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(19)【発行国】日本国特許庁(JP)
(12)【公報種別】公開特許公報(A)
(11)【公開番号】P2025004340
(43)【公開日】2025-01-15
(54)【発明の名称】ノイズ除去装置、ノイズ除去方法及びプログラム
(51)【国際特許分類】
G06F 17/10 20060101AFI20250107BHJP
【ＦＩ】
G06F17/10 Z
【審査請求】未請求
【請求項の数】8
【出願形態】ＯＬ
(21)【出願番号】P 2023103963
(22)【出願日】2023-06-26
(71)【出願人】
【識別番号】000004226
【氏名又は名称】日本電信電話株式会社
(71)【出願人】
【識別番号】504176911
【氏名又は名称】国立大学法人大阪大学
(74)【代理人】
【識別番号】110001634
【氏名又は名称】弁理士法人志賀国際特許事務所
(72)【発明者】
【氏名】坂東 幸浩
(72)【発明者】
【氏名】高村 誠之
(72)【発明者】
【氏名】田中 雄一
(72)【発明者】
【氏名】高波 圭吾
【テーマコード（参考）】
5B056
【Ｆターム（参考）】
5B056BB42
5B056GG03
(57)【要約】
【課題】ノイズ除去の観点でグラフ構造を最適化しつつ、ノイズ除去問題を求解することで、マルチモーダル信号からノイズを除去する。
【解決手段】観測信号行列の列ごとの観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、第１グラフによって表した場合に、第１グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、観測信号行列の行ごとの観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、第２グラフによって表した場合に、第２グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、第１グラフと第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した隣接行列に基づいて観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、Ｋ個の観測信号行列を適用して、観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する。
【選択図】図１
【解決手段】観測信号行列の列ごとの観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、第１グラフによって表した場合に、第１グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、観測信号行列の行ごとの観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、第２グラフによって表した場合に、第２グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、第１グラフと第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した隣接行列に基づいて観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、Ｋ個の観測信号行列を適用して、観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する。
【選択図】図１
【特許請求の範囲】
【請求項1】
空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成部と、
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成部が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理部と、
を備えるノイズ除去装置。
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成部が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理部と、
を備えるノイズ除去装置。
【請求項2】
前記演算式は、
前記第１目的関数から導かれる第１ノイズ除去式であって、前記第１グラフの隣接行列によって定められ、前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号からノイズを除去した第１ノイズ除去信号を算出する第１ノイズ除去式と、
前記第２目的関数から導かれる第２ノイズ除去式であって、前記第２グラフの隣接行列によって定められ、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号からノイズを除去した第２ノイズ除去信号を算出する第２ノイズ除去式と、
前記第１目的関数から導かれる第１隣接行列算出式であって、前記第１ノイズ除去信号によって定められ、前記第１グラフの隣接行列の算出に用いられる第１隣接行列算出式と、
前記第２目的関数から導かれる第２隣接行列算出式であって、前記第２ノイズ除去信号によって定められ、前記第２グラフの隣接行列の算出に用いられる第２隣接行列算出式と、
である、
請求項１に記載のノイズ除去装置。
前記第１目的関数から導かれる第１ノイズ除去式であって、前記第１グラフの隣接行列によって定められ、前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号からノイズを除去した第１ノイズ除去信号を算出する第１ノイズ除去式と、
前記第２目的関数から導かれる第２ノイズ除去式であって、前記第２グラフの隣接行列によって定められ、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号からノイズを除去した第２ノイズ除去信号を算出する第２ノイズ除去式と、
前記第１目的関数から導かれる第１隣接行列算出式であって、前記第１ノイズ除去信号によって定められ、前記第１グラフの隣接行列の算出に用いられる第１隣接行列算出式と、
前記第２目的関数から導かれる第２隣接行列算出式であって、前記第２ノイズ除去信号によって定められ、前記第２グラフの隣接行列の算出に用いられる第２隣接行列算出式と、
である、
請求項１に記載のノイズ除去装置。
【請求項3】
前記演算処理部は、
第１入力配列から前記第１隣接行列算出式を生成し、生成した前記第１隣接行列算出式を用いて前記第１グラフの隣接行列を算出し、算出した前記第１グラフの隣接行列に基づいて前記第１ノイズ除去式を生成し、第２入力配列を前記観測信号行列と同一の形式のＫ個の行列に分割し、分割した行列の各々の列ベクトルである前記第１ノイズ除去信号の各々を、生成した前記第１ノイズ除去式に代入して、新たな第１ノイズ除去信号を算出し、算出した新たな前記第１ノイズ除去信号を列ベクトルとして含む配列であって、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列と同一の形式の出力配列を生成する第１演算部と、
第１入力配列から前記第２隣接行列算出式を生成し、生成した前記第２隣接行列算出式を用いて前記第２グラフの隣接行列を算出し、第２入力配列を前記観測信号行列と同一の形式のＫ個の行列に分割し、分割した行列の各々の転置行列の列ベクトルである前記第２ノイズ除去信号の各々を、生成した前記第２ノイズ除去式に代入して、新たな第２ノイズ除去信号を算出し、算出した新たな前記第２ノイズ除去信号を転置して得られるベクトルを行ベクトルとして含む配列であって、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列と同一の形式の出力配列を生成する第２演算部と、
前記第１演算部の第１入力配列及び第２入力配列と、前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列とに適用する配列を、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列である初期配列、前記第１演算部が生成する出力配列、前記第２演算部が生成する出力配列の中から選択し、前記第１演算部と、前記第２演算部に処理を行わせて、前記原信号を取得する演算制御部と、
をさらに備える、
請求項２に記載のノイズ除去装置。
第１入力配列から前記第１隣接行列算出式を生成し、生成した前記第１隣接行列算出式を用いて前記第１グラフの隣接行列を算出し、算出した前記第１グラフの隣接行列に基づいて前記第１ノイズ除去式を生成し、第２入力配列を前記観測信号行列と同一の形式のＫ個の行列に分割し、分割した行列の各々の列ベクトルである前記第１ノイズ除去信号の各々を、生成した前記第１ノイズ除去式に代入して、新たな第１ノイズ除去信号を算出し、算出した新たな前記第１ノイズ除去信号を列ベクトルとして含む配列であって、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列と同一の形式の出力配列を生成する第１演算部と、
第１入力配列から前記第２隣接行列算出式を生成し、生成した前記第２隣接行列算出式を用いて前記第２グラフの隣接行列を算出し、第２入力配列を前記観測信号行列と同一の形式のＫ個の行列に分割し、分割した行列の各々の転置行列の列ベクトルである前記第２ノイズ除去信号の各々を、生成した前記第２ノイズ除去式に代入して、新たな第２ノイズ除去信号を算出し、算出した新たな前記第２ノイズ除去信号を転置して得られるベクトルを行ベクトルとして含む配列であって、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列と同一の形式の出力配列を生成する第２演算部と、
前記第１演算部の第１入力配列及び第２入力配列と、前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列とに適用する配列を、前記Ｋ個の観測信号行列によって形成される配列である初期配列、前記第１演算部が生成する出力配列、前記第２演算部が生成する出力配列の中から選択し、前記第１演算部と、前記第２演算部に処理を行わせて、前記原信号を取得する演算制御部と、
をさらに備える、
請求項２に記載のノイズ除去装置。
【請求項4】
前記演算制御部は、
前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列を、前記初期配列として、前記第２演算部に初回の処理を行わせた後、前記第１演算部の処理として、直近で処理が行われた前記第２演算部が生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列及び第２入力配列とする処理と、２回目以降の前記第２演算部の処理では、前記第２演算部の第１入力配列を、直近で処理が行われた前記第１演算部が生成する出力配列とし、前記第２演算部の第２入力配列を前記初期配列とする処理とを、前記第１演算部と、前記第２演算部とに交互に行わせて、前記第１演算部が所定回数、処理を行った際に生成する出力配列を、前記原信号を含む配列とする、
請求項３に記載のノイズ除去装置。
前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列を、前記初期配列として、前記第２演算部に初回の処理を行わせた後、前記第１演算部の処理として、直近で処理が行われた前記第２演算部が生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列及び第２入力配列とする処理と、２回目以降の前記第２演算部の処理では、前記第２演算部の第１入力配列を、直近で処理が行われた前記第１演算部が生成する出力配列とし、前記第２演算部の第２入力配列を前記初期配列とする処理とを、前記第１演算部と、前記第２演算部とに交互に行わせて、前記第１演算部が所定回数、処理を行った際に生成する出力配列を、前記原信号を含む配列とする、
請求項３に記載のノイズ除去装置。
【請求項5】
前記演算制御部は、
前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列を、前記初期配列として、前記第２演算部に初回の処理を行わせた後、直近で前記第２演算部が生成する出力配列を、前記第２演算部の第１入力配列とし、前記第２演算部の第２入力配列を前記初期配列とする処理を、第２の所定回数、前記第２演算部に行わせ、
前記第２演算部が、前記第２の所定回数、処理を行って、最後に生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列、第２入力配列として、前記第１演算部に初回の処理を行わせた後、直近で前記第１演算部が生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列とし、前記第１演算部の第２入力配列を、初回の前記第１演算部の第２入力配列とする処理を、第１の所定回数、繰り返し前記第１演算部に行わせ、
前記第１演算部が、前記第１の所定回数、処理を行って、最後に生成する出力配列を、前記原信号を含む配列とする、
請求項３に記載のノイズ除去装置。
前記第２演算部の第１入力配列及び第２入力配列を、前記初期配列として、前記第２演算部に初回の処理を行わせた後、直近で前記第２演算部が生成する出力配列を、前記第２演算部の第１入力配列とし、前記第２演算部の第２入力配列を前記初期配列とする処理を、第２の所定回数、前記第２演算部に行わせ、
前記第２演算部が、前記第２の所定回数、処理を行って、最後に生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列、第２入力配列として、前記第１演算部に初回の処理を行わせた後、直近で前記第１演算部が生成する出力配列を、前記第１演算部の第１入力配列とし、前記第１演算部の第２入力配列を、初回の前記第１演算部の第２入力配列とする処理を、第１の所定回数、繰り返し前記第１演算部に行わせ、
前記第１演算部が、前記第１の所定回数、処理を行って、最後に生成する出力配列を、前記原信号を含む配列とする、
請求項３に記載のノイズ除去装置。
【請求項6】
前記第１演算部は、
前記第１入力配列から前記第１グラフに対応するペアワイズ距離行列を算出し、算出した前記ペアワイズ距離行列から前記第１隣接行列算出式を生成し、
前記第１隣接行列算出式に、主－双対近接分離法を適用して、前記第１グラフの隣接行列を算出し、
前記第２演算部は、
前記第１入力配列から前記第２グラフに対応するペアワイズ距離行列を算出し、算出した前記ペアワイズ距離行列から前記第２隣接行列算出式を生成し、
前記第２隣接行列算出式に、主－双対近接分離法を適用して、前記第２グラフの隣接行列を算出する、
請求項３から請求項５のいずれか一項に記載のノイズ除去装置。
前記第１入力配列から前記第１グラフに対応するペアワイズ距離行列を算出し、算出した前記ペアワイズ距離行列から前記第１隣接行列算出式を生成し、
前記第１隣接行列算出式に、主－双対近接分離法を適用して、前記第１グラフの隣接行列を算出し、
前記第２演算部は、
前記第１入力配列から前記第２グラフに対応するペアワイズ距離行列を算出し、算出した前記ペアワイズ距離行列から前記第２隣接行列算出式を生成し、
前記第２隣接行列算出式に、主－双対近接分離法を適用して、前記第２グラフの隣接行列を算出する、
請求項３から請求項５のいずれか一項に記載のノイズ除去装置。
【請求項7】
空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成ステップと、
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成ステップにより生成されたＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理ステップと、
を含むノイズ除去方法。
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成ステップにより生成されたＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理ステップと、
を含むノイズ除去方法。
【請求項8】
コンピュータを、
空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成手段、
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成手段が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理手段、
として機能させるためのプログラム。
空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成手段、
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成手段が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理手段、
として機能させるためのプログラム。
【発明の詳細な説明】
【技術分野】
【0001】
本発明は、ノイズ除去装置、ノイズ除去方法及びプログラムに関する。
【背景技術】
【0002】
信号復元とは、ノイズや欠損によって劣化した観測信号から元の信号を復元することである。実世界では、観測信号にはノイズや欠損が多く存在するため、信号復元問題は重要なタスクとして研究が続けられている。例として、音声信号、画像信号、映像信号などに対する信号復元問題が広く研究されている。
【0003】
センサネットワーク、交通網、点群などから得られる信号は、空間的な相互接続関係を有する。このような接続関係は、頂点と辺を用いたグラフとして表現することができる。このように、グラフとして表現することができる信号に対する信号処理技術として、グラフ信号処理（Graph Signal Processing: GSP）技術が知られており、この技術を用いることで、頂点領域に存在する信号であるグラフ信号を、数理的に解析することが可能になる。例えば、この技術を用いることにより、複雑なネットワークの変化を考慮した処理などが可能になる。
【0004】
ところで、空間内の複数の観測位置における観測、より具体的には、センサ等を用いた計測などによって得られる観測信号は、光、音、距離など、複数ドメインで観測された信号からなるマルチモーダル信号となることが多い。マルチモーダル信号の各モダリティは互いに相関を有することを期待することができる。そのため、ドメイン間、すなわちモダリティ間の関係は、各モダリティを頂点、モダリティ間の関係性を辺としたモダリティグラフ（Modality graph）によって数理的に表現することができる。これに対して、各観測位置は、上記したように、空間的に相関があるため、観測位置間の関係は、各観測位置を頂点、観測位置間の関係性を辺とした空間グラフ（Spatial graph）によって数理的に表現することができる。
【0005】
マルチモーダル信号は通常の信号と同様に、観測の際にノイズが重畳するため、このノイズを除去する必要がある。上記したグラフ信号処理技術の分野において、ノイズ除去問題という問題が知られており、この問題は、サンプル間の接続関係を利用して、ノイズを含んだ観測信号から未知の原信号を求めることを目的とする問題である。このグラフ信号のノイズ除去問題をマルチモーダル信号に対して設定し、空間グラフとモダリティグラフの２種類のグラフを利用して、マルチモーダル信号からノイズを除去して、原信号を求める手法が提案されている（例えば、非特許文献１参照）。
【先行技術文献】
【非特許文献】
【0006】
【非特許文献1】Masatoshi Nagahama and Yuichi Tanaka, ”Multimodal Graph Signal Denoising Via Twofold Graph Smoothness Regularization with Deep Algorithm Unrolling”, 2022 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP), 2022, pp. 5862-5866.
