時間ステップを２倍または３倍増加させることができる。図１５において、我々は、制限付きシステムと制限なしシステムとの両方について、時間ステップに対するＣＩＭ－ＣＡＣの成功確率を示す。
【0112】
ＣＩＭ－ＣＦＣに関するセクション５における結果は、この数値制限を使用しておらず、セクション５におけるＣＩＭは、物理マシンが意図され、０．２の時間ステップが使用される。
【0113】
付録Ｂ：Ｇセットのシミュレーション結果
図１３におけるｄＳＢＭの結果は、［２９］におけるｄＳＢＭのＧＰＵ実施から直接取得される。表３におけるＴＴＳの単位は、解までの時間ステップ、または同等に、解までのＭＶＭである。我々のシミュレーションでは、インスタンスの難易度に応じて、ＴＴＳを評価するために３２００、１００００または３２０００のいずれかの軌道が生成された。太字の数字は、３つのアルゴリズムの中で最も優れたＴＴＳである。
図１３におけるｄＳＢＭの結果は、［２９］におけるｄＳＢＭのＧＰＵ実施から直接取得される。表３におけるＴＴＳの単位は、解までの時間ステップ、または同等に、解までのＭＶＭである。我々のシミュレーションでは、インスタンスの難易度に応じて、ＴＴＳを評価するために３２００、１００００または３２０００のいずれかの軌道が生成された。太字の数字は、３つのアルゴリズムの中で最も優れたＴＴＳである。
【0114】
ＧセットのためのＣＩＭ－ＣＡＣパラメータ
変数は、付録Ａで説明されているように制限されており、初期条件も同様に設定される。以下のパラメータは、すべてのＧセットインスタンスについて同じである。
変数は、付録Ａで説明されているように制限されており、初期条件も同様に設定される。以下のパラメータは、すべてのＧセットインスタンスについて同じである。
【表11】
【0115】
一方、各フェーズで使用されるパラメータｐ、ΔＴ、および時間ステップ数は、以下のようにインスタンスタイプによって選択される。
【表12】
【0116】
ＧセットのためのＣＩＭ－ＣＦＣパラメータ
変数は、付録Ａで説明されているように制限されており、初期条件も同様に設定される。以下のパラメータは、すべてのＧセットインスタンスについて同じである。
変数は、付録Ａで説明されているように制限されており、初期条件も同様に設定される。以下のパラメータは、すべてのＧセットインスタンスについて同じである。
【表13】
【0117】
一方、各フェーズで使用されるパラメータｐ、ΔＴ、および時間ステップの数は、以下のように、インスタンスタイプによって選択される。
【表14】
【0118】
付録Ｃ：パラメータ選択の理由
パラメータは、大部分が数値的に選択されるが、ｐ、α、βの選択は、以下のように理解できる。探索プロセス中にＣＩＭ－ＣＡＣが到達する平均残留エネルギーは、次の式によって大まかに推定できることが観察されている。[11]
パラメータは、大部分が数値的に選択されるが、ｐ、α、βの選択は、以下のように理解できる。探索プロセス中にＣＩＭ－ＣＡＣが到達する平均残留エネルギーは、次の式によって大まかに推定できることが観察されている。[11]
【0119】
【数61】
【0120】
ここで、Ｋは、問題タイプおよびサイズにのみ依存する定数である。この式は基本的に、システムの有効サンプリング温度を予測する（ただし、分布は、正確なボルツマン分布ではない可能性がある）。この根本原理に基づいて、我々は、アニーリング効果を生み出すために「システム温度」を徐々に下げる。これがｐおよびαを増加させる動機である。異なるＧセットインスタンスにおけるｐの範囲の異なる選択は、最大カット問題の構造に応じて、定数Ｋについて大きく異なる値を反映している。より一般的な設定では、Ｋの値は、問題タイプに基づいて予測できるため、それに応じてｐおよびαの範囲を選択できる。検証されていないが、同様の式がＣＩＭ－ＣＦＣにも当てはまる可能性が高いため、ＣＩＭ－ＣＦＣのパラメータも同じ手法で選択される。