【発明の概要】
【発明が解決しようとする課題】
【0007】
上記したグラフ信号のノイズ除去問題では、グラフが明に与えられていない場合も多い。このような場合、効果的な解析を行うために、観測信号から適切なグラフを推定する必要がある。しかしながら、非特許文献１に開示されている技術では、グラフの構造は、発見的、言い換えると、明確な数理的な根拠なく、適宜与えるようにしており、ノイズ除去の観点で、最適化されていないという問題がある。
【0008】
本発明は、ノイズ除去の観点でグラフ構造を最適化しつつ、ノイズ除去問題を求解することで、マルチモーダル信号からノイズを除去することができるノイズ除去装置、ノイズ除去方法及びプログラムを提供することにある。
【課題を解決するための手段】
【0009】
本発明の一態様は、空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成部と、前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成部が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理部と、を備えるノイズ除去装置である。
【0010】
本発明の一態様は、空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成ステップと、
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成ステップにより生成されたＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理ステップと、を含むノイズ除去方法である。
前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成ステップにより生成されたＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理ステップと、を含むノイズ除去方法である。
【0011】
本発明の一態様は、コンピュータを、空間における複数の観測位置の各々において、複数のドメインの各々によって、Ｋ回（ただし、Ｋは、２以上の整数）の観測回数により得られる観測位置数×ドメイン数×Ｋ個の観測信号値を、前記観測位置と前記ドメインの何れか一方を、行とし、他方を列として並べて、Ｋ個の観測信号行列を生成する行列生成手段、前記観測信号行列の列ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の列に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第１グラフによって表した場合に、前記第１グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第１目的関数と、前記観測信号行列の行ごとの前記観測信号値で形成される観測信号からノイズを除去した原信号を、前記観測信号行列の行に含まれる前記観測信号値の数の頂点を有する第２グラフによって表した場合に、前記第２グラフ上で前記原信号は滑らかになるという仮定に基づいて定めた第２目的関数とから導かれる演算式であって、前記第１グラフと前記第２グラフの各々の隣接行列とを最適化し、最適化した前記隣接行列に基づいて前記観測信号からノイズを除去する演算を行う演算式に、前記行列生成手段が生成するＫ個の前記観測信号行列を適用して、前記観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する演算処理手段、として機能させるためのプログラムである。
【発明の効果】
【0012】
本発明により、ノイズ除去の観点でグラフ構造を最適化しつつ、ノイズ除去問題を求解することで、マルチモーダル信号からノイズを除去することができる。
【図面の簡単な説明】
【0013】
【図1】第１の実施形態のノイズ除去装置の構成を示すブロック図である。
【図2】第１の実施形態の行列生成部が生成する観測信号配列を示す図である。
【図3】第１の実施形態のノイズ除去装置による処理の流れを示すフローチャートである。
【図4】第１の実施形態のモダリティ演算部による処理の流れを示すフローチャートである。
【図5】第１の実施形態の空間演算部による処理の流れを示すフローチャートである。
【図6】第１の実施形態のノイズ除去装置による処理をプログラムの形式で示す図である。
【図7】第２の実施形態のノイズ除去装置の構成を示すブロック図である。
【図8】第２の実施形態のノイズ除去装置による処理の流れを示すフローチャートである。
【図9】第２の実施形態のノイズ除去装置による処理をプログラムの形式で示す図である。
【発明を実施するための形態】
【0014】
（第１の実施形態）
以下、本発明の実施形態について図面を参照して説明する。図１は、第１の実施形態によるノイズ除去装置１の構成を示すブロック図である。ノイズ除去装置１は、行列生成部２と、演算処理部３とを備える。
以下、本発明の実施形態について図面を参照して説明する。図１は、第１の実施形態によるノイズ除去装置１の構成を示すブロック図である。ノイズ除去装置１は、行列生成部２と、演算処理部３とを備える。
【0015】
行列生成部２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値を取り込む。ここで、Ｎ、Ｍ、Ｋは、いずれも２以上の整数である。Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値とは、例えば、空間におけるＮ個の異なる位置の各々に設置されたセンサであって、各々がＭ個の異なるドメインで計測可能なセンサによって、Ｋ回計測された信号値の各々のことである。Ｍ個の異なるドメインとは、例えば、光、音、距離などの計測指標のことである。以下、ドメインをモダリティともいう。光を計測指標とする場合には、例えばセンサは、センサ周辺の照度などを計測する。音を計測指標とする場合には、例えばセンサは、センサ周辺の音量などを計測する。距離を計測指標とする場合には、例えばセンサは、センサから予め定められた基準位置までの距離などを計測する。以下、Ｎを観測位置数、Ｍをモダリティ数、Ｋを観測回数という。
【0016】
行列生成部２が取り込むＮ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値の各々には、ｎ，ｍ，ｋの３つのインデックス値が付与されている。例えば、上記したセンサの各々は、計測によって観測信号値を取得すると、取得した観測信号値に対して、当該観測信号値が得られた観測位置を示すｎと、当該観測信号値のモダリティを示すｍと、当該観測信号値の観測回数を示すｋとを付与する。したがって、ｎは、１～Ｎの間の何れかの整数値、ｍは、１～Ｍの間の何れかの整数値、ｋは、１～Ｋの何れかの整数値になる。
【0017】
行列生成部２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値の各々に付与されている３つのインデックス値に基づいて、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値からＫ個のＮ行×Ｍ列の行列を生成する。別の言い方をすれば、行列生成部２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値から行方向の配列数がＮ、列方向の配列数がＭ、奥行き方向の配列数がＫの３次元配列を生成する。
【0018】
行列生成部２が生成するＫ個のＮ行×Ｍ列の行列において、列ごとのＮ個の観測信号値の組み合わせは、Ｋ×Ｍ個存在する。このＫ×Ｍ個存在するＮ個の観測信号値を含む観測信号（以下「行方向の観測信号」ともいう）の各々を、Ｎ個の頂点を有するグラフで表すことができ、このグラフを、以下、空間グラフ（以下「第１グラフ」ともいう）という。Ｋ個のＮ行×Ｍ列の行列において、行ごとのＭ個の観測信号値の組み合わせは、Ｋ×Ｎ個存在する。このＫ×Ｎ個存在するＭ個の観測信号値を含む観測信号（以下「列方向の観測信号」ともいう）の各々を、Ｍ個の頂点を有するグラフで表すことができ、このグラフを、以下、モダリティグラフ（以下「第２グラフ」ともいう）という。
【0019】
（用語、記号の定義）
ここで、以下の説明において用いる、グラフに関する用語や記号などについて説明する。グラフとは、ネットワーク構造を数理的にモデル化したものである。Ｎ個の頂点を有するグラフｇを、次式（１）の記号で表す。
ここで、以下の説明において用いる、グラフに関する用語や記号などについて説明する。グラフとは、ネットワーク構造を数理的にモデル化したものである。Ｎ個の頂点を有するグラフｇを、次式（１）の記号で表す。
【0020】
【数1】
【0021】
グラフｇにおいて、頂点集合ｖとし、頂点集合ｖを次式（２）の記号で表す。
【0022】
【数2】
【0023】
グラフｇにおいて、辺集合εは、次式（３）によって定義される。
【0024】
【数3】
【0025】
グラフｇは、次式（４）に示すように、頂点集合ｖと、辺集合εとを含む３つのパラメータで定義される。
【0026】
【数4】
【0027】
式（４）に示す３番目のパラメータである太字で示すＷは、隣接行列Ｗである。隣接行列Ｗは、頂点数がＮである場合、次式（５）で定義される実数を要素とするＮ行×Ｎ列の行列になる。
【0028】
【数5】
【0029】
以下、隣接行列Ｗと同様に、数式においては、配列、行列、ベクトルを太字で示し、本文では、「配列」、「行列」、「ベクトル」の文言と共に、配列、行列、ベクトルを表す英数字を示す。
【0030】
隣接行列とは、頂点間の接続関係、すなわちグラフｇの構造を表す行列である。自己ループ辺及び多重辺を考慮しない場合、隣接行列Ｗの要素は、次式（６）によって定義される。
【0031】
【数6】
【0032】
式（６）において、「ｉｆ（ｉ，ｊ）∈ε」とは、頂点間に辺が存在する場合を示しており、「ｏｔｈｅｒｗｉｓｅ」とは、頂点間に辺が存在しない場合を示している。式（６）においてｗｉｊは、頂点ｉと、頂点ｊの間の辺の重みであり、ｗｉｊ＞０である。ここでは、頂点数がＮであるため、ｉ＝１，…，Ｎであり、ｊ＝１，…，Ｎである。
【0033】
１つの頂点に接続している辺の重みの総和を、度数という。頂点ｉの度数ｄｉは、次式（７）によって算出することができる。
【0034】
【数7】
【0035】
ｉ＝１，…，ＮのＮ個の度数ｄｉを対角要素として有する行列Ｄを度数行列という。度数行列Ｄは、次式（８）によって定義される。
【0036】
【数8】
【0037】
式（８）においてｄｉａｇ（・）は、対角上の要素が「・」である正方行列を示す記号であり。度数行列Ｄは、Ｎ行×Ｎ列の行列になる。グラフラプラシアン行列Ｌは、度数行列Ｄと、隣接行列Ｗとを用いて、次式（９）によって定義される。
【0038】
【数9】
【0039】
グラフｇのグラフ信号は、次式（１０）で定義される信号ベクトルｘであって、頂点集合ｖを定義域とする信号ベクトルｘになる。
【0040】
【数10】
【0041】
言い換えると、グラフ信号は、頂点ｉに対応する信号値を信号値ｘｉで表した場合、Ｎ個の頂点の各々に対応する信号値ｘ１，…，ｘＮを要素として有する信号ベクトルｘとして表されることになる。なお、グラフ信号のことを、頂点信号ともいう。
【0042】
グラフ信号の変動をＦ（ｘ）とした場合（ただし、Ｆ（ｘ）のｘは、信号ベクトルｘである）、Ｆ（ｘ）は、グラフ信号である信号ベクトルｘと、グラフラプラシアン行列Ｌとを用いて、次式（１１）によって定義される。
【0043】
【数11】
【0044】
式（１１）は、ラプラシアン二次形式と呼ばれており、辺の重みｗｉｊと、辺で接続された頂点間の信号の差である（ｘｉ－ｘｊ）の２乗との積の総和を算出する演算式である。そのため、Ｆ（ｘ）は、グラフ信号において、信号値ｘの差が小さい頂点同士が接続している傾向がある場合に小さい値になる。このように、信号値ｘの差が小さい頂点同士が接続している傾向がある状態を、以下、グラフ信号がグラフｇ上で滑らかであるという。したがって、Ｆ（ｘ）の値が小さいほど、グラフ信号、すなわち信号ベクトルｘは、グラフｇ上で、より滑らかになる。
【0045】
（ノイズ除去問題の設定）
次に、ノイズ除去装置１を用いることによって、求解するノイズ除去問題について説明する。図２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値から行列生成部２が生成する３次元配列２０を示す図である。以下、３次元配列２０を、観測信号配列Ｙといい、観測信号配列Ｙは、次式（１２）によって定義される。
次に、ノイズ除去装置１を用いることによって、求解するノイズ除去問題について説明する。図２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値から行列生成部２が生成する３次元配列２０を示す図である。以下、３次元配列２０を、観測信号配列Ｙといい、観測信号配列Ｙは、次式（１２）によって定義される。
【0046】
【数12】
【0047】
図２に示すように、観測信号配列Ｙは、Ｋ個のＮ行×Ｍ列の行列２１－１～２１－Ｋによって形成されている。行列２１－１～２１－Ｋの各々が、いわゆるマルチモーダル信号になる。別の見方をすると、観測信号配列Ｙは、符号２２－ｎで示すＭ行×Ｋ列の行列を、Ｎ個含んでいるという見方もでき、符号２３－ｍで示すＮ行×Ｋ列の行列を、Ｍ個含んでいるという見方もできる。ここで、観測信号配列Ｙを、次式（１３）のように表現する。
【0048】
【数13】
【0049】
式（１３）において、右辺の第１項を、以下、原信号配列Ｘといい、右辺の第２項を、以下、ノイズ配列Ｎという。原信号配列Ｘは、次式（１４）によって定義され、ノイズ配列Ｎは、次式（１５）によって定義される。すなわち、原信号配列Ｘ及びノイズ配列Ｎは、観測信号配列Ｙと同様に、図２に示す３次元配列２０の形式で表される３次元配列である。
【0050】
【数14】
【0051】
【数15】
【0052】
原信号配列Ｘに含まれる個々の信号値は、未知の原信号の信号値であり、ノイズ配列Ｎに含まれる個々の信号値は、加法性白色ガウス雑音信号の信号値である。ノイズ除去装置１を用いることによって、求解するノイズ除去問題とは、観測信号配列Ｙからノイズ配列Ｎを除去して原信号配列Ｘを推定する問題である。
【0053】
ここで、ｋ回目の観測における観測信号値を、観測位置を行、モダリティを列として行列形式に並べると、図２に示すＮ行×Ｍ列の行列２１－ｋになり、この行列２１－ｋを、以下、次式（１６）で定義される観測信号行列Ｙ（ｋ）で表す。
【0054】
【数16】
【0055】
観測信号行列Ｙ（ｋ）に対応する原信号の行列を、原信号行列Ｘ（ｋ）とする。原信号行列Ｘ（ｋ）は、観測信号行列Ｙ（ｋ）と同様にＮ行×Ｍ列の行列であるため、次式（１７）で定義される。
【0056】
【数17】
【0057】
原信号配列Ｘは、観測信号配列Ｙと同様に、Ｋ個のＮ行×Ｍ列の原信号行列Ｘ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）に分解することができる。原信号行列Ｘ（ｋ）の各列の列ベクトルは、空間グラフ上で滑らかであり、各行の行ベクトルは、モダリティグラフ上で滑らかであると仮定する。上記したように、空間グラフ上で滑らかであるとは、原信号行列Ｘ（ｋ）のｍ列目（ｍ＝１，…，Ｍ）のＮ個の信号値を、Ｎ個の頂点を有する空間グラフで表した場合、空間グラフにおいて隣接する頂点の信号値の差が、小さく、急激に変化しないことをいう。同様に、モダリティグラフ上で滑らかであるとは、原信号行列Ｘ（ｋ）のｎ行目（ｎ＝１，…，Ｎ）のＭ個の信号値を、Ｍ個の頂点を有するモダリティグラフで表した場合、モダリティグラフにおいて隣接する頂点の信号値の差が、小さく、急激に変化しないことをいう。
【0058】
以下、Ｎ個の頂点を有する空間グラフを式（４）の表記にしたがって示すと、次式（１８）として表すことができる。
【0059】
【数18】
【0060】
式（１８）において、右辺のパラメータは、それぞれ空間グラフｇｓにおける頂点集合Ｖｓ、辺集合εｓ、隣接行列Ｗｓであり、隣接行列Ｗｓは、Ｎ行×Ｎ列の行列であるため、次式（１９）によって定義される。
【0061】
【数19】
【0062】
同様に、Ｍ個の頂点を有するモダリティグラフを式（４）の表記にしたがって示すと、次式（２０）として表すことができる。
【0063】
【数20】
【0064】
式（２０）において、右辺のパラメータは、それぞれモダリティグラフｇｍにおける頂点集合Ｖｍ、辺集合εｍ、隣接行列Ｗｍであり、隣接行列Ｗｍは、Ｍ行×Ｍ列の行列であるため、次式（２１）によって定義される。
【0065】
【数21】
【0066】
なお、空間グラフｇｓとモダリティグラフｇｍは、隣接行列Ｗｓと隣接行列Ｗｍの各々の重みｗｉｊが、上記したように、ｗｉｊ＞０であることから無向グラフになる。
【0067】
（ノイズ除去問題を求解するための目的関数の設定）
上記した原信号行列Ｘ（ｋ）の各列の列ベクトルが、空間グラフｇｓ上で滑らかであり、各行の行ベクトルが、モダリティグラフｇｍ上で滑らかであるとする仮定を用いて、観測信号配列Ｙから、グラフ学習によって、原信号配列Ｘを推定する。そのために、空間グラフｇｓに対して、次式（２２）で示される目的関数（以下「第１目的関数」ともいう）を設定し、モダリティグラフｇｍに対して、次式（２３）で示される目的関数（以下「第２目的関数」ともいう）を設定する。
上記した原信号行列Ｘ（ｋ）の各列の列ベクトルが、空間グラフｇｓ上で滑らかであり、各行の行ベクトルが、モダリティグラフｇｍ上で滑らかであるとする仮定を用いて、観測信号配列Ｙから、グラフ学習によって、原信号配列Ｘを推定する。そのために、空間グラフｇｓに対して、次式（２２）で示される目的関数（以下「第１目的関数」ともいう）を設定し、モダリティグラフｇｍに対して、次式（２３）で示される目的関数（以下「第２目的関数」ともいう）を設定する。
【0068】
【数22】
【0069】
【数23】
【0070】
式（２２）及び式（２３）において、次式（２４）で示す記号は、フロベニウスノルムの２乗値を算出する演算子である。ｔｒ（・）は、行列のトレース、すなわち、正方行列の対角成分の和を算出する演算子である。
【0071】
【数24】
【0072】
式（２２）において、観測信号配列Ｙｓは、３次元配列２０である観測信号配列Ｙを、Ｋ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）に分解した上で、次式（２５）に示すように、Ｎ行×Ｍ列の行列の形式を維持して結合した配列である。
【0073】
【数25】
【0074】
式（２２）において、原信号配列Ｘｓは、観測信号配列Ｙｓと同様の手順で、３次元配列である原信号配列Ｘを、Ｋ個の原信号行列Ｘ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）に分解した上で、Ｎ行×Ｍ列の行列の形式を維持して結合した配列である。
【0075】
式（２３）において、観測信号配列Ｙｍは、以下のようにして生成される配列である。３次元配列２０である観測信号配列Ｙを、Ｋ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）に分解し、分解したＫ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）の各々を転置して転置行列を生成する。観測信号行列Ｙ（ｋ）の転置行列は、観測信号行列Ｙ（ｋ）が式（１６）によって定義されることから、次式（２６）として定義される。
【0076】
【数26】
【0077】
Ｋ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）の各々の転置行列を、次式（２７）に示すように、Ｍ行×Ｎ列の行列の形式を維持して結合した配列が、観測信号配列Ｙｍになる。
【0078】
【数27】
【0079】
式（２３）において、原信号配列Ｘｍは、観測信号配列Ｙｍと同様の手順で、生成される配列である。すなわち、３次元配列である原信号配列Ｘを、Ｋ個の原信号行列Ｘ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）に分解し、分解したＫ個の原信号行列Ｘ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）を転置して転置行列を生成する。Ｋ個の原信号行列Ｘ（ｋ）の転置行列を、Ｍ行×Ｎ列の行列の形式を維持して結合した配列が、原信号配列Ｘｍになる。
【0080】
式（２２）に示される空間グラフｇｓのグラフラプラシアン行列Ｌｓは、Ｎ行×Ｎ列の行列になるため、次式（２８）で定義される。
【0081】
【数28】
【0082】
式（２３）に示されるモダリティグラフｇｍのグラフラプラシアン行列Ｌｍは、Ｍ行×Ｍ列の行列になるため、次式（２９）で定義される。
【0083】
【数29】
【0084】
式（２２）及び式（２３）の括弧内の第２項のパラメータαｓ，αｍは、信号の滑らかさに対して予め定められるパラメータであり、αｓ，αｍ＞０である。式（２２）及び式（２３）の括弧内の第３項のｆ（・）は、それぞれ次の式（３０）及び式（３１）で示される関数である。
【0085】
【数30】
【0086】
【数31】
【0087】
式（３０）において、次式（３２）で示されるベクトル１ｓは、要素が全て１のＮ行×１列の列ベクトルである。
【0088】
【数32】
【0089】
式（３１）において、次式（３３）で示されるベクトル１ｍは、要素が全て１のＭ行×１列の列ベクトルである。
【0090】
【数33】
【0091】
式（３０）及び式（３１）に示されるβｓ，βｍ，γｓ，γｍは、予め定められるパラメータであり、βｓ，βｍ，γｓ，γｍ＞０である。
【0092】
式（２２）及び式（２３）において、括弧内の第１項のフロベニウスノルムの２乗値は、観測信号配列Ｙと、原信号配列Ｘとの相違を示していることになり、式（１１）に示すラプラシアン二次形式が示されている第２項と、グラフの構造を示す隣接行列の特性を示す第３項とは、原信号の滑らかさを示していることになる。したがって、式（２２）は、空間グラフｇｓにおいて、原信号配列Ｘｓを形成するＫ個の原信号行列Ｘ（ｋ）（ｋ＝１，…，Ｋ）の列ベクトルの各々を、空間グラフｇｓ上で滑らかにするように、空間グラフｇｓの隣接行列Ｗｓを最適化しつつ、観測信号配列Ｙｓとの相違を最小化する原信号配列Ｘｓを算出する目的関数ということになる。
【0093】
同様に、式（２３）は、モダリティグラフｇｍにおいて、原信号配列Ｘｍを形成するＫ個の原信号行列Ｘ（ｋ）の転置行列の列ベクトルの各々を、モダリティグラフｇｍ上で滑らかにするように、モダリティグラフｇｍの隣接行列Ｗｍを最適化しつつ、観測信号配列Ｙｍとの相違を最小化する原信号配列Ｘｍを算出する目的関数ということになる。
【0094】
式（２２）及び式（２３）は、一般に凸最適化問題にはならないので、原信号配列Ｘｓ，Ｘｍと、隣接行列Ｗｓ，Ｗｍに対して、交互最小化を行って解を求めることができる。そのため、式（２２）を、次の式（３４）と式（３５）に分解し、式（２３）を、次の式（３６）と式（３７）に分解する。
【0095】
【数34】
【0096】
【数35】
【0097】
【数36】
【0098】
【数37】
【0099】
式（３４）は、観測信号配列Ｙｓからノイズを除去した原信号配列Ｘｓを算出する空間グラフｇｓにおけるノイズ除去式ということができる。式（３５）は、空間グラフｇｓにおける最適な隣接行列Ｗｓを算出する隣接行列算出式（以下「第１隣接行列算出式」ともいう）ということができる。式（３６）は、観測信号配列Ｙｍからノイズを除去した原信号配列Ｘｍを算出するモダリティグラフｇｍにおけるノイズ除去式ということができる。式（３７）は、モダリティグラフｇｍにおける最適な隣接行列Ｗｍを算出する隣接行列算出式（以下「第２隣接行列算出式」ともいう）ということができる。
【0100】
式（３５）及び式（３７）において、次式（３８）で示す記号は、アダマール積を算出する演算子である。
【0101】
【数38】
【0102】
式（３５）及び式（３７）において、次式（３９）で示す記号は、行列の各要素の絶対値の和を算出する演算子である。
【0103】
【数39】
【0104】
式（３５）に示す行列Ｚｓと、式（３７）に示す行列Ｚｍは、それぞれ原信号配列Ｘｓ，Ｘｍを用いて算出することができるペアワイズ距離行列である。