【0121】
問題サイズに関する最適なパラメータ（ＣＩＭ－ＣＡＣ）
図１６において、我々は、パラメータが線形的に調整される場合（青影）と比較して、パラメータが固定されている場合（赤影）のスケーリングの相違が分かる。それに加えて、問題サイズが大きい場合、我々は、良好な結果を得るために、長いアニール時間を必要とするので、最適なアニール時間（言い換えれば、最適な調整速度）は、問題サイズに応じて変化する。このパターンは、Ｇセットのパラメータを選択するときにも使用された。
図１６において、我々は、パラメータが線形的に調整される場合（青影）と比較して、パラメータが固定されている場合（赤影）のスケーリングの相違が分かる。それに加えて、問題サイズが大きい場合、我々は、良好な結果を得るために、長いアニール時間を必要とするので、最適なアニール時間（言い換えれば、最適な調整速度）は、問題サイズに応じて変化する。このパターンは、Ｇセットのパラメータを選択するときにも使用された。
【0122】
図１６は、ＭＦＢ－ＣＩＭ（［３１］参照）におけるＣＩＭ－ＣＡＣのためにガウス量子モデルを使用して作成されたが、ｇ2＝１０-4が使用されているため、このモデルと、本書で論じられている無ノイズモデルとの性能の相違は重要ではない。図１６では、０．０１の時間ステップが使用されていることにも留意されたい。これが、図１６におけるＴＴＳが、０．１２５の時間ステップが使用された本書で論じられた結果よりも１桁長い理由である。
【0123】
付録Ｄ：ＧセットにおけるＣＩＭ－ＳＦＣの結果および考察
ＣＩＭ－ＳＦＣに関する現在の理解に基づくと、｜ｃｚi｜＞＞０およびｔａｎｈ（ｃｚi）≒ｓｉｇｎ（ｃｚi）であるとき、項ｔａｎｈ（ｃｚi）が、ｃｚi≒０およびｔａｎｈ（ｃｚi）≒ｃｚiである場合の「ソフトスピン」モードから、「離散スピン」モードへ遷移することが非常に重要である。これは、ランダムに選択されたスピン構成に対してｚiが平均して約
ＣＩＭ－ＳＦＣに関する現在の理解に基づくと、｜ｃｚi｜＞＞０およびｔａｎｈ（ｃｚi）≒ｓｉｇｎ（ｃｚi）であるとき、項ｔａｎｈ（ｃｚi）が、ｃｚi≒０およびｔａｎｈ（ｃｚi）≒ｃｚiである場合の「ソフトスピン」モードから、「離散スピン」モードへ遷移することが非常に重要である。これは、ランダムに選択されたスピン構成に対してｚiが平均して約
【0124】
【数62】
【0125】
一部のＧセットインスタンス、特に平面グラフインスタンスでは、一部のノードの次数がはるかに大きいため、我々が、どのような正規化係数ξを使用しても、ｃｚiはある場合には大きすぎ、別の場合には小さすぎることになる。これが、ＣＩＭ－ＳＦＣが多くのＧセットインスタンス、特に平面グラフにおいて苦労する理由の１つであり得る。これは、ｄＳＢＭが、良好な結果を得るために、同じ正規化係数に依存しているため、ｄＳＢＭが、平面グラフにおいて苦労する理由である可能性もある。ＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣは、ΣjＪijσjの様々な値を自動的に補償するため、この正規化係数を必要とせず、これが、平面グラフで良好な動作をする理由である可能性がある。
【0126】
一方、トロイダルグラフの場合、これらのグラフのために、ΣjＪijσjは、５つの異なる値しか取り得ることができないので、その逆もある。これは、ＣＩＭ－ＳＦＣの場合、「ソフトスピン」から「離散スピン」への移行が非常に迅速であることを意味している可能性があるので、我々は、これらのグラフで良好な結果を得るために、パラメータを慎重に調整する必要がある。
【0127】
アナログ／離散遷移に関するこの観察は、Ｇセットでの悪い結果を部分的に説明する可能性があるが、これは十分な説明ではない。たとえば、ＣＩＭ－ＳＦＣは、各ノードが同様の接続性を有しているため、上記の特性を有していない一部のランダムグラフ（Ｇ９など）において苦労する。