【0105】
ここで、一例として、空間グラフｇｓに対応するペアワイズ距離行列Ｚｓの算出手順について説明する。図２において、符号２３－ｍで示す観測位置を行とし、観測回数を列とするＮ行×Ｋ列の行列を行列Ｘとする。行列Ｘを、列ごとのベクトルで示すと、次式（４０）として表すことができる。
【0106】
【数40】
【0107】
式（４０）において、列ごとのベクトルは、Ｎ行×１列の列ベクトル、すなわち、上記した信号ベクトルｘｋ（ｋ＝１，…，Ｋ）であり、次式（４１）によって定義される。
【0108】
【数41】
【0109】
これに対して、行列Ｘを、行ごとのベクトルで示すと、次式（４２）として表すことができる。
【0110】
【数42】
【0111】
式（４２）において、「－」が上に付された信号ベクトルｘを、以下、本文では、「信号ベクトル－ｘ」と記載する。式（４２）は、転置行列を示す記号が付されていることから、信号ベクトル－ｘｎ（ｎ＝１，…，Ｎ）の各々は、Ｋ行×１列の列ベクトルになり、次式（４３）によって定義される。
【0112】
【数43】
【0113】
信号ベクトルｘｋは、ｋ回目の観測によって得られるＮ個の観測位置において、ある１つのドメインによって観測されるＮ個の観測信号値の各々に対応するＮ個の原信号値を含むベクトルであり、空間グラフｇｓにおけるグラフ信号になる。これに対して、信号ベクトル－ｘｎは、空間グラフｇｓ上の頂点ｎにおいて、ある１つのドメインによって観測されるＫ個の観測信号値を含むベクトルになる。この信号ベクトル－ｘｎに対して、次式（４４）を適用することにより、空間グラフｇｓに対するペアワイズ距離行列Ｚｓを算出することができる。
【0114】
【数44】
【0115】
なお、ペアワイズ距離行列Ｚｓは、式（４４）からも分かるように、行列の要素が正の実数になるため、次式（４５）によって定義される。
【0116】
【数45】
【0117】
原信号配列Ｘｓにおいて、行列Ｘは、Ｍ個存在する。そのため、原信号配列ＸｓからＭ個のペアワイズ距離行列Ｚｓが得られることになる。Ｍ個の行列Ｘの各々と、各々に対応するペアワイズ距離行列Ｚｓには、空間グラフｇｓのグラフラプラシアン行列Ｌｓと、空間グラフｇｓの隣接行列Ｗｓとを介して、次式（４６）で示す関係が成立する。
【0118】
【数46】
【0119】
この式（４６）を用いることにより、式（２２）から式（３５）の右辺の括弧内の第１項が導出される。モダリティグラフｇｍに対応するペアワイズ距離行列Ｚｍについても、図２において、符号２２－ｎで示すモダリティを行とし、観測回数を列とするＭ行×Ｋ列の行列を行列Ｘとすることにより、空間グラフｇｓに対応するペアワイズ距離行列Ｚｓを算出する手順と同様の手順によって算出することができる。この場合、原信号配列Ｘｍにおいて、行列Ｘは、Ｎ個存在することになり、原信号配列ＸｍからＮ個のペアワイズ距離行列Ｚｍが得られることになる。Ｎ個の行列Ｘの各々と、各々に対応するペアワイズ距離行列Ｚｍには、モダリティグラフｇｍのグラフラプラシアン行列Ｌｍと、モダリティグラフｇｍの隣接行列Ｗｍとを介して、式（４６）と同様の関係が成立するため、式（２３）から式（３７）の右辺の括弧内の第１項が導出される。
【0120】
式（３４）の解は、次式（４７）として導出され、式（３６）の解は、次式（４８）として導出される。
【0121】
【数47】
【0122】
【数48】
【0123】
式（４７）において、行列Ｉｓは、Ｎ行×Ｎ列の単位行列である。式（４７）において、原信号配列Ｘｓと、観測信号配列Ｙｓとは、上記したように、Ｎ行×Ｍ列の行列をＫ個含む配列であり、より詳細には、観測信号配列Ｙｓは、観測信号配列Ｙの行方向の観測信号であるＮ行×１列の観測信号を、Ｍ×Ｋ個含む配列ということもできる。式（４７）の右辺において、観測信号配列Ｙｓに対して作用させているのは、Ｎ行×Ｎ行の行列であることから、式（４７）は、１つのＮ行×１列の観測信号から、１つのＮ行×１列の原信号を算出する演算を、Ｍ×Ｋ回行う演算という見方もできる。この場合に、１つのＮ行×１列の観測信号に基づいて式（４７）によって算出される１つのＮ行×１列の原信号を第１ノイズ除去信号ともいう。式（４７）を、第１ノイズ除去式ともいう。
【0124】
式（４８）において、行列Ｉｍは、Ｍ行×Ｍ列の単位行列である。式（４８）において、原信号配列Ｘｍと、観測信号配列Ｙｍとは、上記したように、Ｍ行×Ｎ列の行列をＫ個含む配列である。より詳細には、観測信号配列Ｙｍは、観測信号配列Ｙの列方向の観測信号を転置したＭ行×１列の観測信号を、Ｎ×Ｋ個含む配列ということもできる。式（４８）の右辺において、観測信号配列Ｙｍに対して作用させているのは、Ｍ行×Ｍ行の行列であることから、式（４８）は、１つのＭ行×１列の観測信号から、１つのＭ行×１列の原信号を算出する演算を、Ｎ×Ｋ回行う演算という見方もできる。この場合に、１つのＭ行×１列の観測信号から、式（４８）によって算出される１つのＭ行×１列の原信号を、以下、第２ノイズ除去信号ともいい、式（４８）を、以下、第２ノイズ除去式ともいう。
【0125】
式（３５）と、式（３７）の解は、任意の凸最適化手法によって算出することができる。凸最適化手法は、例えば、主－双対近接分離法であってもよいし、それ以外の手法であってもよい。
【0126】
図１に戻り、演算処理部３は、演算制御部１０、空間演算部１１及びモダリティ演算部１２を備える。空間演算部１１は、第１入力配列及び第２入力配列という２つの入力配列を引数とし、これらの引数に対して、第１グラフ、すなわち空間グラフｇｓに対応する、式（４７）の第１ノイズ除去式と、式（３５）の第１隣接行列算出式とを用いる演算を行う。空間演算部１１は、当該演算によって、Ｍ×Ｋ個の第１ノイズ除去信号と、空間グラフｇｓの隣接行列Ｗｓとを算出する。空間演算部１１は、算出したＭ×Ｋ個の第１ノイズ除去信号から、３次元配列２０と同一の形式の配列、すなわち、Ｋ個のＮ行×Ｍ列の行列によって形成される配列である出力配列を生成する。
【0127】
モダリティ演算部１２は、第１入力配列及び第２入力配列という２つの入力配列を引数とし、これらの引数に対して、第２グラフ、すなわちモダリティグラフｇｍに対応する、式（４８）の第２ノイズ除去式と、式（３７）の第２隣接行列算出式とを用いる演算を行う。モダリティ演算部１２は、当該演算によって、Ｎ×Ｋ個の第２ノイズ除去信号と、モダリティグラフｇｍの隣接行列Ｗｍとを算出する。モダリティ演算部１２は、算出したＮ×Ｋ個の第２ノイズ除去信号の各々を転置して、３次元配列２０と同一の形式の配列、すなわち、Ｋ個のＮ行×Ｍ列の行列によって形成される配列である出力配列を生成する。
【0128】
演算制御部１０は、モダリティ演算部１２と、空間演算部１１とに対して、互いの処理結果を引き継がせつつ、交互に処理を行わせて、観測信号配列Ｙから原信号配列Ｘを推定する。演算制御部１０は、当該推定の処理において、適切な原信号配列Ｘが得られるように、空間演算部１１の第１入力配列及び第２入力配列と、モダリティ演算部１２の第１入力配列及び第２入力配列とに適用する配列を、行列生成部２が生成する３次元配列２０である初期配列、空間演算部１１が生成する出力配列、モダリティ演算部１２が生成する出力配列の中から選択する。
【0129】
（第１の実施形態によるグラフ学習の処理）
図３から図５を参照しつつ、第１の実施形態のノイズ除去装置１による処理について説明する。ノイズ除去装置１において、行列生成部２は、外部から与えられるＮ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値を取り込む（Ｓａ１）。行列生成部２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値に付与されている３つのインデックス値に基づいて、３次元配列２０である観測信号配列Ｙを生成する。行列生成部２は、生成した観測信号配列Ｙを演算処理部３の演算制御部１０に出力する。演算制御部１０は、行列生成部２が出力する観測信号配列Ｙを取り込み、取り込んだ観測信号配列Ｙを、初期配列として、内部の記憶領域に記録する（Ｓａ２）。
図３から図５を参照しつつ、第１の実施形態のノイズ除去装置１による処理について説明する。ノイズ除去装置１において、行列生成部２は、外部から与えられるＮ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値を取り込む（Ｓａ１）。行列生成部２は、Ｎ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値に付与されている３つのインデックス値に基づいて、３次元配列２０である観測信号配列Ｙを生成する。行列生成部２は、生成した観測信号配列Ｙを演算処理部３の演算制御部１０に出力する。演算制御部１０は、行列生成部２が出力する観測信号配列Ｙを取り込み、取り込んだ観測信号配列Ｙを、初期配列として、内部の記憶領域に記録する（Ｓａ２）。
【0130】
演算制御部１０は、外部から与えられるパラメータαｓ，αｍ，βｓ，βｍ，γｓ，γｍと、所定回数とを取り込む。演算制御部１０は、取り込んだパラメータαｓ，βｓ，γｓを、空間演算部１１に対して設定し、取り込んだパラメータαｍ，βｍ，γｍを、モダリティ演算部１２に対して設定する。演算制御部１０は、取り込んだ所定回数を内部の記憶領域に記録する（Ｓａ３）。ここで、所定回数は、１以上の整数であり、所定回数として、例えば、観測信号配列Ｙから、要求される精度の原信号配列Ｘが得られる程度の繰り返し回数を示す数が予め定められる。
【0131】
演算制御部１０は、内部の記憶領域に処理カウンタの領域を設け、設けた処理カウンタを「０」に初期化する（Ｓａ４）。演算制御部１０は、モダリティ演算部１２の第１入力配列と、第２入力配列とに対して、内部の記憶領域に記憶されている初期配列を設定し（Ｓａ５）、モダリティ演算部１２に処理を開始させる。モダリティ演算部１２は、図４に示すモダリティグラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓａ６）。
【0132】
（モダリティグラフ学習処理のサブルーチン（初回の処理））
図４に示すように、モダリティ演算部１２は、演算制御部１０が設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。以下、モダリティ演算部１２の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。ここでは、第１入力配列Ｘｔは、初期配列であり、初期配列は、観測信号配列Ｙである。処理カウンタの数は「０」である。したがって、モダリティ演算部１２による第１入力配列Ｘｔの取り込みを式で示すと、次式（４９）として示すことができる。
図４に示すように、モダリティ演算部１２は、演算制御部１０が設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。以下、モダリティ演算部１２の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。ここでは、第１入力配列Ｘｔは、初期配列であり、初期配列は、観測信号配列Ｙである。処理カウンタの数は「０」である。したがって、モダリティ演算部１２による第１入力配列Ｘｔの取り込みを式で示すと、次式（４９）として示すことができる。
【0133】
【数49】
【0134】
式（４９）の左辺において、配列Ｘの上付きの添え字「０」は、処理カウンタの数「ｔ」が「０」であることを示している。モダリティ演算部１２は、取り込んだ第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｍの形式に変換して第１入力配列Ｘｍ
ｔとする（Ｓｂ１）。これを、式で示すと、次式（５０）になり、ここでは、「ｔ＝０」とした式になる。
【0135】
【数50】
【0136】
以下に示す図４の処理の説明では、処理カウンタの数を「ｔ」として説明しているが、初回の場合は、ｔ＝０である。モダリティ演算部１２は、第１入力配列Ｘｍ
ｔからモダリティグラフｇｍに対応するペアワイズ距離行列Ｚｍを算出する。より詳細には、モダリティ演算部１２は、第１入力配列Ｘｍ
ｔに対して、式（４２）～式（４４）を参照して説明した手順を適用して、モダリティグラフｇｍに対応するペアワイズ距離行列ＺｍをＮ個算出する（Ｓｂ２）。
【0137】
モダリティ演算部１２は、Ｎ個のペアワイズ距離行列Ｚｍを用いて、式（３７）に示す第２隣接行列算出式を生成する（Ｓｂ３）。モダリティ演算部１２は、生成した第２隣接行列算出式からモダリティグラフｇｍの隣接行列Ｗｍを算出する。より詳細には、モダリティ演算部１２は、Ｎ個のペアワイズ距離行列Ｚｍの何れを適用しても、式（３７）の括弧内の式によって得られる値を最小値にするような隣接行列Ｗｍを、例えば、主－双対近接分離法によって算出する（Ｓｂ４）。Ｓｂ４の処理で算出する隣接行列Ｗｍは、例えば、処理カウンタの数が「ｔ」である場合、新たに算出した次の隣接行列Ｗｍということになる。そのため、この新たに算出した隣接行列Ｗｍを、「ｔ＋１」の上付きの添え字を付した、次式（５１）の記号で表す。
【0138】
【数51】
【0139】
モダリティ演算部１２は、式（７）～式（９）を参照して説明した手順を用いて、算出した隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１からモダリティグラフｇｍに対応するグラフラプラシアン行列Ｌｍ
ｔ＋１を算出する。モダリティ演算部１２は、算出したグラフラプラシアン行列Ｌｍ
ｔ＋１を用いて、式（４８）に示す第２ノイズ除去式を生成する（Ｓｂ５）。
【0140】
モダリティ演算部１２は、Ｓｂ１の処理において取り込んだ第２入力配列を、式（５０）の手順により、原信号配列Ｘｍの形式に変換する。モダリティ演算部１２は、第２入力配列を原信号配列Ｘｍの形式に変換した配列を、生成した式（４８）に示す第２ノイズ除去式の観測信号配列Ｙｍの箇所に代入する。上記したように、式（４８）は、観測信号配列Ｙｍに含まれる１つのＭ行×１列の観測信号に対応する１つのＭ行×１列の第２ノイズ除去信号を算出する演算を、Ｎ×Ｋ回行う演算である。したがって、モダリティ演算部１２は、第２入力配列を原信号配列Ｘｍの形式に変換した配列を、生成した式（４８）に示す第２ノイズ除去式に代入することにより、新たな第２ノイズ除去信号をＮ×Ｋ個算出する（Ｓｂ６）。
【0141】
モダリティ演算部１２は、算出したＮ×Ｋ個の新たな第２ノイズ除去信号を、原信号配列Ｘｍと同一の形式に並べて、第２ノイズ除去信号配列を生成する。第２ノイズ除去信号配列は、処理カウンタが「ｔ」である場合に新たに算出した、原信号配列Ｘの候補となる次の原信号配列Ｘｍということになるので、第２ノイズ除去信号配列Ｘｍ
ｔ＋１として表す。
【0142】
ところで、モダリティ演算部１２の第２入力配列は、初期配列であり、モダリティ演算部１２の第１入力配列の場合に用いた表記で示すと、ｔ＝０の場合の第１入力配列Ｘ０と同一の配列になる。そのため、モダリティ演算部１２は、Ｓｂ６の処理において、式（４８）に示す第２ノイズ除去式に対して、第１入力配列Ｘｍ
０と同一の配列を代入していることになる。したがって、Ｓｂ５，Ｓｂ６の処理を、処理カウンタの数を「ｔ」として、一般化した式で示すと、次式（５２）として示すことができる。
【0143】
【数52】
【0144】
モダリティ演算部１２は、生成した第２ノイズ除去信号配列Ｘｍ
ｔ＋１を、原信号配列Ｘの形式に変換して出力配列Ｘｔ＋１を生成する。モダリティ演算部１２は、生成した出力配列Ｘｔ＋１と、Ｓｂ４の処理において算出した隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１とを演算制御部１０に出力して（Ｓｂ７）、サブルーチンの処理を終了する。
【0145】
図３に戻り、演算制御部１０は、モダリティ演算部１２が出力する出力配列Ｘｔ＋１と、隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１とを取り込む。演算制御部１０は、内部の記憶領域に、取り込んだ隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１を記録する。なお、演算制御部１０は、内部の記憶領域に、前回の隣接行列Ｗｍ
ｔが記憶されている場合、前回の隣接行列Ｗｍ
ｔを消去した上で、隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１を記録する。演算制御部１０は、空間演算部１１の第１入力配列と、第２入力配列とに対して、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１を設定し（Ｓａ７）、空間演算部１１に処理を開始させる。空間演算部１１は、図５に示す空間グラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓａ８）。
【0146】
（空間グラフ学習処理のサブルーチン）
図５に示すように、空間演算部１１は、演算制御部１０が設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。空間演算部１１の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。空間演算部１１は、第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｓの形式に変換し、変換した配列を第１入力配列Ｘｓ ｔとする（Ｓｃ１）。ここで、空間演算部１１が取り込む第１入力配列Ｘｔは、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１になる。そのため、直近で行われたモダリティ演算部１２による処理との繋がりを考慮すると、第１入力配列Ｘｔを第１入力配列Ｘｓ ｔとする処理は、出力配列Ｘｔ＋１を、原信号配列Ｘｓの形式に変換し、変換した配列を第１入力配列Ｘｓ ｔとする処理になるため、式で示すと、次式（５３）として示すことができる。
図５に示すように、空間演算部１１は、演算制御部１０が設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。空間演算部１１の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。空間演算部１１は、第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｓの形式に変換し、変換した配列を第１入力配列Ｘｓ ｔとする（Ｓｃ１）。ここで、空間演算部１１が取り込む第１入力配列Ｘｔは、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１になる。そのため、直近で行われたモダリティ演算部１２による処理との繋がりを考慮すると、第１入力配列Ｘｔを第１入力配列Ｘｓ ｔとする処理は、出力配列Ｘｔ＋１を、原信号配列Ｘｓの形式に変換し、変換した配列を第１入力配列Ｘｓ ｔとする処理になるため、式で示すと、次式（５３）として示すことができる。
【0147】
【数53】
【0148】
空間演算部１１は、第１入力配列Ｘｓ
ｔから空間グラフｇｓに対応するペアワイズ距離行列Ｚｓを算出する。より詳細には、第１入力配列を変換して生成した原信号配列Ｘｓ
ｔに対して、式（４２）～式（４４）を参照して説明した手順を適用して、空間グラフｇｓに対応するペアワイズ距離行列ＺｓをＭ個算出する（Ｓｃ２）。
【0149】
空間演算部１１は、Ｍ個のペアワイズ距離行列Ｚｓを用いて、式（３５）に示す第１隣接行列算出式を生成する（Ｓｃ３）。空間演算部１１は、生成した第１隣接行列算出式から空間グラフｇｓの隣接行列Ｗｓを算出する。より詳細には、空間演算部１１は、Ｍ個のペアワイズ距離行列Ｚｓの何れを適用しても、式（３５）の括弧内の式によって得られる値を最小値にするような隣接行列Ｗｓを、例えば、主－双対近接分離法によって算出する（Ｓｃ４）。Ｓｃ４の処理で算出する隣接行列Ｗｓは、例えば、処理カウンタの数が「ｔ」である場合、新たに算出した次の隣接行列Ｗｓということになる。そのため、この新たに算出した隣接行列Ｗｓを、「ｔ＋１」の上付きの添え字を付した、次式（５４）の記号で表す。
【0150】
【数54】
【0151】
空間演算部１１は、式（７）～式（９）を参照して説明した手順を用いて、算出した隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１から空間グラフｇｓに対応するグラフラプラシアン行列Ｌｓ
ｔ＋１を算出する。空間演算部１１は、算出したグラフラプラシアン行列Ｌｓ
ｔ＋１を用いて、式（４７）に示す第１ノイズ除去式を生成する（Ｓｃ５）。
【0152】
空間演算部１１は、Ｓｃ１の処理において取り込んだ第２入力配列を、式（５３）の手順により、原信号配列Ｘｓの形式に変換する。空間演算部１１は、第２入力配列を原信号配列Ｘｓの形式に変換した配列を、生成した式（４７）に示す第１ノイズ除去式の観測信号配列Ｙｓの箇所に代入する。上記したように、式（４７）は、観測信号配列Ｙｓに含まれる１つのＮ行×１列の観測信号に対応する１つのＮ行×１列の第１ノイズ除去信号を算出する演算を、Ｍ×Ｋ回行う演算である。したがって、空間演算部１１は、第２入力配列を原信号配列Ｘｓの形式に変換した配列を、生成した式（４７）に示す第１ノイズ除去式に代入することにより、新たな第１ノイズ除去信号を、Ｍ×Ｋ個算出する（Ｓｃ６）。
【0153】
空間演算部１１は、算出したＭ×Ｋ個の新たな第１ノイズ除去信号を、原信号配列Ｘｓと同一の形式に並べて、第１ノイズ除去信号配列を生成する。第１ノイズ除去信号配列は、処理カウンタが「ｔ」である場合に新たに算出した、原信号配列Ｘの候補となる次の原信号配列Ｘｓということになるので、第１ノイズ除去信号配列Ｘｓ
ｔ＋１として表す。
【0154】
ところで、空間演算部１１の第２入力配列は、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１であり、空間演算部１１の第１入力配列の場合に用いた表記で示すと、第１入力配列Ｘｔになる。そのため、空間演算部１１は、Ｓｃ６の処理において、式（４７）に示す第１ノイズ除去式に対して、第１入力配列Ｘｓ
ｔと同一の配列を代入していることになる。したがって、Ｓｃ５，Ｓｃ６の処理を、処理カウンタの数を「ｔ」として、一般化した式で示すと、次式（５５）として示すことができる。
【0155】
【数55】
【0156】
空間演算部１１は、生成した第１ノイズ除去信号配列Ｘｓ
ｔ＋１を、原信号配列Ｘの形式に変換して出力配列Ｘｔ＋１を生成する。空間演算部１１は、生成した出力配列Ｘｔ＋１と、Ｓｃ４の処理において算出した隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１とを演算制御部１０に出力して（Ｓｃ７）、サブルーチンの処理を終了する。
【0157】
図３に戻り、演算制御部１０は、空間演算部１１が出力する出力配列Ｘｔ＋１と、隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１とを取り込む。演算制御部１０は、内部の記憶領域に、取り込んだ隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を記録する。なお、演算制御部１０は、内部の記憶領域に、前回の隣接行列Ｗｓ
ｔが記憶されている場合、前回の隣接行列Ｗｓ
ｔを消去した上で、隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を記録する。演算制御部１０は、内部の記憶領域から所定回数を読み出す。演算制御部１０は、処理カウンタの数「ｔ」が、（所定回数－１）以上であるか否かを判定する（Ｓａ９）。
【0158】
演算制御部１０は、処理カウンタの数「ｔ」が、（所定回数－１）以上でないと判定した場合（Ｓａ９、Ｎｏ）、内部の記憶領域の処理カウンタの数に１を加算する（Ｓａ１０）。演算制御部１０は、モダリティ演算部１２の第１入力配列に、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１を設定する。演算制御部１０は、更に、モダリティ演算部１２の第２入力配列に、内部の記憶領域に記憶されている初期配列を設定し（Ｓａ１１）、モダリティ演算部１２に処理を開始させる。モダリティ演算部１２は、図４に示すモダリティグラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓａ１２）。