【0128】
以下は、ＧセットにおけるＣＩＭ－ＳＦＣの結果と、使用されたパラメータである（すべてのインスタンスがテストされた訳ではない）。
【0129】
ＧセットにおけるＣＩＭ－ＳＦＣの結果
【表15】
【0130】
インスタンスＧ１４～Ｇ２１（８００ノードの平面グラフ）およびＧ５１～Ｇ５４（１０００ノードの平面グラフ）の場合、ＣＩＭ－ＳＦＣは、ゼロまたはゼロ以外の非常に小さな成功確率を示す。２０００ノードのインスタンスは、まだテストされていない。
【0131】
ＧセットにおけるＣＩＭ－ＳＦＣのパラメータ
共通パラメータ
ｐ｜－１．０→１．０
共通パラメータ
ｐ｜－１．０→１．０
【0132】
問題タイプによって選択されるパラメータ
【表16】
【0133】
ＣＩＭ－ＳＦＣのパラメータは実験的に選択され、パラメータが、性能および動力学にどのように影響するかについての理解は、限られている。我々は、このシステムがさらに徹底的に研究されたら、我々は、多くの異なる問題タイプで良好な性能が保証されるようにパラメータを選択する、より体系的な方法が見つかることを願っている。
【0134】
付録Ｅ：ＣＩＭアルゴリズムとＳＢＭアルゴリズムとの類似点および相違点
連続アナログ動力学を使用して、離散最適化問題を解くことは、幾分新しい概念であり、これらの異なるアプローチを比較することは興味深い。[13,11,29]この付録において、我々は、３つのＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムとＳＢＭアルゴリズムとの類似点および相違点について簡単に論じる。
連続アナログ動力学を使用して、離散最適化問題を解くことは、幾分新しい概念であり、これらの異なるアプローチを比較することは興味深い。[13,11,29]この付録において、我々は、３つのＣＩＭ－ｉｎｓｐｉｒｅｄアルゴリズムとＳＢＭアルゴリズムとの類似点および相違点について簡単に論じる。
【0135】
セクション６で論じられた４つすべてのシステムである、ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＳＦＣ、およびｄＳＢＭは、元々は、同じ基本原理によって動機付けられた［１０，２７］：
関数
関数
【0136】
【数63】
【0137】
元のＣＩＭアルゴリズムでは、ｐを増加させることによってＨが変形される間、勾配降下法を使用してＨの極小値を発見する。このシステムには、２つの大きな欠点がある［１０］：
１．極小値が安定している。
２．振幅の不均一性により、イジング問題のコスト関数へのマッピングは正しくない。
１．極小値が安定している。
２．振幅の不均一性により、イジング問題のコスト関数へのマッピングは正しくない。
【0138】
セクション６において論じられた４つのアルゴリズムはすべて、これら２つの欠点を克服することを目的とした元のＣＩＭアルゴリズムの修正として考えることができる。[11,27,28,29]３つのアルゴリズムすべてにおいて、第１の欠点は、システムに新たな自由度を追加することによって解消され、Ｎ個のスピンに対してＮ個だけではなく、２Ｎ個のアナログ変数が存在するようになった。ＳＢＭでは、これは位置ベクトルｘiと、速度／運動量ベクトルｙiとの両方を含めることによって行われるが、我々は、修正されたＣＩＭアルゴリズムに、補助変数ｅiを追加する。
【0139】
第２の欠点を解消するために、ｄＳＢＭのクリエータは、離散化および「非弾性壁」を追加したが、ＣＩＭ－ＣＦＣおよびＣＩＭ－ＳＦＣでは、この離散化は必要ない。３つのアルゴリズムはすべて、異なるメカニズムを使用して、システムが、イジングハミルトニアンの極小値（軌道の終了中）においてのみ固定点を有することを保証するが、これは、しばしば、元のＣＩＭアルゴリズムには当てはまらない。これらのシステムは、基本的に非常に類似しているので、システムがデジタルアルゴリズムと同様の性能を達成できることは、それほど驚くべきことではない。