【0159】
（モダリティグラフ学習処理のサブルーチン（２回目以降の処理））
Ｓａ１２のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンで行われる処理と、Ｓａ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
Ｓａ１２のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンで行われる処理と、Ｓａ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
【0160】
モダリティ演算部１２は、演算制御部１０が設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。ここでは、モダリティ演算部１２の第１入力配列は、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１になるが、処理カウンタの数が、Ｓａ１０の処理によって１増加している。そのため、増加後の処理カウンタの数に合わせると、上付きの添え字は、「ｔ＋１」から「ｔ」に変わるため、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１が、モダリティ演算部１２の第１入力配列Ｘｔになる。モダリティ演算部１２は、式（５０）に示すように、第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｍの形式に変換して、第１入力配列Ｘｍ
ｔとする（Ｓｂ１）。なお、２回目以降のモダリティ演算部１２の第２入力配列は、初回と同じく、初期配列である。そのため、その後のＳｂ２～Ｓｂ７の処理は、Ｓａ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ２～Ｓｂ７と同一の処理であって、処理カウンタ「ｔ」を、増加後の処理カウンタの数に読み替えた処理が行われる。
【0161】
図３に戻り、Ｓａ９の処理において、演算制御部１０は、処理カウンタの数「ｔ」が（所定回数－１）以上であると判定したとする（Ｓａ９、Ｙｅｓ）。この場合、演算制御部１０は、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１を原信号配列Ｘとし、内部の記憶領域に記憶されている空間グラフの隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を最終的に得られた隣接行列Ｗｓとし、内部の記憶領域に記憶されているモダリティグラフの隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１を最終的に得られた隣接行列Ｗｍとし、原信号配列Ｘと、隣接行列Ｗｓと、隣接行列Ｗｍとを出力して（Ｓａ１３）、処理を終了する。
【0162】
図６は、図３の処理を、プログラムの形式で示した図である。最初の行の「入力」に示す「ｉｔｅｒ」は、所定回数である。３、９行目は、処理を示した行ではなく、コメントを示した行である。１行目の処理は、図３のＳａ６の処理、すなわち初回のモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ１の処理の中で行われる第１入力配列Ｘ０を、初期配列、すなわち観測信号配列Ｙとする処理である。４行目から８行目の処理は、１行目の処理を除く、図３のＳａ６，Ｓａ１２の処理において行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ１～Ｓｂ７の処理に対応する処理である。Ｓｂ１の処理に含まれるモダリティ演算部１２の第１入力配列に対する処理は、４行目に表されている。Ｓｂ２～Ｓｂ４の処理は、５行目と６行目に示されている。Ｓｂ５，Ｓｂ６の処理は、７行目に示されており、モダリティ演算部１２の第２入力配列を原信号配列Ｘｍの形式に変換した配列は、７行目の配列Ｘｍ
０として表されている。Ｓｂ７の処理は、８行目に表されている。
【0163】
１０行目から１４行目の処理が、図３のＳａ８の処理において行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンのＳｃ１～Ｓｂ７の処理に対応する処理である。Ｓｃ１の処理は、１０行目に表されている。Ｓｂ２～Ｓｃ４の処理は、１１行目と１２行目に示されている。Ｓｃ５，Ｓｃ６の処理は、１３行目に示されており、空間演算部１１の第２入力配列を原信号配列Ｘｓの形式に変換した配列は、１３行目の配列Ｘｓ
ｔとして表されている。Ｓｃ７の処理は、１４行目に表されている。図３のＳａ１３の処理において、演算制御部１０が出力する隣接行列Ｗｓと、隣接行列Ｗｍと、原信号配列Ｘとは、それぞれ、最後の行の「出力」に示す所定回数の処理が行われた後に得られる、空間グラフの隣接行列Ｗｓ
ｉｔｅｒと、モダリティグラフの隣接行列Ｗｍ
ｉｔｅｒと、原信号配列Ｘｉｔｅｒとになる。
【0164】
（第２の実施形態）
図７は、第２の実施形態によるノイズ除去装置１ａの構成を示すブロック図である。第２の実施形態のノイズ除去装置１ａにおいて、第１の実施形態のノイズ除去装置１と同一の構成については、同一の符号を付し、以下、異なる構成について説明する。ノイズ除去装置１ａは、行列生成部２と、演算処理部３ａとを備える。演算処理部３ａは、演算制御部１０ａ、空間演算部１１及びモダリティ演算部１２を備える。
図７は、第２の実施形態によるノイズ除去装置１ａの構成を示すブロック図である。第２の実施形態のノイズ除去装置１ａにおいて、第１の実施形態のノイズ除去装置１と同一の構成については、同一の符号を付し、以下、異なる構成について説明する。ノイズ除去装置１ａは、行列生成部２と、演算処理部３ａとを備える。演算処理部３ａは、演算制御部１０ａ、空間演算部１１及びモダリティ演算部１２を備える。
【0165】
演算制御部１０ａは、モダリティ演算部１２に対して、繰り返し処理をさせて得られた処理結果を、空間演算部１１に引き継がせて、空間演算部１１に繰り返し処理を行わせることにより、観測信号配列Ｙから原信号配列Ｘを推定する。演算制御部１０ａは、当該推定の処理において、適切な原信号配列Ｘが得られるように、空間演算部１１の第１入力配列及び第２入力配列と、モダリティ演算部１２の第１入力配列及び第２入力配列とに適用する配列を、行列生成部２が生成する３次元配列２０である初期配列、空間演算部１１が生成する出力配列、モダリティ演算部１２が生成する出力配列の中から選択する。
【0166】
（第２の実施形態によるグラフ学習の処理）
図８を参照しつつ、第２の実施形態のノイズ除去装置１ａによる処理について説明する。
Ｓｄ１，Ｓｄ２の処理は、図３に示すＳａ１、Ｓａ２の処理と、同一の処理であって、演算制御部１０を、演算制御部１０ａに読み替えた処理が行われる。演算制御部１０ａは、外部から与えられるパラメータαｓ，αｍ，βｓ，βｍ，γｓ，γｍと、第１の所定回数と、第２の所定回数を取り込む。演算制御部１０ａは、取り込んだパラメータαｓ，βｓ，γｓを、空間演算部１１に対して設定し、取り込んだパラメータαｍ，βｍ，γｍを、モダリティ演算部１２に対して設定する。演算制御部１０ａは、取り込んだ第１の所定回数と、第２の所定回数とを内部の記憶領域に記録する（Ｓｄ３）。ここで、第１の所定回数及び第２の所定回数の各々は、１以上の整数であり、第１の所定回数及び第２の所定回数として、例えば、観測信号配列Ｙから、要求される精度の原信号配列Ｘが得られる程度の繰り返し回数を示す数が予め定められる。
図８を参照しつつ、第２の実施形態のノイズ除去装置１ａによる処理について説明する。
Ｓｄ１，Ｓｄ２の処理は、図３に示すＳａ１、Ｓａ２の処理と、同一の処理であって、演算制御部１０を、演算制御部１０ａに読み替えた処理が行われる。演算制御部１０ａは、外部から与えられるパラメータαｓ，αｍ，βｓ，βｍ，γｓ，γｍと、第１の所定回数と、第２の所定回数を取り込む。演算制御部１０ａは、取り込んだパラメータαｓ，βｓ，γｓを、空間演算部１１に対して設定し、取り込んだパラメータαｍ，βｍ，γｍを、モダリティ演算部１２に対して設定する。演算制御部１０ａは、取り込んだ第１の所定回数と、第２の所定回数とを内部の記憶領域に記録する（Ｓｄ３）。ここで、第１の所定回数及び第２の所定回数の各々は、１以上の整数であり、第１の所定回数及び第２の所定回数として、例えば、観測信号配列Ｙから、要求される精度の原信号配列Ｘが得られる程度の繰り返し回数を示す数が予め定められる。
【0167】
Ｓｄ４，Ｓｄ５の処理は、図３に示すＳａ４、Ｓａ５の処理と、同一の処理であって、演算制御部１０を、演算制御部１０ａに読み替えた処理が行われる。初回のＳｄ６のモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理は、図３に示すＳａ６の処理と同一の処理、すなわち、上記した第１の実施形態の「モダリティグラフ学習処理のサブルーチン（初回の処理）」の処理が行われる。
【0168】
Ｓｄ６の処理の後、演算制御部１０ａは、モダリティ演算部１２が出力する出力配列Ｘｔ＋１と、隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１とを取り込む。演算制御部１０ａは、内部の記憶領域に、取り込んだ隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１を記録する。なお、演算制御部１０ａは、内部の記憶領域に、前回の隣接行列Ｗｍ
ｔが記憶されている場合、前回の隣接行列Ｗｍ
ｔを消去した上で、隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１を記録する。演算制御部１０ａは、内部の記憶領域から第２の所定回数を読み出す。演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が、（第２の所定回数－１）以上であるか否かを判定する（Ｓｄ７）。
【0169】
演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が、（第２の所定回数－１）以上でないと判定した場合（Ｓｄ７、Ｎｏ）、内部の記憶領域の処理カウンタの数に１を加算する（Ｓｄ８）。演算制御部１０ａは、モダリティ演算部１２の第１入力配列に、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１設定する。演算制御部１０ａは、更に、モダリティ演算部１２の第２入力配列に、内部の記憶領域に記憶されている初期配列を設定し（Ｓｄ９）、モダリティ演算部１２に処理を開始させる。モダリティ演算部１２は、図４に示すモダリティグラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓｄ６）。
【0170】
（モダリティグラフ学習処理のサブルーチン（２回目以降の処理））
２回目以降にＳｄ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理と、初回にＳｄ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
２回目以降にＳｄ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理と、初回にＳｄ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
【0171】
モダリティ演算部１２は、演算制御部１０ａが設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。ここでは、第１入力配列は、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１になるが、処理カウンタの数が、Ｓｄ８の処理によって１増加している。そのため、増加後の処理カウンタの数に合わせると、上付きの添え字は、「ｔ＋１」から「ｔ」に変わるため、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１が、第１入力配列Ｘｔになる。モダリティ演算部１２は、式（５０）に示すように、第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｍの形式に変換して、第１入力配列Ｘｍ
ｔとする（Ｓｂ１）。なお、２回目以降のモダリティ演算部１２の第２入力配列は、初回と同じく、初期配列である。そのため、その後のＳｂ２～Ｓｂ７の処理は、初回のＳｄ６のタイミングで行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ２～Ｓｂ７と同一の処理が行われる。
【0172】
図８に戻り、Ｓｄ７の処理において、演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が、（第２の所定回数－１）以上である判定したとする（Ｓｄ７、Ｙｅｓ）。この場合、演算制御部１０ａは、直近のＳｄ６の処理の後に取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち直近で、モダリティ演算部１２が出力した出力配列Ｘｔ＋１を内部の記憶領域に記録する。ここで、第２の所定回数が、「Ｔｍ」で表されるとすると、内部の記憶領域に記憶されている出力配列Ｘｔ＋１は、出力配列ＸＴｍとして表されることになる。同様に、直近のＳｄ６の処理の後に、演算制御部１０ａによって内部の記憶領域に記録された隣接行列Ｗｍ
ｔ＋１は、隣接行列Ｗｍ
Ｔｍとして表されることになる。
【0173】
演算制御部１０ａは、内部の記憶領域の処理カウンタの数に１を加算する（Ｓｄ１０）。演算制御部１０ａは、空間演算部１１の第１入力配列と、第２入力配列とに対して、内部の記憶領域に記憶されている出力配列ＸＴｍを設定し（Ｓｄ１１）、空間演算部１１に処理を開始させる。空間演算部１１は、図５に示す空間グラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓｄ１２）。
【0174】
（空間グラフ学習処理のサブルーチン（初回の処理））
図５に示すように、空間演算部１１は、演算制御部１０ａが設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。空間演算部１１の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。ここでは、空間演算部１１の第１入力配列は、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列ＸＴｍになるが、処理カウンタの数が、Ｓｄ１０の処理によって１増加している。そのため、増加後の処理カウンタの数は、「Ｔｍ」になる。そのため、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列ＸＴｍが、モダリティ演算部１２の第１入力配列ＸＴｍになる。空間演算部１１は、第１入力配列ＸＴｍを、原信号配列Ｘｓの形式に変換して、第１入力配列Ｘｓ Ｔｍとする（Ｓｃ１）。この処理を、処理カウンタの数「ｔ」を用いて、一般化した式で示すと、次式（５６）として示すことができる。
図５に示すように、空間演算部１１は、演算制御部１０ａが設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。空間演算部１１の第１入力配列を、処理カウンタに対応する配列として示すために、原信号配列Ｘと同一の記号「Ｘ」を用い、更に、処理カウンタの数を示す「ｔ」を用いて、以下、第１入力配列Ｘｔとして表す。ここでは、空間演算部１１の第１入力配列は、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列ＸＴｍになるが、処理カウンタの数が、Ｓｄ１０の処理によって１増加している。そのため、増加後の処理カウンタの数は、「Ｔｍ」になる。そのため、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列ＸＴｍが、モダリティ演算部１２の第１入力配列ＸＴｍになる。空間演算部１１は、第１入力配列ＸＴｍを、原信号配列Ｘｓの形式に変換して、第１入力配列Ｘｓ Ｔｍとする（Ｓｃ１）。この処理を、処理カウンタの数「ｔ」を用いて、一般化した式で示すと、次式（５６）として示すことができる。
【0175】
【数56】
【0176】
その後のＳｃ２～Ｓｃ７の処理は、第１の実施形態の空間グラフ学習処理のサブルーチンのＳｃ２～Ｓｃ７と同一の処理が行われる。この場合に、空間演算部１１が、Ｓｃ１の処理において取り込み、Ｓｃ６の処理において用いる第２入力配列は、第１入力配列と同じく、モダリティ演算部１２が出力した出力配列ＸＴｍである。この第２入力配列を、第１入力配列の場合に用いた表記で示すと、第１入力配列ＸＴｍになる。そのため、空間演算部１１は、Ｓｃ６の処理において、式（４７）に示す第１ノイズ除去式に対して、第１入力配列Ｘｓ
Ｔｍと同一の配列を代入することになる。したがって、Ｓｃ５，Ｓｃ６の処理を、処理カウンタの数を「ｔ」として、一般化した式で示すと、次式（５７）として示すことができる。
【0177】
【数57】
【0178】
図８に戻り、Ｓｄ１２の処理の後、演算制御部１０ａは、空間演算部１１が出力する出力配列Ｘｔ＋１と、隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１とを取り込む。演算制御部１０ａは、内部の記憶領域に、取り込んだ隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を記録する。なお、演算制御部１０ａは、内部の記憶領域に、前回の隣接行列Ｗｓ
ｔが記憶されている場合、前回の隣接行列Ｗｓ
ｔを消去した上で、隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を記録する。演算制御部１０ａは、内部の記憶領域から第１の所定回数と、第２の所定回数とを読み出す。演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が、（第１の所定回数＋第２の所定回数－１）以上であるか否かを判定する（Ｓｄ１３）。
【0179】
演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が、（第１の所定回数＋第２の所定回数－１）以上でないと判定した場合（Ｓｄ１３、Ｎｏ）、内部の記憶領域の処理カウンタの数に１を加算する（Ｓｄ１４）。演算制御部１０ａは、空間演算部１１の第１入力配列に、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１を設定する。演算制御部１０ａは、更に、内部の記憶領域に記憶されている出力配列ＸＴｍを、空間演算部１１の第２入力配列に設定し（Ｓｄ１５）、空間演算部１１に処理を開始させる。空間演算部１１は、図５に示す空間グラフ学習処理のサブルーチンを実行する（Ｓｄ１２）。
【0180】
（空間グラフ学習処理のサブルーチン（２回目以降の処理））
２回目以降にＳｄ１２のタイミングで行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンの処理と、初回にＳｄ１２のタイミングで行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
２回目以降にＳｄ１２のタイミングで行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンの処理と、初回にＳｄ１２のタイミングで行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンの処理との違いについて説明する。
【0181】
空間演算部１１は、演算制御部１０ａが設定した第１入力配列と、第２入力配列とを取り込む。ここでは、第１入力配列は、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１になるが、処理カウンタの数が、Ｓｄ１４の処理によって１増加している。そのため、増加後の処理カウンタの数に合わせると、上付きの添え字は、「ｔ＋１」から「ｔ」に変わるため、直近で空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔが、第１入力配列Ｘｔになる。空間演算部１１は、式（５６）に示すように、第１入力配列Ｘｔを、原信号配列Ｘｓ
ｔの形式に変換して、第１入力配列Ｘｓ
ｔとする（Ｓｃ１）。なお、２回目以降の空間演算部１１の第２入力配列は、初回と同じく、演算制御部１０ａの内部の記憶領域に記憶されている出力配列ＸＴｍである。そのため、その後のＳｃ２～Ｓｃ７の処理は、初回のＳｄ１２のタイミングで行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンのＳｃ２～Ｓｃ７と同一の処理が行われる。
【0182】
図８に戻り、Ｓｄ１３の処理において、演算制御部１０ａは、処理カウンタの数「ｔ」が（第１の所定回数＋第２の所定回数－１）以上であると判定したとする（Ｓｄ１３、Ｙｅｓ）。この場合、演算制御部１０ａは、取り込んだ出力配列Ｘｔ＋１、すなわち空間演算部１１が出力した出力配列Ｘｔ＋１を原信号配列Ｘとし、内部の記憶領域に記憶されている空間グラフの隣接行列Ｗｓ
ｔ＋１を最終的に得られた隣接行列Ｗｓとし、内部の記憶領域に記憶されているモダリティグラフの隣接行列Ｗｍ
Ｔｍを最終的に得られた隣接行列Ｗｍとし、原信号配列Ｘと、隣接行列Ｗｓと、隣接行列Ｗｍとを出力して（Ｓｄ１６）、処理を終了する。
【0183】
図９は、図８の処理を、プログラムの形式で示した図である。最初の行の「入力」に示す「Ｔｓ」は、第１の所定回数であり、「Ｔｍ」は、第２の所定回数である。２、９行目は、処理を示した行ではなく、コメントを示した行である。１行目の処理は、図８のＳｄ６の処理において行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ１の処理であって、初回のＳｂ１の処理の中で行われる第１入力配列Ｘ０を、初期配列、すなわち観測信号配列Ｙとする処理である。４行目から８行目の処理は、１行目の処理を除く、図８のＳｄ６の処理において行われるモダリティグラフ学習処理のサブルーチンのＳｂ１～Ｓｂ７の処理に対応する処理である。Ｓｂ１の処理に含まれるモダリティ演算部１２の第１入力配列に対する処理は、４行目に表されている。Ｓｂ２～Ｓｂ４の処理は、５行目と６行目に示されている。Ｓｂ５，Ｓｂ６の処理は、７行目に示されており、モダリティ演算部１２の第２入力配列を原信号配列Ｘｍの形式に変換した配列は、７行目の配列Ｘｍ
０として表されている。Ｓｂ７の処理は、８行目に表されている。
【0184】
１１行目から１５行目の処理が、図８のＳｄ１２の処理において行われる空間グラフ学習処理のサブルーチンのＳｃ１～Ｓｃ７の処理に対応する処理である。Ｓｃ１の処理は、１１行目に表されている。Ｓｃ２～Ｓｃ４の処理は、１２行目と１３行目に示されている。Ｓｃ５，Ｓｃ６の処理は、１４行目に示されており、空間演算部１１の第２入力配列を原信号配列Ｘｓの形式に変換した配列は、１４行目の配列Ｘｓ
Ｔｍとして表されている。Ｓｃ７の処理は、１５行目に表されている。図８のＳｄ１６の処理において、演算制御部１０ａが出力する隣接行列Ｗｓと、隣接行列Ｗｍと、原信号配列Ｘとは、それぞれ、最後の行の「出力」に示す第１の所定回数＋第２の所定回数の処理が行われた後に得られる空間グラフの隣接行列Ｗｓ
Ｔｍ＋Ｔｓと、第２の所定回数の処理が行われた後に得られるモダリティグラフの隣接行列Ｗｍ
Ｔｍと、原信号配列Ｘとになる。
【0185】
（第１及び第２の実施形態の作用と効果）