【0140】
また、我々は、ｄＳＢＭが良好な性能を達成するには、システムを不連続にする離散化および非弾性壁を使用する必要があることにも留意したい。これは、離散プロセスを好むデジタルプラットフォームにおいて実施する場合には非常に好ましいが、これらのアルゴリズムを、アナログ物理プラットフォームにおいて実施する場合には、好ましくない。一方、ＣＩＭ－ＣＡＣ、ＣＩＭ－ＣＦＣ、およびＣＩＭ－ＳＦＣでは、システムが連続的に進化するため、本書で提案される光ＣＩＭアーキテクチャのようなアナログ実施のためにより適している。
【0141】
ＣＩＭと、［２９］においてａＳＢＭと命名された［２７］における元の分岐マシンとの興味深い１つの相違点は、ａＳＢＭが完全に単一の無散逸システムであることである。このため、ある種の散逸緩和に依存する散逸ＣＩＭや、（シミュレーションされたアニーリングまたはブレークアウトローカル探索［１４］のような）他のイジングヒューリスティックとは異なり、ａＳＢＭは、（量子アニーリングと同様に）計算の断熱進行（ａｄｉａｂａｔｉｃ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ）に依存する。しかしながら、［２９］では、新しいＳＢＭアルゴリズムは、非弾性壁を追加することによって、この断熱進行の概念から逸脱しており、そのため、新しい分岐マシンは、経時的に情報が失われる散逸システムとなる。本書で論じられたアルゴリズムの高い性能をシステムが達成するために、散逸が実際に必要か否かを理解しようとすることは興味深いであろう。たとえば、振幅不均一性の問題を解消しながら、断熱性を維持する別の手法で、ａＳＢＭを修正することができる。これが可能であるか否かは、本書の範囲を超えている。
【0142】
付録Ｆ：ＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施
図１７は、図６に図示されるＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの光学的実施と同様のＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施を図示している。フィードバック信号
は、減衰係数
を用いて、ＰＳＡeによって、（増幅ではなく）減増幅され、ここで、
は、
である光学的ホモダイン測定結果である。このフィードバック信号は、その後、ＢＳiを介してメインキャビティ内の信号パルスｘiに再び注入される。ファンイン回路出力
の一部は、遅延時間ＮTを有する遅延線ＤＬeによって遅延され、（メインキャビティ内部の）誤りパルスｅiと結合される。これは、式（８）における項
を実施する。式（８）のＲ．Ｈ．Ｓに関する項
は、メインキャビティの位相感応増幅器ＰＳＡeによって実施される。これも減増幅プロセスである。最後に、誤り訂正信号の振幅
が、標準的な光学的遅延線を備えたメインキャビティの内部で、信号パルスｘiに結合される。
図１７は、図６に図示されるＣＩＭ－ＣＡＣおよびＣＩＭ－ＣＦＣの光学的実施と同様のＣＩＭ－ＳＦＣの光学的実施を図示している。フィードバック信号
【数64】
【数65】
【数66】
【数67】
【数68】
【数69】
【数70】
【数71】
【図1A】
【図1B】
【図1C】
【図2A】
【図2B】
【図2C】
【図2D】
【図2E】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6A】
【図6B】
【図6C】
【図7】
【図8】
【図9】
【図10】
【図11】
【図12】
【図13】
【図14】
【図15】
【図16】
【図16-1】
【図17】
【国際調査報告】