上記した第１及び第２の実施形態のノイズ除去装置１，１ａにおいて、行列生成部２は、空間におけるＮ個の観測位置の各々において、Ｍ個のドメインの各々によって、Ｋ回の観測回数により得られるＮ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値を、観測位置を行とし、ドメイン、すなわちモダリティを列として並べて、各々の行列がマルチモーダル信号となるＫ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）を生成する。マルチモーダル信号に対するノイズ除去問題を求解するため、以下の２つの状態を仮定して式（２２）で示される第１目的関数と、式（２３）で示される第２目的関数とが予め定められる。第１の仮定は、Ｎ行×Ｍ列の観測信号行列Ｙ（ｋ）の列ごとの観測信号値で形成される行方向の観測信号からノイズを除去した原信号を、Ｎ個の頂点を有する第１グラフである空間グラフによって表した場合に、空間グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定である。第２の仮定は、観測信号行列Ｙ（ｋ）の行ごとの観測信号値で形成される列方向の観測信号からノイズを除去した原信号を、Ｍ個の頂点を有する第２グラフであるモダリティグラフによって表した場合に、モダリティグラフ上で原信号は滑らかになるという仮定である。
上記した第１及び第２の実施形態のノイズ除去装置１，１ａにおいて、行列生成部２は、空間におけるＮ個の観測位置の各々において、Ｍ個のドメインの各々によって、Ｋ回の観測回数により得られるＮ×Ｍ×Ｋ個の観測信号値を、観測位置を行とし、ドメイン、すなわちモダリティを列として並べて、各々の行列がマルチモーダル信号となるＫ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）を生成する。マルチモーダル信号に対するノイズ除去問題を求解するため、以下の２つの状態を仮定して式（２２）で示される第１目的関数と、式（２３）で示される第２目的関数とが予め定められる。第１の仮定は、Ｎ行×Ｍ列の観測信号行列Ｙ（ｋ）の列ごとの観測信号値で形成される行方向の観測信号からノイズを除去した原信号を、Ｎ個の頂点を有する第１グラフである空間グラフによって表した場合に、空間グラフ上で原信号は滑らかになるという仮定である。第２の仮定は、観測信号行列Ｙ（ｋ）の行ごとの観測信号値で形成される列方向の観測信号からノイズを除去した原信号を、Ｍ個の頂点を有する第２グラフであるモダリティグラフによって表した場合に、モダリティグラフ上で原信号は滑らかになるという仮定である。
【0186】
演算処理部３は、第１目的関数と、第２目的関数とから導出される演算式にＫ個の観測信号行列Ｙ（ｋ）を適用して、空間グラフとモダリティグラフの各々の隣接行列Ｗｓ，Ｗｍとを最適化し、最適化した隣接行列Ｗｓ，Ｗｍに基づいて観測信号からノイズを除去する演算を行う。より詳細には、第１の実施形態のノイズ除去装置１では、演算制御部１０は、モダリティ演算部１２と、空間演算部１１とに対して、互いの処理結果を引き継がせつつ、所定回数、交互に処理を行わせて、観測信号配列Ｙから原信号配列Ｘを推定する。これに対して、第２の実施形態の演算制御部１０ａは、モダリティ演算部１２に対して、第２の所定回数、繰り返し処理をさせて得られた処理結果を、空間演算部１１に引き継がせて、空間演算部１１に、第１の所定回数、繰り返し処理を行わせることにより、観測信号配列Ｙから原信号配列Ｘを推定する。
【0187】
第１及び第２の実施形態の何れの実施形態においても、ノイズ除去装置１，１ａは、観測信号の各々からノイズを除去した原信号を推定する。ここで、観測信号とは、観測信号行列の行方向の観測信号と、列方向の観測信号とがあり、ノイズ除去装置１，１ａは、両方向の観測信号からノイズを除去するので、マルチモーダル信号からノイズを除去していることになる。隣接行列Ｗｓは、空間グラフのグラフ構造を示しており、隣接行列Ｗｍは、モダリティグラフのグラフ構造を示していることから、ノイズ除去装置１，１ａは、空間グラフとモダリティグラフの両方のグラフ構造を最適化していることになる。したがって、第１及び第２の実施形態のノイズ除去装置１，１ａにより、ノイズ除去の観点でグラフ構造を最適化しつつ、ノイズ除去問題を求解することで、マルチモーダル信号からノイズを除去することが可能になる。
【0188】
（第１及び第２の実施形態の他の構成例）
上記の第１及び第２の実施形態では、観測位置を行、モダリティを列としている。これに対して、モダリティを行とし、観測位置を列としてもよい。この場合、第１グラフは、モダリティグラフになり、第２グラフは、空間グラフになる。第１目的関数は、式（２３）になり、第２目的関数は、式（２２）になる。第１隣接行列算出式は、式（３７）になり、第２隣接行列算出式は、式（３５）になる。第１ノイズ除去式は、式（４８）になり、第２ノイズ除去式は、式（４７）になる。なお、第１及び第２の実施形態では、式（２５）の右辺で示される配列を、観測信号配列Ｙｓとし、式（２７）の右辺で示される配列を、観測信号配列Ｙｍとしているが、モダリティを行とし、観測位置を列とした場合、観測信号配列Ｙｓは、式（２７）の右辺で示される配列になり、観測信号配列Ｙｍが、式（２５）の右辺で示される配列になる。原信号配列Ｘｓ，Ｘｍについても、観測信号配列Ｙｓ，Ｙｍと同様に、配列の構造が入れ替わることになる。第１隣接行列算出式と、第１ノイズ除去式とに対応する演算部を第１演算部とし、第２隣接行列算出式と、第２ノイズ除去式とに対応する演算部を第２演算部とした場合、第１及び第２の実施形態では、第１演算部は、空間演算部１１に対応し、第２演算部は、モダリティ演算部１２に対応する。これに対して、モダリティを行とし、観測位置を列とした場合、第１演算部は、モダリティ演算部１２に対応し、第２演算部は、空間演算部１１に対応することになる。
上記の第１及び第２の実施形態では、観測位置を行、モダリティを列としている。これに対して、モダリティを行とし、観測位置を列としてもよい。この場合、第１グラフは、モダリティグラフになり、第２グラフは、空間グラフになる。第１目的関数は、式（２３）になり、第２目的関数は、式（２２）になる。第１隣接行列算出式は、式（３７）になり、第２隣接行列算出式は、式（３５）になる。第１ノイズ除去式は、式（４８）になり、第２ノイズ除去式は、式（４７）になる。なお、第１及び第２の実施形態では、式（２５）の右辺で示される配列を、観測信号配列Ｙｓとし、式（２７）の右辺で示される配列を、観測信号配列Ｙｍとしているが、モダリティを行とし、観測位置を列とした場合、観測信号配列Ｙｓは、式（２７）の右辺で示される配列になり、観測信号配列Ｙｍが、式（２５）の右辺で示される配列になる。原信号配列Ｘｓ，Ｘｍについても、観測信号配列Ｙｓ，Ｙｍと同様に、配列の構造が入れ替わることになる。第１隣接行列算出式と、第１ノイズ除去式とに対応する演算部を第１演算部とし、第２隣接行列算出式と、第２ノイズ除去式とに対応する演算部を第２演算部とした場合、第１及び第２の実施形態では、第１演算部は、空間演算部１１に対応し、第２演算部は、モダリティ演算部１２に対応する。これに対して、モダリティを行とし、観測位置を列とした場合、第１演算部は、モダリティ演算部１２に対応し、第２演算部は、空間演算部１１に対応することになる。
【0189】
第１の実施形態では、図３に示すように、演算制御部１０は、モダリティ演算部１２の処理を先に行い、空間演算部１１の処理を後に行うようにして、モダリティ演算部１２と、空間演算部１１とに交互に処理をさせるようにしている。これに対して、演算制御部１０は、空間演算部１１の処理を先に行い、モダリティ演算部１２の処理を後に行うようにして、空間演算部１１と、モダリティ演算部１２とに交互に処理をさせるようにしてもよい。この場合に、演算制御部１０は、空間演算部１１に対して、初回の処理を行わせる場合、空間演算部１１の第１入力配列と第２入力配列に対して初期配列を設定し、２回目以降の処理を行わせる場合、空間演算部１１の第１入力配列に、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列を設定し、空間演算部１１の第２入力配列に、初期配列を設定する。モダリティ演算部１２の第１入力配列と第２入力配列には、直近で空間演算部１１が出力した出力配列を設定することになる。
【0190】
第２の実施形態では、図８に示すように、演算制御部１０ａは、モダリティ演算部１２に第２の所定回数、処理させた後に、空間演算部１１に第１の所定回数、処理させるようにしている。これに対して、演算制御部１０ａは、空間演算部１１に第１の所定回数、処理させた後に、モダリティ演算部１２に第２の所定回数、処理させるようにしてもよい。この場合に、演算制御部１０ａは、空間演算部１１に対して、初回の処理を行わせる場合、空間演算部１１の第１入力配列と第２入力配列に対して初期配列を設定し、２回目以降の処理を行わせる場合、空間演算部１１の第１入力配列に、直近で空間演算部１１が出力した出力配列を設定し、空間演算部１１の第２入力配列に、初期配列を設定する。モダリティ演算部１２に対して、初回の処理を行わせる場合、第１入力配列と第２入力配列には、直近で空間演算部１１が出力した出力配列し、２回目以降の処理を行わせる場合、モダリティ演算部１２の第１入力配列には、直近でモダリティ演算部１２が出力した出力配列を設定し、モダリティ演算部１２の第２入力配列には、直近で空間演算部１１が出力した出力配列を設定することになる。
【0191】
例えば、演算制御部１０ａは、第２の実施形態の手法による処理を行って、空間演算部１１の処理が完了した際に得られる原信号配列Ｘを初期配列として、再び、第２の実施形態の手法による処理を行わせるようにしてもよい。
【0192】
第１の実施形態の手法と、第２の実施形態の手法とを混在させるようにしてもよい。例えば、演算制御部１０が演算制御部１０ａの構成も備えており、演算制御部１０は、第１の実施形態の手法による処理を行うことにより得られる原信号配列Ｘを、第２の実施形態の初期配列として、第２の実施形態の手法による処理を行わせるようにしてもよい。演算制御部１０ａが演算制御部１０の構成も備えており、演算制御部１０ａは、第２の実施形態の手法による処理を行うことにより得られる原信号配列Ｘを、第１の実施形態の初期配列として、第１の実施形態の手法による処理を行わせるようにしてもよい。
【0193】
上述した実施形態におけるノイズ除去装置１，１ａをコンピュータで実現するようにしてもよい。その場合、この機能を実現するためのプログラムをコンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録して、この記録媒体に記録されたプログラムをコンピュータシステムに読み込ませ、実行することによって実現してもよい。なお、ここでいう「コンピュータシステム」とは、ＯＳや周辺機器等のハードウェアを含むものとする。また、「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、フレキシブルディスク、光磁気ディスク、ＲＯＭ、ＣＤ－ＲＯＭ等の可搬媒体、コンピュータシステムに内蔵されるハードディスク等の記憶装置のことをいう。さらに「コンピュータ読み取り可能な記録媒体」とは、インターネット等のネットワークや電話回線等の通信回線を介してプログラムを送信する場合の通信線のように、短時間の間、動的にプログラムを保持するもの、その場合のサーバやクライアントとなるコンピュータシステム内部の揮発性メモリのように、一定時間プログラムを保持しているものも含んでもよい。また上記プログラムは、前述した機能の一部を実現するためのものであってもよく、さらに前述した機能をコンピュータシステムにすでに記録されているプログラムとの組み合わせで実現できるものであってもよく、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）等のプログラマブルロジックデバイスを用いて実現されるものであってもよい。
【0194】
以上、この発明の実施形態について図面を参照して詳述してきたが、具体的な構成はこの実施形態に限られるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲の設計等も含まれる。
【符号の説明】
【0195】
１…ノイズ除去装置、２…行列生成部、３…演算処理部、１０…演算制御部、１１…空間演算部、１２…モダリティ演算部
【図1】
【図2】
【図3】
【図4】
【図5】
【図6】
【図7】
【図8】
【図9】